3º bimestre Gabarito - Amazon Web Services · 2019-03-13 · Material Digital do Professor...

Material Digital do Professor

Matemática – 7º ano

3º bimestre – Gabarito

1. Amanda, Breno e Carlos criaram um jogo e, para brincar, construirão peças em formato de triângulos. Os três fizeram algumas sugestões:

• Amanda: sugeriu que cada triângulo tenha lados de medidas 2 cm, 4 cm e 8 cm;

• Breno sugeriu que os ângulos internos do triângulo sejam 45°, 60° e 90°;

• Carlos sugeriu que cada peça tenha um lado de medida 4 cm e dois ângulos internos de 60°.

Utilizando régua e compasso, como serão construídas as peças de Amanda, Breno e Carlos? Se alguma não puder ser construída, por que isso acontece?

Objeto(s) de conhecimento

Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos

Habilidade (EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

Tipo de questão Aberta Unidade 5

Grade de correção

100%

Identifica-se que o triângulo proposto por Amanda não pode ser construído, pois a soma das medidas de dois dos lados (2 cm e 4 cm) é menor que a medida do terceiro lado (8 cm). O triângulo proposto por Breno também não pode ser construído, pois a soma da medida dos ângulos internos é maior que 180° (45° + 60° + 90° = 195°). O triângulo proposto por Carlos possui dois dos ângulos internos que medem 60°, a soma de suas medidas é 120°, e, assim, o terceiro ângulo interno deve medir 60°. Portanto, conclui-se que esse triângulo é equilátero e todos os seus lados deverão medir 4 cm. Para construir o triângulo de Carlos, traça-se um segmento de reta AB que mede 4 cm. Coloque a ponta-seca do compasso em um dos vértices do segmento e a outra ponta no outro vértice e trace um arco com mais de 90˚. Em seguida, faça o mesmo procedimento com o outro vértice do segmento. O ponto de encontro entre os arcos será o ponto C. Trace os dois segmentos de reta: um unindo os pontos A e C e também os pontos B e C. Assim, obtém-se o triângulo proposto por Carlos. O aluno pode tanto descrever o processo de construção como realizá-lo para acertar a questão.

50%

Identifica-se que não é possível construir os triângulos propostos por Amanda e Breno pois, no caso da Amanda, a soma de dois lados do triângulo é menor que o comprimento de um terceiro lado (4 cm + 2 cm < 8 cm) e, no caso de Breno, a soma dos ângulos internos do triângulo é maior que 180°. Em seguida, conclui-se que o triângulo proposto por Carlos terá 3 ângulos internos com 60°, será equilátero e todos os lados medirão 4 cm. Contudo, não constrói o triângulo proposto por Carlos.

0% Observa-se que é possível construir os triângulos propostos por Amanda ou Breno e constrói-se, de forma incorreta, os três triângulos propostos, sem verificar se a sua construção é possível.




Orientações sobre como interpretar as

respostas e reorientar o planejamento com base

nos resultados

O aluno que considera possível construir os triângulos propostos por Amanda ou Breno pode ter dificuldades em compreender as condições de existência de um triângulo ou a propriedade da soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo. O aluno que não constrói o triângulo proposto por Carlos pode não ter experiências suficientes ou apresenta dificuldades em realizar construções geométricas. Para desenvolver a habilidade proposta, leve para a sala de aula pedaços de barbante de diversos tamanhos e proponha a construção de triângulos. Por exemplo, pegue três barbantes: um com 1 m, um com 30 cm e outro com 40 cm (ou qualquer outra combinação em que a soma dos dois últimos seja menor que 90 cm, pois o barbante pode se esticar) e peça aos alunos que construam um triângulo com os três pedaços de barbante. Esclareça que a condição de existência dos triângulos não permite que um triângulo com esses lados seja construído. Utilize também o barbante como compasso para a construção de possíveis triângulos. Reproduza a situação-problema com o barbante e, em seguida, peça aos alunos que construam outros triângulos.




2. No planejamento de um ambiente, uma designer está projetando uma decoração específica, com um sofá em formato de triângulo equilátero, que será posicionado no canto de uma sala retangular, conforme mostra a imagem.

Avits Estúdio Gráfico/Arquivo da editora

Quais são as medidas dos ângulos �̂� e �̂� definidos pelo sofá?


Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero

Habilidade (EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.


Grade de correção

100%

Observa-se que, por ser triângulo equilátero, cada um de seus ângulos internos

medem

180˚

3= 60˚.

Nota-se que �̂� é ângulo externo de um triângulo com ângulo interno de 60°; logo, mede 180° − 60° = 120°. Finalmente, �̂� será o complemento de um ângulo interno do triângulo; logo, �̂� = 90° − 60° = 30°.

50% Encontra-se a medida dos ângulos internos do triângulo, mas não os ângulos pedidos no enunciado.

0%

Não se identifica ângulo nenhum. Além disso, há a possibilidade de o aluno não

identificar o ângulo �̂� como suplementar ou ângulo externo do triângulo equilátero e, possivelmente, também não identificar que o ângulo �̂� é complementar a um dos ângulos internos do triângulo equilátero.



nos resultados

O aluno que não interpreta como os ângulos �̂� e �̂� estão inseridos na figura pode estar com dificuldades na compreensão dos conceitos de ângulos complementares e suplementares. O aluno que não souber o valor dos ângulos internos do triângulo pode não compreender que polígonos regulares possuem todos os ângulos internos congruentes, ou seja, com a mesma medida. Para auxiliar no desenvolvimento da habilidade de calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, é possível pedir aos alunos que desenhem polígonos regulares em uma malha quadriculada e recortem os ângulos dos vértices. Com isso, eles poderão sobrepor esses ângulos e verificar que são congruentes e, assim, calcular a soma desses ângulos.




3. A professora pediu a seus alunos que desenhassem e pintassem, no caderno, a bandeira do estado de Minas Gerais, que é composta de um retângulo branco, um triângulo equilátero vermelho e a frase em latim LIBERTAS QUÆ SERA TAMEN, que em português significa “Liberdade ainda que tardia”.

Wikipedia/Wikimedia Commons

Descreva como é possível desenhar o triângulo equilátero da bandeira usando lápis, compasso e régua, sabendo que o lado do triângulo deverá ter medida de lado igual a 4 cm.


Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero

Habilidade (EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.


Grade de correção

100%

O aluno descreve que é preciso fazer um segmento de 4 cm e depois colocar a ponta-seca do compasso em um vértice do segmento e a outra ponta do compasso no outro vértice e, em seguida, traçar um arco. Depois, deve ser realizado o mesmo procedimento para o outro vértice do segmento. O ponto de encontro dos arcos será o outro vértice do triângulo. Assim, usando o lápis e a régua, o aluno deve traçar os dois segmentos que ligam os vértice do segmento inicial com o ponto de intersecção dos arcos.

50% O aluno consegue desenhar um triângulo equilátero, mas não descreve sua construção.

0% O aluno desenha um triângulo que não é equilátero ou qualquer outro polígono.



nos resultados

O aluno que apresentar dificuldade em resolver este problema pode não estar familiarizado com o conceito de triângulo equilátero ou, ainda, não ter experiência ou conhecimento suficientes sobre a construção de triângulos utilizando régua e compasso. Para desenvolver a habilidade proposta, desenhe um triângulo equilátero explicando cada processo. Ao mesmo tempo, peça aos alunos que criem um roteiro, com as próprias palavras, para realizar essa construção. Em seguida, proponha aos alunos que troquem seus roteiros e construam o triângulo de acordo com as instruções descritas.




4. Bárbara e quatro amigas estão brincando de acertar argolas em uma garrafa. Para isso, as amigas se posicionaram ao redor da garrafa, de modo que a distância entre cada uma delas e a garrafa é a mesma. Os pontos A, B, C, D e E representam as posições de cada menina, e o ponto O representa a garrafa.

Avits Estúdio Gráfico/Arquivo da editora i

Construa uma circunferência que passe pelos pontos que representam todas as amigas.


A circunferência como lugar geométrico

Habilidade (EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.


Grade de correção

100% O aluno, utilizando um compasso, coloca a ponta-seca no ponto O e abre a outra ponta até tocar em um dos outros pontos. Com essa abertura, constrói a circunferência que passa por todos os outros pontos e está centrada no ponto O.

50% O aluno compreende que o centro da circunferência é o ponto O, porém esboça uma circunferência sem utilizar o compasso.

0% O aluno não constrói uma circunferência que passa pelos pontos corretos.


respostas e reorientar o planejamento com base nos resultados

O aluno que apresenta dificuldades em resolver esta questão pode não saber utilizar o compasso corretamente ou não compreender que a circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos do plano que estão à mesma distância de um centro O. Para desenvolver a habilidade de construir circunferências, trabalhe o uso do compasso em sala de aula, enfatizando a obtenção do centro da circunferência quando se tem a referência de dois pontos diametralmente opostos. Esclareça que todos os pontos dessa circunferência estão à mesma distância do centro O.




5. A figura geométrica abaixo foi construída com arcos de circunferências de mesmo raio.


Quais as simetrias presentes na figura?


Simetrias de translação, rotação e reflexão

Habilidade

(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.


Grade de correção

100% O aluno identifica que a figura só possui simetria de rotação, pois um giro de 180° em relação ao centro faz com que a figura seja idêntica.

50% O aluno identifica que há simetria quando gira a figura em 180°, mas não consegue nomeá-la corretamente.

0% O aluno afirma que não há simetria na imagem ou que há alguma simetria diferente da correta.



O aluno que apresenta dificuldades em responder a essa questão pode não saber reconhecer uma simetria ou, ainda, não conseguir identificar as diferentes simetrias em uma figura. Para desenvolver essa habilidade, leve para a sala de aula desenhos simétricos em folhas de papel e peça aos alunos que os copiem em papel vegetal. Feito isso, oriente-os a dobrar e rotacionar as folhas, de modo que possam verificar a presença de simetria e identificar se correspondem à simetria axial, de rotação ou de translação ou se não há simetria. Proponha aos alunos uma pesquisa para que descubram as simetrias na natureza e, em seguida, identifiquem-nas.




6. Miguel construiu um octógono a partir dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H.


Em seguida, multiplicou cada uma das coordenadas por 2 e obteve uma nova figura. Qual é essa figura e como é a sua representação no plano cartesiano? (Faça a representação no plano cartesiano dessa questão)





Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem

Habilidade (EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.


Grade de correção

100%

Observa-se que, ao multiplicar todas as coordenadas por 2, a forma da figura não foi alterada, ou seja, continua um octógono, porém o polígono ficou maior.


50% O aluno identifica que a figura obtida por Miguel é um octógono ampliado, mas erra a representação no plano.

0% O aluno marca vários pontos no plano cartesiano diferentes dos obtidos pela multiplicação de cada uma das coordenadas por 2 e não identifica que a figura obtida é um octógono.



nos resultados

O aluno que apresenta dúvidas em resolver essa questão pode estar com dificuldades na identificação dos pontos no plano cartesiano e no conceito de transformação de figuras mediante a alteração desses pontos. Para desenvolver a habilidade proposta, utilize uma malha quadriculada e peça aos alunos que desenhem os eixos cartesianos e também um polígono qualquer, com vétices em pontos do plano. Depois, peça aos alunos que troquem as folhas entre si. Feito isso, direcione para que desenhem uma figura simétrica à que está na folha. Pergunte aos alunos quais alterações precisam ser feitas na figura original para que se obtenha uma figura simétrica.




7. Os vértices do triângulo abaixo são A(0, 1), B(1, 0) e C(2, 3).


Como seria a representação, no plano cartesiano, dos três triângulos simétricos ao original: um em relação à origem, um em relação ao eixo das abscissas e outro em relação ao eixo das ordenadas? (Faça a representação no plano dessa questão)





Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem

Habilidade (EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.


Grade de correção

100%

O aluno representa o triângulo simétrico em relação à origem, cujos vértices estão nas coordenadas A’(−1,0), B’(0, −1) e C’’(−2,−3); em relação ao eixo das abscissas, cujo simétrico tem coordenadas A(1,0), B’(0,−1) e C’’ (2,−3); e em relação ao eixo das ordenadas, cujo simétrico tem coordenadas A’(−1,0), B(0,1) e C’(−2,3).


50% O aluno representa corretamente apenas uma das simetrias pedidas.

0% O aluno não consegue identificar nenhuma simetria.



O aluno que apresenta dificuldade em responder a essa questão pode não compreender o que significa simetria em relação ao eixo das abcissas e das ordenadas ou, ainda, não conseguir diferenciar os eixos. Para desenvolver essa habilidade, oriente os alunos a desenhar um plano cartesiano e em seguida identificar os eixos das abscissas e das ordenadas para então desenhar um polígono dentro de um único quadrante. Depois, faça com eles a localização de cada um dos pontos simétricos aos vértices do polígono em relação aos eixos. Solicite que identifiquem qual foi a simetria obtida.




8. Uma mulher que respira cerca de 20 vezes por minuto inala, em cada respiração, 0,3 litro de ar. Essa relação, da quantidade de ar inalado na respiração de uma mulher em decorrência do tempo, pode ser expressa pela sentença algébrica y = kx, em que y é a quantidade de ar, em litros; x é o tempo de inalação, em minutos; e k é uma constante.

Qual é o valor da constante k e qual é a quantidade aproximada de ar, em litros, que uma mulher respira em 45 minutos?

a) k = 6; 270 litros.

b) k = 6; 360 litros.

c) k = 13,5; 270 litros.

d) k = 13,5; 360 litros.


Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

Habilidade (EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

Tipo de questão Múltipla escolha Unidade 6

Justificativas

a

De acordo com o texto, como uma mulher respira cerca de 20 vezes por minuto e inala 0,3 litro de ar a cada respiração; em 1 minuto, são inalados 0,3 ∙ 20 = 6 litros de ar. Portanto, o valor da constante k é 6. Com o aumento do tempo, a quantidade de ar inalado também vai aumentar, portanto temos duas grandezas diretamente proporcionais. Então, a quantidade de ar inalada pela mulher em 45 minutos é

y = 6 ∙ 45, então y = 270 litros.

b O aluno considera o produto entre a quantidade de ar aspirada pela mulher em 1 minuto e o volume aspirado e ainda multiplica por 60, pois considera equivocadamente o tempo, obtendo y = 20 ∙ 60 ∙ 0,3 = 360 litros.

c O aluno calcula corretamente a quantidade de ar aspirada, mas não entende como calcular a constante k e a define como k = 0,3 ∙ 45 = 13,5.

d Além de calcular y = 20 ∙ 60 ∙ 3 = 360 litros, o aluno calcula k de forma independente, obtendo k = 0,3 ∙ 45 = 13,5.



O aluno que não desenvolveu a solução de forma adequada pode estar com dificuldades em compreender os conceitos e a problematização de grandezas diretamente proporcionais. Retome o conceito por meio de outras situações-problema. Em seguida, peça aos alunos sugestões de situações em que a proporcionalidade possa ser identificada.




9. Marina geralmente demora 2 horas para realizar uma viagem com seu carro a uma velocidade constante de 60 km/h. Imagine que Paulo realizará a mesma viagem, com o carro de Marina, mas desenvolverá uma velocidade constante de 75 km/h.

Em quanto tempo Paulo realizará a viagem?

a) 1 hora e 06 minutos.

b) 1 hora e 36 minutos.

c) 2 horas e 05 minutos.

d) 2 horas e 30 minutos.


Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

Habilidade (EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.


Justificativas

a

O aluno considera que a velocidade do carro e o tempo gasto na viagem são grandezas inversamente proporcionais, mas realiza, de forma equivocada, a conversão de um número decimal que representa o tempo em horas e minutos. Assim, considera que a constante k é k = x ∙ y = 60 ∙ 2 = 120 e que Paulo, ao desenvolver uma velocidade de 75 km/h com o carro de Marina, demorará 75x = 120 então x = 1,6 h = 1 hora e 06 minutos.

b

O aluno que marca esta alternativa considera que a velocidade do carro e o tempo gasto na viagem são grandezas inversamente proporcionais. Assim, como em uma velocidade de 60 km/h Marina demora 2 horas, o problema pode ser modelado por meio de uma constante k = x ∙ y = 60 ∙ 2 = 120. Logo, ao desenvolver uma velocidade de 75 km/h com o carro de Marina, Paulo demorará:

75x = 120 então x = 1,6 h = 1 hora e 36 minutos.

c

O aluno considera que a velocidade do carro e o tempo gasto na viagem são grandezas diretamente proporcionais e realiza, de forma equivocada, a conversão de um número decimal que representa o tempo em horas e minutos. Assim, como a uma velocidade de 60 km/h Marina demora 2 horas, a constante k é y = k ∙ x; então, k = 30, e Paulo, ao desenvolver uma velocidade de 75 km/h com o carro de Marina, demorará 75 = 30 ∙ x , ou seja, x = 2,5 h = 2 horas e 05 minutos.

d

O aluno considera que a velocidade do carro e o tempo gasto na viagem são grandezas diretamente proporcionais. Assim, como a uma velocidade de 60 km/h Marina demora 2 horas, a constante k é y = k ∙ x; então, k = 30, e Paulo, ao desenvolver uma velocidade de 75 km/h com o carro de Marina, demorará 75 = 30 ∙ x, ou seja, x = 2,5 h = 2 horas e 30 minutos.

Orientações sobre comointerpretar as


nos resultados

O aluno que considera a velocidade e o tempo grandezas diretamente proporcionais demonstra dificuldades em compreender a proporcionalidade direta e inversa de duas grandezas. Além disso, podemos encontrar equívocos como 1,6 h = 1 hora e 06 minutos ou 2,5 h = 2 horas e 05 minutos. Esses casos refletem a dificuldade dos alunos em realizar a conversão de um número decimal que representa o tempo em horas e minutos. Para auxiliar no desenvolvimento desses cálculos, peça aos alunos que marquem quanto tempo levam no trajeto de casa até a escola e, com a ajuda dos familiares, estimem a distância percorrida. Com esses dados na sala de aula, oriente-os a trabalhar em duplas e calcular quanto tempo o colega demoraria para percorrer a distância da casa do aluno até a escola e, em seguida, mude os valores da velocidade e verifique o que acontece com o valor para o tempo. Auxilie-os na elaboração de perguntas e respostas desse tipo, de modo a trabalhar a relação entre as grandezas.




10. Mônaco é um lugar conhecido por ser densamente povoado. Os dados de 2017 indicavam que a população era de 30 645 pessoas e sua área territorial era de 2,02 quilômetros quadrados.

Qual era a densidade demográfica aproximada de Mônaco em 2017?

a) 13 804 hab/km²

b) 13 930 hab/km²

c) 15 171 hab/km²

d) 15 323 hab/km²


Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador

Habilidade

(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a

fração 2

3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma

ou três partes de outra grandeza.

Observações Trabalhar apenas a ideia de razão (densidade demográfica etc.).


Justificativas

a O aluno confunde-se e calcula a área como 2,22 km² em vez de 2,02 km². Assim, ao calcular a razão entre 30 645 e 2,22, obtém, aproximadamente, o valor 13 804 hab/km².

b O aluno se confunde e calcula a área como 2,2 km² em vez de 2,02 km². Assim, ao calcular a razão entre 30 645 e 2,2, obtém, aproximadamente, o valor 13 930 hab/km².

c O aluno entende que a densidade demográfica é a razão entre a população e a área.

Assim, calcula que a densidade de Mônaco em 2017 era de 30 645

2,02≅ 15 171 hab/km².

d O aluno considera a área como 2 km². Assim, calcula 30 645 dividido por 2 e obtém, aproximadamente, o valor 15 323 hab/km².



O aluno que apresenta dúvidas em responder a essa questão pode ter dificuldades no processo de divisão que envolve números decimais ou, ainda, pode ter cometido algum erro ao interpretar o enunciado. Para desenvolver essa habilidade, proponha divisões simples envolvendo números decimais e, gradualmente, aumente a dificuldade. Em seguida, escreva situações e peça aos alunos que interpretem e calculem o que foi pedido.

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