Abiturprüfung Mathematik 2007 (Baden-Württemberg) Berufliche...

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Abiturprüfung Mathematik 2007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG – Analysis, Aufgabe 1

1.1 (8 Punkte) Das Schaubild einer Polynomfunktion 4. Grades geht durch den Punkt S(0/2) und hat den

Wendepunkt )1231/1(W . Die Normale im Punkt )

45/3(P hat die Steigung

51 .

Bestimmen Sie den Funktionsterm 1.2 Für t > 0 ist die Funktion tf gegeben durch

2xx2tx

121)x(f 2

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t ; x R.

Das Schaubild von tf heißt tK . 1.2.1 (9 Punkte) Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte von 1K . Zeigen Sie: Die Tangente an 1K im Schnittpunkt mit der y-Achse ist parallel zu der Geraden durch die Wendepunkte. Zeichnen Sie 1K . 1.2.2 (7 Punkte) Die Gerade mit der Gleichung 2xy schließt mit 1K zwei Flächenstücke ein. Berechnen Sie den exakten Inhalt eines der beiden Flächenstücke. 1.2.3 (7 Punkte) Bestimmen Sie die Ortskurve der Wendepunkte von tK , die links von der y-Achse liegen. 1.3

Für 2

a0 ist die Funktion ah gegeben durch

)axsin(a)x(ha , x R. Das Schaubild von ah heißt aC . 1.3.1 (6 Punkte) Wie entsteht das Schaubild aC aus dem Schaubild der Funktion k mit )xsin()x(k ? Geben Sie zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, einen Hoch- und einen Tiefpunkt von aC an.


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1.3.2 (8 Punkte) Die folgenden Abbildungen zeigen Schaubilder einer Funktion

1ah , einer Ableitungsfunktion

2ah , einer Stammfunktion 3aH von

3ah und einer weiteren Funktion. Ordnen Sie die Schaubilder den Funktionen zu und begründen Sie diese Zuordnung. Geben Sie 1a , 2a und 3a an.


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Abiturprüfung Mathematik 2007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG – Analysis, Aufgabe 2

2.1 Gegeben ist für jedes a > 0 die Funktion af durch

axa e)x(f ; x R

aK ist das Schaubild von af . 2.1.1 (6 Punkte) Betrachten Sie aK für verschiedene Werte von a und geben Sie drei gemeinsame Eigenschaften an. Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von aK . 2.1.2 (6 Punkte) Die Tangente und die Normale von 1K im Punkt S(0/1) begrenzen zusammen mit der x-Achse ein Dreieck. Begründen Sie, dass das Dreieck gleichschenklig ist und berechnen Sie seinen Umfang. 2.1.3 (11 Punkte) Die folgende Abbildung zeigt ein Schaubild aK mit der zugehörigen Tangente im Punkt S(0/1) sowie die Gerade mit der Gleichung x = u.

Begründen Sie, dass das Schaubild zum Wert a = 0,5 gehört. Berechnen Sie für u = 3 den Inhalt der grau unterlegten Fläche. Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt für u > 3 den Wert 1 nicht überschreitet.


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2.1.4 (6 Punkte) Für a > 0 und c > 0 ist eine Funktion g gegeben durch

)cx(f)x(g a ; x R

Wie entsteht das Schaubild von g aus aK ? g(x) beschreibt den Wert eines PKW in € nach x Jahren. Beim Kauf (x = 0) hat der PKW einen Wert von 20.000 €. Der jährliche Wertverlust beträgt 16%. Wie müssen a und c gewählt werden, damit g diesen Sachverhalt beschreibt ? 2.2 Gegeben ist die Funktion h mit

x4

cos)x(h ; x [-1 ; 3]

C ist das Schaubild von h. 2.2.1 (4 Punkte) Bestimmen Sie die Nullstelle und den Wertebereich von h. Zeichnen Sie C. 2.2.2 (4 Punkte) Durch die Achsenschnittpunkte von C ist eine Gerade festgelegt. Es gibt eine Tangente an C, die parallel zu dieser Gerade verläuft. Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunktes. 2.2.3 (8 Punkte) In die Fläche, die C mit den Koordinatenachsen einschließt, soll ein Viereck mit möglichst großem Flächeninhalt einbeschrieben werden. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Vierecks.


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Abiturprüfung Mathematik 2007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG – Anwendungsorientierte Aufgabe

Teil 3, Aufgabe 1 1 Aus drei 25 cm breiten Brettern soll eine oben offene Rinne der Höhe h hergestellt werden, die nach oben breiter wird. Die folgende Skizze zeigt den Querschnitt der Rinne.

1.1 Weisen Sie nach, dass für den Inhalt der Querschnittsfläche in Abhängigkeit von h gilt:

2h625hh25)h(A ; 25h0 Stellen Sie diese Abhängigkeit grafisch dar. (4 Punkte) 1.2 Zeigen Sie, dass es zwei Möglichkeiten gibt, eine Rinne mit einem Querschnitt von 700 cm² zu bauen. Bestimmen Sie die zugehörigen Höhen. Erläutern Sie, für welche Querschnitte es nur eine Möglichkeit gibt. (4 Punkte) 1.3 Bestimmen Sie den Winkel , den die Bretter einschließen müssen, wenn der Inhalt der Querschnittsfläche möglichst groß sein soll. (3 Punkte) 1.4 (4 Punkte) Prüfen Sie, ob folgende Aussage wahr ist. Verwendet man nur zwei 25 cm breite Bretter zur Herstellung einer Rinne, so ist der maximale Inhalt der Querschnittsfläche der Rinne nur noch halb so groß wie bei einer Rinne aus drei 25 cm breiten Brettern. (4 Punkte)


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Abiturprüfung Mathematik 2007 (Baden-Württemberg)

Berufliche Gymnasien ohne TG – Anwendungsorientierte Aufgabe Gruppe III, Lösung Aufgabe 1

1.1 Die Querschnittsfläche stellt ein Trapez dar. b 25 b 25 h h 25 Die Trapezfläche lässt sich zerlegen in eine Rechtecksfläche und zwei gleich große Dreiecksflächen.

h25A chteckRe

hb21ADreieck

Gemäß des Satzes von Pythagoras gilt: 2h625b 22

Trapez h625hh25hh625212h25)h(AA was zu zeigen war.

Zeichnung:


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Teil 3, Aufgabe 2 2.1 Die Monatsmittelwerte der Lufttemperatur in München sind in der Tabelle aufgelistet. Monat Jan Feb März Apr Mai Jun Juli Aug Sep Okt Nov Dez Mittl. Temp. in °C

-2,1 -0,9 3,3 8,0 12,5 15,8 17,5 16,6 13,4 7,9 3,0 -0,7

Der Temperaturverlauf soll durch eine Funktion g mit

d)]cx(bsin[a)x(g ; ]12;0[x angenähert werden, wobei die Temperaturen der Monatsmitte zuzuordnen sind (z.B. g(0,5) = -2,1). Welche Bedeutung haben die Konstanten a und d für den Temperaturverlauf in München während eines Jahres ? Bestimmen Sie die Konstanten a, b, c und d. (6 Punkte) 2.2 Die Lufttemperatur in °C in München während eines Tages kann näherungsweise beschrieben werden durch die Funktion f mit

8,14)]4,9x(12

sin[7,9)x(f ; ]24;0[x

Dabei ist x die Zahl in Stunden nach Mitternacht. 2.2.1 Berechnen Sie den Zeitraum, in dem die Lufttemperatur in München an diesem Tag über 20°C liegt. (3 Punkte) 2.2.2 Berechnen Sie die mittlere Lufttemperatur von 4 Uhr bis 9 Uhr morgens. (3 Punkte) 2.2.3 Um wie viel Uhr nimmt die Temperatur in München an diesem Tag am stärksten zu ? (3 Punkte)


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Teil 3, Aufgabe 3

3 Man schenkt so viel Bier in einen Messzylinder, bis der Bierschaum den oberen Rand erreicht. Anschließend wird die Höhe des Bierschaums in Abhängigkeit von der Zeit t gemessen. Es wird angenommen, dass der Bierschaum exponentiell gemäß der Funktion f mit

ktec)t(f ⋅= ; ∈t + ; c > 0 ; k < 0 zerfällt. t gibt die Zeit in Sekunden, f(t) die Schaumhöhe in cm an. Die Halbwertszeit ist die Zeit, die verstreicht, bis sich die Schaumhöhe auf die Hälfte reduziert hat.

3.1 Zeigen Sie, dass die Halbwertszeit unabhängig von der Anfangsschaumhöhe ist. (3 Punkte)

3.2 Ein Experiment ergibt für verschiedene Biersorten folgende Ergebnisse:

Biersorte Zerfallsgesetz Halbwertszeit in Sek.

Zeit in Sek. Bis zur Schaumhöhe 2 cm

A t008,0e10 −⋅ 87 201 B 0,010t15 e−⋅ 69 201 C t010,0e10 −⋅ 69 161 D 0,020t18 e−⋅ 110 E t020,0e10 −⋅ 35 101 F 58 156

3.2.1 Bestimmen Sie die Halbwertszeit für die Biersorte D sowie das Zerfallsgesetz für die Biersorte F. (4 Punkte)

3.2.2 Die Schaumhöhe von 2cm soll möglichst schnell erreicht werden. Erläutern Sie an Hand von Beispielen aus der Tabelle den Einfluss der Konstanten c und k auf diese Zielvorgabe. (4 Punkte)

3.2.3 Ab welchem Zeitpunkt nimmt die Schaumhöhe der Sorte C schneller ab als die Schaumhöhe der Sorte D ? (4 Punkte)


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Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 2007 Teil 2, Lineare Optimierung, Aufgabe 1

Baden-Württemberg 1.1 Aus den drei Rohstoffen 1R , 2R und 3R werden in einem Betrieb die zwei Erzeugnisse 1E und 2E hergestellt. Der Verbrauch an Rohstoffen in Mengeneinheiten (ME) je Erzeugnis ist in folgender Tabelle dargestellt: Benötigte Menge an Rohstoffeinheiten für 1E 2E 1R 11 10 2R 4 8 3R 3 12

Zur Zeit stehen dem Betrieb 180 ME von 1R , 96 ME von 2R und 126 ME von 3R zur Verfügung. 1.1.1 Der Gewinn beim Verkauf von 1E und 2E ist gleich groß. Daher ist der Betrieb bestrebt, eine möglichst große Gesamtstückzahl an Erzeugnissen 1E und 2E zu produzieren. Bestimmen Sie die zugehörigen Stückzahlen. Wie groß ist die maximale Gesamtstückzahl, wenn die produzierte Stückzahl von 1E viermal so groß ist wie die von 2E ? (8 Punkte) 1.1.2 Der Gewinn beim Verkauf der Erzeugnisse beträgt 3 € für 1E und 4 € für 2E . Bestimmen Sie mithilfe des Simplexverfahrens den maximalen Gesamtgewinn. (6 Punkte)


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Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 2007 Teil 2, Lineare Optimierung, Aufgabe 2

Baden-Württemberg 2.1 Ein Unternehmer befüllt und verkauft Druckerpatronen. Seine Befüllmaschine kann drei Sorten von Patronen befüllen. Die nachfolgende Tabelle enthält für jede Sorte die Dauer für die Befüllung und den Verkaufspreis. Aus Kapazitätsgründen kann die Maschine am Tag maximal 8 Stunden Patronen füllen. Es werden höchstens 150 Patronen täglich verkauft.

Sorte A Sorte B Sorte C Befüllzeit in Minuten 2 3 4 Verkaufspreis in € 10 12 15

2.1.1 Von der Sorte C werden pro Tag 60 Patronen verkauft und von der Sorte A pro Tag mindestens 15 Patronen. Bestimmen Sie grafisch, bei welchen Verkaufszahlen der Tagesumsatz am höchsten ist. Geben Sie den maximalen Tagesumsatz an. Wie muss der Verkaufspreis von Sorte A geändert werden, damit der Tagesumsatz beim Verkauf von 65 Patronen der Sorte A, 25 Patronen der Sorte B sowie 60 Patronen der Sorte C maximal ist ? (8 Punkte) 2.1.2 Die Verkaufspreis betragen weiterhin 10 € für Sorte A, 12 € für Sorte B und 15 € für Sorte C. Für Sorte A gibt es keine Mindestverkaufszahlen mehr. Von Sorte C werden höchstens 50 Patronen verkauft. Ermitteln Sie mithilfe des Simplex-Verfahrens, bei welchen Verkaufszahlen der tägliche Umsatz maximal ist. Geben Sie den maximalen Umsatz an. (6 Punkte)


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Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG, BTG)Hauptprüfung 2007 Teil 2, Stochastik, Aufgabe 1

Baden-Württemberg

Ein Glücksspielautomat hat drei Räder mit jeweils 6 gleich großen Sektoren.(siehe Abbildung).Die Räder drehen sich unabhängig voneinander.

Der Betreiber des Spielautomaten verlangt einen Einsatz von 1,50 Euro pro Spiel undüberlegt sich folgenden Auszahlungsplan:

Ereignis AuszahlungA: Alle drei Räder zeigen � 1� , d.h. 1 1 1 50 EuroB: Alle drei Räder zeigen die gleiche Ziffer,aber nicht 1.

20 Euro

C: Genau zwei Räder zeigen die gleiche Ziffer 2 EuroD Alle Räder zeigen unterschiedliche Ziffern 0 Euro

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für jedes der Ereignisse A, B, C und D. (7 Punkte)

b) Begründen Sie rechnerisch, weshalb der Automatenbetreiber seinen Auszahlungsplanändern sollte. (4 Punkte)

c) Wie oft muss das Spiel mindestens gespielt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit vonmehr als 90 % mindestens einmal zu gewinnen ? (5 Punkte)


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Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG, BTG)Hauptprüfung 2007 Teil 2, Stochastik, Aufgabe 2

Baden-Württemberg

Eine Firma produziert Computerchips.Erfahrungsgemäß sind 12% der Chips defekt.

a) Der laufenden Produktion werden nacheinander drei Chips entnommen.Berechnen Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:A: Alle drei Chips sind einwandfrei.B: Genau zwei von den drei Chips sind defekt.C: Nur der zweite Chip ist defekt. (5 Punkte)

b) Jetzt entnimmt man der laufenden Produktion 20 Chips.Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:D: Genau zwei Chips sind defekt.E: Mindestens ein Chip ist defekt (4 Punkte)

c) Wie viele Chips müsste man der laufenden Produktion entnehmen, damit man mit einerWahrscheinlichkeit von mehr als 99% mindestens einen defekten Chip erhält ?

(4 Punkte)

d) Wenn man die defekten Chips näher untersucht, findet man genau zwei Ursachen, diejeweils zum Defekt führen: verunreinigte Rohstoffe oder eine fehlerhafte Beschichtung.7% aller Chips sind defekt, weil sie aus verunreinigten Rohstoffen bestehen und 8% allerChips sind defekt, weil sie eine fehlerhafte Beschichtung bekommen haben.� berprüfen Sie, ob die beiden Fehler� uellen stochastisch unabhängig voneinanderauftreten. (3 Punkte)


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Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 2007 Teil 2, Vektorgeometrie, Aufgabe 1

Baden-Württemberg 1.1 Im Anschauungsraum sind die Punkte A(-1/-1/4), B(3/2/1) und die Gerade

g: 7512

r163

x , r R

sowie für jedes t R der Punkt )t/0/5(Ct gegeben. 1.1.1 Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden g und der Geraden ( 5AC ). (4 Punkte) 1.1.2 Zeigen Sie: Es gibt kein t, so dass die Gerade ( tAC ) parallel zur Geraden g ist. (2 Punkte) 1.1.3 Die Punkte A und tC haben den Abstand 6. Bestimmen Sie das zugehörige t. (3 Punkte) 1.1.4 Der Punkt P liegt in der von den Punkten A, B und 5C festgelegten Ebene. Eine Parallele zur 3x -Achse durch P schneidet die 21 xx -Ebene im Punkt

)0/4/5(P . Berechnen Sie die Koordinaten von P. (5 Punkte)


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Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 2007 Teil 2, Vektorgeometrie, Aufgabe 2

Baden-Württemberg 2.1 Die Punkte A(-3/1/-3), B(-1/-2/1) und )3/k23/k4(Ck mit k R sind die Eckpunkte des Dreiecks kABC . 2.1.1 Zeigen Sie: Die Punkte A, B und kC bilden für jedes k ein Dreieck. (4 Punkte) 2.1.2 Es gibt genau eine Ebene E, in der die Punkte A und kC liegen. Geben Sie eine Gleichung von E in Parameterform an. Welche besondere Lage hat diese Ebene im Koordinatensystem ? (4 Punkte) 2.1.3 Bestimmen Sie k so, dass das Dreieck kABC in A einen rechten Winkel hat. Wie lang ist dann die Hypotenuse ? (6 Punkte)


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Berufliches Gymnasium (TG ohne CAS) Hauptprüfung 2007 Teil 2, Vektorgeometrie, Aufgabe 2

Baden-Württemberg

2.1 An einem Haus ist ein dreieckiges Sonnensegel befestigt (siehe Arbeitsblatt auf der nächsten Seite). Die Ecken des Sonnensegels sind die Punkte A(2/7/8), B(1/2/9) und C(9/1/6) bezüglich eines Koordinatensystems mit der Längeneinheit 1 m. Die Hausfront sowie die Punkte A und B liegen in der Ebene

H: ⋅+⋅+−=100

t0

102

s0

5,05,0

x , s,t ∈

2.1.1 Berechnen Sie den Winkel des Sonnensegels bei C und den Flächeninhalt des Sonnensegels. (5 Punkte)

2.1.2

Untersuchen Sie, ob ein Lichtstrahl mit dem Richtungsvektor −−−

415

16 senkrecht auf

das Sonnensegel trifft. (2 Punkte)

2.1.3

Parallele Lichtstrahlen mit dem Richtungsvektor −

−=

12715

u fallen auf das

Sonnensegel. Zeigen Sie, dass der Schatten vollständig auf der Hausfront liegt. Zeichnen Sie die Schattenfläche in das Arbeitsblatt ein. (7 Punkte)


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Arbeitsblatt:

Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 2007 Teil 2, Wirtschaftliche Anwendungen, Aufgabe 1

Baden-Württemberg 1.1 Eine Feuerwerksfabrik stellt aus vier verschiedenen Pulversorten 1P , 2P , 3P und 4P Feuerwerksartikel (Feuerwerksrakete 1Z , Sprühfeuer 2Z und Knallfrosch 3Z ) her. Diese wurden in zwei verschiedenen Sortimenten ( 1E und 2E ) verkauft. Die folgenden Tabellen geben an, wie viele ME der einzelnen Pulversorten für jeweils einen Feuerwerksartikel bzw. wie viele Feuerwerksartikel für je ein Sortiment bzw. wie viele ME der einzelnen Pulver für je ein Sortiment benötigt werden.

1Z 2Z 3Z 1P a 20 b 2P 8 11 7 3P 15 0 13 4P 18 c 0

1E 2E

1Z 7 3 2Z 2 6 3Z 10 15

1E 2E 1P 110 150 2P 148 195 3P 235 240 4P 160 156

Die Kosten (in GE) für je eine ME der Pulversorten, für die Fertigung von je einem Feuerwerksartikel und für die Verpackung von je einem Sortiment sind durch folgende Vektoren gegeben:

TP 01,002,001,001,0k T

Z 10,025,050,0k TE 20,025,0k

1.1.1 Berechnen Sie die Variablen a, b und c. (4 Punkte) 1.1.2 Die Feuerwerksfabrik möchte ihr Lager räumen. Deshalb werden die Sortimente zu einem Preis, der die jeweiligen variablen Herstellkosten deckt, verkauft. Welche Preise ergeben sich hieraus für die Sortimente 1E und 2E ? ( 3 Punkte) 1.1.3 Ein weiteres Sortiment enthält 25 Feuerwerksartikel. Für dieses Sortiment werden genau 220 ME der Pulversorte 1P verarbeitet. Die benötigten Mengen der Pulversorten 2P und 4P betragen höchstens 220 ME. Die benötigte Menge der Pulversorte 3P unterliegt keinen Begrenzungen. Wie kann das neue Sortiment zusammengestellt werden ? (7 Punkte)


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Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 2007 Teil 2, Wirtschaftliche Anwendungen, Aufgabe 2

Baden-Württemberg 2.1 Die drei Abteilungen U, V und W eines Betriebes sind nach dem Leontief-Modell miteinander verflochten. Gegeben ist die Input-Matrix

z8,005,02,02,08,006,002,0

Az mit 8,0z0

Die Lieferungen untereinander, die Marktabgabe sowie die Produktion werden in Geldeinheiten (GE) angegeben. 2.1.1 In der jetzigen Produktionsperiode gilt z = 0,25. Die Abteilungen U und W produzieren Waren gleichen Wertes. Die Abteilungen U und V liefern Waren im gleichen Wert an den Markt. Abteilung W gibt Waren im Wert von 21 GE an den Markt ab. Berechnen Sie den Produktionsvektor und den Marktvektor. (5 Punkte) 2.1.2 Für welche Werte von z existiert die Leontief-Inverse 1

z )AE( ? (3 Punkte) 2.1.3 Berechne für die kommende Produktionsperiode den Marktvektor in Abhängigkeit von z, wenn die Abteilung U Waren im Wert von 120 GE, die Abteilung V Waren im Wert von 160 GE und die Abteilung W Waren im Wert von 100 GE produziert. Erstellen Sie eine Input-Output-Tabelle für diese Produktionsperiode. Welche Werte kann z in dieser Produktionsperiode annehmen ? (6 Punkte)

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