Abituraufgabe 2008

Geometrie

Abitur 2008 - Geo

Aufgabe 1Aufgabe 1

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR³ die Punkte A (1/2/3), B(5/0/-1) und D(-1/6/-1) sowie (1-t/8/t) mit t IR\{9} als Parameter.

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR³ die Punkte A (1/2/3), B(5/0/-1) und D(-1/6/-1) sowie (1-t/8/t) mit t IR\{9} als Parameter.tS

a) Zeigen Sie, dass die Punkte A, B und D eine Ebene E bestimmen, und ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform. a) Zeigen Sie, dass die Punkte A, B und D eine Ebene E bestimmen, und ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform.

4

2

4

AB

4

4

2

AD

1

2

2

12

24

24

ADAB

1

2

2

En

0

1

2

2

3

2

1

:

xENF 0922: 321 xxxEHNF

Die Punkte A, B und D bestimmen eine Ebene, da die Richtungsvektoren AB und AD voneinander linear unabhängig sind.

Die Punkte A, B und D bestimmen eine Ebene, da die Richtungsvektoren AB und AD voneinander linear unabhängig sind.

Abitur 2008 - Geo

b) Weisen Sie nach, dass sich die Punkte A, B und D durch einen vierten Punkt C zu Einem Quadrat ABCD ergänzen lassen, und berechnen Sie den Diagonalenschnitt-punkt M dieses Quadrats.

b) Weisen Sie nach, dass sich die Punkte A, B und D durch einen vierten Punkt C zu Einem Quadrat ABCD ergänzen lassen, und berechnen Sie den Diagonalenschnitt-punkt M dieses Quadrats.

A B

CD

.

4

2

4

AB

4

4

2

AD

6

4

2

4

AB 6

4

4

2

AD

1. Bedingung: 1. Bedingung:

ADAB

2. Bedingung: 90° Winkel bei α2. Bedingung: 90° Winkel bei α

0...cos

ADAB

ADAB α=90°

Durch einen vierten Punkt C, lässt sich ein Quadrat ABCD aufspannen. Durch einen vierten Punkt C, lässt sich ein Quadrat ABCD aufspannen.

C (3/4/-5)

Abitur 2008 - Geo

c) Für welchen Wert von t ist die Entfernung von St zu M minimal?c) Für welchen Wert von t ist die Entfernung von St zu M minimal?

ExtremwertaufgabeExtremwertaufgabe

t

t

MSt1

5

1

)²1(25)1( 2 ttMSt

1. Aufstellen von Verbindungsvektor StM2. Länge von StM3. Minima der Gleichung, die unter der Wurzel steht ist der Wert für t, bei dem der Abstand StM am kleinsten ist

44)(' ttf

274²2)( tttf

10)(' ttf

104)('' ttf ist Minima

Bei t= -1 ist der Abstand zwischen St und M am kleinsten.Bei t= -1 ist der Abstand zwischen St und M am kleinsten.

Abitur 2008 - Geo

Aufgabe 2Aufgabe 2

Das Quadrat ABCD als Begrenzungsfläche und die Strecke [DSt] als Seitenkantebestimmen ein Parallelflach.Das Quadrat ABCD als Begrenzungsfläche und die Strecke [DSt] als Seitenkantebestimmen ein Parallelflach.

a) Berechnen Sie alle Werte von t, für die das Parallelflach den Rauminhalt V=144 hat. a) Berechnen Sie alle Werte von t, für die das Parallelflach den Rauminhalt V=144 hat.

A B

CD

St

tDSADABV

3

14412

14412188

...

t

t

t

21

25212

14412108

...

t

t

t

Für t=-3 und t=-21 beträgt das Volumen des Parallelflachs 144.Für t=-3 und t=-21 beträgt das Volumen des Parallelflachs 144.

Abitur 2008 - Geo

b) Bestimmen Sie t so, dass das Parallelfach ein Quader ist.b) Bestimmen Sie t so, dass das Parallelfach ein Quader ist.

A B

CD

St

Zz: Zz: DCDSt

0

4

2

4

1

2

2

t

t

0

...

t

Für t=0 wird das Parallelflach so aufgespannt, sodass ein Quader entsteht.Für t=0 wird das Parallelflach so aufgespannt, sodass ein Quader entsteht.

.

In Teilaufgabe 1.b) wurde schon bewiesen, dass ABCD ein Quadrat aufspannen.In Teilaufgabe 1.b) wurde schon bewiesen, dass ABCD ein Quadrat aufspannen.

Abitur 2008 - Geo

Nun sei t=1. Die durch die Punkte A, D und S1 festgelegte Seitenfläche des Parallelflachs liegt in der Ebene F: 2x1-x3+1=0.Nun sei t=1. Die durch die Punkte A, D und S1 festgelegte Seitenfläche des Parallelflachs liegt in der Ebene F: 2x1-x3+1=0.

0922: 321 xxxE

c) Im Punkt T(1/5/3) dieser Seitenfläche wird ein Lot errichtet. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes U, in dem das Lot die Ebene E schneidet und zeigen Sie, dass U nicht im Innern des Quadrats ABCD liegt.

c) Im Punkt T(1/5/3) dieser Seitenfläche wird ein Lot errichtet. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes U, in dem das Lot die Ebene E schneidet und zeigen Sie, dass U nicht im Innern des Quadrats ABCD liegt.

ElU 1. Lot l errichten, mit Fußpunkt T; Normalenvektor von F als Richtungsvektor2. Lotgerade in E einsetzen, um U zu erhalten

1

0

2

3

5

1

: sxl

Fn

l in E:

2

...

09)3()5(2)21(2

s

ss

)5/5/3(U

Lot schneidet Ebene E im Punkt U(-3/5/5).Lot schneidet Ebene E im Punkt U(-3/5/5).

Zz: Punkt U liegt nicht im Quadrat ABCD

ADtABrau

6

5;3

1

...

4

4

2

4

2

4

3

2

1

5

5

3

st

tr

U liegt außerhalb des Quadrats.

U liegt außerhalb des Quadrats.

Abitur 2008 - Geo

d) Ermitteln Sie den Schnittwinkel der Ebenen E und F.d) Ermitteln Sie den Schnittwinkel der Ebenen E und F.

FE

FE

nn

nn

cos

4,63

...

Die zwei Ebenen E und F schneiden sich im Winkel von 63,4° .Die zwei Ebenen E und F schneiden sich im Winkel von 63,4° .

Abitur 2008 - Geo

K sei die Kugel, die den Punkt M aus Teilaufgabe 1b als Mittelpunkt und den Radios r=3 hat. Sie wird durch eine zentrische Streckung mit A als Zentrum und dem Streckungsfaktor -2 auf die Kugel K‘ abgebildet. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M‘ von K‘ sowie den maximalen Abstand, den zwei Punkte P und P‘ haben können, wenn P auf K und P‘ auf K‘ liegt.

K sei die Kugel, die den Punkt M aus Teilaufgabe 1b als Mittelpunkt und den Radios r=3 hat. Sie wird durch eine zentrische Streckung mit A als Zentrum und dem Streckungsfaktor -2 auf die Kugel K‘ abgebildet. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M‘ von K‘ sowie den maximalen Abstand, den zwei Punkte P und P‘ haben können, wenn P auf K und P‘ auf K‘ liegt.

Abitur 2008 - Geo

Zentrische Streckung

3' ZCZC

)5,0(' ZCZB

Abitur 2008 - Geo

A B

cD

K

.

.

M

M‘

K‘

MA

K sei die Kugel, die den Punkt M aus Teilaufgabe 1b als Mittelpunkt und den

Radios r=3 hat. Sie wird durch eine zentrische Streckung mit A als Zentrum und dem Streckungsfaktor -2 auf die Kugel K‘ abgebildet. Ermitteln Sie die

Koordinaten des Mittelpunkts M‘ von K‘ sowie den maximalen Abstand, den zwei

Punkte P und P‘ haben können, wenn P auf K und P‘ auf K‘ liegt.

K sei die Kugel, die den Punkt M aus Teilaufgabe 1b als Mittelpunkt und den

Radios r=3 hat. Sie wird durch eine zentrische Streckung mit A als Zentrum und dem Streckungsfaktor -2 auf die Kugel K‘ abgebildet. Ermitteln Sie die

Koordinaten des Mittelpunkts M‘ von K‘ sowie den maximalen Abstand, den zwei

Punkte P und P‘ haben können, wenn P auf K und P‘ auf K‘ liegt.

Abitur 2008 - Geo

K sei die Kugel, die den Punkt M aus Teilaufgabe 1b als Mittelpunkt und den Radios r=3 hat. Sie wird durch eine zentrische Streckung mit A als Zentrum und dem Streckungsfaktor -2 auf die Kugel K‘ abgebildet. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M‘ von K‘ sowie den maximalen Abstand, den zwei Punkte P und P‘ haben können, wenn P auf K und P‘ auf K‘ liegt.

K sei die Kugel, die den Punkt M aus Teilaufgabe 1b als Mittelpunkt und den Radios r=3 hat. Sie wird durch eine zentrische Streckung mit A als Zentrum und dem Streckungsfaktor -2 auf die Kugel K‘ abgebildet. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M‘ von K‘ sowie den maximalen Abstand, den zwei Punkte P und P‘ haben können, wenn P auf K und P‘ auf K‘ liegt.

M(2/3/-1) Streckungszentrum: A

MAaAM 2'

4

1

1

MA

11

0

1

8

2

2

3

2

1

'AM

A(1/2/3)

Der Mittelpunkt von K‘ liegt bei M‘(-1/0/11).Der Mittelpunkt von K‘ liegt bei M‘(-1/0/11).

A

.

.

.

Abitur 2008 - Geo

A B

cD

K

.

.

M

M‘

K‘

P

P‘ .

.

MA

1. Länge von MM‘2. Radius von K und K‘ aufsummieren

Abitur 2008 - Geo

K sei die Kugel, die den Punkt M aus Teilaufgabe 1b als Mittelpunkt und den Radios r=3 hat. Sie wird durch eine zentrische Streckung mit A als Zentrum und dem Streckungsfaktor -2 auf die Kugel K‘ abgebildet. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M‘ von K‘ sowie den maximalen Abstand, den zwei Punkte P und P‘ haben können, wenn P auf K und P‘ auf K‘ liegt.

K sei die Kugel, die den Punkt M aus Teilaufgabe 1b als Mittelpunkt und den Radios r=3 hat. Sie wird durch eine zentrische Streckung mit A als Zentrum und dem Streckungsfaktor -2 auf die Kugel K‘ abgebildet. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M‘ von K‘ sowie den maximalen Abstand, den zwei Punkte P und P‘ haben können, wenn P auf K und P‘ auf K‘ liegt.

M(2/3/-1) Streckungszentrum: A

MAaAM 2'

4

1

1

MA

11

0

1

8

2

2

3

2

1

'AM

A(1/2/3)

Der Mittelpunkt von K‘ liegt bei M‘(-1/-0/11).Der Mittelpunkt von K‘ liegt bei M‘(-1/-0/11).

r = 3r‘ = 6

12

3

3

'MM

Abstand zwischen den Mittelpunkten Bestimmen:

2914499

12

3

3

'

MM

Abstand zwischen P und P‘ bestimmen:

1293629''' rrMMPP