Prof. Dr. Sabine Attinger Prof. Dr. Anke HildebrandtMaterial/Transport/Transp... ·...
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Transportmodellierung
19.04.2011 Transportmodellierung
Prof. Dr. Sabine AttingerProf. Dr. Anke Hildebrandt
Bilanzgleichung in 1D
Der Fluss der transportierten Masse über die Gesamtfläche eines Kontrollvolumens ist gleich der Nettoänderung der Masse pro Zeit in diesem Kontrollvolumen
19.04.2011 Transportmodellierung
( ) ( ) 0=⋅∂∂+
∂∂
xjxt
nc
1D-Transportgleichung
Wenn ein gelöster Stoff sich sowohl advektiv, als auch diffusiv in einer Flüssigkeit bewegt, dann gilt folgende Gleichung
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( ) ( ) 0=
∂∂⋅
∂∂−⋅
∂∂+
∂∂
cx
nDx
cvxt
ncx
1-D (konservativer) Transport
• Konzentration nimmt im Zentrum der Verteilung ab
• Kein Verlust an der Gesamtmasse
19.04.2011 Transportmodellierung
t2 t3t1
1.0
0.5
0.0
C/C0
Time
Ideale Tracer
• Ideale Tracer unterliegen keiner Retardation oder einer reaktiven Veränderung.
• Ideale Tracer unterliegen nur der Advektion undder hydrodynamischen Dispersion.
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der hydrodynamischen Dispersion.• Aus idealen Tracern lassen sich die Parameter
des advektiv-dispersiven Transports bestimmen.
Wie lassen sich die Parameter bestimmen?
Massenbilanz: in 1D
( )xj xtotal, ( )xxj ∆+xtotal,
Speicherung von gelöster Masse
Zeitintervall [t, t+Dt]
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( )xtotal,
x
∆∆∆∆x
•Verluste aus Abbau nachReaktion 1. Ordnung
x+∆∆∆∆x
V=A∆x
Verlust durch Abbau
• Reaktionen erster Ordnung sind von der Form A→Produkte. Hierbei zerfällt A mit einer Reaktionsgeschwindigkeit, die proportional zu seiner Konzentration c=[A] ist
cc λ−=∂
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mit der Zerfallskonstanten in den Einheiten 1/s, und der Lebensdauer bzw. Halbwertszeit
• Beispiele: Radioaktiver Zerfall
cct
λ−=∂
λλτ /1=
λτ /)2ln(2/1 =
Massenbilanz: in 1D
( )xj xtotal, ( )xxj ∆+xtotal,
Speicherung von gelöster Masse
•Verluste aus Abbau nach
Zeitintervall [t, t+Dt]
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x
∆∆∆∆x
•Verluste aus Abbau nachReaktion 1. Ordnung
Erhaltungsgleichung für gelöste Masse
x+∆∆∆∆x
V=A∆x
( ) ( )( ) ( ) ( ) tcntmttmtAxxjxj ∆⋅∆Ω−−∆+=∆⋅∆+− λxtotal,xtotal,
Transportgleichung 1D
( ) ( )( ) ( ) ( ) tcdntmttmtAxxjxj ∆⋅Ω−−∆+=∆⋅∆+− λxtotal,xtotal,
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( )( ) ( ) cnxjx
tnct
λ−=
∂∂+
∂∂
xtotal,Im Limes:
Massenbilanz: in 1D
( )xj xtotal, ( )xxj ∆+xtotal,
Speicherung von gelöster Masse
Zeitintervall [t, t+Dt]
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( )xtotal,
x
∆∆∆∆xSorption
x+∆∆∆∆x
V=A∆x
Sorption
• Oberbegriff für die Anreicherung eines Stoffes in einem Phasengrenzgebiet. Die sorbierende Festphase bzw. Grenzfläche ist das Sorbens, der Sorbent oder dasSorptionsmittel. Der aufzunehmende, noch nicht sorbierte Stoff wird als Sorptiv bezeichnet, der an- oder eingelagerte (sorbierte) Stoff als Sorbat.
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eingelagerte (sorbierte) Stoff als Sorbat.
• Die Ursachen für Sorption sind unterschiedlichste chemische, physikalische oderelektrostatische Wechselwirkungen zwischen Sorbent auf der einen Seite und Sorbat bzw. Sorptiv auf der anderen.
Sortion
• Adsorption ist die Anlagerung des Sorptivs an die Oberfläche des Sorbens. Es ist ein reversibler Gleichgewichtsprozess, der durch Konzentrationsänderungen, Temperatur Verdrängungsreaktionen beeinflusst und verschoben
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Verdrängungsreaktionen beeinflusst und verschoben werden kann.
• Absorption bezeichnet man die irreversible Bindung, Aufnahme oder Einlagerung des Sorptivs an/durch/in das Sorbens.
• Desorption ist der gegenläufige Prozess, d. h. die Ablösung adsorbierter Stoffe vom Sorbenten.
Sorption
• Sorption, insbesondere Adsorption und Desorption, spielt beim Verhalten von Schadstoffen in der Umwelt eine wichtige Rolle. Schadstoffe können durch Sorption an die Bodenmatrix längerfristig gebunden werden.
• Schwerwasserlösliche und/oder schwerflüchtige
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• Schwerwasserlösliche und/oder schwerflüchtige Schadstoffe können durch Sorption an Kolloide oder suspendierte Teilchen im Wasser (auch Bodensicker-und Grundwasser) über weite Strecken transportiert werden (Co-Sorption, Co-Transport).
Sorption
• Bei schneller Adsorption kann von einem Gleichgewichtzwischen adsorbierter und gelöster Stoffkonzentrationausgegangen werden.
c_ad = f (c_aq)
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c_ad = f (c_aq)
• c_ad = adsorbierte Konzentration am Feststoff• f = Isotherme• c_aq = Konzentration in der Wasserphase
Sorption
Obwohl die Isotherme i.a. eine nichtlineare Funktion ist (Freundlich- und Langmuir-Isotherme), kann sie imeinfachsten Fall durch eine lineare Funktion approximiertwerden:
c_ad = K_D · c_aq
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• c_ad = adsorbierte Konzentration am Feststoff• K_D = Adsorptionskoeffizient• c_aq = Konzentration in der Wasserphase
Der Adsorptionskoeffizient ist abhängig vom gelösten Stoff und dem Aquifermaterial ---> Vielzahl von K_D-Werten!
Sorption
Retardationseffekt der Adsorption:
Es lässt sich theoretisch zeigen, dass eine Adsorption, diedurch eine lineare Isotherme beschrieben wird, eineeffektive Verlangsamung der Stoffpartikel-Geschwindigkeit
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effektive Verlangsamung der Stoffpartikel-Geschwindigkeitin der mobilen Wasserphase und damit eineRetardation des Eintreffens der Stofffront an einemBeobachtungspunkt bewirkt. Die effektive Abstands-geschwindigkeit des Wasserinhaltsstoffes v_eff wird gegenüber der des Wassers verkleinert.
Lineare reversible Sorption
• Zeitliche Verzögerung, Retardierung
1.0
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t2 t3t1
1.0
0.5
0.0
C/C 0
Time
t2 t3t10.5
0.0
C/C0
Time
Transportgleichung 1D
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) tcdntmttmRtAxxjxj ∆⋅Ω−−∆+=∆⋅∆+− λxtotal,xtotal,
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( )( ) ( ) cnxjx
tnct
R λ−=
∂∂+
∂∂
xtotal,Im Limes:
Zeitskalen/dimensionslose Größen
• Typische Zeitskalen– Advektion TA = Ln/v– Diffusion TD = L2/D– Chemie (Reaktion 1. Ordnung) T = 1/λ
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– Chemie (Reaktion 1. Ordnung) TC = 1/λ• Dimensionslose Verhältnisse
– Peclet Zahl Pe = TD/TA = vL/D– Damköhlerzahl Da = TC/TD = D/(λL2)
Massenbilanz: in 3D
( )zyxj ,,xtotal,
Speicherung von gelöster MasseZeitintervall [t, t+Dt]
( )zyxj ,,ytotal,
( )zyxj ,,ztotal,
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( )zyxxj ,,xtotal, ∆+
( ) ( )( ) ( ) ( )tmttmtAxxjxj −∆+=∆⋅∆+− xtotal,xtotal,
x
∆∆∆∆x
Erhaltungsgleichung für gelöste Masse
x+∆∆∆∆x
xAd ∆=Ω( )zyyxj ,,ytotal, ∆+
( )zzyxj ∆+,,ztotal,
Transportgleichung 3D
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ttmtzyxjzyxjzyxj
tmttmt
tmtA
zzyxjzyxjzyyxjzyxjzyxxjzyxj
∆ ∂+=∆⋅∆Ω
∂+∂+∂−
−+∆
∂∂+=∆⋅
∆+−+∆+−+∆+−
,,,,,,
...
,,,,,,,,,,,, ztotal,ztotal,ytotal,ytotal,xtotal,xtotal,
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( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ttnct
tzyxjz
zyxjy
zyxjx
ttmt
tzyxjz
zyxjy
zyxjx
∆Ω∆
∂∂+=∆⋅∆Ω
∂∂+
∂∂+
∂∂−
∆
∂+=∆⋅∆Ω
∂
+∂
+∂
−
,,,,,,
,,,,,,
ztotal,ytotal,xtotal,
ztotal,ytotal,xtotal,
( )( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, ztotal,ytotal,xtotal, =
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
zyxjz
zyxjy
xjx
tnct
Bilanzgleichung in 3D
• Der Fluss der transportierten Masse beschreibt die pro Zeiteinheit durch eine Fläche hindurch tretende Masse,
FlächeZeit
MasseFluß==j
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• Integration über die Gesamtfläche eines Kontrollvolumens ergibt dann die Änderung der Gesamtmasse pro Zeit
( )Zeit
MassedFlächeAusflüsseEinflüsse =Γ=⋅− ∫∫ nj
•Im Allgemeinen wird der Transport eines gelösten Stoffes mithilfe seiner Konzentration oder Dichte beschrieben,
Bilanzgleichung in 3D
ZeitVolumen
Masse
Zeit
Dichte
Zeit
ionKonzentrat ==
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•Integration über das Kontrollvolumen ergibt dann die Veränderung der Masse pro Zeit
Zeit
Masse
Zeit
Dichte
Zeit
ionKonzentratrmSpeicherte =Ω=Ω= ∫∫ dd
Bilanzgleichung in 3D
Der Fluss der transportierten Masse über die Gesamtfläche eines Kontrollvolumens ist gleich der Nettoänderung der Masse pro Zeit in diesem Kontrollvolumen
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Ω==Γ− ∫∫∫ dZeit
cion Konzentrat
Zeit
Massednj
Bilanzgleichung in 3D
( )( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, ztotal,ytotal,xtotal, =
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
zyxjz
zyxjy
xjx
tnct
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•Einführen der Divergenz in die Transportgleichung
•Einführen des advektiven Flusses in Vektorscheibweise
•Einführen des Gradienten in das Fick‘sche Gesetz
Alle Stoffflüsse in der Übersicht
m mJ D c= − ∇uv
cuJ A
vv=Advektion
Molekulare Diffusion
∇−= εv
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Turbulente Diffusion
Dispersion
Gesamtfluss Total mA T DJ J J J J= + + +uv uuv uv uuv uuv
cJT ∇−= εv
cDJ D ∇−= mechv
Wirkungsweise der Taylor-Dispersion
DifferentielleAdvektionwird durch laterale
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wird durch lateraleturbulente Diffusionasymptotischzu Dispersion, diedem Fickschen Gesetz folgt.
Korngerüstbedingte Dispersion
Korngerüstbedingte Dispersion ist das Auseinanderziehen einer Schadstofffahne aufgrund
• der Unterschiede in der Porengrösse• Ausbildung eines ungleichförmigen
Geschwindigkeitsprofils innerhalb der Pore (Taylor-
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Geschwindigkeitsprofils innerhalb der Pore (Taylor-Mechanismus)
• Umlenkung der Strömung durch das feste Korngerüst
Korngerüstbedingte Dispersion ist auf der Meter-Skala, wie z.B. in Laborsäulen, wesentlich.
Makrodispersion
Verursacht durch Inhomogenitäten in der Durchlässigkeit, wie z.B. durch Tonlinsen oder Schichtung
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Allgemeiner Dispersionstensor
cDD
DD
yyyx
xyxx ∇⋅−=
= DjD D,
In 2D lautet die allgemeine Form des Dispersionstensors
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mit den Einträgen
( )
v
v
v
vD
v
vvD
v
v
v
vD
yL
xTyy
yxTLxy
yT
xLxx
22
22
αα
αα
αα
+=
−=
+=
Dispersionstensor
• In Diagonalform:
=
T
L
D
DD
0
0
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• in einem Koordinatensystem, in dem die Strömungsgeschwindigkeit ausschließlich in x-Richtung gelegt ist
=
v
v
T
L
αα0
0D
Dispersion
• Dispersion ist auch im isotropen Medium richtungsabhängig.
• longitudinale Dispersion wesentlich stärker als die senkrecht dazu wirksame transversale Dispersion.
19.04.2011 Transportmodellierung
0
0
,
,
=∂∂−=
=∂∂−=
cy
nDj
cx
nDj
yyTD
xxLD
Turbulente
3D Transportgleichung
Advektion Molekulare Speicherung Quellen/
( )( ) σ+∂∂=∇+++∇−
t
cncnc DεDv m
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Turbulente Diffusion undDispersion
Advektion Molekulare Diffusion
Speicherung Quellen/Senken
StrömungsmodellKonti.-gleichungImpulsgleichungEnergiegleichungZustandsgleichungen
Diffusions/Dispersionsmodellz.B. Ficksches Gesetzmit anisotropem Dispersionstensor
Quellen/SenkenmodellZ. B.Chem AbbauBio. UmwandlungSedimentationAdsorption
KluftgesteineTransportmodellierung im Kluft-Matrix-System unter den folgenden
geometrischen und hydraulischen Rahmenbedingungen:• Kluft/Klüfte: konstante Kluftöffnungsweite, Kluftöffnungsweite sehr viel
kleiner als Kluftlänge, komplette Durchmischung entlang des Kluftquerschnittes bei Diffusions- und Dispersionsvorgängen.
• Matrix: Gesteinspermeabilität ist unbedeutend.• Kluftströmung: konstanter Durchfluss, eindimensionaler Fluss.
19.04.2011 Transportmodellierung
• Kluftströmung: konstanter Durchfluss, eindimensionaler Fluss.
Die folgenden Transportmechanismen gelten:• Kluft: Advektion, longitudinale hydrodynamische Dispersion,
molekulare Diffusion, radioaktiver Zerfall.• Kluft-Matrix: molekulare Diffusion von der Kluft in die Gesteinsmatrix,
Adsorption an der Kluftoberfläche.• Matrix: Adsorption, molekulare Diffusion, radioaktiver Zerfall.