( )n

n 0

Für jede Folge mit dem Grenzwert gilt:

Fun

lim

damentallemm

1

a:

.!

n kn

k

w w

w wn k

∞

→∞ =

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠∑

8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen

2 3

0

Definition der Exponentialfunktion :

exp( ) : 1 1 ...! 2! 3!lim

n k

n k

z z z zz zn k

∞

→∞ =

⎛ ⎞= + = = + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

→

∑

£ £

8.1 Definition der Exponentialfunktion

Das Bild kann nicht angezeigt werden. Dieser Computer verfügt möglicherweise über zu wenig Arbeitsspeicher, um das Bild zu öffnen, oder das Bild ist beschädigt. Starten Sie den Computer neu, und öffnen Sie dann erneut die Datei. Wenn weiterhin das rote x angezeigt wird, müssen Sie das Bild möglicherweise löschen und dann erneut einfügen.

( ) ( )( )

( )

1 2

1

2 z 0

Die Exponentialfunktion hat die Eigenschaften E und E :

E exp( ) exp( ) exp( ) für alle , ,exp( ) 1E lim 1

Satz:

.

z w z w z wzz→

+ = ⋅ ∈− =

£

( )

( )1

2 0

Zu jedem gibt es genau eine Funktion : mitE ( ) ( ) ( ) für alle , ,

( ) 1E li

Sa

m .

Diese ist gegeben durch ( ) e

tz:

xp( ).

c

z

c ff z w f z f w z w

f z cz

f z cz→

∈ →+ = ⋅ ∈

− =

=

£ £ ££

( )( )

1

1

0

a) exp( ) exp( ) und exp( ) 0 für alle

b) exp( ) für komplexes . Dabei verwenden wir

Folgerunge

die Bezeic

n aus dem Additionst

hnung

1 1: exp

he

(1) l

orem

m!

E

i 1 .

:

r

n

n k

z z z z

r e r

en k

−

∞

→∞ =

− = ≠ ∈

=

⎛ ⎞= = + =⎜ ⎟⎝ ⎠∑

£

8.2 Die Exponentialfunktion für reelle Argumente

a) Für ist reell und >0.b) exp : wächst streng monoton.c) exp : ist bijektiv.

Satz:xx e

+

∈→→

°° °° °

Für jede (noch so grosse) natürliche Zahl gilt:

i) l

Satz vom Wachstu

im .

ii) li m

:

m li 0.

m

x

nx

nn x

x

nex

x eeξξ

ξ→∞

→−∞ →∞

=∞

= =

ist irratiSa

o .tz:

nale

8.3 Der natürliche Logarithmus+ Die Exponentialfunktion bildet bijektiv auf ab. Die dazugehörige Umkehrfunktion

ln :

heisst . Definitionsgemäß si ndnatürlicher Logarithmus+ →

° °° °

also und lnäquivalente Gleichungen.

yx e y x= =

1

2 0

Der natürliche Logarithmus hat die Eigenschaften(L ) ln( ) ln( ) ln( ) ( , )

ln(1 )(L ) lim 1

Satz:

.x

x y x y x yx

x

+

→

⋅ = + ∈+ =

°

Der natürliche Logarithmus wächst für schwächer als jede Wurzel;d.h., für jede natürliche Zahl gilt

ln( )

Satz vom Wachstum

lim 0.

:

nx

xn

xx→∞

→∞

=

8.4 Exponentialfunktion zu allgemeinen Basen. Allgemeine Potenz.

ln( )

1

ln2

Es sei : für , .

Die Funktion , heißt

De

. Sie hat folgende charakteristische Eigenschaften:

(E

fini

) für

tio

alle , ,

(E )

n

l

:

i

z z a

z

z w z w

a

Exponentialfunktion zurBas

a e a zz a z

a ais a

a z w

⋅+

+

= ∈ ∈

→ ∈

= ⋅ ∈

° ££

£1m ln( )

z

z

a az→∞

− =

+

Weitere Eigenschaften dieser Funktion:a) Sie ist stetig

wachsend a>1b) Sie ist auf streng monoton , falls ist.

fallend a<1c) Im Fall a 1 nimmt sie auf jeden Wert aus genau ein-

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

≠

°

° °mal an.

( )

( )

( )

( )

x

x 0

x

x 0

für 0, lim

0 für 0;

0 für 0,' lim

für 0;ln lim 0 für 0;

' lim ln 0 f

Wichtige Gren

ür 0.

zwerte:

a

a

a

a

aa x

aa

a xa

xb ax

b x x a

→∞

→

→∞

→

∞ >⎧= ⎨ <⎩

>⎧= ⎨∞ <⎩

= >

= >

( )Ist 0, so kann die Funktion nach ' stetig in den

Nullpunkt fortgesetzt werden; man definiert dahe

Definit

r: 0 : 0 für

ion

0.

:a

a

a x x a

a

> →

= >

8.5 Binomialreihen und Logarithmusreihe

( )

( )

0

1

1

Die Reihe

: , ( 1;1); .

heisst die Binomialreihe zum Parameter .

Die Reihe( 1): , ( 1

Definition

;1)

heisst die Logarithmusrei

e

.

n

e

:

h

ns

n

nn

n

sB x x x s

ns

L x x xn

∞

=

−∞

=

⎛ ⎞= ∈ − ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠

−= ∈ −

∑

∑

£

( )

( )

2 3

0

1 2 3 4 5

1

1

1

Für jedes und ( 1;1) gilt:

(1 ) 1 ...,2 3

( 1)ln(1 ) ... .2 3 4 5

Insbesondere ist( 1) 1 1 1 1ln(2) 1 ...,

2 3 4 5

l

Satz:

s ns

n

nn

n

k

k

s xs s s

x B x x sx x xn

x x x xx L x x xn

k

∞

=

−∞

=

−∞

=

∈ ∈ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠−+ = = = − + − + −

−= = − + − + −

∑

∑

∑

£

2 1 3 5 7

0

1n 2 2 ... .1- 2 1 3 5 7

n

n

x x x x xxx n

+∞

=

⎛ ⎞+⎛ ⎞ = = + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑

8.6 Definition der trigonometrischen Funktionen

Für beliebiges setzen wir

cos : , sin : .2 2

iz iz iz iz

ze e e ez z

i

− −

∈+ −= =

£

2 2

Für alle gilt:i) cos sin (Eulersche Formel)ii) cos sin 1.

iz

ze z i z

z z

∈= +

+ =

£

Additionstheoreme:Für alle , gilt:i) cos( ) cos cos sin sin ,ii) sin( ) sin cos cos sin .

z wz w z w z wz w z w z w

∈+ = −+ = +

£

Potenzreihendarstellungen:2 2 4 6

0

2 1 3 5 7

0

cos ( 1) 1 ...(2 )! 2! 4! 6!

sin ( 1) ...(2 1)! 3! 5! 7!

kk

k

kk

k

z z z zzkz z z zz zk

∞

=

+∞

=

= − = − + − +

= − = − + − ++

∑

∑

Tangens und Cotangens:

Außerhalb der Nullstellen des Cosinus bzw. Sinus definiert manweiter die Funktionen Tangens und Cotangens:

sin cos

Es gil

tan : , cot : .cos sin

tan tantan( ) .1 tan t

t:

an

z zz zz z

z wz wz w

= =

++ =−

8.7 Nullstellen und Periodizität.

2 2 4

3

Für (0;2] gilt:

i) 1 cos 1 ,2 2

Ei

24

ii) sin .6

Insbesondere ist sin 0 in (0;2].

nschließungslemma:

xx x xx

xx x x

x

∈

− < < − +

− < <

>

Folgerung:

Satz und Definition der Zahl :πDer Cosinus hat im Intervall [0;2] genau eine Nullstelle. Diese

bezeichnet man mit . Damit gilt2

cos 0 und sin 1.2 2

π

π π= =

Der Cosinus fällt in [0;2] streng monoton.

2

2

Für alle gilt:

i) ,ii) ,iii) .

iz z

z i z

z i z

z

e iee ee e

π

π

π

+

+

+

∈

== −=

£

Satz:

Korollar:

( ) ( )

( ) ( )

Für alle gilt:

cos sin , cos cos , cos 2 cos ,2

sin cos , sin sin , sin 2 sin .2

z

z z z z z z

z z z z z z

π π π

π π π

∈

⎛ ⎞+ = − + = − + =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞+ = + = − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

£

Satz:Der Cosinus hat auf genau die Nullstellen mit ;

2der Sinus genau die Nullstellen mit .

k k

k k

π π

π

+ ∈

∈

° ¢

¢

Folgerung 1:2 ist die kleinste positive Periode der Funktionen Cosinus und Sinus.π

Folgerung 2:Genau dann gilt 1, wenn ein ganzes Vielfaches von 2 istze z iπ=

Korollar:Cosinus und Sinus haben in nur die im letzten Satz angegebenenreellen Nullstellen.

£

8.9 Polatkoordinaten komplexer ZahlenS

.

Jede komplexe Zahl 0 besitzt eine Darstellung mit und ;

dabei ist bis auf die Addition einer ganzen Vielfach

atz

en von 2 bestimmt

:

i

zz re r zφ φ

φ π

≠= = ∈R;

( )( ) ( )

1

1 2 1 2

Die Abbildung: , : cos sin

ist surjektiv, und gilt genau dann, wenn sich und um ein ganzes vielfaches von 2 unterscheide

Korollar

n

:

.

ie S e e i

e e

φφ φ φφ φ φ φ

π

→ = = +

=

R

8.9 Polatkoordinaten komplexer Zahlen

2

k

Die Gleichung 1, n , besitzt genau die n Lösungen

2 2: cos sin , k=1,...,n.

Satz:n

ikn

z

e k i kn n

π π πζ

= ∈

= = +

N

1

Die Gleichung mit c hat eine Lösung. Mit e

Ko

iner Lösung sind ,..., ihre sämtlichen Lösun

rollar:

gen.

n

n

z cw w wς ς= ∈C

8.10 die Geometrie der Exponentialabbildung

Diese Bilder können wir vernünftig lesen.Das verdanken wir den Polarkoordinaten in undden Potenzreihen über !

CC

Eigenschaften des Hauptzweiges:

{ }1 2

r

11 2

2

1 2 1 2 1 2 1 2

1. , seien in der rechten Halbebene : : Re 0 .

Dann liegen und in , und es gilt

ln = ln + ln , ln ln ln

w wz z

ww ww

w w w w w w w w

−

= ∈ >

= −

£

g £

g

1

1 .

H :

Eigenschaften des Hauptzweiges:

( ) ( ) ( )1

1

2 1

0

2. Sei 1, so gilt 1 und es gilt

1ln 1 .

3. Für 1 gilt die Potenzreihendarstellung

1ln 2 .1 2 1

nn

n

n

n

w w

w w L wn

w

w ww n

−

−∞

=

+∞

=

< + ∈

−+ = =

<

+ =− +

∑

∑

£

Tangens und Arcustangens

2

2

1 1 1tan1

iz iz iz

iz iz iz

e e ezi e e i e

−

−

− −= ⋅ = ⋅+ +

( ) 3 52 1

0

1arctan

2 1 3 5

nn

n

w ww w wn

∞+

=

−= = − + −

+∑ L

( )0

1 1 1 11 .4 2 1 3 5 7

k

k kπ ∞

=

−= = − + − ±

+∑ L

wegen arctan1 4 gilt:π=

8.12 Die hyperbolischen Funktionen

( ) ( )In vielen Anwendungen kommt die Exponentialfunktion

1 1in den Kombinationen und vor.2 2

Man definiert:

z z z ze e e e− −+ −

( )cosh : ,2

z ze ez (Cosinus hyperbolicus)

.

−+=

( ) ( )( )

coshcoth : .

sinhz

z (Cotangens hyperbolicus)z

=

( )sinh : ,2

z ze ez (Sinus hyperbolicus)−−=

( ) ( )( )

sinhtanh : ,

coshz

z (Tangens hyperbolicus)z

=

Es gilt:

Additionstheoreme:

2 2gilt im FaSpe ll : cosh sinhe 1zi ll w z z z= − − =

Potenzreihendarstel

lung

en:

1cosh cos , sin h sin .z iz z izi

= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )cosh cosh cosh sinh sinh ,

z w z w z w+ = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sinh sinh cosh cosh sinh .z w z w z w+ = +

( ) ( )2

0cosh ,

2 !

k

k

zzk

∞

=

=∑

( ) ( )2 1

0 sinh .

2 1 !

k

k

zzk

+∞

=

=+∑

Die Beschränkung auf reelle Argumente:

a) cosh wächst streng monoton auf 0,∞⎡⎣ );b) sinh wächst streng monoton auf !;c) tanh wächst streng monoton auf !.