Die Ableitung im nR

Erinnerung• Die Ableitung bei Funktionen

Wir sehen: die rote Funktion (Tangente) ist die Gerade, die dieAbbildung f am Punkt P am besten approximiert.

:f R R

Verallgemeinerung im

• Idee: Verallgemeinerung des „Prinzips der Tangente“ im Mehrdimensionalen

• Betrachte dafür eine Funktion ,wie etwa

Was ist nun die Ableitung im Punkt a?

nR

2:f R R

• Aus der VL, Def. 2.1, ist die Abbildung

in einer Umgebung von t = 0 definiert. :

: ( )v

v

f

f t f a tv

R R

• Der blaue Strahl (also die Abbildung ) ist im Endeffekt „eindimensional“

• Die Ableitung von an der Stelle 0 nennt man die Richtungsableitung von f bei a in Richtung v.

Grafik blau: grün:

: ' 0v vD f a f

vf

vf

vf

: ' 0v vD f a f

• Klar: Gleiche Prozedur am gleichen Punkt a nur in eine andere Richtung.

• Die beiden Geraden spannen eine Ebene auf:

Fakt: Jede weitere Richtungsableitung liegt in dieser Ebene

• Oft nimmt man bei der Richtungsableitung als Richtung die x- bzw. y- Richtung, die sog. Partiellen Ableitungen.

(Berechnung: Ersetze für v einfach bzw. )

Die totale-/Fréchet Ableitung in a ist per Definition die lineare Abbildung L, die f bei a am besten approximiert, also aufzufassen mit unserer Tangentialebene.

1e 2e

• Zusatz: Existieren alle Richtungsableitungen in einem Punkt a und ist die Abbildung

linear, so ist die sog. Gâteaux-Ableitung von f in a und f heißt Gâteaux-diffbar in a.

Beachte: Fréchet-d.b. Gâteaux-d.b alle Richtungsabl. ex.

( ) :

( )( ) : ( ) '(0)

n

v v

Df a

Df a v D f a f

R R

( )Df a