42 8 Teilchen im Kasten, TiK

Quantenmechanische Behandlung des Teilchens im Kasten (vgl. obiges Schema):

(a) Aufstellen des Hamiltonoperators H = T + V im gesamten Definitionsbereich:in diesem Fall muss zwischen den drei Bereichen unterschieden werden: HI , HII , HIII (Abbildung 8.2)

HI = HIII = −~2

2me

d2

dx2+∞

HII = −~2

2me

d2

dx2

(b) Bestimmung des Funktionstyps für die Wellenfunktion ψ durch Lösung der SchrödingergleichungHψ = Eψ

Im Bereich unendlich positiven (abstoßenden) Potentials hält sich das Elektron nicht auf.Dies wird in der Quantenmechanik dadurch wiedergegeben, dass die Wellenfunktion in den Bereichen Iund III zu Null wird.

(I, III) :d2ψ

dx2=

2me

~2(V − E)ψ

=⇒ ψ = Ce−

√

2me(V −E)

~2 x+De

√

2me(V −E)

~2 x

für V → ∞ >> E : ψ = 0 (erster Term Null, zweiter Term nicht normierbar und somit nicht erlaubt)

=⇒ ψI = ψIII = 0 (8.1)

Alternativ kann das Verschwinden der Wellenfunktion außerhalb des Intervalls [0, L] auch mit Hilfe derStetigkeitsforderung gezeigt werden:

d2ψ

dx2= ∞ψ unter der Annahme V >> E

=⇒ ψ =1

∞

d2ψ

dx2

Da gültige Wellenfunktionen ψ stetig differenzierbar sein müssen, hat die zweite Ableitung stets einenendlichen Wert.Damit folgt direkt ψI = ψIII = 0.

Innerhalb des Moleküls (im Intervall [0, L]) wird zunächst der allgemeine Ansatz für die Wellenfunktiongewählt.

ψII = A sin (kx) +B cos (kx)

mit k2 = 2mE~2 und E > 0.

Dies entspricht einer stehenden Welle für das gebundene System, im Unterschied zu laufenden ebenenWellen für freie Teilchen; alternativ wäre Ceikx+De−ikx möglich, dieser Ansatz wird hier nicht verwendet.

(c) Einschränkung von ψ durch Randbedingungen an erlaubte Wellenfunktion:

Normierbarkeit: erfüllt durch Beschränkung auf Intervall [0, L]

Stetigkeit: daraus ergibt sich die Forderung ψ(0) = ψ(L)!= 0

=⇒ B = 0.

Stetige Differenzierbarkeit: überall erfüllt, außer an den Rändern. Dort gilt aber eine Ausnahme, da Vdort Unendlichkeitsstellen (Unstetigkeiten) besitzt.

Aus der Randbedingung ψ(L)!= 0 ergibt sich die Bedingung

k =nπ

L(8.2)

46 8 Teilchen im Kasten, TiK

Der Term für T2D ergibt sich nach dem Korrespondenzprinzip I aus der Berechnung über den Impuls-operator:

~p =

(

~

i

∂

∂x,~

i

∂

∂y

)

T2D =1

2m~p · ~p

(b) Ansatz für die Lösung der Schrödingergleichung: Produktfunktion aus 1D-Lösungen.Dies folgt aus dem Aufbau von H2D als Summe zweier Einteilchenoperatoren. Daraus lassen sich dieVariablen x und y mit einem Produktansatz für ψ separieren (TdV):

ψ(x, y) = X(x)Y (y)

T2D = Tx + Ty

⇒ H2Dψ(x, y) = TxXY + TyXY

TdV:1

XTxX = −

1

YTyY = konstant

Analog zum eindimensionalen Kasten (TiK I) ist die Wellenfunktion außerhalb des Kastens ψ = 0(siehe Gl.8.1)Innerhalb des Kastens wird zunächst ein Produkt aus zwei allgemeinen eindimensionalen Wellenfunktio-nen angesetzt:

ψ(x, y) = [A sin(kxx) +B cos(kxx)] [C sin(kyy) +D cos(kyy)]

(c) Randbedingung: Analog zum TiK I muss die Stetigkeit für x = 0, x = Lx, y = 0, y = Ly sowie dieNormierung gefordert werden.Es resultieren analoge Beziehungen für A,B, kx und C,D, ky wie im eindimensionalen Fall (8.2).Daraus ergibt sich die Einteilchenwellenfunktion zu:

ψnm(x, y) =

√

2

Lxsin(

π

Lxnx)

√

2

Lysin(

π

Lymy) n,m = 1, . . . ,∞ (8.4)

Als allgemeingültiges Resultat ergibt sich, dass für zweidimensionale Systeme zwei Quantenzahlenauftreten, hier n,m.

(d) In diesem Fall hängen die Eigenschaften von beiden Quantenzahlen ab.Zum Beispiel die Gesamtenergie gemäß H2Dψnm = Enmψnm

−~2

2me

(

∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)

ψnm = −~2

2me

(

−π2n2

L2x

−π2m2

L2y

)

√

4

LxLysin(

π

Lxnx) sin(

π

Lymy)

Daraus folgt:

Enm =h2

8me

[

n2

L2x

+m2

L2y

]

(8.5)

8.3 TiK III: Endlich hohe Potentialwände, eindimensional 51

λI = λIII =2π

kI,III=

2π√

2m~2 · (V0 − E)

λII =2π

kII=

2π√

2m~2 · E

λI,III > λII

Ein anderer Erklärungsansatz ist über die Betrachtung von T = E − V möglich.

Aus Abbildung 8.11 ist ersichtlich, dass TII > TI,III ist. Wegen T ∼d2ψ

dx2 folgt, dass ψII stärkergekrümmt ist als ψI und ψIII .