5. Rayleigh-Ritz-Verfahrenwandinger.userweb.mwn.de/LA_Elastodynamik_2/v3_5.pdf · der...

Elastodynamik 2SS 2007

3. Balkenschwingungen 3.5-1

5. Rayleigh-Ritz-Verfahren

● Mit dem Rayleigh-Ritz-Verfahren lassen sich Näherungen für die Eigenschwingungen und die Eigenfrequenzen berechnen.

● Das Rayleigh-Ritz-Verfahren basiert auf der schwachen Formulierung des Eigenwertpro-blems.

● Es bildet die Grundlage für die Methode der Finiten Elemente.



5. Rayleigh-Ritz-Verfahren

5.1 Rayleigh-Quotient

5.2 Ritz-Verfahren




● Schwache Formulierung der Schwingungsglei-chung:– Die Eigenschwingungen sind Lösungen der

homogenen schwachen Formulierung:

– Diese Gleichung muss für alle Funktionen gelten, die die wesentlichen Randbedingungen erfüllen.

∫0

L

EI yd 2 W

dx2d 2W

dx2dx−

2∫0

L

A W W dx=0

W




– Die Eigenfunktionen selbst erfüllen die wesentli-chen Randbedingungen.

– Für gilt: W=W

∫0

L

EI y d2W

dx2 2

dx−2∫0

L

AW

2 dx=0




– Wenn die Eigenfunktion bekannt ist, lässt sich die zugehörige Eigenkreisfrequenz aus

berechnen.

W

2=

∫0

L

EI y d2W

dx2 2

dx

∫0

L

AW

2 dx




● Rayleigh-Quotient:– Der Rayleigh-Quotient ist definiert durch

– Dabei ist eine beliebige Funktion, die die wesentlichen Randbedingungen erfüllt.

R V =

∫0

L

EI y d2V

dx2 2

dx

∫0

L

AV 2dx

V x




– Der Rayleigh-Quotient ist eine Abbildung, die einer Funktion eine reelle Zahl zuordnet.

– Eine solche Abbildung wird als Funktional bezeich-net.

– Wie bei diskreten Systemen lässt sich zeigen, dass der Rayleigh-Quotient ein Minimum hat, wenn als Funktion die Eigenform der Grundschwingung ein-gesetzt wird.

– Mit dem Rayleigh-Quotienten kann die Eigenkreis-frequenz der Grundschwingung abgeschätzt werden.

V x




● Beispiel: Balken mit veränderlichem Querschnitt

L/2 L/2

ρ, E, A, Iy

ρ, E, αA, βIy

x




– Wesentliche Randbedingungen:

– Testfunktion:

W 0=0,dWdx0=0

V x =x2 dVdx=2 x ,

d 2V

dx2=2




– Rayleigh-Quotient:

∫0

L

EI y d2V

dx2 2

dx=EI y∫0

L /2

4dxEI y∫L/2

L

4dx

=4 EI y L2L2 =2 EI y L 1




∫0

L

AV 2dx= A∫0

L /2

x 4dx A∫L /2

L

x 4dx

= A [ x5

5 ]0L/2

[ x5

5 ]L /2L

= A L5

160131

R V =320EI y A L4

1131




– Speziell: Homogener Kragbalken

– Exakte Lösung für den homogenen Kragbalken:

=1, =1

12R V =20

EI y A L4

12=1

4 EI y A

=1,87514EI y A L4

=12,36EI y A L4



5.2 Ritz-Verfahren

● Grundlagen:– Betrachtet wird das Funktional

– Das Funktional ordnet jeder Funktion , die die wesentlichen Randbedingungen erfüllt, eine reelle Zahl zu.

W =12∫0

L

[EI y d2W

dx2 2

−2 AW 2]dx

W



5.2 Ritz-Verfahren

– Sei eine weitere Funktion, die die wesentlichen Randbedingungen erfüllt, und eine beliebige reelle Zahl.

– Dann gilt:

W

W W =12∫0

L

EI y d2W

dx2d 2 W

dx2 2

dx

−2 12∫0

L

A W W 2dx



5.2 Ritz-Verfahren

– Ableiten nach führt auf:

dd =∫

0

L

EI y d2W

dx2d 2 W

dx2 d 2 W

dx2dx

−2∫0

L

A W W W dx

=∫0

L

EI yd 2W

dx2d 2 W

dx2dx−2∫

0

L

AW W dx2 W



5.2 Ritz-Verfahren

– Ist speziell eine Eigenfunktion und die zugehörige Eigenkreisfrequenz, so gilt:

– Für ist die Ableitung Null.– Das Funktional hat also einen Extremwert, wenn als

Funktion eine Eigenfunktion eingesetzt wird.

W=W

dd =2 W

=0



● Ritz-Verfahren:– Näherungsansatz:

– Die Funktionen müssen die wesentlichen Randbedingungen erfüllen.

5.2 Ritz-Verfahren

W x =∑i=1

n

aii x

i x



5.2 Ritz-Verfahren

– Wird der Ansatz in das Funktional eingesetzt, so wird das Funktional zu einer Funktion der unbe-kannten Freiwerte : ai

W =P a1, , an

W =12∫0

L

[EI y ∑i=1n

aid 2idx2

2

−2 A∑

i=1

n

aii2

]dx=P a1, ,an



5.2 Ritz-Verfahren

– Die Bedingung dafür, dass die Funktion einen Extremwert annimmt, lautet

P

∂P∂a j

=0, j=1, , n

∫0

L

[EI y ∑i=1n

aid 2idx2

d 2 j

dx2−

2 A∑

i=1

n

aii j ]dx=0,j=1, ,n



5.2 Ritz-Verfahren

– Aus diesen n Gleichungen können die n Koeffizi-enten bestimmt werden.

– Abkürzungen:

ai

k ij=k ji=∫0

L

EI yd2idx2

d2 j

dx2dx

mij=m ji=∫0

L

Ai jdx



5.2 Ritz-Verfahren

– Damit lauten die Gleichungen:

– Das ist ein Eigenwertproblem zur Bestimmung von n Eigenvektoren und Eigenfrequenzen.

[k11 ⋯ k 1n⋮ ⋱ ⋮

k n1 ⋯ k nn]−2 [m11 ⋯ m1n⋮ ⋱ ⋮

mn1 ⋯ mn n][a1⋮

an]=[0⋮

0]K−

2M a=0



5.2 Ritz-Verfahren

● Beispiel: Balken mit veränderlichem Querschnitt

L/2 L/2

ρ, E, A, Iy

ρ, E, αA, βIy

x



5.2 Ritz-Verfahren

– Ansatzfunktionen:

1= xL 2

d1dx=2

x

L2,d 21dx2

=2

L2

2= xL 3

d2dx=3L xL

2

,d 22dx2

=6x

L3



5.2 Ritz-Verfahren

– Elemente der Steifigkeitsmatrix K :

k 11=∫0

L /2

EI y 2

L2 2

dx∫L/2

L

EI y 2

L2 2

dx

=4EI yL4

L2

L2 =2

EI yL3

1



5.2 Ritz-Verfahren

k 12=k 21=∫0

L /2

EI y 2

L2 6x

L3 dx∫L /2L

EI y 2

L2 6x

L3 dx

=12EI yL5 [

x2

2 ]0L /2

[ x2

2 ]L /2L

=6 EI yL5 L2

4

34L2

=32

EI yL3

13



5.2 Ritz-Verfahren

k 22=∫0

L /2

EI y 6x

L3 2

dx∫L /2

L

EI y6x

L3 2

dx

=36EI yL6 [

x3

3 ]0L/2

[ x3

3 ]L /2L

=12 EI yL6 L3

8

78L3

=32

EI yL3

17



5.2 Ritz-Verfahren

– Elemente der Massenmatrix M :

m11=∫0

L/2

A xL 4

dx∫L/2

L

A xL 4

dx

= A

L4 [x5

5 ]0L /2

[ x5

5 ]L/2L

= A5 L4 L5

32

3132L5

= A L160

131



5.2 Ritz-Verfahren

m12=m21=∫0

L /2

A xL 5

dx∫L /2

L

A xL 5

dx

= A

L5 [x6

6 ]0L /2

[ x6

6 ]L /2L

= A6 L5 L6

64

6364L6

= A L384

163



5.2 Ritz-Verfahren

m22=∫0

L /2

A xL 6

dx∫L /2

L

A xL 6

dx

= A

L6 [x7

7 ]0L/2

[ x7

7 ]L /2L

= A7 L6 L7

128

127128

L7= A L896

1127



5.2 Ritz-Verfahren

– Eigenwertproblem:

EI y2 L3 [

4 1 3 13 3 13 3 17 ]

−2 A L13440 [

84 131 35 163

35 163 15 1127 ][a1a2]=[

00]



5.2 Ritz-Verfahren

– Speziell: Homogener Kragbalken

=1, =1 :

EI y2 L3 [

8 1212 24 ]−

2 A L420 [

84 7070 60][

a1a2]=[

00]

∣4EI y A L4

−152 6

EI y A L4

−162

6EI y A L4

−162 12

EI y A L4

−172∣=0



5.2 Ritz-Verfahren

12EI y A L4

2

−3435

EI y A L4

2

11260

4=0

4−1224

EI y A L4

215120

EI y A L4

2

=0

1/22=EI y A L4

612±6122−15120



5.2 Ritz-Verfahren

– Ergebnis:

Exakt:

12=12,48

EI y A L4

, 22=1211,52

EI y A L4

12=12,36

EI y A L4

, 22=485,52

EI y A L4



5.2 Ritz-Verfahren

● Erweiterung:– Das Ritz-Verfahren lässt sich leicht auf den Fall

erweitern, dass der Balken auf einzelnen Federn gelagert und mit Einzelmassen belegt ist.

xi

ci

xj

mj



5.2 Ritz-Verfahren

– Das Funktional muss um die Beiträge der Federn und Punktmassen erweitert werden:

W =12∫0

L

[EI y d2Wdx2

2

−2 AW 2]dx

12∑k=1

nF

ckW2xk −

2

2 ∑k=1

nM

mkW2xk



5.2 Ritz-Verfahren

– Elemente der Steifigkeitsmatrix:

– Elemente der Massenmatrix:

k ij=k ji=∫0

L

EI yd 2idx2

d 2 j

dx2dx

∑k=1

nF

cki x k j xk

mij=m ji=∫0

L

Ai jdx∑k=1

nM

mki x k j x k



5.2 Ritz-Verfahren

● Beispiel: Kragbalken mit Endmasse

x

zL

ρ, A, EIy

m

m= A L



5.2 Ritz-Verfahren

– Ansatzfunktionen:

1= xL 2

d1dx=2

x

L2,d 21dx2

=2

L2

2= xL 3

d2dx=3L xL

2

,d 22dx2

=6x

L3

1L=1, 2L=1



5.2 Ritz-Verfahren

– Steifigkeitsmatrix:

– Massenmatrix:

K=EI yL3 [

4 66 12]

M= A L210 [

42 3535 30 ]m [

12L 1L2L

1 L2L 22L ]

M= A L210 [

42210 3521035210 30210]



5.2 Ritz-Verfahren

– Charakteristische Gleichung:

det K−2M =0

∣4EI y A L4

− 15 2 6

EI y A L4

− 16 2

6EI y A L4

− 16 2 12

EI y A L4

− 17 2∣=0



5.2 Ritz-Verfahren

12EI y A L4

2

−EI y A L4 [4

1712 15−12

16] 2

[ 1517− 16

2

] 4=0

12EI y A L4

2

− 34354EI y A L4

21121260

4=0



5.2 Ritz-Verfahren

112 4−72 1770

EI y A L4

215120

EI y A L4

2

=0

1/22=

1112

EI y A L4

[36 1770

±362 1770 2−15120 112 ]

1/22=

12112

EI y A L4

[3 1770

±249620160441002 ]



5.2 Ritz-Verfahren

– Das folgende Diagramm zeigt die dimensionslose Kreisfrequenz

der Grundschwingung in Abhängigkeit vom Massenverhältnis μ.

– Die mit dem Ritz-Verfahren ermittelte Näherungslö-sung stimmt sehr gut mit der exakten Lösung über-ein.

L2 AEI y



5.2 Ritz-Verfahren

5. Rayleigh-Ritz-Verfahrenwandinger.userweb.mwn.de/LA_Elastodynamik_2/v3_5.pdf · der...

Documents

Transcript of 5. Rayleigh-Ritz-Verfahrenwandinger.userweb.mwn.de/LA_Elastodynamik_2/v3_5.pdf · der...