a) Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen ... · MathematikmachtFreu(n)de...
6
Mathematik macht Freu(n)de AB – Funktionsgraphen a) Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f um 1 nach oben. Es gilt also: g(x)= f (x) +1 b) Zeichne rechts den Graphen der Funktion h mit h(x)= f (x) - 2 ein. Vertikale Verschiebung x → f (x)+ d mit d> 0 verschiebt den Graphen von f um d Einheiten nach oben. x → f (x) - d mit d> 0 verschiebt den Graphen von f um d Einheiten nach unten. Oben oder unten? Die Graphen der quadratischen Funktionen f und g mit f (x)= x 2 bzw. g(x)=(x +2) 2 sind dargestellt. Vervollständige die Wertetabellen. Was fällt dir auf? Es gilt: g(x)= f (x +2). x f (x) -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 x g(x) -5 9 -4 4 -3 1 -2 0 -1 1 0 4 1 9 Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f um 2 E. nach links. Horizontale Verschiebung x → f (x + c) mit c> 0 verschiebt den Graphen von f um c Einheiten nach links. x → f (x - c) mit c> 0 verschiebt den Graphen von f um c Einheiten nach rechts. Links oder rechts? a) Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f : 1) Horizontale Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts 2) Vertikale Verschiebung um 2 Einheiten nach oben Es gilt also: g(x)= f (x - 3) +2 b) Zeichne rechts den Graphen der Funktion h(x)= f (x + 2) - 1 ein. Verschiebungen Datum: 11. Dezember 2019
Transcript of a) Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen ... · MathematikmachtFreu(n)de...
Mathematik macht Freu(n)de AB – Funktionsgraphen
a) Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f
um 1 nach oben. Es gilt also: g(x) = f(x) + 1
b) Zeichne rechts den Graphen der Funktion h mit h(x) = f(x)− 2 ein.
Vertikale Verschiebung
x 7→ f(x) + d mit d > 0 verschiebt den Graphen von f um d Einheiten nach oben.
x 7→ f(x)− d mit d > 0 verschiebt den Graphen von f um d Einheiten nach unten.
Oben oder unten?
Die Graphen der quadratischenFunktionen f und g mit
f(x) = x2 bzw. g(x) = (x+2)2
sind dargestellt.
Vervollständige die Wertetabellen.Was fällt dir auf?
Es gilt: g(x) = f(x+ 2).
x f(x)
−3 9
−2 4
−1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
x g(x)
−5 9
−4 4
−3 1
−2 0
−1 1
0 4
1 9
Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f um 2 E. nach links.
Horizontale Verschiebung
x 7→ f(x + c) mit c > 0 verschiebt den Graphen von f um c Einheiten nach links.
x 7→ f(x− c) mit c > 0 verschiebt den Graphen von f um c Einheiten nach rechts.
Links oder rechts?
a) Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f :
1) Horizontale Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts
2) Vertikale Verschiebung um 2 Einheiten nach oben
Es gilt also: g(x) = f(x− 3) + 2
b) Zeichne rechts den Graphen der Funktion h(x) = f(x+ 2)− 1 ein.
Verschiebungen
Datum: 11. Dezember 2019
Mathematik macht Freu(n)de AB – Funktionsgraphen
a) An jeder Stelle ist der Funktionswert von gdoppelt so groß wie der Funktionswert von f .
Es gilt also: g(x) = 2 · f(x)
b) An jeder Stelle ist der Funktionswert von hhalb so groß wie der Funktionswert von f .Zeichne rechts den Graphen von h ein.
Es gilt also: h(x) = 12 · f(x)
Vertikale Skalierung
x 7→ a · f(x) mit a > 1 streckt den Graphen von f in vertikaler Richtung um den Faktor a.
x 7→ a · f(x) mit 0 < a < 1 staucht den Graphen von f in vertikaler Richtung um den Faktor a.
Streckung oder Stauchung?
Eine Gleichung der dargestellten quadratischen Funktion f ist
f(x) = 2 · x2.
Der Graph der quadratischen Funktion g entsteht durch Verschiebungdes Graphen von f :
1) Horizontale Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts
2) Vertikale Verschiebung um 4 Einheiten nach unten
Eine Gleichung von g ist also
g(x) = f(x− 3)− 4 = 2 · (x− 3)2 − 4.
Scheitelpunkt verschieben
Die quadratische Funktion f mit f(x) = a · x2 hat ihren Scheitel im Punkt (0 | 0).
Wir verschieben den Graphen von fum xS Einheiten in horizontaler Richtung undum yS Einheiten in vertikaler Richtung:
f(x− xS) + yS = a · (x− xS)2 + yS
Die quadratische Funktion g mit
g(x) = a · (x− xS)2 + yS
hat ihren Scheitel also im Punkt S = (xS | yS).; AB – Quadratische Funktionen
Scheitelpunktform
2
Mathematik macht Freu(n)de AB – Funktionsgraphen
Die Graphen der Exponentialfunk-tionen f und g mit
f(x) = 2x bzw. g(x) = 4x
sind rechts dargestellt.
Vervollständige die Wertetabellen.
x f(x)
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
x g(x)
0 112 2
1 432 8
2 16
Aus ab·c =(ab
)cfolgt g(x) = f(2 · x).
Der Graph von g entsteht durch Stauchung des Graphen von f in horizontaler Richtung.
Horizontale Skalierung
Der Graph der Funktion h mit
h(x) = f
(12 · x
)verläuft durch die Punkte
(−2 | −2), (0 | 0), (2 | 2), (4 | 0) und (6 | −2). Zeichne den Graphen von h oben ein.
Der Graph von h entsteht durch Streckung des Graphen von f in horizontaler Richtung.
Ziehharmonika
x 7→ f(b · x) mit b > 1 staucht den Graphen von f in horizontaler Richtung um den Faktor 1b .
x 7→ f(b · x) mit 0 < b < 1 streckt den Graphen von f in horizontaler Richtung um den Faktor 1b .
Streckung oder Stauchung?
a) Der Graph von g entsteht durch Skalierung des Graphen von fin horizontaler Richtung und in vertikaler Richtung:
g(x) = a · f(b · x)
Lies a und b aus der Abbildung ab: a = 3 b = 2
b) Zeichne den Graphen von h mit h(x) = 2 · f(4 · x) ein.
Skalierungen
3
Mathematik macht Freu(n)de AB – Funktionsgraphen
Der Graph von g entsteht durch Spiegelung des Graphen von f . . .. . . an der x-Achse.Zeichne den Graphen von g ein:
An jeder Stelle x gilt:
g(x) = −f(x)
. . . an der y-Achse.Zeichne den Graphen von g ein:
An jeder Stelle x gilt:
g(x) = f(−x)
. . . am Ursprung (0 | 0).Zeichne den Graphen von g ein:
An jeder Stelle x gilt:
g(x) = −f(−x)
Spiegelungen
Gilt h(x) = h(−x) an jeder Stelle x, dann nennen wir h eine gerade Funktion.Der Graph jeder geraden Funktion ist also symmetrisch zur y-Achse.
Beispiele für gerade Funktionen sind x 7→ x2, x 7→ x4, x 7→ x6 und x 7→ cos(x).
Gilt h(x) = −h(−x) an jeder Stelle x, dann nennen wir h eine ungerade Funktion.Der Graph jeder ungeraden Funktion ist also symmetrisch zum Punkt (0 | 0).
Beispiele für ungerade Funktionen sind x 7→ x1, x 7→ x3, x 7→ x5 und x 7→ sin(x).
Gerade Funktionen und ungerade Funktionen
Wollen wir in die selbe Richtung verschieben und skalieren, dann kommt es auf die Reihenfolge an:
a) Wir strecken die Gerade y = x zuerst um den Faktor 3 in vertikaler Richtung: y = 3 · x
Danach verschieben wir die Gerade um 2 nach oben: y = 3 · x+ 2
b) Wir verschieben die Gerade y = x zuerst um 2 Einheiten nach oben: y = x+ 2
Danach strecken wir um den Faktor 3 in vertikaler Richtung: y = 3 · (x+ 2) = 3 · x+ 6
Auf die Reihenfolge kommt es an.
Gib nach jedem Schritt eine neue Funktionsgleichung an. Wir starten mit f1(x) = x2 · ex.
1) Der Graph von f1 wird an der y-Achse gespiegelt:
f2(x) = f1(−x) = (−x)2 · e−x = x2 · e−x
2) Der Graph von f2 wird um 3 Einheiten nach links verschoben:
f3(x) = f2(x+ 3) = (x+ 3)2 · e−(x+3) = (x+ 3)2 · e−x−3
3) Der Graph von f3 wird in horizontaler Richtung um den Faktor 2 gestreckt:
f4(x) = f3(
12 · x
)=
(12 · x+ 3
)2· e−
12 ·x−3
x an jeder Stelle ersetzen
4
Mathematik macht Freu(n)de AB – Funktionsgraphen
Die Funktion x 7→ 2 · sin(4 · x− 3) + 5 entsteht schrittweise aus der Funktion x 7→ sin(x).Entscheide in jedem Schritt, ob eine Verschiebung oder eine Skalierung durchgeführt wird.
sin(x)
2 · sin(x)
2 · sin(x) + 5
2 · sin(x− 3) + 5
2 · sin(4 · x− 3) + 5
Verschiebung
2
Skalierung
→ um ... Einheiten↑ ↓← ↔ l um den Faktor ...
2 22 2
2
2 2 2 22 2 22 2 22 2 2 2
4
44
42
5
3
1/4
Verschiebungen & Skalierungen
Die Funktion x 7→ A · sin(ω · x+ ϕ) + c entsteht schrittweise aus der Funktion x 7→ sin(x).A > 0 . . . Amplitude ω > 0 . . . Kreisfrequenz ϕ > 0 . . . Nullphasenwinkel
sin(x)
A · sin(x)
A · sin(ω · x)
A · sin(ω · (x+ ϕω))
A · sin(ω · x+ ϕ) + c
Verschiebung
2
Skalierung
→ um ... Einheiten↑ ↓← ↔ l um den Faktor ...
22 22 2
2 2 2 22 2 2 2
2 2 22 2
44
44 4
A
1ω
ϕω
↑ c ↓ |c| c<0falls
Die horizontale Entfernung benachbarter Tiefpunkte ist die Periodendauer. In welchem Schritt ändert sich die Periodendauer?
f1(x) = sin(x)
f2(x) = 2 · sin(x)
f3(x) = 2 · sin(2 · x)
t0 = −π8 =⇒ ϕ = −ω · t0 = π
4
f4(x) = 2 · sin(2 · x+ π/4)
f5(x) = 2 · sin(2 · x+ π/4) + 1
Allgemeine Sinusfunktion
5
Mathematik macht Freu(n)de AB – Funktionsgraphen
Links ist der Graph der Funktion f1 mit
f1(x) = e−12 ·x
2
dargestellt. Er schließt mit der x-Achse eine Flächemit dem Inhalt A1 =
√2 · π ein. ; Fehlerintegral
Der Graph von f2 entsteht durch Skalierungdes Graphen von f1 in vertikaler Richtung:
f2(x) = 3 · f1(x) = 3 · e−12 ·x
2
Es gilt: A2 = 3 ·√
2 · π
Der Graph von f3 entsteht durch Skalierungdes Graphen von f2 in horizontaler Richtung:
f3(x) = f2(x2
)= 3 · e−
12 ·(x2 )2
Es gilt: A3 = 6 ·√
2 · π
Der Graph von f4 entsteht durch Verschiebungdes Graphen von f3 in horizontaler Richtung:
f4(x) = f3 (x+ 1) = 3 · e−12 ·(x+1
2 )2
Es gilt: A4 = 6 ·√
2 · π
Die Funktion f mit
f(x) = 1σ ·√
2 · π· e−
12 ·(x−µ
σ )2(σ > 0) ; Gaußsche Glockenfunktion
ist eine wichtige Funktion in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.Beschreibe, wie du ihren Graphen aus dem Graphen von f1(x) = e−
12 ·x
2 erhalten kannst.Welchen Flächeninhalt schließt der Graph von f also mit der x-Achse ein?
Zum Beispiel:f2(x) = f1
(xσ
)= e−
12 ·( xσ )2
f3(x) = f2(x− µ) = e−12 ·(x−µ
σ )2
f(x) = 1σ·√
2·π · f3(x)
Skalierung (↔) um den Faktor σ
Verschiebung (→) um µ
Skalierung (l) um den Faktor 1σ·√
2·π
A2 = σ ·√
2 · π
A3 = σ ·√
2 · π
A = 1
Glockenkurven
Dieses Werk von Mathematik macht Freu(n)de unterliegt einer CC BY-NC-ND 4.0 Lizenz.http://mmf.univie.ac.at
