WS 2014/15 1

§8 Strömende Flüssigkeiten und Gase

Newtonsche Bewegungsgleichung für ein Massenelement ∆m = r ∆V

€

rF (

r r ) =

r F p +

r F g +

r F R = Δm d2r

r /dt 2 = ρ (r r ) ΔV d

r u (

r r ) /dt

Gleiche Physik für beide Phasen aber rfl >> rg, kfl << kg

-grad p∆V rg∆V

spannt ein zeitabhängiges Vektorfeld (Strömungsfeld) auf

€

ru (

r r , t)

Analytische Lösungen nur für besondere Fälle, numerische Lösungen oft aufwändig

Hängt nicht von t ab, nennt man die Strömung stationär und die Ortskurve eines Volumenelements folgt der Strömungslinie

€

ru (

r r )

€

rr (t)

€

ru (

r r )

2

Bei laminarer Strömung bleibt die Nachbarschaft von Stromfäden erhalten!

Bei idealen Flüssigkeiten ist die Reibung vernachlässigbar, bei zähen dominiert sie

3

=> Auch in stationären Strömungen kann sich die Geschwindigkeit z.B. durch Querschnittsreduktion ändern!

Euler Gleichung für ideale Flüssigkeiten

€

ru + d

r u =

r u (

r r +

r u dt, t + dt)Dort hat es die Geschwindigkeit

Im Strömungsfeld hat ein Volumenelement nach dt den Weg zurückgelegt und ist an den Ort gelangt.

€

ru (

r r , t)

€

dr r =

r u dt

€

rr +

r u dt

Die Beschleunigung eines Volumenelements hat zwei Beiträge:

Zeitliche Änderung der Geschwindigkeit am selben Ort

€

∂ ru /∂t

Andere Geschwindigkeit am neuen Ort

€

∂ ru /∂

r r ⋅∂

r r /∂t

€

dux

dt=

∂ux

∂t+

∂ux

∂x

dx

dt+

∂ux

∂y

dy

dt+

∂ux

∂z

dz

dt=> In Komponentenschreibweise:

ux uy uz

€

dui

dt=

∂ui

∂t+

∂ui

∂rkk

∑ uk

dito für y und z

Gaub

Euler Gleichung für ideale Flüssigkeiten

Bei idealen Flüssigkeiten Reibung Vernachlässigbar => Eulergleichung

€

dr u

dt=

∂r u

∂t+(

r u • ∇)

r u = g −

1

ρgrad p

€

+ η ∇2 r u

Navier-Stokes Gleichung

für stationäre Strömungen= 0

Konvektionsbeschleunigung

€

∇ r

u =

∂ux

∂x

∂ux

∂y

∂ux

∂z

∂uy

∂x

∂uy

∂y

∂uy

∂z

∂uz

∂x

∂uz

∂y

∂uz

∂z

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

€

dr u

dt=

∂r u

∂t+(

r u • ∇)

r u mit

Gaub 4WS 2014/15

Kontinuitätsgleichung

Def: Massenflussdichte

€

rj = ρ

r u

=> ux1 / ux2 = A2 / A1

Durch ein Rohr mit sich änderndem Querschnitt fliest die Masse

dM / dt = r A1 ux1 = r A2 ux2 = const

€

= r

j dr S

S

∫

€

−∂∂t

ρ dVV

∫ = −∂ρ

∂tdV

V

∫

€

= div(ρr u )dV

V

∫

€

M = ρ dVV

∫In V sei die Masse

€

−∂M

∂t= ρ

r u d

r S

S

∫

Sie ändert sich durch den Fluss durch die Oberfläche S

€

ρ ru d

r S = div(ρ

r u ) dV

V

∫S

∫ Gauss(Bronstein

)

€

=>∂ρ∂t

+ div(ρr u ) = 0

€

div(r b ) =

r ∇r b =

dbx

dx+

dby

dy+

dbz

dz

6

Bernoulli-Gleichung

Unter Druck wird Gas oder Flüssigkeit durch ein Rohr getrieben. Verjüngt sich der Querschnitt muss das Medium beschleunigt werden

Um ∆V1 = A1 x1 gegen p1 zu bewegen benötigte Arbeit:

∆W1 = F1 ∆x1 = p1 A1 ∆x1 = p1 ∆V1

∆W2 = p2 A2 ∆x2 = p2 ∆V2

dito für den dünnen Teil: Die geleistete Arbeit erhöht die potentielle Energie des Systems!

Bei idealen Flüssigkeiten (reibungsfrei!) bleibt die Gesamtenergie konstant!

p1 ∆V1 + ½ r u12 ∆V1 = p2 ∆V2 + ½ r u2

2 ∆V2 da ∆V1 = ∆V2 = ∆V

=> p1 + ½ r u12

= p2 + ½ r u22 => p + ½ r u2

= p0 = const

Staudruck Gesamtdruck(bei u = 0)

StatischerDruck

Bernoulli-Gleichung

Gaub

Bernoulli-Gleichung

Gaub

8

Bernoulli-Gleichung

Gaub

Laminare Strömung

Strömung, welche durch innere Reibung bestimmt wirdBsp.: Blut in den Adern Wasserleitungen

Experiment:

F,vz

xd€

=>FR = −η ⋅A ⋅duz

dx

= Viskosität = dynamische Zähigkeit

€

η ~ e−E0 /kBT

thermisch aktivierte Hüpfprozesse

€

σ =F

A=η ⋅

duz

dxViskose Schubspannung

Viskose Reibung

Gaub 9WS 2014/15

Abschätzung der Randschichtdicke im unendlich ausgedehnten Medium

D

uLA 0⋅⋅⋅η≈

€

ρ2

2 u02 − u0 ⋅

x

D

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟2 ⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

0

D

∫ ⋅A ⋅dx ≈ 203

1uDA ⋅⋅⋅ρ

€

=>Ekin =1

2u2 ⋅dm

−∞

+∞

∫ ≈

Die Arbeit WR wird teilweise dissipiert

Rkin WE <

€

D <3ηL

ρ ⋅u0

z

x

L

F,u0

D

u(x)

Platte der Fläche A wird um ihre Länge L in viskoser Flüssigkeit verschoben

x

uLALFW RR d

d⋅⋅⋅η=⋅−=

Dazu benötigte Arbeit:

xAm dd ⋅⋅ρ=Dabei mitgeführte Flüssigkeit:

Gaub 10

11

Beliebige Strömung in z-Richtung mit 0=∂∂=

∂∂

zu

yu zz

z

xx0

dV = dx dy dz

dx

uz (x0)

...d)( 0 +⋅∂∂+= x

xu

xu zzuz(x0+dx)

Taylor-Entwicklung linearisiert

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∂∂

−∂∂

⋅⋅η=+ 00 d

ddx

z

xx

z

x

u

x

uzy

€

ΔFR =η ⋅dy ⋅dz∂uz

∂x x0

+∂2uz

∂x2 ⋅dx −∂uz

∂x x0

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪

€

=η⋅dx ⋅dy ⋅dz ⋅∂2uz

∂x2

2

2

dx

uV z

∂∂⋅⋅η=

Allgemein:

€

dFR( )z=η ⋅dV ⋅

∂2uz

∂x2+

∂2uz

∂y2+

∂2uz

∂z2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

2

2

2

2

2

zyx ∂∂+

∂∂+

∂∂=ΔLaplace-

Operator:

uz (x0+dx)

uz (x0-dx)

€

=>ΔFR = dFR(x0 + dx) − dFR (x0 )

€

=>v F R =η ⋅ Δ ⋅

v u ⋅dV∫

zuV ⋅Δ⋅⋅η= d

WS 2014/15 12

Bsp.: Laminare Strömung zwischen zwei Platten

+d-d x

z

z1

z1+dz

p(z+dz)

p(z)

dz

dxdy

Druckdifferenz treibt Fluss:

p = p(z)

0d

d

d

d ==yp

xp

Druckkräfte:

( )zzpyxzzF ddd)d(d 11 +⋅⋅=+( )11 dd)(d zpyxzF ⋅⋅=

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅= z

z

pzpyx d

d

ddd 1

zz

pyxzF d

d

ddd)(d 1 ⋅⋅⋅−=

z

pV

d

dd ⋅−=

Gaub

Reibungskraft = Druckkraft

Vz

pVu d

d

dd ⋅−=⋅⋅Δ⋅η

z

p

x

u

d

d1

d

d2

2

η−=

1d

d

d

dC

z

px

x

u +η

−=

21

2

d

d

2CxC

z

pxu +⋅+

η−=

Randbedingungen des Experiments:

Symmetrie

0d

d

0

==xx

u

keine Strömung an den Plattenrändern

€

u(x) = 12η

dpdz

d2 −x2( )

z

pdC

d

d

2

2

2 η=0)()( =−= dudu

Gleichgewicht:

Gaub 13WS 2014/15

Bsp.: Laminare Ströhmung durch ein Rohr

analog zu vorherigem Beispiel:

r

r + dr

dA

)(dd

dd

d

druA

t

zA

t

V ⋅=⋅=

durch Hohlzylinder mit dem Innenradius r und der Dicke dr fließt pro Zeiteinheit:

)(2d

drudrr

t

V ⋅⋅π=

∫=

⋅⋅π=R

r

rrurt

V

0

d)(2Fluß durch gesamten Zylinder:

€

r2π ⋅Δp =η ⋅2rπ ⋅Ldu

dr

CrrL

pru

R

r

+⋅⋅ηΔ

=∫ 'd'2

)(

mit u(R) = 0

€

u(r) = Δp4ηL

R2 −r2( )

L

Kraft auf Zylinder = Viskose Reibung

Gaub 14WS 2014/15

( )∫=

⋅−⋅⋅Δ⋅=R

r

rrRrL

p

t

V

0

22 d4

2

η

π

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−⋅⋅Δ⋅= ∫∫

==

R

r

R

r

rrrrRL

p

0

3

0

2 dd2η

π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

ηΔ⋅π= 422

4

1

2

1

2RRR

L

p

z

pR

∂∂⋅

η⋅π=8

4p

L

RI

t

V Δ⋅η⋅π==8

4

Hagen-Poiseuille-Gesetz

Viskose Reibung einer Kugel :(Herleitung Oseen)

€

FR = −6πηRKu0 1+3ρRKu0

8η

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Stokessches Gesetz

Experiment Kugellfall =>

€

η=2

9g

RK2

u0

ρ K − ρ Fl( )

Gaub 15WS 2014/15

Wichtig für Ähnlichkeitstransformation. Modell halber Grösse verhält sich in Medium halber Viskosität gleich

€

Re =ρ ⋅U ⋅L

η

€

=< 2 ⋅Ekin >

<WRe ibung >

typischin Wasser:

€

L <1

10mm

Life Sciences: Innerhalb von Zellen immer laminar

Problem Micro Fluidics:

Durchmischung nur durch Diffusion möglich

x0

1000Re ≥ Turbulenz

laminare Strömung

~ 1 μm/sec

€

=>τ ≅x2

D

€

< x >=< x0 > ⋅ N

http://www.vidoemo.com/yvideo.php?i=UTZWUE1ScWuRpZkRvb2M&translume-flow-sheath

Dimensionslose Zahl bestimmt Einsetzen der Turbulenz

Mittlere Geschwindigkeit

Charakteristische Länge

Gaub WS 2014/15

17

Life at Low Reynolds Numbers:

”Swimming in molasses, walking in a hurricane“Dean Astumian

Pth ≈thermal relaxation time

kBT

≈ 10-11 W10-10 s

4*10-21 J ≈

Pmech ≈ 10-12-10-17 W!

Compare to power of motors:

R =

d v

R = 10-5 => No turbulences!

Thermal noise power:Reynolds number:

≈10-6 m * 10-5 m/s * 103 kg/m3

10-3 kg/ms

e.g. bacterium

See Astumian & Hänggi, Physics Today Nov. 2002, 33-39

See Joe Howard et al. MPI Dresden Manfred Schliwa et al. LMU

Melanocyte

Intracellular Traffic over Long Distances

Axon

Gaub 18WS 2014/15