Prof. Dr.-Ing. Jorg RaischDipl.-Ing. Anne-Kathrin HessDipl.-Ing. Thomas SeelFachgebiet RegelungssystemeFakultat IV Elektrotechnik und InformatikTechnische Universitat BerlinIntegrierte Lehrveranstaltung ”Grundlagen der Regelungstechnik”

3. PraktikumStabilitatsnachweis mit Nyquistkriterium an einem Magnetlager

Die Abgabe der Vorbereitungsaufgaben erfolgt einzeln,im Praktikum kann dann wieder in 2er-Gruppen abgegeben werden.

Name: Matrikelnummer:

Praktikumstermin: Di. 12-14 � | Di. 14-16 � |Mi. 14-16 � |Mi. 16-18 � | Do. 14-16 �

Die Vorbereitungsaufgaben sind zu Beginn des Praktikums abzugeben,sonst darf an diesem Termin nicht teilgenommen werden!

Praktikumsziele:

• Wiederholung Linearisierung• Ubertragungsfunktion in Scilab• Numerische Berechnung des Frequenzgangs einer Ubertragungsfunktion• Nyquist Plots in Scilab• Bestimmung des Stabilitatsbereichs mithilfe des Nyquist-Kriteriums

1 EinleitungIn diesem Versuch soll das nichtlineare Modell fur einen Magnetschwebekorper erstellt und an einem ge-gebenen Arbeitspunkt linearisiert werden. Anschließend soll unter Verwendung des Nyquist-Kriteriumsuntersucht werden, fur welche Verstarkungen der geschlossene Regelkreis (asymptotisch) stabil ist. Derzu verwendende Regler wird vorgegeben.

2 ModellbeschreibungDas Positionieren von metallischen oder magnetischen Korpern im Magnetfeld ist uberall dort von prakti-scher Bedeutung, wo keine mechanische Reibung erwunscht ist z.B. im Transportwesen (Transrapid) oderim Maschinenbau (magnetische Lager). Naturliche Stabilitat oder Instabilitat des ungeregelten Systemsist dabei von der Anordnung der Elektromagneten und Eisen-/Magnetkorper abhangig. Die in diesemVersuch betrachtete Anordnung fuhrt zu einem instabilen Streckenverhalten.Eine schematische Darstellung der Strecke mit den Ein- und Ausgangsgroßen des Modells ist der Abbil-dung 1 zu entnehmen. Die zu positionierende Kugel befindet sich unter einem Elektromagneten in derSchwebe. Ohne die Anziehungskraft des geregelten Magneten wurde die Eisenkugel, nur der Gravitati-onskraft ausgesetzt, nach unten fallen. Die Position y der Kugel wird uber einen opto-elektrischen Sensorerfasst.

1

Abbildung 1: Versuchsaufbau und schematische Darstellung der Strecke mit Ein-und Ausgangssignalen

3 ModellgleichungenIm Folgenden werden die Gleichungen des Systems fur die Position y ([y] = m) der Kugel, die Ge-schwindigkeit v ([v] = m

s) der Kugel und den Spulenstrom i ([i] = A) des Elektromagneten eingefuhrt.

Die Eingangsgroße u(t) ist ein pulsweitenmoduliertes Stellsignal fur den Elektromagneten, das auf denBereich 0...1 normiert ist. Die Ausgangsgroße ist die Position y(t) der Kugel. Die Gleichungen lauten:

d

dty(t) = v(t), (1)

d

dtv(t) = −

FM(y(t), i(t))

m+ g, (2)

d

dti(t) =

1

ki1(ki2u(t)− i(t)), (3)

wobei die ersten beiden Gleichungen die Bewegungsgleichungen der Eisenkugel darstellen und die letzteGleichung das elektrische System, also die Stromdynamik, beschreibt. Die auf den Eisenkorper wirkendeKraft FM des Magneten lasst sich wie folgt berechnen:

FM(y(t), i(t)) = km1i2(t) exp (−km2y(t)) . (4)

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4 VorbereitungsaufgabenAufgabe 4.1 (Nichtlineares Zustandsmodell)Wahlen Sie als Zustande des Systems x1 = y, x2 = v und x3 = i und stellen Sie das nichtlineare Modellder Strecke (Gleichungen 1 bis 3) in der Zustandsraumdarstellung x(t) = f(x(t), u(t)) mit der linearenAusgangsgleichung y(t) = Cx(t) auf.Hinweis: Im Grunde nur abschreiben, aber in der in der Regelungstechnik ublichen Schreibweise!

Aufgabe 4.2 (Linearisierung des Zustandsmodells)Geben Sie die beiden zur Position ys = 0.01m die zugehorigen Ruhelagen allgemeingultig an.

xs1 =

xs2 =

us1 =

[ ]us2 =

[ ]

3

Linearisieren Sie das System um den Arbeitspunkt mit negativem x3 und ermitteln Sie die resultierendeZustandsraumdarstellung fur das System in der Form:

ξ(t) = Aξ(t) +Bµ(t), (5)ν(t) = Cξ(t) +Dµ(t). (6)

ξ := ν := µ :=

A =

B =

C =

[ ]D =

[ ]

4

Aufgabe 4.3 (Scilab-Skript vorbereiten)

Die nachsten Aufgaben sollen in dem fur dieses Praktikum zur Verfugung gestellten Scilab Skriptbearbeitet werden. Das Scilab Skript konnen Sie von der Website der Lehrveranstaltung herunterladen.In dem Skript sind die notigen Systemparameter gegeben.

a) Geben Sie die numerisch berechneten Werte fur die Ruhelagen und Matrizen des linearisiertenSystems an.

xs1 =

xs2 =

us1 =[ ]

us2 =[ ]

A =

B =

C =[ ]

D =[ ]

b) Definieren Sie mithilfe der Scilab-Anweisung syslin ein lineares kontinuierliches System mitden Matrizen A,B,C und D.

c) Zur weiteren Vorbereitung soll der Schnittpunkt des Polynoms f(x) = π − x mit der X-Achsebestimmt werden. Vervollstandigen Sie dazu den entsprechenden Abschnitt in ihrem Scilab-Skript.

Sie mussen dazu:

a) Einen Vektor x_werte definieren, der von 1 bis 6 gehen soll, in Schritten von 0.001 (d.h.5001 Elemente).

b) Das Polynom f fur alle x_werte auswerten und die Werte einem Vektor y_werte zuwei-sen.Benutzen Sie dazu den Scilab Befehl horner( ..., ... ). Zum Verstandnis bietet essich an, die y_werte uber den x_werte zu plotten,z.B. mit plot2d(x_werte, y_werte); xgrid(); .

c) Bilden Sie den Absolutwert von y_werte mit dem Scilab Befehl abs(...).d) Bestimmen Sie die das betragsmaßige Minimum und den Index des Minimums des zuvor

gebildeten Absolutwerts von y_werte. Benutzen Sie dazu den Scilab Befehl min(...).e) Geben Sie den x-Wert aus, an dem die Gerade die X-Achse schneidet. Benutzen Sie dazu den

zuvor bestimmten Index.

Index des Schnittpunkts: x-Wert des Schnittpunkts:

Bringen Sie das in den Vorbereitungsaufgaben erstellte Scilab-Skript zumPraktikumstermin mit!

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Prof. Dr.-Ing. Jorg RaischDipl.-Ing. Anne-Kathrin HessDipl.-Ing. Thomas SeelFachgebiet RegelungssystemeFakultat IV Elektrotechnik und InformatikTechnische Universitat BerlinIntegrierte Lehrveranstaltung ”Grundlagen der Regelungstechnik”

3. PraktikumStabilitatsnachweis mit Nyquistkriterium an einem Magnetlager

Die Abgabe der Praktikumsaufgaben erfolgt in 2er-Gruppen.

Name: Matrikelnummer:

Name: Matrikelnummer:

Praktikumstermin: Di. 12-14 � | Di. 14-16 � |Mi. 14-16 � |Mi. 16-18 � | Do. 14-16 �

Bringen Sie das in den Vorbereitungsaufgaben erstellte Scilab-Skript zumPraktikumstermin mit!

5 PraktikumsaufgabenAlle Aufgaben sind in Ihrem Scilab-Skript zu erledigen!Aufgabe 5.1 (Ubertragungsfunktion und Pole)Berechnen Sie die Ubertragungsfunktion des modellierten Systems mithilfe des Scilab-Befehls ss2tf.

Verwenden Sie anschließend den Scilab-Befehl clean, um die Ubertragungsfunktion von numerischenFehlern zu befreien.

G(s) =

Berechnen Sie die Pol- und Nullstellen der Ubertragungsfunktion und geben Sie diese an.Hinweis: Wenn Sie die Ubertragungsfunktion durch G=clean(ss2tf(...)) berechnet haben, konnen Sie mitG.num und G.den auf das Zahler- und Nennerpolynom der Ubertragungsfunktion zugreifen. Mit dem Befehlroots konnen die Wurzeln eines Polynoms bestimmt werden.

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Aufgabe 5.2 (Stabilitat des Regelkreises)Um die Eisenkugel in der Schwebe zu halten, ist eine Regelung notwendig. Im Folgenden soll die Stabi-litat des Regelkreises (Abbildung 2) unter Verwendung eines vorgegebenen Reglers untersucht werden.

K(s) G(s)yr

Abbildung 2: Der geschlossene Regelkreis

Die Ubertragungsfunktion des Reglers lautet:

K(s) = kps2 + 82, 24s+ 1689, 71

s2 + 80s+ 4234, 67. (7)

a) Definieren Sie die Ubertragungsfunktion des gegebenen Reglers. Erstellen Sie dazu ein Polynoms mit Nullstelle 0. Setzen sie die Reglerverstarkung kp auf 1. (Scilab-Befehle: poly; syslin mitZahler und Nenner als Parameter)

b) Bestimmen Sie die fur die Stabilitat des offenen Regelkreises G(s)K(s) notige Phasendrehunganhand des Nyquist-Kriteriums.

∆∠Γ1:

c) Erstellen Sie die Nyquist-Ortskurve fur die Ubertragungsfunktion G(s)K(s) mit kp = 1.

d) Ist das betrachtete System fur kp = 1 stabil? Begrunden Sie ihre Antwort!

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e) Warum ist das System nur innerhalb des Intervalls I =]kpmin . . . kpmax[ stabil?

f) Berechnen Sie den Frequenzgang von G(s)K(s) mit kp = 1.Hinweis: Es wird wahrend des Praktikums eine kurze Erlauterung der Vorgehensweise geben.

g) Geben Sie die beiden Realteile des Frequenzgangs an, bei dem der Imaginarteil 0 wird. BestimmenSie fur diese beiden Realteile die Amplitudenreserve.

Realteil Amplitudenreserve

1

2

h) In welchem Intervall I =]kpmin . . . kpmax[ muss kp also liegen, um die Stabilitatsbedingung zuerfullen?

I =] . . . [

Hinweis: Scilab-Befehle:

Denken Sie daran bei Unklarheiten die Scilab-Hilfe zu nutzen!

• syslin: Definition linearer Systeme als Zustandsraummodell• ss2tf: Berechnung der Ubertragungsfunktion aus dem Zustandsraummodell• poly: Definition von Polynomen• bode: Bodediagramm• nyquist: Nyquistkurve• horner(p,a): Ausrechnen des Wertes eines Polynoms p an der Stelle a nach Hornerschema

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