27

3 Abbildungen von Funktionsgraphen

In Kapitel 1 dieses Workshops haben wir uns mit der Transformation von geometrischen Figuren im Achsenkreuz beschäftigt: mit Verschiebungen, Spiegelungen, Achsenstreckungen und Drehungen. Der Inhalt von Kapitel 2 waren Funktionen und ihre Graphen. In diesem letzten Kapitel werden nun die beiden Themen zusammengeführt: wir betrachten Transformationen von Funktionsgraphen. Dabei sollen zwei Fragen im Vordergrund stehen: • Welche Transformationen lassen sich mit Funktionsgraphen

durchführen? • Durch welche Funktionsgleichung lässt sich ein transformierter

Graph beschreiben? Um das Thema nicht ausufern zu lassen, werden wir uns zuweilen auf spezielle Transformationen beschränken, bei den Achsenspiegelungen beispielsweise auf Spiegelungen an den Koordinatenachsen und an der ersten Diagonalen.

3.1 Allgemeines Schema

Vektoren und Matrizen zur Charakterisierung von Verschiebungen, Drehungen und Achsenspiegelungen Wie in Kapitel 1 beschrieben, lassen sich Transformationen im Achsenkreuz rechnerisch mit Hilfe von Vektoren und Matrizen beschreiben. Verschiebungen werden durch Vektoren charakterisiert: der Vektor

!v =

!x!y

"#$

%&'

bewirkt eine Verschiebung – beispielsweise eines Punktes – um !x in x-Richtung und um !y in y-Richtung (siehe Abbildung 3.1). Der

Ortsvektor des Bildpunktes ist dann

!x ' =!x +!v .

Abb.3.1: Verschie-bung des Punktes A(3,5|1) zum Punkt A’(7,5|7) mittels des

Vektors

!v =

4

6

!"#

$%&

.

28

Drehungen werden mit Hilfe von Matrizen – Drehmatrizen – beschrieben. Soll ein Punkt um den Winkel ! um den Ursprung gedreht werden, so ist sein Ortsvektor

!x mit der Matrix

M =cos! " sin!sin! cos!

#$%

&'(

zu multiplizieren: der Ortsvektor

!x ' berechnet sich als

!x ' = M !

!x .

Achsenspiegelungen werden ebenfalls mit Hilfe von Matrizen beschrieben; Spiegelungen an der x-Achse beispielsweise durch die Matrix

M =1 0

0 !1"#$

%&'

.

Ist !x der Ortsvektor eines Punktes, so erhält man den Ortsvektor des

gespiegelten Punktes durch !x ' = M !

!x .

Transformationen von Funktionsgraphen Anders als in Kapitel 1 werden nun nicht beliebige Punkte (x|y) transformiert, sondern die Graphen von Funktionen! Damit ist – bei gegebenem Wert von x – der Wert y eindeutig vorgegeben: es ist der zugeordnete Funktionswert der Funktion f: y=f(x). Mit anderen

Worten: wir betrachten die Punkte

x | f x( )( ) des Funktionsgraphen.

Aus den Gesetzen der Transformation lässt sich dann ablesen, wie die jeweilige Funktionsgleichung f(x) transformiert werden muss.

3.2 Verschiebungen

3.2.1 Die Verschiebung von Funktionsgraphen

In Abschnitt 2.2.2 wurde die Scheitelpunktform der Parabel eingeführt. Eine Normalparabel, die so verschoben wird, dass sie den Scheitelpunkt P(p | q) hat, besitzt demnach die

Funktionsgleichung f (x) = (x ! p)2 + q . Beim Ansehen der Gleichung

stellt sich die Frage, warum bei den Vorzeichen von p und q eine (scheinbare) Asymmetrie vorliegt: während bei Verschiebung in Richtung der positiven y-Achse der entsprechende Wert q addiert wird („Höhenruder“), wird bei Verschiebung in Richtung der positiven x-Achse der zugehörige Wert p subtrahiert („Seitenruder“). Dieses Phänomen kann mit Hilfe der vektoriellen Schreibweise erklärt werden. Gegeben sei eine beliebige Funktion f. Die genannte Verschiebung des

Funktionsgraphen wird durch den Vektor

!v =

p

q

!"#

$%&

charakterisiert.

29

Jeder Punkt P(x | y) = P(x | f (x)) des Funktionsgraphen wird dann auf

einen Punkt P '(x ' | y ') abgebildet, für dessen Ortsvektor gilt:

x '

y '

!"#

$%&=

x

y

!"#

$%&+

p

q

!"#

$%&=

x

f (x)

!"#

$%&+

p

q

!"#

$%&=

x + p

f (x) + q

!"#

$%&

.

Der neue (verschobene) Funktionsgraph wird also nicht mehr durch die Zuordnung

x! f (x) beschrieben, sondern durch die Zuordnung

x '! f (x) + q . Um eine korrekte Zuordnungsvorschrift zu erhalten,

muss im Funktionsterm f(x) noch die Variable x durch x’ ersetzt werden. Wegen x’=x+p gilt aber x=x’-p, so dass wir die Zuordnung

x '! f (x '! p) + q erhalten. Im letzten Schritt kann man die Variable

x’ in x umbenennen und erhält die Zuordnung x! f (x ! p) + q . Sie

beinhaltet die oben beschriebene Asymmetrie bezüglich der Vorzeichen in x- und y-Richtung. Satz 3.1 (Verschiebung von Funktionsgraphen) Wird der Graph einer beliebigen Funktion f mit der

Zuordnungsvorschrift f(x) um einen Vektor

!v =

p

q

!"#

$%&

verschoben, so

hat der Graph der verschobenen Funktion !f die Zuordnungsvorschrift

!f (x) = f (x ! p) + q.

Bemerkung zur Schreibweise Die transformierten (hier: verschobenen) Größen haben wir mit einem Strich gekennzeichnet. Konsequenterweise könnte man die Zuordnungsvorschrift des transformierten Funktionsgraphen mit f’(x) und die transformierte Funktion entsprechend mit f’ bezeichnen. Um aber Verwechselungen mit der Ableitungsfunktion zu vermeiden, wählen wir beim Funktionssymbol eine Tilde:

!f , !f (x) .

Als Antwort auf die Frage nach der Asymmetrie der Vorzeichen in x- und y-Richtung lässt sich kurz sagen, dass sie dadurch zustande kommt, dass bereits in der Schreibweise der Funktionsgleichung eine Asymmetrie angelegt ist: die Funktionsgleichung ist nach y aufgelöst: y = f (x) . Durch eine Umstellung der Gleichung wird dies

deutlich. Betrachtet man zum Beispiel die um 2 in x-Richtung und um 5 in y-Richtung verschobene Normalparabel, so erhält man die Funktionsgleichung

!f (x) = (x ! 2)

2+ 5 oder y = (x ! 2)

2+ 5 .

Subtraktion von 5 ergibt unmittelbar: y ! 5 = (x ! 2)2 . Diese

Gleichung ist nicht mehr nach y aufgelöst, und nun steht vor beiden Verschiebungskomponenten ein „-„-Zeichen!

30

3.2.2 Periodische Funktionen

In Kapitel 2.2.5 wurden wichtige trigonometrische Funktionen – die Sinusfunktion, die Kosinusfunktion, die Tangensfunktion – eingeführt. Diese sind periodisch. Wir können nun den Begriff der Periodizität mit Hilfe von Verschiebungen definieren. Definition 3.1 (Periodizität; Periode): Eine Funktion f heißt periodisch, wenn eine reelle Zahl p ! 0

existiert, so dass eine Verschiebung des Funktionsgraphen um den

Vektor

!v =

p

0

!"#

$%&

den Graphen in sich selbst überführt. Für alle Werte x,

x-p der Definitionsmenge muss also gelten: f (x ! p) = f (x) . Die

kleinste positive Zahl p, die diese Gleichung erfüllt, wird dann die Periode der Funktion genannt. Aus den Graphen der Sinusfunktion (Abb. 2.7) und der Kosinusfunktion (Abb. 2.16) ist ersichtlich, dass diese Funktionen periodisch sind: die Funktionswerte sind in Abständen von 360°, 720°, 1080°,… identisch. Der kleinste Wert ist 360°; dies ist also die Periode dieser Funktionen. Die Tangensfunktion (Abb. 2.17) ist ebenfalls periodisch, mit der Periode p=180°. Produkte oder Summen von periodischen Funktionen ergeben wieder periodische Funktionen. Ein Beispiel zeigt die Abbildung 3.2.

Abb. 3.2: Der Graph der Funktion f mit f (x) = sin(x) ! sin(2x)

31

3.3 Achsenspiegelungen

Wir beschränken uns in diesem Abschnitt auf Spiegelungen an der x-

Achse, an der y-Achse und an der Diagonalen y = x .

3.3.1 Achsenspiegelung an der Abszisse

Wie in Kapitel 3.1 bereits erwähnt, wird eine Spiegelung an der Abszisse (x-Achse) durch die Matrix

M =1 0

0 !1"#$

%&'

beschrieben. Betrachten wir nun den Ortsvektor eines Punktes P(x | y) = P(x | f (x))des Graphen einer Funktion f, so ergibt die

Transformation den Bildpunkt P '(x ' | y ')mit dem Ortsvektor

x '

y '

!"#

$%&=1 0

0 '1!"#

$%&

x

f (x)

!"#

$%&=

x

' f (x)!"#

$%&

.

Es gilt also der Satz 3.2 (Spiegelungen an der Abszisse) Wird der Graph einer beliebigen Funktion f an der Abszisse gespiegelt, so hat der Graph der gespiegelten Funktion

!f die

Zuordnungsvorschrift !f (x) = ! f (x) .

Ein Beispiel zeigt Abbildung 3.3.

3.3.2 Achsenspiegelung an der Ordinate

Achsenspiegelungen an der Ordinate (y-Achse) werden durch die Matrix

M =!1 0

0 1

"#$

%&'

vermittelt. Wendet man die Transformation auf die Ortsvektoren von Punkten an, die auf dem Graphen einer Funktion f liegen, so erhält man:

x '

y '

!"#

$%&=

'1 0

0 1

!"#

$%&

x

f (x)

!"#

$%&=

'xf (x)

!"#

$%&

,

d. h. im gespiegelten Funktionsgraph wird –x auf f(x)

abgebildet: !x! f (x) . Anders ausgedrückt ergibt sich:

x! f (!x) .

32

Satz 3.3 (Spiegelungen an der Ordinate) Wird der Graph einer beliebigen Funktion f an der Ordinate gespiegelt, so hat der Graph der gespiegelten Funktion

!f die

Zuordnungsvorschrift !f (x) = f (!x) .

Ein Beispiel ist wiederum in Abb. 3.3 zu sehen.

Abb. 3.3: Beispiel für die Spiegelung eine Funktionsgraphen an Abszisse und Ordinate. Die ursprüngliche Funktion f (durchgezogener Graph) hat die Zuordnungsvorschrift f(x)=3x!+10x+11. Eine Spiegelung an der Abszisse ergibt den Graphen der Funktion g mit g(x)=-f(x)=-3x!-10x-11 (gestrichelt). Eine Spiegelung an der Ordinate ergibt den Graphen der Funktion h mit h(x)=f(-x)=3x!-10x+11 (gepunktet). Spiegelsymmetrie bzgl. der y-Achse. Manche Funktionsgraphen haben die Eigenschaft, spiegelsymmetrisch zur y-Achse zu sein; ein Beispiel zeigt die Abbildung 3.4.

Abb. 3.4: Beispiel für einen Funktionsgraphen, der spiegelsymmetrisch zur Ordinate ist. Es handelt sich um die Funktion f mit f(x)=x

4-3x!-

2.

33

Definition 3.2 (Spiegelsymmetrie bzgl. der y-Achse): Eine Funktion heißt spiegelsymmetrisch bezüglich der y-Achse, wenn sie die Funktionalgleichung f(x)=f(-x) erfüllt. Satz 3.4 (Spiegelsymmetrie ganzrationaler Funktionen) Eine ganzrationale Funktion ist spiegelsymmetrisch bezüglich der y-Achse, wenn der Funktionsterm nur Summanden mit geradzahligen Exponenten enthält. Aufgabe: Zeigen Sie am Beispiel der Funktion aus Abbildung 3.4, dass dieser Satz gilt. Formulieren Sie den Grund dafür!

3.3.3 Spiegelungen an der Diagonalen y=x; Umkehrfunktionen

Abbildung 3.5 zeigt den Graphen der Funktion f mit f(x)=x" und sein Spiegelbild bezüglich der Diagonalen y=x.

Abb. 3.5: Der Graph der Funktion f mit f(x)=x" (durchgezogen) und seine Spiegelung an der Diagonalen (Diagonale: gestrichelt; gespiegelter Graph: gepunktet). Der gespiegelte Graph stellt die Umkehrfunktion zu f dar; seine Zuord-

nungsvorschrift ist f !1(x) = x3 .

Die Spiegelung wird durch die Matrix

M =0 1

1 0

!"#

$%&

34

beschrieben. Der Ortsvektor eines Punktes P(x | f (x)) eines

Funktionsgraphen wird durch die Spiegelung folgendermaßen transformiert:

x '

y '

!"#

$%&=0 1

1 0

!"#

$%&

x

f (x)

!"#

$%&=

f (x)

x

!"#

$%&

.

Das bedeutet anschaulich, dass der Punkt P(x | f (x)) auf den Punkt

P '(x | f (x)) transformiert wird, dessen Koordinaten gegenüber denen

von P vertauscht sind. In Abbildung 3.5 ist der transformierte Graph wiederum der Graph einer Funktion; wir nennen sie die Umkehrfunktion zu f und

bezeichnen sie mit dem Symbol f

!1 . Es ist wichtig zu wissen, dass

nicht zu jeder Funktion eine Umkehrfunktion existiert: Abb. 3.6 zeigt als Beispiel die Spiegelung des Graphen der Funktion mit f(x)=x! an der Diagonalen.

Abb. 3.6: Der Graph der Funktion f mit f(x)=x! (durchgezogen) und seine Spiegelung an der Diagonalen (Diagonale: gestrichelt; gespiegelter Graph: gepunktet). Der gespiegelte Graph stellt keinen Graphen einer Funktion dar, da für x>0 jedem x zwei Werte zugeordnet werden.

In solchen Fällen kann man eine Umkehrfunktion erhalten, indem man den Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion einschränkt. Im Falle der Normalparabel beispielsweise auf die Menge der nichtnegativen Zahlen (d. h. x ! 0 ). Spiegelt man den entsprechenden Zweig der Normalparabel, so ist der entstehende Graph der Graph der

Funktion f –1 mit f

!1(x) = + x .

35

Definition 3.3 (Umkehrbarkeit einer Funktion; Umkehrfunktion): Eine Funktion

f : x! y mit der Definitionsmenge D und der

Wertemenge W heißt umkehrbar, falls es zu jedem y !W nur ein

x !D mit f(x)=y gibt. Ist eine Funktion f umkehrbar, so ist die umgekehrte Zuordnung

y! x eine Funktion. Sie heißt

Umkehrfunktion von f und wird mit f

!1 bezeichnet. Den Graphen

der Umkehrfunktion erhält man durch Spiegelung des Graphen von f an der Diagonalen y=x.

Rezept zur Bestimmung der Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion f

!1 zu einer umkehrbaren Funktion f lässt sich in

drei Schritten ermitteln: 1. Bestimme die Wertemenge von f; es ist gleichzeitig die

Definitionsmenge von f

!1 .

2. Löse die Gleichung y=f(x) nach x auf. Man erhält die Zuordnungsvorschrift der Umkehrfunktion: x = f

!1(y) .

3. Vertausche die Namen der Variablen x und y: y = f!1(x) .

Auf diese Weise erhält man beispielsweise aus dem Term f(x)=x" den

Term der Umkehrfunktion, f !1(x) = x3 .

Logarithmusfunktionen Die in Kapitel 2.2.6 eingeführten Exponentialfunktionen sind umkehrbar. Ihre Umkehrfunktionen werden als Logarithmusfunktionen bezeichnet. Definition 3.4 (Logarithmusfunktionen): Die Funktion f sei eine Exponentialfunktion zur Basis a, d. h. es sei

f (x) = ax . Dann ist f umkehrbar; die Umkehrfunktion

f!1 wird als

Logarithmusfunktion zur Basis a bezeichnet; man schreibt f !1(x) = loga x . Der Definitionsbereich der

Logarithmusfunktion entspricht dem Wertebereich der Exponentialfunktion, also den positiven reellen Zahlen. Definition 3.6 (Natürliche Logarithmusfunktionen): Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion mit der Zuordnungsvorschrift f (x) = e

x wird als natürliche Logarithmus-

funktion bezeichnet. Die Zuordnungsvorschrift wird mit f !1(x) = ln x

abgekürzt. Abbildung 3.7 zeigt die natürliche Exponentialfunktion und die natürliche Logarithmusfunktion.

36

Abb. 3.7: Die Graphen der natürlichen Exponentialfunktion (durchgezogen) und der natürlichen Logarithmusfunktion (gepunktet).

3.4 Achsenstreckungen

Wir betrachten Streckungen von Funktionsgraphen in x- bzw. y-

Richtung und beschäftigen uns wiederum mit der Frage, wie sich der Funktionsterm des neu entstehenden Funktionsgraphen aus dem Term der ursprünglichen Funktion berechnen lässt. Abbildung 3.8 zeigt als Beispiel zwei Streckungen einer verschobenen Normalparabel, und zwar jeweils um den Faktor 2. Streckungen in x-Richtung Eine Streckung in x-Richtung um den Faktor a wird durch die Matrix

M =a 0

0 1

!

"#$

%&

vermittelt. Der Ortsvektor eines Punktes P(x | f (x)) des Graphen einer

Funktion f wird dann folgendermaßen transformiert:

x '

y '

!

"#$

%&=

a 0

0 1

!

"#$

%&x

f (x)

!

"#$

%&=

ax

f (x)

!

"#$

%&.

37

Abb. 3.8: Streckungen der verschobenen Normalparabel mit f (x) = (x !1)

2+1 (durchgezogen). Der Scheitelpunkt der

Parabel ist der Punkt P(1|1). Gestrichelt: Streckung des Graphen von f um den Faktor b=2 in y-Richtung. Die gestreckte Parabel hat die Gleichung g(x) = 2((x !1)2 +1) ; es

ist zu beachten, dass auch der Scheitelpunkt sich geändert hat. Gepunktet: Streckung des Graphen von f um den Faktor a=2 in x-Richtung. Die gestreckte Parabel hat die

Gleichungh(x) = (x

2!1)

2+1; auch hier hat sich der

Scheitelpunkt gegenüber dem des Graphen von f verschoben.

Die transformierte Funktion

!f bildet also x’=ax auf f(x)

ab: !f : ax" f (x) . Dem entspricht wegen x =

x '

a die

Abbildung

!f : x '" f (x '

a) . Eine Umbenennung der Variablen x’ in x

liefert dann die neue Zuordnungsvorschrift:

!f (x) = f (x

a) .

Satz 3.5 (Streckung in x-Richtung) Wird der Graph einer beliebigen Funktion f in x-Richtung um den Faktor a gestreckt, so hat der Graph der gestreckten Funktion

!f die

Zuordnungsvorschrift

!f (x) = f (x

a) .

Streckungen in y-Richtung Eine Streckung in y-Richtung um den Faktor b wird durch die Matrix

38

M =1 0

0 b

!

"#$

%&

vermittelt. Der Ortsvektor eines Punktes P(x | f (x)) des Graphen einer

Funktion f wird dann folgendermaßen transformiert:

x '

y '

!

"#$

%&=

1 0

0 b

!

"#$

%&x

f (x)

!

"#$

%&=

x

bf (x)

!

"#$

%&.

Die transformierte Funktion

!f bildet also x’=x auf bf(x)

ab: !f : x" bf (x) . Dem entspricht wegen x ' = x die

Abbildung !f : x '" bf (x ') . Eine Umbenennung der Variablen x’ in x

liefert dann die neue Zuordnungsvorschrift: !f (x) = bf (x) .

Satz 3.6 (Streckung in y-Richtung) Wird der Graph einer beliebigen Funktion f in y-Richtung um den Faktor b am Ursprung des Koordinatensystems gestreckt, so hat der Graph der gestreckten Funktion

!f die

Zuordnungsvorschrift !f (x) = bf (x) .

3.5 Zentrische Streckungen

Es ist möglich (wenn auch eher ungebräuchlich), mit Funktionsgraphen zentrische Streckungen am Koordinatenursprung durchzuführen. Der Streckfaktor soll dabei in x- und y-Richtung identisch sein; er wird hier mit k bezeichnet. Man erhält die Transformationsgleichung für die Funktionsvorschrift, indem man die in Abschnitt 3.4 beschriebenen Streckungen kombiniert. Eine Streckung in x-Richtung und in y-Richtung um den Faktor k wird durch die Matrix

M =k 0

0 k

!

"#$

%&

vermittelt. Der Ortsvektor eines Punktes P(x | f (x)) des Graphen einer

Funktion f wird dann folgendermaßen transformiert:

x '

y '

!

"#$

%&=

k 0

0 k

!

"#$

%&x

f (x)

!

"#$

%&=

kx

kf (x)

!

"#$

%&.

39

Die transformierte Funktion !f bildet also x’=kx auf kf(x)

ab: !f : kx" kf (x). Dem entspricht wegen

x =x '

k die

Abbildung

!f : x '" kf (x '

k). Eine Umbenennung der Variablen x’ in x

liefert dann die neue Zuordnungsvorschrift:

!f (x) = kf (x

k).

Satz 3.7 (Zentrische Streckung) Wird der Graph einer beliebigen Funktion f in x-Richtung um den Faktor a und in y-Richtung um den Faktor b am Ursprung des Koordinatensystems gestreckt, so hat der Graph der gestreckten

Funktion !f die Zuordnungsvorschrift

!f (x) = bf (x

a).

3.6 Drehungen

Ebenso wie bei den Spiegelungen an der Diagonalen y = x kann auch

beim Drehen von Funktionsgraphen die Funktionseigenschaft durch die Transformation verloren gehen: bei einem gedrehten Graphen wird i. A. nicht mehr jedem Wert x genau ein Funktionswert zugeordnet. Wir werden uns deshalb in diesem Abschnitt nur einem Spezialfall widmen: der Drehung um den Ursprung um 180°. Es gilt: Eine solche Drehung entspricht einer Punktspiegelung am Ursprung. Drehungen um 180° werden durch die in Kapitel 3.1 genannte Drehmatrix mit !=180° beschrieben, also durch die Matrix

M =!1 0

0 !1"#$

%&'

.

Der Ortsvektor eines Punktes P(x | f (x))wird damit folgendermaßen

transformiert:

x '

y '

!"#

$%&=

'1 0

0 '1!"#

$%&

x

f (x)

!"#

$%&=

'x' f (x)

!"#

$%&

.

Der gedrehte Graph ist der einer Funktion

!f mit der

Abbildungsvorschrift x '! ! f (x) . Wegen x ' = !x kann man die

Abbildungsvorschrift auch als x '! ! f (!x ') oder – nach

Umbenennung von x’ in x – als x! ! f (!x) . Damit gilt:

Satz 3.8 (Punktspiegelung am Ursprung)

40

Eine Punktspiegelung am Ursprung überführt den Graphen einer beliebigen Funktion f mit y=f(x) in den Graphen der Funktion

!f

mit !f (x) = ! f (!x) .

Punktsymmetrie bzgl. des Ursprungs

Abb. 3.9 zeigt den Graphen der Funktion f mit f x( ) = x3

. Es ist

erkennbar, dass eine Rotation um 180° ihn in sich selbst überführt. Definition 3.6 (Punktsymmetrie bzgl. des Ursprungs): Eine Funktion heißt punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs,

wenn sie die Funktionalgleichung f x( ) = ! f !x( )erfüllt.

Satz 3.7 (Punktsymmetrie ganzrationaler Funktionen) Eine ganzrationale Funktion ist punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs, wenn sie nur Summanden mit ungeradzahligen Exponenten enthält. Aufgabe: Zeigen Sie, dass die in Abb. 3.9 dargestellte Funktion punktsymmetrisch ist. Überlegen Sie anschließend, warum Satz 3.7 gilt.

Abb. 3.9: Der Graph der Funktion f mit f(x)=x".