50

3 Lagrange-Formalismus31 Hamiltonsches Prinzip

Die Lagrange-Funktion L eines mechanischen Systems ist definiert als Differenz der kinetischen Energie T und der potenziellen Energie U

L = T ndash UDas Wirkungsfunktional S[q]

ordnet jeder Bahnkurve q(t) einen Wert S zu Die tatsaumlchliche Bahnkurve ergibt sich aus dem Hamiltonschen Prinzip (Prinzip der kleinsten Wirkung)

Jede Bewegung eines mechanischen Systems verlaumluft derart dass die Wirkung stationaumlr ist

S = S [q ]=intt 1

t 2

dt Lq q t

S [q ]= 0

Sir William Rowan Hamilton4 August 1805 Dublin dagger 2 September 1865 bei Dunsink

Die mathematische Loumlsung dieses Problems ist uns bereits bekannt

51

32 Lagrange-Gleichungen 2 Art

Mit der Korrespondenz

entsprechen die Euler-Lagrange-Gleichungen der Variationsrechnung den gesuchten Loumlsungen

In der Mechanik heiszligen diese Gleichungen Lagrange-Gleichungen 2 Art Fuumlr mehrere Freiheitsgrade f muumlssen wir die verallgemeinerten Koordinaten qi nehmen die Lagrange-Gleichungen 2 Art lauten

Fuumlr komplizierte Systeme ist die Aufstellung der Lagrange-Funktion einfacher als die Aufstellung der Bewegungsgleichungen nach Newton da die Lagrange-Funktion eine einzige skalare Groumlszlige ist

y x hArr q t und F y y x Lq q t

ddt

part Lpart q

=part Lpartq

ddt

part Lpart qi

=part Lpartqi

i=1 f

Joseph Louis Lagrange 25 Januar 1736 in Turin dagger 10 April 1813 in Paris

52

Die Lagrange-Funktion ist eine mathematische Hilfsfunktion die keiner direkt messbaren physikalischen Groumlszlige entspricht

Im Allgemeinen ist sie eine sehr einfache Funktion der verallgemeinerten Koordinaten

Die allgemeine Loumlsung dieser f Differenzialgleichungen 2 Ordnung benoumltigt 2f Integrationskonstanten die durch die Anfangsbedingungen des physikalischen Problems bestimmt werden

ddt

part Lpart qi

=part Lpartqi

i=1 f

Zyklische KoordinateFalls eine verallgemeinerte Koordinate qk nicht explizit in der Lagrange-Gleichung vorkommt

nennt man diese Koordinate zyklisch Aus den Lagrange-Gleichungen folgt die Erhaltung des zugehoumlrigen verallgemeinerten Impulses pk

part Lpartqk

= 0

ddt

part Lpart qk

=ddt

pk =part Lpartqk

= 0

53

Die Loumlsung konkreter Probleme erfordert

1 Wahl der verallgemeinerten Koordinaten q = q1 qf und Angabe der

Transformation zu kartesischen Koordinaten xi=x

i(qt)

2 Bestimmung der Lagrange-Funktion

3 Aufstellen der Bewegungsgleichungen (Lagrange-Gleichungen 2 Art)

4 Bestimmung von Erhaltungsgroumlszligen

5 Loumlsung der Bewegungsgleichungen (unter Verwendung der Erhaltungsgroumlszligen)

6 Bestimmung der Integrationskonstanten

7 Diskussion der Loumlsung

Lq q t

54

1 Die Weglaumlnge kann als verallgemeinerte Koordinate gewaumlhlt werden x = x(s) = s cos α y = 0 z = z(s) = s sin α

2 Das System besitzt einen Freiheitsgrad Die kinetische Energie ergibt sich als

und die potenzielle Energie ist U = m g z = m g s sin α Die Lagrangefunktion lautet

Die Lagrangegleichung 2 Art lautet (q = s)

s= x2z2

T =m2

x2 y2 z2=m2

s cos2 s sin2 = m2

s2

L= TminusU =m2

s2minus mg ssin

33 Einfache Anwendungen

A) schiefe Ebene reibungsfrei

x

z

mgα

s

55

3 Bewegungsgleichung

45 Loumlsung durch Integration

Energieerhaltung

ddt

part Lpart s

=part Lpart s

ddt

m s =minusmg sin

m s=minusmg sin

s t =minusg2

t 2sin v0 t s0

E = TU =m2

s t 2mg s t sin =m2v02mg z0=const

56

B) Pendel mit fester Laumlnge l

Nebenbedingungeny = 0l2 = x2 + z2

Das System hat einen Freiheitsgrad als verallgemeinerte Koordinate bietet sich der Winkel φ an

x= l sin z= l cos

T =m2

x2 y2 z2=m2

l cos2 minusl sin2 =m2

l 22

U = minusmg z = minusm g l cos

ddt

part Lpart

=ddt

m l 2 =ml 2part Lpart

=minusmg l sin

=minusglsin

l

z

x0

Die potenzielle Energie muss beim bdquoRunterfallenldquo abnehmen

57

B) Pendel mit fester Laumlnge l

Nebenbedingungeny = 0l2 = x2 + z2

Das System hat einen Freiheitsgrad als verallgemeinerte Koordinate bietet sich der Winkel φ an

x= l sin z=minusl cos

T =m2

x2 y2 z2=m2

l cos2 l sin2 =m2

l 22

U = mg z = minusmg l cos

ddt

part Lpart

=ddt

m l 2 =ml 2part Lpart

=minusmg l sin

=minusglsin

l

z

x0

z-Achse nach oben

58

Diese Differenzialgleichung ist nur formal loumlsbar mit Hilfe von elliptischen IntegralenDas elliptische Integral erster Gattung in der Legendreschen Normalform lautet

F k = int0

d

1minusk2sin2

Die Loumlsung fuumlr das Pendel ist gegeben durch F(kφ)=ωt Die Schwingungsdauer des Pendels ist abhaumlngig von der Amplitude des Pendels

Drei verschiedene Anfangsauslenkungen π2-02 π2 und π2+02

59

Fuumlr kleine Winkel asymp sin

gl= 0

t = sin t = -2 sin t

Loumlsung falls -2gl

= 0 = gl

=2T

T=2 lg

C) ungedaumlmpfter harmonischer Oszillator (Federkraftschwinger)

Nebenbedingungen y = 0 z = 01 Freiheitsgrad

Eine verallgemeinerte Koordinate q = xDie ruumlcktreibende Kraft ist nach dem Hookschen Gesetz proportional zur Auslen-kung aus der Ruhelage

F = - k xDie Kraft besitzt ein Potenzial F = - grad U

U = +k2

x2

xk

m

Fuumlr kleine Auslenkung ist das Pendel isochron T ist unabhaumlngig von der Amplitude

60

Die Lagrangefunktion lautet L= T minusU =m2

x2minusk2

x2

ddt

part Lpart x

=ddt

m x=m x

part Lpart x

=minusk x m x kx= 0

Die allgemeine Loumlsung dieser DGL lautet

Mit Hilfe der Additionstheoreme fuumlr Winkelfunktionen laumlsst sich die Loumlsung auch schreiben als

C = Amplitude der Schwingung ω0 = Kreisfrequenz der Schwingungγ = Phasenverschiebung

v0 = Frequenz T = Periodendauer

x t = 1ei0t 2e

minusi0 t = Acos0 t B sin0 t mit 0= km

x t =C cos0 t

0= 2v0=2T

= km

61

34 Reibung

Eine realistische Beschreibung mechanischer Probleme erfordert die Beruumlcksichtigung von Reibung Reibungskraumlfte sind meist proportional zur Geschwindigkeit In kartesischen Koordinaten lassen sich Reibungskraumlfte durch folgenden Ansatz beschreiben

F diss i = minus x i

Diesen Kraumlften kann kein Potenzial zugeordnet werdenWir definieren die Rayleighsche Dissipationsfunktion D als

D x = sumi=1

3N i2x i2 D q q t = sum

i=1

3N i2

[ x i q q t ]2

Durch die modifizierten Lagrangegleichungen kann die Reibung beruumlcksichtigt werden

ddt

part Lpart qi

minuspart Lpartqi

part Dpart qi

= 0 i=1 f

Die von einem Teilchen abgegebene Leistung ist ndash Fdiss

v Fuumlr die Reibungskraft mit obiger Form erhalten wir γv2 Damit entspricht die Rayleighsche Dissipationsfunktion der halben vom System an die Reibung abgegebenen Leistung

John William Strutt seit 1873 3 Lord Rayleigh 12 11 1842 in Langford Grove Meldon England dagger 30 Juni 1919 Terlins Place bei Witham EnglandNobelpreis Physik 1904

62

1 Man fuumlhre geeignete generalisierte Koordinaten ein die die Nebenbedingungen automatisch erfuumlllen und der Symmetrie des Problems angepasst sind Die Nebenbedingung (Kegelgleichung) lautet

2minus z2 tan2 = x2 y2minus z 2 tan 2 = 0

z

g

αx

Sie ist befriedigt wenn wir als generalisierte Koordinaten den Abstand r vom Nullpunkt und den Winkel φ (Drehung um die z-Achse) entsprechend

einfuumlhren also Kugelkoordinaten mit benutzen

x = r sin cos y = r sinsin z = r cos

ϱ

r Massenpunkt der sich im Schwerefeld reibungsfrei auf einem Kegel bewegt

= = const

35 kompliziertere Beispiele351 Massenpunkt auf einem Kreiskegel

63

2 Man schreibt kinetische Energie T potenzielle Energie U und Lagrange-Funktion L als Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten auf

T =m2

x2 y2 z2 =m2

r 2 r22sin2

U = mg z = mg r cos

L =m2

r 2 r 22sin2 minus mg r cos

3 Man schreibe die Lagrange-Gleichungen 2 Art auf und formuliere die Erhaltungssaumltze

dd t

part Lpart r

minuspart Lpart r

= mr minus mr 2sin2 mg cos = 0

dd t

part Lpart

minuspart Lpart

=dd t

mr 2sin2 = 0

L haumlngt nicht explizite von φ ab Die entsprechende Erhaltungsgroumlszlige ist die z-Komponente des Drehimpulses da dieses Problem gegenuumlber Drehungen um die z-Achse invariant ist

mr2 sin2 =l z

64

Die Lagrange-Funktion haumlngt nicht explizit von der Zeit ab so dass der Energie-erhaltungssatz gilt

T U =m2

r2 r22sin2 mg r cos = E

4 Man loumlse die Lagrange-Gleichungen 2 Art unter Ausnutzung der Erhaltungssaumltze Jede Erhaltungsgroumlszlige stellt ein erstes Integral der Bewegungsgleichungen dar spartalso eine Integration (DGL 1 Ordnung) Damit kann also eine der Bewegungsgleichungen (DGL 2 Ordnung) ersetzt werdenElimination von im Energiesatz mit Hilfe des Drehimpulssatzes gibt

E =m2

r2l z2

2mr2sin2 mg r cos = const

Diese Gleichung entspricht der des Problems der eindimensionalen Bewegung eines Massenpunktes im Ersatzpotential

U eff r =l z2

2mr2sin2 mg r cos

=l z

mr2sin2

65

Da wir die Bewegungsgleichung nicht analytisch loumlsen koumlnnen beschraumlnken wir uns auf eine anschauliche Diskussion des Energiesatzes

E

U eff r

r1 r2

r

mg r cos

Ersatzpotential des Massen-punktes auf einem Kegel

Ist der Drehimpuls Null rollt der Massenpunkt mit der Beschleunigung g cos α in die Spitze hinein Ist ein Drehimpuls vorhanden dann zeigt die Abbildung dass die Bewegung staumlndig zwischen zwei festen Werten r1 und r2 hin und her geht der Massenpunkt rollt in auf- und absteigenden Spiralen zwischen den Kreisen der Houmlhe z1 = r1 cos α und z2 = r2 cos α mit gleich bleibendem Umlaufsinn auf dem Kegelmantel er kann (ohne Reibung) die Kegelspitze niemals erreichen

l z = = 0

66

352 Doppelpendel

g

x

y

φ1

φ2

l1

l2

m1

m2

Als verallgemeinerte Koordinaten waumlhlen wir die beiden Winkel φ1 und φ

2

x1 = l1sin1 x2 = l1 sin1l2sin2

y1 = minusl1cos1 y2 = minusl1cos1minusl2 cos2

z1 = 0 z2 = 0

67

Daraus folgt die kinetische Energie

T =m1

2 x12 y1

2 z12

m2

2 x22 y2

2 z22

=m1

2l121

2m2

2[ l121

2 l 222

2 2 l1 l 2cos1minus212 ]

L =m1m2

2l 121

2m2

2l 222

2 m2 l1 l 212cos1minus2

m1m2 g l 1cos1 m2 g l 2cos2

Zusammen mit der potentiellen Energie erhalten wir L=T-UU = m1 g y1 m2 g y2

ddt

part Lpart1

=part Lpart1

ddt

part Lpart2

=part Lpart2

Lagrangegleichungen 2 Art aufstellen

68

m1 m2 l121 m2 l 1 l 2 2 cos 1minus2 minus 2 1minus 2 sin 1minus2

= minus m2 l1 l 2 1 2 sin 1minus2 minus m1 m2 g l1 sin1

m2 l 222 m2 l 1 l 2 1 cos1minus 2 minus 1 1minus 2 sin 1minus2

= m2 l 1 l 2 1 2 sin 1minus 2 minus m2 g l 2 sin2

Das Doppelpendel kann auch mit dem Newtonschen Kraftgesetz behandelt werden Es waumlre aber sehr schwierig die verschiedenen Kopplungsterme im Rahmen der Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen

Daraus erhalten wir die Bewegungsgleichungen

Fuumlr kleine Schwingungen gilt und Auch sonst lassen wir alle in φi quadratischen (oder houmlheren) Terme weg

sin 1minus2 asymp 1minus2 cos1minus2 asymp 1

m1m2 l11 m2 l 22 m1m2g1 = 0m2 l 2 2 m2 l11 m2 g2 = 0

69

Der Ansatz

fuumlhrt zu

m1 m2g minus l 1 2 minusm2 l2

2

minusm2 l1 2 m2 g minus l 2

2 a1a2 = 0

m1m2gminusl12gminusl 2

2 minus m2 l 1 l2

4= 0

plusmn

2 =g2

m1 m2

m1

l 1 l 2l1 l 2 1plusmn 1minus 4

m1

m1 m2

l1 l 2

l 1 l 2 2

Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Loumlsung wenn die Determinante verschwindet Diese Bedingung

ist eine quadratische Gleichung fuumlr ω2 Sie hat die Loumlsungen ω+2 und ω-

2

1t 2t = a1a2 e

i t

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

51

32 Lagrange-Gleichungen 2 Art

Mit der Korrespondenz

entsprechen die Euler-Lagrange-Gleichungen der Variationsrechnung den gesuchten Loumlsungen

In der Mechanik heiszligen diese Gleichungen Lagrange-Gleichungen 2 Art Fuumlr mehrere Freiheitsgrade f muumlssen wir die verallgemeinerten Koordinaten qi nehmen die Lagrange-Gleichungen 2 Art lauten

Fuumlr komplizierte Systeme ist die Aufstellung der Lagrange-Funktion einfacher als die Aufstellung der Bewegungsgleichungen nach Newton da die Lagrange-Funktion eine einzige skalare Groumlszlige ist

y x hArr q t und F y y x Lq q t

ddt

part Lpart q

=part Lpartq

ddt

part Lpart qi

=part Lpartqi

i=1 f

Joseph Louis Lagrange 25 Januar 1736 in Turin dagger 10 April 1813 in Paris

52

Die Lagrange-Funktion ist eine mathematische Hilfsfunktion die keiner direkt messbaren physikalischen Groumlszlige entspricht

Im Allgemeinen ist sie eine sehr einfache Funktion der verallgemeinerten Koordinaten

Die allgemeine Loumlsung dieser f Differenzialgleichungen 2 Ordnung benoumltigt 2f Integrationskonstanten die durch die Anfangsbedingungen des physikalischen Problems bestimmt werden

ddt

part Lpart qi

=part Lpartqi

i=1 f

Zyklische KoordinateFalls eine verallgemeinerte Koordinate qk nicht explizit in der Lagrange-Gleichung vorkommt

nennt man diese Koordinate zyklisch Aus den Lagrange-Gleichungen folgt die Erhaltung des zugehoumlrigen verallgemeinerten Impulses pk

part Lpartqk

= 0

ddt

part Lpart qk

=ddt

pk =part Lpartqk

= 0

53

Die Loumlsung konkreter Probleme erfordert

1 Wahl der verallgemeinerten Koordinaten q = q1 qf und Angabe der

Transformation zu kartesischen Koordinaten xi=x

i(qt)

2 Bestimmung der Lagrange-Funktion

3 Aufstellen der Bewegungsgleichungen (Lagrange-Gleichungen 2 Art)

4 Bestimmung von Erhaltungsgroumlszligen

5 Loumlsung der Bewegungsgleichungen (unter Verwendung der Erhaltungsgroumlszligen)

6 Bestimmung der Integrationskonstanten

7 Diskussion der Loumlsung

Lq q t

54

1 Die Weglaumlnge kann als verallgemeinerte Koordinate gewaumlhlt werden x = x(s) = s cos α y = 0 z = z(s) = s sin α

2 Das System besitzt einen Freiheitsgrad Die kinetische Energie ergibt sich als

und die potenzielle Energie ist U = m g z = m g s sin α Die Lagrangefunktion lautet

Die Lagrangegleichung 2 Art lautet (q = s)

s= x2z2

T =m2

x2 y2 z2=m2

s cos2 s sin2 = m2

s2

L= TminusU =m2

s2minus mg ssin

33 Einfache Anwendungen

A) schiefe Ebene reibungsfrei

x

z

mgα

s

55

3 Bewegungsgleichung

45 Loumlsung durch Integration

Energieerhaltung

ddt

part Lpart s

=part Lpart s

ddt

m s =minusmg sin

m s=minusmg sin

s t =minusg2

t 2sin v0 t s0

E = TU =m2

s t 2mg s t sin =m2v02mg z0=const

56

B) Pendel mit fester Laumlnge l

Nebenbedingungeny = 0l2 = x2 + z2

Das System hat einen Freiheitsgrad als verallgemeinerte Koordinate bietet sich der Winkel φ an

x= l sin z= l cos

T =m2

x2 y2 z2=m2

l cos2 minusl sin2 =m2

l 22

U = minusmg z = minusm g l cos

ddt

part Lpart

=ddt

m l 2 =ml 2part Lpart

=minusmg l sin

=minusglsin

l

z

x0

Die potenzielle Energie muss beim bdquoRunterfallenldquo abnehmen

57

B) Pendel mit fester Laumlnge l

Nebenbedingungeny = 0l2 = x2 + z2

Das System hat einen Freiheitsgrad als verallgemeinerte Koordinate bietet sich der Winkel φ an

x= l sin z=minusl cos

T =m2

x2 y2 z2=m2

l cos2 l sin2 =m2

l 22

U = mg z = minusmg l cos

ddt

part Lpart

=ddt

m l 2 =ml 2part Lpart

=minusmg l sin

=minusglsin

l

z

x0

z-Achse nach oben

58

Diese Differenzialgleichung ist nur formal loumlsbar mit Hilfe von elliptischen IntegralenDas elliptische Integral erster Gattung in der Legendreschen Normalform lautet

F k = int0

d

1minusk2sin2

Die Loumlsung fuumlr das Pendel ist gegeben durch F(kφ)=ωt Die Schwingungsdauer des Pendels ist abhaumlngig von der Amplitude des Pendels

Drei verschiedene Anfangsauslenkungen π2-02 π2 und π2+02

59

Fuumlr kleine Winkel asymp sin

gl= 0

t = sin t = -2 sin t

Loumlsung falls -2gl

= 0 = gl

=2T

T=2 lg

C) ungedaumlmpfter harmonischer Oszillator (Federkraftschwinger)

Nebenbedingungen y = 0 z = 01 Freiheitsgrad

Eine verallgemeinerte Koordinate q = xDie ruumlcktreibende Kraft ist nach dem Hookschen Gesetz proportional zur Auslen-kung aus der Ruhelage

F = - k xDie Kraft besitzt ein Potenzial F = - grad U

U = +k2

x2

xk

m

Fuumlr kleine Auslenkung ist das Pendel isochron T ist unabhaumlngig von der Amplitude

60

Die Lagrangefunktion lautet L= T minusU =m2

x2minusk2

x2

ddt

part Lpart x

=ddt

m x=m x

part Lpart x

=minusk x m x kx= 0

Die allgemeine Loumlsung dieser DGL lautet

Mit Hilfe der Additionstheoreme fuumlr Winkelfunktionen laumlsst sich die Loumlsung auch schreiben als

C = Amplitude der Schwingung ω0 = Kreisfrequenz der Schwingungγ = Phasenverschiebung

v0 = Frequenz T = Periodendauer

x t = 1ei0t 2e

minusi0 t = Acos0 t B sin0 t mit 0= km

x t =C cos0 t

0= 2v0=2T

= km

61

34 Reibung

Eine realistische Beschreibung mechanischer Probleme erfordert die Beruumlcksichtigung von Reibung Reibungskraumlfte sind meist proportional zur Geschwindigkeit In kartesischen Koordinaten lassen sich Reibungskraumlfte durch folgenden Ansatz beschreiben

F diss i = minus x i

Diesen Kraumlften kann kein Potenzial zugeordnet werdenWir definieren die Rayleighsche Dissipationsfunktion D als

D x = sumi=1

3N i2x i2 D q q t = sum

i=1

3N i2

[ x i q q t ]2

Durch die modifizierten Lagrangegleichungen kann die Reibung beruumlcksichtigt werden

ddt

part Lpart qi

minuspart Lpartqi

part Dpart qi

= 0 i=1 f

Die von einem Teilchen abgegebene Leistung ist ndash Fdiss

v Fuumlr die Reibungskraft mit obiger Form erhalten wir γv2 Damit entspricht die Rayleighsche Dissipationsfunktion der halben vom System an die Reibung abgegebenen Leistung

John William Strutt seit 1873 3 Lord Rayleigh 12 11 1842 in Langford Grove Meldon England dagger 30 Juni 1919 Terlins Place bei Witham EnglandNobelpreis Physik 1904

62

1 Man fuumlhre geeignete generalisierte Koordinaten ein die die Nebenbedingungen automatisch erfuumlllen und der Symmetrie des Problems angepasst sind Die Nebenbedingung (Kegelgleichung) lautet

2minus z2 tan2 = x2 y2minus z 2 tan 2 = 0

z

g

αx

Sie ist befriedigt wenn wir als generalisierte Koordinaten den Abstand r vom Nullpunkt und den Winkel φ (Drehung um die z-Achse) entsprechend

einfuumlhren also Kugelkoordinaten mit benutzen

x = r sin cos y = r sinsin z = r cos

ϱ

r Massenpunkt der sich im Schwerefeld reibungsfrei auf einem Kegel bewegt

= = const

35 kompliziertere Beispiele351 Massenpunkt auf einem Kreiskegel

63

2 Man schreibt kinetische Energie T potenzielle Energie U und Lagrange-Funktion L als Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten auf

T =m2

x2 y2 z2 =m2

r 2 r22sin2

U = mg z = mg r cos

L =m2

r 2 r 22sin2 minus mg r cos

3 Man schreibe die Lagrange-Gleichungen 2 Art auf und formuliere die Erhaltungssaumltze

dd t

part Lpart r

minuspart Lpart r

= mr minus mr 2sin2 mg cos = 0

dd t

part Lpart

minuspart Lpart

=dd t

mr 2sin2 = 0

L haumlngt nicht explizite von φ ab Die entsprechende Erhaltungsgroumlszlige ist die z-Komponente des Drehimpulses da dieses Problem gegenuumlber Drehungen um die z-Achse invariant ist

mr2 sin2 =l z

64

Die Lagrange-Funktion haumlngt nicht explizit von der Zeit ab so dass der Energie-erhaltungssatz gilt

T U =m2

r2 r22sin2 mg r cos = E

4 Man loumlse die Lagrange-Gleichungen 2 Art unter Ausnutzung der Erhaltungssaumltze Jede Erhaltungsgroumlszlige stellt ein erstes Integral der Bewegungsgleichungen dar spartalso eine Integration (DGL 1 Ordnung) Damit kann also eine der Bewegungsgleichungen (DGL 2 Ordnung) ersetzt werdenElimination von im Energiesatz mit Hilfe des Drehimpulssatzes gibt

E =m2

r2l z2

2mr2sin2 mg r cos = const

Diese Gleichung entspricht der des Problems der eindimensionalen Bewegung eines Massenpunktes im Ersatzpotential

U eff r =l z2

2mr2sin2 mg r cos

=l z

mr2sin2

65

Da wir die Bewegungsgleichung nicht analytisch loumlsen koumlnnen beschraumlnken wir uns auf eine anschauliche Diskussion des Energiesatzes

E

U eff r

r1 r2

r

mg r cos

Ersatzpotential des Massen-punktes auf einem Kegel

Ist der Drehimpuls Null rollt der Massenpunkt mit der Beschleunigung g cos α in die Spitze hinein Ist ein Drehimpuls vorhanden dann zeigt die Abbildung dass die Bewegung staumlndig zwischen zwei festen Werten r1 und r2 hin und her geht der Massenpunkt rollt in auf- und absteigenden Spiralen zwischen den Kreisen der Houmlhe z1 = r1 cos α und z2 = r2 cos α mit gleich bleibendem Umlaufsinn auf dem Kegelmantel er kann (ohne Reibung) die Kegelspitze niemals erreichen

l z = = 0

66

352 Doppelpendel

g

x

y

φ1

φ2

l1

l2

m1

m2

Als verallgemeinerte Koordinaten waumlhlen wir die beiden Winkel φ1 und φ

2

x1 = l1sin1 x2 = l1 sin1l2sin2

y1 = minusl1cos1 y2 = minusl1cos1minusl2 cos2

z1 = 0 z2 = 0

67

Daraus folgt die kinetische Energie

T =m1

2 x12 y1

2 z12

m2

2 x22 y2

2 z22

=m1

2l121

2m2

2[ l121

2 l 222

2 2 l1 l 2cos1minus212 ]

L =m1m2

2l 121

2m2

2l 222

2 m2 l1 l 212cos1minus2

m1m2 g l 1cos1 m2 g l 2cos2

Zusammen mit der potentiellen Energie erhalten wir L=T-UU = m1 g y1 m2 g y2

ddt

part Lpart1

=part Lpart1

ddt

part Lpart2

=part Lpart2

Lagrangegleichungen 2 Art aufstellen

68

m1 m2 l121 m2 l 1 l 2 2 cos 1minus2 minus 2 1minus 2 sin 1minus2

= minus m2 l1 l 2 1 2 sin 1minus2 minus m1 m2 g l1 sin1

m2 l 222 m2 l 1 l 2 1 cos1minus 2 minus 1 1minus 2 sin 1minus2

= m2 l 1 l 2 1 2 sin 1minus 2 minus m2 g l 2 sin2

Das Doppelpendel kann auch mit dem Newtonschen Kraftgesetz behandelt werden Es waumlre aber sehr schwierig die verschiedenen Kopplungsterme im Rahmen der Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen

Daraus erhalten wir die Bewegungsgleichungen

Fuumlr kleine Schwingungen gilt und Auch sonst lassen wir alle in φi quadratischen (oder houmlheren) Terme weg

sin 1minus2 asymp 1minus2 cos1minus2 asymp 1

m1m2 l11 m2 l 22 m1m2g1 = 0m2 l 2 2 m2 l11 m2 g2 = 0

69

Der Ansatz

fuumlhrt zu

m1 m2g minus l 1 2 minusm2 l2

2

minusm2 l1 2 m2 g minus l 2

2 a1a2 = 0

m1m2gminusl12gminusl 2

2 minus m2 l 1 l2

4= 0

plusmn

2 =g2

m1 m2

m1

l 1 l 2l1 l 2 1plusmn 1minus 4

m1

m1 m2

l1 l 2

l 1 l 2 2

Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Loumlsung wenn die Determinante verschwindet Diese Bedingung

ist eine quadratische Gleichung fuumlr ω2 Sie hat die Loumlsungen ω+2 und ω-

2

1t 2t = a1a2 e

i t

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

52

Die Lagrange-Funktion ist eine mathematische Hilfsfunktion die keiner direkt messbaren physikalischen Groumlszlige entspricht

Im Allgemeinen ist sie eine sehr einfache Funktion der verallgemeinerten Koordinaten

Die allgemeine Loumlsung dieser f Differenzialgleichungen 2 Ordnung benoumltigt 2f Integrationskonstanten die durch die Anfangsbedingungen des physikalischen Problems bestimmt werden

ddt

part Lpart qi

=part Lpartqi

i=1 f

Zyklische KoordinateFalls eine verallgemeinerte Koordinate qk nicht explizit in der Lagrange-Gleichung vorkommt

nennt man diese Koordinate zyklisch Aus den Lagrange-Gleichungen folgt die Erhaltung des zugehoumlrigen verallgemeinerten Impulses pk

part Lpartqk

= 0

ddt

part Lpart qk

=ddt

pk =part Lpartqk

= 0

53

Die Loumlsung konkreter Probleme erfordert

1 Wahl der verallgemeinerten Koordinaten q = q1 qf und Angabe der

Transformation zu kartesischen Koordinaten xi=x

i(qt)

2 Bestimmung der Lagrange-Funktion

3 Aufstellen der Bewegungsgleichungen (Lagrange-Gleichungen 2 Art)

4 Bestimmung von Erhaltungsgroumlszligen

5 Loumlsung der Bewegungsgleichungen (unter Verwendung der Erhaltungsgroumlszligen)

6 Bestimmung der Integrationskonstanten

7 Diskussion der Loumlsung

Lq q t

54

1 Die Weglaumlnge kann als verallgemeinerte Koordinate gewaumlhlt werden x = x(s) = s cos α y = 0 z = z(s) = s sin α

2 Das System besitzt einen Freiheitsgrad Die kinetische Energie ergibt sich als

und die potenzielle Energie ist U = m g z = m g s sin α Die Lagrangefunktion lautet

Die Lagrangegleichung 2 Art lautet (q = s)

s= x2z2

T =m2

x2 y2 z2=m2

s cos2 s sin2 = m2

s2

L= TminusU =m2

s2minus mg ssin

33 Einfache Anwendungen

A) schiefe Ebene reibungsfrei

x

z

mgα

s

55

3 Bewegungsgleichung

45 Loumlsung durch Integration

Energieerhaltung

ddt

part Lpart s

=part Lpart s

ddt

m s =minusmg sin

m s=minusmg sin

s t =minusg2

t 2sin v0 t s0

E = TU =m2

s t 2mg s t sin =m2v02mg z0=const

56

B) Pendel mit fester Laumlnge l

Nebenbedingungeny = 0l2 = x2 + z2

Das System hat einen Freiheitsgrad als verallgemeinerte Koordinate bietet sich der Winkel φ an

x= l sin z= l cos

T =m2

x2 y2 z2=m2

l cos2 minusl sin2 =m2

l 22

U = minusmg z = minusm g l cos

ddt

part Lpart

=ddt

m l 2 =ml 2part Lpart

=minusmg l sin

=minusglsin

l

z

x0

Die potenzielle Energie muss beim bdquoRunterfallenldquo abnehmen

57

B) Pendel mit fester Laumlnge l

Nebenbedingungeny = 0l2 = x2 + z2

Das System hat einen Freiheitsgrad als verallgemeinerte Koordinate bietet sich der Winkel φ an

x= l sin z=minusl cos

T =m2

x2 y2 z2=m2

l cos2 l sin2 =m2

l 22

U = mg z = minusmg l cos

ddt

part Lpart

=ddt

m l 2 =ml 2part Lpart

=minusmg l sin

=minusglsin

l

z

x0

z-Achse nach oben

58

Diese Differenzialgleichung ist nur formal loumlsbar mit Hilfe von elliptischen IntegralenDas elliptische Integral erster Gattung in der Legendreschen Normalform lautet

F k = int0

d

1minusk2sin2

Die Loumlsung fuumlr das Pendel ist gegeben durch F(kφ)=ωt Die Schwingungsdauer des Pendels ist abhaumlngig von der Amplitude des Pendels

Drei verschiedene Anfangsauslenkungen π2-02 π2 und π2+02

59

Fuumlr kleine Winkel asymp sin

gl= 0

t = sin t = -2 sin t

Loumlsung falls -2gl

= 0 = gl

=2T

T=2 lg

C) ungedaumlmpfter harmonischer Oszillator (Federkraftschwinger)

Nebenbedingungen y = 0 z = 01 Freiheitsgrad

Eine verallgemeinerte Koordinate q = xDie ruumlcktreibende Kraft ist nach dem Hookschen Gesetz proportional zur Auslen-kung aus der Ruhelage

F = - k xDie Kraft besitzt ein Potenzial F = - grad U

U = +k2

x2

xk

m

Fuumlr kleine Auslenkung ist das Pendel isochron T ist unabhaumlngig von der Amplitude

60

Die Lagrangefunktion lautet L= T minusU =m2

x2minusk2

x2

ddt

part Lpart x

=ddt

m x=m x

part Lpart x

=minusk x m x kx= 0

Die allgemeine Loumlsung dieser DGL lautet

Mit Hilfe der Additionstheoreme fuumlr Winkelfunktionen laumlsst sich die Loumlsung auch schreiben als

C = Amplitude der Schwingung ω0 = Kreisfrequenz der Schwingungγ = Phasenverschiebung

v0 = Frequenz T = Periodendauer

x t = 1ei0t 2e

minusi0 t = Acos0 t B sin0 t mit 0= km

x t =C cos0 t

0= 2v0=2T

= km

61

34 Reibung

Eine realistische Beschreibung mechanischer Probleme erfordert die Beruumlcksichtigung von Reibung Reibungskraumlfte sind meist proportional zur Geschwindigkeit In kartesischen Koordinaten lassen sich Reibungskraumlfte durch folgenden Ansatz beschreiben

F diss i = minus x i

Diesen Kraumlften kann kein Potenzial zugeordnet werdenWir definieren die Rayleighsche Dissipationsfunktion D als

D x = sumi=1

3N i2x i2 D q q t = sum

i=1

3N i2

[ x i q q t ]2

Durch die modifizierten Lagrangegleichungen kann die Reibung beruumlcksichtigt werden

ddt

part Lpart qi

minuspart Lpartqi

part Dpart qi

= 0 i=1 f

Die von einem Teilchen abgegebene Leistung ist ndash Fdiss

v Fuumlr die Reibungskraft mit obiger Form erhalten wir γv2 Damit entspricht die Rayleighsche Dissipationsfunktion der halben vom System an die Reibung abgegebenen Leistung

John William Strutt seit 1873 3 Lord Rayleigh 12 11 1842 in Langford Grove Meldon England dagger 30 Juni 1919 Terlins Place bei Witham EnglandNobelpreis Physik 1904

62

1 Man fuumlhre geeignete generalisierte Koordinaten ein die die Nebenbedingungen automatisch erfuumlllen und der Symmetrie des Problems angepasst sind Die Nebenbedingung (Kegelgleichung) lautet

2minus z2 tan2 = x2 y2minus z 2 tan 2 = 0

z

g

αx

Sie ist befriedigt wenn wir als generalisierte Koordinaten den Abstand r vom Nullpunkt und den Winkel φ (Drehung um die z-Achse) entsprechend

einfuumlhren also Kugelkoordinaten mit benutzen

x = r sin cos y = r sinsin z = r cos

ϱ

r Massenpunkt der sich im Schwerefeld reibungsfrei auf einem Kegel bewegt

= = const

35 kompliziertere Beispiele351 Massenpunkt auf einem Kreiskegel

63

2 Man schreibt kinetische Energie T potenzielle Energie U und Lagrange-Funktion L als Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten auf

T =m2

x2 y2 z2 =m2

r 2 r22sin2

U = mg z = mg r cos

L =m2

r 2 r 22sin2 minus mg r cos

3 Man schreibe die Lagrange-Gleichungen 2 Art auf und formuliere die Erhaltungssaumltze

dd t

part Lpart r

minuspart Lpart r

= mr minus mr 2sin2 mg cos = 0

dd t

part Lpart

minuspart Lpart

=dd t

mr 2sin2 = 0

L haumlngt nicht explizite von φ ab Die entsprechende Erhaltungsgroumlszlige ist die z-Komponente des Drehimpulses da dieses Problem gegenuumlber Drehungen um die z-Achse invariant ist

mr2 sin2 =l z

64

Die Lagrange-Funktion haumlngt nicht explizit von der Zeit ab so dass der Energie-erhaltungssatz gilt

T U =m2

r2 r22sin2 mg r cos = E

4 Man loumlse die Lagrange-Gleichungen 2 Art unter Ausnutzung der Erhaltungssaumltze Jede Erhaltungsgroumlszlige stellt ein erstes Integral der Bewegungsgleichungen dar spartalso eine Integration (DGL 1 Ordnung) Damit kann also eine der Bewegungsgleichungen (DGL 2 Ordnung) ersetzt werdenElimination von im Energiesatz mit Hilfe des Drehimpulssatzes gibt

E =m2

r2l z2

2mr2sin2 mg r cos = const

Diese Gleichung entspricht der des Problems der eindimensionalen Bewegung eines Massenpunktes im Ersatzpotential

U eff r =l z2

2mr2sin2 mg r cos

=l z

mr2sin2

65

Da wir die Bewegungsgleichung nicht analytisch loumlsen koumlnnen beschraumlnken wir uns auf eine anschauliche Diskussion des Energiesatzes

E

U eff r

r1 r2

r

mg r cos

Ersatzpotential des Massen-punktes auf einem Kegel

Ist der Drehimpuls Null rollt der Massenpunkt mit der Beschleunigung g cos α in die Spitze hinein Ist ein Drehimpuls vorhanden dann zeigt die Abbildung dass die Bewegung staumlndig zwischen zwei festen Werten r1 und r2 hin und her geht der Massenpunkt rollt in auf- und absteigenden Spiralen zwischen den Kreisen der Houmlhe z1 = r1 cos α und z2 = r2 cos α mit gleich bleibendem Umlaufsinn auf dem Kegelmantel er kann (ohne Reibung) die Kegelspitze niemals erreichen

l z = = 0

66

352 Doppelpendel

g

x

y

φ1

φ2

l1

l2

m1

m2

Als verallgemeinerte Koordinaten waumlhlen wir die beiden Winkel φ1 und φ

2

x1 = l1sin1 x2 = l1 sin1l2sin2

y1 = minusl1cos1 y2 = minusl1cos1minusl2 cos2

z1 = 0 z2 = 0

67

Daraus folgt die kinetische Energie

T =m1

2 x12 y1

2 z12

m2

2 x22 y2

2 z22

=m1

2l121

2m2

2[ l121

2 l 222

2 2 l1 l 2cos1minus212 ]

L =m1m2

2l 121

2m2

2l 222

2 m2 l1 l 212cos1minus2

m1m2 g l 1cos1 m2 g l 2cos2

Zusammen mit der potentiellen Energie erhalten wir L=T-UU = m1 g y1 m2 g y2

ddt

part Lpart1

=part Lpart1

ddt

part Lpart2

=part Lpart2

Lagrangegleichungen 2 Art aufstellen

68

m1 m2 l121 m2 l 1 l 2 2 cos 1minus2 minus 2 1minus 2 sin 1minus2

= minus m2 l1 l 2 1 2 sin 1minus2 minus m1 m2 g l1 sin1

m2 l 222 m2 l 1 l 2 1 cos1minus 2 minus 1 1minus 2 sin 1minus2

= m2 l 1 l 2 1 2 sin 1minus 2 minus m2 g l 2 sin2

Das Doppelpendel kann auch mit dem Newtonschen Kraftgesetz behandelt werden Es waumlre aber sehr schwierig die verschiedenen Kopplungsterme im Rahmen der Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen

Daraus erhalten wir die Bewegungsgleichungen

Fuumlr kleine Schwingungen gilt und Auch sonst lassen wir alle in φi quadratischen (oder houmlheren) Terme weg

sin 1minus2 asymp 1minus2 cos1minus2 asymp 1

m1m2 l11 m2 l 22 m1m2g1 = 0m2 l 2 2 m2 l11 m2 g2 = 0

69

Der Ansatz

fuumlhrt zu

m1 m2g minus l 1 2 minusm2 l2

2

minusm2 l1 2 m2 g minus l 2

2 a1a2 = 0

m1m2gminusl12gminusl 2

2 minus m2 l 1 l2

4= 0

plusmn

2 =g2

m1 m2

m1

l 1 l 2l1 l 2 1plusmn 1minus 4

m1

m1 m2

l1 l 2

l 1 l 2 2

Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Loumlsung wenn die Determinante verschwindet Diese Bedingung

ist eine quadratische Gleichung fuumlr ω2 Sie hat die Loumlsungen ω+2 und ω-

2

1t 2t = a1a2 e

i t

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

53

Die Loumlsung konkreter Probleme erfordert

1 Wahl der verallgemeinerten Koordinaten q = q1 qf und Angabe der

Transformation zu kartesischen Koordinaten xi=x

i(qt)

2 Bestimmung der Lagrange-Funktion

3 Aufstellen der Bewegungsgleichungen (Lagrange-Gleichungen 2 Art)

4 Bestimmung von Erhaltungsgroumlszligen

5 Loumlsung der Bewegungsgleichungen (unter Verwendung der Erhaltungsgroumlszligen)

6 Bestimmung der Integrationskonstanten

7 Diskussion der Loumlsung

Lq q t

54

1 Die Weglaumlnge kann als verallgemeinerte Koordinate gewaumlhlt werden x = x(s) = s cos α y = 0 z = z(s) = s sin α

2 Das System besitzt einen Freiheitsgrad Die kinetische Energie ergibt sich als

und die potenzielle Energie ist U = m g z = m g s sin α Die Lagrangefunktion lautet

Die Lagrangegleichung 2 Art lautet (q = s)

s= x2z2

T =m2

x2 y2 z2=m2

s cos2 s sin2 = m2

s2

L= TminusU =m2

s2minus mg ssin

33 Einfache Anwendungen

A) schiefe Ebene reibungsfrei

x

z

mgα

s

55

3 Bewegungsgleichung

45 Loumlsung durch Integration

Energieerhaltung

ddt

part Lpart s

=part Lpart s

ddt

m s =minusmg sin

m s=minusmg sin

s t =minusg2

t 2sin v0 t s0

E = TU =m2

s t 2mg s t sin =m2v02mg z0=const

56

B) Pendel mit fester Laumlnge l

Nebenbedingungeny = 0l2 = x2 + z2

Das System hat einen Freiheitsgrad als verallgemeinerte Koordinate bietet sich der Winkel φ an

x= l sin z= l cos

T =m2

x2 y2 z2=m2

l cos2 minusl sin2 =m2

l 22

U = minusmg z = minusm g l cos

ddt

part Lpart

=ddt

m l 2 =ml 2part Lpart

=minusmg l sin

=minusglsin

l

z

x0

Die potenzielle Energie muss beim bdquoRunterfallenldquo abnehmen

57

B) Pendel mit fester Laumlnge l

Nebenbedingungeny = 0l2 = x2 + z2

Das System hat einen Freiheitsgrad als verallgemeinerte Koordinate bietet sich der Winkel φ an

x= l sin z=minusl cos

T =m2

x2 y2 z2=m2

l cos2 l sin2 =m2

l 22

U = mg z = minusmg l cos

ddt

part Lpart

=ddt

m l 2 =ml 2part Lpart

=minusmg l sin

=minusglsin

l

z

x0

z-Achse nach oben

58

Diese Differenzialgleichung ist nur formal loumlsbar mit Hilfe von elliptischen IntegralenDas elliptische Integral erster Gattung in der Legendreschen Normalform lautet

F k = int0

d

1minusk2sin2

Die Loumlsung fuumlr das Pendel ist gegeben durch F(kφ)=ωt Die Schwingungsdauer des Pendels ist abhaumlngig von der Amplitude des Pendels

Drei verschiedene Anfangsauslenkungen π2-02 π2 und π2+02

59

Fuumlr kleine Winkel asymp sin

gl= 0

t = sin t = -2 sin t

Loumlsung falls -2gl

= 0 = gl

=2T

T=2 lg

C) ungedaumlmpfter harmonischer Oszillator (Federkraftschwinger)

Nebenbedingungen y = 0 z = 01 Freiheitsgrad

Eine verallgemeinerte Koordinate q = xDie ruumlcktreibende Kraft ist nach dem Hookschen Gesetz proportional zur Auslen-kung aus der Ruhelage

F = - k xDie Kraft besitzt ein Potenzial F = - grad U

U = +k2

x2

xk

m

Fuumlr kleine Auslenkung ist das Pendel isochron T ist unabhaumlngig von der Amplitude

60

Die Lagrangefunktion lautet L= T minusU =m2

x2minusk2

x2

ddt

part Lpart x

=ddt

m x=m x

part Lpart x

=minusk x m x kx= 0

Die allgemeine Loumlsung dieser DGL lautet

Mit Hilfe der Additionstheoreme fuumlr Winkelfunktionen laumlsst sich die Loumlsung auch schreiben als

C = Amplitude der Schwingung ω0 = Kreisfrequenz der Schwingungγ = Phasenverschiebung

v0 = Frequenz T = Periodendauer

x t = 1ei0t 2e

minusi0 t = Acos0 t B sin0 t mit 0= km

x t =C cos0 t

0= 2v0=2T

= km

61

34 Reibung

Eine realistische Beschreibung mechanischer Probleme erfordert die Beruumlcksichtigung von Reibung Reibungskraumlfte sind meist proportional zur Geschwindigkeit In kartesischen Koordinaten lassen sich Reibungskraumlfte durch folgenden Ansatz beschreiben

F diss i = minus x i

Diesen Kraumlften kann kein Potenzial zugeordnet werdenWir definieren die Rayleighsche Dissipationsfunktion D als

D x = sumi=1

3N i2x i2 D q q t = sum

i=1

3N i2

[ x i q q t ]2

Durch die modifizierten Lagrangegleichungen kann die Reibung beruumlcksichtigt werden

ddt

part Lpart qi

minuspart Lpartqi

part Dpart qi

= 0 i=1 f

Die von einem Teilchen abgegebene Leistung ist ndash Fdiss

v Fuumlr die Reibungskraft mit obiger Form erhalten wir γv2 Damit entspricht die Rayleighsche Dissipationsfunktion der halben vom System an die Reibung abgegebenen Leistung

John William Strutt seit 1873 3 Lord Rayleigh 12 11 1842 in Langford Grove Meldon England dagger 30 Juni 1919 Terlins Place bei Witham EnglandNobelpreis Physik 1904

62

1 Man fuumlhre geeignete generalisierte Koordinaten ein die die Nebenbedingungen automatisch erfuumlllen und der Symmetrie des Problems angepasst sind Die Nebenbedingung (Kegelgleichung) lautet

2minus z2 tan2 = x2 y2minus z 2 tan 2 = 0

z

g

αx

Sie ist befriedigt wenn wir als generalisierte Koordinaten den Abstand r vom Nullpunkt und den Winkel φ (Drehung um die z-Achse) entsprechend

einfuumlhren also Kugelkoordinaten mit benutzen

x = r sin cos y = r sinsin z = r cos

ϱ

r Massenpunkt der sich im Schwerefeld reibungsfrei auf einem Kegel bewegt

= = const

35 kompliziertere Beispiele351 Massenpunkt auf einem Kreiskegel

63

2 Man schreibt kinetische Energie T potenzielle Energie U und Lagrange-Funktion L als Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten auf

T =m2

x2 y2 z2 =m2

r 2 r22sin2

U = mg z = mg r cos

L =m2

r 2 r 22sin2 minus mg r cos

3 Man schreibe die Lagrange-Gleichungen 2 Art auf und formuliere die Erhaltungssaumltze

dd t

part Lpart r

minuspart Lpart r

= mr minus mr 2sin2 mg cos = 0

dd t

part Lpart

minuspart Lpart

=dd t

mr 2sin2 = 0

L haumlngt nicht explizite von φ ab Die entsprechende Erhaltungsgroumlszlige ist die z-Komponente des Drehimpulses da dieses Problem gegenuumlber Drehungen um die z-Achse invariant ist

mr2 sin2 =l z

64

Die Lagrange-Funktion haumlngt nicht explizit von der Zeit ab so dass der Energie-erhaltungssatz gilt

T U =m2

r2 r22sin2 mg r cos = E

4 Man loumlse die Lagrange-Gleichungen 2 Art unter Ausnutzung der Erhaltungssaumltze Jede Erhaltungsgroumlszlige stellt ein erstes Integral der Bewegungsgleichungen dar spartalso eine Integration (DGL 1 Ordnung) Damit kann also eine der Bewegungsgleichungen (DGL 2 Ordnung) ersetzt werdenElimination von im Energiesatz mit Hilfe des Drehimpulssatzes gibt

E =m2

r2l z2

2mr2sin2 mg r cos = const

Diese Gleichung entspricht der des Problems der eindimensionalen Bewegung eines Massenpunktes im Ersatzpotential

U eff r =l z2

2mr2sin2 mg r cos

=l z

mr2sin2

65

Da wir die Bewegungsgleichung nicht analytisch loumlsen koumlnnen beschraumlnken wir uns auf eine anschauliche Diskussion des Energiesatzes

E

U eff r

r1 r2

r

mg r cos

Ersatzpotential des Massen-punktes auf einem Kegel

Ist der Drehimpuls Null rollt der Massenpunkt mit der Beschleunigung g cos α in die Spitze hinein Ist ein Drehimpuls vorhanden dann zeigt die Abbildung dass die Bewegung staumlndig zwischen zwei festen Werten r1 und r2 hin und her geht der Massenpunkt rollt in auf- und absteigenden Spiralen zwischen den Kreisen der Houmlhe z1 = r1 cos α und z2 = r2 cos α mit gleich bleibendem Umlaufsinn auf dem Kegelmantel er kann (ohne Reibung) die Kegelspitze niemals erreichen

l z = = 0

66

352 Doppelpendel

g

x

y

φ1

φ2

l1

l2

m1

m2

Als verallgemeinerte Koordinaten waumlhlen wir die beiden Winkel φ1 und φ

2

x1 = l1sin1 x2 = l1 sin1l2sin2

y1 = minusl1cos1 y2 = minusl1cos1minusl2 cos2

z1 = 0 z2 = 0

67

Daraus folgt die kinetische Energie

T =m1

2 x12 y1

2 z12

m2

2 x22 y2

2 z22

=m1

2l121

2m2

2[ l121

2 l 222

2 2 l1 l 2cos1minus212 ]

L =m1m2

2l 121

2m2

2l 222

2 m2 l1 l 212cos1minus2

m1m2 g l 1cos1 m2 g l 2cos2

Zusammen mit der potentiellen Energie erhalten wir L=T-UU = m1 g y1 m2 g y2

ddt

part Lpart1

=part Lpart1

ddt

part Lpart2

=part Lpart2

Lagrangegleichungen 2 Art aufstellen

68

m1 m2 l121 m2 l 1 l 2 2 cos 1minus2 minus 2 1minus 2 sin 1minus2

= minus m2 l1 l 2 1 2 sin 1minus2 minus m1 m2 g l1 sin1

m2 l 222 m2 l 1 l 2 1 cos1minus 2 minus 1 1minus 2 sin 1minus2

= m2 l 1 l 2 1 2 sin 1minus 2 minus m2 g l 2 sin2

Das Doppelpendel kann auch mit dem Newtonschen Kraftgesetz behandelt werden Es waumlre aber sehr schwierig die verschiedenen Kopplungsterme im Rahmen der Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen

Daraus erhalten wir die Bewegungsgleichungen

Fuumlr kleine Schwingungen gilt und Auch sonst lassen wir alle in φi quadratischen (oder houmlheren) Terme weg

sin 1minus2 asymp 1minus2 cos1minus2 asymp 1

m1m2 l11 m2 l 22 m1m2g1 = 0m2 l 2 2 m2 l11 m2 g2 = 0

69

Der Ansatz

fuumlhrt zu

m1 m2g minus l 1 2 minusm2 l2

2

minusm2 l1 2 m2 g minus l 2

2 a1a2 = 0

m1m2gminusl12gminusl 2

2 minus m2 l 1 l2

4= 0

plusmn

2 =g2

m1 m2

m1

l 1 l 2l1 l 2 1plusmn 1minus 4

m1

m1 m2

l1 l 2

l 1 l 2 2

Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Loumlsung wenn die Determinante verschwindet Diese Bedingung

ist eine quadratische Gleichung fuumlr ω2 Sie hat die Loumlsungen ω+2 und ω-

2

1t 2t = a1a2 e

i t

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

54

1 Die Weglaumlnge kann als verallgemeinerte Koordinate gewaumlhlt werden x = x(s) = s cos α y = 0 z = z(s) = s sin α

2 Das System besitzt einen Freiheitsgrad Die kinetische Energie ergibt sich als

und die potenzielle Energie ist U = m g z = m g s sin α Die Lagrangefunktion lautet

Die Lagrangegleichung 2 Art lautet (q = s)

s= x2z2

T =m2

x2 y2 z2=m2

s cos2 s sin2 = m2

s2

L= TminusU =m2

s2minus mg ssin

33 Einfache Anwendungen

A) schiefe Ebene reibungsfrei

x

z

mgα

s

55

3 Bewegungsgleichung

45 Loumlsung durch Integration

Energieerhaltung

ddt

part Lpart s

=part Lpart s

ddt

m s =minusmg sin

m s=minusmg sin

s t =minusg2

t 2sin v0 t s0

E = TU =m2

s t 2mg s t sin =m2v02mg z0=const

56

B) Pendel mit fester Laumlnge l

Nebenbedingungeny = 0l2 = x2 + z2

Das System hat einen Freiheitsgrad als verallgemeinerte Koordinate bietet sich der Winkel φ an

x= l sin z= l cos

T =m2

x2 y2 z2=m2

l cos2 minusl sin2 =m2

l 22

U = minusmg z = minusm g l cos

ddt

part Lpart

=ddt

m l 2 =ml 2part Lpart

=minusmg l sin

=minusglsin

l

z

x0

Die potenzielle Energie muss beim bdquoRunterfallenldquo abnehmen

57

B) Pendel mit fester Laumlnge l

Nebenbedingungeny = 0l2 = x2 + z2

Das System hat einen Freiheitsgrad als verallgemeinerte Koordinate bietet sich der Winkel φ an

x= l sin z=minusl cos

T =m2

x2 y2 z2=m2

l cos2 l sin2 =m2

l 22

U = mg z = minusmg l cos

ddt

part Lpart

=ddt

m l 2 =ml 2part Lpart

=minusmg l sin

=minusglsin

l

z

x0

z-Achse nach oben

58

Diese Differenzialgleichung ist nur formal loumlsbar mit Hilfe von elliptischen IntegralenDas elliptische Integral erster Gattung in der Legendreschen Normalform lautet

F k = int0

d

1minusk2sin2

Die Loumlsung fuumlr das Pendel ist gegeben durch F(kφ)=ωt Die Schwingungsdauer des Pendels ist abhaumlngig von der Amplitude des Pendels

Drei verschiedene Anfangsauslenkungen π2-02 π2 und π2+02

59

Fuumlr kleine Winkel asymp sin

gl= 0

t = sin t = -2 sin t

Loumlsung falls -2gl

= 0 = gl

=2T

T=2 lg

C) ungedaumlmpfter harmonischer Oszillator (Federkraftschwinger)

Nebenbedingungen y = 0 z = 01 Freiheitsgrad

Eine verallgemeinerte Koordinate q = xDie ruumlcktreibende Kraft ist nach dem Hookschen Gesetz proportional zur Auslen-kung aus der Ruhelage

F = - k xDie Kraft besitzt ein Potenzial F = - grad U

U = +k2

x2

xk

m

Fuumlr kleine Auslenkung ist das Pendel isochron T ist unabhaumlngig von der Amplitude

60

Die Lagrangefunktion lautet L= T minusU =m2

x2minusk2

x2

ddt

part Lpart x

=ddt

m x=m x

part Lpart x

=minusk x m x kx= 0

Die allgemeine Loumlsung dieser DGL lautet

Mit Hilfe der Additionstheoreme fuumlr Winkelfunktionen laumlsst sich die Loumlsung auch schreiben als

C = Amplitude der Schwingung ω0 = Kreisfrequenz der Schwingungγ = Phasenverschiebung

v0 = Frequenz T = Periodendauer

x t = 1ei0t 2e

minusi0 t = Acos0 t B sin0 t mit 0= km

x t =C cos0 t

0= 2v0=2T

= km

61

34 Reibung

Eine realistische Beschreibung mechanischer Probleme erfordert die Beruumlcksichtigung von Reibung Reibungskraumlfte sind meist proportional zur Geschwindigkeit In kartesischen Koordinaten lassen sich Reibungskraumlfte durch folgenden Ansatz beschreiben

F diss i = minus x i

Diesen Kraumlften kann kein Potenzial zugeordnet werdenWir definieren die Rayleighsche Dissipationsfunktion D als

D x = sumi=1

3N i2x i2 D q q t = sum

i=1

3N i2

[ x i q q t ]2

Durch die modifizierten Lagrangegleichungen kann die Reibung beruumlcksichtigt werden

ddt

part Lpart qi

minuspart Lpartqi

part Dpart qi

= 0 i=1 f

Die von einem Teilchen abgegebene Leistung ist ndash Fdiss

v Fuumlr die Reibungskraft mit obiger Form erhalten wir γv2 Damit entspricht die Rayleighsche Dissipationsfunktion der halben vom System an die Reibung abgegebenen Leistung

John William Strutt seit 1873 3 Lord Rayleigh 12 11 1842 in Langford Grove Meldon England dagger 30 Juni 1919 Terlins Place bei Witham EnglandNobelpreis Physik 1904

62

1 Man fuumlhre geeignete generalisierte Koordinaten ein die die Nebenbedingungen automatisch erfuumlllen und der Symmetrie des Problems angepasst sind Die Nebenbedingung (Kegelgleichung) lautet

2minus z2 tan2 = x2 y2minus z 2 tan 2 = 0

z

g

αx

Sie ist befriedigt wenn wir als generalisierte Koordinaten den Abstand r vom Nullpunkt und den Winkel φ (Drehung um die z-Achse) entsprechend

einfuumlhren also Kugelkoordinaten mit benutzen

x = r sin cos y = r sinsin z = r cos

ϱ

r Massenpunkt der sich im Schwerefeld reibungsfrei auf einem Kegel bewegt

= = const

35 kompliziertere Beispiele351 Massenpunkt auf einem Kreiskegel

63

2 Man schreibt kinetische Energie T potenzielle Energie U und Lagrange-Funktion L als Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten auf

T =m2

x2 y2 z2 =m2

r 2 r22sin2

U = mg z = mg r cos

L =m2

r 2 r 22sin2 minus mg r cos

3 Man schreibe die Lagrange-Gleichungen 2 Art auf und formuliere die Erhaltungssaumltze

dd t

part Lpart r

minuspart Lpart r

= mr minus mr 2sin2 mg cos = 0

dd t

part Lpart

minuspart Lpart

=dd t

mr 2sin2 = 0

L haumlngt nicht explizite von φ ab Die entsprechende Erhaltungsgroumlszlige ist die z-Komponente des Drehimpulses da dieses Problem gegenuumlber Drehungen um die z-Achse invariant ist

mr2 sin2 =l z

64

Die Lagrange-Funktion haumlngt nicht explizit von der Zeit ab so dass der Energie-erhaltungssatz gilt

T U =m2

r2 r22sin2 mg r cos = E

4 Man loumlse die Lagrange-Gleichungen 2 Art unter Ausnutzung der Erhaltungssaumltze Jede Erhaltungsgroumlszlige stellt ein erstes Integral der Bewegungsgleichungen dar spartalso eine Integration (DGL 1 Ordnung) Damit kann also eine der Bewegungsgleichungen (DGL 2 Ordnung) ersetzt werdenElimination von im Energiesatz mit Hilfe des Drehimpulssatzes gibt

E =m2

r2l z2

2mr2sin2 mg r cos = const

Diese Gleichung entspricht der des Problems der eindimensionalen Bewegung eines Massenpunktes im Ersatzpotential

U eff r =l z2

2mr2sin2 mg r cos

=l z

mr2sin2

65

Da wir die Bewegungsgleichung nicht analytisch loumlsen koumlnnen beschraumlnken wir uns auf eine anschauliche Diskussion des Energiesatzes

E

U eff r

r1 r2

r

mg r cos

Ersatzpotential des Massen-punktes auf einem Kegel

Ist der Drehimpuls Null rollt der Massenpunkt mit der Beschleunigung g cos α in die Spitze hinein Ist ein Drehimpuls vorhanden dann zeigt die Abbildung dass die Bewegung staumlndig zwischen zwei festen Werten r1 und r2 hin und her geht der Massenpunkt rollt in auf- und absteigenden Spiralen zwischen den Kreisen der Houmlhe z1 = r1 cos α und z2 = r2 cos α mit gleich bleibendem Umlaufsinn auf dem Kegelmantel er kann (ohne Reibung) die Kegelspitze niemals erreichen

l z = = 0

66

352 Doppelpendel

g

x

y

φ1

φ2

l1

l2

m1

m2

Als verallgemeinerte Koordinaten waumlhlen wir die beiden Winkel φ1 und φ

2

x1 = l1sin1 x2 = l1 sin1l2sin2

y1 = minusl1cos1 y2 = minusl1cos1minusl2 cos2

z1 = 0 z2 = 0

67

Daraus folgt die kinetische Energie

T =m1

2 x12 y1

2 z12

m2

2 x22 y2

2 z22

=m1

2l121

2m2

2[ l121

2 l 222

2 2 l1 l 2cos1minus212 ]

L =m1m2

2l 121

2m2

2l 222

2 m2 l1 l 212cos1minus2

m1m2 g l 1cos1 m2 g l 2cos2

Zusammen mit der potentiellen Energie erhalten wir L=T-UU = m1 g y1 m2 g y2

ddt

part Lpart1

=part Lpart1

ddt

part Lpart2

=part Lpart2

Lagrangegleichungen 2 Art aufstellen

68

m1 m2 l121 m2 l 1 l 2 2 cos 1minus2 minus 2 1minus 2 sin 1minus2

= minus m2 l1 l 2 1 2 sin 1minus2 minus m1 m2 g l1 sin1

m2 l 222 m2 l 1 l 2 1 cos1minus 2 minus 1 1minus 2 sin 1minus2

= m2 l 1 l 2 1 2 sin 1minus 2 minus m2 g l 2 sin2

Das Doppelpendel kann auch mit dem Newtonschen Kraftgesetz behandelt werden Es waumlre aber sehr schwierig die verschiedenen Kopplungsterme im Rahmen der Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen

Daraus erhalten wir die Bewegungsgleichungen

Fuumlr kleine Schwingungen gilt und Auch sonst lassen wir alle in φi quadratischen (oder houmlheren) Terme weg

sin 1minus2 asymp 1minus2 cos1minus2 asymp 1

m1m2 l11 m2 l 22 m1m2g1 = 0m2 l 2 2 m2 l11 m2 g2 = 0

69

Der Ansatz

fuumlhrt zu

m1 m2g minus l 1 2 minusm2 l2

2

minusm2 l1 2 m2 g minus l 2

2 a1a2 = 0

m1m2gminusl12gminusl 2

2 minus m2 l 1 l2

4= 0

plusmn

2 =g2

m1 m2

m1

l 1 l 2l1 l 2 1plusmn 1minus 4

m1

m1 m2

l1 l 2

l 1 l 2 2

Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Loumlsung wenn die Determinante verschwindet Diese Bedingung

ist eine quadratische Gleichung fuumlr ω2 Sie hat die Loumlsungen ω+2 und ω-

2

1t 2t = a1a2 e

i t

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

55

3 Bewegungsgleichung

45 Loumlsung durch Integration

Energieerhaltung

ddt

part Lpart s

=part Lpart s

ddt

m s =minusmg sin

m s=minusmg sin

s t =minusg2

t 2sin v0 t s0

E = TU =m2

s t 2mg s t sin =m2v02mg z0=const

56

B) Pendel mit fester Laumlnge l

Nebenbedingungeny = 0l2 = x2 + z2

Das System hat einen Freiheitsgrad als verallgemeinerte Koordinate bietet sich der Winkel φ an

x= l sin z= l cos

T =m2

x2 y2 z2=m2

l cos2 minusl sin2 =m2

l 22

U = minusmg z = minusm g l cos

ddt

part Lpart

=ddt

m l 2 =ml 2part Lpart

=minusmg l sin

=minusglsin

l

z

x0

Die potenzielle Energie muss beim bdquoRunterfallenldquo abnehmen

57

B) Pendel mit fester Laumlnge l

Nebenbedingungeny = 0l2 = x2 + z2

Das System hat einen Freiheitsgrad als verallgemeinerte Koordinate bietet sich der Winkel φ an

x= l sin z=minusl cos

T =m2

x2 y2 z2=m2

l cos2 l sin2 =m2

l 22

U = mg z = minusmg l cos

ddt

part Lpart

=ddt

m l 2 =ml 2part Lpart

=minusmg l sin

=minusglsin

l

z

x0

z-Achse nach oben

58

Diese Differenzialgleichung ist nur formal loumlsbar mit Hilfe von elliptischen IntegralenDas elliptische Integral erster Gattung in der Legendreschen Normalform lautet

F k = int0

d

1minusk2sin2

Die Loumlsung fuumlr das Pendel ist gegeben durch F(kφ)=ωt Die Schwingungsdauer des Pendels ist abhaumlngig von der Amplitude des Pendels

Drei verschiedene Anfangsauslenkungen π2-02 π2 und π2+02

59

Fuumlr kleine Winkel asymp sin

gl= 0

t = sin t = -2 sin t

Loumlsung falls -2gl

= 0 = gl

=2T

T=2 lg

C) ungedaumlmpfter harmonischer Oszillator (Federkraftschwinger)

Nebenbedingungen y = 0 z = 01 Freiheitsgrad

Eine verallgemeinerte Koordinate q = xDie ruumlcktreibende Kraft ist nach dem Hookschen Gesetz proportional zur Auslen-kung aus der Ruhelage

F = - k xDie Kraft besitzt ein Potenzial F = - grad U

U = +k2

x2

xk

m

Fuumlr kleine Auslenkung ist das Pendel isochron T ist unabhaumlngig von der Amplitude

60

Die Lagrangefunktion lautet L= T minusU =m2

x2minusk2

x2

ddt

part Lpart x

=ddt

m x=m x

part Lpart x

=minusk x m x kx= 0

Die allgemeine Loumlsung dieser DGL lautet

Mit Hilfe der Additionstheoreme fuumlr Winkelfunktionen laumlsst sich die Loumlsung auch schreiben als

C = Amplitude der Schwingung ω0 = Kreisfrequenz der Schwingungγ = Phasenverschiebung

v0 = Frequenz T = Periodendauer

x t = 1ei0t 2e

minusi0 t = Acos0 t B sin0 t mit 0= km

x t =C cos0 t

0= 2v0=2T

= km

61

34 Reibung

Eine realistische Beschreibung mechanischer Probleme erfordert die Beruumlcksichtigung von Reibung Reibungskraumlfte sind meist proportional zur Geschwindigkeit In kartesischen Koordinaten lassen sich Reibungskraumlfte durch folgenden Ansatz beschreiben

F diss i = minus x i

Diesen Kraumlften kann kein Potenzial zugeordnet werdenWir definieren die Rayleighsche Dissipationsfunktion D als

D x = sumi=1

3N i2x i2 D q q t = sum

i=1

3N i2

[ x i q q t ]2

Durch die modifizierten Lagrangegleichungen kann die Reibung beruumlcksichtigt werden

ddt

part Lpart qi

minuspart Lpartqi

part Dpart qi

= 0 i=1 f

Die von einem Teilchen abgegebene Leistung ist ndash Fdiss

v Fuumlr die Reibungskraft mit obiger Form erhalten wir γv2 Damit entspricht die Rayleighsche Dissipationsfunktion der halben vom System an die Reibung abgegebenen Leistung

John William Strutt seit 1873 3 Lord Rayleigh 12 11 1842 in Langford Grove Meldon England dagger 30 Juni 1919 Terlins Place bei Witham EnglandNobelpreis Physik 1904

62

1 Man fuumlhre geeignete generalisierte Koordinaten ein die die Nebenbedingungen automatisch erfuumlllen und der Symmetrie des Problems angepasst sind Die Nebenbedingung (Kegelgleichung) lautet

2minus z2 tan2 = x2 y2minus z 2 tan 2 = 0

z

g

αx

Sie ist befriedigt wenn wir als generalisierte Koordinaten den Abstand r vom Nullpunkt und den Winkel φ (Drehung um die z-Achse) entsprechend

einfuumlhren also Kugelkoordinaten mit benutzen

x = r sin cos y = r sinsin z = r cos

ϱ

r Massenpunkt der sich im Schwerefeld reibungsfrei auf einem Kegel bewegt

= = const

35 kompliziertere Beispiele351 Massenpunkt auf einem Kreiskegel

63

2 Man schreibt kinetische Energie T potenzielle Energie U und Lagrange-Funktion L als Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten auf

T =m2

x2 y2 z2 =m2

r 2 r22sin2

U = mg z = mg r cos

L =m2

r 2 r 22sin2 minus mg r cos

3 Man schreibe die Lagrange-Gleichungen 2 Art auf und formuliere die Erhaltungssaumltze

dd t

part Lpart r

minuspart Lpart r

= mr minus mr 2sin2 mg cos = 0

dd t

part Lpart

minuspart Lpart

=dd t

mr 2sin2 = 0

L haumlngt nicht explizite von φ ab Die entsprechende Erhaltungsgroumlszlige ist die z-Komponente des Drehimpulses da dieses Problem gegenuumlber Drehungen um die z-Achse invariant ist

mr2 sin2 =l z

64

Die Lagrange-Funktion haumlngt nicht explizit von der Zeit ab so dass der Energie-erhaltungssatz gilt

T U =m2

r2 r22sin2 mg r cos = E

4 Man loumlse die Lagrange-Gleichungen 2 Art unter Ausnutzung der Erhaltungssaumltze Jede Erhaltungsgroumlszlige stellt ein erstes Integral der Bewegungsgleichungen dar spartalso eine Integration (DGL 1 Ordnung) Damit kann also eine der Bewegungsgleichungen (DGL 2 Ordnung) ersetzt werdenElimination von im Energiesatz mit Hilfe des Drehimpulssatzes gibt

E =m2

r2l z2

2mr2sin2 mg r cos = const

Diese Gleichung entspricht der des Problems der eindimensionalen Bewegung eines Massenpunktes im Ersatzpotential

U eff r =l z2

2mr2sin2 mg r cos

=l z

mr2sin2

65

Da wir die Bewegungsgleichung nicht analytisch loumlsen koumlnnen beschraumlnken wir uns auf eine anschauliche Diskussion des Energiesatzes

E

U eff r

r1 r2

r

mg r cos

Ersatzpotential des Massen-punktes auf einem Kegel

Ist der Drehimpuls Null rollt der Massenpunkt mit der Beschleunigung g cos α in die Spitze hinein Ist ein Drehimpuls vorhanden dann zeigt die Abbildung dass die Bewegung staumlndig zwischen zwei festen Werten r1 und r2 hin und her geht der Massenpunkt rollt in auf- und absteigenden Spiralen zwischen den Kreisen der Houmlhe z1 = r1 cos α und z2 = r2 cos α mit gleich bleibendem Umlaufsinn auf dem Kegelmantel er kann (ohne Reibung) die Kegelspitze niemals erreichen

l z = = 0

66

352 Doppelpendel

g

x

y

φ1

φ2

l1

l2

m1

m2

Als verallgemeinerte Koordinaten waumlhlen wir die beiden Winkel φ1 und φ

2

x1 = l1sin1 x2 = l1 sin1l2sin2

y1 = minusl1cos1 y2 = minusl1cos1minusl2 cos2

z1 = 0 z2 = 0

67

Daraus folgt die kinetische Energie

T =m1

2 x12 y1

2 z12

m2

2 x22 y2

2 z22

=m1

2l121

2m2

2[ l121

2 l 222

2 2 l1 l 2cos1minus212 ]

L =m1m2

2l 121

2m2

2l 222

2 m2 l1 l 212cos1minus2

m1m2 g l 1cos1 m2 g l 2cos2

Zusammen mit der potentiellen Energie erhalten wir L=T-UU = m1 g y1 m2 g y2

ddt

part Lpart1

=part Lpart1

ddt

part Lpart2

=part Lpart2

Lagrangegleichungen 2 Art aufstellen

68

m1 m2 l121 m2 l 1 l 2 2 cos 1minus2 minus 2 1minus 2 sin 1minus2

= minus m2 l1 l 2 1 2 sin 1minus2 minus m1 m2 g l1 sin1

m2 l 222 m2 l 1 l 2 1 cos1minus 2 minus 1 1minus 2 sin 1minus2

= m2 l 1 l 2 1 2 sin 1minus 2 minus m2 g l 2 sin2

Das Doppelpendel kann auch mit dem Newtonschen Kraftgesetz behandelt werden Es waumlre aber sehr schwierig die verschiedenen Kopplungsterme im Rahmen der Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen

Daraus erhalten wir die Bewegungsgleichungen

Fuumlr kleine Schwingungen gilt und Auch sonst lassen wir alle in φi quadratischen (oder houmlheren) Terme weg

sin 1minus2 asymp 1minus2 cos1minus2 asymp 1

m1m2 l11 m2 l 22 m1m2g1 = 0m2 l 2 2 m2 l11 m2 g2 = 0

69

Der Ansatz

fuumlhrt zu

m1 m2g minus l 1 2 minusm2 l2

2

minusm2 l1 2 m2 g minus l 2

2 a1a2 = 0

m1m2gminusl12gminusl 2

2 minus m2 l 1 l2

4= 0

plusmn

2 =g2

m1 m2

m1

l 1 l 2l1 l 2 1plusmn 1minus 4

m1

m1 m2

l1 l 2

l 1 l 2 2

Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Loumlsung wenn die Determinante verschwindet Diese Bedingung

ist eine quadratische Gleichung fuumlr ω2 Sie hat die Loumlsungen ω+2 und ω-

2

1t 2t = a1a2 e

i t

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

56

B) Pendel mit fester Laumlnge l

Nebenbedingungeny = 0l2 = x2 + z2

Das System hat einen Freiheitsgrad als verallgemeinerte Koordinate bietet sich der Winkel φ an

x= l sin z= l cos

T =m2

x2 y2 z2=m2

l cos2 minusl sin2 =m2

l 22

U = minusmg z = minusm g l cos

ddt

part Lpart

=ddt

m l 2 =ml 2part Lpart

=minusmg l sin

=minusglsin

l

z

x0

Die potenzielle Energie muss beim bdquoRunterfallenldquo abnehmen

57

B) Pendel mit fester Laumlnge l

Nebenbedingungeny = 0l2 = x2 + z2

Das System hat einen Freiheitsgrad als verallgemeinerte Koordinate bietet sich der Winkel φ an

x= l sin z=minusl cos

T =m2

x2 y2 z2=m2

l cos2 l sin2 =m2

l 22

U = mg z = minusmg l cos

ddt

part Lpart

=ddt

m l 2 =ml 2part Lpart

=minusmg l sin

=minusglsin

l

z

x0

z-Achse nach oben

58

Diese Differenzialgleichung ist nur formal loumlsbar mit Hilfe von elliptischen IntegralenDas elliptische Integral erster Gattung in der Legendreschen Normalform lautet

F k = int0

d

1minusk2sin2

Die Loumlsung fuumlr das Pendel ist gegeben durch F(kφ)=ωt Die Schwingungsdauer des Pendels ist abhaumlngig von der Amplitude des Pendels

Drei verschiedene Anfangsauslenkungen π2-02 π2 und π2+02

59

Fuumlr kleine Winkel asymp sin

gl= 0

t = sin t = -2 sin t

Loumlsung falls -2gl

= 0 = gl

=2T

T=2 lg

C) ungedaumlmpfter harmonischer Oszillator (Federkraftschwinger)

Nebenbedingungen y = 0 z = 01 Freiheitsgrad

Eine verallgemeinerte Koordinate q = xDie ruumlcktreibende Kraft ist nach dem Hookschen Gesetz proportional zur Auslen-kung aus der Ruhelage

F = - k xDie Kraft besitzt ein Potenzial F = - grad U

U = +k2

x2

xk

m

Fuumlr kleine Auslenkung ist das Pendel isochron T ist unabhaumlngig von der Amplitude

60

Die Lagrangefunktion lautet L= T minusU =m2

x2minusk2

x2

ddt

part Lpart x

=ddt

m x=m x

part Lpart x

=minusk x m x kx= 0

Die allgemeine Loumlsung dieser DGL lautet

Mit Hilfe der Additionstheoreme fuumlr Winkelfunktionen laumlsst sich die Loumlsung auch schreiben als

C = Amplitude der Schwingung ω0 = Kreisfrequenz der Schwingungγ = Phasenverschiebung

v0 = Frequenz T = Periodendauer

x t = 1ei0t 2e

minusi0 t = Acos0 t B sin0 t mit 0= km

x t =C cos0 t

0= 2v0=2T

= km

61

34 Reibung

Eine realistische Beschreibung mechanischer Probleme erfordert die Beruumlcksichtigung von Reibung Reibungskraumlfte sind meist proportional zur Geschwindigkeit In kartesischen Koordinaten lassen sich Reibungskraumlfte durch folgenden Ansatz beschreiben

F diss i = minus x i

Diesen Kraumlften kann kein Potenzial zugeordnet werdenWir definieren die Rayleighsche Dissipationsfunktion D als

D x = sumi=1

3N i2x i2 D q q t = sum

i=1

3N i2

[ x i q q t ]2

Durch die modifizierten Lagrangegleichungen kann die Reibung beruumlcksichtigt werden

ddt

part Lpart qi

minuspart Lpartqi

part Dpart qi

= 0 i=1 f

Die von einem Teilchen abgegebene Leistung ist ndash Fdiss

v Fuumlr die Reibungskraft mit obiger Form erhalten wir γv2 Damit entspricht die Rayleighsche Dissipationsfunktion der halben vom System an die Reibung abgegebenen Leistung

John William Strutt seit 1873 3 Lord Rayleigh 12 11 1842 in Langford Grove Meldon England dagger 30 Juni 1919 Terlins Place bei Witham EnglandNobelpreis Physik 1904

62

1 Man fuumlhre geeignete generalisierte Koordinaten ein die die Nebenbedingungen automatisch erfuumlllen und der Symmetrie des Problems angepasst sind Die Nebenbedingung (Kegelgleichung) lautet

2minus z2 tan2 = x2 y2minus z 2 tan 2 = 0

z

g

αx

Sie ist befriedigt wenn wir als generalisierte Koordinaten den Abstand r vom Nullpunkt und den Winkel φ (Drehung um die z-Achse) entsprechend

einfuumlhren also Kugelkoordinaten mit benutzen

x = r sin cos y = r sinsin z = r cos

ϱ

r Massenpunkt der sich im Schwerefeld reibungsfrei auf einem Kegel bewegt

= = const

35 kompliziertere Beispiele351 Massenpunkt auf einem Kreiskegel

63

2 Man schreibt kinetische Energie T potenzielle Energie U und Lagrange-Funktion L als Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten auf

T =m2

x2 y2 z2 =m2

r 2 r22sin2

U = mg z = mg r cos

L =m2

r 2 r 22sin2 minus mg r cos

3 Man schreibe die Lagrange-Gleichungen 2 Art auf und formuliere die Erhaltungssaumltze

dd t

part Lpart r

minuspart Lpart r

= mr minus mr 2sin2 mg cos = 0

dd t

part Lpart

minuspart Lpart

=dd t

mr 2sin2 = 0

L haumlngt nicht explizite von φ ab Die entsprechende Erhaltungsgroumlszlige ist die z-Komponente des Drehimpulses da dieses Problem gegenuumlber Drehungen um die z-Achse invariant ist

mr2 sin2 =l z

64

Die Lagrange-Funktion haumlngt nicht explizit von der Zeit ab so dass der Energie-erhaltungssatz gilt

T U =m2

r2 r22sin2 mg r cos = E

4 Man loumlse die Lagrange-Gleichungen 2 Art unter Ausnutzung der Erhaltungssaumltze Jede Erhaltungsgroumlszlige stellt ein erstes Integral der Bewegungsgleichungen dar spartalso eine Integration (DGL 1 Ordnung) Damit kann also eine der Bewegungsgleichungen (DGL 2 Ordnung) ersetzt werdenElimination von im Energiesatz mit Hilfe des Drehimpulssatzes gibt

E =m2

r2l z2

2mr2sin2 mg r cos = const

Diese Gleichung entspricht der des Problems der eindimensionalen Bewegung eines Massenpunktes im Ersatzpotential

U eff r =l z2

2mr2sin2 mg r cos

=l z

mr2sin2

65

Da wir die Bewegungsgleichung nicht analytisch loumlsen koumlnnen beschraumlnken wir uns auf eine anschauliche Diskussion des Energiesatzes

E

U eff r

r1 r2

r

mg r cos

Ersatzpotential des Massen-punktes auf einem Kegel

Ist der Drehimpuls Null rollt der Massenpunkt mit der Beschleunigung g cos α in die Spitze hinein Ist ein Drehimpuls vorhanden dann zeigt die Abbildung dass die Bewegung staumlndig zwischen zwei festen Werten r1 und r2 hin und her geht der Massenpunkt rollt in auf- und absteigenden Spiralen zwischen den Kreisen der Houmlhe z1 = r1 cos α und z2 = r2 cos α mit gleich bleibendem Umlaufsinn auf dem Kegelmantel er kann (ohne Reibung) die Kegelspitze niemals erreichen

l z = = 0

66

352 Doppelpendel

g

x

y

φ1

φ2

l1

l2

m1

m2

Als verallgemeinerte Koordinaten waumlhlen wir die beiden Winkel φ1 und φ

2

x1 = l1sin1 x2 = l1 sin1l2sin2

y1 = minusl1cos1 y2 = minusl1cos1minusl2 cos2

z1 = 0 z2 = 0

67

Daraus folgt die kinetische Energie

T =m1

2 x12 y1

2 z12

m2

2 x22 y2

2 z22

=m1

2l121

2m2

2[ l121

2 l 222

2 2 l1 l 2cos1minus212 ]

L =m1m2

2l 121

2m2

2l 222

2 m2 l1 l 212cos1minus2

m1m2 g l 1cos1 m2 g l 2cos2

Zusammen mit der potentiellen Energie erhalten wir L=T-UU = m1 g y1 m2 g y2

ddt

part Lpart1

=part Lpart1

ddt

part Lpart2

=part Lpart2

Lagrangegleichungen 2 Art aufstellen

68

m1 m2 l121 m2 l 1 l 2 2 cos 1minus2 minus 2 1minus 2 sin 1minus2

= minus m2 l1 l 2 1 2 sin 1minus2 minus m1 m2 g l1 sin1

m2 l 222 m2 l 1 l 2 1 cos1minus 2 minus 1 1minus 2 sin 1minus2

= m2 l 1 l 2 1 2 sin 1minus 2 minus m2 g l 2 sin2

Das Doppelpendel kann auch mit dem Newtonschen Kraftgesetz behandelt werden Es waumlre aber sehr schwierig die verschiedenen Kopplungsterme im Rahmen der Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen

Daraus erhalten wir die Bewegungsgleichungen

Fuumlr kleine Schwingungen gilt und Auch sonst lassen wir alle in φi quadratischen (oder houmlheren) Terme weg

sin 1minus2 asymp 1minus2 cos1minus2 asymp 1

m1m2 l11 m2 l 22 m1m2g1 = 0m2 l 2 2 m2 l11 m2 g2 = 0

69

Der Ansatz

fuumlhrt zu

m1 m2g minus l 1 2 minusm2 l2

2

minusm2 l1 2 m2 g minus l 2

2 a1a2 = 0

m1m2gminusl12gminusl 2

2 minus m2 l 1 l2

4= 0

plusmn

2 =g2

m1 m2

m1

l 1 l 2l1 l 2 1plusmn 1minus 4

m1

m1 m2

l1 l 2

l 1 l 2 2

Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Loumlsung wenn die Determinante verschwindet Diese Bedingung

ist eine quadratische Gleichung fuumlr ω2 Sie hat die Loumlsungen ω+2 und ω-

2

1t 2t = a1a2 e

i t

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

57

B) Pendel mit fester Laumlnge l

Nebenbedingungeny = 0l2 = x2 + z2

Das System hat einen Freiheitsgrad als verallgemeinerte Koordinate bietet sich der Winkel φ an

x= l sin z=minusl cos

T =m2

x2 y2 z2=m2

l cos2 l sin2 =m2

l 22

U = mg z = minusmg l cos

ddt

part Lpart

=ddt

m l 2 =ml 2part Lpart

=minusmg l sin

=minusglsin

l

z

x0

z-Achse nach oben

58

Diese Differenzialgleichung ist nur formal loumlsbar mit Hilfe von elliptischen IntegralenDas elliptische Integral erster Gattung in der Legendreschen Normalform lautet

F k = int0

d

1minusk2sin2

Die Loumlsung fuumlr das Pendel ist gegeben durch F(kφ)=ωt Die Schwingungsdauer des Pendels ist abhaumlngig von der Amplitude des Pendels

Drei verschiedene Anfangsauslenkungen π2-02 π2 und π2+02

59

Fuumlr kleine Winkel asymp sin

gl= 0

t = sin t = -2 sin t

Loumlsung falls -2gl

= 0 = gl

=2T

T=2 lg

C) ungedaumlmpfter harmonischer Oszillator (Federkraftschwinger)

Nebenbedingungen y = 0 z = 01 Freiheitsgrad

Eine verallgemeinerte Koordinate q = xDie ruumlcktreibende Kraft ist nach dem Hookschen Gesetz proportional zur Auslen-kung aus der Ruhelage

F = - k xDie Kraft besitzt ein Potenzial F = - grad U

U = +k2

x2

xk

m

Fuumlr kleine Auslenkung ist das Pendel isochron T ist unabhaumlngig von der Amplitude

60

Die Lagrangefunktion lautet L= T minusU =m2

x2minusk2

x2

ddt

part Lpart x

=ddt

m x=m x

part Lpart x

=minusk x m x kx= 0

Die allgemeine Loumlsung dieser DGL lautet

Mit Hilfe der Additionstheoreme fuumlr Winkelfunktionen laumlsst sich die Loumlsung auch schreiben als

C = Amplitude der Schwingung ω0 = Kreisfrequenz der Schwingungγ = Phasenverschiebung

v0 = Frequenz T = Periodendauer

x t = 1ei0t 2e

minusi0 t = Acos0 t B sin0 t mit 0= km

x t =C cos0 t

0= 2v0=2T

= km

61

34 Reibung

Eine realistische Beschreibung mechanischer Probleme erfordert die Beruumlcksichtigung von Reibung Reibungskraumlfte sind meist proportional zur Geschwindigkeit In kartesischen Koordinaten lassen sich Reibungskraumlfte durch folgenden Ansatz beschreiben

F diss i = minus x i

Diesen Kraumlften kann kein Potenzial zugeordnet werdenWir definieren die Rayleighsche Dissipationsfunktion D als

D x = sumi=1

3N i2x i2 D q q t = sum

i=1

3N i2

[ x i q q t ]2

Durch die modifizierten Lagrangegleichungen kann die Reibung beruumlcksichtigt werden

ddt

part Lpart qi

minuspart Lpartqi

part Dpart qi

= 0 i=1 f

Die von einem Teilchen abgegebene Leistung ist ndash Fdiss

v Fuumlr die Reibungskraft mit obiger Form erhalten wir γv2 Damit entspricht die Rayleighsche Dissipationsfunktion der halben vom System an die Reibung abgegebenen Leistung

John William Strutt seit 1873 3 Lord Rayleigh 12 11 1842 in Langford Grove Meldon England dagger 30 Juni 1919 Terlins Place bei Witham EnglandNobelpreis Physik 1904

62

1 Man fuumlhre geeignete generalisierte Koordinaten ein die die Nebenbedingungen automatisch erfuumlllen und der Symmetrie des Problems angepasst sind Die Nebenbedingung (Kegelgleichung) lautet

2minus z2 tan2 = x2 y2minus z 2 tan 2 = 0

z

g

αx

Sie ist befriedigt wenn wir als generalisierte Koordinaten den Abstand r vom Nullpunkt und den Winkel φ (Drehung um die z-Achse) entsprechend

einfuumlhren also Kugelkoordinaten mit benutzen

x = r sin cos y = r sinsin z = r cos

ϱ

r Massenpunkt der sich im Schwerefeld reibungsfrei auf einem Kegel bewegt

= = const

35 kompliziertere Beispiele351 Massenpunkt auf einem Kreiskegel

63

2 Man schreibt kinetische Energie T potenzielle Energie U und Lagrange-Funktion L als Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten auf

T =m2

x2 y2 z2 =m2

r 2 r22sin2

U = mg z = mg r cos

L =m2

r 2 r 22sin2 minus mg r cos

3 Man schreibe die Lagrange-Gleichungen 2 Art auf und formuliere die Erhaltungssaumltze

dd t

part Lpart r

minuspart Lpart r

= mr minus mr 2sin2 mg cos = 0

dd t

part Lpart

minuspart Lpart

=dd t

mr 2sin2 = 0

L haumlngt nicht explizite von φ ab Die entsprechende Erhaltungsgroumlszlige ist die z-Komponente des Drehimpulses da dieses Problem gegenuumlber Drehungen um die z-Achse invariant ist

mr2 sin2 =l z

64

Die Lagrange-Funktion haumlngt nicht explizit von der Zeit ab so dass der Energie-erhaltungssatz gilt

T U =m2

r2 r22sin2 mg r cos = E

4 Man loumlse die Lagrange-Gleichungen 2 Art unter Ausnutzung der Erhaltungssaumltze Jede Erhaltungsgroumlszlige stellt ein erstes Integral der Bewegungsgleichungen dar spartalso eine Integration (DGL 1 Ordnung) Damit kann also eine der Bewegungsgleichungen (DGL 2 Ordnung) ersetzt werdenElimination von im Energiesatz mit Hilfe des Drehimpulssatzes gibt

E =m2

r2l z2

2mr2sin2 mg r cos = const

Diese Gleichung entspricht der des Problems der eindimensionalen Bewegung eines Massenpunktes im Ersatzpotential

U eff r =l z2

2mr2sin2 mg r cos

=l z

mr2sin2

65

Da wir die Bewegungsgleichung nicht analytisch loumlsen koumlnnen beschraumlnken wir uns auf eine anschauliche Diskussion des Energiesatzes

E

U eff r

r1 r2

r

mg r cos

Ersatzpotential des Massen-punktes auf einem Kegel

Ist der Drehimpuls Null rollt der Massenpunkt mit der Beschleunigung g cos α in die Spitze hinein Ist ein Drehimpuls vorhanden dann zeigt die Abbildung dass die Bewegung staumlndig zwischen zwei festen Werten r1 und r2 hin und her geht der Massenpunkt rollt in auf- und absteigenden Spiralen zwischen den Kreisen der Houmlhe z1 = r1 cos α und z2 = r2 cos α mit gleich bleibendem Umlaufsinn auf dem Kegelmantel er kann (ohne Reibung) die Kegelspitze niemals erreichen

l z = = 0

66

352 Doppelpendel

g

x

y

φ1

φ2

l1

l2

m1

m2

Als verallgemeinerte Koordinaten waumlhlen wir die beiden Winkel φ1 und φ

2

x1 = l1sin1 x2 = l1 sin1l2sin2

y1 = minusl1cos1 y2 = minusl1cos1minusl2 cos2

z1 = 0 z2 = 0

67

Daraus folgt die kinetische Energie

T =m1

2 x12 y1

2 z12

m2

2 x22 y2

2 z22

=m1

2l121

2m2

2[ l121

2 l 222

2 2 l1 l 2cos1minus212 ]

L =m1m2

2l 121

2m2

2l 222

2 m2 l1 l 212cos1minus2

m1m2 g l 1cos1 m2 g l 2cos2

Zusammen mit der potentiellen Energie erhalten wir L=T-UU = m1 g y1 m2 g y2

ddt

part Lpart1

=part Lpart1

ddt

part Lpart2

=part Lpart2

Lagrangegleichungen 2 Art aufstellen

68

m1 m2 l121 m2 l 1 l 2 2 cos 1minus2 minus 2 1minus 2 sin 1minus2

= minus m2 l1 l 2 1 2 sin 1minus2 minus m1 m2 g l1 sin1

m2 l 222 m2 l 1 l 2 1 cos1minus 2 minus 1 1minus 2 sin 1minus2

= m2 l 1 l 2 1 2 sin 1minus 2 minus m2 g l 2 sin2

Das Doppelpendel kann auch mit dem Newtonschen Kraftgesetz behandelt werden Es waumlre aber sehr schwierig die verschiedenen Kopplungsterme im Rahmen der Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen

Daraus erhalten wir die Bewegungsgleichungen

Fuumlr kleine Schwingungen gilt und Auch sonst lassen wir alle in φi quadratischen (oder houmlheren) Terme weg

sin 1minus2 asymp 1minus2 cos1minus2 asymp 1

m1m2 l11 m2 l 22 m1m2g1 = 0m2 l 2 2 m2 l11 m2 g2 = 0

69

Der Ansatz

fuumlhrt zu

m1 m2g minus l 1 2 minusm2 l2

2

minusm2 l1 2 m2 g minus l 2

2 a1a2 = 0

m1m2gminusl12gminusl 2

2 minus m2 l 1 l2

4= 0

plusmn

2 =g2

m1 m2

m1

l 1 l 2l1 l 2 1plusmn 1minus 4

m1

m1 m2

l1 l 2

l 1 l 2 2

Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Loumlsung wenn die Determinante verschwindet Diese Bedingung

ist eine quadratische Gleichung fuumlr ω2 Sie hat die Loumlsungen ω+2 und ω-

2

1t 2t = a1a2 e

i t

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

58

Diese Differenzialgleichung ist nur formal loumlsbar mit Hilfe von elliptischen IntegralenDas elliptische Integral erster Gattung in der Legendreschen Normalform lautet

F k = int0

d

1minusk2sin2

Die Loumlsung fuumlr das Pendel ist gegeben durch F(kφ)=ωt Die Schwingungsdauer des Pendels ist abhaumlngig von der Amplitude des Pendels

Drei verschiedene Anfangsauslenkungen π2-02 π2 und π2+02

59

Fuumlr kleine Winkel asymp sin

gl= 0

t = sin t = -2 sin t

Loumlsung falls -2gl

= 0 = gl

=2T

T=2 lg

C) ungedaumlmpfter harmonischer Oszillator (Federkraftschwinger)

Nebenbedingungen y = 0 z = 01 Freiheitsgrad

Eine verallgemeinerte Koordinate q = xDie ruumlcktreibende Kraft ist nach dem Hookschen Gesetz proportional zur Auslen-kung aus der Ruhelage

F = - k xDie Kraft besitzt ein Potenzial F = - grad U

U = +k2

x2

xk

m

Fuumlr kleine Auslenkung ist das Pendel isochron T ist unabhaumlngig von der Amplitude

60

Die Lagrangefunktion lautet L= T minusU =m2

x2minusk2

x2

ddt

part Lpart x

=ddt

m x=m x

part Lpart x

=minusk x m x kx= 0

Die allgemeine Loumlsung dieser DGL lautet

Mit Hilfe der Additionstheoreme fuumlr Winkelfunktionen laumlsst sich die Loumlsung auch schreiben als

C = Amplitude der Schwingung ω0 = Kreisfrequenz der Schwingungγ = Phasenverschiebung

v0 = Frequenz T = Periodendauer

x t = 1ei0t 2e

minusi0 t = Acos0 t B sin0 t mit 0= km

x t =C cos0 t

0= 2v0=2T

= km

61

34 Reibung

Eine realistische Beschreibung mechanischer Probleme erfordert die Beruumlcksichtigung von Reibung Reibungskraumlfte sind meist proportional zur Geschwindigkeit In kartesischen Koordinaten lassen sich Reibungskraumlfte durch folgenden Ansatz beschreiben

F diss i = minus x i

Diesen Kraumlften kann kein Potenzial zugeordnet werdenWir definieren die Rayleighsche Dissipationsfunktion D als

D x = sumi=1

3N i2x i2 D q q t = sum

i=1

3N i2

[ x i q q t ]2

Durch die modifizierten Lagrangegleichungen kann die Reibung beruumlcksichtigt werden

ddt

part Lpart qi

minuspart Lpartqi

part Dpart qi

= 0 i=1 f

Die von einem Teilchen abgegebene Leistung ist ndash Fdiss

v Fuumlr die Reibungskraft mit obiger Form erhalten wir γv2 Damit entspricht die Rayleighsche Dissipationsfunktion der halben vom System an die Reibung abgegebenen Leistung

John William Strutt seit 1873 3 Lord Rayleigh 12 11 1842 in Langford Grove Meldon England dagger 30 Juni 1919 Terlins Place bei Witham EnglandNobelpreis Physik 1904

62

1 Man fuumlhre geeignete generalisierte Koordinaten ein die die Nebenbedingungen automatisch erfuumlllen und der Symmetrie des Problems angepasst sind Die Nebenbedingung (Kegelgleichung) lautet

2minus z2 tan2 = x2 y2minus z 2 tan 2 = 0

z

g

αx

Sie ist befriedigt wenn wir als generalisierte Koordinaten den Abstand r vom Nullpunkt und den Winkel φ (Drehung um die z-Achse) entsprechend

einfuumlhren also Kugelkoordinaten mit benutzen

x = r sin cos y = r sinsin z = r cos

ϱ

r Massenpunkt der sich im Schwerefeld reibungsfrei auf einem Kegel bewegt

= = const

35 kompliziertere Beispiele351 Massenpunkt auf einem Kreiskegel

63

2 Man schreibt kinetische Energie T potenzielle Energie U und Lagrange-Funktion L als Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten auf

T =m2

x2 y2 z2 =m2

r 2 r22sin2

U = mg z = mg r cos

L =m2

r 2 r 22sin2 minus mg r cos

3 Man schreibe die Lagrange-Gleichungen 2 Art auf und formuliere die Erhaltungssaumltze

dd t

part Lpart r

minuspart Lpart r

= mr minus mr 2sin2 mg cos = 0

dd t

part Lpart

minuspart Lpart

=dd t

mr 2sin2 = 0

L haumlngt nicht explizite von φ ab Die entsprechende Erhaltungsgroumlszlige ist die z-Komponente des Drehimpulses da dieses Problem gegenuumlber Drehungen um die z-Achse invariant ist

mr2 sin2 =l z

64

Die Lagrange-Funktion haumlngt nicht explizit von der Zeit ab so dass der Energie-erhaltungssatz gilt

T U =m2

r2 r22sin2 mg r cos = E

4 Man loumlse die Lagrange-Gleichungen 2 Art unter Ausnutzung der Erhaltungssaumltze Jede Erhaltungsgroumlszlige stellt ein erstes Integral der Bewegungsgleichungen dar spartalso eine Integration (DGL 1 Ordnung) Damit kann also eine der Bewegungsgleichungen (DGL 2 Ordnung) ersetzt werdenElimination von im Energiesatz mit Hilfe des Drehimpulssatzes gibt

E =m2

r2l z2

2mr2sin2 mg r cos = const

Diese Gleichung entspricht der des Problems der eindimensionalen Bewegung eines Massenpunktes im Ersatzpotential

U eff r =l z2

2mr2sin2 mg r cos

=l z

mr2sin2

65

Da wir die Bewegungsgleichung nicht analytisch loumlsen koumlnnen beschraumlnken wir uns auf eine anschauliche Diskussion des Energiesatzes

E

U eff r

r1 r2

r

mg r cos

Ersatzpotential des Massen-punktes auf einem Kegel

Ist der Drehimpuls Null rollt der Massenpunkt mit der Beschleunigung g cos α in die Spitze hinein Ist ein Drehimpuls vorhanden dann zeigt die Abbildung dass die Bewegung staumlndig zwischen zwei festen Werten r1 und r2 hin und her geht der Massenpunkt rollt in auf- und absteigenden Spiralen zwischen den Kreisen der Houmlhe z1 = r1 cos α und z2 = r2 cos α mit gleich bleibendem Umlaufsinn auf dem Kegelmantel er kann (ohne Reibung) die Kegelspitze niemals erreichen

l z = = 0

66

352 Doppelpendel

g

x

y

φ1

φ2

l1

l2

m1

m2

Als verallgemeinerte Koordinaten waumlhlen wir die beiden Winkel φ1 und φ

2

x1 = l1sin1 x2 = l1 sin1l2sin2

y1 = minusl1cos1 y2 = minusl1cos1minusl2 cos2

z1 = 0 z2 = 0

67

Daraus folgt die kinetische Energie

T =m1

2 x12 y1

2 z12

m2

2 x22 y2

2 z22

=m1

2l121

2m2

2[ l121

2 l 222

2 2 l1 l 2cos1minus212 ]

L =m1m2

2l 121

2m2

2l 222

2 m2 l1 l 212cos1minus2

m1m2 g l 1cos1 m2 g l 2cos2

Zusammen mit der potentiellen Energie erhalten wir L=T-UU = m1 g y1 m2 g y2

ddt

part Lpart1

=part Lpart1

ddt

part Lpart2

=part Lpart2

Lagrangegleichungen 2 Art aufstellen

68

m1 m2 l121 m2 l 1 l 2 2 cos 1minus2 minus 2 1minus 2 sin 1minus2

= minus m2 l1 l 2 1 2 sin 1minus2 minus m1 m2 g l1 sin1

m2 l 222 m2 l 1 l 2 1 cos1minus 2 minus 1 1minus 2 sin 1minus2

= m2 l 1 l 2 1 2 sin 1minus 2 minus m2 g l 2 sin2

Das Doppelpendel kann auch mit dem Newtonschen Kraftgesetz behandelt werden Es waumlre aber sehr schwierig die verschiedenen Kopplungsterme im Rahmen der Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen

Daraus erhalten wir die Bewegungsgleichungen

Fuumlr kleine Schwingungen gilt und Auch sonst lassen wir alle in φi quadratischen (oder houmlheren) Terme weg

sin 1minus2 asymp 1minus2 cos1minus2 asymp 1

m1m2 l11 m2 l 22 m1m2g1 = 0m2 l 2 2 m2 l11 m2 g2 = 0

69

Der Ansatz

fuumlhrt zu

m1 m2g minus l 1 2 minusm2 l2

2

minusm2 l1 2 m2 g minus l 2

2 a1a2 = 0

m1m2gminusl12gminusl 2

2 minus m2 l 1 l2

4= 0

plusmn

2 =g2

m1 m2

m1

l 1 l 2l1 l 2 1plusmn 1minus 4

m1

m1 m2

l1 l 2

l 1 l 2 2

Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Loumlsung wenn die Determinante verschwindet Diese Bedingung

ist eine quadratische Gleichung fuumlr ω2 Sie hat die Loumlsungen ω+2 und ω-

2

1t 2t = a1a2 e

i t

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

59

Fuumlr kleine Winkel asymp sin

gl= 0

t = sin t = -2 sin t

Loumlsung falls -2gl

= 0 = gl

=2T

T=2 lg

C) ungedaumlmpfter harmonischer Oszillator (Federkraftschwinger)

Nebenbedingungen y = 0 z = 01 Freiheitsgrad

Eine verallgemeinerte Koordinate q = xDie ruumlcktreibende Kraft ist nach dem Hookschen Gesetz proportional zur Auslen-kung aus der Ruhelage

F = - k xDie Kraft besitzt ein Potenzial F = - grad U

U = +k2

x2

xk

m

Fuumlr kleine Auslenkung ist das Pendel isochron T ist unabhaumlngig von der Amplitude

60

Die Lagrangefunktion lautet L= T minusU =m2

x2minusk2

x2

ddt

part Lpart x

=ddt

m x=m x

part Lpart x

=minusk x m x kx= 0

Die allgemeine Loumlsung dieser DGL lautet

Mit Hilfe der Additionstheoreme fuumlr Winkelfunktionen laumlsst sich die Loumlsung auch schreiben als

C = Amplitude der Schwingung ω0 = Kreisfrequenz der Schwingungγ = Phasenverschiebung

v0 = Frequenz T = Periodendauer

x t = 1ei0t 2e

minusi0 t = Acos0 t B sin0 t mit 0= km

x t =C cos0 t

0= 2v0=2T

= km

61

34 Reibung

Eine realistische Beschreibung mechanischer Probleme erfordert die Beruumlcksichtigung von Reibung Reibungskraumlfte sind meist proportional zur Geschwindigkeit In kartesischen Koordinaten lassen sich Reibungskraumlfte durch folgenden Ansatz beschreiben

F diss i = minus x i

Diesen Kraumlften kann kein Potenzial zugeordnet werdenWir definieren die Rayleighsche Dissipationsfunktion D als

D x = sumi=1

3N i2x i2 D q q t = sum

i=1

3N i2

[ x i q q t ]2

Durch die modifizierten Lagrangegleichungen kann die Reibung beruumlcksichtigt werden

ddt

part Lpart qi

minuspart Lpartqi

part Dpart qi

= 0 i=1 f

Die von einem Teilchen abgegebene Leistung ist ndash Fdiss

v Fuumlr die Reibungskraft mit obiger Form erhalten wir γv2 Damit entspricht die Rayleighsche Dissipationsfunktion der halben vom System an die Reibung abgegebenen Leistung

John William Strutt seit 1873 3 Lord Rayleigh 12 11 1842 in Langford Grove Meldon England dagger 30 Juni 1919 Terlins Place bei Witham EnglandNobelpreis Physik 1904

62

1 Man fuumlhre geeignete generalisierte Koordinaten ein die die Nebenbedingungen automatisch erfuumlllen und der Symmetrie des Problems angepasst sind Die Nebenbedingung (Kegelgleichung) lautet

2minus z2 tan2 = x2 y2minus z 2 tan 2 = 0

z

g

αx

Sie ist befriedigt wenn wir als generalisierte Koordinaten den Abstand r vom Nullpunkt und den Winkel φ (Drehung um die z-Achse) entsprechend

einfuumlhren also Kugelkoordinaten mit benutzen

x = r sin cos y = r sinsin z = r cos

ϱ

r Massenpunkt der sich im Schwerefeld reibungsfrei auf einem Kegel bewegt

= = const

35 kompliziertere Beispiele351 Massenpunkt auf einem Kreiskegel

63

2 Man schreibt kinetische Energie T potenzielle Energie U und Lagrange-Funktion L als Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten auf

T =m2

x2 y2 z2 =m2

r 2 r22sin2

U = mg z = mg r cos

L =m2

r 2 r 22sin2 minus mg r cos

3 Man schreibe die Lagrange-Gleichungen 2 Art auf und formuliere die Erhaltungssaumltze

dd t

part Lpart r

minuspart Lpart r

= mr minus mr 2sin2 mg cos = 0

dd t

part Lpart

minuspart Lpart

=dd t

mr 2sin2 = 0

L haumlngt nicht explizite von φ ab Die entsprechende Erhaltungsgroumlszlige ist die z-Komponente des Drehimpulses da dieses Problem gegenuumlber Drehungen um die z-Achse invariant ist

mr2 sin2 =l z

64

Die Lagrange-Funktion haumlngt nicht explizit von der Zeit ab so dass der Energie-erhaltungssatz gilt

T U =m2

r2 r22sin2 mg r cos = E

4 Man loumlse die Lagrange-Gleichungen 2 Art unter Ausnutzung der Erhaltungssaumltze Jede Erhaltungsgroumlszlige stellt ein erstes Integral der Bewegungsgleichungen dar spartalso eine Integration (DGL 1 Ordnung) Damit kann also eine der Bewegungsgleichungen (DGL 2 Ordnung) ersetzt werdenElimination von im Energiesatz mit Hilfe des Drehimpulssatzes gibt

E =m2

r2l z2

2mr2sin2 mg r cos = const

Diese Gleichung entspricht der des Problems der eindimensionalen Bewegung eines Massenpunktes im Ersatzpotential

U eff r =l z2

2mr2sin2 mg r cos

=l z

mr2sin2

65

Da wir die Bewegungsgleichung nicht analytisch loumlsen koumlnnen beschraumlnken wir uns auf eine anschauliche Diskussion des Energiesatzes

E

U eff r

r1 r2

r

mg r cos

Ersatzpotential des Massen-punktes auf einem Kegel

Ist der Drehimpuls Null rollt der Massenpunkt mit der Beschleunigung g cos α in die Spitze hinein Ist ein Drehimpuls vorhanden dann zeigt die Abbildung dass die Bewegung staumlndig zwischen zwei festen Werten r1 und r2 hin und her geht der Massenpunkt rollt in auf- und absteigenden Spiralen zwischen den Kreisen der Houmlhe z1 = r1 cos α und z2 = r2 cos α mit gleich bleibendem Umlaufsinn auf dem Kegelmantel er kann (ohne Reibung) die Kegelspitze niemals erreichen

l z = = 0

66

352 Doppelpendel

g

x

y

φ1

φ2

l1

l2

m1

m2

Als verallgemeinerte Koordinaten waumlhlen wir die beiden Winkel φ1 und φ

2

x1 = l1sin1 x2 = l1 sin1l2sin2

y1 = minusl1cos1 y2 = minusl1cos1minusl2 cos2

z1 = 0 z2 = 0

67

Daraus folgt die kinetische Energie

T =m1

2 x12 y1

2 z12

m2

2 x22 y2

2 z22

=m1

2l121

2m2

2[ l121

2 l 222

2 2 l1 l 2cos1minus212 ]

L =m1m2

2l 121

2m2

2l 222

2 m2 l1 l 212cos1minus2

m1m2 g l 1cos1 m2 g l 2cos2

Zusammen mit der potentiellen Energie erhalten wir L=T-UU = m1 g y1 m2 g y2

ddt

part Lpart1

=part Lpart1

ddt

part Lpart2

=part Lpart2

Lagrangegleichungen 2 Art aufstellen

68

m1 m2 l121 m2 l 1 l 2 2 cos 1minus2 minus 2 1minus 2 sin 1minus2

= minus m2 l1 l 2 1 2 sin 1minus2 minus m1 m2 g l1 sin1

m2 l 222 m2 l 1 l 2 1 cos1minus 2 minus 1 1minus 2 sin 1minus2

= m2 l 1 l 2 1 2 sin 1minus 2 minus m2 g l 2 sin2

Das Doppelpendel kann auch mit dem Newtonschen Kraftgesetz behandelt werden Es waumlre aber sehr schwierig die verschiedenen Kopplungsterme im Rahmen der Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen

Daraus erhalten wir die Bewegungsgleichungen

Fuumlr kleine Schwingungen gilt und Auch sonst lassen wir alle in φi quadratischen (oder houmlheren) Terme weg

sin 1minus2 asymp 1minus2 cos1minus2 asymp 1

m1m2 l11 m2 l 22 m1m2g1 = 0m2 l 2 2 m2 l11 m2 g2 = 0

69

Der Ansatz

fuumlhrt zu

m1 m2g minus l 1 2 minusm2 l2

2

minusm2 l1 2 m2 g minus l 2

2 a1a2 = 0

m1m2gminusl12gminusl 2

2 minus m2 l 1 l2

4= 0

plusmn

2 =g2

m1 m2

m1

l 1 l 2l1 l 2 1plusmn 1minus 4

m1

m1 m2

l1 l 2

l 1 l 2 2

Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Loumlsung wenn die Determinante verschwindet Diese Bedingung

ist eine quadratische Gleichung fuumlr ω2 Sie hat die Loumlsungen ω+2 und ω-

2

1t 2t = a1a2 e

i t

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

60

Die Lagrangefunktion lautet L= T minusU =m2

x2minusk2

x2

ddt

part Lpart x

=ddt

m x=m x

part Lpart x

=minusk x m x kx= 0

Die allgemeine Loumlsung dieser DGL lautet

Mit Hilfe der Additionstheoreme fuumlr Winkelfunktionen laumlsst sich die Loumlsung auch schreiben als

C = Amplitude der Schwingung ω0 = Kreisfrequenz der Schwingungγ = Phasenverschiebung

v0 = Frequenz T = Periodendauer

x t = 1ei0t 2e

minusi0 t = Acos0 t B sin0 t mit 0= km

x t =C cos0 t

0= 2v0=2T

= km

61

34 Reibung

Eine realistische Beschreibung mechanischer Probleme erfordert die Beruumlcksichtigung von Reibung Reibungskraumlfte sind meist proportional zur Geschwindigkeit In kartesischen Koordinaten lassen sich Reibungskraumlfte durch folgenden Ansatz beschreiben

F diss i = minus x i

Diesen Kraumlften kann kein Potenzial zugeordnet werdenWir definieren die Rayleighsche Dissipationsfunktion D als

D x = sumi=1

3N i2x i2 D q q t = sum

i=1

3N i2

[ x i q q t ]2

Durch die modifizierten Lagrangegleichungen kann die Reibung beruumlcksichtigt werden

ddt

part Lpart qi

minuspart Lpartqi

part Dpart qi

= 0 i=1 f

Die von einem Teilchen abgegebene Leistung ist ndash Fdiss

v Fuumlr die Reibungskraft mit obiger Form erhalten wir γv2 Damit entspricht die Rayleighsche Dissipationsfunktion der halben vom System an die Reibung abgegebenen Leistung

John William Strutt seit 1873 3 Lord Rayleigh 12 11 1842 in Langford Grove Meldon England dagger 30 Juni 1919 Terlins Place bei Witham EnglandNobelpreis Physik 1904

62

1 Man fuumlhre geeignete generalisierte Koordinaten ein die die Nebenbedingungen automatisch erfuumlllen und der Symmetrie des Problems angepasst sind Die Nebenbedingung (Kegelgleichung) lautet

2minus z2 tan2 = x2 y2minus z 2 tan 2 = 0

z

g

αx

Sie ist befriedigt wenn wir als generalisierte Koordinaten den Abstand r vom Nullpunkt und den Winkel φ (Drehung um die z-Achse) entsprechend

einfuumlhren also Kugelkoordinaten mit benutzen

x = r sin cos y = r sinsin z = r cos

ϱ

r Massenpunkt der sich im Schwerefeld reibungsfrei auf einem Kegel bewegt

= = const

35 kompliziertere Beispiele351 Massenpunkt auf einem Kreiskegel

63

2 Man schreibt kinetische Energie T potenzielle Energie U und Lagrange-Funktion L als Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten auf

T =m2

x2 y2 z2 =m2

r 2 r22sin2

U = mg z = mg r cos

L =m2

r 2 r 22sin2 minus mg r cos

3 Man schreibe die Lagrange-Gleichungen 2 Art auf und formuliere die Erhaltungssaumltze

dd t

part Lpart r

minuspart Lpart r

= mr minus mr 2sin2 mg cos = 0

dd t

part Lpart

minuspart Lpart

=dd t

mr 2sin2 = 0

L haumlngt nicht explizite von φ ab Die entsprechende Erhaltungsgroumlszlige ist die z-Komponente des Drehimpulses da dieses Problem gegenuumlber Drehungen um die z-Achse invariant ist

mr2 sin2 =l z

64

Die Lagrange-Funktion haumlngt nicht explizit von der Zeit ab so dass der Energie-erhaltungssatz gilt

T U =m2

r2 r22sin2 mg r cos = E

4 Man loumlse die Lagrange-Gleichungen 2 Art unter Ausnutzung der Erhaltungssaumltze Jede Erhaltungsgroumlszlige stellt ein erstes Integral der Bewegungsgleichungen dar spartalso eine Integration (DGL 1 Ordnung) Damit kann also eine der Bewegungsgleichungen (DGL 2 Ordnung) ersetzt werdenElimination von im Energiesatz mit Hilfe des Drehimpulssatzes gibt

E =m2

r2l z2

2mr2sin2 mg r cos = const

Diese Gleichung entspricht der des Problems der eindimensionalen Bewegung eines Massenpunktes im Ersatzpotential

U eff r =l z2

2mr2sin2 mg r cos

=l z

mr2sin2

65

Da wir die Bewegungsgleichung nicht analytisch loumlsen koumlnnen beschraumlnken wir uns auf eine anschauliche Diskussion des Energiesatzes

E

U eff r

r1 r2

r

mg r cos

Ersatzpotential des Massen-punktes auf einem Kegel

Ist der Drehimpuls Null rollt der Massenpunkt mit der Beschleunigung g cos α in die Spitze hinein Ist ein Drehimpuls vorhanden dann zeigt die Abbildung dass die Bewegung staumlndig zwischen zwei festen Werten r1 und r2 hin und her geht der Massenpunkt rollt in auf- und absteigenden Spiralen zwischen den Kreisen der Houmlhe z1 = r1 cos α und z2 = r2 cos α mit gleich bleibendem Umlaufsinn auf dem Kegelmantel er kann (ohne Reibung) die Kegelspitze niemals erreichen

l z = = 0

66

352 Doppelpendel

g

x

y

φ1

φ2

l1

l2

m1

m2

Als verallgemeinerte Koordinaten waumlhlen wir die beiden Winkel φ1 und φ

2

x1 = l1sin1 x2 = l1 sin1l2sin2

y1 = minusl1cos1 y2 = minusl1cos1minusl2 cos2

z1 = 0 z2 = 0

67

Daraus folgt die kinetische Energie

T =m1

2 x12 y1

2 z12

m2

2 x22 y2

2 z22

=m1

2l121

2m2

2[ l121

2 l 222

2 2 l1 l 2cos1minus212 ]

L =m1m2

2l 121

2m2

2l 222

2 m2 l1 l 212cos1minus2

m1m2 g l 1cos1 m2 g l 2cos2

Zusammen mit der potentiellen Energie erhalten wir L=T-UU = m1 g y1 m2 g y2

ddt

part Lpart1

=part Lpart1

ddt

part Lpart2

=part Lpart2

Lagrangegleichungen 2 Art aufstellen

68

m1 m2 l121 m2 l 1 l 2 2 cos 1minus2 minus 2 1minus 2 sin 1minus2

= minus m2 l1 l 2 1 2 sin 1minus2 minus m1 m2 g l1 sin1

m2 l 222 m2 l 1 l 2 1 cos1minus 2 minus 1 1minus 2 sin 1minus2

= m2 l 1 l 2 1 2 sin 1minus 2 minus m2 g l 2 sin2

Das Doppelpendel kann auch mit dem Newtonschen Kraftgesetz behandelt werden Es waumlre aber sehr schwierig die verschiedenen Kopplungsterme im Rahmen der Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen

Daraus erhalten wir die Bewegungsgleichungen

Fuumlr kleine Schwingungen gilt und Auch sonst lassen wir alle in φi quadratischen (oder houmlheren) Terme weg

sin 1minus2 asymp 1minus2 cos1minus2 asymp 1

m1m2 l11 m2 l 22 m1m2g1 = 0m2 l 2 2 m2 l11 m2 g2 = 0

69

Der Ansatz

fuumlhrt zu

m1 m2g minus l 1 2 minusm2 l2

2

minusm2 l1 2 m2 g minus l 2

2 a1a2 = 0

m1m2gminusl12gminusl 2

2 minus m2 l 1 l2

4= 0

plusmn

2 =g2

m1 m2

m1

l 1 l 2l1 l 2 1plusmn 1minus 4

m1

m1 m2

l1 l 2

l 1 l 2 2

Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Loumlsung wenn die Determinante verschwindet Diese Bedingung

ist eine quadratische Gleichung fuumlr ω2 Sie hat die Loumlsungen ω+2 und ω-

2

1t 2t = a1a2 e

i t

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

61

34 Reibung

Eine realistische Beschreibung mechanischer Probleme erfordert die Beruumlcksichtigung von Reibung Reibungskraumlfte sind meist proportional zur Geschwindigkeit In kartesischen Koordinaten lassen sich Reibungskraumlfte durch folgenden Ansatz beschreiben

F diss i = minus x i

Diesen Kraumlften kann kein Potenzial zugeordnet werdenWir definieren die Rayleighsche Dissipationsfunktion D als

D x = sumi=1

3N i2x i2 D q q t = sum

i=1

3N i2

[ x i q q t ]2

Durch die modifizierten Lagrangegleichungen kann die Reibung beruumlcksichtigt werden

ddt

part Lpart qi

minuspart Lpartqi

part Dpart qi

= 0 i=1 f

Die von einem Teilchen abgegebene Leistung ist ndash Fdiss

v Fuumlr die Reibungskraft mit obiger Form erhalten wir γv2 Damit entspricht die Rayleighsche Dissipationsfunktion der halben vom System an die Reibung abgegebenen Leistung

John William Strutt seit 1873 3 Lord Rayleigh 12 11 1842 in Langford Grove Meldon England dagger 30 Juni 1919 Terlins Place bei Witham EnglandNobelpreis Physik 1904

62

1 Man fuumlhre geeignete generalisierte Koordinaten ein die die Nebenbedingungen automatisch erfuumlllen und der Symmetrie des Problems angepasst sind Die Nebenbedingung (Kegelgleichung) lautet

2minus z2 tan2 = x2 y2minus z 2 tan 2 = 0

z

g

αx

Sie ist befriedigt wenn wir als generalisierte Koordinaten den Abstand r vom Nullpunkt und den Winkel φ (Drehung um die z-Achse) entsprechend

einfuumlhren also Kugelkoordinaten mit benutzen

x = r sin cos y = r sinsin z = r cos

ϱ

r Massenpunkt der sich im Schwerefeld reibungsfrei auf einem Kegel bewegt

= = const

35 kompliziertere Beispiele351 Massenpunkt auf einem Kreiskegel

63

2 Man schreibt kinetische Energie T potenzielle Energie U und Lagrange-Funktion L als Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten auf

T =m2

x2 y2 z2 =m2

r 2 r22sin2

U = mg z = mg r cos

L =m2

r 2 r 22sin2 minus mg r cos

3 Man schreibe die Lagrange-Gleichungen 2 Art auf und formuliere die Erhaltungssaumltze

dd t

part Lpart r

minuspart Lpart r

= mr minus mr 2sin2 mg cos = 0

dd t

part Lpart

minuspart Lpart

=dd t

mr 2sin2 = 0

L haumlngt nicht explizite von φ ab Die entsprechende Erhaltungsgroumlszlige ist die z-Komponente des Drehimpulses da dieses Problem gegenuumlber Drehungen um die z-Achse invariant ist

mr2 sin2 =l z

64

Die Lagrange-Funktion haumlngt nicht explizit von der Zeit ab so dass der Energie-erhaltungssatz gilt

T U =m2

r2 r22sin2 mg r cos = E

4 Man loumlse die Lagrange-Gleichungen 2 Art unter Ausnutzung der Erhaltungssaumltze Jede Erhaltungsgroumlszlige stellt ein erstes Integral der Bewegungsgleichungen dar spartalso eine Integration (DGL 1 Ordnung) Damit kann also eine der Bewegungsgleichungen (DGL 2 Ordnung) ersetzt werdenElimination von im Energiesatz mit Hilfe des Drehimpulssatzes gibt

E =m2

r2l z2

2mr2sin2 mg r cos = const

Diese Gleichung entspricht der des Problems der eindimensionalen Bewegung eines Massenpunktes im Ersatzpotential

U eff r =l z2

2mr2sin2 mg r cos

=l z

mr2sin2

65

Da wir die Bewegungsgleichung nicht analytisch loumlsen koumlnnen beschraumlnken wir uns auf eine anschauliche Diskussion des Energiesatzes

E

U eff r

r1 r2

r

mg r cos

Ersatzpotential des Massen-punktes auf einem Kegel

Ist der Drehimpuls Null rollt der Massenpunkt mit der Beschleunigung g cos α in die Spitze hinein Ist ein Drehimpuls vorhanden dann zeigt die Abbildung dass die Bewegung staumlndig zwischen zwei festen Werten r1 und r2 hin und her geht der Massenpunkt rollt in auf- und absteigenden Spiralen zwischen den Kreisen der Houmlhe z1 = r1 cos α und z2 = r2 cos α mit gleich bleibendem Umlaufsinn auf dem Kegelmantel er kann (ohne Reibung) die Kegelspitze niemals erreichen

l z = = 0

66

352 Doppelpendel

g

x

y

φ1

φ2

l1

l2

m1

m2

Als verallgemeinerte Koordinaten waumlhlen wir die beiden Winkel φ1 und φ

2

x1 = l1sin1 x2 = l1 sin1l2sin2

y1 = minusl1cos1 y2 = minusl1cos1minusl2 cos2

z1 = 0 z2 = 0

67

Daraus folgt die kinetische Energie

T =m1

2 x12 y1

2 z12

m2

2 x22 y2

2 z22

=m1

2l121

2m2

2[ l121

2 l 222

2 2 l1 l 2cos1minus212 ]

L =m1m2

2l 121

2m2

2l 222

2 m2 l1 l 212cos1minus2

m1m2 g l 1cos1 m2 g l 2cos2

Zusammen mit der potentiellen Energie erhalten wir L=T-UU = m1 g y1 m2 g y2

ddt

part Lpart1

=part Lpart1

ddt

part Lpart2

=part Lpart2

Lagrangegleichungen 2 Art aufstellen

68

m1 m2 l121 m2 l 1 l 2 2 cos 1minus2 minus 2 1minus 2 sin 1minus2

= minus m2 l1 l 2 1 2 sin 1minus2 minus m1 m2 g l1 sin1

m2 l 222 m2 l 1 l 2 1 cos1minus 2 minus 1 1minus 2 sin 1minus2

= m2 l 1 l 2 1 2 sin 1minus 2 minus m2 g l 2 sin2

Das Doppelpendel kann auch mit dem Newtonschen Kraftgesetz behandelt werden Es waumlre aber sehr schwierig die verschiedenen Kopplungsterme im Rahmen der Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen

Daraus erhalten wir die Bewegungsgleichungen

Fuumlr kleine Schwingungen gilt und Auch sonst lassen wir alle in φi quadratischen (oder houmlheren) Terme weg

sin 1minus2 asymp 1minus2 cos1minus2 asymp 1

m1m2 l11 m2 l 22 m1m2g1 = 0m2 l 2 2 m2 l11 m2 g2 = 0

69

Der Ansatz

fuumlhrt zu

m1 m2g minus l 1 2 minusm2 l2

2

minusm2 l1 2 m2 g minus l 2

2 a1a2 = 0

m1m2gminusl12gminusl 2

2 minus m2 l 1 l2

4= 0

plusmn

2 =g2

m1 m2

m1

l 1 l 2l1 l 2 1plusmn 1minus 4

m1

m1 m2

l1 l 2

l 1 l 2 2

Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Loumlsung wenn die Determinante verschwindet Diese Bedingung

ist eine quadratische Gleichung fuumlr ω2 Sie hat die Loumlsungen ω+2 und ω-

2

1t 2t = a1a2 e

i t

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

62

1 Man fuumlhre geeignete generalisierte Koordinaten ein die die Nebenbedingungen automatisch erfuumlllen und der Symmetrie des Problems angepasst sind Die Nebenbedingung (Kegelgleichung) lautet

2minus z2 tan2 = x2 y2minus z 2 tan 2 = 0

z

g

αx

Sie ist befriedigt wenn wir als generalisierte Koordinaten den Abstand r vom Nullpunkt und den Winkel φ (Drehung um die z-Achse) entsprechend

einfuumlhren also Kugelkoordinaten mit benutzen

x = r sin cos y = r sinsin z = r cos

ϱ

r Massenpunkt der sich im Schwerefeld reibungsfrei auf einem Kegel bewegt

= = const

35 kompliziertere Beispiele351 Massenpunkt auf einem Kreiskegel

63

2 Man schreibt kinetische Energie T potenzielle Energie U und Lagrange-Funktion L als Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten auf

T =m2

x2 y2 z2 =m2

r 2 r22sin2

U = mg z = mg r cos

L =m2

r 2 r 22sin2 minus mg r cos

3 Man schreibe die Lagrange-Gleichungen 2 Art auf und formuliere die Erhaltungssaumltze

dd t

part Lpart r

minuspart Lpart r

= mr minus mr 2sin2 mg cos = 0

dd t

part Lpart

minuspart Lpart

=dd t

mr 2sin2 = 0

L haumlngt nicht explizite von φ ab Die entsprechende Erhaltungsgroumlszlige ist die z-Komponente des Drehimpulses da dieses Problem gegenuumlber Drehungen um die z-Achse invariant ist

mr2 sin2 =l z

64

Die Lagrange-Funktion haumlngt nicht explizit von der Zeit ab so dass der Energie-erhaltungssatz gilt

T U =m2

r2 r22sin2 mg r cos = E

4 Man loumlse die Lagrange-Gleichungen 2 Art unter Ausnutzung der Erhaltungssaumltze Jede Erhaltungsgroumlszlige stellt ein erstes Integral der Bewegungsgleichungen dar spartalso eine Integration (DGL 1 Ordnung) Damit kann also eine der Bewegungsgleichungen (DGL 2 Ordnung) ersetzt werdenElimination von im Energiesatz mit Hilfe des Drehimpulssatzes gibt

E =m2

r2l z2

2mr2sin2 mg r cos = const

Diese Gleichung entspricht der des Problems der eindimensionalen Bewegung eines Massenpunktes im Ersatzpotential

U eff r =l z2

2mr2sin2 mg r cos

=l z

mr2sin2

65

Da wir die Bewegungsgleichung nicht analytisch loumlsen koumlnnen beschraumlnken wir uns auf eine anschauliche Diskussion des Energiesatzes

E

U eff r

r1 r2

r

mg r cos

Ersatzpotential des Massen-punktes auf einem Kegel

Ist der Drehimpuls Null rollt der Massenpunkt mit der Beschleunigung g cos α in die Spitze hinein Ist ein Drehimpuls vorhanden dann zeigt die Abbildung dass die Bewegung staumlndig zwischen zwei festen Werten r1 und r2 hin und her geht der Massenpunkt rollt in auf- und absteigenden Spiralen zwischen den Kreisen der Houmlhe z1 = r1 cos α und z2 = r2 cos α mit gleich bleibendem Umlaufsinn auf dem Kegelmantel er kann (ohne Reibung) die Kegelspitze niemals erreichen

l z = = 0

66

352 Doppelpendel

g

x

y

φ1

φ2

l1

l2

m1

m2

Als verallgemeinerte Koordinaten waumlhlen wir die beiden Winkel φ1 und φ

2

x1 = l1sin1 x2 = l1 sin1l2sin2

y1 = minusl1cos1 y2 = minusl1cos1minusl2 cos2

z1 = 0 z2 = 0

67

Daraus folgt die kinetische Energie

T =m1

2 x12 y1

2 z12

m2

2 x22 y2

2 z22

=m1

2l121

2m2

2[ l121

2 l 222

2 2 l1 l 2cos1minus212 ]

L =m1m2

2l 121

2m2

2l 222

2 m2 l1 l 212cos1minus2

m1m2 g l 1cos1 m2 g l 2cos2

Zusammen mit der potentiellen Energie erhalten wir L=T-UU = m1 g y1 m2 g y2

ddt

part Lpart1

=part Lpart1

ddt

part Lpart2

=part Lpart2

Lagrangegleichungen 2 Art aufstellen

68

m1 m2 l121 m2 l 1 l 2 2 cos 1minus2 minus 2 1minus 2 sin 1minus2

= minus m2 l1 l 2 1 2 sin 1minus2 minus m1 m2 g l1 sin1

m2 l 222 m2 l 1 l 2 1 cos1minus 2 minus 1 1minus 2 sin 1minus2

= m2 l 1 l 2 1 2 sin 1minus 2 minus m2 g l 2 sin2

Das Doppelpendel kann auch mit dem Newtonschen Kraftgesetz behandelt werden Es waumlre aber sehr schwierig die verschiedenen Kopplungsterme im Rahmen der Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen

Daraus erhalten wir die Bewegungsgleichungen

Fuumlr kleine Schwingungen gilt und Auch sonst lassen wir alle in φi quadratischen (oder houmlheren) Terme weg

sin 1minus2 asymp 1minus2 cos1minus2 asymp 1

m1m2 l11 m2 l 22 m1m2g1 = 0m2 l 2 2 m2 l11 m2 g2 = 0

69

Der Ansatz

fuumlhrt zu

m1 m2g minus l 1 2 minusm2 l2

2

minusm2 l1 2 m2 g minus l 2

2 a1a2 = 0

m1m2gminusl12gminusl 2

2 minus m2 l 1 l2

4= 0

plusmn

2 =g2

m1 m2

m1

l 1 l 2l1 l 2 1plusmn 1minus 4

m1

m1 m2

l1 l 2

l 1 l 2 2

Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Loumlsung wenn die Determinante verschwindet Diese Bedingung

ist eine quadratische Gleichung fuumlr ω2 Sie hat die Loumlsungen ω+2 und ω-

2

1t 2t = a1a2 e

i t

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

63

2 Man schreibt kinetische Energie T potenzielle Energie U und Lagrange-Funktion L als Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten auf

T =m2

x2 y2 z2 =m2

r 2 r22sin2

U = mg z = mg r cos

L =m2

r 2 r 22sin2 minus mg r cos

3 Man schreibe die Lagrange-Gleichungen 2 Art auf und formuliere die Erhaltungssaumltze

dd t

part Lpart r

minuspart Lpart r

= mr minus mr 2sin2 mg cos = 0

dd t

part Lpart

minuspart Lpart

=dd t

mr 2sin2 = 0

L haumlngt nicht explizite von φ ab Die entsprechende Erhaltungsgroumlszlige ist die z-Komponente des Drehimpulses da dieses Problem gegenuumlber Drehungen um die z-Achse invariant ist

mr2 sin2 =l z

64

Die Lagrange-Funktion haumlngt nicht explizit von der Zeit ab so dass der Energie-erhaltungssatz gilt

T U =m2

r2 r22sin2 mg r cos = E

4 Man loumlse die Lagrange-Gleichungen 2 Art unter Ausnutzung der Erhaltungssaumltze Jede Erhaltungsgroumlszlige stellt ein erstes Integral der Bewegungsgleichungen dar spartalso eine Integration (DGL 1 Ordnung) Damit kann also eine der Bewegungsgleichungen (DGL 2 Ordnung) ersetzt werdenElimination von im Energiesatz mit Hilfe des Drehimpulssatzes gibt

E =m2

r2l z2

2mr2sin2 mg r cos = const

Diese Gleichung entspricht der des Problems der eindimensionalen Bewegung eines Massenpunktes im Ersatzpotential

U eff r =l z2

2mr2sin2 mg r cos

=l z

mr2sin2

65

Da wir die Bewegungsgleichung nicht analytisch loumlsen koumlnnen beschraumlnken wir uns auf eine anschauliche Diskussion des Energiesatzes

E

U eff r

r1 r2

r

mg r cos

Ersatzpotential des Massen-punktes auf einem Kegel

Ist der Drehimpuls Null rollt der Massenpunkt mit der Beschleunigung g cos α in die Spitze hinein Ist ein Drehimpuls vorhanden dann zeigt die Abbildung dass die Bewegung staumlndig zwischen zwei festen Werten r1 und r2 hin und her geht der Massenpunkt rollt in auf- und absteigenden Spiralen zwischen den Kreisen der Houmlhe z1 = r1 cos α und z2 = r2 cos α mit gleich bleibendem Umlaufsinn auf dem Kegelmantel er kann (ohne Reibung) die Kegelspitze niemals erreichen

l z = = 0

66

352 Doppelpendel

g

x

y

φ1

φ2

l1

l2

m1

m2

Als verallgemeinerte Koordinaten waumlhlen wir die beiden Winkel φ1 und φ

2

x1 = l1sin1 x2 = l1 sin1l2sin2

y1 = minusl1cos1 y2 = minusl1cos1minusl2 cos2

z1 = 0 z2 = 0

67

Daraus folgt die kinetische Energie

T =m1

2 x12 y1

2 z12

m2

2 x22 y2

2 z22

=m1

2l121

2m2

2[ l121

2 l 222

2 2 l1 l 2cos1minus212 ]

L =m1m2

2l 121

2m2

2l 222

2 m2 l1 l 212cos1minus2

m1m2 g l 1cos1 m2 g l 2cos2

Zusammen mit der potentiellen Energie erhalten wir L=T-UU = m1 g y1 m2 g y2

ddt

part Lpart1

=part Lpart1

ddt

part Lpart2

=part Lpart2

Lagrangegleichungen 2 Art aufstellen

68

m1 m2 l121 m2 l 1 l 2 2 cos 1minus2 minus 2 1minus 2 sin 1minus2

= minus m2 l1 l 2 1 2 sin 1minus2 minus m1 m2 g l1 sin1

m2 l 222 m2 l 1 l 2 1 cos1minus 2 minus 1 1minus 2 sin 1minus2

= m2 l 1 l 2 1 2 sin 1minus 2 minus m2 g l 2 sin2

Das Doppelpendel kann auch mit dem Newtonschen Kraftgesetz behandelt werden Es waumlre aber sehr schwierig die verschiedenen Kopplungsterme im Rahmen der Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen

Daraus erhalten wir die Bewegungsgleichungen

Fuumlr kleine Schwingungen gilt und Auch sonst lassen wir alle in φi quadratischen (oder houmlheren) Terme weg

sin 1minus2 asymp 1minus2 cos1minus2 asymp 1

m1m2 l11 m2 l 22 m1m2g1 = 0m2 l 2 2 m2 l11 m2 g2 = 0

69

Der Ansatz

fuumlhrt zu

m1 m2g minus l 1 2 minusm2 l2

2

minusm2 l1 2 m2 g minus l 2

2 a1a2 = 0

m1m2gminusl12gminusl 2

2 minus m2 l 1 l2

4= 0

plusmn

2 =g2

m1 m2

m1

l 1 l 2l1 l 2 1plusmn 1minus 4

m1

m1 m2

l1 l 2

l 1 l 2 2

Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Loumlsung wenn die Determinante verschwindet Diese Bedingung

ist eine quadratische Gleichung fuumlr ω2 Sie hat die Loumlsungen ω+2 und ω-

2

1t 2t = a1a2 e

i t

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

64

Die Lagrange-Funktion haumlngt nicht explizit von der Zeit ab so dass der Energie-erhaltungssatz gilt

T U =m2

r2 r22sin2 mg r cos = E

4 Man loumlse die Lagrange-Gleichungen 2 Art unter Ausnutzung der Erhaltungssaumltze Jede Erhaltungsgroumlszlige stellt ein erstes Integral der Bewegungsgleichungen dar spartalso eine Integration (DGL 1 Ordnung) Damit kann also eine der Bewegungsgleichungen (DGL 2 Ordnung) ersetzt werdenElimination von im Energiesatz mit Hilfe des Drehimpulssatzes gibt

E =m2

r2l z2

2mr2sin2 mg r cos = const

Diese Gleichung entspricht der des Problems der eindimensionalen Bewegung eines Massenpunktes im Ersatzpotential

U eff r =l z2

2mr2sin2 mg r cos

=l z

mr2sin2

65

Da wir die Bewegungsgleichung nicht analytisch loumlsen koumlnnen beschraumlnken wir uns auf eine anschauliche Diskussion des Energiesatzes

E

U eff r

r1 r2

r

mg r cos

Ersatzpotential des Massen-punktes auf einem Kegel

Ist der Drehimpuls Null rollt der Massenpunkt mit der Beschleunigung g cos α in die Spitze hinein Ist ein Drehimpuls vorhanden dann zeigt die Abbildung dass die Bewegung staumlndig zwischen zwei festen Werten r1 und r2 hin und her geht der Massenpunkt rollt in auf- und absteigenden Spiralen zwischen den Kreisen der Houmlhe z1 = r1 cos α und z2 = r2 cos α mit gleich bleibendem Umlaufsinn auf dem Kegelmantel er kann (ohne Reibung) die Kegelspitze niemals erreichen

l z = = 0

66

352 Doppelpendel

g

x

y

φ1

φ2

l1

l2

m1

m2

Als verallgemeinerte Koordinaten waumlhlen wir die beiden Winkel φ1 und φ

2

x1 = l1sin1 x2 = l1 sin1l2sin2

y1 = minusl1cos1 y2 = minusl1cos1minusl2 cos2

z1 = 0 z2 = 0

67

Daraus folgt die kinetische Energie

T =m1

2 x12 y1

2 z12

m2

2 x22 y2

2 z22

=m1

2l121

2m2

2[ l121

2 l 222

2 2 l1 l 2cos1minus212 ]

L =m1m2

2l 121

2m2

2l 222

2 m2 l1 l 212cos1minus2

m1m2 g l 1cos1 m2 g l 2cos2

Zusammen mit der potentiellen Energie erhalten wir L=T-UU = m1 g y1 m2 g y2

ddt

part Lpart1

=part Lpart1

ddt

part Lpart2

=part Lpart2

Lagrangegleichungen 2 Art aufstellen

68

m1 m2 l121 m2 l 1 l 2 2 cos 1minus2 minus 2 1minus 2 sin 1minus2

= minus m2 l1 l 2 1 2 sin 1minus2 minus m1 m2 g l1 sin1

m2 l 222 m2 l 1 l 2 1 cos1minus 2 minus 1 1minus 2 sin 1minus2

= m2 l 1 l 2 1 2 sin 1minus 2 minus m2 g l 2 sin2

Das Doppelpendel kann auch mit dem Newtonschen Kraftgesetz behandelt werden Es waumlre aber sehr schwierig die verschiedenen Kopplungsterme im Rahmen der Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen

Daraus erhalten wir die Bewegungsgleichungen

Fuumlr kleine Schwingungen gilt und Auch sonst lassen wir alle in φi quadratischen (oder houmlheren) Terme weg

sin 1minus2 asymp 1minus2 cos1minus2 asymp 1

m1m2 l11 m2 l 22 m1m2g1 = 0m2 l 2 2 m2 l11 m2 g2 = 0

69

Der Ansatz

fuumlhrt zu

m1 m2g minus l 1 2 minusm2 l2

2

minusm2 l1 2 m2 g minus l 2

2 a1a2 = 0

m1m2gminusl12gminusl 2

2 minus m2 l 1 l2

4= 0

plusmn

2 =g2

m1 m2

m1

l 1 l 2l1 l 2 1plusmn 1minus 4

m1

m1 m2

l1 l 2

l 1 l 2 2

Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Loumlsung wenn die Determinante verschwindet Diese Bedingung

ist eine quadratische Gleichung fuumlr ω2 Sie hat die Loumlsungen ω+2 und ω-

2

1t 2t = a1a2 e

i t

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

65

Da wir die Bewegungsgleichung nicht analytisch loumlsen koumlnnen beschraumlnken wir uns auf eine anschauliche Diskussion des Energiesatzes

E

U eff r

r1 r2

r

mg r cos

Ersatzpotential des Massen-punktes auf einem Kegel

Ist der Drehimpuls Null rollt der Massenpunkt mit der Beschleunigung g cos α in die Spitze hinein Ist ein Drehimpuls vorhanden dann zeigt die Abbildung dass die Bewegung staumlndig zwischen zwei festen Werten r1 und r2 hin und her geht der Massenpunkt rollt in auf- und absteigenden Spiralen zwischen den Kreisen der Houmlhe z1 = r1 cos α und z2 = r2 cos α mit gleich bleibendem Umlaufsinn auf dem Kegelmantel er kann (ohne Reibung) die Kegelspitze niemals erreichen

l z = = 0

66

352 Doppelpendel

g

x

y

φ1

φ2

l1

l2

m1

m2

Als verallgemeinerte Koordinaten waumlhlen wir die beiden Winkel φ1 und φ

2

x1 = l1sin1 x2 = l1 sin1l2sin2

y1 = minusl1cos1 y2 = minusl1cos1minusl2 cos2

z1 = 0 z2 = 0

67

Daraus folgt die kinetische Energie

T =m1

2 x12 y1

2 z12

m2

2 x22 y2

2 z22

=m1

2l121

2m2

2[ l121

2 l 222

2 2 l1 l 2cos1minus212 ]

L =m1m2

2l 121

2m2

2l 222

2 m2 l1 l 212cos1minus2

m1m2 g l 1cos1 m2 g l 2cos2

Zusammen mit der potentiellen Energie erhalten wir L=T-UU = m1 g y1 m2 g y2

ddt

part Lpart1

=part Lpart1

ddt

part Lpart2

=part Lpart2

Lagrangegleichungen 2 Art aufstellen

68

m1 m2 l121 m2 l 1 l 2 2 cos 1minus2 minus 2 1minus 2 sin 1minus2

= minus m2 l1 l 2 1 2 sin 1minus2 minus m1 m2 g l1 sin1

m2 l 222 m2 l 1 l 2 1 cos1minus 2 minus 1 1minus 2 sin 1minus2

= m2 l 1 l 2 1 2 sin 1minus 2 minus m2 g l 2 sin2

Das Doppelpendel kann auch mit dem Newtonschen Kraftgesetz behandelt werden Es waumlre aber sehr schwierig die verschiedenen Kopplungsterme im Rahmen der Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen

Daraus erhalten wir die Bewegungsgleichungen

Fuumlr kleine Schwingungen gilt und Auch sonst lassen wir alle in φi quadratischen (oder houmlheren) Terme weg

sin 1minus2 asymp 1minus2 cos1minus2 asymp 1

m1m2 l11 m2 l 22 m1m2g1 = 0m2 l 2 2 m2 l11 m2 g2 = 0

69

Der Ansatz

fuumlhrt zu

m1 m2g minus l 1 2 minusm2 l2

2

minusm2 l1 2 m2 g minus l 2

2 a1a2 = 0

m1m2gminusl12gminusl 2

2 minus m2 l 1 l2

4= 0

plusmn

2 =g2

m1 m2

m1

l 1 l 2l1 l 2 1plusmn 1minus 4

m1

m1 m2

l1 l 2

l 1 l 2 2

Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Loumlsung wenn die Determinante verschwindet Diese Bedingung

ist eine quadratische Gleichung fuumlr ω2 Sie hat die Loumlsungen ω+2 und ω-

2

1t 2t = a1a2 e

i t

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

66

352 Doppelpendel

g

x

y

φ1

φ2

l1

l2

m1

m2

Als verallgemeinerte Koordinaten waumlhlen wir die beiden Winkel φ1 und φ

2

x1 = l1sin1 x2 = l1 sin1l2sin2

y1 = minusl1cos1 y2 = minusl1cos1minusl2 cos2

z1 = 0 z2 = 0

67

Daraus folgt die kinetische Energie

T =m1

2 x12 y1

2 z12

m2

2 x22 y2

2 z22

=m1

2l121

2m2

2[ l121

2 l 222

2 2 l1 l 2cos1minus212 ]

L =m1m2

2l 121

2m2

2l 222

2 m2 l1 l 212cos1minus2

m1m2 g l 1cos1 m2 g l 2cos2

Zusammen mit der potentiellen Energie erhalten wir L=T-UU = m1 g y1 m2 g y2

ddt

part Lpart1

=part Lpart1

ddt

part Lpart2

=part Lpart2

Lagrangegleichungen 2 Art aufstellen

68

m1 m2 l121 m2 l 1 l 2 2 cos 1minus2 minus 2 1minus 2 sin 1minus2

= minus m2 l1 l 2 1 2 sin 1minus2 minus m1 m2 g l1 sin1

m2 l 222 m2 l 1 l 2 1 cos1minus 2 minus 1 1minus 2 sin 1minus2

= m2 l 1 l 2 1 2 sin 1minus 2 minus m2 g l 2 sin2

Das Doppelpendel kann auch mit dem Newtonschen Kraftgesetz behandelt werden Es waumlre aber sehr schwierig die verschiedenen Kopplungsterme im Rahmen der Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen

Daraus erhalten wir die Bewegungsgleichungen

Fuumlr kleine Schwingungen gilt und Auch sonst lassen wir alle in φi quadratischen (oder houmlheren) Terme weg

sin 1minus2 asymp 1minus2 cos1minus2 asymp 1

m1m2 l11 m2 l 22 m1m2g1 = 0m2 l 2 2 m2 l11 m2 g2 = 0

69

Der Ansatz

fuumlhrt zu

m1 m2g minus l 1 2 minusm2 l2

2

minusm2 l1 2 m2 g minus l 2

2 a1a2 = 0

m1m2gminusl12gminusl 2

2 minus m2 l 1 l2

4= 0

plusmn

2 =g2

m1 m2

m1

l 1 l 2l1 l 2 1plusmn 1minus 4

m1

m1 m2

l1 l 2

l 1 l 2 2

Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Loumlsung wenn die Determinante verschwindet Diese Bedingung

ist eine quadratische Gleichung fuumlr ω2 Sie hat die Loumlsungen ω+2 und ω-

2

1t 2t = a1a2 e

i t

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

67

Daraus folgt die kinetische Energie

T =m1

2 x12 y1

2 z12

m2

2 x22 y2

2 z22

=m1

2l121

2m2

2[ l121

2 l 222

2 2 l1 l 2cos1minus212 ]

L =m1m2

2l 121

2m2

2l 222

2 m2 l1 l 212cos1minus2

m1m2 g l 1cos1 m2 g l 2cos2

Zusammen mit der potentiellen Energie erhalten wir L=T-UU = m1 g y1 m2 g y2

ddt

part Lpart1

=part Lpart1

ddt

part Lpart2

=part Lpart2

Lagrangegleichungen 2 Art aufstellen

68

m1 m2 l121 m2 l 1 l 2 2 cos 1minus2 minus 2 1minus 2 sin 1minus2

= minus m2 l1 l 2 1 2 sin 1minus2 minus m1 m2 g l1 sin1

m2 l 222 m2 l 1 l 2 1 cos1minus 2 minus 1 1minus 2 sin 1minus2

= m2 l 1 l 2 1 2 sin 1minus 2 minus m2 g l 2 sin2

Das Doppelpendel kann auch mit dem Newtonschen Kraftgesetz behandelt werden Es waumlre aber sehr schwierig die verschiedenen Kopplungsterme im Rahmen der Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen

Daraus erhalten wir die Bewegungsgleichungen

Fuumlr kleine Schwingungen gilt und Auch sonst lassen wir alle in φi quadratischen (oder houmlheren) Terme weg

sin 1minus2 asymp 1minus2 cos1minus2 asymp 1

m1m2 l11 m2 l 22 m1m2g1 = 0m2 l 2 2 m2 l11 m2 g2 = 0

69

Der Ansatz

fuumlhrt zu

m1 m2g minus l 1 2 minusm2 l2

2

minusm2 l1 2 m2 g minus l 2

2 a1a2 = 0

m1m2gminusl12gminusl 2

2 minus m2 l 1 l2

4= 0

plusmn

2 =g2

m1 m2

m1

l 1 l 2l1 l 2 1plusmn 1minus 4

m1

m1 m2

l1 l 2

l 1 l 2 2

Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Loumlsung wenn die Determinante verschwindet Diese Bedingung

ist eine quadratische Gleichung fuumlr ω2 Sie hat die Loumlsungen ω+2 und ω-

2

1t 2t = a1a2 e

i t

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

68

m1 m2 l121 m2 l 1 l 2 2 cos 1minus2 minus 2 1minus 2 sin 1minus2

= minus m2 l1 l 2 1 2 sin 1minus2 minus m1 m2 g l1 sin1

m2 l 222 m2 l 1 l 2 1 cos1minus 2 minus 1 1minus 2 sin 1minus2

= m2 l 1 l 2 1 2 sin 1minus 2 minus m2 g l 2 sin2

Das Doppelpendel kann auch mit dem Newtonschen Kraftgesetz behandelt werden Es waumlre aber sehr schwierig die verschiedenen Kopplungsterme im Rahmen der Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen

Daraus erhalten wir die Bewegungsgleichungen

Fuumlr kleine Schwingungen gilt und Auch sonst lassen wir alle in φi quadratischen (oder houmlheren) Terme weg

sin 1minus2 asymp 1minus2 cos1minus2 asymp 1

m1m2 l11 m2 l 22 m1m2g1 = 0m2 l 2 2 m2 l11 m2 g2 = 0

69

Der Ansatz

fuumlhrt zu

m1 m2g minus l 1 2 minusm2 l2

2

minusm2 l1 2 m2 g minus l 2

2 a1a2 = 0

m1m2gminusl12gminusl 2

2 minus m2 l 1 l2

4= 0

plusmn

2 =g2

m1 m2

m1

l 1 l 2l1 l 2 1plusmn 1minus 4

m1

m1 m2

l1 l 2

l 1 l 2 2

Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Loumlsung wenn die Determinante verschwindet Diese Bedingung

ist eine quadratische Gleichung fuumlr ω2 Sie hat die Loumlsungen ω+2 und ω-

2

1t 2t = a1a2 e

i t

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

69

Der Ansatz

fuumlhrt zu

m1 m2g minus l 1 2 minusm2 l2

2

minusm2 l1 2 m2 g minus l 2

2 a1a2 = 0

m1m2gminusl12gminusl 2

2 minus m2 l 1 l2

4= 0

plusmn

2 =g2

m1 m2

m1

l 1 l 2l1 l 2 1plusmn 1minus 4

m1

m1 m2

l1 l 2

l 1 l 2 2

Dieses lineare Gleichungssystem hat nur dann eine nicht triviale Loumlsung wenn die Determinante verschwindet Diese Bedingung

ist eine quadratische Gleichung fuumlr ω2 Sie hat die Loumlsungen ω+2 und ω-

2

1t 2t = a1a2 e

i t

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

70

Im Fall m1 ltlt m2 erhalten wir

2 asymp

gl 2

a1 asymp minusl2l1

a2

minus2 asymp

gl1l 2

a1 asymp a2

2 asymp g

m2

m1

l1l2l1 l 2

minus2 asymp

gl1

Dies sind die Frequenzen der einzelnen Pendel In diesem Fall schwingen die Pendel praktisch unabhaumlngig voneinander Weil m1 so groszlig ist wird seine Schwingung durch das bdquoAnhaumlngselldquo m2 praktisch nicht gestoumlrt

und

Im ersten Fall schwingen die Massen gegenlaumlufig Im zweiten Fall bilden die beiden Stangen l1 und l2 eine gerade LinieIm Fall m1 gtgt m2 erhalten wir

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml

71

Im Fall m1 = m2 = m und l1 = l2 = l erhalten wir

plusmn2 =

gl

2plusmn2 a1 = ∓a22

Dies ist entweder eine schnellere gegenlaumlufige oder eine langsamere gleichlaumlufige Schwingung In jedem Fall ist die Winkelamplitude der unteren Masse um den Faktor radic2 groumlszliger

mit

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster welches exponentiell auf Stoumlrungen reagiert Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik (Produkt der Winkelgeschwindigkeiten)

httpwwwmathstatdalca~selingerlagrangedoublependulumhtml