3x 3 5 x 2 32 - brinkmann-du.de€¦ · R. Brinkmann Seite 2 06.12.2013

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Erstellt von R. Brinkmann sg22d_12_13_ka_01_e 21.10.2012 20:27 Seite 1 von 12

Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Mi 30.10.2012 SG22 D Gruppe A NAME: Hilfsmittel: Taschenrechner, außer bei Aufgabe 1 Alle Ergebnisse sind soweit möglich durch Rechnung zu begründen. Lösungen:

Aufgabe Berechnen Sie ohne Taschenrechner unter Verwendung der Rechenregeln für die Bruchrechnung. Der Rechenweg muss klar erkennbar sein.

1.

a) 1 3 5 72 4 8 10− + −

b) 3 4 32 5 4

⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 3 4 2:

4 5 3⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

Ausführliche Lösungen a) 1 3 5 7 20 30 25 28

2 4 8 10 40 40 40 40013

4− + − = −= − + −

b) 3 4 3 12 9 48 452 5 4 10 8 40

30 404

⎛ ⎞⋅ − = − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

A1

c) 3 4 2 15 16 2 31 2 31 3 93: : :4 5 3 20 20 3 20 3 20 2 4

240013⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Aufgabe Berechnen und vereinfachen Sie: a) ( ) ( )5x 6y 2x 7 3x 2y 8⎡ ⎤− + − − + −⎣ ⎦

b) ( )2 13x 3 5 x 23 2

⎛ ⎞⋅ − − ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

2.

c) 2 3 3 4a b a b3 4 2 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

d) 23 u 2v

4⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

Ausführliche Lösungen a) ( ) ( ) [ ]

[ ]5x 6y 2x 7 3x 2y 8 5x 6y 2x 7 3x 2y 8

5x x 4y 1 5x x 4y 1 6x 4y 1

⎡ ⎤− + − − + − = − + − − − +⎣ ⎦= − − −+ = + − − = −+

b) ( ) 1 x 122

2 1 5 4 53x 3 5 x 2 2x 2 x 10 x x 123 2 2 2 2

⎛ ⎞⋅ − − ⋅ + = − − − = − − =⎜ ⎟⎠

− −⎝

c)

2 22 22 2

2 3 3 4 2 3 2 4 3 3 3 4a b a b a a a b b a b b3 4 2 3 3 2 3 3 4 2 4 3

8 9 64 81a ab ab b a ab ab b9 8 7

17a ab b72 72 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ + = ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + − − = + − − −− =

A2

d) 22 22 23 9 3u 2v u 4 uv 4v

4 16 49 u 3uv 4v

16⎛ ⎞− = − ⋅ + −=⎜ +⎟⎝ ⎠



Aufgabe Bei der Bearbeitung folgender Aufgaben rechnen Sie mit Brüchen. a) ( )1

2Eine Gerade mit der Steigung a verläuft durch den Punkt P 5 | 43

= − −

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung rechnerisch und zeichnen Sie den Graphen.

b) Eine Gerade verläuft durch die Punkte ( ) ( )1 2P 6 | 8 und P 6 | 1− −


c) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte von 3 7g(x) x4 2

= − +

rechnerisch und zeichnen Sie den Graphen.

3.

d) Bestimmen Sie den Schnittpunkt von 2 3f(x) x 1 und g(x) x 43 4

= + = − +

rechnerisch und zeichnen Sie beide Graphen in ein Koordinatensystem. Ansatz: f(x) = g(x)

A3: a) Ausführliche Lösung

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 0

0

0

0

2 2a P 5 | 4 f x x a3 3

2P 5 | 4 f 5

2 2f x x3

4 5 a 43

10 10a 4 |3 3

10 12 10 2a 43 3 3

3

3

= − − = − +

− ⇒ − = ⇔ − ⋅ −

= −

+ =

⇔ + = −

⇔ = − =

+

− =

5− 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3

3−2−

1−

1234

f x( )

x



A3: b) Ausführliche Lösung ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

1 2

2 11

2 1

1 0

0

0

0

P 6 | 8 P 6 | 1y y 1 8 3ax x 6 6 4

3 3a f x x a4 4

3P 6 | 1 f 6 1 6 a 14

48 48a 1|4 4

4 18 7a4

3 7f x

2

4 2

4

x

− −

− − −= = = −

− − −

= − = − +

− ⇒ = − ⇔ − ⋅ + = −

⇔ − + = − +

⇔ = − + =

= − +

A3: c) Ausführliche Lösung

( )

( )

y

x

3 7g x x4 2

3 7 7g x 0 x 0 |4 2 23 7 3

7P

0 | 3,52

14P 4,6 | 03

x |:4 2 4

14 x 4,63

= − + ⇒

= ⇔ − + = −

⎛ ⎞⇔ −

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞=

= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ = =

⎜ ⎟⎝ ⎠

2 1 0 1 2 3 4 5 6

321

1234

f x( )

x

6− 5− 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4 5 6

3−2−1−

123456789

f x( )

x



A3: d) Ausführliche Lösung

( ) ( )

( ) ( )

( )

s

s s

2 3f x x 1 g x x 43 4

2 3 3f x g x x 1 x 4 | x3 4 4

2 3x x 1 4 | 13 48 9 17x x 3 |:

12 12 1236x 2,11817

36 41y f x f 2,41217 17

36 41S 2,118 | 2,41217 17

= + = − +

= ⇔ + = − + +

⇔ + + = −

⇔ + =

⇔ = ≈

⎛ ⎞= = = ≈

⎛ ⎞≈ ≈

⎜ ⎟⎝

⎜⎝

⎠

⎟⎠

2− 1− 0 1 2 3 4 5 6

3−2−

1−

1234

f x( )

g x( )

x

Aufgabe In einem Vorratstank befinden sich 9500 Liter Wasser. Täglich werden dem Tank 160 Liter Wasser entnommen. a) Stellen Sie die Funktionsgleichung für diesen Sachverhalt auf. b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem.

4.

c) Nach wie viel Tagen ist der Tank leer? Berechnen Sie diesen Wert mit der von Ihnen aufgestellten Funktionsgleichung.

Ausführliche Lösung a) ( )f x 160x 9500= − +

A4:

b)

0 10 20 30 40 50 60 70 80

1 103×

2 103×

3 103×

4 103×

5 103×

6 103×

7 103×

8 103×

9 103×

1 104×

f1 x( )

x

c) ( )

( )

f x 0160x 9500 | 9500160x 9500 |: 160

475x 59,3758

=

⇔ − + = −

⇔ − = − −

⇔ = =

Der Tank ist nach etwa 59 Tagen leer.



Aufgabe In Europa misst man die Temperatur in 0C, in den USA in 0F. Zwischen beiden besteht eine lineare Beziehung. 100 0C entsprechen 212 0F und 0 0C entsprechen 32 0F. a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, die die Umrechnung von 0F in 0C

erlaubt.

5.

b) 90 0F ist Sommertemperatur in Florida, wie viel 0C wären das?

Ausführliche Lösungen a)

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

0 0

1 0 1 2

2 11 0

2 1

1 0

0

x Achse : F y Achse : Cf x a x a P 32 | 0 P 212 | 100

y y 100 0 100 5 5a f x x ax x 212 32 180 9 9

5P 32 | 0 : f 32 0 32 a 09

160 160 a 0|9 9

− −

= +

− −= = = = ⇒ = +

− −

= ⇔ ⋅ + =

⇔ + = −

( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0 0 0 0

160 5 160 5 a f x x x 329 9 9 9

Für die Umrechnung von F in C gilt: x in F und f x 5f x x 32 9

in C=

⇔ = − ⇒ = − −

−

=

A5

b) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 05 5 590 F ? C f x x 32 f 9 32,20 90 32 589 9 9

C= = − ⇒ = − = ⋅ =



Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Mi 30.10.2012SG22 D Gruppe B NAME: Hilfsmittel: Taschenrechner, außer bei Aufgabe 1 Alle Ergebnisse sind soweit möglich durch Rechnung zu begründen. Lösungen:

Aufgabe Berechnen Sie ohne Taschenrechner unter Verwendung der Rechenregeln für die Bruchrechnung. Der Rechenweg muss klar erkennbar sein.

1.

a) 1 3 5 72 4 8 10+ − +

b) 2 5 43 4 3

⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 4 3 3:

5 4 2⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

Ausführliche Lösungen a) 1 3 5 7 20 30 25 28

2 4 8 10 40 453400 40 40

+ − + = + − + =

b) 2 5 4 10 8 30 32 23 4 3 12 9 36 36 36

118

⎛ ⎞⋅ − = − = − = − =⎜ −⎟⎝ ⎠

A1

c) 4 3 3 16 15 3 1 3 1 2 2: : :5 4 2 20 20 2 20 2 20

1303 60

⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Aufgabe Berechnen und vereinfachen Sie: a) ( ) ( )5x 6y 2x 7 3x 3y 7⎡ ⎤+ − − − + +⎣ ⎦ b) ( ) ( )3 12x 2 5x 2

2 2⋅ − − ⋅ +

2.

c) 2 3 3 4a b a b3 4 2 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

d) 24 1u v

3 2⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

Ausführliche Lösungen a) ( ) ( ) [ ]

[ ]5x 6y 2x 7 3x 3y 7 5x 6y 2x 7 3x 3y 7

5 3x 5x 3y 5x 5x 3y y

⎡ ⎤+ − − − + + = + − + − − −⎣ ⎦= + − + = − + =

b) ( ) ( )3 1 5 5 6 52x 2 5x 2 3x 3 x 1 3x x 4 1x x 4 x 42 2 22 2 2 2

⋅ − − ⋅ + = − − − = − − = − − −=

c)

2 22 22 2

2 3 3 4 2 3 2 4 3 3 3 4a b a b a a a b b a b b3 4 2 3 3 2 3 3 4 2 4 3

8 9 64 81a ab ab b a ab ab b9 8 7

17a ab b72 72 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − + − = − + + −− =

A2

d) 22 22 24 1 16 4 1 1u v u 2 uv 16 4 1u uvv

3 2 9 3 2 4v

9 3 4⎛ ⎞+ = + ⋅ ⋅ ++ = +⎜ ⎟⎝ ⎠



Aufgabe Bei der Bearbeitung folgender Aufgaben rechnen Sie mit Brüchen. a) ( )1

1Eine Gerade mit der Steigung a verläuft durch den Punkt P 5 | 43

= − −


b) Eine Gerade verläuft durch die Punkte ( ) ( )1 2P 6 | 8 und P 6 |1− −


c) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte von 4 7g(x) x3 2

= −

rechnerisch und zeichnen Sie den Graphen.

3.

d) Bestimmen Sie den Schnittpunkt von

2 3f(x) x 3 und g(x) x 13 4

= − + = +

rechnerisch und zeichnen Sie beide Graphen in ein Koordinatensystem. A3: a) Ausführliche Lösung

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

1 0

0

0

0

1 1a P 5 | 4 f x x a3 3

P 5 | 41f 5 4 5 a 43

5 5a 4 |3 3

12 5 7a3 3 3

1 7f x x3 3

= − − = +

− −

⇒ − = − ⇔ ⋅ − + = −

⇔ − + = − +

⇔ = − + =

−

−

=

5− 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4 5 6 7 8

5−4−3−2−1−

12345

f x( )

x



A3: b) Ausführliche Lösung ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 2

2 11

2 1

1 0

0

0

0

P 6 | 8 P 6 |1

1 8y y 3ax x 6 6 4

3 3a f x x a4 4

P 6 | 83f 6 1 6 a 84

9 16 9a |2 2

3 72

7a x4 22

f x

− −

− −−= = = −

− − −

= − = − +

−

⇒ = − ⇔ − ⋅ + = −

⇔ − + = −

= −= − ⇒ −

+

⇔

6− 5− 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4 5 6

8−7−6−5−4−3−2−1−

1234

f x( )

x

A3: c) Ausführliche Lösung

( )

( )

y

x

4 7g x x3 2

4 7 7g x 0 x 0 |3 2 24 7 4 x |:3 2 3

21

7P 0 | 3,52

21P 2,

625

x 2,628

| 08

5

= − ⇒

= ⇔ − = +

⇔ =

⇔

⎛

= =

⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

1− 0 1 2 3

4−

3−

2−

1−

1

f x( )

x



A3: d) Ausführliche Lösung

( ) ( )

( ) ( )

( )

s

s s

2 3f x x 3 g x x 13 4

2 3 3f x g x x 3 x 1| x3 4 4

2 3x x 3 1| 33 48 9 17x x 2 |:

12 12 1224x 1,41217

24 35y f

24 35S 1,412 | 2,059

x f 2,059

7 7

17

1 1

17

= − + = +

= ⇔ − + = + −

⇔ − − + = −

⎛ ⎞⇔ − − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ = ≈

⎛ ⎞= = = ≈⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞≈ ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

⎠

3− 2− 1− 0 1 2 3 4 5 6

2−1−

123456

f x( )

g x( )

x



Aufgabe In einem Abwassertank befinden sich 5000 Liter Wasser. Täglich kommen 150 Liter Abwasser hinzu. a) Stellen Sie die Funktionsgleichung für diesen Sachverhalt auf. b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem.

4.

c) Nach wie viel Tagen muss der Tank entleert werden, wenn er für 12000 Liter ausgelegt ist? Berechnen Sie diesen Wert mit der von Ihnen aufgestellten Funktionsgleichung.

Ausführliche Lösung a) ( )f x 150x 5000= +

A4:

b)

0 10 20 30 40 50 60

1 103×

2 103×

3 103×

4 103×

5 103×

6 103×

7 103×

8 103×

9 103×

1 104×

1.1 104×

1.2 104×

1.3 104×

1.4 104×

f1 x( )

f2 x( )

x

c) ( )f x 12000

150x 5000 12000 | 5000150x 7000 |:150

140x 46,63

=

⇔ + = −⇔ =

⇔ = =

Der Tank muss nach ca. 46 Tagen geleert werden.



Aufgabe In Europa misst man die Temperatur in 0C, in den USA in 0F. Zwischen beiden besteht eine lineare Beziehung. 100 0C entsprechen 212 0F und 0 0C entsprechen 32 0F. a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, die die Umrechnung von 0C in 0F

erlaubt.

5.

b) 38 0C in Deutschland ist im Sommer keine Seltenheit, wie viel 0F wären das?

Ausführliche Lösungen a)

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

0 0

1 0 1 2

2 11 0

2 1

1 0 0

0 0 9f x x 32

x Achse : C y Achse : Ff x a x a P 0 | 32 P 100 | 212

y y 212 32 180 9 9a f x x ax x 100 0 100 5 5

5P 0 | 32 :f 0 32 0 a 32 a 329

9f x x 325

Für die Umrechnung von C in F gil t:5

− −

= +

− −= = = = ⇒ = +

− −

= ⇔ ⋅ + = ⇒

=

+

+

=

⇒ =

( )0 0x in C und f x in F

A5

b) ( ) ( ) 00 0 9 938 C ? F f x x 32 f 38 38 325 5

100,4 F= = + ⇒ = ⋅ + =

Leistungsbewertung

Note % der Gesamtpunktzahl Aufgabe Punkte % 1 93 - 100 1a 3 6 1- 89 - 92 1b 3 6 2+ 85 - 88 1c 3 6 2 80 - 84 2a 3 6 2- 75 - 79 2b 3 6 3+ 70 - 74 2c 3 6 3 65 - 69 2d 3 6 3- 60 - 64 3a 4 8 4+ 55 - 59 3b 4 8 4 50 - 54 3c 4 8 4- 45 - 49 3d 4 8 5+ 39 - 44 4a 2 4 5 30 - 38 4b 3 6 5- 20 - 29 4c 3 6 6 0 - 19 5a 4 8 5b 1 2 Summe 50 100



Note % der Gesamtpunktzahl Aufgabe Punkte %1 93 100 1a 3 6

1 89 92 1b 3 6

2 85 88 1c 3 62 80 84 2a 3 6

2 75 79 2b 3 6

3 70 74 2c 3 63 65 69 2d 3 6

3 60 64 3a 4 8

4 55 59 3b 4 84 50 54 3c 4 8

4 45 49 3d 4 8

5 39 44 4a 2 45 30 38 4b 3 6

5 20 29 4c 3 66 0 19 5a 4 8

5b

−

+

−

+

−

+

−

+

−

−

−

−−

−

−−

−

−−

−

−−

−−

1 2Summe 50 100

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