Änderung, Ableitung, Elastizität

Angewandte Mathematik fur BetriebswirtschaftDierentialrechnung: Funktionen einer unabh. VariableAndreas Vohns

UbersichtDierentialrechnung fr Funktionen einer unabhngigen Variable u a Anderung, Ableitung, Elastizitt: a Begrie und (konomische) Interpretation o Zusammenhnge zwischen Eigenschaften einer Funktion a und deren Ableitung(en) Ausgewhlte Anwendungen der Dierentialrechnung a in der Okonomie

Anderung, Ableitung, Elastizitt aWas Sie knnen und wissen sollten o Absolute Anderung, mittlere Anderungsrate und (lokale) Anderungsrate kennen, zur Darstellung entsprechender Sachverhalte einsetzen und in Kontexten sinnvoll deuten knnen o Dierentiationsregeln, insbesondere (1) (6), kennen und einsetzen/anwenden knnen o relative Anderung (bezogen auf den Bestand), mittlere Elastizitt a und (Punkt-)Elastizitt von Funktionen ermitteln und im Kontext a interpretieren knnen o

Der AbleitungsbegriGeschwindigkeiten Beispiel 1: GeschwindigkeitenNeulich bin ich mit dem Auto von Bielefeld nach Berlin gefahren und habe Neulich bin ich mit dem Auto von Bielefeld nach Berlin gefahren fr die 400 km genau 4 Stunden gebraucht. uund habe fr die 400 km genau 4 Stunden gebraucht.

Dann warst Du aber mit 100 km/h nicht besonders schnell. Dann warst Du aber mit 100 km/h nicht besonders schnell. Wie mans nimmt, Wie mans nimmt, manchmal binkm/h gefahren. manchmal bin ich uber 150 ich ber 150 gefahren.

Wer ber Geschwindigkeiten redet, spricht ber Bewegungen. Er betrachtet den zurckgelegten Weg (z.B. eines Autos) in Abhngigkeit von der Zeit. Wir wissen, dass man solche Abhngigkeiten durch Funktionen beschreibt, hier durch eine Weg-Zeit-Funktion, die jedem Zeitpunkt t den bis dahin zurckgelegten Weg s(t) zuordnet:

t a s (t )(Danckwerts & Vogel 2006)

Um etwas Konkretes vor Augen zu haben, betrachten wir einen Anfahr-

Wie mans nimmt, manchmal bin ich ber 150 gefahren.

Wer ber Geschwindigkeiten redet, spricht ber Bewegungen. Er betrachtet den zurckgelegten Weg (z.B. eines Autos) in Abhngigkeit von der Zeit. Wir wissen, dass man solche Abhngigkeiten durch Funktionen beBeispiel 1:hier durch eine Weg-Zeit-Funktion, die jedem Zeitpunkt t den schreibt, Geschwindigkeiten bis dahin zurckgelegten Weg s(t) s(t) t zuordnet:

Der Ableitungsbegri

t a s (t ) Um etwas Konkretes vor Augen zu haben, betrachten wir einen Anfahrvorgang. Wir unterstellen (was nicht unrealistisch ist), dass der Weg-ZeitZusammenhang annhernd quadratisch ist. Fr den bis zum Zeitpunkt t zurckgelegten Weg s(t) mge gelten: s (t ) = t 2 .

(Danckwerts & Vogel 2006)

Der AbleitungsbegriBeispiel 1: Geschwindigkeitent s(t) mit s ( t ) = t2

Der Graph zeigt, wie sich der zurckgelegte u Weg im Laufe der Zeit entwickelt: Wir sehen, der zurckgelegte Weg s(t) wchst u a mit der Zeit t, und zwar mit fortschreitender Zeit immer rascher, der Wagen wird also immer schneller.


fortschreitender Zeit immer rascher, der Wagen wird also immer schne

Sehen wir genauer hin: In gleichlangen Zeitabschnitten werden mi

schreitender Zeit immer lngere Wegstrecken zurckgelegt. Messen w

Der Ableitungsbegris(t)

Beispiel 1: Geschwindigkeitent s(t) mit

wa die Zeit in Sekunden und den Weg in Metern, so werden im Laufe

s ( t ) = t2s(3)

Es werden im Laufe der ersten Sekundes(1) s(0) = 12 02 = 1 Meter der zweiten Sekunde s(2) s(1) = 22 12 = 3 Meter

s(2)

der dritten Sekunde s(3) s(2) = 32 22 = 5 Meters(1)

zurckgelegt.

s(0) { { erste dritte Sekunde

t


Der AbleitungsbegriBeispiel 1: Geschwindigkeitent s(t) mit s ( t ) = t2

Will man wissen, welche Wegstrecke in einem beliebigen Zeitabschnitt, sagen wir von t0 bis t1 , zurckgelegt wurde, so muss man die Dierenz u s ( t1 ) s ( t0 ) berechnen. Beispiel: Fr t0 = 1, u t1 = 3 gilt: s(t1 ) s(t0 ) = s(3) s(1) = 32 12 = 8 Meter(Danckwerts & Vogel 2006)

Der AbleitungsbegriBeispiel 1: Geschwindigkeitent s(t) Fr t0 = 1, u t1 = 3 gilt: s ( t 1 ) s ( t 0 ) = s ( 3 ) s ( 1 ) = 32 12 = 8D.h.: Im Zeitintervall von t0 bis t1 , das 2 Sekunden lang ist, werden 8 Meter zurckgelegt. u Anders ausgedrckt: u Die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [1, 3] betrgt 4 Meter pro a Sekunde, kurz 4 m/s.(Danckwerts & Vogel 2006)

mit

s ( t ) = t2

gefahren, d.h. im Zeitintervall von t0 bis t1 , das 2 Sekunden lang ist, werden 8 Meter zurckgelegt. In diesem Zeitintervall werden also im Mittel in ei-

Der Ableitungsbegri

Beispiel 1: Geschwindigkeiten 2

ner Sekunde 8 = 4 Meter zurckgelegt. Anders ausgedrckt: Die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [ 1 , 3 ] betrgt 4 Meter pro Sekunde, t s(t) mit s(t) = t2 kurz 4 m/s.Die mittlere Geschwindigkeit in einem beliebigen Zeitintervall [ t0 , t1 ] findet man nun, indem man die Wegdifferenz s( t1 ) s( t0 ) auf die zugehrige Zeitdifferenz t1 t0 bezieht, d.h. durch sie dividiert: mittlere Geschwindigkeit im Intervall [ t0 , t1 ] =

s (t1 ) s (t0 ) t1 t0

Dieser Quotient wird oft auch Durchschnittsgeschwindigkeit genannt.(Danckwerts & Vogel 2006)

Leider beantwortet die Kenntnis von Durchschnittsgeschwindigkeiten nicht die Frage, wie schnell der Wagen zu einem bestimmten Zeitpunkt, sagen wir zum Zeitpunkt t = 1, ist.

Beispiel 1: GeschwindigkeitenOen: Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt t0 (Momentangeschwindigkeit) Zndende Idee: Annherung durch Durchschnittsgeschwindigkeiten: u a Zeitintervall [t0 , t ] mittlere Geschwindigkeits (t ) s (t0 ) im Zeitintervall [t0 , t ] t t022 12 = 3 2 1 1,12 12 = 2,1 1,1 1

54

[1;2] [1;1,1] [1;1,01] [1;1,001]M

1, 012 12 = 2,01 1, 01 1 1, 0012 12 = 2,001 1, 001 1 M

Wir entnehmen der Tabelle: Je kleiner das Intervall [ t0 , t] wird, je nher

(Danckwerts & t Vogel heran rckt, umso nher scheint die mittlere Geschwindigkeit also an t0 2006)dem Wert 2 zu kommen; sie kommt ihm beliebig nahe. Um uns zu verge-

M

M

Wir entnehmen der Tabelle: Je kleiner das Intervall [ t0 , t] wird, je nher dem Wert 2 zu kommen; sie kommt ihm beliebig nahe. Um uns zu verge-

Beispiel 1: Geschwindigkeiten

Oen: Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt t0 (Momentangeschwindigkeit) Zndende Idee: Annherung durch Durchschnittsgeschwindigkeiten: u wissern, nhern a uns auch von der anderen Seite (t < t0 ): wir [t , t0 ] [0;1] [0,9 ;1] [0,99 ;1] [0,999 ;1]M

also t an t0 heran rckt, umso nher scheint die mittlere Geschwindigkeit

s (t0 ) s (t ) t0 t 1 1,9 1,99 1,999M

Setze

als Momentangeschwindigkeit.(Danckwerts & Vogel 2006)

Wie erwartet bewegen sich die mittleren Geschwindigkeiten wieder auf den Wert 2 zu. Man wird 2 m/s fr die gesuchte0Momentangeschwindigkeit hals(t ) s(t) s (t0 ) := lim ten. t t0 t0 t Dass jede andere Annherung an den Zeitpunkt t0 = 1 zu demselben Ergeb-

nis fr die Momentangeschwindigkeit fhrt, knnen wir ohne groe Mhe einsehen:

Beispiel 1: GeschwindigkeitenResmee u Beschreibt f den funktionalen Weg-Zeit-Zusammenhang, so istf ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) x x0 der zurckgelegte Weg zum Zeitpunkt x0 der in der Zeit von x0 bis x zurckgelegte Weg der in der Zeit von x0 bis x zurckgelegte Weg bezogen auf die dafr bentigte Zeitspanne x x0 (dies ist die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall [ x0 , x ] ) f ( x0 ) die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x0 . 57

(Danckwerts & Vogel 2006) beschreibt diese Kette allgemein in der Sprache zeitDie nachfolgende bersicht

licher Abhngigkeit:

[f ( x0 )

0

]

die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x0 .

Der Ableitungsbegri

Resmee u

Die nachfolgende bersicht beschreibt diese Kette allgemein in der Sprache zeitlicher Abhngigkeit: f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) x x0 relativer Zuwachs im Zeitintervall f ( x0 ) = lim f ( x) f ( x0 ) x x0

Allgemein:x x0

Bestand zum Zeitpunkt x0

absoluter Zuwachs in der Zeit von x0 bis x

[x0 , x]

momentane (lokale) nderungsrate zum Zeitpunkt x0

(mittlere nderungsrate) Differenzenquotient algebraisch

Funktionswert

Differenz der Funktionswerte

Ableitung

analytisch


Der Weg zu f ( x0 )

Der AbleitungsbegriBeispiel: Die Modellgre der Arbeitsproduktivitt Beispiel 2: Die Arbeitsproduktivitt a

59

Im Im Allgemeinen wirddie in einer Fabrik produzierte Warenmenge mit der Allgemeinen wird die in einer Fabrik produzierte Warenmenge mit der Anzahl der geleisteten Arbeitsstunden wachsen. Anzahl der geleisteten Arbeitsstunden wachsen. Typisch ist etwa folgender Verlauf: ist etwa der folgende Verlauf: Typischy 20.000 10.000x0

produzierte Stckzahl f

1000

2000

3000

4000

x geleistete Arbeitsstunden


f ( x0 ) gibt an, wie viele Werkstcke produziert werden, wenn x0 Stunden

Beispiel 2: Arbeitsproduktivitt af : Geleistete Arbeitsstunden produzierte Stckzahl u Dann bedeutet: f ( x0 ) die produzierte Stckzahl bei x0 Arbeitsstunden u f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) x x0 die bei Erhhung der Arbeitszeit von x0 auf x Stunden o zustzlich produzierte Stckzahl a u die in der Zeit von x0 bis x zustzlich produzierte a Stckzahl bezogen auf die dafr bentigte zustzliu u o a che Arbeitszeit x x0 (die durchschnittliche Arbeitsproduktivitt) a die (lokale) Arbeitsproduktivitt fr x0 Arbeitsstunden a u (Grenzertrag des Faktors Arbeit(sstunden))

f ( x0 )


0

Das bedeutet, im Bereich zwischen 2700 und 3000 Stunden werden in dieser Fabrik im Mittel 2 Stcke mehr pro Arbeitsstunde produziert.

Beispiel 2: Arbeitsproduktivitt a

f : Geleistete Arbeitsstundenlokale nderungsrate uckzahl deuten? Wie ist in diesem Kontext die produzierte St ( x0 ) zu fDer Grenzbergang x x0 wird durch den Sachkontext nicht gedeckt, denn es werden nur ganze Stunden gezhlt, so dass der Abstand von x zu x0 bestenfalls 1 werden kann. Der analytische Grenzwertx x0

lim

f ( x) f ( x0 ) x x0

ist also im unterliegenden diskret definierten Sachkontext zu interpretieren durch den Differenzenquotienten f ( x0 + 1) f ( x0 ) . 1 Er gibt fr die Stelle x0 an, wie viele Stcke mehr pro zustzliche einzelne Arbeitsstunde produziert werden. Hier ist & Ableitung (Danckwerts dieVogel 2006)als lokale nderungsrate offenkundig eine theoreti-

Ableitung: SchreibweisenFr den Dierenzenquotient ist auch folgende Schreibweise ublich: u f ( x ) f ( x0 ) f (x) f = = x x0 x x Fr den Dierentialquotient ist auch folgende Schreibweise ublich: u f ( x0 ) = lim f ( x ) f ( x0 ) df = x x0 dx

x x0

Weitere Schreibweisen (fr Ableitung an der Stelle x0 ): u

AbleitungsregelnSei f eine reelle Funktion und f ihre Ableitung. Dann gilt: (1) f ( x ) = x n

f ( x ) = n x n 1 ( n N ) fr f : R\{0} R gilt dieser Satz fr alle n Z u u + R gilt dieser Satz fr alle n Q fr f : R u u f (x) = 0

(2) f ( x ) = c (3) f ( x ) = a x

f ( x ) = a x ln a speziell: f ( x ) = ex f ( x ) = ex

(4) (c f ) ( x ) = c f ( x ) fr alle c R u

AbleitungsregelnSeien f und g reelle Funktionen und f bzw. g ihre Ableitungen. Dann gilt: (5) ( f + g) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) (6) ( f g) ( x ) = f ( x ) g ( x ) (7) ( f g) ( x ) = f ( x ) g( x ) + g ( x ) f ( x ) (8)f g

(Produktregel) (Quotientenregel) (Kettenregel)

(x) =

f ( x ) g( x ) g ( x ) f ( x ) , ( g( x ))2

g( x ) = 0

(9) ( f g) ( x ) = f ( g( x )) g ( x )

AbleitungsregelnBeispiel 3:Dierenzieren Sie f mit a) f ( x ) = x3 + 3x2 x + 4 3 b) f ( x ) = x2 c) f ( x ) = x e x d) f ( x ) =ax x2

e) f ( x ) = e x f) f ( x ) = x2 + 1

Interpretation: Grenzfunktionen

(Tietze 2009)


(Tietze 2009)


(Tietze 2009)


(Tietze 2009)

Interpretation: GrenzfunktionenBeispiel 4: GrenzfunktionenWas bedeuten die Ableitungen der folgenden Funktionen, wie werden diese konomisch typischerweise bezeichnet (und in welchen Einheiten o werden sie gemessen)? a) Kostenfunktion K ( x ) und variable Kostenfunktion Kv ( x ) b) Ertragsfunktion (Investitionen Ertrag) x (K ) c) Konsumfunktion C (Y ) bzw. Sparfunktion S(Y ) d) Erlsfunktion E( x ) bzw. E( p) o e) Nachfragefunktion x N ( p) bzw. Preis-Absatzfunktion p N ( x ) Ausfhrliche Darstellung in Tietze (2011) u

Der Elastizittsbegri aBeispiel 5: Der Markt fr Weizen uAus statistischen Untersuchungen wissen wir, dass 1981 die Angebotsfunktion fr Weizen in den USA ungefhr wie folgt aussah: u a x A ( p) = 1800 + 240p Die Nachfragefunktion war gegeben durch: x N ( p) = 3550 266pPreise in Dollar (nominal) pro Scheel, Mengen in Millionen Scheel (1 Scheel etwa 36 Liter) (Pindyck & Rubinfeld 2009)

Die Ableitungsfunktionen x A ( p) = 240 und x N ( p) = 266 suggerieren eine uberall gleichmige Reaktion der Menge auf den Preis. a Wie angemessen ist diese Vorstellung?

Bsp. 5: Der Markt fur Weizen p 2, 00 2, 25 2, 50 2, 75 3, 00 3, 25 3, 50 3, 75 4, 00 x A ( p) 2280, 0 2340, 0 2400, 0 2460, 0 2520, 0 2580, 0 2640, 0 2700, 0 2760, 0 x N ( p) x A (2) = 240 x N (2) = 266 3018, 0 2951, 5 x A (3) = 240 x N (3) = 266 2885, 0 x A (4) = 240 x N (4) = 266 2818, 5 2752, 0 x ( p1 ) x ( p0 ) 2685, 5 Relative Anderung: x ( p0 ) 2619, 0 x A (3) x A (2) xN 10.6% x N (3)2) (2) 8.8% 2552, 5 x A (2) xN ( 2486, 0 x (4)x (3) xN A A 9.5% x N (4)3) (3) 9.7% x (3) x (A N

Anderungsrate: x ( p0 ) = lim p p0

x ( p0 ) x ( p) p0 p

Die relative Anderung (bez. auf den Bestand) ist nicht uberall konstant!

Der Elastizittsbegri a Will man ein Anderungsma, das sowohl Bestand als auch Anderung der Funktionswerte bercksichtigt, whlt man: u a

Denition (1): Elastizitt a Die Elastizitt bezeichnet den Wert E, der die prozentuale Anderung a angibt, die an den Funktionswerten als Reaktion auf eine Vernderung a der Argumentwerte um ein Prozent auftritt. Eh ( x ) = Im Beispiel: Wie wirkt sich eine Erhhung des Preises um 1% auf die Nachfrageo und Angebotsmengen aus (in Prozentpunkten)? f (x) f (x) x x

=

f (x) x f ( x + h) f ( x ) x = x f (x) h f (x)

Der Elastizittsbegri aFr die konkrete Berechnung ergibt sich bei diskret vorliegenden u Werten folgendes Problem:Nehmen wir beispielsweise an, wir erwgen, den Preis eines a Produktes von 8 e auf 10 e zu erhhen und erwarten einen o Rckgang der nachgefragten Menge von 6 auf 4 Einheiten. u Wie sollten wir die Preiselastizitt der Nachfrage berechnen? a Betrgt die Preiserhhung 25% (eine Erhhung um 2 e geteilt a o o durch den ursprnglichen Preis von 8 e) oder 20% (ein Anstieg um u 2 e geteilt durch den neuen Preis von 10 e)? Betrgt der prozentuale Rckgang der nachgefragten Menge 33 1 % a u 3 (2 ME : 6 ME) oder 50% (2 ME : 4 ME)?

(Pindyck & Rubinfeld 2009)

Der Elastizittsbegri aLsungsansatz 1 (diskret, praktisch konomisch): o o

Denition (2): Mittlere Elastizitt aAls mittlere Elastizitt oder Bogenelastizitt in einem Intervall a a [ x0 , x1 ] wird der Wert E [ x0 , x1 ] = bezeichnet. D.h.: Man multipliziert den Quotienten der Anderung der Funktionswerte durch die Anderung der Argumentwerte mit dem Quotienten der Mittelwerte der Argumente durch den Mittelwert der Funktionswerte. f (x) x f ( x1 ) f ( x0 ) = x x1 x0 f (x)x1 + x0 2 f ( x1 )+ f ( x0 ) 2

Der Elastizittsbegri aLsungsansatz 2 (kontinuierlich, theoretisch konomisch): o o

Denition (3): Elastizitt aFr dierenzierbare Funktionen f wird der Wert u

(x) =

x x df = f (x) dx f ( x ) f (x)

a a als Elastizitt oder Punktelastizitt bezeichnet. D.h.: Man multipliziert den Wert der Ableitung an der Stelle x mit dem Quotienten des Argumentwerts durch den Funktionswert. Die Punktelastizitt ist erneut eine reine Modellgre! a o

Bsp. 5: Der Markt fur Weizen p 2, 00 2, 25 2, 50 2, 75 3, 00 3, 25 3, 50 3, 75 4, 00 x A ( p) 2280, 0 2340, 0 2400, 0 2460, 0 2520, 0 2580, 0 2640, 0 2700, 0 2760, 0 x N ( p) Punktelastizitt fr x = 3 a u 3018, 0 3 (3) = x A (3) f (33) = 240 2520 0.286 2951, 5 A 2885, 0 N (3) = x N (3) 3 = 266 3 0.290 2752 f (3) 2818, 5 2752, 0 Bogenelastizitt: fr [2; 4] a u 2685, 5 (4+2)/2 27602280 2619, 0 E A [2; 4] = 42 (2760+2280)/2 = 0.286 2552, 5 (4+2)/2 EN [2; 4] = 24863018 (2486+3018)/2 = 0.290 42 2486, 0

Bemerkung: Fr lineare Funktionen stimmt die Punktelastizitt im u a Mittelpunkt jedes Intervalls [ x1 , x2 ] mit der Bogenelastizitt in diesem a Intervall uberein.

Der Elastizittsbegri aDenition (3): Elastizitt aFr dierenzierbare Funktionen f wird der Wert u x f (x)

(x) = f (x)

als Elastizitt oder Punktelastizitt bezeichnet. a a Bezeichnungen: Funktionen mit | ( x )| > 1 heien an der Stelle x (im Intervall) elastisch Funktionen mit | ( x )| < 0 heien an der Stelle x (im Intervall) unelastisch (| ( x )| = 1 ieend, | ( x )| = 0 vollkommen unelastisch, | ( x )| unendlich elastisch)

Der Elastizittsbegri aAchtung: Achsenvertauschung bei Preiselastizitten ublich: a


Der Elastizittsbegri aAchtung: Achsenvertauschung bei Preiselastizitten ublich: a


Der Elastizittsbegri aBeispiel 6: Elastizitt von Potenzfunktionen aDie Elastizitt der allgemeinen Potenzfunktionen ist uberall konstant: a f (x) = a x p fr alle x D f . u

(x) = p

Insbesondere gilt: Wurzelfunktionen (0 < p < 1) sind unelastisch. Homogene lineare Funktionen (p = 0) sind ieend. Potenzfunktionen mit natrlichen Exponenten (p > 1) sind elastisch. u

Der Elastizittsbegri aBeispiel 7: Reagibilittsgrad von Kosten aDie Begrie proportionale, progressive, degressive und regressive Kosten knnen o uber die Beschftigungselastizitt der variablen Kosten deniert sein. a a

(Ebert 2004)

Der Elastizittsbegri aBeispiel 8: Reagibilittsgrad von Kosten aDie Begrie proportionale, progressive, degressive und regressive Kosten knnen o uber die Beschftigungselastizitt der variablen Kosten deniert sein. a a

(Ebert 2004)

Anderung, Ableitung, Elastizitt aWo Sie nachlesen knnen: oDanckwerts, Rainer & Vogel, Dankwart (2006): Analysis verstndlich unterrichten. a Heidelberg: Spektrum Akad. Verlag S. 51 62 Kronfellner, Manfred & Peschek, Werner (1999): Angewandte Mathematik. Wien: o bv & hpt. Bd. 3, Abs. 1, 4.1, 4.2, 4.5 Pindyck, Robert S. & Rubinfeld, Daniel L. (2009): Mikrokonomie (7. Auage). o Mnchen: Pearson Studium. u Abs. 2.4.1 Tietze, Jrgen (2011): Einfhrung in die angewandte Wirtschaftsmathematik. u u Braunschweig: Vieweg & Teubner. Abs. 6.1

Zshg. zw. Eigenschaften & Ableitung(en)Was Sie knnen und wissen sollten oHallo

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Ausgewhlte Anwendungen aWas Sie knnen und wissen sollten oHallo

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