Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.1

3. H-Atom Einzelheiten3.1 Zeeman-Effekt µ·B3.2 Stark-Effekt p·E3.3 Feinstruktur ℓ·s3.4 Hyperfeinstruktur I·j3.5 Lamb-Verschiebung

Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.2

3.1 Zeeman-Effekt µ·BAtom im B-Feld:Das Bahn-magnetische Moment µℓ des Elektrons ist proportional zu seinem Bahn-Drehimpuls ℓ :

aus: µℓ = Strom I · Fläche A= (− e · Umlauffrequenz) · A= −(eυ/2πr) πr2 = −½ eυr

und: ℓ = merυ

folgt: µℓ = − gℓe/2me ℓ (mit 'g-Faktor', hier gℓ = 1): µℓ = γℓ,

mit gyromagnetischem Verhältnis γ = ge/2me

Energie im Magnetfeld B = (0, 0, Bz):∆Em = − µℓ · B = (ge/2me) ℓzBz , mit ℓz = mℓħ:∆Em = gµBmℓBz

mit Bohrschem Magneton µB = eħ/2me = 0.58ÿ10−4 eV/T,d.h. µℓ = − gℓµB ℓ/ħ, mit gℓ = 1

µℓ

Zylindersymmetrie des Magnetfelds Bz

bricht Kugelsymmetrie des Coulomb-Potenzials V(r) → Aufhebung der "Entartung" der Energien

mℓ= +1

mℓ= −1

∆E

Bmℓ= 0

Beispiel: ℓ = 1

mℓ = 0: ∆E0 = 0 mℓ = ≤1: ∆E≤1= ≤ µB Bz

Das Spin-magnetische Moment µs des Elektronsist proportional zu seinem Spin-Drehimpuls s:

µs = − gsµB s/ħmit gs = 2 ( relativistischer Effekt )

∆E± = ±½gµBBzPhysik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.3

Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.4

3.2 Stark-Effekt p·EAtom im E-Feld:

Atom (Ion) mit permanentem elektrischen Dipolmoment p: WW-Energie ist ∆E = − p · E: linearer Starkeffekt

E-Feld induziert elektrisches Dipolmoment p=α E, mit Polarisierbarkeit α:WW-Energie ist ∆E = − p · E = α E2: quadratischer Starkeffekt

Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.5

3.3 Feinstruktur ℓ·s

Energieniveaus En ~ 1/n2 sind bisher unabhängig von ℓ und s. Aber: Elektron fliegt durch Coulomb-Feld der Kernladung Ze:

E = (Ze/4πε0r2) r/r,

sieht daher MagnetfeldBℓ = c−2 υ ä E,

= (µ0Ze/4πmer3) meυ ä r= (µ0Ze/4πmer3) ℓ.

Dies führt zu einem 'Spin-Bahn' oder ℓ-s Kopplungsenergie∆Eℓs = − µs· Bℓ, mit µs = −e/me s

dh. ∆Eℓs = (a/ħ2) ℓ · s

mit Spin-Bahn Kopplungskonstantea = µ0Ze2ħ2 /8πme

2r3 (Qu.Mech. ‚1/r3Ú = ∫ r−3lψl2 dV)

+Ze

e− E

ℓ-s Kopplung

Gesamt-Drehimpuls j = s + ℓ, j2 = s2 + 2ℓ·s + ℓ2

mit |j| = [j(j+1)]½ ħ

dh. ℓ · s = ½ [j(j+1)−ℓ(ℓ+1)−s(s+1)] ħ2

und ∆Eℓs = ½ a [j(j+1)−ℓ(ℓ+1)−¾],

Mit Bohrradius r = a0n2/Z und Bohrenergie En =−RH Z2/n2 wird Vorfaktor a = EnZ2α2/n4

Qu.-mech. Berechnung von ‚r−3Ú führt zua = −EnZ2α2 /nℓ(ℓ+½)(ℓ+1)

mit Feinstrukturkonstante = Kopplungskonstante der el.-magn. WW:

α = e2/4πε0ħc ≈ 1/137 , und α2 ~ 10−4

ℓ

js

Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.6

Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.7

Drehimpuls-Addition

Bei der Drehimpuls-Addition kann j die Werte annehmen:

j = ℓ−s, ℓ−s+1, …, ℓ+s

Beispiel: ℓ = 1, s = ½: j = 1/2, 3/2

ℓ = 1, s = 1: j = 0, 1, 2

s

ℓj=3/2ℓ

sj=½

s

ℓj=2

sℓ

j=1ℓ

s

j=0

Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.8

Beispiel Feinstruktur-Aufspaltung

←gewichtet mit 2j+1: Schwerpunkt bleibt erhalten4a/2 − 2a = 0ℓ=1

ℓ=1

j=ℓ+½: ∆Eℓs = ½ a [j(j+1) − ℓ(ℓ+1)−¾] = ½ a ℓ,j=ℓ−½: ∆Eℓs = −½ a(ℓ+1)

für ℓ=1:

Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.9

plus relativistische VerschiebungRelativistische Gesamtenergie des Elektrons

E2 = p2c2 + me2c4

mit Ekin = E − mec2

= mec2 (1 + p2c2/me2c4)½ −mec2

º mec2 (1 + p2/2me2c2 −p4/8me

4c4) −mec2

= p2/2me−p4/8me3c2

mit p = − iħ— wird die relativistische Korrektur:∆Er = (ħ4/8me

3c2) ∫ψ*— 4ψ dV, ohne Beweis:

weitere Korrektur, nur für ℓ=0: s-Wellenfkt. ist ≠ 0 am Kernort r=0, führt zu weiterem ('Darwin-Term')

∆Ed/E = − (Z2α2/n) δℓ0 (←Kronecker-Symbol)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−=∆21

14322

lnnZ

EEr α

Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.10

Gesamt-Korrekturen

Aufaddieren aller Korrekturen

hängt nur noch von j ab, nicht von ℓ oder s.

Beispiel: Wasserstoff Z=1:

Grundzustand n=1, ℓ=0, j=½:∆E1,½ = E1α2 (1−¾) = −13.6eV ¼ α2 = −1.8·10−4 eV

angeregter Zustand n=2, j=½:∆E2,½ = E2α2 ¼ (2−¾) = −¼ 13.6eV ¼ α2 5/4 = −0.56·10−4eV

angeregter Zustand n=2, j=3/2:∆E2,3/2 = E2α2 ¼ (1−¾) = −¼ 13.6eV ¼ α2 ¼ = −0.11·10−4eV

nds,j,n Ej

nn

ZEEE ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−=∆+∆=∆

43

212

22αl

Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.11

Feinstruktur des H-Atoms

ν = 11GHz"metastabil"

Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.12

Gesamt-magnetisches Moment µj

g-Faktoren: gℓ = 1, gs= 2,

dh. µℓ = µB ℓ/ħ, aber µs = 2µB s/ħ.

Wegen dieses 'anomalen Spinmomentes' ist im klassischen Bild µj nicht mehr parallel zu j, sondern präzediert um j, und ist im zeitlichen Mittel (Projektion auf j):

·µjÚ = gjµB |j|/ħ

mit Landé-Faktor (ohne Beweis)

mit 1 § gj § 2.

Im Magnetfeld B führt dies zur 'anomalen' Zeeman-Aufspaltung ∆Em = gjµBmjBz,deren Grösse von s und ℓ abhängt.

µℓ

µs

µj

j

ℓ

j

s

)j(j)()s(s)j(jg j 12

1111+

++++++= ll

Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.13

3.4 Hyperfeinstruktur I·j

Auch die Atomkerne haben Spin: Kernspin Ιmit |Ι| = [Ι(Ι+1)]½ ħ

Ιz = mΙ ħ

Ι ist halb- oder ganzzahlig. Beispiele:

Proton p = Kern des Wasserstoffs: Ι = ½Alpha = 2p2n = Kern des Heliums: Ι = 0Deuterium = pn: Ι = 1

Zugehöriges magnetisches KernmomentµΙ = − gΙµn Ι/ħ

mit Kern-g-Faktor gΙ und Kernmagneton

µn = eħ/2mp = µB/1836

Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.14

Hfs-Aufspaltung

Ι

F

j

e−p

Bj

α

Wechselwirkungs-Energie zwischen Kernspin und äußerem Magnetfeld des Elektrons:

∆EΙ j = − µΙ · Bj= − |µΙ | Bj cosα

wegen Bj ~ µj ~ j und µΙ ~ Ι: ∆EΙ j = A Ι ·j = A |j|·|Ι| cosα

dh. cosα = j · Ι / |j|·|Ι| = ½ (F2 − j2 − Ι2) /|j|·|Ι|

mit Gesamt-Drehimpuls F = j + Ι

dh.

mit HyperfeinkonstanteA = gΙµnBj /[j(j+1]½

)I(I)j(j)I(I)j(j)F(F

112111

+++−+−+=

)I(I)j(j)I(I)j(j)F(FAE j,I 112

111++

+−+−+=∆

Beispiele Hfs-aufspaltung H-Atom

Angeregter Zustand 'e.s.'n=2, ℓ=1, s=½, j=½ oder 3/2; I =½:

½½

Grundzustand 'g.s.'n=1, ℓ=0, s=½, j=½, I =½:

'21cm Linie'

Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.15

Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.16

Zeeman-Aufspaltung der Hfs

F=1

F=0

mF

+1. 0 −1

. 0

ms mΙ+½ +½+½ −½

−½ −½−½ +½

→Bextern40 mT=Bintern

H-Atom Grundzustand:

Bextern>> Bintern:

j=s und Ι sind 'gute Quantenzahlen'

Bextern<< Bintern:

F ist 'gute Quantenzahl'

Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.17

3.5 Lamb-Verschiebung

s

b

Coulomb-Potential ⟨−e2/r(t)⟩ < −e2/r0 :s

r(t)

r0

r

V(r)r0

"QED"

Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.18

Lamb-Verschiebung im H-Atom n = 2

ν = 1.0 GHz

Angeregter Zustand n=2: ℓ=0, j=½, ℓ=1, j=½ oder 3/2

= metastabil

Lebensdauer τ= 2·10−9s

Lamb Verschiebung Experiment

2S½→ 2P½ Übergang

thermische Dissoziation

Kollimatormetastabiler 2S½Atomstrahl

Detektor für metastabileAtome

Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.19

Lamb Verschiebung MessergebnisHochfrequenz-Spektroskopie:

Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.20

Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.21

Direkte Messung der LambshiftLaser-Spektroskopie:

Physik IV SS 2005 3.H Einzelh. 3.22

H-AtomKomplettes Spektrum