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Grundlagen (Wiederholung)Quantenalgorithmen

FehlerkorrekturZusammenfassung

Algorithmen für Quantencomputer I

Marcel Labbé-Laurent

1. Institut für Theoretische PhysikUniversität Stuttgart

19. Juli 2011

Marcel Labbé-Laurent Algorithmen für Quantencomputer I



1 Grundlagen (Wiederholung)QuBitRegisterGatter

2 QuantenalgorithmenDeutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusGrover-Algorithmus

3 FehlerkorrekturBit-Flip-FehlerPhasen-Flip-Fehler

4 ZusammenfassungPrinzip eines Quantenalgorithmus




QuBitRegisterGatter

QuBit

ein klassischer Computer rechnet mit Bits

binäre Zustände 0 und 1realisiert durch elektrischen Strom

ein Quantencomputer rechnet mit QuBits

orthogonale Zustände |0〉 und |1〉 +unendlich viele Superpositionszustände|Ψ〉 = α|0〉+ β|1〉.normierter Zustand: |α|2 + |β|2 = 12D-Vektorraum auf den komplexenZahlen. Einfache Darstellung durchBloch-Kugel mit α = cos

(θ2

)und

β = e iφ sin(θ2

)realisierbar z.B. durch Spin-1/2-Teilchen,Zwei-Niveau-Atome, polarisiertePhotonen.

Abbildung: Darstellungeines QuBits in derBloch-Kugel




QuBitRegisterGatter

Register

Ein Register ist eine Folge von n Bits fester LängeEin Bit: 0 und 1, zwei Bits: 00, 01, 10, 11, usw.entspricht Binärdarstellung der Zahlen 0, 1, 2, 3, . . . ,2n − 1

Analog 2-Bit Quantenregister aus den QuBits |x0〉 und |x1〉:

R = |x〉|y〉 (1)

Für |x〉 = α|0〉+ β|1〉 und |y〉 = γ|0〉+ δ|1〉, folgt für das Register

R = αγ|0〉|0〉+ αδ|0〉|1〉+ βγ|1〉|0〉+ βδ|1〉|1〉 (2)

Allgemein ist ein 2-QuBit-Register in einem Zustand

R = α00|00〉+ α01|01〉+ α10|10〉+ α11|11〉 (3)

Die Binärdarstellung macht die Darstellung handlicher:

R = α0|0〉+ α1|1〉+ α2|2〉+ α3|3〉 (4)




QuBitRegisterGatter

Register

n-Bit Quantenregister

Ein Quantenregister R = |xn−1〉 . . . |x1〉|x0〉 aus n QuBits befindetsich in Zuständen der Form

R =2n−1∑i=0

αi |i〉 (5)

{|i〉} ist die Standardbasis und i eine Zahl mit n Bits. DieBinärdarstellung von i ergibt den Zustand der einzelnen QuBits.

Die Normierung fordert∑2n−1

i=0 |αi |2 = 1Die Wahrscheinlichkeit den Zustand |i〉 zu messen, beträgt |αi |2




QuBitRegisterGatter

Gatter

Hadamard-Gatter

H =1√2

1 11 −1

|x〉 H|x〉

|0〉 1/√

2 (|0〉+ |1〉)

|1〉 1/√

2 (|0〉 − |1〉)

Controlled U-Gate

CU =

1

1

U

|x〉 |y〉 CU|x〉|y〉

|0〉 |y〉 |0〉|y〉

|1〉 |y〉 |1〉U|y〉




Deutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusSuchalgorithmen: Die Nadel im HeuhaufenGrover-Algorithmus

Deutsch-Algorithmus1

Deutsch-Problem: Es gibt eine Funktion f : {0, 1} → {0, 1}(Blackbox oder Orakel) geschenkt. Wie untersucht man sie?

Naive/klassische Lösung: Ausprobieren!

4 Varianten denkbar:

f (0) = 0 f (0) = 1 f (0) = 0 f (0) = 1

f (1) = 0 f (1) = 1 f (1) = 1 f (1) = 0

konstant: f (0) = f (1) balanciert: f (0) 6= f (1)Frage: Ist f (x) konstant oder balanciert?Aufwand: 2 Aufrufe

Quantenalgorithmus nach Deutsch

. . . kennt beide Seiten der Münze!Aufwand: 1 Aufruf

1David Deutsch, 1985Marcel Labbé-Laurent Algorithmen für Quantencomputer I




Benötigen f (x) in reversiblen Form einer unitären Transformation

Uf : |x , y〉 7→ |x , y ⊕ f (x)〉 (6)

|x〉 ist Eingabe⊕ =̂ Addition modulo 2 (XOR), d.h. 1⊕ 1 = 0.Damit U2f = 1⇔ U

−1f = Uf , also unitär.

Schaltbild

Abbildung: Schaltkreis für das Problem von Deutsch





Algorithmus

1 |x〉|y〉 ← |0〉|1〉2 |x〉|y〉 ← H|x〉H|y〉

Wirkung der Hadamard-Matrix: H|0〉 = 1√2

(|0〉+ |1〉) undH|1〉 = 1√

2(|0〉 − |1〉).

Register geht in den Zustand

|φ2〉 =1√2

(|0〉+ |1〉)⊗ 1√2

(|0〉 − |1〉)

=1

2(|0〉|0〉 − |0〉|1〉+ |1〉|0〉 − |1〉|1〉) (7)





Algorithmus

3 |x〉|y〉 ← Uf |x〉|y〉

|φ3〉 = Uf |φ2〉 = Uf1

2(|0〉|0〉 − |0〉|1〉+ |1〉|0〉 − |1〉|1〉)

=1

2(|0〉|0⊕ f (0)〉 − |0〉|1⊕ f (0)〉+ |1〉|0⊕ f (1)〉 − |1〉|1⊕ f (1)〉)

=1

2

(|0〉(|f (0)〉 − |1⊕ f (0)〉) + |1〉(|f (1)〉 − |1⊕ f (1)〉)

)=

1

2

((−1)f (0)|0〉(|0〉 − |1〉) + (−1)f (1)|1〉(|0〉 − |1〉)

)=

1

2

((−1)f (0)|0〉+ (−1)f (1)|1〉

)(|0〉 − |1〉) (8)

Information über f (x) auf Phase des 1. QuBits abgewälzt.





Algorithmus3 |x〉|y〉 ← Uf |x〉|y〉

Betrachte erstes Bit: (−1)f (0)|0〉+ (−1)f (1)|1〉

f konstant f (0) = f (1) f balanciert f (0) 6= f (1)

1. Bit (−1)f (0)(|0〉+ |1〉)(−1)f (0)(|0〉+ (−1) f (0)⊕f (1)︸︷︷︸

=1

|1〉)

= (−1)f (0)(|0〉 − |1〉)Phase ist für Hadamard-Transformation entscheidend.

4 |x〉|y〉 ← H|x〉H|y〉

H ⇒ (−1)f (0)|0〉 H ⇒ (−1)f (0)|1〉

Endzustand ±|0〉|1〉 ±|1〉|1〉5 Miss das Register:

x〉|y〉 = |0〉|1〉 ⇒ f konstantx〉|y〉 = |1〉|1〉 ⇒ f ausgeglichen





Deutsch-Josza-Algorithmus2

Bem.: Deutsch-Algorithmen nutzen Phase der QuBit-Zustände ⇒Interferenzeffekt

Deutsch-Josza-ProblemÜbertragung auf mehrere Bits: Funktion f : {0, 1}n → {0, 1}gegeben, d.h. Binärzahl → {Ja, Nein}.Nur bekannt, dass sie entweder konstant oder ausgeglichen ist.klassischer Algorithmus (worst-case): 2n/2 + 1, in n exponentiell!Quantenalgorithmus: 1 Aufruf

Handwerkszeug

2n dimensionale Hadamard-Transformation

Hn =n⊗

i=1

H (9)

2David Deutsch und Richard Josza, 1992Marcel Labbé-Laurent Algorithmen für Quantencomputer I




Handwerkszeug

2n dimensionale Hadamard-Transformation

wirkt bitweise auf das Register:

Hn|x〉 =1√2n

2n−1∑y=0

(−1)x ·y |y〉 (10)

x und y sind n Bitzahlen in Binärdarstellung.Anwendung auf den Zustand |0〉 = |0 . . . 0〉

Hn|0 . . . 0〉 =1√2n

2n−1∑i=0

|i〉 (11)

erzeugt gleichgewichtete Superposition der Zustände.





Schaltbild

Abbildung: Schaltkreis für denDeutsch-Josza-Algorithmus

Algorithmus

1 |xn−1 . . . x0〉|y〉 ← |0 . . . 0〉|1〉2 |x〉|y〉 ← Hn+1|x〉|y〉3 |x〉|y〉 ← Uf |x〉|y〉4 |x〉|y〉 ← (Hn|x〉)|y〉5 Miss das Register:

|x〉 = |0 . . . 0〉⇒ f konstantAnsonsten ist fausgeglichen





Die Suche nach der Nadel im Heuhaufen

Telefonbuchproblem

Einen Namen in einem Telefonbuch zu suchen ist leicht⇒ strukturierte Datenbanksuche (Schlüssel für effizienteDatenbanken)Eine Telefonnummer zu suchen ist dagegen mühsam⇒ unstrukturierte DatenbanksucheSuche in einem Telefonbuch der Länge N.worst-case Aufwand: NN = 2n exponentieller Aufwand in Bitzahl nEin quantenmechanisches Telefonbuch ist unrealistisch.Lösungsalgorithmen dennoch von großer Bedeutung

Knacken von Verschlüsselungen: Mit Brute-Force Liste vongenerierten Passwörtern durcharbeiten.Optimierungsprobleme: Suche nach der besten Lösung unter Vielen.





Grover-Algorithmus

Benötigt wird fertiges Quantenorakel f : {0, 1}n → {0, 1}wobei f (x0) = 1 und f (x) = 0 ∀x 6= x0durch die Frage

”Nach was wird gesucht?“ festgelegt

Gleichverteilte Superposition aller Datenbankelemente

|Ψ〉 = Hn|0 . . . 0〉 =1√N

N−1∑i=0

|i〉 (12)

Amplitudenverstärkung

Ziel: Die Amplitude αx0 des richtigen Eintrags |x0〉 gegenüber allenanderen Einträgen verstärkenErgebnis: Messung des Registerzustands liefert mit hoherWahrscheinlichkeit |αx0 |2 den gesuchten Zustand |x0〉





Algorithmus

1 Beginn mit gleichverteilter Superposition der Datenbankeinträge2 Grover-Iteration: Wiederhole, bis die Amplitude αx0 groß genug

1 Anwendung des Such-Orakels⇒ Kehrt das Vorzeichen des gesuchten Eintrags um

2 Spiegelung aller Amplituden am neuen Mittelwert

3 Miss den Registerzustand, mit hoher Wahrscheinlichkeit |x0〉

Abbildung: Wirkungsweise einer Grover-Iteration





Analyse der Grover-Iteration1 Wirkung des Such-Orakels Uf mit einem Hilfsbit:

Uf |x〉1√2

(|0〉 − |1〉) = |x〉 1√2

(|f (x)〉 − |1⊕ f (x)〉)

= |x〉(−1)f (x) 1√2

(|0〉 − |1〉) (13)

Da f (x0) = 1 und f (x) = 0 ∀x 6= x0, dreht sich ausschließlich dasVorzeichen des gesuchten Eintrags x0 um.

2 Wie lässt sich die Spiegelung am Mittelwert konkret ausdrücken?Ausgehend von einem bel. Registerzustand

|x〉 =N−1∑i=0

αi |i〉 (14)

Mittelwert der Amplituden

m =1

N

N−1∑i=0

αi (15)

Spiegelung am Mittelwert bedeutet dann α′i = 2m − αiMarcel Labbé-Laurent Algorithmen für Quantencomputer I




Analyse der Grover-Iteration2 Wie lässt sich die Spiegelung am Mittelwert konkret ausdrücken?

Darstellung der Operation als Matrix

m =1

N

N−1∑i=0

αi ⇒ 〈Ψ|x〉 =1√N

N−1∑i=0

αi =√N ·m

|Ψ〉〈Ψ|x〉 = m ·N−1∑i=0

|i〉

2m − αi ⇒ US = 2|Ψ〉〈Ψ| − 1 (16)

Weitere Vereinfachung in Hadamard-Basis

US = −Hn(1− 2|0〉〈0|︸︷︷︸Rn

)Hn → Rn =

−1 0 . . . 0

0 1. . .

...

.... . .

. . . 0

0 . . . 0 1

(17)





Geometrische Interpretation der Grover-Iteration

Abbildung: Grover-Iteration

Vektoren |Ψ〉 und |x〉 im Winkel ϕ.

Zwei Spiegelungen an diesenAchsen ⇒ Rotation um 2ϕ.

Zustand nach k Iterationen:

(USUf )k |Ψ〉 = cos((2k + 1)ϕ)|x〉

+ sin((2k + 1)ϕ)|x0〉

Anschaulich: Iteration drehtZustandsvektor sukzessive inRichtung gesuchter Zielzustand

Problem: Man kann”übers Ziel

hinausschießen“.

Abbruchbedingung: (2k + 1)ϕ→ π2Marcel Labbé-Laurent Algorithmen für Quantencomputer I




LaufzeitBestimmt durch Zahl der Iterationen (abh. von Fehlertoleranz)Abschätzung

(2k + 1)ϕ = (2k + 1) arcsin

(1√N

)N�1≈ (2k + 1) 1√

N

Der Winkel π2 +1√N

wird nach k = π4√

N Schritten erreicht.

Man sagt, der Grover-Algorithmen hat eine Laufzeit von

O(√

N). (20)

Verblüffend: Grover-Algorithmus findet Ergebnis (mit hoher Wsk.)schneller, als er (klassisch) Einträge prüfen kann.Enttäuschend: Abfragen Uf , die exponentiell mit der Bitzahl nwachsen, haben weiterhin exponentielle Laufzeit.Ohne Beweis: Der Grover-Algorithmus ist optimal. Es gibt keinen

Algorithmus schneller als O(√

N)

.




Bit-Flip-FehlerPhasen-Flip-Fehler

Fehlerkorrektur

Fehlerursachen

Dekohärenz: Ankopplung an die Umgebung → GemischeStörungen in den unitären Transformationen (Gattern)

unitäre Transformationen in R2 → Drehungen und SpiegelungenAnschaulich: Eine ungenaue Drehung hat keinen Einfluss auf weitereDrehungen.Fehler in den Gattern sind additiv (kein Aufschaukeln).

Bit-Flip-Fehler

Ein fehlerhaft übertragenes Bit (gibt es auch klassisch): |0〉 → |1〉und |1〉 → |0〉Korrektur: σx anwenden.Doch wie geht Fehlerdiagnose?





Bit-Flip-Fehler

Absicherung durch Redundanz → Drei QuBits statt Einem.

|ϕ〉 = c0|0〉+ c1|1〉 (21)





Bit-Flip-Fehler

Absicherung durch Redundanz → Drei QuBits statt Einem.

|ϕ′〉 = c0|0, 0, 0〉+ c1|1, 1, 1〉 (21)





Bit-Flip-FehlerAbsicherung durch Redundanz → Drei QuBits statt Einem.

|ϕ′〉 = c0|0, 0, 0〉+ c1|1, 1, 1〉 (21)

Fehler passieren, aber hoffentlich selten. Dann ist anzunehmen, dassnur ein QuBit auf einmal betroffen ist (hier z.B. erstes Bit):

|φ〉 = c0|1, 0, 0〉+ c1|0, 1, 1〉 (22)

Als Test dient σz auf zwei Teilbits angewandt

σ(1)z σ(2)z |ϕ′〉 = c0σ(1)z σ(2)z |0, 0, 0〉+ c1σ(1)z σ(2)z |1, 1, 1〉 = |ϕ′〉 (23)

σ(1)z σ(2)z |φ〉 = c0σ(1)z σ(2)z |1, 0, 0〉+ c1σ(1)z σ(2)z |0, 1, 1〉 = −|φ〉 (24)

Alle Registerzustände sind Eigenzustände zu σ(1)z σ

(2)z , die

Ungestörten zum EW +1, die Fehlerhaften zum EW -1.

Genauso liefert in diesem Bsp. σ(2)z σ

(3)z den Wert +1. Der Fehler ist

damit eindeutig auf das erste Bit lokalisiert.





Bit-Flip-Fehler

Halt! Dafür muss eine Messung stattfinden. Zerstört dies denZustand nicht?Nein, denn die Messung ist nicht-lokal (Messung an mehr als einemTeilchen/Bit) und gesamter Registerzustand ist Eigenzustand.

Die Messung von σ(1)z σ

(2)z liefert mit Wahrscheinlichkeit

prob[σ(1)z σ

(2)z =̂− 1

∣∣∣|φ〉] = 〈φ|P−1|φ〉 = |c0|2 + |c1|2 = 1 (25)den EW -1. Hierbei ist P−1 = |0, 1, 0〉〈0, 1, 0|+ |1, 0, 0〉〈1, 0, 0|+ . . .der Projektor in den Unterraum zum EW -1.Nach der Messung ist das Register im Zustand

|φ′〉 = P−1|φ〉||P−1|φ〉||

= c0|1, 0, 0〉+ c1|0, 1, 1〉 = |φ〉 (26)

Die lokale Messung eines Bits alleine zerstört dagegen dieSuperposition und legt den Wert des Bits fest.





Phasen-Flip-FehlerÄnderung der Phase

|φ〉 = c0|0, 0, 0〉+ c1|1, 1, 1〉 → c0|0, 0, 0〉 − c1|1, 1, 1〉

Korrektur durch σz angewendet auf beliebiges Bit.Absicherung durch 9 QuBits, mit den Ersetzungen:

|0〉 → |0〉 = 123/2

(|0, 0, 0〉+ |1, 1, 1〉) (|0, 0, 0〉+ |1, 1, 1〉)

× (|0, 0, 0〉+ |1, 1, 1〉)

|1〉 → |1〉 = 123/2

(|0, 0, 0〉 − |1, 1, 1〉) . . .

Dies sind Eigenzustände zum EW +1 der nicht-lokalen 6-QuBit

Operatoren σ(1)x σ

(2)x σ

(3)x σ

(4)x σ

(5)x σ

(6)x und σ

(4)x σ

(5)x σ

(6)x σ

(7)x σ

(8)x σ

(9)x

Fehlerhafte/Phasenverschobene Zustände sind Eigenzustände zumEW -1.Wie bei beim Bit-Flip σ

(1)z σ

(2)z und σ

(2)z σ

(3)z das fehlerhafte Bit

verraten haben, bestimmen diese Operationen den Cluster mitVorzeichenwechsel.




Prinzip eines QuantenalgorithmusLiteratur

Prinzip eines Quantenalgorithmus

Quantenregister präparieren

Ein Quantenregister aus n QuBits wird in einen Ausgangszustand

R =2n−1∑i=0

αi |i〉 (27)

präpariert. {|i〉} ist die Standardbasis und i eine Binärzahl mit nBit. Die Binärdarstellung von i ergibt den Zustand der einzelnenQuBits.






Rechenschritte

Veränderungen der Registerzustände werden durch unitäreTransformationen beschrieben. Zustände bleiben auf derBlochkugel.

Operationen müssen stets umkehrbar sein, dazu dienen Hilfsbits.

Als ein Rechenschritt zählt dabei eine lokale Transformation mitein oder zwei QuBits (praktische Gründe).

Ziel ist das Erreichen eines eindeutigen Endzustand, d.h. hoheWahrscheinlichkeit für eben diesen.

z.B. durch InterferenzAmplitudenverstärkung






Messung

Die Messung ist endgültige Operation, nicht-reversibel.

Eine Messung in der Standardbasis bedeutet Messung derBitzustände. Messung ist lokal und zerstört die Superposition.

Mit Wahrscheinlichkeit |αi |2 wird der Registerzustand |i〉gemessen.

Nicht-lokale Operationen, für die der gesamte RegisterzustandEigenzustand ist, können die Superposition erhalten. Sie liefernaber nicht alle Informationen.





Literatur

J. Audretsch.Verschränkte Systeme, chapter 12. Quantencomputer.Wiley-VCH Verlag, 2008.

D. Bruß.Quanteninformationstheorie.Universität Düsseldorf, www.thphy.uni-duesseldorf.de/

~ls3/teaching/04-05QI/QI-Skriptum-050210.pdf, 2005.

M. Homeister.Quantum Computing verstehen: Grundlagen - Anwendungen -Perspektiven.Computational Intelligence. Vieweg+Teubner, 2008.


www.thphy.uni-duesseldorf.de/~ls3/teaching/04-05QI/QI-Skriptum-050210.pdfwww.thphy.uni-duesseldorf.de/~ls3/teaching/04-05QI/QI-Skriptum-050210.pdf

Grundlagen (Wiederholung)QuBitRegisterGatter

QuantenalgorithmenDeutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusGrover-Algorithmus

FehlerkorrekturBit-Flip-FehlerPhasen-Flip-Fehler

ZusammenfassungPrinzip eines Quantenalgorithmus

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