3 Dynamik Seite: 291 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure CD-ROM zum Buch Prof. Dr.-Ing....

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Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure

CD-ROM zum Buch

Prof. Dr.-Ing. habil. Ulrich GabbertDr.-Ing. Ingo Raecke

Otto-von-Guericke-Universität MagdeburgInstitut für Mechanik

e-mail: [email protected] www.uni-magdeburg.de/ifme

TechnischeMechanikfür Wirtschaftsingenieure

Ulrich GabbertIngo Raecke

3 DynamikStartseite

Eine PowerPointPräsentation

mit Animationenin Text und Bildzur Vermittlung

und Veranschaulichungder Grundkenntnisse

in derTechnischen Mechanik

Ende?

3 DynamikSeite: 2


Alle auf der beiliegenden CD-ROM enthaltenen Programme, Verfahren und Bilder wurden nach bestem Wissen erstellt und mit Sorgfalt getestet. Dennoch sind Fehler nicht ganz auszuschließen. Aus diesem Grunde ist das vorliegende Programm-Material mit keiner Verpflichtung oder Garantie irgendeiner Art verbunden. Autoren und Verlag übernehmen infolgedessen keine Verantwortung oder Garantie und werden keine daraus folgende oder sonstige Haftung übernehmen, die auf irgendeine Art aus der Benutzung dieses Programm-Materials oder Teilen davon entsteht.

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt.

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Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag© 2003 Carl Hanser Verlag München Wienwww.fachbuch-leipzig.hanser.de

3 DynamikSchutzrechte

Ende?

3 DynamikSeite: 3


3 DynamikHilfe

Beachte: Beim erstmaligen Aufruf einer Seite (über das Inhaltsverzeichnis bzw. bei gesetzten Sprüngen oder der gezielten An-wahl einer Seite mit: PowerPoint Foliennummer <n> und Eingabetaste) erscheint nur der von den Autoren vorgesehene Start-inhalt der Seite. Es kann somit das angewählte Kapitel oder das Ziel eines gesetzten Sprungs erst weiter unten auf der Seite nach einigen Animationen erscheinen.

Weitere nützliche Funktionen:• Im Inhaltsverzeichnis kann man durch Positionierung des Mauszeigers auf eine Kapitelzeile und einem Klick (linke Taste)

direkt zu der Seite mit dem angewählten Kapitel gelangen (gesetzter Sprung). Das aktuelle Hauptkapitel (1 Statik, 2 Festigkeitslehre bzw. 3 Dynamik) und die aktuelle Seite (bis auf die Statik nicht identisch mit der Foliennummer) erscheint immer unten rechts.

• Bestimmte Verweise auf Kapitel, Formeln usw. sind rot umrandet. Mit einem Mausklick (linke Taste) in den rot umrandeten Be-reich wird ein gesetzter Sprung zu dem Ziel ausgeführt. Zurück kommt man innerhalb eines Hauptkapitels schnell mit

• Beachte: Bei Präsentationen mit dem PowerPoint-Viewer erfolgt ein gesetzter Sprung in ein anderes Hauptkapitel (1 Statik, 2 Festigkeitslehre bzw. 3 Dynamik) programmbedingt immer nur auf die Startseite des Hauptkapitels. Über das Inhaltsverzeich-nis bzw. die Foliennummer (in der Form: S <n>, F <n>, D <n> angegeben) gelangt man dann schnell an die gewünschte Stelle.

Hinweis: Die Nummerierungen der Kapitel, Gleichungen und Bilder sind mit den Nummerierungen im Buch identisch. Zusätzliche Bilder in dieser Präsentation sind nicht nummeriert. Die Seitenzahlen sind nicht identisch mit denen des Buches.

zurück zur letzten

angesehenen Seite

zumInhaltver-

zeichnisses

eine Seitevor

Aufrufdieser Hilfe

ein Kapitel zurück.

eine Seitezurück

ein Kapitel vor

Präsentation beenden

Ende?

Zum vereinfachten Navigieren ist auf jeder Seite eine Symbolleiste mit folgenden Funktionen, die mit dem Mauszeiger durch Anklicken aktiviert werden, angeordnet:

Hilfe (siehe auch Datei auf der CD-ROM: Hinweise.doc)

Animationsschritt vorwärts: Eingabetaste (), Leertaste, linke Maustaste, Nach-Rechts-, Nach-Unten-,

Bild-Nach-Unten-Taste und „N“Animationsschritt zurück: Nach-Links-, Nach-Oben-, Bild-Nach-Oben-Taste und „P“Seitenwechsel: erfolgen bei der fortlaufenden Animation automatischEine Seite anwählen: PowerPoint Foliennummer <n> und Eingabetaste (z. B. im gelben Feld des Inhaltsverzeichnisses angegeben)Präsentation beenden: Esc

Die PowerPoint-Präsentation kann mit den Funktionen, die das Programm PowerPoint bzw. PowerPoint-Viewer bietet, vorgenom-men werden (siehe auch die Hilfefunktion zu PowerPoint, die während der Präsentation z. B. über das Menü der rechten Maus-taste erreichbar ist). Für Nutzer von PowerPoint-Viewer (hier steht die Hilfe nicht zur Verfügung) sind die wichtigsten Funktionen nachfolgend aufgeführt:

Ende?

3 DynamikSeite: 4


3 DynamikEinführung

Einführung

Die CD-ROM enthält den kompletten1 Buchinhalt in Form einer PowerPoint-Präsentation, die so aufbereitet wurde, dass sich die Lehrinhalte – wie bei einer Vorlesung – Schritt für Schritt auf dem Bildschirm entwickeln, wobei Sie selbst das Tempo bestimmen können.

Vor- und Rücksprünge zu Kapiteln, Gleichungen und Bildern, auf die bei der Ableitung eines Zusammenhangs oder beim Lösen von Beispielen Bezug genommen wird sowie ein einfaches Navigieren auf der CD-ROM unter Nutzung des Inhaltsverzeichnisses und der auf jeder Seite vorhandenen Symbolleiste (siehe unten), erleichtern die Arbeit mit der PowerPoint-Präsentation.

Zeichnungen, Bilder, zusätzliche Fotos und Animationen in Farbe begleiten die Entwicklung eines Gedanken-ganges, lassen den Lösungsweg einer Aufgabe klarer hervortreten und unterstützen so den nicht immer ein-fachen Lernprozess und das Verstehen der Zusammenhänge. Allerdings können Sie weder das Buch noch die CD-ROM von der Notwendigkeit entbinden, sich den Stoff mit Bleistift und Papier zu erarbeiten und selbständig möglichst viele Beispiele zu rechnen. Die Mechanik erschließt sich nicht einfach nur durch das Lesen eines Buches oder das Abspielen einer CD-ROM, sondern erfordert die Bereitschaft und die Mühe, das Gehörte und Gelesene zu verstehen und das Verständnis an Hand von Beispielen zu überprüfen. Wir hoffen aber, dass das vorliegende Buch und die beigefügte CD-ROM das Lernen, das Verstehen und das Anwenden der vermittelten Lehrinhalte erleichtern und wirkungsvoll unterstützen.

1 Die Textpassagen sind auf der CD-ROM gegenüber dem Buch etwas umgestellt und um die Teile gekürzt, die nicht unmittelbar zur Herleitung eines Gedankenganges benötigt werden. Das war unserer Meinung nach deshalb notwendig, um zusammen-hängende Ableitungen möglichst auf eine PowerPoint Seite bringen zu können und um unnötige Rücksprünge zu vermeiden.

Ende?

3 DynamikSeite: 5


ide

ntis

ch m

it S

eite

PowerPointFolien-Nr.Inhaltsverzeichnis

(Datei: TM-Wi-stat.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit S <n> )

Ende? 3 DynamikInhalt Seite: 5

1.1 Grundlagen

15

S 15

1.1.1 Starrer Körper

15

S 15

1.1.2 Kraft

16

S 16

1.1.3 Wechselwirkungsprinzip

191.1.4 Schnittprinzip

201.1.5 Reaktionskräfte und eingeprägte Kräfte

211.1.6 Gleichgewicht

211.1.7 Äquivalenz von Kräften

231.2 Zentrales ebenes Kraftsystem

241.2.1 Resultierende

241.2.2 Gleichgewicht von Kräften

311.2.3 Lagerungsbedingungen

321.3 Allgemeines ebenes Kraftsystem

361.3.1 Ermittlung der Resultierenden zweier paralleler Kräfte

361.3.2 Moment

381.3.3 Versetzungsmoment

401.3.4 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (Lösungskonzept)

421.3.5 Gleichgewicht von Kräften und Momenten

441.3.6 Bindungen, Freiheitsgrad und statische Bestimmtheit einer starren Scheibe

46

S 46

Seite1 STATIK

12

S 12

3 DynamikSeite: 6

Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure Ende? 3 Dynamik

Inhalt Seite: 6

ide

ntis

ch m

it S

eite

1.4 Ebene Tragwerke

49

S 49

1.4.1 Grundbegriffe

491.4.2 Lagerung starrer Scheiben

501.4.3 Streckenlasten

551.4.3.1 Definition von Streckenlasten

551.4.3.2 Ermittlung der Resultierenden einer Streckenlast

571.4.4 Beispiele

591.5 Scheibenverbindungen

621.5.1 Ermittlung der statischen Bestimmtheit

621.5.2 Dreigelenkträger

671.5.3 Gerberträger

721.5.4 Ebene Fachwerke

751.5.4.1 Überprüfung der statischen Bestimmtheit von Fachwerken

801.5.4.2 Arten von Fachwerken

811.5.4.3 Berechnungsmethoden für Fachwerke

831.6 Schnittgrößen in ebenen Trägern und Trägersystemen

881.6.1 Definition der Schnittgrößen

881.6.2 Berechnung und grafische Darstellung der Schnittgrößen

911.6.3 Differentielle Beziehungen

951.6.4 Anwendungen

981.7 Zentrales räumliches Kraftsystem

1101.7.1 Ermittlung der Resultierenden

1111.7.2 Gleichgewicht einer zentralen räumlichen Kräftegruppe

112

S 112

3 DynamikSeite: 7

Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure Ende? 3 Dynamik

Inhalt Seite: 7

ide

ntis

ch m

it S

eite

1.8 Allgemeines räumliches Kraftsystem

114

S 114

1.8.1 Zusammensetzung von Kräften und Momenten

1171.8.2 Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte und Momente

1181.8.3 Räumlich gestützter Körper

1191.8.4 Schnittgrößen am räumlich belasteten Balken

1231.9 Schwerpunkt

1271.9.1 Massenschwerpunkt

1271.9.2 Volumenschwerpunkt

1291.9.3 Flächenschwerpunkt ebener Flächen

1291.9.4 Linienschwerpunkt ebener Linien

1311.9.5 Schwerpunkt zusammengesetzter Gebilde

1321.9.6 Anmerkungen zur Berechnung von Schwerpunkten

1331.10.1 Definition der Flächenträgheitsmomente

1341.10.2 Satz von STEINER

1371.10.3 Flächenträgheitsmomente einfacher Querschnittsflächen

1401.10.4 Hauptträgheitsmomente

1411.10.5 Flächenträgheitsmomente zusammengesetzter Flächen

146

1.10 Flächenträgheitsmomente

134

1.11 Haftung und Gleitreibung

1481.11.1 Haftung (Zustand der Ruhe)

1491.11.2 Gleitreibung (Zustand der Bewegung)

1541.11.3 Seilhaftung und Seilreibung

1561.11.3.1 Seilhaftung

1561.11.3.2 Seilreibung

160

S 160

3 DynamikSeite: 8


(Datei: TM-Wi-fest.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit F <n> )


2 Festigkeitslehre

161

F 12

2.1 Grundlagen der Festigkeitslehre

162

F 13

2.1.1 Einleitung

162

F 13

2.1.2 Spannungszustand

168

F 19

2.1.3 Deformationszustand

171

F 22

2.1.4 Elastizitätsgesetze (Materialgesetze)

174

F 25

2.1.4.1 Elastizitätsgesetz für die Dehnung

175

F 26

2.1.4.2 Elastizitätsgesetz für die Gleitungen

181

F 32

2.1.4.3 Verallgemeinertes HOOKEsches Gesetz

182

F 33

2.2 Zug und Druck

184

F 35

2.2.1 Spannungen und Verformungen von Stabsystemen

184

F 35

2.2.1.1 Berechnung der Spannung

184

F 35

2.2.1.2 Berechnung der Verformungen

188

F 39

2.2.2 Flächenpressung

198

F 49

2.3 Biegung

203

F 54

2.3.1 Voraussetzungen und Annahmen

203

F 54

2.3.2 Spannungen bei gerader Biegung

205

F 56

2.3.3 Verformungen bei gerader Biegung

212

F 63

2.3.4 Schiefe Biegung

229

F 80

2.4 Querkraftschub

234

F 85

2.4.1 Schubspannungen infolge Querkraftbelastung

234

F 85

2.4.2 Abschätzung der Verformungen infolge Querkraftbelastung

238

F 89

3 DynamikSeite: 9


(Datei: TM-Wi-dyn.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit D <n> )3 Dynamik

302

D 12

3.1 Kinematik des Punktes

304

D 14

3.1.1 Definitionen

304

D 14

3.1.2 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten

305

D 15

3.1.3 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Bahnkoordinaten

307

D 17

3.1.4 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten

309

D 19

3.1.5 Bewegung auf einer Kreisbahn

311

D 21

3.1.6 Grundaufgaben der Kinematik

313

D 23


2.5.1 Torsion von Stäben mit Kreis- und Kreisringquerschnitten

243

F 94

2.5.1.1 Annahmen und Voraussetzungen

243

F 94

2.5.1.2 Berechnung der Torsionsspannung

244

F 95

2.5.1.3 Berechnung der Verformung (Verdrehwinkel )

247

F 98

2.5.2 Hinweise zur Torsion allgemeiner Querschnitte

254

F 105

2.5 Torsion

242

F 93

2.6 Scherbeanspruchung

258

F 109

2.7.1 Überlagerung gleichartiger Spannungen

264

F 115

2.7.2 Mehrachsige Spannungszustände

265

F 116

2.7.3 Spannungshypothesen

275

F 126

2.7 Zusammengesetzte Beanspruchung

263

F 114

2.8.1 Einführung

285

F 136

2.8.2 Ein einfaches Stabilitätsproblem

290

F 141

2.8.3 EULER-Fälle

293

F 144

2.8 Stabilität

285

F 136

3 DynamikSeite: 10


3.2.1 Grundlagen

318

D 28

3.2.2 Momentanpol

319

D 29

3.2.3 Kinematik von Systemen aus Punktmassen und starren Körpern

325

D 35

3.2 Kinematik der ebenen Bewegung des starren Körpers

318

D 28

3.3.1 D’ALEMBERTsche Prinzip für Punktmassen

330

D 40

3.3.2 Ebene Bewegungen von starren Körpern

337

D 47

3.3.3 Aufstellung von Bewegungsgleichungen

349

D 59

3.3 Kinetik der ebenen Bewegung von Punktmassen und starren Körpern

330

D 40

3.4 Energiebetrachtungen

356

D 66

3.4.1 Arbeit, Energie, Leistung

356

D 66

3.4.1.1 Arbeit

356

D 66

3.4.1.2 Potentielle Energie

359

D 69

3.4.1.3 Energieerhaltungssatz

360

D 70

3.4.1.4 Leistung

368

D 78

3.4.1.5 Kinetische Energie für die ebene Bewegung eines starren Körpers

371

D 81

3.4.2 Verallgemeinerung des Energiesatzes

376

D 86

3.4.3 LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen 2. Art

380

D 90

3.5 Schwingungen

389

D 99

3.5.1 Einführung

389

D 99

3.5.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

394

D 104

3.5.3 Freie gedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

407

D 117

3.5.4 Erzwungene Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

417

D 127

3.5.5 Systeme mit mehreren (n) Freiheitsgraden

424

D 134Ende? 3 Dynamik

Inhalt Seite: 10

3 DynamikSeite: 11


3.5.5.1 Einführung

424

D 134

3.5.5.2 Aufstellen der Bewegungsgleichungen

425

D 135bis 435

D 145


3 DynamikSeite: 12


3 Dynamik

Ziel der Dynamik

In den Kapiteln 1 Statik und 2 Festigkeitslehre wurden mechanische Systeme im Zustand der Ruhe behandelt. In der Dynamik werden bewegte Systeme untersucht.

Die Unterteilung der Dynamik in Kinematik und Kinetik ist eine zweckmäßige und übliche Vorgehensweise in der Technischen Mechanik (Bild 3.1).

• Zunächst befassen wir uns im Teilgebiet Kinematik mit den Bewegungen von Punkten und starren Körpern, ohne nach der Ursache der Bewegung zu fragen.

• Danach beziehen wir Kräfte als Ursache oder Wirkung von Bewegungen von Massen in die Betrachtung ein. Dieses zweite Teilgebiet der Dynamik wird als Kinetik bezeichnet.

Dynamik

Kinematik

"Lehre vom Bewegungsablauf, ohne dass auf die Kräfte als Ursache oder

Wirkung von Bewegungen eingegangen wird"

"Lehre vom Bewegungsablauf, ohne dass auf die Kräfte als Ursache oder

Wirkung von Bewegungen eingegangen wird"

"Lehre vom Zusammenspielvon Kräften und Bewegungen"

"Lehre vom Zusammenspielvon Kräften und Bewegungen"

Kinetik

Bild 3.1 Übliche Unterteilung der Dynamik

Ende?

3 DynamikSeite: 13


Mit den folgenden Namen sind wichtige Beiträge zur Entwicklung der Dynamik verbunden:1

GALILEO GALILEI (1564 - 1642) Fall- und Wurfgesetze

JOHANNES KEPLER (1571 - 1630) KEPLERsche Gesetze (Planetenbewegung)

ISAAC NEWTON (1643 - 1727) NEWTONsche Grundgesetze (Bewegungsgesetze)

JEAN D‘ ALEMBERT (1717 - 1783) D‘ ALEMBERTsches Prinzip

JOSEPH LOUIS LAGRANGE (1736 - 1813) LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen

WILLIAM ROWAN HAMILTON (1805 - 1865) HAMILTONsches Prinzip

1 Weitere Informationen zur historischen Entwicklung der Mechanik findet man z. B. in [6]

Ende?

3 DynamikSeite: 14


a) Die Lage (der Ort, der Weg) des Punktes P auf der Bahnkurve ist durch den Ortsvektor bestimmt (Bild 3.2).

r(t)

3.1 Kinematik des Punktes

3.1.1 Definitionen

Bild 3.2 Lagebeschreibung eines Punktes auf einer Bahnkurve

x

y

z

PBahnkurve

r(t)

v(t)

Der Bewegungszustand eines Punktes P auf einer Bahnkurve wird in der Kinematik durch seine Lage (Ort, Weg) auf der Bahnkurve, seine Geschwindigkeit und seine Beschleunigung bezogen auf ein Koordi-natensystem in Abhängigkeit von der Zeit beschrieben (Bild 3.2).

Diese Größen sind nicht unabhängig voneinander. Ihre allgemeinen Definitionen und die Zusammenhänge unterein-ander werden im Folgenden angegeben.

b) Die Geschwindigkeit des Punktes P ist definiert als rdtrd

v

r

dtrd

v

Einheit:

sm

(3.1)

vv

Betrag der Geschwindigkeit:

Richtung der Geschwindigkeit: tangential zur Bahnkurve

c) Die Beschleunigung des Punktes P ist definiert als

aa

Betrag der Beschleunigung:

Richtung der Beschleunigung: keine allgemeine Aussage möglich

2

2

dt

rdrv

dtvd

a

2

2

dt

rdrv

dtvd

a

(3.2)

Einheit:

2s

m

Ende?

3 DynamikSeite: 15


Beachte: Sowohl der Betrag der Geschwin-digkeit als auch der Tangenteneinheits-vektor sind zeitlich veränderlich!

x

y

z

P(x,y,z)

x(t)

y(t)

z(t)

Bahnkurve

Wir definieren (vgl. Bild 3.3):

zyx e,e,e

- Einheitsvektoren in Richtung x, y, z 1eee zyx

a) Lage von P

zyx ez(t)ey(t)ex(t)r

Ortsvektor:

3.1.2 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten

Ein Bewegungsablauf kann völlig gleichwertig mit unterschiedlichen Koordinatensystemen darge-stellt werden. Die Wahl eines zweckmäßigen Koordinatensystems kann aber den Rechenweg deutlich vereinfachen und wesentliche Bewegungsvorgänge klarer erkennen lassen. Deshalb haben wir nachfolgend die gebräuchlichsten Koordinatendarstellungen aufgeführt.

r(t)

v(t)

ex

ey

ez

et(t)

Bild 3.3 Lagebeschreibung eines Punktes in kartesischen Koordinaten

(t)et

- Tangenteneinheitsvektor (zeitabhängige Richtung!) 1et

Parameterdarstellung mit der Zeit t als Parameter

z(t)

y(t)

x(t)

b) Geschwindigkeit zyx e(t)ze(t)ye(t)xrv

(t)z

(t)y

(t)x

(t)v

(t)v

(t)v

z

y

x

tetvtv t

oder:

2z

2y

2x

222 vvvzyxv(t)v 2z

2y

2x

222 vvvzyxv(t)v Betrag der Geschwindigkeit: (3.3)

Ende?

3 DynamikSeite: 16


c) Beschleunigung zyx e(t)ze(t)ye(t)xrva

(t)z

(t)y

(t)x

(t)a

(t)a

(t)a

z

y

x

2z

2y

2x

222 aaazyxa(t)a 2z

2y

2x

222 aaazyxa(t)a Betrag der Beschleunigung: (3.4)

Ende?

3 DynamikSeite: 17


3.1.3 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Bahnkoordinaten

Bild 3.4 Lagebeschreibung eines Punktes in Bahnkoordinaten

Hinweis: Das ist der Beweis, dass der Geschwindigkeitsvektor in Richtung der Bahntangente weist!

x y

z

P

en

M

et

s(t)

Bahnkurve

s(t) - Bahnkoordinate

M - Hauptkrümmungsmittelpunkt

- Hauptkrümmungsradius

- Normaleneinheitsvektor (zeitabhängig!)en(t)

a) Lage von P

s(t)rr

s(t)rr

Ortsvektor:

b) Geschwindigkeit dt

s(t)rdrv

dtds

dsrd

Frage: Was bedeutet in Gleichung (3.5)? ds

rd

Damit folgt aus (3.5) bis (3.7) die Geschwindigkeit von P zu

tt esevvds

rdrv

tt esevvds

rdrv

(t)sv(t)v (t)sv(t)v Betrag der Geschwindigkeit:

dserrdr t

Aus Bild 3.5 folgt

vds

rd

(3.5)

sdt

dsv s

dt

dsv

mit der Bahngeschwindigkeit

(3.6)

x

z

P

r

et·ds

s

r + dr

ds

y

Bild 3.5 Differentielle Änderung des Ortsvektors

dserd t

teds

rd

(3.7)

r(t)

Ende?

3 DynamikSeite: 18


P

en

M

et

s(t)

ds

d

et+det

a)

Bild 3.6 Differentielle Änderung des Tangenteneinheitsvektors

c) Beschleunigung

dtevd

va t

Weiter folgt für differentiell kleine Größen (vgl. Bild 3.6 b):

dc

tsee tt

Wegen dds (vgl. Bild 3.6 a)mit

1

n

1

t eced

und nnt edeced

Einsetzen von (3.10) in (3.9) liefert nt ev

e

Damit ergibt sich für die Beschleunigung in Bahnkoordinaten aus (3.8)

nnttn

2

t eaeaev

eva

dt

tsede t

t

wird

en

M

et

et+det

det=c·en

db)

tt evev (3.8)

dtds

dsd

d

ed t

(3.9)v1

d

ed t

nt e

d

ed

(3.10)

2

nv

a Normalbeschleunigung (3.10)

vat Tangentialbeschleunigungmit (3.12)

2t

2n aaa(t)a

Betrag: (3.11)

Frage: Was bedeutet in Gleichung (3.8)?

te

Ende?

3 DynamikSeite: 19


3.1.4 Polarkoordinaten

Frage: Was bedeutet in Gleichung (3.14)? re

Analog zur Herleitung von (3.10) erhält man

eded r

Aus Bild 3.8 liest man ab, dass in die Richtung von weist!

der

e

22r

22 vvrrv(t)v 22r

22 vvrrv(t)v Betrag:

und aus (3.15) folgt . eer

1eer (t)e,(t)er

- Einheitsvektoren in Richtung r und „“ (zeitabhängig!)

Wir definieren (vgl. Bild 3.7):

P

x

y

r(t)

(t)d

e

er

d

Bild 3.7 Lagebeschreibung eines Punktes in Polarkoordinaten

e

er

der

de

e

de

er+

der

d

Bild 3.8 Differentielle Änderung der Einheitsvektoren

a) Lage von P

tetrr r

tetrr r

Ortsvektor:

b) Geschwindigkeit

dt

tetrd

dt

trdv r

rr etretr (3.14)

ded

dtd

ded

dted

e rrrr

(3.15)

Die Geschwindigkeit in ebenen Polarkoordinaten wird

ererv r

ererv r

(3.16)

Für beliebige Bewegungen in der Ebene sind häufig Polarkoordinaten (r,) zweckmäßig!

Ende?

3 DynamikSeite: 20


c) BeschleunigungDie Zeitableitung der Geschwindigkeit liefert: ererv r

Frage: Was bedeutet in Gleichung (3.17)?

e

Aus Bild 3.8 folgt, dass entgegen weist! de

er

Analog zur Herleitung der Gleichung (3.10) erhält man

red

ed

und aus (3.18) folgt .ree

Damit erhält man für die Beschleunigung in ebenen Polarkoordinaten nach (3.17)

rr ererererera

22r

222 aar2rr-ra(t)a 22r

222 aar2rr-ra(t)a Betrag:

e

er

der

de

e

de

er+

der

d

Bild 3.8 Differentielle Änderung der Einheitsvektoren

erererererva rr

(3.17)

d

ed

d

ed

dt

ede

dtd (3.18)

oder nach Zusammenfassen

.r

2 er2rerra

.r

2 er2rerra

(3.19)

Mit

dt

d

dt

d Winkelgeschwindigkeit [s-1] (3.20)

wird er2rer-ra r2

er2rer-ra r2

(3.21)

Ende?

3 DynamikSeite: 21


Bild 3.9 Bewegung eines Punktes auf einer Kreisbahn

b)

R

WinkelbeschleunigungEinheit: [s-2]

und (3.26)

3.1.5 Bewegung auf einer Kreisbahn

Die Bewegung auf einer Kreisbahn ist der Sonderfall der Bewegung in Bahnkoordinaten(= R = konst.) bzw. in Polarkoordinaten (r(t)= R = konst.)!

a) Lage von P: Kreisbahn mit Radius R

RRv(t)v RRv(t)v

Betrag:

Die Geschwindigkeit und die Beschleunigung ergeben sich aus (3.16) und (3.21), wenn man r(t) = R = konstant setzt.

b) Geschwindigkeit: eReRv

eReRv

(3.22)

P

R

Bahnkurve

s

en =

-er

et

e

a)

2t

2n aaa(t)a

2t

2n aaa(t)a

Betrag:

c) Beschleunigung:

ttnnrrr2 eaeaeaeaeReRa

ttnnrrr

2 eaeaeaeaeReRa

(3.23)

222

rn RRR

vaa 22

2

rn RRR

vaa Normalbeschleunigung mit (3.24)

RRRvaat RRRvaat Tangentialbeschleunigung (3.25)

v = R at = R.

an = R

Ende?

3 DynamikSeite: 22


Ist die Winkelgeschwindigkeit = konstant, dann gilt:

Zeit für einen Umlauf:

2

T

2

T [s]

Anzahl der Umläufe in einer Sekunde (Frequenz f):

2T

1f

2T

1f [s–1 bzw. Hertz]

Anzahl der Umläufe pro Zeiteinheit (Drehzahl n):

2f

T

1n

2f

T

1n

tZeiteinhei

Umläufe

Hinweis: Für technische Anwendungen wird die Drehzahl meistens in Anzahl der Umläufe pro Minute angegeben:

30

f60n mit in s–1

Ende?

3 DynamikSeite: 23


Gegeben Anleitung zur Ermittlung der übrigen Funktionen

3.1.6 Grundaufgaben der Kinematik

Wenn die Bewegung auf einer bekannten Bahn erfolgt, lassen sich bei Kenntnis nur einer Bewegungsgleichung die jeweils fehlenden Gleichungen durch Differentiation oder Integration ermitteln. Tabelle 3.1 enthält dafür einige typische Beispiele.

Tabelle 3.1 Grundaufgaben der Kinematik für die Anfangsbedingungen (AB):

s(t = t0) = s0 und

v(t = t0) = v0

saa s

s

20

2

0

sdsa2vsv s

s0

0)sv(

sdtst

svv ds

sdvsvsa

s

s0

0)sv(

sdtst

s(t)s dt

dstv

dt

dvta

tvv tdtvstst

t0

0

dt

dvta

taa t

t0

0

tdtavtv t

t0

0

tdtvsts

vaa v

v0

0)va(

vdtvt vd

)va(

vsvs

v

v0

0

Ende?

3 DynamikSeite: 24


Bild 3.10 Freier Fall einer Masse

gh

m

Bahn der Masse

v = 0,

Beispiel 3.1 Freier Fall (ohne Luftwiderstand)

y (Bewegungs- koordinate)

t = 0

t = T

Gesucht: Auftreffgeschwindigkeit vA und Zeit T bis zum Auftreffen auf den Boden.

Was ist von der Bewegung bekannt?Bekannt ist die auf m wirkende Beschleunigung in y-Richtung (Bewegungskoordinate):

gtyay

Die Integration liefert: 1ctgy (1)

212 ctcgt

2

1y (2)

c1 und c2 sind noch unbekannte Integrationskonstanten. Sie lassen sich aus bekannten Bedin-gungen für bestimmte Bewegungsgrößen am Anfang der Bewegung (Anfangsbedingungen, oder kurz AB) ermitteln.

Anfangsbedingungen (AB): 00ty0tv1. y

h0ty2.

0c1 mit (1) folgt:

hc2 mit (2) folgt:

hgt21

ty 2 Weg-Zeit-Gesetz dieser Bewegung

Mit diesen Integrationskonstanten erhalten wir aus (1) und (2) die Bewegungsgesetze

tgtyvy Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz dieser Bewegung

Ende?

3 DynamikSeite: 25


Mit diesen beiden Gleichungen ergeben sich die gesuchten Größen aus den Endbedingungen der Bewegung.

Ay vTtyTtv4.

Endbedingungen: 0Tty3.

Aus 3. folgt mit dem Weg-Zeit-Gesetz:

0hgT21 2

g2h

T Fallzeit

Aus 4. folgt mit dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz:

AvTg

g

2hgTgvA 2hgvA Auftreffgeschwindigkeit

Beachte: Die Fallzeit T und die Auftreffgeschwindigkeit vA sind unabhängig von der Größe der Masse m und bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes (wie hier vorausgesetzt) auch unabhängig von der geometrischen Gestalt der Masse m!

Ende?

3 DynamikSeite: 26


v0

xw

m

Bild 3.11 Flug einer Kanonenkugel

Beispiel 3.2 Flug einer Kanonenkugel (ohne Luftwiderstand)

v0

v0·cosv0·sin

x

y

t = 0 t = TFlugbahn

Gegeben: m, v0, , gGesucht: Flugweite xw, Flugdauer T,

Winkel max für maximale FlugweiteWas ist über die Bewegung der Kugel bekannt? Bekannt sind die während der Flugphase auf die Masse m wirkenden Beschleunigungen in x- und y-Richtung:

21 ctcx

1cx Die Integration der beiden Gleichungen liefert

0x gy und

3cgty (1)

432 ctcgt

2

1y (2)

Die Konstanten c1 bis c4 lassen sich aus vier bekannten Anfangsbedingungen berechnen: 00tx1. 00ty2. cosv0tx3. 0

sinv0ty4. 0

c2 = 0

c4 = 0

c1 = v0·cos c3 = v0·sin

costvx oWeg-Zeit-Gesetze in x- und y-Richtung sintvgt

2

1y o

2

Geschwindigkeits-Zeit-Gesetze in x- und y-Richtung

sinvgty o cosvx oDamit aus (1) und (2):

Ende?

3 DynamikSeite: 27


Die Flugweite und die Flugdauer folgen aus den Endbedingungen der Bewegung:

0Tty5.

wxTtx6.

sing

2vT 0 Flugdauer

w0

o xcossing

2vv sin2

g

vx

20

w Flugweite

Der Winkel für die maximale Flugweite ergibt sich aus der Extremwertaufgabe:

0d

dxw

0cos2 02cos2g

v

d

dx 2ow

22

4max

Winkel für maximale Flugweite:

wo xcosTv

Mit dem Weg-Zeit-Gesetz für die x-Richtung folgt aus der Endbedingung 6.:

0TsinvgT2

1o

2

Mit dem Weg-Zeit-Gesetz für die y-Richtung folgt aus der Endbedingung 5.:

g

vx)(x

20

maxwmaxw Maximale Flugweite:

Ende?

3 DynamikSeite: 28


x

y

A

P

starrer KörperBild 3.12 Lagebeschreibung eines starren Körpers in der Ebene

Starrer Körper im Raum (3D-Fall): Ein starrer Körper im Raum hat 6 Freiheitsgrade (z. B. 3 Translationen in Richtung der drei Raumachsen x,y,z und 3 Rotationen um diese Achsen).

3.2.1 Grundlagen

3.2 Kinematik der ebenen Bewegung des starren Körpers

Bisher haben wir nur die Bewegung von Massenpunkten behandelt!

Im Folgenden wollen wir die allgemeine Bewegung von starren Körpern betrachten.

Starrer Körper in der Ebene (2D-Fall):Die Lage, die Lageänderungen und die Bewe-gungen eines starren Körpers in der Ebene kön-nen durch 3 geeignete Koordinaten eindeutig beschrieben werden (Bild 3.12).

Ein starrer Körper in der Ebene hat daher 3 Freiheitsgrade:

• zwei Translationen (xA, yA) eines beliebigen Punktes A in x- und y-Richtung

• eine Rotation (um diesen Punkt A

Jede allgemeine Bewegung eines starren Körpers lässt sich aus der Translation eines körperfesten Punktes (im Allgemeinen wählt man zweckmäßig den Schwerpunkt) und einer Rotation um diesen Punkt zusammensetzen (die Reihenfolge ist beliebig)!

Jede allgemeine Bewegung eines starren Körpers lässt sich aus der Translation eines körperfesten Punktes (im Allgemeinen wählt man zweckmäßig den Schwerpunkt) und einer Rotation um diesen Punkt zusammensetzen (die Reihenfolge ist beliebig)!

P

yA

xA

AA

P

yA

xA

P

AxA

Ende?

3 DynamikSeite: 29


x

y

A

xA

yA

rA

Bild 3.13 Berechnung des Momentanpols P

3.2.2 Der Momentanpol

Satz: Bei der Bewegung eines starren Körpers gibt es stets einen Punkt, der sich für einen Moment in Ruhe (v = 0) befindet. Das ist der Momentanpol P der Geschwindigkeit.Satz: Bei der Bewegung eines starren Körpers gibt es stets einen Punkt, der sich für einen Moment in Ruhe (v = 0) befindet. Das ist der Momentanpol P der Geschwindigkeit.

Frage: Wo liegt bei einer allgemeinen Bewegung der Momentanpol P. Wir betrachten den 2D-Fall in Bild 3.13. P

xP

yPrP

Wenn P der Momentanpol sein soll, muss gelten und man erhält aus (3.27) ein System mit zwei Gleichungen für r und :

0yx pp

Wir differenzieren und erhalten die Geschwindigkeiten des Punktes P

sinrxx Ap cosryy Ap (3.27)

r

xxcos Ap

und

Einsetzen in (3.28) liefert:

0yyx ApA 0xxy ApA

Aus dem Bild folgt mit r = konst.: rAAp errrrr

A

Apx

yy

A

Apx

yy

r·si

n

r·cos

AA y,x - Translationsgeschw. von A

r

er

= r er

,.

Ay

Ax

- Winkelgeschwindigkeit um A.

rsinyy Ap rcosxx Apund

0sinrxA 0cosryA (3.28)

r

yysin Ap

Aus dem Bild 3.13 liest man ab:

A

Apy

xx

A

Apy

xx Koordinaten des Momentanpols (3.29)

Ende?

3 DynamikSeite: 30


Ist die Lage des Momentanpols P bekannt, so kann die allgemeine Bewegung eines starren Körpers im Moment als reine Rotation um diesen Momentanpol P (Bild 3.14) angesehen werden und es gelten die Gesetze der Kreisbewegung (siehe Kapitel 3.1.5).

Ist die Lage des Momentanpols P bekannt, so kann die allgemeine Bewegung eines starren Körpers im Moment als reine Rotation um diesen Momentanpol P (Bild 3.14) angesehen werden und es gelten die Gesetze der Kreisbewegung (siehe Kapitel 3.1.5).

Hinweis: Die Geschwindigkeit v des Momentanpols ist im betrachteten Moment Null, aber seine Beschleunigung ist im Allgemeinen ungleich Null! Das bedeutet, dass sich die Lage des Momentanpols in der Zeit ändern kann!

Hinweis: Die Geschwindigkeit v des Momentanpols ist im betrachteten Moment Null, aber seine Beschleunigung ist im Allgemeinen ungleich Null! Das bedeutet, dass sich die Lage des Momentanpols in der Zeit ändern kann!

Bedeutung des Momentanpols

AAAtA rrra

Beschleunigung: 2A

2A

A

2A

nA rrrv

a

Geschwindigkeit: AAA rrv Punkt A:

Punkt Q: QQQ rrv Geschwindigkeit:

QQQtQ rrra

2Q

2Q

Q

2Q

nQ rrr

va Beschleunigung:

Nach Kapitel 3.1.5 ergeben sich bei Betrachtung der allgemeinen Bewegung des starren Körpers in Bild 3.14 als reine Rotation um den Momentanpol P für die Punkte A und Q die folgenden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen (siehe Gleichungen (3.22), (3.24) und (3.25)).

Bild 3.14 Rotation um den Momentanpol

P (Momentanpol)

= .

starrer Körper

rA

A

atA

anA

rQ

Q

vA

.

.

vQ

atQ

anQ

Ende?

3 DynamikSeite: 31


RxNach Bild 3.15 b) folgt als Rollbedingung

Q

S

R

Pb)

S

x

Q

Beispiel 3.3 Rollendes Rad

Gegeben: vs, R, a, Gesucht: Geschwindigkeit vK eines beliebigen Punktes K

Ein Rad rollt ohne zu gleiten. Der Mittelpunkt S bewegt sich dabei mit der Geschwindigkeit vs und das Rad dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit (Bild 3.15 a.

Der abrollende Bogen PQ und der vom Schwerpunktes S zurückgelegte Weg x (bzw. die Strecke PQ) müssen gleich groß sein, wenn kein Gleiten zwischen dem Rad und der Unterlage eintritt!

Rollbedingung (ohne zu gleiten):

Bild 3.15Rollendes Rad

S

vS

R

a)

RxRvS

(3.30)

a

K

1. Lösungsvariante

Lösungsstrategie: Die Lösung erfolgt durch Überlagerung der Translation des Schwerpunktes S mit der Rotation um den Schwerpunkt S.

Der Punkt K hat die gleiche Translationsgeschwindigkeit vS wie der Schwerpunkt S. Zu dieser Geschwindigkeit addiert sich vektoriell die Rotationsgeschwindigkeit a des Punktes K infolge der Drehung um den Schwerpunkt S (Bild 3.16, folgende Seite).

Ende?

3 DynamikSeite: 32


Die Rotationsgeschwindigkeit steht senkrecht zum Radiusstrahl von S nach K (Bild 3.16).

S vSR

Ka

Bild 3.16 Überlagerung: Translation und Rotation

Nach dem Kosinussatz (vgl. markiertes Dreieck in Bild 3.16) folgt:

180cosa2vavv s22

S2K

cosa2vavv s22

SK

cos2RaaRv 22K

Mit der Rollbedingung vS = R ergibt sich die Geschwindigkeit vK des Punktes K zu

a vK

180- vS

Zunächst wird die Lage des Momentanpols P ermittelt. Dazu definieren wir ein Bezugssystem (x,y) im Auflagepunkt der Rolle (Bild 3.17).

2. Lösungsvariante

Lösungsstrategie: Reine Rotation um den Momentanpol P.

S vSR

Ka

Bild 3.17

xy

Rvx,0x SSS Mit 0y,Ry ss und

(Beachte positive Definition von und ; vgl. auch Bild 3.13)

Wenn in Gleichung (3.29) der Punkt A der Schwerpunkt S ist, ergibt sich

S

Spx

yy

SSp

yxx und (1)

folgt die Lage des Momentanpols P aus (1) zu: 0

0

0xp

0

R

Ryp

Momentanpol P ist der aktuelle Auflagepunkt!Momentanpol P ist der aktuelle Auflagepunkt!

Momentanpol P

Ende?

3 DynamikSeite: 33


vS

S

Bild 3.17

Für eine reine Rotation um den jetzt bekannten Momentanpol P wird die Geschwindigkeit des Punktes K (vgl. Bild 3.18)

Der Abstand rK vom Momentanpol P zum Punkt K folgt aus dem Kosinussatz im markierten Dreieck des Bildes 3.18 zu

180cos2RaaRr 222K

cos2RaaRr 22K

cos2RaaRv 22K

Damit erhält man aus (2) für die Geschwindigkeit des Punktes K erwartungsgemäß das gleiche Ergebnis wie nach der Variante 1.

vK = rK· (2)

rK

vK

•K

a

P (Momentanpol)

R

Ende?

3 DynamikSeite: 34


starrer Körper

a)

Bild 3.20 Lage des Momentanpols bei Kenntnis der Geschwindigkeiten zweier Punkte

A

B

Weitere Hinweise zur Bestimmung des Momentanpols:

• Bei einem rollenden Rad (reines Rollen ohne Gleiten voraus-gesetzt) auf einer ruhenden Unterlage ist der Momentanpol P immer der Berührungspunkt (Bild 3.19 a).

• Eine lose Rolle mit einem festen Seilende kann als ein an dem festen Seilende abrollendes Rad angesehen werden (z. B. ein Jo-Jo). Der Momentanpol P liegt somit immer dort, wo das feste Seilende die Rolle verlässt (Bild 3.19 b). Bild 3.19 Lage des Momentanpols P

beim rollenden Rad und bei einer losen Rolle mit festem Seilende

P

a)

P

vb)

• Sind die Bewegungsrichtungen zweier Punkte A und B eines starren Körpers bekannt und nicht parallel, so kann der Momentanpol P als Schnittpunkt der Senkrechten auf die Geschwindigkeitsrichtungen in diesen zwei Punkten bestimmt werden (Bild 3.20 a).

• Sind die Bewegungsrichtungen zweier Punkte A und B parallel, so liegt der Momentanpol P auf der Verbindungslinie dieser zwei Punkte (Bild 3.20 b). Die Lage des Momentanpols auf dieser Linie kann bei bekannten Geschwindigkeiten aus der folgenden Grundbeziehung berechnet werden:

B

B

A

A

r

v

r

v mit r2rr BA

•

•

Zum Beispiel:Lose Rolle mit zwei bewegten Seilenden

b)

Sr

P

Sonderfall: Bei parallelen, gleich gerichteten und gleich großen Geschwindigkeiten zweier Punkte (vA= -vB, das be-deutet Translation) liegt der Momentanpol im Unendlichen!

Sonderfall: Bei parallelen, gleich gerichteten und gleich großen Geschwindigkeiten zweier Punkte (vA= -vB, das be-deutet Translation) liegt der Momentanpol im Unendlichen!

BA

AA vv

vr2r

BA

AA vv

vr2r

BA

BB vv

vr2r

BA

BB vv

vr2r

bzw.

vS

A B

vB

vA

rA

rB

P

Ende?

3 DynamikSeite: 35


3.2.3 Kinematik von Systemen aus Punktmassen und starren Körpern

Wir hatten bereits erkannt (vgl. Kapitel 3.2.1), dass die Lage eines starren Körpers in der Ebene durch drei Koordinaten eindeutig beschrieben ist.

Im Folgenden wollen wir die Betrachtungen nur in der Ebene vornehmen.

x, y - Koordinaten eines Punktes(zweckmäßig der

Schwerpunkt S)Bild 3.21 Lagebeschreibung eines Körpers

x

yBeispiel (Bild 3.21): Die drei Koordinaten, welche die Lage des starren Körpers eindeutig beschreiben sind

- Winkelkoordinate xS

yS S

Bei einem System aus Punktmassen und/oder starren Körpern können auch mehr Koordi-naten zur Lagebeschreibung zweckmäßig sein. Das hängt von der Anzahl der Punktmassen und starren Körper und der Art ihrer Kopplungen ab.

Satz: Die Anzahl der zur eindeutigen Beschreibung der Lage eines Systems aus Punktmassen und starren Körpern notwendigen Koordinaten nennt man die Anzahl der Freiheitsgrade f.

Das Bild 3.22 (siehe nächste Seite) zeigt einige Beispiele für Systeme aus Massen bzw. starren Körpern. Für jedes System sind die zur eindeutigen Lagebeschreibung notwendigen Koordina-ten (eine von mehreren Möglichkeiten) und der Freiheitsgrad f angegeben.

Ende?

3 DynamikSeite: 36


x

starrx2

x1

Feder

f = 1f = 1 f = 2f = 22

1

f = 2f = 2f = 1f = 1

x

reines Rollen

Seile dehnstarr,kein Schlupf

Bild 3.22 Freiheitsgrade von Systemen

Häufig ist es zweckmäßig, mehr Koordinaten einzuführen, als das System Freiheitsgrade f hat.

Dann bestehen zwischen den Koordinaten (bzw. zwischen den Ableitungen der Koordinatennach der Zeit, den Geschwindigkeiten) bekannte Abhängigkeiten, die so genannten Zwangsbedingungen (ZB),

mit n – Anzahl der eingeführten Koordinatenz – Anzahl der Zwangsbedingungen

f = n - z f = n - z (3.31)

und es muss folgende Bedingung erfüllt sein:

Ende?

3 DynamikSeite: 37


Beispiel 3.4 Rollendes Rad (Koordinaten, Freiheitsgrad, Zwangsbedingungen)

SR

x

PBild 3.23 Rollendes Rad

Die Bewegung eines rollenden Rades (ohne gleiten) wird zunächst durch zwei Bewegungskoordinaten x und beschrieben (Bild 3.23).

Reines Rollen eines Rades: f = 1

Aus (3.31) folgt: z = n - f = 2 - 1 = 1,

Die Zwangsbedingung kann aus der Rotation des Rades um den Momentanpol P, die mit der Winkelgeschwindigkeit erfolgt, gefunden werden (vgl. Kapitel 3.2.2).

d. h. es muss eine Zwangsbedingung (ZB) geben.

n = 2Anzahl der eingeführten Koordinaten:

Damit gilt:

Für die Geschwindigkeit vS des Schwerpunktes S gilt

RxvS ZB für die Geschwindigkeiten

Daraus folgt durch Integration

cRx allgemeine ZB für die Koordinaten

Die Integrationskonstante c folgt aus einer Anfangsbedingung (AB). Wir nehmen an, dass zur Zeit t = 0 sowohl die Koordinate x als auch der Winkel Null sind. Die AB lauten dafür

und damit Rx ZB zwischen den Koordinaten für die angenommenen AB

0c

00t

00tx

Ende?

3 DynamikSeite: 38


x1

x

1

Beispiel 3.5 System starrer Körper

Für das System nach Bild 3.24 mit den einge-tragenen Bewegungskoordinaten (x1, 1, 2, x2) werden die ZB zwischen den Koordinaten ge-sucht. Reines Rollen und ein dehnstarres Seil ohne Schlupf werden vorausgesetzt.

Anzahl der Freiheitsgrade: f = 1

(Rollbedingung; vgl. Beispiel 3.3 und Beispiel 3.4)111 Rx

Bild 3.24 System aus starren Körpern

SR1

r1 r2

P1

P2


Es gilt:

Aus (3.31) folgt: z = n - f = 4 - 1 = 3,d. h. es muss drei Zwangsbedingungen (ZB) geben.

Für die Ermittlung der ZB betrachten wir die Rotation des rollenden Rades mit der Winkelge-schwindigkeit um den Momentanpol P1 (vgl. Bild 3.25, bzw. auch Beispiel 3.4) und die Rota-tion der Umlenkrolle mit der Winkelgeschwindig-keit um den Momentanpol P2.

1

2

Es folgt:

111 rRx (Seilgeschwindigkeit am rollenden Rad)

2x xxx2

( = Seilgeschwindigkeit, = Tangentialgeschwindigkeit der Umlenkrolle; da kein Schlupf und ein dehnstarres Seil angenommen wird, gilt )

222 rxx

2

x2

1

x1

2

Bild 3.25 Geschwindigkeiten am rollenden Rad und an der Umlenkrolle

R1+r1 S

R1

P1

r2P2

x

x2

Ende?

3 DynamikSeite: 39


Die Integration dieser ZB für die Geschwindigkeiten liefert die allgemeinen ZB für die Bewegungs-koordinaten, die noch unbekannte Integrationskonstanten enthalten.

1111 cRx

2111 crRx

3222 crxx

x1(t=0)=0, 1(t=0)=0, 2(t=0)=0, x2(t=0)=0

Mit den Anfangsbedingungen

x1 = R1·1

x2 = (R1+r1)·1

x2 = r2·2

werden die Integrationskonstanten c1 bis c3 in den Zwangsbedingungen Null (vgl. Beispiel 3.4) und wir erhalten:

Ende?

3 DynamikSeite: 40


3.3 Kinetik der ebenen Bewegung von Punktmassen und starren Körpern

Im Allgemeinen reicht eine kinematische Betrachtungsweise nicht aus, um die Bewegungen von Körpern zu beschreiben, da im Allgemeinen auch Kräfte auf die Körper einwirken. Im Allgemeinen reicht eine kinematische Betrachtungsweise nicht aus, um die Bewegungen von Körpern zu beschreiben, da im Allgemeinen auch Kräfte auf die Körper einwirken.

Im Teilgebiet Kinetik werden die Zusammenhänge zwischen den kinematischen Größen (Weg, Zeit, Geschwindigkeit, Beschleunigung) und den während der Bewegung auftretenden Kräften untersucht.

Im Teilgebiet Kinetik werden die Zusammenhänge zwischen den kinematischen Größen (Weg, Zeit, Geschwindigkeit, Beschleunigung) und den während der Bewegung auftretenden Kräften untersucht.

3.3.1 D’ALEMBERTsches Prinzip für Punktmassen

Die bisher in der Statik angenommenen Axiome werden um ein weiteres Axiom, das so genannte NEWTONsche Grundgesetz der Dynamik (1687), ergänzt:

td

vmdF

td

vmdF

amtd

vdmF

amtd

vdmF

und für m = konst.(3.32)

Das NEWTONsche Grundgesetz in seiner ursprünglichen Form gilt nur für freie Punktmassen (keine Bindungen z. B. durch eine Führung der Massen) und setzt Folgendes voraus:

• Die Masse m ist zeitlich unveränderlich.• Die Geschwindigkeit v ist sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit.• Das Bezugssystem wird als beschleunigungsfrei angenommen (Inertialsystem).

Ende?

3 DynamikSeite: 41


Häufig sind die Systeme durch Lager und Führungen (oft mit Reibung) mit der Umgebung ver-bunden. Zur Behandlung solcher gebundener Systeme dient das D’ALEMBERTsche Prinzip, das wir nachfolgend einführen wollen.

• Trägheitskräfte (Massenträgheitskräfte) am

Die auf eine Masse wirkenden Kräfte lassen sich wie folgt einteilen:

eF

• Äußere eingeprägte Kräfte

RF

• Reaktionskräfte

Bei gebundenen (z. B. gelagerten) Systemen gehen durch die Bindungen Kräfte verloren, die somit nicht für die Beschleunigung des Systems zur Verfügung stehen. Es gibt also noch die so genannten

• „verlorenen Kräfte“ VF

Für eine freie Masse sind die Kräfte im NEWTONschen Grundgesetz (3.32) gleich den ein-geprägten Kräften . Bei gebundenen Systemen vermindern sich die für die Beschleunigung wirksamen Kräfte um die verlorenen Kräfte.

F

eF

Für gilt dannF

Ve FFF

Die „verlorenen Kräfte“ stehen mit den Reaktionskräften (z. B. Lagerkräften) im Gleichgewicht, d. h. es gilt

RF

VF

0FF VR

Setzt man diese Kräfte in (3.32) ein, so folgen daraus die „verlorenen Kräfte“

amFF eV

„verlorenen Kräfte“ (1)

mit (1) 0amFF eR

und mit eR FFF

folgt

0amF

0amF

(3.33)

Ende?

3 DynamikSeite: 42


0amF

0amF

(3.33)

Die Gleichung (3.33) ist das NEWTONsche Grundgesetz in der D’ALEMBERTschen Form. Damit wird folgende prinzipielle Aussage beschrieben:

Das kinetische Problem wird formal auf ein statisches Problem zurückgeführt, indem zu den eingeprägten Kräften und den Reaktionskräften die Massenträgheitskräfte (auch DÁLEMBERTsche Kräfte genannt) hinzugefügt werden!

Das kinetische Problem wird formal auf ein statisches Problem zurückgeführt, indem zu den eingeprägten Kräften und den Reaktionskräften die Massenträgheitskräfte (auch DÁLEMBERTsche Kräfte genannt) hinzugefügt werden!

am

Vorgehensweise bei der Anwendung des D’ALEMBERTsche Prinzips:

• Einführung von Bewegungskoordinaten (gegebenenfalls Zwangsbedingungen zwischen den Koordinaten ermitteln)

• Freischneiden der bewegten Massenpunkte in einer allgemeinen Lage• Antragen aller eingeprägten Kräfte und aller Reaktionskräfte

Beachte: Die Massenträgheitskräfte (DÁLEMBERTsche Kräfte) sind wegen des negativen Vorzeichens in der Gleichung (3.33) immer entgegengesetzt zu den positiven Koordinatenrichtungen ( positive Beschleunigungsrichtungen) anzutragen!

Beachte: Die Massenträgheitskräfte (DÁLEMBERTsche Kräfte) sind wegen des negativen Vorzeichens in der Gleichung (3.33) immer entgegengesetzt zu den positiven Koordinatenrichtungen ( positive Beschleunigungsrichtungen) anzutragen!

• Aufschreiben der Gleichgewichtsbedingungen wie in der Statik• Berechnung der gesuchten Größen (Beschleunigungen, Bewegungsgesetze, Kräfte usw.) aus

den Gleichgewichtsbedingungen und Zwangsbedingungen

am

• Antragen aller Massenträgheitskräfte (DÁLEMBERTsche Kräfte)

Ende?

3 DynamikSeite: 43


v = 0, t = 0

lmS

Bild 3.26 Masse auf schiefer Ebene

a)

S

xb)

Beispiel 3.6 Masse auf schiefer Ebene

Gesucht: Wie lange braucht die Masse, um aus der Ruhelage den Weg l zurückzulegen?

Gegeben: m = 20 kg, l = 0,6 m, = 45°Haftreibzahl 0 = 0,15, Reibzahl = 0,1

x

mx..

FR

FN

mg

Beachte: Der Richtungs-sinn von FR gilt nur für die Abwärtsbewegung!

mg·sin

mg·cos

a) Definition der Bewegungskoordinate x (Bild 3.26 a),

und Antragen aller Kräfte (eingeprägte Kräfte, Reaktionskräfte und D’ALEMBERTsche Kräfte)

Freischneiden in einer allgemeinen Lage (Bild 3.26 b)

cosmgFN

b) Kräftegleichgewicht

0cosmgFN :

0xmFsinmg R : (1)

Mit der Normalkraft FN und dem COULOMBschen Gleitreibungsgesetz (vgl. Kapitel 1.11.2, S 154)

cosmgFF NR

folgt aus (1)0xmcosmgsinmg

acossingx (2) Die Gleichung (2) ist die Beschleunigung der Masse für die Abwärtsbewegung (oder was gleichbedeutend ist für ).0x

Ende?

3 DynamikSeite: 44


c) Damit eine Abwärtsbewegung der Masse aus der Ruhe heraus überhaupt eintreten kann, muss am Beginn der Bewegung die Bedingung erfüllt sein.0x

tan00cossin 0 Aus (2) folgt damit (Beachte: Für ist 0 einzusetzen, da die Masse noch ruht!)

und mit den gegebenen Werten: 0,15 < tan 45° = 1 Bedingung erfüllt!

Da < 0 gilt, ist eine Abwärtsbewegung mit positiver Beschleunigung gesichert und damit garantiert, dass die Masse nicht vor dem Zurücklegen des Weges l zur Ruhe kommt.

d) Berechnung der Zeit t = T für den Weg lAus der Beschleunigung (2) erhalten wir durch Integration die Geschwindigkeit und den Weg in Abhängigkeit von der Zeit:

ax 1catx 212 ctcat

2

1x

Die noch unbekannten Integrationskonstanten c1 und c2 sowie die Zeit T erhalten wir aus den Anfangsbedingungen und der Endbedingung der Bewegung.Anfangsbedingungen: 00)x(t1. 0c2

00)(tx2. 0c1

Endbedingung: lT)x(t l 2aT2

1

a

2T

l

Mit der Beschleunigung a nach (2) folgt für die gesuchte Zeit T

)cosg(sin

2T

lzahlenmäßig: s0,438

54cos0,154sinsm9,81

m0,62T

2-

Ende?

3 DynamikSeite: 45


R

A

Bild 3.28 Freigeschnittenes System

x1

x2

R

m1

m2

masselos, dehnstarr

Rolle masselos, kein Seil-schlupf!

S1

S2

Bild 3.27

FS1

FS2

FAV

FAH

Beispiel 3.7 Zwei-Massen-System mit Umlenkrolle

Gesucht: Beschleunigung der Masse m1

Gegeben: M, m1=2M, m2=M, R

x2x1

A

FS2

m2g

m2x2

..

a) Definition der Bewegungs-koordinate (Bild 3.27),

und alle Kräfte antragen (einge-prägte Kräfte, Reaktionskräfte und D’ALEMBERTsche Kräfte)

Freischneiden in einer allgemeinen Lage (Bild 3.28),

FS1

m1g

m1x1

..

b) Gleichgewichtsbedingungen:

Rolle: 0RFRF:A S2S1

0gmxmF: 222S2 Masse m2:

0xmgmF: 111S1 Masse m1:

S2S1 FF (1)

222S2 xmgmF (3)

111S1 xmgmF (2)

c) Zwangsbedingungen

Aus f = n -z folgt z = 2, d. h. es gibt noch zwei Zwangsbedingungen.

Anzahl der Freiheitsgrade: f = 1


Ende?

3 DynamikSeite: 46


In den Gleichungen (1) bis (5) sind genau fünf Unbekannte (FS1, FS2, , , ) enthalten. Damit kann durch entsprechendes Auflösen jede Unbekannte berechnet werden. Wir suchen hier nur die Beschleunigung der Masse m1.

1x 2x

1x

Da das Seil als dehnstarr angenommen werden kann und kein Seilschlupf auftreten soll, er-geben sich zunächst zwei ZB für die Geschwindigkeiten, aus denen die ZB für die Beschleu-nigungen durch Differentiation und für die Koordinaten durch Integration ermittelt werden können (zum Zeitpunkt t = 0 sollen alle Koordinaten Null sein alle Integrationskonstanten werden Null).

1xR 1xR 1xR bzw. (4)

2xR 2xR 2xR bzw. (5)

Einsetzen von (2) und (3) in (1) liefert:

222111 xmgmxmgm

d) Berechnung der Beschleunigung der Masse m1

Aus den Zwangsbedingungen (4) und (5) folgt

12 xx

und es kann damit eliminiert werden. Es folgt2x

gmgmxmm 21121

21

211 mm

gmmx

Für die gegebenen Werte m1 = 2M; m2 = M ergibt sich g3

1x1

Ende?

3 DynamikSeite: 47


x

y

Masse m

S

b)

x

y

Masse m

S

Bild 3.29 Reduktion der Massenkräfte auf den Schwerpunkt

a)

3.3.2 Ebene Bewegungen von starren Körpern

Zur Beschreibung der ebenen Bewegung eines starren Körpers führen wir ein körperfestes Koordinatensystem ein, dessen Ursprung stets im Schwerpunkt S des Körpers liegen soll.

Wir wollen jetzt die Gesamtheit der Massenbeschleunigungskräfte, die auf ein differentielles Massenelement dm wirken, zu äquivalenten Größen zusammenfassen und auf den Schwer-punkt S der Masse m reduzieren (Bild 3.29).

Wir wollen jetzt die Gesamtheit der Massenbeschleunigungskräfte, die auf ein differentielles Massenelement dm wirken, zu äquivalenten Größen zusammenfassen und auf den Schwer-punkt S der Masse m reduzieren (Bild 3.29).

dm·yS

..

dm·xS

..

x = r·cosy = r·sin

ry

x

dm

dm·r·..

dm·r·2.

FDy FDx

MDS

Wir fassen die Bewegung als Überlagerung von Translation des Schwerpunktes und Rota-tion um den Schwerpunkt S auf.

Die Massenbeschleunigungs-kräfte des Massenelements dm in Bild 3.29 müssen nach dem D’ALEMBERTschen Prinzip wie folgt angetragen werden:

• für die Translation in y-Richtung: entgegen der positiven Beschleunigung Sy• für die Translation in x-Richtung: entgegen der positiven Beschleunigung Sx

• für die Rotation um S: entgegen der positiven Normalbeschleunigung bzw. der positiven Tangentialbeschleunigung (vgl. Kapitel 3.1.5, Bild 3.9 b)r

2r

Mit den nachfolgenden Äquivalenzbedingungen reduzieren wir alle Massenbeschleunigungen auf den Schwerpunkt S (Bild 3.29 b).

Ende?

3 DynamikSeite: 48


Äquivalenzbedingungen zwischen den auf den Schwerpunkt S bezogenen Größen (Bild 3.29 b) und den auf das Massenelement dm wirkenden und über die gesamte Masse m integrierten Massenkräfte (Bild 3.29 a) liefern:

m

2

mmSDx dmcosrdmsinrdmxF:

m

2

mmSDy dmsinrdmcosrdmyF:

mm

Sm

SDS dmrrdmyxdmxyM:S

m

2

mmSDx dmxdmydmxF (3.34)

m

2

mS

mSDS dmrdmyxdmxyM (3.36)

(3.35)

m

2

mmSDy dmydmxdmyF

x

y

Masse m

S

b)

x

y

Masse m

S

Bild 3.29 Reduktion der Massenkräfte auf den Schwerpunkt

a) dm·yS

..

dm·xS

..

x=r·cosy=r·sin

ry

x

dm

dm·r·..

dm·r·2.

FDy FDx

MDS

Ende?

3 DynamikSeite: 49


Mit der Abkürzung (3.39) und Sx = Sy = 0 für Schwerpunktachsen folgt aus (3.34) bis (3.36)

SDx xmF

SDy ymF

SDS JM

(3.40)

Für die Integrale in (3.34) bis (3.36) führen wir folgende Abkürzungen ein:

(m)

dmm Masse (3.37)

(m)x

(m)y

dmyS

dmxS

Statische Momente (3.38)

Beachte: Statische Momente für Achsen durch den Schwer-punkt sind stets Null (vgl. Kapitel 1.9.3, S 129).

Beachte: Statische Momente für Achsen durch den Schwer-punkt sind stets Null (vgl. Kapitel 1.9.3, S 129).

(m)

2S dmrJ

(m)

2S dmrJ Massenträgheitsmoment (3.39)

JS ist auf die senkrecht zur Zeichenebene liegende Rotations-achse durch den Schwerpunkt S bezogen. Deshalb wird es mitunter auch axiales Massenträgheitsmoment bezeichnet.

JS ist auf die senkrecht zur Zeichenebene liegende Rotations-achse durch den Schwerpunkt S bezogen. Deshalb wird es mitunter auch axiales Massenträgheitsmoment bezeichnet.

Ende?

3 DynamikSeite: 50


• Die Gesamtheit der Massenbeschleunigungskräfte der ebenen Bewegung eines starren Körpers kann durch drei auf den Schwerpunkt S bezogenen Trägheitsgrößen , und ersetzt werden.

Sxm Sym SJ

• Diese Trägheitsgrößen sind bei positiven Beschleunigungen entgegengesetzt zu den positiven Koordinaten x, y und gerichtet (vgl. Bild 3.29 b).

• Mit diesen Trägheitsgrößen kann das D’ALEMBERTsche Prinzip für Punktmassen (Kapitel 3.3.1) auf starre Körper erweitert werden, indem als dritte Trägheitsgröße hinzugefügt wird.SJ

D’ALEMBERTsches Prinzip für die ebene Bewegung starre Körper

entgegengesetzt zu den positiven Beschleunigungsrichtungen (bzw. was gleichbedeutend ist, entgegengesetzt zu den positiven Koordinatenrichtungen) hinzugefügt!

Schnittprinzip und Gleichgewichtsbedingungen können wie in der Statik benutzt werden, wenn man im Schwerpunkt S des starren Körpers

SJ SJsowie das Moment D´ALEMBERTsches Moment

S

S

ym

xm

S

S

ym

xm

D´ALEMBERTsche Kräftedie Kräfte

Die Gleichungen (3.40)

lassen sich wie folgt interpretieren:

SDx xmF SDy ymF SDS JM (3.40)

Ende?

3 DynamikSeite: 51


Beispiel 3.8 Dünner homogener Stab (Querschnittsabmessungen << Stablänge)

S

l/2l/2

m, A

Bild 3.31 Dünner homogener Stab

Hinweis zur Ermittlung des Massenträgheitsmomentes JS:

m

2S dmrJ

m

2S dmrJ

r

m, V,

dmS

Bild 3.30 Berechnung von JS

JS ist das (axiale) Massenträgheitsmoment für eine Bezugsachse senkrecht zur Zeichenebene durch den Punkt S. Es gilt allgemein (vgl. Gleichung (3.39) und Bild 3.30)

v

2S dVrJ

v

2S dVrJund mit dm = dV folgt (3.41)

Falls = konst. ist, wird v

2S dVrJ

v

2S dVrJ (3.42)

r dr dV=A·dr

V

2S dVrJ

Damit folgt aus Gleichung (3.42)

- Dichtem - Gesamtmassel - GesamtlängeA - Querschnittsfläche

Es sei (vgl. Bild 3.31):

2lm121

JS 2lm

121

JS (3.43)

2

2

3r3

1A

l

l

3A12

1l

33

22A

3

1 ll 2

m

A12

1ll

2

2

Adrr2

l

l

Ende?

3 DynamikSeite: 52


Beispiel 3.9 Homogene Kreisscheibe (bzw. Vollzylinder)

- Dichtem - Gesamtmasseh - ScheibendickeR - Scheibenradius

Es sei:

S

R

, m, h

Bild 3.32 Homogene Kreisscheibe

d

r dr

dV=rddrh

2

m

24S RhR

2

1Rh

2

1J

drdrhdVrJ

R

0

2

0

3

V

2S

Mit Bild 3.32 folgt aus Gleichung (3.42)

R

0

4S r

4

12hJ

2S mR

2

1J

2S mR

2

1J (3.44)

Ende?

3 DynamikSeite: 53


m

Bild 3.33 Definition der Bezugssysteme für den STEINERschen Satz

S

A

y

x

Der STEINERsche Satz für Massenträgheitsmomente

Ziel: Berechnung eines Zusammenhangs zwischen den Massenträgheitsmomenten für parallele Achsen (senkrecht zur Zeichenebene) durch A und den Schwerpunkt S (Bild 3.33).

Ziel: Berechnung eines Zusammenhangs zwischen den Massenträgheitsmomenten für parallele Achsen (senkrecht zur Zeichenebene) durch A und den Schwerpunkt S (Bild 3.33).

x

y

xS

yS

rS

r

r

y

dm

x

x

y

Voraussetzung:• x und y sind Achsen durch den Schwerpunkt S

• x und y sind parallele Achsen zu x und y durch A

Für das Massenträgheitsmoment bezogen auf die Achse durch A folgt nach Gleichung (3.39) und Bild 3.33:

m

2s

2S

m

2A dmyyxxdmrJ

m

2S

2S

2S

2SA dmyyy2yxxx2xJ

0

mS

0

mS

m

22

m

2S

2SA dmyy2dmxx2dmyxdmyxJ

Mit (siehe Bild 3.33) 2S

2S

2S yxr 222 yxr und wird das Massenträgheitsmoment JA

m

2

m

2SA dmrdmrJ mrJJ 2

SsA mrJJ 2SsA STEINERsche Satz (3.45)

Hinweis: Die beiden letzten Integrale werden Null, da es sich um statische Momente bezogen auf Schwerpunkt-achsen handelt (siehe Kapitel1.9.3, S 129).

Ende?

3 DynamikSeite: 54


Für die Berechnung von Massenträgheitsmomenten zusammengesetzter Körper gilt der folgen-de Satz (vgl. Kapitel 1.10.5, S 146):

Die große Ähnlichkeit der Definitionsformel (3.39) für das Massenträgheitsmoment JS mit denen der Flächenträgheitsmomenten Ixx, Iyy und der für sie geltenden STEINERschen Sätze erlaubt die analoge Übertragung der allgemeinen Aussagen zu den Flächenträgheitsmomenten (vgl. Kapitel 1.10, S 134) auf die Massenträgheitsmomente.

mrJJ 2SsA mrJJ 2

SsA STEINERsche Satz (3.45)

Beachte: S muss der Schwerpunkt des Körpers sein! A ist ein beliebiger Punkt. Die beiden Achsen durch S und A, auf die sich JS und JA beziehen, müssen parallel zueinander sein und haben den Abstand rS.

Beachte: S muss der Schwerpunkt des Körpers sein! A ist ein beliebiger Punkt. Die beiden Achsen durch S und A, auf die sich JS und JA beziehen, müssen parallel zueinander sein und haben den Abstand rS.

Satz: Massenträgheitsmomente können addiert werden, wenn sie auf gleiche Achsen bezogen sind. Sind sie nicht auf gleiche Achsen, aber ansonsten parallele Achsen, bezogen, so lassen sie sich mit Hilfe des STEINERschen Satzes (3.45) auf eine der parallelen Achsen umrechnen.

Satz: Massenträgheitsmomente können addiert werden, wenn sie auf gleiche Achsen bezogen sind. Sind sie nicht auf gleiche Achsen, aber ansonsten parallele Achsen, bezogen, so lassen sie sich mit Hilfe des STEINERschen Satzes (3.45) auf eine der parallelen Achsen umrechnen.

Ende?

3 DynamikSeite: 55


Beispiel 3.10 Dünner homogener Stab (vgl. Beispiel 3.8)

Gesucht: Massenträgheitsmoment bezogen auf eine Achse durch A

Mit dem STEINERschen Satz

mrJJ 2SSA

A

l/2l/2

m (Gesamtmasse)S

Bild 3.34 Dünner homogener Stab; Massenträgheitsmoment für parallele Achsen

und2

rSl

(vgl. Bild 3.34)

2S m

12

1J l (siehe Beispiel 3.8, Gleichung (3.43))

m2

m12

1J

22

A

ll

folgt

2A m

3

1J l

2A m

3

1J l (3.46)

Ende?

3 DynamikSeite: 56


(3.47) 22222122

21

S rherrhRRhJ1

Beispiel 3.11 Homogene Kreisscheibe mit exzentrischem Kreisloch

S1

R

, Dicke h

r

A

e

22 eRa

a

Bild 3.35 Kreisscheibe mit Kreisloch

S2

Gesucht: Massenträgheitsmoment bezogen auf die Achsendurch S1 und durch A

Geometrische Voraussetzung: e R und r R - e

Lösungshinweis: Die Massenträgheitsmomente werden durch Subtraktion des Massenträgheitsmomentes des „Lochs“ von dem der Vollscheibe berechnet, wobei beide auf die Achse durch S1 bzw. A bezogen sein müssen!

Lösungshinweis: Die Massenträgheitsmomente werden durch Subtraktion des Massenträgheitsmomentes des „Lochs“ von dem der Vollscheibe berechnet, wobei beide auf die Achse durch S1 bzw. A bezogen sein müssen!

Massenträgheitsmoment bezogen auf Achse durch S1:Mit dem Massenträgheitsmoment für eine Vollscheibe (3.44) und dem STEINERSchen Satz (3.45) folgt

Loch,SollV,SS 111JJJ Loch

22Loch2

12Voll2

1 mermRm

224421 r2erRh

Massenträgheitsmoment bezogen auf Achse durch A:

LochA,A,VollA JJJ

2222212222

21

A rharrhRhRRRhJ

Loch22

Loch21

Voll22

Voll21 marmmRRm

(3.48)222 eRa mit 224421

A ra2rR3hJ 224421

A ra2rR3hJ

Ende?

3 DynamikSeite: 57


Aus den Ergebnissen für die Kreisscheibe mit Loch folgen weitere Sonderfälle:

Homogene Kreisringscheibe (Hohlzylinder)

, Dicke h

r

S

R

A

Bild 3.36 Kreisringscheibe

4421

S rRhJ

Für eine homogene Kreisringscheibe (Bild 3.36) folgt aus (3.47) mit e = 0 und

22 rRhm (Masse der Kreisringscheibe)

2221

S rRmJ 2221

S rRmJ (3.49)

Aus (3.48) folgt mit e = 0, a = R

224421

A rR2rR3hJ

22222221

A rRrrRR3hJ

2221

A rR3mJ 2221

A rR3mJ (3.50)

Hinweis: Das Massenträgheitsmoment JA kann für die Kreisringscheibe (e = 0, a = R) auch aus JS mit dem STEINERschen Satz berechnet werden:

2221222

212

SA r3RmmRrRmmRJJ

222221 rRrRh

2222222221 rRrR3rrRR3h

Ende?

3 DynamikSeite: 58


Homogene Kreisscheibe (Vollzylinder):

Die Ergebnisse für die Kreisringscheibe enthalten für r = 0 den Sonderfall der homogenen Kreisscheibe (bzw. für den Vollzylinder). Das Massenträgheitsmoment JS für die Schwerpunktachse wurde bereit im Beispiel 3.9 berechnet. Aus Gleichung (3.49) erhalten wir natürlich das gleiche Ergebnis: m, Dicke h

S

R

A

Bild 3.37 Homogene Kreisscheibe2

21

S mRJ

Die Gleichung (3.50) liefert das auf A bezogene Massenträgheitsmoment (Bild 3.37):

223

A mRJ 2

23

A mRJ (3.51)

Ende?

3 DynamikSeite: 59


Berechnungsablauf:

3.3.3 Aufstellung von Bewegungsgleichungen

1. Definition von n Bewegungskoordinaten für eine allgemeine ausgelenkte Lage des Systems. Es können mehr Koordinaten eingeführt werden, als das System Freiheitsgrade hat.

2. Bestimmung der Anzahl der Freiheitsgrade f.3. Gegebenenfalls Ermittlung der Zwangsbedingungen zwischen den Koordinaten, wobei sich

die erforderliche Anzahl der Zwangsbedingungen z aus z = n - f ergibt.

5. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen.6. Einarbeiten der Zwangsbedingungen.7. Auflösen der Gleichgewichtsbedingungen nach den unbekannten Beschleunigungen,

Kräften und Momenten.8. Integration der Bewegungsgleichungen (wenn erforderlich).

4. Freischneiden der Massenpunkte und der Körper in einer ausgelenkten Lage und Antragen der eingeprägte Kräfte und Momente sowie der Reaktionskräfte, der Reibungskräfte und -momente entgegen der wirklichen Bewegungsrichtung, der D´ALEMBERTschen Kräfte und Momente entgegengesetzt zu den positiven Beschleunigungsrichtungen (bzw. Koordinatenrichtungen).

am

J

Eine Grundaufgabe der Kinetik ist das Aufstellen von Bewegungsgleichungen. In den Beispielen 3.6 und 3.7 hatten wir bereits mit Hilfe des D’ALEMBERTschen Prinzips Bewegungsgleichungen für Punktmassen aufgestellt. Hier soll der typische Ablauf bei der Anwendung des D’ALEMBERTschen Prinzips für Systeme aus Punktmassen und starren Körpern gezeigt werden.

Hinweis: Die Anzahl der unabhängigen Bewegungsgleichungen eines Systems stimmt mit der Anzahl der Freiheitsgrade des Systems überein. Hinweis: Die Anzahl der unabhängigen Bewegungsgleichungen eines Systems stimmt mit der Anzahl der Freiheitsgrade des Systems überein.

Ende?

3 DynamikSeite: 60


SR

m

0

x

P

Bild 3.38 Rollen einer Kreisscheibe

Beispiel 3.12 Reines Rollen einer homogenen Kreisscheibe

Gegeben: m, R, , g, 0, JS = ½ mR2

Gesucht: a) Bewegungsgleichung für reines Rollenb) Bedingung für reines Rollen (kein Gleiten an der Kontaktstelle P)

1. Bewegungskoordinaten:

a) Bewegungsgleichung (Berechnungsablauf vgl. oben)

n = 2

3. Anzahl der Zwangsbedingungen: z = n - f = 2 - 1 = 1

2. Anzahl der Freiheitsgrade: f = 1

x = R·

Zwangsbedingung für eine rollende Kreisscheibe (vgl. dazu Beispiel 3.4):

x - beschreibt Lage des Schwerpunktes S

- beschreibt Drehwinkel der Scheibe

4. Freischneiden, Kräfte und Momente antragen (siehe Bild 3.39 nächste Seite)

Ende?

3 DynamikSeite: 61


SR

x

P

FH

(Haftkraft)FH

FN

FN

mx..

JS..

mg

5. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen

mg·sin

mg·cos

0mgcosF: N

Bild 3.39 Freigeschnittene Kreisscheibe(allgemeine Lage) mit eingeprägter Kraft (mg), Reaktionskräften (FN , FH ) undD’ALEMBERTschen Trägheitsgrößen

(1) 0RmgsinRxmJ:P s

Es folgt aus (1) mit JS = ½ mR2 :

0RmgsinRxmR

xmR

2

1 2

(2)0sing3

2x

sing32

x sing32

x

7. Auflösen von (2) nach x liefert die Bewegungsgleichung für die Beschleunigung des Schwerpunktes der Kreisscheibe:

..

Bewegungsgleichung

mgcosFN

R

x

6. Einarbeiten der Zwangsbedingungen

Wir wollen die Bewegungsgleichung für die Koordinate x aufstellen. Deshalb eliminieren wir die Koordinate und deren Ableitungen mit Hilfe der Zwangsbedingung

x = R·

aus den GleichgewichtsbedingungenR

x bzw.

xmmgsinFH 0mgsinxmF: H

Ende?

3 DynamikSeite: 62


Damit reines Rollen (kein Gleiten an der Kontaktstelle) stattfindet, muss die während der Bewegung auftretende Haftkraft FH stets kleiner oder gleich der maximal möglichen Haftkraft sein.

b) Bedingung für reines Rollen

Hinweis: Durch Integration kann man aus der Beschleunigung x die Geschwindigkeit x(t) und den Weg x(t) gewinnen. Mit der Zwangsbedingung lässt sich damit auch die Winkelbeschleunigung , die Winkelgeschwindigkeit (t) und der Winkel (t) berechnen.

.

.. .

..

Das bedeutet

N0maxHH FFF

Mit FH und FN sowie der Beschleunigung x (siehe vorherige Seite) folgt daraus (die Betrag-striche dürfen wir weglassen, da FH und FN in unserem Fall größer Null sind):

..

cosmgxmsinmg 0

cosmgsing3

2msinmg 0

tan3

10

tan3

10 Bedingung für reines Rollen

cosmgsinmg3

10

Ende?

3 DynamikSeite: 63


x2

x1

Beispiel 3.13 System aus drei Massen

S

R2

R1

JS, m

m1

m2

x1

x2

Bild 3.40 System aus drei Massen

Gegeben: m1 = 1000 kg, m2 = 40 kg

R1 = 0,2 m, R2 = 0,4 m

Js = 1 kg m2, = 0,2

Gesucht: Bewegungsgleichung von m1

(Abwärtsbewegung) und von m2

1. Bewegungskoordinaten: x1, x2, n = 3


3. Anzahl der Zwangsbedingungen: z = n - f = 3 - 1 = 2

Die zwei benötigten Zwangsbedingungen lassen sich zweckmäßig an der Umlenkrolle ableiten (vgl. Bild 3.41 und Kapitel 3.2.3, Beispiel 3.4 und Beispiel 3.5).

x1 = R1·

x2 = R2·

1

1

Rx

(1)

11

22 x

RR

x (2)

Bild 3.41 Zwangsbedingungen an der Umlenkrolle

S

R1

R2 x1

Ende?

3 DynamikSeite: 64


x2

x1

S

R2

R1

4. (bis 7.) Freischneiden (Bild 3.42) / Gleichgewichtsbedingungen / Einarbeiten der Zwangs-bedingungen / Auflösen nach x1:

..

FS2

m2x2

..

FR FN

m2g

0xmFF: 22S2R

FN = m2g

m1g

m1x1

..

FS1

FS1

FSH

FSV

JS..FS2

mg

Bild 3.42 Freigeschnittenes Massensystem (allgemeine Lage) mit eingeprägten Kräften, Reaktionskräften und D’ALEMBERTschen Trägheitsgrößen

0gmF: 2N

Kräftegleichgewicht an der Masse m2:

22R2S xmFF

Mit dem COULOMBschen Reibgesetzund der Zwangsbedingung (2) wird die Seilkraft FS2

gmFF 2NR

gmxR

RmF 21

1

22S2 (3)

Das Momentengleichgewicht um den Lagerpunkt S der Umlenkrolle liefert:

0RFJRF:S 2S2s1S1

Mit der Zwangsbedingung (1) und FS2 (3) folgt

121

SS2

1

2S1 x

R

JF

RR

F 121

S2

1

212

2

1

2S1 x

R

Jgμm

R

Rxm

R

RF

(4)

Kräftegleichgewicht an der Masse m1:

0xmgmF: 111S1 111S1 xmgmF (5)

Ende?

3 DynamikSeite: 65


Aus (4) und (5) folgt schließlich die Bewegungsgleichung für die Masse m1

2111112

1

s2

1

212

2

1

2 RxmgmxR

Jgm

RR

xmRR

gmRRgmRxJmRmR 2211211s1

212

22

gJRmRm

RRmRmx

s222

211

212211

1

g

JRmRm

RRmRmx

s222

211

212211

1

(6)

21s

m8,14x 21

s

m8,14x

Mit den gegebenen Zahlenwerten wird die Beschleunigung der Masse m1

Die Beschleunigung der Masse m2 folgt mit (6) aus der Zwangsbedingung (2) zu

gJRmRm

RmRRmx

R

Rx

s222

211

222211

11

22

gJRmRm

RmRRmx

R

Rx

s222

211

222211

11

22

212s

m28,16x2x 212

s

m28,16x2x

und mit den gegebenen Zahlenwerten

Ende?

3 DynamikSeite: 66


m

x

y

Bild 3.43 Definition der Arbeit

dr

r

F

3.4 Energiebetrachtungen

Das D’ALEMBERTsche Prinzip zur Ermittlung von Bewegungsgleichungen ist in der Regel für alle praktischen Aufgaben der Technischen Mechanik anwendbar und liefert neben den Bewegungs-gesetzen auch die dabei auftretenden Kräfte und Momente. Bei bestimmten Problemstellungen kann aber die Anwendung von Energiemethoden zweckmäßiger sein und zu einer wesentlichen Verkürzung des Rechenganges führen. Deshalb sollen im Folgenden dafür die Grundlagen vermittelt werden.

Beachte: Die Arbeit ist eine skalare Größe!Beachte: Die Arbeit ist eine skalare Größe!

Wir betrachten zunächst einen Massenpunkt auf einer bekannten Bahnkurve (Bild 3.43).

cosrdFrdFdW

Die differentielle Arbeit dW, die von der Kraft auf dem Weg verrichtet wird, ist

rd

F

3.4.1 Arbeit, Energie, Leistung

3.4.1.1 Arbeit

Die zwischen den zwei Bahnpunkten (1) und (2) von der Kraft geleistete Arbeit ergibt sich aus der Integration über den Weg von (1) nach (2) und ist somit

F

r2

r1

(1)

(2)

2

1

r

r

rdFW

(3.52)

Ende?

3 DynamikSeite: 67


Wir setzen jetzt in der Gleichung (3.52) für das NEWTONsche Grundgesetz (3.32) ein und erhalten

F

dtvmd

F

rd

dt

vmdW

2

1

r

r

21

22 mv

21

mv21

W

Für m = konstant und mit erhalten wirvdtrd

rddt

vdmW

2

1

r

r

Wir definieren die so genannte kinetische Energie als

2mv2

1T

2mv2

1T (3.53)

vdvm2

1

v

v

2

1

v

v

2v2

1m

und erhalten damit für die Arbeit der Kraft von (1) nach (2)F

12 TTW 12 TTW

Diese Gleichung ist der so genannte Arbeitssatz, der wie folgt interpretiert werden kann (siehe nächste Seite).

Ende?

3 DynamikSeite: 68


Arbeitssatz: Die längs einer Bahn zwischen zwei Bahnpunkten (1) und (2) geleistete Arbeit der Kraft ist gleich der Änderung der kinetischen Energie zwischen den beiden Punkten:

Arbeitssatz: Die längs einer Bahn zwischen zwei Bahnpunkten (1) und (2) geleistete Arbeit der Kraft ist gleich der Änderung der kinetischen Energie zwischen den beiden Punkten:

F

Hinweis: Da die Zwangskräfte (Bindungs- und Führungskräfte) bei Systemen mit starren Bindungen keine Arbeit leisten, gilt der Arbeitssatz auch für Systeme aus Massenpunkten!

wobei Fx, Fy und Fz die Projektion von auf die Koordinatenachsen x, y und z sind. F

Ein Sonderfall liegt vor, wenn die Arbeit W unabhängig vom Integrationsweg zwischen den Punkten (1) und (2) ist. Der Integrationsweg ist in diesem Fall beliebig und das Ergebnis nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig. Diesen wichtigen Sonderfall wollen wir nachfolgend näher betrachten.

Ein Sonderfall liegt vor, wenn die Arbeit W unabhängig vom Integrationsweg zwischen den Punkten (1) und (2) ist. Der Integrationsweg ist in diesem Fall beliebig und das Ergebnis nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig. Diesen wichtigen Sonderfall wollen wir nachfolgend näher betrachten.

In kartesischen Koordinaten x, y und z kann man den Arbeitssatz auch wie folgt aufschreiben:

21

2212

2

1zyx

2

1

mv2

1mv

2

1TTdzFdyFdxFrdFW

(3.55)

Einheit der Arbeit: N m, J (Joule) [1 J = 1 N m]

21

2212

r

r

mv21

mv21

TTrdFW2

2

(3.54)

Ende?

3 DynamikSeite: 69


3.4.1.2 Potentielle Energie

Wir wollen dieses Differential mit -dU bezeichnen, wobei das Minuszeichen aus Zweckmäßigkeits-gründen eingeführt wurde.

ist nur dann wegunabhängig (vgl. Sonderfall oben), wenn der Integrand ein vollständiges Differential ist!

Das Integral in Gleichung (3.55)

2

1

2

1zyx dzFdyFdxFrdFW

(3.56)

Ein vollständiges Differential kann folgendermaßen geschrieben werden

dzzU

dyyU

dxxU

dU

(3.58)

Aus dem Vergleich von (3.57) mit (3.58) folgt

xU

Fx

y

UFy

z

UFz

(3.59)

Ob eine Kraft wirklich eine Potentialkraft ist, kann man durch Differentiation von (3.59) über-prüfen, was zu folgenden Bedingungsgleichungen führt:

x

F

y

F yx

y

F

z

F zy

zF

xF xz

(3.60)

Typische Potentialkräfte sind zum Beispiel: Schwerkräfte, Federkräfte, Magnetkräfte usw.Typische Potentialkräfte sind zum Beispiel: Schwerkräfte, Federkräfte, Magnetkräfte usw.

dzFdyFdxFdU zyx (3.57)

Dann gilt

Ende?

3 DynamikSeite: 70


Setzen wir Gleichung (3.57) in (3.56) ein, so erhalten wir für Potentialkräfte

(3.61)

2

2

11 UUdUW

2

2

11 UUdUW

Die Funktion U bezeichnet man als Potential bzw. als potentielle Energie.Die Funktion U bezeichnet man als Potential bzw. als potentielle Energie.

Die Gleichung (3.61) drückt aus, dass bei Potentialkräften nur dann Arbeit frei wird, wenn eine Änderung des Potentials, d.h. eine Lageänderung stattfindet.Die Gleichung (3.61) drückt aus, dass bei Potentialkräften nur dann Arbeit frei wird, wenn eine Änderung des Potentials, d.h. eine Lageänderung stattfindet.

3.4.1.3 EnergieerhaltungssatzFür Potentialkräfte folgt aus den Gleichungen (3.55) und (3.61) :

U1 - U2 = T2 - T1

Energiesatz: Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie ist konstant!Energiesatz: Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie ist konstant!

Achtung: Der Energiesatz in dieser Form gilt nur für konservative Systeme (d.h. Systeme, bei denen alle Kräfte Potentialkräfte sind!).Achtung: Der Energiesatz in dieser Form gilt nur für konservative Systeme (d.h. Systeme, bei denen alle Kräfte Potentialkräfte sind!).

Sind im System Kräfte zu berücksichtigen, die kein Potential haben (z. B. Reibkräfte, Antriebs-kräfte usw.), so muss der Energiesatz noch ergänzt werden (siehe hierzu Kapitel 3.4.2).

Mit Hilfe des Energiesatzes lassen sich häufig bei speziellen Aufgabenklassen und Frage-stellungen einfache Lösungen ermitteln (siehe die weiter unten aufgeführten Beispiele).

bzw.

U1 + T1 = U2 + T2 = konst.U1 + T1 = U2 + T2 = konst. (3.62)

Ende?

3 DynamikSeite: 71


x

y

.z

m

Bild 3.44 Potential der Schwerkraft

dymgdU dymgdU

Beispiele für das Potential (potentielle Energie) von Potentialkräften

Beispiel 3.14 Potential der Schwerkraft

g F = mg

Die Schwerkraft einer Masse m kann in dem (x,y,z)-Bezugssystem wie folgt dargestellt werden (vgl. Bild 3.44)

0

mg

0

F

F

F

F

z

y

x durch Vergleich mit Gleichung (3.59)

mgy

UFy

0Fx 0Fz

Die y-Komponente von gestattet die Berechnung des Potentials U, indem über y integriert wird. Da die x- und die z-Komponenten der Schwerkraft bei dieser Wahl des Bezugssystems Null sind, wird U unabhängig von x und z und die partielle Differentiation geht in eine gewöhnliche über.

F

mgdy

dUEs gilt

CymgU CymgU und nach der Integration (3.63)

Die potentielle Energie ist also bis auf eine Konstante C bestimmbar. Durch Festlegung einer horizontalen Bezugslinie – dem Nullpotential – mit U(y = 0) = 0 ergibt sich C = 0, und das Potential der Schwerkraft wird (3.63)

Hinweis: Die Ergebnisse, die mit Hilfe des Potentials gewonnen wurden, sind natürlich von der willkürlichen Lage des Nullpotentials unabhängig!

Hinweis: Die Ergebnisse, die mit Hilfe des Potentials gewonnen wurden, sind natürlich von der willkürlichen Lage des Nullpotentials unabhängig!

(3.64)ymgU ymgU

U = 0

Ende?

3 DynamikSeite: 72


Beispiel 3.15 Potential einer Feder

= 0

c

= 0

xc

Bild 3.45 Definition der Federkraft

Annahme: Die Feder ist bei x = 0 entspannt!

xy

.z

F = cx

Die Federkraft wird für das so definierte Bezugssystem

0

0

cx

F

F

F

F

z

y

x durch Vergleich mit Gleichung (3.59)

0F0Fcxx

UF zyx

Daraus folgt analog zu dem vorhergehenden Beispiel 3.14

cxx

U

und nach der Integration ergibt sich Cxc2

1U 2

Wegen der Annahme, dass die Feder bei x = 0 entspannt ist, gilt U (x = 0) = 0 und C = 0. Das Potential der Feder wird damit

2xc21

U 2xc

21

U (3.65)

Hinweis: Die potentielle Energie der Feder ist mit der Formänderungsarbeit identisch!

dxxcdU dxxcdU

Ende?

3 DynamikSeite: 73


Beispiele für den Energieerhaltungssatz

Beispiel 3.16 Masse auf schiefer Ebene mit Pufferfeder

c

v = 0m 1Gegeben: m, h, c, g, ,= 0Anfangsgeschwindigkeit v = 0

v = 0f 3

hf

v = vA2

h

Energiesatz (3.62): U1 + T1 = U2 + T2 = U3 + T3

a) Geschwindigkeit vA

U1 = mgh , T1 = 0 (Masse ruht)

U2 = 0 , T2 = ½·mvA2

Aus U1 + T1 = U2 + T2 folgt

2Amv

2

100mgh

2ghvA 2ghvA

b) Maximale Zusammendrückung f der Feder

U3 = -mghf + ½·cf2 T3 = 0

Aus U1 + T1 = U3 + T32cf

2

1fsinαmgmgh

0c

mgh2fsinα

cmg

2f2

c

mgh2sinα

c

mgsinα

c

mgf1,2

2

2sinmg

2hc11sinα

c

mgf

2sinmg

2hc11sinα

c

mgf

= -mg·fsin + ½·cf2,

Hinweis:Das negative Vorzeichen ist mechanisch nicht sinnvoll (f negativ).

Hinweis:Das negative Vorzeichen ist mechanisch nicht sinnvoll (f negativ).

Wahl des Nullpotentials:

U = 0

yGesucht: a) Geschwindigkeit vA der

Masse beim Auftreffen auf die Federb) Maximale Zusammendrückung f der Feder

U = 0 in der Lage (2) Bild 3.46 Masse auf schiefer Ebene mit Pufferfeder

Mit (3.53), (3.64) und (3.65) folgt:

Ende?

3 DynamikSeite: 74


Beispiel 3.17 Fall einer Masse auf einen elastischen Balken

Gegeben: m, h, g, E, a, b, lm

h

l

b

a

Die Verschiebung eines Kragbalkens (Bild 3.48) mit einer Kraft F am freien Ende wird an der Lastangriff-stelle (vgl. Kapitel 2.3.3, Hinweis zum Beispiel 2.9, F 75)

folgt3ers

3EI

f

Fc

l

Der Energiesatz kann jetzt auf das Ersatzsystem nach Bild 3.49 angewandt werden (siehe nächste Seite).

fGesucht: a) Maximale Verschiebung f

b) Betrag der maximalen Normalspannung im Balken

a) Maximale Verschiebung des Balkens

Die Lösung kann analog zum Beispiel 3.16 erfolgen, wenn die Federsteifigkeit des Balkens bekannt ist!

Bild 3.47 Fall einer Masse auf einen Balken

Ermittlung der Federsteifigkeit des Balkens:

l

EI

f

F

Bild 3.48 Kragbalken

Aus

F = cers·f

3EI

Ff

3l

12

abI

3

mit

Hinweis: Beim Auftreffen soll die Masse auf dem Balken liegen bleiben, wobei kein Energie-verlust eintritt.

Ende?

3 DynamikSeite: 75


mh

f

cers

1

2

U=0y

Bild 3.49 Ersatzsystem für Kragbalken Bild 3.47

Energiesatz (vgl. Bild 3.49): 2211 TUTU

0fc2

1fmg0mgh 2

ers

0c

2mghf

c2mg

fersers

2

ers

2

ersers

22,1 c

mgh2

cmg

cmg

f

mg

2hc11

cmg

f ers

ers

mg

2hc11

cmg

f ers

ers

Mit T1 = 0 und T2 = 0 (die Masse befindet sich in der Ausgangslage (1) und im Moment der maximalen Auslenkung (2) in Ruhe) folgt

Hinweis: Das negative Vorzeichen ist mechanisch nicht sinnvoll (f negativ).

Spezialfall: h = 0

3EI

mg2

cmg

211cmg

0hf3

ersers

l

Schlussfolgerung: Eine aus der Höhe h = 0 plötzlich losgelassene Masse verursacht im Vergleich zu einer „unendlich langsam“ auf den Balken abgesetzten Masse eine doppelt so große Verformung.

Schlussfolgerung: Eine aus der Höhe h = 0 plötzlich losgelassene Masse verursacht im Vergleich zu einer „unendlich langsam“ auf den Balken abgesetzten Masse eine doppelt so große Verformung.

Mit der Verschiebung für eine „statische“ Belastung durch F = mg: wird3EI

mg

3EI

Ff

33

statischll

statischf20hf statischf20hf

Ende?

3 DynamikSeite: 76


b) Betrag der maximalen Normalspannung

Aus dem Federgesetz ergibt sich die am Balkenende wirkende maximale Kraft zu

fcF ersmax

Die maximalen Normalspannung tritt an der Stelle des maximalen Biegemomentes (Einspann-stelle des Balkens) auf. Mit dem Betrag des maximalen Biegemomentes Mbmax = Fmaxl wird der Betrag der maximalen Spannung an der Einspannstelle

b

max

b

maxmax W

F

W

M l

2max

maxab

6F l

2b ab

61

W mit (für den Rechteckquerschnitt)

2ers

maxab

f6c l 2

ersmax

ab

f6c l

Mit Fmax = cersf folgt daraus

In diese Gleichung kann für f sowohl das allgemeine Ergebnis, als auch das Ergebnis für den Spezialfall h = 0 eingesetzt werden.

statischmax 20h statischmax 20h

Es ist offensichtlich, dass für die maximale Normalspannung im Spezialfall h = 0 ein analoger Zusammenhang wie für die Verschiebung gilt:

Ende?

3 DynamikSeite: 77


• alle Geschwindigkeiten und Wege für zwei ausgezeichneten Lagen einer Bewegung bekannt sind und eine Größe in den Energieausdrücken (z. B. Masse, Federzahl, Winkel usw.) gesucht wird.

Worin liegt der Vorteil bei der Anwendung des Energiesatzes?

Die Anwendung ist immer dann vorteilhaft, wenn

• eine Geschwindigkeit oder ein Weg für eine von zwei ausgezeichneten Lagen einer Bewegung gesucht wird und alle anderen Größen in diesen beiden Lagen bekannt sind oder wenn

Ende?

3 DynamikSeite: 78


3.4.1.4 Leistung

rdFdW

Mit (siehe Kapitel 3.4.1.1) folgt daraus

dt

rdFP

Die Einheit der Leistung ist das Watt:s

Nm1W1

Wir haben gesehen, dass der Arbeitsbegriff keine Angabe über die Zeit enthält, in der eine Arbeit verrichtet wird. Oft braucht man jedoch diese Angabe. Wir führen dazu die Leistung als die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit ein:

dtdW

P dt

dWP Leistung (3.66)

und mit vdtrd

kann die Leistung auch in folgender Form angegeben werden

vFP

vFP

Leistung (3.67)

Häufig findet man noch Leistungsangaben in PS. Diese Leistungsangabe ist veraltet und entspricht nicht den verbindlichen SI-Einheiten.

W735,5PS1 Für die Umrechnung gilt:

Ende?

3 DynamikSeite: 79


Beispiel 3.18 Berechnung des Fahrwiderstandes eines PKW’s

Ein PKW erreicht bei der Leistung von 150 PS eine maximale Geschwindigkeit von 200 km/h. Wie groß ist die am Auto angreifende Widerstandskraft FW?

Die in der Aufgabenstellung veraltete Angabe der Leistung rechnen wir zunächst in eine Leistung mit der verbindlichen SI-Einheit Watt um.

P = 150 PS = 150 . 735,5 W = 100,3 . 103 W = 100,3 kW

Für die Leistung gilt nach Gleichung (3.67)

P = FWvmax

und daraus folgt

s3600m1000

200

W10110,3v

PF

3

maxW

N1985FW N1985FW

Ende?

3 DynamikSeite: 80


Beispiel 3.19 Leistung eines Pumpspeicherwerkes

Welche Leistung hat ein Pumpspeicherwerk, wenn zwischen 19.00 Uhr und 22.30 Uhr ein Wasservolumen von VW = 250.000 m³ in den Rohren nach unten fließt und dabei einen Höhenunterschied von h =120 m überwindet? Der Wirkungsgrad der Anlage beträgt = 0,86.

mWgh + 0 = 0 + T2 T2 = mWgh

ges

ges

t

WP mit tges = 3,5 h

Die kinetische Energie T2 ist gleich der gesamten vom Wasser geleisteten Arbeit Wges

Wges = T2 = mWgh

Die Arbeit Wges ermitteln wir mit Hilfe des Energiesatzes. Im Ausgangszustand (1) befindet sich die gesamte Wassermasse mW

im Oberbecken mit der Geschwindigkeit Null. Über 3,5 h ergießt sich die Wassermasse in den Endzustand (2) ins Unterbecken, wobei insgesamt die kinetische Energie T2 zur Verfügung steht (vgl. Bild 3.50).

Die Leistung bei Berücksichtigung des Wirkungsgrades wird

ges

ww

ges

W

ges

ges

t

ghV

t

ghm

t

WP

MW20,1P MW20,1P

dtdW

P Die Gleichung (3.66) liefert:

Bild 3.50

mW

h

1

2 U = 0y

v1=0

U1 + T1 = U2 + T2

Nach dem Energiesatz gilt

s

Nm1020,1

sNm

36003,51209,81101102,50,86 6

35

Ende?

3 DynamikSeite: 81


x

y

Masse m

S

Bild 3.51 Ebene Bewegung eines Körpers

3.4.1.5 Kinetische Energie für die ebene Bewegung eines starren Körpers

Wir betrachten (wie bereits im Kapitel 3.2) auf einem ebenen starren Körper einen fest mit dem Körper verbundenen differentiellen Massepunkt dm.

ry

x

dm

Die Geschwindigkeit von dm kann zusammengesetzt werden aus (vgl. Bild 3.51)yS

.

xS

.

r·sin.

r·cos.r·

.

Die resultierende Geschwindigkeit von dm folgt aus der Überlagerung der Geschwindigkeitskomponenten in x- und in y-Richtung und anschließender geometrischer Addition dieser Komponenten.

cosryy

sinrxx

S

S

m

2res

2res

dmv2

1T

dmv2

1dT

Die kinetische Energie des starren Körper erhalten wir aus der kinetischen Energie des Massen-punktes dm durch Integration über die gesamte Masse m.

m

22S

2S dmcosrysinrx

21

• den Translationsgeschwindigkeiten: xS, yS

(wie der Schwerpunkt S) und

. .

• der Rotationssgeschwindigkeit: r(um den Schwerpunkt S)

.

2S2

S2res cosrysinrxv

222res yxv

Wir erhalten (vgl. Bild 3.51):

Ende?

3 DynamikSeite: 82


Man bezeichnet die zwei Anteile auch als

2Str mv

21

T Translationsenergie

Rotationsenergie2

Srot J21

T

m

22S

2S dmcosrysinrx

21

T

m

222S

2S

222S

2S mdcosrcosry2ysinrsinrx2x

21

T

mdrcossin2

1mdrcosysinxmdyx

2

1T

m

2222

mSS

m

2S

2S

= 1= m [siehe (3.37)] = JS[siehe (3.39)]= 0

[siehe Kapitel 1.9.3, S 129]

2S

2S

2S J

2

1yxm

2

1T

wird die kinetische Energie eines starren Körpers

2S

2S J

21

mv21

T 2

S2S J

21

mv21

T (3.68)

2S

2S

2S yxv Mit vS - resultierenden Geschwindigkeit des Schwerpunktes S

Winkelgeschwindigkeit

Beachte: Die kinetische Energie eines starren Körpers, der eine allgemeine Bewegung in der Ebene ausführt, kann in dieser Form nur aufge-schrieben werden, wenn als Bezugspunkt für die Translation und die Rotation der Schwer-punkt S gewählt wird.

Beachte: Die kinetische Energie eines starren Körpers, der eine allgemeine Bewegung in der Ebene ausführt, kann in dieser Form nur aufge-schrieben werden, wenn als Bezugspunkt für die Translation und die Rotation der Schwer-punkt S gewählt wird.

Ende?

3 DynamikSeite: 83


S

v0

R

m

Bild 3.52 Rollendes Rad

Beispiel 3.20 Rollendes Rad

2o22

o R

vmR

2

1

2

1mv

2

1T

20mv

43

T 20mv

43

T

Gegeben: m, R, v0 (Annahme:Das Rad soll als eine homogene Scheibe angesehen werden)

P

= .

2s

2o J

21

mv21

T

Damit wird die kinetische Energie nach Gleichung (3.68)

R

v0 RRv0

Zwangsbedingung (siehe Beispiel 3.4):

Massenträgheitsmoment des Rades (siehe Beispiel 3.9):

2S mR

2

1J

Gesucht: Kinetische Energie des rollenden Rades bei der Geschwindigkeit v0 des Schwerpunktes

Ende?

3 DynamikSeite: 84


22222

m244

m121

21

2m

21

T

ll

l

22m6

1T l

22m6

1T l

2

vsl

• Translation des Schwerpunktes mit

Beispiel 3.21 Homogenes Stabpendel

Für die Lösung dieses Beispiels wollen wir zwei Lösungsmöglichkeiten betrachten.

1. Lösungsmöglichkeit:

Die Bewegung des Pendels wird als Überlagerung von

Gegeben: m, l, Gesucht: Kinetische Energie

• und Rotation um den Schwerpunktes mit

aufgefasst.

(dünner homogener Stab; siehe Beispiel 3.8) 2s m

12

1J l

Mit

2s

2s J

2

1mv

2

1T

wird die kinetische Energie nach Gleichung (3.68)

Bild 3.53 Stabpendel

= .

A

Sl

m

l2

vS

Ende?

3 DynamikSeite: 85


2. Lösungsmöglichkeit:

Die Bewegung des Pendels wird jetzt als reine Drehung eines starren Körpers um den Punkt A (der auch der Momentanpol ist) aufgefasst. Das Massenträgheitsmoment muss dann auf den Punkt A bezogen werden.

22m6

1T l

22m6

1T l

2AJ

21

T

wird die kinetische Energie nach Gleichung (3.68)

2222

SA m3

1m

4

1m

12

1m

2JJ lll

l

Mit dem STEINERschen Satz (Kapitel 3.3.2, Gleichung (3.45))

Beachte: Der Punkt A ist in Ruhe, so dass die Translationsenergie des Punktes A Null ist.Beachte: Der Punkt A ist in Ruhe, so dass die Translationsenergie des Punktes A Null ist.

Wie erwartet liefert die 2. Lösungsmöglichkeit das gleiche Ergebnis.

Hinweis: Diese 2. Lösungsmöglichkeit könnte auch auf das Beispiel 3.20 Rollendes Rad an-gewandt werden, indem die Bewegung als reine Rotation um den Momentanpol P ange-sehen wird. Für JA ist dann das Massenträgheitsmoment bezogen auf den Momentanpol (Gleichung (3.51)) einzusetzen.

Hinweis: Diese 2. Lösungsmöglichkeit könnte auch auf das Beispiel 3.20 Rollendes Rad an-gewandt werden, indem die Bewegung als reine Rotation um den Momentanpol P ange-sehen wird. Für JA ist dann das Massenträgheitsmoment bezogen auf den Momentanpol (Gleichung (3.51)) einzusetzen.

Bild 3.53 Stabpendel

= .

A

Sl

m

l2

Ende?

3 DynamikSeite: 86


21

2

1P UUrdF

Mit (aus Gleichung (3.56) und (3.61))

3.4.2 Verallgemeinerung des Energiesatzes

Es können natürlich in einem System auch Kräfte auftreten, die keine Potentialkräfte sind (z. B. Reibkräfte, Antriebskräfte usw.). Diese sollen mit bezeichnet werden.F

Der in Kapitel 3.4.1.3 angegebene Energieerhaltungssatz U1 + T1 = U2 + T2 = konst. gilt nur, wenn sich alle Kräfte aus einem Potential herleiten lassen.Die Potentialkräfte wollen wir mit bezeichnen.PF

Mit der verallgemeinerten Kraft FFF P

und dem Arbeitssatz (siehe (3.54))

12

2

1

TTrdFW

folgt für die verrichtete Arbeit der verallgemeinerten Kraft F

2

1P rdFFW

folgt aus (1)

1221 TTWUU bzw. etwas umgestellt (siehe nächste Seite)

(1)

12

2

1

2

1P TTrdFrdF

Arbeit der Kräfte, die kein Potential haben!

2

1

rdFW

2

1

rdFW

(3.69)und

Ende?

3 DynamikSeite: 87


Hinweis: Treten z. B. Antriebs- oder Reibmomenten auf, die ebenfalls kein Potential besitzen, so muss W* um die Arbeit dieser Momente ergänzt werden.Hinweis: Treten z. B. Antriebs- oder Reibmomenten auf, die ebenfalls kein Potential besitzen, so muss W* um die Arbeit dieser Momente ergänzt werden.

2211 TUWTU 2211 TUWTU (3.70)

Mit dieser Verallgemeinerung des Energiesatzes durch die Erweiterung mit der Arbeit der Kräfte, die kein Potential haben, sind wir in der Lage, Systeme zu berechnen, bei denen z. B. so typische Nichtpotentialkräfte wie Reibkräfte und Antriebskräfte auftreten.

2

1

dMW

Arbeit der Momente, die kein Potential haben!

Im Folgenden werden zwei Beispiele behandelt, bei denen Kräfte (Reibkraft bzw. Antriebskraft) auftreten, die kein Potential besitzen.

Ende?

3 DynamikSeite: 88


Beispiel 3.22 Gleitende Masse mit Reibung

2o2

11 mvT 0T2

1 2

U = 0

x

FR = mgFN = mg

mg

l

v0

m v = 0

Beachte: Von den während der Bewegung aufm wirkenden Kräften sind FN und FR keine Potentialkräfte. Da die Führungskraft FN senkrecht zur Bewegungsrichtung x steht, verrichtet sie keine Arbeit. Die Arbeit der Reib-kraft FR fließt über W* in den Energiesatz ein!

Beachte: Von den während der Bewegung aufm wirkenden Kräften sind FN und FR keine Potentialkräfte. Da die Führungskraft FN senkrecht zur Bewegungsrichtung x steht, verrichtet sie keine Arbeit. Die Arbeit der Reib-kraft FR fließt über W* in den Energiesatz ein!

2

1

rdFW

Mit der Arbeit der Reibkraft FR nach Gleichung (3.69)

lx

0xR dxF

folgt aus dem Energiesatz (3.70) 2211 TUWTU

und 0U2 0U1

0mgmv2

1 2o l

g2

v2o

l

ll

mgdxmgx

0x

Gegeben: m, v0, g, m

Gesucht: Nach welcher Strecke l kommt die Masse zur Ruhe?

Bild 3.54 Gleitende Masse mit Reibung

Ende?

3 DynamikSeite: 89


Beispiel 3.23 Bewegung eines Handwagens aus der Ruhe heraus

2

22

R2

R2

w2R

vRm

41

vm21

vm21

T

Rw m

23

m

cosx2Fxv

Rw m23

m

cosx2Fxv

Es gilt der Energiesatz in der Form

U1 + T1 + W * = U2 + T2

2R

2R

2w2 J

2

1vm

2

1vm

2

1T

Rv

Rv sowie der Zwangsbedingung für reines Rollen und mit JR (siehe oben) wird

R

F

mW

mR

SRhW

SW

xcosF

Die Kraft F hat kein Potential. Ihre Arbeit (3.69) wird:

2

1

rdFW

xx

0x

xdFcos

21

U = 0

gRmghmUU RWW21

Durch Einsetzen in den Energiesatz folgt

2RwRWWRWW vm

23

m21

gRmghmxcosFgRmghm

Hinweis: Es wäre auch möglich gewesen, für jede Masse ein eigenes Nullpotential (z. B. durch SW und SR) zu definieren. Damit vereinfacht sich die Rechnung, da dann U1v= U2 = 0 gilt.

Hinweis: Es wäre auch möglich gewesen, für jede Masse ein eigenes Nullpotential (z. B. durch SW und SR) zu definieren. Damit vereinfacht sich die Rechnung, da dann U1v= U2 = 0 gilt.

Bild 3.55 Bewegung eines Handwagens

v = 0x

v(x) = v

0T1 Mit

2Rw vm

2

3m

2

1

2R2

1R RmJ Gegeben: mW, mR, F, R, hw, v(x=0) = 0, (das Rad sei eine homogene Scheibe)

Gesucht: v(x) = v

Ende?

3 DynamikSeite: 90


L = T - U LAGRANGEsche FunktionEs bedeuten:

3.4.3 LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen 2. Art

• Für das Aufstellen der Bewegungsgleichungen kann immer das D’ALEMBERTsche Prinzip benutzt werden. Dieses erfordert Schnittbetrachtungen, das Aufschreiben der Gleichge-wichtsbedingungen und die Elimination der Schnittreaktionen (diese sind oft für die Beurteilung nicht erforderlich), um die Bewegungsgleichungen zu erhalten.

• Bei der Anwendung des Energiesatzes kamen wir bereits ohne Schnittführungen aus. Für Systeme mit mehreren Freiheitsgraden ist er jedoch nicht uneingeschränkt anwendbar.

• Für Systeme mit beliebig vielen Freiheitsgraden führt die Anwendung der LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen 2. Art, ebenfalls ohne Schnittführung, nur unter Verwendung von Energieausdrücken T und U (die oft leicht anzugeben sind) und gegebenenfalls einer „generalisierten Kraft“, auf die Bewegungsgleichungen.

f Anzahl der Freiheitsgradeqk generalisierte (verallgemeinerte) Koordinaten, k = 1, 2,... f

(f voneinander unabhängige Längen- oder Winkelkoordinaten) generalisierte (verallgemeinerte) Kräfte aus eingeprägten, nichtkonservativen Kräften (Kräfte, die kein Potential haben)

kQ

Ohne Herleitung lauten die LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen 2. Art:

kkk

QqL

qL

dtd

mit k = 1, 2,... f (3.71)

Feststellung:

Ende?

3 DynamikSeite: 91


Die generalisierte Kraft in Gleichung (3.71) ist eine neue Größe, deren Berechnung hier ohne Herleitung nur angegeben werden soll.

kQ

(j) k

jje,

i k

iie,

*k q

Mqr

FQ

(j) k

jje,

i k

iie,

*k q

Mqr

FQ

(3.72)

Ermittlung der generalisierten Kraft :kQ

Die Ermittlung von führt über die virtuellen Arbeit aller eingeprägten, nichtkonservativen

Kräfte und Momente auf die allgemeine Berechnungsvorschrift

kQ

i e,F

j e,M

Vorgehensweise bei der Anwendung der LAGRANGEschen BewegungsgleichungenVorgehensweise bei der Anwendung der LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen

1. Beschreibung einer allgemeinen ausgelenkten Lage des Systems durch die Definition von n Koordinaten (n f).

2. Ermittlung der Anzahl der Freiheitsgrade f des Systems; bei n > f müssen z = n - f Zwangsbedingungen aufgestellt werden.

3. Festlegung der generalisierten Koordinaten qk und Ersetzen aller anderen Koordinaten durch diese mit Hilfe der Zwangsbedingungen.

4. Aufschreiben von U und T und Elimination der überzähligen Koordinaten, so daß nur noch die generalisierten Koordinaten qk (mit k = 1, 2,... f) bzw. deren Ableitungen nach der Zeit in U und T verbleiben.

5. Aufschreiben der LAGRANGEschen Funktion L = T - U.

6. Sind nichtkonservative eingeprägte Kräfte vorhanden, so können aus (3.72) die generalisierten Kräfte bestimmt werden.

7. Aufschreiben der LAGRANGEschen Gleichungen (3.71) für k = 1, ... f.

Ende?

3 DynamikSeite: 92


3. Festlegung der generalisierten Koordinaten qk:Wegen f = 1 gibt es nur eine generalisierte Koordinate! Von den drei eingeführten Koordinaten wählen wir als generalisierte Koordinate q1 x1

S

R2R1

JS, m

m1

m2

Gegeben: m1, m2, R1, R2, Js, m, Gesucht: Bewegungsgleichung für m1

(Abwärtsbewegung)

x1

1. Bewegungskoordinaten: x1, x2, n = 3


Anzahl der Zwangsbedingungen: z = n - f = 2

x1 = R1·

x2 = R2·

Zwangsbedingungen (vgl. Beispiel 3.13):

x2

11

22 x

RR

x

1

1

Rx

1

1

Rx (1)

11

22 x

RR

x (2)

4. Aufschreiben von U und T:

,xgmU 11 2s

222

211 J

21

xm21

xm21

T

212

1s

21

2

1

22

211

2,1mitx

R

1J

21

xRR

m21

xm21

T

Mit dem Nullpotential für U durch den Schwerpunkt der Massen, wenn die Koordinaten Null sind (vgl. Bild 3.56), folgt für die dargestellte allgemeine Lage:

U = 0

U = 0

U = 0

Beispiel 3.24 System aus drei Massen (vgl. Beispiel 3.13)

Bild 3.56 System aus drei Massen

Ende?

3 DynamikSeite: 93


(4)1

22 R

Rgm

,xmxL

11

11

1xmxm

dtd

xL

dtd

gm

RR

mmx 1

221

1

21

21s2

1

2

1

221 xm

2

1x

m

JR

1

R

Rmm

2

1T

Die kinetische Energie vereinfachen wir zu

Wir müssen nach (3.72) (wegen f = 1 ist k = 1) berechnen:*1

*k QQ

1121 xgmxm

2

1 (3)

1

1e,1

*1 q

rFQ

7. Aufschreiben der LAGRANGEschen Gleichung (3.71) für k = 1:

,gmxL

11

mit (vgl. (3))

111

QxL

xL

dtd

Aus

gJRmRm

RRμmRmx

s222

211

212211

1

gJRmRm

RRμmRmx

s222

211

212211

1

(vgl. Ergebnis Beispiel 3.13, Seite 355)

m siehe oben

5. Damit wird die LAGRANGEsche Funktion UTL

1

2R x

xF

1

11

2

R x

xR

R

F

Bild 3.57Kontaktkräfte an m2

FR=m2gFN

m2g

x2= x1

R2

R1

1

2211 R

Rgmgmxm

folgt mit aus (4)*1Q

6. Von den während der Bewegung auf die Masse m2 wirkenden nicht-konservativen Kontaktkräften FN und FR leistet nur FR eine Arbeit.

Ende?

3 DynamikSeite: 94


Beispiel 3.25 Zwei-Massen-Schwinger (ohne Reibung)

c1 c3

Gegeben:m1, m2, c1, c2, c3

Gesucht: Bewegungsgleichungen c2

m2

= 0= 0

x2x1

3. Wegen f = 2 und z = 0 sind die generalisierten Koordinaten: q1 x1

q2 x2

1. Bewegungskoordinaten: x1, x2 n = 2

2. Anzahl der Freiheitsgrade: f = 2 Anzahl der Zwangsbedingungen: z = n - f = 0

U = 0

222

211 xm

2

1xm

2

1T

223

2122

211

222

211 xc

21

xxc21

xc21

xm21

xm21

5. Lagrangesche Funktion:

UTL

Beachte: Keine Reibung, keine Antriebskräfte,... Qk* = 06. Generalisierte Kräfte:

m1

4. Aufschreiben von U und T:Annahme: Für x1 = x2 = 0 sind alle Federn entspannt.Das Nullpotential für U geht durch den Schwerpunkt der Massen (vgl. Bild 3.58).

,xc2

1xxc

2

1xc

2

1U 2

232

122211

Damit folgt für die dargestellte allgemeine Lage

2232212

2121

222

211 xcc

2

1xxcxcc

2

1xm

2

1xm

2

1L (1)

Ende?

Bild 3.58 Zwei-Massen-Schwinger (ohne Reibung)

3 DynamikSeite: 95


7. Aufschreiben der LAGRANGEschen Gleichungen (3.71):

,xmx

L11

1

111

xmxL

dtd

,xcxcc

x

L22121

1

Für k = 1 und q1 x1:

mit (1) 2232212

2121

222

211 xcc

21

xxcxcc21

xm21

xm21

L 2232212

2121

222

211 xcc

21

xxcxcc21

xm21

xm21

L

Für k = 2 und q1 x1: ,xccxcx

L23212

2

,xm

x

L22

2

222

xmxL

dtd

Die Bewegungsgleichungen (3) und (4) bzw. ihre verkürzte Form sind ein homogenes System gewöhnlicher Differentialgleichungen, deren Lösung in der Schwingungslehre (Kapitel 3.5.5) behandelt wird.

0x

x

ccc

ccc

x

x

m0

0m

2

1

322

221

2

1

2

1

0x

x

ccc

ccc

x

x

m0

0m

2

1

322

221

2

1

2

1

Die Gleichungen (3) und (4) lassen sich übersichtlich in Matrizenschreibweise angeben:

0 KxxM bzw. in verkürzter Form:

0q

L

q

L

dt

d

kk

für k = 1, 2 (2)

0xcxccxm 2212111 0xcxccxm 2212111 (3)Einsetzen in (2) liefert die erste Bewegungsgleichung

0xccxcxm 2321222 0xccxcxm 2321222 (4)Einsetzen in (2) liefert die zweite Bewegungsgleichung

M - MassenmatrixK - Steifigkeitsmatrixx - Vektor der

Bewegungskoordinatenx - Vektor der Beschleunigungen

..

Ende?

3 DynamikSeite: 96


cosgmcx21

cosx2m21

xmm21

2222

22

21 lll (1)

Beispiel 3.26 Elastisch gebundene Masse mit mathematischem Pendel

3. Wegen f = 2 und z = 0 gibt es zwei generalisierten Koordinaten: q1 x und q2

1. Bewegungskoordinaten: x, n = 2

2. Anzahl der Freiheitsgrade: f = 2 Anzahl der Zwangsbedingungen: z = n - f = 0

Gegeben:m1, m2, c, l

Gesucht: Bewegungsgleichungen m1c

= 0

m2

l

v1 = x.

4. Aufschreiben von U und T (siehe dazu auch Bild 3.59):

x

l·.

U = 0

Die potentielle Energie wird cosgmcx21

U 22 l

und der Geschwindigkeit der Masse m2: 222 sincosxv ll

222

221 cosx2m

21

xmm21

T ll

222

21 sincosxm

2

1xm

2

1 ll

v1 = x.

Die kinetische Energie wird

xv1 mit der Geschwindigkeit der Masse m1:

222

211 vm

21

vm21

T

Bild 3.59 Elastisch gebundene Masse mit Pendel

5. Lagrangesche Funktion:

UTL

l·cos.

l·sin.

Ende?

3 DynamikSeite: 97


Beachte: Keine Reibung, keine Antriebskräfte,... Qk* = 06. Generalisierte Kräfte:

,cxxL

cosmxmmxL

221

l

sinmcosmxmmxL

dtd 22

2221

l-l

2222 msinxmcosxm

L

dt

dlll

Hinweis: Die beiden Ergebnisse (3) und (4) sind gekoppelte nichtlineare Differentialgleichungen. Die Lösung kann auf numerischem Wege erfolgen (z. B. durch Integration mit dem RUNGE-KUTTA-Verfahren).

Hinweis: Die beiden Ergebnisse (3) und (4) sind gekoppelte nichtlineare Differentialgleichungen. Die Lösung kann auf numerischem Wege erfolgen (z. B. durch Integration mit dem RUNGE-KUTTA-Verfahren).

Für k = 1 und q1 x:

7. Aufschreiben der LAGRANGEschen Gleichungen (3.71):

(2)0q

L

q

L

dt

d

kk

für k = 1, 2

cosgmcx2

1cosx2m

2

1xmm

2

1L 2

2222

221 lll cosgmcx

2

1cosx2m

2

1xmm

2

1L 2

2222

221 lll mit (1)

(3) 0cxsinmcosmxmm 222221 ll 0cxsinmcosmxmm 222221 llEinsetzen in (2) liefert

,singmsinxmL

22

ll

2

22 mcosxmL

llFür k = 2 und q1 :

(4)0singmmcosxm 22

22 lll 0singmmcosxm 22

22 lll Einsetzen in (2) liefert

Ende?

3 DynamikSeite: 98


xm1

c

= 0

m2

l

Die Bewegung der elastisch gebundenen Masse mit mathematischem Pendel, die durch die beiden gekop-pelten nichtlinearen Differentialgleichungen (3) und (4) beschrieben ist, wird in der nachfolgenden Animation für folgende Zahlenwerte dargestellt:

m1 = m2 = 1 kg, c = 50 N/m, l = 1 m

Anfangsbedingungen: x1(t=0) = 0,

x1(t=0) = 0

(t=0) = 45,

(t=0) = 0

.

.

Zeitdarstellung: 0 t 30 s

Zur Ansicht der Animationen auf das Bild klicken oder die Datei schwinger-1.avi mit geeignetem Media-Player öffnen. Ein weiterer Klick auf die Animation stoppt diese bzw. setzt die Wiedergabe fort oder beginnt sie erneut.

Ende?

Animation:Animation:

3 DynamikSeite: 99


3.5 Schwingungen

3.5.1 Einführung

Vorgänge, bei denen eine Zustandsgröße (Weg, Geschwindigkeit, elektrische Spannung, Druck, Lichtstärke usw.) zeitlichen Schwankungen unterliegt, nennt man Schwingungen.Vorgänge, bei denen eine Zustandsgröße (Weg, Geschwindigkeit, elektrische Spannung, Druck, Lichtstärke usw.) zeitlichen Schwankungen unterliegt, nennt man Schwingungen.

Diese zeitlichen Schwankungen der Zustandsgröße (wir wollen sie allgemein durch eine Funktion q(t) beschreiben) können entsprechend ihrer charakteristischen Eigenschaften näher klassifiziert werden. Zwei typische Schwingungen werden nachfolgend angegeben.

T

1f – die Frequenz der Schwingung

Einheit: s-1 bzw. Hertz

Periodische Schwingung:Der Verlauf einer Größe q(t) wiederholt sich nach einer Zeit T (Bild 3.60)

T – die Zeit für eine Periode derSchwingung

Schwingungsdauer

Wir bezeichnen mit

q(t+T) = q(t)

q(t+2T) = q(t)

q(t+kT) = q(t) k = 1,2,...

, d.h. es gilt

q(t)

t

Bild 3.60 Periodische Schwingung

T

Ende?

3 DynamikSeite: 100


Harmonische Schwingung:

Die harmonische Schwingung ist der Sonderfall einer periodischen Schwingung, bei der sich die Zustandsgrößen nach sin- und/oder cos-Funktionen ändern.

q(t) = C1·cos(t) + C2·sin(t) = A·sin(t+)q(t) = C1·cos(t) + C2·sin(t) = A·sin(t+)

Es gilt allgemein

(3.73)

mit den Zusammenhängen (siehe auch Kapitel 3.5.2)

2

1

2

1

22

21

2

C

Ctan

cosA·C

sinA·C

CCA

2

1

2

1

22

21

2

C

Ctan

cosA·C

sinA·C

CCA

(3.74)

A – die Amplitude der Schwingung

Beachte: Analogie zur Winkelge-schwindigkeit = 2n, wobei n die Drehzahl ist (vgl. Kapitel 3.1.5)

– den Nullphasenwinkel

– die Eigenreisfrequenz(Winkelgeschwindigkeit) f2

T2

Wir bezeichnen mit (vgl. Bild 3.61)

Bild 3.61 Harmonische Schwingung

q(t)

t

T

A

Ende?

3 DynamikSeite: 101


Weitere Charakterisierungen von Schwingungen nach:

• der Art der Schwingung (ungedämpfte, gedämpfte oder angefachte)

• der Anzahl der Freiheitsgrade der Schwinger

• dem Typ der Schwinger (lineare oder nichtlineare)

• der Entstehung der Schwingung (freie oder erzwungene)

Im Folgenden sollen dazu einige typische Beispiele angegeben werden.

Ungedämpfte- , gedämpfte-, angefachte Schwingung

• ungedämpfte Schwingung, Bild 3.62 a)

• gedämpfte Schwingung, Bild 3.62 b)

• angefachte Schwingung, Bild 3.62 c)

Amplitude bleibt konstant(kein Energieverlust)

Amplitude verkleinert sich(Energieverlust)

Amplitude vergrößert sich(Energiezufuhr)

q(t)

ta)

q(t)

tb)

q(t)

tc)

Bild 3.62

Ende?

3 DynamikSeite: 102


• Schwinger mit 2, 3, ..., n - Freiheitsgraden

Anzahl der Freiheitsgrade der Schwinger

• Schwinger mit einem Freiheitsgradc

mx(t)

x3(t)

c3m3

x2(t)

c2m2

x1(t)

c1m1

3 Freiheitsgradec1

m1

x1(t)

m2

c2

x2(t)

2 Freiheitsgrade

c mx(t)

Bild 3.63 Schwinger mit einem Freiheitsgrad

Bild 3.64 Schwinger mit 3 Freiheitsgraden (oben) und mit 2 Freiheitsgraden (rechts)

• Schwinger mit unendlich vielen Freiheitsgraden

E, G, , A

xv(x,t)

Bild 3.65 Schwinger mit unendlich vielen Freiheitsgraden

Hinweis: Bei kontinuierlich angenommener Masseverteilung (Kontinua) gibt es unendlich viele differentielle Massenelemente, d.h. es gibt unendlich viele Schwingformen (Biege-, Torsions-, Längsschwingungen usw.).

Hinweis: Bei kontinuierlich angenommener Masseverteilung (Kontinua) gibt es unendlich viele differentielle Massenelemente, d.h. es gibt unendlich viele Schwingformen (Biege-, Torsions-, Längsschwingungen usw.).

Ende?

3 DynamikSeite: 103


c

mx(t)

a)

Lineare- / nichtlineare Schwinger

Die Differentialgleichung, die den Schwingungsvorgang beschreibt, kann linear oder nichtlinear sein!

• Nichtlinearer Schwinger für große Winkel

Entstehung der Schwingung

0sing

l

0sing

l

Differentialgleichung ist nichtlinear!

• Freie Schwingung (Eigenschwingung) Es wirken keine äußeren Erregerkräfte auf das System ein (Bild 3.67 a).

• Erzwungene SchwingungenDas System steht unter der Wirkung von äußeren zeitabhängigen Belastungen (Bild 3.67 b).

Wir wollen uns nachfolgend zunächst mit freien, ungedämpften Systemen mit einem Freiheits-grad befassen.

(t)

l

m

Bild 3.66 Pendel

Bild 3.67 Federschwingera) freie -, b) erzwungene Schwingung

• Linearer Schwinger für kleine Winkel (d.h. sin )

0g

l

0g

l

Differentialgleichung wird linear!

F(t)

c

mx(t)

b)

Ob sie linear oder nichtlinear wird, hängt häufig von der Größe der Bewegungskoor-dinaten (Bild 3.66) ab und/oder ob vorhandene elastische Elemente (Federn) des Schwingers für die Schwingungsausschläge lineares Verhalten zeigen oder nicht.

Ende?

3 DynamikSeite: 104


0cxxm:

0xm

cx

3.5.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

Wir wollen die Lösung an Hand von Beispielen kennen lernen.

Das ist eine homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten für die gesuchte Bewegungsgleichung x(t). Der Lösung dieser Differentialgleichung (DGL) wenden wir uns zu, wenn die 2. Lösungsmöglichkeit besprochen wurde.

Das ist eine homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten für die gesuchte Bewegungsgleichung x(t). Der Lösung dieser Differentialgleichung (DGL) wenden wir uns zu, wenn die 2. Lösungsmöglichkeit besprochen wurde.

Gegeben: m, c, x0, v0 (für x = 0 sei die Feder entspannt!)

Anfangsbedingungen: x(t=0) = x0, x(t=0) = v0

.

Gesucht: Bewegungsgleichung x(t) und x(t).

0xx 2 0xx 2 m

c

m

cmit der Abkürzung

x(t)x0 v0

t = 0

Beispiel 3.27 Feder-Masse-Schwinger (reibungsfrei auf horizontaler Unterlage)

cm

= 0Bild 3.68 Feder-Masse-Schwinger

x

cx

mg

mx..

FN

Bild 3.69 Freischnitt

Aufstellen der Bewegungsdifferentialgleichung:

Das Aufstellen der Bewegungsgleichung soll nach zwei Möglichkeiten gezeigt werden.

1. Lösungsmöglichkeit: Prinzip von D’ALEMBERT

Kräftegleichgewicht an der freigeschnittenen Masse (Bild 3.69) liefert

Ende?

3 DynamikSeite: 105


2. Möglichkeit: LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen

0cxxmxL

xL

dtd

Aus (3.71)

kkk

QqL

qL

dtd

mit k = 1,2,..., f

22 cx2

1xm

2

1UTL

folgt mit f = 1, q1 = x, Qk* = 0, dem Nullpotential im Massenschwerpunkt und mit

0xmc

x

0xx 2 0xx 2 m

c

m

cmit

Das ist die gleiche Lösung für die Bewegungsdifferentialgleichung wie nach dem Prinzip von D’ALEMBERT (1. Lösungsmöglichkeit).

Ende?

3 DynamikSeite: 106


Kontrolle für Richtigkeit der Lösung:

Kontrolle für Richtigkeit der Lösung:

Lösung der Bewegungsdifferentialgleichung:

0t)·sin(C t)·cos(CtsinCtcosC 2122

22

1

Einsetzen in die DGL (3.75) liefert

00 Lösung (3.76) erfüllt die DGL (3.75)!

0xx 2 0xx 2 (3.75)

Die Differentialgleichung

hat die allgemeine Lösung Gleichung (3.73) (vgl. Herleitung der Lösung (3.90) für D = 0)

tsinCtcosCtx 21 tsinCtcosCtx 21 (3.76)

Die allgemeine Lösung (3.76) enthält noch die Integrationskonstanten C1 und C2. Diese müssen so bestimmt werden, dass die Anfangsbedingungen des konkreten Problems erfüllt werden.

tcosCtsinCx 21 tsinCtcosCx 22

21 Wir bilden von (3.76): und

Ende?

3 DynamikSeite: 107


Die Anfangsbedingungen lauten in unserem Beispiel:

tsinv

tcosxtx 00

tsin

vtcosxtx 0

0

m

c

m

cmit (3.77)

0x0tx1. Anfangsauslenkung

0v0tx.2 Anfangsgeschwindigkeit

021 x0sinC0cosC folgt aus der 1. Anfangsbedingung:

tcosCtsinCtx 21 und deren erster Ableitung nach der Zeit

01 xC

021 v0cosC0sinC und aus der 2. Anfangsbedingung:

02

vC

Einsetzen von C1 und C2 in (3.76) und in die erste Ableitung liefert die Bewegungsgleichungen

tcosvtsinxtx 00 tcosvtsinxtx 00 (3.78)

tsinCtcosCtx 21 Mit der allgemeinen Lösung der Differentialgleichung (3.76)

Wir nehmen jetzt für die gegebenen Größen folgende Werte an: m = 1 kg, c = 0,05 N/mmx0 = 1 mm, v0 = 10 mm/s

s889,0f

1T Schwingungsdauer (siehe Seite 389):

Hz125,1s13,12

f 1

Frequenz (siehe Seite 390):

12

3

s071,7smmkg

mm10kg05,0

mmkg1

N05,0

m

c

Winkelgeschwindigkeit (3.77):

Die typischen Systemparameter werden damit:

Ende?

3 DynamikSeite: 108


Hinweis: Wegen des allgemeinen Zusammenhangs, dass die Geschwindigkeit die erste Ableitung des Weges nach der Zeit ist, gilt immer (vgl. die beiden Diagramme im Bild 3.70):

Hinweis: Wegen des allgemeinen Zusammenhangs, dass die Geschwindigkeit die erste Ableitung des Weges nach der Zeit ist, gilt immer (vgl. die beiden Diagramme im Bild 3.70):

0 0.5 1 1.5 22

1

0

1

2

0 0.5 1 1.5 220

10

0

10

20

0 0.5 1 1.5 22

1

0

1

2

0 0.5 1 1.5 220

10

0

10

20

x0

t/s

x(t)

/ m

m

v0

t/s

T

x(t)

· s

/mm

· tcosvtsinxtx 00 tcosvtsinxtx 00 (3.78)

Der Verlauf der beiden Bewegungsgleichungen (3.77) und (3.78) ist für diese Werte im Bild 3.70 grafisch dargestellt.

tsinv

tcosxtx 00

tsin

vtcosxtx 0

0

(3.77)

mit x0 = 1 mm, v0 = 10 mm/s, = 0,7071 s-1, T = 0,889 s

Bild 3.70 Bewegungsgleichungen x(t) und (t)x

0 0.5 1 1.5 22

1

0

1

2

0 0.5 1 1.5 220

10

0

10

20

0 0.5 1 1.5 22

1

0

1

2

0 0.5 1 1.5 220

10

0

10

20

x0

t/s

x(t)

/ m

m

v0

t/s

T

x(t)

· s

/mm

·

• Nullstelle der Wegfunktion x(t) Extremwert in der Geschwindigkeitsfunktion tx

• Extremwert der Wegfunktion x(t) Nullstelle in der Geschwindigkeitsfunktion tx

Ende?

3 DynamikSeite: 109


Beweis der Gleichwertigkeit der beiden Lösungen

tsinCtcosCtsinA)t(x 21

0xx 2 Hinweis zur Lösung der Differentialgleichung

Umformung mit Hilfe des Additionstheorems für die sin-Funktion liefert:

sintcoscostsinAtsinA)t(x

mit den Konstanten A und die sich nach (3.80) wie folgt ergeben

= 7,071 s-1, C1 = x0 = 1 mmC2 = v0/= 1,414 mm

tcossinAtsincosA

12 CC

gleichwertig x(t) = C1·cos(t) +C2·sin(t)x(t) = C1·cos(t) +C2·sin(t) x(t) = A·sin(t+)x(t) = A·sin(t+) (3.79)

Folgende Lösungen der Bewegungsdifferentialgleichung (3.75) sind gleichwertig (vgl. auch Kapitel 3.5.1, Gleichungen (3.73) und (3.74)):

IntegrationskonstantenA – Amplitude der Schwingung – Nullphasenwinkel

C1

C2

mit

mit A·cos C, A·sin C 21

A = 1,732 mm= 0,615

x(t) = A·sin(t+)

Mit den Zahlenwerten für den Schwinger von Beispiel 3.27 folgt aus der Lösung (3.77) die gleichwertige Lösung

0.5 0 0.5 1 1.5 22

1

0

1

2

t/s

x(t)

/ m

m

A

=0,087

s

Bild 3.71 Funktion x(t) = A·sin(t+)

(3.80)bzw.

2

122

21 C

Carctan,C CA

Ende?

3 DynamikSeite: 110


Wir lenken das System weiter aus und lassen es schwingen.

0mgcx: st

gcm

xst gcm

xst

Beispiel 3.28 Feder-Masse-Schwinger (Masse hängt an der Feder)

0xmmgxxc: st

0xx 2 0xx 2 mitmc

mc

Durch die Gewichtskraft FG = mg erfährt die Feder eine

statische Auslenkung um xst. Danach befindet sich das

System in der statischen Ruhelage (Bild 3.72 b).

0mgcxcxxm

0

st

(siehe oben) Beachte: Der Feder-Masse-Schwinger mit hängender Masse hat die gleiche Eigen-kreisfrequenz wie der reibungsfreie Feder-Masse-Schwinger auf horizontaler Unterlage (siehe Beispiel 3.27)

Beachte: Der Feder-Masse-Schwinger mit hängender Masse hat die gleiche Eigen-kreisfrequenz wie der reibungsfreie Feder-Masse-Schwinger auf horizontaler Unterlage (siehe Beispiel 3.27)

0cxxm

Die Koordinate x legen wir mit ihrem Ursprung in die statische Ruhelage.

Federentspannt

c

m

xSt

b)

cxSt

FG=mgc)

mg

c(xSt+x)

mx..

d)

Die Größe der statischen Auslenkung folgt aus dem Kräftegleichgewicht an der in der statischen Ruhelage freigeschnit-tenen Masse (Bild 3.72 c):

x

Das D’ALEMBERTsche Prinzip liefert mit dem Kräftegleichgewicht an der in einer allgemeinen Lage freigeschnittenen Masse (Bild 3.72 d) die folgende Bewegungsdifferentialgleichung.

Bild 3.72 Feder-Masse-Schwinger (Masse hängt an der Feder)

a)

statischeRuhelage

Ende?

3 DynamikSeite: 111


Das Gewicht bestimmt lediglich die statische Ruhelage, um die dann die Schwingung erfolgt. Diese Feststellung gilt auch für das Aufstellen der Bewegungsgleichungen mit Hilfe von Energiemethoden!

Das Gewicht bestimmt lediglich die statische Ruhelage, um die dann die Schwingung erfolgt. Diese Feststellung gilt auch für das Aufstellen der Bewegungsgleichungen mit Hilfe von Energiemethoden!

• Das gilt nur, wenn das System ein linearer Schwinger ist.• Das gilt nur, wenn das System ein linearer Schwinger ist.

• Das gilt nicht, wenn durch die Gewichtskraft in der Bewegungsdifferentialgleichung nicht-konstante Anteile entstehen (z. B. bei einer schrägen Lage des Schwingers im Bild 3.73).

• Das gilt nicht, wenn durch die Gewichtskraft in der Bewegungsdifferentialgleichung nicht-konstante Anteile entstehen (z. B. bei einer schrägen Lage des Schwingers im Bild 3.73).

• Das gilt nicht, wenn die Gewichtskraft die alleinige Rückstellkraft ist (z. B. Schwinger Bild 3.73 ohne Feder).

• Das gilt nicht, wenn die Gewichtskraft die alleinige Rückstellkraft ist (z. B. Schwinger Bild 3.73 ohne Feder).

Aus dem Beispiel 3.28 lässt sich die folgende Feststellung ableiten.

Feststellung:

Das Gewicht FG = mg der Masse und die dadurch hervorgerufene statische Vorspannung cxst der Feder haben keinen Einfluss auf die Schwingung dieses Feder-Masse-Systems und brauchen daher bei solchen Systemen nicht berücksichtigt zu werden, wenn die Bewegungskoordinate von der statischen Ruhelage aus eingeführt wird!

Feststellung:

Das Gewicht FG = mg der Masse und die dadurch hervorgerufene statische Vorspannung cxst der Feder haben keinen Einfluss auf die Schwingung dieses Feder-Masse-Systems und brauchen daher bei solchen Systemen nicht berücksichtigt zu werden, wenn die Bewegungskoordinate von der statischen Ruhelage aus eingeführt wird!

m

cg

statischeRuhelage

Bild 3.73

Beachte:• Das gilt nur, wenn in der statischen Ruhelage alle elastischen Glieder

des Schwingers bereits durch die Gewichtskräfte vorgespannt sind (Gegenbeispiel: Schwinger in Bild 3.73).

Beachte:• Das gilt nur, wenn in der statischen Ruhelage alle elastischen Glieder

des Schwingers bereits durch die Gewichtskräfte vorgespannt sind (Gegenbeispiel: Schwinger in Bild 3.73).

Ende?

3 DynamikSeite: 112


• Wie berücksichtigt man spezielle Anordnungen von Federn (Parallel- und Reihenschaltung von Federn)?

• Wie berücksichtigt man spezielle Anordnungen von Federn (Parallel- und Reihenschaltung von Federn)?

• Wie kann man die Masse der Feder berücksichtigen?• Wie kann man die Masse der Feder berücksichtigen?

In den beiden Beispielen 3.27 und 3.28 wurde jeweils eine Feder mit der Federmasse Null angenommen. Im Folgenden wollen wir noch die Fragen untersuchen:

• Hat die Federmasse einen Einfluss auf die Eigenkreisfrequenz des Schwingers?• Hat die Federmasse einen Einfluss auf die Eigenkreisfrequenz des Schwingers?

Hinweis: Wenn man für das obige Beispiel 3.28 die Eigenkreisfrequenz experimentell bestimmen möchte, folgt aus

dass man die Masse „m“ und die Federsteifigkeit „c“ messen müsste.mc

Die experimentelle Bestimmung von ist aber auch ohne die Ermittlung von c und m möglich.

g1

gc

mx

2st

Man muss lediglich die statische Auslenkung xst messen, und erhält aus

stx

g

stx

g

Ende?

3 DynamikSeite: 113


Näherungsweise Berücksichtigung der Federmasse (für kleine Ausschläge):

.v(xF)= x

xF

l

v(l)=x.

dmF=·dxF

xF

=mF

lc, mF,

l

xm

Bild 3.74 Berücksichtigung der Federmasse

Durch die Federmasse wird die schwingende Masse größer. Es ist deshalb zu erwarten, dass die Eigenkreisfrequenz sinkt!

F0

F22 dmxv

2

1xm

2

1T

l F

0

2F

22 dxx

x21

xm21

l

l

Hinweis: Ermittelt man die Bewegungsgleichung mit den LAGRANGE-

schen Gleichungen und wählt x von der statischen Ruhelage aus, so können die Massenkräfte sowie die durch diese in der Feder gespei-cherte potentielle Energie weggelassen werden (siehe Beispiel 3.28).Die Federmasse mF geht nur noch in die kinetische Energie T ein!

gc

mmx F

st

und nehme an, dass sich die Geschwindigkeit längs der Feder linear verändert (Bild 3.74).

Wir betrachten Schwingungen um die neue statische Ruhe-lage (infolge der zusätzlichen Federmasse mF)

Die kinetische Energie wird

32

2

31x

21

xm21

ll

Fm

22 x61

xm21

T l 2F xm

3

1m

2

1

Die kinetische Energie des Feder-Masse-Schwingers mit Berücksichtigung der Federmasse erhalten wir also, indem zur Einzelmasse m noch 1/3 der Federmasse mF hinzugefügt wird.

Fm3

1mMmitxM

2

1T 2 Fm

3

1mMmitxM

2

1T 2

Mit dieser Ersatzmasse M (M > m) wird die Eigenkreisfrequenz, wie bereits vermutet, kleiner.Mit dieser Ersatzmasse M (M > m) wird die Eigenkreisfrequenz, wie bereits vermutet, kleiner. Fm

3

1mMmit

M

c Fm

3

1mMmit

M

c

Ende?

3 DynamikSeite: 114


entspanntFeder

c

Bild 3.75 Federgesetz

Ermittlung von Ersatzfederzahlen für Parallel- und Reihenschaltung von Feder:

Federn können in vielfältiger Weise untereinander und mit einem Körper verbunden sein. Sie lassen sich unter der Voraussetzung eines linearen Federgesetzes (Fc = c·x, vgl. Bild 3.75) zu einer Ersatzfeder mit einer Ersatzfederzahl cers zusammenfassen.Die Ersatzfederzahl cers wird so bestimmt, dass bei gleichen Belastungen die Ersatzfeder den gleichen Federweg aufweist wie das Ausgangssystem.

entspanntFeder

c Fc = c·x

x

Parallelschaltung von Federn (Federwege aller Federn sind gleich groß)

cnc1. . .

c2

c3

FG

x

cers

FG

gleichwertig

cersx

FGFG

Fcn=cnxFc1

Fc2

Fc3. . .

Bild 3.76 Parallelschaltung von Federn (Ausgangssystem links

cn2c1cG F....FFF:

xc...xcxcF n21G

Ausgangssystem mit n Federn (Bild 3.76, links):

Ersatzsystem mit einer Feder (Bild 3.76, rechts):

xc...ccF n21G (1)

xcF: ersG (2)

n

1iin21ers cc...ccc

n

1iin21ers cc...ccc

Gleichsetzen von (1) und (2) liefert

(3.81)

und Ersatzsystem rechts)

Ende?

3 DynamikSeite: 115


Reihenschaltung von Federn (Federkräfte aller Federn sind gleich groß)

x

c2

cn

c1

FG

cers

FG

gleichwertig

cersx

FG

ci

FG

FG = cixi

li + xi

(li - Länge der unbelaste-ten Feder)

Bild 3.77 Reihenschaltung von Federn (Ausgangssystem links

i

Gi c

Fx

Für jede Feder ci des Ausgangssystems kann aus dem Kräftegleichgewicht (Bild 3.77, Schnittbild links) und dem Federgesetz die Federverlängerung x i der i-ten Feder berechnet werden.

n

1iin21 xx...xxx

Der Federweg am Ende der Federkette wird

xcF: ersG

Ausgangssystem mit n Federn (Bild 3.77, links):

iiGci ·xc F F:

n

1i in21

ers

c1

1

c1

...c1

c1

1c

n

1i in21

ers

c1

1

c1

...c1

c1

1c

Gleichsetzen von (1) und (2) liefert

(3.82)

Ersatzsystem mit einer Feder (Bild 3.77, rechts):

Gn21n

G

2

G

1

G Fc

1...

c

1

c

1

c

F...

c

F

c

Fx

(1)

ers

G

c

Fx (2)

und Ersatzsystem rechts)

Ende?

3 DynamikSeite: 116


Hinweis:

Mit den Beziehungen für die Parallelschaltung Gleichung (3.81) und für die Reihenschaltung Gleichung (3.82) von Federn kann auch für kompliziertere Federsysteme, die Kombinationen beider Arten enthalten, durch schrittweise Bildung von Ersatzfedern eine einzige Ersatzfeder für das gesamte System ermittelt werden.

Hinweis:

Mit den Beziehungen für die Parallelschaltung Gleichung (3.81) und für die Reihenschaltung Gleichung (3.82) von Federn kann auch für kompliziertere Federsysteme, die Kombinationen beider Arten enthalten, durch schrittweise Bildung von Ersatzfedern eine einzige Ersatzfeder für das gesamte System ermittelt werden.

Ende?

3 DynamikSeite: 117


q(t)

t

ungedämpft

Bild 3.78 Freie gedämpfte Schwingung

3.5.3 Freie gedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

gedämpft

Aus der Erfahrung wissen wir, dass freie Schwingungen mit einer konstanten Amplitude (ungedämpfte Schwingungen) nicht auftreten. Die Amplituden werden mit zunehmender Zeit kleiner (gedämpft) und werden irgendwann Null (Bild 3.78).

Aus der Erfahrung wissen wir, dass freie Schwingungen mit einer konstanten Amplitude (ungedämpfte Schwingungen) nicht auftreten. Die Amplituden werden mit zunehmender Zeit kleiner (gedämpft) und werden irgendwann Null (Bild 3.78).

Ursache für die Dämpfung ist z. B. der durch Dissipation9 eintretende Energieverlust im schwingenden System infolge

• Umwandlung von Bewegungsenergie in Wärme (z. B. infolge Reibung)• Umwandlung von Bewegungsenergie in bleibende Verformung• Umwandlung von Bewegungsenergie in Luft- oder Flüssigkeitsbewegung• usw.

Hinweis: Ideale (ungedämpfte) Systeme – so genannte konservative Systeme – gibt es in der Realität nicht.Hinweis: Ideale (ungedämpfte) Systeme – so genannte konservative Systeme – gibt es in der Realität nicht.

Trotzdem lassen sich auch unter der Voraussetzung idealer (ungedämpfter) Systeme viele brauchbare Aussagen (oft sehr einfach) gewinnen. Dabei ist immer zu prüfen, ob die getroffenen Annahmen zulässig sind!

Um uns mit wichtigen Grundlagen vertraut zu machen, wollen wir als Modellbeispiel einen geschwindigkeitsproportional gedämpften Feder-Masse-Schwinger betrachten.

9 Dissipation (Energiedissipation), irreversibler physikalischer Prozessen beim Übergang einer Energieform in eine andere Energieform

Ende?

3 DynamikSeite: 118


Bei Anwendung des D’ALEMBERTschen Prinzips für den Feder-Masse-Schwinger in Bild 3.79 erhält man aus demKräftegleichgewicht in horizontaler Richtung an der freige-schnittenen Masse m

0cxxbxm:

Geschwindigkeitsproportional gedämpfter Feder-Masse-Schwinger

Maßeinheit der Dämpfungskonstanten b: [N·s·m-1 = kg·s-1]

c

m

=0

b

cx

mg

mx..

FN

x(t)

bx.

x(t)

Bild 3.79 Geschwindigkeitsproportional gedämpfter Feder-Masse-Schwinger

Ein geschwindigkeitsproportionaler Dämpfer mit der Dämpfungskonstanten b bewirkt eine der Geschwindig-keit v entgegengesetzt gerichtete Kraft der Größe

FW = b·v

Symbol für einen Dämpfer:b

Das Symbol ist einem Fahrzeugstoßdämpfer nachempfunden!

0xmc

xmb

x 0xmc

xmb

x (3.83)

Das ist die typische Bewegungsdifferentialgleichung eines proportional zur Geschwindigkeit gedämpften Systems. Häufig wird diese Form der Differentialgleichung noch mit den folgenden Abkürzungen umgeformt (siehe folgende Seite).

Ende?

3 DynamikSeite: 119


0xmc

xmb

x 0xmc

xmb

x (3.83)

Abkürzungen:

(384) 10 s

m

c Kennkreisfrequenz ( Kreisfrequenz des ungedämpften Schwingers)

1sm2

b Abklingkonstante (385)

mc2

bD

0LEHRsches Dämpfungsmaß (oder Dämpfungsgrad) (386)

Einsetzen der Abkürzungen in die Differentialgleichung (3.83) liefert

0xx2x 20 0xx2x 2

0 bzw. 0xxD2x 200 0xxD2x 200 (3.87)

Das ist, wie auch die Differentialgleichung für den ungedämpften Schwinger (3.75), eine lineare homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Die Lösung der beiden Differentialgleichungen (3.87) beschreibt in Abhängigkeit von den Systemparametern (speziell in Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad D) sehr unterschiedliche Bewegungen. Diese wollen wir im Folgenden untersuchen.

Ende?

3 DynamikSeite: 120


0eC~

2 t200

2

Einsetzen des Ansatzes (3.88) und dessen Ableitungen in Gleichung (3.87) liefert

0D2 200

2

Wegen muß zur Erfüllung dieser Gleichung der Klammerausdruck Null werden:0eC~ t

Das ist die so genannte charakteristische Gleichung. Die Lösung der charakteristischen Gleichung (quadratische Gleichung für ) wird:

20

2002,1 DD

In Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad zeigt die Lösung unterschiedliches Verhalten!In Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad zeigt die Lösung unterschiedliches Verhalten!

Wir betrachten jetzt unterschiedliche Größenordnungen des Dämpfungsgrades D.

Zur Lösung der Differentialgleichung

0xxD2x 200 0xxD2x 200 (3.87)

t2t eC~

xeC~

x Differenzieren dieses Ansatzes liefert:

wird folgender Lösungsansatz gemacht: teC~

x teC

~x (3.88)

1DD 202,1 (3.89)

Ende?

3 DynamikSeite: 121


Mit der EULERschen Formel folgt: sinicose i

Diese Lösung für ungedämpfte Systeme haben wir bereits im Kapitel 3.5.2 (Gleichung (3.76) bzw. (3.79)) ohne Herleitung kennen gelernt.

002,1 i1

D = 0: Ungedämpftes System

ti2

ti1

oo eC~

eC~

x

Einsetzen dieser beiden Lösungen in den Lösungsansatz (3.88) liefert

tsinitcosC~

tsinitcosC~

x 002001

tsin

C

iC~

C~

tcos

C

C~

C~

x 0

2

210

1

21

Aus der Lösung (3.89) der charakteristischen Gleichung folgen für D = 0 die zwei Lösungen

1DD 202,1

tsinCtcosCx 0201 tsinCtcosCx 0201 tsinAx 0 tsinAx 0oder (3.90)

Der Verlauf der Schwingung nach Gleichung (3.90) für D = 0 (ungedämpft) ist in Bild 3.80 dargestellt.

x(t)

t

Bild 3.80 Ungedämpfte Schwingung (D = 0)

Ende?

3 DynamikSeite: 122


D < 1: Schwach gedämpftes System

In der Lösung (3.89) der charakteristischen Gleichung wird für D < 1 der Wurzelradikand negativ. Deshalb formen wir sie wie folgt um:

1DD 202,1

ti2

ti1

t eC~

eC~

ex

2002,1 D1iD

i2,1

folgt für die umgeformte Lösungen der charakteristischen Gleichung

ti2

ti1 eC

~eC

~x

Einsetzen der beiden Lösungen in den Lösungsansatz (3.88) liefert

Mit nach Gleichung (3.86) und einer neuen Abkürzung: 0

D

20 D1

20 D1 (3.91)

Auf den Klammerausdruck wenden wir nun wieder die EULERsche Formel an, und erhalten

sinicose i

tsinitcosC~

tsinitcosC~

ex 21t und daraus (vgl. vorherige Seite)

)( 2

02,1 D11D

Ende?

3 DynamikSeite: 123


• Die Abkürzung (Gleichung (3.91)) ist die Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung.

• Die Amplitude A der Schwingung nimmt mit Zeit t um den Faktor ab.te

Aus den Lösungen (3.92) bzw. (3.93) kann man typische Eigenschaften für den schwach gedämpften Schwinger ableiten (siehe dazu auch Bild 3.81). Es gilt allgemein:

2

T• Die Schwingdauer T ist

2T

1f• Die Frequenz f wird

Beachte: 0 ist die Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Schwingers

• Die Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung ist konstant. Sie ist kleiner als die Eigenkreisfrequenz 0 des ungedämpften Schwingers.

Bild 3.81 Schwach gedämpfte Schwingung (D < 1)

t

Ae tA

Der typischen Verlauf dieser schwach gedämpften Schwingung (D < 1) nach Gleichung (3.92) bzw. (3.93) ist in Bild 3.81 dargestellt.

tsinCtcosCex 21t tsinCtcosCex 21t (3.92)

tsinAex t tsinAex t

oder mit Gleichung (3.79)

(3.93)

T =2

Ende?

m

cmit1D1 0

220

2

00

20

m

cmit1D1 0

220

2

00

20

(3.94)

3 DynamikSeite: 124


Die das Dämpfungsverhalten eines Schwingers bestimmenden Parameter sind nicht immer bekannt oder können nicht immer einfach experimentell ermittelt werden.Mit den Gleichungen (3.84) bis (3.86) ist man aber in der Lage, bei der Kenntnis eines typischen Dämpfungsparameters (b, oder D), die jeweils benötigten anderen Parameter zu berechnen. Für eine experimentelle Bestimmung von Dämpfungsparametern soll im Folgenden die recht einfache Bestimmung des LEHRschen Dämpfungsmaßes D gezeigt werden.

Experimentelle Bestimmung des LEHRschen Dämpfungsmaßes D

Wir betrachten zwei aufeinanderfolgende Ausschläge des Schwingers im Abstand einer Periode T (siehe Bild 3.81) und bilden das Verhältnis dieser Ausschläge

TTt

t

Tt

t

eee

e

TtsinAe

tsinAe

Ttx

tx

Hinweis: Wegen der Periodizität der sin-

Funktion gilt sin([t+T]+) = sin( t+).Hinweis: Wegen der Periodizität der sin-Funktion gilt sin([t+T]+) = sin( t+).

2

TTtx

txln

Logarithmieren beide Seiten liefert

= logarithmisches Dekrement = logarithmisches Dekrement

2D1

D2

Mit aus (3.86) und nach (3.94) ergibt sich2

0 D10D und nach D umgestellt

224D

mit

Ttx

txln (3.95)

Das LEHRsche Dämpfungsmaßes kann also aus zwei experimentell ermittelten aufeinander-folgenden Ausschlägen im Abstand T (zweckmäßig die maximalen Ausschläge, da sich diese am genauesten messen lassen) über das logarithmische Dekrement berechnet werden.

Ende?

3 DynamikSeite: 125


0994,0

1097,0

Beispiel 3.29 Ermittlung des LEHRschen Dämpfungsmaßes D

Um uns eine Vorstellung von der Größe des LEHRschen Dämpfungsmaßes machen zu können, betrachten wir nachfolgend eine Schwingung, bei der sich die Amplitude nach jeder Periode T um die Hälfte verringert.

Schlußfolgerung: Auch bei relativ stark gedämpften Systemen ist die Eigenkreisfrequenz 0 des ungedämpften Systems eine gute Näherung für die Eigenkreisfrequenz des gedämpften Systems.

Schlußfolgerung: Auch bei relativ stark gedämpften Systemen ist die Eigenkreisfrequenz 0 des ungedämpften Systems eine gute Näherung für die Eigenkreisfrequenz des gedämpften Systems.

tx21

Ttx

2222 6932,04

6932,0

4D

Damit ergibt sich für das LEHRsche Dämpfungsmaß aus Gleichung (3.95)

Frage: Wie groß ist in diesem Fall der relativ großen Dämpfung mit D = 0,1097 die Eigenkreis-frequenz der gedämpften Schwingung?

6932,02

Ttx

tx

lnln

Das logarithmische Dekrement wird dafür nach Gleichung (3.95)

Dieses Dämpfungsmaß ist relativ groß, da bereits nach wenigen Schwingungsperioden die Schwingung als praktisch abgeklungen angesehen sein wird.

20

20 1097,01D1 Nach Gleichung (3.94) gilt:

Ende?

3 DynamikSeite: 126


D > 1: Stark gedämpftes System

Die Funktion (3.96) beschreibt keinen typischen Schwingungsvorgang mehr, sondern einen so genannten Kriechvorgang (vgl. Bild 3.82).

t1DD

2

t1DD

1t

2t

1

2o

2o

21 eCeCeCeCx

Für den Sonderfall D = 1 ergibt sich aus der Lösung (3.89) der charakteristischen Gleichung die Doppellösung 1,2 = -0 .

Hinweis: Stark gedämpfte Systeme und der aperiodische Grenzfall sind technisch nur für wenige spezielle Anwendungen (z. B. Dämpfung von Zeigerinstrumenten) von Bedeutung.Hinweis: Stark gedämpfte Systeme und der aperiodische Grenzfall sind technisch nur für wenige spezielle Anwendungen (z. B. Dämpfung von Zeigerinstrumenten) von Bedeutung.

Die Lösung (3.89) der charakteristischen Gleichung hat für D > 0 zwei reelle Wurzeln. Einsetzen dieser beiden Lösungen in den Lösungsansatz (3.88) liefert

1DD 202,1

1Dt

21Dt

1Dt 2

o2

oo eCeCex

1Dt

21Dt

1Dt 2

o2

oo eCeCex (3.96)

D = 1: Aperiodischer Grenzfall

Einsetzen dieser Doppellösung in den Lösungsansatz(3.88) liefert die Funktion (typischer Verlauf siehe Bild 3.82)

tCCeteCeCx 21tt

2t

1000 tCCeteCeCx 21tt

2t

1000 (3.97)

Bild 3.82 Kriechvorgang (D > 1)

t/s

x(t)

/ m

m

10

5

0

-5

-100 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Kriechvorgang(D = 1,2)

aperiodischerGrenzfall (D = 1)

und aperiodischer Grenzfall (D = 1)

Ende?

3 DynamikSeite: 127


m

=0

cF(t)

b

Bild 3.83 Krafterregter Schwinger

Unter erzwungenen Schwingungen versteht man Schwingungsvorgänge, bei denen dem Schwingungssystem durch zeitabhängige Kraft- oder Wegerregung Energie zugeführt wird.Unter erzwungenen Schwingungen versteht man Schwingungsvorgänge, bei denen dem Schwingungssystem durch zeitabhängige Kraft- oder Wegerregung Energie zugeführt wird.

3.5.4 Erzwungene Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

x(t)

cx

mg

mx..

FN

x(t)

F(t)bx.

tsinF̂tF

Wir betrachten zunächst den praktisch wichtigen Fall, bei dem ein Schwingungssystem durch eine harmonische äußere Kraft

zu Schwingungen angeregt wird (Bild 3.83).

= Erregerkreisfrequenz)

0tFcxxbxm:

Nach dem D’ALEMBERTschen Prinzip erhält man aus dem Kräftegleichgewicht in horizontaler Richtung an der freige-schnittenen Masse m (Bild 3.83)

Im Unterschied zur Bewegungsgleichung des freien gedämpften Schwingers (3.87) haben wir es jetzt mit einer inhomogenen Differentialgleichung zu tun, deren Lösung als Summe aus der homogenen Lösung xh und einer partikulären Lösung xp aufgeschrieben werden kann:

Mit (3.84) bis (3.86) und mit folgt daraus tsinF̂tF

tsinm

F̂xx2x 2

0 (3.98)

ph xxx (3.99)Die homogene Lösung ist mit Gleichung (3.92) bzw. (3.93) bereits bekannt:

tsinCtcosCex 21t

h tsinAex thbzw. (3.100)

Ende?

3 DynamikSeite: 128


Dieser Lösungsansatz muß die vollständige Differentialgleichung (3.98) erfüllen.

tsinmF̂

tcosK2tsinKK 20

2

folgt nach dem Einsetzen in die vollständige Differentialgleichung (3.98)

tsinKx 2pMit und tcosKxp

Mit den Additionstheoremen der Winkelfunktionen folgt daraus

0tsin

0

mF̂

sinK2cosKK

tcos

0

cosK2sinKK

20

2

20

2

Hinweis: Diese Gleichung ist für jede beliebige Zeit t dann Null, wenn jeder Klammerausdruck für sich Null wird!

Hinweis: Diese Gleichung ist für jede beliebige Zeit t dann Null, wenn jeder Klammerausdruck für sich Null wird!

Für die partikuläre Lösung machen wir einen Lösungsansatz der Form tsinKxp (3.101)

Nullsetzen der ersten Klammer liefert

21

D2tan

21

D2tan

- Nacheilwinkel, Phasenverschiebung (3.102)

Abstimmungsverhältnis 0

0

(3.103)

mit

Ende?

3 DynamikSeite: 129


Bild 3.84 Erzwungene Schwingung

tx(

t)

Nullsetzen der zweiten Klammer liefert mit der Lösung für tan (Umwandeln der sin- undcos-Funktion in die tan-Funktion) nach kurzer Rechnung die Konstante K

2222 D41

1cF̂

K

Die vollständige Lösung der Differentialgleichung (3.98) folgt aus Gleichung (3.99) durch Ein-setzen der Gleichungen (3.100) und (3.101) mit der jetzt bekannten Konstanten K zu

mittsinD41

1

c

F̂tsinAex

2222

t

20

20

00

1

D2tan,,D1,D,

m2

b,

m

c

(3.104)

Die Integrationskonstanten A und müssen aus den jeweils aktuellen Anfangsbedingungen des konkreten Problems bestimmt werden.

Hinweis: in Gleichung (3.104) ist die Auslenkung der Masse bei statischer (ruhender) Belastung des Feder-Masse-Systems mit der Kraft .

Hinweis: in Gleichung (3.104) ist die Auslenkung der Masse bei statischer (ruhender) Belastung des Feder-Masse-Systems mit der Kraft .

c/F̂

F̂

stationärerZustand

für > 1

Ein typischer Verlauf einer erregten Schwingung ist in Bild 3.84 dargestellt. Der zweite Term in (3.104) be-schreibt den so genannten stationären Zustand (siehe Bild 3.84 und folgende Seite).

Ende?

3 DynamikSeite: 130


Wie bereits auf der vorherigen Seite kurz angedeutet, beschreibt in der allgemeinen Lösung (3.104) der partikuläre Lösungsanteil (zweiter Term) den so genannten stationären Zustand (stationäre Schwingung) xstationär, da der homogene Lösungsanteil (erster Term) infolge der immer vorhandenen Dämpfung mit der Zeit abklingt (vgl. Bild 3.84).

Für den stationären Zustand gilt:• der stationäre Zustand ist eine harmonische Schwingung mit einer Eigenkreisfrequenz, die

gleich der Erregerkreisfrequenz ist• die Amplitude K der stationären Schwingung ist konstant• die stationäre Schwingung hat gegenüber der Erregung eine Phasenver-

schiebung um den Winkel tsinF̂tF

Wir erkennen an Gleichung (3.105), dass die Amplitude der stationären Schwingung wesentlich vom Abstimmverhältnis bestimmt wird. Das Verhältnis der Amplitude K der stationären Lösung (3.105) zur statischen Auslenkung , die so genannte Vergrößerungsfunktion V1(), gestattet das typische Verhalten der Schwingungsamplitude zu diskutieren (siehe Bild 3.85).

c/F̂

Dabei ist besonders die nähere Umgebung von = 1 zu beachten, da dort bei geringen Dämpfungen recht große Amplituden auftreten können. Der Zustand = 1 ( = 0) wird als Resonanz bezeichnet.

V1()

(3.105)

tsinD41

1

c

F̂tsinKxx

2222pstationär

Ende?

3 DynamikSeite: 131


0 1 2 30

1

2

3

4

5

6Vergrößerungsfunktion V1

0 1 2 30

1

2

3

4

5

6Vergrößerungsfunktion V1

0

D=0,1

D=0,25

D=0,5

D=0

D=2

V1

Max(V1)

D=0,707

Bild 3.85 Vergrößerungsfunktion V1

unterkritische Erregung ()

Resonanzfall ()

überkritische Erregung ()

Wir unterscheiden in Abhängigkeit von zwischen:

2222

1

D41

1

cF̂

KV

V1() folgt aus Gleichung (3.105) zu

V1() ist in Bild 3.85 für unterschiedliche Dämpfungsmaße D dargestellt.

der stationären Lösung nach Gleichung (3.102) gegenüber der Erregerfunktion F(t) ist in Bild 3.86 für unterschiedliche Dämpfungsmaße D dargestellt.

21

D2arctan

Die Phasenverschiebung

Bild 3.86 Phasenverschiebung

Phasenverschiebung

2

0

0 1 2 3

D=0D=0,1D=0,25

D=0,5 D=0,707

D=2

0

Ende?

3 DynamikSeite: 132


In der nachfolgenden realistischen Animation ist der Schwingungsvorgang für diese erzwungene gedämpfte Schwingung mit Krafterregung an der Masse für die Gesamtlösung (3.104) und für folgende Größen dargestellt:

m = 5 kg, c = 50 N/m, b = 4 N s/m1s6,N 5 F̂mittsinF̂F(t)

Anfangsbedingungen: x (t=0) = 0,3 m; x (t=0) = 0.


6,1691

D2arctan

899,1

s500,0f14,3D1

1265,0D

s4,0m2

b

s503,0f,s16,3m

c

2

0

120

0

1

10

10

m

= 0

cF(t)

bx(t)

Zur Ansicht der Animation auf das Bild klicken oder die Datei schwinger-2.avi mit geeignetem Media-Player öffnen. Ein weiterer Klick auf die Animation stoppt diese bzw. setzt die Wiedergabe fort oder beginnt sie erneut.

Ende?

(Der Dämpfer ist in der Animation nicht dargestellt)

Animation:Animation:

3 DynamikSeite: 133


• Unwuchterregung

m

= 0

c

b

x(t)

r

Bild 3.88 Erregung durch die horizontale Kraftkomponente F(t) = mur2sint der Fliehkraft mur2

Neben der hier behandelten Krafterregung F(t) treten häufig Stützenerregungen und Unwucht-erregungen auf. Die Behandlung dieser erregten Systeme erfolgt analog zur Krafterregung. Als Ergebnis lassen sich neben der vollständigen Lösung wieder für den stationären Schwingungs-zustand Vergrößerungsfunktion und Phasenverschiebung ermitteln.

• Stützenerregung (Erregung über Feder, über Dämpfer oder über Feder und Dämpfer)

mur2

t

mur2sint

Bild 3.87 Stützenerregung über Feder und Dämpfer

m

= 0

c

bx(t)xS(t) = x·sintˆ

t

mur2

mu (Unwuchtmasse)

Ende?

3 DynamikSeite: 134


3.5.5 Systeme mit mehreren (n) Freiheitsgraden

3.5.5.1 EinführungDas Aufstellen der Bewegungsgleichungen für ein Schwingungssystem mit n Freiheitsgraden kann analog zum Schwinger mit einem Freiheitsgrad, z. B. mit dem D’ALEMBERTschen Prinzip (Kapitel 3.3.1 bis 3.3.3) bzw. den LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen 2. Art (Kapitel 3.4.3), vorgenommen werden.

Neu ist jetzt:Neu ist jetzt: • Bei einem linearen Schwingungssystem mit n-Freiheitsgraden erhält man ein gekoppeltes Differentialgleichungssystem aus n Gleichungen, d. h. die mathe-matische Behandlung wird aufwendiger.

• Ein lineares Schwingungssystem mit n Freiheitsgraden besitzt n Eigenkreis-frequenzen i (i = 1, ..., n).

Viele Erkenntnisse vom Schwinger mit einem Freiheitsgrad lassen sich übertragen, z. B.:Viele Erkenntnisse vom Schwinger mit einem Freiheitsgrad lassen sich übertragen, z. B.:

• Die Eigenkreisfrequenzen eines schwach gedämpften Systems unterscheiden sich nur un-wesentlich von denen des ungedämpften Systems (vgl. Kapitel 3.5.3 Freie gedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad). Deshalb reicht es häufig aus, ungedämpfte Systeme zu untersuchen.

• Bei erregten Systemen reicht im Allgemeinen die Untersuchung des stationären Schwin-gungszustandes aus. Nur für die Untersuchung des Verhaltens eines Systems in der Anlaufphase bzw. Auslaufphase ist die vollständige Lösung (mit Berücksichtigung der Dämpfung) erforderlich.

• Eine Erregung in der Nähe der Eigenkreisfrequenzen i führt ebenfalls zu großen Schwin-gungsausschlägen. Bei jeder Eigenkreisfrequenz liegt eine Resonanzstelle.

Ende?

3 DynamikSeite: 135


3.5.5.2 Aufstellen der BewegungsgleichungenAm Beispiel eines Zwei-Massen-Schwingers mit Dämpfung und Krafterregung (Bild 3.89) soll das Aufstellen der Bewegungsgleichungen exemplarisch gezeigt werden.

Im Beispiel 3.25 wurden Bewegungsgleichungen für einen Zwei-Massen-Schwinger (dort ohne Dämpfung und Krafterregung) mit den LAGRANGEschen Bewe-gungsgleichungen aufgestellt. Hier wollen wir mit Hilfe des D’ALEMBERTschen Prinzips die zweite typische Methode anwenden.

x1(t) x2(t)

FN2

m2g

m2x2

..

x2(t)x1(t)m1g

FN1

c1·x1

m1x1

..

c2·(x2-x1)

b1x1

.

b2(x2-x1). .

F1(t)

=0

c1

m1

b1

c2

m2

b2

=0

F1(t)

Bild 3.89 Zwei-Massen-Schwinger mit Dämpfung und Erregung

Gegeben: m1, m2, c1, c2, b1, b2,

Gesucht: Bewegungsgleichungen für m1 und m2

tsinF̂(t)F1

Das Kräftegleichgewicht an den beiden Massen liefert )t(Fxxcxcxxbxbxm: 1122111221111

0xxcxxbxm: 12212222

Nach Umsortierung folgt

0xcxcxbxbxm

)t(Fxcxccxbxbbxm

2212221222

1221212212111

0xcxcxbxbxm

)t(Fxcxccxbxbbxm

2212221222

1221212212111

(3.106)

bzw. in Matrizenschreibweise

0

)t(F

x

x

cc

ccc

x

x

bb

bbb

x

x

m0

0m 1

2

1

22

221

2

1

22

221

2

1

2

1

(3.107)FxKxDxM FxKxDxM oder kurz

Es bedeuten in (3.107):M - MassenmatrixD - DämpfungsmatrixK - Steifigkeitsmatrixx - KoordinatenvektorF - Lastvektor

Es bedeuten in (3.107):M - MassenmatrixD - DämpfungsmatrixK - Steifigkeitsmatrixx - KoordinatenvektorF - Lastvektor

Ende?

3 DynamikSeite: 136


Einsetzen in Gleichung (3.107) und Koeffizientenvergleich liefert ein Gleichungssystem zur Berechnung von A und B.

Die Bewegungsgleichungen (3.106) bzw. (3.107) stellen ein gekoppeltes lineares Differential-gleichungssystem dar.

Aus den Bewegungsgleichungen (3.107) lassen sich schnell die folgenden Sonderfälle ableiten:

Die Lösung der Differentialgleichungssysteme (3.108) und (3.109) kann als Summe einer homogenen und einer partikulären Lösung aufgeschrieben werden (bei (3.110) und (3.111) entfällt die partikuläre Lösung)

x = xh + xp

Zur Bestimmung der homogenen Lösung macht man zweckmäßig den Ansatz (vgl. auch Kapitel 3.5.3, Gleichung (3.88))

xh = C·et

und zur Bestimmung der partikulären Lösung führt ein an F angepasster Störgliedansatz in der Regel zum Ziel. Für das obiges Beispiel mit Dämpfung und mit z. B.:tsinF̂F(t)

tosctsinp BAx

(3.109)System ohne Dämpfung und mit Erregung FxKxM FxKxM

(3.110)System mit Dämpfung und ohne Erregung 0xKxDxM 0xKxDxM

(3.111)System ohne Dämpfung und ohne Erregung(freie Schwingung)

0xKxM 0xKxM

(3.108)System mit Dämpfung und Erregung FxKxDxM FxKxDxM

Die Matrizenschreibweise (3.107) gilt in dieser allgemeinen Form auch für Schwinger mit mehr als zwei Freiheitsgraden, wobei die Matrizen und Vektoren in (3.107) dann ein Format annehmen, das der Freiheitsgradanzahl des Systems entspricht.

Ende?

3 DynamikSeite: 137


Beispiel 3.30 Zwei-Massen-Schwinger mit Krafterregung an einer Masse

=0

c1 m1c2 m2

=0

F1(t)

Bild 3.90 Zwei-Massen-Schwinger mit Krafterregung

Gegeben: m1 = m2 = m, c1 =c2 = c,

Gesucht: Bewegungsgleichungen für m1 und m2

tsinF̂(t)F1 x1(t) x2(t)

Es gelten die Bewegungsgleichungen (3.106) bzw. (3.107), wenn in diesen die Dämpfung Null gesetzt wird (d. h. b1 = b2 = 0 bzw. D = 0)

FxKxM

0

tsinF̂

x

x

cc

ccc

x

x

m0

0m

2

1

22

221

2

1

2

1(3.112)

oder kurz FxKxM (3.113)

Ermittlung der homogene Lösung:

Der Ansatzt

2

1

h2

h1e

C

C

x

x

oderxh = C·et

in (3.112) eingesetzt liefert das so genannte allgemeine Eigenwertproblem

02 CKM 02 CKM (3.114)

Das allgemeine Eigenwertproblem (3.114) stellt ein homogenes Gleichungssystem für die Ampli-tuden C des Ansatzes dar. Es hat nur dann nichttriviale Lösungen für C, wenn die Determinante der Matrix (2M + K) Null wird.

(3.115) 0det 2 KM 0det 2 KM

Ende?

3 DynamikSeite: 138


(3.115) 0det 2 KM 0det 2 KM

Die Gleichung (3.115) wird als charakteristische Gleichung bezeichnet. Für das konkrete Beispiel wird die charakteristische Gleichung mit (3.112)

0cmc

cccm

22

22

2212

1

0

mm

cc

m

c

m

cc

21

212

2

2

1

214

Die charakteristische Gleichung (biquadratische Gleichung für ) hat die Lösungen

21

212

2

2

1

21

2

2

1

2122,1 mm

cc

m

c

m

cc

4

1

m

c

m

cc

2

1

Hinweis: Die Lösungen für 2

1,2 sind kleiner Null. Deshalb führen wir die Substitution 2

1,2 = -21,2 durch.

Damit ist 21,2 reell und positiv.

Hinweis: Die Lösungen für 21,2 sind

kleiner Null. Deshalb führen wir die Substitution 2

1,2 = -21,2 durch.

Damit ist 21,2 reell und positiv. Mit

21

212

2

2

1

21

2

2

1

2122,1 mm

cc

m

c

m

cc

4

1

m

c

m

cc

2

1

(3.116)

erhält man die Lösungen der charakteristischen Gleichung in der Form 22,1

22,1

mit und aus Gleichung (3.116) für die gegebenen Wertem

c618,01

m

c618,12

bzw. daraus die vier Teillösungen

22222122

22

11211121

21

i,i

i,i

(3.117)

Ende?

3 DynamikSeite: 139


02 CKM

Mit 2 = -2 nach (3.117) folgt aus (3.114)

Einsetzen in den Lösungsansatz für xh und Überlagerung aller Teillösungen mit je zwei Integra-tionskonstanten liefert

ti

22ti

21ti

12ti

112h2

ti22

ti21

ti12

ti111h1

2211

2211

eAeAeAeACx

eAeAeAeACx

Mit der EULERschen Formel (vgl. auch Kapitel 3.5.3) folgt nach kurzer Umformung und Umbenennung der Konstanten

sinicose i

22221121h2

22121111h1

tsinCtsinCx

tsinCtsinCx

(3.118)

Aus dem homogenen Gleichungssystem (3.114) liest man ab, dass es zwischen den Konstanten von C einen Zusammengang geben muss.

0C

C

cmc

cccm

2

1

22

22

2212

1

und die erste Gleichung liefert einen allgemeinen Zusammenhang zwischen C1 und C2

,Cc

mccC 1

2

2121

2

der für = 1 und für = 2 erfüllt sein muß.

Zwischen den Konstanten in (3.118) muss damit folgender Zusammenhang gelten

111112

21121

21 CCc

mccC

12212

2

22121

22 CCc

mccCund

mit den Auslenkungsverhältnissen 1 = +1,618 und 2 = -0,618 für die gegebenen Werte.

Ende?

3 DynamikSeite: 140


Die homogene Lösung (3.118) geht damit in die folgende endgültige Form über

2212211111h2

22121111h1

tsinCtsinCx

tsinCtsinCx

2212211111h2

22121111h1

tsinCtsinCx

tsinCtsinCx

(3.119)

Hinweis: C11, C12,1 und 2 sind die vier Integrationskonstanten des homogenen Ausgang-systems (3.112).

Hinweis: C11, C12,1 und 2 sind die vier Integrationskonstanten des homogenen Ausgang-systems (3.112).

Diskussion der homogenen Lösung:

• Die Integrationskonstanten C11, C12,1 und 2 werden aus Anfangsbedingungen bestimmt. Beachte: Die Anfangsbedingungen müssen bei einem erregten System für die Gesamtlösung aus homogener und partikulärer Lösung aufgeschrieben werden!

• Die homogene Lösung ist im Allgemeinen Fall die Überlagerung zweier Schwingungen mit den Eigenkreisfrequenzen 1 und 2. Sie klingt infolge immer vorhandener Dämpfung (hier nicht berücksichtigt) mit der Zeit ab (vgl. Kapitel 3.5.3).

• Es gibt aber immer bestimmte Anfangsbedingungen, für die in (3.119) entweder C12 oder C11 Null wird. In diesen Fällen schwingen beide Massen mit der gleichen Eigenkreisfrequenz, entweder mit 1 (Bild 3.91, folgende Seite) oder mit 2 (Bild 3.92, folgende Seite). Die dazu gehörenden Schwingformen bezeichnen wir als Eigenschwingformen (vgl. Gegenüberstellung für dieses Beispiel auf der folgenden Seite).

• Das Auslenkungsverhältnis der Massen ist ein charakteristischer Wert, der die Schwingform qualitativ beschreibt.

Ende?

3 DynamikSeite: 141


Bild 3.92 Gegensinnige Schwingung mit 2

Eigenschwingform für 2

(2. Eigenschwingform)

Bild 3.91 Gleichsinnige Schwingung mit 1

Eigenschwingform für 1

(1. Eigenschwingform)

11111h2

1111h1

tsinCx

tsinCx

11111h2

1111h1

tsinCx

tsinCx

22122h2

2212h1

tsinCx

tsinCx

22122h2

2212h1

tsinCx

tsinCx

m2

x1h

m1

-x2h

Schwingform: gegensinnigSchwingform: gleichsinnig

x2hx1h

m1 m2

618,02x

x2

h

h2 618,02x

x2

h

h2 618,1x

x1

h1

h2 618,1x

x1

h1

h2

Auslenkungsverhältnis Auslenkungsverhältnis

C12 = 0 C11 = 0

Ende?

3 DynamikSeite: 142


Ermittlung der partikulären Lösung:

Für die partikuläre Lösung wird ein an die Erregerfunktion angepasster Ansatz gewählt:

tsinp Ax bzw. tsinA

A

x

x

2

1

p2

p1

Einsetzen des Ansatzes in die vollständige Gleichung von (3.112) liefert mit das Gleichungssystem

tsin2p Ax

tsin0

F̂tsin

A

A

cc

ccctsin

A

Am0

0m

2

1

22

221

22

12

2

1

0

F̂

A

A

cmc

cccm

2

1

22

22

2212

1

G

Das ist ein lineares inhomogenes Gleichungssystem für A1 und A2. Die Auflösung, z. B. mit der CRAMERschen Regel, liefert

)(det

mcF̂A

222

1 G

)(det

cF̂A 2

2 Gund

Die Determinante det(G) hat genau für = ±1 und = ±2 Nullstellen, da sie analog zur charakteristischen Gleichung (3.115) aufgebaut ist! Mit der Produktdarstellung des aus det(G) folgenden Polynoms 4. Grades mit Hilfe der bekannten Nullstellen können die Konstanten des Ansatzes dann wie folgt aufgeschrieben werden (siehe folgende Seite)

Ende?

3 DynamikSeite: 143


(3.120))()(mm

cF̂A

)()(mm

)mc(F̂A

22

221

221

222

222

12

21

222

1

Damit wird die partikuläre Lösung

tsin)()(mm

cF̂tsinAx

tsin)()(mm

)mc(F̂tsinAx

22

221

221

22p2

22

221

221

222

1p1

tsin)()(mm

cF̂tsinAx

tsin)()(mm

)mc(F̂tsinAx

22

221

221

22p2

22

221

221

222

1p1

(3.121)

Die Gesamtlösung x = xh + xp kann jetzt mit der homogenen Lösung (3.119) und der partikulären Lösung (3.121) aufgeschrieben werden. Wir wollen jedoch an dieser Stelle darauf verzichten und statt dessen, wie bei der homogenen Lösung, die partikuläre Lösung kurz diskutieren.

Diskussion der partikulären Lösung:

• Nachdem die homogene Lösung infolge der immer vorhandenen Dämpfung abgeklungen ist, schwingt das System mit der partikulären Lösung im so genannten stationären Zustand (vgl. auch Kapitel 3.5.4, Bild 3.84).

Ende?

3 DynamikSeite: 144


Bei der 1. Resonanzstellen ( = 1) schwingen die Massen gleichsinnig mit der 1. Eigen-schwingform und bei der 2. Resonanzstellen ( = 2) schwingen die Massen gegensinnig mit der 2. Eigenschwingform (vgl. Bild 3.91 und 3.92).

• Die Amplituden A1 und A2 der stationären Schwingung sind neben den Systemkenngrößen (Massen, Federzahlen, Eigenkreisfrequenzen 1 und 2) wesentlich von der Erregung und hier speziell von der Erregerkreisfrequenz abhängig (siehe Gleichung (3.120)). Die folgenden Darstellungen der Amplituden in Abhängigkeit von der Erregerkreisfrequenz für das hier behandelte Beispiel mit zwei Massen ohne Dämpfung verdeutlichen dies.

A1

1

2

2

2T m

c

A2

1 2

Bild 3.93 Amplituden der stationären Schwingung

Bei = 1 und bei = 2 werden die Amplituden A1 und A2 theoretisch unendlich groß (für Systeme ohne Dämpfung; aber bei der praktisch immer vorhandenen Dämpfung bleiben die Amplituden endlich). Diese Stellen bezeichnen wir als Resonanzstellen.

Bei = T ist A1 = 0, d. h. die Masse m1 bleibt in Ruhe, obwohl dort die Erregerkraft F(t) angreift! Diesen Effekt nennt man Schwingungstilgung (hier der Masse m1). Die Masse m2 schwingt dabei weiter. Schwingungstilgung wird in der Praxis bewusst zur Unterdrückung von Schwingungen einzelner Massen eingesetzt.

Ende?

3 DynamikSeite: 145


In der nachfolgenden realistischen Animation ist der Schwingungsvorgang für diesen Zwei-Massen-Schwinger mit Krafterregung an m1 für die Gesamtlösung x = xh + xp und für folgende Größen dargestellt:

= 0

c1 m1c2 m2

= 0

F1(t)

x1(t) x2(t)ungedämpft:

x1(t) x2(t)

= 0

c1

m1

b1

c2

m2

b2

= 0

F1(t)

gedämpft: (b1 = b2 = 4 N s/m) (Dämpfer in der Animation nicht dargestellt)

12

1

2

22

11

1

1

11

s814,0f,s117,5m

c618,1

s311,0f,s954,1m

c618,0

m1 = m2 = 5 kg, c1 = c2 = 50 N/m, 1

1 s6,N 5 F̂mittsinF̂(t)F Anfangsbedingungen: x1(t=0) = 0, x1(t=0) = 0

x2(t=0) = 0,3 m, x2(t=0) = 0

..


Zur Ansicht der Animation auf das jeweilige Bild klicken oder die Datei schwinger-3-u.avi (ungedämpft) bzw. schwinger-3-g.avi (ge-dämpft) mit geeignetem Player öffnen. Ein weiterer Klick auf die Animation stoppt diese bzw. setzt sie fort oder beginnt sie erneut.

Ende?

Animation:Animation: Animation:Animation:

3 DynamikSeite: 146


Ende der

Dynamik

Ende?

3 Dynamik Seite: 291 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure CD-ROM zum Buch Prof. Dr.-Ing....

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