Analysis I || Reelle Zahlen

III Reelle Zahlen

Die Forderung nach der Lösbarkeit gewisser Gleichungen motiviert die Erweiterungder Menge der natürlichen Zahlen, in diesem Kapitel zunächst auf die ganzen Zahlen,die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen.

Problem in N0: Die Gleichung a + x = b mit a, b ∈ N0 muss keine Lösung x ∈ N0

haben, z. B.x + 1 = 0 �⇒ x �∈ N0.

Für n ∈ N definiert man daher −n als die Lösung der Gleichung x + n = 0 und

Z := {±n: n ∈ N0} (ganze Zahlen).

Problem in Z: Die Gleichung a · x = b mit a, b ∈ Z muss keine Lösung x ∈ Zhaben, z. B.

2 · x = 1 �⇒ x �∈ Z.

Für p, q ∈ Z, q �= 0 definiert manp

qals die Lösung der Gleichung x · q = p und

Q :=

{p

q: p, q ∈ Z, q �= 0

}(rationale Zahlen).

Problem inQ: Die Gleichung x2 = a mit a ∈ Qmuss keine Lösung x ∈ Q haben, z. B.

x2 = 2 �⇒ x �∈ Q.

Die Lösungen solcher Gleichungen nennt man algebraische Zahlen ([27, S. 36]).Noch allgemeiner definiert man als Erweiterung der algebraischen Zahlen die Men-

ge der reellen Zahlen R, deren Konstruktion nicht-trivial ist (siehe Kapitel IV).Im Folgenden untersuchen wir zunächst die drei Eigenschaften, die R charakteri-

sieren: Körperstruktur, Anordnung und Vollständigkeit.

� 8Körperstruktur

Die uns geläufigen Rechenregeln für die Addition und Multiplikation von Zahlen lassensich alle aus den folgenden Körperaxiomen herleiten.

C. Tretter, Analysis I

© Springer Basel AG 2013

14 III Reelle Zahlen

Ein Körper (K , +, · ) ist eine Menge K , #K ≥ 2, mit zwei Verknüpfungen

+: K × K → K , (x, y) �→ x + y,

· : K × K → K , (x, y) �→ x · y,

die folgende Axiome erfüllen:

Definition III.1

Axiome der Addition:

(A1) x + (y + z) = (x + y) + z, x, y, z ∈ K (Assoziativität),

(A2) x + y = y + x, x, y ∈ K (Kommutativität),

(A3) ∃ 0 ∈ K : x + 0 = x, x ∈ K (Existenz des neutralen Elements 0),

(A4) ∀ x ∈ K ∃ −x ∈ K : x + (−x) = 0 (Existenz des inversen Elements);

man definiert damit x − y := x + (−y), x, y ∈ K .

Axiome der Multiplikation:

(M1) x · (y · z) = (x · y) · z, x, y, z ∈ K (Assoziativität),

(M2) x · y = y · x, x, y ∈ K (Kommutativität),

(M3) ∃ 1 ∈ K : x · 1 = x, x ∈ K (Existenz des neutralen Elements 1),

(M4) ∀ x ∈ K , x �= 0, ∃ x−1 ∈ K : x · x−1 = 1 (Existenz des inversen Elements);

man definiert damitx

y:= x · y−1, x, y ∈ K , y �= 0.

Distributivgesetz:

(D) x · (y + z) = x · y + x · z, x, y, z ∈ K .

Die Axiome (A1) bis (A4) bzw. (M1) bis (M4) kann man kurz auch so formulieren:(K , +) und (K \ {0}, ·) bilden jeweils eine abelsche Gruppe (siehe [12, 1.2]).

– (Q, +, · ) ist ein Körper;

– (R, +, · ) ist ein Körper (siehe Kapitel IV);

– (Z, +, · ) ist kein Körper, da (M4) verletzt ist;

– (N, +, · ) ist erst recht kein Körper, weil (M4) und (A4) nicht gelten;

– (F2, +, · ) mit F2 = {0, 1} und +, · definiert durch

+ 0 1 · 0 10 0 1 0 0 01 1 0 1 0 1

ist ein Körper (der kleinstmögliche).

Beispiele

Aus den Körperaxiomen ergeben sich eine Reihe von Folgerungen und Rechenregelnin Körpern. Viele erscheinen vom Rechnen mit Zahlen her selbstverständlich, sind esaber z. B. im Körper F2 schon weniger:

8 Körperstruktur 15

Es sei (K , +, · ) ein Körper. Dann gelten:

(i) 0 und 1 sind eindeutig.

(ii) −x und x−1 sind zu jedem x ∈ K eindeutig bestimmt.

(iii) −0 = 0.

(iv) Die Gleichung a +x = b mit a, b ∈ K hat in K die eindeutige Lösung x = b −a.

(v) −(−x) = x, x ∈ K.

(vi) −(x + y) = −x − y, x, y ∈ K.

(vii) Die Gleichung a · x = b mit a, b ∈ K , a �= 0, hat in K die eindeutige Lösung

x = a−1 · b =b

a.

(viii) (x + y) · z = x · z + y · z, x, y, z ∈ K.

(ix) x · 0 = 0 · x = 0, x ∈ K.

(x) x · y = 0 ⇐⇒ x = 0 ∨ y = 0, x, y ∈ K.

(xi) (−x) · y = −(x · y), x, y ∈ K.

(xii) (−x) · (−y) = x · y, x, y ∈ K.

(xiii) (x−1)−1 = x, x ∈ K , x �= 0.

(xiv) (x · y)−1 = x−1 · y−1, x, y ∈ K , x, y �= 0.

Proposition III.2

Beweis. Wir beweisen beispielhaft einige der Behauptungen:(i) Eindeutigkeit der 0: Es sei 0′ ∈ K mit

x + 0′ = x, x ∈ K .

Speziell für x = 0 folgt 0 + 0′ = 0. Nach (A3) mit x = 0′ ist 0′ + 0 = 0′, also

0 = 0 + 0′ (A2)= 0′ + 0 = 0′.

(iv) Existenz der Lösung: x = b − a ist Lösung von a + x = b, denn es gilt

a + (b − a)(A2)= a + (−a + b)

(A1)= (a + (−a))︸︷︷︸

=0 nach (A4)

+b = 0 + b(A2)= b + 0

(A3)= b.

Eindeutigkeit der Lösung: Angenommen, x′ ∈ K erfüllt a + x′ = b. Dann gilt

x′ (A3),(A2)= 0 + x′ (A2),(A4)

= (−a + a) + x′ (A1)= −a + (a + x′) = −a + b

(A2)= b − a.

(ix) Für x ∈ K gilt

x · 0 + x · 0(D)= x · (0 + 0)

(A3)= x · 0

(A3)= x · 0 + 0.

Wegen der Eindeutigkeit in (iv) folgt x · 0 = 0 und nach (M2) dann 0 · x = x · 0 = 0.


(x) „ �⇒ “: Angenommen, es gilt x · y = 0 und x �= 0 (analog für y �= 0). Dann ist nach(M2) auch y · x = 0, und es folgt

y(M3)= y · 1

(M4)= y · (x · x−1)

(M1)= (y · x) · x−1 = 0 · x−1 (ix)

= 0.

„⇐�“: Aus x = 0 ∨ y = 0 folgt x · y = 0 mit (ix).

Ist K ein Körper, definiere für x ∈ K die ganzzahligen Potenzen

x0 := 1,

xn := x · xn−1, n ∈ N,

x−n := (x−1)n, n ∈ N.

Definition III.3

Es sei K ein Körper. Dann gelten für x, y ∈ K und n, m ∈ Z:

(i) xn · xm = xn+m,

(ii) (xn)m = xn·m,

(iii) (x · y)n = xn · yn.

Proposition III.4

Beweis. Wir beweisen z.B. (iii). Für n ∈ N0 benutzen wir vollständige Induktion:

n = 0: Nach Definition III.3 und (M3) gilt:

(x · y)0 = 1 = 1 · 1 = x0 · y0.

n� n + 1: Nach Definition III.3 und Induktionsvoraussetzung gilt:

xn+1 · yn+1 = (x · xn) · (y · yn)(M1),(M2)

= (x · y) · (xn · yn)︸︷︷︸=(x·y)n

= (x · y) · (x · y)n

= (x · y)n+1.

Ist −n ∈ N, so ist nach Definition III.3, Proposition III.2 (xiv) und der bereits bewie-senen Behauptung, angewendet auf −n:

xn · yn (ii)=(x−1)−n · (y−1

)−n=(x−1 · y−1

)−n=((x · y)−1

)−n (ii)= (x · y)n.

� 9Anordnungsaxiome

Aus dem Alltag sind wir gewohnt, Zahlen miteinander vergleichen zu können. Beiallgemeinen Körpern ist das nicht immer möglich:

9 Anordnungsaxiome 17

Ein Körper (K , +, · ) heißt angeordnet, wenn darauf eine Eigenschaft positiv (> 0)definiert ist, die die folgenden Axiome erfüllt:

(AO1) Für alle x ∈ K gilt genau eine der Eigenschaften x > 0, x = 0 oder −x > 0.

(AO2) x > 0 ∧ y > 0 �⇒ x + y > 0, x, y ∈ K .

(AO3) x > 0 ∧ y > 0 �⇒ x · y > 0, x, y ∈ K .

Für einen angeordneten Körper schreibt man dann auch (K , +, · , >).

Definition III.5

Bezeichnung. Für x, y, z ∈ K definiert man

(i) x > y :⇐⇒ x − y > 0 (⇐⇒: y < x),

(ii) x ≥ y :⇐⇒ x − y > 0 ∨ x = y (⇐⇒: y ≤ x).

Ein Element x ∈ K heißt

negativ :⇐⇒ x < 0,

nichtpositiv :⇐⇒ x ≤ 0,

nichtnegativ :⇐⇒ x ≥ 0.

(Q, +, · , >) und (R, +, · , >) sind angeordnete Körper, z.B. ist auf Q

p

q> 0 :⇐⇒ (p ∈ N ∧ q ∈ N) ∨ (−p ∈ N ∧ −q ∈ N).

Beispiele

Die Anordnungsaxiome liefern wichtige Regeln zum Rechnen mit Ungleichungen:

Sind (K , +, · , >) ein angeordneter Körper und x, x′, y, y′, z ∈ K, so gelten:

(i) x < y ∧ y < z �⇒ x < z (Transitivität);

(ii) x < y ∧ a ∈ K �⇒ x + a < y + a;

(iii) x < y ∧ x′ < y′ �⇒ x + x′ < y + y′;

(iv) x < y ∧ a ∈ K , a > 0 �⇒ a · x < a · y,

x < y ∧ a ∈ K , a < 0 �⇒ a · x > a · y;

(v) 0 ≤ x < y ∧ 0 ≤ x′ < y′ �⇒ 0 ≤ x′ · x < y′ · y;

(vi) x �= 0 �⇒ x2 > 0;

(vii) x > 0 �⇒ x−1 > 0;

(viii) 0 < x < y �⇒ 0 < y−1 < x−1;

(ix) 1 > 0.

Wegen (i) setzt man dann: x < y < z :⇐⇒ x < y ∧ y < z.

Proposition III.6


Beweis. Wir beweisen exemplarisch (i), (vi), (vii) und (ix):

(i) x < y ∧ y < z �⇒ y − x > 0 ∧ z − y > 0(AO2)�⇒ (y − x) + (z − y) > 0

(A1),(A2)�⇒ z − x > 0 �⇒ x < z.

(vi) x > 0 �⇒ x2 = x · x(AO3)> 0,

x < 0Prop. III.2(xii)�⇒ x2 = (−x)︸︷︷︸

>0

· (−x)︸︷︷︸>0

(AO3)> 0.

(vii) x > 0 �⇒ x−1 =(x · x−1

) · x−1 = x · (x−1)2︸︷︷︸>0 nach (vi)

(AO3)> 0.

(ix) 1 = 1 · 1 = 12 (vi)> 0.

Nicht jeder Körper besitzt eine Anordnung. Ein Beispiel ist (F2, +, · ). Gäbe es eineAnordnung „ >“ auf F2, so wäre einerseits nach Definition 1 + 1 = 0, andererseitsnach Proposition III.6 (ix) und (AO2) aber

1 > 0 �⇒ 1 + 1 > 0 � zu (AO1).

Beispiel

Bernoullische1 Ungleichung. Ist (K , +, · , >) ein angeordneter Körper, so gilt füralle x ∈ K, x ≥ −1, und n ∈ N0:

(1 + x)n ≥ 1 + n · x. (9.1)

Satz III.7

Beweis. Wir führen vollständige Induktion nach n.n = 0: (1 + x)0 = 1 = 1 + 0 · x.n� n + 1: Da x ≥ −1, ist 1 + x ≥ 0. Mit der Induktionsvoraussetzung folgt dann

(1 + x)n+1 = (1 + x)︸︷︷︸≥0

·(1 + x)n ≥ (1 + x) · (1 + nx) = 1 + (n + 1) · x + n · x2︸︷︷︸≥0

≥ 1 + (n + 1) · x.

Bemerkung. Für n ≥ 2 und x �= 0 gilt in (9.1) die strikte Ungleichung (1+x)n > 1+n·x.

Es sei (K , +, · , >) ein angeordneter Körper. Dann definiert man für x ∈ K dasSignum (Vorzeichen) von x als

sign x :=

⎧⎨⎩1, falls x > 0,0, falls x = 0,

−1, falls x < 0,

Definition III.8

1Jakob I. Bernoulli, ∗ 6. Januar 1655 und 16. August 1705 in Basel, Schweizer Mathematiker, Brudervon Johann Bernoulli und Onkel von Jakob II. Bernoulli, studierte gegen den Willen seines Vaters nebenPhilosophie und Theologie autodidaktisch Mathematik und Astronomie.

9 Anordnungsaxiome 19

und den Absolutbetrag von x als

|x| := (sign x) · x =

{x, falls x ≥ 0,

−x, falls x < 0.

In einem angeordneten Körper (K , +, · , >) gelten für x, y ∈ K:

(i) |x| ≥ 0,

(ii) |x| = 0 ⇐⇒ x = 0,

(iii) | −x| = |x|,(iv) x ≤ |x|, −x ≤ |x|,(v) |x · y| = |x| · |y|,

(vi)∣∣∣x

y

∣∣∣ =|x||y| , y �= 0.

Proposition III.9

Beweis. Eine einfache, aber gute Übung!

Dreiecksungleichung. In einem angeordneten Körper (K , +, · , >) gilt:

|x + y| ≤ |x| + |y|, x, y ∈ K .

Satz III.10

Beweis. Nach Proposition III.9 gilt für x, y ∈ K

x ≤ |x| ∧ y ≤ |y|−x ≤ |x| ∧ −y ≤ |y|

Prop. III.6�⇒ x + y ≤ |x| + |y|,−(x + y) = −x − y ≤ |x| + |y|,

also insgesamt |x + y| ≤ |x| + |y|.

In einem angeordneten Körper (K , +, · , >) gilt:∣∣|x| − |y|∣∣ ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|, x, y ∈ K .

Korollar III.11

Beweis. Zu zeigen ist nur noch die linke Ungleichung. Mit der Dreiecksungleichungund Proposition III.9 ergibt sich für x, y ∈ K :

|x| = |x + y − y| ≤ |x + y| + |y| �⇒ |x| − |y| ≤ |x + y|,|y| = |x + y − x| ≤ |x + y| + |x| �⇒ −

(|x| − |y|) = |y| − |x| ≤ |x + y|,also insgesamt

∣∣|x| − |y|∣∣ ≤ |x + y|.

Ein Körper (K , +, · ) heißt archimedisch angeordnet, wenn er angeordnet ist unddarin das sog. Archimedische2 Axiom gilt:

Definition III.12

2Archimedes von Syrakus, vermutlich ∗ 287 v. Chr., 212 v. Chr. in Syrakus, Sizilien, griechischerMathematiker und Physiker, der als einer der bedeutendsten der Antike gilt; das Archimedische Axiomstammt aber eigentlich von Eudoxos von Knidos.


(AO4) Für alle x, y ∈ K , x, y > 0, existiert ein n ∈ N0 mit

nx > y.

(Q, +, · , >) und (R, +, · , >) sind archimedisch angeordnet.Beispiel

In einem archimedisch angeordneten Körper (K , +, · , >) gelten:

(i) Ist b > 1, so existiert zu jedem � > 0 ein N ∈ Nmit

bN > �.

(ii) Ist 0 < q < 1, so existiert zu jedem " > 0 ein N ∈ Nmit

qN < ".

Satz III.13

Beweis. (i) Da b > 1, gilt x := b − 1 > 0 und b = 1 + x. Mit der BernoullischenUngleichung folgt

bn = (1 + x)n ≥ 1 + nx, n ∈ N0.

Nach (AO4) existiert nun ein N ∈ Nmit N · x > �, also

bN ≥ 1 + Nx > 1 + � > �.

(ii) folgt direkt aus (i), mit b = q−1 und � = "−1.

� 10Vollständigkeit von R

In diesem Abschnitt führen wir die Eigenschaft ein, die R von Q unterscheidet. InKapitel IV werden wir eine Reihe anderer Charakterisierungen der Vollständigkeitkennenlernen.

Ist (K , +, ·, >) ein angeordneter Körper und M ⊂ K , so heißen

(i) s ∈ K obere (bzw. untere) Schranke von M

:⇐⇒ ∀ x ∈ M: x ≤ s (bzw. x ≥ s);

(ii) M nach oben (bzw. unten) beschränkt, wenn M eine obere (bzw. untere)Schranke besitzt; M heißt beschränkt, wenn es nach oben und unten be-schränkt ist;

(iii) s ∈ K größtes oder maximales (bzw. kleinstes oder minimales) Elementvon M, s = max M (bzw. s = min M), wenn s obere (bzw. untere) Schrankevon M ist und s ∈ M;

Definition III.14

10 Vollständigkeit vonR 21

(iv) s ∈ K Supremum von M, s = sup M, wenn s die kleinste obere Schrankevon M ist, d.h.

a) ∀ x ∈ M: x ≤ s (s ist obere Schranke von M),

b)( ∀ x ∈ M: x ≤ s′

) �⇒ s′ ≥ s (jede andere obere Schranke ist ≥ s);

analog heißt die größte untere Schranke s von M Infimum von M, s = inf M.

Man kann zeigen, dass sup M, inf M, max M und min M jeweils eindeutig bestimmtsind, falls sie existieren.

Aus den Definitionen ergibt sich sofort, z. B. für Supremum und Maximum,

s = max M �⇒ s = sup M,

aber nicht umgekehrt, denn es kann sup M /∈ M gelten:

s = max M ⇐⇒ s = sup M ∧ s ∈ M.

InQ sind die Teilmengen

Q− := {x ∈ Q: x < 0} (Menge der negativen Elemente inQ),

Q0− := {x ∈ Q: x ≤ 0} (Menge der nichtpositiven Elemente inQ)

nach oben beschränkt, aber nicht nach unten;Q− hat das Supremum 0 = supQ−,aber kein Maximum, da 0 /∈ Q−. Dagegen hat Q0

− sowohl Supremum als auchMaximum, 0 = supQ0

− = maxQ0−.

Beispiel

Eine praktische Charakterisierung von Supremum und Infimum ist die folgende.

Es seien X ⊂ R, X �= ∅, und � ∈ R eine obere Schranke von X. Dann gilt

� = sup X ⇐⇒ ∀" > 0 ∃ x" ∈ X � − " < x" ≤ � ;

eine analoge Aussage gilt für inf X.

Proposition III.15

Beweis. Der Beweis ist eine sehr gute Übung (Aufgabe III.4), um die sperrigen BegriffeSupremum und Infimum besser verstehen zu lernen!

Unser obiges Beispiel Q wird auch zeigen, dass es sogar nach oben beschränkte Teil-mengen geben kann, die nicht einmal ein Supremum besitzen (siehe Korollar IV.43).Dies führt auf folgende Klassifizierung angeordneter Körper:

Ein angeordneter Körper (K , +, · , >) heißt vollständig, wenn darin das Vollstän-digkeitsaxiom gilt:

(V) Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von K hat ein Supremum.

Definition III.16


Im nächsten Kapitel werden wir die Menge der reellen Zahlen R konstruieren undsehen, dass R ein archimedisch angeordneter vollständiger Körper ist, d.h.,R erfüllt

– die Körperaxiome (A1)–(A4), (M1)–(M4), (D),

– die Anordnungsaxiome (AO1)–(AO3),

– das Archimedische Axiom (AO4),

– das Vollständigkeitsaxiom (V).

Man kann zeigen, dass R durch diese Eigenschaften „im Wesentlichen“ eindeutig be-stimmt ist, denn je zwei archimedisch angeordnete vollständige Körper K1, K2 sindisomorph ([10, §5.3]), d.h., es gibt eine bijektive Abbildung ': K1 → K2 mit

'(x + y) = '(x) + '(y), '(x · y) = '(x) · '(y), x, y ∈ K .

Übungsaufgaben

III.1. Beweise die folgenden Ungleichungen für n ∈ N:

a) 2n < n! für n ≥ 4.

b)

(n

k

)1

nk≤ 1

k!für k ∈ N0, k ≤ n.

c)(

1 +1

n

)n ≤n∑

k=0

1

k!< 3.

III.2. Die Fibonacci-Zahlen3 an, n ∈ N0, sind rekursiv definiert durch

a0 := 1, a1 := 1, an+1 := an−1 + an, n ∈ N.

Zeige, dass n ≤ an ≤ 2n für alle n ∈ N0 gilt.

III.3. Bestimme, soweit vorhanden, Infimum, Supremum, Maximum und Minimum folgenderTeilmengen von Q:

a){

x ∈ Q: ∃n ∈ N x = n2}

, c){

x ∈ Q: ∃n ∈ N x =1

n+ 1 + (−1)n

},

b){

x ∈ Q: ∃n ∈ N x =1

n3

}, d)

{x ∈ Q: x2 ≤ 2

}.

III.4. Beweise Proposition III.15 und formuliere die analoge Aussage für das Infimum einerMenge.

3Die Fibonacci-Zahlen spielen eine überraschende Rolle in der Natur, z.B. bei Anordnungen in Tannen-zapfen und Sonnenblumen; auch der Goldene Schnitt hängt mit ihnen zusammen (Aufgabe IV.4).

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