Kapitel 3 Die reellen Zahlen. Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 2 Inhalt...

Kapitel 3

Die reellen Zahlen

Kapitel 3

Die reellen Zahlen

Kapitel 3: Die reellen Zahlen

© BeutelspacherMai 2005

Seite 2

InhaltInhalt

3.1 Was sind reelle Zahlen?

3.2 Wie viele reelle Zahlen gibt es?

3.3 Folgen

3.4 Was sind reelle Zahlen? – Teil II

3.5 Ungleichungen und Betrag

3.6 Summen

3.1 Was sind reelle Zahlen?

3.2 Wie viele reelle Zahlen gibt es?

3.3 Folgen

3.4 Was sind reelle Zahlen? – Teil II

3.5 Ungleichungen und Betrag

3.6 Summen



Seite 3

3.1 Was sind reelle Zahlen?3.1 Was sind reelle Zahlen?

Eine ausgesprochen schwierige Frage!

Wir bezeichnen die Menge der reellen Zahlen (von der wir noch nicht

wissen, was sie ist) mit R.

Wir können natürlich Beispiele von reellen Zahlen angeben:

alle natürlichen, ganzen, rationalen Zahlen sind auch reelle Zahlen

(d.h. R ist eine Erweiterung von Q)

2, 5, ... sind reelle Zahlen,

ist eine reelle Zahl,

...

Aber: Wie kann man alle reellen Zahlen beschreiben???

Eine ausgesprochen schwierige Frage!

Wir bezeichnen die Menge der reellen Zahlen (von der wir noch nicht

wissen, was sie ist) mit R.

Wir können natürlich Beispiele von reellen Zahlen angeben:

alle natürlichen, ganzen, rationalen Zahlen sind auch reelle Zahlen

(d.h. R ist eine Erweiterung von Q)

2, 5, ... sind reelle Zahlen,

ist eine reelle Zahl,

...

Aber: Wie kann man alle reellen Zahlen beschreiben???



Seite 4

1. Beschreibung der reellen Zahlen1. Beschreibung der reellen Zahlen

Wir werden die reellen Zahlen nicht explizit konstruieren, sondern

verschiedene Beschreibungen angeben.

1. Beschreibung: Die reellen Zahlen füllen die Zahlengerade

lückenlos aus.

Dies ist die elementarste, aber wichtigste Vorstellung.

Wir stellen, dass sich an jeder Stelle der Zahlengeraden eine Zahl

befindet.

Wenn wir mit einem unendlich dünnen Messer die Zahlengerade

anschneiden, haben wir eine reelle Zahl getroffen.

Mit anderen Worten: Die reelle Zahlengerade hat keine Lücke.

Wir werden die reellen Zahlen nicht explizit konstruieren, sondern

verschiedene Beschreibungen angeben.

1. Beschreibung: Die reellen Zahlen füllen die Zahlengerade

lückenlos aus.

Dies ist die elementarste, aber wichtigste Vorstellung.

Wir stellen, dass sich an jeder Stelle der Zahlengeraden eine Zahl

befindet.

Wenn wir mit einem unendlich dünnen Messer die Zahlengerade

anschneiden, haben wir eine reelle Zahl getroffen.

Mit anderen Worten: Die reelle Zahlengerade hat keine Lücke.



Seite 5

2. Beschreibung durch Dezimalbrüche2. Beschreibung durch Dezimalbrüche

Die reellen Zahlen sind genau die Dezimalbrüche.

Dezimalbrüche können endlich, periodisch oder nichtperiodisch sein.

Endliche (abbrechende) Dezimalbrüche sind zum Beispiel 3,14;

2458493; 56568439,35.

Bei periodischen Dezimalbrüchen wiederholt sich ab einer gewissen

Stelle eine gewisse Ziffernfolge ständig. Beispiel: 24,9 456 456 456...

Wir notieren dies wie üblich auch so: 24,9 456 .

Ein nichtperiodischer Dezimalbruch ist einer, der keine Periode hat.

Zum Beispiel sind 2 und keine periodischen Dezimalbrüche.

Die reellen Zahlen sind genau die Dezimalbrüche.

Dezimalbrüche können endlich, periodisch oder nichtperiodisch sein.

Endliche (abbrechende) Dezimalbrüche sind zum Beispiel 3,14;

2458493; 56568439,35.

Bei periodischen Dezimalbrüchen wiederholt sich ab einer gewissen

Stelle eine gewisse Ziffernfolge ständig. Beispiel: 24,9 456 456 456...

Wir notieren dies wie üblich auch so: 24,9 456 .

Ein nichtperiodischer Dezimalbruch ist einer, der keine Periode hat.

Zum Beispiel sind 2 und keine periodischen Dezimalbrüche.



Seite 6

Weitere BeschreibungenWeitere Beschreibungen

Wir werden weitere Beschreibungen der reellen Zahlen angeben:

als Grenzwerte von Folgen, durch „Dedekindsche Schnitte“ und

durch die Supremumseigenschaft.

Dazu brauchen wir aber noch einige Vorbereitungen.

Bereits jetzt könne wir aber beweisen, dass es überabzählbar viele

reelle Zahlen gibt!

Wir werden weitere Beschreibungen der reellen Zahlen angeben:

als Grenzwerte von Folgen, durch „Dedekindsche Schnitte“ und

durch die Supremumseigenschaft.

Dazu brauchen wir aber noch einige Vorbereitungen.

Bereits jetzt könne wir aber beweisen, dass es überabzählbar viele

reelle Zahlen gibt!



Seite 7

3.2 Wie viele reelle Zahlen gibt es?3.2 Wie viele reelle Zahlen gibt es?

Wir wissen: die Mengen Z und Q sind gleichmächtig zu N sind.

Ist auch R gleichmächtig zu N?

Oder besitzt R wesentlich mehr Elemente als N?

Es ist eine der großen Leistungen von Georg Cantor (1845 - 1918),

des Erfinders der Mengentheorie, bewiesen zu haben, dass R

wesentlich mehr Elemente wie N enthält: Es gibt keine Möglichkeit,

die reellen Zahlen zu nummerieren!

Wir bezeichnen die Menge der reellen Zahlen zwischen 0

(einschließlich) und 1 (ausschließlich) mit dem Symbol [0, 1).

Man nennt dies ein „haboffenes Intervall“; dazu später.

Wir wissen: die Mengen Z und Q sind gleichmächtig zu N sind.

Ist auch R gleichmächtig zu N?

Oder besitzt R wesentlich mehr Elemente als N?

Es ist eine der großen Leistungen von Georg Cantor (1845 - 1918),

des Erfinders der Mengentheorie, bewiesen zu haben, dass R

wesentlich mehr Elemente wie N enthält: Es gibt keine Möglichkeit,

die reellen Zahlen zu nummerieren!

Wir bezeichnen die Menge der reellen Zahlen zwischen 0

(einschließlich) und 1 (ausschließlich) mit dem Symbol [0, 1).

Man nennt dies ein „haboffenes Intervall“; dazu später.



Seite 8

Überabzählbarkeit von RÜberabzählbarkeit von R

3.2.1 Satz (Cantor). Es gibt keine bijektive Abbildung von N auf

[0,1). Das heißt: Die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 sind nicht

abzählbar.

Erst recht ist die Menge aller reellen Zahlen nicht abzählbar!

Beweis. („Cantorsches Diagonalverfahren“)

Der Beweis erfolgt durch Widerspruch.

Wir nehmen an, dass sich die reellen Zahlen zwischen 0 und 1

abzählen lassen. Es gibt also eine erste reelle Zahl r1, eine zweite r2, eine dritte r3,

usw.

3.2.1 Satz (Cantor). Es gibt keine bijektive Abbildung von N auf

[0,1). Das heißt: Die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 sind nicht

abzählbar.

Erst recht ist die Menge aller reellen Zahlen nicht abzählbar!

Beweis. („Cantorsches Diagonalverfahren“)

Der Beweis erfolgt durch Widerspruch.

Wir nehmen an, dass sich die reellen Zahlen zwischen 0 und 1

abzählen lassen. Es gibt also eine erste reelle Zahl r1, eine zweite r2, eine dritte r3,

usw.



Seite 9

Erster TrickErster Trick

Erster Trick: Wir schreiben die Zahlen zwischen 0 und 1 in dieser

Reihenfolge als Dezimalbrüche auf!

r1 = 0, a11 a12 a13 a14 a15 a16 ...

r2 = 0, a21 a22 a23 a24 a25 a26 ...

r3 = 0, a31 a32 a33 a34 a35 a36 ...

r4 = 0, a41 a42 a43 a44 a45 a46 ...

r5 = 0, a51 a52 a53 a54 a55 a56 ...

...

Beispiel: Wenn r1 = 0, 0925378929 ist, so ist a11 = 0, a12 = 9, a13 = 2

usw. Die vierte Nachkommastelle von r7 wird mit a74 bezeichnet.

Erster Trick: Wir schreiben die Zahlen zwischen 0 und 1 in dieser

Reihenfolge als Dezimalbrüche auf!

r1 = 0, a11 a12 a13 a14 a15 a16 ...

r2 = 0, a21 a22 a23 a24 a25 a26 ...

r3 = 0, a31 a32 a33 a34 a35 a36 ...

r4 = 0, a41 a42 a43 a44 a45 a46 ...

r5 = 0, a51 a52 a53 a54 a55 a56 ...

...

Beispiel: Wenn r1 = 0, 0925378929 ist, so ist a11 = 0, a12 = 9, a13 = 2

usw. Die vierte Nachkommastelle von r7 wird mit a74 bezeichnet.


© BeutelspacherMai 2005Seite 10

Zweiter TrickZweiter Trick

Zweiter Trick (genial!): Wir konstruieren eine reelle Zahl t zwischen

0 und 1, die nicht in dieser Liste vorkommt!

Dies ist ein Widerspruch, denn die obige Liste soll ja alle reellen

Zahlen zwischen 0 und 1 enthalten.

Konstruktion von t: Die Zahl t hat eine Null vor dem Komma und nach dem Komma die Stellen b1, b2, b3, ...

Für die Ziffer b1 ist nur verboten, dass sie gleich a11 ist. Also

unterscheidet sich t wenigstens an der ersten Nachkommastelle von r1. Somit ist sicher t r1.

Die Ziffer b2 darf nicht gleich a22 sein. Daher unterscheidet sich t

jedenfalls an der zweiten Nachkommastelle von r2; somit ist t r2.

Zweiter Trick (genial!): Wir konstruieren eine reelle Zahl t zwischen

0 und 1, die nicht in dieser Liste vorkommt!

Dies ist ein Widerspruch, denn die obige Liste soll ja alle reellen

Zahlen zwischen 0 und 1 enthalten.

Konstruktion von t: Die Zahl t hat eine Null vor dem Komma und nach dem Komma die Stellen b1, b2, b3, ...

Für die Ziffer b1 ist nur verboten, dass sie gleich a11 ist. Also

unterscheidet sich t wenigstens an der ersten Nachkommastelle von r1. Somit ist sicher t r1.

Die Ziffer b2 darf nicht gleich a22 sein. Daher unterscheidet sich t

jedenfalls an der zweiten Nachkommastelle von r2; somit ist t r2.



Der WiderspruchDer Widerspruch

Und so weiter: Die Ziffer bi wird so gewählt, dass bi aii ist.

Dann unterscheidet sich t an der i-ten Stelle von r i, also ist t ri.

So erhalten wir eine reelle Zahl t = 0, b1 b2 b3 ... zwischen 0 und 1.

Behauptung: Die Zahl t steht nicht in obiger Liste! Warum? Wenn t auf der Liste wäre, müsste t gleich einer Zahl r i sein.

Wir haben aber schon gesehen, dass dies (wegen b i aii) nicht der

Fall sein kann.

Widerspruch! Dieser Widerspruch kommt von der Annahme her. Also

ist die Annahme falsch.

Daher ist die Menge [0, 1) nicht abzählbar.

Und so weiter: Die Ziffer bi wird so gewählt, dass bi aii ist.

Dann unterscheidet sich t an der i-ten Stelle von r i, also ist t ri.

So erhalten wir eine reelle Zahl t = 0, b1 b2 b3 ... zwischen 0 und 1.

Behauptung: Die Zahl t steht nicht in obiger Liste! Warum? Wenn t auf der Liste wäre, müsste t gleich einer Zahl r i sein.

Wir haben aber schon gesehen, dass dies (wegen b i aii) nicht der

Fall sein kann.

Widerspruch! Dieser Widerspruch kommt von der Annahme her. Also

ist die Annahme falsch.

Daher ist die Menge [0, 1) nicht abzählbar.



FolgerungenFolgerungen

Definition: Eine unendliche Menge heißt überabzählbar, wenn sie

nicht abzählbar ist. Wenn eine Menge überabzählbar ist, hat sie also

eine höhere Stufe der Unendlichkeit als eine abzählbare Menge.

3.2.2 Folgerung. Die Menge R der reellen Zahlen ist überabzählbar.

3.2.3 Folgerung. Es gibt unendlich viele, sogar überabzählbar viele

irrationale Zahlen!

Beweis. Wenn die Menge der irrationalen Zahlen abzählbar wäre,

dann wäre auch R abzählbar, denn die Vereinigung von zwei

abzählbaren Mengen ist wieder abzählbar: Widerspruch!

Also muss die Menge der irrationalen Zahlen überabzählbar sein.

Definition: Eine unendliche Menge heißt überabzählbar, wenn sie

nicht abzählbar ist. Wenn eine Menge überabzählbar ist, hat sie also

eine höhere Stufe der Unendlichkeit als eine abzählbare Menge.

3.2.2 Folgerung. Die Menge R der reellen Zahlen ist überabzählbar.

3.2.3 Folgerung. Es gibt unendlich viele, sogar überabzählbar viele

irrationale Zahlen!

Beweis. Wenn die Menge der irrationalen Zahlen abzählbar wäre,

dann wäre auch R abzählbar, denn die Vereinigung von zwei

abzählbaren Mengen ist wieder abzählbar: Widerspruch!

Also muss die Menge der irrationalen Zahlen überabzählbar sein.



3.3 Folgen3.3 Folgen

Definition: Eine Folge reeller Zahlen ist eine (unendliche) Folge a1,

a2, a3, ... von reellen Zahlen ai.

Beispiele:

1, 2, 3, 4, 5, ...

1, 1, 1, 1, 1, 1, ...

1 –1, 1, –1, 1, –1, 1, ...

1, 1/2, 1/3, 1/4, ...

3, 1, 4, 1, 5, 9, ...

Definition: Eine Folge reeller Zahlen ist eine (unendliche) Folge a1,

a2, a3, ... von reellen Zahlen ai.

Beispiele:

1, 2, 3, 4, 5, ...

1, 1, 1, 1, 1, 1, ...

1 –1, 1, –1, 1, –1, 1, ...

1, 1/2, 1/3, 1/4, ...

3, 1, 4, 1, 5, 9, ...



Schreibweisen für FolgenSchreibweisen für Folgen

Für die Folge a1, a2, a3, ... schreiben wir auch (an) oder (an)nN.

Beispiele: (n)nN,

(1)nN,

((–1)n+1)nN

(1/n)nN.

Eine Folge muss nicht mit der Nummer 1 beginnen; auch (an)n 5 ist eine Folge.

Für die Folge a1, a2, a3, ... schreiben wir auch (an) oder (an)nN.

Beispiele: (n)nN,

(1)nN,

((–1)n+1)nN

(1/n)nN.

Eine Folge muss nicht mit der Nummer 1 beginnen; auch (an)n 5 ist eine Folge.



SchreibweiseSchreibweise

Die einzige Regel: Für jedes n muss klar sein, was an ist!

Eine Folge kann durch eine Formel angegeben werden.

Man kann aber auch zwei (oder mehrere) Formeln verwenden:

an = 1, falls n ungerade ist

an = –n, falls n gerade ist.

Man kann eine Folge aber auch verbal beschreiben: an ist n2, falls n eine Primzahl ist;

sonst ist an = 1,

es sei denn n = 2005; in diesem Fall ist an gleich der Anzahl der

Hörer der WGMS IV.

Die einzige Regel: Für jedes n muss klar sein, was an ist!

Eine Folge kann durch eine Formel angegeben werden.

Man kann aber auch zwei (oder mehrere) Formeln verwenden:

an = 1, falls n ungerade ist

an = –n, falls n gerade ist.

Man kann eine Folge aber auch verbal beschreiben: an ist n2, falls n eine Primzahl ist;

sonst ist an = 1,

es sei denn n = 2005; in diesem Fall ist an gleich der Anzahl der

Hörer der WGMS IV.



Konvergente Folgen: Die VorstellungKonvergente Folgen: Die Vorstellung

Wichtig und zentral für die Analysis ist der Konvergenzbegriff.

Vorstellung: Eine Folge konvergiert, wenn die Folgenglieder einer

gewissen Zahl (dem „Grenzwert“) beliebig nahe kommen.

Diese intuitive Vorstellung wollen wir präzisieren.

Beispiele:

1, 1/2, 1/3, 1/4, ... konvergent 1, –1, 1, –1, 1, –1, 1, ... nicht konvergent 1000, 100.000, 1.000.000, 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... konvergent 1, 1/2, 1, 1/3, 1, 1/4, 1, 1/5, 1, 1/6, 1, 1/7, ... nicht konvergent 1, –1/2, 1/4, –1/8, 1/16, –1/32, ... konvergent

Wichtig und zentral für die Analysis ist der Konvergenzbegriff.

Vorstellung: Eine Folge konvergiert, wenn die Folgenglieder einer

gewissen Zahl (dem „Grenzwert“) beliebig nahe kommen.

Diese intuitive Vorstellung wollen wir präzisieren.

Beispiele:

1, 1/2, 1/3, 1/4, ... konvergent 1, –1, 1, –1, 1, –1, 1, ... nicht konvergent 1000, 100.000, 1.000.000, 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... konvergent 1, 1/2, 1, 1/3, 1, 1/4, 1, 1/5, 1, 1/6, 1, 1/7, ... nicht konvergent 1, –1/2, 1/4, –1/8, 1/16, –1/32, ... konvergent



Konvergente Folgen: BeschreibungenKonvergente Folgen: Beschreibungen

Was bedeutet „konvergent“? Wir beschreiben dieses Phänomen

in sechs Schritten mit zunehmender mathematischer Präzision. Sei (an) eine Folge und a eine reelle Zahl.

0. Beschreibung. Eine Folge von Punkten der Zahlengerade nähert

sich „immer mehr“ einem Punkt.

1. Beschreibung. Eine Folge konvergiert, wenn sie einen

„Grenzwert“ hat.

2. Beschreibung. Die Folge (an) konvergiert gegen den Grenzwert a,

wenn die Folgenglieder an mit wachsendem n der Zahl a immer

näher kommen.

Was bedeutet „konvergent“? Wir beschreiben dieses Phänomen

in sechs Schritten mit zunehmender mathematischer Präzision. Sei (an) eine Folge und a eine reelle Zahl.

0. Beschreibung. Eine Folge von Punkten der Zahlengerade nähert

sich „immer mehr“ einem Punkt.

1. Beschreibung. Eine Folge konvergiert, wenn sie einen

„Grenzwert“ hat.


wenn die Folgenglieder an mit wachsendem n der Zahl a immer

näher kommen.



DefinitionDefinition


wenn in jeder noch so kleinen „Umgebung“ von a fast alle Folgenglieder an liegen.

4. Beschreibung (und schon fast die formale Definition): Die Folge (an) konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn für jedes (noch so

kleine) > 0 ab einer gewissen Nummer N alle Folgenglieder

höchsten den Abstand von a haben.

5. Beschreibung (die formale Definition): Die Folge (an) konvergiert

gegen eine reelle Zahl a (ihren Grenzwert), wenn es für jede reelle Zahl > 0 eine Nummer N gibt, so dass für alle Folgenglieder an

mit n N die Ungleichung an–a < gilt.


wenn in jeder noch so kleinen „Umgebung“ von a fast alle Folgenglieder an liegen.

4. Beschreibung (und schon fast die formale Definition): Die Folge (an) konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn für jedes (noch so

kleine) > 0 ab einer gewissen Nummer N alle Folgenglieder

höchsten den Abstand von a haben.

5. Beschreibung (die formale Definition): Die Folge (an) konvergiert

gegen eine reelle Zahl a (ihren Grenzwert), wenn es für jede reelle Zahl > 0 eine Nummer N gibt, so dass für alle Folgenglieder an

mit n N die Ungleichung an–a < gilt.



BeispieleBeispiele

(a) Die Folge (1/n) konvergiert und hat den Grenzwert a = 0.

Denn für alle > 0 existiert ein N mit 1/N < . Dann gilt

1/N – 0 = 1/N – 0 = 1/N < Erst recht gilt dann für alle n N:

1/n – 0 = 1/n – 0 = 1/n < 1/N < .

(b) Die Folge ((n–1)/n) konvergiert und hat den Grenzwert 1.

Denn sei > 0 beliebig. Dann existiert ein N mit 1/N < . Also ist

(N–1)/N – 1 = –1/N = 1/N = 1/N < .Dann gilt auch für alle n N:

(n–1)/n – 1 = –1/n = 1/n = 1/n 1/N < .

(a) Die Folge (1/n) konvergiert und hat den Grenzwert a = 0.

Denn für alle > 0 existiert ein N mit 1/N < . Dann gilt

1/N – 0 = 1/N – 0 = 1/N < Erst recht gilt dann für alle n N:

1/n – 0 = 1/n – 0 = 1/n < 1/N < .

(b) Die Folge ((n–1)/n) konvergiert und hat den Grenzwert 1.

Denn sei > 0 beliebig. Dann existiert ein N mit 1/N < . Also ist

(N–1)/N – 1 = –1/N = 1/N = 1/N < .Dann gilt auch für alle n N:

(n–1)/n – 1 = –1/n = 1/n = 1/n 1/N < .



Wann konvergiert eine Folge nicht?Wann konvergiert eine Folge nicht?

Auch das werden wir auf verschiedenen Sprachebenen beschreiben.

1. Beschreibung: Eine Folge konvergiert nicht, wenn sie keinen

Grenzwert hat.

2. Beschreibung: Die Folge (an) konvergiert nicht, wenn es keine

reelle Zahl gibt, der die Folgenglieder an mit wachsendem n

immer näher kommen.

3. Beschreibung: Die Folge (an) konvergiert nicht, wenn es für jede

Zahl a eine kleine „Umgebung“ von a gibt, so dass außerhalb

unendlich viele Folgenglieder an liegen.

Auch das werden wir auf verschiedenen Sprachebenen beschreiben.

1. Beschreibung: Eine Folge konvergiert nicht, wenn sie keinen

Grenzwert hat.

2. Beschreibung: Die Folge (an) konvergiert nicht, wenn es keine

reelle Zahl gibt, der die Folgenglieder an mit wachsendem n

immer näher kommen.


Zahl a eine kleine „Umgebung“ von a gibt, so dass außerhalb

unendlich viele Folgenglieder an liegen.



Formale BeschreibungFormale Beschreibung


reelle Zahl a ein > 0 gibt, so dass unendlich viele Folgenglieder an außerhalb der -Umgebung von a liegen.

5. Beschreibung (formal): Die Folge (an) konvergiert nicht, wenn es

für alle reellen Zahlen a ein > 0 gibt, so dass für jede Nummer N

gilt:

Es gibt ein Folgenglied an mit n N, für das die Ungleichung

an–a >

gilt.

Wenn eine Folge nicht konvergiert, sagt man auch, sie divergiert.


reelle Zahl a ein > 0 gibt, so dass unendlich viele Folgenglieder an außerhalb der -Umgebung von a liegen.

5. Beschreibung (formal): Die Folge (an) konvergiert nicht, wenn es

für alle reellen Zahlen a ein > 0 gibt, so dass für jede Nummer N

gilt:

Es gibt ein Folgenglied an mit n N, für das die Ungleichung

an–a >

gilt.

Wenn eine Folge nicht konvergiert, sagt man auch, sie divergiert.



BeispieleBeispiele

(a) Die Folge 1, 2, 3, 4, 5, ... divergiert (konvergiert nicht).

Denn wir wählen = 1. Dann haben für jede reelle Zahl a

unendlich viele Folgenglieder einen Abstand größer als (= 1) von

a.

Dies sind alle Folgenglieder, die größer als a+1 oder

kleiner als a–1 sind.

(b) Die Folge 1, –1, 1, –1, 1, ... konvergiert nicht.

Denn wir wählen = 1/4. Dann haben für jede reelle Zahl a die

Folgenglieder 1 oder die Folgenglieder –1 einen Abstand > 1/4.

Also kann keine Zahl a ein Grenzwert dieser Folge sein.

(a) Die Folge 1, 2, 3, 4, 5, ... divergiert (konvergiert nicht).

Denn wir wählen = 1. Dann haben für jede reelle Zahl a

unendlich viele Folgenglieder einen Abstand größer als (= 1) von

a.

Dies sind alle Folgenglieder, die größer als a+1 oder

kleiner als a–1 sind.

(b) Die Folge 1, –1, 1, –1, 1, ... konvergiert nicht.

Denn wir wählen = 1/4. Dann haben für jede reelle Zahl a die

Folgenglieder 1 oder die Folgenglieder –1 einen Abstand > 1/4.

Also kann keine Zahl a ein Grenzwert dieser Folge sein.



Cauchy-FolgeCauchy-Folge

Frage: Kann man die Konvergenz einer Folge auch erkennen,

wenn man den Grenzwert nicht kennt?

Definition. Sei (an) eine Folge. Man sagt, dass (an) eine Cauchy-

Folge ist bzw. dass die Verdichtungseigenschaft gilt, wenn es für

jedes (noch so kleine) > 0 eine Nummer N so gibt, dass für alle

Folgenglieder an und am mit n, m N die Ungleichung

an–an <

gilt. (A.-L. Cauchy, franz.Mathematiker, 1789 – 1857)

Vorstellung: „Späte Glieder“ der Folge kommen sich immer näher.

Frage: Kann man die Konvergenz einer Folge auch erkennen,

wenn man den Grenzwert nicht kennt?

Definition. Sei (an) eine Folge. Man sagt, dass (an) eine Cauchy-

Folge ist bzw. dass die Verdichtungseigenschaft gilt, wenn es für

jedes (noch so kleine) > 0 eine Nummer N so gibt, dass für alle

Folgenglieder an und am mit n, m N die Ungleichung

an–an <

gilt. (A.-L. Cauchy, franz.Mathematiker, 1789 – 1857)

Vorstellung: „Späte Glieder“ der Folge kommen sich immer näher.



Konvergente Folgen sind Cauchy-FolgenKonvergente Folgen sind Cauchy-Folgen

3.3.1 Satz. Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.

Beweis. Sei (an) eine konvergente Folge mit Grenzwert a.

Idee: Da sich späte Glieder der Folge immer weniger vom Grenzwert

unterscheiden, können sich diese Glieder auch untereinander nicht

stark unterscheiden. Genauer gesagt: Der Abstand zweier Folgenglieder an, am kann höchstens doppelt so groß sein wie der

Abstand von an bzw. am von a.

3.3.1 Satz. Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.

Beweis. Sei (an) eine konvergente Folge mit Grenzwert a.

Idee: Da sich späte Glieder der Folge immer weniger vom Grenzwert

unterscheiden, können sich diese Glieder auch untereinander nicht

stark unterscheiden. Genauer gesagt: Der Abstand zweier Folgenglieder an, am kann höchstens doppelt so groß sein wie der

Abstand von an bzw. am von a.



BeweisBeweis

Dies beschreiben wir nun genauer:

Sei eine beliebige reelle Zahl > 0. Wir wenden die Definition der Konvergenz von (an) auf /2 an.

Dann gibt es eine Nummer N, so dass für alle Folgenglieder an mit

n N die Ungleichung an–a < /2 gilt.

Seien nun n,m N. Dann gilt:

an–am an–a + a–am < /2 + /2 = .

Also gilt die Verdichtungseigenschaft. Somit ist (an) eine Cauchy-

Folge.

Dies beschreiben wir nun genauer:

Sei eine beliebige reelle Zahl > 0. Wir wenden die Definition der Konvergenz von (an) auf /2 an.

Dann gibt es eine Nummer N, so dass für alle Folgenglieder an mit

n N die Ungleichung an–a < /2 gilt.

Seien nun n,m N. Dann gilt:

an–am an–a + a–am < /2 + /2 = .

Also gilt die Verdichtungseigenschaft. Somit ist (an) eine Cauchy-

Folge.



Vollständigkeit von RVollständigkeit von R

Mit Cauchy-Folgen kann man nicht nur konvergente Folgen

beschreiben, deren Grenzwert man nicht kennt, sondern auch

solche, von denen es den Grenzwert – bislang – gar nicht gibt.

Man kann die reellen Zahlen auch so einführen, dass man fordert,

dass jede Cauchy-Folge konvergiert. Man spricht von der

Vollständigkeit der reellen Zahlen.

Dies soll im folgenden geschehen.

Mit Cauchy-Folgen kann man nicht nur konvergente Folgen

beschreiben, deren Grenzwert man nicht kennt, sondern auch

solche, von denen es den Grenzwert – bislang – gar nicht gibt.

Man kann die reellen Zahlen auch so einführen, dass man fordert,

dass jede Cauchy-Folge konvergiert. Man spricht von der

Vollständigkeit der reellen Zahlen.

Dies soll im folgenden geschehen.



3.4 Was sind reelle Zahlen II3.4 Was sind reelle Zahlen II

Wir werden jetzt noch drei mathematische Beschreibungen der

entscheidenden Eigenschaften der reellen Zahlen angeben.

Alle drei Beschreibungen sind mathematisch gleichwertig, aber aus

begrifflicher sicht unterschiedlich schwierig zu verstehen.

Wir fordern drei verschiedene Dinge von den reellen Zahlen: Man

soll wie gewohnt mit ihnen rechnen können, sie sollen sinnvoll

bezüglich < geordnet sein und sie sollen „lückenlos“ sein.

Grundforderung: Die reellen Zahlen sollen mit + und einen

Körper bilden.

Das heißt: Man kann mit + und wie üblich rechnen.

Wir werden jetzt noch drei mathematische Beschreibungen der

entscheidenden Eigenschaften der reellen Zahlen angeben.

Alle drei Beschreibungen sind mathematisch gleichwertig, aber aus

begrifflicher sicht unterschiedlich schwierig zu verstehen.

Wir fordern drei verschiedene Dinge von den reellen Zahlen: Man

soll wie gewohnt mit ihnen rechnen können, sie sollen sinnvoll

bezüglich < geordnet sein und sie sollen „lückenlos“ sein.

Grundforderung: Die reellen Zahlen sollen mit + und einen

Körper bilden.

Das heißt: Man kann mit + und wie üblich rechnen.



VollständigkeitVollständigkeit

3. Beschreibung: Die Menge der reellen Zahlen ist vollständig.

Das bedeutet, dass jede Cauchy-Folge in R konvergiert.

Die Bedeutung dieses Axioms ist für uns im Augenblick noch kaum

abschätzbar. Tatsache ist, dass die Analysis ohne dieses (oder ein

äquivalentes) Axiom nicht funktionieren würde.

Damit sind nicht nur die Grenzwerte der konvergenten Folgen reelle

Zahlen, sondern umgekehrt: Wir fordern, dass jede Folge, die

konvergieren könnte (Cauchy-Folge) auch tatsächlich konvergiert!

Mit anderen Worten: Die meisten reellen Zahlen existieren

(zunächst) nur als Grenzwerte von Cauchy-Folgen.

3. Beschreibung: Die Menge der reellen Zahlen ist vollständig.

Das bedeutet, dass jede Cauchy-Folge in R konvergiert.

Die Bedeutung dieses Axioms ist für uns im Augenblick noch kaum

abschätzbar. Tatsache ist, dass die Analysis ohne dieses (oder ein

äquivalentes) Axiom nicht funktionieren würde.

Damit sind nicht nur die Grenzwerte der konvergenten Folgen reelle

Zahlen, sondern umgekehrt: Wir fordern, dass jede Folge, die

konvergieren könnte (Cauchy-Folge) auch tatsächlich konvergiert!

Mit anderen Worten: Die meisten reellen Zahlen existieren

(zunächst) nur als Grenzwerte von Cauchy-Folgen.



AnordnungAnordnung

Auf R gibt es eine Relation < mit folgenden Eigenschaften:

– Für je zwei reelle Zahlen a und b gilt a < b, a = b oder a > b.

– Wenn für drei reelle Zahlen a, b und c gilt a < b und b < c, so gilt

auch a < c. (Transitivität von „<“.)

– Seien a und b reelle Zahlen mit a < b. Dann gilt für jede reelle

Zahl r: a + r < b + r

– Ferner gilt für jede positive reelle Zahl r: ar < br.

– Für jede negative reelle Zahl r gilt: ar > br.

(Monotoniegesetze für Addition und Multiplikation)

Auf R gibt es eine Relation < mit folgenden Eigenschaften:

– Für je zwei reelle Zahlen a und b gilt a < b, a = b oder a > b.

– Wenn für drei reelle Zahlen a, b und c gilt a < b und b < c, so gilt

auch a < c. (Transitivität von „<“.)

– Seien a und b reelle Zahlen mit a < b. Dann gilt für jede reelle

Zahl r: a + r < b + r

– Ferner gilt für jede positive reelle Zahl r: ar < br.

– Für jede negative reelle Zahl r gilt: ar > br.

(Monotoniegesetze für Addition und Multiplikation)



Dedekindscher SchnittDedekindscher Schnitt

Durch jede reelle Zahl s kann man die Menge R in „zwei Hälften“

A und B zerschneiden. Dazu definieren wir

A = {r R r < s} und B = {r R r s}.

Dann haben die Mengen A und B folgende Eigenschaften:

A und B sind nicht leer.

A B = R.

Für alle a A und alle b B gilt a < b.

Jedes Paar A, B von Mengen reeller Zahlen mit diesen

Eigenschaften heißt ein Schnitt (auch: Dedekindscher Schnitt);

Richard Dedekind (1831 - 1916).

Durch jede reelle Zahl s kann man die Menge R in „zwei Hälften“

A und B zerschneiden. Dazu definieren wir

A = {r R r < s} und B = {r R r s}.

Dann haben die Mengen A und B folgende Eigenschaften:

A und B sind nicht leer.

A B = R.

Für alle a A und alle b B gilt a < b.

Jedes Paar A, B von Mengen reeller Zahlen mit diesen

Eigenschaften heißt ein Schnitt (auch: Dedekindscher Schnitt);

Richard Dedekind (1831 - 1916).



BeispielBeispiel

Bei einem Schnitt, der so konstruiert ist,

heißt s die Trennungszahl.

Beispiel: Im Falle s = 2 geben wir einige Elemente von A und B

an:

–10; 1; 1,3; 1,4; 1,41 A, 1,42; 1,415 B.

Ein Schnitt hat praktische Konsequenzen: Jede Zahl, die in A oder

B liegt, ist eine untere bzw. obere Abschätzung der Zahl s.

Bei einem Schnitt, der so konstruiert ist,

heißt s die Trennungszahl.

Beispiel: Im Falle s = 2 geben wir einige Elemente von A und B

an:

–10; 1; 1,3; 1,4; 1,41 A, 1,42; 1,415 B.

Ein Schnitt hat praktische Konsequenzen: Jede Zahl, die in A oder

B liegt, ist eine untere bzw. obere Abschätzung der Zahl s.



SchnittaxiomSchnittaxiom

4. Beschreibung: Jeder Schnitt besitzt genau eine Trennungszahl.

Das heißt: Wenn immer wir nichtleere Mengen A und B finden,

die zusammen alle reellen Zahlen enthalten und die Eigenschaft

haben, dass jedes Element aus A kleiner ist als jedes Element aus

B, dann gibt es eine reelle Zahl s, so dass A und B durch

Trennung der Menge der reellen Zahlen an der Schnittzahl s

entstehen!

Das Schnittaxiom ist die mathematisch präzise Formulierung der

anschaulichen Vorstellung, dass an jeder Stelle („wo immer man

durchschneidet“) der Zahlengerade eine reelle Zahl liegt.

4. Beschreibung: Jeder Schnitt besitzt genau eine Trennungszahl.

Das heißt: Wenn immer wir nichtleere Mengen A und B finden,

die zusammen alle reellen Zahlen enthalten und die Eigenschaft

haben, dass jedes Element aus A kleiner ist als jedes Element aus

B, dann gibt es eine reelle Zahl s, so dass A und B durch

Trennung der Menge der reellen Zahlen an der Schnittzahl s

entstehen!

Das Schnittaxiom ist die mathematisch präzise Formulierung der

anschaulichen Vorstellung, dass an jeder Stelle („wo immer man

durchschneidet“) der Zahlengerade eine reelle Zahl liegt.



Obere SchrankeObere Schranke

Definition. Sei M eine Menge reeller Zahlen. Eine reelle Zahl a

heißt eine obere Schranke von M, falls gilt

a m für alle m M.

M heißt nach oben beschränkt, falls M eine obere Schranke hat.

Beispiele: (a) Die Menge M = {1, 1/2, 1/3, ...} ist nach oben

beschränkt; obere Schranken sind z.B. 1, 5, 10000000 usw.

(b) Die Menge N = {0, 1, 2, 3, ...} ist nicht nach oben beschränkt.

Ebenso sind Z, R, Q nicht nach oben beschränkt.

(c) Jede endliche Menge M ist nach oben beschränkt: Das größte

Element (Maximum) von M ist eine obere Schranke. (Achtung:

unendliche Mengen haben meist kein größtes Element!)

Definition. Sei M eine Menge reeller Zahlen. Eine reelle Zahl a

heißt eine obere Schranke von M, falls gilt

a m für alle m M.

M heißt nach oben beschränkt, falls M eine obere Schranke hat.

Beispiele: (a) Die Menge M = {1, 1/2, 1/3, ...} ist nach oben

beschränkt; obere Schranken sind z.B. 1, 5, 10000000 usw.

(b) Die Menge N = {0, 1, 2, 3, ...} ist nicht nach oben beschränkt.

Ebenso sind Z, R, Q nicht nach oben beschränkt.

(c) Jede endliche Menge M ist nach oben beschränkt: Das größte

Element (Maximum) von M ist eine obere Schranke. (Achtung:

unendliche Mengen haben meist kein größtes Element!)



Untere SchrankeUntere Schranke

Definition. Eine reelle Zahl a heißt eine untere Schranke von M,

falls gilt

a m für alle m M.

Die Menge M heißt nach unten beschränkt, falls M eine untere

Schranke besitzt.

Beispiele: (a) Die Menge M = {1, 1/2, 1/3, ...} ist nach unten

beschränkt; untere Schranken sind zum Beispiel 0, –1, –1000 usw.

(b) Die Menge N = {0, 1, 2, 3, ...} ist nicht nach unten beschränkt.

Aber Z, R, Q sind nicht nach unten beschränkt.

(c) Jede endliche Menge ist nach unten beschränkt: Das kleinste

Element (Minimum) von M ist eine untere Schranke.

Definition. Eine reelle Zahl a heißt eine untere Schranke von M,

falls gilt

a m für alle m M.

Die Menge M heißt nach unten beschränkt, falls M eine untere

Schranke besitzt.

Beispiele: (a) Die Menge M = {1, 1/2, 1/3, ...} ist nach unten

beschränkt; untere Schranken sind zum Beispiel 0, –1, –1000 usw.

(b) Die Menge N = {0, 1, 2, 3, ...} ist nicht nach unten beschränkt.

Aber Z, R, Q sind nicht nach unten beschränkt.

(c) Jede endliche Menge ist nach unten beschränkt: Das kleinste

Element (Minimum) von M ist eine untere Schranke.



SupremumSupremum

Es ist keine Kunst, große obere Schranken zu finden; die Kunst ist,

möglichst kleine obere Schranken zu finden.

Definition. Eine reelle Zahl s heißt kleinste obere Schranke

(Supremum) von M, falls

(1) s eine obere Schranke von M ist, und

(2) s die kleinste obere Schranke von M ist.

Die Bedingung (2) heißt, dass keine Zahl s' < s eine obere

Schranke von M ist. Technisch ausgedrückt: Für jede reelle Zahl s'

< s gibt es ein m M mit s' < m. (Das Element m ist ein „Zeuge“

dafür, dass s' keine obere Schranke ist.)

Wir schreiben auch s = sup(M).

Es ist keine Kunst, große obere Schranken zu finden; die Kunst ist,

möglichst kleine obere Schranken zu finden.

Definition. Eine reelle Zahl s heißt kleinste obere Schranke

(Supremum) von M, falls

(1) s eine obere Schranke von M ist, und

(2) s die kleinste obere Schranke von M ist.

Die Bedingung (2) heißt, dass keine Zahl s' < s eine obere

Schranke von M ist. Technisch ausgedrückt: Für jede reelle Zahl s'

< s gibt es ein m M mit s' < m. (Das Element m ist ein „Zeuge“

dafür, dass s' keine obere Schranke ist.)

Wir schreiben auch s = sup(M).



BeispielBeispiel

Das Supremum der Menge M = {9/10, 99/100, 999/1000, ...} ist 1.

Denn (1) ist 1 eine obere Schranke von M.

Zum Nachweis der Bedingung (2) betrachten wir eine beliebige

reelle Zahl s' < 1. Dann gibt es immer ein Element m der Menge M

mit s' < m.

Bemerkung. sup(M) muss nicht in der Menge M liegen.

Wenn s = sup(M) in M liegt, nennt man das Element s auch das

Maximum von M.

Das Supremum der Menge M = {9/10, 99/100, 999/1000, ...} ist 1.

Denn (1) ist 1 eine obere Schranke von M.

Zum Nachweis der Bedingung (2) betrachten wir eine beliebige

reelle Zahl s' < 1. Dann gibt es immer ein Element m der Menge M

mit s' < m.

Bemerkung. sup(M) muss nicht in der Menge M liegen.

Wenn s = sup(M) in M liegt, nennt man das Element s auch das

Maximum von M.



InfimumInfimum

Definition. Wir nennen eine reelle Zahl s größte untere Schranke

(Infimum) von M, falls

(1) s eine untere Schranke von M ist, und

(2) s die größte untere Schranke von M ist.

Die Bedingung (2) bedeutet, dass keine Zahl s' > s eine untere

Schranke von M ist.

Das heißt : Für jede reelle Zahl s' > s gibt es ein m M mit s' >

m. (Das Element m ist ein „Zeuge“ dafür, dass s' keine untere

Schranke ist.)

Wir schreiben auch s = inf(M).

Definition. Wir nennen eine reelle Zahl s größte untere Schranke

(Infimum) von M, falls

(1) s eine untere Schranke von M ist, und

(2) s die größte untere Schranke von M ist.

Die Bedingung (2) bedeutet, dass keine Zahl s' > s eine untere

Schranke von M ist.

Das heißt : Für jede reelle Zahl s' > s gibt es ein m M mit s' >

m. (Das Element m ist ein „Zeuge“ dafür, dass s' keine untere

Schranke ist.)

Wir schreiben auch s = inf(M).



SupremumsprinzipSupremumsprinzip

Klar: Eine nach oben unbeschränkte Menge hat kein Supremum.

(Denn eine solche Menge hat keine obere Schranke, erst recht keine

kleinste obere Schranke.) Das Supremumsprinzip sagt, dass

ansonsten jede Menge ein Supremum hat.

5. Beschreibung. Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge

reeller Zahlen hat ein eindeutig bestimmtes Supremum.

Entsprechend gilt auch

Infimumsprinzip. Jede nichtleere, nach unten beschränkte Menge

reeller Zahlen hat ein Infimum.

Klar: Eine nach oben unbeschränkte Menge hat kein Supremum.

(Denn eine solche Menge hat keine obere Schranke, erst recht keine

kleinste obere Schranke.) Das Supremumsprinzip sagt, dass

ansonsten jede Menge ein Supremum hat.

5. Beschreibung. Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge

reeller Zahlen hat ein eindeutig bestimmtes Supremum.

Entsprechend gilt auch

Infimumsprinzip. Jede nichtleere, nach unten beschränkte Menge

reeller Zahlen hat ein Infimum.



Satz des ArchimedesSatz des Archimedes

3.4.1 Satz des Archimedes. Zu jeder reellen Zahl r gibt es eine

natürliche Zahl n mit n > r. Mit anderen Worten: Die Menge der

natürlichen Zahlen ist unbeschränkt.

Beweis. Angenommen, N wäre beschränkt. Dann gäbe es nach

dem Supremumsprinzip sup(N); dieses nennen wir s.

Dann ist s–1 keine obere Schranke von N. Also muss es eine

natürliche Zahl n geben mit n > s–1. (Sonst wäre s–1 eine obere

Schranke für N.)

Also ist s < n+1. Also wäre s kleiner als die natürliche Zahl n+1,

und somit wäre s keine obere Schranke von N.

Archimedes (287 v. Chr. - 212 v. Chr.)

3.4.1 Satz des Archimedes. Zu jeder reellen Zahl r gibt es eine

natürliche Zahl n mit n > r. Mit anderen Worten: Die Menge der

natürlichen Zahlen ist unbeschränkt.

Beweis. Angenommen, N wäre beschränkt. Dann gäbe es nach

dem Supremumsprinzip sup(N); dieses nennen wir s.

Dann ist s–1 keine obere Schranke von N. Also muss es eine

natürliche Zahl n geben mit n > s–1. (Sonst wäre s–1 eine obere

Schranke für N.)

Also ist s < n+1. Also wäre s kleiner als die natürliche Zahl n+1,

und somit wäre s keine obere Schranke von N.

Archimedes (287 v. Chr. - 212 v. Chr.)



Satz des EudoxosSatz des Eudoxos

3.4.2 Satz des Eudoxos. Zu jedem > 0 gibt es ein n N

mit 1/n < .

Beweis. Nach dem Satz des Archimedes gibt es ein n N

mit n > 1/. Dann ist > 1/n.

Eudoxos (400 v. Chr. - 347 v. Chr.)

3.4.2 Satz des Eudoxos. Zu jedem > 0 gibt es ein n N

mit 1/n < .

Beweis. Nach dem Satz des Archimedes gibt es ein n N

mit n > 1/. Dann ist > 1/n.

Eudoxos (400 v. Chr. - 347 v. Chr.)



3.5 Betrag und Ungleichungen3.5 Betrag und Ungleichungen

Definition. Für eine reelle Zahl a definieren wir

a = a, falls a 0

a = –a, falls a < 0.

Wir nennen a den Betrag der reellen Zahl a.

Beispiele: 1000 = 1000, –35 = 35, 0 = 0, –0,1 = 0,1 .

Definition. Für eine reelle Zahl a definieren wir

a = a, falls a 0

a = –a, falls a < 0.

Wir nennen a den Betrag der reellen Zahl a.

Beispiele: 1000 = 1000, –35 = 35, 0 = 0, –0,1 = 0,1 .



Eigenschaften der BetragsfunktionEigenschaften der Betragsfunktion

3.5.1 Satz. Die Betragsfunktion hat folgende Eigenschaften:

a 0 mit a = 0 genau dann, wenn a = 0 ist.

ab = ab.a+b a + b.

Beweis. (a) Nach Definition ist a nie negativ.

Klar: 0 = 0. Wenn a = 0 ist, ist nach Definition a 0. Also ist a

= a; da a = 0 ist, muss also a = 0 sein.

3.5.1 Satz. Die Betragsfunktion hat folgende Eigenschaften:

a 0 mit a = 0 genau dann, wenn a = 0 ist.

ab = ab.a+b a + b.

Beweis. (a) Nach Definition ist a nie negativ.

Klar: 0 = 0. Wenn a = 0 ist, ist nach Definition a 0. Also ist a

= a; da a = 0 ist, muss also a = 0 sein.



Beweis (b)Beweis (b)

(b) Wenn eine der Zahlen a, b Null ist, sind beide Seiten gleich Null.

Seien also a 0 und b 0.

Wir unterscheiden vier Fälle.

1. Fall: a, b > 0. Dann ist auch ab > 0, also ab = ab = ab.

2. Fall: a > 0, b < 0. Dann ist auch ab < 0, also

ab = –ab = a(–b) = ab.

3. Fall: a < 0, b > 0. Analog zu Fall 2.

4. Fall: a, b < 0. Dann ist ab > 0, also

ab = ab = (–a)(–b) = ab.

(b) Wenn eine der Zahlen a, b Null ist, sind beide Seiten gleich Null.

Seien also a 0 und b 0.

Wir unterscheiden vier Fälle.

1. Fall: a, b > 0. Dann ist auch ab > 0, also ab = ab = ab.

2. Fall: a > 0, b < 0. Dann ist auch ab < 0, also

ab = –ab = a(–b) = ab.

3. Fall: a < 0, b > 0. Analog zu Fall 2.

4. Fall: a, b < 0. Dann ist ab > 0, also

ab = ab = (–a)(–b) = ab.



Beweis (c)Beweis (c)

(c) Wenn a und b beide positiv oder beide negativ sind, dann gilt

a+b = a + b.

Sei also eine der beiden Zahlen, sagen wir a, positiv, die andere

(also b) negativ. Dann ist a+b a (falls b a) oder a+b b (falls a b). In jedem Fall ist a+b a + b.

Bemerkung: Für jede reelle Zahl gilt a = –a. Insbesondere gilt für

je zwei reelle Zahlen a und b: a–b = b–a.

(c) Wenn a und b beide positiv oder beide negativ sind, dann gilt

a+b = a + b.

Sei also eine der beiden Zahlen, sagen wir a, positiv, die andere

(also b) negativ. Dann ist a+b a (falls b a) oder a+b b (falls a b). In jedem Fall ist a+b a + b.

Bemerkung: Für jede reelle Zahl gilt a = –a. Insbesondere gilt für

je zwei reelle Zahlen a und b: a–b = b–a.



Ungleichung vom Mittelwert Ungleichung vom Mittelwert

3.5.2 Satz (Ungleichung vom arithmetischen Mittel).

Seien a und b reelle Zahlen mit a b. Dann gilt:

a (a+b)/2 b.

Beweis. Wir zeigen 2a a+b und a+b 2b.

Zunächst folgt 2a = a+a a+b, da a b.

Entsprechend ergibt sich a+b b+b = 2b, da a b ist.

Durch Multiplikation mit ½ ergibt sich daraus die Behauptung.

3.5.2 Satz (Ungleichung vom arithmetischen Mittel).

Seien a und b reelle Zahlen mit a b. Dann gilt:

a (a+b)/2 b.

Beweis. Wir zeigen 2a a+b und a+b 2b.

Zunächst folgt 2a = a+a a+b, da a b.

Entsprechend ergibt sich a+b b+b = 2b, da a b ist.

Durch Multiplikation mit ½ ergibt sich daraus die Behauptung.



Das arithmetische Mittel Das arithmetische Mittel

Allgemein gilt:

3.2.3 Satz. Seien a1, a2, ..., an reelle Zahlen, wobei a1 die kleinste

dieser Zahlen (das Minimum) und an die größte (das Maximum) ist.

Dann gilt:

a1 an .

Beweis: Übungsaufgabe.

Bemerkung: Man nennt das arithmetische Mittel der

Zahlen a1, a2, ..., an.

Allgemein gilt:

3.2.3 Satz. Seien a1, a2, ..., an reelle Zahlen, wobei a1 die kleinste

dieser Zahlen (das Minimum) und an die größte (das Maximum) ist.

Dann gilt:

a1 an .

Beweis: Übungsaufgabe.

Bemerkung: Man nennt das arithmetische Mittel der

Zahlen a1, a2, ..., an.

n

a...aa n21

n

a...aa n21



Das geometrische Mittel Das geometrische Mittel

Man nennt die Zahl das geometrische Mittel der positiven

reellen Zahlen a und b.

Zum Beispiel ist das geometrische Mittel der Zahlen 2 und 8 gleich

4.

3.2.4 Satz (Ungleichung zwischen arithmetischem und geometri-

schem Mittel). Seien a und b nichtnegative reelle Zahlen. Dann gilt:

(a+b)/2 .

Kurz: Das geometrische Mittel ist nie größer als das arithmetische.

Man nennt die Zahl das geometrische Mittel der positiven

reellen Zahlen a und b.

Zum Beispiel ist das geometrische Mittel der Zahlen 2 und 8 gleich

4.

3.2.4 Satz (Ungleichung zwischen arithmetischem und geometri-

schem Mittel). Seien a und b nichtnegative reelle Zahlen. Dann gilt:

(a+b)/2 .

Kurz: Das geometrische Mittel ist nie größer als das arithmetische.

ab

ab



Beweis der Ungleichung (I) Beweis der Ungleichung (I)

Beweis. Wir können a 0 und b 0 voraussetzen. Wir formen die

Behauptung schrittweise äquivalent um:

(a+b)/2

ab ((a+b)/2)2

ab (a+b)2 / 4

4ab (a+b)2

4ab a2 + 2ab + b2

0 a2 –2ab + b2

0 (a–b)2.

Beweis. Wir können a 0 und b 0 voraussetzen. Wir formen die

Behauptung schrittweise äquivalent um:

(a+b)/2

ab ((a+b)/2)2

ab (a+b)2 / 4

4ab (a+b)2

4ab a2 + 2ab + b2

0 a2 –2ab + b2

0 (a–b)2.

ab



Beweis der Ungleichung (II) Beweis der Ungleichung (II)

Diese letzte Ungleichung 0 (a–b)2 ist aber richtig, da das Quadrat

jeder reellen Zahl positiv oder Null ist; also ist das Quadrat von a–b

auch nichtnegativ.

Da die letzte Ungleichung gilt, gilt auch die erste, also gilt die

Behauptung.

Achtung: Bei dieser Art der Beweisführung muß man darauf achten,

daß wirklich alle Umformungen Äquivalenzumformungen sind.

Das heißt: Aus der oberen folgt die untere und aus der unteren folgt die

obere.

Diese letzte Ungleichung 0 (a–b)2 ist aber richtig, da das Quadrat

jeder reellen Zahl positiv oder Null ist; also ist das Quadrat von a–b

auch nichtnegativ.

Da die letzte Ungleichung gilt, gilt auch die erste, also gilt die

Behauptung.

Achtung: Bei dieser Art der Beweisführung muß man darauf achten,

daß wirklich alle Umformungen Äquivalenzumformungen sind.

Das heißt: Aus der oberen folgt die untere und aus der unteren folgt die

obere.



3.6 Summen3.6 Summen

Wir werden oft viele reelle Zahlen addieren. Zum Beispiel:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n,

1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2n,a1 + a2 + ... + an.

Diese Summen kann man auf zwei Arten darstellen:

1. Drei-Pünktchen-Schreibweise. Diese Schreibweise ist suggestiv

und oft unmittelbar verständlich. Nachteil: das „Muster“ der einzelnen

Terme ist nicht explizit klar. Zum Beispiel ist nicht klar, ob

1 + 2 + ... + 2n

eine Summe aus n+1 oder aus 2n Gliedern ist.

Wir werden oft viele reelle Zahlen addieren. Zum Beispiel:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n,

1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2n,a1 + a2 + ... + an.

Diese Summen kann man auf zwei Arten darstellen:

1. Drei-Pünktchen-Schreibweise. Diese Schreibweise ist suggestiv

und oft unmittelbar verständlich. Nachteil: das „Muster“ der einzelnen

Terme ist nicht explizit klar. Zum Beispiel ist nicht klar, ob

1 + 2 + ... + 2n

eine Summe aus n+1 oder aus 2n Gliedern ist.



Die -NotationDie -Notation

2. Die - Notation („sigma“). Diese ist eine Abkürzung für eine

Summe. Wir definieren

= a1 + a2 + ... + an.

Vorteil: Man kann den allgemeinen Term durch eine Formal

angeben.

Zum Beispiel können wir ohne weiteres zwischen den Summen

und

unterscheiden.

2. Die - Notation („sigma“). Diese ist eine Abkürzung für eine

Summe. Wir definieren

= a1 + a2 + ... + an.

Vorteil: Man kann den allgemeinen Term durch eine Formal

angeben.

Zum Beispiel können wir ohne weiteres zwischen den Summen

und

unterscheiden.

n

1kka

n

0k

k2

n2

1k

k



Der SummationsindexDer Summationsindex

Die Variable k wird als Summationsindex bezeichnet. Statt k wird

oft auch i oder n geschrieben.

Der Summationsindex muss nicht bei 1 anfangen – und nicht bei n

aufhören. Auch Ausdrücke der Form

, oder

haben ihren Sinn.

Häufig gibt man den Summationsindex nicht direkt, sondern durch

eine Bedingung unter den -Zeichen an. Beispiel:

Der Vorteil dieser Schreibweise liegt in einer sehr hohen Flexibilität.

Die Variable k wird als Summationsindex bezeichnet. Statt k wird

oft auch i oder n geschrieben.

Der Summationsindex muss nicht bei 1 anfangen – und nicht bei n

aufhören. Auch Ausdrücke der Form

, oder

haben ihren Sinn.

Häufig gibt man den Summationsindex nicht direkt, sondern durch

eine Bedingung unter den -Zeichen an. Beispiel:

Der Vorteil dieser Schreibweise liegt in einer sehr hohen Flexibilität.

5

3kka

10kkb

kkc

n

0knk0

.2statt2 kk

Kapitel 3 Die reellen Zahlen. Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 2 Inhalt...

Documents

Transcript of Kapitel 3 Die reellen Zahlen. Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 2 Inhalt...