Algebra - · PDF fileAlgebra Professor Walter Gubler 29. April 2010. 2. Inhaltsverzeichnis I...

Algebra

Professor Walter Gubler

29. April 2010

Inhaltsverzeichnis

I Algebra I 11

I Gruppentheorie 13I.1 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

I.1.1 De�nition einer Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13I.1.2 Eigenschaften von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13I.1.3 Homomorphismus und Untergruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . 13I.1.4 Eigenschaften von Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . 14I.1.5 Gruppenhomomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15I.1.6 Monoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15I.1.7 Vom Monoid zur Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15I.1.8 Die symmetrische Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.1.9 Vektorraumautomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.1.10 Gruppenisomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.1.11 Äquivalente Umformulierung von Gruppenisomorphismus . . . . . . 16I.1.12 Produkt von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

I.2 Nebenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18I.2.1 Verknüpfung auf der Potenzmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . 18I.2.2 Eine Äquivalenzrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18I.2.3 Nachweis dieser Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18I.2.4 Linksnebenklasse = Äquivalenzklasse . . . . . . . . . . . . . . . . 18I.2.5 Repräsentantensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I.2.6 Linkstranslation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I.2.7 Index einer Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I.2.8 Ordnung einer Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I.2.9 Satz von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I.2.10 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I.2.11 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

I.3 Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21I.3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21I.3.2 Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21I.3.3 Spezialfall abelsche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21I.3.4 Rechenregeln in G/N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21I.3.5 Faktorgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.3.6 Kern der Quotientenabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.3.7 Kern als Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.3.8 Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23I.3.9 1.Isomorphisatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23I.3.10 2.Isomorphisatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

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4 INHALTSVERZEICHNIS

I.4 Zyklische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25I.4.1 Die kleinste Untergruppe von G, die Y enthält . . . . . . . . . . . 25I.4.2 Zyklische Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25I.4.3 Ordnung von einem Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25I.4.4 Untergruppen von Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25I.4.5 Zusammenhang: Ordung einer Gruppe, Ordnung eines Elementes . 26I.4.6 Zyklische Gruppen und Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.4.7 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27I.4.8 Zahlentheoretische Ergänzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27I.4.9 Lemma von Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27I.4.10 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27I.4.11 Eulersche Phi-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27I.4.12 Satz von Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28I.4.13 Kleiner Satz von Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

I.5 Permutationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29I.5.1 Satz von Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29I.5.2 Permutationen und Zyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29I.5.3 Teilweise Kommutativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29I.5.4 Weitere Rechenregel für Zykel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30I.5.5 Zerlegung-Satz über Elemente aus der symmetrischen Gruppe . . . 30I.5.6 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

I.6 Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32I.6.1 Gruppenaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32I.6.2 Linkstranslation als Gruppenoperation . . . . . . . . . . . . . . . . 32I.6.3 Konjugation als Gruppenoperation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32I.6.4 Potenzmenge mit Gruppenoperation 1 . . . . . . . . . . . . . . . 33I.6.5 Potenzmenge mit Gruppenoperation 2 . . . . . . . . . . . . . . . 33I.6.6 Die Bahn von x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33I.6.7 Bahnen als Äquivalenzklasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33I.6.8 Der Stabilisator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33I.6.9 Bijektion mit Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34I.6.10 Bahnengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34I.6.11 Zentrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34I.6.12 Zentralisator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34I.6.13 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35I.6.14 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35I.6.15 Klassengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35I.6.16 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

I.7 Die Sylow Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37I.7.1 Beispiel mit der alternierende Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . 37I.7.2 Lemma von Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37I.7.3 1.Sylow-Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37I.7.4 p-Sylow-Untergruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38I.7.5 2.Sylow-Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

I.8 Klassi�kation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39I.8.1 Klassi�zierung der Z/pZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39I.8.2 Klassi�zierung endlicher abelschen Gruppen . . . . . . . . . . . . . 39I.8.3 Chinesischer Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

INHALTSVERZEICHNIS 5

I.8.4 Isomorphietypen von endlichen abelschen Gruppen . . . . . . . . . 39I.8.5 Ergänzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40I.8.6 Übungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40I.8.7 Übungsaufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40I.8.8 Klassi�kation bis ord = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41I.8.9 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

II Ringtheorie 43II.1 Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

II.1.1 De�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43II.1.2 Kommutative Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43II.1.3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43II.1.4 Körper als Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43II.1.5 Weitere Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44II.1.6 Teilbarkeit in Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44II.1.7 Integritätsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44II.1.8 Quotientenkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44II.1.9 Ringhomomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45II.1.10 Ringisomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45II.1.11 Ringtheoretisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

II.2 Ideale und Restklassenringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46II.2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46II.2.2 Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46II.2.3 Ring/Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46II.2.4 Faktorring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46II.2.5 Eigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46II.2.6 Kern als Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47II.2.7 Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47II.2.8 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47II.2.9 Ideale in einem Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47II.2.10 Injektive Körperhomomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47II.2.11 Maximalideal und Primideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48II.2.12 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48II.2.13 Maximalideal ist Primideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49II.2.14 Kern als Primideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49II.2.15 Chinesischer Restsatz für Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

II.3 Beispiele für Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51II.3.1 Matrizen und Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51II.3.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51II.3.3 Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51II.3.4 Einsetzhomomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

II.4 Teilbarkeit in Monoiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53II.4.1 Assoziiertheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53II.4.2 Irreduzibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53II.4.3 Prim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53II.4.4 Prim ist irreduzibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53II.4.5 Primbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54II.4.6 Faktorisierung, faktoriell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54


II.4.7 Teilerkettenbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54II.4.8 Faktorielle Monoide erfüllen Teilerkettenbedingung . . . . . . . . . 54II.4.9 Teilerkettenbedingung impliziert Faktorisierung . . . . . . . . . . . 54II.4.10 Irreduzibel und prim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55II.4.11 Faktoriell, Primbedingung und Teilerkettenbedingung . . . . . . . . 55II.4.12 ggT und kgV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

II.5 Hauptideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.5.1 Erzeugte Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.5.2 Erzeugende des Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.5.3 Hauptideal und Hauptidealbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.5.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.5.5 Grundlegende Äquivalenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.5.6 ggT und kgV für Integritätsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . 57II.5.7 Primideal und prim Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57II.5.8 ggT und kgV Idealtheoretisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57II.5.9 Äquivalenz von prim und irreduzibel . . . . . . . . . . . . . . . . . 58II.5.10 Primideale sind maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58II.5.11 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58II.5.12 Chinesischer Restsatz für Hauptidealbereich R . . . . . . . . . . . 58II.5.13 Chinesischer Restsatz für Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59II.5.14 ggT und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59II.5.15 Spezialfall R=Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

II.6 Faktorielle Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60II.6.1 Faktoriell in Integritätsbereichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60II.6.2 Division mit Rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60II.6.3 Euklidische Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60II.6.4 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60II.6.5 Euklidische Ringe sind Hauptidealbereich . . . . . . . . . . . . . . 60II.6.6 Hauptidealbereich sind faktoriell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61II.6.7 Faktorielle euklidische Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61II.6.8 Euklidischer Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61II.6.9 Rechenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61II.6.10 Lösen von diophantischen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 62II.6.11 Rechenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

II.7 Polynome über faktorielle Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63II.7.1 Zerlegung in endlich viele prim Elemente . . . . . . . . . . . . . . 63II.7.2 p-adische Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63II.7.3 p-adische Bewertung auf Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . 63II.7.4 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63II.7.5 Gauÿ-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64II.7.6 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64II.7.7 Inhalt von f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65II.7.8 Polynomring über faktorielle Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . 65II.7.9 Faktorielle Polynomringe mehreren Variablen über einen Körper . . 66II.7.10 Eisensteinsches Irreduzibilitätskriterium . . . . . . . . . . . . . . . 66II.7.11 Beispiel für Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67II.7.12 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67


III Körper 69III.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

III.1.1 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69III.1.2 Linearfaktorisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69III.1.3 Abspalten der Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70III.1.4 Endlich viele Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70III.1.5 Charakteristischer Ringhomomorphismus . . . . . . . . . . . . . . 70III.1.6 Charakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70III.1.7 Teilkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71III.1.8 Primkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71III.1.9 Charakteristik von Teilkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

III.2 Körpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72III.2.1 Körpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72III.2.2 Grad einer Körpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72III.2.3 Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72III.2.4 Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72III.2.5 Gradformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72III.2.6 Körpererweiterung mit Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73III.2.7 Polynomiale Konstruktion von C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74III.2.8 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74III.2.9 Teilringe von Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74III.2.10 Proposition über Teilringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75III.2.11 Körpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75III.2.12 Quotientenkörper von Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

III.3 Algebraische Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76III.3.1 Algebraisch und transzendent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76III.3.2 Beispiele in C und R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76III.3.3 Äquivalenz von algebraisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76III.3.4 Minimalpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76III.3.5 Äquivalenzen vom Minimalpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . 76III.3.6 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77III.3.7 Äquivalenz Unterkörper und algebraisch . . . . . . . . . . . . . . . 77III.3.8 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78III.3.9 Minimalpolynom und Gradformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78III.3.10 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78III.3.11 Äquivalenz: algebraisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78III.3.12 Algebraischen Elemente als Unterkörper . . . . . . . . . . . . . . . 79

III.4 Zerfällungskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80III.4.1 Nullstellen von K auf seine Körpererweiterung . . . . . . . . . . . 80III.4.2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80III.4.3 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80III.4.4 Oberkörper der ein p(x) faktorisiert mit Gradabschätzung . . . . . 81III.4.5 Teilkörper und Teilring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82III.4.6 Zerfällungskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

III.5 Algebraisch abgeschlossene Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84III.5.1 Algebraisch abgeschlossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84III.5.2 Folgerung aus De�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84III.5.3 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84


III.5.4 Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85III.5.5 Zorn'sches Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86III.5.6 Existenz maximaler Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86III.5.7 Vereinbarung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86III.5.8 Algebraisch abgeschlossener Oberkörper . . . . . . . . . . . . . . . 86III.5.9 Algebraische Körpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87III.5.10 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87III.5.11 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87III.5.12 Algebraischer Abschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87III.5.13 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

IV Galoistheorie 89IV.1 Normale Körpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

IV.1.1 Normale Körpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89IV.1.2 Homomorphismen von primitiven Körpererweiterungen . . . . . . . 89IV.1.3 Nullstellen Isomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90IV.1.4 Äquivalenz von normale Körpererweiterung/Zerfällungskörper . . . 90IV.1.5 Von Körpererweiterung zur normale Körpererweiterung . . . . . . . 91IV.1.6 Zwischenkörper als normale Körpererweiterung . . . . . . . . . . . 91

IV.2 Separable Körpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92IV.2.1 De�nitionskette von separabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92IV.2.2 Lemma zum ggT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92IV.2.3 Kriterium für separable Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93IV.2.4 Alle irreduzible Polynome sind separabel in Charakteristik 0 . . . . 94IV.2.5 Algebraische Körpererweiterung mit char(K)=0 sind separabel . . . 94IV.2.6 Kriterium für separabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94IV.2.7 Satz vom primitiven Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94IV.2.8 Existenz von Körperhomomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . 95IV.2.9 Äquivalenz für separabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

IV.3 Galois-Erweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96IV.3.1 Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96IV.3.2 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96IV.3.3 Äquivalenzen: Automorphismengruppen . . . . . . . . . . . . . . . 96IV.3.4 Galoiserweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98IV.3.5 Kriterium für Galoiserweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98IV.3.6 Hauptsatz der Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98IV.3.7 Viele Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99IV.3.8 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100IV.3.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

IV.4 Zyklotomische Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104IV.4.1 Einheitswurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104IV.4.2 Einheitswurzeln in Z/pZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104IV.4.3 Die Menge der Einheitswurzeln als Gruppe . . . . . . . . . . . . . 104IV.4.4 Anzahl Einheitswurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104IV.4.5 Primitive n-te Einheitswurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105IV.4.6 Folgerungen für primitive Einheitswurzeln . . . . . . . . . . . . . . 105IV.4.7 n-te Kreisteilungskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107IV.4.8 Grad des Kreisteilungskörpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107


IV.5 Au�ösbare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109IV.5.1 Au�ösbare Gruppe und Normalreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . 109IV.5.2 Untergruppen sind au�ösbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109IV.5.3 Äquivalenz von au�ösbar mit Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . 109IV.5.4 Bilder von au�ösbaren Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110IV.5.5 Verfeinerte Normalreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110IV.5.6 Endliche p-Gruppen sind au�ösbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111IV.5.7 Beispiel mit der symmetrischen Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . 111

IV.6 Konstruktion mit Zirkel und Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112IV.6.1 Elementare Zeichentechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112IV.6.2 Konstruierbarer Teilkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112IV.6.3 Invarianz normaler Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . 113IV.6.4 Transitivität auf den Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113IV.6.5 Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114IV.6.6 Verallgemeinerung des Hauptsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . 116IV.6.7 Delisches Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117IV.6.8 Quadratur des Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117IV.6.9 Dreiteilung des Winkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117IV.6.10 Lemma aus der elementaren Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . 118IV.6.11 Reguläre n-Ecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

IV.7 Au�ösbarkeit algebraischer Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119IV.7.1 Quadratische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119IV.7.2 Au�ösbarkeit durch Radikale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119IV.7.3 Galoisgruppe eines Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119IV.7.4 Zyklische Körpererweiterungen I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119IV.7.5 Zyklische Körpererweiterungen II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120IV.7.6 Hauptsatz zur Au�ösbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120IV.7.7 Gleichungen vom Grad kleiner als 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 121IV.7.8 Allgemeines Polynom n-ten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . 121IV.7.9 Galoisgruppe des allgemeinen Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . 121IV.7.10 Zum Grad des Zerfällungskörpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121IV.7.11 Au�ösbarkeit der allgemeinen Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 121IV.7.12 Grad 3 und 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

A Übungen 123

Literaturverzeichnis 133

Symbolverzeichnis 135


VorwortDieses Skript wurde während meiner Vorlesung Algebra I im WS 09/10 an der Eberhard-Karls-Universtität Tübingen von Christian Power erstellt, dem ich dafür vielmals danke.Das Skript kann nur für die Hörer meiner Vorlesung von Nutzen sein. Wer sich sonst fürAlgebra interessiert, der sei auf die Literaturliste am Ende verwiesen, aus der ich alle hieraufgeschriebenen Informationen genommen habe. Vielen Dank auch denjenigen, die mirFehler in der Mitschrift gemeldet haben. Es wird noch einige weitere Fehler geben, da dieMitschrift von mir nicht richtig überprüft wurde. Wer weitere Fehler �ndet, soll sie bitte [email protected] melden.

Walter Gubler

Klassische Algebra = Rechnen und Lösen von polynomialen Gleichungen.Klassische lineare Algebra = Rechnen und Lösen von linearen Gleichungen.Moderne (oder abstrakte) Algebra = Studium von Verknüpfungen

In dieser Vorlesung:

I Gruppen

II Ringe

III Körper

Im 3.Teil werden wir Körpererweiterungen behandeln. Dies ist die Abstraktion von poly-nomialen Gleichungen xn + an−1x

n−1 + . . . + a0 = 0. Dies führt auf die Galoistheorie.Als Anwendung können wir entscheiden, welche dieser Gleichungen lösbar sind. Als weitereAnwendung können wir entscheiden, welche Konstruktionen mit Zirkel und Lineal durchführ-bar sind. Die Lösung dieser beiden klassischen Probleme geht zurück auf den französischenMathematiker Galois (anfang 19.Jahrhundert).

Teil I

Algebra I

11

Kapitel I

Gruppentheorie

I.1 Gruppen

I.1.1 Definition einer Gruppe

Definition:Eine Gruppe ist eine Menge G mit einer inneren Verknüpfung G× G → G, (a, b) 7→ a · bmit folgenden Axiomen:

i) (a · b) · c = a · (b · c) (assoziativ)

ii) ∃e ∈ G mit a · e = e · a = a (Neutralelement)

iii) ∀a ∈ G ⇒ ∃a−1 ∈ G mit a · a−1 = a−1 · a = e (Inverses Element zu a)

I.1.2 Eigenschaften von Gruppeni) Das Neutralelement ist eindeutig.

ii) Die Inverse a−1 ist eindeutig zu jedem a ∈ G.

iii) (a · b)−1 = b−1 · a−1.

iv) Die Gleichung a · x = b hat genau eine Lösung in x. Es gilt x = a−1 · b.Die Gleichung y · a = b hat genau eine Lösung in y. Es gilt y = b · a−1.

Wir beweisen exemplarisch (ii), die anderen Eigenschaften gehen analog. Wir nehmen an,dass es noch ein a′ ∈ G gibt mit a′ · a = a · a′ = e (wir wissen nach Axiom 1.1 iii), dassa−1 · a = a−1 · a = e gilt). Zu zeigen: a′ = a−1.

a′ =Axiom ii)

e · a′ =Axiom iii)

(a−1 · a) · a′ =Axiom i)

a−1 · (a · a′) = a−1 · e =Axiom ii)

a−1

I.1.3 Homomorphismus und UntergruppeWir wollen einen Homomorphismus de�nieren. Dies geht in der Algebra immer nach dem-selben Prinzip. Man hat gewisse Spielregeln. Die Objekte sind hier Gruppen.

13

14 KAPITEL I. GRUPPENTHEORIE

Definition:Ein Homomorphismus ist eine Abbildung ϕ : G1 → G2 zwischen den Objekten, die dieStruktur erhält, d.h. hier eine Abbildung ϕ : G1 → G2 zwischen Gruppen mit ϕ(a · b) =ϕ(a) · ϕ(b).

(analog in der linearen Algebra. Objekte = Vektorräume über einem gegebenen KörperK, Homomorphismus ϕ : V1 → V2 zwischen K-Vektorräume = K-linearen Abbildungen,d.h. ϕ(x+ y) = ϕ(x) + ϕ(y) ∀x, y ∈ V und ϕ(λ · x) = λ · ϕ(x) λ ∈ K)

'Unterobjekte', das sind Teilmengen eines gegebenen Objekts mit derselben 'vererb-ten' Struktur. Z.B. in der linearen Algebra ist ein Unterobjekt eines Vektorraums V einUntervektorraum U , dass ist selber ein Vektorraum mit +, · vererbt von V .

Definition:Eine Untergruppe einer gegebenen Gruppe G als H ⊂ G mit den Eigenschaften, dass

i) e ∈ H (neutrales Element)

ii) a, b ∈ H ⇒ a · b ∈ H (abgeschloßen)

iii) a ∈ H ⇒ a−1 ∈ H (inverses Element in H)

Durch diese 3 Axiome erreicht man, dass H selber eine Gruppe ist bezüglich der von Gvererbten Verknüpfung ·.

I.1.4 Eigenschaften von HomomorphismenSei ϕ : G1 → G2 ein Homomorphismus von Gruppen.

i) ϕ(e1) = e2 für das Neutralelement e, von G;

ii) ϕ(a−1) = ϕ(a)−1 für alle a ∈ G1;

iii) Sei ψ : G2 → G3 auch ein Gruppenhomomorphismus, dann ist ψ ◦ ϕ ein Gruppenho-momorphismus.

Beweis. i) Es gilt

ϕ(e1) =e1 Neutralelement

ϕ(e1 · e1) =Homom.

ϕ(e1) · ϕ(e1) ⇒Kürzungsregel 1.2 iv)

ϕ(e1) = e2

(hier a = ϕ(e1) = b, a · x = b hat Lösung x = ϕ(e1) und x = e2)

ii)ϕ(a) · ϕ(a−1) = ϕ(a · a−1) = ϕ(e1) = e2 nach i)

Analog ϕ(a−1)ϕ(a) = e2. Nach Definition des Inversen gilt ϕ(a−1) = ϕ(a)−1.

iii)ψ ◦ ϕ(a · b) = ψ

(ϕ(a · b)

)= ψ

(ϕ(a) · ϕ(b)

)= ψ

(ϕ(a)

)· ψ(ϕ(b)

)⇒ ψ ◦ ϕ Homomorphismus.

Q.E.D.

I.1. GRUPPEN 15

I.1.5 Gruppenhomomorphismus

Definition:Sei ϕ : G1 → G2 Gruppenhomomorphismus. Der Kern von ϕ ist gleich ker(ϕ) :=ϕ−1(e2) = {a ∈ G1| ϕ(a) = e2}.

Proposition:ker(ϕ) ist eine Untergruppe von G1, ϕ(G1) ist eine Untergruppe von G2. Weiter ist ϕ genaudann injektiv, wenn ker(ϕ) = {e1}.

Beweis. Übung Q.E.D.

Beispiel : • N0 ist keine Gruppe bezüglich +. Es gibt zwar ein Neutralelement (=0),aber keine Inversen.

• Z,+ ist die kleinste Gruppe, die N0,+ enthält.

• (Q,+), (R,+), (C,+) sind Gruppen.

Definition:Eine Gruppe G mit Verknüpfung · heißt abelsche Gruppe :⇐⇒ a · b = b · a ∀a, b ∈ G(kommutativ).

Obige Beispiele sind abelsche Gruppen. Beachte, dass man die Verknüpfung auch +nennen darf. Das macht man oft bei abelschen Gruppen.

I.1.6 MonoidZ,Q,R,C bezüglich der Verknüpfung · sind keine Gruppen. Es gibt zwar das Neutralelement1, aber 0 hat kein Inverse!

Definition:Eine Menge M mit einer assoziativen Verknüpfung · heißt Monoid, wenn es ein Neutralele-ment e gibt, d.h.

a · e = e · a = a für alle a ∈ G.

Z.B. sind (N0,+), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·), (C, ·) Monoide.

I.1.7 Vom Monoid zur Gruppe

Definition:Sei (M, ·) ein Monoid, dann definieren wir M∗ := {a ∈ M | ∃a−1 ∈ M mit a−1 · a =a ·a−1 = e}. Es folgt fast direkt aus den Definitionen, dass M∗ bezüglich · eine Gruppe ist.

In den Beispielen gilt (Z, ·)∗ = {−1, 1}, (Q, ·)∗ = Q \ {0}, (R, ·)∗ = R \ {0}, (C, ·)∗ =C \ {0}.


I.1.8 Die symmetrische GruppeSei X eine Menge. M(X) := Menge aller Abbildungen f : X → X und wir benutzen dieVerknüpfung ◦ von Selbstabbildungen. Dann istM(X) ein Monoid mit dem Neutralelement= 1. M(X)∗ = Menge der bijektiven Abbildungen.

Definition:S(X) := M(X)∗ heißt die symmetrische Gruppe auf X. Speziell, wenn X = {1, . . . , n},dann ist S(X) die Permutationsgruppe Sn aus der linearen Algebra.

Jedes σ ∈ Sn hat ein Signum sig(σ) ∈ {−1, 1}. Die Abbildung sig : Sn → {±1}; ist einGruppenhomomorphismus und der ker(σ) ist nach 1.5 eine Untergruppe von Sn, die wirmit An bezeichnen und die alternierende Gruppe heiÿt. Für n ≥ 3 sind Sn und An keineabelschen Gruppen.

I.1.9 VektorraumautomorphismenSei V ein Vektorraum über dem Körper K. Wir Bezeichnen mit GL(V ) die Menge derVektorraumautomorphismen. Dann ist GL(V ) eine Untergruppe von S(V ) aus 1.8. FürV = Kn kann man GL(V ) mit der Gruppe der invertierbaren n×n Matrizen (mit ·) 'iden-ti�zieren'. Diese Gruppe der invertierbaren n× n Matrizen wird mit GL(n,K) bezeichnet.

In der linearen Algebra lernt man den Homomorphismus GL(n,K) det→ K∗ kennen.SL(n,K) := Kern von det = {A ∈ GL(n,K)| det(A) = 1} ist eine Untergruppe vonGL(n,K) und heiÿt spezielle lineare Gruppe.Bemerkung : Für n ≥ 2 ist SL(n,K) und damit auch GL(n,K) nicht abelsch!

I.1.10 GruppenisomorphismusSei ϕ : G1 → G2 ein Gruppenhomomorphismus, d.h. ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b) ∀a, b ∈ G.

Definition:ϕ heißt Gruppenisomorphismus, wenn es einen Gruppenhomomorphismus ψ : G2 → G1so,dass ϕ ◦ ψ = 1G2 und ψ ◦ ϕ = 1G1 .

Falls G1 = G2, dann spricht man von einen Automorphismus von Gruppen.

I.1.11 Äquivalente Umformulierung von Gruppenisomorphis-mus

Proposition:Sei ϕ : G1 → G2 Gruppenhomomorphismus. Dann ist ϕ genau dann ein Isomorphismus,wenn ϕ bĳektiv ist. (Übung)

I.1.12 Produkt von GruppenSei (Gi)i∈I eine Familie von Gruppen. Dann betrachten wir

∏i∈IGi = {(xi)i∈I |xi ∈ Gi}.

Dann de�nieren wir das Produkt der Gruppen (Gi)i∈I als∏i∈G

Gi versehen mit der Verknüp-

fung(xi)i∈I · (yi)i∈I := (xi · yi)i∈I .

I.1. GRUPPEN 17

Häu�gstes Beispiel ist I = {1, 2, 3; d.h.G1, G2. G1 × G2 = {(g1, g2)|gi ∈ Gi}, (g1, g2) ·(g′1, g′2) = (g1 · g′1, g2 · g′2). Es folgt sofort, dass das Produkt von Gruppen von Gruppenwieder eine Gruppe ist.


I.2 NebenklassenIn diesem Abschnitt ist G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. Unser Ziel ist es,in 'G modulo H' zu rechnen.

Motivierendes Beispiel: G = Z, H = 7Z: m ≡ n mod 7 :⇐⇒ −n+m ∈ H (oder(m− n ∈ H)). Allgemein muss G nicht kommutativ sein.

I.2.1 Verknüpfung auf der PotenzmengeWir wollen zuerst die Verknüpfung · erweitern auf Teilmengen von G. Per De�nitionen istdas Produkt a priori nur auf den Elementen de�niert (oder äquivalent auf einelementigenTeilmengen).

Definition:Seien jetzt Y ⊆ G,Z ⊆ G. Y · Z := {y · z|y ∈ Y, z ∈ Z} ⊆ G. Damit erhalten wir eineVerknüpfung · auf P(G). Konvention: ∅ · Z := ∅.

Assoziativgesetz folgt sofort aus der Assoziativität von G. Neutralelement: {e}. ⇒ P(G),ist ein Monoid. Keine Gruppe, da die meisten Teilmengen (z.B. ∅) keine Inverse haben.Bemerkung : Wenn H eine Untergruppe von G ist, dann gilt H · H = H (da H · H ={h1 · h2|hi ∈ H} ⊆ H, andererseits H ·H = {h1 · h2|hi ∈ H} ⊇ {h1 · e|h1 ∈ H} = H.

Definition:Für g ∈ G, g ·H := {g} ·H = {g · h|h ∈ H} heißt eine Linksklasse von H.

I.2.2 Eine Äquivalenzrelation

Definition:g1 ∼ g2 :⇐⇒ g−1

2 · g1 ∈ H (’g1 kongruent zu g2 modulo H’).

I.2.3 Nachweis dieser Relation

Proposition:∼ ist eine Äquivalenzrelation

Beweis. • g−1g = e ∈ H, d.h. g ∼ g X (reflexiv)

• Sei g1 ∼ g2, d.h. g−12 g1 ∈ H ⇒

UG.axiomg−1

1 · (g−12 )−1 = (g−1

2 · g1)−1 ∈ H ⇒ g2 ∼ g1 X

(symmetrisch)

• Sei g1 ∼ g2, g2 ∼ g3, d.h. g−12 ·g1 ∈ H, g−1

3 , g2 ∈ H ⇒ (g−13 ·g2)(g−1

2 ·g1) assoz.⇒ g1 ∼ g3X (transitiv)

Q.E.D.

I.2.4 Linksnebenklasse = Äquivalenzklasse

I.2. NEBENKLASSEN 19

Lemma:Sei g ∈ G. Dann ist die Äquivalenzklasse von g bezüglich. ∼ gleich der LinksnebenklassegH.

Beweis. Äquivalenzklasse von g = {g′ ∈ G|g′ ∼ g} = {g′ ∈ G|g−1 · g′ ∈ H} = {g′ ∈G|g′ ∈ gH} = gH. Q.E.D.

I.2.5 RepräsentantensystemeDie Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation zerlegen die Grundmenge (hier G) in dis-junkte Teil. Wir wählen aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Element. Damit erhalten wirein Repräsentantensystem R. Im Bsp G = Z, H = 7Z können wir R = {0, 1, 2, . . . , 6}wählen, aber andere Wahlen sind auch möglich, z.B. R = {−49, 8, 2, 3, 4, 5, 6}.

⇒ G =∐g∈R

gH (I.1)

I.2.6 LinkstranslationSei g ∈ G.. Dann de�nieren die Linkstranslation mit g durch Tg : G → G, x 7→ g · x. DieLinkstranslation ist eine bijektive Abbildung, denn sie hat als Umkehrabbildung Tg−1 .

I.2.7 Index einer GruppeWir nehmen nun an, dass G eine endliche Gruppe ist. Die Anzahl der Linksnebenklassenvon H heiÿt der Index von H in G. Der Index wird mit (G : H) bezeichnet.

I.2.8 Ordnung einer GruppeDie Anzahl der Element von G heiÿt die Ordnung von G. Sie wird ord(G) bezeichnet.

I.2.9 Satz von Lagrange

Satz:

ord(G) = ord(H)(G : H)

Beweis. Nach (I.1) gilt ord(G) = ∑g∈R |gH|. Nach I.2.6 gilt |gH| = |Tg(H)| Tg bĳektiv=

|H| = ord(H). ⇒ ord(G) = |R| · ord(H). Weil R ein Repräsentantensystem ist und dieÄquivalenzklassen gleich den Linksnebenklassen, muss |R| = (G ·H) sein und es folgt dieSatz. Q.E.D.

I.2.10 Folgerung


Korollar:ord(H) ist ein Teiler von ord(G).

I.2.11 VerallgemeinerungBemerkung : Man kann I.2.7 bis I.2.10 verallgemeinern für unendliche Gruppen G, wennman ord(G) = ∞ setzt und die Rechenregeln ∞ · n = ∞ ∀n ∈ N ∪ {∞} im Satz vonLagrange benutzt.

I.3. FAKTORGRUPPEN 21

I.3 FaktorgruppenUnser Ziel: Sei H wieder eine Untergruppe von G. Wir wollen eine Gruppenstruktur G/Hde�nieren analog zu Z/7Z.

I.3.1 MotivationWir de�nieren G/H als Menge der Äquivalenzklassen bezüglich. ∼ aus I.2.2. Also istG/H = {gH|g ∈ G} die Menge der Linksnebenklassen nach I.2.4:

naiv: (g1H) · (g2H) := g1g2H

Achtung! Leider funktioniert das nicht bei beliebigen Untergruppen H von G, weil dieDe�nition von der Wahl des Repräsentanten g1 bzw. g2 abhängt. Wir werden eine zusätzlicheEigenschaft an H verlangen und die entsprechende Untergruppen Normalteiler nennen. FürNormalteiler werden wir zeigen, dass obige De�nition klappt. Umgekehrt kann man zeigen,dass die Eigenschaft Normalteiler auch hinreichend ist.

I.3.2 Normalteiler

Definition:Eine Untergruppe N von G heißt Normalteiler :⇐⇒ gNg−1 = N ∀g ∈ G.

Zur Erinnerung: gNg−1 := {g × g−1|x ∈ N} und wir lassen oft · weg. Wenn N einNormalteiler von G ist, dann bezeichnen wir das mit N / G .

I.3.3 Spezialfall abelsche GruppenIn einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe ein Normalteiler:

gNg−1 =abelsch

Ng g−1 = Ne = N

Zur Erinnerung. Sei jetzt N / G. Wir de�nieren g1 ∼ g2 :⇐⇒ g2−1g1 ∈ N G/N der

Raum der Äquivalenzklassen. Für g ∈ G sei g die Äquivalenzklasse von g. Wir haben in 2.4gesehen, dass g = gN gilt.

Ziel: Gruppenstruktur auf G/N , repräsentantenweise de�niert (analog zu Z/nZ).

I.3.4 Rechenregeln in G/N

Proposition:Sei N / G. Dann ist G/N eine Gruppe bezüglich g1 · g2 := g1 · g2.

Beweis. Wir müssen zuerst zeigen, dass die oben definierte Verknüpfung wohldefiniert istauf G/N , d.h. unabhängig von der Wahl der Repräsentanten. Seien also g1 ∼ g′1, dann istzu zeigen, dass g1 · g2 ∼ g′1g2.

(g′1g2)−1 · g1g2 = g−12 g′−1

1 · g1︸︷︷︸∈N, da g1∼g′1

g2 ∈ g−12 Ng2 =

NormalteilerN ⇒ g1g2 ∼ g′1g2.


Sei g2 ∼ g′2. Zu zeigen: g1g2 ∼ g1g′2.

(g1g′2)−1(g1g2) = (g′2)−1g−1

1 g1g2 = (g′2)−1g2 ∈g2∼g′2

N.

Fazit: Die Verknüpfung · ist wohldefiniert auf G/N . Die Gruppenaxiome für G/N folgt ausden entsprechenden Axiom für G, weil wir repräsentantenweise rechnen dürfen. Q.E.D.

I.3.5 Faktorgruppe

Definition:G/N heißt Faktorgruppe.

I.3.6 Kern der QuotientenabbildungDie Quotientenabbildung π : G→ G/N , g 7→ g, ist ein surjektiver Gruppenhomomorphis-mus, weil wir in G/N repräsentantenweise rechnen dürfen.

Proposition:

ker(π) = N.

Beweis.

g ∈ ker(π)⇐⇒ π(g) = e⇐⇒ g = e⇐⇒ g ∼ e2.4⇐⇒ g ∈ eN = N.

Q.E.D.

I.3.7 Kern als NormalteilerUmgekehrt gilt

Proposition:Sei ϕ : G1 → G2 ein Gruppenhomomorphismus, dann ist ker(ϕ) ein Normalteiler in G1.

Beweis. 1.Schritt: Sei g1 ∈ G1, dann gilt g1 ker(ϕ)g−11 ⊆ ker(ϕ).

p Für x ∈ ker(ϕ) gilt

ϕ(g1 · x · g1) =ϕHom.

ϕ(g1)ϕ(x)ϕ(g1)−1 =x∈ker(ϕ)

ϕ(g1)e2ϕ(g1)−1 = ϕ(g1)ϕ(g1)−1 = e2,

d.h. g1xg−11 ∈ ker(ϕ) und somit g1 ker(ϕ)g−1

1 ⊆ ker(ϕ)X y .2.Schritt: g1 ker(ϕ)g−1

1 ⊇ ker(ϕ). p Wir benutzen den ersten Schritt für g−11 statt für g1.

Dies ist erlaubt, weil g−11 ∈ G1.

1.Schritt⇒ g−11 ker(ϕ)(g−1

1 )−1 ⇒ g−11 ker(ϕ)g1 ⊆ ker(ϕ).

Mit Multiplikation von links mit g1 von rechts und von rechts mit g−11 folgt

ker(ϕ) = g1(g−1

1 ker(ϕ)g1)g−1

1 ⊆ g1 ker(ϕ)g−11 X.

Q.E.D.

I.3. FAKTORGRUPPEN 23

I.3.8 HomomorphiesatzSei ϕ : G1 → G2 ein Gruppenhomomorphismus.

Satz:Es gibt genau einen Homomorphismus ϕ : G1/ ker(ϕ)→ G2 so, dass ϕ(x) = ϕ(x). Weiterinduziert ϕ einen Isomorphismus G1/ ker(ϕ) ∼→ ϕ(G1).

Beweis in den Übungen.

I.3.9 1.Isomorphisatz

Satz:Sei G Gruppe, H Untergruppe und N / G.

a) HN ist eine Untergruppe von G mit Normalteiler N / HN .

b) H ∩N / H

c) ϕ : H/H ∩N → (H ·N)/N, x(H ∩N) 7→ xN ist ein Isomorphismus.

Beweis. a) Wir nehmen zwei Elemente h1 · n1 ∈ H · N und h2 · n2 ∈ H · N (mitni ∈ H,ni ∈ N) und müssen zeigen, dass (h1 · n1) · (h2 · n2) ∈ H · N ist. Wir wollenbenutzen, dass N ein Normalteiler in G ist und somit gNg−1 = N ∀g ∈ G. Wenn mandies für g−1 statt g benutzt, folgt auch

g−1Ng = N ∀g ∈ G (I.2)

(h1n1) · (h2n2) = h1h2 h−12 n1h2︸︷︷︸

∈N nach (I.2)

·n2 ∈ h1h2Nn2 ⊆ h1 · h2 N ·NH,N Unt.grp.⊆ H ·N X.

Also ist · eine innere Verknüpfung auf H ·N . Da e = e ·e⇒ e ∈ H ·N . Sei h ·n ∈ H ·N ,

(h · n)−1 = n−1h−1 = h−1 · hn−1 · h−1︸︷︷︸∈N, da N/G

∈ h−1N ⊆H Unt.grp.

HN X

Somit sind alle Untergruppen Axiome erfüllt. Weiterhin gilt H ·N ⊆ G, also gilt insbe-sondere N / HN . Damit folgt a).

b) Der Durchschnitt zweier Untergruppen ist offensichtlich wieder eine Untergruppe. Zuzeigen bleibt, dass H ∩ N die Normalteilereigenschaft erfüllt: Sei h ∈ H. Zu zeigenist h(H ∩ N)h−1 = H ∩ N. Sei also n ∈ H ∩ N . Weil H eine Untergruppe ist, musshnh−1 ∈ H. Weil N / G ⇒ hnh−1 ∈ N . Zusammengefasst gilt hnh−1 ∈ H ∩ N unddamit haben wir h(H ∩N)h−1 ⊆ H ∩N gezeigt. Wie im Beweis von I.3.7 folgt schon"Gleichheit". Damit folgt b).

c) Sei ϕ die Abbildung aus der Behauptung. Weil H ∩ N ⊆ N , ist ϕ wohldefiniert. Weildie Abbildung repräsentantenweise definiert ist, muss ϕ ein Gruppenhomomorphismussein. Wir behaupten zuerst, dass ϕ surjektiv ist. Sei hnN ein beliebiges Element aus


(H ·N)/N . Dann gilt ϕ(h(H ∩N)

)= h ·N = hn ·N , weil N eine Untergruppe ist.⇒

ϕ surjektiv. Als nächstes bestimmen wir den Kern der Abbildung H → (H ·N)/N, h 7→hN .

h im Kern ⇐⇒ hN = eN = N ⇐⇒N Untergrup.

h ∈ N.

Fazit: Kern der obigen Abbildung ist gleichH∩N . Nach I.3.8 folgt, dass ϕ : H/H∩N ∼→H ·N ein Isomorphismus ist.

Q.E.D.

I.3.10 2.Isomorphisatz

Satz:Sei N / G,H / G, N ⊆ H ⊆ G.

a) N / H

b) H/N / G/N

c) (G/N)/(H/N) ∼→ G/H, gN 7→ gH ist ein Gruppenisomorphismus ("Kürzungszegel")

Beweis. Wir wollen zunächst überlegen, dass man H/N als Untergruppe von G/N auf-fassen kann. Man betrachtet hierzu den Gruppenhomomorphismus

Hi↪→ G

π→ G/N,

wobei i die Inklusion und π die kanonische Projektion bezeichne. Da ker(π ◦ i) = N (hierwurde benutzt dass N ⊆ H), liefert er mit I.3.8 einen Monomorphismus H/N ↪→ G/N ,so dass wir H/N mit seinem Bild in G/N identifizieren können.

Hπ◦i //

π1 !!CCCC

CCCC

G/N

H/Nπ◦i

;;wwwwwwww

Damit können wir H/N als Untergruppe von G/N betrachten. Mit I.3.7 wissen wir außer-dem: N / H.

Als Nächstes beachte man, dass der Kern H der kanonischen Projektion G → G/Hden Normalteiler N enthält. Also induziert dieser Epimorphismus gemäß I.3.8 einen Epimor-phismus G/N → G/H, dessen Kern ein Normalteiler ist und mit dem Bild von H unter derProjektion G→ G/H übereinstimmt. Dieses Bild von H unter der Projektion G→ G/Nübereinstimmt. Dieses Bild hatten wir gerade mit H/N identifiziert. Wenden wir dann I.3.8nochmals an, so folgt, dass G/N → G/H einen Isomorphismus

(G/N)/(H/N) ∼→ G/H

induziert. Q.E.D.

I.4. ZYKLISCHE GRUPPEN 25

I.4 Zyklische Gruppen

I.4.1 Die kleinste Untergruppe von G, die Y enthältSei Y ⊆ G. Dann bezeichnen wir mit 〈Y 〉 die kleinste Untergruppe von G, die Y enthält.〈Y 〉 heiÿt die von Y erzeugte Untergruppe von G.

Proposition:

〈Y 〉 ={gδ1

1 · · · gδrr | r ∈ N, gj ∈ Y, δj ∈ {1,−1}}

(Produkte von Elementen aus Y oder ihrer Inversen).

Beweis. Klar ist, dass die rechte Seite in jeder Untergruppe H enthalten ist mit H ⊇Y. Weiter ist die rechte Seite eine Untergruppe, denn sie ist abgeschlossen unter · und(gδ1

1 · · · gδrr )−1 = (gδrr )−1 · · · (gδ11 )−1 = g−δrr · · · g−δ1

1 ist auch von dieser Bauart. Q.E.D.

I.4.2 Zyklische GruppeEine Gruppe, die von einem Element erzeugt wird, heiÿt zyklisch, das heiÿt es gibt einenErzeuger g ∈ G mit G = 〈g〉. Nach I.4.1 gilt dann G = {gn|n ∈ Z}, wobei wir (g−1)m =:g−m für m ∈ N de�nieren. Beachte, dass eine zyklische Gruppe abelsch ist:

gngm = gn+m = gm+n = gmgn

Im Abschnitt I.4 wollen wir die �einfachsten� Gruppen studieren. Das sind diejenigen Grup-pen, die von einem Element erzeugt werden. Sie heiÿen zyklische Gruppen und haben nachI.4.1 die Form G = {gn|n ∈ Z}. Hier ist gm := g · g · · · g︸︷︷︸

m fach

für m ∈ N und g−m := (g−1)m.

Weiter sei g0 := e. Beachte, dass die Elemente gn in der zyklischen Gruppe G nicht not-wendigerweise verschieden sind. Zur Klärung dieses Sachverhalts führen wir eine beliebigeGruppe G und g ∈ G folgendes ein.

I.4.3 Ordnung von einem Element

Definition:Die Ordnung von g ist ord(g) := min{n ∈ N|gn = e}. Wenn es kein n ∈ N gibt mitgn = e, dann sei ord(g) :=∞.

Das einfachste Beispiel einer zyklische Gruppe ist Z. Dabei ist 1 erzeugend. Beachte, dassder Erzeuger eine zyklische Gruppe nicht eindeutig ist, in Z ist auch −1 erzeugend.

I.4.4 Untergruppen von Z

Lemma:a) Jede Untergruppe von Z hat die Form mZ für geeignetes m ∈ Z.

b) Umgekehrt ist mZ eine Untergruppe von Z für alle m ∈ Z.

c) m1Z = m2Z⇐⇒ m2 = ±m1.


a). Sei H Untergruppe von Z. OBdA H 6= {0} ⇒ ∃k ∈ H \ {0} H Untergr.⇒ −k ∈ H. Alsogibt es ein l ∈ H mit l > 0. Sei m das kleinste positive Element in H. Wir behaupten, dassmZ = H ist. Weil H Untergruppe von Z ist und m ∈ N ⇒ mZ ⊆ H. Sei h ∈ H. Mit derDivision mit Rest gibt es q, r ∈ Z, 0 ≤ r < m − 1 so, dass h = qm + r. Da h ∈ H undm ∈ N, folgt q ·m ∈ H und somit r = h− qm ∈ H. Da m das kleinste positive Elementin H ist, folgt r = 0. ⇒ h = qm ∈ Z ·m, d.h. H ⊆ mZ. Insgesamt gilt H = mZ und esfolgt a).

b) und c) sind trivial. Q.E.D.

I.4.5 Zusammenhang: Ordung einer Gruppe, Ordnung einesElementes

Lemma:Sei G eine Gruppe und g ∈ G. Die Ordnung der von g erzeugten Untergruppe 〈g〉 ist gleichord(g). Kurz: ord(g) = ord(〈g〉).

Beweis. Wir betrachten die Abbildung ϕ : Z → G, n 7→ gn. Aufgrund der Potenzgesetzeist ϕ ein Gruppenhomomorphismus und das Bild von ϕ ist gerade gleich 〈g〉 nach I.4.1.Damit ist ker(ϕ) eine Untergruppe von Z. Nach Lemma I.4.4 gibt es ein m ∈ N0 mitker(ϕ) = mZ. Nun gilt

gn = gk ⇐⇒ gn−k = e⇐⇒ n− k ∈ ker(ϕ) = mZ⇐⇒ m|n− k. (∗)

1.Fall: ord(g) < ∞: Nach Definition ist ord(g) = kleinste positive Element in ker(ϕ) =m. Andererseits besteht 〈g〉 = {gl|l ∈ Z} aus den verschiedenen Elementen e = g0,g = g1, g2, . . . , gm−1 (nach (∗)). ⇒ ord(〈g〉) = m = ord(g). Dies zeigt den 1.Fall.

2.Fall: ord(g) = ∞: Dann gibt es kein n ∈ Z mit gn = e. ⇒ ker(ϕ) = {0}. Nach (∗)sind somit alle gn, n ∈ Z, verschieden. ⇒ ord(〈g〉) =∞ = ord(g). X

Q.E.D.

I.4.6 Zyklische Gruppen und Z

Proposition:Sei G eine Gruppe. Dann gilt:

a) G ist genau dann zyklisch, wenn es ein m ∈ N0 gibt mit G ∼= Z/mZ.

b) Falls G eine endliche zyklische Gruppe ist, dann gilt G ∼= Z/ ord(G)Z.

c) Eine unendliche zyklische Gruppe ist isomorph zu Z.

a).”⇐= ” ist trivial, 1 ist erzeugend in Z/mZ.

”⇒ ” Wir betrachten wieder den Gruppenhomomorphismus ϕ : Z → G, n 7→ gn aus demBeweis von Lemma I.4.5. Wir haben gesehen, dass ker(ϕ) = Zm gilt

Z/mZ = Z/ ker(ϕ) ∼= ϕ(Z) =Beweisvon I.4.5

〈g〉 =nach

Konstr.

G.

I.4. ZYKLISCHE GRUPPEN 27

Dies zeigt a). Weiter folgen b) und c) sofort aus a).Q.E.D.

I.4.7 FolgerungBemerkung : Sei g ∈ G, ord(g) <∞, k ∈ Z. gk = e⇐⇒ ord(g)|k.

Beweis. Mit dem ϕ aus dem Beweis von Lemma I.4.5 folgt:

gk = e⇐⇒ k ∈ kerϕ⇐⇒ k ∈ mZ

⇐⇒ k ∈ ord(g)Z⇐⇒ ord(g)|km = ord(g) nach 1.Fall in Beweis von I.4.5. Q.E.D.

I.4.8 Zahlentheoretische ErgänzungSei g ∈ G, dann ist ord(g) := min{k ∈ N| gk = e}. (Falls ∅, dann ord(g) =∞.)

Satz:Sei G eine endliche Gruppe und g ∈ G. Dann gilt ord(g)| ord(G).

Beweis.ord(g) =

I.4.5ord(〈g〉)| ord(G)

Q.E.D.

I.4.9 Lemma von Bezout

Lemma:Sei a, b ∈ Z. Dann ∃x, y ∈ Z mit xa+ yb = ggT(a, b).

Beweis. Später in II Ringtheorie. Beweisidee: Wende II.5.8 geschickt an. Q.E.D.

I.4.10 Folgerung

Korollar:Für m ∈ N gilt (Z/mZ)∗ = {k| ggT(k,m) = 1}.

Beweis.

k ∈ (Z/mZ)∗ ⇐⇒ ∃x ∈ Z/mZ mit k · x = 1⇐⇒ ∃x ∈ Z mit k · x ≡ 1 (mod m)

⇐⇒ ∃x, y ∈ Z mit 1− k · x = m · y ⇐⇒ ∃x, y ∈ Z mit kx+my = 1⇐⇒ ggT(k,m) = 1

(” ⇐= ” folgt aus dem Lemma von Bezout. ” =⇒ ” Durch Negation. Wenn l :=ggT(k,m) 6= 1, dann gilt l|k und l|m und damit l|kx+my für alle x, y ∈ Z.) Q.E.D.

I.4.11 Eulersche Phi-Funktion


Definition:Die Eulersche ϕ-Funktion ist gegeben durch ϕ(m) := |(Z/mZ)∗| für alle m ∈ N, d.h.ϕ(m) ist die Anzahl der Elemente in 1, 2, . . . ,m − 1, die teilerfremd zu m sind (nachKorollar I.4.10).

Z.B. ϕ(10) = 4, ϕ(7) = 6. Man zählt die Anzahl der x mit ggT(10, x) = 1. Das ist erfülltfür x = 1, 3, 7, 9.

I.4.12 Satz von Euler

Satz:Sei a ∈ Z, m ∈ N und ggT(a,m) = 1. Dann gilt

aϕ(m) ≡ 1 (mod m).

Beweis. G = (Z/mZ)∗ ist eine endliche Gruppe bezüglich · der Ordnung ϕ(m). NachKorollar I.4.10 gilt a ∈ G. Aus Satz I.4.8 folgt ord(a)| ord(G) und ord(G) = ϕ(m), alsogilt ϕ(m) = l · ord(a) für ein l ∈ N.

1 = aord(a) =⇒nach

Definition

1 = 1l =(aord(a)

)l= al ord(a) = aϕ(m) ∈ (Z/mZ).

Q.E.D.

I.4.13 Kleiner Satz von Fermat

Satz:Sei p prim und a ∈ Z, dann gilt ap ≡ a (mod p).

Beweis. 1.Fall: p - a. Es gilt ϕ(p) = p − 1 Satz vom Euler=⇒ ap−1 ≡ 1 (mod p) =⇒ ap ≡ a(mod p)X

2.Fall: p|a =⇒ ap ≡ 0 ≡ a (mod p). Q.E.D.

Z.B. 47 ≡ 4 (mod 7).

I.5. PERMUTATIONSGRUPPEN 29

I.5 PermutationsgruppenIn diesem Abschnitt werden wir sehen, dass die symmetrische Gruppe S(x) aus BeispielI.1.8 entscheidend ist für die Gruppentheorie. Wir werden insbesondere Sn hier studieren.

I.5.1 Satz von Cayley

Satz:Jede Gruppe G ist isomorph zu einer Untergruppe von S(X) für ein geeignete Menge X.Falls n := ord(G) <∞, dann kann man X = {1, . . . , n} also S(X) = Sn wählen.

Beweis. Wir wählen X = G und definieren eine Abbildung ϕ: G → S(X), g 7→ Tgwobei Tg die Linkstranslation mit g ist. Wir haben in I.2.6 gesehen, dass Tg eine bĳektiveAbbildung und damit ist ϕ wohldefiniert. Wir zeigen, dass ϕ ein Gruppenhomomorphismusist. Seien g1, g2 ∈ G:(

ϕ(g1g2))(x) = Tg1g2(x) = (g1g2)x = g1(g2 · x) = Tg1(g2 · x)

= Tg1(Tg2(x)) = (Tg1 ◦ Tg2)(x) =(ϕ(g1) ◦ ϕ(g2)

)(x).

Es folgt, dass ϕ(g1g2) = ϕ(g1) ◦ ϕ(g2) und somit ist eine Gruppenhomomorphismus. Umzu zeigen, dass G isomorph ist zu der Untergruppe ϕ(G) von S(X), genügt es zu zeigen,dass ϕ injektiv ist. Dazu müssen wir nach I.1.5 zeigen, dass ker(ϕ) = {e} gilt.

g ∈ ker(ϕ)⇐⇒ Tg = 1G ⇐⇒ g · x = x ∀x ∈ G Kürzungsregel⇐⇒ g = e X

Wenn ord(G) = n endlich ist, dann ist X = G bĳektiv zu {1, . . . , n} und somit könnenwir S(X) ersetzen durch Sn. Q.E.D.

I.5.2 Permutationen und ZyklusDie Elemente von Sn heiÿen Permutationen und sie werden mit

Π =(

1 2 3 · · · nπ(1) π(2) π(3) · · · π(n)

)

bezeichnet. Ein π ∈ Sn hieÿt Zyklus, wenn es verschiedene Elemente i1, . . . , ir mit r ≥ 2aus {1, . . . , n} gibt, so dass

i1π ))

i2π ** . . .

π ))irkk

und π(j) = j für alle j /∈ {i1, . . . , ir}. Notation für diesen Zyklus π ist π = (i1, . . . , ir), rheiÿt die Ordnung von π. Zyklen der Ordnung 2 sind die Transpositionen, z.B. (14) heiÿt

1 )) 4ii

und alles andere bleibt fest.

I.5.3 Teilweise Kommutativ


Proposition:Paarweise disjunkte Zyklen (i1 · · · ir) und (j1 · · · js) kommutieren. Disjunkt heißt{i1, . . . , ir} ∩ {j1, . . . , js} = ∅.

Beweis. Durch Einsetzen der Zahlen k ∈ {1, . . . , n} sieht man durch eine Fallunterschei-dung, dass (

(i1 · · · ir) ◦ (j1 · · · js))(k) =

((j1 · · · js)(i1 · · · ir)

)(k).

Q.E.D.

I.5.4 Weitere Rechenregel für Zykel

Proposition:Sei π ∈ Sn, (i1 · · · ir) Zyklus. Dann gilt π(i1 · · · ir)π−1 = (π(i1) · · · π(ir)).

Beweis. Wir unterscheiden zwei Fälle:

1.Fall: Sei π−1(j) /∈ {i1, . . . , ir}. Dann gilt(π ◦ (i1 · · · ir) ◦ π−1

)(j) =

(π ◦ (i1 · · · ir)

)(π−1(j)) = (π)(π−1(j)) = j.

Angenommen (π(i1) · · · π(ir))(j) = π(il) für ein geeignetes l ∈ N. Dann würdeπ−1(j) = il−1 gelten was ein Widerspruch ist †.

2.Fall: Sei π−1(j) ∈ {i1, . . . , ir}. Dann gibt es ein ein l ∈ N mit π−1(j) = il ⇐⇒ j =π(il). (

π ◦ (i1 · · · ir) ◦ π−1)(j) =

(π ◦ (i1 · · · ir)

)(il) = (π)(il+1) = π(il+1).

Q.E.D.

I.5.5 Zerlegung-Satz über Elemente aus der symmetrischenGruppe

Satz:Jedes π ∈ Sn ist eine Produkt von disjunkten Zyklen, eindeutig bis auf Reihenfolge.

Beweis mit Induktion nach n. Beginne mit i1

i1π ))

i2π ** . . .

π ))irkk

Der Zyklus (i1 · · · ir) stimmt mit π auf {i1, . . . , ir} überein. Weil π eine Permutation ist,muss π das Komplement von {1, . . . , ir} bĳektiv auf sich selbst abbilden ({{1, . . . , ir} =:K). Nach Induktion kann man π|K also Produkt von disjunkten Zyklen schreiben, eindeutigbis auf Reihenfolge, d.h. π|k = γ2 · γt mit γi Zyklus. Setze γ1 := (i1 · · · ir), dann gilt nachKonstruktion

π = γ1γ2 · · · γt.Die Eindeutigkeit bis auf Reihenfolge ist klar nach Konstruktion. Q.E.D.

I.5. PERMUTATIONSGRUPPEN 31

I.5.6 Folgerung

Satz:Jedes π ∈ Sn ist Produkt von Transpositionen.

Beweis. Nach Satz I.5.5 können wir OBdA annehmen, dass Π = (i1 · · · ir). Es gilt aber(i1 · · · ir) = (i1i2)(i2i3) · · · (ir−1ir). Q.E.D.


I.6 GruppenoperationenOft treten Gruppen geometrisch auf. Standardbeispiel aus dem 1.Übungsblatt: G = Mengeder linearen Abbildungen, die ein reguläres 6-Eck X mit Zentrum 0 invariant lassen. Gruppe G = D6 mit 12 Elementen. Dieses Studium wollen wir jetzt vollkommen abstraktfür beliebige GruppenG und beliebige MengenX verallgemeinern. Dieses liefert im nächstenAbschnitt die tief liegenden Sylow-Sätze.

I.6.1 Gruppenaktion

Definition:Es sei G eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe und X eine Menge. G operiert auf X:⇐⇒ wir haben eine Abbildung G×X → X, (g, x) 7→ g · x ∈ X, mit:

(a) e · x = x für das neutrale Element e in G und für alle x ∈ X.

(b) g1 · (g2 · x) = (g1g2) · x für g1, g2 ∈ G, x ∈ X.

Bemerkung :

• X selber wird damit nicht zu einer Gruppe, nur g · x ∈ X ist für g ∈ G und x ∈ Xerklärt!

• Für g ∈ G definieren wir eine Abbildung Tg : X → X, x 7→ g · x.

• Beachte, dass Tg bĳektiv ist mit inversen Abbildung Tg−1 .p Tg−1(Tg(x)) = Tg−1(g ·x) = g−1(gx) =

(b)(g−1g)x = ex =

(a)x Analog Tg◦Tg−1 = 1. y

Insbesondere ist Tg ∈ S(X) und (a),(b) zeigen, dass die Abbildung G → S(X),g 7→ Tg, ein Gruppenhomomorphismus ist.

• Die Gruppenoperation (oder Gruppenaktion) vonG aufX heißt effektiv :⇐⇒ Tg = 1

nur für g = e, d.h. der Kern des obigen Gruppenhomomorphismus G→ S(X) mussgleich {e} sein.

I.6.2 Linkstranslation als GruppenoperationBeispiel : Sei G eine Gruppe. Wir wählen X := G und dann haben wir folgende “natürliche”Gruppenoperation von G auf X: Wir wählen G × X → X, (g, x) 7→ g · x als dieselbeOperation, die durch die Gruppenverknüpfung gegeben ist. Dann ist Tg(x) = g · x geradedie “alte” Linkstranslation. Diese Gruppenoperation ist effektiv:

p Tg = 1⇐⇒ g · x = x ∀x ∈ X = G⇐⇒·x−1

g = e y .

I.6.3 Konjugation als GruppenoperationBeispiel : Sei G wieder eine Gruppe undX = G. Dann definieren wir eine zweite “natürliche”Gruppenoperation von G auf X. Wir wählen G ×X → X, (g, x) 7→ g � x := g · x · g−1.

I.6. GRUPPENOPERATIONEN 33

Wir sagen, dass x mit g konjugiert wird. Also haben wir Tg(x) := g � x = g x g−1.Tg : G = X → X = G heißt innere Automorphismus von G.

p Wir zeigen, dass Tg wirklich ein Gruppen-Automorphismus ist. Bĳektiv haben wir ganzallgemein in 6.1 gesehen.

Tg(x · y) = g · (x · y) · g−1 = gxg−1 gyg−1 = Tg(x) · Tg(y). y

Wir müssen noch zeigen, dass � eine Gruppenoperation ist von G auf X. (Übung) Wirsagen, dass G durch Konjugation auf X = G operiert. Diese Gruppenoperation mussnicht effektiv sein, z.B. wenn G abelsch ist, dann gilt Tg = 1 ∀g ∈ G.

I.6.4 Potenzmenge mit Gruppenoperation 1Beispiel : G operiert effektiv auf P(G) durch Linkstranslation: X := P(G), G × X →X, (g, Y ) 7→ g · Y ; wobei Y ⊆ G.Man kann dieses Beispiel noch variieren und X als dieMenge der Linksnebenklassen einer gegebenen Untergruppe H nehmen. Dieselbe Vorschriftliefert dann eine effektive Gruppenoperation auf der Menge der Linksnebenklassen oderäquivalent auf G/H.

I.6.5 Potenzmenge mit Gruppenoperation 2Beispiel : G sei wieder eine Gruppe und X := P(G). Dann operiert G auf X = P(G)durch Konjugation: G×P(G)→P(G), (g, Y ) 7→ g�Y := g ·Y · g−1. Wieder muss manzeigen, dass dies eine Gruppenoperation ist.

I.6.6 Die Bahn von xSei eine Gruppenoperation von G auf der Menge X gegeben.

Definition:Für x ∈ X heißt G · x = {g · x| g ∈ G} die Bahn von x.

Beispiel :X= reg. 6-Eck, G = D6, x =Punkt1 =⇒ bahn von x = G · x = X.

I.6.7 Bahnen als ÄquivalenzklasseWir de�nieren eine Relation ∼ auf X durch x ∼ y :⇐⇒ ∃g ∈ G mit x = g · y. Wie inAbschnitt I.2 zeigt man, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist und die Äquivalenzklassen sinddie Bahnen.

I.6.8 Der Stabilisator

Definition:Für x ∈ X heißt Stab(x) := {g ∈ G| g · x = x} der Stabilisator von x ∈ X. Offensichtlichist Stab(x) eine Untergruppe von G.


I.6.9 Bĳektion mit Bahnen

Proposition:G operiere auf X und x ∈ X. G/ Stab(x)→ G · x, g Stab(x) 7→ g · x, ist eine Bĳektion.

Beweis. Wir müssen zeigen, dass die Abbildung wohldefiniert ist, d.h. unabhängig von derWahl des Repräsentanten g in der Linksnebenklasse g · Stab(x). Sei also g′ ∈ g · Stab(x),d.h. ∃h ∈ Stab(x) mit g′ = g · h.

=⇒ g′ · x =b)g · (h · x) =

h∈Stab(x)g · x X

surjektiv ist klar aus der Definition der Bahn. injektiv:

g1x = g2x⇐⇒ g−12 (g1x) = g−1

2 (g2x) =a),b)

x =⇒b)

g−12 g1 ∈ Stab(x)

⇐⇒ g1 ∈ g2 Stab(x)⇐⇒ g1 Stab(x) = g2 Stab(x)

Q.E.D.

I.6.10 Bahnengleichung

Satz:Sei G eine endliche Gruppe, X eine endliche Menge, G operiere auf X und R ein Reprä-sentantensystem aus X bezüglich der Äquivalenzrelation ∼ von oben, d.h. aus jeder Bahnwählen wir genau ein Element. Dann gilt

|X| =∑x∈R

(G : Stab(x))︸︷︷︸|G|/| Stab(x)|

Beweis. X = disjunkte Vereinigung der Äquivalenzklassen = disjunkte Vereinigung derbahnen. =⇒ |X| = ∑

x∈R |Gx|. Nach Proposition I.6.9 gilt |Gx| = |G/ Stab(x)| =|G|/| Stab(x)| = (G · Stab(x)) nach Lagrange. Q.E.D.

I.6.11 Zentrum

Definition:

Z := {g ∈ G| g · x = x · g ∀x ∈ X}

Das Zentrum ist o�ensichtlich eine abelsche Gruppe und ein Normalteiler von G

I.6.12 Zentralisator

I.6. GRUPPENOPERATIONEN 35

Definition:Sei x ∈ G, dann heißt Z(x) := {g ∈ G| g · x = x · g} der Zentralisator von G.

I.6.13 EigenschaftenMan zeigt leicht:

a) G abelsch ⇐⇒ G = Z ⇐⇒ G = Z(x)∀x ∈ G.

b) Z(x) ist eine Untergruppe von G.

c) Z(x) = G ⇐⇒ x ∈ Z.

I.6.14 EigenschaftenWir wenden nun die Klassengleichung I.6.10 auf die Operation von G auf G an, die durchKonjugation gegeben ist (siehe Beispiel I.6.3). Wir erinnern, dassX := G und die Operation� war de�niert durch

G×X → X, (g, x) 7→ g � x := g · x · g−1 (�Konjugation von x mit g�).

Es gilt für x ∈ G:

i) Stab(x) := {g ∈ G| g � x︸︷︷︸g·x·g−1

= x} = Z(x)

ii) x ∈ Z⇐⇒c)

Z(x) = Gi)⇐⇒ {g ∈ G| g�x = x} = G⇐⇒

z.z.[Bahn G�x hat nur ein Element]

p ” =⇒ ” Es gelte {g ∈ G|g� x = x} = G =⇒ g� x = x ∀g ∈ G =⇒ G� x = {x}.”⇐= ” Falls die Bahn G� x einelementig ist, dann gilt G� x = {x} =⇒ g � x = x∀g ∈ G. y

I.6.15 Klassengleichung

Theorem:Sei G eine endliche Gruppe. Wir wählen aus jeder Konjugationsklasse {gxg−1|g ∈ G} =G� x genau ein Element und bilden damit das Repräsentantensystem R. Weiter sei R′ ={x ∈ R| |G� x| > 1}. Dann gilt die Klassengleichung

ord(G) = ord(Z) +∑x∈R′

(G : Z(x))

Beweis. ord(G) =6.10

∑x∈R(G : Stab(x)) =

i)

∑x∈R(G : Z(x)). Es gilt R =

ii)Z∪R′. =⇒

ord(G) = ∑x∈Z(G : Z(x)) + ∑

x∈R′(G : Z(x)) =c)

∑x∈Z G : G︸︷︷︸

1

+∑x∈R′(G : Z(x)) =

ord(Z) +∑x∈R′(G : Z(x)). Q.E.D.


I.6.16 Folgerung

Korollar:Es gelte ord(G) = pk für eine Primzahl p und k ∈ N. Dann gilt Z 6= {e}.

Beweis. Nach Voraussetzung ist p| ord(G). Nach dem Satz von Lagrange gilt (G : Z(x)) =ord(G)︸︷︷︸

pk

/ ord(Z(x)). Wenn nun x ∈ R′ =⇒ |G� x| ≥ 2 und damit ist Z(x) 6= G nach ii)

=⇒ p|(G : Z(x)). Wenn wir das in der Klassengleichung I.6.15 an =⇒ p| ord(Z). Q.E.D.

I.7. DIE SYLOW SÄTZE 37

I.7 Die Sylow SätzeEs sei G eine endliche Gruppe. Für eine Untergruppe H von G gilt ord(H)| ord(G). Gibtes umgekehrt zu jedem m| ord(G) eine Untergruppe H, so dass ord(H) = m? Nichtunbedingt, aber wir werden in diesem Abschnitt zeigen, dass dies stimmt wenn m einePrimpotenz ist.

I.7.1 Beispiel mit der alternierende GruppeBeispiel : Für n ≥ 5 kann zeigen, dass die alternierende Gruppe An := {Π ∈ Sn| sign(Π) =1} eine einfache Gruppe ist, dh. sie hat keinen Normalteiler außer {e} und sich selber (siehe[Jac85, Theorem 4.11]). Andererseits wissen wir aus Aufgabe 7, dass jede Untergruppe vomIndex 2 ein Normalteiler ist. Es gilt ord(An) = n!

2 und wir wählen m := ord(An)2 . Würde

es eine Untergruppe H von An geben mit ord(H) = m =⇒ (An : H) = ord(An)ord(H) =

2 =⇒ H / An † p An ist der Kern des Homomorphismus sign : Sn → {±1}. NachHomomorphiesatz gilt {±1} = Im(sign) ∼= Sn/ ker(sign) = Sn/An =⇒ ord(An) = n!

2 y

I.7.2 Lemma von Cauchy

Lemma:Wenn G eine endliche abelsche Gruppe ist und p ein Primteiler von ord(G), dann gibt esein g ∈ G mit ord(g) = p.

Beweis. Mit Induktion nach ord(G). Induktionsanfang für p = ord(G): Wähle g ∈ G\{e}.Nach Lemma I.4.5 folgt, dass ord(g) = ord(〈g〉) |

Satz vonLagrange

ord(G). Da g 6= e und ord(G) = p

prim =⇒ ord(g) = p.Induktionsschritt: Es sei ord(G) > p. Wähle g ∈ G \ {e}.1.Fall p| ord(g). =⇒ ord(g) = pr. Somit hat g′ := gr die Ordnung p nach den Potenz-

gesetzen. p (g′)p = (gr)p = gr·p = gord(g) = e und es ist klar, dass g′ 6= e und somit istord(g′) = p. y

2.Fall p 6 | ord(g). Weil G abelsch ist, muss 〈g〉 ein Normalteiler von G sein. Also könnenwir die Faktorgruppe G′ := G/ 〈g〉 betrachten. Es gilt nach dem Satz von Lagrange

ord(G′) = ord(G)/ ord(〈g〉) =I.4.5

ord(G)/ ord(g).

Nach Voraussetzung gilt p| ord(G) und p - ord(g). Somit folgt p| ord(G′). Weil g 6= e⇐⇒ord(g) > 1 und somit ord(G′) < ord(G). Nach der Induktionsvoraussetzung gibt es eing′ ∈ G′ mit ord(g′) = p. Wähle ein g1 ∈ G mit g′ = g1 ∈ G′ = G/ 〈g〉.

(g′)ord(g1) = g1ord(g1) = g

ord(g1)1 = e.

=⇒I.4.7

ord(g′)| ord(g1). Da p = ord(g′) =⇒ p| ord(g1). Wie im ersten Fall können wir damitein Element der Ordnung p konstruieren. Q.E.D.

I.7.3 1.Sylow-Satz


Satz:Sei p eine Primzahl und k ∈ N0 mit pk| ord(G) für eine endliche Gruppe G. Dann gibt eseine Untergruppe H von G mit ord(H) = pk.

Beweis. Mit Induktion nach ord(G). Induktionsanfang: ord(G) = 1 =⇒ k = 0. WähleH = {e}. X

Induktionsschritt: Sei ord(G) > 1. Wir können annehmen, dass k > 0 ist. Für k = 0wählen wir wieder H = {e}. Wir benutzen jetzt die Klassengleichung I.6.15

1.Fall: p - ord(Z). Dann existiert nach der Klassengleichung ein x ∈ R′, so dass p -(G : Z(x)) Lagrange= ord(G)

ord(Z(x)) =⇒ pk| ord(Z(x)). Weil x ∈ R′ I.6.14 ii)=⇒ x /∈ Z und Z(x) 6= G.

=⇒ ord(Z(x)) < ord(G). Nach Induktionsvoraussetzung hat Z(x) eine Untergruppe Hmit ord(H) = pk. Da H auch eine Untergruppe von G, folgt die Behauptung im erstenFall.

2.Fall p| ord(Z). Da Z eine abelsche Gruppe ist, können wir das Lemma von Cauchyanwenden und finden g ∈ Z mit ord(g) = p. Betrachten N := 〈g〉. Weil N eine Untergrup-pe von Z ist, muss N ein Normalteiler von G. p g ·N ·g−1 =

N⊆ZN ·g ·g1 = N · e = N X y .

Damit dürfen wir die Faktorgruppe G′ := G/N betrachten

ord(G′) =Lagrange

ord(G)/ ord(N) =I.4.5

ord(G)/ ord(g) = ord(G)/p

Nach Induktionsvoraussetzung hat G′ eine Untergruppe H ′ mit ord(H ′) = pk−1. Sei π :G → G′ = H/N der Quotientenhomomorphismus und H := π−1(H ′). Nach Aufgabe 1gilt π(H) = H/N = H ′. Beachte, dass H ⊇ N .

ord(H) =Lagrange

ord(H ′) · ord(N) = pk−1 · p = pk.

Q.E.D.

I.7.4 p-Sylow-Untergruppe

Definition:Eine Untergruppe H von G heißt p-Sylow-Untergruppe zur Primzahl p, wenn ord(H) = pk

und pk die maximale p-Potenz ist, die ord(G) teilt.

Beispiel : ord(G) = 12, p = 2. 2-Sylow-Gruppe zur Ordnung 4.

I.7.5 2.Sylow-Satz

Satz:Sei G eine endliche Gruppe und p prim. Dann gilt:

1. Für p-Sylow-Untergruppen P1, P2 gibt es ein g ∈ G so, dass P2 = g · P1 · g−1.

2. Die Anzahl p-Sylow-Untergruppen von G teilt (G : P1) und ist ≡ 1 (mod p).

3. Jede Untergruppe H mit ord(H) = pl ist enthalten in einer p-Sylow-Untergruppe.

Beweis. [Jac85, I.1.13] Q.E.D.

I.8. KLASSIFIKATION 39

I.8 KlassifikationEin wichtiges Problem in allen Bereichen der Mathematik ist es, die Objekte zu klassi-�zieren, d.h. man will eine Liste von Objekten angeben, so dass jedes Objekt genau zueinem Objekt aus der Liste isomorph ist. Zum Beispiel werden die endlichen Mengen durchdie Liste ({1, . . . , n})n∈N0 klassi�ziert. Ein weiteres Beispiel aus der Algebra: Alle zykli-sche Gruppen werden klassi�ziert durch die Liste (Z/mZ)m∈N0 nach Proposition I.4.6 DieKlassi�kation der endlichen Gruppen ist viel schwieriger und wahrscheinlich unerreichbar.In diesem Abschnitt will ich ein paar Teilresultate ohne Beweis vorstellen.

I.8.1 Klassifizierung der Z/pZ

Satz:Für jede Primzahl p ist Z/pZ bis auf Isomorphie die einzige Gruppe der Ordnung p.

Beweis. Sei G eine Gruppe der Ordnung p. =⇒ ∃g ∈ G \ {e}. Nach dem Satz vonLagrange gilt ord(〈g〉) teilt ord(G). Da ord(G) = p prim und g 6= e =⇒ ord(〈g〉) = p.=⇒ G = 〈g〉. Nach Proposition I.4.6 b) folgt G ∼= Z/ ord(G)Z = Z/pZ. Q.E.D.

I.8.2 Klassifizierung endlicher abelschen Gruppen

Satz:Jede endliche abelsche Gruppe ist isomorph zu Z/n1Z× . . .× Z/nrZ.

Beweis. Später in Algebra 2 oder [Wol96, Satz 2.37]. Q.E.D.

Zur Erinnerung: Wenn G1, . . . , Gr Gruppen, dann wird G1× . . .×Gr eine Gruppe durchkomponentenweise Multiplikation.

I.8.3 Chinesischer Restsatz

Satz:n = q1 · · · qr ∈ N mit q1, . . . , qr paarweise teilerfremd. Dann gilt

Z/nZ∼→ (Z/q1Z)× . . .× (Z/qrZ), k mod n 7→ (k mod q1, . . . , k mod qr).

Beweis. Siehe Ringtheorie II. Q.E.D.

I.8.4 Isomorphietypen von endlichen abelschen Gruppen

Satz:Jede endliche abelsche Gruppe G ist isomorph zu genau einer Gruppe der Form(Z/q1Z)× . . .× (Z/qsZ) , heißt Isomorphietyp der Gruppe G, wobei q1, . . . , qs nicht not-wendigerweise verschieden Primzahlpotenzen sind.


Beweis. Sei G eine endliche abelsche Gruppe. Nach Satz I.8.2 gilt

G ∼=(Z/n1Z)× . . . (Z/neZ). (I.3)

Sei ni = pvi1i1 · · · pviriiri die Primfaktorzerlegung von ni. Nach dem chinesischen Restsatz gilt

Z/niZ ∼=(Z/pvi1i1 Z)× . . .× (Z/pviriiri Z). (I.4)

Setze wir (I.4) in (I.3) ein, dann erhalten wir G in der gewünschten Form bis auf Isomorphie.Wir sollten noch zeigen, dass die Gruppe (Z/q1Z) × . . . × (Z/qrZ) in der Behauptungeindeutig ist. Dies wollen wir in den folgenden Beispielen einsehen. Der allgemeine Fallgeht analog und wird in Algebra 2 bewiesen. Q.E.D.

I.8.5 ErgänzungBeispiel : G := (Z/13Z)∗ ist eine abelsche Gruppen bezüglich. ·. Nach I.4.10 gilt ord(G) =12. Nach dem Klassifizierungssatz I.8.4 gilt

G ∼= (Z/3Z)× (Z/4Z) oder G ∼= (Z/2Z)× (Z/2Z)× (Z/3Z).

da 12 = 22·3 = 2·2·3 die einzigen Möglichkeit sind, 12 als Produkt von Primzahlenpotenzenzu schreiben. In G gilt:

21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 3, 25 = 6, 26 = 12 = −1,

27 = −2, 28 = −4, 29 = −8, 210 = −3, 211 = −6, 212 = −12 = 1,Wir haben also in G eine Element der Ordnung 12 gefunden. Da in Z/2Z×Z/2Z×Z/3Zalle Elemente dir Ordnung ≤ 6 haben (weil wir komponentenweise rechnen), gilt G ∼=Z/3Z× Z/4Z.

Wichtige Anmerkung zur Notation:

• Wenn die Gruppenoperation auf G mit · geschrieben wird, dann schreiben wir gn :=g · g · · · g︸︷︷︸

n mal

• Wenn die Gruppenoperation auf G mit + geschrieben wird, dann schreiben wir n·g :=g + g + . . .+ g︸︷︷︸

n mal

(nur, wenn G abelsch ist).

I.8.6 Übungsaufgabe

Proposition:Sei p eine Primzahl. Dann ist jede Gruppe der Ordnung p2 abelsch.

Beweis. Aufgabe 17. Q.E.D.

I.8.7 Übungsaufgabe 2

I.8. KLASSIFIKATION 41

Proposition:Sei p eine ungerade Primzahl und G eine Gruppe der Ordnung 2p. Dann ist G entwederzyklisch oder isomorph zur Diedergruppe Dp, d.h. zur Symmetriegruppe des regulären p-Ecks analog zu Aufgabe 2.

Beweis. [Wol96, Folgerung 2.29] oder Proseminar im SS 10. Q.E.D.

I.8.8 Klassifikation bis ord = 7Wir können damit alle Gruppen der Ordnung ≤ 7 klassi�zieren:

Ordnung Isomorphietyp zyklisch abelsch Argument1 {0} X X2 Z/2Z X X I.8.13 Z/3Z X X I.8.14 Z/4Z X X I.8.6 und I.8.4

(Z/2Z)× (Z/2Z) f X5 Z/5Z X X I.8.16 (Z/2Z)× (Z/3Z) ( ∼=

I.8.3Z/6Z) X X I.8.7

S3 ∼= D3 f f7 Z/7Z X X I.8.1

I.8.9 BemerkungBemerkung : Eine Gruppe G heißt einfach :⇐⇒ {e} und G sind die einzigen Normalteilervon G. In I.7.1 hatten wir an getönt, dass An einfach ist für n ≥ 5. Mit Computerhilfegelang es, alle einfachen endlichen Gruppen zu klassifizieren.

Kapitel II

Ringtheorie

II.1 Ringe

II.1.1 Definition

Definition:Eine Ring R ist eine Menge R mit zwei inneren Verknüpfungen +, ·, so dass (R,+) eineabelsche Gruppe ist und so, dass · assoziativ ist. Weiter sollen die Distributivgesetze gelten.

a · (b+ c) = a · b+ a · c(b+ c) · a = b · a+ c · a

Wir wollen auch annehmen, dass R ein Einselement 1 bezüglich · hat.

II.1.2 Kommutative Ringe

Definition:Ein Ring heißt kommutativ :⇐⇒ Multiplikation · ist kommutativ.

II.1.3 RechenregelnWir bezeichnen die Inverse von a bzgl. + mit −a und setzen a− b := a+ (−b).

Rechenregeln:

a) a · 0 = 0 = 0 · a

b) Das Einselement ist eindeutig

c) −a = (−1) · a

d) a · (b− c) = a · b− a · c und (b− c) · a = b · a− c · a (Übung)

II.1.4 Körper als RingEin Körper ist ein kommutativer Ring so, dass K \ {0} eine Gruppe bzgl. · ist.

43

44 KAPITEL II. RINGTHEORIE

II.1.5 Weitere RingeBeispiel : • Z ist ein kommutativer Ring. Matn(K)(= M(n× n,K)) mit Einträgen in

K bilden einen nicht-kommutativen Ring.

• Q,R,C,Z/pZ für p prim, bilden Körper.

II.1.6 Teilbarkeit in RingenSei R ein kommutativer Ring und wir wollen die aus Z bekannte Teilbarkeit auf R verall-gemeinern.

Wir nennen a ∈ R einen Teiler von b ∈ R genau dann, wenn es ein c ∈ R gibt mitac = b. Wir nennen b ein Vielfaches von a. Notation: a|b. Von Bedeutung sind folgendeSpezialfälle:

• Wenn es für a ∈ R ein c ∈ R \ {0} gibt mit ac = 0, dann sprechen wir von einemNullteiler.

• Wenn a|1, dann heiÿt a ein Einheit von R. Nach De�nition ist dies äquivalent dazu,dass a invertierbar ist bzgl. ·. Wie in der Gruppentheorie gesehen, ist R bzgl. · einMonoid und die Menge R∗ der Einheiten bildet eine Gruppe bzgl. ·.

II.1.7 Integritätsbereich

Definition:Ein Integritätsbereich ist ein kommutativer Ring R mit 0 6= 1, der keine Nullteiler (6= 0)hat.

Für diese Integritätsbereiche lohnt es sich, die Teilbarkeitslehre zu betrachten. Der einzigeRing mit 0 = 1 ist R = {0}, denn aus 0 = 1 =⇒ a = a · 1 = a · 0 = 0.

• Z∗ = {−1, 1}, Z ist Integritätsbereich

• für K Körper gilt: K∗ = K \ {0}; beachte: K ist Integritätsbereich

• Wir betrachten R2 mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation, d.h.:(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2), (x1, x2) · (y1, y2) = (x1y1, x2y2). Dadurchwird R2 zu einen Ring. Beachte: R2 ist kein Integritätsbereich. Die Nullteiler habendie Form (0, x) oder (y, 0), denn (0, x) · (y, 0) = (0, 0).

• Z14 ist auch kein Integritätsbereich (2, 7 sind Nullteiler)

II.1.8 QuotientenkörperBekanntlich ist Q der kleinste Körper, der Z enthält. Das wollen wir verallgemeinern füreinen Integritätsbereich. Wir wollen dazu den Quotientenkörper konstruieren. Weil dieseKonstruktion schon in der lineare Algebra gemacht wurde, werden wir uns kurz halten (mansiehe auch [Bos01, 2.7]).

Auf R× (R \ {0}) führen wir die Äquivalenzrelation

(a, b) ∼ (c, d) :⇐⇒ ad = bc

II.1. RINGE 45

ein. Die Äquivalenzklasse von (a, b) bezeichnen wir wie gewohnt mit ab. durch die Verknüp-

funga

b+ c

d:= ad+ bc

bd,a

b· cd

= a · cb · d

wird der Raum der Äquivalenzklasse zu einem Körper, den wir mit Quot(R) der kleinsteKörper, der R enthält.

II.1.9 Ringhomomorphismus

Definition:Sei ϕ : R1 → R2 eine Abbildung zwischen Ringen. Dann heißt ϕ Ringhomomorphismus

:⇐⇒ ϕ(a+ b) = ϕ(a) + ϕ(b), ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) und ϕ(1) = 1.

II.1.10 Ringisomorphismus

Definition:Ein Ringhomomorphismus heißt Ringisomorphismus (ϕ : R1 → R2) ⇐⇒ ∃ψ : R2 → R1Ringhomomorphismus, so dass gilt: ϕ ◦ ψ = 1, ψ ◦ ϕ = 1.

Wie in der Gruppentheorie zeigt man, dass Ringhomomorphismus genau dann Ringisomor-phismen sind, wenn er bijektiv ist.

II.1.11 Ringtheoretisches ProduktFür Ringe R1, R2, . . . , Rr de�nieren wir auf R1 × . . .×Rr ein Ringstruktur durch

(a1, . . . , ar) + (b1, . . . , br) = (a1 + b1, . . . , ar + br)

und

(a1, . . . , ar) · (b1, . . . , br) = (a1 · b1, . . . , ar · br)

Für r ≥ 2 kannR1×. . .×Rr kein Integritätsbereich sein wegen den Nullteilern (0, . . . , 0, a, 0, . . . , 0).Wir können analog auch Πi∈IRi für beliebige Familien (Ri)i∈I zu einem Ring machen.


II.2 Ideale und RestklassenringeIn diesen Abschnitt sei R ein kommutativer Ring.

II.2.1 MotivationWir haben in der Gruppentheorie die Faktorgruppe G/N de�niert, falls N ein Normalteilerwar. Weil R,+ abelsche Gruppe ist, wird somit R/H bzgl. + zu einer abelsche Gruppefür jede additive Untergruppe H von R. Im Allgemeinen ist aber die repräsentantenweisede�nierte Multiplikation aufR/H nicht wohlde�niert. Deshalb führt man folgende De�nitionein:

II.2.2 Ideal

Definition:Eine additive Untergruppe I von R heißt Ideal :⇐⇒ a · I ⊆ I ∀a ∈ R.

Analog zum Normalteiler in der Gruppentheorie bedeutet die Notation I / R , dass I einIdeal ist in R.

II.2.3 Ring/Ideal

Proposition:Mit der repräsentantenweise definierten Addition (a+b := a+ b) und Multiplikation (a·b :=a · b) wird R/I zu einem Ring.

Beweis. Aus der Gruppentheorie folgt, dass die Faktorgruppe R/I,+ eine abelsche Gruppeist. Wir wollen zeigen, dass die Multiplikation wohldefiniert ist. Sei also a1 = a2. Zu zeigen:a1 · b = a2 · b. Aber a1 = a2 heißt a1 − a2 ∈ I. Daraus folgt mit dem Idealaxiom, dass(a1 − a2) · b = b · (a1 − a2) ∈ I. Es folgt b · a1 − b · a2 ∈ I und somit a1 · b = a2 · b.Analog zeigt man, dass b1 = b2 =⇒ ab1 = ab2. Somit ist die Multiplikation wohldefiniert.Die Ringaxiome für R/I folgen sofort aus den entsprechenden Axiomen für R, weil wirrepräsentantenweise rechnen dürfen. Q.E.D.

II.2.4 Faktorring

Definition:Für I /R definieren wir R/I als Faktorring. Wir nennen die Elemente von R/I Restklassenmodulo I.

II.2.5 EigenschaftBemerkung : Die kanonische Abbildung π : R → R/I, a 7→ a, ist ein surjektiver Ringho-momorphismus.

II.2. IDEALE UND RESTKLASSENRINGE 47

II.2.6 Kern als IdealFür einen Homomorphie ϕ : R1 → R2 kommutativer Ringe de�nieren wir den Kern als

ker(ϕ) := {a ∈ R1 : ϕ(a) = 0}.

Es ist leicht zu sehen, dass ker(ϕ) ein Ideal ist.

II.2.7 Homomorphiesatz

Satz:Sei ϕ : R1 → R2 ein Homomorphismus kommutativer Ringe. Dann ist ϕ(R1) ein Teilringvon R2 und es gilt R1/ ker(ϕ) ∼→ ϕ(R1), a 7→ ϕ(a).

p S ⊂ R heiÿt Teilring des Ringes R :⇐⇒ S mit +, · von R ist selber Ring y

Beweis. Siehe lineare Algebra oder analog zur Gruppentheorie. Q.E.D.

II.2.8 Vorbereitung

Proposition:Sei I / R. Dann gilt:

I = R⇐⇒ I enthält eine Einheit.

Beweis. “=⇒” 1 ∈ I = R und damit enthält I eine Einheit.“⇐=” Wir nehmen an, dass I eine Einheit u enthält. Weil u Einheit ist, muss u eine

Inverse v bzgl. der Multiplikation haben, d.h. v ∈ R mit v · u = 1. Sei a ∈ R. Wir müssenzeigen, dass a ∈ I. Wegen

a = 1 · a = u · v · a = v · a · u

folgt a ∈ I, in dem wir u ∈ I und Idealaxiom aus II.2.2 benutzt. Dies zeigt I = R. Q.E.D.

II.2.9 Ideale in einem Körper

Korollar:In einem Körper K sind {0} und K die einzigen Ideale.

Beweis. Wenn I 6= {0} ein Ideal ist, dann enthält I eine Einheit und es folgt I = K nachII.2.8 Q.E.D.

II.2.10 Injektive Körperhomomorphismen


Korollar:Sei K wieder ein Körper und ϕ : K → R ein Ringhomomorphismus. Nehme an R 6= {0}.Dann ist ϕ injektiv.

Beweis. Wie in der Gruppentheorie ist injektiv äquivalent zu ker(ϕ) = {0}. Sei also I =ker(ϕ). Nach (2.9) gilt entweder I = {0} oder I = R. Wegen ϕ(1) = 1 ist der zweite Fallausgeschlossen und somit ker(ϕ) = {0}. Q.E.D.

II.2.11 Maximalideal und Primideal

Definition: (i) I /R heißt Maximalideal :⇐⇒ I maximales Elemente von {J /R| J 6= R}(bzgl "⊆").

(ii) I / R heißt Primideal :⇐⇒ [I 6= R und ab ∈ I =⇒ a ∈ I oder b ∈ I]

II.2.12 Eigenschaften

Proposition: (i) I Primideal ⇐⇒ R/I Integritätsbereich

(ii) I Maximalideal ⇐⇒ R/I Körper

Beweis. (i) Übung

(ii) ” =⇒ ” Es gilt [0] 6= [1], da I 6= R =⇒ (R/I)\{[0]} 6= ∅ und [1] ist das Einselement.Insbesondere R/I ist nach Proposition II.2.3 ein kommutativer Ring mit 1. Noch zuzeigen: Existenz von Inversen. Sei [a] ∈ (R/I) \ {[0]}, d.h. [a] 6= [0]. =⇒ a /∈ I.Weiter ist J := I +Ra ein Ideal.

• p J 6= ∅ da I ⊂ J .• r ∈ R, i1 + r1a ∈ J =⇒ r(i1 + r1a) = ri1︸︷︷︸

∈I

+ rr1︸︷︷︸∈R

a ∈ J

• i1 + r1a, i2 + r2a ∈ J =⇒ Summe ist ∈ J y

und da a ∈ J =⇒ J 6= II max=⇒I⊂J

J = R.

=⇒1 = x︸︷︷︸∈I

+ y︸︷︷︸∈R

a

=⇒[1] = [y] [a] ([x] = [0])= [a][y]

=⇒[a] invertierbar =⇒ R/I Körper.

” ⇐= ” Sei R/I Körper. Wähle J / R mit J ) I. Zu zeigen: J = R. Wählex ∈ J \ I =⇒ [x] 6= [0]. =⇒ ∃ [y] ∈ (R/I) \ {[0]}: [x] [y] = [1] = [y] [x]. =⇒

1 ∈ x︸︷︷︸∈J

∈R︷︸︸︷y +I ⊆ J . II.2.8=⇒ J = R =⇒ Behauptung.

Q.E.D.

II.2. IDEALE UND RESTKLASSENRINGE 49

II.2.13 Maximalideal ist Primideal

Korollar:Jedes Maximalideal ist ein Primideal.

Beweis. I maximales Ideal⇐⇒ R/I Körper =⇒ R/I Integritätsbereich⇐⇒ I Primideal.Q.E.D.

II.2.14 Kern als Primideal

Proposition:Sei S Integritätsbereich, ϕ : R→ S Ringhomomorphismus. =⇒ ker(ϕ) ist ein Primideal.


Bemerkung : Es ist leicht zu sehen, dass für 2 Ideale I, J von R auch I ∩ J und I + J :={a+ b| a ∈ I, b ∈ J} wieder Ideale von R sind.

II.2.15 Chinesischer Restsatz für Ringe

Satz:Seien I1, . . . , In Ideale von R, Ik + Il = R ∀k + l, k, l ∈ {1, . . . , n}. Dann istϕ : R → (R/In) × . . . × (R/In), a 7→ (a1, . . . , an) ein surjektiver Ringhomomorphis-mus mit ker(ϕ) = I1 ∩ . . . ∩ In. Nach dem Homomorphiesatz II.2.7 induziert ϕ also einenkanonischen Isomorphismus:

ϕ : R/(I1 ∩ . . . ∩ In) ∼→ (R/I1)× . . .× (R/In)

(Zur Erinnerung: ϕ: Z/m1 · · ·mnZ→ Z/m1Z× . . .× Z/mnZ)

Beweis. 1.Schritt: Ij+⋂k 6=j Ik = R, da für k 6= j =⇒∃a′k ∈ Ik und ak ∈ Ij: 1 = ak+ak′

(siehe Ij + Ik′ = R). Damit

1 = Πk 6=j (ak + ak′)︸︷︷︸=1

∈(kommut.)

Ij +⋂k 6=j

Ik = R.

2.Schritt: Nach Schritt 1 existiert ej ∈ Ij und e′j ∈⋂k 6=j Ik mit ej + e′j = 1. Sei

(a1 + I1, . . . , an + In) ∈ (R/I1)× . . .× (R/In), dann gilt

aj =1 · aj ≡ (ej + e′j)aj= ejaj︸︷︷︸

=0 mod Ij

+e′jaj

=e′jaj= e′1a1 + . . .+ e′nan︸︷︷︸

=:a

mod Ij da ek ≡ 0 mod Ij für k 6= j

=⇒ (a1 + I1, . . . , an + In) = (a+ I1, . . . , a+ In) ∈ (R/I1)× . . .× (R/In)=⇒ ϕ(a) = (a1 + I1, . . . , an + In) also surj.


3.Schritt: ϕ Ringhomomorphismus. Die Projektion R → R/Ij ist RinghomomorphismusII.2.5. Damit ist ϕ Ringhomomorphismus.

4.Schritt: ker(ϕ) = I1 ∩ . . . ∩ In.

a ∈ ker(ϕ)⇐⇒ a = 0 mod Ij ∀j⇐⇒ a ∈ Ij ∀j

⇐⇒ a ∈n⋂j=1

Ij

Q.E.D.

II.3. BEISPIELE FÜR RINGE 51

II.3 Beispiele für Ringe

II.3.1 Matrizen und DeterminanteSei R ein kommutativer Ring und n ∈ N. =⇒ Mn(R) Ring n× n-Matrizen mit Einträgenaus R. Für A = (aij) ∈Mn(R) haben wir die Determinante

det(A) :=∑σ∈Sn

sign(σ)a1,σ(1) · . . . · an,σ(n)

mit der Eigenschaft:

det(A ·B) = det(A) · det(B) (∗)

∀A,B ∈ Mn(R). Der Kofaktor cij zu aij ist de�niert als cij = (−1)i+j det(Aij). DieAdjungierte zu A ist die n× n-Matrix A] = CT wobei C = (cij).

Es gilt A] ∈Mn(R) und

A · A] = A] · A = det(A)1. (∗∗)

II.3.2 Eigenschaften

Proposition:A invertierbar in Mn(R) ⇐⇒ det(A) invertierbar in R.

Beweis. ” =⇒ ” aus (∗); ”⇐= ” aus (∗∗) mit A−1 = 1det(A) · A

]. Q.E.D.

II.3.3 QuaternionenDie Menge

H := {A ∈M2(C)| ∃z, w ∈ C : A =(z w−w z

)bildet einen Teilring von M2(C) und ihre Elemente heiÿen Quaternionen.

p Teilring: leicht auÿer Abgeschlossenheit bezüglich ·. Es gilt aber:(z1 w1−w1 z1

) (z2 w2−w2 z2

)=(z1z2 − w1w2 z1w2 + w1z2−z2w1 − w2z1 −w1w2 + z1z2

)∈ H. y

Man hat N(A) := det(A) = |z|2 + |w|2 die Norm. Sei A ∈ H, A 6= 0. Dann gilt:

A] =(z −ww z

)=⇒ A−1 = 1

N(A)A] ∈ H.

Folgerung: Die Quaternionen bilden einen Ring (mit 1), in dem jedes Element 6= 0 einInverses hat; das heiÿt einen Schiefkörper (Achtung: Hier ist · nicht kommutativ).

Der 2-dimensionale R-Vektorraum⟨(1 00 1

),

(i 00 −i

)⟩R

={a

(1 00 1

), b

(i 00 −i

), a, b ∈ R

}


bildet einen kommutativen Teilring von H, der isomorph zu C ist unter der Abbildung

1 7→(

1 00 1

), i 7→

(i 00 −i

)

a+ ib 7→ a

(1 00 1

)+ b

(i 00 −i

).

Damit lässt sich C als Teilring von H au�assen. Wir de�nieren

j :=(

0 1−1 0

), k :=

(0 ii 0

)

Es gelten die Rechenregeln: i2 = j2 = k2 = −1; ij = −ji = k, jk = −kj = i,ki = −ik = j.

H = {x0 + ix1 + jx + k3| x0, x1, x2, x3 ∈ R}.

II.3.4 EinsetzhomomorphismusSeien R, S kommutative Ringe. Sei R[X] der Ring der Polynome in der Variablen X mitKoe�zienten in R (analog zu linearen Algebra). Wenn nun R ein Teilring von S ist, dannhaben wir für s ∈ S einen Ringhomomorphismus. R[X] → S, f 7→ f(s), den Einsetzho-momorphismus.

Allgemeiner gilt: Sei f : R→ S ein Ringhomomorphismus. und s ∈ S dann ∃! Ringho-momorphismus fs : R[X]→ S mit fs(x) = s. (Setze fs(

∑akx

k) = ∑f(ak)sk).

Wir de�nieren für f = ∑akx

k ∈ R[X] den Grad von f durch

deg(f) = max{k| ak 6= 0}.

und wir setzen deg(0) := −∞. Wenn nun R ein Integritätsbereich ist, dann hat man dieGradformel

deg(f · g) = deg(f) + deg(g) ∀f, g ∈ R[X].

Insbesondere ist dann auch R[X] ein Integritätsbereich und es gilt:

R[X]∗ = R∗ (Beweis wie in LinA)

II.4. TEILBARKEIT IN MONOIDEN 53

II.4 Teilbarkeit in MonoidenIn diesem Abschnitt seiM ein kommutativer Monoid, das die Kürzungsregel erfüllt: ab = ac=⇒ b = c ∀a, b, c ∈ M . In den Anwendungen wird M = R \ {0} sein, für ein Integritäts-bereich R. Wir de�nieren, Teiler, Vielfache und Einheiten von M wie früher.

II.4.1 Assoziiertheit

Definition:a, b ∈M heißen assoziiert :⇐⇒ a|b und b|a. Man schreibt dann a ∼ b.

Bemerkung : Weil | transitiv =⇒ ∼ ist eine Äquivalenzrelation.

Proposition:a ∼ b ⇐⇒ ∃u ∈M∗ (Einheit) mit a = ub.

Beweis. a|b =⇒ a · x = b mit x ∈ R. b|a =⇒ b · y = a mit y ∈ R.

a = b · y = a · x · y Kürzungsregel=⇒ x · y = e.

Q.E.D.

II.4.2 Irreduzibel

Definition:a ∈M heißt irreduzibel :⇐⇒

(i) a /∈M∗

(ii) b|a =⇒ b ∼ 1 oder b ∼ a.

II.4.3 Prim

Definition:a ∈M heißt prim ⇐⇒

(i) a /∈M∗

(ii) a|bc =⇒ a|b oder a|c.

II.4.4 Prim ist irreduzibel


Proposition:a prim =⇒ a irreduzibel.

Beweis. b|a =⇒ ∃c: a = cb, insbesondere a|cb. a prim=⇒ a|c oder a|b. Erster Fall: Kürzungs-regel liefert b ∼ 1. Zweiter Fall: a ∼ b. Q.E.D.

II.4.5 PrimbedingungBemerkung : Die Umkehrung von 4.4 gilt im Allgemeinen nicht. Wichtig für uns sind dieMonoide, die die Umkehrung erfüllen. Wir sagen, dass M die Primbedingung erfüllt.

II.4.6 Faktorisierung, faktoriell

Definition: - a = p1 · · · ps heißt Faktorisierung in irreduzible Elemente pi.

- Die Faktorisierung heißt eindeutig, falls p1, . . . , ps bis auf Permutation und Übergangzu assoziierten Elementen bestimmt sind.

- M heißt faktoriell :⇐⇒ jedes Element in M \M∗ hat eine eindeutige Faktorisierung.

II.4.7 Teilerkettenbedingung

Definition:M genügt der Teilerkettenbedingung :⇐⇒ Es gibt keine unendliche Kette· · · |an|an−1| · · · |a1 von paarweise nicht assoziierten Elementen ai ∈M .

II.4.8 Faktorielle Monoide erfüllen Teilerkettenbedingung

Lemma:Jedes faktorielles Monoid erfüllt die Teilerkettenbedingung.

Beweis. Übung, Literatur. Q.E.D.

II.4.9 Teilerkettenbedingung impliziert Faktorisierung

Lemma:Falls M die Teilerkettenbedingung erfüllt, dann hat jedes a ∈M \M∗ eine Faktorisierung.(nicht notwendigerweise eindeutig!)

Beweis indirekt. Annahme: Es gibt ein Element a ∈ M \M∗ das keine Faktorisierunghat. Nach der Teilerkettenbedingung können wir annehmen, dass a keinen nicht assoziiertenTeiler hat, der auch keine solche Faktorisierung hat (Falls es einen solchen Teiler gibt,der keine Faktorisierung hat, wähle ich diesen als a. Dieses Vorgehen ist aber endlich,da die Teilerkette endlich ist). Beachte a ist nicht irreduzibel (sonst wäre a seine eigeneFaktorisierung) =⇒ a = b · c (=⇒ b|a) mit b 6∼ 1 und b 6∼ a. =⇒ c 6∼ 1 und c 6∼ a. Nunmuss b oder c auch keine Faktorisierung haben, sonst wäre die Faktorisierung das Produktdieser beiden Faktorierungen. † Minimalität von a. Q.E.D.

II.4. TEILBARKEIT IN MONOIDEN 55

II.4.10 Irreduzibel und prim

Lemma:Falls a = p1 · · · pr = q1 · · · qs mit pi prim und qj irreduzibel. =⇒ r = s und ∃π ∈ Sr mitpi ∼ qπ(i) ∀i = 1, . . . , r.

Induktion nach r. p1|q1 · · · qsp1 prim=⇒ p1|q1 (nach Vertauschung) q1 irreduzibel=⇒ p1 ∼ q1 d.h.

∃u ∈ M∗ p1 = uq1. =⇒ uq1p2 · · · pr = q1 · · · qs. Weiter gilt p′2 := up2 ist prim und wirhaben p′2p3 · · · pr = q2 · · · qs. Mit Induktion folgt die Behauptung. Q.E.D.

II.4.11 Faktoriell, Primbedingung und Teilerkettenbedingung

Theorem:M faktoriell ⇐⇒ M genügt der Primbedingung und der Teilerkettenbedingung.

Beweis. ” =⇒ ” II.4.8 liefert Teilerkettenbedingung. Primbedingung (Ü 7 A26)” ⇐= ” Existenz: Folgt aus II.4.9. Eindeutigkeit: Wegen der Primbedingung folgt aus

II.4.10 Eindeutigkeit. Q.E.D.

II.4.12 ggT und kgVBeachte, dass | auf M/ ∼ eine partielle Ordnung de�niert. (partielle Ordnung ⇐⇒ re�exiv(a|a), transitiv (a|b, b|c =⇒ a|c), antisymmetrisch (a|b, b|a =⇒ a = b)). Falls es einemaximales Element ⊂ bezüglich | unter den Teilern von a und b gibt, dann ist c = ggT(a, b).Falls es existiert ist er bis auf Assoziiertheit eindeutig. Analog für kgV(a, b).


II.5 HauptidealeIn diesem Abschnitt ist R ein kommutativer Ring (mit Eins).

II.5.1 Erzeugte Ideale

Definition:Seien g1, . . . , gr ∈ R. Dann ist 〈g1, . . . , gr〉 := Rg1 + Rg2 + . . . + Rgr das kleinste Idealin R, dass g1, . . . , gr enthält.

II.5.2 Erzeugende des Ideals

Definition:g1, . . . gr heißen Erzeugende des Ideals I ⇐⇒ I = 〈g1, . . . , gr〉.

II.5.3 Hauptideal und Hauptidealbereich

Definition: (i) I / R Hauptideal ⇐⇒ I wird von einem Element erzeugt I = 〈g〉.

(ii) R heißt Hauptidealbereich ⇐⇒

(a) jedes Ideal ist Hauptideal(b) R ist Integritätsbereich

II.5.4 BeispielBeispiel : Z ist Hauptidealbereich. Alle Untergruppen haben die Form nZ (siehe Lem-ma I.4.4 a)

a, b ∈ Z Bezout=⇒ ∃x, y ∈ Z : ggT(a, b) = xa+ yb

II.5.5 Grundlegende Äquivalenzen

Lemma:Seien g, g′ ∈ R dann

(i) 〈g〉 ⊆ 〈g′〉 ⇐⇒ g′|g

(ii) 〈g〉 = 〈g′〉 ⇐⇒ g ∈ R∗g′, falls R ein Integritätsbereich ist.

Beweis. 1. 〈g〉 ⊆ 〈g′〉 ⇐⇒ g ∈ 〈g′〉 ⇐⇒ ∃a ∈ R : g = ag′ ⇐⇒ g′|g

II.5. HAUPTIDEALE 57

2. ” =⇒ ”

〈g〉 = 〈g′〉 (i)=⇒ ∃u, v ∈ R : g′ = ugundg = vg′

=⇒g′ = u · v · g′

=⇒(1− uv)g′ = 0

O.B.d.A g′ 6= 0 R Int.B.=⇒ 1 = uv

=⇒u, v ∈ R∗

=⇒g ∈ R∗g′

”⇐⇒ ” g ∈ R∗g′ ⊆ Rg′ = 〈g′〉 =⇒ g ∈ 〈g′〉 =⇒ 〈g〉 ⊆ 〈g′〉Q.E.D.

II.5.6 ggT und kgV für IntegritätsbereicheAb jetzt ist R ein Integritätsbereich. Wir übertragen alle Bedingungen aus II.4 auf dasMonoid M := R \ {0}. Wir haben oft modulo ∼ gerechnet, das heiÿt, wir haben Raumder Äquivalenzklassen M/M∗ betrachtet. Nach Lemma II.5.5 ist dieses Monoid isomorphzum Monoid der Hauptideale 6= {0} in R bezüglich [g] 7→ Rg = 〈g〉. Dabei entspricht dieTeilerrelation | der partiellen Ordnung ⊇ der Hauptideale.

Wir de�nieren ∀a ∈ R: ggT(a, 0) = ggT(0, a) := a und kgV(a, 0) = kgV(0, a) := 0.Weiterhin soll 0 prim sein.

II.5.7 Primideal und prim Element

Proposition:Sei R ein Integritätsbereich, g ∈ R \ {0}, I = 〈g〉, dann gilt: I Primideal ⇐⇒ g prim

Beweis.

” =⇒ ” g|ab, ab ∈ R =⇒ a, b ∈ I = 〈g〉I Primid.=⇒ a ∈ I oder b ∈ I=⇒ g|a oder g|b

”⇐⇒ ” ab ∈ I, a, b ∈ R =⇒ g|abg prim=⇒ g|a oder g|b=⇒ a ∈ I = 〈g〉 oder b ∈ I = 〈g〉

Q.E.D.

II.5.8 ggT und kgV Idealtheoretisch

Proposition:Sei R Hauptidealbereich, a, b ∈ R. Dann gilt:

(i) ggT(a, b) existiert und 〈a, b〉 = 〈ggT(a, b)〉

(ii) kgV(a, b) existiert und 〈kgV(a, b)〉 = 〈a〉 ∩ 〈b〉


Beweis. a) Da R Hauptidealbereich ∃d ∈ R : 〈d〉 = 〈a, b〉 =⇒ d|a und d|b. Falls c ∈ Rmit c|a und c|b dann folgt wegen d = xa+ yb (x, y ∈ R) auch c|d. =⇒ ggT(a, b) = dbis auf Multiplikation mit Einheiten.

b) ÜbungQ.E.D.

II.5.9 Äquivalenz von prim und irreduzibel

Proposition:Sei R Integritätsbereich und a ∈ R \ {0}. Dann gilt:

(i) a prim =⇒ a irreduzibel.

(ii) R ein Hauptidealbereich, dann a irreduzibel =⇒ a prim (In II.4 war das die Primbe-dingung)

Beweis. (i) Folgt aus II.4.4.

(ii) Sei a|bc (b, c ∈ R). Annahme a - b =⇒ ggT(a, b) = 1 da a irreduzibel =⇒II.5.8a)

∃x, y ∈ R: 1 = ax+ by =⇒ c = cax+ cby =⇒ a|cQ.E.D.

II.5.10 Primideale sind maximal

Lemma:R Hauptidealbereich, I Primideal =⇒ I = {0} oder I ist maximal


II.5.11 BeispielBeispiel : Z hat die Ideale nZ, n ≥ 0. Diese sind nach 5.5 alle verschieden und es giltMaximalideale ⇐⇒ pZ, p prim.

II.5.12 Chinesischer Restsatz für Hauptidealbereich R

Satz:Sei g1, . . . , gr paarweise teilerfremd in R \ {0}. Dann gilt:

R/ 〈g1 · · · gr〉∼−→

kan.(R/ 〈g1〉)× . . .× (R/ 〈gr〉)

Beweis. Für k 6= l ist 〈gk〉 + 〈gl〉 = RII.5.5⇐⇒II.5.8a)

ggT(gk, gl) ∼ 1. Also folgt mit II.2.15 undII.5.8 b) die Behauptung. Q.E.D.

II.5. HAUPTIDEALE 59

II.5.13 Chinesischer Restsatz für Gruppen

Korollar:

(R/ 〈g1, . . . , gr〉)∗ ∼−→ (R/ 〈g1〉)∗ × . . .× (R/ 〈gr〉)∗

Beweis. Folgt direkt aus II.5.12. Q.E.D.

II.5.14 ggT und Einheiten

Proposition:Sei g ∈ R \ {0} und R ein Hauptidealbereich.. Dann gilt:

[a] ∈ (R/ 〈g〉)∗ ⇐⇒ ggT(a, g) ∼ 1.

Beweis. [a] Einheit: ⇐⇒ ∃x ∈ R so dass x · a = 1 (mod g) ⇐⇒ ∃y ∈ R. xa + yg = 1⇐⇒ 1 ∈ 〈a, g〉 ⇐⇒ 〈a, g〉 = R

II.5.8 a)⇐⇒ 〈ggT(a, g)〉 = RII.5.5⇐⇒ ggT(a, g) ∼ 1. Q.E.D.

II.5.15 Spezialfall R=ZFür n ∈ Z sei ϕ(n) = ord(Z/nZ)∗ die eulersche ϕ-Funktion.

Es gilt: ϕ(n) =∣∣∣{k ∈ {1, . . . , n − 1}| ggT(k, n) = 1}

∣∣∣ nach Proposition II.5.14 und

ϕ(n ·m) = ϕ(n) · ϕ(m) für m und n teilerfremd nach II.5.13. Es gilt: ϕ(pr) = pr − pr−1

ohne Beweis.


II.6 Faktorielle Ringe

II.6.1 Faktoriell in Integritätsbereichen

Definition:Ein Integritätsbereich R heißt faktoriell ⇐⇒ R \ {0} ist faktoriell.

II.6.2 Division mit Rest

Satz:Sei R kommutativer Ring, g = adX

d + ad−1Xd−1 + . . .+ a0 ∈ R[X], ad ∈ R∗ = (R[X])∗

und f ∈ R[X]. Dann gilt:∃! q, r ∈ R[X] f = gq + r mit deg(r) < d = deg(g).

Beweis. Mit Polynomdivision und analog zu Z. Q.E.D.

II.6.3 Euklidische Ringe

Definition:Ein Integritätsbereich R mit Gradabbildung d : R\{0} → N0 heißt euklidischer Ring, wenn∀f, g ∈ R, g 6= 0 ∃q, r ∈ R mit f = qg + r und d(r) < d(g) oder r = 0.

Das heiÿt ein euklidischer Ring erlaubt Division mit Rest.

II.6.4 Wiederholung

Beispiel : 1. Z mit d(m) = |m| ist ein euklidischer Ring.

2. K ein Körper, dann ist K[X] mit d(f) = deg(f) ein euklidischer Ring.

3. K Körper. K ist ein euklidischer Ring für irgendeine Funktion d : K \ {0} → N0.

II.6.5 Euklidische Ringe sind Hauptidealbereich

Satz:Jeder euklidischer Ring ist Hauptidealbereich

Beweis. ÜB 8 Q.E.D.

II.6. FAKTORIELLE RINGE 61

II.6.6 Hauptidealbereich sind faktoriell

Satz:Jeder Hauptidealbereich R ist faktoriell

Beweis. Wir wollen Theorem II.4.11 benutzen und müssen dafür zeigen, dass R \ {0} dieTeilerkettenbedingung und die Primbedingung erfüllt.

Letzteres folgt aus II.5.9 (ii). Also zur ersten Bedingung. Diese zeigen wir über einenWiderspruch. Sei also . . . |an|an−1| . . . |a0 eine unendliche Teilerkette von nicht assoziiertenElementen in R \ {0}

II.5.5=⇒ 〈a0〉 $ 〈a1〉 $ 〈a2〉 $ . . .

ist eine echt aufsteigende Kette von Idealen Ü5 A20=⇒ I := ⋃j∈N0 〈aj〉 ist ein Ideal HIB=⇒ ∃g ∈

R \ {0} : I = 〈g〉. =⇒ ∃j ∈ N0 g ∈ 〈aj〉 =⇒ 〈g〉 = 〈aj〉 = 〈gj+1〉 = . . . †. Q.E.D.

II.6.7 Faktorielle euklidische Ringe

Korollar:Jeder euklidischer Ring ist faktoriell

II.6.8 Euklidischer AlgorithmusFür einen euklidischen Ring kann man den ggT zweier Elemente mit dem EuklidischenAlgorithmus bestimmen.

Sei R ein euklidischer Ring mit Gradabbildung d : R \ {0} → N0. Weiter seien a, b ∈ Rmit b 6= 0. Ziel: Bestimme ggT(a, b).

1) Setze a0 := a und a1 := b. Division mit Rest: a0 = q1a1 + r mit q, r ∈ R, d(r) < d(a1)oder r = a. Setze a2 := r. Aufgrund der Summenregel gilt: ggT(a, b) = ggT(a0, a1) =ggT(a1, a2).

2) Falls r = a2 = 0 dann gilt: a1|a2 und es folgt ggT(a, b) = b Falls r = a2 6= 0dann gehe zu 1) mit (a1, a2) statt (a0, a1). Wegen deg(a1) > deg(a2) > . . . ≥ 0terminiert der Algorithmus in endlich vielen Schritten, das heiÿt an+1 = 0 und damitggT(a0, a1) = . . . = ggT(an−1, an) = an

II.6.9 RechenbeispielBeispiel : (i) Berechne ggT(42, 15) = ggT(a0, a1). 42 = 2 · 15 + 12 =: a3 → ggT(15, 12)

15 = 1 · 12 + 3 =: a4; 12 = 4 · 3 + 0 =⇒ a5 = 0 =⇒ ggT(42, 15) = 3.

(ii)a b q r

25326 1555 16 4461555 446 3 217446 217 2 12217 12 18 112 1 12 0

also ist ggT(25326, 1555) = 1


II.6.10 Lösen von diophantischen Gleichungenax+ by = c a, b, c ∈ Z a, b 6= 0.

Diophantisch heiÿt lösen in Z, dass heiÿt (x, y) ∈ Z2.

a = qb+ r

⇐⇒(qb+ r)x+ by = c

⇐⇒b (qx+ y)︸︷︷︸=:x1

+r x︸︷︷︸=:y1

= c

Wir setzen wieder a0 = a und a1 = b

a0x+ a1y = c

⇐⇒a1x1 + a2y1 = c

...

⇐⇒ajxj + aj+1yj = c

Terminiert, da Euklidischen Algorithmus terminiert, d.h. aj+1 = 0. Nun au�ösen nach xj,dann rückwärts einsetzen um x, y erhalten.

II.6.11 Rechenbeispiel

10098x+ 1485y = 594‖

EA: 6 · 1485 + 1188 (6 · 1485 + 1188)x+ 1485y = 594⇐⇒ 1485 (6x+ y)︸︷︷︸

x1

+1188 x︸︷︷︸y1

= 594 (x = y1, y = x1 − 6y1)

1485x1 + 1188y1 = 594EA: 1 · 1188 + 297=⇒ 1188 (x1 + y1)︸︷︷︸

x2

+297 x1︸︷︷︸y2

= 594 (x1 = y2, y1 = x2 − y2)

1188︸︷︷︸4·297

x2 + 297y2 = 594

=⇒ 297(4x2 + y2) = 594

Au�ösen: y2 = 2− 4x2. Rückwärts einsetzen: x = y1 = x2− y2 = 5x2− 2. y = x1− 6y1 =y2 − 6(5x2 − 2) = −34x2 + 14.

L = {(5x2 − 1,−34x2 + 14)| x2 ∈ Z}.

II.7. POLYNOME ÜBER FAKTORIELLE RINGE 63

II.7 Polynome über faktorielle RingeSei R ein faktorieller Ring das bedeutet, dass für jedes Element in R \ {0} eine Faktorisie-rung in irreduzible Elemente existiert und dass diese Faktorisierung bis auf Reihenfolge undMultiplikation mit Einheiten eindeutig ist. In diesem Abschnitt beweisen wir, dass auch derPolynomring R[X] der Polynome mit Koe�zienten aus R auch ein faktorieller Ring ist. AmSchluss zeigen wir noch ein Irreduzibilitätskriterium für Polynome. Die Irreduzibilität vonPolynome ist schwierig zu prüfen und dieses Kriterium von Eisenstein ist oft hilfreich. ZurErinnerung a, b ∈ R heiÿen assoziiert :⇐⇒ a = ub für ein u ∈ R∗ (Einheit). Wir notierendann a ∼ b und dies ist eine Äquivalenzrelation. Weiter sei P ein Repräsentantensystemder irreduziblen Elemente in R. Mit Q bezeichnen wir den Quotientenkörper von R, d.h.Q = {a

b| a, b ∈ R, b 6= 0}.

II.7.1 Zerlegung in endlich viele prim Elemente

Satz:Sei α ∈ Q \ {0}. Dann gibt es für p ∈ P genau ein vp(α) ∈ Z so, dass vp(α) = 0 bis aufendlich viele p ∈ P und so, dass α = u

∏p∈P p

vp(α) für eine eindeutig bestimmtes u ∈ R∗.

Beweis. Wir nehmen zuerst α ∈ R \ {0} an. Weil R faktoriell ist, gilt α = q1 · · · qr fürirreduzible q1, . . . , qr ∈ R, eindeutig bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten.Für jedes qi gibt es genau ein pi ∈ P und ein ui ∈ R∗ so, dass qi = ui ·pi =⇒ α = u·pi · · · prfür u := u1 · · ·ur ∈ R∗. In dem wir die gleichen pi’s sammeln, erhalten wir die gewünschteDarstellung.

Wenn α = ab∈ Q \ {0} beliebig ist, dann benutzen wir den obigen Fall für Zähler und

Nenner. Damit folgt die Existenz im Allgemeinen und die Eindeutigkeit folgt leicht aus derEindeutigkeit der Faktorisierung in R. Q.E.D.

II.7.2 p-adische BewertungWir setzen vp(0) :=∞. Wir nennen vp die p-adische Bewertung von α.

vp(α · β) = vp(α) + vp(β)

(siehe Übung zum ggT und kgV).

II.7.3 p-adische Bewertung auf PolynomeWir wollen die p-adische Bewertung verallgemeinern auf Polynome f(x) = ∑n

i=0 aiXi ∈

Q[X]:vp(f) := min

i=0,...,nvp(ai).

II.7.4 EigenschaftenBemerkung : Es gelten folgende Eigenschaften:

a) vp(f) =∞ ⇐⇒ f = 0.


b) vp(f) ≥ 0 ∀p ∈ P ⇐⇒ f ∈ R[X]

Beweis. a) ist klar. Für b) benutzen wir die offensichtliche Tatsache aus der Faktorisierungin irreduzible Elemente, dass für α ∈ Q\{0} gilt: α ∈ R⇐⇒ vp(α) ≥ 0 ∀p ∈ P. Q.E.D.

II.7.5 Gauß-Lemma

Lemma:Seien f, g ∈ Q[X] und p ∈ P. Dann gilt vp(f · g) = vp(f) + vp(g).

Beweis. Falls f ∈ Q, dann stimmen die Definitionen von vp(f) überein (aus den Defini-tion II.7.3 und Satz II.7.1). Nach II.7.2 gilt also vp(f · g) = vp(f) + vp(g), falls f, g ∈ Q.Wir dürfen im Allgemeinen annehmen, dass f 6= 0 und g 6= 0. Man darf aufgrund derobigen Bemerkung f und g mit beliebigen Elementen aus Q∗ multiplizieren. Also dürfenwir annehmen, dass f, g ∈ R[X]. Analog darf man annehmen, dass die Koeffizienten vonf (bzw. g) teilerfremd sind. Dann gilt vp(f) = vp(g) = 0.

p Wäre vp(f) > 0, dann gilt min vp(ai) > 0 für die Koeffizienten ai von f und damitp|ai für alle Koeffizienten ai. Das widerspricht der Teilerfremdheit der Koeffizienten. y

Wir haben einen surjektiven Ringhomomorphismus Φp : R[X]→ (R/pR)[X],∑ni=0 aiX

i 7→∑ni=0 aiX

i für jedes p ∈ P. Es gilt

ker Φp = {n∑i=0

aiXi| p|ai∀i} = p R[X] = {f ∈ R[X]| vp(f) > 0}. (∗)

Nach Proposition II.5.7 ist pR = 〈p〉 ein Primideal in R. Es folgt mit Proposition II.2.12,dass R/ 〈p〉 ein Integritätsbereich ist. Insbesondere ist (R/ 〈p〉)[X] ein Integritätsbereich(als Polynomring über einem Integritätsbereich, siehe II.6). Wir müssen vp(f · g) = vp(f)+vp(g) = 0 + 0 = 0 zeigen. Weil Φp ein Ringhomomorphismus ist, muss

Φp(f · g) = Φp(f) · Φp(g) 6= 0

gelten, da wegen vp(f) = 0 = vp(g) folgt, dass f, g /∈ ker(Φp). Wieder mit (∗) folgtvp(f · g) = 0 wie gewünscht. Q.E.D.

II.7.6 Folgerung

Korollar:Sei h ∈ R[X] normiert, d.h. der Koeffizient vor der größten Potenz von h ist 1. Weiterseien f, g ∈ Q[X] auch normiert, mit h = f · g. Dann gilt

f, g ∈ R[X].

Beweis. Da h ∈ R[X], gilt vp(h) ≥ 0. Weil h normiert und vp(1) = 0 =⇒ vp(h) = 0.=⇒ 0 = vp(h) =

Gaußvp(f) + vp(g) (∗∗).

Weil f, g normiert sind, folgt vp(f) ≤ 0 und vp(g) ≤ 0. Somit folgt in (∗∗), dassvp(f) = vp(g) = 0. Q.E.D.


II.7.7 Inhalt von fSei f(x) = ∑n

i=0 aiXi ∈ Q[X]. Dann de�nieren wir den Inhalt von f als

µ(f) :=∏p∈P

pvp(f).

Mit dem Gauÿ-Lemma folgtµ(f · g) = µ(f) · µ(g).

Wenn f ∈ R[X], dann folgt leicht die Charakterisierung des ggT durch die Primfaktorzer-legung aus den Übungen, dass µ(f) = ggT(a1, . . . , an).

II.7.8 Polynomring über faktorielle Ringe

Theorem:Falls R ein faktorieller Ring ist, dann ist auch R[X] ein faktorieller Ring.

Beweis. Aus Theorem II.6.5 kennen wir diese Behauptung für einen Körper (statt für einenfaktoriellen Ring R), denn K[X] ist ein euklidischer Ring und damit faktoriell. Wir wendendas im Folgenden für den Quotientenkörper Q von R an und reduzieren den allgemeinenFall auf diesen Spezialfall.

• 1.Schritt: Sei f ∈ R[X] vom Grad ≥ 1. Dann ist f irreduzibel in R[X] genau dann,wenn f irreduzibel in Q[X] ist und wenn gleichzeitig µ(f) = 1.p Beweis des 1.Schrittes: “=⇒” Sei also f irreduzibel in R[X] und f = g ·h für g, h ∈Q[X]. Wir müssen zeigen, dass g oder h eine Einheit in Q[X] ist (d.h. konstant).Seien γ, δ das kgV der Nenner von g bzw. h. Damit gilt g′ := γ · g ∈ R[X] undh′ := δ · h ∈ R[X].

γ · δ · f = γ · δ · g · h = g′ · h′

ist eine Identität von Polynomen in R[X]. Weil γ der Hauptnenner der Koeffizientenvon g ist, muss γ jeden Koeffizienten von h′ teilen. Analog teilt δ jeden Koeffizientenvon g′. Somit gilt h′′ := h′/γ ∈ R[X] und g′′ := g′/δ ∈ R[X]. =⇒ f = g′′ ·h′′. Da firreduzibel in R[X] ist, muss g′′ oder h′′ ein Element in R[X] sein. OBdA g′′ ∈ R[X]∗.Insbesondere gilt dann g′′ ∈ Q[X]∗. Weil Q[X]∗ = Q∗ = Q \ {0} für jeden Körper Q=⇒ g′′ ∈ Q \ {0}. Damit haben wir gezeigt, dass auch g eine Konstante ist und esfolgt, dass f irreduzibel in Q[X] ist.Es gilt f = µ(f) · f ′ für ein Polynom f ′ ∈ R[X] (da der Inhalt µ(f) = ggT derKoeffizient). Da f irreduzibel in R[X] und vom Grad ≥ 1, muss µ(f) ∈ R[X]∗ geltenund damit folgt µ(f) ∈ R∗, d.h. µ(f) = 1. Dies zeigt “=⇒”.

“⇐=” Umgekehrt sei f irreduzibel in Q[X] und µ(f) = 1. Wir nehmen an, dassf = g ·h mit g, h ∈ R[X]. Zu zeigen g oder h ∈ R[X]∗. Aus dem Gauß-Lemma folgt1 = µ(f) = µ(g) · µ(h). Insbesondere muss dann µ(g) = µ(h) = 1 gelten. Weil firreduzibel in Q[X], muss g oder h ∈ Q[X]∗ = Q \ {0}. OBdA g ∈ Q \ {0}. Ausg ∈ R[X] folgt g ∈ R \ {0}. Wegen µ(g) = 1 folgt g ∈ R∗ = R[X]∗. Dies zeigt“⇐⇒” und den ersten Schritt. y


• Beweis des Theorems: Wir zeigen, dass f ∈ R[X] eine Faktorisierung in irreduzibleFaktoren aus R[X] hat. Weil wir das für Q[X] kennen, gilt f = f1 · · · fr für irreduziblePolynome fi ∈ Q[X]. Wir ersetzen fi durch R-Vielfache in R[X] mit Inhalt 1, danngilt

f = µ(f)f1 · · · fr mit fi ∈ R[X] und µ(fi) = 1 für i = 1, . . . , r.

Weil wir auch fi irreduzibel in Q[X] annehmen, folgt fi irreduzibel in R[X] nach dem1.Schritt. Wenn wir jetzt noch die Faktorisierung von µ(f) in irreduzible Faktorenaus R benutzen (da R faktoriell), erhalten wir eine Faktorisierung von f in irreduziblePolynome in R[X].Wir dürfen annehmen, dass f1, . . . , fa bzw. g1, . . . , gb die Faktoren vom Grad ≥ 1sind. Wir erhalten f = µ(f)f1 · · · fa = µ(f)g1 · · · gb, da nach dem 1.Schritt µ(fi) =µ(gj) = 1 gilt. Insbesondere gilt f1 · · · fa = g1 · · · gb. Jetzt benutzen wir die “Ein-deutigkeit” der Faktorisierung in Q[X] und erhalten a = b und dass f1, . . . , fn =g1, . . . , gb bis auf Reihenfolge. Wir schließen weiter fa+1 · · · fr = gb+1 · · · gs und dassdiese Faktoren gleich sind bis auf Reihenfolge folgt aus R faktoriell.

Q.E.D.

II.7.9 Faktorielle Polynomringe mehreren Variablen über einenKörper

Korollar:Falls K ein Körper und n ∈ N, dann ist der Polynomring K[x1, . . . , xn] in den Variablenx1, . . . , xn ein faktorieller Ring.

Beweis. Der Polynomring K[x1, . . . , xn] wurde in den Übungen eingeführt. Es gilt insbe-sondere

K[x1, . . . , xn] = S[xn]

mit dem Ring S := K[x1, . . . , xn−1]. Mit Induktion wissen wir, dass S ein faktorieller Ringist. Aus Theorem II.7.8 folgt die Behauptung. Q.E.D.

II.7.10 Eisensteinsches Irreduzibilitätskriterium

Theorem:Sei f(x) = anX

n + an−1Xn−1 + . . . + a0 ∈ R[X] vom Grad n ≥ 1. Weiter sei p ein

irreduzibles Element aus R mit p - an, p|ai∀i < n und p2 - a0. Dann ist f(x) irreduzibel inQ[X].

Beweis. Wir betrachten wieder den surjektiven Ringhomomorphismus Φp : R[X] →(R/pR)[x],∑αkX

k 7→ ∑αkX

k. Nach Proposition II.5.7 ist pR = 〈p〉 ein Primideal inR. Es folgt mit Proposition II.2.12, dass R/ 〈p〉 ein Integritätsbereich ist. Also ist R/ 〈p〉ein Teilring seines Quotientenkörpers, den wir hier mit F bezeichnen. Weil F [X] ein euklidi-scher Ring ist, muss er faktoriell sein (siehe Korollar II.6.7). Wenn R ein Hauptidealbereichist, dann ist R/ 〈p〉 sogar ein Körper (siehe Lemma II.5.10 und Proposition II.2.12). Dasstimmt aber nicht für jeden faktoriellen Ring!


Wir erinnern daran, dass der Inhalt µ(f) von f gleich dem ggT der Koeffizientena0, . . . , an ist. Es gilt somit f = µ(f) · f ′ für ein f ′ ∈ R[X] mit µ(f ′) = 1. Es gilt

f ′ = a′nXn + . . .+ a′0 mit a′j := aj

µ(f) ∈ R.

Weil p - an =⇒ p - µ(f) und damit gelten die Voraussetzungen des Theorems auch für f ′.Weil f genau dann irreduzibel ist, wenn f ′ irreduzibel, können wir OBdA annehmen, dassf = f ′ und damit µ(f ′) = 1.

Nach dem 1.Schritt im Beweis von Theorem II.7.8 gilt:

f(x) irreduzibel in Q[X] µ(f)=1⇐⇒ f(x) irreduzibel inR[X]

Wir argumentieren nun indirekt und nehmen an, dass f(x) nicht irreduzibel in R[X].

=⇒ f(x) = g(x) · h(x) mit g(x), h(x) ∈ R[X] und g(x), h(x) /∈ R[X]∗.

g(x) = bkXk + bk−1X

k−1 + . . .+ b0, h(x) = clXl + . . .+ c0, bk 6= 0, cl 6= 0.

Wir bemerken zuerst, dass k, l ≥ 1. p Wenn zum Beispiel l = 0 wäre =⇒ 1 = µ(f) =µ(g)µ(h) = µ(g) c0 =⇒ c0 ∈ R∗ =⇒ h = c0 ∈ R[X]∗ † y .

Weil Φp ein Ringhomomorphismus ist, folgt

anXn = Φp(f) = Φp(g)Φp(h).

Weil F [X] faktoriell, muss die Primfaktorisierung in irreduzible Elemente eindeutig sein.WeilX irreduzibel ist, müssen Φp(g) und Φp(h) Potenzen vonX sein (bis auf Multiplikationmit Konstanten). =⇒ Φp(g) = bkX

k, Φp(h) = clXl. Insbesondere gilt b0 = 0 = c0 und

damit p|b0, p|c0. Weil a0 = b0c0, muss p2|a0 gelten †. Q.E.D.

II.7.11 Beispiel für EisensteinBeispiel : f(x) = Xp−1 +Xp−2 + . . . +X + 1 ist irreduzibel in Q[X] für jede Primzahl p.Beweisidee: Eisenstein für f(x+ 1), siehe Übungen.

II.7.12 BeispielBeispiel : Sei K := k(t) Körper der rationalen Funktionen über dem Körper k, d.h.K istder Quotientenkörper von k[t]. Dann ist Xn − t irreduzibel in K[X] für jedes n ∈ N.Beweisidee: R := k[t] ist faktoriell und t ist irreduzibel in R, dann Eisenstein anwenden.

Kapitel III

Körper

III.1 GrundlagenIn diesem Abschnitt sei K ein Körper. Wir benutzen die Ringtheorie für den PolynomringK[X] um die im folgenden nützlichen Fakten zu erhalten:

III.1.1 Eigenschaftena) K[X] ist ein euklidischer Ring bezüglich dem Grad (siehe II.6.2) und damit ist K[X]

ein faktorieller Ring, d.h. es gibt ein Faktorisierung in irreduzible Faktoren in K[X] unddie Faktorisierung ist bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten eindeutig.

b) Beachte, dass K[X]∗ = K∗ = K \ {0} (siehe II.3.4).

c) Für f(x) ∈ K[X] sind folgende Aussagen äquivalent:

c1) deg(f) ≥ 1 und falls f = g · h mit g, h ∈ K[X], dann muss deg(g) = 0 oderdeg(h) = 0 gelten.

c2) f /∈ K[X]∗∪{0} und falls f = g ·h mit g, h ∈ K[X], dann muss g ∈ K[X]∗ oderh ∈ K[X]∗.

c3) f irreduzibel in K[X].c4) f ·K[X] ist ein Maximalideal in K[X].c5) K[X]/f ·K[X] ist ein Körper.

Beweis.c1)

b)⇐⇒ c2) Def.⇐⇒ c3) II.5.7−II.5.10⇐⇒ c4) II.2.12⇐⇒ c5).

Q.E.D.

III.1.2 LinearfaktorisierenFalls die irreduzible Faktoren von f ∈ K[X] \K alle Grad 1 haben, dann sagt man, dass fin Linearfaktoren zerfällt. Wenn dann der führende Koe�zient von f gleich an ist, danngilt

f(x) = an(x− α1)ν1 · · · (x− αr)νr (III.1)

69

70 KAPITEL III. KÖRPER

für paarweise verschiedene α1, . . . , αr ∈ K und ν1, . . . , νr ∈ N. Es ist durch Einsetzen klar,dass α1, . . . , αr alle Nullstellen von f sind. Wir nennen νj die Multiplizität der Nullstellenαj.

III.1.3 Abspalten der Nullstellen

Proposition:Sei α ∈ K eine Nullstellen von f(x) ∈ K[X]. Dann ∃!g(x) ∈ K[X] mit f(x) = (x−α)g(x).Das nennt man Abspalten der Nullstelle α.

Beweis. Polynomdivision von f(x) durch x− α liefert: ∃!g(x) ∈ K[X], h(x) ∈ K[X] mitf(x) = g(x)(x − α) + h(x) mit deg(h) < deg(x − α) = 1. Somit ist h eine Konstante,d.h. h ∈ K. Setzen wir die Nullstelle α in (III.1) ein, dann folgt h = 0. Q.E.D.

III.1.4 Endlich viele Nullstellen

Satz:Sei f(x) ∈ K[X] \ {0} vom Grad n. Dann hat f(X) höchstens n verschiedene Nullstellenin K.

Beweis. Mit Induktion n folgt dies leicht durch Abspalten von Nullstellen. Q.E.D.

III.1.5 Charakteristischer Ringhomomorphismus

Proposition:Es gibt genau einen Ringhomomorphismus ϕ : Z→ K. Es gilt ker(ϕ) = Zp für genau einePrimzahl p oder für p = 0.

Beweis. Für n ∈ N muss ϕ(n) = ϕ(1 + . . .+ 1︸︷︷︸n−mal

) = ϕ(1) + . . .+ ϕ(1)︸︷︷︸n−mal

= 1 + . . .+ 1︸︷︷︸n−mal

=:

n ∈ K gelten. Weiter muss ϕ(−n) = −ϕ(n) = −n ∈ K gelten. Damit ist ϕ eindeutigbestimmt. Umgekehrt kann man das benutzen um einen Ringhomomorphismus ϕ zu defi-nieren. Nach II.5.4 ist Z ein Hauptidealbereich und damit gilt ker(ϕ) = Zp für ein p ∈ Z.Nach II.2.14 ist ker(ϕ) ein Primideal, also muss p prim oder 0 sein (nach II.5.7). Der Er-zeuger p ist eindeutig bis auf Multiplikation mit Einheiten, d.h. mit ±1. Weil Primzahlen> 0 sind, muss p eindeutig sein. Q.E.D.

III.1.6 CharakteristikDie Zahl p aus Proposition III.1.5 heiÿt die Charakteristik von K und wird mit char(K)bezeichnet.Beispiel : Q,R,C sind Körper der Charakteristik 0, weil man für ϕ nur die Inklusion (es giltZ ⊂ Q,R,C) wählen können. Wenn p Primzahl, dann ist Z/pZ ein Körper der Charakte-ristik p. Als ϕ hat man die Reduktionsabbildung Z→ Z/pZ modulo p.

III.1. GRUNDLAGEN 71

III.1.7 TeilkörperEine Teilmenge F ⊆ K heiÿt Teilkörper (oder Unterkörper), wenn F bezüglich denvererbtem +, · wieder ein Körper ist. Da der Durchschnitt von einer Familie von Teilkörpervon K o�ensichtlich wieder ein Teilkörper von K ist, muss es einen kleinsten Teilkörper Pin K geben und zwar gilt

P :=⋂

F Teilkörpervon K

F.

Wir nennen P den Primkörper von K.Ein Homomorphismus (bzw. Isomorphismus) zwischen Körpern ist de�niert als ein Ring-

homomorphismus (bzw. Ringisomorphismus).

III.1.8 Primkörper

Proposition:a) Sei p eine Primzahl. Dann gilt: char(K) = p⇐⇒ Primkörper P ∼= Z/pZ.

b) char(K) = 0⇐⇒ Primkörper P ∼= Q.

Beweis. a) “=⇒” Sei p = char(K) > 0. Weil das Bild von ϕ als Ring von 1 erzeugt wird(sogar als additive Gruppe), muss ϕ(Z) ⊆ P . Nach dem Homomorphiesatz gilt

ϕ(Z) ∼= Z/ ker(ϕ) II.1.5= Z/pZ. (III.2)

Somit ist ϕ(Z) ein Teilkörper von K. Weil der Primkörper P der kleinste Teilkörper ist,folgt P = ϕ(Z). Mit (III.2) folgt die Behauptung.

“⇐=” trivial.b) folgt mit ähnlichen Argumenten wie a). Q.E.D.

III.1.9 Charakteristik von TeilkörperBemerkung : Jeder Teilkörper von K hat dieselbe Charakteristik wie K. Dies folgt sofortaus Proposition III.1.8.


III.2 KörpererweiterungBis zum Schluss der Vorlesung werden wir Körpererweiterungen untersuchen. Die zentralenResultate werden in der Galoistheorie gemacht. In diesen Abschnitt werden wir die Grund-lagen bereit stellen. Wie immer sei K ein Körper.

III.2.1 Körpererweiterung

Definition:Eine Körpererweiterung L vonK ist eine Körper L ⊇ K so, dass Addition und Multiplikationvon L auf K mit derjenigen von K übereinstimmt. Dann ist K ein Teilkörper (Unterkörper)von L und L heißt Oberkörper von K.

Z.B. C ist eine Körpererweiterung von R und R ist eine Körpererweiterung von Q.

III.2.2 Grad einer KörpererweiterungWir betrachten jetzt eine Körpererweiterung L von K. Dann ist L ein �natürlicher� K-Vektorraum, in dem wir + von L übernehmen und als skalare Multiplikation K × L→ L,(λ, β) 7→ λ · β die Multiplikation von L benutzen. Wir de�nieren den Grad von L über Kals

[L : K] :=

dimk(L), falls die Dimension von L als K-Vektorraum endlich

∞, falls die Dimension von L als K-Vektorraum unendlich

III.2.3 ErinnerungBeispiel : [R : Q] = ∞ p Falls [R : Q] = n < ∞ =⇒ R ist isomorph zu Qn als Q-Vektorraum (LinA). Da Q abzählbar =⇒ Qn abzählbar (Cantorsche Diagonalargument).Andererseits ist R überabzählbar =⇒ Widerspruch † y .

III.2.4 ErinnerungBeispiel : [C : R] = 2, da 1 und i eine reelle Basis ist von C.

III.2.5 Gradformel

Proposition:Seien M ⊇ L ⊇ K Körpererweiterung. Dann gilt

[M : K] = [M : L] · [L : K].

Beweis. Seien β1, . . . , βl K-linear unabhängige Elemente aus L und seien γ1, . . . , γm L-linear unabhängige Elemente aus M . In einem ersten Schritt zeigen wir, dass (βiγj) 1≤i≤l

1≤j≤mK-linear unabhängige Elemente aus M sind.

III.2. KÖRPERERWEITERUNG 73

p Seien λij ∈ K mit ∑ 1≤i≤l,1≤j≤m

λijβiγj = 0. Zu zeigen ist λij = 0 ∀i, j.

0 =m∑j=1

l∑i=1

λijβiγj =m∑j=1

γjl∑

i=1λijβi =

m∑j=1

(l∑

i=1λij∈Kβi∈L

)︸︷︷︸

L

γj

Weil γ1, . . . , γm L-linear unabhängig ist, folgt ∑li=1 λijβi = 0 ∀j = 1, . . . ,m. Weil die

λij ∈ K und weil β1, . . . , βl K-linear unabhängig ist, folgt damit λij = 0 ∀i = 1, . . . , l und∀j = 1, . . . ,m Xy

Im zweiten Schritt zeigen wir die Behauptung, falls m := [M : L] <∞ und l := [L : K] <∞.

p Wir wählen eine Basis β1, . . . , βl von L als K-Vektorraum und eine Basis γ1, . . . , γmvon M als L-Vektorraum. Nach dem ersten Schritt wissen wir, dass (βiγj) 1≤i≤l,

1≤j≤mK-linear

unabhängig inM ist. Um nun das gewünschte [M : K] = m·l zu zeigen, genügt es zu bewei-sen, dass (βiγj) 1≤i≤l,

1≤j≤mein K-Erzeugendensystem in M bildet (weil wir damit eine K-Basis

enthalten). Sei y ∈M . Weil γ1, . . . , γm eine L-Basis von M bilden, gibt es µ1, . . . , µm ∈ Lmit γ = ∑m

j=1 µjγj. Weil β1, . . . , βl eine K-Basis in L ist, gibt es λ1j . . . , λlj ∈ K mitµj = ∑l

i=1 λijβi. Zusammen ergibt sich

γ =m∑j=1

µjγj =m∑j=1

(l∑

i=1λijβi

)γj =

m∑j=1

l∑i=1

λij(βiγj).

Damit folgt, dass (βiγj) 1≤i≤l,1≤j≤m

ein K-Erzeugendensystem in M bilden und es folgt derzweite Schritt.

3.Schritt: Die Behauptung, falls [L : K] oder [M : L] =∞ ist.p Wir nehmen K-linear unabhängige Elemente β1, . . . , βl aus L und L-Linear unabhän-

gige Elemente γ1, . . . , γm aus M . Nach dem ersten Schritt sind dann (βiγj) 1≤i≤l,1≤j≤m

K-linear

unabhängig in M , also folgt [M : K] ≥ m · l. Nach Voraussetzung können wir m oder lbeliebig groß wählen =⇒ [M : K] =∞. Q.E.D.

III.2.6 Körpererweiterung mit PolynomenBeispiel : Folgendes wichtige Verfahren konstruiert zu einem gegebenen irreduziblen Poly-nom f(x) ∈ K[X] eine Körpererweiterung L von K, die eine Nullstelle von f(x) enthält.

Wir setzen L := K[X]/ 〈f(x)〉. Nach III.1.1 ist L ein Körper, weil f(x) irreduzibelist. Wir haben einen Körperhomomorphismus K → L, α 7→ α := α + 〈f(x)〉, wobei wirhier α als das konstante Polynom α ansehen. Weil jeder Körperhomomorphismus injektivist (Korollar II.2.10), erhalten wir einen kanonischen Isomorphismus von K auf sein Bildin L und damit dürfen wir K mit diesem Teilkörper identifizieren. Wir erhalten so L alsKörpererweiterung von K. Für β = x ∈ L gilt:

f(β) = f(x) =Restklas.Rechnung

f(x) = 0.

Also ist β ∈ L eine Nullstelle von f(x).Wichtig ist die Bestimmung von [L : K]. Es gilt [L : K] = deg(f).


Beweis. Sei γ ∈ L. Nach Konstruktion gilt γ = g(x) für ein g(x) ∈ K[X]. Nach Divisionmit Rest ∃!q(x), r(x) ∈ K[X] mit g(x) = q(x) f(x) + r(x) und deg(r) < deg(f).

=⇒ γ = g(x) = q(x)f(x) + r(x) =f(x)=0

r(x) = r(x). (III.3)

Benutzen wir nun deg(f(x)) =: n und r(x) = an−1xn−1 + . . . + a0, sowie β := x, dann

folgt aus (III.3), dassγ = an−1β

n−1 + an−2βn−2 + . . .+ a0

gilt. Also ist 1, β, . . . , βn−1 ein K-Erzeugendensystem. Die Eindeutigkeit der Koordinatena0, . . . , an−1 ∈ K folgt leicht aus der Eindeutigkeit von r(x) und der Konstruktion. Damitist 1, β, . . . , βn−1 eine K-Basis von L und somit [L : K] = n = deg(f). Q.E.D.

III.2.7 Polynomiale Konstruktion von CBeispiel : Wir betrachten f(x) := x2 + 1 ∈ R[X], also hier sei K := R. Dieses Polynomist irreduzibel, denn sonst würde f(x) = g(x) h(x) mit deg(g) ≥ 1, deg(h) ≥ 1 gelten fürgeeignete g, h ∈ R[X]. Weil 2 = deg(g) + deg(h) gilt =⇒ deg(g) = deg(h) = 1, d.h. z.B.g(x) = a1x + a0 mit a1 6= 0 und a0, a1 ∈ R. =⇒ −a0

a1ist Nullstelle von g(x) und damit

auch von f(x). Da f(x) aber keine Nullstelle in R hat =⇒ Widerspruch †. Somit lässt sichVerfahren III.2.6 anwenden und wir erhalten eine Erweiterungskörper L := K[X]/ 〈x2 + 1〉und Nullstelle β = x von x2 + 1. Dann ist L isomorph zum Körper C durch die AbbildungL∼→ C, g(x) 7→ g(i) = b1i + b0, da β2 = −1 gilt. b1x + b2 ist dabei der Rest von der

Division von g(x) mit x2 + 1.

III.2.8 NotationWenn L eine Körpererweiterung von K ist, dann kürzen wir das mit L/K ab. Achtung:Das hat nichts mit Faktorringen und auch nichts mit Division zu tun, sondern ist einfachnur Notation.

Seien nun L/K und F/K zwei Körpererweiterungen. Ein K-Homomorphismus ϕ :L → F ist ein Ringhomomorphismus so, dass ϕ|K = 1K gilt: Letztere Bedingung istäquivalent dazu, dass ϕ K-linear ist.

Ein K-Isomorphismus ist ein K-Homomorphismus ϕ : L → F so, dass es einen K-Homomorphismus als Umkehrabbildung gibt. Letzteres ist äquivalent dazu, dass der K-Homomorphismus ϕ : L → K bijektiv ist. Falls L = F ist, dann sprechen wir von einemK-Automorphismus. Im Beispiel II.2.7 haben wir gesehen, dass es einen natürlichen R-Isomorphismus von L nach C gibt.

III.2.9 Teilringe von KörpererweiterungenSei L/K eine Körpererweiterung und sei S ⊆ L. Dann gibt es einen kleinsten Teilring vonL, der K und S umfasst.

p Die Existenz folgt daraus, dass es sicher einen Teilring gibt, der K und S umfasst,und zwar L. y Weiter ist der Durchschnitt einer beliebigen Familie von Teilringen wiederein Teilring und somit ist

K[S] :=⋂

R TeilringR⊇S∪K

R

der kleinste Teilring, der S und K enthält.

III.2. KÖRPERERWEITERUNG 75

III.2.10 Proposition über Teilringe

Proposition:Sei K[(xs)s∈S] der Polynomring in den Variablen (xs)s∈S (siehe Übungen).

a) Dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus ϕ : K[(xs)s∈S] → L mit ϕ(α) = α∀α ∈ K und mit ϕ(xs) = s∀s ∈ S.

b) K[S] = Im(ϕ) = {p(s1, . . . , sn)|n ∈ N, p(x1, . . . , xn) ∈K[x1, . . . , xn] und s1, . . . , sn ∈ S}.

Beweis. Wir beweisen die Behauptung zuerst für S endlich und setzen n := |S|. Dann ist

ϕ : K[x1, . . . , xn]→ L, p(x1, . . . , xn) 7→ p(s1, . . . , sn)

der Einsetzhomomorphismus, der a) erfüllt und die Eindeutigkeit ist klar aus der Konstruk-tion. Wenn S unendlich ist, benutzen wir

K[(xs)s∈S] =⋃S0

K[(xl)l∈S0 ],

wobei S0 über endlichen Teilmengen von S läuft. Damit können wir den unendlichen Fallauf den endlichen Fall zurückführen. Q.E.D.

III.2.11 KörpererweiterungIn der Situation II.2.9, d.h. L/K und S ⊂ L, bezeichnen wir mit K(S) den kleinstenTeilkörper von L, der K und S enthält. Wieder gilt

K(S) =⋂

F⊇K∪SF,

wobei F über alle Teilkörper von L läuft, die K und S enthalten K(S) heiÿt die von Serzeugte Körpererweiterung von K in L.

III.2.12 Quotientenkörper von Polynomringe

Proposition:Der Quotientenkörper von K[S] ist als Körpererweiterung von K isomorph zu K(S).

Beweis. Wir haben den Isomorphismus ϕ : Quot(K[S]) → K(S), ab7→ a

b∈ L. Weil das

injektiv ist und das Bild ein Körper, der K und S enthält, folgt die Behauptung. Q.E.D.


III.3 Algebraische ZahlenWie immer bezeichnet K einen Körper. Nullstellen von Polynomen mit Koe�zienten in Ksind ein klassisches Studienobjekt in der Algebra. Wir nennen sie algebraisch über K. Indiesem Abschnitt liegen wir im allgemeinen in einen Erweiterungskörper von K.

III.3.1 Algebraisch und transzendent

Definition:Sei L eine Körpererweiterung von K, was wir mit L/K bezeichnen. Dann heißt β ∈ Lalgebraisch über K :⇐⇒ ∃p(x) ∈ K[X]\{0} so, dass p(β) = 0. Wenn β nicht algebraischüber K ist, dann nennen wir β transzendent über K

III.3.2 Beispiele in C und RBeispiel : Die Zahl i ∈ C ist algebraisch über R und sogar über Q, denn i ist Nullstelle vonp(X) = X2 + 1 ∈ Q[X]. Die Zahlen e und π sind nicht algebraisch über Q. Der Beweisist schwierig und benutzt Analysis (siehe Literatur). Weiter ist n

√m, für jedes n,m ∈ N,

algebraisch über Q, weil n√m Nullstellen von p(x) = xn −m ∈ Q[X] ist.

III.3.3 Äquivalenz von algebraisch

Lemma:Sei β ∈ L für Körpererweiterung L/K. Dann ist äquivalent:

a) β ist algebraisch über K

b) Einsetzhomomorphismus K[X]→ L, p(x) 7→ p(β) ist nicht injektiv.

Beweis. Der Einsetzhomomorphismus ist ein Ringhomomorphismus. Somit ist der Kern{p(x) ∈ K[X]| p(β) = 0} ein Ideal. β algebraisch über K ⇐⇒ ∃p(x) ∈ K[X] \ {0} so,dass p(β) = 0 ⇐⇒ ker 6= {0} Ringhom.⇐⇒ Einsetzhom. nicht injektiv. Q.E.D.

III.3.4 MinimalpolynomSei weiter L/K eine Körpererweiterung und β ∈ L. Dann gibt es genau ein normiertesPolynom p(x) ∈ K[X] \ {0} mit p(β) = 0, das minimalen Grad hat. Wir nennen diesesp(x) das Minimalpolynom von β über K und bezeichnen es im Folgenden mit pmin(x).

Wir haben im Beweis von Lemma III.3.3 gesehen, dass der Kern {p(x) ∈ K[X]| p(β) =0} des Einsetzhomomorphismus ein Ideal ist. Das brauchen wir für folgendes Kriterium

III.3.5 Äquivalenzen vom Minimalpolynom

III.3. ALGEBRAISCHE ZAHLEN 77

Lemma:Es sei p(x) ∈ K[X] ein normiertes Polynom mit p(β) = 0. Dann sind folgende Aussagenäquivalent:

(a) p(x) erzeugt das Ideal {q(x) ∈ K[X]| q(β) = 0}.

(b) q(x) ∈ K[X], q(β) = 0 =⇒ p(x)|q(x).

(c) p(x) ist das Minimalpolynom von β über K.

(d) p(x) ist irreduzibel in K[X].

Beweis. (a) =⇒ (b) Weil p(X) das Ideal erzeugt, gilt {q(X) ∈ K[X]| q(β) = 0} =K[X]p(X) und somit folgt (b).

(b) =⇒ (c) Weil pmin(β) = 0, muss p(X)|pmin(X) gelten nach (b). Damit gilt deg(p) ≤deg(pmin). Weil beide normiert sind, folgt p(X) = pmin(X) nach Definition des Minimal-polynoms.

(c) =⇒ (d) Sei p(X) = q(X) r(X) mit Polynomen q(X), r(X) ∈ K[X] vom deg ≥ 1.Wir müssen zeigen, dass dies nicht möglich ist. Damit folgt dann, dass p(X) irreduzibel inK[X] ist. Weil p(X) normiert ist, können wir auch annehmen, dass q(X) und r(x) normiertsind. Aus p(β) = 0 folgt q(β) = 0. In jedem Fall haben wir ein normiertes Polynom in K[X]gefunden, das β als Nullstelle hat und das kleineren Grad hat als p(X) = pmin(X). †

(d) =⇒ (a) Wir haben schon eingesehen, dass der Kern des EinsetzhomomorphismusK[X] → L, q(X) 7→ q(β), gleich dem Ideal I := {q(X) ∈ K[X]| q(β) = 0} ist. WeilL als Körper auch ein Integritätsbereich ist, folgt aus Proposition II.2.14, dass die sogarPrimideal ist. Nun gilt I 6= {0} nach Lemma III.3.3. Weil K[X] ein Hauptidealbereich ist(sieh Abschnitt II.6), gibt es ein p0(X) ∈ K[X], das I erzeugt. Also gilt I = K[X]p0(X)und somit folgt p0|p, da p ∈ I. Nach (d) ist p(X) irreduzibel und somit sind p0(X) undp(X) bis auf Multiplikation mit Einheiten gleich, d.h. ∃λ ∈ K∗ mit p(X) = λ · p0(X). Wirschließen daraus, dass auch p(X) das Ideal I erzeugt. Q.E.D.

III.3.6 VorbereitungSei L/K eine Körpererweiterung und β ∈ L. Es sei nach III.2.9 K[β] der kleinste Teilringvon L, der K und β enthält. Nach Proposition III.2.10 ist K[β] das Bild des Einsetzhomo-morphismus und somit gilt K[β] = {p(β)| p(X) ∈ K[X]}.

III.3.7 Äquivalenz Unterkörper und algebraisch

Proposition:K[β] Unterkörper ⇐⇒ β algebraisch über K.

Beweis. “⇐=” Sei β algebraisch über K. Nach dem Homomorphiesatz II.2.7 für denEinsetzhomomorphismus gilt

K[β] ∼= K[X]/ ker(Eins.hom.)


Nach dem Kriterium III.3.5 gilt, dass der Kern erzeugt wird von Minimalpolynom pmin(X)von β über K.

=⇒ K[β] ∼= K[X]/ 〈pmin(X)〉 .Nun ist pmin(X) irreduzibel nach III.3.5. Mit III.1.1 folgt, das K[X]/ 〈pmin〉 und somit auchK[β] Körper sind.

“=⇒” Wir nehmen an, dass β transzendent ist über K und müssen dann zeigen, dassK[β] kein Körper sein kann. Wieder mit dem Homomorphiesatz folgt

K[β] ∼= K[X]/ ker(Eins.hom.).Weil β transzendent ist über K, muss der Einsetzhomomorphismus injektiv sein nach III.3.3und damit ist der Kern gleich {0}. Also folgt K[β] ∼= K[X]. Weil K[X]∗ = K∗ ist, kannK[X] und damit auch K[β] kein Körper sein. Q.E.D.

III.3.8 Folgerung

Proposition:Sei L/K eine Körpererweiterung, β ∈ L und β algebraisch über K. Dann induziert derEinsetzhomomorphismus einen Isomorphismus K[X]/ 〈pmin(X)〉 ∼→ K[β].

Beweis. Siehe Beweis von III.3.7. Q.E.D.

III.3.9 Minimalpolynom und Gradformel

Proposition:Unter den Voraussetzungen von Proposition III.3.8 gilt [K[β] : K] = deg(pmin).

Beweis.[K[β] : K] III.3.8= [(K[X]/ 〈pmin(X)〉) : K] III.2.6= deg(pmin).

Q.E.D.

III.3.10 BeispielBeispiel : Sei m ∈ Z, die keine Quadratzahl ist in Z. Dann ist Q[

√m] ein Unterkörper in C

(nach III.3.7)[Q[√m] : Q] = 2,

weil das Minimalpolynom von√m gleich X2−m ist. Konkret haben wir die Q-Basis 1,

√m

in Q[√m] = Q(

√m).

III.3.11 Äquivalenz von algebraisch

Proposition:Sei β ∈ L. Dann ist äquivalent:

a) β ist algebraisch über K.

b) ∃ Unterkörper F von L mit K ⊆ F ⊆ L so, dass β ∈ F und [F : K] <∞.

III.3. ALGEBRAISCHE ZAHLEN 79

Beweis. “=⇒” Wir wählen F := K[β]. Dann gilt β ∈ F und K ⊆ F ⊆ L. Weil β algebra-isch ist, zeigt Proposition III.3.7, dass F ein Unterkörper von L ist. Aus Proposition III.3.9folgt [F : K] = deg(pmin) <∞.

“⇐=” Sei F der Unterkörper auf der rechten Seite der Äquivalenz. Weil β ∈ F und[F : K] <∞, muss 1, β, . . . , βn K-linear unabhängig sein für n := [F : K]. Damit gibt esa0, . . . , an ∈ K, nicht alle 0, mit

a0 · 1 + a1 · β + . . .+ anβn = 0.

Damit ist β algebraisch über K. Q.E.D.

III.3.12 Algebraischen Elemente als Unterkörper

Theorem:Sei L/K eine Körpererweiterung. Dann ist M := {β ∈ L|β algebraisch über K} ein Un-terkörper von L mit M ⊇ K.

Beweis. Für β ∈ K ist p(X) := X − β ∈ K[X] und hat Nullstelle β. Somit gilt β ∈ Mund damit ist k ⊆ M gezeigt. Insbesondere gilt 0, 1 ∈ M . Um zu zeigen, dass M einUnterkörper ist von L, genügt es zu zeigen, dass β±γ, β ·γ, γ−1 ∈M für beliebige Elementeβ, γ ∈ M , γ 6= 0. Überraschenderweise ist es schwierig, explizit Polynome zu finden mitNullstelle β + γ und β − γ oder γ−1. Als Ausweg benutzen wir Proposition III.3.11. Weil βalgebraisch über K ist, gibt es einen Unterkörper Fβ von L mit β ∈ Fβ und [Fβ : K] <∞(nach III.3.11). Weil γ algebraisch über K, muss offensichtlich γ auch algebraisch überFβ ⊇ K. Wieder mit III.3.11 gibt es einen Zwischenkörper F mit Fβ ⊆ F ⊆ L undγ ∈ F, [F : Fβ] < ∞. Nach der Gradformel [F : K] = [F : Fβ][Fβ : K] < ∞. Also istF ein Unterkörper von L, der β ± γ, β · γ, γ−1 enthält, weil β, γ ∈ F . Wieder mit III.3.11folgt β ± γ, β · γ, γ−1 ∈M. Q.E.D.


III.4 ZerfällungskörperSei K ein Körper und p(x) ∈ K[X]. Ein wichtiges Ziel in der Algebra ist die Konstruktionaller Nullstellen von p(x). Dabei können wir nicht erwarten, dass alle Nullstellen im Grund-körper K liegen, sondern wir müssen zu geeigneten Körpererweiterungen von K übergehen.In diesen Abschnitt werden wir die kleinste Körpererweiterung von K konstruieren, die al-le Nullstellen von unserem gegebenen Polynom p(x) enthält. Diese Erweiterung werdenhier Zerfällungskörper nennen. Wenn z.B. p(x) = x2 − 2 ist und K = Q, dann ist derZerfällungskörper von p(X) gleich Q[

√2] = {a+ b

√2| a, b ∈ Q}.

III.4.1 Nullstellen von K auf seine Körpererweiterung

Proposition:Sei ϕ : L → L′ ein Homomorphismus von Körpererweiterungen von K, d.h. L′/K istauch eine Körpererweiterung von K und ϕ ist ein Homomorphismus von Körpern so, dassϕ|K = 1K . Dann gilt:∀β ∈ L =⇒ p(ϕ(β)) = ϕ(p(β)). Insbesondere werden alle Nullstellen von p(x) in L

auf Nullstellen von p(x) in L′ abgebildet.

Beweis. Sei p(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a0 mit ai ∈ K.

p(ϕ(β)) =n∑k=0

akϕ(β)k =ϕ(ak)=ak

n∑k=0

ϕ(ak)ϕ(β)k =ϕ Körperhom.

ϕ

(n∑k=0

akβk

)= ϕ(p(β)). X

Sei nun p(β) = 0. Dann folgt aus dem ersten Teil 0 = ϕ(0) = ϕ(p(β)) 1.Teil= p(ϕ(β)) unddamit ist ϕ(β) eine Nullstelle wie behauptet. Q.E.D.

III.4.2 MotivationWir suchen zuerst eine Körpererweiterung von K, die alle Nullstellen von p(x) enthält.Genauer suchen wir eine Körpererweiterung L von K so, dass p(x) in ein Produkt vonLinearfaktoren aus L[X] zerfällt. Dabei wollen wir in einem ersten Schritt eine Körperer-weiterung konstruieren, die überhaupt eine Nullstelle enthält. Dabei dürfen wir annehmen,dass p(x) irreduzibel ist in K[X], denn im Allgemeinen genügt es, eine Nullstelle einesirreduziblen Faktors zu konstruieren. Dies geschieht in der folgenden Proposition.

III.4.3 Vorbereitung

Proposition:Sei p(x) irreduzibel in K[X]. Dann gilt:

a) ∃ Körpererweiterung L/K mit einer Nullstelle β ∈ L von p(x) so, dass L = K[β].

b) Sei ϕ : K → L′ ein Körperhomomorphismus. Dann existiert genau ein Ringhomomor-phismus ϕ : K[X]→ L′[X] mit den Eigenschaften, dass ϕ|K = ϕ und ϕ(x) = x.

c) Falls β′ eine Nullstelle von ϕ(p) in L′ ist, dann gibt es genau einen Körperhomomor-phismus ϕ′ : L→ L′ mit den Eigenschaften, dass ϕ′|K = ϕ und ϕ′(β) = β′.

III.4. ZERFÄLLUNGSKÖRPER 81

Beweis. a) Die Existenz von L und Nullstellen β ∈ L haben wir in III.2.6 gesehen. Dahatten wir

L := K[X]/ 〈p(x)〉 und β := x+ 〈p(x)〉 (III.4)

gesetzt. Damit folgt nach Definition, dass L = K[β]. Dies zeigt a).

b) Wir definieren ϕ(∑m

j=0 bjxj)

:= ∑mj=0 ϕ(bj)xj. Die Existenz und Eindeutigkeit folgt

analog wie im Einsetzhomomorphismus in III.2.10.

c) Wir bezeichnen mit ιβ den Einsetzhomomorphismus ιβ : K[X]→ Lmit β. Analog sei ιβ′den Einsetzhomomorphismus L′[X]→ L′ mit β′. Also haben wir folgendes kommutativeDiagramm:

K[X]

ϕ′

""EEEEEEEEEEEEEEEEEE

ϕ //

ιβ

��

L′[X]

ιβ′

��L

ϕ′ // L′

wobei ϕ′ noch zu konstruieren ist. Sei ϕ′ := ιβ′ ◦ ϕ. Weil β′ eine Nullstelle von ϕ(p) ist,gilt:

ϕ′(p) = ιβ′ ◦ ϕ(p) = (ϕ(p)) (β′) = 0.

Somit gilt p(x) ∈ ker(ϕ′). Wir definieren nun ϕ′(γ) für irgendein γ ∈ L. Weil L = K[β],gilt γ = q(β) für ein q(x) ∈ K[X]. Nach (III.4) ist q(x) eindeutig bis auf Addition mitElementen aus dem Ideal 〈p(x)〉. Wir definieren

ϕ′(γ) := ϕ′(q) ∈ L.

Dies ist unabhängig von der Wahl von q, weil ϕ′(p) = 0 nach obiger Betrachtung.Weil ϕ′ = ιβ′ ◦ ϕ ein Ringhomomorphismus ist und weil wir bei ϕ′ repräsentantenweiserechnen dürfen, folgt sofort, dass ϕ′ ein Körperhomomorphismus ist. Weil ϕ|K = ϕ,folgt auch ϕ′|K = ϕ und damit ϕ′|K = ϕ. Weiter gilt

ϕ′(β) =(III.4)

ϕ′(x+ 〈p(x)〉) = ϕ′(x) = ιβ′(ϕ(x)) = ιβ′(x) =b)β′. X

Das zeigt die Existenz und die Eindeutigkeit ergibt sich leicht aus der Konstruktion.Q.E.D.

III.4.4 Oberkörper der ein p(x) faktorisiert mit Gradabschät-zung

Satz:Sei p(x) ∈ K[X] mit n := deg(p) ≥ 1. Dann gibt es eine Körpererweiterung L von K so,dass p(x) in ein Produkt von Linearfaktoren in L[X] zerfällt und mit [L : K] ≤ n!.

Beweis mit Induktion nach n. Wenn n = 1, dann ist p(X) = a1X + a0 und dies istschon ein Linearfaktor in K[X], also können wir K = L wählen und es gilt [L : K] = 1!.


Führen wir nun den Induktionsschluss. Sei also n ≥ 2. Nach III.3.5 gibt es eine Kör-pererweiterung L′/K, die eine Nullstelle β von p(X) enthält. Nach III.2.9 gilt

[L′ : K] = deg(pmin(X)) ≤ deg(p(X)) = n (III.5)

Wir spalten nun die Nullstellen β ab, d.h. es gibt ein Polynom q(X) ∈ L′[X] so, dass

p(X) = (X − β)q(X). (III.6)

Weil q(X) den Grad n − 1 hat, können wir die Induktionsannahme verwenden für dasPolynom q(X) ∈ L′[X]. Also gibt es eine Körpererweiterung L/L′ so, dass [L : L′] ≤(n− 1)! und

q(X) = bn−1(X − β1) · · · (X − βn)für geeignete β1, . . . , βn−1 ∈ L. Setzen wir das in (III.6) ein, erhalten wir, dass auch p(X)in ein Produkt von Linearfaktoren aus L[X] zerfällt. Aus

[L : K] =III.2.8

[L : L′] [L′ : K] ≤(III.5)

(n− 1)! · n = n!

folgt die Behauptung. Q.E.D.

III.4.5 Teilkörper und TeilringBemerkung : Sei L/K eine Körpererweiterung und S eine Teilmenge von L, die aus K-algebraische Zahlen besteht. Wir erinnern daran, dass wir mit K[S] den kleinsten Teilringbezeichnet haben, der K und S umfasst. Weiter ist K(S) der kleinste Teilkörper von L, derK und S enthält. Weil nun alle Elemente von S als K-algebraisch vorausgesetzt werden,gilt

K[S] = K(S).

Beweis. Wir müssen nur zeigen, dass K[S] ein Körper ist, d.h. wir müssen zeigen, dassβ−1 ∈ K[S] ∀β ∈ K[S] \ {0}. Nach III.3.7 wissen wir, dass K[β] ein Teilkörper ist (da βK-algebraisch ist) und somit β−1 ∈ K[β] ⊆ K[S]. Q.E.D.

III.4.6 Zerfällungskörper

Theorem:Sei f(x) ∈ K[X]. Dann gibt es eine Körpererweiterung L/K so, dass

f(x) = ann∏k=1

(x− βk) (III.7)

mit β1, . . . , βn ∈ L und mit L = K(β1, . . . , βn). Diese Körpererweiterung L/K ist bis aufK-Isomorphie eindeutig und L heißt der Zerfällungskörper von f(x).

Beweis. Die Existenz von L folgt aus III.4.4. Genauer gibt es nach III.4.4 eine Körperer-weiterung L′ von K so, dass (III.7) gilt mit β1, . . . , βn ∈ L′.Dabei ist an der höchsteKoeffizient von f(X) und damit an ∈ K. Wir setzen nun L := K(β1, . . . , βn) und erhaltendamit die Existenz.

Die Eindeutigkeit folgt in 2 Schritten:

III.4. ZERFÄLLUNGSKÖRPER 83

• 1.Schritt: Sei ϕ : K → L′ ein Körperhomomorphismus und sei ϕ : K[X] → L′[X]der Homomorphismus aus III.4.3) b). Weiter gelte

ϕ(f) = ϕ(an)(x− β′1) · · · (x− β′n) (III.8)

für geeignete β′1, . . . , β′n ∈ L′. Zu zeigen: ∃ Homomorphismus ϕ′ : L → L′ vonKörpererweiterungen über K so, dass ϕ(βi) = β′i ∀i = 1, . . . , n nach geeignetenPermutationen der Nullstellen β′1, . . . , β′n.Beweis mit Induktion nach n = deg(f). Sei p(X) ∈ K[X] ein irreduzibler Faktorvon f(x) mit Nullstellen βn, d.h. p(βn) = 0. Dann ist ϕ(βn) eine Nullstelle von ϕ(p).Weil ϕ ein Ringhomomorphismus =⇒ ϕ(p)|ϕ(f). Somit ist ϕ(βn) eine Nullstelle vonϕ(f). Nach (III.8) sind β′1, . . . , β′n die Nullstellen von ϕ(f). Nach Umnummerierungdürfen wir annehmen, dass β′n = ϕ(βn). Nach III.4.3 c) ∃! Homomorphismus ϕn :K[βn] → L′ mit ϕn|K = ϕ und ϕ(βn) = β′n. Beachte, dass wir die Nullstellen βnbzw β′n abspalten können und es somit ein f1(X) ∈ (K[βn])[X] gibt so, dass

f(x) = f1(x)(x− βn) und ϕ(f) = g1(x)(x− β′n)

für ein g1(x) ∈ (K[β′n])[X]. Wir wenden nun Induktion an auf die Polynome f1(x) ∈(K[βn])[X] und erhalten einen Körperhomomorphismus ϕ′ : L → L′ mit ϕ′(βi) =β′i ∀i = 1, . . . , n nach geeigneter Permutation der β′1, . . . , β′n−1. Dies zeigt 1.Schritt

Q.E.D.

• 2.Schritt: Eindeutigkeit der Zerfällungskörper.Sei L′ ein weiterer Zerfällungskörper. Nach dem 1.Schritt existiert ein Körperhomo-morphismus ϕ′ : L→ L′ mit ϕ′|K = 1 und ϕ′(βi) = β′i nach geeigneter Permutationder Nullstellen β′i von f(x). Wegen L′ = K(β′1, . . . , β′n) =⇒ ϕ′ surjektiv. Weil jederKörperhomomorphismus injektiv ist =⇒ ϕ′ Isomorphismus.

Q.E.D.


III.5 Algebraisch abgeschlossene KörperHier zeigen wir den Hauptsatz der Algebra und behandeln das Zorn'sche Lemma. Dies wirduns zeigen, dass jeder Körper in einem algebraisch abgeschlossenen Körper liegt.

III.5.1 Algebraisch abgeschlossen

Definition:Ein Körper K heißt algebraisch abgeschlossen :⇐⇒ jedes Polynom vom Grad ≥ 1 hatmindestens eine Nullstelle.

III.5.2 Folgerung aus Definition

Proposition:Sei K algebraisch abgeschlossen.

Jedes p(X) ∈ K[X] \K zerfällt in ein Produkt aus Linearfaktoren in K[X].

Induktionsbeweis. Induktionsanfang ist trivial. Induktionsschluss: Sei deg(f) = n. SpalteNullstelle wegen Definition III.5.1 ab: f = (X −α)f ′. deg(f ′) = n− 1 mit den Induktions-voraussetzung folgt die Behauptung. Q.E.D.

III.5.3 Fundamentalsatz der Algebra

Satz:C ist algebraisch abgeschlossen.

Beweis. Sei p(X) = anXn + . . . + a0 ∈ C[X] vom Grad n ≥ 1. Z.z.: p(X) hat eine

Nullstelle in C. Sei o.B.d.A. an = 1. Aus der Dreiecksungleichung der Analysis folgt:|a− b| ≥ |a| − |b| für a, b ∈ C. Sei nun z ∈ C, wende an für a := zn, b := −(an−1z

n−1 +. . .+ a0)

|p(z)| = |a− b| ≥ |a| − |b| = |z|n − |an−1zn−1 + . . .+ a0| ≥ |z|n − |an−1z

n−1| − . . .− |a0|.(III.9)

Benutze nun für j = 0, . . . , n− 1:

|z|j ≤ max(1, |z|)j ≤ max(1, |z|)n−1

Eingesetz in (III.9) folgt:

|p(z)| ≥ |z|n − (|an−1|+ . . .+ |a0|) max(1, |z|)n−1. (III.10)

Setze r := 1+ |a0|+ |a1|+ . . .+ |an−1| und betrachte den Kreis. Zuerst nehmen wir |z| ≥ ran.

|p(z)|(III.10)≥

|z|≥r≥1|z|n − (|a0|+ . . .+ |an−1|) · |z|n−1 = |z|n−1(|z| − (|a0|+ . . .+ |an−1|)

III.5. ALGEBRAISCH ABGESCHLOSSENE KÖRPER 85

≥ |z|n−1(r − (|a0|+ . . .+ |an−1|)

)Nach Definition von r gilt dann: |p(z)| ≥ |z|n−1 ≥ |z|, und da |z| ≥ r ≥ |a0| nachDefinition, folgt:

|p(z)| ≥ |a0|. (III.11)

Sei nun |z| ≤ r. Aus Analysis ist die Stetigkeit von |p(X)| bekannt: Da der Kreis mitRand kompakt ist C := {w ∈ C| |w| ≤ r}, nimmt |p(X) das Minimum auf C für einz0 ∈ C.

|p(z0) ≤ |p(0)| = |a0| (III.12)

Aus (III.11) und (III.12) folgt, dass in z0 das Minimum von |p(X)| auf ganz C ist. Es gilt:p hat eine Nullstelle ⇐⇒ |p(z0)| = 0. Wenn wir zu p(x+ z0) übergehen, dürfen wir z0 = 0annehmen. (Wenn z1 eine Nullstelle von p(x+ z0) ist, dann ist z1 + z0 eine Nullstelle vonp(X). Dann ist weiter 0 das Minimum von |p(x+ z0)|.) Z.z.: p(0) = 0.

Indirekt: Annahme: |p(0)| > 0. Wähle k ≥ 1 minimal so, dass ak 6= 0, d.h. ∃ q(X) ∈K[X] mit

|p(X)| = |a0 + akXk + q(X)Xk+1|. (III.13)

Bei Einführung der Gauß Zahlenebene lernt man, dass man beliebige Wurzeln aus komplexenZahlen ziehen kann.

∃w ∈ C : wk = −a0

ak. (III.14)

Aus Stetigkeit folgt limt→0 twk+1q(tw) = 0.

∃t ∈ [0, 1] : t|wk+1q(tw)| < |a0| (III.15)

Weiter gilt

p(tw) =(III.13)

a0 + ak(tw)k + q(tw)(tw)k+1

=(III.14)

a0 + aktk(−a0

ak

)+ q(tw)(tw)k+1

=a0(1− tk) + tk+1wk+1q(tw) (III.16)

Setzt man alles zusammen erhält man:

|p(tw)|(III.16)≤

4−Ungl.|a0|(1− tk) + |tk+1wk+1q(tw)|

(III.15)< |a0|(1− tk) + tk|a0| = |a0|, (III.17)

aber (III.17) ist ein Widerspruch zur Annahme, dass z = 0 das Minimum von |p(X)|ist. Q.E.D.

III.5.4 ErinnerungDas Zorn'sche Lemma ist ein Axiom in der Mathematik, das man nicht beweisen kann,aber manchmal braucht (z.B. Existenz von Basis in beliebigen Vektorräumen).

Sei M eine Menge, die bezüglich ≤ partiell geordnet ist. Eine obere Schranke vonK ⊆M in M ist ein z ∈M : x ≤ z, ∀x ∈ K.

Eine Teilmenge K vonM heiÿt total geordnet, falls x ≤ y oder y ≤ x für alle x, y ∈ K.


III.5.5 Zorn’sches LemmaFalls jede total geordnete Teilmenge K von M eine oberer Schranke in M hat, dann gibtes in M mindestens ein maximales Element xmax.

III.5.6 Existenz maximaler Ideale

Lemma:Sei R kommutativer Ring, J0/R mit J0 6= R =⇒ ∃ maximales Ideal Jmax ⊆ R : J0 ⊆ Jmax.

Beweis. Sei M := {J / R|J 6= R, J0 ⊆ J}. Dann ist M partiell geordnet bezüglich ⊆.Wir zeigen, dass die Voraussetzung von III.5.5 erfüllt sind.

Sei also K eine Kette, dann ist ⋃J∈K J auch ein Ideal (vgl. A20). Da 1 /∈ J,∀J ∈K =⇒ 1 /∈ ⋃J∈K J. Somit ist ⋃ J eine obere Schranke von K in M . Nach Zorn’ Lemmagibt es ein maximales Element Jmax in M und das ist offenbar das gesuchte maximaleIdeal. Q.E.D.

III.5.7 VereinbarungSei T eine Menge. xt sei Variable, ∀t ∈ T . Falls t endlich, nehmen wir den PolynomringK[(xt)t∈T ] wie in A26.

Ansonsten setzten wir:

K[(xt)t∈T ] :=⋃

T0⊆T,|T0|<∞K[(xt)t∈T0 ]

III.5.8 Algebraisch abgeschlossener Oberkörper

Theorem:Jeder Körper K ist Teilkörper eines algebraisch abgeschlossenen Körpers.

Beweis. Verallgemeinere Konstruktion aus III.2.6. Setze T := K[X]\K. Wähle xf , ∀f ∈ Twie oben. R := K[(xf )f∈T ] ist ein Polynomring. Insbesondere gilt f(xf ) ∈ R. DefiniereIdeal J0 := 〈{f(xf )|f ∈ T}〉 ⊆ R

J0 = {g1f1(xf1) + . . .+ gnfn(xfn)| n ∈ N, f1, . . . , fn ∈ T, g1, . . . , gn ∈ R}

behaupte, dass J0 6= R, sonst wäre 1 ∈ J0 und damit Darstellung

1 = g1f1(xf1) + . . .+ gnfn(xfn) (III.18)

Sei L der Zerfällungskörper von f(x) := f1(x) · · · fn(x). =⇒ fj(x) hat Nullstelle zj ∈L,∀j. Setze zj ein für xfj in (III.18), ∀j = 1, . . . , n. =⇒ 1 = 0† =⇒ J0 6= R.

Nach III.5.6 ∃Jmax ⊆ R : J0 ⊆ Jmax. Nach II.2.12 ist K1 := R/Jmax ein Körper.

K=:ϕ

44

konst.Polynom// R

Quot.abb. // K1

III.5. ALGEBRAISCH ABGESCHLOSSENE KÖRPER 87

Weil ϕ ein Ringhomomorphismus ist (zwischen Körper), muss ϕ injektiv sein und damitK ∼= ϕ(K) =⇒ K Teilkörper von K1. Beachte, dass jedes f ∈ T = K[X] \K in K1 eineNullstelle hat, nämlich xf + Jmax (analog zu Beispiel III.2.6).

Wir iterieren nun die Konstruktion und erhalten einen Kette von Körpern

K := K0 ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ K3 ⊂ . . .

Dann ist M := ⋃∞j=0 Kj ein Körper, wie man leicht aufgrund von Ketteneigenschaften

beweist.Sei g(x) ∈M [X] vom Grad ≥ 1. =⇒ ∃j ∈ N0 : g(x) ∈ Kj[X]. Es gilt g(x) /∈ Kj =⇒

g(x) hat Nullstelle α ∈ Kj+1 ⊆M . =⇒M ist algebraisch abgeschlossen. Q.E.D.

III.5.9 Algebraische Körpererweiterung

Definition:Eine Körpererweiterung L/K heißt algebraisch :⇐⇒ alle x ∈ L sind K-algebraisch.

III.5.10 BemerkungNach III.3.11 sind alle Körpererweiterungen mit [L : K] <∞ algebraisch.

III.5.11 Vorbereitung

Proposition:Seien K ⊆ L ⊆ M Körpererweiterung und γ ∈ M . Falls γ L-algebraisch ist und L/Kalgebraisch, dann muss γ K-algebraisch sein.

Beweis.

∃bi ∈ L : γn + bn−1γn−1 + . . .+ b0 = 0 (III.19)

Da bi K-algebraisch, ∀i, kann man mit III.3.11 einen Zwischenkörper K ⊆ F ⊆ L kon-struieren mit bi ∈ F , ∀i. Da γ F -algebraisch ist (III.19)=⇒ E := F [γ] ist Unterkörper vonM mit [E : F ] < ∞. Nach Gradformel: [E : K] = [E : F ][F : K] < ∞ =⇒

III.3.11γ ist

K-algebraisch. Q.E.D.

III.5.12 Algebraischer Abschluss

Theorem:∃ algebraisch abgeschlossener Körper K,K ⊆ K : K/K ist algebraisch. Dadurch ist K bisauf Isomorphie von Körpererweiterung von K eindeutig bestimmt und wir nennen K denalgebraischen Abschluss von K.

Beweis. Nach III.5.8: ∃M Oberkörper von K mit M algebraisch abgeschlossen. SetzeK := {β ∈ M |β istK − algebraisch}. Nach III.5.11 ist K auch algebraisch abgeschlossenund algebraisch über K =⇒ Existenz.

Eindeutigkeit bis auf Isomorphie in den Übungen (dort auch: Isomorphie ist nicht ein-deutig). Q.E.D.


III.5.13 BeispielR = C, aber Q 6= C!

Kapitel IV

Galoistheorie

IV.1 Normale KörpererweiterungSeiK ein Körper. Im Abschnitt III.4 haben wir zu einem f(x) ∈ K[X] den Zerfällungskörperkonstruiert. In diesem Abschnitt beschreiten wir den umgekehrten Weg: Wir betrachten eineendliche Körpererweiterung L/K und fragen nach einer intrinsischen Charakterisierung derEigenschaft, dass L Zerfällungskörper ist (d.h. Charakterisierung unabhängig vom Polynomf(x)).

Dabei heiÿt L/K endliche Körpererweiterung :⇐⇒ [L : K] <∞.

IV.1.1 Normale KörpererweiterungSei also L/K eine endliche Körpererweiterung

Definition:L/K heißt normale Körpererweiterung genau dann, wenn für jedes irreduzible Polynom miteiner Nullstelle in L gilt, dass p(x) in L[X] in Linearfaktoren zerfällt.

IV.1.2 Homomorphismen von primitiven Körpererweiterun-gen

Lemma:Seien L1 und L2 seien endliche Körpererweiterung von K mit L1 = K(α1) und L2 =K(α2). Falls α1 und α2 dasselbe Minimalpolynom über K haben, dann gibt es genau einenIsomorphismus ϕ : L1 → L2 von Körpererweiterungen über K so, dass ϕ(α1) = α2.

Zur Erinnerung : K(α1) ist der kleinste Körper, der K und α1 enthält. Weil L1/K eineendliche Körpererweiterung ist, muss α1 algebraisch über K und damit ist K(α1) auchgleich den kleinsten Ring K[α1], der K und α1 enthält (vgl.III.2)

Beweis. Sei pmin(x) das Minimalpolynom von α1 über K und damit auch von α2. NachIII.3.8 gilt ϕ1 : K[X]/ 〈pmin(X)〉 ∼→ K(α1) = L1, q(X) 7→ q(α1) ist ein Isomorphismus.Analog erhält man Isomorphismus ϕ2 : K[X]/ 〈pmin(X)〉 ∼→ K(α2) = L2. Dann ist ϕ :=ϕ2 ◦ ϕ−1

1 der gesuchte Isomorphismus und die Eindeutigkeit ist klar. Q.E.D.

89

90 KAPITEL IV. GALOISTHEORIE

IV.1.3 Nullstellen Isomorphismus

Lemma:Sei ϕ : L1 → L2 ein Homomorphismus von Körpererweiterung von K und sei p(x) ∈ K[X].Die Nullstellen von p(x) aus L1 werden durch ϕ injektiv in die Nullstellen von p(X) aus L2abgebildet. Falls L1 = L2, dann permutiert ϕ die Nullstellen von p(x) in L1 = L2.

Beweis. Siehe III.4.1. Q.E.D.

IV.1.4 Äquivalenz von normale Körpererweiterung/Zerfällungskörper

Proposition:Für eine endliche Körpererweiterung L/K sind folgende Aussagen äquivalent:

(a) L/K ist normale Körpererweiterung.

(b) L ist Zerfällungskörper eines Polynoms f(x) ∈ K[X].

Beweis. (a) =⇒ (b): Weil [L : K] <∞, gibt es α1, . . . , αr ∈ L mit L = K(α1, . . . , αr).p genauer: mit Induktion nach [L : K]. Falls [L : K] > 1, dann gibt es ein α1 ∈ L \K.

Dann gilt nach der Gradformel

[L : K(α1)] = [L : K][K(α1) : K] < [L : K].

Aus der Induktionsannahme folgt L = K(α1)(α2, . . . , αr) = K(α1, . . . , αr) y

Für j = 1, . . . , r, sei fj(X) ∈ K[X] das Minimalpolynom von αj über K. Betrachtef(X) := f1(X) · · · fr(X). Nun zerfällt f(X) in Linearfaktoren aus L[X], denn aufgrundder Normalität von L/K gilt dies für alle fj(X).

Um zu zeigen, dass L/K der Zerfällungskörper von f(X) ist, müssen wir zeigen, dassL von den Nullstellen von f(X) als Körpererweiterung von K erzeugt wird. Dies Stimmt,weil L schon vom Teil α1, . . . , αr der Nullstellen erzeugt wird.(b) =⇒ (a): Sei L der Zerfällungskörper von f(X) ∈ K[X], d.h. f(X) = an(X −γ1) · · · (X − γn) für γ1, . . . , γn ∈ L mit L = K(γ1, . . . , γn). Wir müssen zeigen, dassjedes irreduzibles Polynom p(X) ∈ K[X] mit einer Nullstelle α ∈ L sogar in Linearfaktorenin L[X] zerfällt. Wir betrachten p(X) als Polynom in L[X] und erhalten nach Satz III.4.6dazu betrachten wir den Zerfällungskörper F . Sei also β eine Nullstelle von p(X) aus F .Wir müssen zeigen, dass β ∈ L gilt. Nach Lemma IV.1.2 gibt es genau einen Isomorphismusϕ : K(α)→ K(β) mit ϕ(α) = β (denn p(X) ist das gemeinsame Minimalpolynom von αund β über K). Nun ist L der Zerfällungskörper von f(X) als Polynom in K[X] und damitauch der Zerfällungskörper von f(X) als Polynom in K(α)[X]. Weiter ist L(β) damit derZerfällungskörper von f(X) als Polynom in K(β)[X].

Nach Satz III.4.6 ist der Zerfällungskörper bis auf Isomorphie eindeutig und damit exis-tiert eine Fortsetzung von ϕ : K(α) ∼→ K(β) zu einem Isomorphismus L ∼→ L(β). Nachder Gradformel gilt

[L : K] =L∼=L(β)

[L(β) : K] = [L(β) : L] [L : K]

und somit [L(β) : L] = 1, d.h. L = L(β) und damit β ∈ L. Q.E.D.

IV.1. NORMALE KÖRPERERWEITERUNG 91

IV.1.5 Von Körpererweiterung zur normale Körpererweite-rung

Korollar:Sei L/K endliche Körpererweiterung. Dann existiert eine Körpererweiterung F/L so, dassF/K normale Körpererweiterung (mit [F : K] <∞).

Beweis. Weil [L : K] < ∞ =⇒ L = K(α1, . . . , αr). Sei fj(X) ∈ K[X] das Minimalpo-lynom von αj über K. Wir betrachten den Zerfällungskörper f von f := f1 · · · fr über L.Damit haben wir folgende Körpererweiterungen: K ⊆ L ⊆︸︷︷︸

Zerf.körper von f über L.

F.

Wir behaupten, dass F der Zerfällungskörper von f über K ist. Nach Konstruktionzerfällt f(X) in Linearfaktoren aus L[X]. Es beleibt zu zeigen, dass die Nullstellen vonf(X) in L die Körpererweiterung L/K erzeugen. Nach Konstruktion sind α1, . . . , αr solcheNullstellen, aber es wird noch weitere Nullstellen αr+1, . . . , αs von f(X) in L geben.

K(α1, . . . , αs) = K(α1, . . . , αr)(αr+1, . . . , αs)

= L(αr+1, . . . , αs) =da α1,...,αr∈L

L(α1, . . . , αs) =F Zerf.körper

von f(X) über L

F.

Q.E.D.

IV.1.6 Zwischenkörper als normale Körpererweiterung

Lemma:Sei F ein Zwischenkörper der normalen Körpererweiterung L/K, d.h. K ⊆ F ⊆ L. Dannist L/F eine normale Körpererweiterung.

Beweis. Nach Proposition IV.1.4 ist L/K der Zerfällungskörper eines f(X) ∈ K[X]. Dannist L auch der Zerfällungskörper von f über F . Wieder mit Proposition IV.1.4 folgt, dassL/F normal ist. Q.E.D.


IV.2 Separable KörpererweiterungSei K ein Körper. Für ein f(X) ∈ K[X] kann man die Ableitung f ′(X) formal einführendurch

f(X) = anXn + an−1X

n−1 + . . .+ a0 =⇒ f ′(X) := nanXn−1 + (n− 1)an−1X

n−2 + . . .+ a1 ∈ K[X].(IV.1)

Da es auf einem beliebigen KörperK keinen natürlichen Konvergenzbegri� gibt, funktioniertdie aus Analysis üblichen De�nitionen mit dem Di�erentialquotienten hier im Allgemeinennicht. Trotzdem gilt für die Ableitung von Polynomen die üblichen Regeln wie Linearität,Produktregel und Kettenregel. Diese Regeln muss man hier beweisen mit Hilfe der De�nition(IV.1), dies lassen hier aber weg. Die Beweise sind einfach und folgen entweder direkt odermit Induktion nach dem Grad.

In diesem Abschnitt werden wir separable Körpererweiterungen studieren. Das ist einewichtige Eigenschaft in der Galoistheorie, die folgendermaÿen de�niert ist:

IV.2.1 Definitionskette von separabel

Definition:(a) Ein Polynom f(x) ∈ K[X] \K heißt separabel ⇐⇒ f(x) hat nur einfacheNullstellen im Zerfällungskörper von f(x) (siehe III.4.6).

(b) Sei L/K eine algebraische Körpererweiterung. Dann heißt β ∈ L separabel über K:⇐⇒ Das Minimalpolynom von β über K ist separabel.

(c) Eine algebraische Körpererweiterung L/K heißt separabel ⇐⇒ alle β ∈ L sind sepa-rabel über K.

Die meisten endlichen Körpererweiterungen sind separabel, wie wir bald feststellen werden.Um die Separabilität von Polynomen zu untersuchen, werden wir die weiter oben eingeführteformale Ableitung f ′ eines Polynoms benutzen.

IV.2.2 Lemma zum ggT

Lemma:Wir bezeichnen den ggT von zwei Elementen f, g aus dem Hauptideal A mit ggTA(f, g).

(a) Falls B ein Hauptidealbereich ist und A ein Teilring ist von B, der ebenfalls vonHauptidealbereich ist, dann gilt ggTA(f, g) = ggTB(f, g).

(b) Falls L/K eine Körpererweiterung ist, dann gelten die Voraussetzungen und damit auchdie Behauptung von a) für A = K[X], B = L[X].

Beweis. Der ggTA(f, g) =: d ist charakterisiert unter den gemeinsamen Teilern von f undg dadurch, dass jeder andere gemeinsame Teiler von f und g ein Teiler von d ist.

Analog für d′ := ggTB(f, g) in B. Somit folgt d|d′ in B. Nach dem Lemma vonBezout II.5.8 gibt es a, b ∈ A so, dass d = af + bg =⇒ d ∈ 〈f, g〉B︸︷︷︸

Ideal erzeugt vonf und g in B

= 〈d′〉B . Somit

ist d′|d. =⇒ d = d′ bis auf Multiplikation mit Einheiten. Dies zeigt (a).

IV.2. SEPARABLE KÖRPERERWEITERUNG 93

(b) folgt aus (a), weil Polynomringe in einer Variablen mit Koeffizienten in einem Körpereuklidische Ringe sind und damit Hauptidealbereiche (siehe II.6) Q.E.D.

Im folgenden wird mit R der algebraische Abschluss von K bezeichnet (siehe III.5). Mandarf statt mit K auch mit dem Zerfällungskörper der auftretenden Polynoms arbeiten, dereinfacher zu konstruieren war (siehe III.4).

IV.2.3 Kriterium für separable Polynome

Lemma:Sei f(x) ∈ K[X] \K.

(a) Die mehrfachen Nullstellen von f(x) in K sind gleich den gemeinsamen Nullstellen vonf und f ′ in K. Mit anderen Worten sie stimmen mit den Nullstellen von ggT(f, f ′)überein (siehe [Bos01, 3.6 Lemma 1.])

(b) f separabel =⇒ f ′ 6= 0 ∈ K[X].

(c) Falls f irreduzibel in K[X], dann gilt die Umkehrung in (b).

Beweis. (a) Sei α ∈ K eine Nullstelle von f . Wir spalten diese ab III.1 und erhaltenf(x) = (x− α)g(x) mit f(x) ∈ K[X]. Mit Produktregel folgt:

f ′(x) = g(x) + (x− α)g′(x) (IV.2)

Es gilt: α ist mehrfache Nullstelle von f(x) ⇐⇒ α ist Nullstelle von g(x) ⇐⇒ α istNullstelle von f ′(x). Dies zeigt a).

(b) Folgt aus a), denn f hat eine Nullstelle in K (da deg(f) ≥ 1) und wegen a) mussf ′(α) 6= 0, sonst wäre α eine mehrfache Nullstelle von f †. Widerspruch zu f separabel.

(c) Sei f irreduzibel in K[X]. Weiter gelte f ′ 6= 0 ∈ K[X]. Da ggTK[X](f, f ′) Tei-ler von f und f ′ ist, muss deg(ggTK[X](f, f ′)) < deg(f). Weil f irreduzibel, mussggTK[X](f, f ′) = ggTK[X](f, f ′) = 1 (oder eine andere Konstante). Somit können fund f ′ keine gemeinsame Nullstellen α ∈ K haben, sonst wäre (x − α) gemeinsamerTeiler. Nach a) folgt, dass f separabel ist.

Q.E.D.

In obigem Lemma haben wir f(x) ∈ K[X] \K betrachtet, dass heiÿt deg(f) ≥ 1. Mitunseren Erfahrungen aus Analysis können wir uns schwer ein solches Polynom vorstellenmit f ′ = 0 ∈ K[X]. Trotzdem ist dies in der Algebra möglich, z.B: für das Polynomf(x) = xp mit K = Z/pZ. In Charakteristik 0 gilt natürlich f ′ 6= 0 ∀ solche f , dennf ′(x) = nan︸︷︷︸

6=0

xn−1 + . . ..


IV.2.4 Alle irreduzible Polynome sind separabel in Charakte-ristik 0

Satz:Sei char(K) = 0. Dann ist jedes irreduzible Polynom separabel.

Beweis. Da f irreduzibel =⇒ deg(f) ≥ 1 obige Bem.=⇒char(K)=0

f ′ 6= 0 ∈ K[X] Lemma IV.2.3c)=⇒ f

separabel Q.E.D.

IV.2.5 Algebraische Körpererweiterung mit char(K)=0 sindseparabel

Korollar:Falls char(K) = 0, ist jede algebraisch Körpererweiterung L/K separabel.

Beweis. Sei α ein Element von L/K. Wir bezeichnen das Minimalpolynom von α über Kmit f(x). Nach obigem ist f ′ 6= 0 ∈ K[X]. Mit Lemma IV.2.3 c) folgt, dass f und damitL/K separabel ist. Q.E.D.

IV.2.6 Kriterium für separabel

Satz:Sei L/K eine algebraische Körpererweiterung, die von S ⊆ L erzeugt wird, d.h. L = K(S).Dann ist L/K genau dann separabel, wenn alle β ∈ S separabel über K sind.

Beweis. Siehe [Bos01, Korollar 3.6.10] Q.E.D.

IV.2.7 Satz vom primitiven Element

Satz:Sei L/K endliche separable Körpererweiterung. Dann gibt es ein primitives Element α vonL/K, d.h. L = K(α).

Beweis. Wir beweisen in den Übungen, dass jede endliche Untergruppe von F ∗ zyklischist für jeden Körper F.

1.Fall: K endlich. Weil [L : K] <∞, ist auch L endlich. Nach obigem folgt L∗ zyklisch.Also ist L∗ erzeugt als Gruppe von einem α. Somit folgt L = K(α).

2.Fall:K unendlich. Weil [L : K] <∞, gilt L = K(a1, . . . , ar).Wir benutzen Induktionnach r.Wenn r = 1, dann L = K(a1)X. Sei r ≥ 2. Nach Induktion giltK(a1, . . . , an−1) =K(b). Also folgt L = K(a1, . . . , ar) = K(a1, . . . , ar−1)(ar) = K(b)(c) = K(b, c). Alsogenügt es den Fall r = 2 zu beweisen mit a1 = b, a2 = c.

IV.2. SEPARABLE KÖRPERERWEITERUNG 95

Seien f und g die Minimalpolynome von b und c über K.

=⇒f(x) = (x− b2) · · · (x− bn) ∈ K[X]g(x) = (x− c1) · · · (x− cm) ∈ K[X]

Durch Umnummerierung dürfen wir annehmen, dass b = b1, c = c1. Weil L/K separabelist, gilt bi 6= bj und ck 6= cl ∀i 6= j, k 6= l. Da |K| =∞, ∃d ∈ K mit

bi + dcj 6= b+ dc ∀i = 1, . . . , n, ∀j = 2, . . . ,m (IV.3)

p Wähle d verschieden von den Elementen (cj − c)−1(b− bi). y

Setze a := b + cd. Beachte, dass f(a − dx) und g(x) genau dann eine gemeinsameNullstelle cj in K haben, wenn a−bi−dcj = 0 für ein i ∈ {1, . . . , n} ⇐⇒ b+dc = bi+dcjfür ein i ∈ {1, . . . , n} (IV.3)⇐⇒ i = j = 1. Damit ist c = c1 die einzige gemeinsame Nullstelle,d.h.

x− c = ggTK[X]

(f(a− dx), g(x)

)=

IV.2.2ggTK(a)[X]

(f(a− dx), g(x)

).

Also muss x − c ∈ K(a)[X] und damit c ∈ K(a). Weiter folgt b = a − cd ∈ K(a) =⇒K(b, c) = K(a). Q.E.D.

IV.2.8 Existenz von Körperhomomorphismen

Korollar:Wir betrachten endliche Körpererweiterung K ⊆ L ⊆ F so, dass L/K separabel und F/Knormale Körpererweiterung.∃![L : K] Homomorphismen ϕ : L→ F von Körpererweiterungen über K (d.h. ϕ|K =

1K)

Beweis. Nach IV.2.7 gilt L = K(α) weil L/K separabel ist. Sei f(x) das Minimalpolynomvon α über K. Nach III.2 gilt [L : K] = deg(f) =: n. Nun ist L erzeugt von α und damitist jeder K-Homomorphismus ϕ : L → F bestimmt durch das Bild ϕ(α). Weiter mussϕ(α) eine Nullstelle von f(X) sein. Umgekehrt induziert die Wahl einer Nullstellen in Fhat. Weil F/K normal ist und f(X) ein irreduzibles Polynom in K[X] mit Nullstelle α ∈ F,folgt, dass f(X) genau n Nullstellen hat. Damit gibt es genau n ϕ’s. Q.E.D.

IV.2.9 Äquivalenz für separabel

Proposition:Sei K ⊆ F ⊆ L Körpererweiterungen. Dann gilt: L/K separabel ⇐⇒ L/F und F/Kseparabel.

Beweis. =⇒: ganz einfach⇐=: [Bos01, 3.6, Korollar 11.] Q.E.D.


IV.3 Galois-ErweiterungWir betrachten in diesem Abschnitt eine endliche Körpererweiterung L/K. Im Allgemeinenist es schwierig einen Überblick über alle Zwischenkörper K ⊆ F ⊆ L zu kriegen. DieHauptidee von Galois war es eine bijektive Korrespondenz zwischen den Untergruppen vonAut(L/K) und den Zwischenkörper anzugeben unter gewissen Voraussetzung an L/K. Daes einfacher ist, die Untergruppen von Aut(L/K) zu bestimmen, ist damit die Ausgangs-frage gelöst. Diese Methode wird in den folgenden Abschnitten Konstruierbarkeit mit Zirkelund Lineal und die Au�ösbarkeit von polynomialen Gleichungen mit Radikalen lösen.

IV.3.1 ErinnerungWir erinnern daran, dass

Aut(L/K) := {ϕ : L→ L| ϕ Isomorphismus,ϕ|K = 1K}

die Automorphismengruppe von L/K heiÿt. Sei S ⊆ Aut(L/K). Dann de�nieren wir

LS := {α ∈ L| σ(α) = α ∀σ ∈ S}.

In den Übungen wird gezeigt, dass LS ein Zwischenkörper von L/K. Er heiÿt Fixkörpervon S.

IV.3.2 Vorbereitung

Lemma:Sei L/K separabel. Dann gilt:

|Aut(L/K)| ≤ [L : K]

Beweis. Nach Korollar IV.1.5 gibt es eine Körpererweiterung F von L so, dass F/K nor-male Körpererweiterung ist. Wir haben also K ⊆ L︸︷︷︸

endlicherGrad

⊆ F

︸︷︷︸normal

. Da L/K separabel ist, haben

wir in IV.2.8, dass es genau [L : K] Homomorphismen ϕ : L→ F von Körpererweiterungenüber K gibt. Die Automorphismen σ : L → L von Körpererweiterung über K sind genaudiejenigen ϕ mit ϕ(L) ⊆ L. Damit folgt |Aut(L/K)| ≤ [L : K]. Q.E.D.

IV.3.3 Äquivalenzen mit der Automorphismengruppe

Proposition:Sei L/K separabel. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

a) L/K normal.

b) |Aut(L/K)| = [L : K]

c) LAut(L/K) = K

IV.3. GALOIS-ERWEITERUNG 97

Beweis. a) =⇒ b): Wir benutzen den Beweis von Lemma IV.3.2. Wir können F = Lwählen, da L/K normal vorausgesetzt wurde. Wir haben gesehen, dass es genau [L : K]Homomorphismen ϕ : L → F = L von Körpererweiterungen über K gibt. Weil F = L,sind das alles Automorphismen und es folgt |Aut(L/K)| = [L : K].Bemerkung : Wir haben im Beweis von Lemma IV.3.2 ausgenutzt, dass jeder Homomorphis-mus ϕ : L → L von Körpererweiterung über K bĳektiv und damit ein Automorphismusist: Weil ϕ ein Homomorphismus zwischen Körpern, muss ϕ injektiv sein (siehe II.2). Weilϕ|K = 1K , muss ϕ K-linear sein(ϕ(λα) = ϕ(λ)ϕ(α) = λϕ(α), λ ∈ K,α ∈ L). Weil Lein endlich K-Vektorraum ist nach Voraussetzung und ϕ ein injektiver K-lineare Selbstab-bildung, muss ϕ surjektiv sein (siehe lineare Algebra).

b) =⇒ c): Es gelte also |Aut(L/K)| = [L : K]. Wir definieren F := LAut(L/K). NachIV.3.1 ist F ein Zwischenkörper von L/K, dass heißt K ⊆ F ⊆ L. Zu zeigen: K = F .Wegen K ⊆ F gilt Aut(L/K) ⊇ Aut(L/F ). Andererseits sei ϕ ∈ Aut(L/F ).p Behauptung: ϕ ∈ Aut(L/K). Beweis: Wir zeigen ϕ(α) = α ∀α ∈ F . Weil F derFixkörper von Aut(L/K) ist, folgt das direkt aus der Definition des Fixkörpers. y

Fazit: Aut(L/K) = Aut(L/F ).

|Aut(L/K)| = |Aut(L/F )| ≤IV.3.2

[L : F ].

Dabei benutzen wir IV.3.2 für F statt für K und beachten dabei, dass L/F auch separabelist nach Abschnitt IV.2. Aus der Voraussetzung b) folgt [L : K] ≤ [L : F ] und da K ⊆ F ,folgt [L : K] = [L : F ] und auch K = F . Dies zeigt c).

Zum Schluss von b) =⇒ c): K ⊆ F ⊆ L. Wir hatten [L : F ] ≥ [L : K] gezeigt. Wegender Gradformel [L : K] = [L : F ] [F : K] folgt [L : K] ≥ [L : F ], also “Gleichheit”. Wiedermit der Gradformel folgt [F : K] = 1, d.h. K = F X.

c) =⇒ a): 1.Schritt: Sei α ∈ L und H eine Untergruppe von Aut(L/K). Dann hat dasPolynom

q(x) :=∏σ∈H

(x− σ(α)

)=

n∏i=1

(x− σi(α)

)Koeffizienten in LH .

Beweis: Weil |Aut(L/K)| < ∞ (Lemma IV.3.2, da [L : K] < ∞), muss q(x) einPolynom sein. A priori hat es Koeffizienten in L, weil alle σ(α) ∈ L. Wir multiplizieren q(x)aus und erhalten

q(x) = x|H| −∑σ∈H

σ(α)x|H|−1 +∑

1≤i<j≤nσi(α)σj(α)x|H|−2 −+ . . . (−1)|H|σ1(α) · · · σn(α)

(IV.4)

Dies folgt auch aus dem bekannten Satz von Vieta, wobei wir Elemente von H nummerierenmit σ1, . . . , σn. Wir wählen irgendein ϕ ∈ H. Es gilt

ϕ

(n∑i=1

σi(α))

=n∑i=1

ϕ ◦ σi(α).

Weil H eine Gruppe ist, induziert Multiplikation mit ϕ einfach eine Permutation der Ele-mente aus H.

=⇒ ϕ

(n∑i=1

σi(α))

=n∑i=1

σi(α).

Weil ϕ ∈ H beliebig, muss der Koeffizient ∑ni=1 σi(α) von q(x) in LH liegen. Analog folgt

dies für die anderen Koeffizienten und damit der 1.Schritt.


Wir wollen zeigen, dass die Körpererweiterung L/K normal ist. Wir nehmen ein irredu-zibles Polynom p(x) ∈ K[X] mit einer Nullstelle α ∈ L und müssen zeigen, dass p(x) inLinearfaktoren aus L[X] zerfällt. Wir wenden den 1.Schritt an mit H := Aut(L/K). Dannhat q(x) Koeffizienten in LH =

c)K. Also ist q(x) ∈ K[X] mit Nullstelle α (weil σ = 1 ∈ H,

also x − α Faktor von q(x)). Andererseits ist p(x) ein irreduzibles Polynom in K[X] mitNullstelle α und somit das Minimalpolynom von α (vgl. III.3.5). Es folgt p(x)|q(x) wiedermit III.3.5. Weil q(x) nach Konstruktion in Linearfaktoren aus L[X] zerfällt, muss dies auchfür den Teiler p(x) gelten. Somit ist L/K normal, d.h. es gilt a). Q.E.D.

IV.3.4 Galoiserweiterung

Definition:L/K heißt Galoiserweiterung :⇐⇒ L/K normal und separabel.

In dieser Situation nennen wir Aut(L/K) die Galoisgruppe von L/K.

IV.3.5 Kriterium für Galoiserweiterung

Satz:Sei L/K separabel, H Untergrupppe von Aut(L/K).

Dann ist L/LH Galoiserweiterung und Gal(L/LH) = H.

Beweis. Weil L/K separabel ist, gilt der Satz vom primitiven Element, dass heißt ∃α ∈ Lmit L = K(α). Nach IV.2.9 ist L/LH separabel. Sei p(x) das Minimalpolynom von α überLH und q(x) wie im 1.Schritt von Beweis aus IV.3.3 c) =⇒ a) definiert. Aus dem 1.Schrittwissen wir q(x) ∈ LH [X] und damit folgt wieder p(x)|q(x). Weiter gilt wegen L = K(α)auch L = LH(α).

[L : LH ] = deg(p) ≤ deg(q) = |H|.Es gilt H ⊆ Aut(L/LH) nach Definition des Fixkörpers.

=⇒ |H| ≤ |Aut(L/LH)| ≤IV.3.2

[L : LH ] =oben|H|.

Also überall Gleichheit und somit H = Aut(L/LH). Nach Proposition IV.3.3 ist damitL/LH normal und somit auch eine Galoiserweiterung. Q.E.D.

Sei L/K endliche Körpererweiterung. Ziel: Alle Zwischenkörper K ⊆ F ⊆ L bestim-men. Zu einem Zwischenkörper können wir die Untergruppe Aut(L/F ) von Aut(L/K)betrachten. Umgekehrt kann man zu einer Untergruppe H von Aut(L/K) den FixkörperLH := {α ∈ L| σ(α) = α ∀σ ∈ H} betrachten, denn LH ist ein Zwischenkörper von L/K.

Wir erinnern daran, dass die L/K Galoiserweiterung heiÿt, falls L/K eine normaleund separable Körpererweiterung ist. In diesem Fall heiÿt Gal(L/K) := Aut(L/K) dieGaloisgruppe von L/K.

IV.3.6 Hauptsatz der Galoistheorie


Theorem:Sei L/K Galoiserweiterung. Die Abbildung {H| H Untergruppe von Gal(L/K)} → {F | FZwischenkörper von L/K}, H 7→ LH ist bĳektiv und die Umkehrabbildung ist gegebendurch F 7→ Aut(L/F ).

{ H| H Untergruppe von Gal(L/K) }

{ F| F Zwischenkörper von L/K },

H LH ,

Aut(L/F) F ,

Φ

Ψ

Beweis. Sei H eine Untergruppe von Gal(L/K). Sei F := LH der zugehörige Zwischen-körper. Dann gilt

Aut(L/F ) = Aut(L/LH) = H

Nach Satz IV.3.5. Umgekehrt sei F ein Zwischenkörper von L/K. Wir setzen H :=Aut(L/F ). Nach IV.1.6 ist L/F eine normale Körpererweiterung und nach IV.2.9 ist L/Feine separable Körpererweiterung. Das werden wir benutzen um IV.3.3 anzuwenden fürL/LH (statt L/K):

LH = LAut(L/F ) =IV.3.3

F.

Wir sehen, dass die beiden Abbildungen aus dem Hauptsatz zueinander invers sind unddamit folgt die Behauptung. Q.E.D.

IV.3.7 Viele Folgerungen

Proposition:Sei L/K Galoiserweiterung, G := Gal(L/K), H,H1, H2 Untergruppen von G, F Zwi-schenkörper von L/K.

Dann gilt folgende Liste:

a) H1 ⊆ H2 ⇐⇒ LH1 ⊇ LH2

b) ord(H) = [L : LH ], [G : H] = [LH : K]

c) L/F ist Galoiserweiterung.

d) σ ∈ G =⇒ Gal(L/σ(F )) = σGal(L/F )σ−1

e) σ ∈ G =⇒ LσHσ−1 = σ

(LH

)


f) H / G⇐⇒ LH/K normale Körpererweiterung.

g) Wenn H / G =⇒ Gal(LH/K) ∼= G/H.

Beweis. Siehe Übungen. Q.E.D.

IV.3.8 VorbereitungBemerkung : Sei L = K(α1, . . . , αr) für Nullstellen α1, . . . , αr von p(x) ∈ K[X]. Dieα1, . . . , αr müssen nicht alle Nullstellen von p(x) in L sein. Sei Z := {α ∈ L| p(α) = 0}.

Dann gilt:

a) Für σ ∈ Aut(L/K) gilt σ(Z) = Z und σ|Z ist eine Permutation von Z.

b) Die AbbildungAut(L/K)→ S(Z)︸︷︷︸

Permutations-gruppe von Z

, σ 7→ σ|Z

ist ein injektiver Gruppenhomomorphismus, der uns erlaubt, Aut(L/K) mit einer Un-tergruppe von S(Z) zu identifizieren.

Beweis. a) ist der Spezialfall von Lemma IV.1.3. Die Abbildung in b) erhalten wir durchEinschränkung und damit ist sie ein Gruppenhomomorphismus, da in beiden Fällen dieVerknüpfung gleich der Verknüpfung von Abbildungen ist. Die Abbildung σ 7→ σ|Z istinjektiv, weil σ durch die Bilder σ(α1), . . . , σ(αr) der Erzeugenden α1, . . . , αr ∈ Z bestimmtist. Q.E.D.

IV.3.9 BeispielBeispiele: Sei K = Q und L der Zerfällungskörper von p(x) = x3 − 2. Wir wollen alleZwischenkörper von L/K bestimmen.

1.Schritt: Bestimme L und [L : Q] (vgl. A44 ). Die Nullstelle von p(x) in C sindα1 := 3

√2, α2 := ζ3

3√

2, α3 := ζ23

3√

2.=⇒ L = K(α1, α2, α3) = Q(α1, α2, α3). Beachte, dass

ζ3

1

ζ32

Abbildung IV.1:Einheitswurzeln vonz3 − 1 = 0.

ζ3 = α2

α1= α3

α2(IV.5)

gilt und damit ζ3 ∈ L. Wenn wir nun wüssten, dass x3 − 2irreduzibel ist in Q(ζ3)[X], dann würde folgen, dass x3 − 2auch das Minimalpolynom von α1 über Q(ζ3) ist und damitfolgt wie oben

[L : Q(ζ3)] = deg(Minimalpolynom) = 3.

Das ist nun zu zeigen.

Beweis. Indirekt. Wenn x3 − 2 nicht irreduzibel =⇒ x3 − 2 = q(x)l(x) mit q(x), l(x) ∈Q(ζ3)[X], deg(q) = 2, deg(l) = 1. Dann muss also x3 − 2 eine Nullstelle in Q(ζ3) haben.Das kann man nicht so einfach sehen.


Wir versuchen es besser mit dem Zwischenkörper

Q ⊆ Q(α1) = Q( 3√

2) ⊆ L = Q(ζ3, α1).

Nach dem Kriterium von Eisenstein (was wir wegen K = Q nutzen dürfen), gilt, dass x3−2irreduzibel und damit das Minimalpolynom von α1 = 3

√2 ist. Es folgt

[Q( 3√

2) : Q] = deg(Minimalpolynom) = 3.

Weil ζ3 eine Nullstelle von x2 + x + 1 ist, muss das Minimalpolynom von ζ3 über Q( 3√

2)ein Teiler von x2 + x+ 1 sein. Wäre x2 + x+ 1 nicht irreduzibel in Q( 3

√2)[X], dann wäre

das Minimalpolynom vom Grad 1, dass heißt ζ3 /∈ Q( 3√

2). Da ζ3 /∈ R, aber Q( 3√

2) ⊆ R,kann das nicht passieren.

=⇒ [L : Q(α1)] = deg(Minimalpolynom) = 2.

=⇒ [L : Q] = [L : Q(α1)] · [Q(α1) : Q] = 2 · 3 = 6.2.Schritt: Wir raten Zwischenkörper von L/K.

Q, Q( 3√

2, Q(ζ3), Q(ζ23 ), Q(α2), Q(α3), Q( 3

√2 + ζ), L

Es gibt 2 Probleme:

i) Wir wissen nicht, ob verschiedene Teilnehmer aus der Liste auch wirklich verschiedensind als Zwischenkörper.

ii) Wir wissen nie, ob wir alle Zwischenkörper aufgelistet haben!

Deshalb wollen wir den Hauptsatz der Galoistheorie anwenden, der diese beiden Problemeumgeht.

3.Schritt: Zeige, dass L/K eine Galoiserweiterung ist. L/K = Q ist normal, weilL =Zerfällungskörper (siehe IV.1.4). L/K = Q ist separabel, weil char(K) = 0. =⇒ L/KGaloiserweiterung.

4.Schritt: Bestimme die Galoisgruppe G := Gal(L/K). Nach IV.3.8 ist G eine Unter-gruppe der Permutationsgruppe S({α1, α2, α3}) ∼= S3. Wegen

6 = [L : K] =IV.3.3

|Gal(L/K)| = |G| ≤ |S3| = 3! = 6,

gilt überall Gleichheit und damit sogar G = S3.5.Schritt: Bestimme alle Untergruppen von G = Gal(L/K): Benutze dabei die Sprache

der PermutationOrdung H

1 {1}2 {1, (12)}, {1, (13)}, {1, (23)}3 {1, (123), (132)}6 G

6.Schritt: Wir bestimmen alle Zwischenkörper von L/K. Nach dem Hauptsatz der Galois-theorie sind die gegeben als die Fixkörper LH , wobei H über alle Untergruppen von S3 ∼= Gläuft.

• ord(H) = 1: H = {1} Zwischenkörper F := LH = L.


• ord(H) = 2: Es gibt 3 Untergruppen der Ordnung 2, weil es 3 Transpositionen gibt.Fall H = {1, (12)} Zwischenkörper F := LH =?. Der Automorphismus σ zu (12)(unter S{α1, α2, α3} ∼= S3) ist gegeben durch σ(α1) = α2, σ(α2) = α1, σ(α3) = α3.Naheliegend ist nun: Behauptung: LH = Q(α3). Beweis. Zuerst bestimmen wirden Grad:

[F : Q] = [LH : Q] =IV.3.7 (b)

[G : H] = ord(G)ord(H) = 3.

Weiter gilt wegen α3 ∈ LH auch Q(α3) ⊆ LH . Wir haben im 1.Schritt gesehen, dass[Q(α3) : Q] = 3 und damit folgt Q(α3) = LH = F . Q.E.D.Fall H = {1, (13)} und H = {1, (23)} gehen analog. Man erhält F = LH = Q(α2)bzw. F = LH = Q(α1).

• ord(H) = 3 =⇒ H = {1, (123), (132)}. Sei nun σ ∈ G das Element, das (123)entspricht. Es gilt dann σ(α1) = σ2, σ(α2) = σ3, σ(α3) = α1. Weil (132) = (123)2,folgt sofort, dass σ H erzeugt und LH = Lσ. p Falls σ(α) = α =⇒ σ2(α) = σ(α) =α y .Möglicher Kandidat für ein Element in Lσ ist α1α2α3, denn σ(α1α2α3) = α2α3α1 =α1α2α3 X. Allerdings gilt α1α2α3 = 2, deshalb hilft das nicht weiter. Wir wissennämlich aus der selben Überlegung wie oben, dass [LH : Q] = [G : H] = 2 geltenmuss.Wir könnten mit ein wenig Zeit diesen Zwischenkörper erraten. Wir zeigen hier abereinen systematischen Weg, um den Zwischenkörper zu finden.Zuerst müssen wir eine Q-Basis von L finden: Q ⊆ Q(α1) ⊆ L = Q(α1, ζ3). NachIII.2.6 ist 1, α1, α

22 eine Q-Basis von Q(α1), weil x3 − 2 das Minimalpolynom von α1

ist. Analog ist 1, ζ3 eine Q(α1)-Basis von L, weil x2 +x+1 das Minimalpolynom vonζ3 ist über Q(α1). =⇒

III.2.51, α1, α

21, ζ3, α1ζ3, α

21ζ3 ist eine Q-Basis von L (Kontrolle:

6 = [L : Q] X). Sei α ∈ L. Dann ∃!a0, a1, . . . , a5 ∈ Q mit

α = a0 + a1α1 + a2α21 + a3ζ3 + a4α1ζ3 + a5α

21ζ3. (IV.6)

Wegen σ(ζ3) = σ(α3α2

) = α1α3

= ζ−23 = ζ3 (da ζ3

3 = 1) folgt

σ(α) =a0 + a1α2 + a2α22 + a4ζ3α2 + a5ζ3α

22

=a0 + a1ζ3α1 − a2(α21 + ζ3α

21) + a3ζ3 − a4(α1 + ζ3α1) + a5α

21 (IV.7)

Im letzten Schritt haben wir die Relation ζ23 + ζ3 +1 = 0 benutzt (Minimalpolynom).

Somit giltα ∈ LH ⇐⇒ α = σ(α)⇐⇒ (IV.6) = (IV.7)⇐⇒

Basis

a0 = a0, a1 = −a4, a2 = −a2 + a5, a3 = a3,

a4 = a1 − a4, a5 = −a2 ⇐⇒ a1 = a4 = a2 = a5 = 0.

Fazit: LH = {a0 + a3ζ3| a0, a3 ∈ Q} = Q(ζ3). Dies hätten wir auch wie im Fallord(H) = 2 beweisen können, sobald wir σ(ζ3) = ζ3 herausgefunden haben!

• ord(H) = 6, also H = G =⇒ F := LH = Q, da L/Q Galoiserweiterung ist (sieheIV.3.3).


Somit haben wir die 6.Zwischenkörper Q,Q(α1),Q(α2),Q(α3),Q(ζ3), L. Nach dem Haupt-satz der Galoistheorie sind das alle und sie sind paarweise verschieden.

7.Schritt: Welche Zwischenkörper F/Q sind normale Körpererweiterung? Nach IV.3.7 (f)gilt: F/Q normal ⇐⇒

F=LHH /G. Die Normalteiler von G sind die Untergruppen der Ordnung

1,3,6, weil Permutationen mit denselben Zykellängen konjugiert sind. Also gilt Q,Q(ζ3), Lsind die normalen Körpererweiterungen, was man auch direkt raus finden kann. Q.E.D.


IV.4 Zyklotomische KörpererweiterungenKörpererweiterung, die von einer Einheitswurzel erzeugt werden, sind besonders gut zu-gänglich. Sie werden in diesem Abschnitt studiert mit Hilfe der Galoistheorie. Das hat imFolgenden Anwendung für die Konstruktion des regulären n-Ecks mit Zirkel und Lineal.

In diesem Abschnitt ist K ein Körper und K ein algebraischer Abschluss von K. Weitersei n ∈ N.

IV.4.1 Einheitswurzel

Definition:ζ ∈ K heißt n-te Einheitswurzel in K :⇐⇒ ζn = 1.

Bei den komplexen Zahlen haben die n-ten Einheitswurzeln die Form exp(2πi kn)(k ∈ Z),

aber im Allgemeinen sind das völlig �abstrakte� Elemente in K (z.B. wenn K = Z/pZ).

IV.4.2 Einheitswurzeln in Z/pZ

Lemma:Sei p = char(K) 6= 0, n = pkm mit p - m. Dann ist die n-te Einheitswurzel in K gleichder m-te Einheitswurzeln in K, genauer

{ζ ∈ K| ζn = 1} = {ζ ∈ K| ζm = 1}.

Beweis. In A39 haben wir gesehen, dass

(a+ b)p = ap + bp (IV.8)

gilt in char(K) 6= 0. Somit gilt

xn − 1 = (xm)pk − 1 =(IV.8)

(xm − 1)pk

und somit folgt die Behauptung. Q.E.D.

IV.4.3 Die Menge der Einheitswurzeln als GruppeDie n-ten Einheitswurzeln in K bilden o�ensichtlich eine Gruppe bezüglich ·, die wir mitUn bezeichnen. Das Lemma IV.4.2 kann man benutzen um das Studium von Un auf denFall p := char(K) - n zurückführen (wegen Un = Um).

In jedem Fall ist Un eine endliche Gruppe der Ordnung ≤ n, da Un die Nullstellenmengevon xn− 1 in K (Satz III.1.4) ist. Als endliche Untergruppe von K

∗muss Un zyklisch sein

(siehe Aufgabe 47).

IV.4.4 Anzahl Einheitswurzeln

IV.4. ZYKLOTOMISCHE KÖRPERERWEITERUNGEN 105

Lemma:Falls char(K) - n, dann ist Un zyklisch der Ordnung n.

Beweis. Wir haben schon gesehen, dass Un zyklisch ist (siehe IV.4.3). Sei f(x) = xn −1. Dann gilt f ′(x) = nxn−1 6= 0, da char(K) - n. Somit haben f(x) und f ′(x) keinegemeinsamen Nullstellen (da f ′ nun 0 als Nullstelle in K hat). Mit Lemma IV.2.3 folgt,das f(x) separabel über K ist, d.h. alle Nullstellen sind verschieden. Damit gibt es nverschiedene n-te Einheitswurzeln in K, d.h. ord(Un) = n. Q.E.D.

IV.4.5 Primitive n-te EinheitswurzelnWeil Un zyklisch ist (gilt auch, wenn char(K)|n), gibt es ein erzeugendes Element ζ, d.h.Un = 〈ζ〉 . Solche Erzeuger heiÿen primitive n-te Einheitswurzeln. Nach I.4.6 habenwir einen Gruppenhomomorphismus

ϕZ/nZ→ Un, m 7→ ζm.

Weil dieser Isomorphismus ϕ von der Wahl des primitiven Elementes ζ abhängt, ist da derIsomorphismus nicht kanonisch.Behauptung: Sei ζ primitive n-te Einheitswurzel. Dann ist ζ ′ ∈ Un genau dann eineprimitive Einheitswurzel, wenn es ein m ∈ Z gibt mit ggT(m,n) = 1 und ζ ′ = ζm.

Beweis. Sei also ζ ′ ∈ Un. Weil Un = 〈ζ〉 =⇒ ∃m ∈ Z mit ζ ′ = ζm. ζ ′ primitive n-teEinheitswurzel ⇐⇒ 〈ζ ′〉 = Un ⇐⇒

ϕ Iso.m erzeugt Z/nZ ⇐⇒

1 erzeugtZ/nZ

1 ∈ 〈m〉 ⇐⇒ ∃r ∈ Z mit

1 = r ·m⇐⇒ m ∈ (Z/nZ)∗ ⇐⇒ ggT(m,n) = 1. Q.E.D.

Fazit: Wenn ζ ein primitive n-te Einheitswurzel ist, dann erhalten wir alle anderenprimitiven n-ten Einheitswurzeln durch ζm, m = 1, . . . , n und ggT(m,n) = 1. Insgesamtgibt es also ϕ(n) primitive n-te Einheitswurzeln, wobei ϕ hier die Eulersche Phi-Funktionist.

IV.4.6 Folgerungen für primitive Einheitswurzeln

Satz:Sei n ∈ N, char(K) - n, ζ primitive n-te Einheitswurzel in K. Dann gilt:

a) K(ζ)/K Galoiserweiterung.

b) ∀σ ∈ Gal(K(ζ)/K) =⇒ ∃!k(σ) ∈ (Z/nZ)∗. mit σ(ζ) = ζk(σ)

c) Die Abbildungψ : Gal(K(ζ)/K)→ (Z/nZ)∗, σ 7→ k(σ)

ist ein injektiver Gruppenhomomorphismus.

d) Der Isomorphismus ψ ist kanonisch, d.h. K(ζ) und ψ sind unabhängig von der Wahlder primitiven n-te Einheitswurzel ζ.


Beweis. • Wir zeigen zuerst, dass K(ζ) der Zerfällungskörper des Polynoms xn − 1über K ist. Es gilt xn − 1 = ∏

ζ′∈Un(x− ζ ′). Weil ζ ist, gilt ζ ′ = ζm für ein m ∈ Z.Also ist ζ ′ ∈ K(ζ) für alle ζ ′ ∈ Un. Somit zerfällt xn − 1 in Linearfaktoren in K(ζ).Es bleibt noch zu zeigen, dass K(ζ) von den Nullstellen von xn−1 erzeugt wird. Weilschon die Nullstelle ζ die Erweiterung K(ζ) von K erzeugt, ist dies trivial. Damitmuss K(ζ) der Zerfällungskörper von xn − 1 sein.Es folgt aus IV.1.4, dass K(ζ) eine normale Körpererweiterung von K ist. Weiter istxn−1 ein separables Polynom, denn es hat nach Lemma IV.4.4 genau n verschiedeneNullstellen (hier benutzen wir char(K) - n). Es folgt, dass ζ separabel über K ist (dadas Minimalpolynom ein Teiler von xn − 1 sein muss). Nach IV.2.6 folgt, dass K(ζ)eine separable Körpererweiterung von K ist. Zusammen ergibt sich a).

• Sei σ ∈ Gal(K(ζ)/K). Weil 1 = σ(ζn) = σ(ζ)n, gilt σ(ζ) ∈ Un = 〈ζ〉 , d.h.∃k(σ) ∈ Z mit σ(ζ) = ζk(σ). Wir müssen noch zeigen, dass σ(ζ) eine primitiveEinheitswurzel ist. Zuerst machen wir ein paar Vorüberlegungen: Zuerst wollen wireinsehen, dass k(σ) eindeutig ist in (Z/nZ)∗. Sei k′ ∈ Z mit σ(ζ) = ζk

′ , danngilt ζk′−k(σ) = ζk

′/ζk(σ) = σ(ζ)/σ(ζ) = 1. Damit folgt k′ ≡ k(σ) (mod n), da

ζ eine primitive n-te Einheitswurzel ist (dies steckt alles in IV.4.5). Also folgt dieEindeutigkeit von k(σ).Falls λ ∈ Gal(K(ζ)/K) ist, gilt

(λ ◦ σ)(ζ) = λ(σ(ζ)) = σ(ζk(σ)) = λ(ζ)k(σ) = ζk(λ)k(σ)

und andererseits(λ ◦ σ)(ζ) = ζk(λ◦σ).

Aus der Eindeutigkeit ergibt sich

k(λ)k(σ) = k(λ ◦ σ) ∈ Z/nZ. (IV.9)

Offensichtlich gilt k(1) = 1 ∈ Z/nZ. Wenden wir nun (IV.9) an für λ := σ−1, dannfolgt

k(σ−1)k(σ) = k(1) = 1 ∈ Z/nZ.

Also ist k(σ) ∈ (Z/nZ)∗ und damit ist σ(ζ) = ζk(σ) ein primitive n-te Einheitswurzel.Dies zeigt b).

• Nach b) ist die Abbildung wohldefiniert. Wegen (IV.9) ist ψ ein Gruppenhomomor-phismus. Um zu zeigen, dass ψ injektiv ist, müssen wir zeigen, dass für σ ∈ ker(ψ)gilt, dass σ = 1. Sei also σ ∈ ker(ψ). =⇒ k(σ) = 1 =⇒ σ(ζ) = ζk(σ) = ζ1 = ζ.Weil ζ die Körpererweiterung K(ζ)/K erzeugt und σ(ζ) = ζ, muss σ die Identitätauf dem ganzen Körper K(ζ) sein. Dies zeigt c).

• Sei ζ ′ eine andere primitive n-te Einheitswurzel. Weil Un = 〈ζ〉, gibt es ein m ∈ Zmit ζ ′ = ζm und somit gilt K(ζ ′) ⊆ K(ζ). Durch Vertauschen der Rollen von ζund ζ ′ folgt K(ζ) ⊆ K(ζ ′). Wegen σ(ζ ′) = σ(ζm) = σ(ζ)m = (ζm)k(σ) = (ζ ′)k(σ)

funktioniert dasselbe k(σ) auch für ζ ′ und damit hängt k(σ) ∈ (Z/nZ)∗ nicht abvon der Wahl der primitiven n-te Einheitswurzel ζ. Dies zeigt d).

Q.E.D.

IV.4. ZYKLOTOMISCHE KÖRPERERWEITERUNGEN 107

IV.4.7 n-te KreisteilungskörperFalls K = Q und ζ eine primitive n-te Einheitswurzel, dann nennen wir Q(ζ) den n-te Kreisteilungskörper (oder n-te zyklotonischer Körper). In diesen Fall können wirζ := exp(2πi/n) ∈ C wählen.

IV.4.8 Grad des Kreisteilungskörpers

Satz:Für K = Q ist ψ : Gal(Q(ζ)/Q) → (Z/nZ)∗ aus IV.4.6 ein Gruppenisomorphismus unddamit gilt [Q(ζ) : Q] = ϕ(n), wobei ϕ die Eulersche Phi-Funktion ist.

Beweis. Sei f das Minimalpolynom von ζ über Q. Da ζ ein Nullstelle von xn− 1 ist, folgt

f · h = xn − 1 (IV.10)

für h(x) ∈ Q[X]. Offensichtlich ist h ein normiertes Polynom (Koeffizienten vergleichen).Nach II.7.6 folgt, dass f, g ∈ Z[X]. Sei p eine Primzahl, p - n. Dann ist ζp primitive n-teEinheitswurzel (nach IV.4.5).

1.Schritt f(ζp) = 0. Beweis indirekt. Wenn f(ζp) 6= 0, muss h(ζp) = 0 gelten nach(IV.10). Also ist ζ eine Nullstelle von h(xp). Wie oben folgt

h(xp) = f(x) · g(x) (IV.11)

mit g(x) ∈ Z[X] und normiert. Wir bezeichnen mit h ∈ Z/pZ das Polynom, dassdurch Reduktion der Koeffizienten modulo p entsteht. In II.7.5 haben wir gesehen,dass aus (IV.11) folgt

h(xp) = f(x)g(x).Weiter gilt (a+ b)p = ap + bp in Z/pZ und damit folgt

h(x)p = h(xp) = f(x)g(x).

Damit gilt ggT(f, h) 6= 1, denn deg(f) ≥ 1. Aus (IV.10) folgt analog

f(x) · h(x) = xn − 1.

=⇒ xn − 1 hat mehrfache Nullstellen, denn f(x) und h(x) haben im algebraischenAbschluss von Z/pZ eine gemeinsame Nullstelle. Also ist xn − 1 kein separablesPolynom in (Z/pZ)[X].Weil p - n, folgt IV.4.6, dass xn−1 n verschiedene Nullstellenhat im algebraischen Abschluss von Zp. Widerspruch †. Dies zeigt Schritt 1.

2.Schritt Sei ζ ′ eine primitive n-te Einheitswurzel in Q. Behauptung: f(ζ ′) = 0. p Wirhaben in IV.4.5 gesehen, dass die primitiven Einheitswurzeln die Form ζk haben mitggT(k, n) = 1. Also gibt es so ein k mit ζ ′ = ζk. Es gibt somit Primzahlen p1, . . . , pr,alle teilerfremd zu n, mit k = p1 · · · pr. Wir definieren. ζ1 := ζp1 . Dann ist ζ1 eineprimitive n-te Einheitswurzel und es gilt f(ζ1) = nach dem 1.Schritt.Setze ζ2 := ζp2

1 . Das ist wieder eine primitive n-te Einheitswurzel. Wenden nunden 1.Schritt für ζ1 statt ζ an (beachte, dass f auch das Minimalpolynom von ζ1ist, weil f irreduzibel ist), dann folgt f(ζ2) = 0. In r Schritten erhalten wir, dass

f(ζ ′) = f(ζr) = 0. Hier benutzen wir ζ ′ =(· · ·

((ζp1)p2

)...)= ζr. y


Jetzt zeigen wir die Behauptung in Satz IV.4.8: Aus dem 2.Schritt folgt, dass alle primitivenn-ten Einheitswurzeln Nullstellen von f sind. Es gibt nach IV.4.5 genau ϕ(n) primitivenn-te Einheitswurzeln, wobei ϕ(n) := |Z∗n| die Eulersche Phi-Funktion ist.

[Q(ζ) : Q] =III.2.9

deg(f) ≥ Anzahl verschiedene Nullstellen ≥ ϕ(n).

Andererseits ist Q(ζ) eine Galoiserweiterung von Q (Satz IV.4.6 a) und damit folgt

[Q(ζ) : Q] IV.4.6=IV.3.3

ord(

Gal(K(ζ)/K)).

Weil ψ : Gal(Q(ζ)/Q)→ Z∗n injektiv ist (Satz IV.4.6 c), folgt

[Q(ζ) : Q] ≤ ord(Z∗n) = ϕ(n).

Zusammen ergibt sich ϕ(n) = [Q(ζ) : Q] und die Surjektivität von ψ. Q.E.D.

IV.5. AUFLÖSBARE GRUPPEN 109

IV.5 Auflösbare GruppenIm Hauptsatz der Galoistheorie haben wir gesehen, dass die Untergruppen der Galoisgruppealle Zwischenkörper klassi�zieren. Deshalb kommen wir in diesen Abschnitt auf die Grup-pentheorie zurück und untersuchen au�ösbare Gruppen, die in einem gewissen Sinn auszyklischen Gruppen aufgebaut werden. Diese Gruppen werden am Schluss der Vorlesung inder Theorie der Au�ösbarkeit von algebraischen Gleichungen durch Radikale wichtig werden.In diesem Abschnitt sei G eine Gruppe.

IV.5.1 Auflösbare Gruppe und Normalreihe

Definition:Eine Gruppe G heißt auflösbar genau dann, wenn es eine Normalreihe

G0 := {e} / G1 / G2 / . . . / Gn−1 / Gn := G (IV.12)

gibt, so dass die Faktoren Gj/Gj−1 abelsch sind für j = 1, . . . , n.

IV.5.2 Untergruppen sind auflösbar

Proposition:Sei G auflösbar, H Untergruppe von G. Dann ist H auflösbar.

Beweis. Sei Hj := Gj ∩H, dann folgt leicht, dass

{e} = H0 / H1 / . . . / Hn = H

eine Normalreihe in H ist. Nach dem 1.Isomorphiesatz I.3.9 gilt Hj ∩Gj−1 / Hj und

Hj/Hj ∩Gj−1∼→ (HjGj−1)/Gj−1.

Somit ist Hj/Hj−1 = Hj/Hj ∩ Gj−1 isomorph zu einer Untergruppe von Gj/Gj−1. NachVoraussetzung ist Gj/Gj−1 abelsch und damit auch Hj/Hj−1. Es folgt, dass H auflösbarist. Q.E.D.

IV.5.3 Äquivalenz von auflösbar mit Normalteiler

Proposition:Sei N / G. Dann ist G auflösbar ⇐⇒ N und G/N auflösbar.

Beweis. Sei also G auflösbar. Wir wählen eine Normalreihe wie in (IV.12) mit abelschenFaktoren. Nach Proposition IV.5.2 ist N auflösbar. Wir müssen zeigen, dass G/N auflösbarist. Sei π : G→ G/N der Quotientenhomomorphismus. Weil π ein surjektiver Gruppenho-momorphismus ist, muss Gj := π(Gj) eine Normalreihe in G := G/N sein. Wir betrachtenden Gruppenhomomorphismus ϕ : Gj → Gj/Gj−1, g 7→ π(g)Gj−1. Offensichtlich ist auch


ϕ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus und es gilt Gj−1 ⊆ ker(ϕ). Wir erhalten damiteinen surjektiven Gruppenhomomorphismus

Gj/Gj−1 → Gj/ ker(ϕ)

(vgl. 2.Isomorphisatz I.3.10). Weil das Bild einer abelschen Gruppe wieder abelsch seinmuss, folgt Gj/ ker(ϕ) abelsche Gruppe. Nach dem Homomorphisatz I.3.8 gilt

Gj/ ker(ϕ) ∼= Im(ϕ) = Gj/Gj−1.

Also ist auch Gj/Gj−1 abelsch. Es folgt, dass G = G/N auflösbar ist. Das beweist =⇒.Umgekehrt sei nun N und G/N auflösbar. Wir wählen eine Normalreihe

{e} = G0 / G1 / . . . / Gk = N

mit abelschen Faktoren. Weiter wählen wir eine Normalreihe

{e} = Gk / Gk+1 / . . . / Gn = G/N

mit abelschen Faktoren (nach Umnummerierung). Wir setzen Gj := π−1(Gj) für j =k + 1, . . . , n, wobei π : G → G/N weiterhin der Quotientenhomomorphismus ist. DieBezeichnung passen wegen Gk = π−1(e). Offensichtlich ist

{e} = G0 / G1 / . . . / Gk = N / Gk+1 / . . . / Gn = G

eine Normalreihe von G. Nach dem 2.Isomorphiesatz I.3.10 gilt für j > k

Gj/Gj−1 ∼= (Gj/N)/(Gj−1/N) = Gj/Gj−1.

Somit ist Gj/Gj−1 abelsch für j > k. Weil das trivialerweise auch für j ≤ k gilt, muss Gauflösbar sein. Q.E.D.

IV.5.4 Bilder von auflösbaren Gruppen

Korollar:Sei ϕ : G1 → G2 Gruppenhomomorphismus und G1 sei auflösbar. Dann ist ϕ(G1) auflösbar.

Beweis. Nach dem Homomorphisatz I.3.8 gilt ϕ(G1) ∼= G1/ ker(ϕ). Nach Proposition I.5.3ist G1/ ker(ϕ) auflösbar und damit auch ϕ(G1). Q.E.D.

IV.5.5 Verfeinerte Normalreihe

Satz:G auflösbar ⇐⇒ ∃ Normalreihe wie in (IV.12) so, dass alle Gj/Gj−1 zyklische Gruppender Ordnung pj sind für Primzahlen pj.

IV.5. AUFLÖSBARE GRUPPEN 111

Beweis. Es sei G0 ⊃ . . . ⊃ Gn eine echt absteigende Normalreihe von G mit abelschenFaktoren. Ist dann einer der Faktoren, etwaGi/Gi+1 nicht zyklisch vom Primzahlordnung, sowähle man ein nicht-triviales Element a ∈ Gi/Gi+1. Indem man zu einer geeigneten Potenzvon a übergeht, kann man annehmen, dass ord a prim ist. Die von a erzeugte zyklischeGruppe 〈a〉 ist dann echt in Gi/Gi+1 enthalten, ihr Urbild in Gi unter der ProjektionGi → Gi/Gi+1 ergibt eine Gruppe H mit

Gi ) H ) Gi+1.

Da 〈a〉 ein Normalteiler in der (abelschen) Gruppe Gi/Gi+1 ist, ist auch das Urbild Hein Normalteiler in Gi. Trivialerweise ist Gi+1 ein Normalteiler in H. Wir können alsodie Normalreihe G0 ⊃ . . . ⊃ Gn durch Einfügen von H zwischen Gi und Gi+1 zu einerneuen Normalreihe verfeinern. Letztere hat ebenfalls abelsche Faktoren, denn man hateine Injektion H/Gi+1 ↪→ Gi/Gi+1 sowie einen Epimorphismus Gi/Gi+1 → Gi/H, wobeiGi/Gi+1 abelsch ist. Wiederholt man das Verfahren der Verfeinerung, so gelangt manaufgrund der Endlichkeit von G nach endlich vielen Schritten zu einer Normalreihe, derenFaktoren zyklisch von Primzahlordnung sind. Q.E.D.

• Wir erinnern daran, dass Z := {g ∈ G| gh = hg ∀h ∈ G} das Zentrum von G ist(siehe I.6.11).

• Falls ord(G) = pk für eine Primzahl p und k ∈ N, dann heiÿt G eine p-Gruppe(siehe I.7.4).

• Wir haben in I.6.16 gesehen, dass Z 6= {e} für jede p-Gruppe G.

IV.5.6 Endliche p-Gruppen sind auflösbar

Korollar:Jede endliche p-Gruppe ist auflösbar.

Induktion nach n := ord(G). n = 1 ist trivial (wir lassen hier auch G = {e} zu).Sei n > 1. Nach unserer Vorüberlegung ist Z 6= {e}.

1.Fall Z = G. Dann ist G eine abelsche Gruppe und damit auflösbar (wähle Normalreihe{e} / Z).

2.Fall Z 6= G. Beachte, dass Z ein Normalteiler ist von G aufgrund der Definition desZentrum. Weil Z abelsch ist, muss Z wieder auflösbar sein. Weiter ist G/Z auf-lösbar nach Induktion, denn ord(G/Z) = ord(G)/ ord(Z)︸︷︷︸

insbesondere eine p-Gruppe

<Z 6={e}

ord(G) = n. Nach

Proposition IV.5.3 für N := Z zeigt, dass G auflösbar ist.Q.E.D.

IV.5.7 Beispiel mit der symmetrischen GruppeBeispiel : Für n ≤ 4 ist Sn auflösbar, aber S5 ist nicht auflösbar! Da es sich dabei umkleine Gruppe der Ordnung ≤ 120 handelt, kann man das einfach mit einem Computerentscheiden. Für einen mathematischen Beweis verweisen wir auf [Bos01, Bemerkung 5.4.5].Weil S5 eine Untergruppe von Sn ist für alle n ≥ 6, sind alle diese Gruppen aufgrund vonIV.5.2 nicht auflösbar.


IV.6 Konstruktion mit Zirkel und LinealIn diesem Abschnitt werden wir eine abschliessende Antwort geben, welche Konstruktionenmit Hilfe von Zirkel und Lineal durchführbar sind. Dies wir uns mit Hilfe der Galoistheoriegelingen und wir werden das auf die klassischen Probleme anwenden.

IV.6.1 Elementare ZeichentechnikenWas lässt sich alles aus einer gegebenen Strecke mit Zirkel und Lineal konstruieren? ZumBeispiel kann man ein gleichseitiges Dreieck zu gegebener Seitenlänge konstruieren. Wirwollen das Problem in die Algebra übersetzen. Wir können die gegebene Strecke mit [0, 1] ∈C identi�zieren. Dann stellt sich also die Frage, welche Punkte z ∈ C sich mit Hilfe vonZirkel und Lineal aus den gegebenen Punkten 0, 1 konstruieren lassen?

Sei Z die Menge aller solcher Punkte z ∈ C. Es gelten folgende Eigenschaften für Z:

a) Z ⊆ Z durch �Abtragen�

b) i ∈ Z: Lot fällen in 0 und 1 abtragen.

c) z ∈ Z ⇐⇒ <(z),=(z) ∈ Z, Hinrichtung:

Abbildung IV.2: Thaleskreis

analog =(z). Rückrichtung: trivial (�Rechteck konstruieren�)

IV.6.2 Konstruierbarer Teilkörper

Lemma:Z ist ein Teilkörper von C.

Beweis. Addition: Seien z1, z2 ∈ Z. Zu zeigen ist z1 + z2 ∈ Z. Wir verschieben Parallelendurch z1 und z2 z1 + z2 ∈ Z. Multiplikation: Seien z1, z2 ∈ Z. Zu zeigen: z1z2 ∈ Z.Nach IV.6.1 c) genügt es zu zeigen, dass

<(z1z2) = <(z1)<(z2)−=(z1)=(z2)

=(z1z2) = <(z1)=(z2) + =(z1)<(z2)

IV.6. KONSTRUKTION MIT ZIRKEL UND LINEAL 113

Abbildung IV.3: Strahlensatz (l) und Parallelenkonstruktion (r)

beide in Z sind. Also genügt es zu zeigen, dass für u, v ∈ R ∩ Z auch u · v ∈ Z ist. Hierbenutzen wir, dass Z nach obigem abgeschlossen ist unter + und damit offensichtlich auchunter −. Seien also u, v ∈ Z ∩ R. Wir benutzen den Strahlensatz a : b = c : d (sieheAbbildung IV.3).

Wir wählen b := u, c := v und a = 1, dann zeichnen wir die Parallelen in obiger Figurund erhalten so d = bc = uv. Somit ist Z ein Unterring von C. Es bleibt für z ∈ Z \ {0}zu zeigen, dass auch 1

z∈ Z ist.

1z

= z

z · z= <(z)|z|2

− i=(z)|z|2

.

Nach IV.6.1 c) sind <(z), =(z), z,∈ Z und nach Pythagoras auf |z|2 ∈ Z. Nach IV.6.1 b)gilt auch i ∈ Z. Weil wir schon wissen, dass Z abgeschlossen ist unter +,−, ·, genügtes zu zeigen, dass Z ∩ R abgeschlossen ist unter Division. Dies folgt wieder mit demStrahlensatz. Q.E.D.

IV.6.3 Invarianz normaler Körpererweiterungen

Proposition:Wir betrachten Körpererweiterungen K ⊆ F ⊆ L und nehmen an, dass F/K normal ist.Dann gilt für jeden K-Homomorphismus ϕ : F → L die Inklusionen ϕ(F ) ⊆ F.

Beweis. Sei α ∈ F . Wir bezeichnen das Minimalpolynom von α über K mit f(x). Damitist α eine Nullstelle von f(x). Nach IV.1.3 ist ϕ(α) wieder eine Nullstelle von f(x). WeilF/K normal ist, zerfällt f(x) in Linearfaktoren aus F [X]. Damit sind alle Nullstellen vonf(x) schon in F enthalten. Also gilt ϕ(α) ∈ F . Q.E.D.

IV.6.4 Transitivität auf den Nullstellen

Proposition:Sei f(x) irreduzibles separables Polynom in K[X] mit Zerfällungskörper L. Dann gilt:

a) L/K Galoiserweiterung.


b) Sei α eine Nullstelle von f(x) in L und β ∈ L. Dann gilt: β Nullstellen von f(x) ⇐⇒∃σ ∈ Gal(L/K) mit β = σ(α).

Beweis. [Bos01, 4.3.1] Q.E.D.

IV.6.5 Hauptsatz

Theorem:Sei z ∈ C. Dann ist z genau dann mit Zirkel und Lineal aus den gegebenen Punkten 0, 1konstruierbar, wenn es einen Teilkörper L von C gibt mit den Eigenschaften, dass

• z ∈ L

• L/Q Galoiserweiterung

• [L : Q] = 2n für ein n ∈ N0.

Beweis. 1.Schritt: Wenn w ∈ Z, dann gilt auch√w ∈ Z.

p Wenn w > 0, dann folgt dies aus dem Höhensatz (siehe Abbildung IV.4). Wähle

Abbildung IV.4: Höhensatz

p = w, q = 1 =⇒ h2 = pq = w =⇒ h =√w. Wenn w ∈ Z beliebig, dann können

wir mit obigem√|w| konstruieren. Weiter können wir mit Zirkel und Lineal Winkel

halbieren und erhalten so√w im Allgemeinen. Dies zeigt den ersten Schritt.y

“=⇒”: Sei z ∈ Z. Gesucht ist ein solches L. Wir machen uns zuerst mal klar, waskonstruierbar bedeutet. Es gibt z1, z2, . . . , zn mit zn = z so, dass zj aus z1, . . . , zj−1 erhaltenwird durch eine der folgenden Operationen:

i) schneiden zweier zuläßiger Geraden;

ii) schneiden einer zuläßigen Geraden mit einem zuläßigen Kreis;

iii) schneiden zweier zuläßiger Kreise


Eine Gerade heißt dabei zuläßig, wenn sie durch zwei schon konstruierte Punkte geht, d.h.aus {z1, . . . , zj−1}. Ein Kreis heißt zuläßig, wenn sein Zentrum in {z1, . . . , zj−1} liegt und erdadurch einen weiteren Punkt aus {z1, . . . , zj−1} geht. Wir sagen, dass zn nach n Schrittenaus 0, 1 konstruiert wurde. Wir beweisen mit Induktion nach n, dass es einen Teilkörper Lvon C gibt mit den Eigenschaften i, z1, . . . , zn ∈ L; L/Q Galoiserweiterung; [L : Q] = 2nfür ein n ∈ N. Dies zeigt dann die Hinrichtung. Für n = 0 muss z ∈ {0, 1} gelten (in0-Schritten konstruierbar). Dann wählen wir L = Q(i) X.

Sei jetzt n ∈ N. Nach Induktionsannahme gibt es einem Teilkörper F von L miti, z1, . . . , zn ∈ F ; F/Q Galoiserweiterung; [F : Q] = 2k. Wir erhalten zn aus z1, . . . , zn−1mit Hilfe einer der drei Operationen i), ii), iii). Wir nehmen an, dass Operation iii) benutztwurde. Die anderen Fälle sind analog und einfacher. Dann ist zn = z = x + iy Lösungenvon zwei Kreisgleichungen

(x− xj)2 + (y − yj)2 = R2j (j = 1, 2) (IV.13)

Dabei sind x1 + iy1 und x2 + iy2 Punkte aus {z1, . . . , zn−1}. Nach Proposition IV.6.3bildet die komplexe Konjugation F in sich ab. Für w ∈ F folgt, dass <(w) = w+w

2 und=(w) = w−w

2i beide in F sind. Ebenso gilt |w|2 = ww ∈ F. Weil die Kreise zulässig sind,folgt xj, yj, R2

j ∈ F ∩R für j = 1, 2. Offenbar dürfen die beiden Kreise nicht konzentrischsein. OBdA x1 6= x2.

x2 + (y − yj)2 = R2j + 2xjx− x2

j (j = 1, 2) (IV.14)

und mit Substraktion der beiden Gleichungen

(y − y1)2 − (y − y2)2 = λ+ 2(x1 − x2)x (IV.15)

für ein λ ∈ F. Auflösen nach x und einsetzen in eine der beiden Gleichungen in (IV.13)liefert eine quadratische Gleichung in y mit Koeffizienten in F ∩R.

Sei ∆ die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung. =⇒ ∆ ∈ F. Die Lösungsformelfür quadratische Gleichung liefert y ∈ F (

√∆). =⇒

(IV.15)x ∈ F (

√∆). Wir betrachten nun

den Zerfällungskörper L des Minimalpolynoms f(x) von√

∆ über Q. Es gilt Q ⊆ F ⊆F (√

∆) ⊆ L.Weil char(Q) = 0, muss L/Q eine Galoiserweiterung sein (IV.1.4 und IV.2.5)mit z = zn = x+ iy ∈ F (

√∆) ⊆ L.

Weiter ist f als irreduzibles Polynom in char = 0 separabel (siehe IV.2.4). Wir bezeich-nen die Nullstellen von f mit α1 =

√∆, α2, . . . , αd. Nach IV.6.4 ∃σj ∈ Gal(L/Q) mit

αj = σ(α1). Wegen α21 = ∆, folgt

α2j =

(σ(α1)

)2= σ(α2

1) = σ(∆) ∈IV.6.3

F.

Somit gilt [F (α1, . . . , αj) : F (α1, . . . , αj−1)] ∈ {1, 2}. Wir erhalten den Körperturm

Q ⊆︸︷︷︸2

F ⊆ F (α1) ⊆︸︷︷︸1,2

. . . ⊆︸︷︷︸1,2

F (α1, . . . , αn) =Zerf.Körper

L.

Mit der Gradformel folgt [F : Q] = 2n für ein n ∈ N. Damit hat L die gewünschtenEigenschaften.“⇐=”: Umgekehrt nehmen wir an, dass es für z ∈ C ein L gibt wie in der Behauptung.Weil L/Q eine Galoiserweiterung ist, folgt nach dem Hauptsatz der Galoistheorie und der


Folgerung IV.3.7, dass die Galoisgruppe G := Gal(L/Q) die Ordnung [L : Q] = 2k hat.Damit ist G eine 2-Gruppe. Nach Korollar IV.5.6 ist G auflösbar. Nach Satz IV.5.5 gibt eseine Normalreihe

{e} = G0 / G1 / . . . / Gn = G,

mit zyklischen Faktoren Gj/Gj−1 der Ordnung pj für Primzahlen pj. Es gilt

pj = |Gj/Gj−1| =|Gj||Gj−1|

= |Gj||Gj−1|

| |Gj|.

Nach dem Satz von Lagrange ist |Gj| ein Teiler von |G| = 2k. Es folgt pj = 2 für alle pj.Wir wenden den Hauptsatz der Galoistheorie an auf die obige Normalreihe und betrachtendie entsprechenden Fixkörper Lj := LGj . Die ergibt einen Körperturm

L = L0 ⊇ L1 ⊇ . . . ⊇ Ln = Q.

Nach der Folgerung IV.3.7 gilt

[Lj−1 : Lj] = |Gj/Gj−1| = 2.

Sei αj ∈ Lj−1 \ Lj. Dann hat das Minimalpolynom von αj über Lj den Grad 2. Wirbezeichnen mit ∆j die Diskriminante dieses quadratischen Polynom. Da die Koeffizientenin Lj liegen, folgt auch ∆j ∈ Lj. Aus der Lösungsformel für quadratische Polynome folgtsofort, dass

Lj−1 = Lj(αj) = Lj(√

∆j)

gilt. Wir zeigen nun induktiv nach n, dass alle Elemente in Ln konstruierbar sind. Wennn = 0, dann gilt Ln = Q ⊂ Z X. Sei nun n > 0. Dann folgt nach Induktion, dass L1 ⊂ Z.Es gilt

L = L1(√

∆)

nach obigem. Weil√

∆1 ∈ Z nach dem 1.Schritt, folgt L ⊂ Z (da Z ein Körper). Insbe-sondere gilt z ∈ L ⊂ Z. X Q.E.D.

IV.6.6 Verallgemeinerung des Hauptsatzes

Theorem:Sei z1 := 0, z2 := 1, z3, . . . , zr ∈ C und z ∈ C. Dann ist z konstruierbar mit Zir-kel und Lineal aus den gegebenen Punkten z1, . . . , zr ⇐⇒ ∃ Teilkörper L von C mitz ∈ LL/Q(z1, . . . , zr, z1, . . . , zr) ist eine Galoiserweiterung(insbesondere z1, . . . , zr, z1, . . . , zr ∈ L)[L : Q(z1, . . . , zr, z1, . . . , zr)] = 2k für ein k ∈ N0.

Beweis. Ähnlich wie in IV.6.5, siehe [Bos01, 6.4.1]. Q.E.D.


IV.6.7 Delisches ProblemBeispiel : Kann man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen 2 konstruieren? Algebrai-sche Übersetzung: 3

√2 ∈ Z?. Antwort: Nein!

Beweis. Das Minimalpolynom von 3√

2 über Q ist x3−2 nach dem Kriterium von Eisenstein(vergleiche IV.3.9). Somit gilt

[Q( 3√

2) : Q] = 3.

Wenn es nun eine Körpererweiterung L von Q gäbe mit 3√

2 ∈ L und [L : Q] = 2k, dannfolgt Q( 3

√2) ⊆ L und mit der Gradformel gilt

3 = [Q( 3√

2) : Q] = [L : Q][L : Q( 3

√2)]

= 2kx.

Also folgt 3|2k. Widerspruch †. Nach dem Theorem IV.6.5 folgt 3√

2 /∈ Z. Q.E.D.

IV.6.8 Quadratur des KreisesBeispiel : Lässt sich zu einem Kreis mit Radius 1 ein flächengleiches Quadrat konstuieren?Algebraische Übersatzung:

√π ∈ Z?

Beweis. Wäre√π ∈ Z, dann gilt auch π ∈ Z. Weil π transzendent ist (siehe [Wol96,

7.10]), gibt es überhaupt keine endliche Körpererweiterung von Q, die π enthält (sieheAbschnitt III.3). Nach Theorem IV.6.5 folgt π /∈ Z. Widerspruch †. Q.E.D.

IV.6.9 Dreiteilung des WinkelsKann man jeden Winkel ϕ mit Zirkel und Lineal durch 3 teilen? Algebraische Überset-zung: Ist eiϕ/3 konstuierbar aus 0,1,eiϕ. Antwort: Nein!

Beweis. Wir müssen einen Winkel ϕ angeben, der sich nicht dritteln lässt. Nicht geeignetist ϕ = π

2 , weil man ein gleichseitiges Dreieck konstruieren kann und durch Halbierung desWinkels π

3 erhalten wir π6 wie gewünscht. Besser ist es, ϕ = 2π

3 zu wählen. Wir müssenzeigen, dass eϕi/3 nicht aus 0,1,eϕi konstruierbar ist. Wir gehen indirekt vor und nehmenan, dass die Konstruktion möglich ist. Nach Theorem IV.6.6 für z1 = 0, z2 = 1, z3 = ei2π/3

muss es einen Teilkörper L von C geben mit

Q(e2πi/3) = Q(e2πi/3, e−2πi/3) = Q(z1, z2, z3, z1, z2, z3) ⊆ L

und [L : Q(e2πi/3)] = 2k für ein k ∈ N0.Es sollt weiter gelten e2πi/9 ∈ L.

Q⊂ Q(e2πi/3) ⊂ Q(e2πi/9) ⊂︸︷︷︸[ : ]=2k

L.

Es gilt[Q(e2πi/9) : Q] =

Satz IV.4.8ϕ(9) =

II.5.1532 − 32−1 = 6

Nach der Gradformel folgt folgt 6 | [L : Q] = 2k. Widerspruch †. Q.E.D.


IV.6.10 Lemma aus der elementaren Zahlentheorie

Lemma:Sei r, s ∈ N, r ≥ 2, p = rs + 1 Primzahl. Dann ist s = 2k für ein k ∈ N0.

Beweis. Es gilt s = 2k · l mit l ungerade. Wir wenden die Formel

xl + 1 = (x+ 1)(xl−1 − xl−2 +− . . .+ 1)

für x = r2k an. Dann folgt nach den Potenzgesetzen

p = rs + 1 = (r2k)l + 1 = xl + 1 = (x+ 1)(· · · ) = (r2k + 1)(· · · ).

Weil p prim ist, muss rl2k + 1 = rs + 1 = p gleich r2k + 1 sein. Es folgt l = 1 wiegewünscht. Q.E.D.

IV.6.11 Reguläre n-EckeBeispiel : Wir können nun auch beantworten, welche regelmäßigen n-Ecke sich konstruierenlassen. Dies ist äquivalent zu der Frage, ob ζn = e

2πin ∈ Z ist. Da Q[ζn] nach IV.4.6 und

IV.4.8 eine Galoiserweiterung vom Grad ϕ(n) ist, wird ζn genau dann in Z liegen, wennϕ(n) = 2k für ein k ∈ N0 gilt (wieder mit Theorem IV.6.5). Sei also n = pν1

1 · · · pνrr diePrimfaktorzerlegung. Damit ist:

ϕ(n) := (p1 − 1)pν1−11 · · · (pr − 1)pνr−1

r .

Es lässt sich an dieser Stelle somit als Fazit festhalten, dass ein n-Eck genau dann konstru-ierbar ist, wenn n = 2kq1 · · · qs gilt, wobei q1, . . . , qs paarweise verschiedene FermatschePrimzahlen sind, d.h. Primzahlen der Form 22k + 1 für ein k ∈ N0. Die einzigenbekannten Fermat-Primzahlen sind 3, 5, 17, 257, 65537.

IV.7. AUFLÖSBARKEIT ALGEBRAISCHER GLEICHUNGEN 119

IV.7 Auflösbarkeit algebraischer GleichungenIn diesem Abschnitt werden wir folgendes klassisches Problem der Algebra lösen: Gibt esfür eine polynomiale Gleichung in einer Variablen eine algebraische Lösungsformel? DiesesProblem wurde von Galois in den Jahren 1830-32 mit Hilfe seiner Galoistheorie gelöst.Wir skizzieren nur die Ideen und verweisen auf [Bos01, 6.1 und 6.2] für Einzelheiten (oderProseminar SS 10).

In diesem Abschnitt seiK ein Körper der Charakteristik 0 und es seiK eine algebraischerAbschluss von K.

IV.7.1 Quadratische GleichungBeispiel : Bekannterweise hat die quadratische Gleichung x2 + bx+ c = 0 die Nullstellen

x1,2 = −b±√b2 − 4c

2 .

Gibt es so eine Formel für Polynome vom Grad n ≥ 3? Wir präzisieren das folgendermaßen:

IV.7.2 Auflösbarkeit durch Radikale

Definition:Sei f(x) ∈ K[X]. Dann heißt f(x) = 0 auflösbar durch Radikale :⇐⇒ die Nullstellenvon f(x) in K lassen sich mit Hilfe von Elementen aus K und mit den algebraischenOperationen +,−, ·,÷, n

√ (n ∈ N) ausdrücken.

IV.7.3 Galoisgruppe eines PolynomsSei L der Zerfällungskörper von f überK. Nach IV.1.4 ist L/K normale Körpererweiterung.

Aus char(K) = 0 IV.2.5=⇒ L/K separabel. Insgesamt ist L/K eine Galoiserweiterung. Wirnennen Gf := Gal(L/K) die Galoisgruppe von f . Für n ∈ N bezeichnen wir wie frühermit Un die Menge (Gruppe) der n-ten Einheitswurzeln in K.

IV.7.4 Zyklische Körpererweiterungen I

Satz:Sei Un ∈ K, a ∈ K. Wir wählen irgend eine Nullstelle w von xn − a in K. Dann gilt:

a) L := K(w) ist eine Galoiserweiterung von K.

b) Es gibt einen kanonischen injektiven Gruppenhomomorphismus Gal(L/K) → Un (un-abhängig von der Wahl von w) und damit ist Gal(L/K) eine zyklische Gruppe.

Beweis. Siehe [Bos01, Satz 4.8.3 b)]. Q.E.D.

Zu diesem Satz gibt es folgende Umkehrung:


IV.7.5 Zyklische Körpererweiterungen II

Satz:Sei Un ⊆ K, L/K sei eine Galoiserweiterung mit zyklischer Galoisgruppe der Ordnung n.Dann ∃a ∈ K mit L = K(w) für jede Nullstelle w von xn − a in K.

Beweis. Siehe [Bos01, Satz 4.8.3 a)]. Q.E.D.

IV.7.6 Hauptsatz zur Auflösbarkeit

Theorem:f(x) ∈ K[X]. Dann ist f(x) = 0 auflösbar durch Radikale ⇐⇒ Gf auflösbare Gruppe.

Beweisidee. Wir skizzieren den Beweis nur, für Einzelheiten verweisen wir auf [Bos01, Theo-rem 6.15]. In einem ersten Schritt überlegt man sich, dass man endlich viele Einheitswurzelnzu K adjungieren darf, ohne dass sich die beiden Aussagen ändern (technischer Beweis).Also dürfen wir annehmen, dass Un ⊆ K für alle n | ord(Gf ).“⇐=”. Wir nehmen, dass Gf eine auflösbare Gruppe ist. Also gibt es eine Normalreihe

{e} = G0 C . . .CGr = Gf (IV.16)

mit zyklischen Faktoren Gj/Gj−1 der Ordnung pj prim (Satz IV.5.5). Nach IV.7.3 ist Gf dieGaloisgruppe des Zerfällungskörpers L von f(x) über K und L/K ist eine Galoiserweite-rung. Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie (Theorem IV.3.6) und seiner Folgerung IV.3.7bilden die Fixkörper

L = LG0 ⊇ LG1 ⊇ . . . ⊇ LGr = K (IV.17)

einen Körperturm so, dass LGj−1/LGj eine normale Körpererweiterung ist mit

Gal(LGj−1/LGj) ∼= Gj/Gj−1. (IV.18)

Aus (IV.18), dass Gal(LGj−1/LGj) eine zyklische Gruppe der Ordnung pj ist. Aus (IV.16)und dem Satz von Lagrange folgt pj | ord(Gf ). Also gilt Upj ⊆ K ⊆ LGj nach dem erstenSchritt. Wir dürfen also Satz IV.7.5 anwenden für die Körpererweiterung LGj−1/LGj undn = pj. Es gibt also ein aj ∈ LGj so, dass LGj−1 = LGj(wj) für jede Nullstelle wj vonxpj − aj. Zuerst einmal betrachten wir das für LGr−1 ⊇ LGr = K. Dann gilt

LGr−1 = K(wr), wobei ”wr = pr√ar” mit ar ∈ K.

Aus Abschnitt III.3 wissen wir, dass K(wr) = K[wr]. Damit gibt es für jedes α ∈ LGr−1

ein g(x) ∈ K[X] mitα = g( pr

√ar).

Durch Iteration dieses Verfahren in (IV.17) stellen wir fest, dass jedes Element von L = LG0

sich mit Hilfe der Operationen +, · und pj√ (j = 1, . . . , r) darstellen lässt. Da L der

Zerfällungskörper von f ist, liegen alle Nullstellen von f(x) aus K schon in L und damitfolgt, dass f(x) = 0 auflösbar durch Radikale ist.“=⇒”. Im wesentlichen kann man obigen Beweis umkehren. Aus f(x) = 0 auflösbar durchRadikale erhält man einen Körperturm wie in (IV.17). Mit dem Hauptsatz der Galoistheorieerhalten wir eine Normalreihe wie in (IV.16). Mit (IV.18) und Satz IV.7.4 folgt, dassGj/Gj−1 zyklisch ist. =⇒ Gf ist auflösbar. Q.E.D.

IV.7. AUFLÖSBARKEIT ALGEBRAISCHER GLEICHUNGEN 121

IV.7.7 Gleichungen vom Grad kleiner als 5

Korollar:Sei f(x) ∈ K[X], deg(f) ≤ 4. Dann ist f(x) = 0 auflösbar durch Radikale.

Beweis. Sei L der Zerfällungskörper von f überK. Beachte, dass f maximal 4 verschiedeneNullstellen in L hat und die erzeugen L über K. Nach Bemerkung IV.3.8 ist Gf eineUntergruppe der Permutationsgruppe der Nullstellen. Es folgt, dass Gf isomorph ist zueiner Untergruppe von S4.Weil S4 auflösbar ist (siehe IV.5.7), muss auch jede Untergruppevon S4 auflösbar sein (siehe IV.5.2). =⇒ Gf ist ein auflösbare Gruppe. Nach Theorem IV.7.6ist f(x) = 0 auflösbar durch Radikale. Q.E.D.

IV.7.8 Allgemeines Polynom n-ten GradesBemerkung : Mit Hilfe von Theorem IV.7.6 können wir zu jeder gegebenen Gleichung f(x) =0 entscheiden, ob die auflösbar durch Radikale ist. Wir möchten aber analog zu Bei-spiel IV.7.1 eine Formel haben, die für alle Polynome f(x) von einem gegebenen Gradn gilt. Um das zu erreichen, betrachten wir die Koeffizienten von f(x) als unbestimmteParameter. Wir nennen dann

f(x) = xn + yn−1xn−1 + . . .+ y1x+ y0

das allgemeine Polynom n-ten Grades. Es liegt inQ(y0, . . . , yn−1)[X], wobei wir y0, . . . , yn−1als neue Variable betrachten. Hier ist Q(y0, . . . , yn−1) der Quotientenkörper des Polynom-rings Q[y0, . . . , yn−1].

IV.7.9 Galoisgruppe des allgemeinen Polynoms

Satz:Für das allgemeine Polynome f n-te Grades gilt Gf

∼= Sn.

Beweis. Siehe [Bos01, Satz 4.3.4] Q.E.D.

IV.7.10 Zum Grad des ZerfällungskörpersBemerkung : Sei L der Zerfällungskörper des allgemeinen Polynoms n-ten Grades f . NachIV.3.3 und IV.7.9 folgt [L : K] = ord(Gf ) = n! und damit ist die allgemeine Schranke[L : K] ≤ n! aus III.4.4 best möglich!

IV.7.11 Auflösbarkeit der allgemeinen Gleichung

Theorem:Die allgemeine Gleichung f(x) = 0 n-ten Grades ist genau dann durch Radikale auflösbar,wenn n < 5 gilt.

Beweis. Wenn n ≤ 4, dann ist die Gleichung f(x) = 0 auflösbar durch Radikale nachIV.7.4. Wenn n ≥ 5, dann ist Sn nicht auflösbar nach IV.5.7. Wegen Gf

∼= Sn (sieheIV.7.9) ist auch Gf nicht auflösbar. Aus Theorem IV.7.6 folgt, dass f(x) = 0 nicht durchRadikale auflösbar ist. Q.E.D.


IV.7.12 Grad 3 und 4Bemerkung : Für explizite Formeln in den Fällen n = 3, 4 verweisen wir auf [Bos01, 6.2].Diese komplizierten Formeln werden Cardano zugeschrieben, stammen aber eigentlich vonFerro und Tartaglia (16. Jahrhundert).

Anhang A

Übungen

Aufgabe 1:Seien G,H Gruppen und sei ϕ : G −→ H ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie:

a) Ist U eine Untergruppe von H, dann ist ϕ−1(U) eine Untergruppe von G.b) Ist U eine Untergruppe von G, dann ist ϕ(U) eine Untergruppe von H.c) ϕ ist genau dann injektiv, wenn ker(ϕ) = {e} gilt.d) ϕ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn ϕ bijektiv ist.e) Ist ϕ surjektiv, dann liefert die Abbildung U 7→ ϕ−1(U) eine Bijektion zwischen der

Menge aller Untergruppen von H und der Menge aller derjenigen Untergruppen vonG, die den Kern von ϕ enthalten.

Aufgabe 2:Sei V := R2 und G := GL(V ) die Gruppe der Automorphismen von V . Wir wählen einregelmäÿiges Sechseck S ⊆ V zentriert in 0.

a) Zeigen Sie, dass die Menge D6 := {g ∈ G | g(S) = S} eine Untergruppe von G ist.b) Bestimmen Sie explizit alle Elemente von D6.

Solche Invariantengruppen Dn von regelmäÿigen n-Ecken heiÿen Diedergruppen. Ist Dn

eine abelsche Gruppe?

Aufgabe 3:Sei G eine Gruppe und H 6= ∅ eine Teilmenge von G. Auf G × G sei eine Relation ∼de�niert durch

g1 ∼ g2 :⇔ g1g−12 ∈ H.

Zeigen Sie:

a) Die Relation ∼ ist genau dann eine Äquivalenzrelation, wenn H eine Untergruppevon G ist.

b) Ab jetzt nehmen wir an, dass H eine Untergruppe von G ist. Dann sind die Äquiva-lenzklassen von ∼ gerade die Rechtsnebenklassen Hg von H in G.

c) Es existiert eine Bijektion zwischen der Menge der Rechtsnebenklassen und der Mengeder Linksnebenklassen von H in G.

d) Die Menge der Rechtsnebenklassen von H in G bildet mit der repräsentantenweisede�nierten Multiplikation genau dann eine wohlde�nierte Gruppe, wenn H ein Nor-malteiler von G ist.

123

124 ANHANG A. ÜBUNGEN

Aufgabe 4:Seien G,H Gruppen und ϕ : G −→ H ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie, dass esdann genau einen Isomorphismus ϕ : G/ker(ϕ) −→ ϕ(G) gibt, so dass ϕ(g) = ϕ(g) füralle g ∈ G.

Aufgabe 5:Seien σ, π ∈ Sn mit σ = ( 1 2 3 4 5 6

3 4 5 2 1 6 ) und π = ( 1 2 3 4 5 66 1 2 4 3 5 ).

a) Finde die Zyklenzerlegung für σ und π.b) Berechne die Inverse von σ und π.c) Schreibe σ als Produkt von Transpositionen.d) Berechne das Konjugat πσπ−1.

Aufgabe 6:Seien a, b ∈ {1, . . . , n} mit a 6= b fest gewählt. Zeigen Sie, dass für n ≥ 3 die alternierendeGruppe An von den Dreierzyklen (a, b, k) mit k ∈ {1, . . . , n}\{a, b} erzeugt wird, d.h. dassjede gerade Permutation als Produkt solcher Dreierzyklen darstellbar ist.

Aufgabe 7:a) Sei G eine Gruppe der Ordnung 9. Wie viele Teilmengen besitzt die Menge G und wie

viele davon enthalten das neutrale Element von G? Welche Elementeanzahl darf eineTeilmenge haben, damit sie im Einklang mit dem Satz von Lagrange zu einer echtenUntergruppe von G gehören kann? Wie viele Teilmengen mit neutralem Element gibtes zu der jeweiligen Anzahl?

b) Zeigen Sie, dass eine Untergruppe einer Gruppe G vom Index zwei stets ein Normal-teiler von G ist.

Aufgabe 8:Seien G, H Gruppen und G zyklisch. Zeigen Sie:

a) Jede Untergruppe von G ist zyklisch.b) Ist ϕ : G −→ H ein Gruppenhomomorphismus, so sind ker(ϕ) und ϕ(G) zyklisch.c) Seien nun G,H endlich und zyklisch. Es ist G×H genau dann eine zyklische Gruppe,

wenn ord(G) und ord(H) teilerfremd sind.

Aufgabe 9:Sei p eine Primzahl und U eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sp, die eine Trans-position τ und einen p-Zykel σ enthält. Zeigen Sie, dass dann gilt U = Sp.

Aufgabe 10:Sei G eine endliche Gruppe und H eine Untergruppe von G. Zeigen Sie:

a) H operiert e�ektiv auf der Menge G durch Linksmultiplikation.b) Die Aussage welchen Satzes erhält man, wenn man die Klassengleichung für die

Operation aus a) anwendet.

Aufgabe 11:Bestimmen Sie alle Untergruppen der Diedergruppe D6 aus Aufgabe 2. Testen Sie für jedeUntergruppe, ob sie zyklisch, abelsch, Normalteiler oder p-Sylowuntergruppe ist.

Aufgabe 12:Seien p und q Primzahlen mit p < q.

125

a) Sei G eine Gruppe der Ordnung pq. Bestimmen Sie die Anzahl der q-Sylowunter-gruppen von G.

b) Eine Gruppe G heiÿt einfach, falls {e} und G die einzigen Normalteiler von G sind.Zeigen Sie, dass jede Gruppe der Ordnung p2q nicht einfach ist.

Satz: Sei G eine endliche Gruppe, sei p der kleinste Primteiler von ord(G) und U eineUntergruppe von G vom Index p. Dann ist U ein Normalteiler von G.

Aufgabe 13:Vervollständigen Sie den folgenden Beweis des obigen Satzes:

Sei X die Menge aller Untergruppen von G und operiere G auf X durch Konjugation.Die Elemente der Bahn GU von U unter G haben die Gestalt . Es gilt U

Stab(U) und nach Proposition 6.9 ist |GU | = (G : Stab(U)). Somit besteht dieKonjugationsklasse GU entweder aus oder aus Elementen. Im ersten Fall istU o�ensichtlich ein Normalteiler von G. Im anderen Fall gilt U = Stab(U), denn UStab(U) und (G : U) (G : Stab(U)). Da G auf GU durch Konjugation operiert, gibtes einen Homomorphismus

ϕ : G −→ S(GU , GU), g 7→ (hUh−1 7→ ghUh−1g−1),wobei S(GU , GU) die Permutationsgruppe auf GU bezeichnet. Nach dem Homomorphiesatzund dem Satz von Lagrange ist (G : ker(ϕ)) ein Teiler von |S(GU , GU)| = . Da(G : ker(ϕ)) auch ein Teiler der Ordnung von G und p nach Voraussetzung der kleinstePrimteiler von ord(G) ist, gilt insbesondere (G : ker(ϕ)) = . Es ist also

= (G : ker(ϕ)) = (G : U) · (U : ker(ϕ)) = p · (U : ker(ϕ)),d.h. (U : ker(ϕ)) = und damit U ker(ϕ). Da nun der Kern von ϕ einNormalteiler von G ist, ist auch U ein Normalteiler von G. �

Aufgabe 14:Klassi�zieren Sie alle Gruppen der Ordnung 9, 10 und 11. Geben Sie an, welche dieserGruppen zyklisch oder abelsch sind.

Aufgabe 15:Sei G eine abelsche Gruppe der Ordnung 36. Bestimmen Sie alle Isomorphietypen von G.

Aufgabe 16:Bestimmen Sie den Isomorphietyp der abelschen Gruppe (Z/24Z)∗ und geben Sie expliziteinen Isomorphismus an.

Aufgabe 17:Sei p eine Primzahl und G eine Gruppe der Ordnung p2. Zeigen Sie:

a) G ist abelsch.b) G ist entweder zyklisch oder isomorph zu Z/pZ× Z/pZ.

Aufgabe 18:Sei R ein kommutativer Ring und I ein Ideal von R. Zeigen Sie, dass I genau dann einPrimideal ist, wenn R/I ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe 19:Sei R ein kommutativer Ring und seien I, J Ideale von R. Zeigen Sie, dass dann auchI + J := {a+ b | a ∈ I, b ∈ J} und I ∩ J Ideale von R sind.

Aufgabe 20:Sei R ein kommutativer Ring und sei I1 ⊆ I2 ⊆ I3 ⊆ · · · eine aufsteigende Kette vonIdealen Ij von R. Zeigen Sie, dass dann auch

⋃j∈N

Ij ein Ideal von R ist.

Aufgabe 21:Sei R ein kommutativer Ring, sei S ein Integritätsbereich und sei ϕ : R −→ S ein Ringho-momorphismus. Zeigen Sie, dass ker(ϕ) ein Primideal von R ist.

Aufgabe 22:Zeigen Sie:

a) Die Menge der Quaternionen

H ={(

z w−w z

)| z, w ∈ C

}

bildet mit der üblichen Matrizenaddition und -multiplikation einen Schiefkörper.b) Mit Hilfe der Abbildung

C −→ H, z 7→(z 00 z

)lässt sich C als Teilring von H ansehen.

Aufgabe 23:Seien x1, . . . , xr,m1, . . . ,mr ∈ Z, wobei m1, . . . ,mr ≥ 2 paarweise teilerfremden Zahlenund sei ni = m1 · · ·mi−1 für i = 1, . . . , r + 1.

a) Zeigen Sie, dass für jedes i ∈ {1, . . . , r} ein Zahl ai ∈ Z existiert mit 1 ≤ ai < mi

und aini ≡ 1 mod mi.b) Für i = 1, . . . , r sei bi ∈ Z mit 0 ≤ bi < mi und bi ≡ (xi −

∑i−1k=1 bknk)ai mod mi.

Zeigen Sie, dass die Zahl x = b1n1 + · · ·+ brnr simultane Lösung der Kongruenzen

x ≡ x1 mod m1

x ≡ x2 mod m2...

x ≡ xr mod mr

ist. Geben Sie alle Lösungen des Systems an.c) Berechnen Sie eine simultane Lösung der Kongruenzen

x ≡ 1 mod 2, x ≡ 2 mod 3, x ≡ 4 mod 5.

Aufgabe 24:Seien m und n teilerfremde ganze Zahlen.Beweisen Sie den chinesischen Restsatz Z/mnZ ∼= Z/mZ× Z/nZ.

Aufgabe 25:Sei R ein kommutativer Ring mit 1.

127

a) Den Polynomring R[x1, . . . , xn] in den n Variablen x1, . . . , xn de�nieren wir rekursivdurch R[x1, . . . , xn] := (R[x1, . . . , xn−1])[xn]. Zeigen Sie, dass man die Elemente alsformale Summen ∑

j∈Nn0

ajxj11 · · ·xjnn (∗)

mit nur endlich vielen Koe�zienten aj ∈ R verschieden von Null schreiben kann.Geben Sie die Additions- und die Multiplikationsformel an für Polynome der Form(∗).

b) WennM ein beliebiges kommutatives Monoid ist mit Verknüpfung +, dann de�nierenwir

R[M ] := {(aµ)µ∈M | aµ ∈ R, aµ 6= 0 nur für endlich viele µ} .Wir de�nieren auf R[M ] die Verknüpfungen

(aµ)µ∈M + (bµ)µ∈M := (aµ + bµ)µ∈M(aµ)µ∈M · (bµ)µ∈M :=

∑λ+ν=µ

aλ · bν

Zeigen Sie, dass R[M ] damit zu einem kommutativen Ring wird.

c) Welches Monoid muss man wählen, damit der in Aufgabenteil a) de�nierte Polynom-ring R[x1, . . . , xn] zu einem Spezialfall der Konstruktion in b) wird?

Aufgabe 26:Zeigen Sie, dass jedes faktorielle Monoid der Primbedingung genügt.

Aufgabe 27:Sei M ein faktorielles Monoid, seien a, b ∈M und

a =∏p prim

pvp(a), b =∏p prim

pvp(b)

die Faktorisierungen von a und b in irreduzible Elemente. Zeigen Sie, dass der gröÿte ge-meinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b existieren und dassgilt

ggT(a, b) =∏p prim

pmin(vp(a),vp(b)), kgV(a, b) =∏p prim

pmax(vp(a),vp(b)).

Aufgabe 28:Sei R ein Hauptidealbereich. Zeigen Sie, dass für a, b ∈ R\{0} gilt

〈a〉 ∩ 〈b〉 = 〈kgV(a, b)〉.

Aufgabe 29:Zeigen Sie, dass in einem Hauptidealbereich jedes von {0} verschiedene Primideal ein Ma-ximalideal ist.

Aufgabe 30 [Lemma von Bézout]:R sei ein Hauptidealbereich und a, b, c ∈ R. Zeigen Sie, dass es x, y ∈ R gibt mit xa+yb =ggT(a, b). Zeigen Sie allgemeiner, dass die lineare diophantische Gleichung

xa+ yb = c


genau dann eine Lösung (x, y) ∈ R2 hat, wenn ggT(a, b)|c.

Aufgabe 32:Zeigen Sie, dass der Polynomring K[x, y] über einem Körper K kein Hauptidealbereich ist.

Aufgabe 33:Zeigen Sie, dass der Ring Z[i] ⊂ C der Gauÿschen Zahlen mit der Gradabbildung d(x) =|x|2 einen euklidischen Ring bildet und bestimmen Sie seine Einheiten.

Aufgabe 34:Zeigen Sie, dass der Ring Z[

√−5] nicht faktoriell ist, indem Sie ein Element �nden, das

irreduzibel aber nicht prim ist.

Aufgabe 35:Zeigen Sie, dass jeder euklidische Ring ein Hauptidealbereich ist.

Aufgabe 36:

(a) Bestimmen Sie den gröÿten gemeinsamen Teiler von 11413 und 3636.

(b) Finden Sie die allgemeine Lösung (x, y) ∈ Z2 der diophantischen Gleichung 11413x+3636y = 202 mit Hilfe des auf dem euklidischen Algorithmus basierenden Verfahrens.

Aufgabe 37:Sei R ein faktorieller Ring und f ∈ R[x]\{0} ein primitives Polynom, d.h. vp(f) = 0 füralle Primelemente p ∈ R. Zeigen Sie:

a) Sei S ein Integritätsbereich und ϕ : R[x] −→ S ein Ringhomomorphismus, der keinPolynom positiven Grades auf eine Einheit in S abbildet. Ist dann ϕ(f) irreduzibel inS, so ist f irreduzibel in R[x].

b) Sei f(x) = anxn + · · · + a1x + a0 mit a0, . . . , an ∈ R und p ∈ R ein Primelement

mit p - an. Ist das Polynom [an]xn + · · · [a1]x+ [a0] irreduzibel in (R/〈p〉)[x], so istf irreduzibel in R[x].

c) Für jedes a ∈ R ist f(x + a) genau dann irreduzibel in R[x], wenn f(x) irreduzibelin R[x] ist.

Aufgabe 38:Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie:

a) Das Polynom f(x) = xp−1 + · · ·+ x+ 1 ist irreduzibel in Q[x].[Hinweis: Betrachten Sie zunächst das Polynom f(x+ 1).]

b) Die folgenden Polynome sind in den jeweiligen Ringen irreduzibel:i) x5 + 4x4 − 8x+ 6 ∈ Q[x],ii) x3 + 3x+ 1 ∈ Q[x],iii) x2 + 2x+ 2 ∈ Z[x],iv) y3 + (x+ 1)2y + x2 − 1 ∈ Q[x, y].

Aufgabe 39:Sei p eine Primzahl und K ein Körper der Charakteristik p. Zeigen Sie, dass die Abbildungϕ : K −→ K mit ϕ(a) = ap für alle a ∈ K ein Körperhomomorphismus ist.

Aufgabe 40:

129

a) Zeigen Sie, dass jedes Polynom in R[x] mit ungeradem Grad eine reelle Nullstellebesitzt.

b) Bestimmen Sie alle irreduziblen Polynome in R[x].

Aufgabe 41Geben Sie ein Beispiel eines Körpers, für den es ein Polynom gibt, das alle Körperelementeals Nullstellen hat.

Aufgabe 42Finden Sie f ∈ Q[x] mit Nullstelle

√2 +√

3.

Aufgabe 43:Bestimmen Sie den Grad der folgenden Körpererweiterungen von Q.

a) Q[i√

3 ]

b) Q[√

2 +√

2 ]

c) Q[ 5√

5 ]

d) Q[e 2πi5 ]

Aufgabe 44:Geben Sie den Grad des Zerfällungskörpers von x3 − 2 über Q an.

Aufgabe 45:Sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass der algebraische Abschluss K/K bis auf K-Isomorphieeindeutig ist. Begründen Sie, weshalb solch ein K-Isomorphismus zwischen algebraischenAbschlüssen nicht eindeutig bestimmt ist.[Hinweis: Verwenden Sie das Zornsche Lemma.]

Aufgabe 46:Bestimmen Sie den Grad der Körpererweiterung Q/Q und zeigen Sie Q 6= C.

Aufgabe 47Zeigen Sie:

a) Ist G eine endliche, abelsche, nicht zyklische Gruppe, dann existiert eine Zahl d ∈ N,so dass d ein echter Teiler von ord(G) ist und für alle g ∈ G gilt gd = e.[Hinweis: Verwenden Sie den Struktursatz aus Abschnitt I.8.]

b) Ist K ein Körper, so ist jede endliche Untergruppe von K∗ zyklisch.

Aufgabe 48:Welche der folgenden Körpererweiterungen ist normal?

a) Q( 5√

3) über Q.

b) Q(e2πi/7, 7√

2) über Q.


Begründen Sie Ihre Antwort ausführlich.

Aufgabe 49:Sei m ∈ N ein Produkt paarweise verschiedener Primzahlen und n ∈ N. Bestimmen Sieden Grad der Körpererweiterung Q( n

√m)/Q. Geben Sie die kleinste normale und separable

Körpererweiterung L/Q an, für die gilt Q( n√m) ⊆ L ⊆ C.

Aufgabe 50:Sei K ein endlicher Körper der Charakteristik p. Zeigen Sie:

a) Es gilt |K| = pn für ein n ∈ N.b) Jede algebraische Körpererweiterung von K ist separabel.

Aufgabe 51:Sei p eine Primzahl und K = (Z/pZ)(t) der Quotientenkörper des Polynomrings in derUnbestimmten t über dem Körper Z/pZ. Zeigen Sie, dass das Polynom xp− t ∈ K[x] einemehrfache Nullstelle besitzt und dass K[x]/〈xp− t〉 eine nicht-separable Körpererweiterungvon K ist.

Aufgabe 52:Sei L eine endliche Körpererweiterung von K mit Automorphismengruppe Aut(L/K).

a) Zeigen Sie für eine Teilmenge F von L, dass Aut(L/F ) := {σ ∈ Aut(L/K) | σ(a) =a ∀a ∈ F} eine Untergruppe von Aut(L/K) ist.

b) Zeigen Sie für eine Teilmenge H von Aut(L/K), dass LH := {a ∈ L | σ(a) =a ∀σ ∈ H} ein Zwischenkörper von L/K ist.

c) Zeigen Sie für eine Teilmenge F von L, dass F ⊆ LAut(L/F ).

d) Zeigen Sie für eine Teilmenge H von Aut(L/K), dass H ⊆ Aut(L/LH).

Aufgabe 53:Bestimmen Sie alle Zwischenkörper der Körpererweiterung

a) Q(e 2πi5 )/Q,

b) Q(√

2,√

3)/Q.

Aufgabe 54: (4 Punkte)Sei L/K eine Galoiserweiterung von endlichem Grad mit Zwischenkörper K ⊆ F ⊆ L.Weiter seien H,H1, H2 Untergruppen von Gal(L/K) und σ ∈ Gal(L/K). Zeigen Sie:

a) H1 ⊆ H2 ⇔ LH1 ⊇ LH2 .

b) ord(H) = [L : LH ].

c) [Gal(L/K) : H] = [LH : K].

d) L/F ist eine Galoiserweiterung.

e) Gal(L/σ(F )) = σGal(L/F )σ−1.

131

f) LσHσ−1 = σ(LH).

g) H ist genau dann ein Normalteiler von Gal(L/K), wenn LH/K eine normale Körper-erweiterung von K ist.

h) Ist H ein Normalteiler von Gal(L/K), dann sind Gal(LH/K) und Gal(L/K)/Hisomorph.

Aufgabe 55:Sei p eine Primzahl, sei n ∈ N und q = pn. Zeigen Sie:

a) Der Zerfällungskörper von xq − x ∈ (Z/pZ)[x] besitzt q Elemente.b) Bis auf Isomorphie existiert genau ein Körper mit q Elementen. Er wird mit Fq be-

zeichnet.c) Jeder endliche Körper ist isomorph zu genau einem Körper des Typs Fq.

Aufgabe 56:Sei Fq der endliche Körper mit q = pn Elementen, wobei p eine Primzahl und n ∈ N ist.Zeigen Sie:

a) Fq/Fp ist eine Galoiserweiterung.b) Der Frobenius-Automorphismus Fq −→ Fq, a 7→ ap erzeugt die Galoisgruppe vonFq/Fp, d.h. Gal(Fq/Fp) ist eine zyklische Gruppe der Ordnung n.

Aufgabe 57:Entscheiden Sie, welche der folgenden Winkel sich mit Zirkel und Lineal dritteln lassen:

a) α1 = π

2 ,

b) α2 = π

5 ,

c) α3 = π

12 .

Aufgabe 58:Entscheiden Sie, für welche n ≤ 50 der Winkel π

nmit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Aufgabe 59:Sei der Winkel α = π

7 gegeben. Entscheiden Sie, für welche n ∈ N sich der Winkel πnaus

α mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt.

Literaturverzeichnis

[Bos01] Siegfried Bosch. Algebra. Springer, 2001.

[Jac85] N. Jacobson. Basic Algebra I. Freeman and Company, 1985.

[Wol96] J. Wolfart. Einführung in die Zahlentheorie und Algebra. Vieweg, 1996.

133

134 LITERATURVERZEICHNIS

Symbolverzeichnis

Zp bedeutet dasselbe wie Z/pZ

Un Gruppe der n-te Einheitswurzel

1 die Identische Abbildung also id(x) = x

N Natürliche Zahlen ohne 0

A∐B disjunkte Vereinigung von A und B

R[X] Polynomring einer Variablen X

R[x] kleinster Unterring, der R und x enthält

R[X1, . . . , Xn] Polynomring in n Variablen

RX R-wertige Funktionen auf X

135

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