Andreas Reifenberger Entwicklung, Aufbau und Kalibration ... · Entwicklung, Aufbau und Kalibration...

RUPRECHT-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG

Andreas Reifenberger

Entwicklung, Aufbau und Kalibration einer

Messapparatur zur Kalorimetrie bei

ultratiefen Temperaturen

Diplomarbeit

Oktober 2012

KIRCHHOFF-INSTITUT FÜR PHYSIK

Fakultät für Physik und Astronomie

Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg

Diplomarbeit

Im Studiengang Physik

vorgelegt von

Andreas Reifenberger

aus Alzenau

2012

Entwicklung, Aufbau und Kalibration einer

Messapparatur zur Kalorimetrie bei

ultratiefen Temperaturen

Die Diplomarbeit wurde von Andreas Reifenberger

ausgeführt am

Kirchhoff-Institut für Physik

unter der Betreuung von

Herrn Prof. Dr. Rüdiger Klingeler

sowie von

Herrn Prof. Dr. Christian Enss

Zusammenfassung

Im Rahmen dieser Arbeit wird der Aufbau und die Kalibration eines kommerziell erhältlichen

Kalorimeters mit bolometrischem Design für Proben im Milligramm-Bereich bei sehr tiefen Tem-

peraturen zwischen 10 mK und 520 mK beschrieben. Als Temperatursensor dient ein RuO2 -Wi-

derstandsther mometer, das von einem Lock-In-Verstärker ausgelesen wird. Verschiedene Ein-

flussfaktoren wie Pulslänge, Pulshöhe und Details der Analysemethode werden experimentell

untersucht und diskutiert. Oberhalb von 100 mK können elektronische Beiträge die Wärmeka-

pazit der Addenda (Cadd = 12,4 nJ/K2· T) beschreiben. Unterhalb von 50 mK dominiert eine

Schottky-Anomalie. Die Kalibration wurde mittels einer Messung einer Silberprobe überprüft.

Der ermittelte Sommerfeld-Koeffizient(γAg = (647 + 11 − 37) µJ/(molK2)

)steht im Einklang

mit Literaturwerten. Mit dem Aufbau wurde abschließend die Wärmekapazität eines supraleiten-

den K0,9Na0,1Fe2As2-Einkristalls gemessen. Zusätzlich wird ein neuer Designvorschlag für ein

hochauflösendes Kalorimeter präsentiert. Die Temperaturmessung basiert auf einem paramagne-

tischen Sensor (Er-dotiertes Au), dessen Magnetisierungsänderung in einem schwachen exter-

nen Magnetfeld als Funktion der Temperatur durch eine supraleitende Quanteninterferenzeinheit

(SQUID) ausgelesen wird. Dies erlaubt Messungen zwischen 1 mK und 1 K mit sehr hoher Sen-

sitivität. Ein anpassbarer Wärmekontakt erlaubt die Messung von Wärmekapazitäten über einen

großen Wertebereich (nJ/K - J/K) durch eine Relaxationsmethode.

Abstract

Development, setup and calibration of a measuring apparatus for calorimetry at ultra-lowtemperatures: The installation and calibration of a commercially available calorimeter with bo-

lometric design for milligram-sized samples at ultra-low temperatures (T = 10 mK − 520 mK) is

described. Thermometry is done by means of a RuO2 resistive thermometer read out by a lock-in-

amplifier. Various influential factors like heat pulse height, heat pulse length and details of the data

analysis are taken into consideration. For T > 100 mK the addenda heat capacity can be described

by electronic contributions(Cadd = 12.4 nJ/K2

× T). A Schottky-anomaly dominates the addenda

heat capacity for lower temperatures. The calibration is checked by the measurement of a silver-

sample. Obtained values for the Sommerfeld coefficient(γAg = (647 + 11 − 37) µJ/(molK2)

)agree

well with values in the literature. With this apparatus the heat capacity of a superconducting

K0.9Na0.1Fe2As2 single cristal is measured. In addition, a design for a new high-resolution calo-

rimeter is proposed. Thermometry is done by means of a paramagnetic sensor material (Er-doped

Au) in a low magnetic field. A temperature change results in a magnetization change which can be

read out as change in magnetic flux by a superconducting quantum interference device (SQUID).

This enables highly sensitive measurements between 1 mK and 1 K. An adjustable heat-link al-

lows measurements of heat capacities from nJ/K to J/K by means of a temperature-relaxation

method.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Physikalische Grundlagen 3

2.1 Wärmekapazität im thermodynamischen Kontext . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Beiträge zur Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Phononischer Beitrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Elektronischer Beitrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.3 Schottky-Anomalie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Thermische Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1 Dielektrische Gläser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.2 Metalle und Legierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.3 Kapitza-Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Experimentelle Methoden 12

3.1 Methoden zur Messung der Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.1 Überblick über verfügbare Messmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.2 Thermische Relaxationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Kryostat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Messplattform und Probenpräparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Thermometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4.1 Beschreibung der Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4.2 Charakterisierung der Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

vii

Inhaltsverzeichnis

3.5 Heizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.5.1 Beschreibung der Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.5.2 Charakterisierung der Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.6 Messprogramm und Datenauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Ergebnisse und Diskussion 37

4.1 Leermessungen der Plattform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.1 Einzelpulse in den drei Temperaturbereichen . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.2 Kritische Diskussion verschiedener Einflussfaktoren . . . . . . . . . . . 39

4.1.3 Ergebnis der Addendabestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Messungen an Silber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.1 Einzelpulse in den drei Temperaturbereichen . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.2 Kritische Diskussion verschiedener Einflussfaktoren . . . . . . . . . . . 48

4.2.3 Vergleich mit Ergebnissen aus der Literatur . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3 Messungen an K0,9Na0,1Fe2As2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4 Wärmeleitwert zwischen Plattform und Bad . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5 Entwicklung eines hochauflösenden Kalorimeters 60

5.1 Metallische magnetische Thermometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.1.1 Eigenschaften des Sensormaterials Au:Er . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1.2 Detektorgeometrie und Magnetometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2 Design und Funktionsweise der Plattform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2.1 Erläuterungen zu den einzelnen Komponenten . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2.2 Abschätzung der Addenda und der Temperaturauflösung . . . . . . . . 67

viii

Inhaltsverzeichnis

6 Fazit und Ausblick 70

A Anhang 72

A.1 Datenblatt QD-Puck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

A.2 Fitparameter für den Frequenzverlauf des Thermometrie . . . . . . . . . . . 73

A.3 LabView Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

A.3.1 Steuerprogramm zur Messung des Frequenzgangs der Thermometrie-

Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

A.3.2 Steuerprogramm zur Messung des Einflusses der Integrationszeit des

Lock-In-Verstärkers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.3.3 Steuerprogramm zur Messung von Selbstheizungseffekten . . . . . . . 78

A.3.4 Steuerprogramm zur Messung der Thermo-Kalibrationskurve . . . . . . 80

A.4 Mathematica-Code zur Datenauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Literaturverzeichnis 95

Danksagung 101

ix

Inhaltsverzeichnis

x

1 Einleitung

Die Bestimmung der Wärmekapazität eines Materials war und ist eine treibende Kraft hin zu neu-

en Erkenntnissen in der Festkörperphysik. So war das Einstein-Modell zur Wärmekapazität von

Phononen eines der ersten Anwendungen der Planckschen Quantisierungstheorie [Ein07]. Die

experimentelle Widerlegung und Weiterentwicklung des Einstein-Modells für tiefe Temperatu-

ren durch Nernst et al. [Ner11] wiederum brachte das bis heute verwendete Debye-Modell her-

vor [Deb12]. Auch die nobelpreisprämierten Arbeiten zur BCS-Theorie von Supraleitern durch

Bardeen, Cooper und Schrieffer konnten durch den Vergleich von theoretischen Vorhersagen

mit experimentell ermittelten Wärmekapazitäten von Zinn und Vanadium untermauert werden

[Coo56, Bar57a, Bar57b]. Die Forschungsarbeiten auf dem Gebiet der Supraleitung halten bis

heute an. So werden beispielsweise bis heute Untersuchungen zur Symmetrie der Wellenfunk-

tion von Hochtemperatursupraleitern durch Wärmekapazitätsmessungen mitgeprägt. Im Rahmen

dieser Fragestellung wurde in dieser Arbeit auch eine supraleitende K0,9Na0,1Fe2As2-Probe ge-

messen.

In unzähligen weiteren Forschungszweigen ist die Wärmekapazität ein probates Mittel zur Ana-

lyse der zu untersuchenden Systeme. Die Relevanz dieser Messgröße ist damit begründet, dass

sie die Entropieänderung des Gesamtsystems gemäß C(T) = T · ∂S/∂T misst und alle inneren

Freiheitsgrade eines Stoffes einen charakteristischen „Fingerabdruck“ in den Wärmekapazitäts-

kurven C(T) hinterlassen. Somit lässt sich prinzipiell der Einfluss jeder Wechselwirkung, jedes

Freiheitsgrads und jedes Anregungsspektrums vermessen.

Viele physikalisch interessante und unerforschte Phänomene spielen sich auf sehr kleinen Ener-

gieskalen ab. Auf Grund der Boltzmann-Besetzungsstatistik sind diese besonders gut im Tempe-

raturbereich um T ' E/kB beobachtbar, wobei die Boltzmann-Konstante kB die Temperatur mit

der für das jeweilige Phänomen relevanten Energieskala E verknüpft. Ziel dieser Arbeit war daher

der Aufbau eines Kalorimeters für Betriebstemperaturen zwischen 8 mK und 500 mK, welches in

einem vorhanden Verdünnungskryostaten betrieben werden kann. Als Messmethode eignen sich

solche aus der Klasse der Relaxationsmethoden, bei denen die Probe thermisch schwach an ein

Wärmebad gekoppelt wird. Aus dem zeitlichen Verlauf der Temperatur während und nach einem

Heizpuls auf die Probe mit Hilfe eines Heizers lässt sich die Wärmekapazität bestimmen.

In Kapitel 2 werden zunächst die theoretischen Grundlagen beschrieben. Neben den für diese

Arbeit relevanten Beiträgen zur Wärmekapazität wird auch die Wärmeleitung kurz diskutiert, weil

sie für das Verständnis der Messmethode von Relevanz ist.

Die Methoden für die experimentelle Umsetzung werden in Kapitel 3 dargelegt. Eine kurze Zu-

sammenfassung über verfügbare Messmethoden begründet die Wahl der verwendeten Relaxations-

1

1 Einleitung

methode. Diese wird im Detail vorgestellt. Außerdem wird die Temperaturkalibration im verwen-

deten Kryostaten kurz erläutert. Weiterhin folgt eine Beschreibung des kommerziell erhältlichen

Kalorimeters („QD-Puck“), welches im Rahmen dieser Arbeit verwendet wurde. Diesbezüglich

werden die elektrischen Schaltkreise für die Ansteuerung von Heizer und Thermometer beschrie-

ben und eingehend charakterisiert.

Das folgende Kapitel 4 stellt die Ergebnisse vor, die mit Hilfe des QD-Pucks gewonnen wurden.

Zunächst werden Messungen der leeren Messplattform vorgestellt und neben der Wärmekapazität

auch Überheizeffekte und andere mögliche Fehlerquellen untersucht. Es folgen Messreihen an

einer zur Kalibration vermessenen Silberprobe und ein kritischer Vergleich der Ergebnisse mit

Literaturwerten.

Ausgehend von den Erfahrungen mit dem QD-Puck wird in Kapitel 5 das Design eines selbst ent-

wickelten Kalorimeters vorgestellt, welches Schwächen des QD-Pucks behebt und eine deutlich

verbesserte Präzision verspricht. Dazu wird zunächst die Funktionsweise des metallischen magne-

tischen Thermometers dargestellt, das auf der temperaturabhängigen paramagnetischen Magneti-

sierung von Er3+-Ionen beruht. Es folgt eine Übersicht über das gesamte Kalorimeter.

2

2 Physikalische Grundlagen

In diesem Kapitel wird zunächst die Wärmekapazität als thermodynamische Größe eingeführt

und ihre Verbindung zu anderen physikalischen Größen aufgezeigt. Anschließend werden mit den

phononischen und elektronischen die wichtigsten Beiträge zur Wärmekapazität hergeleitet sowie

kurz auf die Ursache der Schottky-Anomalie eingegangen. Abschließend wird auf die thermische

Leitfähigkeit von Metallen und dielektrischen Gläsern bei tiefen Temperaturen eingegangen.

2.1 Wärmekapazität im thermodynamischen Kontext

Betrachtet man ein System aus N Teilchen bei einer Temperatur T und einem Druck p, so ergibt

sich für das Differential der Entropie S der Zusammenhang

dS =1T

dE +pT

dV (2.1)

mit der inneren Energie E, wenn man von konstanter Teilchenzahl N ausgeht und von anderen

Einflüssen, beispielsweise magnetischer Natur, absieht. Für die innere Energie E eines Systems

ergibt sich daraus

dE = TdS − pdV , (2.2)

wobei man den ersten Term TdS = δQ als Wärmezufuhr und und den zweiten Term −pdV = δAals geleistete Arbeit am System interpretieren kann. Die Schreibweise δQ und δA verdeutlicht,

dass die genannten Größen keine vollständigen Differentiale sind, das heißt es sind keine Zu-

standsgrößen.

Man definiert nun die Wärmekapazität C eines Systems als

C =δQdT

= T∂S∂T

. (2.3)

Je nachdem, ob man dem System bei konstantem Volumen oder konstantem Druck die Wärme zu-

führt, unterscheidet sich die Wärmekapazität auf Grund der geleisteten Arbeit. Man unterscheidet

daher zwischen CV = T(∂S∂T

)V

und Cp = T(∂S∂T

)p. Im Index wird die konstant zu haltende Größe

aufgeführt. Die beiden Größen sind über

Cp − CV =VTα2

κT(2.4)

3


verknüpft. Dabei bezeichnet κT = − 1V

(dVdp

)T

die Kompressibilität und α = 1V

(∂V∂T

)p

den thermi-

schen Ausdehnungskoeffizienten. Bei tiefen Temperaturen ist der Unterschied zwischen Cp und

CV oft minimal. Für Silber findet man κT ≈ 10−3 GPa−1 [Law56] sowie α ≤ 5 · 10−8 K−1 und

Cp/V = 81 µJ K−1 cm3 für T = 1 K [Smi95]; daraus ergibt sich ein relativer Unterschied von

(Cp − CV)/Cp < 0,1 %.

In theoretischen Betrachtungen ist es oft sinnvoller, sich auf CV zu beziehen, unter anderem, weil

CV =(∂E∂T

)V

gilt. Experimentell hält man für gewöhnlich den Druck konstant. Alle folgenden

Gleichungen beziehen sich auf Cp, wenn nicht anders gekennzeichnet.

Wärmekapazität am PhasenübergangAuch das direkte Vermessen eines Phasenübergangs mittels der Wärmekapazität ist möglich. Da

der Schwerpunkt dieser Arbeit auf der Kalorimetrie und nicht auf der Physik der Phasenüber-

gänge liegt, soll dieses Thema hier nur soweit behandelt werden, dass die in Abschnitt 3.1.2 zu

diskutierenden Einflüsse eines Phasenübergangs auf die Messung verständlich werden.

Phasenübergänge erster Ordnung zeichnen sich durch das Auftreten von latenter Wärme L aus.

Die Entropie hat am Phasenübergang zwischen den Phasen 1 und 2 folglich einen Sprung ∆S =

S2 − S1 = L/T. Die Wärmekapazität divergiert nach Gleichung 2.3.

Bei Phasenübergängen zweiter Ordnung, auch kontinuierliche Phasenübergänge genannt, tritt kei-

ne latente Wärme auf. Die Entropie S des Systems ist stetig, aber nicht stetig differenzierbar. Die

Wärmekapazität hat gemäß Gleichung 2.3 einen Sprung.

Bedeutung der WärmekapazitätDurch die Messung der makroskopischen Wärmekapazität kann man auf die mikroskopischen

Eigenschaften einer Probe schließen. Über Gleichung 2.3 ist die Wärmekapazität mit der Entropie

des Systems verknüpft, welche wiederum über die Gleichung

S = kB ln Ω (2.5)

mit der Anzahl der in quantenmechanischer Betrachtung realisierbaren Zustände Ω im mikroka-

nonischen Ensemble verknüpft ist1. Hierbei bezeichnet kB die Boltzmann-Konstante. Jeder Frei-

heitsgrad eines Systems hinterlässt eine Signatur in der Wärmekapazität. Somit können theoreti-

sche Modelle der Mikrostruktur mit Hilfe einer Wärmekapazitätsmessung experimentell überprüft

werden.

Die Wärmekapazität ist eine extensive Größe, d.h. sie skaliert mit der Größe des Systems. Man

normiert daher die Wärmekapazität C auf eine gegebene Stoffmenge n oder Masse m und spricht

dann allgemein von der spezifischen Wärme oder auch von der molaren Wärme c.

1Klassisch betrachtet ist Ω das zugängliche Phasenraumvolumen.

4

2.2 Beiträge zur Wärmekapazität

Aus dem Zusammenhang zwischen Wärmekapazität und Entropie ist auch ersichtlich, dass sich

Beiträge verschiedener, unabhängiger Subsysteme 1, 2, 3 . . .N zur Gesamtwärmekapazität

CGes = C1 + C2 + C3 + . . . + CN (2.6)

summieren.


Für komplexe Systeme gibt es eine Vielzahl möglicher Beiträge zur Wärmekapazität. Im Folgen-

den werden die verschiedenen Beiträge, die für diese Arbeit relevant sind, diskutiert.

2.2.1 Phononischer Beitrag

Bereits 1912 stellte P. Debye seine Theorie für die phononische Wärmekapazität vor [Deb12].

Während frühere Theorien die Schwingungen der einzelnen Atomrümpfe betrachten, wird in der

Debyeschen Theorie das Phonon als kollektive Anregung des Atomgitters eingeführt. Die Schwin-

gungen können sich überlagern und die Anzahl der Anregungen2 kann sich ändern. Das Phonon

ist ein Quasiteilchen mit bosonischem Charakter.

In Analogie zum idealen Gas behandelt man das Phonon in der Debyeschen Theorie als bosoni-

sches, freies Gas mit linearer Dispersionsrelation ω = vk zwischen Impuls k und Frequenz ω und

findet

CV =

(∂E(T)∂T

)V

= 9NkB

( TΘ

)3zD∫

0

z4ez

(ez − 1)2 dz (2.7)

mit der Debye-Temperatur Θ als einzigem materialspezifischen Parameter. Dabei ist zD = ~ωD/kBT,

wobeiωD die Debyesche Abschneidefrequenz, N die Anzahl der Atome und ~ = h/2π das Planck-

sche Wirkungsquantum bezeichnet. Das Ergebnis ist graphisch in Abbildung 2.1 dargestellt.

Das Integral ist nur numerisch lösbar. Im Grenzfall hoher Temperaturen ergibt sich das Dulong-

Petit-Gesetz [Dul18]

CV = 3 N kB , (2.8)

2Die Randbedingungen sorgen für eine Quantisierung und damit für die Wohldefiniertheit des BegriffsPhonon.

5


welches man auch unmittelbar aus dem Äquipartitionsprinzip herleiten kann. Dabei bezeichnet zdie Anzahl der Atome in einer Einheitszelle. Für niedrige Temperaturen findet man mit

CV =12π4

5nNAkB

( TΘ

)3=: βn T3 (2.9)

das bekannte T3- Verhalten für tiefe Temperaturen. Dabei bezeichnet n die Stoffmenge und NA

die Avogadro- Konstante. In der Literatur findet man neben Θ auch oft Werte für β.

0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 00 , 00 , 20 , 40 , 60 , 81 , 0

D e b y e - M o d e l l N ä h r u n g f ü r T > > N ä h r u n g f ü r T < <

C / (3

N kB)

T /

Abbildung 2.1: Spe-zifische Wärme imDebye-Modell sowieNäherungsfunktionenfür hohe und tiefeTemperaturen.

2.2.2 Elektronischer Beitrag

Neben dem phononischen Beitrag findet man bei elektronisch leitenden Materialien auch Bei-

träge der Elektronen zur spezifischen Wärme. Ähnlich wie bei Phononen kann man auch hier

ein ideales Gas freier Elektronen annehmen, muss aber noch den fermionischen Charakter der

Elektronen berücksichtigen. Diese Ansatz beruht wesentlich auf Arbeiten von A. Sommerfeld

[Som27, Som28a, Som28b].

Für die Fermi-Energie EF, die Fermi-Temperatur TF sowie die elektronische Zustandsdichte D(E)

findet man die wichtigen Zusammenhänge

EF =~2

2m(3π2n)2/3 TF = EF/kB D(EF) =

3 n2 EF

(2.10)

mit der Elektronendichte n und Elektronenmasse m. Für die spezifische Wärme erhält man den

Ausdruck

cV =π2

2

n k2B

EFT

(2.10)=

π2

3D(EF) k2

B T = γT . (2.11)

Messungen der spezifischen Wärme erlauben damit Rückschlüsse auf die elektronische Zustands-

dichte an der Fermi-Kante.

6


Näherungen im Sommerfeldschen Modell führen zu Abweichungen zwischen Theorie und Ex-

periment, beispielsweise durch größere Änderungen der Zustandsdichte an der Fermioberfläche.

Diese Diskrepanz kann durch eine effektive Masse

m∗ =γExp

γTheom (2.12)

beschrieben werden, die zunächst rein phänomenologisch eingeführt wird. Andere theoretische

Ansätze, zum Beispiel Bandstrukturrechnungen, liefern heute für die meisten Materialien deutlich

genauere Ergebnisse.

2.2.3 Schottky-Anomalie

Eine Schottky-Anomalie bezeichnet im Allgemeinen das Auftreten eines lokalen Maximums in

der spezifischen Wärme. In einfachen Systemen wird die Wärmekapazität mit zunehmender Tem-

peratur nicht kleiner, was in früheren Zeiten den Begriff der Anomalie geprägt hat. Ursache der

Anomalie ist ein Mehrniveausystem, wie sie in physikalischen Systemen oft auftreten können.

Durch die Wechselwirkung mit dem Kristall kann zum Beispiel die Entartung des Grundzustands

eines Atoms aufgehoben werden. Für das prinzipielle Verständnis ist die folgende Rechnung mit

einem Zwei-Niveau-System ohne Entartung hinreichend.

Aus der kanonischen Zustandssumme

Z =∑

i

exp(−Ei/kBT) (2.13)

folgt mit E0 = 0 und E1 = ∆E unmittelbar Z = 1 + exp(−∆E/kBT). Mit der Besetzungswahr-

scheinlichkeit P(Ei) = exp(−Ei/kBT) /Z erhält man die innere Energie

E =∑

i

P(Ei)Ei =∆E

1 + exp∆E/kBT(2.14)

und somit die spezifische Wärme

cV =

(∂E∂T

)V

= kB

(∆EkBT

)2 e∆E/kBT

(1 + e∆E/kBT)2(2.15)

eines solchen Zwei-Niveau-Systems.

Aus dieser Gleichung ergibt sich für das Maximum die Beziehung 0,42 ∆E ' kBTmax, sodass man

die Energieaufspaltung im Experiment sehr leicht bestimmen kann. Für T . Tmax ergibt sich ein

Anstieg der spezifischen Wärme proportional zu (∆E/T)2 exp(−∆E/kBT), während für T & Tmax

cV ∝ 1/T2 gilt. Das Verhalten ist in Abbildung 2.2 grafisch veranschaulicht.

7


0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 2 , 50 , 00 , 10 , 20 , 30 , 4 S c h o t t k y

( E / k B T ) 2 e x p ( - E / k B T ) ( E / k B T ) 2 / 4

c V / kB

( k B T ) / E

Abbildung 2.2: Spe-zifische Wärme einerSchottky-Anomalie, wiesie sich in einfacherNäherung aus einem 2-Niveau-System gemäßGleichung 2.15 ergibt.

2.3 Thermische Leitfähigkeit

Neben der Wärmekapazität spielt für den in Abschnitt 3.1.2 vorgestellten Messalgorithmus auch

die Wärmeleitfähigkeit eine Rolle. Im Folgenden wird eine Übersicht über die Wärmeleitfähigkeit

mittels Phononen in dielektrischen Gläsern sowie von Elektronen in reinen Metallen und Legie-

rungen gegeben, da diese Wärmeübertragungsmechanismen für das Experiment von Bedeutung

sind.

Allgemein definiert man für isotrope Medien die spezifische Wärmeleitfähigkeit κ über

~j = κ~∇T , (2.16)

wobei ~j die Wärmestromdichte (in W m−2) und ∇T den Temperaturgradienten darstellen. Es ist zu

beachten, dass der Wärmetransport durch Wärmestrahlung oder Teilchenaustausch (Konvektion)

nicht in ~j eingehen, sondern nur der masselose Energietransport berücksichtigt wird.

Für einen Quader mit Querschnittsfläche A (Flächennormalenvektor ~A), dessen Enden im Abstand

l auf einer Temperaturdifferenz ∆T gehalten werden, leitet man mit Hilfe von Gleichung 2.16 für

die absolute Wärmeleitfähigkeit K, im Folgenden Wärmeleitwert genannt, die Beziehung

I = K ∆T (2.17)

her. Dabei ist I = ~j ~A der Wärmestrom (mit der Einheit W) und es gilt der einfache Zusammenhang

K = κA/l.

Entscheidend für den Wärmetransport sind Stoßprozesse. Diese sorgen zum einen dafür, dass sich

das aus dem Temperaturgradient ergebende thermische Ungleichgewicht abbaut; zum anderem

wird durch diese der massenlose Energietransport ermöglicht. Die verschiedenen Stoßprozesse in

einem Festkörper ermöglichen daher das Verständnis der Wärmeleitung und bilden die Grundlage

der folgenden Betrachtungen.

8


2.3.1 Dielektrische Gläser

In dielektrischen Gläsern stehen Phononen für die Wärmeleitung zur Verfügung. Für eine quali-

tative Analyse kann man als Analogie für die Phononen ein ideales Gas annehmen, für das die

Beziehung

κPh =13

cV v l (2.18)

gilt. Dabei bezeichnet v die Schallgeschwindigkeit und l die mittlere freie Weglänge. In einer de-

taillierten Rechnung müsste man die Energieabhängigkeit der einzelnen Größen sowie die Schall-

geschwindigkeiten der verschiedenen Phononenzweige berücksichtigen. Da diese Informationen

selten zur Verfügung stehen, führt man in Analogie zum Debye-Modell der spezifischen Wärme

einen effektiven Phononenzweig mit v = const. ein und betrachtet nur Phononen, welche den

größten Teil zur Leitfähigkeit beitragen. Das sind Phononen mit ~ω ≈ kBT. Diese sogenannte

dominante Phononennäherung ermöglicht bereits gute qualitative Voraussagen.

Für T < 1 K spielen Phonon-Phonon-Streumechanismen oder Oberflächenreflexionen eine un-

tergeordnete Rolle. Es dominieren Wechselwirkungen mit lokalen Tunnelsystemen mit Energie-

aufspaltung ∆E. Diese Energieaufspaltungen können im relevanten Energiebereich allgemein als

gleichverteilt angenommen werden. Betrachtet man ein dielektrisches Glas mit einer Tunnelsys-

temdichte n mit n0 Tunnelsystemen im Grundzustand und n1 Tunnelsystemen im angeregten Zu-

stand (n = n0 + n1) ergibt sich aus der Maxwell-Boltzmann-Verteilung

n1/n0 = e(∆E/kBT) und ∆n = n1 − n0 = n tanh(

∆E2kBT

). (2.19)

In der Näherung dominanter Phononen gilt ∆E = ~ω ≈ kBT und ∆n wird in dieser Näherung

temperaturunabhängig. Aus der Streutheorie erhält man die Beziehung

l−1 = σ∆n , (2.20)

wobei für den Absorptionsquerschnitt σ ∝ ω gilt [Hun07] . Somit erhält man

l ∝ 1/ω ∝ 1/T . (2.21)

Verwendet man noch die aus Abschnitt 2.2.1 bekannte Relation C ∝ T3, so folgt

κph ∝ Cl ∝ T3T−1∝ T2 (2.22)

für Temperaturen T < 1 K in guter Übereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen [Ste73].

9


2.3.2 Metalle und Legierungen

In Metallen tragen die Elektronen an der Fermi-Kante einen wesentlichen Beitrag zur thermischen

Leitfähigkeit bei. Man kann auch für Elektronen ein ideales Gas nach Gleichung 2.18 annehmen

und findet mit Gleichung 2.11 den Zusammenhang

κel =13γT vF l ∝ T . (2.23)

Im letzten Schritt wurde die Temperaturunabhängigkeit der Fermigeschwindigkeit vF ausgenutzt.

Außerdem dominiert bei Temperaturen T < 1 K die Elektronen-Streuung an Verunreinigungen

und Defekten gegenüber Elektron-Phonon-Streuungen, sodass l = const. angenommen werden

kann.

In reinen Metallen ist die Wärmeleitfähigkeit durch Elektronen deutlich größer als durch Pho-

nonen. Der phononische Anteil wird durch die Streuung an Elektronen effizient unterdrückt. In

Legierungen hingegen werden die Elektronen so stark an Defekten gestreut, dass auch ihr Beitrag

zur thermischen Leitfähigkeit sehr klein wird. Der phononische Beitrag aus Gleichung 2.22 ist

nicht mehr vernachlässigbar und man findet [Ros63]

κleg = κel + κph = a T + b T2 . (2.24)

2.3.3 Kapitza-Widerstand

Fließt Wärme durch die Grenzfläche zweier Materialien A und B, so beobachtet man eine Tempe-

raturdifferenz gemäß Gleichung 2.16. Dies wurde erstmals von Kapitza an Grenzflächen zwischen

flüssigem Helium und Kupfer beobachtet [Kap41]. Der thermischer Leitwert kann so klein wer-

den, dass er den Wärmefluss im experimentellen Zeitlimit unterbindet.

Die Ursachen sollen hier nur kurz skizziert werden, detaillierte Beschreibungen finden sich in

[Sto93, Pol69, Mah09]. Die Kapitza-Leitfähigkeit3 κK ist nach Gleichung 2.16 die Ableitung des

Nettowärmeflusses nach der Temperatur:

κK =1V∂∂T

∑~k

~ω~k f (~ω ~kn,T)

∣∣∣∣v ~kn

∣∣∣∣ t~k (2.25)

Dabei muss die Summe über alle Wellenvektoren~k in der Brillouin-Zone laufen, deren Geschwin-

digkeitsvektor in Richtung der Grenzfläche zeigt. Hierbei ist ~ω~k die Energie des betrachteten

Phonons, f (~ω ~kn,T) bezeichnet die Bose-Einstein-Verteilung, v ~kn

die Phonon- Geschwindigkeits-

komponente parallel zur Grenzflächennormalen und t~k die Transmissionswahrscheinlichkeit. Po-

larisationsrichtungen werden aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht berücksichtigt.

3Hier normiert auf die Grenzfläche A.

10


Mit Hilfe dieser Formel kann man verstehen, warum die Grenzflächen-Leitfähigkeit so kleine

Werte annehmen kann. Dazu sind folgende Punkte von Relevanz:

• Trifft ein Phonon im Medium A mit einem Winkel αA relativ zur Flächennormalen auf die

Grenzfläche, so folgt aus dem Snelliusschen Brechungsgesetz

sinαA

sinαB=

vA

vB(2.26)

die Totalreflexion für

αA > arcsin(vA

vB

). (2.27)

Hierbei stehen vA und vB für die Schallgeschwindigkeiten in den beiden Materialien. Für

vA vB steht damit nur ein kleiner phononischer Einfallswinkel und damit nur Phononen

mit ausgewähltem Wellenvektor ~k zum Wärmeübertrag zur Verfügung.

• Der Unterschied in der Schallgeschwindigkeit v und Materialdichte ρ beeinflusst die Trans-

missionswahrscheinlichkeit. Der Unterschied in der akustischen Impedanz Z = ρ v ergibt

für t~k in einfacher Näherung einer elastischen Welle die Beziehung

t~k =4ZAZB

(ZA + ZB)2

ZAZB≈

4ZA

ZB= 4

ρAvA

ρBvB. (2.28)

Damit wird die Transmissionswahrscheinlichkeit t~k für große Unterschiede in der Materi-

aldichte ρ oder der Schallgeschwindigkeit v klein.

• Auch die Zustandsdichte der Phononen spielt eine Rolle, da bei einem Grenzübergang, bei

dem das Phonon seinen Quantenzustand beibehält, ein freier Zustand verfügbar sein muss.

Diese Diskrepanz spielt bei großen Differenzen in der Debye-Temperatur eine Rolle. Die

Transmissionswahrscheinlichkeit wird entsprechend kleiner.

Nach dieser qualitativen Diskussion soll noch die Temperaturabhänigkeit erwähnt werden. Be-

rücksichtigt man in Gleichung 2.25 die Temperaturabhängigkeit der inneren Energie der Phono-

nen, so findet man [Ens05]

κK =2π2k4

BρAvA

15~3ρBv3B

T3 . (2.29)

Diese T3-Abhängigkeit zeigt sich für viele Grenzschichten auch im Experiment bei tiefen Tempe-

raturen oberhalb von 10 mK.

11

3 Experimentelle Methoden

Dieses Kapitel stellt in Abschnitt 3.1 zunächst ein Modell zur experimentellen Bestimmung der

Wärmekapazität vor und setzt es in den Kontext verfügbarer Methoden. In den folgenden Ab-

schnitten wird mit dem Kryostaten sowie der Ansteuerung des Thermometers und Heizers der

Messaufbau sukzessive vorgestellt. Wichtiges zur Steuersoftware und zu den Auswertealgorith-

men wird in Abschnitt 3.6 zusammengefasst.

3.1 Methoden zur Messung der Wärmekapazität

3.1.1 Überblick über verfügbare Messmethoden

Zur Messung der spezifischen Wärme gibt es im Wesentlichen drei experimentelle Ansätze, die

in einem Übersichtsartikel von Stewart [Ste83] gut zusammengefasst werden. Alle Ansätze haben

ihre Stärken und Schwächen. Verschiedene Faktoren, beispielsweise die Probendimension und der

relevante Temperaturbereich, müssen bei der Wahl der passenden Messmethode berücksichtigt

werden.

In der folgenden Diskussion wird von einer Probenplattform ausgegangen, auf der Heizer und

Thermometer angebracht sind. Diese werden elektrisch angesteuert. Es gibt aber auch Aufbauten,

die Heizung und Temperaturauslese ohne physischen Kontakt erlauben.

(Quasi-)Adiabatische MessungBei dieser Methode misst man den Temperatursprung ∆T, der aus einem möglichst kleinen Wär-

meeintrag ∆Q gemäß Gleichung 2.3 resultiert. Diese Methode stößt bei tiefen Temperaturen und

kleinen Wärmekapazitäten an experimentelle Grenzen. Während der Messung muss die Probe

thermisch möglichst gut vom Wärmebad entkoppelt werden. Bei tiefen Temperaturen und kleinen

Proben werden die nötigen Heizleistungen immer kleiner und die Wärmekopplung durch die elek-

trischen Zuleitungen für Thermometer und Heizer führt zu nicht vernachlässigbaren parasitären

Effekten. Des Weiteren muss ein Wärmeschalter existieren, durch den die Probe vor Messbeginn

auf eine definierte Temperatur gebracht wird. Mechanische Schalter führen hier bei tiefen Tem-

peraturen zu parasitären Wärmeeinträgen durch Vibrationen. In der Vergangenheit wurden auch

verschiedene Alternativen wie supraleitende, schaltbare Materialien erforscht.

WechselstromanregungEine weitere, sehr elegante Methode wurde von Sullivan und Seidel vorgestellt [Sul68] . Durch

12


einen an die Probe gekoppelten Heizwiderstand wird Wechselstrom mit einer Frequenz 1/2ω0

getrieben und die Leistung P(t) deponiert. Auf der anderen Seite der Probe befindet sich ein Ther-

mometer. Im Gleichgewichtszustand führt die Oszillation der Heizleistung zu einer Oszillation in

der Temperatur, deren Amplitude TAC über

TAC ≈P(t)2ωC

√

1 + const. (3.1)

mit der Gesamtwärmekapazität C des Systems inklusive Probe verknüpft ist. Rauschbeiträge kön-

nen durch Messaufbauten mit Lock-in-Verstärker sehr effizient eliminiert werden. Die Methode

findet seine Limitation in der endlichen Leitfähigkeit der Proben, da die interne Temperaturre-

laxation τ deutlich kleiner als 1/ω sein muss. Daher ist sie insbesondere für flache Proben im

µg-Bereich geeignet.

Thermische RelaxationsmessungenWährend bei adiabatischen Messungen die Entkopplung der Probe einen limitierenden Faktor dar-

stellt, macht man hier von der Badankopplung explizit Gebrauch. Wesentliche Beiträge hierzu

wurden von Bachmann et al. vorgestellt [Bac72] und erlauben Messungen auch bei tiefsten Tem-

peraturen im mK-Bereich. Bei Relaxationsmessungen erübrigt sich die Verwendung eines Wär-

meschalters. Im Laufe der letzten Jahrzehnte wurden verschiedene Varianten von Relaxationsmes-

sungen mit Unterschiedlichen Stärken und Schwächen entwickelt und verfeinert, um beispiels-

weise auch Phasenübergänge oder Beiträge von Quadrupolmomenten mit vergleichsweise langen

Relaxationszeiten korrekt zu vermessen [Rie86, Hwa97, Wil04, Suz10, And11]. Diese Varianten

können im Allgemeinen mit dem selben Messaufbau realisiert werden, sodass der Experimentator

je nach Situation die passendste Variante wählen kann. Die im Rahmen dieser Arbeit verwendete

Variante wird im folgenden Abschnitt im Detail vorgestellt.

3.1.2 Thermische Relaxationsmethode

Im Rahmen dieser Arbeit wurde zur Messung der spezifischen Wärme eine Relaxationsmetho-

de realisiert, die von Hwang et al. vorgestellt wurde [Hwa97]. Die Methode wird hier im Detail

erläutert.

Der Messaufbau (vgl. Abbildung 3.1) enthält eine Messplattform mit Wärmekapazität Cadd, die

über eine thermische Kopplung K1 an ein Wärmebad mit Temperatur T0 gekoppelt ist4. Auf der

Messplattform befinden sich ein Thermometer und ein Heizer, die thermisch beliebig gut mit die-

ser verbunden sind. Die zu untersuchende Probe ist über eine weitere thermische Kopplung K2 an

die Plattform gekoppelt. Über den Heizer kann dem System eine Leistung PH(t) zugeführt werden.

4Die Wärmekapazität der Messplattform inklusive Heizer und Thermometer bzw. die Messplattformselbst, je nach Zusammenhang, wird in Anlehnung an die Literatur im folgenden Addenda genannt.

13


Abbildung 3.1: Wärmefluss-Ersatzschaltbild: Über einen Heizer kann Leistung PH auf derPlattform mit Wärmekapazität Cadd und Temperatur TP deponiert werden; diese ist thermischüber K1 an das Wärmebad und über K2 an die Probe (mit CS und TS) gekoppelt.

Bilanziert man die Leistungen für die Plattform und die Probe, ergibt sich mit

PH(t) = CadddTP

dt+ K1(TP − T0) + K2(TP − TS) und (3.2a)

0 = CSdTS

dt+ K2(TS − TP) (3.2b)

ein System von zwei gekoppelten Differenzialgleichungen. Die Temperaturerhöhung der Platt-

form5 durch den Heizpuls muss dabei so klein ausfallen, dass man die Wärmekapazitäten und

Wärmeleitwerte als konstant betrachten kann. Die Terme CadddTP /dt und CS dTS/dt beschreiben

die jeweilige Leistung, die in die inneren Freiheitsgrade von Plattform und Probe fließt. Terme der

Form K∆T beschreiben gemäß Gleichung 2.17 über Wärmeankopplung abfließende Wärmeleis-

tung.

Eliminiert man die Probentemperatur TS, die keine Messgröße ist, indem man Gleichung 3.2a mit

(1 + CS/K2(d/dt)) multipliziert und Gleichung 3.2b ausnutzt, so ergibt sich

PH(t) +CS

K2

dPH(t)dt

+ K1 T0 =

= K1TP +CSCadd

K2

d2TP

dt2 +(Cadd + CS + CS

K1

K2

) dTP

dt−

CS K1

K2

dT0

dt.

(3.3)

Sollte es noch eine langsame Temperaturveränderung der Badtemperatur T0 und somit der Platt-

formstemperatur TP innerhalb eines Messzykluses geben, so muss dies berücksichtigt werden. In

erster Näherung kann dies über eine lineare Korrektur, die sogenannte Basisline TBL, geschehen.

Hierzu misst man TP vor dem Eintreffen des Heizpulses für eine genügend lange Zeit. Die lineare

Extrapolation ist die Basislinie. Für die Basislinie gilt wieder Gleichung 3.3 unter Berücksichti-

5Im Folgenden kurz Hub genannt.

14


gung von PH = 0. Subtrahiert man die sich ergebende Gleichung für TBL von Gleichung 3.3, so

findet man für die Temperaturabweichung zur Basislinie, T(t) ≡ TP(t) − TBL(t), den Zusammen-

hang

CaddCS

K2

d2T(t)dt2 +

(Cadd + CS + CS

K1

K2

) dT(t)dt

+ K1T(t) =CS

K2

dPH(t)dt

+ PH(t) . (3.4)

Dabei verschwindet T0 aus der Gleichung. Integriert man dieses Ergebnis und löst es nach

Γ =

t∫0

dT(t′)dt′

= T(t) − T(t = 0) (3.5)

auf, so findet man das wichtige Ergebnis

Γ(t) = h H(t) + q Q(t) + s S(t) . (3.6)

Dabei sind mit

Q(t) =

t∫0

P(t′)dt′ , (3.7a)

V(t) =dT(t′)

dt′

∣∣∣∣∣t′=t−

dT(t′)dt′

∣∣∣∣∣t′=0

, (3.7b)

S(t) =

t∫0

T(t′)dt′ und (3.7c)

H(t) = P(t) − CaddV(t) (3.7d)

Größen bezeichnet, die sich aus den Messgrößen TP(t) und PH(t) sowie der extrapolierten Basis-

linie TBL(t) berechnen lassen.

Die Konstanten h, q und s stehen via

q =1(

Cadd + CS + CSK1K2

) , (3.8a)

s =−K2(

Cadd + CS + CSK1K2

) und (3.8b)

h =CS

K2

(Cadd + CS + CS

K1K2

) (3.8c)

mit den gesuchten Größen K1, K2 und insbesondere CS im Zusammenhang. Man bestimmt sie,

indem man einen dreidimensionalen, linearen Fit gemäß Gleichung 3.6 durchführt.

15


Die Lösung des Gleichungssystems ergibt

K1 = −sq, K2 =

sq

+1 − q Cadd

hund CS =

h sq2 +

1q− Cadd . (3.9)

Um die Addenda Cadd zu bestimmen, führt man eine Leermessung der Plattform durch. Im ma-

thematischen Modell setzt man CS = 0 und K2 = ∞. Obige Gleichungen vereinfachen sich dann

zu Γ(t) = q Q(t) + s S(t) und man findet Cadd = 1/q.

Nach dem Ausschalten des Heizers relaxieren Plattform und Probe über K1 und K2 gegen T0. Löst

man Gleichung 3.4 für PH = 0 mittels eines Exponentialansatzes, erhält man für die Relaxations-

zeiten τ1 bzw. τ2 von Plattform und Probe die Beziehung

τ1/2 = τ∓ =2

a ∓√

a2 − 4bmit a =

K1 + K2

Cadd+

K2

CSund b =

K1K2

CaddCS. (3.10)

Das Ergebnis ist in Abbildung 3.2 exemplarisch für einen rechteckigen Heizpuls und τ1 = 75 τ2

dargestellt. Im Allgemeinen gilt K2 K1 und damit τ1 τ2. Bei tiefen Temperaturen ist dies

aber oft nur noch bedingt gewährleistet, weil die Probe im Experiment phononisch an die Platt-

form gekoppelt ist, die Probe aber elektronisch ans Bad gekoppelt ist. Der Temperaturverlauf lässt

sich damit wie folgt interpretieren: Nach dem Einschalten des Heizers steigt die Temperatur der

Plattform rasch an. Die Relaxationszeit τ2 dominiert den Temperaturanstieg. Dadurch steigt der

Temperaturunterschied zwischen Probe und Plattform und damit die Wärmeleistung, die in die

Probe fließt, bis sich nach kurzer Zeit ein Gleichgewicht einstellt, sodass sich Probe und Platt-

form mit gleicher Rate erwärmen. In diesem Bereich ist die Anstiegszeit durch τ1 bestimmt. Nach

dem Ende des Heizpulses fällt die Temperatur der Plattform zunächst wieder steil ab, bis sich ein

Gleichgewicht zwischen an das Bad abgegebene Wärmeleistung und von der Probe abgeflossene

Wärmeleistung einstellt. Hier ist τ1 wieder die dominierende Relaxationszeit. Der Einfluss des

endlichen Wärmeleitwerts K2 wird τ2-Effekt genannt.

Die vorgestellte Methode hat einige Stärken, die hier kurz zusammengefasst werden sollen.

• Die Methode funktioniert unabhängig von Probengröße oder gewählter Größenordnung für

τ1.

• Durch die Wahl der Heizpulslänge und des Wärmeleitwerts K1 ist es prinzipiell möglich,

im quasi-adiabatischen Limes oder weit entfernt davon zu messen.

• Die konkrete Heizpulsform ist weitestgehend beliebig und nicht auf Rechteckpulse limi-

tiert. Damit kann auch ein temperaturabhängiger Heizwiderstand sowie Selbstheizungsef-

fekte durch Rauschen oder die Temperaturauslese berücksichtigt werden.

16


0 1 2 3

∼ e x p ( t / 1 )

T P ( t ) P H ( t )

P H (t)

T P (t)

t / 1

∼ e x p ( t / 2 )

T 0

Abbildung 3.2: Heizpuls (rot, gestrichelt) und der daraus resultierende Temperaturverlauf(schwarze Linie) der Plattform, wie er sich aus dem vorgestellten Modell berechnet. Das Mo-dell berücksichtigt den durch endliche thermische Kopplung zwischen Plattform und Probeverursachten τ2-Effekt.

• Der τ2-Effekt wird korrekt modelliert.

• Die Datenauswertung kann online6 erfolgen, um unmittelbar wichtige Kenngrößen (z.B.

Heizpulsdauer, Hub) für den nächsten Puls zu bestimmen. Damit ist eine voll automatisierte

Messung möglich.

PhasenübergängeDie Methode ist prinzipiell nicht geeignet, um Phasenübergänge erster Ordnung korrekt zu ver-

messen. Während die Probe einen Phasenübergang durchläuft, bildet sich in der Relaxationskurve

wegen der latenten Wärme ein Plateau aus. Die latente Wärme findet keine Berücksichtigung in

der hier vorgestellten Methode. Entsprechend ist der Fit fehlerhaft und damit auch der berechne-

te Wert für die Wärmekapazität. Der scharfe Peak bei solchen Phasenübergängen erscheint ver-

schmiert. Ähnlich kann es sich bei scharfen Phasenübergängen zweiter Ordnung verhalten, weil

die Annahme konstanter Wärmekapazität während eines Hubs nicht mehr gegeben ist.

Allerdings gibt es andere Methoden, die Wärmekapazität im Bereich von Phasenübergängen nä-

herungsweise zu vermessen, die mit dem selben experimentellen Aufbau durchgeführt werden

können [Rie86, Suz10].

6D.h. noch während der Messung vor dem nächsten Heizpuls.

17


3.2 Kryostat

Alle Experimente bei tiefen Temperaturen, die im Rahmen dieser Arbeit durchgeführt wurden,

fanden in einem 3He/4He -Verdünnungskryostaten7 statt. Detaillierte Beschreibungen zur Funk-

tionsweise eines solchen Kryostaten finden sich in der Literatur [Ens05, Pob07].

Auf der Experimentierplattform, welche an der Mischkammer des Kryostaten angebracht ist, be-

fanden sich drei Thermometer. Zur Kalibration der Temperatur wurde das Fixpunktthermometer

SRD1000 Prototyp 006 der Firma HDL8 verwendet. Dabei wurden Phasenübergänge von normal-

zu supraleitenden Phasen mit Sprungtemperaturen zwischen 15 mK und 520 mK genutzt, um ein

Rauschthermometer (zur Funktionsweise siehe z.B. [Net07]) zu kalibrieren. Hiermit wiederum

wurde ein Kohlethermometer kalibriert, welches mit Hilfe einer Widerstandsmessbrücke9 ausge-

lesen wurde [Hem12].

Für die Temperaturmessung und -regelung der Experimentierplattform in dieser Arbeit wurde,

wenn nicht anders erwähnt, das Kohlethermometer verwendet. Die tiefsten erreichten Temperatu-

ren des Kryostaten während der Messungen, die im Rahmen dieser Arbeit stattfanden, lagen bei

etwa 5,5 mK.

3.3 Messplattform und Probenpräparation

MessplattformAls Messplattform dient der kommerziell erhältliche Dilution Refrigerator Heat Capacity Puck

QD-P107H10 der Firma Quantum Design11. Abbildung 3.3 zeigt den QD-Puck. Eine Kupferplatte

dient hierbei als Adapter zwischen Experimentierplattform des Kryostaten und dem QD-Puck,

der hierfür mit weiteren Bohrungen versehen wurde. Der metallische Teil des Pucks besteht aus

goldbeschichtetem Silber. Jeweils vier Pins mit einem Durchmesser von 0,45 mm ermöglichen

die Ansteuerung des Thermometers und Heizers über eine Vierdrahtmessung.

In der Mitte des Pucks kreuzen sich zwei Kapton-Drähte. Damit verklebt ist die 3 mm · 3 mm

große Messplattform (vgl. Abbildung 3.4) aus 254 µm dickem Saphir-Einkristall. Auf dieser sind

zwei DuPont 0030A Dickschicht-Widerstände aus Rutheniumoxid der Firma DuPont12 zum Hei-

zen und zur Thermometrie aufgebracht. Um die Kaptonröhrchen sind Pt92W8-Drähte mit einem

Durchmesser von 25,4 µm gewickelt, welche der elektrischen Kontaktierung dienen und den Wär-

meleitwert zwischen Plattform und Wärmebad definieren [Bep11].

7Kelvinox 400 der Firma Oxford Instruments.8 Hightech Development Leiden, P.O. Box 691, 2300 AR Leiden, The Netherlands.9LR-700, Firma Linear Research Inc., 5231 Cushman Place, Suite 21, San Diego, CA 92110-3910 USA.

10Im Folgenden kurz QD-Puck oder nur Puck genannt.11Quantum Design, Inc., 6325 Lusk Boulevard, San Diego, CA 92121-3733, USA.12DuPont Microcircuit Materials, 14 T.W. Alexander Drive, Research Triangle Park, NC 27709, USA.

18

3.3 Messplattform und Probenpräparation

Abbildung 3.3: Der gesamte QD-Puck wirdüber einen Adapter (A) mit der Experimen-tierplattform des Kryostaten verschraubt.Jeweils vier Pins (B) dienen zur Kontaktie-rung von Heizer und Thermometer auf derPlattform (C).

Abbildung 3.4: Auf der Plattform aus Sa-phir (E) befinden sich zwei Rutheniumoxid-Widerstände zum Heizen (F) und zur Tem-peraturbestimmung (G). Die Plattform istauf zwei sich kreuzenden Kapton-Röhrchen(H) geklebt, um welche die elektrischen Zu-leitungen (I) aus Pt92W8 gewickelt sind.

Der Puck ist laut Hersteller für einen Temperaturbereich von 50 mK bis 40 K ausgelegt. Im Rah-

men dieser Arbeit wurde er bis hin zu Temperaturen von etwa 8 mK genutzt. Eine vom Hersteller

bereitgestellte technische Zeichnung des Pucks findet sich in Anhang A.1.

ProbenpräparationZur Präparation der Probe wird die Plattform mit Hilfe eines Lösungsmittels (chemisch reines To-

luol der Firma Grüssing13) und Wattestäbchen mehrfach gereinigt. Danach wird der Puck in einen

Präparationshalter (vgl. Abbildung 3.5) eingesetzt. Dieser besteht aus einer Puck-Aufnahme, wo-

bei die Plattform durch einen mittigen Stempel fixiert wird. Dieser ermöglicht es, Druck auf die

Plattform auszuüben, ohne dass Kaptonröhrchen oder Pt92W8-Drähte reißen. Über einen Ansaug-

stutzen kann die Probe noch zusätzlich durch Ansaugen stabilisiert werden.

Um einen bestmöglichen Wärmeleitwert zwischen Probe und Plattform zu gewährleisten, hat sich

die Kontaktierung mittels Apiezon N Fett der Firma M&I Materials14 bewährt. Weil dieses bei

Raumtemperatur zähflüssig ist, wird es mit Toluol im Verhältnis 1/1 vermischt und anschließend

ein kleiner Tropfen (etwa 1 − 2 µg) auf die Plattform gegeben. Anschließend drückt man die zu

vermessende Probe auf die Plattform und der Apiezon-Toluol-Tropfen bildet einen Film zwischen

Plattform und Probe, der später den Wärmeleitwert definiert. Der größte Teil des Toluols dif-

fundiert aus diesem Film und verdunstet, sodass hauptsächlich Apiezon übrig bleibt. Zwischen

den Arbeitsschritten werden die entsprechenden Komponenten immer wieder gewogen, um die

13Grüssing GmbH, An der Bahn 4, 26849 Filsum, Deutschland.14M&I Materials Ltd., Hibernia Way, Trafford Park, Manchester M32 0ZD, United Kingdom.

19


Abbildung 3.5: Konstruktions-zeichnung des Präparationshal-ters: Der Puck wird zur Stabili-sierung während der Probenpräpa-ration in die Puck-Aufnahme (B)gelegt. Die Plattform liegt dabeiauf dem mittigen Stempel (A) auf,um die Proben auf der Plattformzu platzieren, ohne die Kapton-röhrchen zu belasten. Zur weite-ren Fixierung kann man die Platt-form bei Bedarf noch über einAnschluss-Stutzen (C) ansaugen.

verwendete Apiezon-Menge abschätzen und die Wärmekapazitätsmessungen entsprechend korri-

gieren zu können.

Der Vorteil dieser Methode ist, dass sich das im Vergleich zu reinem Apiezon dünnflüssigere

Apiezon-Toluol-Gemisch gut verteilt und auch kleinste Unebenheiten in den Kontaktflächen aus-

gleichen kann. Das spätere Abdampfen des Toluols führt zu einem dünnen Kontaktfilm, was den

Leitwert erhöht und gleichzeitig nur sehr gering zur Wärmekapazität beiträgt.

3.4 Thermometrie

Um den in Abschnitt 3.1.2 dargestellten Messalgorithmus bestmöglich zu implementieren und den

τ2-Effekt schon auf kleinen Zeitskalen unter 100 ms auflösen zu können, wurde zum Auslesen des

Thermowiderstands eine Schaltung mit Lock-In-Technologie realisiert. Diese erlaubt die nötige

Präzision auf kurzen Zeitskalen auch bei sehr kleinen Anregungsströmen. Im folgenden wird die

Schaltung beschrieben und charakterisiert. Für die Messungen zur Charakterisierung der Plattform

wurden verschiedenen Messalgorithmen mit der Steuerungs-Software LabView15 realisiert (vgl.

Anhang A.3), mit deren Hilfe die im Folgenden gezeigten Messwerte aufgezeichnet wurden.

3.4.1 Beschreibung der Schaltung

Die Messung des Thermowiderstands Rth der Plattform wird mittels einer Vierdrahtmessung reali-

siert. Über zwei Zuleitungen treibt man einen definierten Strom durch den Widerstand. Der Span-

nungsabfall über dem Widerstand wird über die beiden anderen Zuleitungen hochohmig abgegrif-

fen und mit einem Spannungsmessgerät gemessen. Dabei fließt durch die zum Spannungsabgriff

15National Instruments Germany GmbH, Ganghoferstraße 70 b, 80339 München, Deutschland.

20

3.4 Thermometrie

verwendeten Leitungen kein Strom, sodass der Widerstand dieser Zuleitungen keinen Einfluss auf

das Messergebnis hat.

Der hier verwendete Messaufbau ist in Abbildung 3.6 dargestellt. Um einen Strom durch den

Thermowiderstand Rth zu treiben, wird der Frequenzgenerator eines Lock-In-Verstärkers (Signal

Recovery 7265 DSP Lock-In-Amplifier16) verwendet. Dieser erzeugt eine Wechselspannung Uin,

die mit Hilfe eines Übertragers (E-1220 der Firma EXPERIENCE electronics17) im Verhältnis eins

zu eins umgespannt wird. Die daraus resultierende galvanische Entkopplung ist nötig, um einen

Massenringschluss zu vermeiden. Andernfalls würden kleine Spannungsdifferenzen in den Zulei-

tungen (hervorgerufen zum Beispiel durch den Seebeck-Effekt) zu einem Gleichstrom führen, der

eine parasitäre Heizleistung nach sich ziehen würde. Auf der Sekundärseite des Übertragers wird

durch einen hochohmigen Widerstand R1 ≈ 391 kΩ der Strom definiert, welcher durch den Ther-

mowiderstand fließt. Somit fungiert die Spannungsquelle zusammen mit dem Widerstand R1 als

Stromquelle. Dieser Strom wird dann durch den Thermowiderstand geführt. Die über dem Ther-

mowiderstand abgegriffene Spannung wird zurück zum Lock-In-Verstärker geführt und dort ge-

messen. Zuvor kann man sie optional mit Hilfe eines weiteren Übertragers (E-1420 oder E-11620

der Firma EXPERIENCE electronics; vgl. auch Tabelle 3.1) umspannen, um kleine Spannungen

leichter auslesen zu können.

Um externe Rauschbeiträge, verursacht beispielsweise durch das Einkoppeln hochfrequenter Strah-

lung, zu minimieren, sind einige Bauelemente der Schaltung (Übertrager, Widerstände) in einem

mehrere Millimeter dicken Druckguss-Aluminium-Gehäuse untergebracht. Zusätzlich werden alle

Signale außerhalb des Kryostaten durch die Innenleiter von Koaxialkabeln geführt, sodass die Au-

ßenleiter als Schirmung dienen. Daneben werden Hochfrequenzstörsignale durch den Einsatz von

Tiefpassfiltern (vgl. Abbildung 3.6) unterdrückt. Die hier verwendeten Filter haben eine Grenzfre-

quenz18 von etwa 15 MHz.

Das in Abbildung 3.6 gezeigte Schaltbild enthält Vereinfachungen. So werden kapazitive Ein-

flüsse zwischen den signalführenden Leitungen und der Masse oder in den Übertragern nicht be-

rücksichtigt. Weil der Spannungsabfall über dem Widerstandsthermometer gegen eine bekannte

Temperatur kalibriert wird, sind diese Vereinfachungen für die Bestimmung der Temperatur nicht

von Belang. Um das Modell für theoretische Voraussagen weiter zu vereinfachen, kann man noch

die R-L-Glieder der Tiefpässe vernachlässigen, da diese im Vergleich zum großen Vorwiderstand

R1 eine untergeordnete Rolle spielen. Auch kann man die Kapazitäten der Tiefpassfilter gegen

Masse vereinfacht als Kapazitäten zwischen den jeweiligen signalführenden Leitungen auffassen.

Diese so vereinfachte Schaltung ist in Abbildung 3.7 dargestellt.

16AMETEK GmbH, Signal Recovery Division, Rudolf-Diesel-Straße 16, 40670 Meerbusch, Deutschland.17EXPERIENCE electronics, Kastanienweg 12, 86169 Augsburg, Deutschland.18Als Grenzfrequenz wird hier die Frequenz verstanden, bei der die Ausgangsspannung auf das 1/

√2-fache

der Eingangsspannung abgefallen ist.

21

3E

xperimentelle

Methoden

Abbildung 3.6: Schaltplan für die Ansteuerung des Widerstandsthermometer: Ein Funktionsgenerator, der eine Wechselspannung Uin er-zeugt, wird durch den Übertrager Ü1 galvanisch vom Rest der Schaltung getrennt. Durch einen großen Vorwiderstand R1 erhält man einendefinierten Wechselstrom, der durch das Widerstandsthermometer fließt. Der daraus resultierende Spannungsabfall über dem Thermometerkann optional noch analog verstärkt werden (Übertrager Ü2, gelbe Box) und wird dann mit Hilfe eines Lock-In-Verstärkers eingelesen (Uout).Die Baugruppen bestehend aus Spule mit Induktivität LTP, Kondensator mit Kapazität CTP und Widerstand RTP dienen als Tiefpassfilter. ImInneren des Kryostaten (blau hinterlegt) befinden sich das Widerstandsthermometer sowie ein Teil der elektrischen Zuleitungen für dieses.

22

3.4 Thermometrie

Abbildung 3.7: Vereinfachter Schaltplan für die Ansteuerung des Widerstandsthermometers(vgl. dazu Abbildung 3.6): Der Funktionsgenerator, der eine Wechselspannung Uin erzeugt,wird durch den Übertrager Ü1 galvanisch vom Rest der Schaltung getrennt. Durch den großenVorwiderstand R1 erhält man einen definierten Wechselstrom, der durch das Widerstandsther-mometer fließt. Der daraus resultierende Spannungsabfall kann optional noch analog verstärktwerden (Übertrager Ü2, gelbe Box) und wird dann mit Hilfe eines Lock-In-Verstärkers ein-gelesen (Uout). Die Tiefpassfilter werden zu einem einzigen Kondensator parallel zum Wi-derstandsthermometer vereinfacht. Im Inneren des Kryostaten (blau hinterlegt) befinden sichdas Widerstandsthermometer sowie ein Teil der elektrischen Zuleitungen für dieses.

Mit Hilfe dieser Schaltung lassen sich auch schon ohne computergestützte Simulationsprogram-

me Aussagen über das Verhaltung der Schaltung machen. Von besonderem Interesse ist dabei das

Verhältnis von der am Lock-In-Verstärker abfallenden Spannung Uout zu der am Funktionsgene-

rator mit der Frequenz f bzw. Kreisfrequenz ω = 2π f ausgegebenen Wechselspannung Uin. In

der zuletzt diskutierten Näherung gilt

Uout

Uin= n

Rth||ZC||ZÜ2

Rth||ZC||ZÜ2+ R1

(3.11)

mit dem Übersetzungsverhältnis n des Übertragers Ü2 (für Ü1 wird eine Übersetzung eins zu

eins gewählt), der Kondensatorimpedanz ZC = 1/(iωC) und der Übertragerimpedanz ZÜ2=

RÜ2+ iωL ≈ iωL, wobei L die Induktivität der entsprechenden Spule des Übertragers bezeichnet.

Die Schreibweise Ri||R j stellt dabei die übliche Notation für den Widerstand von zwei parallel

geschalteten Widerständen Ri und R j dar. Daraus erhält man die Beziehung∣∣∣∣∣Uout

Uin

∣∣∣∣∣ =ωLR2√

R1Rth − ω2LCR1Rth)2 + (ωL(R1 + Rth))2. (3.12)

3.4.2 Charakterisierung der Schaltung

Der Temperaturverlauf des Thermowiderstands wurde zunächst mit der in Abschnitt 3.2 erwähnten

Widerstandsmessbrücke vermessen. Das Ergebnis dieser Messung ist in Abbildung 3.8 dargestellt.

Der Widerstand steigt von hohen Temperaturen kommend zunächst immer steiler. Unterhalb von

etwa 10 mK sättigt der Widerstandswert, sodass die Temperaturauflösung in diesem Bereich ge-

mäß ∆T = (∂T/∂R) ∆R sehr schlecht wird. Die Messpunkte lassen sich mit der gefitteten Funktion

23


Rth(T) = R0 tanh (a/T) + Roffset + b T + c T2 (3.13)

mit a = 0,026 629 K, b = −5315 Ω/K, c = 3327 Ω/K2, R0 = 30 589 Ω sowie Roffset = 6001 Ω

beschreiben, die sich empirisch als geeignet herausgestellt hat.

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 005

1 01 52 02 53 03 54 0

T ( m K )

R th (kΩ

)

T ( m K )

R th (kΩ

)

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 02 7 , 53 0 , 03 2 , 53 5 , 03 7 , 5

Abbildung 3.8: Der Temperaturverlauf des Thermowiderstands Rth(T). Die durchgezogeneLinie zeigt einen Fit an die Messpunkte gemäß Gleichung 3.13. Die Temperatur wurde mitHilfe des in Abschnitt 3.2 beschriebenen Rauschthermometers gemessen, wobei vor jedemMesspunkt gewartet wurde, bis die Plattform thermisch relaxiert war.

Weiterhin wurde der Frequenzgang der Schaltung gemessen. Auf der spannungsauslesenden Seite

wurden dabei Übertrager mit unterschiedlichen Übertragungsverhältnissen getestet, um das kleine

Messsignal analog vorverstärken zu können. Wichtige Kenngrößen der getesteten Übertrager sind

in Tabelle 3.1 zusammengefasst.

Der Frequenzgang für die verschiedenen Übertrager ist in den Abbildungen Abbildung 3.9 für

T = 5,6 mK bzw. T = 65 mK dargestellt. Der Unterschied in der Temperatur führt zu einem unter-

schiedlichen Thermowiderstand Rth. Aus der Fitfunktion gemäß Gleichung 3.13 erhält man einen

Wert von Rth = 36 556,1 Ω bzw. Rth = 17 544,3 Ω. Insbesondere große Übertragungsverhältnisse

zeigen eine Resonanzüberhöhung im 1 kHz-Bereich, die auf die Induktivitäten und Kapazitäten im

Schaltkreis zurückzuführen ist. Eine Vergleichsmessung an einem 100 kΩ-Widerstand bei Raum-

temperatur ohne die Verwendung der Tiefpassfilter zeigt die Überhöhung nicht. Der Vergleich mit

theoretischen Vorhersagen gemäß Gleichung 3.12 liefert qualitativ gute Übereinstimmungen, die

physikalischen Fitparameter (siehe Anhang A.2) entsprechen aber nicht den Erwartungen.

24

3.4 Thermometrie

Name E-1220 E-1240 E-11620

Übersetzungsverhältnis 1:1+1 1:2+2 1:8+8Widerstand

Primärwicklung ≈ 85 Ω ≈ 100 Ω ≈ 23 ΩSekundärwicklung ≈ 250 Ω + 270 Ω ≈ 800 Ω + 880 Ω ≈ 2 kΩ + 2,3 kΩ

InduktivitätPrimärwicklung 2,7 H 2,6 H 1,2 HSekundärwicklung je 2,7 H je 10,8 H je 65,5 H

Tabelle 3.1: Zusammenfassung wichtiger Kenngrößen der verwendeten Übertrager der Fir-ma EXPERIENCE electronics. Die Übertrager haben auf der Sekundärseite zwei Spulen.Man kann nur eine oder beide Spulen kontaktieren und erhält entsprechend ein anderes Über-setzungsverhältnis. Die Schreibweise 1 : x + x für das Übersetzungsverhältnis bedeutet, dassdieses je nach Kontaktierung 1 : x oder 1 : 2x ist. Die Daten stammen, mit Ausnahme derInduktivitäten, aus den Datenblättern des Herstellers. Die Induktivitäten wurden selbst ver-messen.

Das entscheidende Kriterium für die Wahl des Übertragers ist der relative Fehler des auszule-

senden Spannungssignals. In Abbildung 3.10 sind die entsprechenden Ergebnisse für eine kon-

stante Anregungsspannung Uin dargestellt. Man erkennt, dass der relative Fehler der gemessenen

Spannung Uout ohne Übertrager am geringsten ist, während die Messungen mit Übertrager den

relativen Fehler vergrößern. Dies liegt zum einen daran, dass die Übertrager selbst als zusätzli-

che Rauschquelle betrachtet werden müssen. Zum anderem fällt durch das parallele Zuschalten

der Übertrager über dem Thermowiderstand weniger Spannung ab, sodass das zu verstärkende Si-

gnal selbst schon kleiner wird. Das letzte Argument gilt nur für konstante Anregungsspannungen

Uin. Die Argumentation wird komplexer, möchte man stattdessen die über dem Thermowiderstand

abfallende parasitäre Leistung für die verschiedenen Schaltungen konstant halten. Wegen Selbst-

heizungseffekten, die später detailliert untersucht werden, ist dies eine sinnvolle Randbedingung.

In diesem Fall hängt die Auflösung in nicht-trivialer Weise unter anderem von der Messfrequenz

und der Temperatur ab, weil der für die Auflösung relevante Parallelwiderstand R = Rth||ZÜ2aus

Thermometer und Übertrager eine Widerstandsänderung Rth(T) entsprechend kompliziert abbil-

det. Simulationen haben auch in dieser Hinsicht gezeigt, dass bei tiefen Temperaturen T < 100 mK

eine Schaltung ohne Übertrager Ü2 die beste Auflösung erreicht. Gerade bei tiefen Temperaturen

ist das Signal-zu-Rausch-Verhältnis sehr schlecht. Aus diesen Gründen wurden die nachfolgenden

Messungen, wenn nicht anders erwähnt, mit der Schaltungsvariante ohne Übertrager Ü2 durchge-

führt.

Neben der Wahl des passenden Übertragers eignet sich Abbildung 3.10 auch dazu, eine geeignete

Anregungsfrequenz zu wählen. Andere experimentelle Aufbauten im Labor und dessen Umge-

bung sowie die Netzfrequenz der Versorgungsspannung (50 Hz) und deren Oberschwingungen

sorgen für Rauschbeiträge auf definierten Frequenzen. Daher eignen sich prinzipiell Frequen-

25


0 2 5 0 0 5 0 0 0 7 5 0 0 1 0 0 0 00

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0 o h n e 1 : 2 1 : 4 1 : 8 1 : 1 6 1 0 0 k Ω o h n e 1 0 0 k Ω 1 : 2 F i t s

U out

(µV)

f ( H z )

T = 5 , 6 m K

0 2 5 0 0 5 0 0 0 7 5 0 0 1 0 0 0 00

1 0 0

2 0 0

3 0 0

f ( H z )

o h n e 1 : 2 1 : 4 1 : 8 1 : 1 6 F i t s

U out

(µV)

T = 6 5 m K

Abbildung 3.9: Oben: Frequenzverlauf für die verschiedenen Übertrager auf der auslesendenSeite bei einer Temperatur von 5,6 mK. Zum Vergleich wurde auch ohne die Tiefpassfilter ein100 kΩ-Widerstand bei Raumtemperatur gemessen. Unten: Frequenzverlauf für die verschie-denen Übertrager auf der auslesenden Seite bei einer Temperatur von 65 mK. Insbesonderegroße Übertragungsverhältnisse zeigen eine Resonanzüberhöhung. Insbesondere große Über-tragungsverhältnisse zeigen bei beiden Temperaturen eine Resonanzüberhöhung.

26

3.4 Thermometrie

zen, die keine ganzzahligen Vielfachen solcher Störquellen sind. Alle Messungen wurden bei

f = 2537,0 Hz durchgeführt.

0 2 5 0 0 5 0 0 0 7 5 0 0 1 0 0 0 00 , 0

0 , 2

0 , 4

0 , 6

0 , 8

1 , 0 o h n e 1 : 2 1 : 4 1 : 8 1 : 1 6

U ou

t/Uou

t (%)

f ( H z )

T = 6 5 m K

Abbildung 3.10: Der frequenzabhängige relative Fehler der Ausgangsspannung Uout ist fürdie verschiedenen Übertrager dargestellt.

Neben der Schaltung selbst spielen auch die Einstellungen des Lock-In-Verstärkers eine Rolle.

Besonders kritisch ist die Wahl der internen Integrationszeit tTC19. Die dazu durchgeführten Mes-

sungen sind in Abbildung 3.11 dargestellt. Zur Datenermittlung wurden je 250 Einzelmesswerte

für jede Integrationszeit gemessen und daraus der Mittelwert und die Standardabweichung berech-

net. Der Mittelwert ist innerhalb des Fehlers für alle gewählten Integrationszeiten konstant. Die

Standardabweichung σ ist für tTC < 1/ f etwa konstant. Dies ist auf die Tatsache zurückzugefüh-

ren, dass für solch kurze Integrationszeiten nicht über eine volle Periode der Wechselspannung mit

Frequenz f gemittelt wird. Für tTC > 1/ f fällt die Standardabweichung σ gemäß σ ∝ t−1/2TC ab,

wie man es auf Grund von statistischen Überlegungen erwartet.

In der Praxis werden die Messungen oberhalb von 50 mK mit einer Integrationszeit von tTC =

20 ms durchgeführt, was sich als guter Kompromiss zwischen Beobachtbarkeit des τ2-Effekts

und den Rauschschwankungen des Messsignals erwiesen hat. Unterhalb dieser Temperatur wird

das Rauschen zum limitierenden Faktor in der Temperaturauflösung und man wählt typischerweise

tTC = 50 ms. Dies erlaubt die Beobachtung des τ2-Effekts auf Zeitskalen bis etwa 200 ms.

Um das Signal-zu-Rausch-Verhältnis zu maximieren, möchte man mit einer möglichst großen An-

regungsspannung Uin auslesen. Wird die über dem Thermowiderstand abfallende Leistung aber

19Vom Englischen time constant.

27


1 E - 5 1 E - 4 1 E - 3 0 , 0 1 0 , 1 1 1 01 E - 3

0 , 0 1

0 , 1

1

1 E - 5 1 E - 4 1 E - 3 0 , 0 1 0 , 1 1 1 02 2 , 2 7 5

2 2 , 3 0 0

2 2 , 3 2 5

2 2 , 3 5 0

2 2 , 3 7 5

S t a n d a r d f e h l e r H i l f s l i n i e ~ t - 1 / 2

T C

Stand

ardfeh

ler (µ

V)

t T C ( s )

Mitte

lwert (

µV)

M i t t e l w e r t

Abbildung 3.11: Für die Bestimmung der Abhängigkeit von Mittelwert Uout und Standard-fehler σ von der gewählten Integrationszeit tTC des Lock-In-Verstärkers wurden Analog zuden Messungen des Frequenzgangs der Thermowiderstand und die Tiefpassfilter durch einen10 kΩ-Widerstand ersetzt. Der Mittelwert ist innerhalb des Fehlers konstant (Fehlerbalkensind der Übersicht wegen nur bei einigen Punkten dargestellt). Der Standardfehler bildet fürIntegrationszeiten tTC < 1/ f ein Plateau aus und fällt dann wie erwartet gemäß σ ∝ t−1/2

TC ab.

zu groß, erhitzt sich dieser lokal zu stark und die Abweichungen zwischen der Temperatur der

Plattform und der des Thermometers wird größer als der Zugewinn an Präzision durch ein grö-

ßeres Uin. Dieser Effekt nennt sich Selbstheizung. Bei konstanter Temperatur der Thermometers

gilt Uout ∝ Uin, also Uout/Uin = const. Bei Selbstheizung steigt die Temperatur, gemäß Abbil-

dung 3.8 fällt der Widerstandswert und entsprechend der elektrischen Ansteuerung damit auch die

Spannung Uout. Die Selbstheizung setzt bei tiefen Temperaturen schon bei niedrigeren Eingangs-

spannungen Uin ein. Dies liegt zum einen daran, dass die interne Wärmeleitfähigkeit der Plattform

mit abnehmender Temperatur sinkt, sodass bei gleicher Leistungsabgabe gemäß Gleichung 2.16

der Temperaturgradient zwischen Thermometer und Plattform steigt. Gleichzeitig fällt durch den

höheren Widerstandswert Rth bei tiefen Temperaturen auch mehr Wärmeleistung ab. Um den Ef-

fekt der Selbstheizung zu untersuchen, wird die Eingangsspannung Uin systematisch erhöht und

dabei die Ausgangsspannung Uout beobachtet. In Abbildung 3.12 ist das Ergebnis einer solchen

Messreihe für 6,5 mK bzw. 50 mK dargestellt. Für niedrige Eingangsspannungen Uin ist das Ver-

hältnis Uout/Uin zunächst in etwa konstant und fällt dann wie erwartet ab. Die Fluktuationen bei

niedrigen Spannungswerten für die Messung bei T = 160 mK sind durch Bereichsumschaltungen

am Lock-in-Verstärker verursacht.

Auf Grund dieser Messungen werden für die Temperaturauslesung temperaturabhängige maxi-

male Eingangsspannungen definiert. Die Messung der Wärmekapazität wird dazu in drei Tempe-

raturbereiche aufgeteilt, in denen jeweils eine andere Eingangsspannung Uin gemäß Tabelle 3.2

definiert wird. Neben der Unterschreitung der Grenzspannung für Selbstheizungseffekte, ab der

28

3.4 Thermometrie

gemäß Abbildung 3.12 Uout und Uin nicht mehr proportional zueinander sind, wurde darauf ge-

achtet, dass man den Sensitivitätsbereich des Lock-In-Verstärkers bestmöglich ausnutzt.

0 1 2 3 4 55 45 55 65 75 85 96 06 16 2

1000

U out/

U in

U i n ( m V )

T = 6 , 5 m K

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0

2 3 , 0

2 3 , 5

2 4 , 0

2 4 , 5

2 5 , 0

U i n ( m V )

1000

U out/

U in

T = 1 6 0 m K

Abbildung 3.12: Auf Grund von Selbstheizungseffekten ist das Verhältnis von Aus- zu Ein-gangsspannung Uout/Uin abhängig von der gewählten Eingangsspannung Uin. Für niedrigeEingangsspannungen Uin ist der Quotient Uout/Uin zunächst konstant, bei höheren Span-nungen aber sinkt das Verhältnis durch das Aufheizen des Thermowiderstands. Bei höherenTemperaturen ist eine höhere Eingangsspannung Uin für das Auftreten des Effekts nötig.

Bezeichnung Low-T Mid-T High-T

Temperaturbereich < 55 mK 45 − 170 mK 160 − 520 mKLock-In-Verstärker

Eingangsspannung 0,9 mV 3 mV 10 mVSensitivität 20µV 50µV 100µV

Tabelle 3.2: Die Messung der Wärmekapazität wird in drei Temperaturbereiche zerlegt, indenen jeweils andere optimierte Einstellungen verwendet werden. Die kritischen, zu ändern-den Einstellungen sind in dieser Tabelle zusammengefasst.

Mit den hier diskutierten optimierten Einstellungen wird das Signalverhältnis Uout/Uin gegen

das Kohle- bzw. Rauschthermometer kalibrieren. Dabei wird die Temperatur der Experimentier-

plattform im Kryostaten schrittweise verändert und nach einer ausreichenden Relaxationszeit des

Pucks die Ausgangsspannung Uout ermittelt. Diese Kalibrationskurve dient dann zur Bestimmung

der Temperatur der Plattform. Das Ergebnis dieser Messung ist in Abbildung 3.13 dargestellt. Der

Verlauf der Kurve verhält sich ähnlich wie der des Widerstandswerts des Thermowiderstands (vgl.

Abbildung 3.8). Dies ist in erster Näherung unter Vernachlässigung etwaiger Kapazitäten und In-

duktivitäten aus dem ohmschen Gesetz gemäß

Uout = Rth I = RthUin

Rth + R1≈ Rth

Uin

R1(3.14)

29


ersichtlich. Die einzelnen Messbereiche zeigen auch im Überlappbereich eine gute Übereinstim-

mung.

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 00 , 0 00 , 0 10 , 0 20 , 0 30 , 0 40 , 0 50 , 0 60 , 0 7

6 - 7 0 m K 4 5 - 2 0 0 m K 1 5 0 - 5 6 0 m K

U out/U

in

T ( m K )Abbildung 3.13: Die Kalibration des Thermowiderstands ist in drei Bereiche unterteilt. DieBereiche unterscheiden sich in der Eingangsspannung Uin, um Selbstheizungseffekte zu ver-meiden und den Messbereich des Lock-In-Verstärkers bestmöglich auszunutzen. Die hierfürgewählten Einstellungen sind in Tabelle 3.2 aufgeführt.

Während den Messungen wurden Verschiebungen in den Kalibrationskurven festgestellt, die sich

insbesondere bei tiefen Temperaturen stark bemerkbar machen. Die Messungen hierzu sind in

Abbildung 3.14 abgebildet. Bei tiefen Temperaturen unterhalb von 20 mK führen diese Schwan-

kungen in Verbindung mit dem Abflachen der Kalibrationskurve zu großen Fehlern in der Tempe-

raturauflösung. Denkbare Ursachen für die Abweichungen sind der Einfluss anderer Experimente

im Kryostaten oder Schwankungen in der Messelektronik. Für den Lock-In-Verstärker wurde ein

Drift nach dem Einschalten festgestellt, der etwa 30 min anhält. Aus diesem Grund ist der Lock-

In-Verstärker während eines Runs20 durchgehend eingeschaltet. Eine weitere Ursache ist die inter-

ne Relaxation der Plattform vor der Aufnahme der Messpunkte. Während für die Messungen aus

den Runs 2 und 3 Relaxationszeiten im Minuten-Bereich gewählt wurden, wurde die Messung in

Run 4 dahingehend geändert, dass für Temperaturen unterhalb von 20 mK die Relaxationszeit mit

der Temperatur skaliert wurde (t ∝ 1/T3). Die daraus resultierende Kurve liegt bei tiefen Tempera-

turen deutlich oberhalb der anderen Kurven, was für eine bessere Relaxation der Plattform spricht.

Alterungsprozesse im Thermowiderstand erscheinen unwahrscheinlich, weil die Schwankungen

der ersten drei Messungen keine zeitliche Systematik erkennen lassen. Deshalb wird die Kalibrati-

on aus Run 4 in Zukunft als Kalibrationsdatei dienen, hier gezeigten Messdaten sind jedoch noch

mit der Kalibration aus Run 2 durchgeführt.

20D.h. während einer Kaltphase des Kryostaten, die typischerweise im Bereich von mehreren Wochen liegt.

30

3.5 Heizer

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0

4 0

5 0

6 0

R u n 0 2 : 0 8 . 0 5 . 2 0 1 2 R u n 0 3 : 1 8 . 0 6 . 2 0 1 2 R u n 0 3 : 0 5 . 0 7 . 2 0 1 2 R u n 0 4 : 0 2 . 1 0 . 2 0 1 2

1000

U out/U

in

T ( m K )

5 1 06 0

6 2

6 4

Abbildung 3.14: Die Kalibrationskurve für Temperaturen T < 70 mK wurde vier mal ver-messen, um Aussagen über die Präzision machen zu können. Es zeigt sich, dass bei tiefenTemperaturen die Werte auseinanderlaufen. Die hier gewonnenen Messwerte sind also mitentsprechend großen Fehlern behaftet. Für die vierte Kurve wurde bei tiefen Temperatureneine längere Relaxationszeit gewählt.

3.5 Heizer

3.5.1 Beschreibung der Schaltung

Für die Ansteuerung des Heizers wird ebenso wie für den Thermowiderstand eine Vierdraht-

methode gewählt. Da mit Gleichstrom geheizt wird, ist eine galvanische Trennung mittels ei-

nes Übertragers nicht möglich. Deshalb bedient man sich hier eines Instrumentenverstärkers. Das

Schaltbild ist in Abbildung 3.15 gezeigt. Als Spannungsquelle dient ein Analogausgang des USB-

Datenerfassungsgerätes NI-USB 6251 Box der Firma National Instruments21. Im Folgenden wird

dieser Analog-Ausgang kurz D-A-Wandler genannt. An den Eingang des Instrumentenverstär-

kers wird eine Spannung angelegt. Zur galvanischen Trennung bezieht der Instrumentenverstärker

seine Spannungsversorgung aus zwei handelsüblichen 9-V-Block-Batterien. Der Instrumentenver-

stärker ist so verschaltet, dass er das Spannungssignal nicht verstärkt. Durch die Ausgängen des

21National Instruments Germany GmbH, Ganghoferstraße 70 b, 80339 München, Deutschland.

31


Instrumentenverstärkers wird das Signal an den Heizwiderstand übertragen. Mit dem in Serie ge-

schalteten 4,7 MΩ-Widerstand erhält man in erster Näherung eine Stromquelle, sodass man durch

das Ansteuern des D-A-Wandlers einen Strom durch den Heizer treiben kann. Die Spannung, die

über dem Heizwiderstand abfällt, wird analog Vorverstärkt (Faktor 500) und anschließend mit

Hilfe der oben erwähnten NI-USB 6251 Box digitalisiert (im Folgenden A-D-Wandler) und am

Computer weiterverarbeitet.

Der D-A-Wandler hat einen kleinen Spannungs-Offset. Um den Offsetstrom sowie Rauschbeiträge

zu minimieren, wurde der große Vorwiderstand R1 von 4,7 MΩ gewählt. Mit einem zuvor getes-

teten 470 kΩ-Widerstand konnte die Plattform tiefste Temperaturen unterhalb von circa 20 mK

nicht erreichen. Um Rauschbeiträge zu minimieren, werden analog zur Schaltung des Thermowi-

derstands alle Signale außerhalb des Kryostaten durch die Innenleiter von Koaxialkabeln geführt.

Die verschiedenen Bauelemente der Schaltung (Vorwiderstand R1, Instrumentenverstärker, Batte-

rien) sind zur Abschirmung in einem mehrere Millimeter dicken Druckguss-Aluminium-Gehäuse

untergebracht.

3.5.2 Charakterisierung der Schaltung

Der Heizwiderstand wurde mit Hilfe der in Abschnitt 3.2 erwähnten Widerstands-Messbrücke

vermessen. Der Temperaturverlauf ist in Abbildung 3.16 gezeigt. Der Widerstand steigt von hohen

Temperaturen kommend immer stärker an und sättigt bei tiefen Temperaturen unterhalb von etwa

10 mK. Die Kalibrationsdaten des Herstellers stimmen gut mit den selbst gemessenen Werten

überein. Es ist zu beachten, dass die Herstellerdaten nicht am selben, aber einem baugleichen

Puck gemessen sind und einen Temperaturbereich von 50 mK bis 500 mK abdecken. Eine kleine

systematische Abweichung der Messwerte bedingt durch Variationen im Fertigungsprozess ist

deshalb nicht überraschend. Der Temperaturverlauf kann mit Hilfe der Funktion

RH(T) = R0 tanh (a/T) + Roffset + b T + c T2 + d T3 (3.15)

mit den Parametern R0 = 6670 Ω, Roffset = 3782 Ω, a = 0,030 63 K, b = −8249 Ω/K, c =

14 979 Ω K−2 sowie d = −10 569 Ω K−3 beschrieben werden. Diese Funktion hat sich empi-

risch als geeignet herausgestellt. Weil der Heizwiderstand temperaturabhängig ist und sich so-

mit während eines Heizpulses ändert, wird mit Hilfe dieser Funktion die Heizleistung gemäß

P(t) = R((T(t)) I2 bzw. P(t) = U2/R(T(t)) berechnet. Eine Kalibration der Heizleistung ist im

Gegensatz zur Kalibration des Thermowiderstands ohne weitere Hilfsmittel nicht möglich. Daher

kalibriert man den Gesamtaufbau mit Hilfe von Wärmekapazitätsmessungen an bekannten Proben.

32

3.5H

eizer

Abbildung 3.15: Schaltplan für die Ansteuerung des Heizwiderstands: Der Pulsgenerator wird mit den Eingängen eines Instrumentenverstär-kers verbunden, der mit Verstärkungsfaktor 1 arbeitet. Dieser wird durch Batterien mit Spannung versorgt. Mit Hilfe des Vorwiderstands R1wird ein Strom definiert, der durch den Heizwiderstand auf der Plattform des QD-Pucks fließt und hier für einen Wärmeeintrag sorgt. DieSpannung, die über dem Heizwiderstand abfällt, wird analog vorverstärkt und dann digital eingelesen. Die Baugruppen in den grau hinter-legten Boxen bestehend aus Spule (470 µH), Kondensator (1 nF) und Widerstand (1 kΩ) dienen als Tiefpassfilter. Im Inneren des Kryostaten(blau hinterlegt) befinden sich das Heizwiderstand sowie ein Teil der elektrischen Zuleitungen für diesen.

33


0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 00123456789

1 01 1

E i g e n e M e s s u n g D a t e n v o n Q u a n t u m D e s i g n F i t ( e i g e n e M e s s u n g )

T e m p e r a t u r ( m K )R H (

kΩ)

T ( m K )

R H (kΩ

)

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

9

1 0

1 1

Abbildung 3.16: Der Temperaturverlauf des Heizwiderstands RH(t). Die durchgezogene Li-nie zeigt einen Fit gemäß Gleichung 3.15. Die Temperatur wurde mit Hilfe des in Abschnitt2.2 beschriebenen Rauschthermometers gemessen, wobei vor jedem Messpunkt gewartetwurde, bis die Plattform thermisch relaxiert war.

Die Funktionsweise der Schaltung kann jedoch überprüft werden, in dem man den Strom, der

durch den Heizwiderstand fließt, tatsächlich misst. Dazu wurde der Sub-Femtoampere Stromver-

stärker DDPCA-300 der Firma Femto22 in Serie an den Vorwiderstand R1 angeschlossen. Der

Heizwiderstand selbst und die Tiefpassfilter sind bei dieser Messung nicht angeschlossen. Bei

späteren Messungen mit diesen Komponente wurden aber ähnliche Ergebnisse erzielt. Der Strom

wird in Abhängigkeit der angelegten Spannung am D-A-Wandler gemessen. Das Ergebnis ist in

Abbildung 3.17 abgebildet. Der Verlauf lässt sich linear mit der Funktion

I = −7,56 · 10−11 A + 2,119 · 10−7 A V−1·U (3.16)

fitten, wobei Einzelmesswerte weniger als 0,5 % von der Fitfunktion abweichen. Der Kehrwert der

Steigung mit einem Wert von 4,72MΩ stimmt gut mit dem gemessenen Wert von R1 = 4,74 MΩ

für den Vorwiderstand überein.

Um auch die spannungsauslesende Seite zu testen, wird ein Spannungssignal U1 aus dem D-A-

Wandler an einen 10 kΩ-Widerstand angelegt und parallel dazu von der Faktor-500-Verstärkerdose

abgegriffen. Die daraus resultierende Spannung U2 wurde mit einem Spannungsmessgerät (Sour-

ceMeter 2601A der Firma Keithley23) gemessen. Die sich ergebenden Messpunkte sind in Abbil-

22FEMTO Messtechnik GmbH, Klosterstr. 64, 10179 Berlin, Deutschland.23Keithley Instruments GmbH, Landsberger Strasse 65, 82110 Germering, Deutschland.

34

3.5 Heizer

dung 3.18 gezeigt und lassen sich mit der Funktion

U2 = 501,335 U1 − 9 mV (3.17)

beschreiben. Der Verstärkungsfaktor, nominell mit 500 angegeben, wird dabei auf 501,335 be-

stimmt.

Die in Gleichung 3.16 und Gleichung 3.17 gefundenen Funktionen werden verwendet, um Strom

und über RH abfallende Spannungen bestmöglich zu kalibrieren.

- 1 , 5 - 1 , 0 - 0 , 5 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5- 4 0 0- 3 0 0- 2 0 0- 1 0 0

01 0 02 0 03 0 04 0 0

I (nA)

U ( V )

F i t : I = - 7 . 5 6 1 0 - 1 1 A + 2 . 1 1 9 1 0 - 7 A / V * U

Abbildung 3.17: Die Strom-Spannungskennlinie der Heizer-Schaltung gemäß Abbil-dung 3.15 lässt sich durch die lineare Funktion Gleichung 3.16 anpassen. Für die Messungwurde der Heizwiderstand selbst sowie die Tiefpassfilter nicht berücksichtigt.

- 1 0 - 5 0 5 1 0- 5- 4- 3- 2- 1012345

F i t : U 2 = 5 0 1 , 3 3 5 U 1 - 0 , 0 0 9 V

U 2 (V)

U 1 ( m V )

Abbildung 3.18: Die vom D-A-Wandler bereitgestellte Spannung, die über einem herkömm-lichen 10 kΩ-Widerstand abfällt, wird analog Vorverstärkt und mit Hilfe des A-D-Wandlersgemessen. Ein linearer Fit ergibt einen Verstärkungsfaktor von 501,335.

35


3.6 Messprogramm und Datenauswertung

Der in Abschnitt 3.1.2 vorgestellte Messalgorithmus wurde unter Berücksichtigung der Erkennt-

nisse aus den letzten Abschnitten im Rahmen der Bachelorarbeit von G. Schönhoff in LabView im-

plementiert. Details zur Steuerungssoftware und zum konkreten Messablauf finden sich in [Sch12].

Das Messprogramm liefert ausgewertete Datensätze. Um Details in der Auswertung zu verfeinern

und zu optimieren und fehlerhafte Datensätze herauszufiltern, können die Rohdaten aber auch

nachträglich neu ausgewertet werden. Dazu wurde im Rahmen dieser Arbeit mit Hilfe der Soft-

ware Mathematica der Firma Wolfram24 ein entsprechender Code entwickelt, der in Abschnitt A.4

erläutert wird. Alle im folgenden Kapitel gezeigten Datensätze sind mit Hilfe dieses Codes ausge-

wertet.

24Wolfram Research Europe Ltd., The Wolfram Centre, Lower Road, Long Hanborough, OxfordshireOX29 8FD, United Kingdom.

36

4 Ergebnisse und Diskussion

Mit dem vorgestellten Aufbau wurde die Addenda sowie die spezifische Wärme von Silber ge-

messen. In diesem Kapitel werden die Ergebnisse vorgestellt und diskutiert. Im Zusammenhang

mit der Addenda-Wärmekapazität werden in Abschnitt 4.1 Einzelpulse gezeigt und verschiedene

Einflussfaktoren auf das Resultat diskutiert. Anschließend werden die Ergebnisse mit der Literatur

verglichen. Die Ergebnisse der Messung von Silber werden in Abschnitt 4.2 gezeigt.

4.1 Leermessungen der Plattform

4.1.1 Einzelpulse in den drei Temperaturbereichen

Die Wärmekapazität der Addenda muss für spätere Messungen bekannt sein. Deshalb wurde zu-

nächst die Addenda vermessen. Dies ist die kleinste und damit die am schwierigsten zu messende

Wärmekapazität. Dazu wurde die Plattform auf 39 konstante Temperaturen zwischen 520 mK und

10 mK gebracht und dann jeweils mehrere Pulse für die statistische Mittelung aufgenommen. Ein-

zelpulse mit den Einstellungen gemäß Tabelle 3.2 sind in Abbildung 4.1 gezeigt. Der Heizpuls

ist bei allen Temperaturen gut zu erkennen und das gewählte mathematische Modell kann den

Verlauf korrekt beschreiben. Weiterhin ist ein leichter Abfall in der Heizleistung zu erkennen,

weil die angelegte Heizspannung, die den Heizstrom definiert, konstant ist, der Heizwiderstand

aber mit zunehmender Temperatur abnimmt. Bei tiefsten Temperaturen ist die Heizleistung in der

Größenordnung von einigen 100 fW. Die Messung dieser kleinen Heizleistungen ist ein limitie-

render Faktor für die Messgenauigkeit bei tiefen Temperaturen. Ein weiterer limitierender Faktor

ist die Temperaturauflösung. Wegen Selbstheizungseffekten muss die Auslesespannung Uin im-

mer kleiner gewählt werden. Der Anstieg in der Steilheit der Widerstandskurve Rth(T) kann dies

nicht vollständig kompensieren. Deshalb ist das Signal-zu-Rausch-Verhältnis für tiefere Tempera-

turen immer schlechter und der Temperaturhub muss immer größer gewählt werden. Dies bedeutet

einen weiteren Genauigkeitsverlust, weil die Näherung, dass während eines Pulses die Wärmeka-

pazität konstant ist, für größere Hübe schlechter erfüllt ist. Bei tieferen Temperaturen wird auch

die Temperaturstabilität des Kryostaten immer wichtiger. Diese wird aktiv geregelt und für die

hier gezeigten Daten konnten keinerlei Probleme in dieser Hinsicht festgestellt werden.

37


0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5

0

5

1 0

1 5 T ( t ) F i t N u l l l i n i e

(t)

(mK)

t ( s )

0

2 0 0

4 0 0

P (pW

)

L e i s t u n g

T 0 = 4 7 9 m K

0 1 2 3 4 5

0 , 0

0 , 5

1 , 0

1 , 5

T 0 = 5 7 m K

T ( t ) F i t N u l l l i n i e

(t) (m

K)

t ( s )

0

1

2

3

L e i s t u n g

P (pW

)

0 2 0 4 0 6 0 8 0

0 , 0

0 , 5

1 , 0

1 , 5

2 , 0

T 0 = 1 2 , 5 m K


(t) (m

K)

t ( s )

0 , 0

0 , 1

0 , 2

0 , 3

L e i s t u n g

P (pW

)

Abbildung 4.1: Einzelpulse für die Bestimmung der Wärmekapazität der Addenda bei ver-schiedenen Temperaturen zeigen den Heizpuls, den gemessenen Temperaturverlauf sowieden Fit, aus dessen Parametern die Wärmekapazität bestimmt wird. Einzelheiten sind in Ab-schnitt 4.1.1 erläutert.

38


4.1.2 Kritische Diskussion verschiedener Einflussfaktoren

PulshöheUm den Einfluss der Pulshöhe25 zu untersuchen, werden Temperaturhübe zwischen 3 % und 50 %

bei einer Badtemperatur von 51 mK und einer Heizpulslänge tPuls = τ1 gemessen. Das Ergebnis

ist in Abbildung 4.2 zu sehen. Mit zunehmender Pulshöhe (und damit steigender mittlerer Tem-

peratur Tm := (T0 + Tmax)/2 (dabei bezeichnet Tmax die maximale Temperatur während eines

Pulses) steigt die Wärmekapazität an, obwohl in diesem Temperaturbereich die Wärmekapazität

gemäß Abbildung 4.6 fallend ist. Dies könnte durch ein lokales Überhitzen des Heizers begrün-

det sein, weil bei großen Heizleistungen die Plattform nicht genügend Zeit zum relaxieren hat.

Das Thermometer würde eine tiefere Temperatur anzeigen, was zu einer größeren gemessenen

Wärmekapazität führt. Des weiteren wird der Widerstandswert des Heizers RH(T) mit Hilfe der

Temperatur des Thermometers bestimmt. Der Heizwiderstand wird demnach als zu groß ange-

nommen, was auch zu einer größeren berechneten Wärmekapazität führt.

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 02 , 7

2 , 82 , 9

3 , 0

3 , 1

C Add (n

J/K)

T e m p e r a t u r h u b ( % )

Abbildung 4.2: Die gemessene Wärmekapazität der Addenda als Funktion des Temperatur-hubs zeigt einen Anstieg mit zunehmendem Hub, der nicht durch einen Anstieg der tatsächli-chen Wärmekapazität begründet ist.

PulslängeUm den Einfluss der Heizpulslänge auf die gemessene Wärmekapazität zu untersuchen, wurden

relative Pulslängen tPuls/τ1 zwischen 10 % und 200 % bei einer Temperatur von 51 mK und ei-

nem Hub von 5 % vermessen. Die relevanten Ergebnisse sind in Abbildung 4.3 gezeigt. Oberhalb

einer relativen Pulslänge von 100 % bildet sich ein konstantes Plateau aus. Dieses Plateau bildet

den tatsächlichen Wert der Wärmekapazität ab. Hin zu kürzeren Pulslängen steigt die gemessene

Wärmekapazität an. Ein denkbarer Grund hierfür ist, dass bei kurzen Heizpulslänge die Plattform

25Mit Pulshöhe ist der relative Temperaturanstieg bezeichnet. Der Begriff wird synonym zum Begriff desTemperaturhubs verwendet.

39


nicht hinreichend Zeit zum relaxieren hat und sie lokal um den Heizer überhitzt ist. Das Thermo-

meter würde eine tiefere Temperatur anzeigen, die errechnete Wärmekapazität wäre entsprechend

größer. Gleichzeitig wären auch die Ecken der Plattform, über die die Wärme abfließt, auf einer

tiefer liegenden Temperatur und die Wärmeleitfähigkeit K1 bliebe konstant. Diese Interpretation

deckt sich mit den in Abbildung 4.3 gezeigten Messungen. Der Leitwert K1 ist für alle Messungen

innerhalb des Fehlers konstant, während die gemessene Wärmekapazität für kürzere Pulslängen

ansteigt. In der Praxis bedeutet dies, dass Messungen bei relativen Pulslängen von 100 % oder

mehr durchgeführt werden sollten.

0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 02 , 8

2 , 9

3 , 0

3 , 1

3 , 2

C Add (n

J/K)

t P u l s / τ 1 ( % )

T 0 = 5 1 m K

0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 00 , 9 5

1 , 0 0

1 , 0 5

1 , 1 0 T 0 = 5 1 m K W ä r m e l e i t w e r t K 1 M i t t e l w e r t

K 1 (nW/

K)

t P u l s / 1 ( % )

Abbildung 4.3: Die gemessene Wärmekapazität der Addenda (oben) als Funktion der Puls-länge zeigt ein Plateau bei großen relativen Pulslängen tPuls/τ1 (angedeutet durch die ge-strichelte Linie) und steigt zu kleineren Pulslängen hin an. Der ermittelte Wärmeleitwert K1(unten) zwischen Plattform und Wärmebad ist innerhalb der Fehlerbalken unabhängig vonder gewählten Pulslänge.

40


HeizpulsvorzeichenIm Rahmen der Bachelorarbeit von G. Schönhoff zur Implementierung der Steuersoftware wird

von einer Abhängigkeit der aus den Messungen ermittelten Wärmekapazitäten von der Polarität

der Heizspannung berichtet [Sch12]. Als mögliche Ursache kommt eine Thermospannung in Be-

tracht. Um andere Fehlerquellen auszuschließen, wurde die Charakteristik der Heizerschaltung

ausgemessen (vgl. Abschnitt 3.5) und in der Datenanalyse entsprechend implementiert. Die so

analysierten Daten zeigen keinen systematischen Unterschied, der von der Polarität abhängt. Um

eine etwaige Thermospannung dennoch korrekt zu berücksichtigen, werden jeweils positive und

negative Heizspannungen angelegt und die entsprechenden Wärmekapazitäten gemittelt.

Bestimmung der HeizleistungSowohl die über dem Heizer abfallende Spannung als auch der Strom durch den Heizer werden

aufgezeichnet. Damit lässt sich die Leistung gemäß P = U I berechnen. Alternativ kann man die

Leistung mittels P = U2/RH bzw. P = I2 RH bestimmen, da der Heizwiderstand RH(T) bekannt

ist (vgl. Abschnitt 3.5). Zwischen den drei Auswertemethoden ergeben sich dabei Unterschiede,

die in Abbildung 4.4 zu erkennen sind und darauf schließen lassen, dass die Messgröße U zu klein

oder der Strom I zu groß angenommen wird. Alle folgenden Daten wurden aus verschiedenen

Gründen gemäß P = I2 RH ausgewertet. Erstens liegen die Ergebnisse dieser Auswertung am bes-

ten auf den von Hersteller bereitgestellten. Zweitens lässt sich damit auch bei tiefen Temperaturen

noch die Wärmekapazität bestimmen, während die gemessene Spannung U bei tiefen Tempera-

turen stark verrauscht ist. Drittens wurde der Strom zeitweise tatsächlich gemessen und nicht nur

über die angelegte Heizspannung zusammen mit dem Vorwiderstand berechnet. Dabei konnten

keine signifikanten Abweichungen zwischen beiden Methoden zur Bestimmung des Heizstroms

festgestellt werden. Viertens dürfte die Bestimmung des Spannungsabfalls über dem Heizwider-

stand am ungenausten sein, weil die kleinen Spannungswerte zunächst analog vorverstärkt werden

müssen. Dabei liefert die Verstärkerschaltung einen zusätzlichen Rauschbeitrag zum Spannungs-

signal und eine Verschiebung der Skala kann nicht ausgeschlossen werden.

Zeitverzögerte Temperatur-AusleseBeginnt zum Zeitpunkt t0 ein Heizpuls, wird der daraus resultierende Temperaturhub zeitverzögert

vom Lock-In-Verstärker registriert. Dies ist auch dann der Fall, wenn der Lock-In-Verstärker un-

abhängig vom aufgebauten Experiment direkt an eine Spannungsquelle angeschlossen wird. Als

Ursache wird die intrinsische Eigenschaft des Lock-In-Verstärkers identifiziert, das Messsignal

aufzuintegrieren, um Rauschbeiträge zu unterdrücken. Das Messsignal folgt dem tatsächlichen

Signal deshalb zeitverzögert. Diese Verzögerung ist abhängig von der gewählten Integrationszeit

tTC, für die typischerweise 20 ms oder 50 ms gewählt wird. Die Verzögerung ist in der Größen-

ordnung von 2 − 3 tTC. Daher wurde bei der Analyse der Messwerte das Messsignal des Lock-

In-Verstärkers zeitlich gegenüber dem des Heizers verschoben, um der Verzögerung Rechnung

41


0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0012345678

P = U I P = U 2 / R P = I 2 R Q u a n t u m D e s i g n

C add (n

J/K)

T ( m K )

Abbildung 4.4: Die Berechnung der Heizleistung hat in der Praxis einen erheblichen Einflussauf die ermittelte Wärmekapazität. Gezeigt sind ermittelte Wärmekapazitäten, die mittels P =U I bzw. P = U2/RH bzw. P = I2 RH berechnet wurden.

zu tragen. Im Experiment wird der Zeitabstand zwischen zwei Messpunkten mit der Integrati-

onszeit tTC gleichgesetzt. Daher sind zunächst nur Zeitverzögerung um ganze Vielfache gemäß

tShift = n tTC mit n ∈ Z möglich.

Um die Güte des Fits bezüglich der Zeitverzögerung zu quantifizieren, wird jedem Fit ein redu-

zierter Gütekoeffizient χred gemäß

χ2red =

1N − 1

N∑i

|Γm, i − Γf, i|

Γf, i(4.1)

zugewiesen, wobei Γm, i den gemessenen Wert und Γf, i den gefitteten Wert gemäß Gleichung 3.6

bezeichnet. Die Summe läuft über alle N Einzelmesspunkte eines Pulses. Man kann nun χ2red bzgl.

der Zeitverzögerung n = tShift/tTC minimieren. Man findet, dass je nach Puls die Zeitverzögerung

bei n = 2 oder n = 3 liegt.

Man kann die Auswertung diesbezüglich noch verfeinern, wie in Abbildung 4.5 dargestellt. Da-

zu wird eine Parabel in die drei Punkte χ2red(nmin) sowie χ2

red(nmin ± 1) gelegt, wobei nmin das

minimale χ2red indiziert. Das Minimum dieser Parabel wird mit nmin ∈ R indiziert. Gleichzeitig

wird eine Gerade in die drei dazu korrespondierenden Punkte für die Wärmekapazität gelegt. Der

Wert der Geraden am Punkt nmin ist dann die gesuchte Wärmekapazität. Im High-T-Bereich (vgl.

Tabelle 3.2), wo die Zeitverzögerung wegen der geringsten Relaxationszeit τ1 den größten Ein-

42


fluss hat, ergibt sich auf diese Weise ein Mittelwert über alle Pulse von n = 2,3. Das Verfahren

ist allerdings insbesondere bei Temperaturen im Low-T-Bereich instabil. So weist χ2red teilweise

mehrere Minima auf oder die Werte neben dem Minimum nmin divergieren stark, was zum Teil

zu negativen Werten im Minimum der Parabel führt. Die verlässlichsten Ergebnisse wurden daher

mit einem fixierten Wert von n = 2 bzw. n = 3 erhalten. Alle im Rahmen dieser Arbeit gezeigten

Daten sind mit n = 2 ausgewertet, wenn nicht anders angegeben.

0

2

4

60 1 2 3 4

2 red

T 0 = 7 6 m K

0 1 2 3 42 , 3

2 , 4

2 , 5

C add (n

J/K)

n = t S h i f t / t T C

Abbildung 4.5: Zur Minimierung des reduzierten Gütekoeffizienten bzgl. der Zeitverzöge-rung des Lock-In-Verstärkers legt man in die χ2

red(n)-Punkte eine Parabel und minimiert diesebezüglich n. Diesem nmin wird dann, gemäß eines linearen Fits an die Punkte der dazu kor-respondierenden Wärmekapazität, eine Wärmekapazität zugewiesen.

4.1.3 Ergebnis der Addendabestimmung

Unter Berücksichtigung aller diskutierten Einflussfaktoren erhält man für die Wärmekapazität der

Addenda den in Abbildung 4.6 gezeigten Verlauf. Die Fehlerbalken ergeben sich aus den statis-

tischen Schwankungen der Einzelpulse. Neben den Messwerten ist auch noch eine Fitkurve ein-

gezeichnet, die sich aus den anhand der verwendeten Materialien zu vermutenden Beiträgen zur

Wärmekapazität ergibt: Elektronen, Phononen und eine Schottky-Anomalie. Die Fitkurve wird

durch die Fitparameter γ, β sowie die Energieaufspaltung ∆ES und Anzahl NS der zur Schottky-

Anomalie beitragenden Zwei-Niveau-Systeme vollständig beschrieben und gibt den Verlauf der

Wärmekapazität der Addenda gut wieder. Über die Absolutwerte von γ und β lässt sich keine

Aussage im Vergleich mit Literaturwerten treffen, weil die Einzelmassen der Saphirplattform, der

43


0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 00

2

4

6

8M o d e l l : C = C S + C E l + C P h m i t = 1 2 , 4 n J / K ^ 2 ; = 3 , 0 n J / K ^ 4 ;E S = 5 , 4 µ e V ;N S = 7 , 9 E 1 4 ;

L o w T M i d T H i g h T M o d e l lWä

rmek

apaz

ität C

add (n

J/K)

T e m p e r a t u r T ( m K )

Abbildung 4.6: Die gemessene Wärmekapazität der Addenda zeigt neben einem elektroni-schen und einem kleinen phononischen Beitrag auch eine Schottky-Anomalie bei tiefen Tem-peraturen. Die Ursache hierfür wird im Text diskutiert. Die Messwerte lassen sich durch einModell beschreiben, das elektronische und phononische Beiträge sowie Schottky-Beiträgeberücksichtigt.

Zuleitungsdrähte aus Kapton und Pt92W8 sowie der RuO2-Widerstände nicht bekannt sind. Ober-

halb von 50 mK stimmen die gemessenen Werte gemäß Abbildung 4.4 gut mit vom Hersteller

bereitgestellten Daten für eine baugleiche Plattform überein.

Die Ursache der Schottky-Anomalie lässt sich nicht mit Sicherheit abschließend beantworten. Ei-

ne mögliche Ursache sind elektrische Kern-Quadrupolmomente, enthalten sowohl in Al als auch

in Ru, die zu einer Hyperfeinstrukturaufspaltung der elektronischen Energieniveaus führen. Der

Beitrag von Al sollte dabei aber schon bei höheren Temperaturen sichtbar sein und ist in den hier

gezeigten Daten wegen seiner Größe vermutlich nicht sichtbar [Dam91]. Beiträge durch 10144 Ru

bzw. 9944Ru mit einem Kernspin von I = 5/2 werden in der Literatur als mögliche Ursache erwähnt,

die experimentellen Ergebnisse widersprechen sich jedoch in ihrer Größenordnung [Pas69, Vol94].

Wegen der unbekannten Zusammensetzung der hier verwendeten RuO2-Widerstände lassen sich

keine Absolutwerte vergleichen. Eine andere mögliche Ursache für die Schottky-Beiträge sind

magnetische Verunreinigungen im Saphir-Substrat oder den Pt92W8-Zuleitungen, die nicht ausge-

schlossen werden können [Vol94, Ho65].

44

4.2 Messungen an Silber


Neben der Messung der Addenda ist auch eine Kalibrationsmessung an einer bekannten Probe

nötig, um die Funktionsfähigkeit des Aufbaus unter Beweis zu stellen. Hierzu wurde eine zu

99,995 % reine Silberprobe in Form eines Zylinders mit einer Höhe von (99 ± 1) µm und einem

Durchmesser von (3,5 ± 0,1) mm mit Apiezon N Vakuumfett auf der Plattform befestigt [Sch12].

4.2.1 Einzelpulse in den drei Temperaturbereichen

Analog zu den Messungen für die Addenda wurde die Plattform auch für die Messung an Silber

auf verschiedene Temperaturen gebracht und es wurden jeweils mehrere Heizpulse aufgezeich-

net. Das Ergebnis ist für ausgewählte Pulse in Abbildung 4.7 und Abbildung 4.8 dargestellt. Es

gelten auch hier die allgemeinen Bemerkungen aus Abschnitt 4.1.1. Die Heizleistungen bleiben

dabei im Vergleich zu den Addenda-Messungen nahezu gleich. Es ändern sich jedoch wegen der

größeren Wärmekapazität die Relaxationszeiten τ1 und damit auch die Länge der Heizpulse. In

Abbildung 4.8 lässt sich auch bei tiefsten Temperaturen kein τ2-Effekt erkennen, der sich auf

logarithmischer Skala durch ein nicht-lineares relaxieren äußern würde.

Der Wärmeleitwert der internen Relaxation K2 zwischen Plattform und Probe ist dabei gemäß den

Fits bei hohen Temperaturen etwa 25 mal größer als der Wärmeleitwert K1 zwischen Plattform und

Wärmebad. Bei tiefsten Temperaturen steigt dieser Faktor auf etwa 150 an. Aus Gleichung 3.10

findet man mit K2 K1 die Beziehung 1/τ2 = K2(1/Cadd + 1/CS), woraus sich interne Re-

laxationszeiten im Bereich von etwa 20 ms ergeben. Diese Zeiten können im Experiment nicht

aufgelöst werden. Das in Abschnitt 3.3 erläuterte Verfahren zum Aufbringen der Probe erwies

sich dementsprechend als Erfolg.

Daneben fällt auf, dass bei tiefen Temperaturen das Maximum des Temperaturhubs ∆T zeitlich

nicht mit dem Ausschalten des Heizers übereinstimmt, sondern zeitlich verzögert stattfindet. Die-

sen Effekt kann man auch bei den Addenda-Messungen erkennen. Die Ursache hierfür ist derzeit

unklar. Der Effekt führt zu tendenziell zu groß bestimmten Wärmekapazitäten und bedarf weiterer

Untersuchungen in der Zukunft.

45


0 2 4 6 8

0

5

1 0

1 5 T ( t ) F i t N u l l l i n i e

(t) (m

K)

Z e i t t ( s )

T 0 = 4 9 9 m K

0

2 0 0

4 0 0 L e i s t u n g

Leistu

ng P

(pW)

0 5 1 0 1 5 2 0

0

1

2

3 T ( t ) F i t N u l l l i n i e

(t) (m

K)

Z e i t t ( s )

T 0 = 5 9 m K

012345

L e i s t u n g

Leistu

ng P

(pW)

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

0 , 0

0 , 5

1 , 0

1 , 5

2 , 0 T ( t ) F i t N u l l l i n i e

(t) (m

K)

Z e i t t ( s )

T 0 = 1 2 , 5 m K

0 , 0

0 , 1

0 , 2

0 , 3

L e i s t u n g

Leistu

ng P

(pW)

Abbildung 4.7: Einzelpulse zur Bestimmung der Wärmekapaztiät der Silberprobe bei ver-schiedenen Temperaturen. Gezeigt sind der Heizpuls, der gemessenen Temperaturverlauf so-wie der Fit, aus dessen Parametern die Wärmekapazität bestimmt wird. Einzelheiten sind inAbschnitt 4.2.1 erläutert.

46


0 2 4 6 8

1 , 0 0

1 0 , 0 0 T ( t ) F i t N u l l l i n i e

(t) (m

K)

Z e i t t ( s )

T 0 = 4 9 9 m K

01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 0

L e i s t u n g

Leistu

ng P

(pW)

0 5 1 0 1 5 2 00 , 1 0

1 , 0 0


(t) (m

K)

Z e i t t ( s )

T 0 = 5 9 m K

012345

L e i s t u n g

Leistu

ng P

(pW)

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 00 , 1 0

1 , 0 0


(t) (m

K)

Z e i t t ( s )

T 0 = 1 2 , 5 m K

0 , 0

0 , 1

0 , 2L e i s t u n g

Leistu

ng P

(pW)

Abbildung 4.8: Einzelpulse für die Bestimmung der Wärmekapaztiät der Silberprobe beiverschiedenen Temperaturen. Gezeigt sind der Heizpuls, der gemessenen Temperaturverlaufauf logarithmischer Skale sowie der Fit, aus dessen Parametern die Wärmekapazität bestimmtwird. Eine logarithmische Skale würde τ2-Effekte sichtbar machen. Nach dem Abschalten desHeizers würde sich ein nichtlinearer Verlauf ergeben. Einzelheiten sind im Text erläutert.

47


4.2.2 Kritische Diskussion verschiedener Einflussfaktoren

Neben den in Abschnitt 4.1.2 diskutierten Einflüssen, die weiterhin von Belang sind, gibt es bei

der Messung der Silberprobe weitere Einflussfaktoren, die näher diskutiert werden müssen. Zu-

nächst wird noch einmal auf den Einfluss der Pulslänge eingegangen. Daneben werden andere

Einflüsse diskutiert. Die Daten werden dazu teilweise unter Variation der entsprechenden Fakto-

ren analysiert, um deren Einfluss einschätzen zu können. Die Nomenklatur für die verschiedenen

Auswerteprozeduren in Tabelle 4.1 bzw. Tabelle 4.2 ist dabei wie folgt:

• v5b: Die Daten wurden mit einer Zeitverzögerung von n = tShift/tTC = 2 ausgewertet.

• v5c: Die Daten wurden mit einer Zeitverzögerung von n = tShift/tTC = 3 ausgewertet.

• v5f: Analog zu v5b, zusätzlich wurde die Heizertemperatur noch um 9,6 % nach oben kor-

rigiert.

• v5g: Analog zu v5b, aber Leistungsberechnung gemäß P = U I.

• v5h: Analog zu v5b, Leistungsberechung gemäß P = I2 RH + Pth, die durch das Thermo-

meter eingebrachte Leistung Pth wird also mit berücksichtigt.

• v5i: Analog zu v5h, der Strom I wurde aber tatsächlich gemessen und nicht aus Vorwider-

stand und angelegter Spannung errechnet.

• v6a: Analog zu v5b, allerdings mit Variabler Zeitverzögerung (vgl. dazu Abbildung 4.5).

Mit den verschiedenen Auswerteprozeduren erhält man Werte für den Sommerfeld-Koeffizienten

γ und den Vorfaktor der phononischen spezifischen Wärme der Silberpobe β, die in Tabelle 4.1

bzw. Tabelle 4.2 zusammengefasst sind. Die Parameter werden mit Literaturwerten verglichen

[Mar73, Smi95]. Der relative Anteil des phononischen Beitrags, der sich im Wert von β wider-

spiegelt, ist dabei so klein, dass bereits der statistische Fehler von β sehr groß ist und die Variation

unter Berücksichtigung verschiedener Einflüsse zu einer Unsicherheit im Bereich von 100 % führt.

Die Ergebnisse sind daher zwar aufgeführt, aber nicht verlässlich. Sie werden bei der folgenden

Diskussion daher nicht weiter betrachtet. Zur akkuraten Bestimmung von β müssten die Messun-

gen hin zu höheren Temperaturen fortgeführt werden. Der Einfluss verschiedener Faktoren auf die

ermittelte spezifische Wärme wird im Folgenden diskutiert.

PulslängeBei den Addenda-Messungen hat sich gezeigt, dass die berechnete Wärmekapazität mit abneh-

mender relativer Pulslänge tPuls/τ1 leicht zunimmt. Dieser Effekt wird auch bei der Silberpro-

be beobachtet und ist hier sogar stärker ausgeprägt, wie Abbildung 4.9 zeigt. Während bei der

Messreihe der Addenda der Anstieg der berechneten Wärmekapazität von tPuls/τ1 = 200 %

zu tPuls/τ1 = 10 % etwa 7 % beträgt, beobachtet man bei der Silberprobe einen Anstieg von

26 %. Weiterhin ist der sich aus der Analyse der Messwerte ergebende Wärmeleitwert K1 für die

48


Addenda-Messungen unabhängig von der relativen Pulslänge, während die Silbermessungen auch

hier einen Anstieg von 20 % im gleichen Intervall zeigen. Die Messungen müssen daher mit einer

relativen Pulslänge von mindestens 100 % durchgeführt werden, da die Werte ab hier auf einem

nahezu konstanten Wert liegen. Die genaue Ursache für dieses Verhalten kann nur vermutet wer-

den. Ein möglicher Erklärungsversuch führt die Erläuterungen aus dem entsprechenden Abschnitt

über die Addenda-Messungen fort: Die kürzere Heizpulszeit könnte zu einem lokalen Überhitzen

um den Heizer führen, der durch das Thermometer nicht vollständig erfasst wird, sodass eine ent-

sprechend größere Wärmekapazität ermittelt wird. Im Unterschied zur Addenda-Messung führt

hier auch die Silberprobe selbst Wärme vom Heizer ab und leitet diese zu den Ecken der Platt-

form, wo die zum Wärmebad abgehenden Pt92W8-Drähte erwärmt werden. Dadurch steigt der

Wärmeleitwert gemäß K1 = aT + bT2 (vgl. Abschnitt 4.4). Dies könnte den Effekt im Vergleich

zu Messungen an der Addenda verstärken.

MassenbestimmungIn die Berechnung der molaren Wärmekapazität fließt gemäß cmol = C M/m neben der molaren

Masse M auch die Masse m der Probe ein. Entsprechend führt eine Unsicherheit der Massenbe-

stimmung ∆m/m zu einer Unsicherheit der molaren Wärme ∆cmol/cmol. Die gemittelte Masse

aus 8 Einzelmessungen ergab einen Wert von (9,95 ± 0,02) mg. Einige Wochen zuvor war in ei-

ner einzigen Messung ein Wert von 9,7 mg gefunden worden. Eine Massenzunahme durch Ober-

flächenoxidation oder Diffusion kann die Zunahme nicht erklären [Roo89]. Der Messwert von

9,7 mg wird deshalb als Messfehler betrachtet. Es wird in den folgenden Rechnungen von einer

Masse von (9,95 ± 0,02) mg ausgegangen.

Apiezon N VakuumfettDie Einflüsse durch das verwendete Apiezon N Vakuumfett können nur abgeschätzt werden. Eine

Lösung von etwa (0,2 ± 0,1) mg aus Apiezon N und Toluol (Methylbenzol) wurde zur Befestigung

der Probe auf die Plattform getropft. Das Toluol verdunstet dabei zum größten Teil. Die Massen-

abnahme konnte jedoch nicht gemessen werden, was vermutlich auf Ungenauigkeiten in der Mas-

senbestimmung zurückzuführen ist. Im hier verwendeten Messverfahren wurde der gesamte Puck

(≈ 11 g) mit und ohne Apiezon-Lösung (≈ 0,2 mg) gewogen und die Differenz gebildet. Dies

begründet den großen Fehler bei der Massenbestimmung der Lösung. Für zukünftige Messungen

muss das Messverfahren an dieser Stelle optimiert werden. Ein weiterer Unsicherheitsfaktor ist

die Wärmekapazität von Apiezon N, die nur bis zu Temperaturen von etwa 100 mK publiziert ist

[Sch81]. Eine mögliche Schottky-Anomalie für Apiezon N, die in der Literatur nicht genau ver-

messen ist, sorgt für weitere Unsicherheiten bei tiefen Temperaturen. Der Einfluss von Apiezon N

auf die gemessenen Wärmekapazitäten wird gemäß Tabelle 4.1 auf 0,5 % abgeschätzt.

49


0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 03 , 5

4 , 0

4 , 5

5 , 0T 0 = 5 1 m K

C 1 0 0 % / C 2 0 0 % = 1 0 1 , 6 6 %

Wärm

ekap

azitä

t CAg

(nJ/K

)

t P u l s / 1 ( % )

0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 00 , 8 50 , 9 00 , 9 51 , 0 01 , 0 51 , 1 0

T 0 = 5 1 m K

K 1 (nW/

K)

t P u l s / 1 ( % )Abbildung 4.9: Die ermittelte Wärmekapazität der Silberprobe (oben) als Funktion der Puls-länge zeigt ein Plateau bei hohen relativen Pulslängen tPuls/τ1 und steigt hin zu kleinerenPulslängen an. Der Wärmeleitwert (unten) der Plattform zeigt ein ähnliches Verhalten undunterscheidet sich damit von den Addenda-Messungen (vgl. Abbildung 4.3).

Zeitverzögerte Temperatur-AuslesungDie zeitverzögerte Temperaturauslesung, deren Ursache in Abbildung 4.1.2 erläutert wurde, ist im

verwendeten Modell gemäß Abschnitt 3.1.2 nicht berücksichtigt. Dies führt zu falschen Fitpara-

metern und in der Folge zu falsch ermittelten Wärmekapazitäten. Durch ein zeitliches Verschieben

des Temperatursignals relativ zum Heizsignal kann dies korrigiert werden. Wegen der Ungenauig-

keit in der Verschiebung ergibt sich jedoch ein Fehler in der ermittelten Wärmekapazität, der sich

gemäß den Auswerteprozeduren v5b bzw. v5c auf etwa 0,8 % beläuft. Die Auswertung mit einer

variablen Zeitverzögerung gemäß v6a liefert dabei unphysikalische Variationen in der relativen

Zeitverzögerung n und hat die in Abschnitt 4.1.2 erläuterten Probleme. Daher hat sie sich als nicht

praktikabel erwiesen und wir für die Analyse im Allgemeinen nicht verwendet.

50


Bestimmung der HeizleistungWie bereits zuvor erläutert, sind die Ergebnisse, die man mit einer Berechnung der Heizleistung

über P = I2RH erhält, am verlässlichsten. Die Abweichungen der gemessenen Wärmekapazitäten

liegen dabei systematisch etwa 5 % höher als entsprechende Literaturwerte [Mar73]. Eine mögli-

che Erklärung für diese größtenteils systematische Abweichung wäre das lokale Überhitzen des

Heizers, sodass dieser tatsächlich wärmer ist als die Plattform. Dazu wurde untersucht, um wel-

chen Faktor f der Heizer wärmer sein müsste als die Plattform, um die Abweichung zu erklären.

Man findet einen Wert von 9,6 %. Der sich ergebende Verlauf ist in Abbildung 4.10 zusammen

mit den Fehlern der Einzelpunkte eingezeichnet und stimmt insbesondere bei hohen und mittleren

Temperaturen gut mit dem beobachten Verlauf überein. Ein solches lokales Aufheizen des Heizers

könnte durch eine Leistungsberechnung gemäß P = U I korrekt erfasst werden (v5g). Da die Be-

stimmung der über dem Heizer abfallenden Spannung aber wie bereits diskutiert unzuverlässig ist,

lässt sich dies nicht abschließend klären. Systematisch fehlerbehaftete Messwerte der herangezo-

genen Literaturwerte kommen als andere mögliche Ursache in Betracht. Ein Ziel für die Zukunft

muss daher sein, die über dem Heizer abfallende Spannung korrekt zu messen.

Darüber hinaus wurde auch eine Leistungsberechnung gemäß P = I2/RH + Pth durchgeführt, wo-

bei Pth die über dem Thermometer abfallende Leistung bezeichnet und bei tiefsten Temperaturen,

wo sie den größten Einfluss zeigt, im Bereich von 100 fW liegt. Bei dieser Methode zeigen sich

an den Übergängen zwischen den drei Temperaturbereichen Sprünge in der Wärmekapazität, die

durch die sprunghafte Änderung der Auslesespannung des Thermometers bedingt sind. Die Leis-

tung Pth wird demnach falsch abgeschätzt. In einer weiteren Messreihe (v5i) wurde der Strom

durch den Heizer tatsächlich gemessen. Man findet dann eine Abweichung in der Wärmekapazität

von −2,5 % im Vergleich zu v5h. Diese systematische Abweichung kann vermutlich mit einer Re-

kalibration des Heizstroms in zukünftigen Messungen korrigiert werden. Im Rahmen dieser Arbeit

wurde die Heizleistung gemäß P = I2/RH berechnet und ein entsprechend großer systematischer

Fehler angenommen.

Berücksichtigt man alle genannten Einflüsse, lässt sich der Fehler des Sommerfeld-Koeffizienten

γ, der von der Bestimmung der Heizleistung herrührt, auf etwa −3 % abschätzen.

51


0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0- 505

1 01 52 02 5

H i g h T M i d T L o w T N u l l l i n i e R H ( T ) k o r r i g i e r t

(c Ag - c

Lit) / c

Lit (%

)

T m ( m K )Abbildung 4.10: Dargestellt ist die prozentuale Abweichung zwischen den Einzelmesspunk-ten und den Literaturwerten [Mar73]. Die gestrichelte Linie zeigt den erwarteten Fehlerver-lauf für einen 9,6 % zu warmen Heizer.

ZusammenfassungFasst man die diskutierten Einflüsse zusammen, so erhält man folgende Fehler:

• statistischer Fehler: ∆S = ±1 %

• Pulslängenbedingter Fehler: ∆PL = −1 %

• Fehler durch Apiezon: ∆Ap = ±0,5 %

• Fehler durch Silbermasse: ∆Ag = ±0,2 %

• Fehler in der Leistungsberechnung: ∆P = −3 %

Berücksichtigt man alle genannten Argumente und Fehlerquellen, kommt als bester Schätzwert

derjenige aus dem linearen Fit C = γT + βT3 der Methode v5b in Frage. Dabei werden die

Messwerte unterhalb von 50 mK nicht berücksichtigt, weil hier die Fehlerquellen zu vielfältig

sind (Schottky-Anomalie in der Addenda und im Vakuumfett, Wärmekapazität der Addenda und

von Silber in der selben Größenordnung, Temperaturauflösung immer ungenauer, Zeitversatz zwi-

schen Temperaturmaximum und Heizerabschaltung). Man erkennt in Abbildung 4.12 auch, dass

die gemessenen Wärmekapazitäten hin zu tiefen Temperaturen systematisch vom erwarteten Ver-

lauf abweichen.

Man findet für den Sommerfeld-Koeffizienten γAg von Silber das Ergebnis

γAg = (647 + 11 − 37) µJ/(molK2) . (4.2)

52


Die Messdaten sind zusammen mit dem Fit und den Literaturwerten in Abbildung 4.11 bzw. Ab-

bildung 4.12 aufgeführt. In der Darstellung c/T gegen T2 erkennt man eine systematische Abwei-

chung der Messergebnisse vom erwarteten linearen Verhalten unterhalb von 150 mK. Mögliche

Ursachen hierfür sind die ungenaue Bestimmung der Addenda-Wärmekapazität oder Verunreini-

gungen in der Probe. Eine Messung weiterer Proben oder unterschiedlich schwerer Silberproben

erscheint für die abschließende Klärung dieser Frage nötig.

4.2.3 Vergleich mit Ergebnissen aus der Literatur

In der Literatur finden sich keine Daten unterhalb von 400 mK für die Wärmekapazität von Sil-

ber. Eine Übersicht über gemessene Wärmekapazitäten von Silber bei tiefen Temperaturen findet

sich in [Phi71]. Mittelt man über die zwölf dort angegebenen Werte im Temperaturbereich un-

terhalb von 10 K, findet man γAg = (640 ± 17) µJ/(molK2). Die verschiedenen Messreihen von

Martin et al. beinhalten Werte unterhalb von 1 K und erscheinen deshalb für einen Vergleich am

sinnvollsten. In den vorherigen Abschnitten wurde deshalb zum Vergleich immer [Mar73] mit

γAg = (640 ± 1) µJ/(molK2) zum Vergleich herangezogen. Innerhalb des Messfehlers stimmt der

in dieser Arbeit gefundene Wert von γAg = (647 + 11 − 37) µJ/(molK2) sehr gut mit diesen

Literaturwerten überein. Um den Fehler des hier gefundenen Werts weiter zu minimieren, sind

weitere Messreihen notwendig. Die gemessenen Werte sind zusammen mit einem Fit und dem Fit

aus [Mar73] in Abbildung 4.11 bzw. Abbildung 4.12 dargestellt.

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 00

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

H i g h T M i d T L o w T F i t M a r t i n 1 9 7 3

c Ag (µ

J/(mo

l K))

T ( m K )

F i t : γ T + β T 3 m i tγ = 6 5 0 µ J / ( m o l K 2 )β = 2 8 3 µ J / ( m o l K 4 )m A g = 9 , 9 5 m gm A p = 0 , 1 m g

Abbildung 4.11: Die gemessene spezifische Wärme von Silber sind gezeigt. Dazu ist ein Fitgemäß C = a T + b T3 sowie der in [Mar73] gefundene Verlauf dargstellt.

53


0 , 0 0 , 1 0 , 2 0 , 36 0 0

7 0 0

8 0 0

H i g h T M i d T L o w T M a r t i n 1 9 7 3

F i t

c Ag / T

(µJ/(

mol K2 ))

T m2 ( K 2 )

F i t : γ T + β T 3 m i tγ = 6 5 0 µ J / ( m o l K 2 )β = 2 8 3 µ J / ( m o l K 4 )m A g = 9 , 9 5 m gm A p = 0 , 1 m g

Abbildung 4.12: Die Messwerte der spezifischen Wärme von Silber sind aufgetragen alsC/T gegen T2. Dazu ist ein Fit sowie der in [Mar73] gefundene Verlauf dargstellt. Die syste-matisch Abweichung der gemessenen spezifischen Wärme vom erwarteten Verlauf bei tiefenTemperaturen ist in diese Darstellung verstärkt zu erkennen.

Weiterhin gibt es auch theoretische Voraussagen für den Sommerfeldkoeffiziente von Silber. Auf

Grundlage des Bandstrukturmodells für Silber errechnet man dabei einen Wert von γTheorie =

625 µJ/(molK2) [Ric12]. Dieser Wert stimmt innerhalb des Fehlers mit dem in dieser Arbeit ge-

fundenen Wert überein. Dabei ist anzumerken, dass das verwendete Modell elektronische Korel-

lationseffekte nur bedingt erfasst und der gefundene Wert deshalb eine untere Schranke für den

Sommerfeldkoeffizienten darstellt und in der Realität höher liegen kann. Diese Tatsache kommt

der Übereinstimmung mit dem experimentell gefundenen Wert entgegen.

54


Auswerteprozedur γ (µJ/(molK2)) ∆γ / γLit β (µJ/(molK4)) ∆β / βLit

01. v5b, C = γT + βT3

HML, 0 µg 654,80 2,31 % 294,38 76,27 %HML, 100 µg 650,10 1,58 % 281,82 68,75 %HML, 130 µg 648,69 1,36 % 278,05 66,50 %

HM, 0 µg 650,26 1,60 % 316,31 89,40 %HM, 100 µg 647,41 1,16 % 294,84 76,55 %HM, 130 µg 646,55 1,02 % 288,40 72,70 %

02. v5b, C/T = γ + βT2

HML, 100 µg 680,63 6,35 % 100,02 −40,11 %

HM, 100 µg 660,47 3,20 % 217,44 30,21 %HM, 130 µg 657,87 2,79 % 221,30 32,51 %

H, 100 µg 642,76 0,43 % 302,21 80,96 %

03. v5c, C = γT + βT3


HM, 0 µg 655,46 2,42 % 320,60 91,98 %HM, 100 µg 652,60 1,97 % 299,14 79,12 %HM, 130 µg 651,75 1,84 % 292,70 75,27 %

04. v5c, C/T = γ + βT2

HM, 100 µg 665,47 3,98 % 222,88 33,46 %HM, 130 µg 662,88 3,57 % 226,73 35,77 %

05. v5f, C = γT + βT3

HML, 0 µg 629,88 −1,58 % 283,64 69,84 %HML, 100 µg 625,35 −2,29 % 271,63 62,65 %

HM, 0 µg 627,26 −1,99 % 296,31 77,43 %HM, 100 µg 622,78 −2,69 % 284,02 70,07 %

Tabelle 4.1: Fitparameter γ und β sowie deren Abweichungen zum Literaturwert [Mar73,Smi95] für die verschiedenen Auswerteprozeduren. Weiterhin wird angegeben, welche Da-tenpunkte in den Fit eingeflossen sind (aus den Temperaturbereichen High, Mid bzw. Low).Des Weiteren ist die angenommene Apiezon-Masse aufgeführt.

55


Auswerteprozedur γ (µJ/(molK2)) ∆γ / γLit β (µJ/(molK4)) ∆β / βLit

06. v5f, C/T = γT + βT2

HM, 50 µg 636,98 −0,47 % 218,35 30,75 %HM, 100 µg 632,84 −1,12 % 224,44 34,39 %

07. v5g, C = γT + βT3

HML, 100 µg 575,57 −10,07 % 446,48 167,35 %

HM, 100 µg 581,11 −9,20 % 419,70 151,32 %

08. v5h, C = γT + βT3


HM, 0 µg 643,03 0,47 % 307,22 83,96 %HM, 20 µg 642,45 0,38 % 302,92 81,39 %HM, 100 µg 640,17 0,03 % 285,75 71,11 %

H, 100 µg 621,05 −2,96 % 376,14 125,23 %

09. v5h, C/T = γT + βT2

HM, 0 µg 666,89 4,20 % 165,78 −0,73 %HM, 100 µg 658,24 2,85 % 178,63 6,96 %

H, 100 µg 625,24 −2,31 % 352,65 111,17 %

10. v5i, C = γT + βT3

HM, 0 µg 626,98 −2,04 % 171,23 2,53 %HM, 100 µg 623,99 −2,50 % 150,37 −9,96 %

11. v6a, C = γT + βT3

HM, 0 µg 667,67 4,32 % 134,48 −19,47 %HM, 100 µg 664,29 3,80 % 115,36 −30,92 %

12. v6a, C/T = γT + βT2

HM, 100 µg 678,64 6,04 % 25,35 −84,82 %HM, 140 µg 674,24 5,35 % 36,82 −77,95 %

Tabelle 4.2: Fitparameter γ und β sowie deren Abweichungen zum Literaturwert [Mar73,Smi95] für die verschiedenen Auswerteprozeduren. Weiterhin wird angegeben, welche Da-tenpunkte in den Fit eingeflossen sind (aus den Temperaturbereichen High, Mid bzw. Low).Des Weiteren ist die angenommene Apiezon-Masse aufgeführt.

56

4.3 Messungen an K0,9Na0,1Fe2As2

4.3 Messungen an K0,9Na0,1Fe2As2

Zusammen mit P. Vogt wurde die Wärmekapazität eines 1,6 mg schweren K0,9Na0,1Fe2As2-Kristalls

gemessen. Dieser wird unterhalb der Sprungtemperatur TC ≈ 2,75 K supraleitend [AH12]. In Ab-

bildung 4.13 sind die mit der hier vorgestellten Messapparatur gemessenen Wärmekapazitäten

sowie Messwerte bei höheren Temperaturen aus [AH12] dargestellt. Im Temperaturbereich, in

denen aus beiden Messungen Ergebnisse vorliegen, zeigen die Messwerte eine sehr gute Überein-

stimmung.

Die Probe zeigt unterhalb der Sprungtemperatur bis hin zu 100 mK einen quadratischen Verlauf

in der gemessenen Wärmekapazität und die mit dem QD-Puck ermittelten Messwerte lassen sich

gemäß

cT

= 52 mJ/(molK2) + 43 mJ/(molK3) · T (4.3)

beschreiben. Dieses Verhalten widerspricht der konventionellen BCS-Theorie für Supraleiter, die

ein exponentielles Verhalten C ∝ exp−∆/(kBT) voraussagt [Bar57b]. Die Energielücke zwischen

dem Grundzustand und angeregten Cooper-Paaren wird dabei mit ∆ bezeichnet. Linienartige Kno-

ten an der Fermioberfläche könnten dieses Verhalten erklären [Sig91]. Eine detaillierte Interpre-

tation der Daten und eine eingehende Fehleranalyse der hier gezeigten Messwerte findet sich an

anderer Stelle [AH12, Vog13].

0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 00

4 0

6 0

8 0

1 0 0

1 2 0

K a 0 , 9 N a 0 , 1 F e 2 A s 2 ( e i g e n e M e s s u n g ) K a 0 , 9 N a 0 , 1 F e 2 A s 2 ( A b d e l - H a f i e z e t a l . ) F i t c / T = a + b T m i t

a = 5 2 m J / ( m o l K 2 ) u n d b = 4 3 m J / ( m o l K 3 )

c / T (

mJ/(m

ol K2 ))

T ( m K )Abbildung 4.13: Die gemessenen Wärmekapazitäten der K0,9Na0,1Fe2As2-Probe zusammenmit Messwerten bei höheren Temperaturen aus [AH12] zeigt unterhalb der SprungtemperaturTC ≈ 2,75 K ein quadratisches Verhalten C ∝ T2.

Insgesamt zeigt der Vergleich mit Ergebnissen aus anderen Laboren, dass die hier vorgestellte

Messapparatur sehr gute Ergebnisse liefert.

57


4.4 Wärmeleitwert zwischen Plattform und Bad

Der Wärmeleitwert lässt sich gemäß Gleichung 2.24 beschreiben. Abbildung 4.14 zeigt die ermit-

telten Wärmeleitwerte zwischen Plattform und Bad aus den Messreihen von Addenda, Silber und

K0,9Na0,1Fe2As2 zusammen mit einem Fit sowie die von QuantumDesign bereitgestellten Daten.

Die Messpunkte werden innerhalb der Fehlertoleranz gut durch das diskutierte Modell beschrie-

ben. Die gemessenen Werte liegen jedoch systematisch unterhalb der Werte, die QuantumDesign

an einem baugleichen Puck gemessen hat.

Für den Datensatz aus der Addenda-Messreihe skalieren beide Fitparameter a und b mit dem sel-

ben Faktor (etwa 1,45) relativ zu den Fitparametern, die sich aus der Anpassung der Funktion

an die durch QuantumDesign zur Verfügung gestellten Messwerte ergeben. Produktionsbeding-

te Variationen in der Drahtdicke oder -länge und unterschiedliche Abkühlgeschwindigkeiten und

Mischungsverhältnisse der Drahtlegierung kommen daher als mögliche Ursache für die gefun-

dene Abweichung in Betracht. Die ermittelten Leitwerte für die Messungen an K0,9Na0,1Fe2As2

stimmen gut mit den Addenda-Messwerten überein. Die ermittelten Werte aus den Messungen an

der Silberprobe sind mit den gefundenen Werten nicht konsistent und liegen leicht unterhalb der

gefundenen Werte für Messungen der Addenda und von K0,9Na0,1Fe2As2. Die Ursache hierfür ist

unklar. Um weitere Aussagen treffen zu können, müssten Messungen an einer weiteren Silberpro-

be durchgeführt werden.

Ein Blick in die Literatur zeigt, dass die Wärmeleitfähigkeit von Kapton im Vergleich zu den

Pt92W8-Drähten vernachlässigbar ist [Law00, Buh65]. Nimmt man für die Pt92W8-Drähte eine

Länge von 5 mm und einen Durchmesser von 25,4 µm an [Bep11], so ergibt sich κPt92W8 =

a T + b T2 mit a = 0,68 mW/(cmK) und b = 1,2 mW/(cmK2). In der Literatur findet man

a = 0,64 mW/(cmK) und b = 0,067 mW/(cmK2) [Buh65]. Der in dieser Arbeit ermittelte pho-

nonische Beitrag ist um einen Faktor von etwa 20 höher als der in der Literatur angegebene Wert.

Es sei deshalb erwähnt, dass die aus der Literatur entnommen Werte aus Messungen einer leicht

anderen Legierungszusammensetzung (Pt91W9) oberhalb von T = 1 K stammen. Außerdem ist

die effektive Länge der Pt92W8-Drähte in der hier durchgeführten Abschätzung mit einem großen

Fehler behaftet, da sie nur aus einer technischen Zeichnung abgeschätzt wurde.

58

4.4 Wärmeleitwert zwischen Plattform und Bad

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 00

1 0

2 0

3 0

4 0M o d e l l : K 1 = a T + b T 2 m i t F i t a n d i e M e s s u n g e n v o nS i l b e r : a = 2 1 , 6 n W / K 2 b = 4 5 , 4 n W / K 3

A d d e n d a : a = 2 7 , 6 n W / K 2 b = 5 0 , 1 n W / K 3

K 0 , 9 N a 0 , 1 F e 2 A s 2 : a = 2 9 , 3 n W / K 2 b = 5 0 , 5 n W / K 3

Q u a n t u m D e s i g n : a = 3 9 , 5 n W / K 2 b = 7 3 , 6 n W / K 3

A d d e n d a S i l b e r K 0 , 9 N a 0 , 1 F e 2 A s 2 Q u a n t u m D e s i g n F i t s K 1 = a T + b T 2

K 1 (nW/

K)

T m ( m K )Abbildung 4.14: Der gemessene Wärmeleitwert zwischen Plattform und Wärmebad für dieMessreihen von Addenda, Silber und K0,9Na0,1Fe2As2 lässt sich gut durch das Modell gemäßGleichung 2.24 beschreiben. Die Wärmeleitwerte sind deutlich kleiner als die von Quantum-Design an einem baugleichen Puck gemessenen Werte.

59

5 Entwicklung eines hochauflösenden Kalorimeters

In den letzten Kapiteln wurden Aufbau und Kalibration des kommerziell erhältlichen QD-Pucks

diskutiert. Ziel dieser Arbeit ist es auch, die mit dieser Plattform gewonnen Erkenntnisse in einen

eigenen Aufbau einfließen zu lassen. In diesem Kapitel wird das Grundprinzip und Design einer

selbst entwickelten, verbesserten Plattform vorgestellt. Dazu wird zunächst das Funktionsprinzip

des verwendeten Thermometers erläutert und im darauf folgenden Kapitel eine entsprechende

Umsetzung vorgestellt.

5.1 Metallische magnetische Thermometrie

Paramagnetische Temperatursensoren sind im Bereich der Festkörperphysik schon seit langem

etabliert. Der Erfolg dieser Methode gründet auf der starken Temperaturabhängigkeit der parama-

gnetischen Magnetisierung sowie der exzellenten Auslesepräzision der Messgröße.

Das Funktionsprinzip des hier verwendeten Thermometers kann dabei wie folgt zusammengefasst

werden: Das paramagnetische Sensormaterial in einem schwachen externen Magnetfeld B besitzt

eine temperatur- und magnetfeldabhängige Magnetisierung M = M(T,B). Diese kann durch die

Detektionsspule eines rauscharmen Magnetometers sehr genau bestimmt werden, wie später ge-

zeigt werden wird.

Im Allgemeinen resultiert eine Erwärmung des Sensormaterials durch einen Energieeintrag E in

einer Änderung der Magnetisierung des Sensormaterials und damit zu einer Änderung im magne-

tischen Fluss

δΦ ∝ δM =∂M∂T

δT '∂M∂T

ECadd

. (5.1)

in der Detektionsspule des Magnetometers. Das Gleichheitszeichen in der letzten Umformung gilt

unter der Annahme einer temperaturunabhängigen Wärmekapazität Cadd.

Die ursprüngliche Zielsetzung bei der Entwicklung solcher Thermometer war die energieaufge-

löste Detektion von Elementarteilchen mit Energie E [Fle05]. Um das detektierte Signal zu maxi-

mieren, wurden die Aufbauten daher bezüglich der Wärmekapazität Cadd minimiert und bezüglich

der Temperaturabhängigkeit der Magnetisierung maximiert. Dies ist auch für die hier diskutierte

Anwendung sinnvoll.

Eine verdünnte Legierung aus Gold als Wirtsmetall mit einer Dotierung mit dem Seltenerdme-

tall Erbium (Au:Er) hat sich als Sensormaterial bewährt. Ein Dotierungsgrad von typischerwei-

60


se einigen 100 ppm ist üblich. Im Gegensatz zu dielektrischen Wirtsmaterialen sorgt Gold auf

Grund seiner Leitungselektronen für eine gute thermische Kopplung an die paramagnetischen

Erbium-Ionen. Es ist außerdem bezüglich seiner Verarbeitbarkeit, Magnetisierung und chemischer

Stabilität gut erforscht und kann im institutseigenen Reinraum entsprechend verarbeitet werden

[Fle03, Ens00].

5.1.1 Eigenschaften des Sensormaterials Au:Er

Die Kenntnis der thermodynamischen Eigenschaften des paramagnetischen Sensormaterials Au:Er

sind für das Verständnis des Magnetometersignals von entscheidender Bedeutung. Diese Eigen-

schaften sind bereits wohlbekannt und gut verstanden und an anderer Stelle im Detail erläutert

(z.B. [Sch00, Fle03, Fle05]). Die wichtigsten Eckpunkte sollen hier zusammengefasst werden.

Er -Ion

5s- und 5p-Orbitale

4f-Orbital

Gold-Ion

3+

Abbildung 5.1: SchematischerKristallausschnitt einer Au:Er-Legierung: Ein Er3+-Ion sitzt aufeinem regulären Platz in der fcc-Matrix von Gold; eingezeichnetsind auch die äußeren besetztenOrbitale 5s und 5p sowie das tiefim Innern liegende 4f-Orbitaldes Er3+-Ions. Entnommen aus[Fle03].

Atomares Erbium liegt in der Elektronen-Konfiguration [Xe] 4f12 6s2 vor. Eingebettet in Gold

werden drei Elektronen an das Leitungsband abgegeben und das Er3+-Ion mit der Konfigurati-

on [Xe] 4f11 nimmt einen regulären Gitterplatz in der fcc-Matrix von Gold ein. Das unvollstän-

dig gefüllte 4f-Orbital begründet dabei das paramagnetische Verhalten. Mit einem Radius von

r4f ≈ 0,3 Å liegt es tief im Innern des Er3+-Ions (rion ≈ 1 Å), sodass das Kristallfeld des Wirts-

kristalls stark abgeschirmt wird und das magnetische Moment ~µ = gJ~J der Er3+-Ionen mittels der

Hundschen Regeln bestimmt werden kann (Gesamtdrehimpuls J = 15/2, Landé-Faktor gJ = 6/5).

Die 16-fache Entartung des Grundzustandes der Er3+-Ionen spaltet im fcc-symmetrischen Kris-

tallfeld des Wirtsmaterials auf in ein Γ6-Dublett, ein Γ7-Dublett sowie drei Γ8-Quartette. Dabei

liegt das Γ7-Dublett energetisch am niedrigsten. Im Nullfeld liegt die Energieaufspaltung zwi-

schen dem Grundzustand und dem ersten angeregtem Zustand, einem Γ8-Quartett, im Bereich von

(15 ± 4) K · kB [Fle05]. Im vorgesehenen Temperaturbreich T < 1 K werden die angeregten Zu-

stände daher nicht besetzt und spielen in der weiteren Betrachtung keine Rolle. In einem äußeren

Magnetfeld lässt sich das Er3+-Ion demnach als Zwei-Niveau-System mit effektivem Spin S = 1/2

und effektivem g-Faktor g = 34/5 beschreiben [Abr86].

61


Ohne Wechselwirkung zwischen den Er3+-Ionen wäre die Berechnung der Wärmekapazität (vgl.

Abschnitt 2.2.3) und auch der Magnetisierung eine einfache Anwendung der statistischen Phy-

sik. Es hat sich jedoch gezeigt, dass die Wechselwirkungen zwischen den Ionen für eine quanti-

tativ korrekte Beschreibung berücksichtigt werden muss. Relevant sind die direkte Dipol-Dipol-

Wechselwirkung sowie die indirekte RKKY-Wechselwirkung26 [Rud54, Kas56, Yos57]. Im RKKY-

Modell wird die Wechselwirkung indirekt durch die Spineinstellungen der Leitungselektronen ver-

mittelt. Die Stärke der RKKY-Wechselwirkung ist deshalb vom Wirtsmetall abhängig. Weiterhin

müsste der Kernspin des in der natürlichen Zusammensetzung vorkommenden Isotops 167Er be-

rücksichtigt werden, weil dieser zusätzliche Freiheitsgrade erlaubt. In der Herstellung wird aber

ein angereichertes Isotopengemisch verwendet, sodass dieser Effekt vernachlässigbar ist [Ens00,

Sch00, Fle03].

0 20 40 60 80 100 120inv. Temperatur T -1 [K-1]

0

100

200

300

400

500

Mag

netis

ieru

ngM

[A/m

]

0,87 mT

2,58 mT

5,14 mT

12,8 mT

Abbildung 5.2: Links: Gemessene und berechnete Magnetisierung einer Au:Er Probe(300 ppm, isotopenangereichertes Erbium) in Abhängigkeit der inversen Temperatur. Rechts:Gemessene und berechnete Wärmekapazität der selben Probe als Funktion der Temperatur(nach [Fle03]). Zum Vergleich sind auch die Beiträge zur Wärmekapazität der Phononen undder Elektronen von Gold eingezeichnet.

5.1.2 Detektorgeometrie und Magnetometer

Ausgehend von dem im letzten Abschnitt erläuterten grundlegenden Aufbau eines metallischen

magnetischen Thermometers lässt sich dieser experimentell besonders gut in der in Abbildung 5.3

dargestellten, flachen, mikrostrukturierten Geometrie realisieren. Dazu werden zwei parallel ver-

schaltete, mäanderförmige Detektorspulen aus Niob verwendet. Niob wird bei 9,2 K supraleitend.

Durch dessen Spulen kann ein Dauerstrom fließen, welcher ein Magnetfeld erzeugt. Das Sensor-

material, welches als flache Schicht dicht über einem der beiden Mäander liegt, wird somit von

einem Magnetfeld durchdrungen, in dem sich die magnetischen Gesamtmomente der Er3+-Ionen

26Benannt nach ihren Entdeckern M. A. Rudermann, C. Kittel, T. Kasuya und K. Yosida.

62


temperaturabhängig ausrichten. Eine Temperaturänderung im Sensormaterial würde gemäß Glei-

chung 5.1 zu einer Flussänderung in der Doppelmäanderschleife führen. Da der magnetische Fluss

in einer supraleitenden Schleife erhalten ist, wird ein zusätzlicher Strom in der Mäanderschleife

induziert, der die Flussänderung des Sensors kompensiert. Ein Teil dieses Stroms fließt durch die

parallel zu den Doppelmäandern geschaltete Einkoppelspule für ein SQUID-Magnetometer27. Da-

bei handelt es sich um ein äußerst präzises Messgerät zur Detektion von Flussänderungen, das aus

einer supraleitenden Schleife besteht, die an zwei Stellen durch nicht-supraleitende Tunnelkon-

takte („Josephson-Kontakte“) unterbrochen ist. Fließt nun ein Gleichstrom parallel durch diese

Kontakte, so erzeugt eine Änderung des magnetischen Flusses innerhalb der Schleife eine prä-

zise messbare Änderung im Spannungsabfall über den Kontakten. Details sind in der Literatur

beschrieben (z.B. [Kle04]). Eine Flussänderung ∆Φ im Sensor führt zu einer Flussänderung

∆ΦS =Mis

Lm + 2(Li + Lb)∆Φ (5.2)

im SQUID [Bur04]. Dabei bezeichnen Lm, Li, Lb die Induktivitäten eines Mäanders, der Ein-

koppelspule sowie der Zuleitungen zur Einkoppelspule und Mis = k√

LiLS ist die Gegenindukti-

vität zwischen SQUID und Einkoppelspule mit der Kopplungskonstanten k. Typische Werte für

k bei hier verwendeten SQUIDs liegen in der Größenordnung von 1. Die Stärke dieser Tem-

peraturbestimmung ist unter anderem auf die hohe Messgenauigkeit heute verfügbarer SQUID

-Magnetometer zurückzuführen.

Abbildung 5.3: SchematischeDarstellung eines metallischenmagnetischen Thermometersmit Doppelmäander (Aufsicht):Über einem der zwei parallelverschalteten Mäander wird dasSensormaterial aufgebracht. EineEinkoppelspule für das SQUID-Magnetometer wird parallel dazuverschaltet (nach [Fle09]).

In Abbildung 5.4 ist ein Schnitt durch den Mäander gezeigt. Auf einem Saphir-Substrat liegen zwei

Leiterbahnen aus Niob mit einer Breite w und einem Mitte-zu-Mitte-Abstand p. Diese führen den

Strom gegenläufig. Eine dünne SiO2-Isolationsschicht trennt das darüber liegende Sensormateri-

al elektrisch vom Mäander. Die Induktivität eines solchen Mäanders, der die Fläche A bedeckt,

27Akronym für den englischen Begriff Superconducting Quantum Interference Device.

63


berechnet sich gemäß

Lm = lµ0Ap

(5.3)

mit einer Konstanten l, die abhängig vom Verhältnis w/p typischerweise bei etwa 0,2 bis 0,3 liegt

[Fle05]. Für den nachfolgend vorgestellten Mäander findet man mit p = 5 µm, w = 2,5 µm,

l = 0,220 eine Induktivität Lm = 40 nH. Auf diesen Wert muss man erfahrungsgemäß etwa

20 % hinzuaddieren, um Randeffekte zu berücksichtigen. Man findet Lm ≈ 48 nH. Dieser Werte

optimiert das Signal im SQUID-Magnetometer. Eine Extremwertbetrachtung von Gleichung 5.2

mit Lm ∝ ∆Φ liefert nämlich Lm = 2 (Li − Lb). Das verfügbare SQUID-Magnetometer hat eine

Einkoppelinduktivität Li = 25 nH und typische Induktivitäten der Zuleitungen liegen im Bereich

von einigen nH [Kem07, Bur04].

Die Magnetfeldverteilung und die zu erwartende Flussänderung sind in den zitierten Arbeiten de-

tailliert beschrieben. Diesbezüglich wurden für diese Arbeit keine weiteren Simulationen durch-

geführt. Die Temperaturauflösung ist in nicht-trivialer Weise unter anderem vom felderzeugenden

Dauerstrom I0, der genauen Geometrie, dem Dotierungsgrad im Au:Er-Sensor sowie der Tempe-

ratur selbst abhängig. Eine Abschätzung für einen ähnlichen Aufbau ergibt eine Temperaturauflö-

sung von 14,5 µK/V bei 50 mK für die am SQUID- Magnetometer ausgelesene Spannung [Pie12].

Man erwartet also eine im Vergleich zum RuO2-Thermometer stark verbesserte Präzision in der

Temperaturbestimmung.

Abbildung 5.4: Querschnitt durchzwei Mäanderbahnen (Schwarz)und durch den darüber liegendenAu:Er-Sensor. Nähere Erläuterun-gen im Text.

5.2 Design und Funktionsweise der Plattform

Mit dem vorgestellten metallischen magnetischen Thermometer wurde im Rahmen dieser Arbeit

ein Design für eine Plattform erarbeitet, welche vollständig mikrostrukturiert im institutseigenen

Reinraum hergestellt werden kann. Eine detaillierte Beschreibung der Prozessierung findet sich

zum Beispiel in [Kem07]. Als Substrat dient dabei ein 5 mm · 5 mm großer Saphireinkristall

mit einer Höhe von ≈ 333 µm. Dieser ist besonders stabil unter mechanischer Belastung und der

phononische Beitrag zur Wärmekapazität Cadd ist vernachlässigbar. Das komplette Design ist in

Abbildung 5.5 dargestellt. Die Komponenten werden im Folgenden erläutert.

64


5.2.1 Erläuterungen zu den einzelnen Komponenten

Abbildung 5.5: Kalorimeter-Design: Auf dem Saphir-Substrat (grau) befinden sich dieMäander-Strukturen (unter C, D) und darüber das Sensormaterial (C) für die Thermome-trie. Die SQUID-Einkoppelspule kann über Bondpads (E) elektrisch verbunden werden. ZurPräparation eines Dauerstroms sind weitere Kontakte (F, G) notwendig. Eine Goldfläche (A)dient als Auflagefläche für die Probe und ist metallisch an einen AuPd-Heizer (B) gekoppelt.Die Strukturen am Rande des Substrats dienen lediglich der Prozessierung und haben danachkeine Funktion mehr.

ThermometerDie Mäanderstrukturen für das Thermometer und die Zuleitungen aus Niob sind in Abbildung 5.5

rot dargestellt28. Dabei ist der linke Mäander in dieser Draufsicht durch das Sensormaterial (oran-

28Weitere Niobstrukturen am Rand des Substrats dienen lediglich der Prozessierung.

65


ge) überdeckt. Die 75 Windungen je Mäander sind nicht aufgelöst. Die SQUID-Einkoppelspule

befindet sich zusammen mit dem SQUID auf einem weiteren Chip und kann über Bonddrähte

angeschlossen werden. Hierfür dienen die sogenannten Bondpads.

Weitere Zuleitungen sind notwendig, um einen Dauerstrom in der Mäanderstruktur zu präparie-

ren. Das Funktionsprinzip ist schematisch in Abbildung 5.6 dargestellt. Im supraleitenden Zustand

der Niobbahnen wird ein externer Strom IF eingespeist, der durch den Teil des Mäanderrings mit

der geringsten Induktivität fließt (Abbildung 5.6 links). Ein kurzer Heizpuls über einen in diesem

Bereich angebrachten Heizwiderstand sorgt dafür, dass die Niobleitung hier lokal normalleitend

wird. Dadurch fließt der Strom durch die beiden Mäander (Abbildung 5.6 mitte). Nach dem Ab-

kühlen des Heizers liegt ein geschlossener supraleitender Ring vor, sodass der magnetische Fluss

in diesem erhalten ist. Nach dem Abschalten der externen Stromquelle fließt demnach weiterhin

Strom in diesem Ring. Präpariert man den Strom bei Temperaturen oberhalb von 1,2 K, so sind

die Bonddrähte hin zur SQUID- Einkoppelspule normalleitend und spielen keine Rolle.

Abbildung 5.6: Zur Präparation eines Dauerstroms in der Doppelmäanderstruktur wird dergeschlossene Ring an einer Stelle erhitzt, sodass er lokal normalleitend wird und magneti-scher Fluss eindringen kann. Eine externe Stromquelle treibt dabei den Strom IF. Nach demAbschalten des Heizers bildet sich ein geschlossener, supraleitender Ring aus, in dem einmagnetischer Fluss und somit ein Strom eingefroren ist. Grafik abgeändert entnommen aus[Hen12].

ProbenheizerDer Heizer zum Erwärmen der Probe (in Abbildung 5.5 dunkelblau dargestellt) wird mittels einer

AuPd- Legierung realisiert. Die Legierung hat bei Temperaturen unterhalb von 1 K einen großen,

nahezu temperaturunabhängigen spezifischen elektrischen Widerstand ρAuPd ≈ 263 nΩ m [Pie12],

sodass der gewünschte Widerstandswert auf einer kleinen Fläche realisiert werde kann. Der Hei-

zer hat eine produktionsbedingt festgelegte Höhe h = 75 nm, eine Breite b = 20 µm und Länge

l = 2,1 mm. Daraus ergibt sich ein Widerstandswert von Rth = 1,05 kΩ. Probleme im Zusam-

menhang mit temperaturabhängigen Heizwiderständen R = R(T), wie sie beim QD-Puck beob-

achtet werden, können durch die Temperaturunabhängigkeit des Widerstandswerts effizient besei-

tigt werden. Weiterhin leitet ein AuPd-Steg die Wärme effizient an die Probenauflagefläche. Dies

66


verbessert die thermische Kopplung zwischen Heizer und Probenauflagenfläche. Der im Vergleich

zum QD-Puck kleiner gewählte Widerstand hilft, parasitäre Wärmeeinträge auf Grund von durch

externe Quellen induzierte Spannungen zu reduzieren.

ProbenauflageDie Probe wird auf eine etwa 1 µm dicke, galvanisierte Goldschicht aufgebracht. Mit einer Kanten-

länge von 3,1 mm und 4,55 mm bietet sie ausreichend Platz für typische Proben. Die Goldschicht

hilft bei der Thermalisierung zwischen Heizer, Probe und Thermometer. Bei der rein phononischen

Kopplung im QD-Puck werden Überheißeffekte beobachtet. Für die thermische Ankopplung der

Probe an die Plattform steht weiterhin Vakuumfett zur Verfügung. Daneben ist für ausgewählte,

metallische Proben auch eine metallische Ankopplung denkbar.

Fixierung der Plattform und thermische Ankopplung an das WärmebadDie gesamte Plattform wird auf drei kegelförmige Stelzen aufgelegt. Diese dienen der mechani-

schen Fixierung und weniger der thermischen Ankopplung an das Wärmebad. Dies kann unter

Ausnutzung des Kapitza-Widerstands (vgl. Abschnitt 2.3.3) mit einer geeigneten Materialwahl

realisiert werden. Denkbare Materialien sind Gold oder Photolack. Abschätzungen für die elektro-

nische thermische Leitfähigkeit nach dem Wiedemann-Franz-Gesetz und Literaturwerte für den

Kapitza-Widerstand zwischen Gold und Saphir (kK = 527 W/(K4m2) nach [For93]) lassen eine

große Dominanz des Kapitza-Widerstandes erwarten. Für Photolack als dielektrische Alternative

liegen keine Literaturwerte vor. Die Ursachen des Kapitza-Widerstands gemäß der Diskussion in

Abschnitt 2.3.3 lassen aber auf eine ähnliche Dominanz schließen.

Für die thermische Ankopplung ans Bad sorgen Bonddrähte, die an der Außenseite der Proben-

auflagenfläche angebracht werden. Über die Anzahl und Dicke der Drähte sowie das verwendete

Material lässt sich der Wärmeleitwert über einen großen Bereich variieren. Je nach erwarteter

Wärmekapazität kann man so die Relaxationszeit spezifisch anpassen. Dies ist beim QD-Puck

nicht möglich. Es ist zu beachten, dass die Bonddrähte zur elektrischen Ansteuerung des SQUID-

Magnetometers, des Heizers und für das Präparieren eines Dauerstroms in den Mäandern kaum

zur Wärmeleitung beitragen, weil sie typischerweise aus Aluminium bestehen. Aluminium wird

bei 1,2 K supraleitend und die Wärmeleitung entsprechend schlecht, weil Cooper-Paare im Grund-

zustand nicht mehr zur Wärmeleitung beitragen.

5.2.2 Abschätzung der Addenda und der Temperaturauflösung

Für das vorgestellte Design lassen sich Wärmekapazität Cadd und die Magnetisierung simulieren.

Aus ähnlichen Aufbauten in der Vergangenheit weiß man, dass die Simulationen gut mit experi-

mentellen Ergebnissen übereinstimmen [Fle03].

67


Wärmekapazität der AddendaDie Hauptbeiträge zur Wärmekapazität der Addenda kommen vom paramagnetischen Sensorma-

terial Au:Er sowie von der goldenen Probenauflagenfläche. Diese Beiträge sind in Abbildung 5.7

dargestellt. Für das Sensormaterial wurde dabei ein Dauerstrom von 100 mA und ein Dotierungs-

grad von 300 ppm angenommen. Der AuPd-Heizer (γ = 7,5 pJ/K2, β = 0,6 pJ/K4) sowie das

Saphir-Substrat (β = 0,7 nJ/K4) sind dabei im Vergleich zu Gold (γ = 1 nJ/K2, β = 0,6 nJ/K4)

vernachlässigbar. Auch alle supraleitenden Strukturen sind ohne Bedeutung.

In der Summe ergibt sich damit eine Wärmekapazität Cadd, die bei tiefen Temperaturen T .60 mK vom Sensormaterial und bei höheren Temperaturen von der Probenauflagefläche dominiert

wird. Je nach präpariertem Dauerstrom verschiebt sich diese Grenze. Die erwartete Wärmekapaz-

tität Cadd ist mehr als eine Größenordnung kleiner als die des QD-Pucks. Bei T = 20 mK erwartet

man für das vorgestellten Designs eine Wärmekapazität von etwa Cadd = 110 pJ/K gegenüber

einem Wert von etwa Cadd = 4000 pJ/K für den QD-Puck. Dies ist ein großer Vorteil für die

Vermessung von Proben mit sehr kleiner Wärmekapazität.

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 00 , 51 , 01 , 52 , 02 , 53 , 03 , 5

T (kA

/(Km)

)

T ( m K )0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

02 04 06 08 0

1 0 01 2 0

S e n s o r ( 3 0 0 p p m ) P r o b e n a u f l a g e f l ä c h e

C add (p

J/K)

T ( m K )

Abbildung 5.7: Links: Berechnete Magnetisierungsänderung ∂M/∂T des Au:Er-Films(300 ppm, IF = 100 mA) in Abhängigkeit der Temperatur. Rechts: Erwartete Wärmeka-pazität des selben Films für die gleichen Parameter sowie des Probenauflagenfilms aus Goldals Funktion der Temperatur.

TemperaturauflösungGemäß Gleichung 5.1 und Gleichung 5.2 fließt die Veränderung der Magnetisierung mit der Tem-

peratur ∂M/∂T linear in die Flussänderung im SQUID und damit nahezu linear in die Tempe-

raturauflösung ein. Unter Zuhilfenahme der Näherungsformel ∆Φ = µ0 Vs/p ∆M mit dem Sen-

sorvolumen Vs berechnet man für das vorgesehene SQUID-Magnetometer eine Auflösung von

∆T∆V≤ 120 µK V−1 . (5.4)

Mit typischen Spannungsauflösungen von 1 mV erwartet man demnach eine Temperaturauflösung

in der Größenordnung von ∆T ≈ 0,1 µK bei Temperaturen unterhalb von 100 mK. Bei höheren

68


Temperaturen lässt sich der zu erwartende Abfall in der Temperaturauflösung durch einen größe-

ren Feldstrom bei Bedarf kompensieren, da in diesem Temperaturbereich gemäß Abschnitt 2.2.3

∂M/∂T ∝ B2/T2 gilt. Für den QD-Puck beträgt die Temperaturauflösung bei tiefen Temperaturen

etwa 100 µK und ist damit deutlich schlechter.

Mit den aufgezeigten Charakteristika lässt sich eine deutlich verbesserte Bestimmung von Wär-

mekapazitäten erwarten.

69

6 Fazit und Ausblick

Zielsetzung dieser Diplomarbeit war der Aufbau und die Kalibration eines kommerziell erhält-

lichen Kalorimeters für Messungen der Wärmekapazität bei Temperaturen zwischen 8 mK und

500 mK. Außerdem sollte ein auf diesen Erfahrungen beruhendes, verbessertes Eigendesign kon-

zipiert werde.

Dazu wurde ein Kalorimeter der Firma QuantumDesign aufgebaut und kalibriert, welches zur Be-

stimmung der Wärmekapazität auf Relaxationsmethoden zurückgreift. Dabei wird aus dem zeit-

lich aufgelösten thermischen Abklingverhalten der Probe durch eine schwache thermische Kopp-

lung zwischen Probe und Wärmebad die Wärmekapazität bestimmt. Um die Probe heizen und die

Temperatur messen zu können, stehen zwei RuO2-Widerstände auf der Probenplattform zur Verfü-

gung. Diese ist thermisch schwach an das Bad gekoppelt. Für die Thermometrie wurde der RuO2-

Widerstand mit Hilfe eines Lock-In-Verstärkers bestimmt und im Temperaturbereich zwischen

8 mK und 560 mK erfolgreich gegen ein Kohlethermometer kalibriert. Die Heizer-Ansteuerung

wurde mit Hilfe einer Vier-Draht-Messung realisiert. Extrinsische Rauschbeiträge wurden mit Hil-

fe von Tiefpassfiltern und einem großen Vorwiderstand erfolgreich unterdrückt. Als Messmethode

wurde eine in der Literatur beschriebene Variante der Relaxationsmethode implementiert, dessen

Modell auch τ2-Effekte beschreibt.

Mit Hilfe dieses Aufbaus konnte die Wärmekapazität der Addenda bestimmt werden. Die gemes-

sene Wärmekapazität zeigt unterhalb von 50 mK eine Schottky-Anomalie. Dies führt zusammen

mit der bei tiefen Temperaturen größeren Ungenauigkeit in der Temperaturbestimmung zu großen

Messfehlern in diesem Temperaturbereich. Die Plattform ist deshalb für quantitative Messungen

in diesem Temperaturbereich nur bedingt geeignet.

Für die Kalibration wurde ein etwa 10 mg schweres Silberstück untersucht. Die gemessene Wär-

mekapazität zeigt oberhalb von 150 mK das erwartete Verhalten c = γT + βT3. Bei tieferen Tem-

peraturen erkennt man jedoch eine systematische Abweichung. Ungenauigkeiten in der Addenda-

Bestimmung oder eine Verunreinigung der Probe kommen als mögliche Ursachen in Betrachtet.

Außerdem kann nicht ausgeschlossen werden, dass der Heizerwiderstand während eines Heizpul-

ses die Temperatur der Plattform spürbar übersteigt, was zu einem systematischen Fehler in der

Bestimmung der eingebrachten Heizleistung führen würde.

Für Silber findet man unter Berücksichtigung aller Fehlerquellen einen Sommerfeld-Koeffizien-

ten γAg = (647 + 11 − 37) µJ/(molK2), der sich mit experimentell ermittelten Literaturwerten

von γAg = (640 ± 17) µJ/(molK2) gut deckt. Als untere theoretische Grenze wird ein Wert von

γTheorie = 625 µJ/(molK2) angegeben.

70

Weiterhin konnte eine supraleitende K0,9Na0,1Fe2As2-Probe erfolgreich gemessen werden, die im

Widerspruch zur BCS-Theorie unterhalb der Sprungtemperatur eine quadratische Abhängigkeit

der Wärmekapazität von der Temperatur gemäß c/T = 52 mJ/(molK2) + 43 mJ/(molK3) · Tzeigt. Dies steht im Einklang mit Messungen anderer Gruppen bei Temperaturen oberhalb von

500 mK und könnte auf linienartige Knoten an der Fermikante hindeuten.

Unter Berücksichtigung der Erfahrungen mit dem QD-Puck wurde ein neues Kalorimeter entwor-

fen. Das Herzstück der Plattform ist dabei ein metallisches magnetisches Thermometer, welches

eine um Größenordnungen bessere Temperaturauflösung im Vergleich zum QD-Puck verspricht

und eine zeitliche Auflösungsgrenze im ms-Bereich besitzt. Um die Temperatur zu ermitteln, wird

die Temperaturabhängigkeit der Magnetisierung von Au:Er ausgenutzt. Mit der Änderung der Ma-

gnetisierung ändert sich der magnetische Fluss durch die geschlossene, mäanderförmige Auslese-

spule aus supraleitendem Niob, sodass wegen der Flusserhaltung in dieser Spule ein Kompensa-

tionsstrom induziert wird. Dieser kann mit Hilfe eines leistungsstarken SQUID-Magnetometers

sehr genau bestimmt werden.

Daneben wird ein temperaturunabhängiger Heizwiderstand die Ermittlung der Heizleistung ver-

bessern. Eine variable thermische Ankopplung an das Bad erlaubt die Vermessung von Proben mit

verschiedenen Wärmekapazitäten.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der QD-Puck erfolgreich in Betrieb genommen wurde

und erste Messungen vielversprechend sind. Neben Optimierungen im Detail sind für die Zukunft

auch Erweiterungen geplant, etwa Messungen bis hin zu T ≈ 4 K. Außerdem lassen sich durch

eine Erweiterung des Aufbaus auch Messungen in externen Magnetfeldern realisieren. Daneben

verspricht das neuentwickelte Design eine um Größenordnungen verbesserte Temperaturauflösung

bei gleichzeitiger Verringerung der Wärmekapazität der Messplattform. Eine variable thermischen

Ankopplung an das Wärmebad erlaubt die Vermessung von Wärmekapazitäten über Größenord-

nungen hinweg.

71

A Anhang

A.1 Datenblatt QD-Puck

MJR/DM

070814

BSEE ECO 11256

MJR/DM

090226

CSEE ECO 14236

MJR/RB

090608

DSEE ECO 14702

MR/WN

060110

AINITIAL RELEASE SEE ECO 9495

.170

10

PICTORIAL VIEW

417 8

2X 18

(SEE SHEET 2)

INDEX HOLE 1

19

SERIAL NUMBER

SAN DIEGO, CA

2007

DIMENSIONS ARE IN INCHES

FINISH

MATERIAL

TOLERANCES ARE

FRACTIONS

4X977

FILENAME:

CAGE

CHKD

DO NOT SCALE DRAWING

±1/64

DECIMALS

.X .XX

ANGLES

DRAWN

SCALE

SIZE

DATE

REV

SHEET

REA NO.

DRAWING NO.

REVISIONS

ENGR

.XXXX

.XXX

+.0005

REL NEXT ASSY

USED ON

B

APPROVALS

OF

DESCRIPTION

LTR

APPROVED

DATE

-.0000

4085-264

±.05

±.005

±.01

4085-264.SLDDRW

122

1

BCD AABCD

±1°

J.LEMAIRE

051123

M.ROLOFF

060110

W.NEILS

M.ROLOFF

060110

060110

8091-002

PPMS DR

NONE

D2

18074

DR HEAT CAPACITY

PUCK ASSEMBLY

Monday, January 17, 2011 2:11:27 PM, lpratt

1 3

QUANTUM DESIGN

PREPARED IN SOLIDWORKS

321. 4

NOTE ORIENTATION OF MODIFIED HOLES. USE ABRASIVE

CORD (ITEM 9) TO MODIFY HOLES.

REFER TO TEST TABLE (SHEET 3) FOR PIN RESISTANCES.

WRAP WIRES AROUND TUBES ONE OR TWO TIMES.

6

NOTES: 5

USE FIXTURES (ITEMS 11 THRU 15, AND 21 THRU 23)

AND ADAPTER (ITEM 16) FOR ASSEMBLING.

ORIENTATION OF THERMOMETER (ITEM 5) BY INDEX

HOLE ON TOP, AS SHOWN AND BY SILKSCREEN ON PCB.

APPLY EPOXY (ITEM 4) TO HOLES AND GUIDE GROOVES

THREADED BY KAPTON ON PLATE (ITEM 1).

CUT CONDUCTIVE BLACK FOAM 1.0 X 1.0 X .375 THICK.

7

DETAIL A

(SEE SHEET 3)

7

REMOVED FOR CLARITY)

6

AR

(ITEM 17, 18 AND 19

8X

7

SCALE 3/1

TOP VIEW

35

64

9

2

10

8

57 20

8X

(ITEM 1)

(ITEM 8)

3 8X

72

A.2 Fitparameter für den Frequenzverlauf des Thermometrie

A.2 Fitparameter für den Frequenzverlauf des Thermometrie

Die in Abschnitt 3.4 gezeigten Fitkurven wurden gemäß

Uout = Uin n2π f LR2√

(R1R2 − (2π f )2LCR1R2)2 + (2π f L(R1 + R2))2(A.1)

gefittet. Die Fitparameter für die Freqenzgänge bei T = 5,6 mK (ohne und mit einem 1zu2-

Übertrager) und T = 65 mK (ohne Übertrager) und einen 100 kΩ-Widerstand bei Raumtempe-

ratur (ohne Übertrager) sind in den folgenden Tabellen aufgeführt. Fitparameter mit Standard-

fehler 0 wurden für den Fit als konstant betrachtet. Die starke Korrelation der Fitparameter führt

zu enormen Standardfehlern und die Parameterwerte hängen sehr stark von der Wahl der Start-

parametern ab; andererseits lassen sich die Messkurven beim fixieren von weiteren Parametern

nicht mehr sinnvoll anpassen. Aus diesen Gründen finden die gefundenen Parameter keine weitere

Verwendung. Deshalb sind hier nur einige Fitparameter-Datensätze exemplarisch aufgeführt.

Fitparameter Wert Standardfehlern 1,668 59 39,481 72L 25,024 34 598,0158C 2,634 42 · 10−9 6,264 54 · 10−8

R1 392 000 0R2 20 000,431 47 497 486,530 26Uoa 0,001 0

χ2Red 2,4179 · 10−12

Kor. R2 0,993 69

Tabelle A.1: Fit ohne Transformator bei T = 5,6 mK

73

A Anhang

Fitparameter Wert Standardfehlern 2,109 57 20,558 58L 45,482 447,258 03C 1,041 65 · 10−10 1,019 42 · 10−9

R1 392 000 0R2 41 121,968 27 443 004,471 69Uoa 1 · 10−3 0

χ2Red 3,225 45 · 10−12

Kor. R2 0,940 33

Tabelle A.2: Fit ohne Transformator und ohne Tiefpassfilter, Thermowiderstand ersetzt durcheinen 100 kΩ-Widerstand.

Fitparameter Wert Standardfehlern 0,743 83 2,147 96L 9,2809 26,997 35C 1,0846 · 10−9 3,147 12 · 10−9

R1 392 000 0R2 59 923,483 45 199 603,656 48Uoa

χ2Red 2,011 59 · 10−12

Kor. R2 0,996 51

Tabelle A.3: Fit mit 1 : 2 Transformator bei T = 5,6 mK

Fitparameter Wert Standardfehlern 1,414 35 43,2187L 15,096 83 465,953 05C 2,088 35 · 10−9 6,4132 · 10−8

R1 392 000 0R2 11 434,808 95 359 652,462 12Uoa

χ2Red 8,880 05 · 10−13

Kor. R2 0,987 79

Tabelle A.4: Fit ohne Transformator bei T = 65 mK

74

A.3

LabV

iewProgram

me

A.3 LabView Programme

A.3.1 Steuerprogramm zur Messung des Frequenzgangs der Thermometrie-Schaltung

Abbildung A.1: Um den Frequenzgang der Schaltung der Thermometrie zu bestimmen, wird zunächst der Lock-In-Verstärker initialisiert(“Lockin Start up“). Anschließend wird die Frequenz des Frequenzgenerators im Lock-In-Verstärker schrittweise verändert. Für jede Frequenzwird der Messbereich des Lock-In-Verstärkers korrekt ausgewählt (“Lockin Scale SEN“). Nach einer kurzen Wartezeit zum Einschwingenwerden die Messdaten mehrere Male ausgelesen und die gemittelten Daten in eine Textdatei abgespeichert.75

AA

nhang

Abbildung A.2: Fortsetzung von Abbildung A.1.

76

A.3

LabV

iewProgram

me

A.3.2 Steuerprogramm zur Messung des Einflusses der Integrationszeit des Lock-In-Verstärkers

Abbildung A.3: Um den Einfluss der Integrationszeit tTC des Lock-In-Verstärkers auf das Rauschen des Messsignals zu ermittelt, wird derLock-In-Verstärker auf verschiedene Integrationszeiten eingestellt. Nach einer Wartezeit, in der sich das Messsignal nach der Umstellungwieder aufbaut, wird das Messsignal Uout mehrere Male ausgelesen und daraus Mittelwert und Standardabweichung berechnet.

77

AA

nhangA.3.3 Steuerprogramm zur Messung von Selbstheizungseffekten

Abbildung A.4: Um den Effekt der Selbstheizungseffekte zu Untersuchen, wird die Eingangsspannung Uin des Frequenzgenerators variiert.Für jeden Spannungswert wird zunächst der korrekte Sensitivitätsbereich eingestellt (“LockIn Scale SEN“) und nach einer Wartezeit dasMesssignal Uout ausgelesen. Alle nötigen Informationen werden in einer Textdatei abgespeichert.

78

A.3

LabV

iewProgram

me


79

AA

nhangA.3.4 Steuerprogramm zur Messung der Thermo-Kalibrationskurve

Abbildung A.6: Zur Messung der Kalibrationskurve wird der Lock-In-Verstärker zunächst mit den entsprechenden Einstellungen initialisiertund der Kopf der Textdatei erstellt, in der die Datenpunkte später aufgezeichnet werden. Anschließend werden einzelne Temperaturen mit vomBenutzer definierten Abständen angefahren und für jeden dieser Temperaturschritte die Kalibration durchgeführt. Die Details dieses einzelnenSchrittes sind in Abbildung A.8 bzw. Abbildung A.9 dargestellt und erläutert.

80

A.3

LabV

iewProgram

me


81

AA

nhang

Abbildung A.8: Das SubVI „Calibration Step“aus Abbildung A.6 arbeitet wie folgt: In jedem Temperaturschritt wird zunächst die gewünschteTemperatur an den Computer gesendet, der die Kryostat-Temperatur regelt, geschickt („Kryo Set Temp“). Im Anschluss daran wird einmal proSekunde die Temperatur des Kryostaten abgefragt („Kryo Get Temp“). Verändert sich die Temperatur für 25 Sekunden innerhalb einer zuvorfestgelegten Genauigkeit nicht, wird eine gewisse Zeit gewartet, um die Relaxation der Plattform zu gewährleisten. Im Anschluss daran werdenrelevante Daten wie z.B. der Spannungswert Uout am Lock-In-Verstärker und Temperaturdaten des Kryostaten meherere Male ausgelesen undsowohl gemittelt als auch ungemittelt in entsprechende Textdateien geschrieben.

82

A.3

LabV

iewProgram

me


83

A Anhang

A.4 Mathematica-Code zur Datenauswertung

Der hier dargestellte Mathematica-Code wird für die Auswertung der Wärmekapazitätsmessungen

aus der Heizpulsmethode verwendet. Eine detaillierte Erläuterung ist nicht zweckgemäß, man soll

jedoch eine Idee der wichtigsten Funktionen dieses Codes erhalten.

Zunächst lassen sich in Schritt 01 einige Einstellungen vornehmen, die von Datensatz zu Daten-

satz verschieden sind, beispielsweise ob eine Probe auf der Plattform lag, die erlaubte Hubhöhe,

der Temperaturbereich, die Anzahl der Pulse pro Temperaturschritt oder das Verzeichnis für die

Datensätzen und Kalibrationsdateien.

In Schritt 02 werden einige messaufbau-spezifische Einstellungen definiert, die zum Teil in Ka-

pitel 3 erläutert werden. Außerdem werden Fitfunktionen für die Addenda-Wärmekapazität defi-

niert. Diese Fitfunktionen können aus Datensätzen generiert werden, die zuvor mit Hilfe dieses

Codes erstellt wurden.

In Schritt 03 werden alle Rohdatensätze im zuvor spezifizierten Verzeichnis katalogisiert. Für

jeden Heizpuls existiert eine Datei, die neben einem Dateikopf mit allgemeinen Informationen

zeitlich aufgelöste Informationen über die Temperatur (z.B. Spannungsverhältnis Uout/Uin) sowie

den Heizer (angelegte und ausgelesene Spannung) enthält.

Nach diesen Vorbereitungen kann die eigentliche Auswertung in Schritt 04 beginnen. Dieser

Schritt wird für jeden Datensatz neu ausgeführt. Zunächst werden in Schritt 04 A die zeitaufgelös-

ten Informationen zu Thermometer und Heizer ausgelesen. Im Anschluss werden mit Hilfe der Ka-

librationsdateien aus Kapitel 3 die Spannungsdaten in Temperaturen umgerechnet. In Schritt 04 C

werden die Spannungsinformationen des Heizers genutzt, um die Heizleistung zu berechnen. Da-

bei stehen zu Testzwecken verschiedene Methoden zur Auswahl, z.B. P = U2/R, P = I2R oder

P = UI. Nun stehen alle nötigen Informationen zur Verfügung, um die in Abschnitt 3.1.2 vorge-

stellten Größen (z.B. Q, S, H, Γ) zu berechnen. Anschließend werden die Daten noch geglättet,

bevor in Schritt 04 F der lineare Fit an die Daten vorgenommen wird und die physikalischen Daten

aus den Fitparametern errechnet werden. Im letzten Schritt werden die berechneten Daten eines

jeden Pulses in einer Datei gespeichert. Außerdem wird überprüft, ob alle Pulse eines Tempera-

turschrittes berechnet wurden. Ist dies der Fall, werden Mittelwerte all dieser Pulse gebildet und

diese in eine gesonderte Datei geschrieben.

84

Heat Capacity Sweep

by Andreas Reifenberger ([email protected])

The program fits a Heat Pulse, returns the fitted values and continues with the next heat pulse.Fitting routine according to Hwang1996.

Steps:Step 01: Read In Data and Calibration Files, Set Up User-Changeable ParametersStep 02 : Definition of Constants, Reading in Calibration Files, Defining functionsStep 03: Get ready to read in files to fitStep 04: Fitting the data

Changelog : in v7 : - Addenda = Addenda( T0 + Hub/2) instead of AddendaHT0L

- Pulse shifted (ShiftTempData) so that Peak in TempData is at point where heater is turned off (optional)

ü Step 01 : Read In Data and Calibration Files, Set Up User - Changeable Parameters

SampleOnPuck = True;

MinimumPointsPerSign = 1;

HubSoll = 10;

TRiseMax = HubSoll ê 100 + 0.02;

TRiseMin = HubSoll ê 100 − 0.02;

PulsesPerStep = 14;

WritePosNeg = 1;

H∗ write positive −pulsed and negative −pulsed C in file as well ∗LChiSquareRedTolerance = 15;

TRange = "Low"; H∗ "Low", "Mid" or "High" ∗LPowerCalcSwitch = "3";

H∗ "1" P = U∗I êê "2" P = U^2êR êê "3" P = I^2 R êê "4" P = U I if I ≠0,

else P =U^2êR êê "5" P = HU−U0L∗I êê "6" P = I^2 R if I ≠0, else P =

U^2êR êê "7" P = I^2 R + Pth êê "8" P = I^2 R with I measured by Keithley,

check factor Ifactor in code ∗LShiftTempData = 2; H∗ know what you do if you change this !! ∗LShiftByHeaterSwitchOff = 1;

SampleName = "Silver_PulseLengthSweep50"; H∗ for file naming only ∗LOutputFolder = "C:\\Users\\Andreas\\Desktop\\";

DataFolder = "D:\\Andreas\\Diplomarbeit\\Data\\Data Lab2\\Run03

− Juni2012\\PulseSweep_Silver\\HCRun_6_21_2012_15.133 833";

CalibFolder = "D:\\Andreas\\Diplomarbeit\\Data\\_data\\calib";


85

ü Step 02 : Definition of Constants, Reading in Calibration Files, Defining functions

Gain = 501.35; H∗vgl Laborbuch p. 115 ∗LRpre = 4.72017 × 10^6; H∗ vgl. Laborbuch p. 114 ∗L

LastSubFolder = Last @StringSplit @DataFolder, "\\" DD;

OutputFile = SampleName <> "_" <> TRange <> "T_All_Hub" <>

ToString @HubSoll D <> "_P" <> PowerCalcSwitch <> ".txt";

OutputFileAverage = SampleName <> "_" <> TRange <> "T_Hub" <>

ToString @HubSoll D <> "_P" <> PowerCalcSwitch <> ".txt";

CalibFile = "_";

If @TRange "Low",

LockInVoltage = 0.0009;

CalibFile =

"CaliThermoStatistics_ohne_0.0700_0.0060_5_8_2012_1 9.309667_newKalib.txt";

CalibFile =

"CaliThermoStatistics_ohne_0.0700_0.0060_9_25_2012_ 16.657000.txt";

H∗ CalibFile =

"CaliThermoStatistics_ohne_0.0700_0.0060_10_2_2012_ 16.467167.txt"; ∗LH∗ from "HeatCapacity_AddendaFit.nb" ∗L

D;

If @TRange "Mid",


CalibFile =


H∗ from "HeatCapacity_AddendaFit.nb" ∗LD;

If @TRange "High",


CalibFile =


H∗ from "HeatCapacity_AddendaFit.nb" ∗LD;

AddendaHC@T_D : =

9.026104434631575`*^-10 +2.4340164710641228`*^-11 0.05071664920883517` êT

I1 + 0.05071664920883517` êTM2T2

+

8.120445950602826`*^-9 T + 1.3769179570784057`*^-8 T 3 ;

TempCali = Import @CalibFolder <> "\\" <> CalibFile, "Table", HeaderLines → 16D;

A Anhang

86

For @i = 1, i ≤ Length @TempCali D, i = i + 1,

TempCali @@i DD = Take@Drop @TempCali @@i DD, 82, 6 <D, 2 DD;

MaxCaliValue = TempCali @@Length @TempCali D, 2 DD;

MinCaliValue = TempCali @@1, 2 DD;

HeaterResistance @T_D : =

6670.4 Tanh @0.0306275 ê TD + 3782.1 − 8249.32 T + 14 979.1 T^2 − 10 569.3 T^3;

H∗ nach Kalibration aus Run02 ∗LIf @TRange "Low",

HeaterResistance @T_D : =5864.581374 Tanh @0.032248185776047 ê TD + 4542.1645501 −

17 035.58663787 T − 11 236.859414469 T^2 + 619 558.0086501 T^3;

H∗ nach Kalibration aus Run04 ∗LD

ThermoResistance @T_D : = 30 589.319 ∗ [email protected] ê TD +

6000.9854710 + −5314.953684 ∗ T + 3327.29505 ∗ T^2;

H∗ vgl Laborbuch p. 109 ∗L

ü Step 03: Get ready to read in files to fit

H∗ Generate File Names ∗LFileDirImport = Import @DataFolder D;

For @i = 1, i ≤ Length @FileDirImport D, i = i + 1,

If @StringFreeQ @FileDirImport @@i DD, "All" D, ,

FileDirImport = Drop @FileDirImport, 8i <D;

i = i − 1;

D H∗ end If ∗LDFor @i = 1, i ≤ Length @FileDirImport D, i = i + 1,

If @StringFreeQ @FileDirImport @@i DD, "HC_SinglePulse" D,

FileDirImport = Drop @FileDirImport, 8i <D;

i = i − 1;

D H∗ end If ∗LDFileDir = 8<;

For @i = 1, i ≤ Length @FileDirImport D, i = i + 1,

FileDir = Append@FileDir,

Flatten @8ToExpression @Take@StringSplit @FileDirImport @@i DD, "_" D, 83<DD,

FileDirImport @@i DD<DD;

D

FileDir = Sort @FileDir, 1@@1DD < 2@@1DD &D;

For @i = 1, i ≤ Length @FileDir D, i = i + 1,

FileDir @@i DD = FileDir @@i, 2 DDD;


87

str = OpenWrite @OutputFolder <> OutputFile D;

str2 = OpenWrite @OutputFolder <> OutputFileAverage D;

WriteString @str, " From " <> LastSubFolder <> "\n" D;

If @SampleOnPuck,

WriteString @str, " Puck Temp \tq \t\ts \t\th \t\tC \t\tK1 \t\tK2

\t\tT^2 \t\tC êT \t\tChi^2 êN \n" D,

WriteString @str, " Puck Temp \tq \t\ts \t\th \tC \t\tK1

\t\tK2 \tT^2 \t\tC êT \t Chi^2 êN \t TimeShift\n" DD;

WriteString @str2, " From " <> LastSubFolder <> "\n" D;

If @WritePosNeg 0,

WriteString @str2, " Puck Temp \t C \n" D,

WriteString @str2,

" Puck Temp \tC \t\tC error \tC + \t\tC − \t\tT^2 \t\tC êT\n" DD;

AllData = 8<;

ü Step 04: Fitting the data

Step 04 A: Read out Time, Temperature and Heating Information Step 04 B: Convert Voltage Values in TempList into TemperatureStep 04 C: Calculate Heating Power via several approchesStep 04 D: Calculate Data needed for Fitting Step 04 E: Smooth out dataStep 04 F: Join all calculated data and FITStep 04 G: Goodness of Fit / Chi Square

RunTimeLength = Length @FileDir D;

For @k = 1, k ≤ RunTimeLength, k = k + 1,

H∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∗LH∗ Step 04 A ∗LFileName = FileDir @@kDD;

DataSet = Import @DataFolder <> "\\" <> FileName, "Table", HeaderLines → 13D;

TimeList = 8<;

TempList = 8<;

PowerList1 = 8<; PowerList2 = 8<; PowerList3 = 8<; PowerList4 = 8<;

PowerList5 = 8<; PowerList6 = 8<; PowerList7 = 8<;

For @i = 1, i ≤ Length @DataSet D, i = i + 1,

TimeList = Append@TimeList, DataSet @@i DD@@1DD ê 1000D;

H∗ converting ms → s ∗LTempList = Append@TempList, DataSet @@i DD@@2DDD;

D;

A Anhang

88

H∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∗LH∗ Step 04 B: Convert Voltage Values in TempList into Temperatu re ∗L

For @i = 1, i ≤ Length @TempList D, i = i + 1,

If @TempList @@i DD > MaxCaliValue »» TempList @@i DD < MinCaliValue,

Print @"Temperature Data out of Range. Check Temp Calibration File " D;

Goto @endDD;

n = 1;

While @TempCali @@n, 2 DD ≤ TempList @@i DD, n = n + 1D;

H∗ searches in calibration file for correct line ∗LH∗Linear Fit zw. den zwei Werten n, n −1 ∗Lm= HTempCali @@n, 1 DD − TempCali @@n − 1, 1 DDL ê

HTempCali @@n, 2 DD − TempCali @@n − 1, 2 DDL;

b = TempCali @@n − 1, 1 DD − m ∗ TempCali @@n − 1, 2 DD;

TempList @@i DD = m ∗ TempList @@i DD + b H∗ in K ∗LD;

H∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∗LH∗ Step 04 C: Calculate Heating Power via several approches ∗LHeatingCurrent @V_D : = −7.56 10^ H−11L + 2.11857 × 10^ H−7L V;

H∗ V: Driving voltage, see labbook p. 114 ∗LHeatingVoltage @V_D : = HV+ 0.0088259 − 0.03 L ê Gain;

H∗ V: reading Voltage, see labbook p. 115 ∗L

H∗ calculate Offset Voltage ∗Ln = 1; While @DataSet @@n + 1, 6 DD 0, n = n + 1D;

VoltageOffset = Sum@DataSet @@i, 5 DD, 8i, 1, n <D ê n;


If @PowerCalcSwitch "8",

Ifactor = 10^6;

Current = DataSet @@i, 8 DD ê Ifactor,

Current = HeatingCurrent @DataSet @@i, 6 DDD;

D;

Voltage = HeatingVoltage @DataSet @@i, 5 DDD;

Rheater = HeaterResistance @TempList @@i DDD;

Rthermo = ThermoResistance @TempList @@i DDD;

ThermoPower = 1 ê 2 ∗ HDataSet @@i, 3 DDL^2 ê Rthermo;

H∗ ThermoPower = 1ê2∗Rthermo ∗HLockInVoltage êHRthermo +395000 LL^2D ∗LPowerList1 = Append@PowerList1, Abs @Current ∗ Voltage DD;

PowerList2 = Append@PowerList2, Abs @Voltage^2 ê Rheater DD;

PowerList3 = Append@PowerList3, Abs @Current^2 Rheater DD;

PowerList5 = Append@PowerList5, Abs @HVoltage − VoltageOffset L ∗ Current DD;

PowerList7 = Append@PowerList7, Abs @Current^2 Rheater D + ThermoPower D;

If @DataSet @@i, 6 DD 0,

PowerList4 = Append@PowerList4, Voltage^2 ê Rheater D;

PowerList6 = Append@PowerList6, Voltage^2 ê Rheater D,

PowerList4 = Append@PowerList4, Voltage ∗ Current D;


89

@ DPowerList6 = Append@PowerList6, Current^2 ∗ Rheater D;

D;

D;


If @DataSet @@i, 6 DD ≠ 0, PulseSign = Sign @DataSet @@i, 6 DDD; Break D;

D;

H∗ "1" P = U∗I êê "2" P = U^2êR êê "3" P = I^2 R êê"4" P = U I if I ≠0, else P =U^2êR êê "5" P = HU−U0L∗I êê

"6" P = I^2 R if I ≠0, else P = U^2êR êê "7" P = I^2 R + Pth ∗LIf @PowerCalcSwitch == "1", PowerList = PowerList1; D;

If @PowerCalcSwitch == "2", PowerList = PowerList2; D;

If @PowerCalcSwitch == "3", PowerList = PowerList3; D;

If @PowerCalcSwitch "4", PowerList = PowerList4; D;





H∗ Redefine ShiftTempData ∗LIf @ShiftByHeaterSwitchOff 1,

n = Length @DataSet @@ ;; , 6 DDD; While @DataSet @@n, 6 DD 0, n = n − 1D;

PowerEndIndex = n;

n = 1; While @TempList @@nDD < TempMax, n = n + 1D;

TempMaxIndex = n;

ShiftTempData = TempMaxIndex − PowerEndIndex;

D;

TempMax = Max@TempList D;

PowerList = Drop @PowerList, −ShiftTempData D;

TimeList = Drop @TimeList, −ShiftTempData D;

TempList = Drop @TempList, ShiftTempData D;

BaseTemp = HTempList @@1DD + TempList @@2DDL ê 2;

H∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∗LH∗ Step 04 D: Calculate Data needed for Fitting ∗LIntQ = 8<; H∗ Integral over Q ∗LIntV = 8<; H∗ Derivative of T Ht L ∗LIntS = 8<; H∗ Integral over S ∗LGam = 8<; H∗ T − Tbase ∗L

H∗ Addenda bei T = T0+Hubê2 ∗LAddenda = AddendaHC@HTempMax+ TempList @@1DDL ê 2D;

A Anhang

90

For @i = 1, i ≤ Length @TimeList D, i = i + 1,

If @i 1,

∆t = TimeList @@i DD;

IntQ = 8PowerList @@i DD ∗ ∆t <;

Gam = 80<;

IntV = 80<;

IntS = Append@IntS, Gam @@1DD ∗ ∆t D;

IntH = IntQ − IntV ∗ Addenda;

,

∆t = TimeList @@i DD − TimeList @@i − 1DD;

Gam = Append@Gam, TempList @@i DD − BaseTempD;

deriv = HGam@@i DD − Gam@@i − 1DDL ê ∆t;

IntQ = Append@IntQ, IntQ @@i − 1DD + PowerList @@i DD ∗ ∆t D;

IntV = Append@IntV, deriv D;

IntS = Append@IntS, IntS @@i − 1DD + Gam@@i DD ∗ ∆t D ;

IntH = Append@IntH, PowerList @@i DD − Addenda ∗ deriv D;

D;

D;

H∗ do not use this pulse if pulse height not appropriate ∗LIf @Max@GamD ê BaseTemp > TRiseMax »» Max@GamD ê BaseTemp < TRiseMin,

Print @"PulseHeight out of Range. k = ", k, ", ∆T = ", Max @GamD,

", T 0 = ", BaseTemp, ", ∆TêT0 = ", Max @GamD ê BaseTemp, ". ∆TmaxêT0 = ",

TRiseMax, ", ∆Tmin êT0 = ", TRiseMin, ". Discard." D; Goto @endDD;

H∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∗LH∗ Step 04 E: Smooth out data ∗LFor @i = 3, i ≤ Length @IntQ D, i = i + 1,

If @i < Length @IntQ D,

If @IntQ @@i DD ≥ 1.2 ∗ IntQ @@i − 1DD,

IntQ @@i DD = HIntQ @@i − 1DD + IntQ @@i + 1DDL ê 2D;

If @IntS @@i DD ≥ 1.2 ∗ IntS @@i − 1DD, IntS @@i DD =

HIntS @@i − 1DD + IntS @@i + 1DDL ê 2D;,

If @IntQ @@i DD ≥ 1.2 ∗ IntQ @@i − 1DD, IntQ @@i DD = IntQ @@i − 1DD D;

If @IntS @@i DD ≥ 1.2 ∗ IntS @@i − 1DD, IntS @@i DD = IntS @@i − 1DD D;

D;

D;

H∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∗LH∗ Step 04 F: Join all calculated data and FIT ∗LCalcData = 8<;

For @i = 1, i ≤ Length @IntQ D, i = i + 1,

CalcData = Append@CalcData, 8TimeList @@i DD, TempList @@i DD,

Gam@@i DD, IntS @@i DD, PowerList @@i DD, IntQ @@i DD, IntH @@i DD<D;

D;


91

M= 8<;

For @i = 1, i ≤ Length @CalcData D, i = i + 1,

If @SampleOnPuck False,

M = Append@M, 8CalcData @@i, 4 DD, CalcData @@i, 6 DD<D,

M = Append@M, 8CalcData @@i, 4 DD, CalcData @@i, 6 DD, CalcData @@i, 7 DD<DD;

D;

H∗ vgl. Hwang1997, Formula 11 ∗LIf @SampleOnPuck False,

Coef = LeastSquares @M, GamD;

q = Coef @@2DD;

s = Coef @@1DD;

h = 0;

c = 1 ê q;

K1 = −s ê q;

K2 = 0;

,

Coef = LeastSquares @M, GamD;

q = Coef @@2DD;

s = Coef @@1DD;

h = Coef @@3DD;

c = h s ê q^2 + 1 ê q − Addenda;

K1 = −s ê q;

K2 = s ê q + H1 − q Addenda L ê h;

D;

H∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∗LH∗ Step 04 G: Goodness of Fit ê Chi Square ∗LH∗ Chi Quadrat : vgl: http: êêde.wikipedia.org êwiki êAnpassungsg %C3%BCte ∗LGammaFit = 8<;

ChiSquare = 0;

For @i = 1, i ≤ Length @IntQ D, i = i + 1,

GammaFitNewPoint = q ∗ IntQ @@i DD + s ∗ IntS @@i DD + h ∗ IntH @@i DD;

GammaFit = Append@GammaFit, 8CalcData @@i, 1 DD, GammaFitNewPoint <D;

If @Gam@@i DD ≠ 0, ChiSquare = ChiSquare +

Sqrt @HGammaFitNewPoint − Gam@@i DDL^2D ê Abs@GammaFitNewPoint DD;

D;

ChiSquareRed = ChiSquare ê HLength @IntQ D − 1L;

If @ChiSquareRed > ChiSquareRedTolerance,

Print @"Chi^2 Red = ", ChiSquareRed, "for ", FileName, ". Discard."; Goto @endDDH∗, Print @"Chi^2 Red = ",ChiSquareRed,"for ",FileName,". Continue." D; ∗L

D;

AllData = Append@AllData,

8q, s, h, c, K1, K2, PulseSign, TempList @@1DD ∗ H2 + Max@GamD ê BaseTempL ê 2<D;

A Anhang

92

WriteString @str, NumberForm @TempList @@1DD ∗ H2 + Max@GamD ê BaseTempL ê 2,

NumberFormat → HRow@81, "E0", 3<D &LDD;

WriteString @str, "\t" D;

WriteString @str, NumberForm @q, NumberFormat → HRow@81, "E0", 3<D &LDD;


WriteString @str, NumberForm @s, NumberFormat → HRow@81, "E0", 3<D &LDD;


WriteString @str, NumberForm @h, NumberFormat → HRow@81, "E0", 3<D &LDD;


WriteString @str, NumberForm @c, NumberFormat → HRow@81, "E", 3<D &LDD;


WriteString @str, NumberForm @K1, NumberFormat → HRow@81, "E", 3<D &LDD;


If @SampleOnPuck,

WriteString @str, NumberForm @K2, NumberFormat → HRow@81, "E", 3<D &LDD,

WriteString @str, NumberForm @K2, NumberFormat → HRow@81, "E0", 3<D &LDDD;


WriteString @str,

NumberForm@TempList @@1DD^2, NumberFormat → HRow@81, "E", 3<D &LDD;


WriteString @str,

NumberForm@c ê TempList @@1DD, NumberFormat → HRow@81, "E", 3<D &LDD;


WriteString @str,

NumberForm@ChiSquareRed, NumberFormat → HRow@81, "E0", 3<D &LDD;


WriteString @str, ShiftTempData D;

WriteString @str, "\n" D;

Label @endD;

If @ Mod@k, PulsesPerStep D 0,

NumberOfFits = Length @AllData D;

If @NumberOfFits > 0,

cValuesPositive = 8<;

cValuesNegative = 8<;

TempAverage = 0;

For @i = 1, i ≤ NumberOfFits, i = i + 1,

TempAverage = TempAverage + AllData @@i, 8 DD ê NumberOfFits;

cValueTemp = AllData @@i, 4 DD;

PulseSignTemp = AllData @@i, 7 DD;

If @PulseSignTemp < 0,

cValuesNegative = Append@cValuesNegative, cValueTemp D,

cValuesPositive = Append@cValuesPositive, cValueTemp DD; H∗ end if ∗L

D; H∗ end For ∗L


93

NegPoints = Length @cValuesNegative D;

PosPoints = Length @cValuesPositive D;

If @NegPoints ≥ MinimumPointsPerSign && PosPoints ≥ MinimumPointsPerSign,

H∗ drop first elements of bigger list to not shift average value ,

drop first elements as those might be the worse ones ∗LcValuesNegative = Take@cValuesNegative, −Min @PosPoints, NegPoints DD;

cValuesPositive = Take@cValuesPositive, −Min @PosPoints, NegPoints DD;

cAverageNeg = Mean@Abs@cValuesNegative DD;

cAveragePos = Mean@Abs@cValuesPositive DD;

cAverage = Mean@Abs@Join @cValuesNegative, cValuesPositive DDD;

cError = Sqrt @StandardDeviation @cValuesNegative D^2 +

StandardDeviation @cValuesPositive D^2D;

WriteString @str2,

NumberForm@TempAverage, NumberFormat → HRow@81, "E0", 3<D &LDD;

WriteString @str2, "\t" D;

WriteString @str2,

NumberForm@cAverage, NumberFormat → HRow@81, "E", 3<D &LDD;


WriteString @str2,

NumberForm@cError, NumberFormat → HRow@81, "E", 3<D &LDD;

If @WritePosNeg 1,


WriteString @str2,

NumberForm@cAveragePos, NumberFormat → HRow@81, "E", 3<D &LDD;


WriteString @str2,

NumberForm@cAverageNeg, NumberFormat → HRow@81, "E", 3<D &LDD;

D;


WriteString @str2,

NumberForm@TempAverage^2, NumberFormat → HRow@81, "E0", 3<D &LDD;


WriteString @str2, NumberForm @cAverage ê TempAverage, NumberFormat → HRow@81, "E", 3<D &LDD;

WriteString @str2, "\n" D;

DD;

AllData = 8<;

D;

D;

Close @str D;

A Anhang

94

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Danksagung

An dieser Stelle möchte ich mich bei all jenen bedanken, die mich gefördert und gefordert haben

und diese Arbeit auf vielfältige Art und Weise unterstützt haben. Besonders bedanken möchte ich

mich bei:

PROF. RÜDIGER KLINGELER und PROF. CHRISTIAN ENSS für die freundliche Aufnahme in den

Arbeitsgruppen, die interessante Themenwahl und die immer offene Tür mit intensiven Diskus-

sionen.

ANDREAS FLEISCHMANN, der mit viel Kreativität und Auge fürs Detail die Entwicklung dieses

Projekts vorangetrieben hat und mit vielen hilfreichen Erklärungen und anregenden Diskussionen

zur Seite stand.

MARIUS HEMPEL, dem ich hier gar nicht genug danken kann für seine unermüdliche Hilfe im

Labor, viele spaßige Nacht- und Wochenendschichten und für das Auffüllen der Henne.

NORMAN LEPS für die Einführung in mein Themengebiet und die Welt des KIPs und für den

besten Kaffee außerhalb Italiens.

PATRICK VOGT und GUNNAR SCHÖNHOFF für die tatkräftige Unterstützung bei der Projektrea-

lisierung und fürs Zuhören beim lauten Denken.

CHRISTOPHER DIETL, DANIEL HENGSTLER, CARSTEN JÄHNE, SEBASTIAN KEMPF, CHANG-

HYUN KOO, CHRISTIAN PIES, PHILIPP RANITZSCH, ANDREAS REISER, DANIEL ROTHFUSS

und SÖNKE SCHÄFER, die sich immer Zeit für die Beantwortung kurzer und weniger kurzer Fra-

gen genommen haben und viele praktische Tipps für das Labor oder das Schreiben dieser Arbeit

geben konnten.

Der TECHNIK- und EDV-CREW und insbesondere den Herren AZEROTH, KATTINGER, LAMA-

DE, LEONHARDT, SPIEGEL, WEIDNER, WEISSER und WITTNEBEN für die zur Verfügung ge-

stellte Hardware, das technische Know-how und die unkomplizierte Hilfestellungen, sowie RUDI

EITEL für seinen immerwährenden Kampf gegen die Entropie.

Den Gruppen F3, F4, F5 sowie F25 für die gute Arbeitsatmosphäre im Büro, Labor und in der

Kaffeeecke, sowie während der ein oder anderen nächtlichen Runde. Außerdem Danke an F6 für

die Quasi-Aufnahme während der DPG-Tagung, das unkomplizierte Leihen von Laborequipment

und für die Bereitstellung des Pausenraums.

FRIEDRICH W. VOLCK für das Teilen seiner Leidenschaft für die Physik des Alltages und stell-

vertretend für alle, die ihr Leben der Lehre widmen.

Nicht zuletzt möchte ich meinen FREUNDEN, meiner gesamten FAMILIE und ganz besonders

meinen ELTERN danken, deren Unterstützung ich immer auf meiner Seite weiß.

Erklärung:

Ich versichere, dass ich diese Arbeit selbstständig verfasst habe und keine anderen als die angege-

benen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.

Heidelberg, den 24.10.2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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