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Adaptive Methoden zur Abbildung vom Sensorraum zurAktion

Verwendete Modelle:

• Neuronale Netze

– “Adaptive Linear Combinator” (ALC)– “Multi-Layer Perceptron”– “Functional Link Network”– “Radial Basis Functions” (RBF)– “Associative Memory Networks” (AMNs)– ...

• Fuzzy-Controller

– “Conventional Controller” (Mamdani-Typ)– “Function Approximator” - TSK-Modell– “Function Approximator” - B-Spline-Modell (*)

Angewandte Sensorik, W1-03 Adaptive Methoden 6. Januar 2003 190

Lernverfahren:

• Uberwachtes Lernen (*)

• Reinforcement-Lernen (*)

• Unuberwachtes-Lernen


Ein Vergleich zwischen menschlichem Gehirn und Computer

Kriterium Gehirn Computer

Parallelitat hoch niedrigPrazision maßig hoch

Fehlertoleranz hoch niedrigSpeicherzugriff global lokal

numerische, prazise Berechnungen schlecht gutErkennung von Mustern gut schlecht

fehlerloses Speichern von Daten schlecht gutSelbstorganisation ja bisher nicht

Verallgemeinern von Beispielen gut schlecht


Why Fuzzy Logic for Control - I (E)

“The way we have to describe Nature is generally incomprehensive to us.”- Richard P. Feynman, “QED. The Strange Theory of Light and Matter”

“It should be possible to explain the laws of physics to a barmaid”.- Albert Einstein.


Einfuhrung in die Fuzzy-Regelung

• ungenaue natursprachliche Abstufungen von Begriffen wie “groß, “schon”, “stark” ...

• menschliche Denk- und Verhaltensmodelle mit der einstufigen Logik:

��

� Autofahren: “Wenn-Dann”-Regeln

��

� Autoparken: genau auf den Millimeter?

• unscharfe Sprache statt numerischer Beschreibung:��

� bremse 2.52 m vor der Kurve

→ nur in Maschinesystemen��

� bremse kurz vor der Kurve

→ in naturlicher Sprache


Einfuhrung II

L.A. Zadehs principle of incompatibility :

“Stated informally, the essence of this principle is that as the complexity of a system

increases, our ability to make precise and yet significant statements about its behaviour

diminishes until a threshold is reached beyond which precision and significance (or relevance)

become almost mutually exclusive characteristics.”

Fuzzy: indistintive, vague, unclear.

Fuzzy-Mengen / Fuzzy-Logik als Mechanismus zur

• Abstraktion von unnotigen/zu komplexen Details,

• Behandlung von Problemen, die nicht einfach mit “ja” oder “nein” beantwortet werden

konnen,

• Modellierung von (“soft”) Konzepten ohne scharfe Grenzen.

• “Computing with words”.


Charakteristische Funktion – Zugehorigkeitsfunktion

Scharfe Mengen lassen sich definieren durch Angabe ihrer charakteristischenFunktion:

µA(x) =

{1 furx ∈ A0 furx /∈ A,

(1)

wobei µA : X → {0, 1}.Fur Fuzzy-Mengen A verwendet man auch eine verallgemeinertecharakteristische Funktion µA, die jedem Element x ∈ X eine reelle Zahl aus[0, 1] zuordnet — den “Grad”, zu dem das Element x zur beschriebenenunscharfen Menge A gehort:

µA : X → [0, 1]

µA wird als Zugehorigkeitsfunktion (ZF) bezeichnet.


Fuzzy-Menge

Eine Fuzzy-Menge A uber einem Universum X ist gegeben durch eineAbbildung µA : X → [0, 1]. Fur x ∈ X bezeichnet µA(x) den Grad derZugeorigkeit (des Enthaltenseins) von x in A.Als Tragermenge einer Fuzzy-Menge bezeichnet man die Menge allerElemente aus X mit positiver Zugehorigkeit zu A:support(µA(x)) = {x ∈ X | µA(x) > 0}.Notation:

X endlich: A = µA(x1)/x1 + · · ·+ µA(xn)/xn

=n∑

i=1

µA(xi)/xi

X unendlich: A =∫

X

µA(x)/x

Beispiele:


die Menge der ganzen Zahlen, die ungefahr gleich 10 sind:

G10 = 0.1/7 + 0.5/8 + 0.8/9 + 1/10 + 0.8/11 + 0.5/12 + 0.1/13

die Menge der reellen Zahlen, die ungefahr gleich 10 sind:

G10 =

∫IR

e−(x−10)2

/x


Linguistische Variablen und Linguistische Terme

In Anwendungen werden Fuzzy-Mengen zumeist eingesetzt zur Modellierunglinguistischer Terme.Viele Begriffe der naturlichen Sprache lassen sich durch Fuzzy-Mengencharakterisieren.Ein linguistischer Term (Wert, Label) ist die Quantifizierung eines Begriffesder naturlichen Sprache durch eine Fuzzy-Menge.Eine linguistische Variable ist eine Variable, die eine Reihe linguistischer Termeannehmen kann.Beispiele:

linguistische Variable: “GESCHWINDIGKEIT”linguistische Terme von “GESCHWINDIGKEIT”:“hoch”,“niedrig”,“rasant”,“okonomisch”


Linguistische Variable: Definition

Eine linguistische Variable ist durch ein Quintupel

(v, T (v), X,G, M)

charakterisiert.Dabei ist:

• v: der Name der Variable;

• T (v): eine Menge von linguistischen Termen von v, wobei jeder Wert eine Fuzzy-Menge

in dem Universum X ist;

• G: eine Syntaxregel, die T (v) aus einer Menge von Grundtermen erzeugt;

• M : eine semantische Regel, die jedem Wert von T (v) seine Bedeutung zuordnet.


Darstellungen der ZF

• Diskrete Darstellung:

– Array mit fester Große,– Speicherung der ZF-Werte fur den gesamten x-Wertebereich,– beliebige Formen.

• Parametrische Darstellung:

– Funktionen mit Parametern,– wenig Speicherplatz,– typische Arten: Singleton, Dreiecksform, Trapezform, Glockenkurve,

B-Spline Basisfunktionen.


Methoden zur Generierung der ZF

• Kontext-abhangige Spezifikation:experimentell, unter Berucksichtigung der jeweiligen Anwendung.

• Aufbau durch Sample-Daten:Clustering, Lagrange-Interpolation, “Least-square Curve Fitting”,Neuronale Netze.

• Wissenserwerb durch Experten:ein oder mehrere Experten,direkt und indirekt.


Fuzzy-Regelung - I

Grundidee Fuzzy-Regelung:

• Beschreibung des gewunschten Reglerverhaltens mit Hilfe umgangssprachlicher,

qualitativer Regeln.

• Quantifizierung linguistischer Werte durch Fuzzy-Mengen.

• Regel–Auswertung durch Verfahren der Fuzzy-Logik bzw. der Interpolation.

Fuzzy-Regeln fur die Regelung

”IF (eine Menge Konditionen werden erfullt)

THEN(eine Menge Konsequenzen konnen bestimmt werden)“

In den Pramissen (Antecedenten) vom IF-Teil:linguistische Variablen aus der Domane der Prozeßzustande;

In den Konklusionen (Konsequenten) vom THEN-Teil:linguistische Variablen aus der Regelungsdomane.


Fuzzy-Regelung - II

Fuzzy-Regelung ist vom Prinzip:

• intelligente Regelung:

Verwendung von Expertenwissen

• linguistische Regelung:

Regelung ist transparent,

ein Pluspunkt fur Mensch-Maschine-Schnittstelle

• parallele Regelung:

Modularisierung,

hohe Verarbeitungsgeschwindigkeit

Vorteile:

• Reglerentwurf ohne besondere Modell-

kenntnisse moglich

• Reglerentwurf effizient

• Echtzeit-Anforderungen erfullt

• Robustheit auch beim Einsatz von billigen Sensoren


Comparison of Three Fuzzy Controller Models - IF-part (E)

All fuzzy controllers employ true fuzzy sets for modelling linguistic terms for each input. The

input space is partioned into overlapping cells, which reflects the vague modelling of linguistic

concepts on one side and enables the continuous transition of output values on the other side.

The IF-part of a rule is generally modelled as:��

��(x1 is A1

i1) and (x2 is A2

i2) and . . . (xn is An

in),

where xj is the j-th input (j = 1, . . . , n) and Ajij

is the i-th linguistic term defined on xj.

The “and”-operation is implemented with a so-called t−norm, which is represented by “min”

or “product” in most applications.


Comparison of Three Fuzzy Controller Models -Membership Functions (E)

In up-to-date control applications, mainly triangle and trapezoid set functions are used.

Recently, Fuzzy Basis Functions based on “Gaussian” “Cauchy”, “sinc”, “Laplace”,

“Logistic”, “Hyperbolic Tangent”.

However, all the above set functions need additional special parameters apart from the

partition positions (called knots in the following) on the universe of discourse of each input.

Since the knots are the only intrinsic parameters resulting from the partition of the input

space, the selection and tuning of these additional parameters are neither natural nor intuitive.

Linguistic terms based on B-spline basis functions can be generated if the knots are given,

they do not need ANY additional parameters.


Komponenten der Fuzzy-Regelung

Ein kompletter Fuzzy-Controller besteht aus insgesamt vier Komponenten:

• einer Wissensbasis,

• einem Fuzzyfizierer,

• einer Inferenz-Maschine,

• und einem Defuzzyfizierer.


Wissensbasis

In der Wissensbasis ist das Expertenwissen abgelegt, auf das sich ein Fuzzy-System wahrend

einer Regelung stutzt. In ihr befinden sich

die Zugehorigkeitsfunktionen,mit denen die linguistischen Terme der linguistischen Variablen (die Ein- und

Ausgangsgroßen) mathematisch beschrieben werden;

die Zugehorigkeitsfunktionen des Fuzzyfizierers, in rechner-internen Darstellungen;

die Regelungsstrategien,in Form von

”Wenn-Dann“-Regeln abgespeichert.


Fuzzyfizierer

Der Fuzzyfizierer wandelt die”scharfen“ Eingangsgroßen in Fuzzy-Mengen um. Die dafur

vorgesehenen Zugehorigkeitsfunktionen werden dazu wie eine Hulle um den jeweiligen

Eingangswert gelegt.

Mit dem Fuzzyfizierer wird es moglich, Unscharfen der Eingangsgroßen, wie z.B.

Fehlertoleranzen von Sensoren, zu berucksichtigen.


Inferenz-Maschine: I

Die Inferenz-Maschine vergleicht die fuzzyfizierten Eingangswerte mit den ZF der

Antecedenten fur jede Regel und erschließt daraus durch geeignete Kombination der

Fuzzy-Mengen der Ausgangsvariablen (Konsequenten).

Fur die mathematische Modellierung des Vergleichs und des Schlußfolgerns existieren viele

Losungsvorschlage. Eine einfache Methode ist die Inferenz mit Hilfe der Min-Max-Operatoren.

Beispiel:

Gegeben sei ein Regelsystem mit zwei Antecedenten A und B und einer Konsequenten C:

R1: IF (x is A1 and y is B1)

THEN (z is C1)

R2: IF (x is A2 and y is B2)

THEN (z is C2)

. . .

Rk: IF (x is Ak and y is Bk)

THEN (z is Ck)


Inferenz-Maschine: II

Zunachst werden die fuzzyfizierten Eingangsdaten A′ und B′ mit den ZF Ai und Bi der i-ten

Regel verglichen, und man erhalt so fur jede Regel die Ubereinstimmungsmaße aAiund aBi

:

aAi= max(min(A

′, Ai))

aBi= max(min(B

′, Bi))

Diese Ubereinstimmungsmaße werden schließlich zu einem Gesamtmaß ω′i verknupft, das den

Erfullungsgrad der gesamten Eingangsbedingungen der i-ten Regel angibt:

ω′i = min(aAi

, aBi)


Inferenz-Maschine: III

Der Erfullungsgrad kann noch zusatzlich mit einem Regelgewicht ri ∈ [0, 1] multipliziert

werden. Regeln, die z.B. in Alarmfallen die Sicherheit gewahrleisten sollen, konnen dadurch

gegenuber anderen Regeln starker gewichtet werden. Man erhalt somit:

ωi = ri · ω′i

Die tatsachliche Schlußfolgerungsfunktion C ′i des Konsequenten Ci errechnet sich aus:

C′i = min(ωi, Ci)

Zuletzt faßt man alle Schlußfolgerungen C ′i zusammen und erhalt die Ausgangsfunktion CA:

CA = max(C′1, C

′2, . . . , C

′k)


Inferenz-Maschine: IV

Bei Regelsystemen mit mehreren Ausgangsvariablen konnen die Ausgangsfunktionen

unabhangig voneinander nach obigem Schema bestimmt werden.


Defuzzyfikation

Um in einem Regelungsprozeß konkrete Stellgroßen an die Aktuatoren senden zu konnen,

mussen aus den durch die Inferenz gewonnenen Ausgangsfunktionen”scharfe“ Ausgangswerte

gebildet werden.

Eine vernunftige Vorgehensweise ist die Schwerpunktmethode. Der Ausgangswert wird hierbei

als Schwerpunkt der Ausgangsfunktion bezuglich ihrer Abszisse berechnet.


Comparison of Three Fuzzy Controller Models - THEN part(E)

Mamdani type:The classical fuzzy controller of Mamdani type is based on the idea of directly using symbolic

rules for control tasks. A rule has the form�

�

�

�IF (x1 is A1

i1) and (x2 is A2

i2) and . . . and (xn is An

in)

THEN y is Bk,

where Bk is a fuzzy set with the same properties as that used in the “IF-part”,

k = 1, . . . , t, and t is the total number of linguistic terms for modelling the output y. The

aggregation of output values of all the firing rules are realised either by the “max”-operator or

simple addition, where the second method is a small variation of the first one and even more

simple to compute.


Probleme der Regler vom Mamdani-Typ: (E)

• viele Freiheitsgrade beim Entwurf

(Implikations-Relation, Inferenz-Mechanismen, Fuzzyfikation- und

Defuzzyfikationsstrategie, ...)

• Auswahl und Quantifizierung der linguistischen Werte erfordert Erfahrung

(keine systematischen Richtlinien)

• keine Aussage uber die Wirkung der Wahl der Zugehorigkeitsfunktions-Form

(warum Dreiecke/Trapeze? andere Funktionen?)

• Bewertungskriterien fur einen optimalen Regler

(Glatte, Approximations-Genauigkeit, ....)

• Nachweis der Stabilitat

(wie bei fast allen nicht-linearen Systemen)


Zwei Typen von adaptiven Fuzzy-Reglern

• Sugeno-Typ:

IF x1 is Ai1 and x2 is Ai

2 and . . . and xn is Ain

THEN y = pi0 + pi

1x1 + pi2x2 + · · ·+ pi

nxn

wobei die Parameter von Ai1 bis An

i , sowie pi0, pi

1, pi2, · · ·+ pi

n adaptiv gewonnen werden

konnen.

(erfolgreich eingesetzt bei Funktion-

Approximation und uberwachtes Lernen.)

• B-Spline-Typ:

Nachbildung der B-Spline-Interpolation mit Hilfe von a priori Wissen

Ein spezieller Sugeno-Typ, aber effektiver, schneller, geeignet fur uberwachtes Lernen und

unuberwachtes Lernen.


TSK (Tagaki-Sugeno-Kang) model: (E)

A rule using a TSK model of order 1 looks like:�

�

�

�IF (x1 is A1

i1) and (x2 is A2

i2) and . . . and (xn is An

in)

THEN y = ai0 + ai

1x1 + · · ·+ ainxn,

where ai0, ai

1, . . . , ain are the coefficients of a simplified local linear model. These parameters

can be identified by optimising a least squares performance index using the data acquired by

observing a skilled human operator’s control action. The recent work with TSK model shows

that it is a suitable function approximator.

However, the TSK model is a multi-local-model black-box. Obviously, the knowledge

acquisition with this model is indirect and not intuitive.


B-Spline type: (E)

A Rule(i1, i2, . . . , in) with the n conjunctive terms in the IF-part is given in the following

form: �

�

�

�IF (x1 is X1

i1,k1) and (x2 is X2

i2,k2) and . . . and (xn is Xn

in,kn)

THEN y is Yi1i2...in,

where

• xj: the j-th input (j = 1, . . . , n),

• kj: the order of the B-spline basis functions used for xj,

• Xjij,kj

: the i-th linguistic term of xj defined by B-spline basis functions,

• ij = 1, . . . , mj, representing how fine the j-th input is fuzzy partitioned,

• Yi1i2...in: the control vertex (deBoor points) of Rule(i1, i2, . . . , in).


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