A. Vektoren - Springer978-3-662-08591-2/1.pdf · Bin Vektor wird mit einer Zahl e > 0...

A. Vektoren

In diesem Anhang betrachten wir nur Raume mit zwei oder drei Dimensionen.

A.1 Begriff des Vektors

Wir definieren einen Vektor als eine gerichtete Strecke endlicher Lange im Raum und stellen ihn graphisch durch einen Pfeil dar, dessen Lange gleich dem Betrag des Vektors ist und dessen Richtung mit der des Vektors tibereinstimmt (Abb. A.I). Wir bezeichnen Vektoren mit Symbolen

a,b, ...

und ihre Betrage mit

lal =a Ibl = b ,

Abb. A.t. Vektor a der Liinge lal = a I Es ist wichtig festzustellen, daB in der Definition der Ort, an dem sich

der Vektor im Raum befindet, nicht auftritt. Dernzufolge sind zwei Vektoren im Raum gleich, solange sie gleichen Betrag und gleiche Richtung haben. Das Pfeil symbol ist im Raum frei verschiebbar, solange die Richtung erhalten bleibt, also eine Parallelverschiebung vorgenommen wird (Abb. A.2).

Wir werden sehen, daB sich die Vektoralgebra ganz in diesem einfachen geometrischen Bild der Vektoren aufbauen liiBt, d. h., daB die Beziehungen zwischen Vektoren unabhiingig von der Wahl eines bestimmten Koordinatensystems sind.

A.2 Vektoralgebra in koordinatenfreier Schreibweise 409

la_s! Abb. A.2. Zwei Vektoren a und b mit a == b

A.2 Vektoralgebra in koordinatenfreier Schreibweise

A.2.t Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl

Bin Vektor wird mit einer Zahl e > 0 multipliziert, indem man seinen Betrag mit der Zahl multipliziert und die Richtung ungeandert laBt, d. h. der Vektor

b = ea (A2.1)

hat die Richtung von a und den Betrag b = ca. Das Produkt ea des Vektors a mit einer Zahl e < 0 ist ein Vektor vom Betrag lei a und der Richtung, die der von a entgegengesetzt ist. Durch die Wahl von e = -1 kann jedem Vektor a der Vektor

- a = (-I)a (A2.2)

zugeordnet werden, der gleiche Lange, aber entgegengesetzte Richtung hat. Durch Multiplikation mit der Zahl 0 entsteht aus jedem Vektor a der Nullvektor

O=Oa (A2.3)

mit der Lange Null und unbestimmter Richtung. Allerdings werden wir anstelle des vektoriellen Symbols 0 oft das gewohnliche Symbol 0 verwenden.

A.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren

1m geometrisch anschaulichen Bild wird der Summenvektor

c=a+b (A2.4)

konstruiert, indem man den FuBpunkt des Vektorpfeils bander Spitze des Vektorpfeils a ansetzt und als c = a + b den Vektorpfeil gewinnt, der vom FuBpunkt von a zur Spitze von b zeigt (Abb. A3a). Wegen der Symmetrie der Abbildungen A3a und A3b ist die Vektoraddition offenbar kommutativ:

a+b=b+a . (A2.S)

Durch Konstruktionen wie in Abb. A4 iiberzeugt man sich, daB sie auch assoziativ ist, d. h.

410 A. Vektoren

(a)

Abb. A.3. Addition von Vektoren. (a) c = a + b, (b) c = b + a

Abb. A.4. Die Vektoraddition ist assoziativ

(a + b) + c = a + (b + c) (A2.6)

Mit Hilfe der Definition A.2.2 konnen wir die Subtraktion

c=a-b

als Summe c=a+(-b)

auffassen. 1m geometrischen Bild wird also der Vektor -b an der Spitze von a angesetzt und der Summenvektor c gezeichnet (Abb. AS). Zum gleichen Ergebnis kommt man, wenn man den Fu8punkt von b am Fu8punkt von a ansetzt und den Vektor c = a - b von der Spitze von b zur Spitze von a zeichnet (Abb. AS).

A.2.3 Skalarprodukt

Als Skalarprodukt zweier Vektoren a und b definieren wir die Zahl

c = a . b = lallbl cos a . (A2.7)

Dabei ist


Abb. A.S. Konstruktionen der Vektorsubtraktion c = a - b

a = 1: (a, b) (A.2.8)

der von beiden Vektoren eingeschlossene Winkel. Das Skalarprodukt hat offenbar folgende Eigenschaften:

Kommutativitiit: a·b=b·a , (A.2.9)

weil1: (a, b) = 271' - 1: (b, a) und cos a = cos(271' - a) fiir beliebige a. Linearitiit:

(ca) . b = a . (cb) = c( a . b) (A.2.1O)

Distributivitiit: a . (b + e) = a . b + a . e , (A.2.11)

d.h.

lallb + el cos 1: (a, b + e) = lallbl cos 1: (a, b) + lallel cos 1: (a, e)

Die Giiltigkeit dieser Beziehung fiir Vektoren in einer Ebene zeigt Abb. A.6.

/ /

I I

I

/ /

(5+c)/ /

/ /

/

/ /

/ /

/ /

/ /

/ /

, , , '. \,

\

\, ,

;\ _J~~ \

....... ' \ -- \ \ \ \ \ \ \ \ ,

Abb. A.6. Zur Distributivitiit des Skalarprodukts

412 A. Vektoren

Ein wichtiger Spezialfall ist das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst. Wir bezeichnen es als Quadrat eines Vektors. Nach (A.2.7) ist

(A.2.12)

weil cos 0 = 1. Der Betrag eines Vektors kann also auch in der Form

a = lal = va.a (A.2.13)

geschrieben werden. Wir berechnen jetzt das Quadrat der Vektorsumme (A.2.4)

c2 = (a+b)2=(a+b)·(a+b)=a.(a+b)+b·(a+b)

a2 + 2a· b + b2 = a2 + b2 + 2abcos -1 (a, b) (A.2.14)

Dieser Ausdruck ist der Kosinussatz der ebenen Geornetrie (Abb. A.7)

weil 'Y = 11' - -1 (a, b)

~ alb

Abb. A.7. Zum Kosinussatz

A.2.4 Vektorprodukt

Wir definieren noch eine weitere Produktbildung zweier Vektoren, die irn Gegensatz zurn Skalarprodukt als Ergebnis einen Vektor liefert. Vnter dern Vektorprodukt

c=axb (A.2.15)

zweier Vektoren a, b verstehen wir einen Vektor, der auf a und b senkrecht steht, so daB a, b und c ein Rechtssystern bilden. Seine Uinge ist

laxbl=lallblsin-1(a,b) . (A.2.16)


Qxb

6

Abb. A.S. Vektorprodukt

Abb. A.9. Rechtssystem und Rechtsschraube

Eine geometrische Veranschaulichung bietet Abb. A.8. Die Vektoren a und b spannen eine Ebene im Raum auf. Das durch sie definierte Parallelogramm hat den FHicheninhalt (A.2.I6), ist also ein MaB fUr den Betrag von (a x b). Die Forderung, daB a x b senkrecht auf dieser Ebene steht, liiBt noch genau zwei (entgegengesetzte) Richtungen zu. Da man jedoch zusiitzlich ein Rechtssystem fordert, ist die Richtung eindeutig. Der Begriff Rechtssystem hat dabei folgende Bedeutung: Wenn man a in Richtung von b urn den kleineren Winkel dreht, so hat c die Richtung einer Rechtsschraube, die man bei dieser Drehung festdrehen wiirde (Abb. A.9).

Hieraus ergibt sich sofort, daB das Vektorprodukt antikommutativ ist,

a x b = -(b x a) (A.2.I7)

Wie das Skalarprodukt ist das Vektorprodukt linear und distributiv, d. h.

A.2.S Spatprodukt

ca x b = a x cb = c( a x b)

a x (b + c) = a x b + a x c

(A.2.I8)

(A.2.I9)

Eine Kombination von Skalar- und Vektorprodukt liiBt sich aus drei Vektoren bilden. Der Ausdruck

414 A. Vektoren

Abb. A.I0. Spatprodukt

h =Ialcos-tfo.d)

a · (b x c) (A2.20)

heiBt Spatprodukt oder gemischtes Produkt der Vektoren a, b und c. Spannen wir aus diesen Vektoren ein Parallelepiped (Abb. AIO) (zu deutsch Spat wie in Kalkspat) auf, so ist d = b x c ein Vektor senkrecht zur Grundflache des Spates. Deren Flacheninhalt ist d. Die H6he des Spates ist lall cos 1: (a, d) I. Damit ist sein Rauminhalt (Grundflache mal H6he)

v = lalldll cos 1: (a,d)1 = la· dl (A2.21)

also gleich dem Betrag des Spatprodukts. Aus dieser geometrischen Bedeutung des Spatprodukts folgt, daB sein Betrag unabhangig von der Reihenfolge der drei Faktoren ist. Diese kann also nur das Vorzeichen beeinflussen. Als Vorzeichenregel findet man, daB zyklische Vertauschung der Faktoren das Vorzeiehen nieht andert, wahrend bei Vertauschung benachbarter Faktoren ein Vorzeiehenwechsel eintritt,

a· (b x c)

a· (b x c)

c· (a x b) = b· (c x a)

-a· (c x b) = -b· (a x c) = -c· (b x a) . (A2.22)

A.2.6 Entwicklungssatz

Es gilt die folgende nutzliche Rechenregel fur das Vektorprodukt aus einem Vektor a mit einem Vektor b x c, der selbst ein Vektorprodukt der Vektoren b und c ist:

p = a x (b x c) = (a· c)b - (a· b)c . (A2.23)

Beweis: Wir zerlegen zunachst den Vektor a in eine Sumrne von zwei Vektoren parallel bzw. senkrecht zu b x c,


a all + a1- ,

all(b x c)/Ib x cl all = a· (b x c)/Ib x cl

Damit ist p = (all + a1-) x (b x c) = a1.. x (b x c)

Der Vektor a1- steht senkrecht auf b x c, liegt damit in der von b und c aufgespannten Ebene und HiBt sich als Linearkombination dieser beiden Vektoren schreiben,

Damit gilt (A.2.24)

Wir untersuchen jetzt das Produkt b x (b xc). Da b x c senkrecht zu der von b und c aufgespannten Ebene steht, das Vektorpro<;lukt b x (b xc) aber wieder senkrecht auf b x c steht, HiBt es sich aus b und c linearkombinieren, d. h.

b x (b xc) = ,Bb + I'c

Da b x (b xc) senkrecht auf b steht, gilt

0= b . [b x (b x c)] = ,Bb2 + I'b . c

Schreiben wir ,B in der Form

,B = ab· c ,

so folgt

d. h. b x (b x c) = a((b· c)b - b2c)

Wir zeigen nun noch, daB a = 1 gilt. Dazu bilden wir das Skalarprodukt mit c und nutzen die Eigenschaft der zyklischen Vertauschbarkeit der Faktoren im Spatprodukt:

a[(b· C)2 - b2c2] = c· [b x (b x c)] = (b x c) . (c x b) = -(b X C)2

Aus der Definition des Vektorproduktes folgt

(b x C)2 = b2c2 sin2 8 = b2c2 - b2c2 cos2 8 = b2c2 - (b· C)2 ,

wenn 8 der Winkel zwischen den Vektoren b und c ist. Damit folgt durch Vergleich der beiden letzten Gleichungen a = 1, also

b x (b x c) = (b· c)b - b2c

416 A. Vektoren

und entsprechend c x (b x c) = c2b - (b· c)c

Durch Einsetzen in (A2.24) folgt

p al [(b· c)b - b2c] + a2[c2b - (b· c)c]

[al(b· c) + a2c2]b - [alb2 + a2(c· b)]c [(alb + a2c) . c]b - [(alb + a2c) . b]c (a~ . c)b - (a~ . b)c .

Da all parallel zu (b xc) und damit senkrecht zu b und c ist, gilt all . c = all . b = O. Wir konnen deshalb in den Skalarproduktklammern a~ durch a = all +a~ ersetzen. Damit ist der Entwicklungssatz (A2.23) fur das doppelte Vektorprodukt bewiesen.

A.3 Vektoralgebra in Koordinatenschreibweise

Obwohl die Aussagen tiber Vektoren unabhangig von der Wahl eines speziellen Koordinatensystems gtiltig sind, ist es oft gtinstig, Vektoren in einem Koordinatensystem zu betrachten, etwa bei der Messung einer vektoriellen physikalischen GroBe.

A.3.t Einheitsvektor. Kartesisches Koordinatensystem. Vektorkomponenten

Einen Vektor der Lange eins nennen wir Einheitsvektor. Zu jedem Vektor a, der nicht der Nullvektor ist, gehOrt der Einheitsvektor

A a a= -

a (A3.I)

den wir durch ein besonderes Symbol kennzeichnen. Auch der Buchstabe e wird haufig zur Kennzeichnung eines Einheitsvektors benutzt. Das Symbol A

wird dann weggelassen. Ein kartesisches Koordinatensystem wird durch drei Basisvektoren, die

Einheitsvektoren e"" ey , ez , definiert, die senkrecht aufeinander stehen und ein Rechtssystem bilden (Abb. A11). Oft werden die Einheitsvektoren auch mit el, e2, e3 bezeichnet. Diese Schreibweise erlaubt die Benutzung des Summationszeichens, wenn tiber die Indizes summiert wird. Wir werden beide Schreibweisen nebeneinander benutzen.

Betrachten wir zunachst die Skalarprodukte aller Basisvektoren. Offenbar verschwinden alle Skalarprodukte von zwei verschiedenen Basisvektoren ( Orthogonalitiit),

A.3 Vektoralgebra in Koordinatenschreibweise 417

- ---- -------- ---- --«>0 ey = e2 y-Achse, 2-Achse

Abb. A.H. Kartesisches Koordinatensystem

wlihrend die Quadrate aller Basisvektoren gleich eins sind (Normierung),

Mit Hilfe des Kroneckersymbols

o fur i-/=j 1 fUr i = j

konnen wir diese sechs Gleichungen in der Beziehung

i,j = 1,2,3

zusammenfassen. Sie druckt aus, daB die Basis orthonormiert ist.

(A.3.2)

(A.3.3)

Jeder Vektor a kann nun als Summe dreier Vektoren aufgefaBt werden, die die Richtungen der Basisvektoren besitzen und geeignete Vielfache von ihnen sind,

(A.3.4)

Die Komponenten al = ax, a2 = ay, a3 = az erhlilt man einfach durch skalare Multiplikation des Vektors mit dem entsprechenden Basisvektor, z. B.

oder allgemein 3

a . ej = L aiOij = aj

i=l

(A.3.5)

418 A. Vektoren

3-Rlchlung

1-Rlchtung

Abb. A.12. Vektorkomponenten

Geometrisch haben die Vektorkomponenten die Bedeutung der senkrechten Projektion des Vektors auf die Koordinatenrichtungen. Zeichnen wir namlich am FuBpunkt des Vektors die Achsenrichtungen ein und bezeichnen die Winkel, die sie mit dem Vektor bilden, mit <PI, <P2 bzw. <P3, so gilt

ai = a· ei = lal'leil cos 1: (a, ei) = lal cos <Pi i = 1,2,3 . (A.3.6)

Der Ausdruck auf der rechten Seite ist gleich der Projektion des Vektors auf die i-Richtung (Abb. A.12).

Mit (A.3.6) k6nnen wir (A.3.4) umschreiben

(A.3.7)

Jeder Einheitsvektor Hillt sich also in der Form

3

a = Lei cos <Pi (A.3.8) i=l

schreiben. Die Ausdriicke

cos <Pj = a· ej j = 1,2,3 (A.3.9)

heiBen Richtungskosinus, wei! sie die Richtung des Einheitsvektors festlegen.


A.3.2 Recbenregeln

1st einmal ein Koordinatensystem festgelegt, so ist jeder Vektor durch seine drei Komponenten eindeutig gekennzeichnet. Man gibt ihn daher oft einfach in Form dieser Komponenten an,

(A.3.1O)

So1che Koeffizientenschemata bezeichnet man als Spaltenvektor. Er ist offensichtlich nicht unabhiingig von der Wahl des Koordinatensystems.

Urn den Unterschied zwischen einem Vektor a und seinem Koeffizientenschema anzugeben, bezeichnen wir letzteres als (a). Man nennt (a) auch die Darstellung des Vektors a beztiglich des gewlihlten Koordinatensystems. Ein Zahlenbeispiel ist etwa

Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl entspricht einfach der Multiplikation aller Vektorkomponenten mit dieser Zahl,

(A.3.11)

vgl. (A.2.1) und (A.3.1O). Die Addition zweier Vektoren entspricht der Addition ihrer Komponenten,

d. h. c=a+b

ist gleichbedeutend mit

(A.3.12)

Das ist in Abb. A. 13 ftir Vektoren gezeigt, die in der (1, 2 )-Ebene liegen, deren 3-Komponente also verschwindet. Die Beziehung (A.3.12) liiBt sich auch sofort aus (A.3.4) und dem assoziativen Gesetz (A.2.6) der Vektoraddition herleiten. Mit

b (A.3.13)

420 A. Vektoren

2-Rlchfung

Abb. A.13. Vektoraddition als Addition def Komponenten

:::==::::===:::::==~---o- I-Rlchfung

b l

ist

Wegen (A.2.2) sind dann die Komponenten eines Differenzvektors c durch die Differenzen der Komponenten der Einzelvektoren gegeben,

(A.3.15)

Wenden wir uns jetzt dem Skalarprodukt a . b zu. Mit (A.3.13) und (A.3.3) ist

a· b (~aiei) . (~bkek) = ~ ~(aiei) . (bkek)

also

Insbesondere ist

L L aibk (ei . ek) = L L aibkb'ik i k i k

3

a . b = L aibi = al bl + a2b2 + a3b3 i==l

(A.3.16)

(A.3.17)

Dies ist der Satz des Pythagoras in drei Dimensionen. (Fur einen Vektor in der (1, 2)-Ebene ist a3 = O. Der Betrag a bildet die Hypotenuse, die Betrage der Komponenten lall und la21 sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks.)


Urn das Vektorprodukt a x b in Kornponenten auszudriicken, betrachten wir zunachst die Vektorprodukte der Basisvektoren. Wir erhalten

el x e2 = e3 = -e2 x el

e2 x e3 = el = -e3 x e2 ,

e3 x el = e2 = -el x e3 ,

(A.3.18)

weil die Richtungen 1,2,3 bzw. 2, 3, 1 und 3, 1,2 Rechtssysterne bilden, und

Diese und die sechs Relationen (A.3.18) lassen sich in einer Formel zu-sammenfassen:

3

ei x ej = L Cijkek .

k=l

Dabei sind die KornponentenCijk(k = 1,2,3) des Vektorsei xej wiein (A.3.5) gegeben durch skalare Multiplikation des Vektors mit den Basisvektoren ek,

(A.3.19)

Die GraBen Cijk heiBen Matrixelernente des Levi-Civita-Tensors. Da sie als Spatprodukt der Basisvektoren definiert sind, sind sie offenbar nur von null verschieden, wenn alle drei Indizes verschieden sind. Bilden ei, ej, ek ein Rechtssystern, d. h. sind die Indizes in zyklischer Reihenfolge, so ist Cijk = 1, anderenfalls ist Cijk = -1.

{I, falls i, j, k zyklisch

Cijk = -1, falls i, j, k antizyklisch o , falls zwei Indizes gleich

(A.3.20)

Die Abkiirzung "i, j, k zyklisch" bedeutet, daB flir i, j, k die Zahlen 1,2,3 in dieser Reihenfolge oder in zyklischer Vertauschung (3,1,2 oder 2,3,1) eingesetzt werden kannen.

Das Vektorprodukt a x b gewinnen wir jetzt durch Anwendung des distributiven Gesetzes (A.2.19),

c=axb

d.h.

(aIel + a2e2 + a3e3) x (blel + b2e2 + b3e3) albl(el x el) + a2b2(e2 x e2) + a3b3(e3 x e3)

+ a2b3(e2 x e3) + a3b2(e3 x e2)

+ a3bl(e3 xed + alb3(el x e3)

+ alb2(el x e2) + a2bl(e2 xed

422 A. Vektoren

Fur die Komponenten des Vektorprodukts gilt also

i,j,k zyklisch (A.3.22)

Mit Hilfe des Levi-Civita-Tensors HiBt sich (A.3.21) auch schneller gewinnen, namlich

c=axb

L aibjCijkek = L Ckek (A.3.23) ijk k

mit (A.3.24)

ij

Das Vektorprodukt (A.3.21) HiBt sich formal als dreireihige Determinante schreiben, vgl. Abschn. B.8,

el e2 e3 c = a x b = al a2 a3

b l b2 b3

wobei die Vektoren el, e2, e3 wie Zahlenfaktoren behandelt werden.

(A.3.25)

Mit (A.3.21) bzw. (A.3.25) laBt sich auch das Spatprodukt (A.2.20) sofort in Determinantenform schreiben,

al a2 a3

a . (b xc) = b l b2 b3 (A.3.26) CI C2 C3

Mit Hilfe des Levi-Civita-Tensors stellt sich das Spatprodukt in der Form

dar.

a· (b x c) = L CijkaibjCk

ijk

(A.3.27)

A.4 Differentiation eines Vektors nach einem Parameter

A.4.1 Vektor als Funktion eines Parameters. Ortsvektor

Bisher haben wir uns nur mit algebraischen Manipulationen von Vektoren beschaftigt. Fur den Fall, daB ein Vektor von Parametem abhangt, kann man auch analytische Operationen, z. B. die Differentiation nach Parametem erklaren.

A.4 Differentiation eines Vektors nach einem Parameter 423

Als Beispiel betrachten wir den Ortsvektor als Funktion der Zeit. Der Ort eines Punktes in einem gegebenen, zeitunabhangigen Koordinatensystem ist durch seine Koordinaten XI, X2, X3 gekennzeichnet. Wir konnen sie als die Komponenten eines Vektors

(A.4.1)

des Ortsvektors des Punktes, interpretieren. Der Ortsvektor wird auch oft mit r (Radiusvektor) und seine Komponenten mit X, y, z bezeichnet,

r = xex + yey + zez

Bewegt sich nun der Punkt im Laufe der Zeit auf einer vorgegebenen Bahn, so wird diese Bewegung durch die Angabe des Ortsvektors zu jeder Zeit t eindeutig beschrieben,

x = x(t)

Diese Vektorgleichung entspricht den drei Gleichungen

XI=XI(t) X2 = X2(t) X3 = X3(t)

(A.4.2)

(A.4.3)

die die einzelnen Koordinaten der Bahnkurve des Punktes als Funktion der Zeit angeben und zusamrnen als Parameterdarstellung der Bahnkurve bezeichnet werden.

A.4.2 Ableitungen

Sind x( t) und x( t+ Llt) zwei Ortsvektoren, die den Punkt auf seiner Bahnkurve zu den Zeiten t und t + Llt kennzeichnen, und ist Llx = x(t + Llt) - x(t) der Differenzvektor zwischen beiden (Abb. A. 14), so bezeichnen wir den Grenzwert

Llx dx lim - =

Llt->O Llt dt (A.4.4)

als die Ableitung des Vektors x nach dem Parameter t, in unserem speziellen Fall also als die Zeitableitung des Ortsvektors.

Der Vektor dx/ dt hat die Richtung der Tangente der Bahnkurve. Er kann durch die Ableitung der einzelnen Komponenten von x nach t gefunden werden, wei!

Llx lim -

Llt->O Llt

dx

dt

424 A. Vektoren

3-Achse

J'-=--------"r-\------2-Achse

Abb. A.14. Bahnkurve mit Ortsvektoren zu den Zeiten t und t + Lit

1-Achse

Bahnkurve

FUr die Ableitung (A.4.4) gelten alle Regeln der Differentialrechnung, insbesondere die Produktregel, und zwar fUr die Multiplikation mit einem Skalar, fUr das Skalarprodukt und das Vektorprodukt

d da(t) dx(t) dt[a(t)x(t)] = (itx(t) + a(t) Cit

~[x(t) . y(t)] = dx(t) . y(t) + x(t) . dy(t) dt dt dt

d dx(t) dy(t) dt [x(t) x y(t)] = (it x y(t) + x(t) x Cit

(A.4.6)

(A.4.7)

(A.4.8)

Durch wiederholte Differentiation konnen hahere Ableitungen gebildet werden, etwa

(A.4.9)

A.S Nichtkartesische Koordinatensysteme

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die drei Basisvektoren e"" ey , ez

ortsunabhfulgig. Manchmal ist es jedoch sinnvoll, ein Koordinatensystem zu benutzen, bei dem die Richtungen der Basisvektoren ortsabhangig sind. Meist behalt man die Orthonormierungsbedingung fUr die Basisvektoren bei. Die gebdiuchlichsten ortsabhfulgigen Koordinatensysteme sind Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten.

A.5 Nichtkartesische Koordinatensysteme 425

x Abb. A.IS. Kugelkoordinaten

A.S.I Kugelkoordinaten

Der Ortsvektor r kann statt durch seine kartesischen Koordinaten x, y, z auch durch seinen Betrag r, den Polarwinkel -0 und den Azimutwinkel cp charakterisiert werden. Der Polarwinkel ist der Winkel zwischen der z-Achse und dem Ortsvektor, der Azimutwinkel cp ist der Winkel zwischen der x-Achse und der Projektion des Ortsvektors in die (x, y)-Ebene. Aus der Abb. A.lSliest man folgenden Zusarnmenhang zwischen kartesischen und Kugelkoordinaten ab,

und

x = r sin -0 cos cp , y = rsin-osincp , z = rcos-o ,

r = J x2 + y2 + Z2

Z . . /x2 + y2 cos -0 = - sm -0 = .... v __ _

r r x

cos cp = --;==== Jx2 + y2

. y sm cp = --;======

VX2 + y2

(A.S.I)

(A.S.2)

Als Basissystem am Ort r wahlt man die Einheitsvektoren, die in die Richtung wachsender Werte von r bzw. -0 bzw. cp zeigen (dabei werdenjeweils die beiden anderen Koordinaten konstant gehalten). Der Einheitsvektor er in Richtung wachsender Werte von r ist

r ~ er=-=r,

r (A.S.3)

426 A. Vektoren

der Einheitsvektor et? in Richtung wachsender Werte von f) (bei festen r und 'P) ist definiert durch

(A.5.4)

SchlieBlich ist der Einheitsvektor e<p in Richtung wachsender Werte von 'P (bei festen r und f)) definiert durch

oer = IOer I o'P o'P e<p . (A.5.5)

In kartesischen Koordinaten hat er offenbar die Darstellung

(sin f) cos 'P )

( er ) = sin f) sin 'P cosf)

(A.5.6)

Fur et? und e<p ergibt sich dann nach den Vorschriften (A.5.4) und (A.5.5)

(COS f) cos 'P )

( et?) = cos f). sin 'P -smf)

(A.5.7)

und

(A.5.8)

Damit rechnet man die Orthonormierungsrelationen fUr diese drei Vektoren

leicht nacho

er . et? = er . e<p = et? . e<p = 0 ,

er . er = et? . et? = e<p . e<p = 1

Fur die Ableitungen erhaIt man mit Hilfe dieser Darstellungen

oer oer oer . &=0, of) = et? , o'P = e<p sm f)

oet? oet? oet? or =0, of) = -er , o'P = e<p cos f)

oe<p or = 0,

oe<p of) = 0,

oe<p o'P = ez x e<p

Das Volumenelement entnimmt man sofort aus Abb. A.16,

(A.5.9)

(A.5.10)

(A.5.11)

A.5 Nichtkartesische Koordinatensysteme 427

dV=dr rdS''i.dlP

=r2sinSdrdSdtp

x

z dr

r---------------------~y

Abb. A.16. Volumenelement in Kugelkoordinaten

Kugelkoordinaten eignen sich besonders zur Beschreibung von Systemen, die spharische Symmetrie haben. Ais Beispiel berechnen wir das Volumen einer Kugel vom Radius R:

V = fo21r fo7r foR r2 dr sin {) d{) d<p

[ 3 ] r=R,1'J=7r,cp=27r R3 4 ~(- cos{))<p = -2· 21f = ~R3 3 3 3

r=O,1'J=O,cP=O

A.S.2 Zylinderkoordinaten

Eine andere Moglichkeit flir die Darstellung des Ortsvektors besteht darin, die z-Koordinate aus dem kartesischen Koordinatensystem beizubehalten, den Azimutwinkel <p aus den Kugelkoordinaten hinzuzunehmen und als dritte

Koordinate den senkrechten Abstand r 1. = J x2 + y2 von der z-Achse einzuflihren (Abb. AI7). Damit gilt

z

Die Basisvektoren sind e1.

mit den OrthogonaliUitsrelationen

z (A5.12)

(A5.13)

(A5.14)

428 A. Vektoren

z

~~~+-~----------~y

Abb. A.I7. Zylinderkoordinaten x

Ihre Darstellung in kartesischen Koordinaten ist

(COS r.p )

(e~) = Si~ r.p (-sin r.p )

( elf') = co~ r.p

Durch Differentiation erhalt man als nichtverschwindende Ableitungen der Basisvektoren nach den Koordinaten

8e~ 8r.p = elf' (AS.16)

Das VoIumeneIement dV in Zylinderkoordinaten ist nach Abb. AI8

dV = r ~dr ~dr.p dz (AS. I?)

Zur Ubung berechnen wir das Volumen eines Zylinders des Radius R und der Rohe h:

V = 10' t f r" dr" d~ dz = [r{ ~z [::~:'::~h = ~ Ifh

A.S.3 Ebene Polarkoordinaten

In vielen Hillen bleibt der Ortsvektor in einer Ebene. Legen wir die x- und y-Achsen eines kartesischen Koordinatensystems in diese Ebene, so ist

r = xe", + yey (AS.I8)

durch die Spalte

x

y

A.S Nichtkartesische Koordinatensysteme 429

z

r-----------------~y

er

Abb. A.IS. Volumenelement in Zylinderkoordinaten

Abb. A.19. Basisvektoren ebener kartesischer Koordinaten (eo:, ey ) und ebener Polarkoordinaten (er , ecp )

(r) = ( : ) (AS.19)

eindeutig darstellbar. Die z-Koordinate tritt nicht auf. Kugel- und Zylinderkoordinaten fallen in der (x, y )-Ebene zusammen. Das

zeigt der Vergleich von (AS.6) und (AS.S) mit (AS.IS) fUr {) = 7r /2 bzw. z = O. Ihre Einheitsvektoren werden durch

( cos<p ) (er ) = (e1-) = . sm<p ( - sin<p )

( ecp) = cos <p (AS.20)

dargestellt (Abb. AI9). (Die Einheitsvektoren el? bzw. ez haben keine Bedeutung.) Ihre Ableitungen nach <p sind

430 A. Vektoren

Abb. A.20. Zur Umrechnung zwischen ebenen kartesischen und Polarkoordinaten

dA= rdrdl(J

y

r sin 'P 'P

-T--------~~~----~---x r cos 'P

y rdl(J

dr

----------~~~-----1---+--x

Abb. A.21. Flachenelement in ebenen Polarkoordinaten

(AS.21)

Fur die Umrechnung zwischen ebenen kartesischen und ebenen Polarkoordinaten liest man aus Abb. A20 die Beziehungen

bzw.

abo

x r cos ip

y r sin ip

r = VX2 + y2 X

cOSip = -r

. y smip = -

r

(AS.22)

(AS.23)

Das FHichenelement hat in ebenen Polarkoordinaten die Darstellung (Abb. A21)

dA = r dr dip (AS.24)

A.6 Aufgaben 431

Damit hat ein Kreis vom Radius R die Flache

rR r27r rR A = 10 10 r dr dcp = 271" 10 r dr = 71" R2 (A.5.25)

A.6 Aufgaben

A.I: Gegeben seien die Vektoren a = -el + 3e2 + 2e3, b = 2el - 4e2 + 4e3 und e = 2el - 5e2. Berechnen Sie:

(a) a + 2b,

(b) die Betrage lal und Ibl sowie die Einheitsvektoren a und b, (e) das Skalarprodukt a· b und den von a und b eingeschlossenen Winkel,

(d) die Projektion von a auf b, bzw. von b auf a,

(e) das Vektorprodukt a x b sowie la x bl,

(1) die Winkel zwischen c und den drei Koordinatenachsen,

(g) aIle auf e orthogonalen Einheitsvektoren,

(h) den auf e und el senkrechten Einheitsvektor d, fiir den d . e3 > 0 gilt,

(i) den Einheitsvektor e, der mit c und d ein rechtshlindiges Koordinatensystem bildet,

(j) die Komponenten von a und b beziiglich der neuen Basis {c, d, e},

(k) a· b und a x b in der neuen Basis. Hlingt das Ergebnis von der gewahlten Basis ab?

A.2: Zeigen Sie mit den Methoden der Vektoralgebra: Die Seitenhalbierende der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks steht senkrecht auf der Basis.

A.3: Berechnen Sie den Flacheninhalt des Dreiecks, dessen Eckpunkte die folgenden kartesischen Koordinaten haben: PI = (1,1,1), P2 = (2,0,1), P3 = (1,3,2).

A.4: Zeigen Sie mit Hilfe der Vektoralgebra: Die Summe der Quadrate der beiden Diagonalen eines Parallelogramms ist gleich der Summe der Quadrate seiner vier Seiten.

A.S: Berechnen Sie mit den Methoden der Vektoralgebra den Winkel zwischen zwei Raumdiagonalen in einem Wiirfel.

A.6: Zeigen Sie mit den Methoden der Vektoralgebra: In einem beliebigen Dreieck teilt der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden die Seitenhalbierenden im Verhliltnis 2:1.

A.7: Die gleichfOrmige Bewegung eines Massenpunktes auf einer Schraubenlinie wird wie folgt beschrieben:

Xl = rcoswt X2 = r sinwt X3 = vt .

432 A Vektoren

dx d2x (a) Berechnen Sie dt und dt2 •

dx d2x d ( dX) (b) Berechnen Sie x x -, x x -d 2 und - x x - . dt t dt dt

A.S: Berechnen Sie:

(a) e321, eiij,

333

(b) L e12iei23 , L e12iei12, L e12iei2l. i=l i=l i=l

(c) Zeigen Sie L~=l eijkeklm = 8i/8jm - 8im8lj, indem Sie die Ergebnisse aus (b) mit Hilfe des Kronecker-Symbols (A3.2) verallgemeinem.

A.9: Beweisen Sie mit Hilfe der Beziehung aus Aufgabe A8c die Identitiiten

(a) a x (b x c) = b(a· c) - c(a· b),

(b) (a x b) . (c x d) = (a· c)(b· d) - (a· d)(b· c).

B. Tensoren

AuBer physikalischen GraBen, die sich durch Zahlen (Skalare) oder Vektoren beschreiben lassen, gibt es andere, die sich durch Paare von Vektoren darstellen lassen. Sie heiBen Tensoren. Beispiel fUr Skalar, Vektor und Tensor sind Masse bzw. Kraft bzw. Tragheitsmoment.

B.t Basistensoren

Als einfachstes Beispiel fUr Tensoren bilden wir zunachst alle maglichen geordneten Paare (ei, ek) der Basisvektoren e! , e2, e3. Als Bezeichnungsweise fUr diese Paare fUhren wir

(B.l.1)

ein. Offenbar gibt es genau neun solche Paare. Wir nennen sie Basistensoren zweiter Stufe. Als Skalarprodukte der Basistensoren definieren wir

(B. 1.2)

d. h. das Skalarprodukt eines Basistensors mit sich selbst ist eins, Skalarprodukte verschiedener Basistensoren verschwinden. Sie bilden ein orthonormiertes Basissystem in neun Dimensionen.

B.2 Allgemeine Tensoren. Rechenregeln

Durch Linearkombinationen der Basistensoren kannen wir einen beliebigen Tensor zweiter Stufe

3 3

A = L L Aikei ® ek (B.2.1) i=! k=!

darstellen. Die Koeffizienten Aik sind reelle Zahlen und heiBen Matrixelemente des

Tensors A beztiglich der Basis ei ® ek (i, k = 1,2,3). Sie kannen in dem quadratischen Schema

434 B. Tensoren

(B.2.2)

angeordnet werden. Es heiSt Matrix des Tensors A beziiglich ei ® ek (i, k = 1, 2, 3). Der Einheitstensor hat die Matrixelemente Aik = Dik>

3 3

1 = L Dikei ® ek = Lei ® ei (B.2.3) i,k=1 i=1

Seine Matrix ist die Einheitsmatrix

(B.2.4)

Hat ein Tensor die spezieUe faktorisierte Gestalt

3 3

A = L L aibkei ® ek (B.2.5) i=] k=]

so nennt man ihn das dyadische oder tensorielle Produkt oder die Dyade der beiden Vektoren

3

a = Laiei i=]

und bezeichnet ihn durch

Seine Matrix hat die Form

3

und b = L bkek k=1

Ais Summe C zweier Tensoren A, B definieren wir

ik ik

ik ik

d. h. die Matrixelemente des Summentensors

(B.2.6)

(B.2.7)

sind die Summen der entsprechenden Matrixelemente der Einzeltensoren.

B.4 Produkt von Tensor und Vektor 435

Als Produkt eines Tensors mit einer reellen Zahl definieren wir

B = cA = L CAikei ® ek = L Bikei ® ek (B.2.8) ik ik

d. h. die Matrixelemente des Produkts

erhalt man durch Multiplikation der Matrixelemente des urspriinglichen Tensors A mit der Zahl c.

Man liest sofort ab, daB die Addition von Tensoren kommutativ und assoziativ ist und die Multiplikation mit einer Zahl kommutativ, assoziativ, und die Multiplikation einer Zahl mit einer Summe von Tensoren distributiv ist.

Als Skalarprodukt zweier Tensoren A, B definieren wir nun

c A· B = (~Aikei ® ek) . (~Blmel ® em)

L L AikBlm(ei ® ek) . (el ® em) ik lm

Mit Hilfe von (B.l.2) erhalt man

c = A . B = L AikBlmOilOkm = L AikBik iklm ik

(B.2.9)

(B.2.1O)

Ganz in Analogie zum Skalarprodukt zweier Vektoren erhalt man das Skalarprodukt zweier Tensoren als die Summe der Produkte der gleichstelligen Matrixelemente. Aus der Definition dieses Skalarproduktes liest man sofort ab, daB es kommutativ und distributiv ist. Wiederum analog zu den Vektoren erhalt man das Matrixelement Alm durch skalare Multiplikation des Tensors A mit dem Basistensor el ® em,

ik

L AikOliOmk = A lm ik

(B.2.11)

Das Skalarprodukt des Tensors A mit dem Einheitstensor heiSt Spur von A,

3

Sp A = A .J, = L au (B.2.12) i=!

Sie ist die Summe der Matrixelemente auf der Hauptdiagonalen.

436 B. Tensoren

B.3 Darstellung durch Links- und Rechtsvektoren

Aus den Matrixelementen der Spalte k der Matrix (A) bilden wir den Linksvektor

k = 1,2,3 . (B.3.1) i=1

Entsprechend bilden wir aus den Elementen der Zeile .e den Rechtsvektor

3

be = LAliei , i=1

.e = 1,2,3 .

Fur den Tensor A ergeben sich dann die beiden Darstellungen

3 3

A = L ak 0 ek = Lee 0 be . k=1 e=1

(B.3.2)

(B.3.3)

Sie sind jeweils Summen von drei Dyaden aus den Links- bzw. Rechtsvektoren und den Basisvektoren.

B.4 Produkt von Tensor und Vektor

Wir definieren die Multiplikation einer Dyade a 0 b mit einem Vektor c von rechts zu

(a0b)c=a(b·c) (BA.l)

Das Produkt kann alsAbbildung des Vektors c auf den Vektor (b·c)a verstanden werden. Entsprechend gilt fUr die Multiplikation von a 0 b von links mit dem Vektor d

d(a0b)=(d·a)b . (BA.2)

Wenden wir die Definitionen (BA.l) und (BA.2) auf die Darstellungen (B.3.3) an und wahlen als auBere Faktoren die Basisvektoren, so erhalten wir

Aej ( ~ ak 0 ek) ej = ~ ak (ek . ej) = aj

ejA = ej (~ee0be) =~(ej.ee)bl=bj

also eine Abbildung der Basisvektoren ej auf die Linksvektoren aj bzw. die Rechtsvektoren b j des Tensors A. Fur die Multiplikation von A mit beliebigen Vektoren gilt dann

BA Produkt von Tensor und Vektor 437

d= Ac

und

f=cA

( ~ ak ® ek) (~Ciei) = ~ akck

~ ( ~ AikCk) ei = ~ diei ,

(~Ciei) (~ek®bk) = ~ckbk

~ (~CkAki) ei = ~ fiei

(BA.3)

. (BAA)

Die beiden Vektoren d und f sind im allgemeinen verschieden, die Multiplikation eines Vektors mit einem Tensor ist nicht kommutativ,

Ac i- cA (im allgemeinen)

Die zu a ® b adjungierte Dyade ist zu

(BA.5)

definiert, als zu A adjungierten Tensor A + definieren wir entsprechend

A + = L bk ® ek = L ek ® ak = L Aki ei ® ek (BA.6) k k ~

also (BA.7)

d. h. das Matrixelement ki des adjungierten Tensors ist gleich dem Matrixelement ik des urspriinglichen Tensors. Gewohnlich werden wir als Bezeichnungsweise das Matrixelement (A+)ik des adjungierten Tensors als

schreiben, so daB (BA.7) sie Gestalt

annimmt. Damit gilt

c ( ~ ek ® ak) = ~ Ckak = Ac

cA .

Fur symmetrische Tensoren gilt

(B.4.S)

(BA.9)

(B.4.1O)

438 B. Tensoren

und damit Ac=cA

Flir antisymmetrische Tensoren gilt

-A -cA

Die Beziehung (BA.3) beschreibt die Abbildung des Vektors c auf den Vektor d durch den Tensor A. Allgemeiner ausgedrlickt vermittelt der Tensor A die Abbildung der Menge aller moglichen Vektoren c. (Bine im allgemeinen verschiedene Abbildung vermittelt die Multiplikation (BAA) von links mit c.)

Der Einheitstensor (B.2.3) vermittelt die identische Abbildung

3 3 3

1a = ~]ei ® ei)a = Lei(ei' a) = Laiei = a i=1 i=1 i=1

und analog a1= a

B.S Produkt zweier Tensoren

Flihrt man nacheinander zwei Abbildungen aus, die durch die Tensoren A und B beschrieben werden, so ist das Ergebnis der Vektor

im (B.S. 1)

im i m

Unter Benutzung von (BA.3) erhalt man

g = L L L BimAmkckei (B.S.2) i k m

Diese Abbildung von c in g erhlilt man auch durch Anwendung eines einzigen Tensors

auf den Vektor c,

C = L Cikei ® ek ik

g = Cc = L CikCkei ik

wobei die Matrixelemente durch

(B.S.3)

(B.SA)

B.6 Vektorprodukt in Tensorschreibweise 439

m

bestimmt sind. Man nennt den Tensor C das Produkt der heiden Tensoren B undA

(B.5.6)

Dieses Produkt kann man auch direkt ohne den Umweg tiber die Abbildungen so definieren:

(EBimee®em) (~Aikei®ek) L L BemAik(em . ei)ee ® ek em ik L L BemAikDmiee ® ek em ik

L (L B£mAmk) ee ® ek ek m

(B.5.7)

Der springende Punkt in dieser Definition ist die Reduktion des Produktes der beiden Basistensoren ee®em, ei ®ek auf den Basistensor ee®ek der auBeren Vektoren multipliziert mit dem Skalarprodukt (em· ei) der inneren Vektoren. Entscheidend fUr die Summation in (B.5.5) ist, daB tiber den "mittleren Index", also tiber den zweiten Index des ersten Faktors Bem und den ersten Index des zweiten Faktors Amk sumrniert wird.

Wir berechnen jetzt die Matrixelemente des zu C = B A adjungierten Tensors C+ und erhalten - --

m

m m

oder, fUr die Tensoren (BA)+ = A+ B+ -- -- (B.5.8)

B.6 Vektorprodukt in Tensorschreibweise

Ein einfacher, aber haufig benutzter Tensor dritter Stufe ist der Levi-CivitiiTensor ~. Er ist definiert durch die Darstellung

3

~= L £jkeej®ek®ee (B.6.1) j,k,£==l

440 B. Tensoren

in einer Tensorbasis dritter Stufe. Dabei ist €jkl das in (A.3.20) eingefiihrte Levi-Civita-Symbol. Mit seiner Hilfe stellt sich das Vektorprodukt zweier Vektoren in der Form

dar, denn

a x b = b~a

b<. (pm.,.) (f.;<;"e; 0e, 0 e,) (~> ... ) L ~::)m(em . ej)€jklekan(el· en) jk£ mn

= L L bmDmj€jkiekanD£n jk£ mn

L bj€jklatek = L atbj€tjkek = a x b jkt jkt

(B.6.2)

(B.6.3)

Wie erwartet haben wir durch Multiplikation des Tensors ~ mit zwei Vektoren a, b einen Vektor erhalten. Durch Multiplikation von ~- mit einem Vektor gewinnt man einen Tensor zweiter Stufe, z. B. b~, ~a, usw.

B.7 Matrizenrechnung

Obwohl Tensoren wie auch Vektoren koordinatenunabhangige Objekte sind, ist es doch fUr Rechnungen in einem festen Koordinatensystem niitzlich, Rechenregeln fUr die Matrixelemente zusammenzustellen, so wie das im Abschn. A.3 fUr die Komponenten von Vektoren geschehen ist. AIle Regeln ergeben sich unmittelbar aus den vorausgegangenen Abschnitten.

Addition von Matrizen (A) + (B) = (C)

Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl c(A) = (C)

Multiplikation zweier Matrizen (A)(B) = (C) - - -

( Bll B12 B21 B22 B31 B32

l:k AlkBk2 l:k A2kBk2 l:k A3kBk2

B.7 Matrizenrechnung 441

Merkregel: Das Element Cik der Produktmatrix ist das Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors von (A) mit dem k-ten Spaltenvektor von (B). - -

Die Multiplikation einer Matrix von rechts mit einem Spaltenvektor ergibt sich als ein Spezialfall der obigen Regel,

( ~~~ ~~~ ~~:) ( ~~ ) = ( ~: ~~:~: ) A31 A32 A33 b3 l:k A3kbk

Das Produkt ist ein Spaltenvektor (c), dessen i-te Komponente das Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors der Matrix mit dem Spaltenvektor (b) ist.

Analog ist die Multiplikation einer Matrix mit dem Vektor von links definiert. Darnit man die obige Merkregel beibehalten kann, schreibt man das Koeffizientenschema des Vektors jetzt als Zeilenvektor:

Das Produkt ist ein Zeilenvektor (d1, d2 , d3), dessen k-te Komponente das Skalarprodukt des Zeilenvektors (b) + mit dem k-ten Spaltenvektor der Matrix ist.

Transposition einer Matrix 1m Zusammenhang mit dem adjungierten Tensor waren Matrixelemente

aufgetreten. Die zu (A) transponierte Matrix

gewinnt man aus der Matrix (A) durch Spiegelung der Elemente an der Hauptdiagonalen All, A22 , A33 .

442 B. Tensoren

Bei Vektoren ist die Transposition der Ubergang yom Spalten- zum Zeilenvektor,

(B.7.1)

Das Skalarprodukt von Vektoren HiSt sich als Matrixmultiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor schreiben,

b· a ~ (W(a) ~ (bl , 1>" b,) U: ) ~ albl + a,1>, + a,b, . (B.7.2)

Die Matrix des dyadischen Produktes zweier Vektoren gewinnt man durch Matrixmultiplikation eines Spaltenvektors mit einem Zeilenvektor,

B.8 Determinante

Die Determinante eines Tensors A mit der Matrix

(A) = (~~~ ~~~ ~~:) A31 A32 A33

(B.8.1)

ist ein Skalar, der als Skalarprodukt des Levi-Civita-Tensors §; mit den drei Linksvektoren 31,32, 33 (vgl. Abschn. B.3) des Tensors A definiert ist,

d. h.

Au A12 A13 detA = A21 A22 A23 = §;. (31 032033) ,

A31 A32 A33

ijk

~€ijkAi1Aj2Ak3 ijk

(B.8.2)

B.8 Deterrninante 443

Durch Einsetzen der Werte (A.3.20) von Cijk erhaIt man explizit

detA AllA22A33 + A12A23A31 + A13A21A32 - AllA23A32 - A12A21 A33 - A13A22A 31 (B.8.3)

Diese Formel kann man sich mit Hilfe der Sarrus'schen Regel merken: Von der Summe der Produkte der Elemente der Hauptdiagonalen und ihrer zwei Parallelen subtrahiert man die Produkte der Elemente der Nebendiagonalen und ihrer zwei Parallelen. Die Parallelen konstruiert man entsprechend Abb. B.I, indem man die ersten beiden Spalten rechts neben der Determinanten wiederholt.

(a) (b) "- "- "-"-

Ali A\2 A\3 All A\2

All A12

""" """ """ A21 A22 A 23 A21 A22

A21 A22

""" """ "- A31 A32 A33 A31 A32

"- "- "-

Abb. B.1. (a) Hauptdiagonale (-) und Nebendiagonale ( ... ) bei zweireihiger Determinante, (b) Hauptdiagonale mit Parallelen (-) und Nebendiagonale mit Parallelen ( ... ) einer dreireihigen Determinante nach der Sarrus'schen Regel

Auch fur einen Tensor in nur zwei Dimensionen mit der Matrix

(A) = (~:~ ~:~) ist eine Determinante definiert und zwar, in Analogie zu (B.8.2), als

(B.8.4)

Dabei sind die Cij die Matrixelemente eines total antisymmetrischen Tensors zweiter Stufe in zwei Dimensionen,

Die Determinante (B.8.4) ist gleich dem Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen minus dem Produkt der Elemente der Nebendiagonalen.

Wir definieren jetzt als Kofaktor A!k des Elements Aik der urspriinglichen Matrix (B.8.I) die (2 x 2)-Determinante, die man durch Streichung der Zeile i und der Spalte k erhaIt, multipliziert mit dem Vorzeichenfaktor ( -1) i+k. Wie man leicht sieht ist die Determinante (B.8.3) die Summe der Produkte aus Matrixelementen und Kofaktoren einer beliebigen Zeile i oder Spalte j,

444 B. Tensoren

detA = LAikA!k = LAkjAL (B.8.5) k k

Durch diese Beziehungen sind auch Determinanten quadratischer Matrizen mit n Zeilen und Spalten fUr n > 3 definiert.

Bildet man statt (B.8.5) die Summe der Produkte der Matrixelemente einer Zeile i mit den Kofaktoren einer anderen Zeile j, so verschwindet das Ergebnis. Entsprechendes gilt fUr Spalten,

L AikA)k = 0 = L AkiAL i=lj (B.8.6) k k

Durch Vergleich von (B.8.2) und (A.3.27) konnen wir det A mit dem Spatprodukt der Linksvektoren von A identifizieren,

(B.8.7)

Ais Spatprodukt dreier Vektoren ist die Determinante unabhangig vom Basissystem el, e2, e3, in dem diese Vektoren dargestellt werden, und damit auch unabhangig vom System der Basistensoren ei ® eb beziiglich des sen die Matrixelemente Aik des Tensors A angegeben sind. Die angegebenen Formeln zur Berechnung von Determinanten gelten also in jeder kartesischen Basis. Der Vollstandigkeit halber definieren wir die Determinante einer Zahl als die Zahl selbst.

Verschwindet das Spatprodukt, gilt also det A = 0, so liegt einer der drei Vektoren in der von den beiden anderen aufgespannten Ebene: die Vektoren ai, a2, a3 sind nieht linear unabhangig. Durch Linearkombinationen der ai, i = 1,2,3, konnen nicht mehr aIle Vektoren des Raumes, sondern nur noch die Vektoren dieser Ebene dargestellt werden. Da durch Tensormultiplikation die Basisvektoren ei auf die Spaltenvektoren ai abgebildet werden, ai = Aei, wird die Menge aller Vektoren r = L:i riei des Raumes auf die Menge

rl = Ar = ""' r·a· = ~" i

dieser Ebene abgebildet, falls die Determinante der Matrix verschwindet. Sind sogar alle Spaltenvektoren ai parallel, so entartet die Ebene zu einer Linie. Tensoren mit det A = 0 heiBen singular.

B.9 Matrixinversion

Eine quadratische Matrix (A) kann eine Inverse (A)-1 besitzen, die durch die Gleichung

(B.9.1)

B.10 Zerlegung in symmetrische und antisymmetrische Tensoren 445

bestimmt ist. Wir schreiben zunachst (At1 = (X) und betrachten den einfachen Fall von (2 x 2)-Matrizen. Es gilt

(X)(A) = ( XllAll + X 12A21 X ll A12 + X 12A22 ) = (1 0) - - X 21 All + X 22A21 X 21 A12 + X 22 A22 0 1

also

XllA ll + X 12A21 = 1

X l1 A12 + X 12A22 = 0 ,

X 21 All + X 22A21 = 0 ,

X 21 A12 + X 22A22 = 1

Aufl6sung nach den Matrixelementen von X ik liefert

(B.9.2)

Das Matrixelement X ik der Inversen von A ist gleich dem Kofaktor Ark'

Abschn. B.8, der urspriinglichen Matrix dividiert durch deren Determinante. Der Ausdruck (B.9.2) gilt auch fUr (3 x 3)-Matrizen und allgemein fUr

beliebige quadratische Matrizen. Wegen des Auftretens der Determinante im Nenner besitzen singulare Matrizen, d. h. so1che mit verschwindender Determinante, keine Inverse.

B.IO Zerlegung in symmetrische und antisymmetrische Tensoren

Jeder Tensor A kann als Summe eines symmetrischen Tensors

und eines antisymmetrischen

geschrieben werden,

Es gilt

(B.1O.1)

(B. 10.2)

(B. 10.3)

(B. lOA)

446 B. Tensoren

B.ll Abbildungen durch einfache Tensoren

Die Abbildung (B.ll.l)

durch den Tensor A HiBt sich graphisch veranschaulichen, indem man in einer Graphik eine Vielzahl von Vektoren r darstellt (Urbild) und in einer zweiten Graphik die zugehOrige Menge von transformierten Vektoren r' (Bild).

In einer vorgegebenen Basis el, e2, e3 werden r, r' als Spaltenvektoren und A als Matrix dargestellt,

(B.ll.2)

Oft reicht es zur illustration aus, Vektoren und Tensoren in zwei Dimensionen zu betrachten, statt (B.ll.2) also

(B.ll.3)

Diese Abbildung liefert die gleichen Ergebnisse fur r~, r~ wie die Verwendung derMatrix

( A11 A12 0)

(A) = A21 A22 0 o 0 1

(B.ll.4)

in (B.ll.2). Dabei bleibt r3 ungeandert, r~ = r3.

Allgemeiner Tensor In Abb. B.2 ist die Abbildung (B.ll.l) fur einen allgemeinen Tensor in drei Dimensionen graphisch veranschaulicht. Als Urbild dient der Einheitswiirfel -1 ~ ri ~ 1. Auf der OberfHiche des Einheitswiirfels ist ein gleicbmaBiges Gitter markiert. Der Koordinatenursprung liegt im Wiirfelmittelpunkt. Die Basisvektoren el, e2, e3 verlaufen von dort zu den Mittelpunkten dreier Seiten des Wiirfels parallel zu seinen Kantenrichtungen. Das durch die Abbildung entstehende Bild des Wiirfels ist ein Parallelepiped. Seine Kantenrichtungen sind die Richtungen der Spaltenvektoren aJ, a2, a3 des Tensors.

Die Abbildung (B. 11. 1 ) in zwei Dimensionen ist in Abb. B.3 dargestellt. Als Urbild dient jetzt das Einheitsquadrat, das ein regelmaBiges Punktgitter und zusatzlich den Einheitskreis rr + r~ = 1 enthaIt. Die Abbildung verzerrt das Quadrat zu einem Parallelogramm und den Kreis zu einer Ellipse. Die Basisvektoren el, e2 werden auf die Spaltenvektoren aI, a2 des Tensors abgebildet.

B.II Abbildungen durch einfache Tensoren 447

Abb. B.2. Urbild (links) und Bild (rechts) einer Abbildung (B.11.1) in drei Dimensionen

Abb. B.3. Urbild (links) und Bild (rechts) einer Abbildung (B.11.1) in zwei Dimensionen

Kugeitensor Das a-fache des Einheitstensors bildet jeden Vektor r auf sein a-faches ab,

rl = aJ,r = ar (B.Il.5)

In Abb. BA ist die Abbildung in drei Dimensionen illustriert. Das durch die Abbildung entstehende Bild des Einheitswiirfels zeigt den gleichmaBig urn den Faktor a vergroBerten Wiirfel.

In Abb. B.5 ist die gleiche Abbildung in zwei Dimensionen dargestellt. Durch die Abbildung wird das Quadrat gleichfOrmig vergroBert. Das Bild des Einheitsquadrates bleibt ein Quadrat, das Bild des Einheitskreises ein Kreis.

448 B. Tensoren

? •• r,

Y·::·· ..... . . . : .

r • 3

Abb. B.4. Urbild (links) und Bild (rechts) der Abbildung (B.l1.5) fUr a = 1,2 in drei Dimensionen

r, - - -.- - + - -.- -I I i I

. I

Abb. B.S. Urbild (links) und Bild (rechts) der Abbildung (B.I1.5) fUr a Dimensionen

r;

1,2 in zwei

Ein Volurnen irn dreidirnensionalen Raurn wird durch diese Abbildung urn den Faktor a3 geandert: Die Abbildung mit al bewirkt eine Volumendilatation urn den Faktor a3 . -

Tensor mit Diagonalmatrix Wir betrachten einen symmetrischen Tensor D, dessen Spalten- und Zeilenvektoren Vielfache der Basisvektoren sind:

D = L:Djej ®ej j

(B.l1.6)

B.ll Abbildungen durch einfache Tensoren 449

Die Abbildung der Basisvektoren ek,

bewirkt eine Multiplikation mit dem Diagonalelement Dk der Matrix des Tensors unter Erhaltung der Richtung. Die Abbildung eines beliebigen Vektors

(B. I 1.7)

liefert einen Vektor, des sen Komponenten urn die Faktoren Di gestreckt oder gestaucht sind,

(B.I1.8)

In Abb. B.6 bzw. B.7 ist die Abbildung (B. I 1.7) in drei bzw. zwei Dimensionen dargestellt.

r ...

r • 3

r ... _

Abb. B.6. Urbild (links) und Bild (rechts) der Abbildung (B.11. 7) in drei Dimensionen, DJ = 0,6, D2 = 0,8, D3 = 1,2

Offenbar wird der Einheitswiirfel in einen Quader abgebildet, dessen Kanten achsenparallel bleiben. Entsprechend wird das Einheitsquadrat in ein Rechteck abgebildet. Der Einheitskreis wird zu einer Ellipse, deren groBe und kleine Halbachse parallel zu den Koordinatenachsen sind. Die Einheitskugel

(B.I1.9)

wird zu einem Ellipsoid

(B.I1.lO)

450 B. Tensoren

- ---t> r1'

Abb.B.7. Urbild (links) und Bild (rechts) der Abbildung (B.11.7) in zwei Dimensionen, DJ = 0,6, D2 = 1,2

dessen Hauptachsen in Richtung von eJ, e2, e3 liegen und des sen Halbdurchmesser entlang dieser Richtungen D1, D2, D3 sind.

Die Abbildung bewirkt eine gleichmaBige Volumendehnung, auch Volumendilatation genannt. Ein Quader mit achsenparallelen Kanten und dem urspriinglichen Volumen Vo erhaIt dadurch das Volumen

Die relative VolumenvergroBerung

(B.ll.11)

heiBt Dilatation. Sie gilt auch fUr beliebig geformte Volumina, weil diese immer aus Quadern oben beschriebener Art zusammengesetzt werden konnen.

Infinitesimale Dilatation Wir betrachten einen Tensor f1 mit der Matrix

d;« 1 i = 1,2,3

Die Abbildung durch den Tensor

D=l+d (B.l1.12) - - -

bewirkt eine Dilatation

B .11 Abbildungen durch einfache Tensoren 451

Bei der Ausmultiplikation k6nnen aIle Glieder vom Typ d;dj oder gar d1 d2d3

vernachHissigt werden. Man erhalt

(B.l1.13)

SinguHirer Tensor In Abb. B.8 zeigen wir die Abbildung durch den Tensor A in zwei Dimensionen mit der Matrix

(B.l1.14)

deren Determinante verschwindet. Wie in Abschn. B.8 diskutiert, bildet dieser Tensor die Menge aIler Punkte der Ebene auf eine Gerade in der Ebene abo

Abb. B.8. Urbild (links) und Bild (rechts) der Abbildung durch den singuliiren Tensor mit der Matrix (B.l1.l4)

Symmetrischer Tensor Abbildungen durch symrnetrische Tensoren sind in der Physik von besonderer Bedeutung. Sie werden in den Abschnitten B.14 und B .15 ausfiihrlich diskutiert.

Antisymmetrischer Tensor Jeder antisymmetrische Tensor hat die Matrix

(B.l1.15)

452 B. Tensoren

und ist singuHir. Er hat nur drei unabhangige Matrixelemente und laBt sich in derForm

(B.Il.16)

schreiben. Die Schreibweise [~a 1 mit eckigen Klammem bedeutet, daB bei der Produktbildung aus den Matrixelementen Cijk mit den Komponenten des Vektors a tiber den mittleren Index j summiert wird.

Die drei Komponenten des Vektors a sind also mit den Matrixelementen wie folgt verkntipft:

Damit ist

Aik = L CijkO:j j

Die durch den antisymmetrischen Tensor vermittelte Abbildung ist

Ar = [~alr = a x r = 0:& x r

(B.Il.I?)

(B.ll.18)

also die vektorieIle Multiplikation von a mit r. Sie bildet aIle Punkte r des Raumes in eine Ebene durch den Koordinatenursprung mit der Normalen & abo Man kann sich diese Abbildung als in drei Schritten durchgefUhrt denken: einer Projektion parallel zu 0: in diese Ebene, gefolgt von einer Streckung urn den Faktor 0: in der Ebene und einer 90°-Rotation urn & im positiven Sinn. Als Beispiel ist in Abb. B.9 die Abbildung fUr

(A) = ( ~ -1

(n)= CD dargesteIlt. Wieder dient der Einheitswtirfel als Urbild. In ihm existiert ein raumliches Punktgitter, das graphisch nur auf den sichtbaren Flachen des Wtirfels wiedergegeben ist. AIle Punkte des raumlichen Gitters werden auf die Ebene senkrecht zu & abgebildet. Sie bilden dort ein regelmaBiges Sechseck entsprechend der Projektion des Wtirfels entlang einer seiner Raumdiagonalen.

B.12 Rotation

Eine Rotation ist voIlstandig charakterisiert, wenn man die Transformation eines rechtshandigen, orthonormierten Basissystems ej, e2, e3 in ein anderes

B.12 Rotation 453

Abb. B.9. Urbild (links) und Bild (rechts) der Abbildung durch einen antisymmetrischen Tensor

rechtshandiges. orthonormiertes Basissystem e;. e~. e~ angibt. Genau dieses lei stet der Tensor

3

R = Le~ 0 ek (B.12.l) k=l

denn offenbar gilt

3 3

Rem = L (e~ 0 ek) em = L e~8km = e~ m = 1,2,3 k=l k=l

(B.12.2) Fiir die Drehung eines beliebigen Vektors

(B.12.3)

gilt dann

333 r' = Rr = L T£ L (e~ 0 ek) e£ = L T£e~ (B.12A)

£=1 k=1 £=1

Da der Vektor mitsamt seinem Basissystem gedreht wurde. hat r' beziiglich des Systems e;. e~. e~ dieselben Komponenten TI. T2. T3 wir r beziiglich des urspriinglichen Systems el. e2. e3' Natiirlich ist bei dieser Operation die Lange des Vektors ungeandert geblieben.

Die Urnkehrtransformation r' ---+ r wird durch den adjungierten Tensor

3

R+ = Lek 0e~ (B.12.S) k=1

454 B. Tensoren

vermittelt. Er transformiert das kartesische Basissystem e~ in das urspriingliche System ek zuriick,

R+e' = e = m m m = 1,2,3 (B.12.6)

Da bei Nacheinanderausftihrung R+ Roder RR+ das Basissystem ungdindert bleibt, gilt

(B.12.?)

wie man auch direkt nach Regel (A.3.3) nachrechnet. Tensoren, die mit ihren Adjungierten multipliziert die Einheitsmatrix ergeben, heiBen orthogonal.

Mit (BA.lO) folgt die Invarianz der Lange des Vektors r unter Rotation,

r' . r' = (Rr) . (Rr) = r R+ Rr = r . r . (B.12.8)

Weiter folgt sofort die Invarianz des Skalarproduktes beliebiger Vektoren rl, r2' Das sieht man leicht, wenn man r als Summe zweier Vektoren schreibt,

(B.12.9)

Dann gilt auch r' = Rr = Rrl + Rr2 = r; + r~ (B.12.1O)

mit r;2 = ri und r~2 = r~. Durch Einsetzen in (B.12.8) findet man

(r; + r~) . (r; + r~) = (rl + r2) . (rl + r2)

ri + 2rl . r2 + r~ (B.12.11)

und somit

(B.12.l2)

Wir suchenjetzt eine Darstellung des Tensors R in derTensorbasis ek ®e£, k,£ = 1,2,3,

3

R = L Rklek ® e£ k,£=l

(B.12.13)

Die Matrixelemente Rmn berechnet man als Skalarprodukt von em mit Ren,

3

Ren = L Rk£ (ek ® e£) en = L Rknek (B.12.l4) kl k=l

(B.12.1S)

Aufgrund der Beziehung (B.12.16)

B.12 Rotation 455

gilt, daB die Matrixelemente von R gerade die Richtungskosinus zwischen den Vektoren der beiden Basissysteme el, e2, e3 und e~, e~, e; sind,

(B.12.17)

Die Matrixelemente von R+ sind

(B.12.18)

Wegen der Orthogonalitatsrelation (B.12. 7) gilt fUr das entsprechende Produkt der Rotationsmatrizen

3 3

L R;;'lRln = bmn ;= L RmlHtn (B.12.19) £=1 £=1

bzw.

Als einfaches Beispiel berechnen wir die Rotationsmatrix, die eine Drehung urn die e3-Achse urn den Winkel a beschreibt (Abb. B.1O). Da bei dieser speziellen Rotation der Basisvektor e~ mit e3 zusammenfallt, hat (B.12.1) die spezielle Gestalt

2

R = L e~ ® e£ + e3 ® e3 (B.12.20) £=1

Die Rotationsmatrix hat die Form

( el . e~ el' e~ 0) ( cos a - sin a

(R) = e2 . e~ e2' e~ 0 = sin a cos a o 0 I 0 0

(B.12.21)

wie man der Abb. B.1O direkt entnimmt. Durch Einsetzen der Matrixelemente von (B.12.21) in (B.12.13) sieht man,

daB der Rotationstensor der Drehung urn den Winkel a urn die erAchse die Gestalt

Abb. B.lO. Rotation urn die e3-Achse urn den Winkel a

456 B. Tensoren

R(ae3) = e3®e3+(el ®el +e2®e2) cos a-(el ®e2-e2®el) sin a (B.12.22)

hat. Das laBt sich auch vollstfuldig durch den Vektor e3 ausdriicken, wenn man beachtet, daB die IdentiUiten

und

el ® el + e2 ® e2 = :l - e3 ® e3

el ® e2 - e2 ® el =

L Cijk (ei ® ej ® ek) e3 ijk

L Cij3ei ® ej = - L Ci3jei ® ej = - [~e3l ij ij

(B.12.23)

gelten. Die Notation [~e3l, die im Zusammenhang mit (B.I1.16) eingefuhrt wurde, besagt, daB e3 In den mittleren Index des Tensors ~ wirkt. Wir finden somit

(B. 12.24)

Fur eine Drehung urn eine beliebige Richtung a mit dem Drehwinkel a gewinnt man die allgemeine koordinatenfreie Darstellung der Rotation, indem man die Ersetzung

ijk

in dem soeben gewonnenen Ausdruck vornimmt,

R(a) = R(aa) = a ® a + Cl- a ® a) cosa + [~al sin a . (B. 12.25)

In der urspriinglichen Basis ei hat der rotierte Vektor r' die Darstellung

r' =Rr ( f; R"e, 0 .,) (~>,,,) L (L Rklrl) ek = L r~ek

k l k

(B.12.26)

oder, in Spaltenvektor- und Matrixschreibweise,

(r') = (R)(r) (B.12.27)

Die Abbildung (B.12.25) durch Rotation ist in Abb. B.II in drei Dimensionen dargestellt. Dabei ist als Richtung a der Rotationsachse der Vektor

I a= .j3(e1 +e2 +e3)

gewahlt, der yom Ursprung zu der Ecke des Einheitswurfels zeigt, die dem Betrachter am nachsten liegt. Der Drehwinkel betragt a = 30°. Abbildung B.12 zeigt die Rotation in zwei Dimensionen, vgl. (B. 12.21), fUr a = 30°.

B.13 Infinitesimale Rotation 457

r • 3

Abb. B.11. Urbild (links) und Bild (rechts) der Abbildung (B.12.26) in drei Dimensionen

Abb. B.12. Urbild (links) und Bild (rechts) der Abbildung (B.12.26) in zwei Dimensionen

B.13 Infinitesimale Rotation

Fur einen kleinen Drehwinkel a « 1 konnen wir die Winkelfunktionen sin a und cos a nach Taylor entwickeln, siehe Anhang D. In linearer Ordnung in a erhalten wir

sin a ~ a cos a ~ 1

Der Rotationstensor (B.12.25) erhalt die einfache Form

(B.13.1)

458 B. Tensoren

Die Matrixelemente des antisymmetrischen Tensors A wurden bereits in (B. 1 1.17) bestimmt.

Der Tensor R der Rotation urn einen kleinen Winkel ist also die Summe aus dem Einheitstensor und einem antisymmetrischen Tensor A, dessen Matrixelemente samtlich klein gegen eins sind. Auch die Umkehraussage gilt: Die Abbildung durch einen Tensor, der sich als Summe aus dem Einheitstensor :1 und einem infinitesimalen antisymmetrischen Tensor A schreiben laBt, fur dessen Matrixelemente also die Beziehungen

gelten, steHt eine infinitesimale Rotation urn den Winkel a und die Drehachse 0: dar, wobei fur die Komponenten des Vektors a: = ao: gilt

oder allgemein

j = 1,2,3

B.14 Basiswechsel

Wir betrachten einen Tensor A, der beztiglich des Basissystems "1j diagonal ist,

A = L Dj'r/j ® "1j j

(B.14.1)

Die Basisvektoren "1j werden auch als Hauptachsen des Tensors A bezeichnet. Wir beschreiben jetzt den Tensor in einer anderen Basis ej'

(B.14.2)

die durch die Rotation R aus "1j hervorgeht. In der Basis ej hat R die Darstellung

Es gilt

R = L RjLej ® eL jL

"1j = :1 R +ej = L ek ® ekR+ej = L Rtek = L Rjkek k k k

und wir finden durch Einsetzen in (B.14.1)

(B.14.3)

(B. 14.4)

B.14 Basiswechsel 459

A = L Dj(Rjkek) ® (Rjfef) = L Akfek ® el (B.14.5) jkf k,l

mit den Matrixelementen

Akf = L RtjDjRjf = Afk j

(B.14.6)

des Tensors A im Basissystem der ej. Die Matrix der Akf ist symmetrisch. In Matrixschreibweise lautet diese Beziehung

(A) = (R+)(D)(R) . (B.14.7)

Dabei ist (D) die Matrix des Tensors A in Hauptachsendarstellung, also eine - -

Diagonalmatrix. (A) ist die Darstellung desselben Tensors in der Basis ei, und (R) ist die Darstellung des Rotationstensors, der die Rotation "lj --+ ej leistet, in der Basis ej. Dem Matrixprodukt (B.14.7) entspricht das Tensorprodukt

D = LDjej ®ej . j

(B.14.8)

Dabei ist D der Diagonaltensor mit den Diagonalelementen D j im Basissystem der ej.

Ais Beispiel betrachten wir eine Rotation in zwei Dimensionen urn 30° mit der Matrix

(R) = (V3/2 -1/2) = 1/2 V3/2

(R+) = (V3/2 1/2) (B 149) = -1/2 V3/2 ..

und die Diagonalmatrix

(D) = (6/5 0 ) = 0 4/5

In Abb. B.13 sind die drei Abbildungen

und

(e) = (R)(r) ,

(r') = (D)(R)(r)

(r') = (R+)(D)(R)(r) = (A)(r)

(B.14.1O)

(B.14.11)

(B.14.12)

(B.14.13)

dargestellt. Die Abbildung (B.14.11) bewirkt eine Rotation unseres Urbildes aus Einheitsquadrat und Einheitskreis urn 30°. Die Abbildung (B.14.12) bewirkt diese Rotation gefolgt von einer Streckung bzw. Stauchung in Achsenrichtung durch die Diagonalmatrix (D). Dadurch wird aus dem Quadrat

460 B. Tensoren

I· .1 •

. •. I·. . .-.-:.~ ...::-.~ . ..::- .... .:.. ..

• I· ·1

Abb. B.13. Urbild (oben links) und dessen Abbildungen durch (B.14.11) (oben rechts), durch (B.14.12) (unten links) und durch (B.14.13) (unten rechts)

ein Parallelogramm und aus dern Einheitskreis eine Ellipse, deren Hauptachsen die Richtung der Koordinatenachsen, also der Basisvektoren el, e2, haben. Die Langen der groBen bzw. kleinen Halbachse sind gleich den Diagonalelernenten von D. Die Abbildung (B.14.13) bewirkt eine zusatzliche Rotation urn - 30° derart, daB die Hauptachsen der Ellipse nun die Richtungen "11, "12 haben.

Wir k6nnen die Diskussion dieses Abschnitts so zusarnrnenfassen: Der Tensor A = I:j Dj "1j @"1j bewirkt eine Abbildung, bei der die Einheitskugel in ein Ellipsoid tibergeht. Die "1j sind die Hauptachsenrichtungen des Ellipsoids, die Dj seine Halbdurchrnesser entlang dieser Richtungen. Den Tensor (B. 1 1.6), der eine Diagonalrnatrix beztiglich der Basisvektoren el> e2, e3 hat, erkennen wir als Spezialfall. Seine Hauptachsen sind gerade diese Basisvektoren.

B .15 Hauptachsentransformation 461

Sind alle Diagonalelemente Dj verschieden, so haben die Hauptachsen TJ j die folgende einfache Eigenschaft. Von allen Einheitsvektoren sind sie die einzigen, die bei Multiplikation von links mit A ihre Richtung beibehalten und nur ihren Betrag andem. Durch Multiplikation von (B.14.1) mit TJk folgt die Eigenvektorgleichung

(B.14.14)

1m folgenden Abschnitt werden wir zeigen, daB sich aus ihr flir jeden symmetrischen Tensor A die TJk und Dk bestimmen lassen.

B.tS Hauptachsentransformation

1m vorigen Abschnitt haben wir den symmetrischen Tensor A in nichtdiagonaler Darstellung (B.14.5) aus der Diagonalform (B.14.1) durch Basiswechsel mit Hilfe der Rotation R gewonnen. Wir zeigen hier, daB auch umgekebrt jeder symmetrische Tensor auf Hauptachsen, d. h. auf Diagonalform transformiert werden kann. Dazu gehen wir von (B.14.8) aus, multiplizieren die Gleichung von rechts mit R+ und erhalten

(B.15.1)

mit der Bedingung, daB D in der Basis der ei ein Diagonaltensor ist,

3

D = LDjej ®ej (B.15.2) j=l

Die Gleichung (B.15.1) bestimmt sowohl den Rotationstensor R+ als auch die Diagonalelemente D j von D. Wir nutzen die Darstellung, vgl. (B.14.2),

R+ = LTJj ®ej j

und finden durch Multiplikation beider Seiten der Gleichung (B.15.1) mit ek von rechts

(B.15.3)

Diese Gleichung heiSt Eigenvektorgleichung des symmetrischen Tensors A. Sie bestimmt sowohl die Eigenvektoren TJk, k = 1,2,3, wie auch die zugehorigen Eigenwerte D k • Sie kann auch als homogene lineare Gleichung in derForm

k = 1,2,3 , (B. 15.4)

462 B. Tensoren

geschrieben werden. Falls der Tensor (A - Dd) ein Inverses (A - Dkl)-l besitzt, konnen beide Seiten der obigen Gleichung darnit multipliziert werden und wir erhalten die triviale Losung 'fIk = 0, k = I, 2, 3. Nur fUr singuHire, d. h. nicht-umkehrbare Tensoren (A - Dkl), k = I, 2, 3, existieren nichttriviale Eigenvektoren 'fIk. Der Tensor (A - Dkl) besitzt kein Inverses, wenn seine Deterrninante verschwindet,

det(A - Dkl) = 0 , k = 1,2,3 (B.15.5)

Dies ist eine Gleichung dritten Grades in der Unbekannten Db

D~ + aD~ + bDk + C = 0 (B.15.6)

Dabei gilt fUr die Koeffizienten

a -(All + A22 + A33 ) b AllA22 + A22A33 + A33A ll - AI2 - A~3 - AI3 C -(AllA22A33 - AI2A33 - A~3All - AI3A22 + 2A12A23A13)

Die drei Losungen D 1, D2, D3 der kubischen Gleichung lassen sich mit Hilfe der Konstanten

a2

P = --+b 3 '

durch

a Dl =A+B--

3

ausdriicken, wobei

Fur A, B sind die komplex konjugierten Losungen der kubischen Wurzeln zu verwenden.

Die Eigenvektoren 'fIk werden jetzt fUr den Fall dreier verschiedener Eigenwerte Dk wie folgt bestimmt. Wir bilden zunachst fUr jeden Eigenwert Dk den Tensor

detB(k) = 0 . (B.I5.7)

Die Kofaktoren einer beliebigen Zeile £ der Matrix (B(k)) sind die Vektorkomponenten VOn 'fib

(B.I5.8)

B .15 Hauptachsentransformation 463

Die Zeilennummer £ ist so zu wahlen, daB nicht alle Kofaktoren dieser Zeile verschwinden. Vnter der obigen Voraussetzung, daB alle drei Eigenwerte verschieden sind, existiert stets wenigstens ein solches £. Dieser Ansatz fur 'TJk erfUllt die Eigenvektorgleichung (B.lS.4),

0= (A - DkJ,)'TJk = B(k)'TJk

denn die rechte Seite ist

( ""' B(k)e to. e ) (""' B(~)t eo) = ""' (""' B(k) B(k)t) e L.J rs r '01 s L.J b' L.J L.J rs is r rs irs

Dies ist tatsachlich der Nullvektor, weil die Klammer auf der rechten Seite fur r =f. £ wegen (B.8.6) verschwindet. Fur r = £ ist sie nach (B.8.S) gerade gleich det B(k) und verschwindet ebenfalls.

Falls Eigenwerte gleich sind, heiBen sie entartet. Wenn zwei Eigenwerte gleich sind, kann man fUr den dritten nichtentarteten den zugehorigen Eigenvektor nach dem Verfahren der Kofaktoren bestimmen. Die zu dem entarteten Eigenwert gehorigen beiden weiteren Eigenvektoren mussen dann orthogonal zum Eigenvektor des nichtentarteten Eigenwertes und orthogonal zueinander bestimmt werden. Fur den Fall, daB alle drei Eigenwerte gleich sind, ist die Matrix (A) selbst die mit dem Eigenwert multiplizierte Einheitsmatrix. Jeder Vektor ist Eigenvektor. Jede orthonormierte Basis dreier Vektoren bildet ein System von Eigenvektoren.

Die Eigenvektorgleichung bestimmt die 71 k nur bis auf einen Faktor. Dieser wird so festgelegt, daB die Eigenvektoren die Lange eins haben. Damit bleibt immer noch das Vorzeichen des Faktors unbestimmt. Es wird so gewahlt, daB 7110 712, 713 ein Rechtssystem bilden.

Jedes Paar 'TJJ' 'TJk von Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten D j ,

Dk ist orthogonal: Es gelten die Eigenvektorgleichungen

Durch Multiplizieren der linken Gleichung mit dem anderen Eigenvektor 'TJk von links findet man

'TJkA'TJj = Dj'TJk . 'TJj

Wegen der Symmetrie von A gilt

'TJk A = A'TJk = Dk'TJk

so daB wir erhalten Dk'TJk . 'TJj = Dj'TJk . 'TJj

Da nach Voraussetzung D j =f. Dk ist, gilt also

'TJk . 'TJj = 0 .

464 B. Tensoren

Falls die beiden Eigenwerte gleich sind, D j = Db ist jede Linearkombination von 11j und 11k selbst Eigenvektor zu D j . Deshalb konnen wir zwei zueinander orthogonale Linearkombinationen konstruieren und beiden die Lange eins geben. Damit sind alle Eigenvektoren eines symmetrischen Tensors zueinander orthonormiert. Das zeigt, daB der Tensor R+ eine Rotation ist.

Der einfachste Tensor mit entarteten Eigenwerten ist der Einheitstensor. Seine Eigenwerte sind samtlich gleich eins, denn offenbar erflillt jeder Einheitsvektor 11 die Eigenwertgleichung

Durch Linearkombination verschiedener Eigenvektoren 11 kann immer ein orthonormales Rechtssystem gebildet werden. Die Situation ist in Abb. B.14 flir zwei Dimensionen illustriert. AIle Einheitsvektoren sind durch Punkte auf dem Einheitskreis gegeben. Zwei Satze von Eigenvektoren sind eingezeichnet: die Basisvektoren el, e2 und ein aquivalenter Satz 111, 112.

Abb. B.14. Links: Einheitskreis und zwei iiquivalente Siitze von Eigenvektoren des Einheitstensors. Rechts: Abbildung des Einheitskreises durch einen Tensor mit den Eigenvektoren 171, 172 und den Eigenwerten D1 = 0,8 und D2 = 0,5

Ebenfalls in Abb. B.l4 ist die Abbildung des Einheitskreises durch den Tensor A mit der Matrix

1 (23 3V3 ) (A) = 40 3V3 29

die die Eigenwerte DI = 0,8 und D2 = 0,5 und die Eigenvektoren

B.15 Hauptachsentransformation 465

_~(-V3) 'fl2 - 2 1

die schon im Bild des Einheitskreises eingezeichnet waren. Bei der Abbi1dung durch A bleibt die Richtung von Vektoren, die proportional zu den Eigenvektoren sind, unvedindert. Alle anderen Vektoren andern ihre Richtung.

Wir fassen zusammen: Jeder symmetrische Tensor kann in der Form

A=R+ DR (B.15.9)

geschrieben werden. Dabei ist D der Diagonaltensor (B.15.2), dessen Diagona1e1emente D j die Eigenwerte sind, und R ist der Rotationstensor (B.14.2), der die Hauptachsen 'flj des Tensors A in die Basisvektoren ej iiberfiihrt.

Beispiel: Wir bestimmen die Eigenwerte D 1, D2 und die Eigenvektoren 'fll' 'fl2 des Tensors A in zwei Dimensionen mit der Matrix

Aus der quadratischen G1eichung detE = (3 - D)2 - 1 = 0 gewinnen wir die Eigenwerte

D2 =4 .

Aus den Kofaktoren der ersten Zeilen der beiden Matrizen

konstruieren wir die (bereits durch den Faktor 1/ Vi normierten) Eigenvekto-ren 1 (-1)

'fl2 = Vi 1

Sie sind die Spaltenvektoren des Tensors R+ ,

Man rechnet sofort nach, daB (B.14.7) erfiillt ist,

466 B. Tensoren

B.16 Aufgaben

B.1: Gegeben sind die folgenden Matrizen und Spaltenvektoren:

2 (4) = (! 0 n (B) = 5 5-5 (-2 -5 4)

I I 5-2

(Q) ~ ( -! -1

-0 (a)~ ( -!) 0 5

Berechnen Sie:

(a) 4(4), 2(4) - 3(B), (4)+;

(b) (4)(a), (b)+(C), (B)+(b);

(c) (4)(B), (4)(C), (~)(4), (a 0 b);

(d) (a)+(4)(b), (a)+(~)+(a).

(b) ~ ( =0

B.2: Berechnen Sie fUr die in Aufgabe B.I angegebenen Matrizen und Spaltenvek-toren

det4, detB, detC, det(a 0 b)

B.3: Zeigen Sie

(a) det(4 +) = det4,

(b) det( e4) = en det 4 fUr n-reihige Determinanten.

B.4: Beweisen Sie die Beziehungen (B.8.5) und (B.8.6).

B.5: Bilden Sie die Inversen der Matrizen

2 3) 1 -2 1 2

B.6: Geben Sie die Matrix (lJ) des Rotationstensors an, der die Rotation in Abb. B.11 bewirkt.

B.7: Berechnen Sie die Rotationsmatrix fUr eine Drehung, bei der man zunachst urn die y-Achse mit dem Winkel a und dann urn die x-Achse mit dem Winkel f3 dreht. Welche Rotationsmatrix erhalt man, wenn man die Drehungen in umgekehrter Reihenfolge ausfiihrt?

B.16 Aufgaben 467

B.8: Bilden Sie die Matrix

fUr

(R+) = (c~so: -sino:) - sm 0: cos 0:

(D) = (DJ 0 ) - 0 D2

Fur we1che Rotationswinkel 0: nehmen die Diagonalelemente All und A22 Extremwerte an?

B.9: Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von

( 3/2 1/2 0)

(4) = 1/2 3/2 0 o 0 3

und geben Sie die Matrix des Rotationstensors !J. an, die (~) auf Hauptachsen transformiert.

c. Vektoranalysis

C.I Skalarfelder und Vektorfelder

Eine Funktion, die fUr jeden Ortsvektor

r = xe", + yey + zez (C.l.I)

im dreidimensionalen Raum erkHirt ist, bezeichnen wir als Feld. Wir betrachten Funktionen, die Skalare, und solche, die Vektoren sind.

Ein skalares Feld S(r) schreiben wir als Funktion der kartesischen Komponenten des Ortsvektors in der Form

S(r) = s(x, y, z)

Einfache Beispiele sind das homogene Skalarfeld

S(r) = SH(r) = a = const ,

das lineare Skalarfeld

S(r) = SL(r) = a· r = a",x + ayy + azz

und das zentrale Skalarfeld

S(r) = Sz(r) = f(r)

(C.l.2)

(C. 1.3)

(C.I.4)

(C.I.S)

das nur eine Funktion des Betrages r des Ortsvektors ist. In der Mechanik sind die beiden zentralen Skalarfelder

(C.1.6)

bzw. a a

SG(r) = - = ---;==== r VX2 + y2 + Z2

(C.l.7)

als die Potentiale der Kraftfelder des harmonischen Oszillators bzw. des New-tonschen Gravitationsfeldes von besonderer Bedeutung.

C.I Skalarfelder und Vektorfelder 469

Die graphische Darstellung eines Skalarfeldes ist nur dann einfach, wenn man sich auf die Darstellung in einer Ebene, etwa der (x, y )-Ebene, beschrankt. Man kann dann senkrecht zur (x,y)-Ebene eine S-Achse errichten und die Funktion als Flache im (x, y, S) -Raum darstellen. Bei Bedarf kann man solche Flachen fUr eine Reihe von Ebenen z = 0, Z = Z\> Z = Z2, ... konstruieren, urn auch die z-Abhangigkeit sichtbar zu machen. Ftir unsere einfachen Beispiele ist das nicht notig. Das homo gene Feld SH hat tiberall den gleichen Wert. Es gentigt seine Darstellung in der (x, y)-Ebene. Ftir die Darstellung des linearen Feldes wahlt man eine Ebene, die den konstanten Vektor a enthalt. Die Darstellung bleibt gleich fUr jede Ebene, die parallel zu der gewahlten Ebene ist. Wegen der Symmetrie der Zentralfelder sind fUr deren Darstellung alle Ebenen durch den Ursprung aquivalent. Wir wahlen wieder die (x, y)Ebene. In Abb. C.I sind die vier Felder SH, SL, SHO und SG als Flachen tiber der (x, y)-Ebene dargestellt.

~ , , , , V' , , ,

, ">--, ' ....... -

Abb. c.l. Darstellung von Skalarfeldern. Oben links: homogenes Skalarfeld SH = a. Oben rechts: lineares Skalarfeid SL = a . r, a = a",e", + ayey. Un ten links: Potential des harmonischen Oszillators SHO = ar2 . Unten rechts: Potential des Gravitationsfeldes Sa = air

470 C. Vektoranalysis

Ein Vektorfeld schreiben wir in der Form

W(r) W",(r) e", + Wy(r) ey + Wz(r) ez

w",(x, y, z) e", + Wy(x, y, z) ey + wAx, y, z) ez . (C.1.8)

Beispiele sind das homogene Vektoifeld

(C.1.9)

das lineare Vektoifeld

W(r) WL(r) = a(it . r)

(a",e", + ayey + azez)(n",x + nyy + nzz) (C.1.IO)

(hier ist it ein fester Einheitsvektor), das axiale Wirbelfeld

W(r) WA(r) = a x r

(ayz - azy)e", + (azx - a",z)ey + (a",y - ayx)ez (C.1.11)

und das zentrale Vektoifeld

W(r) = Wz(r) = f(r)r (C.1.12)

(hier is! r der Einheitsvektor in Richtung des Ortsvektors). In der Mechanik treten insbesondere die beiden zentralen Vektorfelder

(C. 1. 13)

bzw.

(C.1.14)

als Kraftfelder des harmonischen Oszillators bzw. des Newtonschen Gravitationsfeldes auf.

Urn ein Vektorfeld graphisch vollsHindig darzustellen, konnte man etwa versuchen, an jedem Punkt des Raumes einen Vektorpfeil anzubringen. Das ist nattirlich nicht moglich. Man erhaIt jedoch oft bereits einen guten Eindruck von der Form eines Vektorfeldes durch Vektorpfeile, die an wenigen Punkten angebracht sind, welche ein regelmiilliges Gitter in einer Ebene (Abb. C.2) oder im Raum (Abb. C.3) bilden.

C.2 Partielle Ableitungen. Richtungsableitung. Gradient

Wir betrachten ein skalares Feld S(r) = s(x, y, z). Die partielle Ableitung der Funktion s nach x wird so definiert, daB bei der Ableitung nur x als

C.2 Partielle Ableitungen. Richtungsableitung. Gradient 471

y ~H

////. J -""///// ///,.......,...-..;,:;///// /////(""///// /////(""///// /////~/////

/////-¥"".....-N.....-N~~....Lc> x /////~/////

////~/////

////~/////

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////~/////

y ~z

~~~ d ~ ~;.~ ~~ ~ ~ ~ t , " If ~/ """,,'6. Co. , • t. IO#.a"v"

~IQ." •• t .... ~~

-+ .. - - + - - .. +---C> x -t".v v • • • • • 1f <Q. <J-.

Abb. C.2. Darstellung von Vektorfeldern in der (x, y)-Ebene. Oben links: homogenes Vektorfeld WH = a. Oben rechts: lineares Vektorfeld WL = a(n.r), mit a undn in der (x, y)-Ebene. Unten links: axiales Wirbelfeld WA = a x r, a = aez • Unten rechts: zentrales Vektorfeld Wz = f(r)r, fer) = -cr2

variabel betrachtet wird. Die beiden anderen Argumente y und z werden wie Konstanten behandelt. Man fUhrt fUr die partielle Ableitung das Symbol a/ax ein:

a ax s(x, y, z) = ds(x, y, z) I

dx y,z=const

. s(x+h,y,z)-s(x,y,z) = hm h h-+O

. S(r + hex) - S(r) hm h h-+O

(C.2.I)


2

2

Abb. C.3. Darstellung der Vektorfelder WA und Wz wie in Abb. C.2,jedoch fUr ein Punktgitter imRaum


Abb. C.4. Links: Ausschnitt aus der (x, y)-Ebene und skalare Funktion s(x , y, 0) dargestellt als Flache tiber der (x, y)-Ebene. Zwei Linien x = Xo bzw. y = Yo und der Punkt (xo, Yo) sind hervorgehoben. Rechts: Zusatzlich eingezeichnet ist die Tangentialebene an die Flache im Punkt (xo, Yo)

Wegen der Form des letzten Ausdrucks heiSt die partielle Ableitung 0/ ox auch Richtungsableitung in Richtung ex ' Entsprechendes gilt fUr die partiellen Ableitungen B/By bzw. %z nach y bzw. z .

In Abb. CA ist ein skalares Feld als FHichenstiick tiber (x, y)-Ebene dargestellt. Sowohl das FHichensttick wie auch der entsprechende Ausschnitt der (x, y)-Ebene ist aus Linien y = const bzw. x = const aufgebaut.·Zwei Linien x = Xo bzw. y = Yo und ihr Schnittpunkt (xo , Yo) sind besonders hervorgehoben. Die partielle Ableitung

[! s(x, y, 0)] X= Xo,Y=Yo

ist offenbar die Steigung der Tangente an die Kurve s = s(x, Yo, 0) im Punkt x = Xo, Y = Yo. Entsprechend ist

[:y s(x , y, 0)] X=Xo,Y=Yo

die Steigung der Tangente an die Kurve s = s(xo, y, 0) in diesem Punkt. Die beiden Tangenten und die von ihnen aufgespannte Tangentialebene sind im rechten Teilbild von Abb. CA eingezeichnet.


In Verallgemeinerung von (C.2.1) fUhren wir jetzt die Richtungsableitung in Richtung des Einheitsvektors

(C.2.2)

ein:

. S(r + hii) - S(r) lIm h h->O

. s(x + hn"" y + hny, z + hnz) - s(x, y, z) hm h h->O

. s(x + hn"" x + hny, z + hnz) - s(x, y + hny, z + hnz) lIm h h->O

. s(x, Y + hny, z + hnz) - s(x, y, z + hnz) + lIm h h->O

. s(x, y, z + hnz) - s(x, y, z) + lIm h h->O

as as as n", ax (x, y, z) + ny ay (x, y, z) + nz az (x, y, z) (C.2.3)

Die letzte Zeile ist das Skalarprodukt des Einheitsvektors ii mit dem Vektor des Gradienten des Skalarfeldes S,

(C.2A)

Der Gradient wird formal durch Anwendung des Nabla-Operators, eines vektori ellen Differentialoperators,

a a a v = e", ax + ey ay + ez az (C.2.5)

auf die skalare Funktion s = s(x,y,z)

gebildet. Damit ist der Gradient ein Vektor. Die Richtungsableitung (C.2.3) ist das Skalarprodukt

Wir bezeichnen mit

ii· VS(r)

A VS(r) Do(r) = IVS(r)1

(C.2.6)

(C.2.7)

die Richtung des Gradienten und entnehmen aus (C.2.6), daB die Richtungsableitung fUr die Richtung no maximal wird,

no· VS(r) = IVS(r)1 (C.2.8)


Die Richtung des Gradienten ist also die Richtung des groBten Anstieges der Funktion. Ftir die in Abb. CA dargestellte Funktion ist die Gradientenrichtung am Punkte (xo, Yo) diejenige Richtung in der (x, y)-Ebene durch den Punkt (xo, Yo), langs der die Tangentialebene am steilsten ansteigt.

1st ro ein Punkt im Raum, ftir den die Funktion S und ihr Gradient bekannt sind, und ist r = ro + Llr, so gilt in linearer Ordnung in Llr

S(r) ~ S(ro) + Llr . V S(ro) (C.2.9)

In Abb. CA entspricht die linke Seite von (C.2.9) einem Punkt auf der die Funktion S(r) darstellenden Flache, die rechte Seite entspricht dem entsprechenden Punkt auf der Tangentialebene. Es ist anschaulich kIar, das die Naherung (C.2.9) urn so besser ist,je kIeiner ILlrl ist.

Wir bildenjetzt die Gradienten unserer Beispielfelder (C. 1.3) bis (C.1.7) und erhalten ftir das homo gene Feld

VSH=Va=O (C.2.1O)

und ftir das lineare Feld

(C.2.11)

Den Gradienten des Zentralfeldes bilden wir nach der Kettenregel

(C.2.12)

mit

V v J 2 2 2 12xe", + 2yey + 2zez r A r= x +y +z =- =-=r 2 J x2 + y2 + Z2 r

(C.2.13)

Darnit ergeben sich die Gradienten der speziellen Zentralfelder SHO und SG zu

Var2 = 2arr = 2ar a a A a

V- = --r= --r r r2 r3

(C.2.14)

(C.2.15)

Die Gradientenfelder V SL, V SHO und V SG sind in Abb. C.5 dargestellt. Der Zusammenhang (2.11.1) zwischen Kraftfeld F( r) und Potential V (r) enthaIt ein Minuszeichen. FaSt man die Funktion S(r) als Potential eines Kraftfeldes auf, so ist die Kraft F(r) = -VS(r) dem Gradienten entgegengerichtet.


<" '

'-'

' ...... '-

'-'-

SIlO

'- -....... -'-

'),.-

y

y

\ grad SHO

! /'

-eE> X

I y

v

<l <J--

..

Abb. C.S. Linke Spalte: die skalaren Felder SL, SHO, Sa wie in Abb. C.l dargestellt als Flachen tiber der (x, y)-Ebene. Rechte Spalte: die Gradienten dieser Felder, dargestellt durch Vektoren in der (x, y)-Ebene

C.3 Nabla-Operator in Kugel- und Zylinderkoordinaten 477

C.3 Nabla-Operator in Kugel- und Zylinderkoordinaten

Wir gewinnen einen Ausdruck filr den Nabla-Operator in Kugelkoordinaten, indem wir die Formel (C.2.9),

S(r) - S(ro) = (r - ro) . V S(ro) + ... (C.3.1)

als Definition des Gradienten an der Stelle ro benutzen. In Kugelkoordinaten leitet man aus der Darstellung des Vektors r sofort die Formel

r = rer ( '!9, <p) = roer ( '!90, <Po) + (r - ro)er ( '!90, <Po)

+ r [er ('!9, <Po) - er ('!9o, <Po)]

+ r [er ( '!9 , <p) - er ( '!9 , <Po)]

abo Mit Hilfe von

aer a'!9 =et? ,

folgt dann in linearer Naherung

r - ro = Llr = Llrer + roLl'!get? + ro sin '!9oLl<p ecp

Fur die Differenz S(r) - S(ro) finden wir

S(r) - S(ro) S[rer ( '!9, <p)] - S[roer ( '!90, <Po)]

(C.3.2)

S(ro + Llrer + roLl'!get? + roLl<pecp sin '!90) - S(ro)

S(ro + Llrer + roLl'!get? + roLl<pecp sin '!90) - S(ro + roLliJet? + roLl<pecp sin '190 )

+ S(ro + roLl'!get? + roLl<pecp sin '!90) - S(ro + roLl<pecp sin '190 )

+ S(ro + roLl<pecp siniJo) - S(ro) as as as ar Llr + a'!9 Ll'!9 + a<p Ll<p + ...

Sie kann mit (c.3.2) in die Form

S(r) - S(ro) = er - + et?-- + e -. -- . Llr + ... ( as 1 as 1 as) I ar r aiJ cp r sm '!9 a<p r=ro

gebracht werden. Damit haben wir als Darstellung des Nabla-Operators in Kugelkoordinaten

a 1 a 1 a V = er -a + et? - a.o + ecp -----:--::a -a . r r v rsmv <p

(C.3.3)


Ganz analog findet man die Darstellung des Nabla-Operators fUr Zylinderkoordinaten:

a 1 a a v = e~ -a + ecp--a + eZ -a (C.3.4) r~ r~ ~ z

FUr den Gradienten des zentralen Skalarfeldes Sz (r) = f (r) erhalten wir mit (C.3.3) sofort

( ) _ af(r) _ df(r) A

V Sz r - ar er - dr r .

FUr die Gradientenbildung des linearen Skalarfeldes SL (r) = a . r k6nnen wir die z-Achse in Richtung a wahlen, a = aa = aez • Mit (C.3.4) erhalten wir

C.4 Divergenz

Die Ableitung eines Vektorfeldes W(r), die durch die formale Bildung eines Skalarproduktes aus dem Nabla-Operator V und dem Feldvektor W (r) gebildet wird, bezeichnen wir als Divergenz des Vektorfeldes:

divW(r) V· W(r) awx(x, y, z) awy(x, y, z) awAx, y, z) ---:--- + + ---:---

ax ay az (C.4.I)

Die Divergenz selbst ist ein skalares Feld. Ais Beispiele berechnen wir die Divergenzen der Felder (C.1.9) bis (C.1.14). Wir erhalten fUr das homogene Vektorfeld

divWH = V . a = 0

und fUr das lineare Vektorfeld

(C.4.2)

Die Divergenz eines linearen Vektorfeldes hangt also entscheidend yom Winkel zwischen den beiden konstanten Vektoren a und nab. In Abb. C.6 sind die beiden Felder

und ihre Divergenzen dargestellt. Die Divergenz des axialen Wirbelfeldes ist

div W A = V . (a x r) = 0 (C.4.3)

y

. i .

---- - - + - -+ -<>--..{> X

y

jtl/// II//'/ 1/.1'//

""-"'>.~t~JI'p.,v.---v _"-",,, "",. fI # ~ __

a _ a ........ + .... -0--0 _ .t>

V"'" ~ #" ~ " //tI'lp //11 t //IIJ

~ ~ 'a. 'r.. ........

~\\:''-r.'-t,.

\\\~~ \\\'\~

x

, , , ,

, ,

...... , , , ,

C.4 Divergenz 479

5

---

5

5

', ...... ~~~~~~~~~-, , , ',- -

Abb. l.:.b. LinKe ::;patte: dIe lmearen Vel<tortelder WLI und WL2 und das zentrale Vel<torteld WHO, dargestellt durch Vektoren in der (x, y)-Ebene. Rechte Spalte: die Divergenzen dieser Felder dargestellt als Flachen tiber der (x, y)-Ebene


Die Divergenz des zentralen Vektorfeldes berechnen wir nach der Produktregel

Es gilt

also

v . Wz = v . (J(r)r) = f(r)V . r + r· V f(r)

V·r

V·r 1

V-r

r (1) 1 V·-=r· V- +-V·r r r r

V . (xex + yey + zez ) = 3

~ (~) Vr = -~r dr r r2

A 1 3 2 V· r = -- + - =-

r r r und damit, mit (C.2.12) und (C.2.13)

2 df(r) V . Wz = - f(r) + --

r dr

(CAA)

(C.4.S)

(CA.6)

(CA.7)

(CA.8)

(CA.9)

Ftir die speziellen zentralen Vektorfelder (C.1.13) und (C.1.14) erhalten wir

V . WHO = V . (brr) = bV . r = 3b

(Abb. C.6 unten) und

( b A) 2b d (1) V·WG=V· -r =-+b- -r2 r3 dr r2

Ftir die Ableitung auf der rechten Seite gilt

d 1 dr r2

2 r #0 .

r #0 .

Damit verschwindet die Divergenz tiberall auBer am Ursprung,

r#O .

(CA. 10)

(CA. 11)

(CA.12)

Auf die Divergenz des Vektorfeldes W G am Ursprung kommen wir in Abschnitt C.14 zurtick.

Wir geben noch die Divergenz in Kugel- und Zylinderkoordinaten an. In Kugelkoordinaten hat das Feld W die Form

und wir erhalten ftir die Divergenz

C.5 Rotation 481

( 2 0 ) ( cos {) 1 0 ) 1 0 div W = V . W = - + -;::;- Wr + -.-.Q + - £l.Q Wi} + -.-.Q --;::;-wcp

r ur r sm v r uv r sm v urp

oder

10 2 10. 10 V . W = 2-;::;-(r wr) + -. -.Q £l.Q (sm {) Wi}) + -. -.Q --;::;-wcp . (C.4.13)

r ur r sm v uv r sm v urp

In der Rechnung wird ausgiebig Gebrauch von den Relationen (A.S.lO) gemacht.

In Zylinderkoordinaten lautet das Feld

und die Divergenz

1 0 1 0 0 divW = V· W = --(r ..lwd + --wcp + -Wz

r..l or..l r..l orp oz (CA.14)

c.s Rotation

Auch durch Bildung eines Vektorprodukts aus Nabla-Operator und der vektoriellen Funktion W(r) erhaIt man eine Ableitung des Vektorfeldes W(r). Sie ist selbst ein Vektorfeld. Wir nennen es die Rotation des Feldes W(r),

rotW(r) = V x W(r) = (OWz~~y,z) _ OWy~~y,z)) e.,

( OW., (x, y, z) owz(x, y, z)) + OZ - ox ey

( Owy(x,y,z) OW.,(x,y,z)) + ox - oyeZ

(C.S.l)

Wieder betrachten wir die Beispielfelder (C. 1.9) bis (C. 1. 14) und erhalten fUr das homogene Vektorfeld

rot W H = V x a = 0 (C.S.2)

und fUr das lineare Vektorfeld

rot W L = V X {a . (n . r)} = n x a (C.S.3)

Die Rotation des linearen Vektorfeldes ist das Vektorprodukt der beiden konstanten Vektoren n und a und hiingt daher entscheidend yom Winkel zwischen ihnen abo In Abb. C. 7 sind die beiden Felder


und ihre Rotationen dargestellt. Die Rotation des aJdalen Vektorfeldes ist

rot W A = V x (a x r) = 2a , (C.5.4)

wie man nach Anschrift der Felder und des Nabla-Operators in kartesischen Koordinaten oder mit Hilfe des Entwicklungssatzes (A.2.23) fUr das doppelte Kreuzprodukt leicht nachrechnet. Die Felder W A und rot W A sind ebenfalls in Abb. C.7 dargestellt. Die Rotation des zentralen Vektorfeldes berechnen wir mit der Produktregel

V x Wz = V x (f(r)r) = f(r)V x r - r x V f(r) (C.5.5)

Wieder rechnet man in kartesischen Koordinaten leicht nach, daB

Vxr=O , Vxr=O . (C.5.6)

Einsetzen in (C.5.5) und Benutzung von (C.2.12) liefert

, (of(r) ') V x Wz = 0 - r x a;:-r = 0 (C.5.7)

Also ist jedes zentrale Vektorfeld rotationsfrei. Die Rotation des Vektorfeldes W lautet in Kugelkoordinaten

VxW =

(C.5.8)

und in Zylinderkoordinaten

Statt wie oben kartesische Koordinaten zu benutzen, fUhrt man die Rotation von Zentralfeldem am einfachsten in Kugelkoordinaten, die von Axialfeldem in Zylinderkoordinaten aus.

y

. i .

--- - + ... ------t> x

y

j t//// ttl// 1//,//

......... ""-~t~J1.P.rV.,....v --. ........ 'h ..,. ~ * # .-17 __

~- ... + ...... g 0 01> X

__ ....-~ 4 "

Q""" ~ d' ~ jJ

///,/ p //111 //IIJ

" "t\ ............ '<>. q\~""",'-".

~\\~~ \\\~~

<' ,

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, , ,

, , ,

..... ,

.....

, , ,

C.S Rotation 483

5

>

-......-

5

5

, 'O.~o,.>o."=-< , , '-...... -

Abb. C.7. Linke Spalte: die Iinearen Vektorfelder Wu und WL2 und das axiale Wirbelfeld W A, dargesteUt durch Vektoren in der (x, y)-Ebene. Rechte Spalte: die Rotationen dieser Felder, eben falls dargestellt in der (x, y )-Ebene


C.6 Laplace-Operator

Das Skalarprodukt des Nabla-Operators mit sich selbst nennt man LaplaceOperator. Er wird mit einem groBen griechischen Delta (Ll), manchmal auch mit V2 bezeichnet. In kartesischen Koordinaten hat er die Darstellung

82 82 82 Ll = V2 = V . V = 8x2 + 8y2 + 8z2 (C.6.1)

Fur Vektorfelder W(r) wendet man den Laplace-Operator einzeln auf die kartesischen Komponenten Wi an. Zweimalige Anwendung des Nabla-Operators (C.3.3) in Kugelkoordinaten auf eine Funktion 8 liefert

Bei der Herleitung dieses Resultates ist zu beachten, daB die Basisvektoren er , e1J, e", von -a und <p abhangen und nach den Regeln (A.S.lO) mitdifferenziert werden mussen. Die Darstellung (C.6.2) des Laplace-Operators in Kugelkoordinaten, die wir so gewonnen haben, HiBt sich noch mit Hilfe von

828 288 1 8 288 1 82

8r2 +;: 8r = r2 8r r 8r = ;: 8r2 (r 8)

und ~ 828 + cos-a 88 = 1 8 (sin-a88) r2 8-a2 r2 sin -a 8-a r2 sin -a 8-a 8-a

vereinfachen, so daB man

182 1 8 8 1 82

Ll = ;: 8r2 r + r2 sin -a 8-a sin -a 8-a + r2 sin2 -a 8<p2 (C.6.3)

erhillt. Ganz entsprechend erhalt man mit (C.3.4) den Laplace-Operator in Zylin

derkoordinaten:

(C.6.4)

C.7 Totale Zeitableitung 485

C.7 Totale Zeitableitong

Viele physikalische Skalar- oder Vektorfelder sind sowohl zeit- als auch ortsabhangig,

S = S(t,r) , W = W(t,r) . (C.7.1)

Beispiele fur so1che Felder sind zeit- und ortsabhangige Potentiale V(t, r) von Teilchen oder Stromungsfelder v(t, r) einer Flussigkeit. Die explizite Zeitabhangigkeit in diesen Feldern besagt, daB die FeldgroBe, hier potentielle die Energie V(t, r) oder die Stromungsgeschwindigkeit v(t, r), an einem festgehaltenen Ort r mit der Zeit t variiert. Fur ein Teilchen, das sich auf einer Trajektorie

r = r(t) (C.7.2)

bewegt, sind die Werte der FeldgroBe entlang der Trajektorie nur noch Funktionen der Zeit

S(t) = S(t, r(t)) , W(t) = W(t, r(t)) (C.7.3)

Die Zeitableitungen dS dW

dt dt nennt man totale Zeitableitungen, da sie sich sowohl auf die explizite Zeitabhangigkeit der Felder bei festgehaltenem Ort r wie auch auf die implizite Zeitabhangigkeit der Trajektorie r = r(t) beziehen,

dS = lim S(t+Llt)-S(t) = lim S(t+Llt,r(t+Llt))-S(t,r(t)) dt .dt--+O Llt .dt--+O Llt

Eine entsprechende Definition gilt fUr dW jdt. Wir zedegen die rechte Seite von (C.7.4) in zwei Differenzen

dS dt

1 lim A {S(t + Llt, r(t + Llt)) - S(t, r(t + Llt))

.dt--+O ~t

(C.7.4)

+ S(t, r(t + Llt)) - S(t, r(t))} (C.7.5)

und erhalten als Grenzwert der ersten die partielle Zeitableitung

as 1 at (t, r) = l~~o Llt {S(t + Llt, r(t + Llt)) - S(t, r(t + Llt))} (C.7.6)

fur festgehaltenes r(t) = lim.dt--to r(t + Llt). Mit Hilfe der Taylorentwicklung, vgl. Anhang D,

r(t + Llt) = r(t) + Llr , dr

Llr = -Llt + ... dt

(C.7.7)


erhalten wir fUr die zweite Differenz in (C.7.5) unter Nutzung von (C.2.9)

1 lim A {S(t, r(t) + Llr) - S(t, r(t))}

Llt-->O £..It

dr I dr = dt' V S(t, r) = dt . V S(t, r(t)) r=r(t)

(C.7.8)

Insgesamt ist die totale Zeitableitung von S(t, r(t)) also durch

dS as dr cu(t,r(t)) = at (t,r(t)) + dt . VS(t,r(t)) (C.7.9)

und die von W (t, r( t)) entsprechend durch

dW aw (dr) Yt(t, r(t)) = at (t, r(t)) + dt' V W(t, r(t)) (C.7.1O)

gegeben. Die Regeln der Tensorrechnung, Abschn. B.4, erlauben die Umformung des zweiten Summanden in ein Produkt des Vektors dr / dt mit dem Tensorprodukt des Nablaoperators V mit dem Vektorfeld W,

dW aw dr Yt(t, r(t)) = at (t, r(t)) + dt (V ® W(t, r(t)) (C.7.1l)

c.s Einfache Rechenregeln fUr den Nabla-Operator

Aus den Gesetzen der Vektoralgebra ergeben sich sofort einfache Regeln fUr das Rechnen mit dem Nabla-Operator. Die einfachsten dieser Regeln fUhren wir hier auf:

div grad S V· VS=LlS , (C.8.1)

rot grad S V x (V S) = (V x V)S = 0 (C.8.2)

divrotW V . (V x W) = (V x V) . W = 0 (C.8.3)

rotrotW V x (V x W) = V(V . W) - (V . V)W

V(V· W) - LlW = grad div W - LlW (C.S.4)

Besonders bemerkenswert sind die Formeln CC.S.2) und (C.8.3). Aus (C.8.2) folgt, daB jedes Vektorfeld, das sich als Gradient eines Skalarfeldes schreiben HiBt, rotationsfrei ist. Analog besagt (C.S.3), daB jedes Vektorfeld, das sich als Rotation eines anderen Vektorfeldes darstellen laBt, divergenzfrei ist.

C.9 Linienintegral 487

C.9 Linienintegral

Eine Kurve im Raum, Abb. e.S, kann beschrieben werden, indem man den Ortsvektor r der Punkte auf der Kurve als Funktion eines Parameters s angibt,

r = r(s) (C.9.1)

In Komponenten lautet diese Parameterdarstellung der Kurve

x = x(s) y = y(s) z = z(s) (e.9.2)

Abb. C.S. Integrationsweg eines Linienintegrals

Sind rA = ro = r(sA) und rB = rN = r(sB) Anfangs- bzw. Endpunkt eines StUcks der Kurve, das wir den Weg C nennen, so konnen wir mit ..1s = (SB - sA)/N, Si = SA +i..1s weitere Punkte ri = r(si) aufC bezeichnen. Die Unterteilung des Weges durch Punkte ri wird offenbar urn so feiner, je groBer N ist. Mit

bezeichnen wir den Abstandsvektor von ri nach ri+l. Er hat die Richtung einer Sekante der Kurve, die fUr sehr feine Unterteilung, N -+ 00, in die Tangentenrichtung am Punkt ri Ubergeht.

FUr ein gegebenes Vektorfeld W (r) betrachten wir an jedem dieser Punkte das Skalarprodukt aus Feldvektor W(ri) und Weg- oder Linienelement ..1ri zum N achbarpunkt. Den Grenzwert der Summe dieser Skalarprodukte nennen wir das Linienintegral von W(r) langs des Weges C,

(e.9.3)

Unter Benutzung der Ableitung (A.4.5) des Vektors r nach dem Parameter S

konnen wir schreiben:

i rB J.SB dr(s) W{r)· dr = W(r{s))· -d-ds

~p y s (e.9.4)


Damit ist das Linienintegral als Integral tiber die skalare Funktion W (r( s )) . dr( s ) / ds der skalaren Variablen s geschrieben. Die Information tiber den Integrationsweg C ist dabei in der Parameterdarstellung (C.9.1) sowie in den Anfangs- und Endwerten des Parameters s enthalten.

In einem kartesischen Koordinatensystem HiBt sich die Parameterdarstellung des Weges C in der Form

r = r(s) = x(s)e", + y(s)ey + z(s)ez

schreiben, wobei x(s), y(s) und z(s) drei Funktionen des Parameters s sind. Damit wird

dr dx dy dz ds = ds (s)e", + ds (s)ey + ds (s)ez

und das Linienintegral erhlilt die Form

I = 1~ & 1~ ~ w",[x(s), y(s), z(s)]-d ds + wy[x(s), y(s), z(s)]-d ds 81 s 81 S

182 dz + wz[x(s), y(s), z(s)]-d ds .

81 S (C.9.5)

Ftihren wir in den drei Integralen die Variablensubstitutionen

s -+ x bzw. s -+ y bzw. s -+ Z

aus, so wird

I = 1"'2 w.,[x, y",(x), z",(x)]dx + (Y2 Wy[Xy(y), y, zy(y)]dy "'1 ~1

+ l Z2 Wz[Xz(Z), yz(Z), z]dz (C.9.6) Z2

Dabei wird die Kurve C im ersten Integral durch die beiden Funktionen

y = y",(x) z = z",(x)

der Variablen x im Intervall Xl ::; X ::; X2, Xl = x(sd, X2 = X(S2), beschrieben. Entsprechend enthalten das zweite bzw. dritte Integral Darstellungen desselben Weges C als Funktionen von y bzw. z.

Beispiel: Berechnung des Linienintegrals langs verschiedener Wege zwischen zwei Punkten Wir betrachten ein Vektorfeld der Form

und berechnen das Linienintegral

C.9 Linienintegral 489

1= fa W·dr

zwischen dem Koordinatenursprung r A = 0 und dem Punkt rB = 2e", + 4ey

flir zwei verschiedene Integrationswege C1, C2• Es sei C1 das Geradenstlick

y=2x, z=O

und C2 der Parabelabschnitt

Flir den Weg C1 erhalten wir

y",(x) = 2x , Z",(x) = 0

und darnit

und

Z =0 .

y xy(y) ="2 ' Zy(y) = 0

II = fo2W",dX+ fo4WydY+ fo°WzdZ= fo2y",(X)dX+ fo4(Xy(y))2dY

{2 (4(y)2 22 y314 6428 Jo 2x dx + Jo "2 dy = x 10 + 12 0 = 4 + 12 = 3

Entsprechend gilt flir den Weg C2

y",(x) = x2 ,

so daB

Z",(x) = 0 und Zy(y) = 0 ,

Beispiele: Linienintegrale fiber einen Kreis urn den Ursprung in der (x, y)-Ebene Ein in der (x, y)-Ebene liegender Kreis vom Radius R urn den Ursprung (Abb. e.9) hat in ebenen Polarkoordinaten die Parameterdarstellung

0:::; cp < 211' ,

mit dem Azimut cp als Parameter. Es gilt

und darnit dr = Re<p(cp)dcp

flir das Wegelement dr auf dem Kreis.

(e.9.7)

(e.9.8)


Abb.C.9. Kreis in der (x,y)-Ebene mit Wegelement dr

Wir berechnen die Linienintegrale tiber zwei verschiedene Vektorfelder tiber den geschlossenen Kreis. Zunachst wahlen wir W = e'P' also den Einheitsvektor in Richtung des Wegelements, und erhalten

also - wie erwartet - den Umfang des Kreises. Das Symbol f wird benutzt, wenn der Integrationsweg geschlossen ist. Wir wahlenjetzt W = W A = a x r, also das axiale Vektorfeld, und speziell a = aez . Dann ist

und

(C.9.9)

Beispiel: Wegunabhangiges Linienintegral 1m ersten Beispiel haben wir festgesteIlt, daB Linienintegrale entlang verschiedener Wege zwischen zwei Punkten im aIlgemeinen verschieden sind. Es gibt jedoch auch FaIle, in denen das Integral nur von den Endpunkten, nicht aber explizit vom Weg abhangt. Ein einfaches Beispiel ist das homo gene Vektorfeld

W = a = const (C.9.1O)

Da der Vektor a konstant ist, haugen seine Komponenten nicht vom Ort abo Darnit ist

I l r2 W . dr = 1"'2 a",dx + l Y2 aydy + rZ2 azdz rl "'1 Yl iZl

a",(X2 - xd + aY (Y2 - Yl) + az(Z2 - zd = a· (rz - rd . (C.9.11)

Wegunabhangiges Linienintegral. Potentialfunktion 491

C.IO Wegunabhangiges Linienintegral. Potentialfunktion eines Vektorfeldes

Wir wollen jetzt zeigen, daB zu jedem rotationsfreien Vektorfeld W (r),

v x W(r) = 0 , (C.lO.I)

eine skalare Potentialfunktion S(r) existiert, so daB

(C.lO.2)

und W(r) = VS(r) (C.lO.3)

Dabei ist das Linienintegral (C.IO.2) yom Weg unabhangig und hangt nur von den Endpunkten ro und r abo Der feste Punkt ro und der Funktionswert S(ro) an diesem Punkt konnen beliebig gewahlt werden.

Wir zeigen zunachst, daB jedes Vektorfeld (C.lO.3), das Gradient eines Skalarfeldes ist, notwendig rotationsfrei ist, vgl. (C.8.2). Dazu schreiben wir den Gradienten in kartesischen Koordinaten

W(r) VS(r) 8s(x,y,z) 8s(x,y,z) 8s(x,y,z)

e", 8x + ey 8y + ez 8z

e",w",(x, y, z) + eywy(x, y, z) + ezwz(x, y, z) (C.lOA)

Wir leiten jetzt w'" partiell nach y ab und erhalten

weil die partiellen Ableitungen nach verschiedenen Variablen fur jede nach diesen Variablen differenzierbare Funktion miteinander vertauscht werden durfen. Diese Beziehung sagt aus, daB die z-Komponenten der Rotation des Vektorfeldes W verschwindet,

8wy 8w", - - - = (V x W)z =0 8x 8y

(C.lO.6)

Ganz entsprechend gilt

8wz _ 8wy = 0 8y 8z

8w", 8wz ---=0 8z 8x

(C.lO.7)

und damit, wie behauptet, V x W = o.


Jetzt zeigen wir noch, daB die Rotationsfreiheit von W auch hinreichend ftir die Existenz der Potentialfunktion S ist. Dazu berechnen wir das Linienintegral (C.1O.2) zwischen den Punkten ro = xoex+yoey+yoey undr = xex+yey+yey tiber einen Weg aus den drei achsenparallelen Geradenstticken

Xo :::; x' :::; x, y' = Yo x' = x ,Yo :::; y' :::; y , x' = X y' = y

Zl = Zo Zl = Zo

zo:::; Zl :::; Z

mit Hilfe von (C.9.6) und erhalten

S(r) = S(ro) + r wx(x' , Yo, zo)dx' Jxo

+ (y Wy(x,y',zo)dy' + t wz(x,y,z')dz' JyO Jzo Bildung des Gradienten

ftihrt auf

as l Y awy I I l z awz I I -a = Wx(X, Yo, Zo) + -a (x, y, zo)dy + -a (x, y, z )dz x YoX zoX

Wegen der Rotationsfreiheit (C.l0.6), (C.l0.7) konnen wir schreiben:

as ax

( l y awx ( I ) I l z awx ( ') I Wx x,Yo,Zo) + -a X,y ,Zo dy + -a x,y,z dz Yo Y Zo z

wx(x, Yo, Zo) + Wx(X, y, Zo) - Wx(X, Yo, Zo) + wx(x, y, z) - Wx(X, y, Zo)

Wx(X, y, z)

Damit ist die Giiltigkeit der x-Komponente der Vektorgleichung (C.1O.3), Wx = as/ax, gezeigt. Entsprechendes gilt nattirlich fUr die y- und zKomponenten.

C.II OberfHichenintegral

Ganz analog zum Linienintegral, das als Grenzwert einer Summe aus Skalarprodukten des Feldvektors W mit dem Linienelement dr in Richtung der Tangente einer Kurve definiert ist, kann das OberfHichenintegral eingefUhrt werden, wenn man die Fliichenelemente einer OberfHiche als Vektoren in

C.ll OberfHichenintegral 493

Abb. C.IO. Definition des orientierten FHichenelementes Lla

Richtung des Normalenvektors auf der Flache definiert. Diese Definition des vektoriellen Flachenelementes da entspricht genau der Definition des vektoriellen Flacheninhaltes Lla£ eines Parallelogramms, das von den Vektoren Llr]£ und Llru aufgespannt wird, durch das Vektorprodukt (Abb. CIO),

(CIl.I)

Damit ist das Oberfiachenintegral durch eine Summe

N N I:W(r£) . Lla£ = I:W(r£) . (Llr]£ x Llr2£) £=1 £=1

naherungsweise beschrieben. Durch Ubergang zum Grenzfall verschwindender Flachenelemente haben wir damit die Definition des Oberfiachenintegrals

1 w· da = 1 w· (drl x dr2)

Ein Oberfiachenstiick kann im dreidimensionalen Raum durch eine Funktion von zwei Parametern UI und U2 beschrieben werden (Abb. CII),

Fiir feste Werte des einen Parameters, etwa U2 = U20 beschreibt die Funktion

eine Linie auf der Flache. Das Linienelement an diese Kurve ist durch

gegeben. Entsprechende Formeln gelten fUr die Kurven


Abb. C.II. Fliichenstiick im Raum als Darstellung einer Funktion r( u 1, U2) zweier Parameter. Die Linien auf der Fliiche entstehen, wenn jeweils ein Parameter festgehalten bleibt x

und das Linienelement dr2. Das vektorielle FHichenelement da ist dann einfach durch das Vektorprodukt der beiden Linienelemente gegeben,

8r 8r da = drl X dr2 = -8 X -8 dUldu2

Ul U2

So gewinnen wir fUr das Integral die Darstellung

1 W . da = 1 W . (drl x drz) = J fa W . (::1 x ::z) dUl duz wobei die Integration in Ul und Uz iiber das Gebiet G zu erstrecken ist, das dem FHi.chenstiick a in dieser Parametrisierung entspricht.

Wahlen wir fUr W und r kartesische Koordinatendarstellungen

und 8r 8x 8y 8z - = -el + -ez + -e3 i = 1,2 8Ui 8Ui 8Ui 8Ui

so gewinnt das OberfUi.chenintegral in den Parametem Ul, Uz die Darstellung

(C.11.2)

C.II OberfUichenintegral 495

Wieder betrachten wir eine Reihe von Beispielen:

FIachenelement auf der Kugeloberftache Die Parameterdarstellung der KugelfHiche vom Radius R um den Ursprung lautet

o ::; cp < 27r

Das Oberftachenelement da fUr die Kugeloberftache gewinnen wir durch das Vektorprodukt der beiden Tangentialvektoren (Abb. C12)

dr,? 8r 8er 81) d1) = R 81) d1) = Re,?d1)

drcp 8r 8er 8cp dcp = R 8cp dcp = R sin 1) ecpdcp (C.l1.3)

als

(CllA)

Die Komponente des Oberftachenelementes in Richtung der auJ3eren Normalen, d. h. der Normalen, die von der Kugeloberftache nach auBen zeigt, ist einfach

z

x y

Abb. C.12. Flachenelement auf der Kugeloberftache


Durch Aufsummation aller dieser Beitdige berechnet man die GroBe der Oberfiache (K) der Kugel

i er • da = i da = _R2 f27r r 1 dcos'/?dcp = 411"R2 . (K) (K) Jo Jl

(C.I1.S)

Raumwinkelelement Aus dem Oberfiachenelement (C.11.4) gewinnt man das orientierte Raumwinkelelement durch Division durch R2,

Es hat den Betrag

dil = da / R2 = sin'/? d'/?dcp = -d cos'/? dcp

Der Raumwinkel il, den ein beliebig geformter, vom Ursprung ausgehender Kegel einschlieBt, ist dann als Quotient aus der Flache a, die dieser Kegel aus einer Kugel urn den Ursprung ausstanzt, und dem Quadrat des Kugelradius definiert (Abb. C.13a),

J dil = J fa ~~ = - J fa d cos'/? dcp ,

in Analogie zur Definition des ebenen Winkels als Quotient aus Kreisbogen und Kreisradius (Abb. C.l3b). Dabei ist das Gebiet G der Bereich von f) und cp innerhalb des Kegels. Entsprechend (C.II.S) ist das Integral tiber den vollen Raumwinkel

f f27r r 1 f27rjl dil = - Jo Jl dcos'/?dcp = Jo -1 dcos'/?dcp = 411"

Beliebiges FHichenelement Wir betrachten nun eine beliebige, als

r = r{'/?, cp) = r{'/?, cp)er {'/?, cp)

(b)

~s Abb. C.13 a,b. Raumwinkel und ebener Winkel

s a=-

R

C.II Oberfiachenintegral 497

parametrisierbare, OberfHiche. Die Normale auf dieser OberfHiche ist durch das Vektorprodukt der Tangentialvektoren

drl Z~d~= (Z~er+r~~)d~= (Z~er+re~)d~ ,

dr2 :: d~ = (Z~ er + r ~~ ) d~ = (:~ er + r sin ~ e~ ) d~ (C.I1.6)

gegeben. Man erhalt als FHichenelement

da = drl x dr2 = ( Z~ er + re~) x (Z~ er + r sin ~ e~ ) d~d~

(err2 sin ~ - e~r sin ~ Z~ - e~r :~) d~d~ .

(C.I1.7)

OberfHichenintegral des radialen Vektorfeldes Wir bilden das OberfHichenintegral tiber ein radiales Vektorfeld

Wz(r) = f(r)r = f(r)er

liber eine geschlossene Oberfiache (V), die den Ursprung umschlieBt, und erhalten mit den Bezeichnungen aus Abb. C.I4

Flir

1 1 r·n 1= f(r)r· da = f(r)-I • • lr2dD

(V) (V) r· n

b • Wz=WG= -r

r2

(C.II.8)

verschwindet die r-Abhangigkeit unter dem Integral und es verbleibt

1 I 1 r·n b zr.da= b -I. ·l dD .

(V) r (V) r· n (C.I1.9)

Der Faktor r . n/lr . nl ist + 1 oder -1, je nachdem, ob der Ortsvektor r die Oberfiache von innen nach auBen oder von auBen nach innen durchstoBt. 1st die Oberfiache liberall konvex und liegt der Ursprung innerhalb der Oberfiache, Abb. C.I5a, so ist er liberall gleich + 1, das Integral J dD erstreckt sich liber den vollen Raumwinkel 41l",

1 I. b zr . da = 41l"b ,

(V) r OE V . (C.I1.lO)


" " cosa =n'r

Abb. C.14. Oberflachenelemente auf einer geschlossenen Oberflache. Ein Raumwinkelelement dD stanzt aus einer beliebig geformten Oberflache am Ort r das Flachenelement da = iida und aus einer Kugel urn den Ursprung das Flachenelement daK = r 2dDr aus. Es giltda = (ii/Iii· rl)r2dD

(a) (b) ~ A

n r (c)

Abb. C.1S. Zur Integration (C.l1.9) iiber verschiedene geschlossene Oberflachen (V). (a) Ursprung liegt innerhalb einer iiberall konvexen Oberflache. (b) Ursprung liegt innerhalb einer Oberflache, die nicht iiberall konvex ist. (c) Ursprung liegt auBerhalb einer geschlossenen Oberflache

C.12 Volumenintegral 499

Das Ergebnis gilt aueh fUr nicht tiberall konvexe OberfHichen, Abb. C.15b, weil sieh zu jedem Raumwinkelelement aIle Beitrage bis auf einen wegen weehselnder Vorzeiehen wegheben. Liegt der Ursprung auBerhalb des Volumens, Abb. C.15e, so treten zu jedem die Oberflaehe durehstoBenden Raumwinkelelement 2, 4, 6, ... Flaehenelemente auf, die sieh gegenseitig wegheben,

1 I, b -r· da = 0

(V) r2

C.12 Volumenintegral

(C.I1.11)

Wir betraehten das Volumenintegral einer skalaren Funktion S (r), erstreekt tiber ein dreidimensionales Volumen V. Naeh dem tibliehen Verfahren laBt es sich wieder als Grenzwert einer Summe tiber endliche Teilvolumina darsteIlen,

N Iv S(r)dV = E S(rl)LH'i + ...

Die Teilvolumina selbst sind ftir hinreichende Unterteilung dureh Parallelepipede (Volumenelemente) aus drei Vektoren Llrll' Llr21' Llr3l besehreibbar, und es gilt (Abb. C.16)

so daB das Volumenintegral aueh in der Form

gesehrieben werden kann. In Analogie zu unserer Argumentation beim Oberfiaehenintegral eharak

terisieren wir ein Volumen dureh drei Parameter Uj, U2, U3, die den Ortsvektor besehreiben,

Abb. C.16. Das Volumen eines Parallelepipedes ist das

L1 V ::: ( L1 if x L1 is)· L1 r; Spatprodukt seiner drei Kantenvektoren


(a) z (b) z

x x

Abb. C.17 a,b. Aufteilung eines Volumens durch Koordinatenlinien in Volumenelemente am Beispiel einer Kugel, die in (a) durch X-, y- und z-Linien, in (b) durch T-, {}- und cp-Linien geteilt ist

und in einem Gebiet G variieren, wenn sich r im Volumen V bewegt. Wir gewinnen die Koordinatenlinien wie frtiher, indem wir stets zwei Variablen festhalten, wahrend die dritte veranderlich bleibt:

r](ud r2(u2)

r3 (U3)

r( u], U20, U30)

r(ulO' U2, U30)

r( UIO, U20, U3) (C.12.1)

Zwei Beispiele fUr Koordinatenlinien enthalt Abb. C.I? Die Liniendifferentiale entlang der Koordinatenlinien sind dann wieder durch

gegeben. Dabei deuten die runden Differentialzeichen wieder die partiellen Differentiationen an, bei der aIle Variablen von r = r( u], U2, U3) auBer Ui selbst festgehalten werden. Man gewinnt so ein Dreifachintegral tiber das Gebiet G der Variablen U], U2, U3,

Iv SdV = Iv S(dr] x dr2) ·dr3 = J J fa S (::] x ::J. ::3 dU3du2du]

Der Ausdruck

( or or) or au] x OU2 . OU3

ist in kartesischen Koordinaten fUr den Ortsvektor wegen (B.8.?) gerade die Determinante

C.12 Volumenintegral 501

ox oy oz OUI OUI OUI

ox oy oz o(x,y,z) (C.12.2)

OU2 OU2 OU2 o( UI, U2, U3)

oX oy oz

OU3 OU3 OU3

Sie beschreibt den Faktor zwischen den Volurnina der Parallelepipede, die von den Koordinatenlinien in x, y, z bzw. UI, U2, U3 gebildet werden,

(C.12.3)

und heiSt Jacobi-Determinante.

Volumenelement in kartesischen Koordinaten In kartesischen Koordinaten gilt

und sornit, wie erwartet,

_0-,-( x_,_y_, z--'-) = I o(x,y,z)

fv SdV = fv S(drl x dr2) . dr3 = fv s(x, y, z)dxdydz

Volumenelement in Kugelkoordinaten In Kugelkoordinaten wird der Ortsvektor r durch drei Parameter r, iJ und cp festgelegt,

Ais vektorielle Differentiale haben wir

or or dr = er ( iJ, cp )dr

dr",

or _0 _ oer(iJ, cp) _0 - d-o oiJ dv - r oiJ dv - re" v

or oer(iJ,cp) . ocp dcp = r ocp dcp = r sm iJ e",dcp (C.12A)

Das Volumenelement ist das Spatprodukt der drei vektoriellen Differentiale,

Das FHi.chenelement da fur die Kugeloberftache vom Radius r ist nach (C. II A )


so daB das Volumenelement einfach

wird. Das gleiche Ergebnis erhiilt man naturlich auch, wenn man das Volumen

element in Kugelkoordinaten entsprechend (C.12.3) als

8(x,y,z) dV = 8(r,1?,<p)drd1?d<p

schreibt und die Jacobi-Determinante (C.12.2) aus den Beziehungen x r sin 1? cos <p, y = r sin 1? sin <p, z = r cos 1? zwischen kartesischen und spharischen Koordinaten ausrechnet.

Volumenintegral eines Zentralfeldes Wir beschranken uns auf ein Zentralfeld der Gestalt

S(r) = l/rn

Die Volumenintegration dieses Feldes uber den ganzen Raum

J 10211"11 1000 I 1000 I S(r)dV = -r2drdcos1?d<p = 41f ---=-2dr o _lOrn 0 rn

divergiert entweder an der unteren oder oberen Grenze in r. Betrachtet man nur das Volumen auBerhalb einer Kugel vom Radius R urn den Ursprung, so erhiilt man fUr n > 3 konvergente Resultate,

1 roo I I I r>R S(r)dV = 41f JR rn-2dr = (n _ 3) Rn-3

C.13 Integralsatz von Stokes

Es sei (C.13.I)

ein von den Vektoren fly = flyey und flz = flzez aufgespanntes FHi.chenelement, vgl. (C.ll.l).

Fur kleine fly, flz gilt in guter Naherung fur die partiellen Ableitungen der Komponenten w y , W z eines Vektorfeldes W

8wy wy(x, y, z + flz) - wy(x, y, z) 8z Llz

8wz wz(x, y + fly, z) - wz(x, y, z) 8y fly

C.13 Integralsatz von Stokes 503

Wir bilden den Ausdruck (V x W{r)) . Lla", und finden mit (C.5.I)

(V x W{r)) . Lla", = (wAx, y + Lly, z) - wz{x, y, z))Llz

- (wy{x, y, z + Llz) - Wy{x, y, z))Lly = (W{r + Lly) - W{r)) . Llz

- (W{r + Llz) - W{r)) . Lly. (c. 13.2)

Die rechte Seite ist (wiederum ftir kleine Lly, Llz in guter Naherung) gleich dem Linienintegral tiber W{r) Hings der Umrandung des FHichenelements Lla", bestehend aus den vier Teilwegen Lly, Llz, -Lly, -Llz,

1 W{r') . dr' = W{r)· Lly + W{r + Lly) . Llz J(Llaz )

+ W{r + Llz) . (-Lly) + W{r) . (-Llz) . (C.13.3)

1m Grenzwert Lla", -+ 0 nimmt (C.13.2) die Form

(V x W{r)) . e",Lla", = 1 W{r') . dr' J(Llaz )

an. Wahlen wir anstelle von e", eine beliebige Richtung D, so gilt

(V x W{r)) . DLla = 1 W{r') . dr' . J(Lla)

(C.13.4)

Dabei ist Lla ein FUichenelement der GroBe Lla und der Normalenrichtung D und (Lla) die Berandung von Lla, deren Umlaufsinn mit der Richtung D eine Rechtsschraube bildet.

Wir betrachten jetzt ein FHichensttick a im Raum und approximieren es durch viele kleine RechteckfUichen Llai, Abb. C.18. Die Summe der Skalarprodukte [V x W{ri)] . Llai der Rotation des Feldes W an einem Ort ri auf dem FUichenelement Llai mit diesem FHichenelement ist im Grenzwert sehr feiner Unterteilung gegeben durch

Abb. C.ts. FUiche a im Raum, zerlegt in Flachenelemente Lla;


N N lim LeV x W(ri)) . L\ai = L 1 W(r') . dr'

N-.oo ;=1 i=1 J(Lla.)

also gleich der Summe der Umlaufintegrale tiber die Rander (L\a;) der FHichenelemente.

In dieser Summe tragen aIle Begrenzungslinien zwischen benachbarten FHichenelementen zweimal, jedoch mit gegensatzlicher Laufrichtung, bei. Daher verschwindet die Summe aller dieser Beitrage, und es verbleibt nur das Integral tiber die Berandung (a) der Flache a. Wir erhalten damit den Integralsatz von Stokes

l (V x W(r)) . da = 1 W(r)· dr a J(a)

(C.13.5)

Dabei bilden die Normalen auf der Flache a und die Umlaufrichtung der Randkurve eine Rechtsschraube. Er sagt insbesondere aus, daB fUr ein rotationsfreies Feld das Umlaufintegral tiber jeden geschlossenen Weg verschwindet. Liegen auf einem solchen Weg zwei Punkte ro und r, und verbinden die beiden Teilwege C1 und C2 diese Punkte, Abb. C.19, so k6nnen wir das Umlaufintegral als Summe zweier Linienintegrale schreiben,

1 W(r'). dr' = r W(r'). dr' + iro W(r')· dr' = 0 J(a) iro,c) r,-C2

Diese Aussage ist gleichbedeutend mit der Wegunabhangigkeit des Linienintegrals tiber ein rotationsfreies Feld,

r W(r'). dr' = i r W(r')· dr' irO,c) rO,C2

(C.13.6)

Der Satz von Stokes erlaubt auch eine anschauliche Deutung der Rotation. Dazu schreiben wir das Flachenelement L\a = fiL\a als Produkt aus seinem

Abb. C.19. Die Punkte ro und r sind durch zwei Wege C" C2 verbunden. Die Wege C, und -C2 bilden einen geschlossenen Weg

C.l3 Integralsatz von Stokes 505

Betrag .da und dem Einheitsvektor iI in Normalenrichtung. 1m Grenzwert .da --+ 0 kann die Anderung von V x W (r) innerhalb der kleinen Flache vernachlassigt werden, und man erhalt aus (C. 13.4) direkt

(V x W(r)) . iI = lim ; 1 W(r') . dr' L1a--->O Lla J(L1a)

(C.13.7)

Dabei ist das Umlaufintegral auf dem Rand einer kleinen Flache zu nehmen, die den Punkt r enthalt und die Normale iI besitzt. Der Ausdruck wird offenbar maximal, wenn iI die Richtung von V x What. Dann gilt

IV x W(r)1 = lim ; 1 W(r')· dr' L1a--->O Lla J(L1a)

Multipliziert man beide Seiten von (C.13.7) mit iI, so erhalt man als Ausdruck fur die Rotation

V x W(r) = {lim ; 1 W(r') . dr'} iI L1a--->O Lla J(L1a)

Ais einfaches Beispiel betrachten wir das axiale Vektorfeld W A = b x r mit b = bez . Ais Flache a wahlen wir den Kreis urn den Ursprung in der (x, y)Ebene mit dem Radius R und der Normalen iI = ez , wie in Abb. C.9. Unter

2

Abb. C.20. Zum Stokesschen Satz: Auf den Riindern von fiinfQuadraten in der (x, y)-Ebene ist durch Pfeile das axiale Vektorfeld W A = bez x r dargestellt. Die Linienintegrale tiber W A

entlang der Riinder aller flinf Quadrate sind gleich


Benutzung von (C.9.9) erhaIt man ftir den Ausdruek auf der reehten Seite

1 2 7r R2 (2b7r R )ez = 2bez

in Ubereinstimmung mit V x (b x r) = 2b, vgl. (C.S.4). Eine graphisehe Veransehauliehung bietet Abb. C.20. Hier ist das Feld

W A auf den Rfuldem von flinf Quadraten gleicher GroBe in der (x, y)-Ebene dureh Pfeile dargestellt. Das Linienintegral tiber W A lfulgs des Randes ist ftir jedes Quadrat das gleiche. (Zwar sind die Pfeile flir das mittlere Quadrat wesentlieh ktirzer. Es Hefem jedoeh alle Pfeile Beitrlige gleichen Vorzeichens zum Linienintegral, wahrend die Beitrlige der einzelnen Pfeile sich bei den liuBeren Quadraten weitgehend kompensieren.) Die Gleiehheit der Linienintegrale entsprieht der Gleichheit der Flliehenintegrale fa (rot W A) . da tiber die Flachen a der Quadrate, die wegen rot W A = 2b = eonst gilt, vgl. Abb. C. 7.

C.14 Integralsatz von GauD

Wir betraehten ein quaderfOrmiges Volumenelement .1 V, das sich am Ort r befindet und von den drei aehsenparallelen Vektoren L1x = Llxe"" L1y = L1yey und L1z = L1zez aufgespannt wird. Das Produkt aus der Divergenz (C.4.l) eines Vektorfeldes W(r) und dem Volumenelement Hillt sich in der Form

( OW", OWy OWz) V . W(r)L1V = ox + oy + oz L1xL1yL1z

~ (w",(x + L1x, y, z) - w",(x, y, z))LlyL1z

+ (wy(x, y + L1y, z) - Wy(x, y, z))L1xLlz

+ (wz(x, y, z + L1z) - wAx, y, z))L1xLly (C.l4.l)

sehreiben, wenn man die Differentialquotienten dureh Differenzenquotienten ersetzt. Mit (C.l3.l) und (C.l.S) erhaIt man ftir den ersten Term auf der reehten Seite

W",(x + L1x, y, z)LlyLlz - w",(x, y, z)L1yL1z

w",(x + L1x, y, z)e", . L1a", + w",(x, y, z)e", . (-L1a",)

= W(r + Llx) . L1a", + W(r) . (-L1a",)

also die Skalarprodukte aus den beiden naeh auBen gerichteten Oberflachenvektoren Lla", und - Lla", des Volumenelements und den Feldvektoren am Ort des jeweiligen Oberflliehenelements. Insgesamt ist im Grenzwert .1 V -+ 0 die reehte Seite von (C.l4.l) gleich dem Oberflliehenintegral von W tiber die Oberflaehe (.1 V) des Volumenelements .1 V am Ort r,

C.14 Integralsatz von GauB 507

v . W(r) = lim }V J W(r') . da' (C.I4.2) LlV-+O L...l J(LlV)

Zerlegen wir ein Volumen V in N Volumenelemente L1 V;, i = I, ... , N, und bilden im Grenzwert N -+ 00 die Summe tiber aIle Ausdriicke der Art (C.I4.I), so erhalten wir auf der linken Seite ein Volumenintegral tiber das Volumen V und auf der rechten Seite ein OberfHichenintegral tiber die Oberfiache (V) von V, weil sich die Beitrage auf den gemeinsamen Grenzfiachen benachbarter Volumenelemente wegheben. Man erhiilt den Integralsatz von Gauj3:

r V . W(r)dV = J W(r)· da . lv J(V)

(C.I4.3)

Zur Veranschaulichung der Ergebnisse (C.I4.2) und (C.I4.3) betrachten wir ein Vektorfeld W(r) = gv(r), das die Stromdichte einer Fltissigkeit beschreibt. Dabei ist v( r) die Geschwindigkeit der Fltissigkeit am Ort r und g die konstante Massendichte der Fltissigkeit. Das Feld W sei zeitunabhangig. Das Oberfiachenintegral auf der rechten Seite von (C.I4.3) ist dann gerade gleich der pro Zeiteinheit aus dem Volumen V durch seine Oberfiache (V) herausfiieBenden Fltissigkeitsmasse. Wenden wir diese Interpretation auf (C.I4.2) an, so erkennen wir die rechte Seite als die aus L1 V pro Zeiteinheit herausfiieBende Fltissigkeitsmasse dividiert durch das Volumen L1 V. Sie muB gleich der pro Volumen- und Zeiteinheit in L1 V erzeugten Fltissigkeitsmasse sein, denn bei zeitunabhiingiger Stromung kann aus L1 V in einem Zeitintervall nur dann Fltissigkeit herausstromen, wenn die gleiche Fltissigkeitsmasse in L1 V erzeugt wird. Wir nennen daher die Divergenz div W (r) = V . W (r) auch die Quelldichte pro Volumeneinheit des Feldes W am Ort r.

Zur Illustration betrachten wir das Feld WHO(r) = brr mit der Divergenz V . WHO(r) = 3b. Da die Divergenz konstant ist, sind Volumenintegrale Iv V . WHo(r)dV tiber gleich groBe Volumina V unabhangig von deren Lage stets gleich. Dann mtissen aber auch die Oberfiachenintegrale i(v) WHO(r)· da tiber die Oberfiachen dieser Volumina gleich sein. Abbildung C.2I zeigt das Feld WHO angedeutet durch Pfeile auf den Oberfiachen von flinf gleich groBen Wtirfeln. Zwar sind die Pfeile auf dem mittleren Wtirfel viel ktirzer, doch zeigen sie samtlich nach auBen und leisten so aIle einen positiven Beitrag zum Oberfiachenintegral. Interpretieren wir das Feld WHO wie oben als Stromdichte einer Fltissigkeit, so stromt aus dem mittleren Wtirfel nur Fltissigkeit heraus. Aus den auBeren Wtirfeln stromt ebenfalls Fltissigkeit heraus; es stromt aber auch Fltissigkeit in sie hinein. Das Oberfiachenintegral beschreibt den NettoausstoB an Fltissigkeit, der ftir aile Wtirfel gleich ist.

Wir betrachten jetzt noch das Feld W G = (b/r2)r. Ftir ein kugelfOrmiges Volumenelement L1V = (41f/3)R3 vom Radius R urn den Ursprung gilt mit (C.Il.lO)

. 3 V· W(r = 0) = hm 4 R3 ·41fb

R-+O 1f


z

~" - --~-~~~ , ---~ --- --

~-------- - "'~ ---~ ..

, ,

Abb. C.21. Zum GauBschen Satz: Auf den Oberflachen von fiinfWiirfeln, deren Mittelpunkte in der (x, y)-Ebene liegen, ist durch Pfeile das radiale Vektorfeld WHO = br dargestellt. Die Oberflachenintegrale iiber die Riinder aller fiinf Wiirfel sind gleich

Dieser Ausdruck divergiert. Die Quelldichte pro Volumeneinheit des Feldes W G wird bei r = 0 unendlich. An jedem Ort r f:. 0 verschwindet sie wegen (C.4.12), (C.Il.ll). Das Feld besitzt bei r = 0 eine Punktquelle. Wegen (C.11.10) entstromt jeder die QueUe umgebenden Oberftiiche in der Zeiteinheit die Masse 47rb, die man als Quellstiirke der Punktquelle bezeichnen kann.

C.IS Aufgaben

C.I: Bestimmen Sie (a, b = const, r = Irl i= 0)

(a) V(a· r), Vr, V(l/r), V In r, V[(r x a) . b];

(b) V· a, V . r, V . (a x r), V . (ra), V . (r/r), V . (rV(I/r3));

(c) V x r, V x (r/r3), V x (b x r).

C.2: Gegeben sind die Felder A = (-xy, z2, xyz) und B = (x2y, y2z 3, -x2yz). Berechnen Sie

(a) V· A, V . B, V x A, V x B;

(b) V(A· B), V· (A x B).

C.l5 Aufgaben 509

C.3: Gegeben seien zwei Vektorfelder A(x), B(x) und ein Skalarfeld rp(x). Zeigen Sie mit Hilfe des Nabla-Operators:

(a) div( rpA) = A . grad rp + rp div A,

(b) div(A x B) = B . rotA - A . rotB,

(c) rotrotA = graddiv A - LlA,

(d) grad(A· B) = (A· grad)B + A x rotB + (B· grad)A + B x rotA.

Hinweis: Berechnen Sie (c) und (d) mit Hilfe der Identitat

L CijkCklm = Oi/Ojm - OimOjl .

k

C.4: Schreiben Sie das Vektorfeld F(r) = ze", - xez in Kugelkoordinaten urn, d. h. schreiben Sie F in der Form F(r) = Frer + F{}e{} + Fcpecp, wobei die Koeffizienten Fr, F{} und Fcp Funktionen der Kugelkoordinaten T, D, rp sind.

C.S: Ein Vektorfeld v(r) ist gegeben durch:

v(r) = (cos ~x)(sin ~bY)(Sin ~z)e", + (sin ~x)(cos ~y)(sin ~z)ey a cab c

+ (sin ~x)(sin ~bY)(cOS ~z)ez , a c

a, b, c = const. Berechnen Sie fA v . da sowohl durch direktes Ausintegrieren, als auch mit Hilfe des GauBschen Satzes. Dabei ist A die Oberflache eines Quaders mit den Kantenliingen a, b und c. Die Lage des Quaders zeigt Abb. C.22.

z

c

x b Abb. C.22. Zu Aufgabe C.5

C.6: Gegeben sei das Vektorfeld v(r) = -(x + y)e", - 2xey + zez und eine Flache A mit der Parameterdarstellung

A = {r( 0:,,8) = 0:( J3 e", + cos,8 ey + sin,8 ez ), 0: E [0, RJ, ,8 E [0,21T]}

(a) Skizzieren Sie die Flache A.

(b) Berechnen Sie das vektorielle Flachenelement

( 8r 8r) da = 80: x 8,8 do: d,8


(c) Berechnen Sie schlieBlich das FHichenintegral IA v(r) . da.

(d) Berechnen Sie das Linienintegral fa w( r) ·dr fur das Vektorfeld w( r) := 2xze", + z(x - y)ey + (2x2 - y2)ez und die Kurve

C := {r(cp) = R( J3 e", + cos cpey + sincpez ), cp E [0,211']} .

(e) Berechnen Sie rot w, und vergleichen Sie Ihr Ergebnis aus (c) mit dem aus (d).

C.7: Eine Flache F habe in Zylinderkoordinaten (Ortsvektor r = r ..Le..L(Cp) + zez )

die Darstellung

F = {r(r..L, cp, z) I r..L E [0, R], cp E [0,211'], Z = arl} , a = const .

(a) Skizzieren Sie die Flache F.

(b) Berechnen Sie das vektorielle Flachenelement

(c) Berechnen Sie das Flachenintegral IF A . da fur das Vektorfeld

a, (3 = const .

(d) Berechnen Sie das Linienintegral fa B . dr fur B(r) = aye", + (3xy2ey, mit a, (3 = const, und die Kurve

C = {r(r..L,cp,z) Ir..L = R,cp E [0, 211'j,z = aR2} , a = const .

(e) Berechnen Sie rotB, und vergleichen Sie Ihr Ergebnis aus (c) mit dem aus (d).

C.S: (a) Berechnen Sie mit Hilfe des GauBschen Satzes die kartesischen Komponenten des Fliichenintegrals

B := i r(b . da) ,

wobei F eine beliebige geschlossene Flache und b ein konstanter Vektor ist.

(b) Uberpriifen Sie Teil (a) fur den Fall, daB F die Oberftache einer Kugel mit dem Radius R ist, durch direkte Berechnung. Hinweis: Benutzen Sie Polarkoordinaten und legen Sie die z-Achse in die Richtung vonb.

C.9: Zeigen Sie durch Anwendung des GauBschen Satzes auf das Vektorfeld v( r) = f(r)V g(r) die beiden Greenschen Siitze:

(a) Iv(f Llg + (V f) . (Vg)) dV = fav(fVg) . da,

(b) Iv(fLlg - gLlf)dV = fav(fVg - gVf)· da.

D. Taylor-Reihen

In vielen Hillen kann eine Funktion f (x) einer reellen Variablen x durch eine Potenzreihe urn die Stelle Xo in der Form

f(x) 1 1 2

ao + i!a1(x - xo) + 2!a2(x - xo) + ... 00 1 L ,an(x - xot n=O n.

(D.l)

dargestellt werden. Man bestatigt sofort, daB die Koeffizienten an durch den Funktionswert bei Xo und die Ableitungen der Funktion an dieser Stelle gegeben sind,

(D.2)

indem man beide Seiten der obigen Gleichung n-fach nach x differenziert und anschlieBend x = Xo setzt. Die so gewonnene Potenzreihe

(D.3)

heiBt Taylor-Reihe. Durch Abbruch der unendlichen Reihe nach dem Glied N -ter Ordnung

gewinnt man eine Naherung der Funktion f(x) aus der Kenntnis des Funktionswertes f(xo) und der ersten N Ableitungen an der Stelle Xo.

Beispiele:

1

l+x

vT+X 1

eX

00

1 - x + x 2 - x 3 + X4 =t= ... = L (-1 txn, -1 < x < 1 , n=O

1 1 2 1 3 1 + -x - -x + -x ± ...

2 8 16 -1<x<l,

1 3 2 5 3 1 - -x + -x - -x ± ... 2 8 16

-1<x<l,

1 + x + ~x2 + ~x3 + ... = ~ ~xn 2! 3! f;:on!' -oo<x<oo,

512 D. Taylor-Reihen

In(1 + x) 1 1 00 (_I)n-l

x - _x2 + _x3 =f ... = L x n , -1 < x < 1 , 2 3 n=l n

cosx 1 2 1 4 ~ (_I)n 2n

1- 2!x +4!x =f"'=~(2n)!x , -oo<x<oo,

sinx 1 3 _ ~ ( - 1 t 2n+ 1 x- 3!x ±"'-~(2n+l)!x ,-oo<x<oo,

cosh x 1 x -x 00 1 2n 2(e +e )=~(2n)!x , -oo<x<oo,

sinh x 1 (X -X) ~ 1 2n+l 2 e - e = ~ (2n + 1)!x ,-00 < x < 00.

(DA)

Die Funktionen werden durch die Potenzreihen in den rechts angegebenen Intervallen der Variablen x dargestellt.

In niedrigster nichttrivialer Ordnung erhii1t man damit die niitzlichen Niiherungsformeln filr I x I « 1:

1 -- ~ I-x 1+x

eX ~ 1 + X

x 2

cosx ~ 1- 2 x 2

cosh x ~ 1 + 2

x vfl+X~I+-

2 In(1+x)~x

sinx ~ x

sinhx ~ x

1 x --===~1--JT+X 2

(D.S)

Ein Beispiel filr die Giite der Niiherung einer Funktion durch endliche Partialsummen von Potenzreihen zeigt Abb. D .1. Hier sind die Funktion sin x und die sie anniihemden Potenzreihen erster, dritter und filnfter Ordnung dargestellt. Es wird deutlich, daB der Bereich, in dem die Potenzreihe eine gute Niiherung der Funktion darstellt, mit der Ordnung der Reihe wiichst.

Fiir Funktionen mehrerer Variabler,

(D.6)

die durch Potenzreihen urn den Punkt XOl, X02, ... ,XON dargestellt werden konnen, hat die Taylorreihe die Form

Do Taylor-Reihen 513

fCx)

I 0 x

-1

-11 -11/2 0 11/2 11

fCx)

I 0 x

fCx)=x-x 3/3!

-1

-11 -11/2 0 11/2 11

fCx)

I 0 - - - - X

fCx)=x-x 3 /3!+xs /5!

-1

-11 -11/2 0 11/2 11

Abb. D.I. Die Funktion sin x (diinne Linie) und die sie anniihernden Potenzreihen verschie-dener Ordnung (dicke Linie)

Flir den speziellen Fall von drei Variablen, die die Koordinaten des Ortsvektors x = Xl el + X2e2 + X3e3 haben, lautet die Entwicklung urn Xo

f(x) = f(xo) + (x - xo) 0 V f(xo) 1 + 2! [(x - Xo) ® (x - Xo)] 0 (V ® V)f(Xo) + 000 (Do8)

Hier bezeichnet V den Nabla-Operator

(Do9)

E. Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen sind Paare reeller Zahlen a = (a, a') und b = (/3, /3'), die die folgenden Rechenregeln erfullen:

a + b = (a, a') + (/3, /3') = (a + /3, a' + /3'), (E.1)

entsprechend

a - b = (a, a') - (/3, /3') = (a - /3, a' - /3')

und ab = (a,a')(/3,/3') = (a/3 - a'/3', a/3' + a'/3) , (E.2)

~ = (a, a') = (a/3 + a'/3' a'/3 - a/3') b (/3, /3') /32 + /3'2 ' /32 + /3'2 (E.3)

Die Division alb ist nur fur b "# 0, d. h. b "# (0,0), definiert. Ais zu a konjugiert komplexe Zahl a* wird das Paar

a* = (a, -a') (E.4)

eingefuhrt. Die so definierten Rechenoperationen lassen sich auf die Rechenregeln mit reellen Zahlen formal zUrUckfuhren, wenn man das Paar reeller Zahlen in der Form

a = a+ia'

schreibt und fur die imaginare Einheit i die Rechenregel

i2 =-1

einfiihrt. Die konjugierte komplexe Zahl a* ist dann

* . , a = a -la .

(E.5)

(E.6)

(E.7)

Man nennt a den Realteil Re{a}, a' den Imaginarteil Im{a} der komplexen Zahl a:

a=Re{a}=~(a+a*) , a' = Im{a} = ~i (a - a*)

E. Komplexe Zahlen 515

Fur die komplexe Konjugation gelten folgende Rechenregeln, die man leicht verifiziert:

(a+b)*=a*+b*, (a-b)*=a*-b* (ab)* = a*b* , (a/b)* = a* /b*

Komplexe Zahlen lassen sich graphisch in einer komplexen Zahlenebene darstellen (Abb. E.l), indem man den Realteillangs der Abszisse (reelle Achse) und den Imaginfuteillangs der Ordinate (imaginare Achse) eines kartesischen Koordinatensystems auftdigt. Aus den Rechenregeln fur die komplexen Zahlen sieht man, daB die Addition der komplexen Zahlen der Addition von Vektoren in der Ebene entspricht.

{ma

ex' a

ex Rea

Abb. E.1. Graphische Darstellung einer komplexen Zahl

Entsprechend der Definition bei Vektoren wird als Betrag der komplexen Zahl noch

(E.8)

definiert. Ais Phase oder Argument von a bezeichnet man den Winkel 'P = arg( a) des der komplexen Zahl entsprechenden Vektors mit der reellen Achse,

(x' Im{a} tan 'P = -;:; = Re{ a }

Re{a} cos'p = -Ia-I-

Damit liiBt sich eine Polardarstellung der komplexen Zahl angeben,

a = lal (cos 'P + i sin 'P)

(E.9)

(E. 10)

In dieser Darstellung schreibt sich die Multiplikation zweier komplexer Zahlen in derForm

lall (cos 'PI + i sin 'Pd la21 (cos 'P2 + i sin 'P2)

lallla21 [cos( 'PI + 'P2) + i sin( 'PI + 'P2)] (E.ll)

was man leicht verifiziert, wenn man die bekannten Additionstheoreme der Winkelfunktionen benutzt.

516 E. Komplexe Zahlen

In Verallgemeinerung des reellen Funktionsbegriffes filhrt man eine komplexe Funktion als eine Abbildung der Menge der komplexen Zahlen in sich selbst ein,

w = J(z) (E.12)

Dabei sind w und z komplexe Zahlen. Durch Zedegung von w und z = x + iy in Real- und Imaginfuteil,

w(z) = u(x, y) + iv(x, y) (E. 13)

erhaIt man eine Darstellung von w mit Hilfe von zwei reellen Funktionen. Die komplexe Verallgemeinerung einer reellen Funktion J (x) einer reellen Variablen x existiert genau dann in einer Umgebung der Stelle Xo, wenn die Taylor-Reihe von J(x) in einer Umgebung dieser Stelle konvergiert. Uber die Taylor-Reihe (siehe auch Anhang D)

(E. 14)

ist dann die komplexe Fortsetzung zu definieren, indem man statt des reellen x komplexe z zuHiBt:

(E.15)

Als wichtigstes Beispiel diskutieren wir die komplexe Fortsetzung der Exponentialfunktion:

Z2 z3 00 zn

eZ = 1 + z + - + - + ... = L -2! 3! n=O n!

(E.16)

oder

. (x+iyf (X+iy)3 1 + (x + lY) + 2! + 3! + ...

( X2 x3 ) ( (iy)2 (iy)3 ) 1 + x + 2! + 3! + ... 1 + iy + 2! + 3! + ...

eX eiy (E.17)

Die Funktion exp(iy) mit rein imaginarem Argument iy steht mit den Winkelfunktionen

y2 y4 y6 cos Y = 1 - - + - - - ± ...

2! 4! 6!

in folgendem Zusammenhang:


d. h. eiy = cos y + i sin y (E. 19)

Diese Beziehung heiSt Eulersche Formel. Mit ihrer Hilfe HiBt sich (E.IO) in der ntitzlichen Form

(E.20)

schreiben. Insgesamt gilt also fUr die Darstellung der komplexen Exponentialfunktion

eZ=e(",+iY)=e"'(cosy+isiny) . (E.21)

Daraus folgt sofort

Re{eZ} = e'" cosy , (E.22)

Aus (E.8) und (E.9) oder direkt durch Vergleich von (E.17) mit (E.20) folgt

(E.23)

Die Funktion w = eZ wird durch die beiden reellen Funktionen Re{ w }, Im{ w } oder, alternativ, durch die beiden reellen Funktionen Iwl, arg{ w} beschrieben. Die Abbildungen E.2 und E.3 sind graphische Darstellungen dieser beiden Beschreibungen.

Wegen cos( -y) = cos y ,

folgt aus (E.19)

sin( -y) = - sin y

e-iy = cosy - isiny

Zusammen mit (E.19) erhaIt man

und (eZ )* = eZ • = e(",-iy) = e"'(cosy - isiny)

(E.24)

(E.25)

Uber die Darstellungen (E.25) sind die Winkelfunktionen als komplexe Funktionen eines komplexen Argumentes definiert. Insbesondere erhaIt man fUr ein rein imaginares Argument

y = ifJ

einen einfachen Zusammenhang mit den hyperbolischen Winkelfunktionen cosh (sprich: Cosinus hyperbolicus) und sinh (sprich: Sinus hyperbolicus),

518 E. Komplexe Zahlen

1m vi

Abb. E.2. Darstellung der komplexen Exponentialfunktion w = e durch die Graphen der reellen Funktion Re{ w} = eX cos y und Im{ w} = eX sin y tiber der komplexen z-Ebene, z = x + iy

Es gilt

1 cosi1] = -(e-'1 + e'1) = cosh 1]

2

bzw.

1. . coshi1] = _(e1'1 + e-1'1) = cos 1]

2

1 sinh 1] = -(e'1 - e-'1)

2

1 sini1] = 2i (e-'1 - e'1) = i sinh 1]

(E.26)

1· . sinhi1] = _(e1'1 - e-1'1) = isin1]

2 (E.27)


-~

-~

Abb. E.3. Darstellung der komplexen Exponentialfunktion w = eZ durch die Graphen der reellen Funktion Iwl = e"', arg{ w} = y fiber der komplexen z-Ebene, z = x + iy

F. Die wichtigsten SI -Einheiten der Mechanik

In der Tabelle F.I sind fur die wichtigsten mechanischen GroBen Dimensionen, SI-Einheit und, falls definiert, deren Kurzzeichen und Name wiedergegeben.

Tabelle F.2 enthaIt die im SI zugelassenen Vorsilben zur Kennzeichnung von Zehnerpotenzen.

Tabelle F.I. Dimensionen und SI-Einheiten der wichtigsten GraBen

SI-Einheit Bildung aus Kurz-

GroBe Dimension 1) Basiseinheiten Zeichen Name Lange e m Meter Masse m kg Kilogramm Zeit t s Sekunde Dichte m/e3 kg/m3

Geschwindigkeit eft m/s Beschleunigung €/t 2 m/s2

Kraft m€/t 2 kgm/s2 N Newton Impuls melt kgm/s = Ns Arbeit, Energie m€2/t 2 kgm2/s2 = Nm J Joule Leistung me2/t3 kgm2/s3 = J/s W Watt Wirkung me2/t kgm2/s = Js Winkelgeschwin-digkeit, Frequenz r 1 s-1 Hz Hertz Drehmoment me2/t2 kgm2/s2 = Nm Drehimpuls m€2/t kgm2/s = Nms Tragheitsmoment m€2 kgm2

Druck m€-1r 2 kgm-1s-2 = N/m2 Pa Pascal

1) Ais Abkurzungen fur Dimensionen dienen e (Lange), m (Masse), t (Zeit).

F. Die wichtigsten SI-Einheiten der Mechanik 521

TabelleF.2. Vorsilben zur Bildung dezimaler Vielfacher von SI-Einheiten

Vorsilbe Zeichen Faktor1) Vorsilbe Zeichen Faktor1) Exa E lOlls Dezi d 10 -1

Peta P 1015 Zenti c 10-2

Tera T 1012 Milli m 10-3

Giga G 109 Milcro J.L 10-6

Mega M 106 Nano n 10-9

Kilo k 103 Piko P 10-12

Hekto h 102 Femto f 10-15

Deka da 101 Atto a 10-18

1) Beispiel 2,818 fm = 2,818 Femtometer = 2,818· 10-15 m

Hinweise und Losungen zu den Aufgaben

Kapitell

1.2 v]ogger = 2 m s-I.

1.3 Ja, t = 270 s, s = 1125 m.

1.4 Diese Aufgabe lost man am einfachsten, indem man die Situation im Ruhesystem des Flusses betrachtet; VF1uB = 2kmh-l.

1.5 (a) <p = arccos( -vs/ (vo + vd); (b) Tges = (d/vd V (vo + vd2/v§ - 1.

1.6 (a) trn = 2 s; (b) rl (trn) = -3ex m, r2(trn) = 2ey m, d(trn) = /I3 m; (c) V2 = 8/7ms- 1.

1.7 (a) v(t) = w(A cos wt ex - B sinwt ey ), Iv(t)1 = w(A2 cos2 wt + B2 sin2 wt)I/2, a(t) = -w2r(t), la(t)1 = w2 Ir(t)1 = w2(A2 sin2wt+B2cos2wt)I/2; (b) r(t) ·v(t) = w(A2- B2) sinwt coswt, r(t) xv(t) = -wABez = const; (c) v(t) = wR(cos wt ex-sinwtey), Iv(t)1 = wR = const,a(t) = -w2r(t), la(t)1 = w2R = const,r(t)·v(t) = o fUr aIle t, r(t) x v(t) = -wR2ez = const.

1.8 (a) Es gilt r(t) = r(t)er(<p(t)) und der(<p(t))/dt = (der/d<p)(d<p/dt) = etplj; usw. Daraus folgt v(t) = rer + rlj;etp, a(t) = (r - rlj;2)er + (2rlj; + n,o)etp; (b) r(t) =

R = const, <p(t) = wt, also v = Rwetp, a = -Rw2er.

1.9 (a)v(t) = vo+gw(-sinwtex+coswtey),a(t) = -gw2(coswtex+sinwtey); (b) t = w- I arctan(-vox/voy).

Kapitel2

2.1 Man muB die Krafte zunachst in kartesische Koordinaten urnrechnen und dann addieren: F4 = -l:i F i . Das Ergebnis lautet: F4 = (-Sex + 43,30ey + 79,28ez ) N, oder, in Kugelkoordinaten, 1F41 = 90,47 N, {)4 = 28,80°, <P4 = 96,59°.

Hinweise und L6sungen zu den Aufgaben 523

2.2 Llx = 6,32 cm.

2.3 (a) T = 27fvm/ D; (b) T = 7fvm/ D.

2.4 Zmax = v6 sin2 rp / (2g), Xmax = v6 sin(2rp) / g, rpmax = 45°.

2.5 x(t) = gt2 sin(20:)/4, z(t) = -gt2 sin2 0:/2.

2.6 (a) Der Massenpunkt verliert den Kontakt mit der Kugel, wenn die Zentripetalkraft, also die Radialkomponente der Gesamtkraft, mit der der Massenpunkt auf die Kugel driickt, verschwindet. Mit dieser Bedingung und mit Hilfe der Energieerhaltung erhalt man e = 48,2°. (b) D = 1,46R.

2.7 (a) fe F . dr = 7/6; (b) fe F . dr = 4/3.

2.8 (a) Wenn ein Feld konservativ ist, dann gilt V x F = 0, vgl. Abschn. C.lO. Es gibt dann ein Potential V, so daB fUr die Komponenten von F die Beziehungen Fi = - oV / OXi gelten. Man erhalt V also durch Integration von Fi tiber Xi. Die dabei auftretende Integrationskonstante kann dann noch eine Funktion der anderen Xj sein. Wendet man diese Technik auf aIle drei Komponenten an, erhalt man V = -o:xy2 - 3/3z4/2 + "(x2 yz3 + const. (b) W = 110:a3 + 56"(a6 .

2.9 feF· dr = A.

2.10 VI = 1,12·104ms- l .

2.11 V2 = 4,21· 104ms-l.

2.12 T = 1,47h.

2.13 r = 4,226 . 104 km.

2.14 Hier muB man das Gesamtpotential des Gravitationsfeldes von Erde und Mond betrachten. Da die Gesamtenergie erhalten bleibt, ist die Rakete am Punkt maximalen Gesamtpotentials am langsamsten. An diesem Punkt kompensieren sich die Gravitationskrafte von Erde und Mond. Wenn dort die Geschwindigkeit der Rakete gerade verschwindet, kann die Rakete mit Hilfe des Gravitationsfeldes des Mondes den Mond noch erreichen. Man erhalt Vmin = 1,11 . 104 ms- I, r = 3,46.105 km.

2.15 (a) V(r) = -"(Mm[l/lr - sezl + l/lr + sezll; (b) V(zez ) = -(2"(Mm/z) (1 + (s/z)2 + ... ).

2.17 (a) r(t) = Xo cos(w(t - to)) ex + (vo/w) sin(w(t - to)) ey, mit w = V D /m, die beiden Halbachsen sind a = Ixol, b = Ivol/w. (b) p(t) = -xomw sin(w(t - to)) ex + vom cos(w(t - to)) ey . Es handelt sich auch urn eine Ellipse, die Halbachsen sind a = mwlxol und b = mlvol.

524 Hinweise und Losungen zu den Aufgaben

Kapitel3

3.1 1m Moment des ZusammenstoBes wirken die Fadenkrafte senkrecht zur Bewegungsrichtung. Daher bleibt der Impuls in diesem Moment erhalten. Weil auBerdem die Energie erhalten bleibt, folgt (P2 = arccos[1 - (I - cos ¢t}4mi/ (ml + m2)2].

3.2 Der StoB ist inelastisch; v = J2hg(M + m)/m.

3.3 (i) Sei M ::; m: 1. StoB: v~ = 0, v~ = Vo; 2. StoB: v~ = vo(m - M)/(m + M), v~ = 2vom/(m + M), d. h. 0 ::; v~ < v~, so daB kein weiterer StoB stattfindet. (ii) Sei M > m: 1. StoB: v~ = 0, v~ = Vo; 2. StoB: v~ = vo(m - M)/(m + M), v~ = 2vom/(m + M) (vgl. (i)), d. h. v~ < 0, also findet ein dritter StoB statt: v~' = v~ = vo(m - M)/(m + M), v~' = O.

3.4 (a) T = 27f.JM/(k l + k2); (b) T' = 27f.J(M + m)/(k1 + k2)' Das Auftreffen der Masse mist ein inelastischer StoB. Da beim Nulldurchgang keine Krafte in horizontaler Richtung wirken, bleibt die entsprechende Impulskomponente erhalten; A' = A.JM/(M + m).

3.5 Dakeine auBeren Krafte wirken, giltlmpulserhaltung. (a) V2 = (3- A)V(COS a ex + sin a ey ) sin f3 / sin( a + (3), V3 = (3 - A)V( cos f3 ex - sin f3 ey) sin a/ sin( a + (3); (b) V23 = v(3 - A)/2; (c) Vl23 = V.

3.6 Der Impuls in horizontaler Richtung bleibt erhalten, daraus ergibt sich eine Beziehung zwischen den horizontalen Geschwindigkeiten von Block und Keil im Laborsystem. Da die Richtung des Geschwindigkeitsvektors des Blocks im Ruhesystem des Keils durch die Neigung des Keils vorgegeben ist, laBt sich die horizontale Komponente dieses Vektors als Funktion der vertikalen schreiben. Benutzt man schlieBlich, daB Labor- und Ruhesystem des Keils durch die Geschwindigkeit des Keils verkniipft sind, so kann man in der (konstanten) Gesamtenergie alle Geschwindigkeiten durch die Vertikalgeschwindigkeit des Blocks ausdriicken. Durch Ableiten der Gesamtenergie nach der Zeit erhalt man dann z = -g(m + M) tan2 a/(M + (m + M) tan2 a) =

const.

3.7 T = 258d.

3.8 Hier betrachtet man den Zusammenhang zwischen Relativvektor und den beiden Ortsvektoren im Schwerpunktsystem. Aus der Bahndarstellung fUr letztere folgt aI/a2 = m2/ml, d. h. a2 = 449km, a2/R = 6,5.10-4 .

3.9 Wenn man in L = L: ri x Pi die Beziehungenri = &,li+R undpi = 'Tri+miP/M einsetzt und ausmultipliziert, erhalt man vier Terme, von denen allerdings wegen (3.2.10) und (3.2.14) zwei verschwinden, so daB die Aussage folgt.

3.10 (a) Aus Krafte- und Drehmomentgleichgewicht folgt, daB d groBer als der Abstand des Schwerpunktes von der Aufhangung am Ende des Pfahls sein muB, d> 11L/28. (b) F(O) = Mg(1 - llL/(28d)), F(d) = MgllL/(28d).

Hinweise und Losungen zu den Aufgaben 525

Kapitel4

4.1 Die Losung der Bewegungsgleichung erhiilt man am einfachsten, indem man zunachst zu einer DifferentiaIgleichung zweiter Ordnung in der Zeit ubergeht: Wenn man die Bewegungsgleichung nach der Zeit ableitet, dann folgt s = 9 sin a/[! + 8..;,/(MR2)] =: a = const. Die Losung zu den angegebenen Anfangsbedingungen lautet 8(t) = at2/2. Es gilt gsina = 139cms-2. Fur den Hohlzylinder ergibt sich aus Abb. 4.6a der Wert 8(1,2s) = 49,5cm. (Man beachte, daB der Startpunkt mit s = ° in der Abbildung bei ungefrihr 8 = -1,5 cm liegt.) Mit diesen Werten erhiilt man 8..;,/(M R2) Ri 1. Fiir den Vollzylinderliest man aus Abb. 4.6b den Wert 8(1,2 s) = 60,5 cm ab (wieder mit dem Startpunkt bei 8 = -1,5 cm) und erhalt 8..;,/(M R2) Ri 0,66. Mit (4.3.8) gilt 8..;,/(M R2) = (1 + (Rtf R)2)/2, so daJHiir den Hohlzylinder8..;,/(MR2) = 0,82 und den Vollzylinder 8..;,/(MR2) = 0,5 (mitR1 =

0) gelten miiBte. DaB die gemessenen Werte groBer sind, liegt an Reibungseffekten.

4.2 (a) E = z2(m + M/2)/2 - mgz = const; (b) Bewegungsgleiehung: z gm/(m + M/2) =: g' = const, Losung: z(t) = g't2/2.

4.3 H = llR/4, v = y'llgR/3.

4.4 (a) L = 2mw1Riez , E~~~ = mwiRi; (b) L = const = 2mw l Riez , W2 WI Ri / .R5:, E~~2 = mwi Ri / .R5:. (c) Die Eislauferin leistet Arbeit, weil sie eine ZentripetaIkraft auf die Massen ausiibt: W = - J~2 2mw2(r)rdr, mit w(r) = wIRI!r2

(aus (b)). Das ergibt W = mwi Ri((Rtf R2)2 - 1) = E~~2 - E~~~.

4.5 (a) R = a(l, 1, 1)/2, £II = a(-I,I,-I)/2, £12 = a(I,-I,-I)/2, £13 a(-I,-1,1)/2, £14 = a(l, 1, 1)/2, Us = 0; (b) 8..;, = 2ma2 fiir aile {), cp (das Tragheitsellipsoid ist eine Kugel).

4.6 Denkt man sich die Locher durch Scheiben mit der Diehte der Lochscheibe ausgefiillt, so erhiilt man eine Vollscheibe. Da Tragheitsmomente verschiedener Massenverteilungen urn gleiche korperfeste Punkte additiv sind, kann man das Tragheitsmoment der Lochscheibe also entsprechend als Differenz der Scheiben-Tragheitsmomente berechnen, wobei man fiir die exzentrischen Scheiben den Steinerschen Satz anwendet. Man erhalt 8 = M(R4/2 - 2r4 - 4r2lJl)/(R2 - 4r2).

4.7 (a) Die Platte beschreibt man am einfachsten in kartesischen Koordinaten; 8 = M (b2 - a2 / 6) /2, der Schwerpunkt befindet sich auf der Symmetrieachse im Abstand

x = (2/3h/b2 - a2/4 von der Spitze. (b) T = 1fV6b2 - a2/JgV4b2 - a2.

4.8 (a) Hier benutzt man Polarkoordinaten. Der Schwerpunkt liegt auf der Symmetrieachse im Abstand x = 4V2R/(31f) von der Spitze; das Tragheitsmoment bezuglich der Spitze ist 8 = M R2 /2, so daB fiir das Tragheitsmoment bezuglich des Schwerpunktes mit dem Steinerschen Satz 8 s = M R2(1/2 - 32/(91f2)) folgt.

(b) a = R [4V2/(31f)- (1/2 - 32/(91f2)) ].


4.9 Aus dem Energiesatz erhalt man durch Ableiten nach der Zeit z = gM r2 I (M r2+ ew) (mit nach unten gerichteter z-Koordinate). Die Newtonsche Bewegungsgleichung lautet M3i = Mg - FPaden, so daB F Paden = Mgewl(Mr2 + e w).

4.10 (a) pea) = mv'2l9v'MI2 + ml v'M13 + m; (b) pCb) = mv'2l9 < pea);

(c) pee) = mv'2l9vsincpo(3 - sin2cpo)/2 =: mv'2l9v'!(cpo), dabei ist sin CPo = (3M + 6m)/(4M + 9m) der Sinus des Winkels, bei dem die Person den Kontakt mit dem Mast verliert. Elementare Kurvendiskussion zeigt, daB !(CPo) < 1 fur o :::; CPo < 7r 12. Daher ist Strategie (c) am kliigsten.

Kapitel5

5.1 Das Ergebnis folgt sofort aus der Anwendung der Kettenregel.

5.2 Auch hier benutzt man die Kettenregel, dabei muB der Fall F I = - V I V gesondert behandelt werden.

5.3 (a) Es gilt (& ® &)2 = & ® &, [g,&j2 = & ® & -1 und & ® &[g,&] = o. Damit kann man das Produkt der Rotationstensoren ausfuhren, wobei sich an den entsprechenden Stellen die Additionstheoreme fur cos( a+ (3) und sin( a+ (3) ergeben. (b) Die Tensoren 1 und & ® & sind symmetrisch, [g,&] ist antisymmetrisch. Daraus und mit (a) folgt die Behauptung. (c) SpR(a&) =-1 + 2cosa. (Man beachte, daB die Spur koordinatenunabhiingig ist.)

5.4 Fur die Drehachse n gilt En = n, mit den normierten Losungen & =

± ( - ~ j~ ) . Den Drehwinkel erhalt man am einfachsten mit Hilfe der Beziehung 1/.,fi

aus Aufgabe 5.3 (c). Altemativ kann man auch einen zu & senkrechten Vektor konstruieren, mit R drehen und dann den Winkel zwischen beiden Vektoren berechnen.

Man erh1ilt fur & = ( - ~ j~ ) den Winkel a = 450 und fur & = - ( - ~ j~ ) 1 I .,fi 1 I .,fi

den Winkel a = 3150 • Beide Ergebnisse beschreiben natiirlich die gleiche Drehung.

5.5 (a) VS = -(pt + pt + pt)/(ml + m2 + m3), (b) vRt = -pt Imj, (c) VSt2 = -(pt + pt)/(ml + m2).

5.6 Man konstruiert zuerst ein Bezugssystem, in dem Tei1chen 1 sich so verhalt, als wiirde es an einer Wand reftektiert: Es sei n(J) ein Einheitsvektor, der senkrecht auf dieser Wand steht. 1m Ziegelwandsystemkehrt dann die zu n(J) parallele Komponente des Geschwindigkeitsvektors von Teilchen 1 seine Richtung urn, die zu n(J) senkrechte Komponente andert sich nicht. Daraus ergibt sich der folgende Zusammenhang mit den Geschwindigkeiten VI und ~ von Tei1chen 1 vor bzw. nach dem StoB im urspriinglichen System: n(J) = (VI - ~)/lvI - v~l. Wenn man dann die Translationsgeschwindigkeit V(I) zwischen urspriinglichem und Ziegelwandsystem ebenfalls


bzgl. n(1) in parallele und senkrechte Komponenten zerlegt, v(1) = viiI) + v~), erhiilt

man die Bedingung viiI) = -(VIII + v~II)/2; die Komponente v~) kann beliebig

gewiihlt werden. Analoge Beziehungen fur n(2) und vW) gelten fur ein Bezugssystem, in dem sich Teilchen 2 so verhiilt, als wiirde es an einer Wand reflektiert. Die Erhaltung des Impulses liefert nun n(2) = -n(1), und die Erhaltung der Energie ergibt

vil2) = viiI), d. h. es existieren beim elastischen StoB in der Tat Bezugssysteme, in dem sich beide Teilchen so verhalten, als wiirden sie an der gleichen Wand reftektiert.

5.8 Da die Kugeln glatt sind, wirkt am Kontaktpunkt der Kugeln nur eine zur Oberfliiche senkrechte Kraft; die anderen Impulskomponenten bleiben erhalten. (a) Daraus ergibt sich fur den StoBwinkel im Laborsystem cos19L = [m2 - ml + 2ml b2/(RI + R2?]/[(m2 - md2 + 4mlm2b2/(RI + R2?P/2. (b) Den Winkel im Schwerpunktsystem erhiilt man durch eine Galilei-Transformation mit der Geschwindigkeit v = -v2m2/(ml +m2) zu cos 19s = 2(b/(RI + R2))2 -1. Da sich die beiden Kugeln im Schwerpunktsystem vor bzw. nach dem StoB jeweils in entgegengesetzte Richtungen bewegen und die Richtung des Impulsiibertrags allein durch die Geometrie bestimmt ist, hiingt 19s nicht von ml, m2 abo (c) Den StoBwinkel im Relativsystem (das kein Inertialsystem ist) erhiilt man, indem man die Geschwindigkeiten v~, v~ der Kugeln im Laborsystem nach dem StoB urn - v; verschiebt. Es ergibt sich der gleiche Winkel wie im Schwerpunktsystem, 19R = 19s , denn die Geschwindigkeitsvektoren von Kugel 2 im Schwerpunkt- bzw. Relativsystem unterscheiden sich nur urn den Faktor mI/(ml + m2).

5.9 (a) Der Abstand r des Teilchens 2 vom StoBzentrum geht fur Zeiten sehr lange vor bzw. nach der Wechselwirkung gegen unendlich. Mit (2.17.14) gilt dann fur die Polarwinkel 'PCXJ und 'P'oo lange vor bzw. nach der Wechselwirkung 1 - IS cos 'PCXJ =

1 - IS cos 'P'oo = O. Mit der Ersetzung 'Y /-lM = -0: liefert (2.17.19) die Beziehung 1/ cos2 'PCXJ = 1 + tan2 'PCXJ = 1S2 = 1 + b2/-l2rti/ 0:2. Wegen cos 'Poo = cos 'P'oo ist 2'PCXJ der Winkel zwischen den beiden Asymptoten der Hyperbelbahn des Teilchens 2. Der Streuwinkel ist dann 19 = 7r - 2'PCXJ, und wegen tan( 7r /2 =f 0:) = ± cot 0: folgt cot2(19/2) = b2/-l2rti/0:2. (b) Der Winkel ist der gleiche wie in (a), denn die Geschwindigkeitsvektoren werden nur urn den Faktor mI/(ml + m2) gestaucht. (c) 1m Laborsystem gilt tan 19L = 20:mTm2/[br6mTm~ - (mT - m~)0:2 /(br6)]'

Kapitel6

6.1 (a) x(t) = bcoshwt, v(t) = bw sinhwt; (b) T = t(x = a) = (l/w) arcosh(a/b), Ivgesl = wV2a2 - b2 (dabei muB man die azimutale Geschwindigkeit wa im Inertialsystem beriicksichtigen).


6.2 Es gilt a = - (go - w2 R eos2 ex )er - w2 R sin ex cos ex ea. Daraus ergeben sieh die folgenden numerisehen Werte: Fiir ex = 0° gilt a = -9,799 m s-2er , fUr ex = 45° gilt a = (-9,815er - 0,017ea ) ms-2, lal = 9,815 ms-2.

6.3 Ii < ag/b.

6.4 Zum Beweis betraehtet man die Riehtung von F ges = mg + F c'

6.5 Man legt am einfaehsten den Ursprung des Koordinatensystems in den Sehwerpunkt der drei Massen, dann gilt 2: miri = 0. Die gesamte Gravitationskraft auf mi laBt sieh damit sehreiben als FiGrav = -,(m1 + m2 + m3)mir;/d3. Daran erkennt man, daB diese Kraft dureh die Zentrifugalkraft einer Rotation mit

w = v,(m1 + m2 + m3)/d3 und einer zur Ebene der drei Massen senkreehten Aehse kompensiert werden kann.

6.6 (a) Es sei ez = er , d. h. ez weise radial naeh oben; ey weise in der w, ez-Ebene naeh Norden und ex senkreeht zu ez und ey naeh Osten. Die Komponenten der Bewegungsgleiehung lauten dann nilllerungsweise Ii = -2wyz, ii = ° und z = -g. Diese Differentialgleiehungen lassen sieh mit den angegebenen Anfangsbedingungen leieht lOsen; man erhalt eine Abweiehung von Llx = 1,41 em naeh Osten. (b) Es gelten die gleiehen Differentialgleiehungen wie in (a); die geanderten Anfangsbedingungen ergeben die Behauptung.

6.7 (a) Die x-Aehse des Koordinatensystems weise radial naeh auBen, die y-Aehse in Sehienenriehtung und die z-Aehse senkreeht zur Bahnebene naeh oben, so daB b = -bxex + bzez mit b"" bz > ° gilt. Dann folgt az >::::: v2(R - bx)ex/ R2, ac = 0. (b) DG = -Mgbxey, Dz >::::: Mv2bz(R - bx)ey/R2, Dc = 0. (c) Damit der Wagen nieht umkippt, muB das Gesamtdrehmoment in die negative y-Riehtung zeigen. Das bedeutet v2bz(R - bx)/ R2 < gbx, also muB fUr bx « R der Radius gemaB R > v2bz/(gbx) gewahlt werden.

6.8 (a) r~ = roeoswt eoswot, r~ = rosinwt eoswot, r~ = 0; (b) Ir(t)1 = ro leoswotl; (c) rWo + nTo) = roeos(wto + 21fnw/wo) eoswoto, rWo + nTo) =

rO sin(wto + 21fnw/wo) eoswoto, r~ = 0. (d) Die Bahn ist gesehlossen, wenn es ein T gibt, so daB rW + T) = rHt) fUr aIle t und i = 1,2,3. Benutzung der Additionstheoreme fiir Sinus und Kosinus liefert dann fiir r~ die vier Bedingungen cos wT cos woT = 1, sin wT cos woT = 0, cos wT sin woT = ° und sinwT sinwoT = O. Diese Bedingungen lassen sieh nur fUr rationale w/wo erfiiIlen. Die Gleiehung fiir r~ liefert die gleiehen Bedingungen.

6.9 (a) r~ = (rIO+vot) eoswt-r20 sinwt, r~ = (rIO+vot) sinwt+r20 eoswt, r~ = O. (b) r2 (t) = (rIO + vot)2 + rio, der Abstand vom Ursprung ist also in allen rotierenden Koordinatensystemen gleieh (denn Drehungen andem Langen nieht). Das Minimum wird daher immer zur Zeit to = -rIO/vo angenommen und betragt rmin = r20. (c) FiirdiePunkte minimalen Abstands giltrWo) = -r20 sinwto = r20 sin(wrIO/vO), r~(to) = r20eoswto = r20eos(wrIO/vo), sie liegen also (als Funktion von w) auf einem Kreis mit demRadius r20. (d) Aus (c) ergibt sieh unmittelbar, daB diese Punkte auf dem Kreis beim Winkel wrIO/vo liegen.


6.10 (a) r~(t) = rl(t)coswt - r2(t)sinwt, r~(t) = rl(t)sinwt + r2(t)coswt, r~(t) = 0; (b) v~ell = (1"1 -r2w) coswt- (1"2 +rlw) sinwt, V~e12 = (h -r2w) sinwt+ (r2 + rlw) coswt, V~e13 = 0, V~ot I = w(rl sinwt + r2 coswt), V~ot2 = w(r2 sinwt -rl cos wt), V~ot3 = 0; (c) a~ell = (rl -w2rl -2W1"2) coswt-(r2 -W2r2+2w1"d sinwt,

, (.. 2 2· ). t (.. 2 2· ) t' 0 arel2 = rl - w rl - wr2 sm w + r2 - w r2 + wrl cos w, arel3 = , a~ I = -2w[(r1 -r2w) sinwH (r2 +rlw) coswtJ, a~2 = 2w[(1"1 -r2w) coswt- (r2 + rlw) sinwt],a~3 = O,a~1 = w2(rl coswt-r2 sinwt),a~2 = w2(rl sinwt+r2coswt), a~3 = O.

Kapitel7

7.1 (a)

(8) = M (b2~C2 a2~c2 ~ ) - 12 0 0 a2 + b2

(b) 8 0A = M(a2b2 + a2c2 + b2c2)/(6(a2 + b2 + c2)); (c) L = Mw(a2 + c2)(C., + cy)/(12J2).

7.2 (a)

(8) = m 0 ( 82/2 + 3t2

(b) 8 a = m(82/2 + 3t2).

7.3 (a)

o

(Ij) ~ 6ma' ( -1

~)

-1 0) 1 0 o 3

(b) Die Haupttdigheitsmomente sind 81 = 3(3 + v's)ma2 , 8 2 = 3(3 - v's)ma2 ,

8 3 = 18ma2; die normierten Haupttragheitsachsen sind 1'11 = [(1 - v's)CI + (3 -

v's)C2]/ (2V 5 - 2v's), 7]2 = [(1 +v's)CI + (3 + v's)C2)/ (2V5 + 2v's), 7]3 = C3·

7.4 (a) E = L2[1 - (1 - 8' /8D cos2 'I9l/(28'). Die Extremwerte werden fiir '19 = 0 (Rotation urn die Figurenachse) und '19 = 7r /2 (Rotation urn eine zur Figurenachse senkrechte Achse) erreicht, woraus sich unmittelbar die Behauptung ergibt. (b) Es gilt w~ = (L/8D cos '19 und Iw ~I = (L/8') Isin '191.

7.5 Die linearisierten Eulerschen Gleichungen lauten 8'wl = -8"(W2 W3 + W2W3 + W2W3), 8'W2 = 8"(WI W3 + W IW3 + WI W3), 8'W3 = o. Daraus folgt fur niiherungsweise Rotation urn die c~ -Achse: WI (t) = 0, W2 (t) = C2t + const, mit C2 = 8"WIW3(0)/8', W3(t) = W3(0). Da IW2(t)llinear anwachst, ist diese Bewegung instabil. Fiirnaherungsweise Rotation urn die c~-Achse gilt WI (t) = CI t +const, mitci = -G"W2W3(0)/8',W2(t) = 0,W3(t) = w3(0),d.h.auchdieseBewegungist


instabil. Fur naherungsweise Rotation urn die Symmetrieachse e~ erhalt man schlieBlich WI/2(t) = AI/2 coswt + BI/2 sinwt, mit w = 8"W3j8', W3(t) = o. Diese Bewegung entspricht also einer Schwingung mit der Periode T = 2'Tr8' j(8"W3). Die Rotation urn die Symmetrieachse ist daher (unabhiingig von den Werten von 8' und 8") immer stabil.

Kapitel8

8.1 In der expliziten Losung (8.6.32) fUr Xi(t) sind die vier Koeffizienten vor den Winkelfunktionen unabhiingig voneinander. Die Forderung Xi (t + T) = Xi (t) fUr alle t liefert daher vier Bedingungen, z. B. sin WI T = 0 und sin W2T = O. Dies erfordert WIT = n'Tr und W2T = m'Tr, also Wt/W2 rational.

8.2 Multiplikation der Bewegungsgleichungen (8.6.5) fUr ml bzw. m2 mit Xl bzw. X2 und Addition der so erhaltenen Gleichungen ergibt (djdt)(TI + T2) = -(djdt)(Vt + V2 + V), also TI + T2 + VI + V2 + V = const.

8.3 Urn beispielsweise nur die Normalschwingung mit W2 anzuregen, muB man die Anfangsbedingungen so wahlen, daB in (8.6.29) die Bedingung CI = 0 gilt, also .;mlRl1XlO + ..jm2R12X20 = 0 und .;mlRl1VlO + ..jm2R12V20 = O.

8.4 (a) Die Bewegungsgleichungen sind CPI = -gept/l - D(epl - ep2)jml und CP2 = -gep2jl-D(ep2 - ept}jm2; (b) WI = V9fl, w2 = [gjl +D(ljml + Ijm2)J1/2. (c) Bei der Schwingung mit WI schwingen beide Pendel mit der gleichen Amplitude und Phase; mogliche Anfangsbedingungen sind eplO = ep20 =I- 0, CPlO = CP20 = o. Bei der Normalschwingung mit W2 gilt fUr die Amplituden A2 = -AI mt/m2' die Phasendifferenz betragt 'Tr. Mogliche Anfangsbedingungen sind ep20 = -eplOmt/ m2 =I- 0,

CPlO = CP20 = o.

Kapitel9

9.1 Fixpunkt (u?): al,2 = -, ± V,2 - a = -, ± V,2 + lal, also al = -, + V,2 + lal > o. Fixpunkte (u~,3): al,2 = -, ± V,2 + 2a = -, ± V,2 - 21al· Fur positiven Radikanden,2 - 21al ist al,2 also rein reell und negativ, fUr negativen Radikanden ist Re{ al,2} = -, < o. 9.2 al,2 = -, ± V,2 - a, also ist al,2 < 0, reell fUr,2 ;::: a, und fur,2 < a gilt Re{ al,2} = -, < o. 9.3 Stabiler Fixpunkt fUr X = 0, v = 0; instabile Fixpunkte fUr X = ±l, v = O. Das Potential Vex) = m(x2j2 - x4 j4) hat ein Minimum bei x = 0, aber Maxima bei x = ±l.


9.4 Stabilitat herrscht fUr f'(xo) = --X < 0, weil W = woe-At eine Losung der linearisierten Bewegungsgleichung ist.

9.5 (a) Die Gleichgewichtslagen sind iJ1 = 0, iJ2 = 7L Fur W 2: We = .J 9 / R liegt eine weitere Gleichgewichtslage bei iJ3 = arccos(g / (w2 R)). Dieser letzte Gleichgewichtspunkt zweigt fUr W > We von iJ1 = 0 abo (b) Fur e = iJ - iJi « 1, i = 1,2,3, lautet die linearisierte Bewegungsgleichung, + [g cos iJ i / R - w2 (2 cos2 iJ i-I) 1 e = o. Daraus ergibt sich, daB iJ1 nur fUr W < We stabil ist; iJ2 ist imrner instabil. Die Gleichgewichtslage iJ3 ist im Falle ihrer Existenz imrner stabil.

KapitellO

10.1 (a) Mit den Bezeichnungen aus Abschn. 10.2 gilt fUr die Transversalwelle

E:~: = D(£' - £)2/2 und E~~~ = D(Llx - £)2/2, so daB Epot = E:~: -E~~~ = D(£,2 - 2U' - Llx2 + 2Llx£). Mit Hilfe von (10.2.1) und der Niiherung

Jl - (wn - Wn_I)2 / Llx2 ~ 1 + (wn - wn-l)2 /(2Llx2) erhalt man das gewunschte

Resultat. (b) Fur die Longitudinalwelle gilt E:~ = D(Llx - £ + Wn+1 - wn)2/2

und E~~ = D(Llx - £)2/2. Damit erhiilt man fUr Epot = E:~: - E~~~ die Beziehung Epot/Llx = (JLcU2)[2(Llx - £)(Wn+1 - wn) + (Wn+1 - wn)2l/Llx2, woraus man im Kontinuumslimes den angegebenen Ausdruck erhalt. (c) Da der Zusatzterm JLcU B / (B + 1)) 8w / 8x in iipot linear in 8w / 8x ist, kann er in der Kontinuitatsgleichung durch einen Zusatzterm in der Energiestromdichte kompensiert werden: Es gilt 8ri/Ot + 8Sx/8x = 0, mit der Energiestromdichte Sx = -JLcfj(8w/8t)(8w/8x) + (B/(B + 1))8w/8tl. (d) Die in der Kette gespeicherte Gesamtenergie ist Eges = J:=o ii dx. Darin liefert der Zusatzterm in iipot den Beitrag /-lc'f..(B /(B + 1)) J:=0(8w/8x) dx = /-lc'f..(B /(B + 1))(w(t, L) - w(t, 0)), der verschwindet, weil man eine Kette nur dann longitudinal vorspannen kann, wenn man sie an den Enden fest einspannt, w(t, L) = w(t, 0) = O.

10.2 1lktn(t,x) = 'T/pot(t,x) = 'T/(t,x)/2 = (JL/2)c2w2(t,x)(x - Xo - ct)2/a4, Sx(t,x) = JLC3w2(t,x)(x - Xo - ct)2/a4 = C'T/(t,x).

10.3 (a) Es gilt 82wgn /8t2 = -W~Wgn und 82wgn /8x2 = -k~wgn' so daB Wgn die d' Alembert-Gleichung nur lost, wenn Wn = ckn gesetzt wird. Urn die Randbedingungen wgn(t,O) = wgn(t,L) = 0 zu erftillen, muB kn = n7T/L gelten. Fur Wun argumentiert man ganz analog. (b) E = (7T /2)2JLC2W~~~2nn2 / L. Furfeste Amplituden

w~~~ n konnen also nur diskrete Energien angeregt werden.

10.4 (i) Fur die Losung (10.7.8) fUr zwei lose Enden gilt 'l7kin = 2JLU5W2 sin2 wt cos2[27T(X - xr )/ -Xl, 'T/pot = 2JLU5W2 cos2 wt sin2[27T(x - xr )/ -Xl, 'T/ = 2JLU5w2{sin2 wt cos2[27T(X - xr)/ -Xl + cos2 wt sin2[27T(x - xr)/ -Xl} und Sx = -JLCU5W2 sin(2wt) sin[47T(X - xr)/ -Xl, wobei (10.4.8) benutzt wurde. (ii) Fur die Losung (10.7.9)

532 Hinweise und L6sungen zu den Aufgaben

fUr zwei feste Enden gilt '/]kin = 21LU6W2 cos2 wt sin2 [27r(x - xr)/ 'xl, lJpot = 2p,u6w2 sin2 wt cos2[27r(x - xr)/ 'xl; 1J und Sx sind in der Tat wie in (i).

10.5 (a) Fiir w+ bzw. w_ gilt (Sx) = ±(p,/2)c3k2w6. (b) Fiir die stehenden Wellen gilt (Sx) = O. Bei einer stehenden Welle findet also im zeitlichen Mittel iiber eine Periode kein EnergiefluB statt.

10.7 (a) an = 4.JLh sin(n7r/2)/(7rnf, insbesondere verschwinden alle a2n; (b) an = .JLhq2 sin(np7r/q)/(p(q - p)(7rnf), d. h. alle an, bei denen n ein ganzzahliges Vielfaches von q ist, verschwinden.

10.8 (a) Durch Differenzieren der drei Funktionen WI(t, x), wu(t, x) und WIII(t, x) in den entsprechenden Bereichen bestatigt man f)2w J / f)t2 = 0, f)2w J / f)x2 = 0, J = I, IT, III. (b) Wo = ab, V2 = aVt. (c) WI(t, x) = a(x + vtt)/2 + a(x - vtt)/2, wu(t, x) = a(b+x-vtt)/2+a(b-x-vtt)/2, WIII(t, x) = a(2b-x+vtt)/2+a(2bx - vtt)/2. Dajede L6sung der d' Alembert-Gleichung als Summe von Funktionen von x + cTt bzw. x - CTt geschrieben werden kann, muB Vt = CT gelten. Man kann iibrigens fUr wet, x) ganz explizit zeigen, daB Vt = CT gelten muB, wenn man die Knickstellen korrekt mit Hilfe von Distributionen beschreibt. (d) Die Periodenliinge ist T = 4b/CT, daher gilt fiir die Frequenz v = CT/(4b). (e) Fiir T /4 < t ~ T /2 gilt

{ WI(t,X)

w(t,x) = wu(t,x) WIII(t, x)

-ax = -v2(t-T/4) = -a(L-x)

in den Bereichen (I): 0 ~ x < VI (t - T /4), (IT): VI (t - T /4) ~ x < L - VI (t -T /4), (III): L - VI (t - T / 4) ~ x ~ L. Fiir T /2 < t ~ 3T / 4 gilt

{ WI(t,X)

w(t,x) = wu(t,x) WIII(t, x)

-ax = -ab+v2(t-T/2) = -a(L-x)

in den Bereichen (I): 0 ~ x < b - Vt(t - T/2), (IT): b - Vt(t - T/2) ~ x < b + Vt (t - T /2), (III): b + Vt (t - T /2) ~ x ~ L. Fiir 3T /4 < t ~ T gilt

{ WI(t,x)

w(t,x)= wu(t,x) WIII(t, x)

ax = V2(t - 3T/4) = a(L-x)

in den Bereichen (I): 0 ~ x < Vt(t - 3T/4), (II): Vt(t - 3T/4) ~ x < L - Vt(t-3T/4), (III): L - Vt(t - 3T/4) ~ x ~ L.

10.9 (a)

(I) (II)

(III)

(p,/2)a2cJr (I) o (II) (p,/2)a2cJr (III)

Hinweise und L6sungen zu den Aufgaben 533

1J = (p,/2)a2CJr, S., = o. (b) Bei t = 0 ruht die Saite, die kinetische Energiedichte verschwindet. Bei t = T I 4 ist kein Stiick der Saite mehr in Ruhe, die Saite besitzt auBer der Spannung in der Ruhelage keine zuslitzliche Spannung mehr. Die Energiedichte der Saite ist ausschlieBlich kinetisch. (c) Die gesamte Energiedichte 1J = 1Jkin + 1Jpot = (p,/2)a2CJr ist zeitunabhlingig; auf der Saite wird keine Energie transportiert. Daher ist die Energiestromdichte gleich null.

10.10 (a) Wieder gilt in den drei Bereichen a2wJ I at2 = a2wJ I ax2 = 0, J = I, II, III. (b) An den Knickstellen x = b ± cTt stimmen die Funktionswerte der entsprechenden Geradenstiicke uberein. (c) T = 2LlcT. (d) Sei tI = blcT, t2 =

(L - b)/cT, t3 = LICT = T12. FurtI < t :::; t2 gilt

w(t,x) =

bx -a--

L-b [ L-2b ]

a b - CTt + 2( L _ b) (x - b + cTt) L-x

ab--L-b

(I)

(II)

(III)

in den Bereichen (I): 0 :::; x < cTt - b, (II): cTt - b :::; x < cTt + b, (III): cTt + b :::; x :::; L. Fur t2 < t :::; t3 gilt

{

bx -a- (I)

L-b w(t,x) = a [b-CTt+ L-2b (X-b+CTt)] (II)

2(L - b) a(x - L) (III)

in den Bereichen (I): 0 :::; x < cTt - b, (II): cTt - b :::; x < 2L - b - cTt, (III): 2L - b - cTt :::; x :::; L.

10.11 (a)

r (I) P, 2 2 L2

(II) Ja CT 4(L - b)2

(III)

1Jpot

~a2CJr (I) 2 2 P, 2 2 (L - 2b)

(II) "2 a CT 4(L _ b)2 p, 2 2 b2

(III) "2 a CT (L _ b)2

~a2cf (I) 2 P,221( ~) (II) "2 a CT2 1 + (L _ b)2

P, 2 2 b2 (III) "2 a CT(L_b)2

534 Rinweise und Losungen zu den Aufgaben

{ 0

2 3 L(L - 2b) Sx = ~o: CT 4(L - b)2

(I)

(II)

(III)

(b) E(I) = (Jl/2)o:2cHb - cTt), E(I!} = (Jl/2)o:2cf(1 + b2/(L - b)2)t, E(III) = (Jl/2)o:2c,?b2(L - b - cTt) / (L - b)Z, Etot = (Jl/2)o:2c'?Lb/ (L - b). (c) Fiir gegebenes Wo gilt Etot = (Jl/2)c?rw6L/(b(L - b)); das Minimum wird fur b = L/2, also bei gleichschenkliger Anregung erreicht.

10.12 (a) EI(t) = (Jl/2)o:2c,?c:, E2(t) = (Jl/2)o:2c,?c:b2/(L - b)2; (b) E1(t + T) =

E2(t + T) = (Jl/2)o:2cHI + b2/(L - b)2)c:/2. (c) Es gilt (EI(t) - E1(t + T))/T = -(E2(t) - E2(t + T))/T = (Jl/2)o:24(1- b2/(L - b)2)/2 = Sx(II)' Diese Differenzenquotienten sind die Raten, mit denen Energie durch die betrachteten Intervalle ftieBt, d. h. die Energiestromdichten.

Kapitelll

11.1 (a) Mit (11.2.1) gilt F = Eq(X3 - L)/L, so daB man mit der Gewichtskraft F = mg die Gleichgewichtsauslenkung x¥ = L(1 + mg/(Eq)) erhalt. (b) Die Bewegungsgleichung mX3 = mg + Eq(L - X3)/ L laBt sich mit 6 = X3 - x¥ als m~3 = -6Eq/ L schreiben. (c) Anfangsauslenkung und -geschwindigkeit bei t = 0: 6(0) = 60, ~3(0) = ~30, Losung: 6(t) = 60 coswt + (~30/W) sinwt, mit w2 = Eqj(Lm).

11.2 (a) Spannungstensor in der Rohe X3 iiber dem Erdboden:

(0 0

(g)= 00 o 0

0"33 = -(!g(f - X3) ,

wobei f die Lange der Platte sei. (b) Verzerrungstensor:

(c) Verkiirzung: L1f = J5 C:33(X~) dx~ = -(!gf2/(2E). Daraus folgt L1f = 6,2 . 10-6 m. (d) Querdilatation: Sei d die Dicke der unbelasteten Platte in l-Richtung. Dann gilt L1d = Jod C:1l dXI = Jl(!gd(f - X3)/ E = 4,2· 1O-9(f - X3) m.

11.3 (a) f = Vg = (L:J=I ei8/8xi)(0"33e3 Q9 e3) = (80"33/8x3)e3 = (!ge3; (b) fa = -f = -(!ge3.

11.4 (a) Tangential- und Normalenvektoren der Seiten mit Normalen ei im unverzerrten Zustand: Die unverzerrte Normale el ist im geschertenZustand 01 = (1,0,0),


die unverzerrte Normale e2 ist im gescherten Zustand 02 = (0,1, -a)/N, die unverzerrte Normale e3 ist im gescherten Zustand 03 = (0, -a, 1)/N, mit der Normierungskonstante N2 = 1 + a2. (b) Die Spannungsvektoren sind S(OI) = 0, S(02) = Q:02 = 2Ga03, S(03) = Q:03 = 2Ga02. (c) Die Schubkriifte in diesem Zustand e~dlicher Scherung sind F(nt} = 0, F(02) = 2Gaf.20 3, F(03) = 2Gaf.20 2, so daB F = 2Gaf.2(02 + 03)'

11.5 Spurbildung in (11.4.18) ergibt SPf: = [(1- 2tt)/(2G(1 + tt))] Spg. Setzt man dies in (11.4.18) ein, foIgt (11.11.2).

11.6 (a) Es gilt

o 0 (OUk OUj) 0 0 (OUl OUk) OXi OXl OXj + OXk - OXj OXi OXk + OXl

o 0 (OUi OUI) 0 0 (OUj ~Ui ) + OXk OXj OXl + OXi - OXlOXk OXi + OXj = 0

(b) Unabhangige Kompatibilitiitsbedingungen sind:

o 0 0 0 0 0 0 0 --ell - --e13 + --e32 - --e21 = 0 OX2 OX3 OXl OX2 OXl OXl OX3 OXl

o 0 0 0 0 0 0 0 --e22 - --e21 + --e13 - --e32 = 0 OX3 OXl OX2 OX3 OX2 OX2 OXl OX2

o 0 0 0 0 0 0 0 --e33 - --e32 + --e2l - --e13 = 0 OXl OX2 OX3 OXl OX3 OX3 OX2 OX3

o 0 02 0 2--el2 - -e22 - -ell = 0

ox} OX2 oXI ox~

00 02 02 2--e23 - -e33 - -e22 = 0

OX2 OX3 OX~ OX~

o 0 02 02 2--e3l - -ell - -e33 = 0

OX3 OXl OX~ oXI

11.7 (a) Es gilt fUr jedes Tensorelement 02ejk/(oxiOXz) = 0, damit sind aIle Summan den in den Kompatibilitiitsbedingungen gieich null und die Bedingungen trivia

Ierweise erfiillt. (b) Es gilt (OUk/OXj + OUj/oxk)/2 = e)~ und damit

~ OUk + ~ OUj = 0 OXi OXj OXi OXk o OUk 0 ~Ui --+-- 0

OXj OXi OXj OXk

~OUJ +~ ~Ui 0 OXk OXi OXk OXj

Aus den ersten beiden Gleichungen folgt durch Subtraktion


Addition der dritten liefert schlieBlich 82uj/(8xi8xk) = o. (c) Wegen des Verschwindens aller zweiten Ableitungen der Verschiebungskomponenten Uj konnen die drei Elemente Cfk = -C~ des antisymmetrischen Tensors ~A auch nicht von

den Koordinaten abhangen, daher konnen wir (8Uk/8x] - 8Uj/8xk)/2 = CflO)

unabhangig von x setzen. Dann gilt 8Uk/8xj = c)~ + CflO). Setzen wir als Anfangsbedingungen Uk(XO) = 0 bei Xo = x01el + X02e2 + x03e3, so folgt

() ",3 ((0) CA,(O)) '" ((0) CA,(O)) I L" f" d' U Uk X = 6j=1 Xj Cjk + jk = 6j Ckj - kj Xj as osung ur Ie ver-schiebungskomponenten, oder, in vektorieller Schreibweise: u(x) = (s;,(0) - CA,(O))x und x' = x + (~(O) - ~A,(O))X. - -

11.8 (a) Das riicktreibende Drehmoment am Stabende bei Torsion urn den Winkel a betragt D = -1fGR4a/(2L). (b) Drehimpuls der Masse m mit dem Tragheitsmoment 8 urn die Stabachse: L = 80:. Bewegungsgleichung bei Vemachlassigung des Tragheitsmomentes des Stabes: Aus dL/dt = D folgt 80: = -1fGR4a /(2L). (c) Losung: a = ao coswt + (O:o/w) sinwt, wobei w2 = 1fGR4/(2L8) gilt.

11.9 (a) Spannungstensor

(g) = 2G (~) = ( ~ -X2

o o XI

-X2 ) XOI Ga',

(b) Kraftdichte: f(x) = V g = (-X2, Xl, O)G(821/1/8x~); (c) Impulsdichte: pet, x) = (J(8n/8t) = (-X2, Xl, 0) (J(81/1/8t)e",; (d) Bewegungsgleichung: (8P/8t) = f, so daB (J(EP1/I/8t2) = G(821/1/8xD folgt. (e) c2 = G/(J; (t) 1/I±(t,X3) = f(±ct + X3) ist Losung der eindimensionalen Wellengleichung fUr den Winkel 1/1, vgl. (10.3.7).

11.10 (a) Die Losungen sind 1/11 (t, X3) = 1/10 cos(wt - kX3) und 1/I2(t, X3) = 1/Iosin(wt - kX3), mit w2 = c2k2 . (b) Festes Ende: 1/I(t,x30) = 0, loses Ende: 81/1(t, X3)/8x31",j=X30 = O. (c) Feste Enden bei X3 = 0 und X3 = L, Losung:

1/I(t, X3) = (1/10 cos wnt + (*o/wn) sinwnt) sin knX3, mit kn = n1f / L und w~ = c2k~; (d) lose Enden bei X3 = 0 und X3 = L, Losung: 1/I(t, X3) = (1/10 coswnt + (*o/wn) sinwnt) cos knX3 mitkn = n1f / Lundw~ = c2k~; (e)festes Ende beix3 = 0, loses Ende bei X3 = L, Losung: 1/I(t, X3) = (1/10 coswnt + (*o/wn) sinwnt) sin knX3, mit kn = (2n + 1)1f/(2L), w~ = c2k~.

11.11 (a) J = ab3/12. (b) J = 5,722ab3/3.

Kapitel12

12.1 (a) Die Anwendung des Laplace-Operators in der Form (C.6.3) auf die kartesischen Komponenten von v = vet, r)e,.liefert die Gleichung


woraus sich die Behauptung ergibt. (b) wt - kr = a = const, d. h. r = ct - a/k, die Flachen konstanter Phase sind also Kugelflachen. (c) Normale auf Phasenflache: V(kr - ct) = ker II vCr). (d) V x v = [er 8/8r + etJ(l/r)8/8{} + ecp(1/(rsin{}))8/8IP] x v(r)er = 0; (e) V4> = vo(-er/r2 - (ik/r)er)[cos(wtkr) + i sin(wt - kr)]. Daher gilt Re{V 4>} = vo[(k/r) sin(wt - kr) - (l/r2) cos(wtkr)]er = v.

12.2 (a) Die Anwendung des Laplace-Operators in der Form (C.6.3) auf die kartesischen Komponenten von v = v ( t, r) sin {} ecp liefert die Gleichung

woraus sich die Behauptung ergibt. (b) Die Ausbreitungsrichtung der Welle ist er ; es gilt ecp . er = o. (c) V . v = [(l/(r sin {}))8/8IP]vcp = O.

12.3 vTII = CT/ sin a = cLi sin/3 = vLlI·

12.4 (a) StandardlOsung fiir WI = 0, VI = I: Es gilt das Gleichungssystem

Mit den Abkiirzungen k2 = J w2 /4 - kr, q2 = J w2 / (nCT)2 - kr lautet die Losung:

2kI q2 (w2/(24) - ki) krk2q2 + (w2/(24) - kr)

krk2q2 - (w2/(24) - kr)2

krk2q2 + (w2/(24) - kr)2

2 '

(b) Wellenvektoren: einlaufende Longitudinalwelle: qi = kiel + q2e2, auslaufende Longitudinalwelle: q2 = kiel - q2e2. Daher gilt Einfallswinkel = Ausfallswinkel, sina = kI/lqII, Iqd2 = kr + q~ = w2/(nCT)2, also sina = nkiCT/w. (c) sin/3 =

kI/lk21 = k1/Jkf + k~, Ikd2 = kr + k~ = kr + w2/4 - kf = w2/4, so daB sin/3 = klcT/W. Damit gilt sin/3/ sin a = lin.

12.5 vLlI = CL/ sin a = CT / sin /3 = vTII·

538 Hinweise und L6sungen zu den Aufgaben

12.6 (a) Das Gleichungssystem (12.6.5) wird erweitert durch die beiden Gleichungen

(~ - kr) W2C- - k1q2V2d-

= - (;~ - kr) WI C+ - kl q2 Vi d+

klk2 W2C- + (;~ - kr) Vid-

= kl k2 WI C+ - (;~ - kr) Vi d+ ,

mit C± = cos(wt - k1Xl ± k2L2), d± = cos(wt - k1Xl ± Q2L2).

12.7 (a) Sei ~ = wt - k1Xl. Fiir den Spaltenvektor (u(t)) gilt

(u(')) ~ (-~1) ..m(e - k,.,) + ( =; ) w, ,;.(e +k,.,)

+ ( -;) v, ,;n(e + </2") ,

die Matrixelemente von (~,) sind also all = -k2(1 + W2) sin k2X2 + kl V2 sin Q2X2, alZ = kz(l-Wz) cos kzxz+kl Vz cosqzxz, aZl = kl (1-W z) sin kzxz-qz Vz sinqZXZ, a22 = -kl (1 + W2) cos k2X2 - Q2 V2 cos Q2x2 und a13 = a23 = a31 = a32 = 0, a33 = 1.

(c)

(d)

(e) (e(t)) = (A-1)(u(t)), also (e(t)) = (u(t))+(A- 1)+, so daB 1 = e(t) . e(t) = (u(t))+(4-1)+(4-1)(u(t)) = (u(t))+(44+)-1(;;(t))folgt.(t)SeiB = (44+)-1,

- (B)~ (~: ~ n


mit bll = (a~1 + a~2)/(det~)2, b12 = bzl = -(alla21 + a12ad/(det~l, bz2 = ( aT 1 + aT 2) / ( det ~y Die charakteristische Gleichung lautet 0 = (1 - A)[ (A - bll )( A -bz2) - b12bzl] = (1 - A)[(A2 - (bll + bz2)A + detm. Mit d = detB = bll b22 -

b12bzl, 8 = Splil, = bll + b22 lauten die Losungen Al = 8/2 + )(8/2)2 - d,

A2 = 8/2- )(8/2)2 - dundA3 = 1. (g) Die Gleichung [(B) -Ai(l)]("1i) = 0 liefert

(bll - Ai)77~1 +bI277~2 = 0, bzl77~1 + (bz2 - Ai)77h = 0, so daB 77~2 = ((Ai - bll )/b12)77~I· Normierung: 77il = 77h/Ni, 77i2 = ((Ai - b11 )/(b12Ni))77h mit Nl = [1 + ((Ai -bll)/bd2]77~T· Wiihlt man 77~1 = b12 , folgt Nl = bT2 + (Ai - b11 )2, also schlieBlich 77il = b12 /Ni, 77i2 = (Ai - b11 )/Ni und 77i3 = 0 fUr i = 1,2. Der dritte Eigenvektor lautet ("13) = (0,0,1). (h)

(E+) = 7712 7722 0 ( 7711 7721 0) o 0 1

(i) Mit (e) gilt 1 = u(t)(:1,:1,+)-lu(t) = u(t)~+ D Ru(t) = v(t)Dv(t) = AIVT + A2V~, also folgt vI/(I/ Ad + vV(I/ A2) = I, die Trajektorie ist eine Ellipse.

Kapitel13

13.1 (a) Stromungsfeld in Zylinderkoordinaten: v(r) = w x r = we3 x r = wr ~eep; (b) w = Vr X V = [e~a/ar ~ + eep(l/r ~)a/ar.p + eza/az] x wr ~eep = e~ x weep + eep x w( -e~) = 2wez = 2w; (c) W = [~w]/2, mit w = 2w, d. h. W = [g,w] =

L:ik Ci3kei ® ekw = w( e2 ® el - el ® e2). - -

13.2 (a) Der Verzerrungstensor und der Verzerrungsgeschwindigkeitstensorder zeitlich gleichformig wachsenden Scherung ergeben sich zu

( 0 wt 0) (~)= wt 00

o 0 0

a (OWO) -a(~)= wOO too 0

(b) Die Eigenwerte von ~ sind Al = wt, A2 = -wt und A3 = O. Die Diagonalformen von ~ und a~/ at sind

( wt 0

(~)H = 0 -wt o 0

o -w o

die Eigenvektoren lauten

540 Hinweise und Lasungen zu den Aufgaben

13.3 Das auBere Potential Ua(r) der Schwerkraftdichte ist das gewohnliche Schwerkraftpotential Ua = gz.

13.4 Verzerrungsgeschwindigkeitstensor und Reibungsspannungstensor:

a (OWO) -a(~)= wOO too 0

( Ow 0) (J:) = 2TJ wOO

000

13.5 Stramungsfeld zwischen den Platten vCr) = (Rt/r .i)vle.i. BemoullischeGleichung fur den Raum zwischen den Platten PL - p(r.i) = ()L(v2(r.i) - v~)/2.

Betrag der Kraft auf die untere Platte F = (()L/2) J~2 21r(v2(r.i) - vDr .idr.i =

(()L/2)7rRI [(Rt/R2f + In(R2/Rlf -1] vI> Mg.

13.6 Mit Vkrit = ..j2po/g und Po = PL = lOOOhPa = 105 kgm-1 s-2, g = l000kgm-3 folgt Vkrit = 14,1 ms-l .

13.7 (a) Die DurchfluBmenge ist gegeben durch 1= 7rR4(pO - pd/(STJL), daraus erhalt man die Druckdifferenzpo - PL = STJLI/7rR4 = 31,44Pa. (b) Die Maximalgeschwindigkeit liegt bei r = 0 vor: Vrnax = (Po - pdR2/(4TJL) = 0,71 ms- i .

13.8 (a) Skalierte Variablen: e/ L = es, R/ L = Rs, pol P = POs, pL/ P = PLs, P = gL2/T2, TJ/g = L2/(RReT). Damit gilt Is = TI/L3 = 7rR:(pos - PLs)RRe/(Ses), das Hagen-Poiseuillesche Gesetz laBt sich also durch die skalierten GraBen Rs, es,

POs, PLs und die Reynoldszahl RRe ausdriicken. (b) Mit r.i/ L = r.is erhalt man VIs = Tvt/ L = (Pos - PLs)RRe(R~ - r3.)/(4is ), das Geschwindigkeitsfeld llillt sich also auch durch die skalierten GraBen Rs, r .is, POs, PLs, is und die Reynoldszahl ausdriicken.

13.9 Unter den angegebenen Bedingungen erhalt man aus der Eulerschen Gleichung {l x v = - V P / (2g ). Multipliziert man diese Gleichung vektoriell mit (l, liefert der Entwicklungssatz (A.2.23) fur die Geschwindigkeit v = e3 x Vp/(2[lg). Der geostrophische Wind steht also immer senkrecht auf dem Druckgradienten, und zwar so, daB der Wind auf der Nordhalbkugel ein Tiefdruckgebiet gegen den Uhrzeigersinn umkreist.

AnhangA

A.l (a) a + 2b = 3el - 5e2 + lOe3; (b) lal = v'f4, Ibl = 6, it = (-el + 3e2 + 2e3)/v'f4, b = (el - 2e2 + 2e3)/3; (c) a· b = -6, cos <}: (a,b) = -1/v'f4, d. h. ~ (a, b) = 105,5°; (d) a· b = -1, b· it = -6/v'f4; (e) a x b = 20el + Se2 - 2e3, la x bl = 6Vl3; (f) <}: (c, eJ) = 6S,2°, <}: (c, e2) = 15S,2°, <}: (c, e3) = 90°. (g) Die zu c orthogonalen Einheitsvektoren a erfiillen die beiden Gleichungen a . c = 0 und lal = 1, die man z. B. benutzen kann, urn die letzten heiden Komponenten von ddurch

die erste auszudriicken. Man erhalt so a = dl (el + 2e2/5) ± VI - (1 + 4/25)dT e3.


(h) Zusiitzlich zu den Bedingungen aus (g) gilt hier d . e1 = d1 = 0, woraus d = ±e3 folgt. Da d· e3 > 0 gelten soU, ist d = e3. (i) e = ex d = -(5e1 + 2e2)/V29; (j) a = -17c/V29 + 2(1 - e/V29, b = 24c/V29 + 4(1 - 2e/V29; (k) a· b = -6, a x b = -2d - 4V2ge = 20e1 + 8e2 - 2e3, beide Ergebnisse stimmen also mit (c) bzw. (e) iiberein.

A.2 Legt man die Spitze des Dreiecks in den Ursprung und die beiden anderen Ecken in die Spitzen zweier Vektoren a und b (siehe Abb. 1), so erhiilt man ein gleichschenkliges Dreieck, faUs lal = Ibl. Die Basis ist dann gegeben durch e = a - b, fUr die Seitenhalbierende gilt s = b + e/2, woraus sich s = (a + b)/2 ergibt. Damit erhiilt man e . s = 0, q. e. d.

e

Abb. 1. Zur Losung von Aufgabe A.2

A.3 F = ../6/2.

A.4 Eine Ecke des ParaUelogramms liege im Ursprung, die zweite an der Spitze eines Vektors a, die dritte an der Spitze eines Vektors b. Die vierte Ecke liegt dann an der Spitze von d) = a + b. Der Vektor d) ist eine der Diagonalen, die zweite ist gegeben durch d2 = a-b. Man sieht nun leicht di + d~ = 2a2 + 2b2, womit die Behauptung bewiesen ist.

A.S Der Wiirfel habe die Kantenlange a, die Seiten seien parallel zu ex, ey, ez .

Dann sind zwei der Raumdiagonalen gegeben durch d) = a(ex + ey + ez ) und d2 = a( -ex + ey + ez )' Man erhiilt cos 1: (d), d2) = 1/3, d. h. 1: (d), d2) = 70,53°.

A.6 Legt man die Ecken des Dreiecks in den Ursprung bzw. an die Spitzen zweier Vektoren a, b, dann ist eine Seitenhalbierende durch das Geradenstiick h1 (A) =

A(a + b)/2, A E [0,1], gegeben, eine andere durch h2(A') = a + A'(b/2 - a), A' E [0,1]. Am Schnittpunkt beider Geradenstiicke gilt A = A' = 2/3, was die Behauptung beweist.

A.7 (a) dx/dt = rw(-sinwte) + coswte2) + ve3, d2x/dt2 = -rw2(coswte) + sinwt e2); (b) x x (dx/dt) = vr(sinwt - wt coswt)e) - vr(coswt + wt sin wt)e2 + r2we3, xx (d2x/dt2) = rw2vt(sin wt e1 -cos wt e2), (d/dt)(xx (dx/dt)) = (dx/dt) x (dx/dt) + x x (d2x/dt2) = x x (d2x/dt2), siehe oben.

A.S (a) e321 = -1, eiij = -eiij = 0; (b) 2::i el2iei23 = 0, weil in jedem Summanden ein eijk mit zwei gleichen Indizes auftritt, 2::i el2ieil2 = 1 (nur i = 3 triigt zur Summe bei), 2::i el2iei2! = -1. (c) An den Beispielen aus (b) erkennt man, daB 2::k eijkeklm

nurdann nicht verschwindet, wenn die Indexmenge {i, j} mit der Indexmenge {I, m}


iibereinstimmt und i =I j, l =I m gilt. 1st dies der Fall, so erhiilt man Lk CijkCklm = 1, wenn i = lund j = m gilt, andemfalls ergibt die Summe - 1. Genau dies liefert aueh bilbjm - bimb/j.

A.9 (a)Es gilt ax (bxc) = L CkijCmnjaibmcneb woraus mitHilfederBeziehung ijkmn

aus Aufgabe A.8e die Behauptung folgt, vgl. aueh Absehn. A.2.6. (b) Hier gilt (a x b) . (c x d) = L CkijCkmnaibjcmdn, was sieh wieder wie in (a) vereinfaehen

ijkmn liiBt.

AnhangB

B.t (a)

C2 8

':2 ) ( 12 19

-10 ) 4(~) = 4 0 2(4) - 3(B) = -1~ -15 19

16 4 -13 12

(,W~ 0 1 n 0 2

(b)

(4)(') ~ ( ,~ ) (e)

( 7 2 15)

(4)(C) = 8 9 -5 16 11 5

( 17 7 9) (~)(4) = 17 3 14

-2 2 1 (a 181 b) = ( -!

12

-~ -~) -6 -3

(d) (a)+(4)(b) = 45, (a)+(C)+(a) = -18.

B.2 det4 = 5, detB = 25, det~ = -76, det(a 181 b) = o. (Das letzte Ergebnis gilt fUr alle dyadisehen Produkte, denn die Zeilen bzw. Spalten der entspreehenden Matrizen sind jeweils Vielfaehe voneinander.)

B.3 Beide Behauptungen folgen unmittelbar aus (B.8.3).


B.4 Explizites Ausschreiben von (B.S.5) zeigt die Aquivalenz mit (B.S.3). Gleichung (B.S.6) sieht man folgendermaBen: Mit (B.S.5) erkennt man, daB beispielsweise Lk Ak2Atl die Determinante des Tensors ist, der aus 4 hervorgeht, wenn man den ersten Linksvektor durch den zweiten ersetzt, wenn also al = a2 gesetzt wird. Gleichung (B.S.7) zeigt dann, daB die Determinante dieses Tensors verschwindet. Bei allen anderen Kombinationen mit i -=1= j kann man ahnlich argumentieren.

B.5

(A)-I = (-1/3 2/3) = 2/3 -1/3

( -4/5

(B)-l = 6/5 -1/5

B.6

B.7

B.8

1(1+v'3 (~)=3 1

1- v'3

1- v'3 1 + v'3

1

(COS a 0 sin a )

= sin a sin (3 cos (3 - cos a sin (3 ) - sin a cos (3 sin (3 cos a cos (3

(

COS a sin a sin (3 (~) = (~(aey))(~((3ex)) = 0 cos (3

- sin a cos a sin (3

1/5 1/5

-1/5

7/5 ) -S/5

3/5

sinacos(3 ) - sin (3 .

cosacos(3

Die Diagonalelemente nehmen fUr a = 0, 7r /2, 7r usw. Extremwerte an.

B.9 Die Eigenwerte sind Al = 1, A2 = 2 und A3 = 3. Die zugehorigen, normierten Eigenvektoren lauten

Da die Spalten der Matrix (~) +, die (4) gemaB (D) = (/1:) (,4) (/1:) + auf Diagonalgestalt bringt, durch die Eigenvektoren gegeben sind, folgt

(JJ,)+=_1 -1 1 0 ( 1 1 0 )

- /2 00/2


Anhang C

e.l (a) V(a· r) = a, Vr = en V(1/r) = -r/r3, V In r = r/r2, V[(r x a) . b] = a x b; (b) V . a = 0, V . r = 3, V . (a x r) = 0, V . (ra) = a· er , V(r/r) = 2/r, V· (rV(I/r3)) = 3/r4; (c) V x r = 0, V x (r/r3) = 0, V x (b x r) = 2b.

e.2 (a) V . A = y(x - 1), V . B = y(2x + 2z3 - x2), V x A = (xz - 2z, -yz, x), VxB = (-x2z-3y2z2,2xyz,-x2); (b) V(A·B) = (-3x2y2(I+z2),2y(-x3(1+ z2) + z5), y2z ( -2x3 + 5z3)), V . (A x B) = -yz(2xz2 - y2 z3 - 3xy2z - 2x2).

C.3 Diese Beziehungen folgen am einfachsten in kartesischen Koordinaten; man muB jeweils die Produktregel der Differentiation anwenden. Zum Beweis von (d) startet man am besten mit dem Ausdruck auf der rechten Seite.

e.4 F = r cos cp el? - r cos '!9 sin cp e<p.

e.S fA V· da = -8(ab + ac + bC)/7r2 .

e.6 (a) Die Flache Fist die Mantelftache eines Kegels, dessen Spitze im Ursprung liegt und des sen Achse die x-Achse ist (siehe Abb. 2). (b) da = alex - V3(cosf3 ey + sinf3 ez )] da df3; (c) fA v·da = -V37rR3; (d) fc w·dr = -V37rR3; (e) rot w = v. Da auBerdem C = (F), ergibt sich die Gleichheit von (c) und (d) aus dem Stokesschen Satz.

e.7 (a) Die Flache Fist ein in positive z-Richtung geoffnetes Rotationsparaboloid, des sen Symmetrieachse die z-Achse ist, siehe Abb. 3. (b) da = (ez -

2ar ~e~)r ~ dr ~ dcp; (c) fF A . da = 7r(f3R4/4 - aR2); (d) fc B . dr = 7r(f3R4/4 -aR2); (e) rotB = A. AuBerdem gilt C = (F), so daB die Gleichheit von (c) und (d) wieder aus dem Stokesschen Satz folgt.

e.S (a) Es gilt B = Vb, dabei ist V der Volumeninhalt des von der Flache F umschlossenen Volumens. (b) B = 47rR3b/3.

z

y

----'~----r-- X

R

Abb.2. Zur Losung von Aufgabe C.6 Abb.3. Zur Losung von Aufgabe C.7

Sachverzeichnis

Abbildung, durch Tensoren, 436, 446 Ableitung, - des Ortsvektors, 1 - eines Vektors, 423 - - hOhere, 424 - partielle, 470 - Richtungs-, 473 - totale, 485 - zeitIiche, 2 Absorptivteil,214 Actio = reactio, 80 Addition - von Matrizen, 440 - zweier Tensoren, 434 - zweier Vektoren, 419 Ahnlichkeitsgesetz

der Fliissigkeitsstromungen, 402 Amplitude, 29,192,204,236,260,264 - komplexe, 191,205 f, 210 - - dimensionslose, 210 - stationlire, 204 Amplitudenmodulation, 219 Anfangsbedingungen, 3 Anharmonischer Oszillator, 267 Anharmonisches Kraftfeld, 234 Antikommutativitlit des

Vektorprodukts, 413 Antizyklisch, 421 Anziehungsbecken, 252 Aperiodischer Grenzfall, 199 AquipotentialfUiche, 52 Arbeit,42 - als Linienintegral, 43 - gegen eine Kraft, 43

Argand-Diagramm, 211 Assoziativitlit der Vektoraddition, 409 Attraktor, 254, 256 - chaotischer, 259 - seltsamer, 259 - stabiler, 259 Authlingung, kardanische, 171 Aufpunkt, 152 - k6rperfester, 149 Ausbreitungsgeschwindigkeit, 272 Auslenkung, - longitudinale, 271 - transversale, 274

Baersches Gesetz, 143 Bahn, - geschlossene, 63 - Impulsraum, 67 - Kreis-, 64 -offene,63 - Ortsraum, 67 - Planeten-, 61 Bahnform, Energieabhangigkeit, 63 Bahngleichung, 61, 373 Bahnkurve, 1,373 Balken, 341 Ballistisches Pendel, 96 Barometer, 386 Basiseinheit, 9 Basissystem, 458 - mitbewegtes, 6 - orthonormiertes, 225, 417, 453 - ortsfestes, 6 - Rotation, 133,453 Basistensor, 433, 439

546 Sachverzeichnis

Basisvektor, 416 Basiswechsel von Tensoren, 458 Bemoulli-Gleichung, 390 Beschleunigung, 2 - Azimutal-, 35 - Coriolis-, 137 - Erd-, 35, 38 - geradlinige, 131 - gleichmaBige, 4 - Zentrifugal-, 137 - Zentripetal-, 8, 35, 45, 102 Beschleunigungsvektor, 2 Beschreibung, - Eulersche, 373 - Lagrangesche, 372 Betrag, 515 Bewegung, - chaotische, 237 - eines kriiftefreien symmetrischen

Kreisels, 183 - gleichfOrmig geradlinige, 4 - gleichfOrmige auf Kreis, 6 - gleichmaBig beschleunigte, 4 - im Zentralfeld, 59 - Planeten-, 88 - - verschiedene Bezugssysteme, 124 - starrer K6rper im Schwerefeld, 106 - translatorische, 89 Bewegungsebene, - im zentralen Gravitationsfeld, 59 - Vorzugsrichtung in der, 61 Bewegungsgleichung, 26 - anharmonischer Oszillator mit

Reibung, 233 - beim Wurf mit Reibung, 39 - des Drehpendels, 105 - des erzwungenen gedampften

Duffing-Oszillators, 265 - des Federpendels, 31 - des gedampften Duffing-Oszillators,

233 - des mathematischen Pendels, 35 - des physikalischen Pendels, 108 - des starren K6rpers, 103, 167 - Eulersche, 350

- - der idealen Fliissigkeit, 382 - fUr Drehimpuls mit magnetischem

Moment, 184 - fUr kleine Auslenkungen, 189 - gekoppelte harmonische

Oszillatoren, 221 - harmonischer Oszillator, 189 - - mit erregender Kraft, 202 - - mit Reibung, 194 - im Gravitationsfeld, 60 - im Mehrk6rperproblem, 93 - im Zweik6rperproblem, 87 - lineare, 239 - Linearisierung, 249 - Navier-Stokes-, 400 - - skalierte, 401 - Newtonsche, 79 - - Galilei-Transformation, 124 - - im gleichf6rmig rotierenden

Bezugssystem, 138 - - im gleichmaBig beschleunigten

Bezugssystem, 131 - - Rotation, 123 - - Translation, 119 - nichtlineare, 249 - numerische L6sung, 92 Bezugssystem, - geradlinig beschleunigtes, 131 - gleichfOrmig rotierendes, 135 - Rotation, 121 - Translation, 117 Biegemoment, 345 Biegung, 341 - eines Quaders, 341 Bifurkation, 235, 263 Blindleistung, 209 Brahe, T., 64 Brechungsgesetz fUr elastische Wellen,

362 Brechungswinkel, 362 Breite, einer Glockenkurve, 277

Chaos, 259 - deterministisches, 259 - Fenster im, 263 Chaotische Bewegung, 237

Chaotischer Attraktor, 259 Charakteristische Gleichung, 195,

244f Chladnische Klangfiguren, 302 Coriolisbeschleunigung, 137 Corioliskraft, 135, 138 Corioliskraftdichte, 407 Cosinus hyperbolicus, 517 Coulomb,49 Coulombsches Gesetz, 49

D' Alembert-Gleichung, 272, 304 f - allgemeine Losung, 276 Dampfung, Grenzfall

verschwindender, 217 Dampfungsfaktor, 197 Dampfungskonstante, 194 Deformation, 312, 316 Deformationstensor, 316 Dehnung, 310 it, 323 - eindimensionale, 310 Dehnungsschwingung, 345 Determinante, 422, 442 - Jacobi-, 501 Deterministisches Chaos, 259 Deviator, 324, 332 - des Spannungstensors, 317 - des Verzerrungstensors, 317 Diagonalelemente des

Tragheitstensors, 161 Diagonalform des Tragheitstensors,

161 Dichte, 13 f - der auBeren Krafte, 380 - der inneren Krafte, 381 Differentialgleichung, 28 - homogene, 39 - inhomogene, 39 - nichtlineare, 238 Dilatation, 450 Dimension, 9 Dipol, magnetischer, 184 Direktionskonstante, 340 Direktionsmoment einer Feder, 105 Dispersivteil, 214 Distributivitat

Sachverzeichnis 547

- der Skalarprodukts, 411 - des Vektorprodukts, 413 Divergenz,478 - des Drucktensors, 381 - eines Tensors, 331 - in kartesischen Koordinaten, 478 - in Kugelkoordinaten, 480 - in Zylinderkoordinaten, 481 Doppelstemsystem, 98 Drehachse, momentane, 152 Drehimpuls, 58 - des starren Korpers, 102, 152, 161 - eines Systems

mehrerer Massenpunkte, 85 - im korperfesten System, 157 - unter Translationen, 120 Drehimpulsellipsoid, 180 Drehimpulserhaltungssatz, 84, 86, 165 Drehmoment, 58 - des starren Korpers, 103, 166 - eines Systems

mehrerer Massenpunkte, 85 Drehpendel, 105 f Drehtisch, 106 Drehung, - der Basisvektoren, 121 - der Erde, 141 - des Koordinatensystems, 121 - eines Vektors, 453 - infinitesimale, 457 - urn die momentane Drehachse, 152 Dreikorperproblem, 94 Druck, 317, 329 f, 399 - Einheit, 311, 380 - hydrostatischer, 383 - statischer, 391 - Stau-, 391 Drucktensor, 317, 330 - Divergenz, 381 Duffing, G., 234 Duffing-Oszillator, 234 - erregter, 236 - gedampfter, 235 Duffing-Potential, 234 Dyade, 434

548 Sachverzeichnis

- adjungierte, 437 Dyadisches Produkt, 434 Dynamik, 13,73 - nichtlineare, 238

Ebene Welle, 353 - harmonische, 353 - longitudinale, 353 - transversale, 355 Ebene, - invariable, 180 - schiefe, 69 Eigenfrequenz,192,205 Eigenschwingung, 292 - einer Saite, 294 - einer Membran, 300 Eigenvektor, 461 Eigenvektorgleichung, 461 Eigenwert, 245, 461 - entarteter, 463 Eingepragte Kraft, 131 Einheit,9 - SI, 9, 520 - - Vorsilbe, 520 Einheitennormal, 10 Einheitsmatrix,434 Einheitstensor, 434, 438 Einheitsvektor, 416 Einschwingvorgang, 206,215 Elastische Hysterese, 350 Elastischer StoB, - eindimensionaler, 81 - harter glatter Kugeln, 128 - im Laborsystem, 90 - im Refiexionssystem, 125 - im Schwerpunktsystem, 89 Elastizitat, 307 Elastizitatsmodul, 311 - Einheit, 311 Elektrische Feldstarke, 49 Ellipsengleichung, Fokaldarstellung,

62 Ellipsoid, 162 - Gleichung, 163 Energie,57 - Einheit, 57

- kinetische, 54 - - des starren Korpers, 168 - kinetische, Stromdichte, 394 - potentielle, 53 - Rotations-, 111, 168 - Translations-, 168 Energiebilanz der erzwungenen

Schwingung, 209 Energiedichte, 281, 304 ff - der idealen Fltissigkeit, 395 - kinetische, 282, 393 - potentielle, 282, 303 - - auBere, 394 - stromende, 395 Energieellipsoid, 180 Energieerhaltungssatz, 79 - fiir die nichtstationare Fltissigkeit,

395 - fiir konservative Kraftfelder, 55 - fiir kraftefreien Kreisel, 178 - fiir starren Korper, 168 Energiestromdichte, 281, 283, 304 ff - der idealen Fltissigkeit, 395 Entartung von Eigenwerten, 463 Entwicklungssatz, 414 Erdbeschleunigung, 35, 38 Erhaltung, - Drehimpuls, 84, 165 - Energie, 79,111,168 -Impuls,73 Erregerverlustleistung, 209 Erzwungene Schwingung, 201 - des Duffing-Oszillators, 233 - ohne Dampfung, 217 - Resonanz, 202 Euler-Koordinate,373 Eulersche - Beschreibung, 373 - Bewegungsgleichung, 350 - - der idealen Fltissigkeit, 382 - Formel, 517 - Gleichungen, 165, 167 Eulerscher Stab, 235 Eulersches Theorem, 151

Fahrradkreisel, 86,171,173,183 Fall, - freier, 36 - mit Reibung, 40 Federkonstante, 16 - Bestimrnung, 33 Federkraft, 17 Federpendel, 28, 194 - schreibendes, 31, 202, 221 Federwaage,13 Feigenbaum-Diagramrn, 261 Feld,468 - Kraft-, 44 - Potential-, 53 - skalares, 53, 468 - -Starke, 45 - - elektrische, 49 - Vektor-, 45, 470 Fenster im Chaos, 263 Festkorper, 307 Figurenachse, 181 Fixpunkt, 241 - asymptotisch stabiler, 244 - instabiler, 244 - Knoten, 245 - Sattel, 245 - stabiler, 244 - Stabilitat, 244 - Strudel, 245 - Wirbel, 245 Flachenelement, 430, 492 - der Kugeloberfiache, 495 - in Kugelkoordinaten, 496 Fliissigkeit, 309 - ideale, 382, 386 - - Energiesatz, 393 - - Eulersche Bewegungsgleichung,

382 - - Gesamtenergiedichte, 395 - - Gesamtenergiestromdichte, 395 - inkompressible, 377, 386 - - stationlire Stromung, 390 - nichtstationare, Energiesatz, 395 - rotierend im Schwerefeld, 386 - viskose, 396

Sachverzeichnis 549

- Viskositat, 398 - zlihe, 396 - Zlihigkeit, 398 Fliissigkeitselement, 372 Foucault-Pendel,141 Fourier-Koeffizienten, 298 Fourier-Summe, 296 Fourier-Zerlegung, 298 Freier Fall, 36 Freiheitsgrade des starren Korpers, 148 Frequenz, 29, 190, 192,279 - Eigen-, 205 - Larmor-, 185 - Resonanz-, 211 Funktion, - gerade der Zeit, 291 - komplexe, 516 - ungerade der Zeit, 292

Galilei-Transformationen, 123 Gas, 309 GauBsche Glockenkurve, 277 GauBscher Integralsatz, 506 Gedampfte Schwingung, 194 - aperiodischer GrenzfalI, 199 - Duffing-Oszillator, 235 - Kriechfall, 197 - Schwingfall, 196 Gekoppelte - OszilIatoren, 220 - -lineare Kette von, 270 - Schwingungen, 221 Gemischtes Produkt, 414 Geostationlirer Satellit, 71 Geostrophischer Wind, 407 Geradlinig beschleunigtes

Bezugssystem, 131 - Kraftmessung im, 132 Geradlinige gleichfOrmig Bewegung, 4 Gesamtenergiedichte der idealen

Fliissigkeit, 395 Gesamtenergiestromdichte der idealen

Fliissigkeit, 395 Geschlossene Bahnen, 63 Geschwindigkeit, - der Volumendilatation, 377

550 Sachverzeichnis

- erste kosmische, 71 - kritische, 392 - zweite kosmische, 71 Geschwindigkeitsfeld, 240, 373 Geschwindigkeitspotential,376 Geschwindigkeitsraum, 3 Geschwindigkeitsvektor, 1 - in der Phasenebene, 240 Gesetz, - Almlichkeits-

der Fliissigkeitsstromungen, 402 - Baersches, 143 - Coulombsches, 49 - drittes Newtonsches, 27 - erstes Newtonsches, 20 - Hagen-Poiseuillesches, 404 - Hookesches, 17 - -lokales, 312, 332 - Keplersches, erstes, zweites, drittes,

64 - lokales Hookesches, 332 - Newtonsches der Gravitation, 45 - Reftexions-, 361 - Stokessches der Reibung, 399,405 - Tdigheits-, 117 - zweites Newtonsches, 21, 26 Gewicht,17 GleichfOrmig rotierendes

Bezugssystem, 135 Gleichgewicht, 17 - im elastischen Korper, 331 Gleichgewichtsbedingung eines

elastischen Korpers, 332 Gleichgewichtszustand, 189 Gleichmiillig - beschleunigte Bewegung, 4 - rotierendes Bezugssystem,

Pendelbewegung im, 140 Gleichung, - Bemoulli-, 390 - charakteristische, 195,244 f - d' Alembert-, 272 - - in zwei Raumdimensionen, 300 - Navier-Stokes-, 400 - Schwingungs-, 201, 204

Gleichungen, Eulersche, 165 Gradient, 470, 474 Gravitationsfeld, - Bewegung im zentralen, 59 - Newtonsches, 468, 470 Gravitationsgesetz, Newtonsches, 45 Gravitationskonstante,47 - Bestimmung, 47 Gravitationskraft,47 Grenzfall, - aperiodischer, 199 - verschwindender Diimpfung, 217 Grenzgeschwindigkeit, 40 Grenzkurve, 215, 254 Grenzmenge, 255 f GrundgroBe, 9 Grundschwingung, 292, 298 Grundton, 298 Gruppengeschwindigkeit, 277

Hagen-Poiseuillesches Gesetz, 404 Harmonische, 292 - Welle, 277 - - Reftexion, 286 Harmonischer Oszillator,

eindimensionaler, 28, 56 Hauptachse - des Verzerrungstensors, 323 - eines Tensors, 458 Hauptachsentransformation, 461 Hauptdehnung, 323 Hauptdiagonale einer Matrix, 443 Hauptspannungsachse, 329 Haupttragheitsachse, 161 - kriiftefreie Rotation urn, 172 - Stabilitat der Rotation urn, 174 Hauptverzerrung, 323 Hauptverzerrungsachse, 323 Herpolhodie, 180 Hohlzylinder, - Drehbewegung, 111 - Tragheitsmoment, 104 Homogenes - Schwerefeld, 45 - Skalarfeld, 468 - Vektorfeld, 470

Homogenitat,314 - des Raumes, 120 Hookesches Gesetz, 17 - lokales, 312 Hydrodynamik, 372 Hydrodynamisches Paradoxon, 406 Hydrostatik, 383 Hydrostatischer Druck, 383 Hysterese, 263 - elastische, 350

Ideale Fliissigkeit, 382, 386 - Energiesatz, 393 - Eulersche Bewegungsgleichung, 382 - Gesamtenergiedichte, 395 - Gesamtenergiestromdichte, 395 Identische Abbildung, 438 Imaginare Einheit, 514 Imaginarteil, 514 Impuls,42 - des starren Korpers, 101 - eines Systems - - mehrerer Massenpunkte, 78 - - zweier Massenpunkte, 73 - im Schwerpunktsystem, 78 - Translationsinvarianz, 119 Impulsanderung,42 Impulserhaltungssatz, 42, 73 - fUr mehrere Massenpunkte, 77 Impulserhaltungssatzes, Nachweis, 74 Impulsraum, 66 Inelastische Verformung, 313 Inelastischer StoB, eindimensionaler,

84 Inertialsystem, 117 Infinitesimale - Dilatation, 450 - Rotation, 322, 457 - Verschiebung, 324 - Volumendilatation, 324 Inkompressible Fliissigkeit, 377, 386 - stationare Stromung, 390 Innere - Kraftdichte, 381 - Reibung einer Fliissigkeit, 396 Instabilitat, 254

Sachverzeichnis 551

- strukturelle, 254, 263 Integral, - Linien-, 43, 487 - - wegunabhangiges, 491, 504 - Oberflachen-, 492 - Volumen-, 499 Integralsatz, - von GauB, 506 - von Stokes, 502 Integrationskonstante, 30 Invariable Ebene, 180 Inverse einer Matrix, 444 Isotropie, 314

Jacobi-Determinante,501 Joule, 57

Kardanische Aufhangung, 171 Kartesisches Koordinatensystem, 416 Kavitation, 392, 407 Kegelschnitt,61 Kepler, J., 64 Keplersche Gesetze, 64 Kette mit - festem Ende, 284 - losem Ende, 284 - zwei losen Enden, 288 Kilogramm, 11 Kinematik, 1 Kinetische - Energie, 54 - - der Rotation des starren Korpers,

111, 168 - - des starren Korpers, 168 - - einer Schwingung, 192 - - Stromdichte, 394 - Energiedichte, 282, 393 Klangfarbe, 298 Klangfiguren, Chladnische, 302 Knoten, 245, 291 Knotenlinie, 300 Kofaktor, 443 Kommutativitat - der Vektoraddition, 409 - des Skalarprodukts, 411

552 Saehverzeiehnis

Kompatibilitiitsbedingungen des Verzerrungstensors, 346

Komplexe - Amplitude, 191,205 f, 210 - - dimensionslose, 210 - Fortsetzung, 516 - Funktion, 204, 516 - Konjugation, 514 f - Sehreibweise von Sehwingungen,

190 - Winkelfunktionen, 517 -Zahl,514 - - Argument, 515 - - graphisehe Darstellung, 515 - - Multiplikation, 515 - - Phase, 515 - - Polardarstellung, 515 Komponenten eines Vektors, 417 Kompressibilitat, 381 Konfigurationsraum, 222 Konjugiert komplexe Zahl, 514 Konservatives Kraftfeld, 50 Kontinuitiitsgleichung, 283, 304, 378 Koordinaten, - ebene Polar-, 428 - kartesisehe, 416 - Kugel-, 425 - niehtkartesisehe, 424 - sphansehe, 425 - Zylinder-, 427 Koordinatensystem, - kartesisehes, 416 - korperfestes, 150 - nichtkartesisehes, 424 - raurnfestes, 150 Korper, - elastiseher, 307 - starrer, 99,148 Korperfester Aufpunkt, 149 Korperfestes Koordinatensystem, 150,

158 - Eulersehe Gleichungen, 167 Kosinussatz, 412 Kosmisehe Gesehwindigkeit, 71 Kraft, 15

- als VektorgroBe, 15 - auBere, 74, 77, 201, 326, 379 - - Diehte, 380 - Coriolis-, 135, 138 - Coulomb-, 49 - der inneren Reibung einer

Fliissigkeit, 396 - eingepragte, 131 - Einheit, 26 - elektrostatisehe, 47 - erregende, 202, 236 -Feder-,17 - Gewichts-, 17 - Gravitations-, 47 -innere, 74, 77,326,379 - - Diehte, 381 - konservative, 50, 379 - Reibungs-, 19, 194,233 - rUektreibende, 194 - Sehein-, 132, 138 - Verformungs-, 18 - Zentrifugal-, 135, 138 - Zentripetal-, 101 f - Zwei-Teilchen-, 77 Kraftdiehte, 330 f - innere, 381 Kraftefreie Prazession, 183 Kraftefreier Kreisel, 172 - Bewegung, 183 - Drehimpulsellipsoid, 180 - Drehimpulserhaltungssatz, 178 - Energieellipsoid, 180 - Energieerhaltungssatz, 178 - Figurenaehse, 181 - Herpolhodie, 180 - invariable Ebene, 180 - Kugel-, 171 - Poinsotsehe Konstruktion, 180 - Polhodie, 180 - Prazession, 183 - Rotation urn - - beliebige Aehse, 178 - - Haupttragheitsaehse, 172 - symmetriseher, 180 Kraftfeld, 44, 470

- anharmonisches, 234 - des harmonischen Oszillators, 50 - konservatives, 50, 53 - zentrales, 50 Kreisbahn, 64 Kreisbewegung, gleichformige, 6 Kreisel, - Bewegung, 183 - Definition, 149 -Fahrrad-, 86,171,173,183 - Herpolhodie, 180 - kraftefreie Prazession, 183 - kraftefreier, 171 - Kugel-, 172 - Larmor-Prazession, 186 - Polhodie, 180 - symmetrischer, 180 - unter Einwirkung von Kraften, 184 Kreisfrequenz, 29, 192,279 Kriechfall, 197 Kristall, 308 Kritische Geschwindigkeit, 392 Kroneckersymbol, 417 Kriimmungsradius, 343 Kugel, - -Kreisel, 172 - Tragheitsellipsoid, 164 - Tragheitsmoment, 160 Kugelkoordinaten, 425 Kugelkreisel, kraftefreier, 171 Kugeltensor, 324, 447 Kundtsche Staubfiguren, 292 Kundtsches Rohr, 292

Laborsystem, 90 Lagrange-Koordinate,372 Lagrangesche Beschreibung, 372 Laminare Stromung, 397 Lange, Einheit, 9 Langsverzerrung, 316, 323 Laplace-Operator, 484 - in kartesischen Koordinaten, 484 - in Kugelkoordinaten, 484 - in Zylinderkoordinaten, 484 Larmor-Frequenz, 185 Larmor-Prazession, 186

Sachverzeichnis 553

Leistung, 57 f - Einheit, 57 Leistungsbilanz der erzwungenen

Schwingung, 209 Lennard-lones-Potential, 307 Lenzscher Vektor, 61 Levi-Civita-Tensor, 421, 439 Lineare - Bewegungsgleichung, 239 - Kette, 270 - Unabhangigkeit, 444 Linearisierung

einer Bewegungsgleichung, 249 Linearitat - des Skalarprodukts, 411 - des Vektorprodukts, 413 Linienelement, 487 Linienintegral, 487 - wegunabhangiges, 491,504 Linksvektor eines Tensors, 436 Ljapunov-Exponent, 247, 259 Lokaler - Spannungstensor, 326 - Verzerrungstensor, 320 Lokales Hookesches Gesetz, 312, 332 Longitudinalwelle, 270, 353, 357 -ebene,353 - Geschwindigkeit, 273 - in einer Materialplatte, 364 - Reflexion und Brechung, 359 - Wellengleichung, 272 Lorenz, E. N., 259 Losung, - allgemeine - - der Wellengleichung, 276 - - einer Differentialgleichung, 39, 204 - numerische von

Bewegungsgleichungen,92 - partikulare

einer Differentialgleichung, 40, 204 Luftkissenfahrbahn, ] 9 Luftreibung, 19

Magnetische Induktion, 184 Magnetischer Dipol, 184 Manometer, 386

554 Sachverzeichnis

- U-Rohr, 385 Masse, - Einheit, 14 - reduzierte, 88 - schwere, 13, 26 - - Messung der, 13 -tdige, 25 f Masseneinheit, 14 Massenpunkt, 1 Massenstromdichte, 378 MaBzahl,9 Mathematisches Pendel, 34 Matrix, 434 - Addition, 440 - Eigenwert, 245 - Einheits-, 434 - Muitiplikation, 441 - - mit einer Zahl, 440 - Transposition, 441 Matrixelement, - eines Tensors, 433 - Kofaktor, 443 Matrixinversion, 444 Matrizenrechnung, 440 Mehrkorperproblem, 92 Mehrteilchensystem,76 Meter, 10 Molekiil, - Ammoniak-, 187 - Wasser-, 159, 164 - zweiatomiges, 158, 163 Momentane Lage eines

Massenpunktes, 271 Multiplikation, - Matrix mit Zahl, 440 - Vektor mit Zahl, 419 - zweier Matrizen, 441

Nabla-Operator, 474, 486 - in kartesischen Koordinaten, 474 - in Kugelkoordinaten, 477 - in Zylinderkoordinaten, 478 Natiirliches Normal, 10 Navier-Stokes-Bewegungsgleichung,

400 - skalierte, 401

Nebendiagonale einer Matrix, 443 Neutrale -Faser, 343 - Schicht, 342 Newton, 57 Newton, I., 26 Newtonsches -Gesetz, - - drittes, 27 - - erstes, 20 - - zweites, 21, 26 - Gravitationsgesetz, 45, 47 Nichtinertialsystem, 117, 131 Nichtlineare - Bewegungsgleichung, 249 - Differentialgleichung, 238 - Dynamik, 238 Normale, auBere, 326, 495 Normalenrichtung, 326 Normalspannung, 315, 327 Norrnierung, von Vektoren, 417 Nullvektor, 409 Numerische Losung von

Bewegungsgleichungen, 92

Oberfiache, - einer Fliissigkeit, 309 - eines Mediums, 359 Oberfiachenintegral, 492 Oberschwingung, 292, 298 Oberton, 298 Orgelpfeife, gedackte, 295 Orthonormalitatsrelation, 297 Orthonormierte Basis, 417 Ortsvektor, 1,78,423 - in der Phasenebene, 240 - Zeitableitung, 1 Oszillator, - anharmonischer, 267 - Duffing-, 234 - erregter, 201 - harmonischer, 468, 470 Oszillatoren, gekoppelte, 220

Parameterdarstellung, 423 - einer Kurve, 487

Partielle Ableitung, 470 Pascal,380 Pendel. - ballistisches, 96 - Dreh-, 106 - Foucault-, 141 - im rotierenden Bezugssystem. 140 - mathematisches. 34 - physikalisches. 106 Periode,29,192,279 Phase. 515 Phasenebene, 192,240 Phasengeschwindigkeit, 280 Phasenraum, 192, 247 Phasenwinkel. 31 Physikalisches Pendel, 106 Planetenbewegung, 88 - Impulsraum, 66 - Ortsraum, 59 - verschiedene Bezugssysteme, 124 Poincare-Darstellung, 256 Poincare-Schnitt, 256 Poinsotsche Konstruktion, 180 Poissonzahl. 313 Polarkoordinaten. ebene. 428 Polhodie, 180 Potential, 51 - auBeres. 381 - des harmonischen Oszillators. 52 - des homogenen Schwerefeldes. 51 - des Newtonschen Gravitationsfeldes.

52 - Duffing-, 234 - -Feld, Gradient des, 53 - -Funktion. 491 - Geschwindigkeits-, 376 - Lennard-Jones. 307 Potentielle - Energie, 53 - Energiedichte, 282, 303 - - auBere. 394 Potenzreihe. 511 Prazession. 183 - Larmor-, 186 Produkt.

Sachverzeichnis 555

- dyadisches, 434 - gemischtes, 414 - Skalar-, 410. 420 - - zweier Basistensoren. 433 - - zweier Tensoren, 435 - Spat-. 414 - Tensor mit Vektor, 436 - tensorielles. 434 - Vektor-, 412 - von Matrizen. 441 - zweier Tensoren, 438 Punktquelle, 508 Pythagoras, Satz von, 420

Quader, - Biegung, 341 - Liingsverzerrung, 314 Quelldichte, 507 Quellfeld, 351 f Quellstiirke, 377, 508 Querkontraktion, 312

Randbedingungen,284 Raurnfestes Koordinatensystem. 150 Raumwinkel,496 - voller, 496 Raumwinkelelement, 496 Realteil,514 Rechtssystem.413 Rechtsvektor eines Tensors, 436 Reduzierte Masse, 88 Reflexion, - am festen Ende, 286 - am losen Ende, 284 - harmonischer Wellen, 286 - von Solitonen, 286 - von Wellen, 284 Reflexionsgesetz.361 Reflexionssystem, 126 Reibung, - innere einer Fliissigkeit, 396 - Spannungstensor

einer ziihen Fliissigkeit, 396 - Verminderung der. 19 Reibungsgesetz, Stokessches, 399, 405 Reibungskraft, 19. 194.233

556 Sachverzeichnis

Reibungsspannungstensor, 399 Reibungsverlustleistung, 209 Reibungswiderstand

in einer ziihen Fliissigkeit, 405 Relativkoordinate, 88 Resonanz,202,209,211 Resonanzfrequenz, 211 Resonanzkatastrophe, 219 Reynolds-Zahl,401 Richtungsableitung, 470, 473 - in Richtung des Einheitsvektors, 474 Richtungskosinus, 418, 455 Rotation, 452, 458, 481 - des Str6rnungsfeldes, 375 - infinitesirnale, 457 - in kartesischen Koordinaten, 481 - in Kugelkoordinaten, 482 - in Zylinderkoordinaten, 482 - kriiftefreie urn - - beliebige Achse, 178 - - Haupttriigheitsachse, 172 - Stabilitiit, 174 - urn ortsfeste Achse, 149 - urn ortsfesten Punkt, 149 Rotation von Bezugssysternen, 121 Rotation, zeitabhangige, 133 Rotationsenergie, 111, 168 f - Erhaltung der, 111 Rotationsgeschwindigkeitstensor, 375 Rotationstensor, 122, 133, 155, 338,

455, 457 f, 465 Ruhelage, 270 Rutherford-Streuformel, 129 Rutherford-Streuung, 129

Saite, 273, 275 Sarrus'sche Regel, 443 Sattel,245 Satz, - Integral-, --GauB,506 - - Stokes, 502 - Steinerscher, 109, 164 Schallwelle, stehende, 292 Scheinkraft, 132, 138 Scherspannung, 327

Scherung, 323, 333 f, 340 - eines Wiirfels, 335 Schiebung, 323 Schiefe Ebene, 69 Schrnelzpunkt, 309 Schrnetterlingseffekt, 259 Schraubenfeder, 13 Schubrnodul, 318 Schubspannung,315,327 Schubverzerrung, 323 Schwebung, 217 f, 228 Schwere Masse, 13, 26 - Messung der, 13 Schwerefeld, hornogenes, 45 Schwerpunkt, 73, 75 Schwerpunktkoordinate, 87 Schwerpunktsystern, 76, 78, 89 Schwingfall, 196 Schwingung, 29,189 - Argand-Diagramm, 211 - Dehnungs-, 345 - Eigen-, 292, 300 - einer Mernbran, 299 - Einschwingvorgang, 206, 215 - erzwungene, 201 - - des Duffing-Oszillators, 233 - - Resonanz, 202 - - verschwindende Diirnpfung, 217 - gediirnpfte, 194 - - aperiodischer Grenzfall, 199 - - Duffing-Oszillator, 235 - - Kriechfall, 197 - - Schwingfall, 196 - gekoppelte, 221 - Grund-, 292, 298 - Ober-, 292, 298 - stationiire, 206 - Torsions-, 346 - ungediirnpfte, 190 - Unitaritiitsrelation, 210 Schwingungsdauer, - des Drehpendels, 105 - des Federpendels, 29 Schwingungsgleichung, 35, 189,201 - L6sung, 204

Sekunde, 10 Selbstahnlichkeit, 263 Seltsamer Attraktor, 259 Separatrix, 252 SI,9 Siedepunkt, 309 SI-Einheit, 520 - Vorsilbe, 520 Sinus hyperbolicus, 517 Skalarfeld, 53, 468 - homo genes, 468 - lineares, 468 - zentrales, 468 Skalarprodukt, - von Basistensoren, 433 - von Vektoren, 410, 420, 442 - zweier Tensoren, 435 Soliton, 277 Spaltenvektor, 419 Spannung,275 - mittlere, 317 - Normal-, 315 - Schub-, 315 - Tangential-, 315 Spannungstensor, 314, 316, 327, 398 - der Reibung, 399 - - einer zahen Fliissigkeit, 396 - Deviator, 317 - fiir zahe kompressible Fliissigkeiten,

399 -lokaler, 326 - Symmetrie, 329 - von Wellen, 357 Spannungsvektor, 327 Spatprodukt, 414 Spontane Symmetriebrechung, 235 Spur eines Tensors, 435 Stabiler Attraktor, 259 Stabilitat, 177, 248 f - des Fixpunktes, 244 StandardlOsung, 361 Starrer Korper, 99 - mit beweglicher Achse, 148 - - Bewegungsgleichungen, 165 - - Drehimpuls, 152 ff

Sachverzeichnis 557

- - Drehimpulserhaltung, 165 - - Energieerhaltung, 168 - - Freiheitsgrade, 148 - - Rotationsenergie, 168 - - Tragheitsellipsoid, 162 - - Tragheitsmoment, 152, 154 - - Tragheitstensor, 154 - - Translationsenergie, 168 - mit fester Achse, 99 - - Bewegungsgleichung, 102 - - Drehimpuls, 102, 161 - - Drehimpulserhaltung, 111 - - Energieerhaltung, 111 - - Impuls, 101 - - Rotationsenergie, 111 - - Tragheitsmoment, 102, 161 Stationare - Schwingung, 206 - Stromung, 390 - - einer inkompressiblen Fliissigkeit,

390 Staudruck,391 Stehende Welle, 288 Steinerscher Satz, 110 - fUr Tragheitstensoren, 164 - Nachweis, 110 Stokesscher Integralsatz, 502 Stokessches Reibungsgesetz, 399, 405 StoB, - elastischer, - - eindimensionaler, 81 - - harter glatter Kugeln, 128 - - im Laborsystem, 90 - - im Refiexionssystem, 125 - - im Schwerpunktsystem, 89 - inelastischer, eindimensionaler, 84 - zentraler, 92 StoBparameter, 128 Stroboskopische Aufnahme, 20 Stromdichte, 507 - der kinetischen Energie, 394 - Massen-, 378 Stromung durch Rohren, 402 Stromung, - laminare, 397

558 Sachverzeichnis

- nichtstationare der idealen Fliissigkeit, 393

- stationare, 390 - - einer inkompressiblen Fliissigkeit,

390 - turbulente, 397 Stromungsfeld, 373 - Rotation, 375 - zentrales, 377 Strudel, 245 Strukturelle Instabilitat, 254, 263 Superposition, 195,205 - von Bewegungen, 5 f, 8, 29 Superpositionsprinzip, 280 Symmetrieachsen, 161 Symmetriebrechung, spontane, 235 Symmetrischer Kreisel, 180 System, - geradlinig beschleunigtes, 131 - gleichformig rotierendes, 135 - mehrerer Massenpunkte, 76 - Rotation, 121 - Translation, 117 - zweier Massenpunkte, 73

Tangentialebene, 473 Tangentialspannung, 315 Taylor-Reihe, 511 Tensor, 327, 433 - Abbildung durch, 436 - adjungierter, 437 - allgemeiner, 446 - antisymmetrischer, 438, 451 - - infinitesimaler, 458 - Basis-, 433 - Basiswechsel, 458 - Deformations-, 316 - Determinante, 442 - diagonaler, 448 - Divergenz, 331 - dritter Stufe, 439 - Druck-, 317, 330 - Einheits-, 434 - Hauptachsen, 458 - Kugel-, 324, 447 - Levi-Civita-, 421, 439

- Linksvektor, 436 - Matrix, 433 - orthogonaler, 454 - Produkt, 439 - - mit Tensor, 438 - - mit Vektor, 436 - - mit Zahl, 435 - Rechtsvektor, 436 - Reibungsspannungs-, 399 - Rotationsgeschwindigkeits-, 375 - singularer, 444, 451 - Skalarprodukt, 435 -Spannungs-, 314, 316, 327, 357, 398 - Spur, 435 -Summe, 434 - symmetrischer, 437, 451 - Verschiebungs-, 320 - Verschiebungsgeschwindigkeits-,

374 - Verzerrungs-, 314, 316, 323, 357 - Verzerrungsgeschwindigkeits-, 375 Tensorielles Produkt, 434 Theorem, Eulersches, 151 Torricelli. E., 385 Torricellisches Vakuum, 386 Torsion, 337 - eines Zylinders, 337 Torsionsdrehwaage,47 Torsionsschwingung, 346 Torsionswelle, 347 - stehende, 347 Totale Zeitableitung, 485 Trage Masse, 25 f Tragerwelle, 219 Tragheitsellipsoid, 162 - der Kugel, 164 - des Wassermolekiils, 164 - des zweiatomigen Molekiils, 163 Tragheitsgesetz, 117 Tragheitsmoment, 152, 161 - bei beweglicher Achse, 154 - beziiglich einer Achse, 103, 162 - Darstellung - - im korperfesten System, 156 - - im raumfesten System, 156

- - in beliebigem System, 156 - der Kugel, 160 - des Hohlzylinders, 104 - des Wassermolekiils, 159 - des zweiatomigen Molekiils, 158 - des Zylinders, 104 - Diagonalelemente, 161 - Diagonalform, 161 - in Integraldarstellung, 159 - Messung mit dem Drehpendel, 105 - urn zwei parallele Achsen, 109, 165 - Zeitabhangigkeit, 154 Tragheitstensor, 154 - der Kugel, 159 - des Ammoniakmolekiils, 187 - des Wassermolekiils, 159 - des zweiatomigen Molekiils, 158 - Diagonalelemente, 161 - Diagonalform, 161 - Hauptachsen, 161 Trajektorie, 370 Transformation, aktive und passive,

119 Transformationen, Galilei-, 123 Translation, 152 - eines Bezugssystems, 117 Translationsenergie, 168 f Translationsinvarianz, - des Impulses, 119 - einer Funktion, 118 - - mehrerer Variablen, 118 - einer Kraft, 119, 124 - einer physikalischen GroBe, 120 - eines Potentials, 120 Translatorische Bewegung, 89 Transversalwelle, 273, 355, 357 - ebene harmonische, 355 - Geschwindigkeit, 300 - in einer Materialplatte, 364 - Reftexion und Brechung, 359 - Wellengleichung, 275 Turbulente Stromung, 397 Turbulenz, 405

Ungediimpfte Schwingung, 190 Unitaritatsrelation, 210

Sachverzeichnis 559

U-Rohr Manometer, 385

Vakuum, Torricellisches, 386 Vektor, 408 - Ableitung, 423 - Addition, 409, 419 - -Algebra, 409, 416 - -Analysis, 468 - Betrag, 408 - Differentiation, 422 - Drehung, 121,452 f - Eigen-, 461 - Einheits-, 416 - Entwicklungssatz, 414 - Funktion, 422 - Gleichheit, 408 - Komponenten, 417 - Lenzscher, 61 -lineare Unabhangigkeit, 444 - Links-, 436 - Multiplikation mit Zahl, 409, 419 -Null-, 409 - Orthogonalitat, 416 - Orts-, 1, 423 - -Produkt, 412, 421 - - Tensorschreibweise, 439 - Projektion, 418 - Quadrat, 412 - Rechts-, 436 - Skalarprodukt, 410, 420, 442 - Spalten-, 419 - Spannungs-, 327 - Spatprodukt, 414 - Subtraktion, 410 - Transposition, 442 - Wellen-, 354 - Zeilen-, 441 - zeitabhangige Drehung, 135 - Zeitableitung, 1, 135 Vektorfeld, 45, 468, 470 - homogenes, 470 -lineares, 470 - Potentialfunktion, 491 - zentrales, 470 Verbiegung, eines Wiirfels, 336 Verdrillung, 337

560 Sachverzeichnis

Verforrnung, - elastische, 307 - inelastische, 313 Verforrnungskraft, 18 Verschiebung, 311, 316 Verschiebungsfeld, 320 Verschiebungsgeschwindigkeitstensor,

374 Verschiebungstensor, 320 Verzerrung,275,312,316 Verzerrungsgeschwindigkeitstensor,

375 Verzerrungstensor, 314, 316, 323 - Deviator, 317 - Hauptachse, 323 - Kompatibilitatsbedingungen, 346 -loka1er, 320 - von Wellen, 357 Verzweigung, 235 Virialsatz, 192 Viskositat einer Fliissigkeit, 398 - Einheit, 398 Viskositat, Volumen-, 399 Volle Breite bei halber H6he, 213 Vollzylinder, - Drehbewegung, 111 - Tragheitsmoment, 104 Volt, 49 Volumendilatation, 448, 450 - Geschwindigkeit der, 377 - infinitesimale, 324 Volumenelement, 499 - in Kugelkoordinaten, 426,501 - in Zylinderkoordinaten, 428 Volumenintegral, 499 Volumenmodul, 318 Volumenviskositat, 399 Vorsilben zu SI-Einheiten, 520

Wasserrnolekiil,159 - Tragheitsellipsoid, 164 - Tragheitsmoment, 159 Watt, 57 f Wattsekunde, 57 Weg,487 Wegelement, 487

Welle, -ebene, 353 - - harrnonische, 353 - - longitudinale, 353 - - transversale, 355 - harrnonische, 277 - im elastischen Medium, 349 - Kugel-, - - longitudinale, 367 - - transversale, 369 - laufende, einer eingespannten Saite,

296 -longitudinale, 270, 353, 357 - - in einer Materialplatte, 364 - - Reflexion und Brechung, 359 - mechanische, 270 - stehende, 288,291 - - der Torsion, 347 - - des Schalls, 292 - Torsions-, 347 - Trager-, 219 - transversale, 273, 355, 357 - - in einer Materialplatte, 364 - - Reflexion und Brechung, 359 Wellengleichung, 272, 275 - allgemeine Li:isung, 276 Wellenlange, 279 Wellenvektor, 354 Wellenzahl, 279 Winkelfunktionen, 516 - hyperbolische, 517 - komplexe, 517 Winkelgeschwindigkeit, 7 - Vektor, 100, 134 Wirbel,245 Wirbelfeld, 351, 355 - axiales, 470 Wirbelstarke,376 Wirkung, 57 f - Einheit, 57 f Wurf,36 - einer Hantel, 76 - mit Reibung, 38 - -Parabel, 36, 38 - senkrechter, 55

Wiirfel, - Scherung, 335 - Verbiegung, 336

Ziihe Fliissigkeit, 396 - Reibungswiderstand, 405 Ziihigkeit einer Fliissigkeit, 398 Zahl, - der Freiheitsgrade, 148 - komplexe, 514 - - Betrag, 515 - - konjugiert, 514 - - Multiplikation, 515 - - Phase, 515 - - Polardarstellung, 515 Zeilenvektor, 441 Zeit, Einheit, 9 Zeitabhangigkeit, - des Tragheitstensors, 154 - explizite, 241, 485 - implizite, 240, 485 Zeitableitung, - des Ortsvektors, 1

Sachverzeichnis 561

- eines Vektors, 151,423 - totale, 485 Zentrales Stromungsfeld, 377 Zentralfeld, 50, 59 Zentrifugalbeschleunigung, 137 Zentrifugalkraft, 138 - Nachweis der, 138 Zentripetalbeschleunigung, 8, 35 - des Mondes, 45 - des starren Korpers, 102 Zentripetalkraft,101f Ziegelwandsystem, 127 Zug,329 Zugspannung,311,327 Zweiatomiges Molekiil, - Tragheitsellipsoid, 163 - Tragheitsmoment, 158 Zweikorperproblem, 87 Zweiteilchenkraft, 77 Zyklisch,421 Zyklische Vertauschung, 414 Zylinder, Torsion, 337 Zylinderkoordinaten, 427

A. Vektoren - Springer978-3-662-08591-2/1.pdf · Bin Vektor wird mit einer Zahl e > 0...

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