Konfidenzintervalle

Intervallschätzung

Jeder Beobachtung wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet

Niveau

Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen

Intervall liegt, größer oder gleich 1 -

Die Ungleichung von TschebyschevTschebyschev

Niveau

Das Niveau wird „klein“„klein“ gewählt.(Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1)

Es gibt aber einen ZusammenhangZusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau:

Niveaukleiner

Intervallbreiter

Die Intervallbreite soll möglichst gering sein.

BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln

Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

Schätzer von

Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung

Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y

hat man

Konfidenzintervall für den Erwartungswert

Varianz bekannt

Annahme:

Konfidenzintervalle:

wobei

In unserem Beispiel:

Bei einem Niveau von = 0.05 ist 1 - /2 = 0.975. Es ergibt sich:

und

Verwendung der Tafelfür die Normalvertreilung

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

BeispielKaufhaus-Konzern

Kauf würde in Erwägung

gezogen

Kauf würde nicht in Erwägung

gezogen

572 1428

Der Zentrale Grenzwertsatz

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I

Konfidenzintervall zum Niveau

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II

Vereinfachung für großes nn n 100 100

Die Chi-Quadrat-Verteilung

Hängt von Parameter n ab!

Die Chi-Quadrat-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsdichte

Die Konstante c ist dabei:

: Gamma-Funktion

Die Student- oder t-Verteilung

Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

Die Student- oder t-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsdichte

Die Konstante d ist dabei:

Für n unabhängigeunabhängige Zufallsvariablen

mit

hat man:

Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung

Für unabhängigeunabhängige Zufallsvariablen W und U mit

hat man:

Mathematische Bedeutung der t-Verteilung

Konfidenzintervall für den Erwartungswert

Varianz unbekannt

Student-Verteilung(oder t-Verteilung)

Konfidenzintervall für die Varianz

Erwartungswert bekannt

Einseitig

Chi-Quadrat-Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz

Erwartungswert bekannt

zweiseitig

Chi-Quadrat-Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz

Erwartungswert unbekannt

Einseitig

Chi-Quadrat-Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz

Erwartungswert unbekannt

Zweiseitig

Chi-Quadrat-Verteilung

Übersicht IKonfidenzintervalle

für den Erwartungswert

Übersicht IIKonfidenzintervalle

für die Varianz

Rechenbeispiel

Stichprobe vom Umfang n = 5

3.5 7.2 5.0 4.3 7.9

Stichprobenfunktionen

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Fehler:0,831

Fehler:0,831

Fehler:0,831

Fehler:0,831

Konfidenzintervallefür diese konkrete Stichprobe

1.Fall

2.Fall

3.Fall

6.Fall

18.28

5.Fall

4.Fall

BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln

Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

Konfidenzintervallefür diese konkrete Stichprobe

Die anderen Fälle zur Übung empfohlen!!

2.Fall

5.Fall

TESTS

TESTS

TESTS

TESTS

TESTS

TESTSTESTS

BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln

Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten Anbaugebiet

Der Besitzer P einer Apfelplantage im Kraichgaubehauptet gegenüber dem Großhändler G aus Sinsheim,dass die Äpfel seiner Sorte Cox-Orange aus der Lage„Sonnenstrahl“ dieses Jahr ein mittleres Gewicht von wenigstens 142 g aufweisen.G schlägt daraufhin P das folgende Verfahren vor:Die beiden greifen zufällig 16 Äpfel aus der diesjährigenSonnenstrahl-Lage heraus und bestimmen deren Gewicht.Das arithmetische Mittel x und die empirische Streuung s der Apfelgewichte setzen Sie dann in die folgende Zauber-formel ein:

y = x + 0,438 s

Ist 142 größer als der errechnete Wert y, dann wird G nichtkaufen, andernfalls kommen G und P ins Geschäft.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass G nicht kauft,obwohl das mittlere Apfelgewicht in Wirklichkeit über 142 g lag?

Worum es gehtMan möchte „testen“, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht.

Beobachtung (Stichprobe)

EntscheidungEntscheidungVorgabe:

„Irrtumswahrscheinlichkeit“

Formulierung einerHypothese

NullhypotheseNullhypotheseIn der Statistik kann man nie ganz sicher sein. Die „Irrtumswahrscheinlichkeit“sollte wenigstens klein sein.

Mathematischer Rahmen ITESTS

Statistische Struktur

Testproblem(Hypothese)

NullhypotheseNullhypothese

Gegeben sind:

Stetiger Fall Diskreter Fall

Niveau

Mathematischer Rahmen IITESTS

TestTest gegeben durch:

Ablehnungsbereich

Teilmenge der Grundgesamtheit :

Menge aller Beobachtungen ,die zur Ablehnung der Hypothese führen

Mathematischer Rahmen IIITESTS

Beobachtung (Stichprobe)(Stichprobe)

Entweder Oder

Beobachtung liegtim Annahmebereich

Beobachtung liegtim Ablehnungsbereich

Hypotheseannehmen!

Hypothese ablehnen!

Fehler erster und zweiter Art

HypotheseHypotheseakzeptiertakzeptiert

Hypotheseabgelehnt

HypotheseHypothesewahrwahr

Hypothesefalsch

EntscheidungEntscheidung

RealitätRealität

Fehler 1. Art

Fehler 2. Art

Niveau und Macht

Obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. ArtFehler 1. Art zu begehenNiveauNiveau

Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. ArtFehler 2. Art zu begehen, wenn der wahre Parameterwert in dem Punkt liegt

MachtMacht in einem Punkt der Alternative

2 Würfel

Fairer Würfel

Gezinkter Würfel

1/6

1/5

?

?

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung