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Abiturprüfung Mathematik 2014Baden-Württemberg

Allgemeinbildende GymnasienPflichtteilLösungen

Aufgabe 1:Bilden Sie die Ableitung der Funktion mit .

(2 VP)Lösung:Für verwende die Produkt- und Kettenregel

Pflichtteil 20142

Aufgabe 2:Berechnen Sie das Integral . (2 VP)

Lösung:

Pflichtteil 20143

∫0

1 4(2 𝑥+1 )3

𝑑𝑥

Pflichtteil 2014

Aufgabe 3:Lösen Sie die Gleichung .

(3 VP)Lösung:

| | Substitution

| p-q-Formel

⇒ , | Rücksubstitution

⇒ bzw.

Ergebnis: .

4

Pflichtteil 20145

Aufgabe 4:Gegeben sind die Funktionen und mit und .

a) Beschreiben Sie, wie man den Graphen von aus dem Graphen von erhält.

b) Bestimmen Sie die Nullstellen von für . (4 VP)

Pflichtteil 2014

Lösung:a) Wie erhält man den Graphen von aus demjenigen von ?Verdopple die Amplitude, d.h. aus wird .Ändere die Frequenz, d.h. aus wird .Verschiebe den Graphen um Einheiten nach unten und erhalte .

b) Nullstellen von für

Ergebnis: Die Nullstellen von für sind bzw. .

6

+2 :2

Pflichtteil 20147

Aufgabe 5:Die Abbildung zeigt die Graphen und zweier Funktionen und .a) Bestimmen Sie .

Bestimmen Sie einen Wert für so, dass ist.

b) Die Funktion h ist gegeben durch .Bestimmen Sie

(4 VP)

𝐾 𝑔

𝐾 𝑓

Pflichtteil 2014

Lösung:a) Wert für Ergebnis: Wegen und ist .

Wert für , so dass istFür liest man und ab. Wir suchen also Werte für x, so dass oder ist. Für ist und für ist .

Ergebnis: Für und ist .

8

Pflichtteil 2014

b) Für bestimme Mit der Produktregel gilt

und damit Durch Ablesen erhält man , Da die Ableitung nichts anderes als die Steigung ist, liest man weiterhin ab:,

Ergebnis: .

9

𝐾 𝑔

𝐾 𝑓

Aufgabe 6:Gegeben sind die Ebenen und .a) Stellen Sie die beiden Ebenen in einem gemeinsamen Koordinatensystem

dar.Geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von und an.

b) Die Ebene ist parallel zur -Achse und schneidet die -Ebene in derselben Spurgeraden wie die Ebene .Geben Sie eine Gleichung der Ebene an.

(5 VP)

Pflichtteil 201410

Lösung:a) Darstellung der Ebenen in einem KoordinatensystemZunächst bestimmt man die Spurpunkte (= Schnittpunkte mit den Achsen) der beiden Ebenen. Für erhält man, indem man setzt und nach auflöst, den Spurpunkt bzw. , indem man setzt und nach auflöst den Spurpunkt . Einen Schnittpunkt mit der -Achse gibt es nicht, d.h. verläuft parallel zur -Achse.Analog erhält man die Spurpunkte für (durch Nullsetzen zweier Koordinaten und Auflösen nach der dritten Koordinate), nämlich , und .

Pflichtteil 201411

Durch Einzeichnen und Verbinden der jeweiligen Spurpunkte im Koordinatensystem erkennt man die Lage der beiden Ebenen.Die Schnittgerade erhält man durch Lösendes LGS (oder durch einfaches Ablesen) und liefert . Übrig bleibt die Gleichung in der man z.B. frei wählen kann, etwa . Dadurch erhält man . Somit ergibt sich das

Ergebnis: Die Schnittgerade ist gegeben durch

Pflichtteil 201412

𝐸1=𝐹1

𝐸2=𝐹 2

𝐹 3

2

𝐸

𝐹4

4

b) Gleichung für Wir nehmen als einenRichtungsvektor für . Da parallel zur -Achse verläuft,können wir als zweiten Richtungsvektor

verwenden. Der Punkt liegt auf und kann somit als Stützvektor dienen.

Ergebnis: Eine Parameterform für lautet

Pflichtteil 201413

parallel zur -Achse hat dieselbe Spurgerade in der -Ebene wie

2

44

𝐺

𝐹𝐹 2

𝐹 3

Pflichtteil 201414

Aufgabe 7:Gegeben sind die Punkte , und .Die Gerade verläuft durch und .Bestimmen Sie den Abstand des Punktes von der Geraden .

(4 VP)

Pflichtteil 201415

Lösung:Für die Geradengleichung von verwende z.B. als Stützvektor und als Richtungsvektor. Somit haben wir mit als Geradengleichung.

Im nächsten Schritt bilden wir eine Hilfsebene , die senkrecht zu steht, so dass in liegt.

Pflichtteil 201416

Als Normalenvektor für nehmen wir den Richtungsvektor von und erhalten damit zunächst mit einem noch unbekannten .

Da in liegt, setzen wir die Koordinaten von ein und erhalten: und damit die vollständige Ebenengleichung:

Durch Einsetzen von in die Ebenengleichung von bestimmen wir den Schnittpunkt .

𝐶 (2∨3∨1)

𝑔 : �⃗�=( 1101 )+𝑡 (−430 )

Pflichtteil 201417

Den soeben gefundenen Wert setzen wir in einund erhalten , somit ist der Schnittpunkt von mit .Der Abstand von zu ist dann gegeben durch:

Ergebnis: Der Abstand von zu beträgt LE.

𝑔 : �⃗�=( 1101 )+𝑡 (−430 )𝐶 (2∨3∨1)

Pflichtteil 201418

Aufgabe 8An einem Spielautomaten verliert man durchschnittlich zwei Drittel aller Spiele.a) Formulieren Sie ein Ereignis , für das gilt:

b) Jemand spielt vier Spiele an dem Automaten.Mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert er dabei genau zwei Mal?

(3 VP)

Pflichtteil 201419

Lösunga) Ereignis mit Laut Aufgabe ist die WS für „verlieren“ , also für „gewinnen“. Der Teilausdruck gibt die WS an, in Spielen mal zu gewinnen und mal zu verlieren. Entsprechend ist die WS, in Spielen mal zu gewinnen und mal zu verlieren.Ebenso ist die WS für mal verlieren in Spielen.

WS := Wahrscheinlichkeit

Pflichtteil 201420

Alle Teilergebnisse zusammen führen zu folgendemErgebnis: Der angegebene Ausdruck beschreibt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „In Spielen höchstens mal gewinnen“.

WS := Wahrscheinlichkeit

Pflichtteil 201421

b) WS für genau 2mal verlieren bei 4 SpielenWS für „verlieren“ ist , WS für „gewinnen“ ist . Damit gibt der Ausdruck die gesuchte WS an, wobei beschreibt, auf wie viele Arten sich die Gewinne (G) und die Niederlagen (N) in den Spielen verteilen können, nämlich auf diese Arten:GGNN, GNGN, GNNG, NGGN, NGNG, NNGG.Damit ist

Ergebnis:

WS := Wahrscheinlichkeit

Pflichtteil 201422

Aufgabe 9:Gegeben sind der Mittelpunkt einer Kugel sowie eine Ebene.Die Kugel berührt diese Ebene.Beschreiben Sie, wie man den Kugelradius und den Berührpunkt bestimmen kann.

(3 VP)

Pflichtteil 201423

LösungBilde eine Gerade senkrecht zur Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel. dient dabei als Stützvektor von und der Normalenvektor von als Richtungsvektor.Bestimme den Schnittpunkt von mit . Dies ist der Berührungspunkt der Kugel mit der Ebene.Der Abstand ist schließlich der Radius der Kugel.

𝑀

𝐹

𝑔

𝐸