3. Freie Längsschwingungenwandinger.userweb.mwn.de/LA_Elastodynamik_2/v2_3.pdf · Elastodynamik 2...

Elastodynamik 2SS 2007

2. Stabschwingungen 2.3-1

3. Freie Längsschwingungen

● Die d'Alembertsche Methode wird unhandlich, wenn die Antwort für einen längeren Zeitraum bestimmt werden soll.

● Dann ist die Methode von Daniel Bernouilli besser geeignet.

● Bei dieser Methode wird die Antwort durch Überlagerung von Eigenschwingungen er-mittelt.



3. Freie Längsschwingungen

3.1 Bernouillische Lösung

3.2 Eigenschwingungen

3.3 Superposition




● Lösungsansatz: u x , t =U x t

∂2u

∂ x2=d 2U

dx2x t =U ' ' x t

∂2u

∂ t2=U x

d 2

dt2t =U x t




● Einsetzen in die Wellengleichung:

U x t =c2U ' ' x t

t t

=c2U ' ' x U x




● Die linke Seite hängt nur von der Zeit t ab, während die rechte Seite nur vom Ort x abhängt.

● Die Gleichung kann also nur erfüllt sein, wenn beide Seiten konstant sind:

t t

=c2U ' ' x U x

=−2=const.




● Damit folgen zwei gewöhnliche Differentialglei-chungen:

bzw.

mit der Wellenzahl

t 2t =0

U ' ' x

c 2

U x =0

U ' ' x k 2U x =0

k=/c




● Die allgemeinen Lösungen lauten

● Die zeitliche Funktion beschreibt eine harmonische Schwingung mit der Kreis-frequenz ω und der Periode T = 2π/ω :

t = sin tcos t

U x =C sin kxD coskx

tT =t




● Die Ortsfunktion beschreibt eine harmonische Welle mit der Wellenzahl k und der Wellen-länge λ = 2π/k :

● Zwischen Wellenlänge und Periode besteht der Zusammenhang:

U x=U x

=2k=2

c=cT c=

T= f




● Die Eigenschwingungen beschreiben die Bewegung des Stabes, wenn keine äußeren Kräfte auf ihn einwirken und die Dämpfung vernachlässigt wird.

● Die Eigenschwingungen hängen von den Randbedingungen ab.




3.2.1 Einseitig eingespannter Stab

3.2.2 Beidseitig eingespannter Stab

3.2.3 Beidseitig freier Stab

3.2.4 Eigenschaften der Eigenfunktionen

3.2.5 Rayleigh-Quotient




x

L

u 0, t =0 U 0=0 D=0

L , t =0 U ' L=0

U ' x =k C coskx k C coskL=0




● Nichttriviale Lösungen existieren nur für

● Das ist die charakteristische Gleichung für den einseitig eingespannten Stab.

● Sie hat die Lösungen

cos kL=0

k=2−12

L, =1, ,∞




● Die zugehörigen Funktionen

heißen Eigenfunktionen.● Sie entsprechen den Eigenvektoren bei diskre-

ten Systemen.● Für die zugehörigen Eigenfrequenzen gilt

U =sin k x=sin 2−1

2xL , =1, ,∞

=c k




x

L

u 0, t =0 U 0=0 D=0

u L , t =0 U L=0 C sin kL=0




● Die charakteristische Gleichung

hat die Lösungen

● Damit lauten die Eigenfunktionen

sin kL=0

k =

L, =1, ,∞

U =sin xL , =1, ,∞




x

L

0, t =0 U ' 0=0

L , t =0 U ' L=0




● Mit

folgt:

● Die charakteristische Gleichung hat die Lö-sungen

U ' x =k C coskx−k D sin kx

U ' 0=k C=0 C=0

U ' L=−k D sin kL=0 sin kL=0

k=

L, =0, ,∞




● Damit lauten die Eigenfunktionen

● Für ν = 0 liegt eine Starrkörperbewegung vor.

U =cos xL , =0, ,∞




● Es gibt unendlich viele Eigenfunktionen und Eigenfrequenzen.

● Die erste Eigenschwingung wird als Grund-schwingung bezeichnet. Die zugehörige Eigen-frequenz heißt Grundfrequenz.

● Die anderen Eigenschwingungen werden als Oberschwingungen bezeichnet. Die zugehö-rigen Eigenfrequenzen heißen Oberfrequenzen.




● Die Eigenfunktionen können beliebig skaliert werden, d.h. mit ist auch eine Eigenfunktion.

● Für zwei verschiedene Eigenfunktionen gilt

● Diese Eigenschaft wird als Orthogonalität bezeichnet.

U aU

∫0

L

U U dx=0 für ≠




● Nachweis der Orthogonalität:– Für den einseitig oder beidseitig eingespannten

Stab lauten die Eigenfunktionen

– Für μ ≠ ν gilt:U x =sin k x

∫0

L

sin k x sin k x dx=[sin k−k x2k−k

−sin kk x2kk ]0

L

=sin k−kL2k−k

−sin k kL2kk




– Für den einseitig eingespannten Stab gilt

und

– Damit:

k−k=2−1−21

2 L=−

L

kk =2−12−1

2 L=−1

L

sin k −k L=sin −=0

sin k kL=sin −1=0




– Für den beidseitig eingespannten Stab gilt

und

– Damit:

k−k=−

L

kk =

L

sin k −k L=sin −=0

sin k kL=sin =0




● Entsprechend lässt sich die Orthogonalität für den beidseitig freien Stab nachweisen (Übung).




● Betrag der Eigenfunktionen: μ = ν– Einseitig oder beidseitig eingespannter Stab:

– Beidseitig freier Stab:

∫0

L

U x 2dx=∫

0

L

sin2k x dx=[x2−14 k

sin 2k x ]0

L

=L2

∫0

L

U x 2dx=∫

0

L

cos2k x dx=[x214 k

cos 2k x ]0L

=L2




● Normierung der Eigenfunktionen:– Für die mit skalierten Eigenfunktionen

gilt:

2 /L

U x =2/LU x

∫0

L

U x U x dx={0 für ≠1 für =




● Die Wellengleichung lautet

● Einsetzen von führt auf

∂2u

∂ t2=E

∂2u

∂ x2

ux , t =U x cos t

−2U x cos t=E

d 2U

dx2 x cos t




● Daraus folgt zunächst

● Multiplikation mit und Integration führt auf

−2U x =E

d 2U

dx2 x

U x

−2∫0

L

U

2 x dx=∫

0

L

EU x d 2U

dx2x dx




● Für das rechte Integral gilt

∫0

L

EU x d 2U

dx2 x dx

=∫0

L

Eddx U

dU

dx dx−∫0L

E dU

dx 2

dx

=[EU

dU

dx ]0L

−∫0

L

E dU

dx 2

dx




● Am Rand (x = 0 oder x = L) gilt entweder

(feste Einspannung) oder

(freier Rand).● Also gilt:

U =0

U '=0

∫0

L

EU x d 2U

dx2 x dx=−∫

0

L

E dU

dx 2

dx




● Damit ist gezeigt:

● Für die Eigenfrequenz gilt also:

2∫0

L

U

2 x dx=∫

0

L

E dU

dx 2

dx

2=

∫0

L

E dU

dx 2

dx

∫0

L

U

2 x dx




● Für eine beliebige Funktion v(x) , die die Randbedingungen erfüllt, wird

als Rayleigh-Quotient bezeichnet.

R v=∫0

L

E dvdx 2

dx

∫0

L

v2 x dx




● Wie bei diskreten System lässt sich zeigen, dass der Rayleigh-Quotient ein Minimum hat, wenn als Funktion die Eigenfunktion der Grundschwingung eingesetzt wird.

● Mit dem Rayleigh-Quotienten kann also die Eigenkreisfrequenz der Grundschwingung abgeschätzt werden.




● Beispiel:– Einseitig eingespannter Stab aus Aluminium

● Länge L = 20m● Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit c = 5000m/s

– Randbedingungen:● u(0) = 0● u'(L) = 0




– Wellenzahl der Grundschwingung:

– Kreisfrequenz der Grundschwingung:

k 1=12

L=

40m=0,0785m−1

1=c k 1=5000m / s⋅0,0785m−1=392,7 s−1




– Rayleigh-Quotient für :v x =U 1 x =sin 2xL

R U 1=E

2 L 2

∫0

L

cos2 2xL dx

∫0

L

sin22xL dx

=c2k 12=1

2




– Rayleigh-Quotient für :v x =x 2 L−x

v ' x =2 L−x

∫0

L

v ' 2 x dx=4∫0

L

L−x 2dx=4 [−

13L−x

3

]0

L

=43L3

∫0

L

v2x dx=∫0

L

x2 2 L−x 2dx=∫

0

L

x 4−4 L x 34 L2 x2 dx

=[ x5

5−L x4

43L2 x3]

0

L

=815L5




R v =E

43L3

815L5=52 cL

2

=156250 s−2

R v=395,3 s−1



3.3 Superposition

● Da die Wellengleichung linear ist, stellt jede Superposition von Eigenschwingungen ebenfalls eine Lösung dar.

● Die allgemeine Lösung lautet daher

mit

u x , t =∑=1

∞

Csin k xDcos k x t

t =sin tcos t



3.3 Superposition

● Für jeden Zeitpunkt t ist das eine Fourier-Reihe mit den Koeffizienten

● Da jede beschränkte Funktion in einem Intervall als Fourier-Reihe dargestellt werden kann, lässt sich also jede Verschiebung als Superposition der unendlich vielen Eigenfunktionen dar-stellen.

ct =Ct , dt =Dt



3.3 Superposition

● Die Eigenfunktionen sind ein vollständiges Funktionensystem.

● Die Koeffizienten werden durch die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt.



3.3 Superposition

● Beispiel:– Ein am linken Ende fest eingespannter Stab wird

am rechten freien Ende mit einer statischen Zuglast belastet, unter der sich dort eine statische Verschiebung U

s einstellt.

– Welche Bewegung stellt sich ein, wenn die Last plötzlich weggenommen wird?



3.3 Superposition

– Daten:● Länge L = 20m● Querschnittsfläche A = 25·10-4m2

● Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit c = 5000m/s● Elastizitätsmodul E = 70600·106N/m2

– Anfangsbedingungen:

● Us = 5∙10-6m

u x ,0=u0 x =U sxL, u x ,0=0



3.3 Superposition

– Eigenfunktionen:

– Damit lautet der Lösungsansatz:

– Zeitliche Ableitung:

u x , t =∑=1

∞

sin k x sin tcos t , =c k

u x , t =∑=1

∞

sin k x ⋅ cos t−sin t

U =sin k x , k=2−12 L



3.3 Superposition

– Anfangsbedingung für Geschwindigkeit:

– Anfangsbedingung für Verschiebung:

0=u x ,0=∑=1

∞

sin k x =0, =1, ,∞

u0 x =u x ,0=∑=1

∞

sin k x



3.3 Superposition

– Wegen der Orthogonalität der Eigenfunktionen folgt daraus

∫0

L

u0 x sin k x dx=L2

=2L

U s

L ∫0

L

x sin k x dx=2U s

L2 [sin k x

k2 −

x cos k xk ]

0

L

=2U s

sin k L

k L 2



3.3 Superposition

– Ergebnis:

u x , t U s

=2∑=1

∞ sin k L

k L 2sin k x cos t



3.3 Superposition

3. Freie Längsschwingungenwandinger.userweb.mwn.de/LA_Elastodynamik_2/v2_3.pdf · Elastodynamik 2...

Documents

Transcript of 3. Freie Längsschwingungenwandinger.userweb.mwn.de/LA_Elastodynamik_2/v2_3.pdf · Elastodynamik 2...