TECHNISCHE MECHANIK 5 (1984)Heft4

Manuskripteingang: 21. 1. 1984

Druckiterationsverlahren zur effektiven Lösung inkompressibler

elastischer Probleme

Ulrich Langer, Werner Queck

l. Einleitung

Die numerische Behandlung linearer und nichtlinearer

Elastizitätsprobleme für inkompressible Materialien wird

durch Nebenbedingungen in Gleichungsform (Inkom-

pressibilitätsbedingung) erschWert [15], [16], [18], [19].

Neben der zu bestimmenden Vektorfunktion u der Ver-

schiebungen bzw. der Verschiebungsgeschwindigkeiten

tritt der Druck p als zusätzliche Unbekannte (Lagrange-

faktor) auf. Bei der Diskretisierung des linearen inkom-

pressiblen Elastizitätsproblems mit der Finiten-Ele-

mente-Methode entsteht ein großdimensioniertes,

schwach besetztes lineares Gleichungssystem mit sym-

metrischer aber indefiniter Systemmatrix

[2T ä] 2} = [i].Hierbei bezeichnen A die Steifigkeitsmatrix, B den dis-

kreten Divergenzoperator und f den Lastvektor. Wegen

der lndefinitheit der Systemmatrix aus (1.1) können

direkte Auflösungsverfahren wie der Gaußalgorithmus

versagen oder unbrauchbare Lösungen erzeugen. Häufig

angeWendete Straf- bzw. Regularisierungsverfahren [5],

[7], [18] erweisen sich dann als nicht ausreichend, wenn

neben den Werten der Verschiebung auch genaue Druck-

werte interessieren.

In dieser Arbeit werden Druckiterationsverfahren (Itera-

tionsverfahren vom Uzawa-Ty'p) vorgestellt, die sowohl

Näherungslösungen für den Druck als auch für die Ver-

schiebung liefern. Es erweist sich, dafi die Konvergenz-

geschwindigkeit dieser Verfahren unabhängig von der

Feinheit der Diskretisierung und folglich auch von der

Dimension des Gleichungssystems ist. Voraussetzung da-

für ist die Gültigkeit gewisser Bedingungen, die im

Punkt 2 im Zusammenhang mit der Diskretisierung der

genannten Modellaufgabe erörtert werden. Eine zentrale

Rolle nimmt dabei die Ladyshenskaja-Babuska-Brezzi-

Bedingung (LBB-Bedingung) [4], [16] ein, aus der sich

zulässige Finite-Elemente-Kombinationen für Verschie-

bung und Druck ableiten lassen. Die numerischen Resul-

tate im Punkt 4 bestätigen die theoretischen Aussagen

über die Dimensionsunabhängigkeit der Konvergenzge—

schwindigkeit. Die in dieser Arbeit durchgeführten

Untersuchungen gelten nicht nur für unser Modellpro—

blem, sondern sind zum Beispiel sofort übertragbar auf

das Stokes-Problem für inkompressible Flüssigkeiten

[5], [22], [23].

Die Ausdehnung auf nichtlineare Probleme kann stufen-

weise erfolgen, indem zunächst nichtlineare Stoffgesetze

berücksichtigt werden. Solche Stoffgesetze treten bei-

spielsweise beim Vorwärtsfliefipressen auf [7], [25]. Da-

46

bei ist A = A(u) ein nichtlinearer stark monotoner Ope-

rator. Eine vollständige nichtlineare Behandlung inkom-

pressibler Elastizitätsprobleme mit Einbeziehung geome-

trischer Nichtlinearitäten erfolgt in [16]. Zur Auflösung

der entstehenden Gleichungssysteme werden ebenfalls

Algorithmen vom Uzawa-Typ verwendet. Die in dieser

Arbeit vorgestellten Druckiterationsverfahren sind for-

mal auf Probleme mit nichtlinearem Operator A über-

tragbar. Es sei noch bemerkt, daß zur Lösung von (1.1)

neben Iterationsverfahren vom Uzawa-Typ und Straf-

bzw. Regularisierungsverfahren weitere Lösungsmetho-

den existieren. Dazu gehören die in [2] und [3] beschrie-

benen Verfahren.

2. Modellaufgabe

Für die weiteren Untersuchungen wird als Modellaufgabe

das lineare ebene Elastizitätsproblem für inkompressible

Materialien betrachtet. Dabei sind der Verschiebungs-

vektor u = (u1‚ 112) eines Körpers, der ein Gebiet

Q C R2 einnimmt, und der im Körper herrschende hy-

drostatische Druck p bei gegebener Belastung durch eine

Volumenkraft f = (fl, f2) und durch eine Oberflächen-

kraft S = (51, 52), die auf das Randstück 1‘2 wirkt, zu

bestimmen. Auf dem Randstiick F1 sind die Verschie-

bungen g = (g1, g2) vorgegeben. Das dieses Problem be-

schreibende Differentialgleichungssystem hat die Ge—

stalt

ani:l,2

divu = 0 inQ

u = g aufFl (2.1)

oijnj I SiaufF2i=1,2,

wobei die bekannten Summations- und Differentiationsl

konventionen verwendet werden. In (2.1) werden mit

oij, i, = 1,2 die Komponenten des Spannungstensors

bezeichnet. Als Stoffgesetz wird die Beziehung

Oij : 2G€ij -— , Z 1, 2

verwendet, wobei G den Gleitmodul, 5f das Kron'ecker-

symbol und ei- die Verzerrungen bezeichnen. Die Ver-

zerrungs—Verscfiiebungsbeziehung ist durch

1 . . .Eij : -2—(ui,j + Djai), 1,] : 1, 2

gegeben. Weiter sind p die Dichte und nj, j = 1,2 die

Komponenten der äußeren Einheitsnormalen an l" =

P1 U F2, F1 n 1‘2 2 0 (vgl. auch [24]).

Grundlage für die Methode der finiten Elemente ist eine

Variationsformulierung von (2.1). Dazu führen wir zu-

nächst die folgenden Funktionenräume ein

X={v = (v1,v2) :vi 5W; (9),“ Ipl = 0, i= 1,2} (2.4)

L2 (9)

M = o

Lzm): {qEL2(sz): Lamm} wenn r1 = r,

wobei L2 (fl) der Raum der über Q quadratisch sum-

mierbaren Funktionen ist und W; der Raum von

Funktionen aus L2 (KZ), deren erste verallgemeinerten

Ableitungen ebenfalls zu L2 gehören. Die Räume X

und M sind mit den Normen

"Vllx = lVlLQ = ViJ ViJ dx)0‘5

(2.6)

|1an: Iqlm =(szq2 dx)0~5

versehen [1]. Für das weitere wird vorausgesetzt, daß die

Verschiebungsrandbedingungen homogen sind, das heißt

g = O.

Die Variationsformulierung des Problems (2.1) lautet:

Zu bestimmen sind u E X, p E M, so daß gilt

a(u,v) + b(v,p) =(f,v) V vEX (2.7a)

b(u,q) = 0 V qEM. (2.71))

Dabei sind die Bilinearformen a und b durch

a(u, v) = f 2Geij (u) eij (v)dx u,v€ X (2.8)

S)

b(v,q)= —Säqdivv dx v6 X,qEM (2.9)

definiert. Für die rechte Seite gilt

<f,V) Z ffividx+ f VE X.

52 F2

Unter der Voraussetzung, daß Q ein beschränktes Gebiet

mit Lipschitz-stetigem Rand ist, existiert eine eindeutig

bestimmte Lösung (u, p) E XxM des Problems (2.7),

vgl. [4], [5]. Die Diskretisierung unseres Modellproblems

erfolgt mit der Methode der finiten Elemente. Mit h wird

der Diskretisierungsparameter (z. B. Schrittweite, siehe

Beispiel im Punkt 4) bezeichnet, so daß die Anzahl der

Knoten von der Ordnung h‘2 ist. Über den üblichen

FEM-Algorithmus werden endlichdimensionale Teilräu-

me Xh C X und Mh C M konstruiert, wobei für Ver-

schiebung und Druck unterschiedliche Elemente verWen—

det werden. Die zu Xh und Mh isomorphen euklidischen

Vektor-räume seien mit XE; und ME bezeichnet. Ihre Ele-

mente sind die Vektoren er Knotenparameter der Ver-

schiebung und des Druckes, siehe Das durch die Dis—

kreüsierung entstandene endlichdimensionale lineare

Gleichungssystem hat die Form

Ah Bh “h fh

T = (2.11)

Bh 0 ph O

oder in gleichberechtigter Schreibweise

Ah uh + Bh ph = fh (2.12 a)

B: uh z 0 ‚ (2.12 b)

wobei uh E XE, ph E ME die zu ermittelnden Vektoren

der Verschiebungs- bzw. Druckwerte, Ah die übliche

Steifigkeitsmatrix und BhEder diskrete Diäiergenzopera-

tor sind. Die zu uh E Xh bzw. ph E Mh gehörenden

wenn mes(F2)>0 (2.5) Funktionen aus Xh bzw. Mh werden durch 3h bzw. 5h

bezeichnet. Zur Sicherung der Existenz und Eindeutig-

müssen folgende Voraussetzungen

keit einer Näherungslösung ( 3h, 17,96 Xh x Mh bzw.

h

E(“h’Ph)eXh KM

erfiillt sein.

(i)

awfih) > ah Ivhtfiflv vh eXh.

Es existiert eine Konstante ah > 0 mit

(2.13)

(ii) Es existiert eine Konstante [3h > 0 mit

VhGXh

sup é q}, div vb dx

N >ßh Ithwv (Thth (2.14)

thllÄZ

Die Elliptizitätsbedingung (2.13) ist bei unserem Modell-

problem immer erfüllt, da fiir die Bilinearform a aus

(2.8) die Kornsche Ungleichung (siehe [8]) gilt und

Xh C X gewählt wurde. Dabei ist die Konstante ah von

h unabhängig, wir können also für alle h ah = a setzen.

Die Bedingung (2.14) besitzt eine Schlüsselstellung bei

der theoretischen Untersuchung und praktischen Lösung

der hier betrachteten Aufgaben. Sie wird als Ladyshens-

kaja-Babuska-Brezzi-Bedingung (LBB-Bedingung) oder

als inf-sup-Bedingung bezeichnet [4], [51, [15], [18]. Gel-

ten (2.13) und (2.14), so ist die Existenz und Eindeutig-

keit der Näherungslösungen 17h E Xh und Sh G Mh ge-

sichert [4], Dies bedeutet aber auch, daß die Aus-

wahl von finiten Elementen für die Verschiebung und

für den Druck nicht unabhängig voneinander geschehen

darf. Dabei wird im allgemeinen bei gleicher Geometrie

der Vernetzung des Gebietes S1 mit unterschiedlichen

Polynomansätzen für Verschiebung und Druck gearbei-

tet. Die Überprüfung der Gültigkeit von (2.14) ist mei-

stens eine komplizierte Aufgabe. Die folgende Tabelle 1

gibt zwei Beispiele möglicher Elementkombinationcn für

Verschiebung und Druck, bei denen die LBB-Bedingung

erfüllt ist.

Verschiebung Druck

ADIA.

A A,

V2

Tabdle l

V1 — Dreieckselement mit quadratischem Ansatz

D l — Dreieckselement mit konstantem Ansatz

V2 — Dreieckselement mit quadratischem Ansatz plus Mit-

telknoten

D2 — Dreieckselement mit linearem Ansatz ohne Stetigkeit

an den Elementgrenzen

47

Weitere Elementkombinationen sind für konkrete Ge-

biete Q und konkrete Lage der Randstücke [‘1 und F2

möglich [18], [23].

Die Konstante ßh aus der LBB-Bedingung (2.14) kann

von h abhängen. Damit lassen sich Lösbarkeit und Ein-

deutigkeit der Lösung von (2.12) klären. Für h -—> 0 tre-

ten allerdings bei einer h—Abhängigkeit von ßh Stabili-

tätsprobleme auf. Dagegen garantiert die h-Unabhängig-

keit der Konstanten ßh die Stabilität und die Konver—

genz uh -> u, ph -> p (h -> 0) mit einer von den konkre-

ten finiten Elementen abhängigen Konvergenzgeschwin-

digkeit [5], [18]. Für unsere weiteren Betrachtungen

gelte ßh = ß =/=[3(h).

Kehren wir zu dem durch die Diskretisierung entstande-

nen Gleichungssystem (2.12) zurück. Da wegen (2.13)

die Matrix Ah positiv definit und folglich invertierbar

ist, kann (2.12 a) formal nach uh aufgelöst und in

(2.12 b) eingesetzt werden. Man erhält das zu (2.12)

äquivalente System

BE A;1 P'th =T —1

Bh Ah fh (2.15)

-1“h: Ah (fh - Bh Pb) (2-16)

Die Beziehung (2.15) stellt ein Gleichungssystem Chph

= dh zur Bestimm ng des lDruckvektors ph mit der Sy-

stemmatrix Ch = B _— Bhl und der rechten Seite

dh = B: A;1 fh dar. Da A; unbekannt ist, können

Ch und dh nicht explizit angegeben werden. Für die

Untersuchung von iterativen Verfahren zur Lösung von

(2.15) sind Abschätzungen für den größten und klein-

sten Eigenwert bzw. für die Kondition der positiv defi-

aiten und symmetrischen Matrix Ch erforderlich {20}.

in [15] wird das folgende Resultat bewiesen.

Wenn die Konstanten ah aus (2.13) und ßh aus (2.14)

nicht von h abhängen, existieren von h unabhängige

Konstanten 71, 72 mit O < 71 < 72, so daß

T _171112 (qmqh)<(3h Ah Bh‘lh»‘1h)<72h2(%’q}i)

V qh eME (2.17)

gilt. Folglich ist die Kondition K von Ch

272 h 72

K Z _— : — 2.1-8

unabhängig von h.

Die Formulierung der diskreten Aufgabe in der Form

(2.15), (2.16) und die Abschätzung (2.17) sind die

Grundlagen für die verschiedenen Lösungsalgorithmen.

die im folgenden Punkt'vorgestellt werden.

3. Druckiterationsverfahren

In diesem Punkt werden verschiedene bekannte Itera-

tionsverfahren [20] zur Lösung linearer Gleichungs—

systeme mit symmetrischer und positiv definiter Sy-

stemmatrix auf das Druckgleichungssystem (2.15) angefi

wendet und untersucht. Im folgenden wird bei der No-

tation auf den Index h bei den Matrizen und Vektoren

verzichtet. Die Lösungsalgorithmen werden für festes

h untersucht. Die Konvergenzgeschwindigkeit aller Ver-

48

fahren wird durch die Anzahl der benötigten Iteratio-

nen I = 1(6) zur Verringerung des Anfangsfehlers

Hp — po Ii auf das e-fache bestimmt.

3.1. Klassischer Uzawa-Algorithmus

Eine häufig angewendete Methode zur iterativen Lösung

des Gleichungssystems (2.12) ist der Uzawa-Algorith-

mus. In seiner einfachsten Variante hat er folgende Form.

Sei po eine beliebige Startnäherung für den Druck. Die

k+1-ten Iterierten werden bestimmt nach

uk+12 Auk+1 = f—Bpk

Pk+1 “Pk

Pk+1= r *TC +BTuk+1 3 0. (3-1b)

wobei T ein noch zu wählender reeller Iterationsparame-

ter ist. Der Algorithmus (3.1) ist nichts anderes als das

Verfahren der einfachen Iteration (vgl. [20]) für das

Druckgleichungssystem (2 .15). Schreibt man die ein-

fache Iteration für (2.15) auf. ergibt sich

Pk+1 “ Pk

T

Da Cpk — d = BTA—prk -—BT A—lf = ETA—1(Bpk —f)

= ~BT uk+1 gilt, erhält man sofort (3.1b). Aus der allge-

meinen Theorie der Iterationsverfahren ist bekannt, dal3

für den optimalen Iterationsparameter T = Topt gilt

+ cpk —d = 0. (3.2)

72

Topt “

mit '71, 72 aus (2.17). Für die Anzahl der benötigten

Iterationen l ? 1(6) zur Verringerung des Anfangsfehlers

If p — po li auf das 6-fache gilt

neblig.-. J‘s1m;o p°_1+g’

72

Die Anzahl der Iterationen ist damit nicht von der Di-

mension des Druckgleichungssystems abhängig. Für die.

Anwendung dieses Verfahrens mit optimalem Iterations-

parameter 7’ ist die Kenntnis der Werte 71 und 72 bzw.

eine gute Abschätzung für 71 und 72 notwendig.

S

3.2. Uzawa-Cmdientenverfahren (UG V)

Als nächstes Iterationsverfahren zur Lösung von (2.15).

wird das Gradientenverfahren betrachtet. Die Itera-

tionsparameter hängen hier von k ab und werden nach

Variationsprinzipien berechnet. Die Größen 71 und 72

werden nicht benötigt. Der Algorithmus hat folgendes

Aussehen.

Start: p 2: p0

g 2: Bp—f

u := uA—lg

r z: —BTu

Iteration: 1 g := Br

d := A—lg

a z: BTd

T := (r,r)/(r‚a)

p := p—TI‘

r := r—Ta

u := u+rd_

nqu m LEND

GOTO 1

Hierbei bezeichnen wie auch in den noch folgenden Al—

gorithmen p0 den Druckstartvektor, g, d, a gewisse

Hilfsvektoren, r den Defektvektor bezüglich des Glei-

chungssystems (2.15) und 61 eine positive reelle Zahl.

Beim UGV gilt genau wie bei der einfachen Iteration

lne 1 i E 71I = = _____ y : — .

(6) lnpo l po 1 + E E '72

Das UGV kann außerdem zur näherungsweisen Berech-

nung der Größen 71 und 72 benutzt werden. Dazu wird

das Verfahren für verschwindende rechte Seite f mit

einer Anfangsnäherung po 9E 0 gestartet. Als Näherungs-

werte für 71 und 72 werden im k-ten Iterationsschritt

(k > 3) die Nullstellen des quadratischen Polynoms in 7

(l—Tk H27)(l—rk_lH27) : v

mit V2 = (ak,pk)/(ak_2‚pk_2) genommen. Dabei sind

T-, ' = k, k—l die Parameter des j-ten Iterationsschrittes.

Diese Berechnung kann auf einer wesentlich gröberen

Diskretisierung mit dem Diskretisierungsparameter H,

H > h erfolgen (vgl. [20], S. 340).

3. 3. Uzawa—Tschebyscheff- Verfahren (UTV)

Der Algorithmus der Tschebyscheff-Iteration für (2.15)

ist analog dem der einfachen Iteration. Allerdings sind

hier die Iterationsparameter von k abhängig, 1' = 'rk. Der

Algorithmus hat die Form

Start: p := po

IZ:= 0

Iteration: lg := f—Bp

u := A”1g

d := BTu

T :rem [(5)

1r1:2/hz(7/2+“f1 —(72*71)T)

p z: p+Td

IZ:=IZ+1 .

{Iz=1(e)} L END

GOTO 1

Die Tschebyschefflteration erfordert die Kenntnis der

Werte 71 und 72. Es werden genau I(€) Iterationen

durchgeführt, wobei hier gilt

1312. p . 1 w”? _ 711mm ’ 1 1+\/€’ 72'

Die Parameter T werden nach einem speziellen Algo-

rithmus aus der Menge

m „e, :{rk = cos[(2k*1)1T/2I(e)], 1 <k<1(e)}

ausgewählt E20]. Da die Werte von 71 und 72 im allge-

meinen nieht bekannt sind, kann eine Kombination

UGV—UTV zweckmäßig sein, indem mittels UGV Nä-

herungswerte für 71 und 72 berechnet werden und mit

diesen das schnellere UTV gestartet wird.

I(€) :

3.4. Uzawa—Konjugiertes-Cmdientenverfizhren (UCCV)

Das konjugierte Gradientenverfahren zur Lösung von

(2.15) besitzt den folgenden Algorithmus.

Start: p := pO

g := Bp—f

u = ‘A‘lg

r = BTu

s .= r

w = (r,r)

Iteration: lg := Bs

d := A“lg

a := BTd

'r := w/(d,g)

p = p—Ts

r := r—Ta

u z: u+Td .

||r||<el "film-13:1»-> END

u := (r,r)/w

w := (r,r)

s := r+us

GOTO 1

Hierbei bezeichnen die zusätzlich auftretenden Größen s

den Hilfsvektor der Suchrichtung des Verfahrens, co und

u reelle Hilfsgrößen. Für das UCGV ist genau wie beim

UGV die Kenntnis der Werte 71 und 72 nicht erforder—

lich. Für die Anzahl der benötigten Iterationen gilt die

gleiche Beziehung wie beim UTV.

l 2 1—-

I(e) : 7 p1 : 1+2— 7

7:22.—- _

72

3.5. Abschließende Bemerkungen

Den in diesem Punkt vorgestellten iterativen Verfahren

zur Lösung des Druckgleichungssystems ist folgendes ge-

meinsam.

(i) Die Verfahren sind Algorithmen zur Berechnung des

Druckvektors, liefern aber gleichzeitig auf jedem itera-

tionsschritt einen Näherungswert des Verschiebungs-

vektors. Bei der einfachen Iteration (klassischer Unawa-

Algorithmus) und beim UTV wird letzterer explizit aus,

Auk+1 = f — Bpk und beim UGV und UCGV rekursiv

berechnet. Im Falle des UGV oder des UCGV kann zur

Verbesserüng der Genauigkeit des Verschiebungsvektors

der rekursiv berechnete NäherungSWert als Startvektor

für eine Nachiteration zur Lösung von Au = f —— Bp* ver-

wendet werden, wobei p* der berechnete Näherungswert

des Druckes ist.

(ii) In jedem Iterationsschritt des Druckiterationsverfah-

rens ist ein Gleichungssystem der ArtAd = g mit der posi-

tiv definiten und symmetrischen Systemmatrix A zu lö-

sen. Dazu können sowohl direkte als auch iterative Ver-

fahren verwendet werden. Zum Beispiel kann A zu Be-

ginn des Druckiterationsverfahrens in Choleskyfaktoren

zerlegt werden. Das Lösen des Gleichungssystems Ad = g

beschränkt sich dann auf das Vorwärts— und Rückwärts-

einsetzen [21]. Der Aufwand für die einmalig durchzu-

führende Choleskyzerlegung liegt bekanntlich in der

49

Größenordnung von h‘4‘ arithmetischen Operationen,

während Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen nur größen-

ordnungsmäßig h’3 Operationen benötigen. Damit liegt

der Gesamtaufwand zur Ermittlung von Näherungslösun-

gen für Druck und Verschiebung in der Ordnung von

h—4 + h“3 ln 6—1 arithmetischen Operationen. Anderer-

seits existieren zur Lösung des Gleichungssystems Ad = g

eine Reihe effektiver iterativer Verfahren, die es gestat-

ten, das System Ad = g mit % h‘2 Operationen aufzulö-

sen (vgl. [9], [‘10], [11], [13], [l4], [l7], [20], [21]). Da-

mit läßt sich der Gesamtaufwand für das Druckitera-

tionsverfahren auf N h“2 ln 6—1 arithmetische Operatio-

nen reduzieren. Folglich sind die Druckiterationsverfah-

ren asymptotisch optimal bezüglich des Aufwandes an

arithmetischen Operationen.

(iii) Der Speicherplatzbedarf der Druckiterationsver-

fahren wird von der Speicherform der Matrizen A und B

bestimmt. Bei direkten Verfahren zur Auflösung von

Ad=g wird zu Zerlegung von A Speicherplatz in der

Größenordnung von h‘3 gebraucht. Die Matrix B kann

kompakt gespeichert werden [21]), benötigt folg-

lich N h—2 Speicherplätze. Bei iterativen Auflösungsver—

fahren können sowohl A als auch B kompakt gespeichert

werden. Damit liegt der benötigte Speicherplatz in der

Größenordnung von h—z.

Im Falle eines nichtlinearen Stoffgesetzes, welches zum

Beispiel beim Vorwärtsfließpressen [7], [25] auftritt,

können klassisches Uzawa-Verfahren, UGV und UCGV

ebenfalls angewendet werden. In jedem Druckiterations-

schritt ist dabei ein nichtlineares Gleichungssystem der

Art A(v) = g zu lösen. Im erwähnten Beispiel ist A ein

stark monotoner nichtlinearer Operator. Zur Lösung sol-

cher nichtlinearen Gleichungssysteme existieren eine

Vielzahl von effektiven Iterationsmethoden [10], [l2].

In den hier vorgestellten Algorithmen ist aber zu berück-

sichtigen, daß die Rekursionsformeln für den Defektvek-

tor r und den Verschiebungsvektor u wegen der Nicht-

linearität von A nicht mehr exakt sind und gegebenen-

falls Korrekturen erforderlich sind.

Alle hier vorgestellten Algorithmen sind auch für drei-

dimensionale Probleme einsetzbar. Auch in diesem Fall

ist die Konditionszahl der Matrix Ch von h unabhängig.

Bei Einsatz des Choleskyverfahrens zur Lösung. von

Ad = g werden größenordnungsmäßig h‘7 + h‘5 In 6—1

arithmetische Operationen und h“5 Speicherplätze, bei

Verwendung von optimalen iterativen Verfahren

h—3 ln 6—1 Operationen und h"3 Speicherplätze benö-

tigt.

Für die praktische Realisierung (Software) ist es vorteil-

haft, alle hier vorgestellten Varianten in einem Pro-

grammpaket zusammenzufassen, um verschiedene An-

wendungsfälle mit einem einheitlichen Programm erfas-

se'n zu können. Außerdem ist es zweckmäßig, wenn die

diskrete LBB-Bedingung (2.14) nicht mit einer von h

unabhängigen Konstanten ßh erfüllt ist, anstatt des

Systems (2.12) das äquivalente regularisierte System

(Ah’rthBIirhh + B}. Ph fh

B: uh I 0

50

mit fixiertem 17 > 0 zu betrachten und das Programm-

paket entsprechend zu gestalten. Ein Programmpaket,

welches die hier gestellten Forderungen erfüllt, ist in

Vorbereitung.

4. Numerische Resultate

Zwei Testbeispiele bestätigen die theoretischen Aussa-

gen über die Unabhängigkeit der Iterationszahl der

Druckiteration von der Feinheit der Diskretisierung. Als

Gebiet Q wurde aus Gründen der Einfachheit ein Recht-

eck gewählt, auf dessem Rand F1 die Verschiebung u

gleich 0 sein soll. Die Vernetzung von Q erfolgte gleich-

durch Rechteckelemente (vgl. Bild l).

Bild l

Für die FEM-Diskretisierung des inkompressiblen Elasti-

zitätsproblems wurden das bilineare Vierknotenrecht-

eckelement für die Verschiebung und das konstante Ele-

ment fiir den Druck verwendet. Letzteres bedeutet, daß

der Druck auf jedem Element konstant und an den Ele-

mentgrenzen unstetig ist. Diese Elementkonstellation ge-

nügt unser Gebiet Q und den gegebenen wesentlichen

Randbedingungen für die Verschiebungen den Forderun-

gen des Punktes 2 (vgl. [16

Als erstes Beispiel wurde ein Problem gerechnet, bei dem

auf den „linken” Rand von Q eine konstante Oberflä-

chenlast einwirkt (vgl. Bild 2).

Bild 2

Zur Anwendung gelangten das UCGV und das UGV. Der

Abbruch der Druckiteration erfolgte, wenn "r "S

61 llro || galt, wobei r bzw. rO den aktuellen bzw. den

Anfangsdefekt bezüglich der Druckgleichung (2.15) und

el eine vorgegebene reelle Zahl bezeichnen. Zur Lösung

30--

Bild 3

61 = 10-3; x — UCGV, A- ucv

II

30.1 3’;

X

K K

- 25

25_'_ 2’;

X X

23

20" x

~ 20

X

>-+—t—t—i——O——‘—OOO—9—O—+——.~

s e 10 12 15 20 ze 30 32 n

Bild4

e1 = 10-4

I

20

i is15 x

x 15 x x

‚1, 11. 14 x

13

10

' 10 1'5 2'0 2'5 3o M

Bilds

61 = 10-4

des Gleichungssysteme Ad = g in jedem Druckiterations-

schritt wurde ein konjugiertes Gradientenverfahren ein-

gesetzt. Die Iterationszahlen der Druckiteration sind aus

den folgenden Diagrammen (Bilder 3 und 4) ablesbar,

wobei auf der Abszisse die Anzahl n = h—1 der Untertei-

lungen jeder Rechteckseite aufgetragen ist. Die Anzahl

der Druckunbekannten ist damit n2, die der Verschie-

bungsparameter 2 (n+ 1)2.

In einem zweiten Beispiel wurden ein Verschiebungsfeld

u und ine Druckfunktion p vorgegeben, so daß divu = 0

und u fpl = 0 erfiillt waren. Die entsprechenden Volu-

menkräfte f und Oberflächenlasten S wurden mittels

(2.1) bestimmt. Der Vergleich der berechneten Nähe-

rungslösung mit der exakten Lösung zeigt, daß bei der

Wahl von 61 = 10—4 der Fehler sich auf den Diskretisie-

rungsfehler beschränkt. Die Iterationszahlen sind wieder

dem folgenden. Diagramm (Bild 5) zu entnehmen.

LITERATUR

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Anschrift der Verfasser:

Dr. rer. nat. Ulrich Langer

Dipl.-Math. Werner Queck

Technische Hochschule Karl-Marx-Stadt

Sektion Mathematik

9010 Karl-Marx-Stadt

PSF 964