Analytische Lösungen der Transportgleichung · Ogata & Banks: Lösung der ADE für eine...

AnalytischeLösungen

30.04.2013 Transportmodellierung

Lösungender Transportgleichung

1D-Transportgleichung

Wenn ein gelöster Stoff sich sowohl advektiv, als auch diffusiv in einer Flüssigkeit bewegt, dann gilt folgende Gleichung

Transportmodellierung

( ) ( ) 0=

∂∂⋅

∂∂−⋅

∂∂+

∂∂

cx

nDx

cvxt

ncx

Frage: Was fehlt hier, bevor wir Lösungen konstruieren können?

30.04.2013

Mathematisches Modell

Transport-Gleichung

Randbedingungen


Transport-Gleichung&

Anfangsbedingung

Randbedingungen

30.04.2013

Vollständiges Modell

=∂∂−

∂∂+

∂∂

x x

cnD

x

cv

t

cn 0

2

2


Ω∈

==

=∂

−∂

+∂

x

x

txc

xctxcx

nDx

vt

n

),(

)()0,(

0

0

2

30.04.2013

Randbedingungen - Beispiel


spezifizierte Konzentrationkein Massenfluß

spezifizierter MassenflußZheng & Bennett

30.04.2013

Randbedingungen

Transportmodellierung30.04.2013

1-D (konservativer) Transport

• Konzentration nimmt im Zentrum der Verteilung ab

• Kein Verlust an der Gesamtmasse


t2 t3t1

1.0

0.5

0.0

C/C0

Time

30.04.2013

1-D Transportgleichung: Lösung

• Instantaner Puls zur Zeit t = 0 am Ort x = 0 mit Masse M in eindimensionale Strömung (Säulenversuch im Labor, Fluss)


−−=Dt

nvtx

DtA

Mtxc

4

)/(exp

2),(

2

π

A durchströmter Querschnitt, D Diff.-koeffizient, v Fliessgeschwindigkei, für v = 0 rein diff. Lösung30.04.2013

Aufgabe 3.1

1. Welches sind Parameter, welches die Variablen der Lösungsfunktion?

2. Bitte kontrollieren Sie, daß die Lösung


2. Bitte kontrollieren Sie, daß die Lösung auf Folie 8 tatsächlich die Transportgleichung löst!

3. Wie gehen Sie vor, wenn Sie diese Funktion skizzieren wollen?

30.04.2013

Pecletzahl

( ) ( ) 0= ∂⋅∂−⋅∂+∂

cnDcvnc

Die Transportgleichung enthält gleichzeitig einen diffusiven Term und einen advektiven Term. Welcher Term dominant ist, entscheidet die Pecletzahl:

vLPe =


( ) ( ) 0=

∂∂⋅

∂∂−⋅

∂∂+

∂∂

cx

nDx

cvxt

ncx

Pe>> 1: Advektion überwiegt hyperbolischer CharakterPe<< 1: Dispersion überwiegt parabolischer Charakter

nD

vLPe =

30.04.2013

Ideale Tracer

• Ideale Tracer unterliegen keiner Retardation oder einer reaktiven Veränderung.

• Ideale Tracer unterliegen nur der Advektion undder hydrodynamischen Dispersion.


der hydrodynamischen Dispersion.• Aus idealen Tracern lassen sich die Parameter

des advektiv-dispersiven Transports bestimmen.

Wie lassen sich die Parameter bestimmen?

30.04.2013

1-D Transport

Schwerpunkt:

xs = vt/n

Breite der Verteilung:


21

2

dD

dt

σ=

Breite der Verteilung:

vnDxDt S /22 ==σ

30.04.2013

Transportverhalten


Aufgabe 3.2

Nennen Sie eine analytische Funktion, die die Transportgleichung mit Sorption und/oder Abbau löst!


und/oder Abbau löst!

30.04.2013

1-D Transportgleichung mit Abbau: Lösung



)exp(4

)/(exp

2),(

2

tDt

nvtx

DtA

Mtxc λ

π−

−−=


Aufgabe 3.3






30.04.2013

1-D Transportgleichung: Lösung



( ))/exp(

/4

)/(exp

/2),(

2

RtRDt

nRvtx

RDtA

Mtxc λ

π−

−−=


Aufgabe 3.4






30.04.2013

Zeitskalen/dimensionslose Größen

• Typische Zeitskalen– Advektion TA = Ln/v– Diffusion TD = L2/D– Chemie (Reaktion 1. Ordnung) T = 1/λ


– Chemie (Reaktion 1. Ordnung) TC = 1/λ• Dimensionslose Verhältnisse

– Peclet Zahl Pe = TD/TA = vL/D– Damköhlerzahl Da = TC/TD = D/(λL2)

30.04.2013

02

2

=∂∂−

∂∂+

∂∂

x

cnD

x

cv

t

cn x

Uniforme Strömung; longitudinale Dispersion;keine externen Quellen; keine chemische Reaktion

1D Transportgleichung: Lösung nach kontinuierlicher Zugabe


keine externen Quellen; keine chemische Reaktion

Ogata & Banks: Lösung der ADE für eine kontinuierliche Linienquelle als Randbedingung

30.04.2013

Prinzip der Superposition

Hat eine lineare Differentialgleichungen mehrere Elementarlösungen, so stellen auch deren Summe oder Superposition wiederum eine Lösung dar.


wiederum eine Lösung dar.

30.04.2013

Lösung nach kontinuierlicher Zugabe

1t 2t


3t

30.04.2013

Lösung nach kontinuierlicher Zugabe

1t 2t1t


3t2t1t ( ) ( ) ( ) '',,,01

dttxctxctxctn

ii ∫∑ →≅

=

30.04.2013

Lösung 1D Transport nach kontinuierlicher Zugabe

Näherungslösung:für kleine D


1D Lösung nach kontinuierlicher Zugabe


Punktzugabe und kontinuierliche Zugabe

• 1-D

( )

−−=tD

vtx

tD

MC

xxxx

i 4exp

2

21

π


+−

−−

−−

−

=

tD

vtxerfc

D

vx

tD

vtxerfc

D

vx

v

D

xvM

C

xxxx

xxxxxxc

22exp

22exp

2

2exp1

θ

30.04.2013

Durchbruchskurven


Durchbruchskurven

30.04.2013

Tracerversuche

mit künstlich zugegebenen Tracern werden durchgeführt, um

•Fließpfade und Fließ- bzw. Aufenthaltszeiten zu bestimmen


bestimmen •hydraulische Verbindungen nachzuweisen•hydraulische / hydromechanische Parameter (Kf,

Dispersivität, Porosität) abzuschätzen•Systemverständnis zu verbessern.

30.04.2013

Tracerversuche

Prinzip:•Zugabe eines bekannten künstlichen Tracers

(Markierungsstoffes) an bekannten Stellen•Messung und Auswertung des zeitlichen


•Messung und Auswertung des zeitlichen Konzentrationsverlaufes des Tracers an geeigneten abstromigen Messpunkten(Bohrlöcher, Quellen, etc.).

30.04.2013

Tracerversuche


Bauer, 2008

30.04.2013

• Zur Durchführung von Tracerversuchen unter natürlichen Fliessbedingungen ist zunächst eine Abschätzung von v notwendig zur Dimensionierung und Planung der Feldarbeiten.

• Dies kann anhand eines Verdünnungsversuches in einer


• Dies kann anhand eines Verdünnungsversuches in einer Messstelle durchgeführt werden. Dazu wird Tracer in einer Messstelle zugegeben und gleichmässig über ein definiertes Intervall (Packer) vermischt. Dabei wird die Konzentrationsverringerung durch Ausspülung des Tracers durch die Grundwasserströmung gemessen.

30.04.2013

Verdünnungsversuch

Massenbilanz:

V dC/dt = -v A C mit der Lösung:

( ) ( )( ) ( ) ( )tmttmtAxxjxj −∆+=∆⋅∆+− xtotal,xtotal,


V dC/dt = -v A C mit der Lösung:v= -V/(A*t) ln(C/C(t=0))

Übergang auf das Grundwasser mit Fudge-Faktor α:

α berücksichtigt den Brunnenausbau

30.04.2013

Tracerversuche


Durchbruchskurven


Durchburchskurven


Analyse von Durchbruchskurven


( )

−−=Dt

vtx

Dt

tx

4exp(

4

/ 2

π

30.04.2013

Analyse von Durchbruchskurven

15.05.2012 Transportmodellierung

3112

11

2)(

)()(

v

xDx

v

xxx

t

t

=

==

σ

τµ

Wie lauten sie?30.04.2013

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