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Arbeitsunterlagen

Angewandte Mathematik

2011

Kontakt: Bundes‐ARGE AM für HUM Susanne Ripper und Brigitte Wessenberg

[email protected] und [email protected] Homepage der Bundes‐ARGE:

http://home.eduhi.at/teaching/Mam/bundesarge/

Arbeitunterlagen S: 2

Kompetenzmodell und Bildungsstandards Umsetzung in die Praxis

Brigitte Wessenberg

Ohne Zweifel beginnt ein guter kompetenzorientierter Unterricht mit dem Lehr‐ und Lernumfeld in der Schule. Es geht einerseits um die Implementierung der Bildungsstandards in den Unterricht, andererseits aber auch um eine bewusste Reflexion des Lehrens. Es sollte eine hohe Nachhaltigkeit von Wissen und Können der Schüler erreicht werden und der Lehrer müsste mehr beratende unterstützende helfende, fördernde Funktionen übernehmen. Engagierte Lehrer praktizieren zu einem großen Teil diese Veränderungen bereits.

I Lehrerpersönlichkeit – Das Alpha und Omega Unterricht bedeutet Interaktion zwischen Lehrer und Schüler, also ein kommunikatives Handeln, das auf Wissensvermittlung, Erziehung und Charakterbildung zielt. Auf diese Elemente muss sich also Unterrichtsbeobachtung konzentrieren. Es ist meine persönliche Überzeugung, dass die grundlegendste Eigenschaft für den Lehrberuf die ist, dass ein Lehrer seine Schüler mag, das heißt eine positive Grundeinstellung zu jedem einzelnen Schüler überzeugend in sich trägt. Das wird ihn immer zumindest zu einem großen Teil erfolgreich machen. Allerdings gibt es darüber hinaus einige Gesichtspunkte, die zu kompetenzorientiertem Lehren und Lernen verhelfen können: 1. Die kompetente Lehrerpersönlichkeit Sie verfügt über eine Reihe von Kompetenzen und Fähigkeiten wie etwa:

Glaubwürdige und sichere Fachkompetenz: Zb Mathematik als Wissenschaftsdisziplin

Schulfachwissen – verantwortungsbewusste Reduktion des Wissens gemäß der Lehrpläne und in den Beitrag zum Allgemeinwissen

Bewertende Fachphilosophie: wozu nützt und dient das Fach?

Pädagogisches und fachpädagogisches Wissen um Techniken der Vermittlung

eigene Praxiserfahrung

Sozial‐ und Selbstkompetenz wie Einfühlungsvermögen, Toleranz und Offenheit, persönliche Stabilität, Abgrenzungsfähigkeiten u.a.m Absolute Aufrichtigkeit und Authentizität: Verlangen Sie niemals etwas von Ihren Schülern, was Sie in Ihrem Herzen auf Ihrer eigenen Ausbildungsstufe aus Ihrer inneren Überzeugung heraus nicht selbst zu tun bereit sind oder gar, was Sie selbst nicht können.

2. Bewusstsein der breitgestreuten Lehrerrolle

Ansprechpartner für Schüler, Eltern, Kollegen und möglicherweise auch für außerschulische Institutionen: Eine meist große psychische Herausforderung

Erzieher: in immer größerem Ausmaß verschiebt sich mäßige Erziehung im Elternhaus in den Schulalltag. Wie geht man miteinander um, wie räumt man auf, wie grüßt man? Bei uns oft auch Tischmanieren usw…

Konfliktmanger: Verbale und körperliche Auseinandersetzungen, Mobbing etc… unter Schülern aber auch unter S/L austragen helfen. Nimmt in letzter Zeit massiv zu. Teamteaching, kleinere Gruppen, pädagogische Konferenzen. Lehrertreffs etc

Moderator im Unterricht: weg vom 99% Lehrer spricht, Schüler hört hin zu einem Zwiegespräch unter L/S und s/S…Verhalten verändern!! Training in Kommunikationstechniken

Lernmoderator: tradierte Lerntechniken gegen neue Lerntechniken austauschen. Wie lernen Menschen? Was behalten sie, welche Lerntypen sind sie?


Helfer und Beobachter bei Lernprozessen: Begleiter im Unterrichtsgeschehen, zeitlich und inhaltlich nicht abschätzbar, daher fixe Lehrvorgaben, womöglich noch wöchentlich ‐ ein Unding. Ausgleichen durch ein hohes Maß an persönlicher Kompetenz und Eigenverantwortung.

Verantwortungsträger: Lehrer sind verantwortlich, wie Sie Ihr Wissen an die Ihnen anvertrauten Schüler weitergeben. (Auch die Eltern gehen davon aus, dass Sie sich Ihrer Verantwortung bewusst sind!) Sie dürfen keine Mühe scheuen, keine Arbeit und keinen Einsatz. Wenn Sie Ihr Fach so vermitteln, dass Schüler merken, dass Sie halbherzig dabei sind, dass Sie es öde finden, dass Sie in Wirklichkeit abschalten, dass Sie über‐ oder unterfordert sind, dann gehen Sie mit Ihrer Verantwortung nicht gut um. Die Folgen davon können sehr ernst sein: ‐ Die Schüler haben sich zu wenig Grundwissen aus Ihrem Fach angeeignet, so dass sie Prüfungen in weiterführende Bildungsstätten nicht bestehen können. Sie tragen die Verantwortung, dass Prüfungssituationen nicht bewältigbar sind, unter Umständen dadurch Wunschberufe für diesen Schüler nicht mehr möglich sind. ‐ Die Schüler haben durch ständige Unter‐ oder Überforderung eine unüberwindliche Abscheu gegen das Fach. Sie schalten innerlich ab, wann immer auch Jahre später irgendwo die Sprache auf Inhalte solchen Unterrichtens kommt. Sie sind verantwortlich für das Bildungsloch, für die Komplexe und auch für seelische Verletzung.

Der Prüfer: Das Feedback vom Lehrer kommt in Form von Noten oder Zeichen (+,‐ etc..). ‐ Junge Menschen dürfen und können Fehler machen. Fehler sind nicht prinzipiell schlecht, bei richtigem Umgang damit, kann man viel aus dem Fehler lernen! („Fehler‐Kultur“) ‐ eine negative Leistung bedeutet nicht, dass der Mensch, der sie erbringt, negativ ist.

Der Lehrer als Mensch: Humor, es darf gelacht werden. Lehrer lacht auch über sich, das suggeriert Leichtigkeit, Stresslosigkeit und Angstfreiheit Er soll gerecht sein, ein Vorbild, er soll wendig sein, sich einlassen können neue Methoden, neue Unterrichtsformen und er soll selber auch lernen.

II Kriterien für guten Unterricht – gibt es die? Es finden sich zahlreiche Pädagogen, die sich darüber Gedanken gemacht haben. Fasst man die gängigen Meinungen zusammen, dann ergibt sich das folgende Bild:

Der Inhalt muss stimmen: Das Thema sollte weitgehend sowohl Lehre wie Schüler etwas bedeuten und er muss natürlich dem Schulunterrichtsgesetz entsprechen. ‐ Ideen der Schüler aufgreifen und für den Unterricht fruchtbar machen, ‐ sich interessiert und zugleich stimulierend zeigen, ‐ Unterrichtsinhalte klar und einfach präsentieren, ‐ immer aufgabenorientiert vorgehen, bei der Sache bleiben ‐ durch strukturierende und akzentuierende Hinweise Ziele und Inhalte des Unterrichts transparent machen

Ein gutes Miteinander: klare Regeln für das Miteinander. Respekt, Vertrauen…. Impulse und Anregungen an Einzelne oder Gruppen geben, Wiederholung oder Neuformulierung von Fragen bei falschen Antworten. Keine Machtausübung, Keine Verächtlichmachung! Das Selbstvertrauen stärken! Lob und Anerkennung aussprechen!

Vielfältige Unterrichtsmaterialien bereitstellen und entsprechend den Schülermöglichkeiten einsetzen, Unterrichtsformen mit Freiräumen, Anleitung zu selbständigem Arbeiten!

Geeignetes Lernumfeld schaffen: Beobachtung des Lernprozesse, weitgehende Individualisierung sicherstellen, Rechtzeitige Beratung und Förderung bei Lernschwächen, gemeinsame Reflexion


Für den guten Unterricht sind wichtig: Transparenz, Mitbeteiligung/ Einbeziehung der Schüler und eine klare Strukturierung. Diese Prinzipien sind in jedem Unterricht anwendbar. Darüber hinausgehende allgemeingültige Prinzipien gibt es nicht. Etwas, was man in einer Klasse mit Erfolg durchgeführt hat, versagt in einer Parallelklasse oder einer Nachfolgerklasse total. Auf diese Weise setzen Lehrer Unterrichtsstunden auch in den Sand. Damit muss man einfach leben. Wenn man das aber nach solch einer Stunde merkt und sofort korrigiert, dann spürt der Schüler das nicht einmal. Im Gegenteil, es kann sein, dass er in der nächsten Stunde Ihre Nacharbeitung zum besseren Verständnis wunderbar nützen kann.

III. Kompetenzorientierter Unterricht

1. Der Begriff „Kompetenz“

Was versteht man unter Kompetenz? Vereinfacht ausgedrückt versteht man unter Kompetenz ein Zusammenspiel von WISSEN, KÖNNEN und WOLLEN, das in komplexen und realen Anforderungen einsetzbar ist. Beim kompetenzorientierten Unterrichten sind daher nicht die LEHRZIELE im Vordergrund, sondern es geht um die LERNZIELE, das bedeutet, jene Ziele, die der Lernende aufgrund seiner Disposition, seiner Begabung und seines Einsatzes unter HILFESTELLUNG des Lehrenden erreichen kann.

In Abhandlungen über das kompetenzorientierte Unterrichten finden sich immer wieder die folgenden Voraussetzungen, die auf Andreas Feindt zurückgehen: Die im Unterricht vermittelten Kompetenzen, die in Wissen, Können und Wollen befestigt sind, speisen sich aus…

individueller Lernbegleitung, die den Lehrenden zur Analyse des Kompetenz‐Ist‐Zustands und zur richtigen Förderung der Lernenden verpflichtet; selbstgesteuertem Lernen, das nur möglich ist, indem der Lehrende den Schüler/innen durch gut gesetzte Rückmeldungen hilft, Strategien dafür zu entwickeln; der Herausforderung der Denkfähigkeit der Schülerinnen und Schüler, was man besonders durch Projektunterricht, Gruppenarbeiten u.Ä. erreichen kann Wissensvernetzung, was man durch fächerübergreifenden Unterricht, evtl. Team‐Teaching, aber auch fachbezogen mit Vernetzungen der einzelnen innerfachlichen Bezüge erreichen könnte; Überarbeitung und Übung durch ein möglichst breit angelegtes Training mit wohlwollender Unterstützung und einer Art Coaching durch den Lehrenden, lebensweltlichen Anwendungen, die innerhalb der Schule eine möglichst praxisnahe Lernsituation schaffen sollen, wo sich auch überfachliche Kompetenzen als Training für das spätere Berufsleben entwickeln können.


2. Das Kompetenzmodell der Mathematik in seiner Verflechtung mit den Bildungsstandards


3. Methodik des kompetenzorientierten Unterrichtens

Um möglichst alle diese Kompetenzen auch im Unterricht zu vermitteln, ist es angeraten, die Lehr‐ und Lernmethoden vielfältiger zu gestalten. Allerdings sollte man nicht allzu viele verschiedene Methoden praktizieren, dies kann kontraproduktiv sein. Die Methode des frontalen Erklärens von vorneherein als schlecht zu bezeichnen ist in mancher Situation nicht zielführend, sie kann manchmal in einer Stunde sinnvoll sein, zB wenn in Mathematik ein neuer Rechengang gezeigt werden muss. Man sollte schon darauf achten, Schülerinnen und Schüler weitgehend selbständig arbeiten zu lassen. a) Die Kenntnis über die Gehirnprozesse, die Lernen ermöglichen beziehungsweise sie verhindern, ist ebenfalls von grundlegender Bedeutung. Wenn die Ergebnisse der Hirnforschung durchaus auch noch umstritten sind, so sollte man doch die wichtigsten Eckpfeiler der Aussagen für die Lehr‐ und Lernmethoden berücksichtigen, wirken Lehrende immerhin direkt auf die Gehirne der Schülerinnen und Schüler. (Publikationen von Dr. Manfred Spitzer und Vera Birkenbihl http://www.br‐online.de/br‐alpha/geist‐und‐gehirn‐manfred‐spitzer‐gehirnforschung‐ID1213795568814.xml: http://www.birkenbihl‐insider.de/ )

Einige wichtige Gedanken dazu sind die folgenden: ‐Menschen in verschiedenen Lebensphasen lernen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Lernen bedeutet aus neurobiologischer Sicht, dass die Verbindungen zwischen Gehirnzellen (Synapsen) stärker werden. Bei Kindern bewirken Lernimpulse schnell eine stärkere Verbindung, bei Erwachsenen dauert das länger. In der Pubertät verlangsamen Hormone den Aufbau von Nervenzellen. Am Anfang des Lebens kann deshalb sehr viel Neues gelernt werden, im späteren Lebensalter nicht mehr so viel. Allerdings wird die Abnahme dadurch kompensiert, dass durch bereits Gelerntes Strukturen entstehen, an die immer besser angeknüpft werden kann. -Die Geschwindigkeit der Reaktion von Nervenzellen ist genetisch bedingt und kann von außen nicht gesteuert werden. Aber die neuronal Langsamen können durch Fleiß und durch viel Arbeit mit dem neuronal schnellen Menschen gleichziehen, ja ihn sogar überholen („Intelligenz ist erlernbar“). Die Beachtung des individuellen Lerntempos der Schüler und Schülerinnen ist daher überaus wichtig. ‐Durch einen Wechsel von Methoden erzielt man bessere Lernerfolge. Möglicherweise hört oder beobachtet man, dass ein Kollege, eine andere Schule mit einem neuen Weg erfolgreich war. Dann ist es Zeit, dies auch auszuprobieren. -Negative Beurteilungen und Beschimpfungen durch Lehrer aber auch durch Eltern, wie auch negative Gefühle im Zusammenhang mit dem Lernen (Nörgeln und Druckmachen der Eltern) führt zu einer Aktivierung des Mandelkerns (Teil des limbische Systems im Gehirn) und sorgt dafür, dass der Schüler nicht mehr kreativ ist, sondern ängstlich und nur noch auswendig lernt. Die Neurogenese stoppt. Deshalb muss dafür gesorgt werden, dass die Lernumgebung in der Schule und daheim unbedingt positiv ist. ‐ Durch Zusehen und Nachahmen bilden sich Spiegelneuronen. Lernen durch Zusehen geschieht im Kleinkindalter automatisch und ist überaus effektiv. Wenn dann später niemand daheim liest, musiziert, malt, tanzt singt, rechnet, schreibt etc, dann bilden sich diese Neuronen nicht weiter aus. Kinder aus solchen bildungsferneren Familien lernen in der Schule von vorneherein wesentlich schwerer. Aber auch im Unterricht gibt es Möglichkeiten, das Lernpotential durch Nachahmung zu aktivieren, speziell bei Unterricht in Gruppen. ‐Probieren ohne Angst und ein schnelles Feedback nach dem Motto des Spiels „Heiß“ Kalt“, bringt auch für die Mathematik ein wichtiges Lernelement. ‐Das Erlernen von Tätigkeiten muss immer am untersten Level beginnen! Auf diesem untersten Level darf es keine Kritik geben! Zum Beispiel: Man möchte das Koordinatensystem erarbeiten, erklärt zunächst das Wesentliche und gibt dann einfache Übungen mit Einzeichnen von Punkten und Ablesen von Punkten. Nun kann es


sein, dass einige Schülerinnen und Schüler der 1. JG noch nie von Koordinaten gehört haben, während andere diese Übungen als Wiederholung schon rasch langweilen. Für einige ist der Einstieg nicht auf dem untersten Level, für sie sind die scheinbar einfachen Übungen schon zu schwierig! Das kann bereits für diese wenigen den richtigen Zugang verpatzen. Kommt dann noch Kritik oder Spott dazu, dann ist die Sache so negativ wie irgend möglich gelaufen, die Betroffenen verlieren Neugier und Lust! Es ist enorm wichtig, ein Gespür für den Einsteigerbereich zu entwickeln! b) Einige bewährte Lehr‐ und Lernmethoden, zusammengestellt von Susanne Ripper

EXPERTENPUZZLE

Das Modell eignet sich gut, wenn ein Lerninhalt in 4 bis 5 Teilgebiete zerlegt werden kann. Es können auch verschiedene Aufgaben mit unterschiedlichen Lösungstechniken oder Anwendungen sein.

Im ersten Schritt erfolgt die Gruppenbildung (Quartett, Farben ziehen, Symbolkärtchen…) der sogenannten MISCHGRUPPEN. Beispiel: 16 Schülerinnen: Kärtchen A1, A2, A3, A4, B1, B2, B3, B4, C1, C2, C3, C4, D1, D2, D3, D4 Mischgruppen: Gruppe 1, Gruppe 2, Gruppe 3, Gruppe 4 Expertengruppen: Gruppe A, Gruppe B, Gruppe C, Gruppe D In diesen Mischgruppen (4 Gruppen zu je 4 Personen) werden 4 verschiedene Teilaufgaben verteilt. Danach macht sich jede/r Schüler/in in Einzelarbeit mit dem Thema, mit der Aufgabenstellung vertraut.

Im zweiten Schritt gehen alle EXPERTEN aus den Mischgruppen in EXPERTENGRUPPEN zusammen. Dort erfolgt das gemeinsame Lösen und Erarbeiten, eine Diskussion über Inhalte und schließlich eine Zusammenschau, was in den Mischgruppen weitergegeben wird, so dass das Thema für alle verständlich ist. Hierbei soll auch ein Plakat gestaltet werden, anhand dessen die Erklärung erfolgen kann. Im dritten Schritt kehren alle wieder in ihre ursprüngliche Mischgruppe zurück und die Gruppe wandert von einem Plakat zum nächsten. Dort erklärt der jeweilige Experte die Thematik! Anhand von mehreren Kleinaufgaben sollte das erworbene Wissen in Form einer Hausübung gefestigt werden.

GRUPPENPUZZLE

In Gruppenarbeit (4 Personen) wird zunächst von jeder Gruppe Beispiel A oder B bearbeitet. Anschließend werden in Mischgruppen (2 + 2) die Informationen ausgetauscht und Beispiel C gelöst. Beispiel C könnte auch als Hausübung gegeben werden.

DOPPELKREIS

Bei dieser Methode wird allen Schüler/innen die Gelegenheit gegeben, über ein Thema zu sprechen. Jeder Teilnehmer im Doppelkreis trägt die Verantwortung, da die jeweilige Gesprächspartnerin bzw. –partner von der gegebenen Information abhängig ist. Dabei wird die Möglichkeit gegeben freies Sprechen zu üben. Gut geeignet für Informationsaustausch und Wiederholung. Die Schüler/innen werden in zwei Gruppen aufgeteilt, Gruppe 1 bildet mit Sesseln einen Außenkreis mit Blick nach innen, die Schüler/innen der Gruppe 2 setzen sich in den Innenkreis gegenüber der Gruppe 1 (Bei ungerader Personenanzahl bilden 2 Schüler/innen der Gruppe 1 ein Team und sitzen einem/r Schüler/in der Gruppe 2 gegenüber). Die Lehrerin bzw. der Lehrer gibt den Arbeitsauftrag und die Zeit vor, das Ende jeder Runde wird durch ein akustisches Zeichen angezeigt. Runde1: Der Außenkreis gibt sein Wissen an den Innenkreis weiter, die Schüler/innen im Innenkreis dürfen Notizen machen und sollen aktiv zuhören (auch kurzes Nachfragen soll möglich sein). Nach der ersten Runde rückt die Gruppe 1 im Außenkreis um zwei Sessel weiter. Runde 2: Der Innenkreis erzählt dem neuen Gegenüber was er soeben erfahren hat, die Schüler/innen im Außenkreis hören zu und korrigieren Fehler oder ergänzen Fehlendes.


Nach der zweiten Runde gibt die Lehrerin/ der Lehrer einen neuen Arbeitsauftrag, die Schüler/innen rücken wieder zwei Sessel weiter. Runde 3: Der Innenkreis gibt nun sein Wissen an den Außenkreis weiter, die Schüler/innen im Außenkreis machen Notizen und hören aktiv zu. Runde 4: Nach dem Weiterrücken wiederholt der Außenkreis, was er soeben gehört hat, Schüler/innen im Innenkreis hören zu, korrigieren oder ergänzen. Die Kontrolle erfolgt jeweils in der zweiten Runde bzw. vierten Runde, wenn das soeben Gehörte wiederholt wird.

PARTNERARBEIT NEU

Teams zu je 2 SchülerInnen werden gebildet (vertraute Paare vermeiden) Jedes Paar erhält nun eine der von zwei Aufgaben, d.h. bei z.B. 32 SchülerInnnen erhalten 8 Paare die Aufgabe 1) und 8 Paare die Aufgabe 2). Jedes Paar versucht die Aufgabe zu lösen und so vorzubereiten, dass die Inhalte weitergegeben werden können! Danach treffen einander zwei Paare mit unterschiedlichen Aufgaben. Das Beispiel 1) wird erklärt, Fragen dürfen gestellt werden, wenn alles klar ist geht man genauso mit dem Beispiel 2) vor. Zur Hausübung gibt es für alle ein Beispiel 3, das alle neu gelernten Inhalte enthalten sollte. WETTBEWERB

Wer ist schneller? Händisches Rechnen gegen GTR oder EXCEL 3 Gruppen bilden, Aufgabe stellen: 3 Vertreter aus den 3 Gruppen treten gegeneinander an, die Gruppe darf beliebig einsagen und helfen. Welche Gruppe gewinnt? Die Rechnungen (z.B. das Lösen von 2x2 Gleichungssystemen) müssen gleichzeitig vorgeführt werden. Excel über Beamer, GTR über Overhead und händisch rechnen an der Tafel. Gruppen bei den nächsten Beispielen vertauschen. Vorteil: Umgehen mit Technologie, spielerische Variante bringt Spaß

INFORMATIONSSUCHE

Möglich für Einstieg in neues Thema oder als Wiederholung und Zusammenfassung. Informationen werden entweder in zweifacher Ausführung im Klassenraum zur Verfügung gestellt (z.B. an gegenüberliegenden Wänden), die Klasse wird in zwei Gruppen aufgeteilt und je ein Informationsbereich einer Gruppe zugeordnet. Arbeitsblätter liegen verdeckt am Arbeitsplatz der Schüler/innen, werden auch wieder verdeckt, wenn die Schüler/innen den Platz zur Informationssuche verlassen. Die Schüler/innen entnehmen Schritt für Schritt Informationen aus den aufgehängten Texten, die zum Lösen der Aufgaben notwendig sind. Die Informationen können aber andererseits auch in Webseiten zu finden sein, die den Schüler/innen zur Verfügung gestellt werden. Somit muss die Möglichkeit gegeben sein, dass zumindest ein PC für zwei Schüler/innen vorhanden ist. Dabei wird das Suchen von Informationen trainiert, das Lesen von Texten in Fachsprache, das selektive Lesen und das zielorientierte Arbeiten. Durch die Bewegung wird ein verstärkter Lerneffekt ausgelöst!

MEHRSTUFIGES VERFAHREN – In 4 Schritten zum Ziel:

Begonnen wird mit einer Einzelarbeit, bei der sich jede/r Schüler/in mit einer Aufgabe auseinandersetzt. Lösungsansätze, Lösungen und Fragen werden notiert. In der anschließenden Partnerarbeit werden Ergebnisse verglichen, Fragen besprochen, mögliche Fehler entdeckt, weiterführende Aufgaben besprochen und bearbeitet. Im 3. Schritt bilden sich Gruppen zu 4 oder 6 Personen (2 oder 3 Paare bilden gemeinsam eine Gruppe), auch hier werden die Ergebnisse der Partnerarbeit verglichen, an ihnen gefeilt und eventuell verbessert und anschließend eine


gemeinsame Präsentation vorbereitet. Am Ende steht die Präsentation, die das Ergebnis einer Gruppe ist, jedoch muss jedes Mitglied dieser Gruppe über die Inhalte der Präsentation Bescheid wissen und diese auch vorführen können. Jeder einzelne trägt in der Gruppe die Verantwortung für das gemeinsame Gelingen!

KAWA – Nach Vera F. Birkenbihl „Kreative analografiti Wortbild‐Assoziationen“ Kawas sind wunderbare Stoffsammlungen, die erst dann angelegt werden können, wenn man schon einige Informationen hat. Ein Begriff, ein Thema oder auch ein Name (bedeutende Persönlichkeit) wird vorgegeben, das Wort wird aufgeschrieben und zu jedem Buchstaben, aus dem sich das Wort zusammensetzt, wird ein Begriff notiert.

ABC – LISTEN: Nach Vera F. Birkenbihl Ein Thema wird vorgegeben, eine Liste mit allen Buchstaben des Alphabets jedem/r Schüler/in zur Verfügung gestellt. Ziel ist es so viele Assoziationen wie möglich zu diesem Thema aufzuschreiben. Wobei es nicht notwendig ist, bei jedem Buchstaben einen Begriff zu notieren, es dürfen pro Buchstabe auch mehrere Assoziationen gefunden werden. ABC – Liste: Man „lauscht“ nach INNEN und notiert seine EIGENEN Assoziationen ABC – Aktiv: Man „lauscht“ nach AUSSEN und notiert, was man hört (TV, Vortrag, Meetings) oder liest (Buch, Zeitung, Text), somit wird die ABC – Liste auch zu einer wunderbaren Protokollier‐Technik.

ASSOZIATIONSÜBUNG – nach Mäntylä und Vera F. Birkenbihl

Die Lehrperson nennt nacheinander 5 – 10 Fachbegriffe, die auch völlig unbekannt sein können. Die SchülerInnen schreiben zu jedem genannten Fachbegriff 3 Assoziationen auf. Der Begriff selber darf nicht notiert werden. Ziel ist, sich anhand der notierten Assoziationen möglichst viele der genannten Wörter zu merken. Zusätzlich soll vermerkt werden, ob die Herstellung einer Querverbindung leicht (L), mittelschwer (M) oder schwer (S) gefallen ist. Im anschließenden Lehrervortrag/ Film /Text etc. sind diese Wörter enthalten. Man notiert nun neben den eigenen Assoziationen den Fachbegriff und kontrolliert, ob die Assoziationen richtig waren. Ergänzungen dürfen nun hinzu geschrieben werden. Diese Methode ist auch nützlich zur Wiederholung der Begriffe und zur Herstellung von Querverbindungen zum Thema.

Schnelle Umsetzung mit verkürzten Methoden siehe auch Vorschläge von Brigitte Wessenberg in der Broschüre "Methodik" zum Download auf der Linkliste der Bundes‐ARGE‐website


Musteraufgaben – 2. JAHRGANG – eine Auswahl Zusammengestellt von Susanne Ripper*

1. Operieren und Technologieeinsatz in Algebra und Geometrie

Das Seniorenhaus „Glückliche Menschen“ soll einen zusätzlichen Therapiebereich erhalten. Da dieser Bereich auf einer Anhöhe (rel. Höhe zum Haupthaus beträgt 20m) errichtet werden soll, muss ein geeigneter Weg dorthin gebaut werden. Die Steigung der Straße zu diesem Therapiezentrum sollte nicht mehr als 6° betragen.

a) Kann dieser Steigungswinkel eingehalten werden, wenn nur ein geradliniger Weg vom Haupthaus zum Therapiezentrum möglich ist und der Horizontalabstand 200m beträgt?

b) Welcher prozentuellen Steigung entspricht dieser Anstieg? Um wie viel Prozent liegt die Steigung unter bzw. über den geforderten 6° Steigungswinkel?

Lösung mittels Geogebra:

Oder mittels Berechnung (Skizze anfertigen): tan α = GK/AK tan α = 20/200 = 0,1 α = 5,71° k(5,71) = 20/200 = 0,10 = 10% Steigung k(6°) =0,105..≈ 10,5 % Steigung.

0,5% geringere Steigung als maximal möglich

* Grundlage BISTA‐Broschüre 2009


2. Modellieren und Transferieren, Operieren und Technologieeinsatz in Funktionale Zusammenhänge

Flugticket Eine kleine Fluglinie hat mit 60 beförderten Personen volle Auslastung auf einer bestimmten Strecke. Ein Flugticket kostet dabei € 80. Um den Erlös zu steigern, überlegt die Fluglinie eine Erhöhung des Ticketpreises. Es wird überlegt, dass pro Erhöhung des Flugpreises um € 2 eine Person weniger bucht. Ein linearer Zusammenhang zwischen Ticketpreis und Personenanzahl wird angenommen. Welcher Ticketpreis führt zum größtmöglichen Erlös? Mittels Geogebra – grafische Lösung

Oder:


Lineare Nachfragefunktion p(x) = ax + b 80 = 60 a + b 82 = 59a + b p(x)= ‐2x + 200 E(x)= ‐2x² + 200x quadratische Erlösfunktion (nach unten geöffnet, Scheitel gibt den

größtmöglichen Funktionswert wieder!)

xS = ‐200/‐4 = 50 E(50) = 5000

Variante: Grafik vorgeben und interpretieren lassen:

a) Wie wirkt sich eine Preiserhöhung auf die Nachfrage aus?

b) Wie viele Tickets können verkauft werden, wenn der Preis…beträgt?

c) Welcher Preis dürfte höchstens verlangt werden, damit zumindest … Personen den Flug buchen?

d) Wie hoch ist der Erlös, wenn das Ticket um … verkauft wird?

e) Welcher Erlös wird bei voller Auslastung erzielt?


3. Argumentieren und Kommunizieren mit Funktionalen Zusammenhängen

Parabel Welche der folgenden Abbildungen entspricht der Funktion f(x), wenn f(x) = ax² + bx + c und a>0 und c<0. Begründen Sie Ihren Lösungsvorschlag.

Abb.1 Abb. 2

Abb. 3 Abb. 4

Abb.1, da bei positivem a die Parabel nach oben geöffnet ist und bei negativem c die Parabel die y‐Achse im negativen Bereich schneidet.


0

50

100

150

200

250

0 50 100 150

Wege

in m

Geschwindigkeit im km

Bremsweg sb in m

Reaktionsweg sr in m

Anhalteweg sa in m

4. Modellieren und Transferieren mit funktionalen Zusammenhängen Anhalteweg Die Fahrschulregel für den Anhalteweg bei Kraftfahrzeugen lautet:

Anhalteweg in m = Bremsweg + Reaktionsweg

Bremsweg in m = Geschwindigkeit des PKW in km/h durch 10 dividieren und das Resultat quadrieren

Reaktionsweg in m = Geschwindigkeit in km/h mal 3 durch 10

Finden Sie ein Modell, wie Sie den Bremsweg, den Reaktionsweg und den Anhalteweg gemäß der Fahrschulregeln als Funktion der Fahrzeuggeschwindigkeit darstellen können. Tabellarisch:

Geschwindigkeit v in km/h 0 20 40 60 80 100 120 140

Bremsweg sb in m 0 4 16 36 64 100 144 196

Reaktionsweg sr in m 0 6 12 18 24 30 36 42

Anhalteweg sa in m 0 10 28 54 88 130 180 238

Als Funktionsgleichung:

Grafische Darstellung:


5. Interpretieren und Dokumentieren in Algebra und Geometrie Haarfön Ein Betrieb erzeugt Haarföns in 3 Leistungsstufen (700W, 850W, 1000W) in jeweils drei verschiedenen Farben (weiß, gelb und blau). Die in einem bestimmten Zeitraum verkauften Stückzahlen sind in untenstehender Tabelle eingetragen. Der zugehörige Verkaufspreis ist ebenfalls in der Tabelle ersichtlich.

700W 850W 1000W

Weiß 150 100 80

Gelb 100 70 90

Blau 120 80 70

Preis € 64 € 72 € 85

Geben Sie zu den folgenden Berechnungen eine passende Fragestellung an:

a) (150 100 80) . 647285

=

b) 150 100 80100 70 90120 80 70

·647285

Fragestellung zu

a) Wie können die Gesamteinnahmen berechnet werden, die mit allen weißen Haarföns erzielt werden?

b) Berechnen Sie die Gesamteinnahmen für alle Haarfön‐Modelle und geben Sie diese als Gesamteinnahmen‐Vektor an.


ARBEITSBLATT FUNKTIONEN Mehrstufiges Verfahren Beachte den Unterschied zwischen den Begriffen:

Stelle

Funktionswert oder y ‐ Wert

Punkt am Graphen

Frage: Wo sind die Nullstellen der Funktion? Antwort: Die Nullstellen sind die Schnittpunkte der Funktion mit der x‐Achse, hier ist der Funktionswert 0. Nullstellen werden berechnet indem man den Funktionswert = 0 setzt.

Frage: Wo hat die Funktion ihren kleinsten Wert? Antwort: An der Stelle 1. Frage: Wo ist der Funktionswert gleich 1 [f(x) = 1]? Antwort: An den Stellen x = ‐1 und x = 3. Frage: In welchem Punkt schneidet der Graph die y ‐ Achse? Antwort: Im Punkt (0/‐2).


Aufgabe 1 (Einzelarbeit) a) An welcher Stelle hat die Funktion f ihren kleinsten Funktionswert Welche Koordinaten hat

der tiefste Punkt? b) Wo ist der Funktionswert gleich 6? c) In welchem Punkt schneidet der Graph die y‐Achse? d) Gib die Nullstellen der Funktion an!

Aufgabe 2 (Einzelarbeit)

a) An welcher Stelle hat die Funktion f ihren größten Funktionswert? Welche Koordinaten hat der höchste Punkt?

b) Wo ist der Funktionswert gleich ‐5? c) In welchem Punkt schneidet der Graph die y‐Achse? d) Gib die Nullstellen der Funktion an!


Aufgabe 3 (Partnerarbeit) Ein Ball wird aus 20m Höhe fallen gelassen. Beide Graphen beschreiben diesen Vorgang. Beantwortet die Fragen.

a) In welcher Höhe befindet sich der Ball zum Zeitpunkt t = 0? b) Wann erreicht der Ball den Boden? c) Welchen Weg hat der Ball nach einer halben bzw. einer Sekunde zurückgelegt? d) Welche y – Koordinate hat der Punkt P(0,8/y) in beiden Graphen? e) Begründet eure Antworten auf folgende Fragen:

Lässt sich aus dem Verlauf des Graphen erkennen, ob der Ball fällt oder steigt? Lässt sich aus dem Graphen ablesen, in welcher Höhe sich der Ball befindet? Lässt sich aus der Form des Graphen schließen, dass der Ball beim Fallen eine Kurve beschreibt?

h(t) (in m)

t (in s) s(t) (in m)

h(t) drückt die Höhe (den Ort) zum Zeitpunkt t aus.

s(t) drückt den zurückgelegten Weg (Entfernung von der Ausgangslage) zum Zeitpunkt t aus.

t (in s)


Aufgabe 4 (Gruppenarbeit) Geg.: f(x) = 2x² + 13x – 7

g(x) = ‐3x – 21

1) Berechne die Nullstellen von f und g

2) Berechne die Schnittpunkte der beiden Funktionen!

3) Stelle die beiden Funktionen über [‐8;2] grafisch dar und kennzeichne die errechneten Punkte!

(Maßstab: x‐Achse: 1 = 1cm, y‐Achse: 10 = 1cm)

4) Wie groß ist der Funktionswert von f an der Stelle x = ‐3,25? (Überprüfe grafisch!)

5) An welchen Stellen ist der Funktionswert f(x) = 38?

6) Welche Steigung hat die Gerade g(x)?

7) Wo schneidet g(x) die y‐Achse?

Aufgabe 5 (Gruppenarbeit) Ordne den Funktionsgraphen den jeweiligen Funktionsterm zu: f(x) = ‐x² + 4 g(x) = ‐0,5x² + 2x h(x)= 2x² + 3x – 1 k(x)= 0,1 x² ‐ x + 1

Welche allgemeinen Aussagen kannst du über a, b und c in f(x) = ax² + bx + c machen?


HÜ 1) Gegeben sind die beiden Funktionen f und g: f(x) = ‐ 0,5 x² + x + 3,5, g(x) = x + 3

a) Berechne die Schnittpunkte von f und g! b) Wo schneidet die Funktion f die y ‐ Achse? c) Welche Steigung hat die Gerade? d) Stelle die beiden Funktionen grafisch dar!

2) Gegeben sind die beiden Funktionen f und g: f(x) = x² ‐ 12x + 36 g(x) = ‐ 0,5 x + 6 a) Berechne die Nullstellen der beiden Funktionen! b) Berechne die Schnittpunkte von f und g! c) Berechne den Funktionswert von f an der Stelle 8! d) Gib den Term einer linearen Funktion an, deren Graph bei ‐5 die y‐Achse schneidet und die

Steigung 3 hat! e) Stelle f und g grafisch dar und zeichne auch die Funktion von d) ein!


Aufgabenerstellung für die Schriftliche Reifeprüfung

Brigitte Wessenberg

Das Grundproblem ist die Notwendigkeit der Testbarkeit und die eindeutige Korrigierbarkeit der Aufgaben. Daher sind folgende Unterschiede zwischen Prüfungsaufgaben und Unterrichtsaufgaben Was ist der Unterschied zwischen Unterrichtsaufgabe und Schularbeits‐/Testaufgabe?

Unterricht Schularbeit/Test

Offene Aufgabenstellung, unterschiedliche Ergebnisse möglich

Geschlossene Aufgabenstellung, klar definiertes Ergebnis

Gemeinsames Erarbeiten Einzelarbeit

Fragen nach Zusammenhängen Einzelabfragen von Kompetenzen

Zusammmenhängende Teilaufgaben Unabhängige Teilaufgaben!

Bewertung in mehreren Punkten/Prozent pro Teil

Bewertung in Richtig/Falsch 1/0‐System pro Teil

Fragen werden gestellt Keine Fragen. Klare Anweisungen!

Mehrere Kompetenzen beteiligt auch Präsentieren/Kommunizieren

Mehrere Kompetenzen beteiligt, kein Präsentieren/Kommunizieren

Dokumentieren Dokumentieren


Musteraufgabe:

Golfball

Sie schlagen einen Golfball über einen ebenen Platz. Die Bahn des Golfballes verläuft ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes näherungsweise nach der Funktion: f(x) = (0,5x‐0,007x²) . a (Maße in Meter)

1) Die Bahnkurve des Balls erreicht eine maximale Höhe von 3m. Beschreiben Sie mathematisch korrekt das Vorgehen für die Berechnung der Konstante a mit Hilfe der Differenzialrechnung.

2) Berechnen Sie die Wurfweite, das ist der Abstand zwischen den Nullstellen.

3) Zeigen Sie grafisch, dass die Wurfweite nicht von a nicht abhängig ist, indem sie für mi. 2 unterschiedliche Werte für a die Kurve zeichnen.

1 0

1 0

1 0

Zeitbedarf für den Schüler max. 15 Minuten


Aufgabenerstellung für die mündliche Reifeprüfung AM Brigitte Wessenberg

1. Vorgangsweise bei der mündlichen Prüfung:

Aus 8 (später 9) vorgegebenen Themenbereichen, die vom Lehrerkollegium erstellt wurden, zieht der Schüler/die Schülerin blind 2 davon: einen Themenbereich wählt der Schüler/die Schülerin. Aus dem gewählten Bereich ordnet der Lehrer die Aufgabenstellung zu. Bsp AM:

2. Mögliche Themenbereiche für 2015 (Vorschlag Bundes‐Arge)

1 Gleichungen und Gleichungssysteme, Ungleichungen/lineare Optimierung

2 Lineare‐ und Potenz‐Funktionen, Wachstums‐ und Zerfallsprozesse

3 Trigonometrie und Winkelfunktionen

4 Zinseszins‐Rentenrechnung, Sparen, Kredite, Schuldtilgung

5 Extremwerte, Wirtschaftsmathematik

6 Eindimensionale Datenanalyse, Regression

7 Rechnen mit Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsverteilungen (BV,NV)

8 Integralrechnung

9 Vektoren 2‐dim, Matrizen in der Wirtschaft erst ab vorauss.2019


Die mündliche RDP in Mathematik Die Plattform epmp.bmbwk.gv.at

1. Anzahl der Aufgaben: Wir gehen davon aus, dass uU sehr viele SchülerInnen zur mündlichen antreten werden. So haben wir es pro Prüfung mit möglicherweise 30 mal 9 = 270 zu tun, wenn man für jeden Schüler GLEICHE Bedingungen schaffen möchte. Weil ja der Themenbereich blind gezogen wird, und 8 (9) Bereiche verfügbar sind, kann man das auf Grund von Wahrscheinlichkeitsabwägungen aber doch guten Gewissens reduzieren. Der Vorschlag geht dahin, dass wir 10 Aufgaben pro Themengebiet unbedingt verfügbar haben sollten. Das sind immerhin 80 (90) Aufgaben pro Prüfung! Sollten 10 SchülerInnen das gleiche Gebiet ziehen, so ist in diesem nicht sehr wahrscheinlichen Fall eine Themenstellung evt. aus dem Pool nachdruckbar, oder der Themenbereich ist aus der Wahlmöglichkeit herauszunehmen. Die Anzahl der benötigten Aufgaben reduziert sich zusätzlich im Februar, wenn die Anmeldungen vorliegen! Dann kann man sich aus dem Pool die gewünschte Zahl an Aufgaben herunterladen, sie bearbeiten und evt. im Lehrerkollegium auch mit einem eigenen schulinternen Bewertungsschema versehen.

2. Beurteilung der Prüfung: Wir haben durch das Ziehen und durch eine wahrscheinlich größere Zahl an Prüfungen keine sehr große Möglichkeit, Beurteilungskriterien für jede Aufgabe während der Prüfungszeiten zu überlegen. Das muss unbedingt vorher sein. Das Problem dabei ist, dass dies bei einer großen Zahl an KandidatInnen eine recht zeitaufwändige Angelegenheit für den einzelnen Lehrer werden könnte. Aus diesem Grund haben wir uns ein Beurteilungsschema bei der Musteraufgabe überlegt, das man einfach handhaben kann und das schnell und gerecht zur Bewertung führt. Allerdings müsste man das in jede Aufgabenstellung hineinkopieren. Alle Unteraufgaben gleich, 4 Unteraufgaben. Weil ja die einzelne HUM‐Lehrkraft nur ganz wenige, Aufgaben in den Pool beizusteuern braucht, kann die Erwartung und die Beurteilung bei jeder Aufgabe im Detail vorgedacht werden und als Hilfe angeboten werden. Bitte das vorgeschlagene Bewertungsschema in alle Aufgaben einbauen, auch wenn man beschließt, alles dann letztlich anders zu machen. Das Ganze ist ein Vorschlag, die Arbeit für das Prüfungsgeschehen zu minimieren, soll aber natürlich in keiner Weise bindend sein. Ich denke, wenn schon die Lehrer die Aufgaben selber erstellen müssen, dann sollen sie auch den Vorteil genießen, dass sie jede Aufgabe persönlich für sich (ihre Schule) autonom verändern können und sie so stellen oder bewerten können, wie sie das individuell wollen! Dennoch ist vielleicht der eine oder andere für ein vorgedachtes Schema dankbar.

3. Was muss die Aufgabenstellung enthalten? a) Die Bildungsstandards der Handlungsdimension: Modellieren, Operieren, Interpretieren, Argumentieren etc sollten möglichst vertreten sein. b) Auf die Praxisbezogenheit in den Inhalten soll geachtet werden. c) Die Aufgaben sollen in Unteraufgaben (= Items) unterteilt sein, die neben den lebenspraktischen Ansprüchen auch den theoretischen mathematischen Hintergrund abfragen und für sich als Einheiten leicht bewertbar sind. d) Die Items müssen voneinander weitgehend unabhängig sein! e) Wir müssen unbedingt versuchen, dass die Aufgaben nicht zu schwierig werden! Wir müssen bedenken, dass auch schwache Schüler eine Chance haben müssen. Der einzelne Lehrer soll sich aus dem Pool nur jene Aufgaben herunterladen, wo er sicher weiß, dass er das im Unterricht geübt hat, bzw. die Aufgaben auch so umändern, wie er es brauchen kann. Daher bitte die Aufgaben in Word!

4. Formatierung: Kopfzeile Themenbereich, Fußzeile klein: Nummerierung und Name der Aufgabe sowie Erstellerinitialen, damit die Nummerierung halbwegs geordnet ist und man die Aufgabe für Nachfragen evt. auch zuordnen kann.


Ein Musterbeispiel: Buchführung

Mit der Abwicklung der Buchführung eines Unternehmens wurde eine externe Firma beauftragt, und es fielen dabei monatlich nachschüssig Kosten in der Höhe von € 145 an. Die Unternehmerin möchte in Zukunft diese Arbeit firmenintern in der Abteilung "Belegerfassung und Vorkontierung" machen lassen, wobei keine zusätzlichen Personalkosten anfallen würden.

Allerdings muss ein PC mit Peripheriegeräten und Software angeschafft werden. Es wurden mit dem Verkäufer eine Sonderkondition vereinbart, dass der Kaufpreis in drei Teilzahlungen in der Höhe von jeweils 600€ jährlich nachschüssig erfolgen soll. Außerdem sind 120 € für Wartungsarbeiten vierteljährlich vorschüssig zu bezahlen. Der geschätzte Wiederverkaufswert am Ende der dreijährigen Nutzungsdauer beträgt 15 % des Anschaffungspreises (=Barwert der drei Einzahlungen von 600€). Die Unternehmerin möchte von Ihnen wissen, ob sich die Umstellung für die Firma lohnt, wenn sie einen Kalkulationszinsatz von 5,75% p.a. vorschlägt. (Technologieeinsatz sinnvoll wählen!) a) Auf welchem mathematischen Modell beruht die Rentenrechnung? Entwickeln Sie die Formel

für den Endwert von jährlichen vorschüssigen Renten. b) Zeigen Sie, bei welchen Aufzinsungsfaktoren (Aufzinsungsfaktor = 1+p/100 = 1+i) eine

monatliche (vierteljährige, halbjährige) Verzinsung eines Kapitals, zum gleichen Ergebnis führt wie die jährliche Verzinsung mit p = 5,75% p.a. Welcher Zusammenhang besteht zwischen jährlichen und unterjährigen gleichwertigen (=äquivalenten oder konformen) Aufzinsungfaktoren?

c) Berechnen Sie den Unterschied, der sich in der oben genannten Firma durch die Umstellung auf eine interne Abwicklung der Buchführung ergibt. Interpretieren Sie die Differenz im Sinne der Aufgabenstellung.

d) Zeigen Sie durch eine Berechnung zu einem anderen Zeitpunkt als den, den Sie in c) gewählt haben, ob sich der Unterschied und damit auch die Entscheidung der Unternehmerin dadurch ändern würden.

Bewertungsschlüssel Insgesamt Erreichte Punkte

1. Fachliche Qualität Gesamtpunkte aus den 4 Unteraufgaben: ri………..kein Fehler i.W. ri…im Wesentlichen richtig: zB Rechenfehler, Rechengang richtig tw ri…..teilweise richtig: es kommen richtige (kreativ interessante Anteile vor, die anrechenbar sind, aber die Aufgabe ist nicht richtig gelöst. f………… es gibt keine anrechenbaren richtigen Anteile (Das Item ist nicht gelöst oder ist überwiegend falsch)

12

2. Qualität der Gliederung: Folgerichtiger Aufbau, Wesentliches erkennen, Zusammenhänge erkennen

1

3. Qualität der Darlegung: Fachsprache einsetzen, sich verständlich ausdrücken können

1

4. Qualität der Kommunikation: Auf Fragen eingehen, Hilfen aufgreifen können 1 5. Werkzeugkompetenz: Ad hoc diverse Technologie zur Darstellung von Sachverhalten, die sich aus der Prüfungssituation ergeben, einsetzen können

1

Summe 16 Punkte zusammenzählen, in Prozent:

100% ‐ 90% Sehr gut 15,14 unter 90% ‐ 80% Gut 13,12

unter 80% ‐65% Befriedigend 11,10 unter 65% ‐ 50% Genügend 9,8

unter 50% Nicht genügend < 8

ri i.W.ri tw.ri f

3 2 1 0


Erwartung: Es sind in der Finanzmathematik prinzipiell unterschiedliche Bezeichnungsweisen im Gebrauch. Die folgenden Ausführungen verwenden die Bezeichnungen r = 1 + i = 1+Prozent per anno/100 für die Aufzinsungen

mit r2 = 1 i …halbjährig, r4=4 1 i …vierteljährig, r12=

12 1 i …monatlich und v = 1/r bzw v2 = 1/r2 etc für die Abzinsungen.

a) Vorschüssige Renten sind gleichbleibende periodische Zahlungen, die zu Beginn der Verzinsungsperiode getätigt werden (abgehoben oder eingezahlt). Es handelt sich bei Berechnungen von Endwerten um eine geometrische Reihe. Das erste Glied ist die Rente R, die einmal aufgezinst wurde also Rr (mit r = 1+p/100). Die Anzahl der Renten = n Der Quotient entspricht dem Aufzinsungsfaktor r. Die Folge lautet: <Rr, Rr² usw……Rrn> , die dazu passende Reihe ist: Rr+ Rr²+ …. +Rrn = Rr (1+r+r2 + … rn‐1) In der Klammer sind n Glieder. Das Einsetzen in die Summenformel der geometrischen Reihe ergibt:

Rr nr 1

r 1

= E…Endwert

Auch andere sinngemäße Erklärungen sind möglich!

b) Mögliche Überlegung: Endwert eines beliebigen Kapitals nach einem Jahr K r Endwert nach 12 monatlichen Verzinsungen: Kx 12

beide Endwerte sollen gleich sein x12 = r Der monatliche gleichwertige (äquivalente ) Aufzinsungsfaktor ist daher x = r1/12 Man bezeichnet x üblicherweise mit r12. Die gleichen Überlegungen können für das Vierteljahr und für das Halbjahr gemacht werden r4 = r

1/4 und r2 = r

½

Auch andere sinngemäße Erklärungen und Bezeichnungen sind möglich! c) Barwertberechnung ist ein möglicher Lösungsweg, entweder mit Technologie(TVM‐Solver, EXCEL usw…), oder händisch. Händisch: v = 1, 0575‐1 v12 = (1,0575)

‐1/12

B1 = 145 36

1212

12

v 1v

v 1

= 4794,54 €

Barwert beim Kauf der technischen Ausrüstung: v4 = 1,0575‐1/4

Anschaffungspreis= 600 3v 1

vv 1

=1611,25€

B2 = 600 3v 1

vv 1

+ 120 12

4

4

v 1

v 1

‐ 1611,25 0,15 v³ = 2741,88 €

Die Differenz beträgt 2052,65 €. Diesen Betrag könnte das Unternehmen einsparen wenn es die Buchhaltung mit einer neuen PC‐Ausrüstung intern abwickelt. d) Ein möglicher Lösungsweg wäre über eine Endwertberechnung:

ri i.W.ri tw.ri f

3 2 1 0

ri i.W.ri tw.ri f

3 2 1 0

ri i.W.ri tw.ri f

3 2 1 0


In Teil a wurde der Vergleich des Aufwands mittels der Barwerte gemacht. Es wäre auch möglich, jeweils die Endwertbeträge nach drei Jahren zu berechnen und zu vergleichen. r = 1,0575 r4 = 1,0575

1/4 r12 = 1,05751/12

externe Buchführung: nachsch. Renten: E1 = 145 36

12

12

r 1

r 1

= 5670,06 €

interne Buchführung, Kauf des PC:

E2 = 123

44

4

3242,58r 1r 1

600 120 r 1611,25 0,15r 1 r 1

€

Unterschied nach drei Jahren: 2427,48 € Auch dieser Rechenweg führt zur gleichen Entscheidung: Die interne Abwicklung kommt günstiger. Das würde auch der Vergleich der Werte bei jedem anderen Bezugs‐Zeitpunkt ergeben. Erreichte Punkte __________ Maximal mögliche Punkte 16 Prozent__________

Note:______________________ Es wird hier manchmal als Einwand vorgebracht, dass die Gewichtung der Aufgaben nicht berücksichtigt wird. Einzelne Items sind kürzer, die anderen etwas länger. Man muss bedenken, dass wir die Rechenmedien nicht vorschreiben. Wenn ein langer händischer Weg ganz kurz mit Rechner gemacht werden könnte, dann stimmt die Frage der Komplexität nicht mehr. Dem kann man entgehen, wenn man als Lehrer immer gleich in den 4 Kategorien ri, iWri, twri und f beurteilt! Das ist erfahrungsgemäß auch möglich, wenn Software etc. verwendet wird. Man kann mit diesem Muster sogar die Kreativität mit berücksichtigen! Das ist der Grund, weshalb vorgeschlagen wird, immer die gleichen Bewertungskriterien beizubehalten! Allerdings sollten die Items wenigstens einigermaßen ähnlich komplex sein.

ri i.W.ri tw.ri f

3 2 1 0


Die Rolle des Technologieeinsatzes Brigitte Wessenberg

Die Position der BHS zum Einsatz von Technologie lässt sich wie folgt aus dem Papier der SekII zur neuen Reifeprüfung an den BHS entnehmen:

Mathematisches Tun wird heute in vielen Bereichen durch die permanente Verfügbarkeit und Verwendung elektronischer Werkzeuge unterstützt oder überhaupt erst ermöglicht. Dies gilt für nahezu alle Ebenen mathematischen Arbeitens. Eine entsprechende „Werkzeugkompetenz“ ist daher integraler Bestandteil mathematischer Kompetenzen“ („Bildungsstandard Angewandte Mathematik“) Technologieeinsatz ist – wie schon Operieren – kontextfrei, sieht man von speziell ausgerichteten Anwendungen ab. Im angestrebten Berufsleben ist Technologieeinsatz in jedem Fall eine unverzichtbare Grundkompetenz und muss somit zentraler Bestandteil einer Reife‐ und Diplomprüfung im Prüfungsgebiet „Angewandte Mathematik“ sein. Ziel ist dabei der Nachweis eines kompetenten Technologieeinsatzes, welcher für die zuvor geforderte Kompetenz des anspruchsvollen Operierens zwingend erforderlich ist und darüber hinaus auch andere Kompetenzen wie etwa Argumentieren oft erst ermöglicht.

Dem Einsatz von Technologie kommt demnach eine große Bedeutung zu, der aber in der Realität im Unterrichtsgeschehen in dieser Weise nicht befriedigend Rechnung getragen werden kann. Zum einen sind die Ressourcen an den Schulstandorten nicht vorhanden zum anderen ist der Zeitaufwand für das Einlernen komplexerer Technologien vor allem bei Schulen mit 10 Wochenstunden nicht gegeben. Außerdem ist zu bedenken, dass gewisse mathematische Grundkompetenzen operativer Art auch ohne Technologieeinsatz vorhanden sein müssen, weil sonst Übergangsanforderungen (Eingangstests) für weiterbildende Einrichtungen wie Universität und Fachhochschulen nicht entwickelt wurden. Es wird demnach im Interesse der HUM sein, dass man im Unterricht den goldenen Mittelweg findet und beides liefert. Welche Rechnungen sollte man auch ohne Technologieeinsatz lösen können:

• Alle Grundrechenarten mit Zahlen und mit Prozent • Einfache (Un‐)Gleichungen lösen: 3x ‐ 4 = 7, ‐2x + 5 <10 • Einfache Gleichungssysteme mit 2 Variablen 2x + y = 2 ^ ‐x + 3y = ‐2 • Quadratische Gleichungen 15 x² = 73 oder 2x2 – 4x= 0 oder 2x2 – 4x – 6 = 0 • Höhere Gleichungen x7 = 89 oder ln x = 7,8 oder sin(x) = 0,88 etc • Einfache Funktionen skizzieren y = 3x+2, y = xn , y = ex , y = sin x, y= cos x • Einfaches Differenzieren: y = xn , y = sin x, y = cos x, y = lnx, y = ex etc • Einfaches Integrieren: y = xn , y = sin x, y = cos x, y = ex etc

Wo bewährt sich der Einsatz von Technologie: • Gleichungssolver für alle Arten von (auch schwierigen) Gleichungen • Gleichungssysteme beliebiger Ordnung • Funktionsgraphen mit Berechnungen: Funktionswerte, Nullstellen, Min, Max,

Kurven‐Anstieg, Schnittpunkte • Flächen‐ und Volumsintegrale • Statistik, eindimensional: Mittelwert , Standardabweichung etc • Korrelation, Regressionen • Wahrscheinlichkeitverteilungen

Danach richten sich die Grundanforderungen an einen Rechner und /oder an die Software.


Fragen im Zusammenhang mit dem Technologie‐Einsatz

1. Gibt es eine generelle Präferenz für einen bestimmten Rechner?

Nein. Es wird keine spezielle Technologie empfohlen. Man sollte einsetzen, was unter Berücksichtigung der Mindestanforderungen möglich ist. Unterster Level: Es gibt grafikfähige Rechner, die ca. an die 50 € kosten und eigentlich von jedem Schüler leistbar wären und die Bedingungen erfüllen. Der Umfang der Rechenfähigkeit kann durch kleine Programme noch erhöht werden. Es ist angedacht, dass mit Programmierung geschulte Kollegen in der Bundes‐Arge einige solche Programme generell ausarbeiten, dass diese jeder übernehmen kann. Mittlerer Level: Software wie Tabellenkalkulation, Geogebra, Wiris … freie Software(!) Ausnahme EXCEL (open office?) Hoher Level: CAS‐Rechner und Mathcad u.Ä.

2. Wie kann man eine gerechte Beurteilung gewährleisten, wenn die Unterschiede der Technologie so groß sind?

Diese Frage richtet sich an die Aufgabenersteller. Sie müssen diese Unterschiede einerseits in der Bewertung und andererseits u. U. auch in einem etwas geringeren Aufgabenvolumen für Prüflinge mit einfacheren Rechenwerkzeugen berücksichtigen. Die Grundausstattung der Aufgaben ist so ausgerichtet, dass man sie mit EXCEL lösen kann. Gelegentlich sind hier einfache grafikfähige TR schneller! Die Aufgabenerstellung erfolgt unter zahlreichen Testungen in Pilotschulen.

3. Wie kann man die Fortbildung der Lehrer für Technologie sicherstellen?

Es ist aufgrund der vielen unterschiedlichen Technologien nicht möglich, landesweite Fortbildungen auszuschreiben. Stattdessen wird empfohlen, dass es schulinterne Fortbildungen gibt, die leichter und schneller zu organisieren sind. Es ist zu empfehlen, dass man sich innerhalb eines Schulstandorts für die gleiche Technologie entscheidet.


Einsatz am Beispiel des Grafikrechners (TI 83+) 1. Beispiel zu Gleichungssystemen 2x+ 3y – 4z = 7 ‐3x + 10 y = ‐2 0,347 / ‐0,096/ ‐1,648

9x + 5 y + z = 1 2. Beispiel: 2 Variablen grafisch : Y/Eingabe, Berechnungen mit 2nd CALC: intersect

3. Beispiel: Programmierung quadratische Gleichungen 2x² ‐ 7 x + 25 = 0

Einige kleine schnelle hilfreiche Programme (ohne innere Formatierung, wären durch Freaks zum Überarbeiten….)

quadratische Gleichungen in R: PROGRAM:QUAD

:ClrHome

:Prompt A,B,C

:B^2-4*A*C->D

:If D<0

:Then

:Disp "D<0 { }"

:Else

:Disp "X1="

:Disp (-B+ D)/(2*A)

:Disp "X2="

:Disp (-B- D)/(2*A)

:End

:Stop

Gleichungssysteme mit 3 Variablen PROGRAM:GLEICH3

:ClrHome

:disp "Zeilenweise eingeben"

:Prompt L,M,N,A

:Prompt O,P,Q,B

:Prompt R,S,T,C

:LPT+MQR+NOS-NPR-NOT-QSLD

:APT+MQC+NBS-NPC-NBT-QSAU

:LBT+AQR+NOC-NBR-AOT-QCLV

:LPC+MBR+AOS-APR-MOC-BSLW

:U/DX

:V/DY

:W/DZ

:Disp "X=",X

:Disp "Y=",Y

:Disp "Z=",Z :Stop

Gleichungssysteme mit 2 Variablen

PROGRAM:GLEICH2

:ClrHome

:Prompt R,S,A

:Prompt T,U,B

:(AU-BS)/(RU-TS)X

:(RB-TA)/(RU-TS)Y

:Disp "X=",X

:Disp "Y=",Y :Stop


Einsatz des EXCEL‐SOLVERS bei linearer Optimierung

Die Agentur SPOT & FILM möchte für Politiker Wahlwerbung mit WerbeSPOTS (1 Minute) und mit WerbeFILMEN (3 Minuten) machen. SPOT & FILM möchte wissen WIE VIELE Spots und WIE VIELE Filme sie unter bestimmten Vorbedingungen machen sollte, damit für die Agentur die Kosten möglichst gering ausfallen? Abfrage der Bedingungen: Wie viele Spots sollten mindestens gemacht werden? ca. 30 Wie viele Filme sollten mindestens gemacht werden? ca. 20 Wie lange sollte der Politiker mindestens auf Sendung sein? 150 Minuten Was kostet die Herstellung eines Spots? 9000 € Was kostet die Herstellung eines Films? 20 000 €

Minuten Kosten

S x mi 30 1 9000

F y mi 20 3 20000

150 Ziel: min

Vorbereitung in den Zellen:

x 1 1 >= 30

y 1 1 >= 20

z..Ziel 29000 4 >= 150

Formelansicht:

x 1 =B21 >= =$C$17

y 1 =B22 >= =$C$18

z =$E$17*B21+$E$18*B22 =$D$17*B21+$D$18*B22 >= =$D$19

Aufrufen und Eingabe im Solver

Es erscheint die Lösung in den veränderlichen Zellen:

x 30

y 40

z 1070000


Einsatz von GEOGEBRA bei linearer Optimierung Susanne Ripper

Kostenlose Mathematik‐Software für Schule, Uni und daheim

interaktive Geometrie, Algebra und Tabellenkalkulation

Von der Grundschule bis zur Universität einsetzbar

Kostenlose Unterrichtsmaterialien

Downloadseite: http://www.geogebra.org/cms/de Grafische Darstellung des vorherigen Beispiels in Geogebra Anzahl der Spots: x, Anzahl der Filme: y

I. x ≥ 30 II. y ≥ 20 III. x . 1 + y . 3 ≥ 150 K(x,y) = z = 9000x + 20000y MINIMUM

2. Beispiel: Maximumaufgabe In einer Fabrik werden zwei verschieden Fruchtsaftgetränke hergestellt. Eine Dose „Fruchtdrink“ enthält 0,2 Liter Apfelsaft und 0,1 Liter Orangensaft. Eine Dose „Vitamindrink“ enthält je 0,1 Liter Apfel‐ Orangen‐ und Karottensaft. Pro Tag stehen insg. 120 Liter Apfelsaft, 80 Liter Orangensaft und 50 Liter Karottensaft zur Verfügung. Der Gewinn für eine Dose Fruchtdrink beträgt 0,3 €, für eine Dose Vitamindrink 0,4 €. Wie viel muss von jeder Getränkesorte erzeugt werden, damit der Gewinn maximal wird?


Lösen Sie mittels Zeichnung und Rechnung. Geben Sie auch den maximalen Gewinn an.

Fruchtdrink x Dosen

Vitamindrinky Dosen

Gesamt

Apfelsaft 0,2 Liter 0,1 Liter 120 Liter

Orangensaft 0,1 Liter 0,1 Liter 80 Liter

Karottensaft 0 Liter 0,1 Liter 50 Liter

Gewinn 0,3€ 0,4 €

I. x ≥ 0 II. y ≥ 0 III. 0,2x + 0,1 y ≤120 IV. 0,1x+0,1y ≤ 80 V. 0,1 y ≤ 50

z = 0,3x + 0,4y maximaler Gewinn 500 = ‐x + 800 x = 300 y = 500 z = 0,3 . 300 + 0,4 . 500 = 90 + 200 = 290 Der Gewinn ist maximal, wenn 300 Dosen Fruchtdrink und 500 Dosen Vitamindrink erzeugt werden. Der Gewinn beträgt dann 290 €. Grafisch:

I. x ≥ 0 II. y ≥ 0 III. y ≤ ‐2x + 1200 IV. y ≤ ‐x + 800 V. y ≤ 500

y = ‐3/4 x + z/0,4


Excel:

3. Beispiel: Nahrungsergänzung

Aus zwei Nahrungsergänzungsmittel E1 und E2, die die Mineralien M1, M2, M3 und M4 enthalten, soll eine kostengünstige Diätmischung hergestellt werden. Es muss jedoch darauf geachtet werden, dass eine Mindestmenge an Mineralstoffen in der Mischung enthalten ist. Die folgende Tabelle gibt eine Auflistung der Mineralstoffe:

E1 mg/100g

E2 mg/100g

Mindestmenge an Mineralstoffen in der Mischung (mg)

M1 2 1 12

M2 1 2 15

M3 1 0 2

M4 0 1 3

Kosten (€/100g) 3 4

Menge an E1 (in 100g): x Menge an E2 (in 100g): y

I. 2x + y >=12 II. x + 2y >= 15 III. x >= 2 IV. y >= 3 z=K(x,y)= 3x + 4y MINIMUM


EXCEL:

Grafisch:


Einsatz von WIRIS bei Gleichungssystemen

In einer Arbeitssitzung mit dem Rechner wiris können wir verschiedene in Blöcken angeordnete Berechnungen ausführen. Die Schritte im Berechnungsprozess sind:

1. Den Ausdruck, den wir berechnen wollen, konstruieren wir mit der Tastatur oder mit den Symbolbildern, die den einzelnen Befehlen zugeordnet sind. 2. Wir können in jeden Block so viele Ausdrücke eingeben, wie wir möchten. Um nach dem

Ausdruck, an dem sich der Cursor befindet, einen neuen Ausdruck einzugeben, verwenden wir die Taste Enter.

3. Durch einen Klick auf das Symbolbild oder die Taste Ctrl + Enter werten wir den Ausdruck oder Block mehrerer Ausdrücke aus.

4. Wir erhalten das Ergebnis rechts vom Originalausdruck, durch den Pfeil von diesem getrennt.

wiris ist freie Software, die man herunterladen kann: http://wiris.schule.at/de_en/index.html

Lösung der vorherigen Aufgabe


Beispiel: Lineares Gleichungssystem Ein Autofahrer fährt auf der Bundesstraße von Amstetten nach St. Pölten mit gleichbleibender Geschwindigkeit von 100 km/h. Zur gleichen Zeit fährt ein LKW Fahrer von St. Pölten nach Amstetten mit gleichbleibender Geschwindigkeit von 80 km/h auf derselben Bundesstraße. Wann und nach wie vielen Kilometern treffen die beiden Fahrzeuge einander, wenn die Entfernung Amstetten – St. Pölten 66 km beträgt? Löse rechnerisch und grafisch! (Aus Dimensionen 5, Dorner Verlag) Geogebra:


Links, die nützliche Informationen für die HUM‐Reifeprüfung haben:

1. Neue Reifeprüfung; Regelungen und Gesetze

Die neue RP wird im Haupttermin 2015 an unsere Schulen kommen. Derzeitige Regelung für die HUM, Zusammenfassung B.Wessenberg

Novelle zum Bundesgesetzblatt Juli 2010 Grundsatzpapier für die BHS Vorstellungen über angewandte Mathematik der BHS bei der sRD

Grundsatzpapier für die AHS Vorstellungen der AHS über Mathematik bei der sRD Notwendige Veränderungen sollten sofort an jedem Schulstandort bedacht werden: IDEAL: Mathematik sollte von der 1. bis 5. JG durchgehend unterrichtet werden --> Schulleiter, SGA

2. Lernziel- und kompetenzorientierte Lehrpläne, Mathematik betreffend Kompetenzmodell_Mathematik: Lehrpläne werden auf dem Kompetenzmodell der Bildungsstandards für Ang. Mathematik aufgebaut- Broschüre zum Download mit einführenden Beispielen, Broschüre der Standardgruppe, zusammengestellt von B. Wessenberg

Lehrplanvorschlag Version2011 für die HUM: Ausarbeitung eines kompetenzorientierten LP für die HUM unter Mitarbeit aller HUM-LehrerInnen in Österreich

Lehrstoffverteilung Version 2011 für die HLW, unter Mitarbeit aller HUM-Mathematiklehrerinnen HLT und HLM müssen die Verteilung gemäß der schulinternen Wochenstunden anpassen... Schulautonome kleinere Verschiebungen sind möglich!

Handreichung für den 1. Jahrgang, B.Wessenberg, S.Ripper auf Basis HLW - nur als VORSCHLAG

3. Aufgaben schriftlich und mündlich

Aufgabenpool Aufgabensammlung für den UNTERRICHT im Internet für die einzelnen Jahrgänge, Mitarbeit aller HUM-MathematiklehrerInnen in Österreich, zusammengestellt B. Wessenberg

http://epmp.bmbwk.gv.at Mathe.HUM Plattform: Aufgabensammlung mündlich, Passwort

Mündliche Reifeprüfung AM ... Vorschlag B. Wessenberg

Beispielsammlung Bildungsstandards, S. Ripper

Technologieeinsatz in der HUM, B.Wessenberg & S. Ripper

_____________________________ Das neue Kapitel Matrizen und Vektoren macht Kopfzerbrechen. In der HUM gehen wir andere Wege als in der AHS. Die Geometrie hat dabei so gut wie keine Bedeutung, wohl aber die wirtschaftlichen Anwendungsmöglichkeiten. VektorenMatrizen, eine schnelle Skizze von B. Wessenberg als Vorschlag auf Grundlage der HAK (Trauner-Verlag und und HPT) noch ohne Aufgaben, wird bis August 2011 mit Beispielen versehen.


4. Kompetenzorientiertes Unterrichten

Allgemeines Papier LSI Dr. Josef Lackner: http://www.hum.tsn.at/cms/upload/pdf/2009/Kompetenzorientierter_Unterricht-hum.pdf

Unterrichts-Lernmethoden, S. Ripper, Zusammenfassung unterschiedlicher Methoden

Methodik, B.Wessenberg, Schneller Einsatz im Unterricht

Kompetenzorientiertes Unterrichten, B. Wessenberg, Vortrag 22.9.2010

Bildungsstandards/kompetenzorientiertes Unterrichten/tsRD, B. Wessenberg, Vortrag 8.10.2010

5. Arbeitsunterlagen bei Veranstaltungen

Arbeitsunterlagen Krems Nov. 2010 Kompetenzorientiert, Beispiele JG 2, SRD mündlich

Arbeitsunterlagen 2011, Informationen, Methodik, Musteraufgaben

6. Freiwillige Evaluierung am Ende eines Jahrgangs

Evaluierung am Ende des 1. Jahrgangs (30 Minuten)

7. Diagnosecheck am Übertritt in eine BHS

Diagnosecheck Mathematik Ein vorläufig erst inoffizieller Vorschlag. Die Aufgaben basieren auf den Bildungsstandard der 8. Schulstufe.

Aufgabenpool Sek1. (BIFIE) Grundsatzpapier zu den Bildungsstandards M8

8. Freiwillige Evaluierungen am Übertritt in den tertiären Bildungsbereich

MedizinertestINFO. Die Demo beinhaltet 1/3 des tatsächlichen Umfangs, den unsere Schüler bei der Aufnahme zB können sollten, falls sie an ein Medizinstudium denken sollten. Er dauert 5 Stunden lang!

Die zuständigen Instutionen:

www.bifie.at Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation und Entwicklung Institut vom Ministerium gegründet. Ist u.a. zuständig für die neue Reifeprüfung: Informationen und Gesetze sowie ein Aufgabenpool für die sRD an der AHS ist dort eingelagert. Sehr informativ!!! www.berufsbildendeschulen.at Seite für die Berufsbildende Schulen http://www.hum.tsn.at Seite für die humanberuflichen Schulen

Die Bildungsstandards und Kompetenzmodelle

www.bildungsstandards.berufsbildendeschulen.at/de/downloads Bildungsstandards in den einzelnen Fachgebie

Angewandte Mathematik - EduGroup.atteaching.eduhi.at/Mam/bundesarge/arbeitsunterlagen11.pdf ·...

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