Aufgabe C 1. Gleichverteilte Zufallszahlen

Da N als Symbol in Mathematica schon belegt ist, nennen wir die Länge der Liste num.

In[6]:= num = 10000;list = RandomReal@1, numD;

i) Analytische Verteilung und kumulierte Verteilung (zur besseren Lesbarkeit verwende ich hier f und F, statt p und P)

f@x_D := If@0 < x < 1, 1, 0DF@x_D := Piecewise@880, x £ 0<, 8x, 0 < x £ 1<, 81, x > 1<<D

Verteilung und kumulierte Verteilung der Daten, d.h. Histogram und akkumuliertes Histogramm. dx ist die Intervallbreite(bin size). Die x-Werte des Histogramms entsprechen den Intervall-Mitten, beim akkumulierten Histogramm allerdings denIntervall-Enden.

dx = 0.02;h = BinCounts@list, 80, 1, dx<D �num �dx;xh = Table@i dx - dx�2, 8i, 1, 1�dx<D;Show@Plot@f@xD, 8x, 0, 1<, PlotRange ® 80, 1.4<D, ListPlot@Transpose@8xh, h<DDD

Out[45]=

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

In[49]:= H = Accumulate@hD dx;xH = Table@i dx, 8i, 1, 1�dx<D;Show@Plot@F@xD, 8x, 0, 1<, PlotRange ® 80, 1.1<D, ListPlot@Transpose@8xH, H<DDD

Out[51]=

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ii) Autokorrelation

einfache und langsame Variante (langsam, da das Drop viel zu oft ausgeführt werden muss):

H* corr@list_,n_D:=

HMean@Drop@list,nD *Drop@list,-nDD - Mean@Drop@list,nDD*Mean@Drop@list,-nDDL�Sqrt@Mean@Drop@list,nD^2D-Mean@Drop@list,nDD^2D�Sqrt@Mean@Drop@list,-nD^2D-Mean@Drop@list,-nDD^2D *L

kürzer und effektiver:

In[72]:= corr@list_, n_D := Correlation@Drop@list, nD, Drop@list, -nDDListPlot@Table@8n, corr@list, nD<, 8n, 0, 100<D, PlotRange ® All, Joined ® TrueD

Out[73]=

20 40 60 80 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

iii) Streudiagramm gerader und ungerader Elemente der Zufallsliste

aus pädagogischen Gründen hier einmal mit Postfix-Notation:

2 Blatt1_Loesung.nb

In[76]:= 8Extract@list, Table@82 n - 1<, 8n, num �2 - 1<DD,Extract@list, Table@82 n<, 8n, num �2 - 1<DD< �� Transpose �� ListPlot

Out[76]=

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

alternativ:

In[78]:= ListPlot@Transpose@8Extract@list, Table@82 n - 1<, 8n, num �2 - 1<DD,Extract@list, Table@82 n<, 8n, num �2 - 1<DD< DD

Aufgabe C 2. Normalverteilte Zufallszahlen

i) Wenn F die kumulierte Verteilung ist, so muss man die Funktion gHxL = F-1HxL wählen.

Bei der Normalverteilung also gHxL = F-1HxL, wobei FHxL =1

2 Π

Ù-¥

xexpI-

12

x2M â x

In Mathematica kann man dafür die Funktion InverseErf verwenden.

ii) Transformieren der Zufallszahlen. Da es sich um eine Normalverteilung handelt, kann ich die standard-normalverteiltenZahlen einfach mit der gewünschten Standardabweichung multiplizieren, und danach den Mittelwert addieren.

In[79]:= Σ = 2; Μ = -1;xnormal = Sqrt@2D InverseErf@2 list - 1D * Σ + Μ;

zur Illustration hier einmal ein ListPlot der gaußverteilten Zufallszahlen:

Blatt1_Loesung.nb 3

In[82]:= ListPlot@xnormalD

Out[82]=2000 4000 6000 8000 10 000

-8

-6

-4

-2

2

4

6

Verteilung und kumulierte Verteilung der Daten, d.h. Histogram und akkumuliertes Histogramm. dx ist die Intervallbreite(bin size). Die x-Werte des Histogramms entsprechen den Intervall-Mitten, beim akkumulierten Histogramm allerdings denIntervall-Enden.

i) Analytische Verteilung und kumulierte Verteilung (zur besseren Lesbarkeit verwende ich hier f und F, statt p und P)

In[91]:= fn@x_, Μ_, Σ_D :=1

Σ 2 Π

ExpB-Hx - ΜL2

2 Σ2F

Fn@x_D :=1

2 1 + ErfB

x - Μ

Σ 2

F

In[126]:= dxn = 0.2;hn = BinCounts@ xnormal, 8- 4 Σ, 4 Σ, dxn<D �num �dxn;xhn = Table@- 4 Σ + i dxn - dxn�2, 8i, 1, Length@hnD<D;Show@Plot@fn@x, Μ, ΣD, 8x, - 4 Σ, 4 Σ<D, ListPlot@Transpose@8xhn, hn<DDD

Out[129]=

-5 5

0.05

0.10

0.15

0.20

4 Blatt1_Loesung.nb

In[136]:= Hn = Accumulate@hnD dxn;xHn = xhn + dxn�2;Show@Plot@Fn@xD, 8x, - 4 Σ, 4 Σ<D, ListPlot@Transpose@8xHn, Hn<DDD

Out[138]=

-5 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

iii) Streudiagramm gerader und ungerader Elemente der Zufallsliste

In[144]:= ListPlot@Transpose@8Extract@xnormal, Table@82 n - 1<, 8n, num �2 - 1<DD,Extract@xnormal, Table@82 n<, 8n, num �2 - 1<DD< D, AspectRatio ® 1D

Out[144]=

-8 -6 -4 -2 2 4 6

-8

-6

-4

-2

2

4

Blatt1_Loesung.nb 5