Allgemeine Elektrotechnik I

für den Studiengang Basic Engineering School

Dr.-Ing. Ulrich Massek

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Kontakt:

Dr.-Ing. Ulrich Massek Raum H 2524 Tel.: 69 1130 E-Mail: ulrich.massek@tu-ilmenau.de Mobil: 0173 822 6505

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Schwerpunkte ET1-1

- Grundbegriffe und Grundbeziehungen der Elektrizitäts- lehre- Berechnung elektrischer Gleichstromkreise- Elektrothermische Energiewandlungsprozesse- Elektrische Felder in Leitern und Nichtleitern- Das stationäre Magnetfeld- Die elektromagnetische Induktion

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Schwerpunkte ET1-2Induktivität in Schaltungen, Ausgleichsvorgänge

Energie, Kräfte und Momente im Magnetfeld

Berechnung von WechselstromschaltungenKenngrößen, Berechnung von Wechselstromschaltungen im Zeitbereich, Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen in der komplexen Ebene, diesymbolische Methode, Leistung in Wechselstromkreisen, topologischesZeigerdiagramm, Ortskurven, Frequenzkennlinien und Übertragungsverhaltenlinearer Wechselstromschaltungen

Resonanz und Schwingkreise

Wechselstrombrücken

Transformator

Dreiphasensystem

elektrische Maschinen

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Literaturempfehlung

Seidel, Wagner Allgemeine ElektrotechnikGleichstrom - Felder - WechselstromUnicopy Campus Edition 2009

Seidel, Wagner Allgemeine ElektrotechnikWechselstromtechnik - Ausgleichsvorgänge - Leitungen2005 Carl Hanser Verlag München Wien

5

Paul, R. Elektrotechnik. Band 1: Felder und einfache Stromkreise, Band 2: Netzwerke. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1990.

Internet:

6

http://getsoft.net/ http://getsoft.net/learnweb/

http://moodle2.tu-ilmenau.de

Basic-Modellgruppe 2016/17 Elektrotechnik 1

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9

Prüfungsleistungen: Dez. 2016 Leistungskontrolle mit Bonuspunkten Feb. 2017 benoteter Schein Aug. 2017 mündliche Abschlussprüfung

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Skalar: durch eine Messgröße beschrieben (Länge, Temperatur, Zeit)

Vektor: durch eine Messgröße und eine Richtung beschrieben (Kraft, Feldstärke)

Ortsvektor Richtungsvektor

0.1 Vektorrechnung

0. Mathematische Voraussetzungen

Addition und Subtraktion von Vektoren:

Skalarprodukt

Stehen die zwei Vektoren rechtwinkelig aufeinander, so ist das Skalarprodukt Null

=

z

y

x

aaa

a

=

z

y

x

bbb

b

+++

=

+

=+

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

bababa

bbb

aaa

ba

ϕcos⋅⋅=⋅ baba

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Kreuzprodukt

Vektor, der senkrecht auf der von und aufgespannten Ebene steht, die Länge dieses Vektors entspricht der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten und :

ba

×

ϕsin⋅⋅=× baba

a

b

ba

×

b

a

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Flächennormalvektor

Spatprodukt

Kombination von Kreuz- und Skalarprodukt in der Form

Ergebnis ist ein Skalar ( ) cba

⋅×

Steht immer senkrecht auf Fläche

nach oben? oder nach unten?

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nach oben? oder nach unten?

Jede Fläche hat eine Umrandung

Umrandung entspricht einem Weg, der hat eine Richtung!

Zwischen Richtung der Randkurve und dem Flächennormalvektor gilt Rechtskopplung:

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0.2 lineare Algebra Lösung linearer Gleichungssysteme (elementare Lösungsmethoden) Rechnen mit komplexen Zahlen 0.3 Integral- und Differenzialrechnung Differenzieren elementarer Funktionen, Produkt-, Ketten- und Quotientenregel Ermittlung von Grenz- und Extremwerten Grundintegrale, Integration durch Substitution bestimmte und unbestimmte Integrale

Wegintegral: ∫∫ ⋅=⋅=⋅=ll

lkdlkdlky00

Flächenintegral: AkdAkdAkyA A

⋅=⋅=⋅= ∫∫ ∫∫

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0.4 SI-Präfixe laut DIN 1301

1.1 Grundbegriffe und Grundbeziehungen der Elektrizitätslehre

1.1.1 Die elektrische Ladung Q, q

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1. Einführung in die Elektrotechnik

Die Menge an Elektrizität (Elektrizitätsmenge) wird in der Physikund der Elektrotechnik auch als elektrische Ladung Q bezeichnet.

[Q] = 1 C = 1 As (Coulomb)

Als Einheit der Ladung definiert man:

Man kann sich die Einheit der Ladung als die Elektrizitätsmengevorstellen, die ein Gleichstrom von 1A in einer Sekunde durchden Querschnitt eines Leiters transportiert.

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Weitere Eigenschaften der Ladung:

- Ladungen können positive und negative Polarität haben

- gleichnamig geladene Körperstoßen sich ab, ungleichnamig

geladene Körper ziehen sich an

19

Das Kopiergerät als technische Anwendung

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Weitere Eigenschaften der Ladung:

(a) Eine geladene und eine neutrale Metallkugel.

(b) Die beiden Kugeln werden durch einen Metallnagel, der die Ladung von der einen zur anderen Kugel leitet, verbunden. (c) Die beiden Kugeln werden durch einen Isolator (Holz) verbunden; fast keine Ladung fließt.

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Es gibt Stoffe, in denen Ladungen relativ frei beweglich sind, die so genannten Leiter. Wesentliche Vertreter dieser Gruppe sind alle Metalle und die Elektrolyte

Stoffe, in denen die Ladungen fest fixiert sind, werden als Isolatoren bezeichnet. Hierunter fallen Stoffe wie Porzellan, Glimmer, bestimmte Plastwerkstoffe u.a.

Die dazwischen liegende Gruppe mit nur wenig beweglichen Ladungen sind die Halbleiter, z.B. Germanium, Silizium, Galliumarsenid.

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Die Aufladung von Stoffen:

Aufladung durch Kontakt

Aufladung durch Influenz

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Die Messung von Größe und Polarität der Ladung

Das Elektrometer: Geladenes Elektrometer (a) durch Influenz, (b) durch Kontakt

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Wesentliche Eigenschaften der Ladung in der Zusammenfassung:

1. Ladungen können positive und negative Polarität haben

2. gleichnamig geladene Körper stoßen sich ab, ungleichnamig geladene Körper ziehen sich an

3. Ladungen sind an Ladungsträger gebunden und nicht unendlich teilbar

Die Elementarladung ist e = 1,6021892 10-19 C

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Satz von der Erhaltung der Ladung:

In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller Ladungen konstant.

Q konstii∑ =

26

1.1.2 Ladung und Strom

Zur Erinnerung: In Leitermaterialien sind mobile, d.h. mehr oder weniger frei bewegliche Ladungsträger vorhanden.

Setzt man einen Leiter einem elektrischen Feld aus, werden sich die Ladungsträger unter dem Einfluss der durch die elektrische Feldstärke verursachten Kräfte bewegen.

Diese Ladungsbewegung bezeichnet man als elektrischen Strom

oder genauer als Konvektionsstrom.

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Der Mechanismus der Stromleitung im Metall

Das elektrische Feld E in einem Draht überlagert der ungeordneten thermischen Bewegung der Elektronen eine Driftgeschwindigkeit vd.

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- die Stromstärke I, i

AE

iA

v∆q

∆l in ∆ti

qt

=∆∆

iqt

dqdtt

= =→∆

∆∆0

lim

Die Einheit des elektrischen Stromes ist das Ampere

Umgekehrt wird die im Zeitintervall t bis t0 durch den Leiterquerschnitt strömende Ladung:

und einfacher für Gleichstrom: 0q(t) I (t t )= −29

∫=t

tdttitq

0

)()(

Eigenschaften und Kennzeichen elektrischer Ströme

Elektrische Ströme, gleich welcher Art, existieren nur auf geschlossenen Bahnen (Satz von der Erhaltung der Ladung).

Die positive Stromrichtung ist die Strömungsrichtung der positiven Ladungsträger.

Elektrische Ströme, gleich welcher Art, sind immer von einem Magnetfeld umgeben.

Konvektionsströme sind mit Stofftransport und (fast immer) mit Wärmeentwicklung verbunden.

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- die elektrische Stromdichte J

In vielen praktischen Fällen sind nicht alle Teile eines stromführenden Leiters in gleichmäßiger Weise an der Leitung des Stromes beteiligt. Zum Beispiel konzentriert sich der Strom bei Hochfrequenz durch den sogenannten Skineffekt an der Leiteroberfläche, während das Innere des Leiters nahezu stromfrei bleibt. Gleiches geschieht aus anderen Gründen an der Oberfläche von Supraleitern. Noch komplizierter ist die Verteilung des elektrischen Stromes in mikroelektronischen Bauelementen und in elektrotechnologischen Einrichtungen (Elektroschmelzen, Lichtbögen u.ä.).

Da die Verteilung des elektrischen Stromes im Leiter beispielsweise dessen Erwärmung wesentlich bestimmt, ist es also notwendig, diese Verteilung möglichst genau zu kennen. Diesem Zweck dient die elektrische Stromdichte J

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Zur Bestimmung der Stromdichte J teilt man den senkrecht von Strom durchflossenen Leiterquerschnitt in kleine Segmente auf und betrachtet den durch diese Segmente fließenden Teilstrom.

I ∆I, ∆A

Für Betrag und Einheit der Stromdichte ergeben sich dann als Näherung:

JIA

=⊥

∆∆

[J] = 1A/mm²

Exakt erhält man dann: JI

AdI

dAA= =

⊥ → ⊥ ⊥

lim∆

∆∆0

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∆I, ∆AI

JI

AdI

dAA= =

⊥ → ⊥ ⊥

lim∆

∆∆0

Umgekehrt erhält man bei bekannter Stromdichte für den Strom durch eine senkrecht durchsetzte Fläche:

Bei beliebig zur Stromrichtung geneigten Flächen ergibt sich:

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∫∫ ⋅=A

AdJI

∫∫⊥

⊥⋅=A

dAJI

34

1.1.3 elektrische Spannung

35

U

I

1.1.4 Widerstand und Leitwert

Strom - Spannungs - Kennlinie eines passiven linearen Elementes:

U

I

lineares Bauelement:

U

I

U I~

U R I= I G U=

elektrischer Widerstand (Ohmsches Gesetz):

[ ][ ][ ]

RUI

VA

S= = = = −1 1 1 1Ω

GI

U R= =

1[ ]

[ ][ ]

GI

UAV

S= = = = −1 1 1 1Ωelektrischer Leitwert:

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die Widerstandsbemessungsgleichung

γ

l

A

I

U

R = 𝑈𝐼

𝑅 =𝑙𝛾 𝐴

= 𝜌𝑙𝐴

37

38

die Temperaturabhängigkeit des Widerstandes

Die Mechanismen der Temperaturabhängigkeit der elektrischen Leitfähigkeit sind sehr häufig kompliziert, lassen sich jedoch durch relativ einfache Näherungen für den Praxisbedarf hinreichend genau beschreiben.

Wenn T0 die Bezugstemperatur in K (z.B. die Raumtemperatur) ist, so gilt für eine beliebige Temperatur T:

T = T0 + ΔT bzw. ΔT = T - T0

Als lineare Näherung ergibt sich dann:

ρ(T) = ρ (T0)(1+αT0 ΔT)

linearer Temperaturkoeffizient des Widerstandes in K-1

R(T) = R20(1+α20 ΔT)

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Bei größeren Abweichungen von der Bezugstemperatur wird u. U. eine quadratische Näherung erforderlich. Sie lautet:

Dabei sind:

αT0 - der lineare Temperaturkoeffizient undβT0 - der quadratische Temperaturkoeffizient

ρ(T) = ρ (T0)(1+αT0 ΔT+βT0(ΔT) 2)

40

die erweiterte Temperaturabhängigkeit des Widerstandes

Lineares Temperaturverhalten:

R(T) = R20(1+α20 ΔT)

( )[ ]2202020 1)( TTRTR ∆+∆+= βα

oder

41

Beispiel: spezifischer Widerstand von Glas (Bezugstemperatur - 500 K)

42

1.1.5 Berechnung einfacher linearer Widerstandsnetzwerke a) Reihenschaltung

RnR1 R2

II I I In1 2= = ⋅ ⋅ ⋅ =

Uges

U2

U U R I R Iges ii

n

ii

n

ii

n

= = =

= = =∑ ∑ ∑

1 1 1

UnU1

RersR

I

Uges

U R I R Iges ii

n

ersR=

=

=∑

1

R RersR ii

n

==∑

1

43

b) Parallelschaltung

RnR1 R2U

U U U Un1 2= = ⋅ ⋅ ⋅ =In

I

I2I1

I IUR R

Uii

n

ii

n

ii

n

= = =

= = =∑ ∑ ∑

1 1 1

1

RersP

I

U

IR

UR

Uii

n

ersP=

=

=∑ 1 1

1

1 11R RersP ii

n

==∑

Für zwei Widerstände gilt auch:

21

21

21

2111

1111RRRR

RR

RRRR ersP

ersP +⋅

=+

=⇒+=

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c) Reihen-Parallel-Schaltung

7,6 Ω

10 Ω

1,5 Ω

8,5 Ω 6 Ω 4 Ω

Rers1 15 8 5 10= + =, ,Ω Ω Ω

1 16

142Rers

= +Ω Ω

Rers2

6 46 4

2 4=⋅+

=Ω ΩΩ Ω

Ω,

45

7,6 Ω

10 Ω

1,5 Ω

8,5 Ω 6 Ω 4 Ω

Rers1 15 8 5 10= + =, ,Ω Ω Ω

Rers2

6 46 4

2 4=⋅+

=Ω ΩΩ Ω

Ω,

10 Ω

10 Ω

Rers3 2 4 7 6 10= + =, ,Ω Ω Ω

7,6 Ω

2,4 Ω

46

10 Ω

10 Ω

7,6 Ω

2,4 Ω 10 Ω

10 Ω

10 Ω

Rers4

10 1010 10

5=⋅+

=Ω ΩΩ Ω

ΩRers3 2 4 7 6 10= + =, ,Ω Ω Ω

47

10 Ω

10 Ω

10 Ω

Rers = + =10 5 15Ω Ω Ω

10 Ω

5 Ω

Rers4

10 1010 10

5=⋅+

=Ω ΩΩ Ω

Ω