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Kapitel 4

Taktische Planungsprobleme (Konfiguration und Dimensionierung)

Operations Management Kapitel 4 / 2(c) Prof. Richard F. Hartl

Zusammenhang der verschiedenen Ebenen

strategische Grundsatzentscheidungen

Konkretisierung und Umsetzung in der taktischen Planung durch Konfigurierungs- und

Dimensionierungs-entscheidungen

Bestmögliche Nutzung der konfigurierten Produktionsanlagen in der operativen Ebene


4.1 Konfiguration von Werkstattfertigungs-Produktionssystemen

starke Unterscheidung der zu bearbeitenden Aufträge(z.B. in der Teileproduktion im Maschinenbau):

Keine Anordnung der Arbeitssysteme nach dem Objektprinzipmöglich, da kein einheitlicher Materialfluss existiert

Anordnung nach dem Funktionsprinzip: Hier werden Arbeitssysteme, die gleichartige Funktionen (Operationen, Arbeitsgänge) durchführen können, räumlich in einer Werkstatt (Stanzerei, Dreherei, Galvanik) zusammengefasst.


Werkstattproduktion

Aufträge müssen regelmäßig auf ihre Bearbeitung an einer Maschine oder auf den Transport zur nächsten Maschine wartenWartevorgänge führen zu (unerwünschten) Zwischenlagerbeständen von angearbeiteten Erzeugnissen Leerzeiten, wenn eine Maschine auf einen Auftrag wartet, weil dessen voriger Arbeitsgang in einer anderen Werkstatt noch nichtabgeschlossen ist oder weil er auf ein Transportmittel wartet.Gänzliche Verhinderung dieser unerwünschten Effekte nicht möglichMilderung der Effekte durch intelligente Einlastungsstrategien (operativ) und sinnvolle Anordnung der Werkstätten (taktisch)Typisches Konfigurationsproblem: (quadratisches) Zuordnungsproblem


4.1.1 (lineares) Zuordnungsproblem(linear assignment problem, LAP)

Das einfachste Optimierungsproblem der innerbetrieblichen Standortplanung ist das (lineare) Zuordnungsproblem.

Gegeben: n Maschinen (Aktivitäten, Arbeiter) n mögliche Standorte (Zeitpunkte, Projekte)cij ... Kosten des Betriebs von Maschine i an Standort j

Jede Maschine ist an einem Standort zu betreiben, wobei an keinem Standort mehr als eine Maschine betrieben werden darf. Die Gesamtkosten sind zu minimieren.


Beispiel 1

3 Maschinen, 4 Standorte und folgenden Kosten cij

6107532013∞152i =111210131Maschine4321i \ j

j =Standort

Maschine 2 kann auf Standort 2 nicht betrieben werden - daher Kosten ∞


Beispiel 1 - Dummy

Falls Anzahl Standorte ≠ Anzahl MaschinenHinzufügen von Dummymaschinen (-zeilen) oder Dummystandorten

(-spalten) mit Kosten Null (immer möglich)

00004Dummy610753

2013∞152i =111210131Maschine4321i \ j

j =Standort

Ein Standort bzw. eine Maschine, dem/der der Dummy zugeordnet wird, bleibt leer bzw. wird nicht aufgestellt.


LP - Formulierung

1 wenn Maschine i auf Standort j betrieben wird, 0 sonst

xij =

Kosten: min1 1

→= ∑ ∑= =

n

iij

n

jij xcK

Nebenbedingungen: = 1 für i = 1,...,n ... jede Maschine 1× zuordnen

= 1 für j = 1,...,n ... genau 1 Masch. pro Standort

= 0 oder 1 für i = 1,...,n und j = 1,...,n

∑=

n

jijx

1

∑=

n

iijx

1

ijx


4.1.1.1 Formulierung als Transportproblem

Vergleich der LP-Formulierungen von TP und LAP ⇒

Jedes LAP kann als Spezialfall eines Transportproblems angesehenwerden, wobei jede Maschine als Anbieter mit "Kapazität" 1 und jeder Standort als Abnehmer mit „Nachfrage" 1 interpretiert wird.

Obwohl das Transportproblem grundsätzlich auch nicht-ganzzahligexij zulässt, ist sichergestellt, dass die optimale Lösung die Eigenschaft besitzt, dass genau n Variablen den Wert 1 besitzen und alle anderen Null sind. Damit erhält man eine zulässige Zuordnung.


Beispiel 1 – LAP als TP

1111dj

100004161075312013∞1521111210131si4321i \ j

reduzierte Kostenmatrix:Es ist immer möglich zunächst in jeder Zeile bzw. Spalte von jedem Kostenkoeffizienten den kleinsten Kostenkoeffizienten dieser Zeile bzw. Spalte abzuziehen (dabei bleibt die optimale Lösung unverändert - nicht aber die Kosten)

-10-13-5


Reduzierte Kostenmatrix

Dummy 4321

4321i \ j320

0

02

0

2∞

1050

1

0

7

Spaltenminimummethode liefert hier optimale Lösung(reduzierten) Kosten = Null

Die Maschinen 1, 2 und 3 werden auf Standort 2, 3 und 1 betrieben; Standort 4 bleibt frei (da ihm die Dummy-Maschine 4 zugeordnet wurde).Bei größeren Problemen muss man zumeist noch einige Schritte des MODI-verfahrens anschließen, um zur optimalen Lösung zu gelangen.


4.1.1.2 Ungarische Methode

Kuhn´s algorithmexaktes Verfahren

besteht aus mehreren Schritten:Schritt I: Erzeugung von Nullen (Reduktion der Kosten)Schritt II: Suche nach einer optimalen LösungSchritt III: Bestimmung einer minimalen Anordnung von Zeilen und Spalten, die alle Nullen enthältSchritt IV: Generierung zusätzlicher Nullen – KostenreduktionSchritt V: Abbruch oder Wiederholung des Iterationsschrittes


4.1.1.2.1 Schritt I

Erzeugung von Nullen (Reduktion der Kosten)Von jedem Element einer Spalte wird das kleinste Element dieser Spalte abgezogen; Von jedem Element einer Zeile wird das kleinste Element dieser Zeile abgezogen; Wenn schon ein Element 0 ist, kann nichts abgezogen werden!Man erhält so eine Matrix, die in jeder Zeile und in jeder Spalte mindestens eine Null aufweist.


Beispiel 2

17,5128,59,513

1317,51484,5

5,51114,515,512

10,5510,516,516

125,591517,5 -0,5

-4,5 -8 -5-8,5 -5,5

⇒

⇒

13 7 0,50,5 6,5

211,5 8,5 0

7,5

5

7,5 6 6 0

0 5,50 7,512,5

8,5 1,5 0 127

12,5 6,5

11,5 8,5

6 6 0

2 0 5

600

7,5

0

5,5

7

12,5

12

7,50

8,5

0

1,5

7,5K = 4,5 + 8 + 8,5 + 5 + 5,5 + 0,5

= 32


Schritt II

Suche nach einer optimalen Lösung

Man sucht eine Lösung, für die die Kostensumme den Wert Null annimmt, wo also genau eine Null in jeder Zeile und jeder Spalte auftritt (umrahmte bzw. schattierte Nullen, s.u.).

Falls das zutrifft, haben wir eine optimale Lösung gefunden.


Beispiel 1 – nach Reduktion

0000152070∞21203

Optimale Lösung gefunden!

Suche eine Zeile oder Spalte mit möglichst wenig Nullen (möglichst genau eine Null) und umrahme (schattiere) eine Null dieser Zeile oder Spalte! – hier ist vorläufig eine Zuordnung erfolgt.Durchkreuze alle Nullen in dieser Zeile oder Spalte (sodass in jeder Zeile oder Spalte mit einer umrahmten Null alle anderen Nullen durchkreuzt sind). In dieser Zeile bzw. Spalte kann ja keine Zuordnung mehr erfolgen.Danach sucht man wieder eine Zeile oder Spalte mit möglichst wenig nicht-markierten Nullen, usw., bis keine Null mehr umrahmt werden kann.


Beispiel 2 – nach Reduktion

12701,58,5

7,512,55,500

0667,57,5

5028,511,5

6006,512,5 2. Null

1. Null

3. Null

4. NullNoch keine optimale Lösung gefunden!(bzw. Optimalität nicht bewiesen)


4.1.1.2.3 Schritt III

Bestimmung einer minimalen Anordnung von Zeilen und Spalten, die alle Nullen enthält

a) Kennzeichne (z.B. durch ein Kreuz X) alle Zeilen, die keine umrahmten Nullen enthalten.

b) Kennzeichne alle Spalten, die mindestens eine durchgekreuzte Null auf einer gekennzeichneten Zeile enthalten.

c) Kennzeichne alle Zeilen, die eine umrahmte Null in einer gekennzeichneten Spalte enthalten.

d) Wiederhole b) und c) bis keine Spalte oder Zeile mehr gekennzeichnet werden kann.

e) Markiere mit einer durchgehenden Linie jede nicht gekennzeichnete Zeile und jede gekennzeichnete Spalte. (schattiert). Alle (umrahmten und durchgekreuzten) Nullen sind dann mit mindestens einer Linie markiert.


Beispiel 2

12701,58,5

7,512,55,500

0667,57,5

5028,511,5

6006,512,5


Schritt IV

Generierung zusätzlicher Nullen - KostenreduktionWähle unter allen nicht überdeckten Elementen das kleinste. Dieses Element a wird von allen nicht überdeckten Elementen subtrahiert und zu allen doppelt überdeckten Elementen addiert Es ist sichergestellt, dass durch diese Transformation die optimale Lösung nicht verändert wird Allerdings werden die Gesamtkosten um a reduziert (Erhöhung der Reduktionskonstante)


Beispiel 2

12701,58,5

7,512,55,500

0667,57,5

5028,511,5

6006,512,5

a = 1,5

70

7,500

07,57,5

02

0011 5

7 0

7,5

7

7,5

14

4,5

3,5

10,5

10 7

⇒

Eine zusätzliche Null bei Zuordnung 5 2 ⇒ erhöhte Chance, Zuordnung mit Kosten 0 zu finden


Schritt V

Abbruch oder Wiederholung des Iterationsschrittes

Wie in Schritt II wird versucht, eine optimale Zuordnung zu finden.

Gelingt dies nicht, müssen wir die Iteration ab Schritt II wiederholen.


Beispiel 2 – Iteration 2

10,57007

7,514700

07,57,57,57,5

3,502710

4,500511 Maschine 1 auf Standort 3

Maschine 2 auf Standort 4




Optimale Zuordnung gefunden!

Gesamtkosten: Addition aller Reduktionskonstanten aus Schritten I und IX:

K= (4,5 + 8 + 8,5 + 5 + 5,5 + 0,5) + (1,5) = 33,5


4.1.1.3 Übungsbeispiele – Beispiel 1

Löse das folgende Zuordnungsproblem:

61012695

10614674

7612693

101417972

41578121

54321


Beispiel 2

Sechs Ingenieuren sollen auf 6 Standorte aufgeteilt werden. Die folgende Tabelle gibt den Nutzen für die Firma bei den entsprechenden Zuordnungen an:

840121620I6420801612I5820121604I4820164120I3124082016I2012201684I1FEDCBA

Maximiere den Gesamtnutzen! [Hinweis: Transformation z.B. „Kosten“ = 20 - Nutzen]

A: Morlaix

B: Bayonne

C: Strasbourg

D: Annecy

E: Aix en Provence

F: Dunkerque


Beispiel 3

Schwimm-Mannschaft für 200m-Lagen-Staffel; einer muss zuschauen. Die bisherigen Saisonergebnisse bzw. daraus prognostizieren Zeiten sind:

31,128,529,626,429,2Freistil33,630,438,928,533,3Butterfly41,834,742,233,143,4Brust35,43733,832,937,7RückenKenTonyDavidChrisCarlBewerb

Schwimmer

Es soll die optimale Zusammenstellung der Staffel ermittelt werden!


4.1.2 Layoutplanung – quadratisches Zuordnungsproblem (QAP)

quadratische Zuordnungsproblem (QZOP, quadratic assignment problem, QAP): ist das typische mathematische Modell zur Beschreibung innerbetrieblicher Standortprobleme

vgl. dazu Kapitel 6 von Domschke, W.; Drexl, A.:Logistik: Standorte (Bd. 3), 3. Aufl., Oldenbourg, München, 1990:


4.1.2.1 Formulierung

Zur Beschreibung benötigen wir die Distanzen zwischen den Standorten, undden Materialfluss zwischen den Organisationseinheiten:

n Organisationseinheiten (OE)alle OE sind gleich groß paarweise vertauschbarn Standorte, jeder kann jede OE aufnehmen (genau eine)thi ... Transportintensität,

Stärke des Materialflusses von OE h nach OE idjk ... Distanz zwischen Standort j und Standort k

Entfernungen nicht notwendigerweise symmetrischTransportkosten proportional zur transportierten Menge undzur zurückgelegten Entfernung


Formulierung II

Wenn nun OE h auf Standort j angeordnet wirdund OE i auf Standort k, dann sind die Transportkosten pro Einheit von OE h zu OE i gegeben durch djk.Dies ist zu multiplizieren mit dem Materialfluss thi. von OE h zu OE i

j k... ... ... Standorte

h i... ... ... OE

djk.

thi.

⇒ Kosten = thi djk


Formulierung III

Definition wie beim LAP:binäre Entscheidungsvariable

Wenn nun OE h → Standort j (xhj = 1)und OE i → Standort k (xik = 1)

⇒ Transportkosten pro Einheit von OE h zu OE i :

⇒ Gesamte Transportkosten:

⎩⎨⎧

=sonst 0

Standort auf OE wenn 1 jhxhj

∑ ∑= =

n

j

n

kikhjjk xxd

1 1

j k... ... ...Standorte

h i... ... ...OE

djk.

thi.

⇒ Kosten = thi djkxhj = 1 xik = 1

∑∑∑∑= = = =

n

h

n

i

n

j

n

kikhjjkhi xxdt

1 1 1 1


Zielfunktion und Nebenbedingungen

ZF: Minimiere die gesamten Transportkosten zwischen allen OE

min1 1 1 1

→∑ ∑ ∑ ∑= = = =

n

h

n

i

n

j

n

kikhjjkhi xxdt

Nebenbedingungen

11

=∑=

n

jhjx

11

=∑=

n

hhjx

hjx

für h = 1, ... , n ... jede OE h an genau einem Standort j

für j = 1, ... , n ... jeder Standort j bekommt genau eine OE h

= 0 oder 1 ... binäre Entscheidungsvariable

ident mit dem LAP!!!

Quadratische Zielfunktion ⇒ QAP


Beispiel

Ermittlung der Kosten bei 3 OE (1 ,2 ,3) und 3 Standorten (A, B, C)

A

B C ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

013101210

CBA

D

CBA

Distanzen zwischen den Standorten djk

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

013202110

321

321

T

Transport-intensitäten thi

mögliche Lösung: 1 → A, 2 → B, 3 → C, also x1A = 1, x2B = 1, x3C = 1, alle anderen xij = 0Die Nebenbedingungen sind erfüllt.Gesamten Transportkosten: 0*0 + 1*1 + 2*1 + 1*2 + 0*0 + 1*2 + 3*3 + 1*1 + 0*0 = 17


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

013101210

CBA

D

CBA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

011102130

BAC

D

BAC

Beispiel

Diese Lösung ist nicht optimal, da gerade die OE 1 und 3, zwischen denen ein starker Materialfluss herrscht, auf die entferntestenStandorte A und C gelegt wurden.Besser wäre z.B.: 1 → C, 2 → A und 3 → B, also x1C = 1, x2A = 1, x3B = 1.

mit den gesamten Transportkosten: 0*0 + 3*1 + 1*1 + 2*2 + 0*0 + 2*1 + 1*3 + 1*1 + 0*0 = 14

2 → A

3 → B 1 → C

Distanzen Transportintensitäten

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

013202110

321

321

T


Beispiel (Fortsetzung)

dazu wurde die Matrix

so umsortiert, dass die Zeilen und Spalten in der Reihenfolge 1 → C, 2 → A und 3 → B, also C, A, B auftreten:(dabei sollte man die Umsortierung in 2 Schritten machen, zuerst Zeilen, dann Spalten, oder umgekehrt)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

011102130

BAC

D

BAC

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

013101210

CBA

D

CBA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

013101210

CBA

D

CBA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

130011102

CBA

D

BAC


4.1.2.2 Eröffnungsverfahren

Eröffnungsverfahren:Entstehung durch Kombination von jeweils einer der folgenden Möglichkeiten zur Wahl einer OE und zur Wahl eines Standortes. Die schon angeordneten OE bilden den so genannten KernIn jeder Iteration wird eine weitere OE angeordnet, wobei folgende Prioritätsregeln zur Auswahl stehen


1) Wahl einer (noch nicht angeordneten) OE

A1 jene, die zu sämtlichen (anderen) OE die größte Summe der Transportintensitäten besitzt

A2 a) jene, die zur zuletzt angeordneten OE die größte Transportintensität besitztb) jene, die die größte Transportintensität zu einer angeordneten OE besitzt

A3 jene, die zu allen angeordneten OE (Kern) die größte Summe der Transportintensitäten besitzt

A4 zufällige Auswahl der OE


2) Wahl eines (noch nicht besetzten) Standortes

B1 jener, der die geringste Summe der Entfernungen zu sämtlichen Standorten besitzt

B2 einer, der dem zuletzt belegten Standorten benachbart ist

B3 a) einer, sodass die Summe der Transportkosten zum Kern minimal istb) wie a) wobei noch versucht wird, den Platz mit benachbarten OE zu vertauschenc) ein Platz (frei oder besetzt) sodass die Summe der Transportkosten innerhalb des neuen Kernes minimal wird

B4 zufällige Auswahl des Standortes


BeispielKombination der einfachsten Regeln A1 und B1:

OE nach fallender Summe der TransportintensitätensortierenStandorte nach steigender Summe der Entfernungen zu sämtlichen Standorten sortieren

Manhatten-Distanz zwischen den Standorten. (da symmetrisch, muss nur die obere Dreiecksmatrix betrachtet werden)

I H G F ED C B A


Beispiel - Transportintensitäten

-9--8---7----6-122-5--1---443-253---4-213-2----3----1

Σ987654321OE3

10205

154744

3

Reihung der OE: 3, 5, 2, 7, 4, 6, 8, 9, 1

Summe des Materialflusses 1→5 und 5→1


Beispiel - Entfernungen

-I1-H21-G123-F2121-32121-D234123-C3232121-B43232121-A

ΣIHGFEDCBASt.181518151215181518

E

Reihung der Standorte: E, B, D, F, H, A, C, G, I


Reihung der OE: 3, 5, 2, 7, 4, 6, 8, 9, 1

Reihung der Standorte: E, B, D, F, H, A, C, G, I

Zuordnung:

Zuordnung

GCFABHEDISt.987654321OE


Ermittlung der Kosten

-9--8---7----6-1*12*22*1-5

--1*2---44*23*2-2*25*13*1-3

--4*2-2*21*23*1-2----3*3----1987654321OE

Auf 1 und 5 stehen I und B mit Transportintensität 3

3 (Distanz 1-5) * 3 (Intensität I-B)

Gesamtkosten = 61


4.1.2.3 Verbesserungsverfahren

Vertauschungen von OE-Paaren vornehmen (wie eingangs im Beispiel)Man probiert, ob sich die Kosten verringern wenn 2 OE die Standorte tauschen. Wenn es die Rechenzeit erlaubt, kann man auch versuchen, OE-Tripeln zu vertauschenBei paarweisen Vertauschungen gibt es verschiedene Möglichkeiten:


paarweise Vertauschungen

Auswahl der Paare, deren Vertauschung überprüft wird:C1 alle n(n - 1)/2 PaareC2 eine bestimmte Teilmenge aller PaareC3 zufällige Auswahl

Auswahl der Paare, die vertauscht werden:D1 jenes gemäß C überprüfte Paar, bei dem sich die

größte Kostensenkung ergibt (bestes Paar)D2 das erste gemäß C überprüfte Paar, bei dem sich

eine Kostensenkung ergibt (erstes Paar)


Qualität der Lösungen I

Kombination C1 mit D1:Rechenaufwand höher als bei den anderen VariantenLösungsgüte besser als bei den anderen Varianten Oft wird zu Beginn C2 gewählt und später C1. (Kombination C1 und D2 wäre 2-opt beim TSP.)

CRAFT :sehr bekanntes (heuristisches) Lösungsverfahren entspricht Kombination C1 und D1 (für OE mit gleichem Platzbedarf)


Qualität der Lösungen II

zufällige Auswahl (C3 und D2):recht gute Resultate beste Vertauschung aus der Menge der überprüften Lösungen ergibt manchmal eine Verschlechterung

jedoch kein Nachteil (Gefahr des Hängenbleibens in lokalen Optima verringert sich)

„Metaheuristiken“ in Modul Transportmanagement

Literatur: sämtliche Kombination der Grundideen bzw. Varianten unter A, B, C und D


4.1.2.4 Umlaufmethode

Heuristik

Kombination der Ideen von Eröffnungs- und Verbesserungsverfahren

Bestandteilen:Initialisierung (i = 1):Ordne die OE mit der größten Summe der Transportintensitäten [A1] in der Mitte des Standortträgers an (d.h. wo die Summe der Distanzen zu allen anderen Standorten minimal ist [B1]).Iteration i (i = 2, ... , n): ordne die i-te OE zu


Teil 1

Auswahl einer OE und eines freien Platzes:

wähle jene OE, die zu allen im Kern angeordneten OE die größte Summe der Transportintensitäten besitzt [A3]

ordne sie auf einen freien Standort zu, so dass die Summe der Transportkosten zum Kern (bzw. innerhalb des neuen Kernes) minimal ist [B3a]


Teil 2

Verbesserungsschritt ab Iteration i = 4:

versuche paarweise Vertauschungen der eben angeordneten OE mit allen anderen im Kern angeordneten OE [C2]

wenn eine Verbesserung gefunden ist, führe diese Änderung durch und beginne wieder mit Teil 2 [D2]

Das Verfahren endet mit Abschluss von Iteration i = n,nachdem alle OE angeordnet sind.


Beispiel – Teil 1

Initialisierung (i = 1):E = ZentrumDort wird zunächst OE 3 angeordnet.

I H G

F E 3D

C B A


Reihenfolge der Anordnung

8

493807265534↑332013OE

97654321i =532

↑

0

2210

0 0 00 0 0

0

0

0

0 0 00 00

0

0 0

1 1

4

↑

↑

↑

↑

↑

↑

2 7 4 6 8 9↑

1

i = 1: zunächst wird 3 angeordneti = 5

i = 2: 5 hat größten Mat.fluss zu 3

i = 9i = 3: 2 hat gr. Mat.fluss zum Kern (3,5)

i = 6i = 4i = 7i = 8


Beispiel – Teil 1Iteration i = 2

unter allen OE ist der Materialfluss von 5 zum Kern 3 maximal

Distanzen dBE = dDE = dFE = dHE = 1 gleichzeitig minimal⇒ D gewählt,

In Schritt i = 2 wird also D-5 zugeordnet. I H G

F E 3D 5

C B A



unter allen OE ist der Materialfluß von 2 zum Kern (3, 5) maximal

Suche Standort X, sodass dXE⋅t23 + dXD⋅t25 = dXE⋅3 + dXD⋅2 minimal wird: (A, B, G od. H)

X = A dAE⋅3 + dAD⋅2 = 2⋅3 + 1⋅2 = 8X = B dBE⋅3 + dBD⋅2 = 1⋅3 + 2⋅2 = 7X = F dFE⋅3 + dFD⋅2 = 1⋅3 + 2⋅2 = 7X = G dGE⋅3 + dGD⋅2 = 2⋅3 + 1⋅2 = 8X = H dHE⋅3 + dHD⋅2 = 1⋅3 + 2⋅2 = 7

B, F oder H ⇒ B gewähltIn Schritt i = 3 wird also B-2 zugeordnet. I H G

F E 3D 5

C B 2A



unter allen OE ist der Materialfluss von 7 zum Kern (2, 3, 5)maximal

Suche Standort X, sodass dXE⋅t73 + dXD⋅t75 + dXB⋅t72 = dXE⋅0 + dXD⋅2 + dXB⋅4 minimal wird

aus Lageplan ⇒ nur A kommt in Frage In Schritt i = 4 wird also zunächst A-7 zugeordnet.


Beispiel – Teil 2

Versuche A mit E, B bzw. D zu vertauschen und ermittlejeweils die Kosten der Zuordnung:

Aus Teil 1: E-3, D-5, B-2, A-7 Kosten =1⋅5+1⋅3+2⋅0+2⋅2+1⋅2+1⋅4 = 18probiere E-3, D-5, A-2, B-7 Kosten = 1⋅5+2⋅3+1⋅0+1⋅2+2⋅2+1⋅4 = 21probiere E-3, A-5, B-2, D-7 Kosten = 2⋅5+1⋅3+1⋅0+1⋅2+1⋅2+2⋅4 = 25probiere A-3, D-5, B-2, E-7 Kosten = 1⋅5+1⋅3+2⋅0+2⋅2+1⋅2+1⋅4 = 18

Vertauschung A mit E wäre möglich ohne Kostenänderung. Da aber keine Verbesserung möglich ist: lasse Lösung wie aus Teil 1. u.s.w.


Beispiel – Teil 2

Nach 8 Iterationen ohne Teil 2: Kosten = 54

Mit Teil 2 (letzte OE 9 mit 4 vertauscht): Kosten = 51

Händisches durchrechnen ist für größere Probleme offensichtlich sehr mühsam

am Computer sind die Iterationen einfach zu implementieren.


4.1.2.5 Verfahren bei ungleichen Platzbedarf der OE

Anordnung der OE meist in einem Raster aus kleinen Quadraten

weist jeder OE die nötige Anzahl benachbarter kleiner Quadrate zu

Eröffnungs- und Verbesserungsverfahren auch hier anwendbar

bei Vertauschungen kann sich die Gestalt der OEs ändern bei ungleicher Größe sind Verschiebungen nötig


Beispiel

Die Vertauschung von 3 und 5 ist unproblematischBei Vertauschung von 1 und 3 müssen die OE 2 oder 4 die Gestalt verändern.

3

52

41


4.2 Konfiguration von Produktionsinseln

Inselproduktion: liegt zwischen Fließfertigung (Massenfertigung) und Werkstattfertigung (Einzelfertigung)Arbeitssysteme unterschiedlicher Funktion werden räumlich zusammengefasstjeder Produktionsinsel wird eine Erzeugnisfamilie (mit ähnlichen benötigten Ressourcen) zugeordnetVoraussetzung

Erzeugnisfamilien müssen sich auf natürliche Weise bilden lassen


Vorteile

kurze Transportwege (zumeist innerhalb einer Insel)geringe Umrüstzeiten wegen hoher Fertigungsverwandtschaft in Erzeugnisfamiliehohe Flexibilität (bzgl. kurzfristigen Änderungen der Produktionsaufgaben)geringer Investitionsbedarf (mit konventioneller Technologie realisierbar)Übersichtlichkeit ⇒ einfache ProduktionssteuerungMotivation und Zufriedenheit der Mitarbeiter durch Identifikation mit "ihren" Produktenniedrige Losgrößen möglich, kurze Durchlaufzeiten


4.2.1 Binäre Sortierung

Einfache Methode eine Gruppierung vorzunehmen

Matrixdarstellung: Bearbeitung des jeweiligen Erzeugnis auf der jeweiligen Maschinen

Auffassung diese Einträge zeilen- und spalten weise als Binärzahlen

Sortierung der Zeilen in absteigender und der Spalten in aufsteigender Reihenfolge


Beispiel

Gegeben: 5 Maschinen; 6 Erzeugnisse, die jeweils auf eine Auswahl der Maschinen zu bearbeiten sind

Maschinen/Erzeugnis-Matrix:

-11---M5

11---1M4

1-111-M3

11-1-1M2

--1-1-M1

E6E5E4E3E2E1MaschinentypWertErzeugnisart

25 24 23 22 21 20

22 + 24 = 20

20 + 21 + 25 = 35

20 + 21 + 23 + 25 = 4320 + 22 + 23 + 24 = 29

21 + 22 = 6


Beispiel

Wert

6-11---M5

20--1-1-M1

291-111-M3

3511---1M4

4311-1-1M2

WertE6E5E4E3E2E1Maschinentyp

Erzeugnisart

20

21

22

23

24

23+

24=

24

22+

24=

20

21+

22=

6

20+2

3 +24

=25

20+2

1 +22

=7

22+2

3 +24

=28


Beispiel – Ergebnis

6720242528Wert-1--1-M5

11----M1

111--1M3

---111M4

--1111M2

E2E4E3E1E5E6MaschinentypErzeugnisart

Kein eindeutiges ErgebnisBlockdiagonalstruktur verfehltZusammenfassung der Maschinen zu den Gruppen {2, 4} und {3, 1, 5} od. {2, 4, 3} und {1, 5} Komplette Bearbeitung von drei Erzeugnisse innerhalb einer Produktionsinsel Bearbeitung der übrigen Erzeugnisse in beiden Produktionsinselnevent. einzelne Maschinen auf mehrere Produktionsinseln verteilen


4.2.2 Verfahren von Askin und Standridge

Erweiterung der Gruppenbildung mittels der binärenSortierung.

jedes Erzeugnis wird innerhalb einer Maschinengruppe komplett bearbeitetdie Kapazitätsgrenzen der einzelnen Maschinen werden beachtetjede Maschinengruppe nimmt nur eine vorgegebene Anzahl von Maschinen eines Typs aufdie maximale Anzahl von Maschinen innerhalb einer Gruppe ist vorgegeben


Beispiel - Verfahren von Askin und Standridge

Beispiel:In einem Produktionssegment werden sieben Erzeugnisse auf insgesamt sechs Maschinentypen bearbeitet. Die Arbeitspläne zeigen auf welchen Maschinen ein Erzeugnis bearbeitet werden muss und welche Rüst- bzw. Stückbearbeitungszeiten jeweils anfallen. Aufgrund des durchschnittlichen Periodenbedarfs kann somit ermittelt werden, welcher Anteil der Periodenkapazität einer Maschine jeweils für die Bearbeitung eines Erzeugnisses benötigt wird.Eine Gruppe besteht aus höchstens 4 Maschinen

9/4 = 2,25 ⇒ mindestens 3 InselnEs darf höchstens je eine Maschine eines bestimmten Typs in einer Gruppe enthalten sein


Beispiel - Verfahren von Askin und Standridge

1.10.2--0.40.30.2-M60.9-0.5---0.4-M51.40.5-0.3-0.4-0.2M41.2-0.3-0.5--0.4M30.70.1--0.3-0.3-M20.9--0.6---0.3M1

min. Maschinenanzahl

SummeE7E6E5E4E3E2E1MaschinentypErzeugnisart

11221

2

∑ 9 Maschinen


1. Schritt

Binäre Sortierung

0.40.5-----M50.3-0.3-0.1--M20.2-0.40.30.2--M6-----0.60.3M1-0.30.5---0.4M3---0.40.50.30.2M4

E2E6E4E3E7E5E1MaschinentypErzeugnisart

Lösung


2. Schritt

Zuordnung der Erzeugnisse zu Maschinengruppen

Benötigte Maschinen werden in die Maschinengruppe aufgenommen

Weitere Erzeugnisse werden in Maschinengruppe aufgenommen, bis:

Erreichung der Kapazitätsgrenze einer MaschineErreichung der Höchstzahl von Maschinen in der Maschinengruppe


Beispiel – 2. Schritt

E27

E66

E45

E34E73E52E11

Restkapazitätzugeordnete Maschinen

Maschinen-gruppe

gewähltes ErzeugnisIteration

1122

2

3

3

M4, M3, M1

M3, M5, M6, M2

M4, M3, M1

M3, M5

M4, M6, M2

M4, M6, M2

M4, M6, M2, M3

M4 (0,8), M3 (0,6), M1 (0,7) M4 (0,5), M3 (0,6), M1 (0,1) M4 (0,5), M6 (0,8), M2 (0,9)

M4 (0,1), M6 (0,5), M2 (0,9) M4 (0,1), M6 (0,1), M2 (0,6), M3 (0,5) M3 (0,7), M5 (0,5) M3 (0,7), M5 (0,1), M6 (0,8), M2 (0,7)

Tabelle


Beispiel – Ergebnis

Benötigte Maschinen:Eine Maschine des Typs: M1, M5Zwei Maschinen des Typs: M2, M4, M6Drei Maschinen des Typs: M3

Verfahren von Askin und Standridge: einfache Heuristik oft keine optimale Lösung

Vergleich: erhaltenes Ergebnis vs. theoretische Mindestanzahl an Maschinen

event. Einsparung von je einer Maschine des Typs M3 und M2 möglich


4.2.2.1 LP - Formulierung

Zielsetzung: Minimierung der Gesamtzahl der benötigten Einzelmaschinen bei einer vorgegebenen Anzahl von MaschinengruppenErklärung mittels vorhergehenden Beispiel

Mind. 9 Maschinen erforderlichJede Maschinengruppe höchstens M = 4 Einzelmaschinen

3 MaschinengruppenJede Maschinengruppe enthält maximal eine einzige Maschine eines Typs


Daten

Kapazitätsbedarf von Erzeugnis j bezüglichMaschinentyp k

Maschinengruppen bzw. Produktionsinseln

Erzeugnisse

Maschinentypen

Höchstanzahl von Maschinen je Maschinengruppe

jka

Ii∈

Jj∈

Kk ∈

M


Entscheidungsvariablen

1, falls Erzeugnis j der Maschinengruppe i zugeordnet wird 0, sonst

1, falls eine Maschine des Typs k der Maschinengruppe i zugeordnet wird 0, sonst

ijx =

iky =


Lineare Optimierung

Zielfunktion:

Nebenbedingungen:jedes Erzeugnis in eine Maschinengruppe

Kapazität der Maschine k in Gruppe i beachten

nicht mehr als M Maschine in Gruppe i

binäre Variablen

binäre Variablen

min →∑∑∈∈ Kk

ikIi

y

∑∈

=Ii

ijx 1 Jj∈

∑∈

≤⋅Jj

ikijjk yxa KkIi ∈∈ ,

∑∈

≤Kk

ik My Ii∈

{ }1,0∈ijx JjIi ∈∈ ,

{ }1,0∈iky KkIi ∈∈ ,


Lösung

M2 (0.9), M4 (0.1), M6 (0.5)M2, M4, M6E3, E73M1 (0.1), M3 (0.6), M4 (0.5)M1, M3, M4E1, E52

M2 (0.4), M3 (0.2), M5 (0.1), M6 (0.4)M2, M3, M5, M6E2, E4, E61

RestkapazitätMaschinenErzeugnisseMaschinengruppe

Zulässige Konfiguration mit 10 MaschinenOptimale Lösungtheoretische Mindestanzahl von 9 Maschinen aufgrund der Platzbeschränkung (M = 4) nicht erreicht


4.3 Konfiguration von Fließfertigungs-Produktionssystemen

Objektprinzip

Anordnung der Arbeitssysteme orientiert sich an Arbeitsplänen der zu bearbeitenden Erzeugnisse

Bei einheitlichem Materialfluss:Arbeitssysteme werden i.d.R. linear angeordnetnur sinnvoll, wenn ein einheitliches Grundprodukt bzw. eine begrenzte Anzahl von Produktvarianten produziert wird


4.3.1 Arten der Fließfertigung

Nach dem zeitlichen Zusammenhang unterscheidet man 2Formen der Fließfertigung:

Fließfertigung ohne Zeitzwang (Reihenfertigung)

Fließfertigung mit Zeitzwang (Fließbandabgleich)


4.3.1.1 Fließfertigung ohne Zeitzwang (Reihenfertigung)

Keine zeitlicher Beschränkung für die Durchführung des Arbeitsinhalt einer StationEinrichtung von Pufferlager nötigMaterialfluss für alle Erzeugnisse weitgehend identischEinzelne Arbeitsstationen können übersprungen werden; Rücksprünge nicht möglichBearbeitungszeiten der einzelnen Produkte können sich unterscheiden

Materiallager Station 1 Zwischenlager Station 2 ... Station m Absatzlager


4.3.1.2 Fließfertigung mit Zeitzwang (Fließbandfertigung)

getaktete Fließfertigungzeitliche Bindung zwischen den Arbeitsgängenfest vorgegebene Höchstzeit (Taktzeit) zur Bearbeitung eines Werkstückes in jeder Station

FließproduktionSelbstständige FördereinrichtungenEinzelne Werkstücke können auch unabhängig voneinander bewegt werden (asynchroner Materialfluss)Bsp.: Montage von Fernsehern


Fließbandfertigung

Verkettung zu automatisierten Gesamtsystem

Transferstraße, FließbandWerkstücke sind fest mit dem Transportsystem verbundenSimultane Fortbewegung (synchroner Materialfluss)

Station 1 Station 2 Station 3 ...


Getaktete Fließfertigung

Produktionsgeschwindigkeit = Kehrwert der TaktzeitBand kontinuierlich vorwärts bewegtBeschäftigte Personen bewegen sich während der Bearbeitung des Werkstückes parallel zum Fließband vorwärts und kehren am Ende des Taktes zum Stationsbeginn zurück

Weitere Möglichkeit: Band wird während Bearbeitung angehaltenWerkstücke werden am Ende des Taktes zur nächsten Station weiterbewegt (intermittierender Transport)


4.3.2 Fließbandabgleich

Fließbandabstimmung, Fließbandaustaktung, Leistungsabstimmung, BandabgleichZerlegung des mehrstufigen Produktionsprozess für jedes herzustellende Produkt (Auftrag) in n Arbeitsgänge (unteilbare Elementartätigkeiten)Bearbeitungszeit tj zu jedem Arbeitsgang jReihenfolge- oder Vorrangrestriktionen möglich

Vorranggraph:Zyklenfreier gerichteter Graph G = (V, E, t)Keine parallelen Pfeile oder SchlingenFür alle Pfeile (i, j) gilt die Beziehung i < j


Beispiel

11112108,11115, 91037976833, 472364255144139-26-1

tjVorgängerArbeitsgang j

t1=61 1

12 1011 3

9 37

78

26

43

54

..110

t2=92

45

Vorranggraph


Fließfertigung

Produktiveinheiten (Maschinen) werden hintereinander angeordnetAn jeder Arbeitsstation werden ein oder mehrere Arbeitsgänge ausgeführtJeder Arbeitsgang wird genau einer Station zugeordnet (Unteilbarkeit)i vor j – (i, j) ∈ E:

i und j in gleicher Stationi auf früheren Station als j

Zuordnung der Arbeitsgänge zu den Stationen:zeit- oder kostenorientierte ZielfunktionEinhaltung der VorrangbeziehungenTaktzeit optimierenGleichzeitige Bestimmung von Stationszahl und Taktzeit


4.3.3 Einproduktmodelle

„klassisches Modell der Fließbandabstimmung“

Simple assembly line balancing problem


4.3.3.1 Ein Grundmodell mit alternativen Zielsetzungen

Annahmen:Herstellung eines homogenen Produktes in n Arbeitsgängenvorgegebene Bearbeitungszeiten ti für die Arbeitsgänge j = 1,...,nReihenfolgebeziehungen (Vorranggraphen)alle Stationen besitzen dieselbe Taktzeitfixe Anstoßrategleichwertig ausgestattete Stationen (hinsichtlich Personal und Betriebsmittel)keine parallelen Stationengeschlossene Stationenunbewegliche Werkstücke


4.3.3.1.1 Alternative 1

Minimierung der Stationsanzahl m bei vorgegebenerTaktzeit c:

untere Schranke für die Stationszahl

obere Schranke für die Stationszahl

⎥⎥⎥

⎤

⎢⎢⎢

⎡=

=Σ ctm j

n

j 1min :

( ) 11: max1

max +⎥⎦

⎥⎢⎣

⎢−+Σ=

=tctm j

n

j


Beweis

t(Sk) … Belegungszeit der Stationen Sk, k = 1, ..., m

Ganzzahligkeit

Summieren der Ungleichungen

und Ganzzahligkeit von m

( ) ( ) ( )max1

111 tcmSt k

m

k−+⋅−≥Σ

−

=

( )k

m

kj

n

jStt

1

11

−

==ΣΣ >

obere Schranke

tmax + t(Sk) > c also t(Sk) ≥ c + 1 - tmax ∀ k =1,...,m-1


4.3.3.1.2 Alternative 2

Minimierung der Taktzeit(bzw. Maximierung der Produktionsgeschwindigkeit)

untere Schranken für die Taktzeit c:tmax = max {tj ⎜ j = 1, ... , n} … Dauer des längsten Arbeitsganges Unteilbarkeit der Arbeitsgänge c ≥ tmax

Produktions- bzw. Absatzhöchstmenge qmax im Planungszeitraum der Länge T vorgegebenMit Hilfe der gegebenen Stationsanzahl m

⎡ ⎤maxqTc ≥

⎥⎥

⎤⎢⎢

⎡Σ≥=

mtc jn

j 1


Alternative 2

untere Schranke für die Taktzeit (insgesamt)

obere Schranke für die Taktzeit

⎡ ⎤⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎤⎢⎢

⎡Σ=≥=

mtqTtcc jn

j 1maxmaxmin ,,max:

⎡ ⎤minqTc ≤


4.3.3.1.3. Alternative 3

Maximierung des Bandwirkungsgrades (BG)

Bestimmung von:positiver Taktzeit cpositiver Stationszahl mum BG (Auslastung des Fließbandes) zu maximieren

BG = 1 Auslastung von 100% (keine Leerzeiten)

j

n

jt

cmBG

1

1=Σ⋅

⋅=


Alternative 3

untere Schranke für die Taktzeit wie bei Alternative 2obere Schranke für die Taktzeit cmax gegeben

untere Schranke für die Stationszahl

obere Schranke für die Stationszahl

⎥⎥⎥

⎤

⎢⎢⎢

⎡=

=Σ max

1min : ctm j

n

j

( ) 11: maxmin1

max +⎥⎦

⎥⎢⎣

⎢−+Σ=

=tctm j

n

j


Beispiel I

Schichtdauer T = 7,5 StundenMindestproduktionsmenge qmin = 600 Stück

Sekunden/Stück⎣ ⎦ 45600/3600*5,7: minmax === qTc

t1=6 1

1 12

10 11 3

9 3 7

7 8

2 6

4 3

5 4

..1 10

t2=9 2

4 5


Beispiel II

55Summe

11112

108,111

15, 910

379

768

33, 47

236

425

514

413

9-2

6-1

tjVorgängerArbeitsgang j Σtj = 55

keine Absatzhöchstmenge

Taktzeit mindestens cmin = tmax = 10 Sekunden/Stück

⎡ ⎤m t cj

n

jmin max:=⎡

⎢⎢⎢

⎤

⎥⎥⎥= =

=Σ

155 45 2


Beispiel III

0

1

2

3

4

5

6

7

10 20 30 40 50 60

Stationszahl m BG = 1 BG = 0.982

Taktzeit c Alle Kombinationen von m und c, für die eine zulässige Lösung des Problems existiert


Beispiel IV

maximaler BG = 1(nur für unzulässige Werte: m = 1 und c = 55 erreichbar)

Optimaler BG = 0,982(zulässiger Bereich: 10 ≤ c ≤45 und m ≥ 2)

m = 2 Stationen c = 28 Sekunden/Stück


0,91710106

0.91712115

0,91715144

0.96519193

0,98228282

-nicht möglich da c ≤ 45551

Bandwirkungsgrad 55/c⋅m

minimale realisierbare Taktzeitc

theoretisch min Taktzeit

# Stationen m

Beispiel V

Realisierbare Taktzeiten c für verschiedene Stationszahlen m

⎡ ⎤m55

wachsende Taktzeit Reduzierung des BG (Erhöhung des Leerzeitanteils) so lange, bis eine Station eingespart werden kann BG besitzt für jede mögliche Stationsanzahl m ein lokales Maximum bei der kleinsten Taktzeit c, für die eine zulässige Lösung mit m Stationen existiert.


4.3.3.1.4 Weitere Zielsetzungen für das Grundmodell

Maximierung des BG ist äquivalent zu:

Minimierung der Durchlaufzeit: D = m ⋅ c

Minimierung der Summe der Leerzeiten:

Minimierung des Leerzeitanteils: LA = = 1 – BG

Minimierung der Gesamtwartezeit:

j

n

jtcmL

1=Σ−⋅=

mcL

LtDW j

n

j=−=

=Σ

1


4.3.4 LP Formulierungen

Unterscheidung zwischen:

LP-Formulierung bei gegebener Taktzeit

LP-Formulierung bei gegebener Stationszahl

Mathematische Formulierung bei Maximierung des Bandwirkungsgrades


4.3.4.1 LP-Formulierung bei gegebener Taktzeit

Binärvariablen:

= Nummer der Station, der der Arbeitsgang jzugeordnet ist

Annahme: Graph G besitzt Knoten n als einzige Senke

⎩⎨⎧

=sonst0

wirdzugeordnet Stationder gArbeitsgan falls1 k jx jk

∀ j = 1, ..., n

∀ k = 1, ..., mmax

∑=

⋅max

1

m

kjkxk


Modellformulierung

Zielfunktion:

Nebenbedingungen:

( ) nk

m

kxkxZMinimiere ⋅=

=Σ

max

1

1max

1=∑

=

m

kjkx

ctx jn

j=jk ≤⋅∑

1

∑∑==

⋅≤⋅maxmax

11

m

kjk

m

khk xkxk

{ }10,x jk ∈

∀ j = 1, ... , n ... AG auf genau eine Station

∀ k = 1, ... , mmax ... Einhaltung der Taktzeit bei Station k

∀ ... Vorrangbeziehungen

∀ j und k ... binäre Variablen

( ) Eh,j ∈


Bemerkungen

Mögliche Erweiterungen:Zuordnungseinschränkungen in Form von Betriebsmittel-oder Positionsrestriktionen

entsprechende Variablen aus dem Modell entfernen odervorab zu Null fixieren

ArbeitsgangrestriktionenVerhinderung, dass zwei Arbeitsgänge h und j mit (h, j) ∈ Ε in derselben Station ausgeführt werden

E(h,j)xkxkm

k

m

kjkhk mit 1

1 1∈⋅≤+⋅∑ ∑

= =


4.3.4.2 LP Formulierung bei gegebener Stationszahl

Ersetzen vom mmax durch gegebene Stationszahl m

c wird zusätzliche Variable


Modellformulierung

Zielfunktion: Minimiere Z(x, c) = c … Taktzeit

Nebenbedingungen:

∀ j = 1, ... , n ... AG auf genau eine Station

∀ k = 1, ... , m ... Einhaltung der Taktzeit bei Station k

∀ ... Vorrangbeziehungen

∀ j und k ... binäre Variablen

( ) Eh,j ∈

11

=∑=

m

kjkx

ctx jn

j=jk ≤⋅∑

1

∑∑==

⋅≤⋅m

kjk

m

khk xkxk

11

{ }10,x jk ∈

c ≥ 0 ganzzahlig


4.3.4.3 Mathematische Formulierung bei Maximierung des Bandwirkungsgrades

Ist weder Taktzeit c noch Stationszahl m gegebenübernehmen der LP-Formulierung bei gegebener Taktzeit

Zielfunktion (nichtlinear):

zusätzlichen Nebenbedingungen:c ≤ cmax

c ≥ cmin

( ) nk

m

kxkccxZ ⋅=

=Σ

max

1, Minimiere


Mathematische Formulierung bei Maximierung des Bandwirkungsgrades

Wiedererlangen eines LPs Gewichtung von Taktzeit und Stationsanzahl mit den Faktoren w1und w2

Zielfunktion (linear):

Minimiere Z(x,c) = w1⋅(Σk⋅xnk) + w2⋅c

sehr große LP-Modellehohe Anzahl von Binärvariablen


4.3.5. Heuristische Verfahren bei gegebener Taktzeit

Zahlreiche heuristische Verfahren (zumeist Prioritätsregelverfahren)

Verkürzte exakte Verfahren

enumerative Vorgehensweise


Prioritätsregelverfahren I

Zuordnung eines Rangwerts RWj zu jedem Arbeitsgang j

Prioritätsliste

Ein noch nicht zugeordneter Arbeitsgang j ist in einer Station k einplanbar, falls

alle seine Vorgänger im Vorranggraphen in einer der Stationen 1,...,k bereits eingeplant sind und die aktuelle Leerzeit der Station k nicht kleiner als die Bearbeitungszeit von j ist.


Prioritätsregelverfahren II

Vorraussetzung:Taktzeit ceinzuplanende Arbeitsgänge j=1,...,n mit Bearbeitungszeiten tj ≤ cVorranggraph, gegeben durch Vorgängermengen V(j)

Variablenk Nummer der aktuellen Station

Leerzeit der aktuellen StationLp Liste bisher eingeplanter Arbeitsgänge Ls Sortierte Liste der n Arbeitsgänge gemäß Prioritätsregel

c


Prioritätsregelverfahren III

Ein Arbeitsgang j ∉ Lp ist einplanbar, wenn tj ≤und h ∈ Lp für alle h ∈ V(j) gilt

stationsweise vorgehen

unter den jeweils einplanbaren Arbeitsgängen wird derjenige mit höchster Priorität zugeordnet

Öffnung einer neue Station, wenn die aktuell betrachtete Station maximal belegt ist

c


Prioritätsregelverfahren IV

Start: bestimme Liste Ls mit Hilfe einer Prioritätsregel; k := 0; LP := <]; ... noch nichts einge-plant

Iteration:repeat

k := k+1; := c;while es existiert für Station k ein einplanbarer Arbeitsgang in der Liste Ls do

beginwähle und entferne den ersten einplanbaren Arbeitsgang j aus Liste Ls;Lp:= < Lp,j]; :=- tjend;

until Ls = <];Ergebnis: Lp enthält eine zulässige Reihung der Aufträge mit m = k Stationen.

Single-Pass- vs. Multi-Pass-Heuristiken(je nachdem ob Verfahren ein- oder mehrmalig durchlaufen wird)


Prioritätsregeln I

Regel 1: Zufällige Auswahl von Arbeitsgängen

Regel 2: Wähle die Arbeitsgänge nach monoton abnehmender (oder zunehmender) Bearbeitungszeit tj aus: RWj: = tj

Regel 3: Wähle die Arbeitsgänge nach monoton abnehmender (oder zunehmender) Zahl der unmittelbaren Nachfolger aus:

RWj : = ⏐Ν(j)⏐

Regel 4: Wähle die Arbeitsgänge nach monoton wachsender Tiefe der Arbeitsgänge in G aus:RWj : = Anzahl Pfeile im Weg mit den meisten Pfeilen von einer Quelle des Vorranggraphen nach j


Prioritätsregeln II

Regel 5: Wähle die Arbeitsgänge nach monoton abnehmendem Positionsgewicht (Positionswert):

Regel 6: Wähle die Arbeitsgänge nach monoton zunehmender oberer Schranke der für j und alle Vorgänger benötigten Stationszahl aus:

Regel 7: Wähle die Arbeitsgänge nach monoton zunehmender oberer Schranke für die spätestmögliche Station des Arbeitsganges j aus:

∑∈

+=mjNh

hj tt:RWj

⎥⎥⎥

⎥

⎤

⎢⎢⎢

⎢

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+== ∑

∈ctt

mjVhhjjj E:RW

⎥⎥⎥

⎤

⎢⎢⎢

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=−= ∑

∈

cttmLmjNh

hjj 1:RWj


Beispiel – Regel 5

t1=6 1

1 12

10 11 3

9 3 7

7 8

2 6

4 3

5 4

..1 10

t2=9 2

4 5

RWj(5)1101373245496tj

121110987654321j

42 25 31 23 16 20 18 118 111215

Taktzeit c = 28 m = 3 StationenBG = ∑tj / (3*28) = 0,655

S1 = {1,3,2,4,6}

S2 = {7,8,5,9,10,11}

S3 = {12}


Beispiel – Regel 7, 6 und 2

= 3m

RWj(2)RWj(6)RWj(7)

121110987654321j

1 21

11 1 11 1 1 1 1

1 1103

2 2 2 2 2 2 2 2 22 22

26 9 4 5 4 3 7

Anwendung von: primär Regel 7 (spätmöglichste Station)bei Gleichheit Regel 6 (für j und alle Vorgänger benötigten Stationszahl)bei Gleichheit Regel 2 (nach abnehmenden tj)

Lösung: c = 28 m = 2; BG = 0,982

S1 = {1,3,2,4,5} ; S2 = {7,9,6,8,10,11,12}


Weitere heuristische Verfahren I

Stochastische Varianten der Prioritätsregeln 2 bis 7:zufällige Auswahl des nächsten Arbeitsganges unter den einplanbaren ArbeitsgängenAuswahlwahrscheinlichkeiten: proportional oder umgekehrt proportional zu RangwertenZufällig ermittelte Prioritätsregel

Enumerative Heuristiken:Ermittlung sämtlicher zulässiger Belegungen für erste StationEinplanung der Stationsbelegung mit geringster LeerzeitAnaloge Bildung der weiteren Stationen (Greedy)


Weitere heuristische Verfahren II

Heuristiken von Verschnitt- und Verpackungsproblemenzusätzliche Beachtung der Vorrangbeziehungenz.B.: Verallgemeinerung der Heuristik First-Fit-Decreasing für das Bin Packing-Problem

Kürzeste-Wege-Problem mit exponentiell vielen Knoten

Vertauschungsverfahren:Austauschen von Arbeitsgängen zwischen StationenZiel: Verbesserung des nachgeordneten Ziels einer möglichst gleichmäßigen Stationsauslastung


Worst-Case Analyse von Heuristiken

Lösungseigenschaften bei Ganzzahligkeit von c und tj(j = 1,...,n) für Alternative 2:

Summe der Belegungszeiten zweier benachbarter Stationen müssen die Taktzeit überschreiten

Worst-Case Schranken für die Abweichung einer Lösung mit mStationen von einer optimalen Lösung mit m* Stationen:

( ) ( )( ) 11 allefür 1

11 allefür 1

max

1,...,m-k=ctSt,...,m-k=cStSt

k

kk+≥++≥+ +

m/m* ≤ 2 - 2/m* für gerades m bzw. m/m* ≤ 2 - 1/m* für ungerades mm < c⋅m*/(c - tmax + 1) + 1


4.3.6 Verfahren zur Bestimmung der Taktzeit

gegebene Stationszahl

Taktzeit nicht gegebenTaktzeit ist zu minimieren (Alternative 1) oderTaktzeit ist gemeinsam mit der Stationszahl zu optimieren um einen maximalen BG zu erzielen (Alternative 3)


Iteratives Verfahren zur Ermittlung der minimalen Taktzeit I

1. Ermittle die theoretische minimale Taktzeit

(bzw. cmin = tmax wenn dies größer ist) und setze c = cmin

2. Suche für die Taktzeit c eine optimale Lösung mit minimaler Stationszahl m(c) mittels Verfahren zu Alternative 1 (vgl. 2.3.2. und 2.3.3.)

3. Wenn m(c) größer als die gegebene Stationszahl: vergrößere c um ∆ (ganzzahlig) und wiederhole Schritt 2.

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡= ∑

tionenArbeitssta AnzahlAValler

mingszeitenBearbeitunc


Iteratives Verfahren zur Ermittlung der minimalen Taktzeit II

Zulässige Lösung mit Taktzeit ≤ c und Stationszahl ≤ m gefunden.

Wenn ∆ > 1, so kann man noch eine Intervallschachtelungvornehmen: wenn also für Taktzeit c eine Lösung mit Stationszahl ≤ m gefunden wurde und für Taktzeit c-∆ nicht, so kann man noch c-∆/2 probieren, etc.



m = 5 StationenSuche: maximal mögliche Produktionsrate

minimale Taktzeit

11112151818201623312542RWj(5)1101373245496tj

121110987654321j

Es muss mindestens die Taktzeit cmin = Σtj/m = 55/5 = 11 gewählt werden (es ist 11 > tmax = 10)



Lösung c = 11:{1,3}, {2,6}, {4,7,9}, {8,5}, {10,11}, {12} Benötigt: 6 > m = 5 Stationen

c = 12, Zuteilung von AG 12 zu Station 5S5 = {10,11,12}

In großen Problemen: Jenes c, für das eine Stationsbelegung mit gegebener Stationszahl existiert, ist oft deutlich größer als cmin, sodass die schrittweise Erhöhung von c um 1 zu lange dauern würde. Daher Erhöhung um ∆ > 1.

t1=6 1

1 12

10 11 3

9 3 7

7 8

2 6

4 3

5 4

.1 10

t2=9 2

4 5


4.3.7 Klassifikation von komplexeren Fließbandabstimmungsproblemen

Überlegungen bezüglich:Anzahl der ProdukteZuordnungsrestriktionenParallele StationenAusstattung von Stationen mit ArbeitskräftenStationsbegrenzungAnstoßrateVerbindung der Werkstücke zum TransportsystemVerfahrensalternativenZielsetzungen


4.3.7.1 Anzahl der Produkte

Einproduktmodelle:Fertigung eines homogenen Produkts auf einem FließbandMassenproduktion, Großserienfertigung

Mehrproduktmodelle:Gemeinsame Fertigung mehrerer Produkte auf einem oder mehreren FließbändernArten:

Varianten-Fließfertigung: Produkte sind Varianten eines Grundproduktes

Bearbeitung in gemischter Folge auf dem Fließbandlosweise Mehrprodukt-Fließfertigung: Umrüstvorgänge zwischen der Fertigung von verschiedenen Produkten

Produktionslose (jedes Produkt hat eigene Fließbandaustaktung) Planung von Losgrößen und Reihenfolge der einzelnen Produkte TSP


4.3.7.2 Zuordnungsrestriktionen

Betriebsmittelrestriktionen:Ausrüstung einer bestimmten Station mit geeigneten Betriebsmittel nötigvorgegebene Umgebungsbedingungen

Positionsrestriktionen:Festlegung der Position eines Werkstücks innerhalb der Station

bestimmte AG nicht ausführbar (z.B.: Unterbodenarbeiten)Arbeitsgangrestriktionen:

zeitliche oder räumliche Mindest- oder Maximalabstände zwischen 2 AGbestimme Arbeitsgangkombinationen an derselben Station nicht

ausführbarQualifikationsrestriktionen:

Kombination von Arbeitsgängen mit ähnlichem Anspruchsniveau


4.3.7.3. Parallele Stationen

Modelle ohne parallelen Stationen:Heterogene Stationen mit unterschiedlicher Zuordnung von AG serielles Fließband

Modelle mit parallelen Stationen:Mindestens 2 Stationen, die dieselben AG ausführenBearbeitung von aufeinanderfolgenden Aufträgen auf zueinander parallelen Stationen im zeitlichen Wechsel

Mischform - Parallelisierung von Arbeitsgängen:Zuordnung eines AG zu zwei verschiedenen Stationen eines seriellen FließbandesAusführung des AG abwechselnd in einer der beiden Stationen


4.3.7.4 Ausstattung von Stationen mit Arbeitskräften

Einfachbemannte Stationen:Eine Arbeitskraft pro Station

Mehrfachbemannung:Differenzierung der Arbeitsinhalte der Stationen möglichKurzfristige Kapazitätsanpassung durch flexiblen Einsatz von Springern

Vollautomatisierte Stationen:Einsatz von Arbeitskräften zur Kontrolle des FertigungsprozessesOft für mehrere Stationen zuständig


4.3.7.5 Stationsbegrenzung

Geschlossene Stationen:räumliche Ausdehnung für Station fest vorgegebenVerlassen des Bereichs während der Bearbeitung nicht erlaubt

Offene Stationen:Stationsgrenzen dürfen in/oder entgegen der Fließrichtung verlassen werden

rechtsoffen (in Fließrichtung verlassen)linksoffen (entgegen der Fließrichtung verlassen)

kurzfristige Kapazitätsanpassung durch Unter- bzw. Überschreitung der (lokalen) Taktzeitz.B.: Herstellung von Produktvarianten


4.3.7.6 Anstoßrate

Modelle mit fixer Anstoßrate:Aufeinanderfolgende Werkstücke werden jeweils nach Ablauf derselben Zeitspanne (Auflageintervall) auf das Fließband gebracht

Modelle mit variabler Anstoßrate:Das nächste Werkstück wird eingelastet, sobald die erste Bandstation wieder frei ist.Unterschiedliche Abstände der Werkstücke auf dem Fließband (bei Mehrproduktfertigung)


4.3.7.7 Verbindung der Werkstücke zum Transportsystem

Unbewegliche Werkstücke:fest mit dem Transportsystem verbundenallenfalls Drehbewegungen erlaubt

Bewegliche Werkstücke:Zwischenzeitliche Wegnahme vom Transportsystem erlaubt

NachbearbeitungZwischenlagerung

Fließfertigung ohne Zeitzwang


4.3.7.8 Verfahrensalternativen

Vorgegebene ProduktionsverfahrenArbeitspläne sind vorgegeben

Verschiedene ProduktionsverfahrenWahl bezüglich des einzusetzenden VerfahrensMehrere alternative Arbeitspläne vorhanden (Vorranggraphen)

und/oder

unterschiedliche Bearbeitungszeiten einzelner Arbeitsgänge


4.3.7.9 Zielsetzungen

Zeitorientierte ZielsetzungenMinimierung der Durchlaufzeit, der Gesamtleerzeit, des Leerzeitanteils, der GesamtwartezeitMaximierung der Kapazitätsauslastung (Bandwirkungsgrad) – bei den meisten (Einprodukt-) ModellenGleichmäßige Auslastung der Stationen

Weitere ZielsetzungenMinimierung der Stationsanzahl bei geg. TaktzeitMinimierung der Taktzeit bei geg. StationszahlMinimierung der Summe der gewichteten Taktzeit und der gewichteten Stationszahl


Zielsetzungen

Erfolgsorientierte Ansätze:Maximierung des GesamtdeckungsbeitragsMinimierung der Gesamtkosten

Maschinen- und Werkzeugkosten (Maschinenstundensätze – von Stationsanzahl abhängig)Lohnkosten: häufig identische Lohnsätze für die Arbeitskräfte aller StationenMaterialkosten: durch Ausbringungsmenge und Taktzeit bestimmtLeerkosten: Opportunitätskosten – hängen von Taktzeit und Stationsanzahl ab


4.3.8 Mehrproduktmodelle

Variantenfließfertigung:Bearbeitung mehrere Varianten eines Grundmodells in gemischter Folge auf einem Fließbandeinzelne Arbeitsgänge können von Variante zu Variante unterschiedliche Bearbeitungszeiten aufweiseneinzelne Arbeitsgänge nicht bei allen Varianten erforderlich

Bestimmung einer optimalen Abstimmung des Fließbandes und einer optimalen Bearbeitungsreihenfolge für die Werkstücke


multi-modellosweiseMehrprodukt-Fließfertigungmit Umrüsten

Umrüsten von Würfel auf Pyramide nach 2

Wochen


mixed-modelVarianten-fließfertigungohne UmrüstenAbstimmung auf eine „theoretische Durchschnitts-variante“


4.3.9 Fließbandabstimmung bei Variantenfertigung

Bei ähnlichen Varianten: Vermeidung von Umrüstung und LosbildungBetrachtung aller Varianten simultan (Varianten-Fließfertigung)

Verallgemeinerung des Grundmodells (von 2.3.1)Herstellung von p Varianten eines Grundproduktes in bis zu nArbeitsgängen; das Produktionsverfahren ist fest vorgegebenvorgegebene Reihenfolgebeziehungen für die Arbeitsgänge in jeder Variante j = 1,...,n gemeinsamen Vorrangsgraphen über alle Varianten aggregierenjeder AG wird genau einer Station zugeordnet vorgegebene Bearbeitungszeiten tjv jedes AG j bei jeder Variante vgegebener Bedarf bv bei jeder Variante vgegebene Gesamtdauer T der Arbeitsschichten im Planungszeitraum


Fließbandabstimmung bei Variantenfertigung

Gesamtbedarf aller Varianten im Planungszeitraum:

Kumulierte Bearbeitungszeit von AG j über alle Varianten im Planungszeitraum:

∑=

=p

vvbb

1

jvp

vvj tbt ∑

==

1


LP-Modell

Aggregierte Variante: Fließband wird nicht taktweise, sondern auf Grundlage der Gesamtdauer T der Arbeitsschichten im Planungszeitraum abgestimmt

Gleiche LP wie im Kapitel 2.3.1.5, jedochErsetzen der Taktzeit c durch die Gesamtdauer T

m,...,k= ,...,n j= S j

x kjk 1und1allefür

sonst0gArbeitsgan falls1

⎩⎨⎧ ∈

=


LP-Modell

Zielfunktion:( ) nk

m

kxkxZMinimiere ⋅=

=Σ

1 … Nummer der letzten Station (mit AG n)

Nebenbedingungen:

für alle j = 1, ... , n ... AG auf genau eine Station

für alle k = 1, ... , ... Gesamtdauer bei Station k

für alle ... Vorrangbeziehungen

für alle j und k

x jkk

m

=∑ =

11

x tjkj=

n

j1∑ ⋅ ≤ T

k x k xhkk

m

jkk

m

⋅ ≤ ⋅= =∑ ∑

1 1

{ }x ,jk ∈ 0 1

( )h,j E∈


Beispiel I

aggregiertes Modellv = 3, b3 = 1

v = 2, b2 = 2v = 1, b1 = 4

t12=51 0

12 1111 4

9 17

48

16

63

54

110

112

35

t13=81 3

12 811 1

9 37

138

46

03

54

110

132

25

t11=6 1

1 12

10 11 3

9 4 7

7 8

2 6

4 3

5 4

1 10

7 2

5 5

t1=42 1

7 12

7011 21

9 217

49 8

14 6

28 3

35 4

7 10

63 2

28 5


Beispiel II

Verwendung von exakten Verfahren:

gegeben: T = 70

Stationszuteilung mit m = 7 Stationen:S1 = {1,3}S2 = {2} S3 = {4,6,7} S4 = {8,9} S5 = {5,10} S6 = {11} S7 = {12}


Größen

... Belegungszeit der Station k durch Variante v in Zeitdauer T

... mittlere Belegungszeit der m Stationen durch Variante v in T

bzw. die analogen Größen pro Stück (ME):

... Belegungszeit der Station k durch 1 ME von Variante v

... mittlere Belegungszeit der m Stationen durch 1 ME Variante v

Aggregiert über alle Varianten erhält man:

... gesamte Belegungszeit der Station k in T

τkv v jv jkj

nb t x=

=∑

1

τv v jvj

nb t m=

=∑ /

1

′ ==∑τkv jv jkj

nt x

1

′ ==∑τv jvj

nt m/

1

t S tk kvv

p( ) =

=∑

1Operations Management Kapitel 4 / 146(c) Prof. Richard F. Hartl

Beispiel – Maßzahlen pro ME

3

2

7,86110610117101

τ`v7654321Variante v

MittelStation kτ’

kv

11 11 7 8 4 0

8

7,4311

13 12 14 3 8 3 8,71

x 4

x 2

x 1


Beispiel – Maßzahlen

557703570706370t(Sk)

3

2

31,4344024404428401

τv7654321Variante v

MittelStation kτkv

22 14 16 8 22 0 14,86

8 1213 14 383

22

8,71


Fazit

Station 5 und 7 sind sehr schlecht ausgelastet

die Belegungszeiten τkv der Stationen k schwanken bei den Varianten v stärker als die aggregierte Variante t(Sk)

Die Belegungszeiten schwanken bei den Größen pro ME (2. Tabelle) stark mit der Variante. Bei Variante 3 sind z.B. die Stationen 2, 3 und 4 sehr stark beansprucht.

mehrere ME von Variante 3 hintereinander gefertigt die mittlere Taktzeit kann hier nicht eingehalten werden, d.h. das Band

muss angehalten werden.


Behebung der ungleichen Auslastungen

durch Betrachtung nachgeordneter ZielfunktionenUnter mehreren Lösungen, die alle die gleiche (minimale) Stationszahl m liefern (1. Ziel), wählt man jene, die die folgende 2. Zielfunktion minimiert:

... Summe der absoluten Auslastungsunterschiede

Minimierung z.B. durch folgende Greedy-Heuristik möglich

∑∑==

−=∆p

vvkv

m

k 11ττ


Verfahren von Thomopoulos

Start: Abweichung ∆ = 0, k = 0

Iteration: solange noch nicht alle AG eingeplant:

erhöhe k um 1

ermittle alle zulässigen Stationsbelegungen Sk für die nächste Station k

wähle jenes Sk mit der kleinsten Abweichungssumme

setze ∆ = ∆ + ∆(Sk)

∑=

−=∆p

vvkvkS

1)( ττ


Verfahren von Thomopoulos – Beispiel

T = 70 m = 7

Lösung: 9 Stationen (min. Stationszahl = 7):

S1 = {1}, S2 = {3,6}, S3 = {4,7}, S4 = {8}, S5 = {2}, S6 = {5,9}, S7 = {10}, S8 = {11}, S9 = {12}

Abweichungssumme: ∆ = 183,14


Verfahren von Thomopoulos

Nur jene Stationsbelegungen Sk kommt in Frage, deren Belegungszeit t(Sk) einen Wert λ überschreiten (keine zu großen Leerzeiten).

Wahl von λ : λ zu klein:

sehr ausgeglichene Stationsbelegungen bezüglich der einzelnen Variantenu.U. zu viele Stationen.

λ zu groß:wenig ausgeglichene Stationsbelegungeneher minimale Stationszahl. [sehr großes λ u.U. gar keine zulässige Stationsbelegung mit t(Sk) ≥ λ]


Verfahren von Thomopoulos – Beispiel Fort.

λ = 49

Lösung:7 Stationen:

S1 = {2}, S2 = {1,5}, S3 = {3,4}, S4 = {7,9,10}, S5 = {6,8}, S6 = {11}, S7 = {12}

Abweichungssumme: ∆ = 134,57


Lösung – exaktes Verfahren

7 Stationen:S1 = {1,3}, S2 = {2}, S3 = {4,5}, S4 = {6,7,9 }, S5 = {8,10}, S6 = {11}, S7 = {12}

Abweichungssumme: ∆ = 126

557705656636370t(Sk)8,71381487138314,860221012162222231,4344032364028401

τv7654321Variante v

MittelStation kτkv


Weitere Zielsetzungen

Abstimmung von Nachfragewerten bj abhängigÄnderung der Nachfragewerte Abstimmung wiederholen und umrüsten

Umgehen durch:Nachfrageunabhängige Zielsetzungen

… Summe der absoluten Auslastungsunterschiede pro Stück

′ = ′ − ′==∑∑∆ τ τkv vv

p

k

m

11


Weitere Zielsetzungen

Nachteil dieser Zielfunktionen:

Große Abweichungen bei einer Station (die zu Störungen im Produktionsablauf führen können) können durch geringe Abweichungen bei einigen anderen Stationen kompensiert werden.

... maximaler Auslastungsunterschied pro Stück (ME)

∆max,

max= ′ − ′k v

kv vτ τ


4.4 Konfiguration von Lagerhäusern

einfaches Modell von Askin & Standridge


4.5 Konfiguration und Analyse von flexiblen Fließfertigungssystemen

einfache Warteschlangenmodelle, M/M/s, M/G/1, GI/G/1

aus Zeitgründen werden diese Themen hier nicht behandelt;

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