M LK HT 3 Seite 1 von 2

Name: _______________________

Nur für den Dienstgebrauch!

Abiturprüfung 2010

Mathematik, Leistungskurs

Aufgabenstellung:

Durch 1

2 2( ) 1x

tf x t x e

, x IR ,

t IR , ist eine Schar von Funk-

tionen tf gegeben. In der Abbildung

sind beispielhaft einige Graphen

dargestellt.

a) (1) Geben Sie an, welchen Verlauf der Graph von tf für den Fall 0t hat.

In allen folgenden Teilaufgaben sei 0t .

(2) Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen von tf mit den Koordinatenachsen.

(3) Bestimmen Sie für 0t Lage und Art der lokalen Extremstellen von tf .

(4) Zeigen Sie, dass nur die Stellen 1 und 7 Wendestellen von tf sein können.

[Zur Kontrolle: 1

2 21 12

2 2

x

tf x t x x e

,

12 21 7

24 4

x

tf x t x x e

]

(18 Punkte)

Abbildung

1f

2f

4f

1f

x

y

M LK HT 3 Seite 2 von 2

Name: _______________________

Nur für den Dienstgebrauch!

b) (1) Skizzieren Sie in der Abbildung auf Seite 1 den Graphen von 2f .

(2) Vergleichen Sie für 0t den Verlauf der Graphen von tf und tf . (7 Punkte)

c) (1) Bestimmen Sie eine Gleichung einer Stammfunktion tF von tf .

[Zur Kontrolle: 1

2 22 8 14x

tF x t x x e

]

(2) Bestimmen Sie den Grenzwert 1

1

lim ( )dc

cf x x

und beschreiben Sie die geometrische

Bedeutung dieses Ausdrucks (vgl. Abbildung).

(3) Bestimmen Sie den Wert von t, 0t , für den das vom Graphen von tf und der x-Achse im 3. und 4. Quadranten eingeschlossene Flächenstück den Flächeninhalt 8 FE hat. (21 Punkte)

d) Der Graph von tf werde sowohl in Richtung der x-Achse als auch in Richtung der

y-Achse jeweils um 1 verschoben.

Bestimmen Sie eine Gleichung der Funktion *tf , die zu dem so verschobenen Graphen

gehört. (4 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel:

Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Muttersprachliches Wörterbuch für Studierende, deren Muttersprache nicht Deutsch ist