Anhang A: Ansatze zur Analyse von Abhangigkeitsstrukturen978-3-663-08746-5/1.pdf · P+k ==P(Y ==...

Anhang A:

Ansatze zur Analyse von Abhangigkeitsstrukturen

A.1 Hypothesenbildung

Unabhăngigkeitshypothese

Die gemeinsame Verteilung der beiden diskreten Merkmale (Kundenrisi

ko Y und ein beliebiges Merkmal X) kann in einer Kontingenztabelle mit

den jeweiligen absoluten Hăufigkeiten hjlc dargestellt werden.

"schlechte" "gute"

Kunden Kunden

X\Y Y! Y2 L

Xl h\l h12 h!+

X2 h2! h22 h2+

L h+! h+2 h++=N

Zur DurchfUhrung eines Tests auf Unabhăngigkeit werden X und Y als

Zufallsvariablen aufgefal1t. Die Zufallsvariable X(Y) gibt danach den

Merkmalswert eines zufăllig ausgewăhlten Kunden bei dem entspre

chenden Merkmal an. Im folgenden sprechen wir auch kurz von dem

Merkmal X(Y) , wenn die Zufallsvariable gemeint ist.

die Wahrscheinlichkeit, bei zufălliger Auswahl ei nes Kunden aus der

Grundgesamtheit die Merkmalskombination (Xj'Yk ) vorzufinden. Die

490 Anhang A

Randverteilungen konnen dann durch Summenbildung berechnet wer

den:

p. ==P(X==x)=='Lp. j+ j k jk

P+k ==P(Y == Yk) == 'LP jk j

Die Frage nach der Abhangigkeit beider Variablen fOhrt zu folgendem

Testproblem:

Ho:Pjk == Pj+P+k Vj,k

Hl:Pjk =1:- Pj+P+k 3j,k

Es wird die Hypothese Ho getestet, ob sich die Wahrscheinlichkeit fOr

ein Auspragungspaar gerade aus dem Produkt der entsprechenden

Randwahrscheinlichkeiten ergibt, womit die beiden Zufalls-variablen

voneinander unabhăngig sind. Die Wahrscheinlichkeiten P j+ und P +k

sind nicht bekannt und mussen zur TestdurchfOhrung geschatzt werden:

h j + und _ ~k Pj+ ==-h P+k--h

++ ++

Homogenitatshypothese

Wurde man von vornherein festlegen, wieviele gute und wieviele

schlechte Antrage betrachtet werden sollen, dann waren die beiden

Randsummen der Kontingenztafel bezuglich der Zufallsvariablen Risiko

Y von Anfang an determiniert. Damit wurde sich die Fragestellung ge

genuber dem Unabhangigkeitsmodell verandern. Im Grunde wurde man

untersuchen, ob in beiden Populationen die gleichen Anteile einzelner

Auspragungen der Zufallsvariablen X auftreten.

Ansătze zur Analyse von Abhăngigkeitsstrukturen

Das fUhrt zu folgender Homogenitătshypothese:

Ha:P(X = xjlgut) =P(X = xjlschlecht)

HI:P(X = xjlgut) *P(X = xjlschlecht)

491

Zur statistischen OberprUfung von Unabhăngigkeitshypothese und Ho

mogenitatshypothese kann jeweils dieselbe Teststatistik und derselbe

kritische Wert verwendet werden. Die Verbindung beider Hypothesen ist

in Hartung(93), S. 412 ff. năher beschrieben.

A.2 Unabhăngigkeitstests

,r-Test:

Der am hăufigsten verwendete Test auf Unabhăngigkeit zweier diskreter

Zufallsvariablen basiert auf der folgenden Teststatistik von Pearson.

J K (h _ A )2 J? = L L jk A m)k

j=1 k=1 mjk

(Schatzung fUr die unter Ha erwarteten Hăufig-

keiten)

j = 1, ... , J und k = 1, ... , K

Unter der Nullhypothese Ha, dar.. die Zufallsvariablen unabhăngig sind,

ist diese PrUfgrăr..e approximativ X~J-IXK-I) -verteilt. Beim Test zum Ni

veau a ist demnach Ha zu verwerfen, wenn gilt: 2 2

X > X(J-IXK-I),I-a

492 Anhang A

Voraussetzung ist ein genugend groBer Stichprobenumfang. Die Anga

ben dazu in der Literatur sind uneinheitlich (vgl. Hartung(93), Ander

sen(74), Bosch(93». Hăufig wird ei ne Mindestbesetzung in den Zellen

von 5 Objekten empfohlen und eine StichprobengroBe von mindestens N

> 60 (Fur kleinere Stichproben siehe Yates(81».

Der exakte Test von Fisher

Grundidee ist es zu prufen, ob die Wahrscheinlichkeit unter der Nullhy

pothese die beobachtete Datenmatrix anzutreffen, genugend groB ist.

Das heiBt, man betrachtet die Verteilung aller moglichen Matrizen, deren

Randsummen gleich denen der beobachteten Matrix sind. Fur den Fali

einer 2x2-Matrix konnen alle zu betrachtenden Matrizen anhand der

Zellbesetzung h11 identifiziert werden. Unter der Unabhăngigkeitshypo

these kann nun die Wahrscheinlichkeit fUr das Auftreten der betrachteten

Matrix folgendermaBen ermiUelt werden:

Die Hypothese Ho ist dann zu verwerfen, wenn die Wahrscheinlichkeit,

mit der die beobachtete Tafel unter der Giiltigkeit der Unabhăngigkeits

hypothese anzutreffen ist, sehr klein ist (Unter Berucksichtigung fester

Randsummen). Nun werden alle Tafeln (mit gleichen Randsummen wie

die beobachtete Tabelle), deren Wahrscheinlichkeiten unter einer

Schranke c liegen, herausgenommen. Die Summe der dazugehorenden

Auftrittswahrscheinlichkeiten entspricht dann dem Testniveau a .

Ansătze zur Analyse von Abhăngigkeitsstrukturen 493

Ais Teststatistik dient dabei die Zellbesetzung hll , mit der eine Vierfel

dertafel eindeutig beschrieben ist. Die Nullhypothese wird abgelehnt,

wenn hll auBerhalb zweier Schranken liegt:

Die Schranke CI ist naherungsweise das a -Quantil und Cz das (1- a)_ 2 2

Quantil der hypergeometrischen Verteilung H(N,h+,h+I ).

In der praktischen Anwendung ist dieses Verfahren jedoch als problema

tisch anzusehen. Bei groBen Stichproben fUhren die exakten Tests zu

bedeutendem Rechenaufwand. Im weiteren sollen deshalb Methoden

vorgestellt werden, deren Rechenaufwand auch bei groBen Datenmen

gen zweckmăBig ist.

A.3 AssoziationsmaBe

Ist man daran interessiert, die Abhăngigkeitstruktur zweier Zufallsvaria

blen durch eine einzige reelle Zahl zu charakterisieren, 50 konnen Asso

ziationsmaBe verwendet werden. Eine Darstellung einzelner Aspekte des

Zusammenhangs geht dabei verloren. Insbesondere bei sehr groBen 2

Datensatzen zeigen sich diese MaBe als sinnvoll, da die X -Statistik mit

dem Stichprobenumfang wăchst (vgl. Bol(93), Hartung(84». Daher gibt

es ei ne Vielzahl von Ansătzen, die im fOlgenden skizziert werden sollen.

Zunachst sollen die 2x2-Tabellen zwei binărer Zufallsvariablen betrach

tet werden. Im weiteren Verlauf werden die dafUr geltenden Assoziati

onsmaBe auf Merkmale mit mehr als 2 Ausprăgungen erweitert.

494 Anhang A

A.3.1 AssoziationsmaBe fUr 2x2-Tafeln

cross-product ratio (odds ratio)

Diese Form ergibt sich aus dem Produkt der UnabMngigkeitsbedingung*

der 2x2-Kontingenztabelle:

Pjlc

P+kPj+ 1

Bei Unabhangigkeit ist q =1. Werden die Zeilen und Spalten der Kontin

genztabelle vertauscht, bleibt die odds-ratio unverandert. Vertauscht

man nur Zeilen oder nur Spalten, so wird q in 1/ q UberfUhrt. Bei der

Multiplikation von Zeilen und Spalten der Kontingenztafel mit beliebigen

positiven Konstanten c> O bleibt q und alle davon ableitbaren MaBe

unabhangig (Invarianzeigenschaft).

Die Schatzung der Wahrscheinlichkeiten erfolgt, wie bereits in Abschnitt

A.2 vorgestellt, an hand der Zellhaufigkeiten.

* Pll =lund = 1 -+ _--=-P-,-,lI,-=Pc...:z=z __ = PlI Pzz = 1 mit , P+1P1+ P+zPz+ P+1P1+P+2 PZ+ P12 P21

P+1PZ+ = P Z1 und P+ Z P1+ = P12

Ansătze zur Analyse van Abhăngigkeitsstrukturen 495

Q-Koeffizient von Yule

Im Gegensatz zur odds-ratio wird beim Q-Koeffizienten ein Wertebe

reich zwischen -1 und +1 erreicht, der sich wie folgt berechnet:

q -1

q +1

Durch Differenzenbildung zweier bedingter Wahrscheinlichkeiten wird versucht, kontrăre Sachverhalte aufzuzeigen. Dabei wird gleiches Ver

halten bei der Besetzung der Zellen in dem Produkt Pll P22 der Zell-

wahrscheinlichkeiten ausgedruckt, beziehungsweise gegensătzliches

Verhalten im Produkt Pl2 P21 •

wird auf Basis der Zellhăufigkeiten ermiUelt und ist asymptotisch nor

malverteilt mit dem MiUelwert Q und der Standardabweichung

Damit kann ein Konfidenzintervall zum Niveau (1- a) angegeben wer

den:

[Q-U1- aI2 (rQ;Q+U1- aI2 (rQ1 mit U1- a12 , dem (1- ~) - Quantil der

N(OI1)-Verteiiung

496 Anhang A

Korrelationskoeffizient

Betrachtet man eine 2x2-Tafel, bei der die Ausprăgungen der beiden

Merkmale mit Null und Eins kodiert sind, so ergibt sich folgende Darstellung:

XW O 1 Summe

O P ll P 12 P1+

1 P 21 P 22 P2+

Summe P+l P+z 1

Die beiden Merkmale X und Y konnen als binomiale ZufallsgroBen auf

gefaBt werden. Das heiBt, Merkmal Kundenrisiko (Y) unterliegt ei ner

B(1,p+2 )- und das Merkmal X ei ner B(1,pz)-Verteilung. Daraus lassen

sich jeweils Mittelwert und Varianz in bekannter Weise errechnen:

Y:

X: P+2(l- P+z)

Pz+(l- P 2)

Damit ist es moglich, den Korrelationskoeffizient folgendermaBen zu

berechnen:

p= P ll P 22 - P 12 P 21

~Pl+P2+P+IP+2

Bei Vertauschen der Spalten und Zeilen in der 2x2-Tafel verăndert sich

das Vorzeichen von p. Gilt fUr die Randwahrscheinlichkeiten der beiden


Merkmale (PI+ = P2+ und P +1 = P +2)' dann wird p =1 oder p =-1. Die

Schatzung von p und dessen Varianz erfolgt anhand der Haufigkeiten:

Da der Schatzer fUr den Korrelationskoeffizienten asymptotisch normal

verteilt ist, kann somit wie oben schon gezeigt, ein Konfidenzintervall

zum Niveau (1- a) angegeben werden.

Vergleich zweier Wahrscheinlichkeiten

Die Idee beim Vergleich zweier Wahrscheinlichkeiten, dargestellt inner

halb ei ner Kontingenztabelle, besteht darin, das Auftreten eines Ereig

nisses in zwei verschiedenen Grundgesamtheiten (charakterisiert durch

das Merkmal Y) miteinander zu vergleichen.

Seien FI =!!JJ... und F2 = h2 die Parameterschătzungen fUr die beiden h+1 h+2

Wahrscheinlichkeiten P I und P 2 und p h11 + hl2 die Schatzung fUr h+1 + h+2

die Gesamwahrscheinlichkeit p. Ist PI gleich P 2 , kann die gesamte

Serie vom Umfang N = h+1 + h+2 als binomialverteilt mit den Parametern

p = P1 = P2 aufgefal1t werden. Damit kann folgende Hypothese getestet

werden:

HO:Pl = P2

HO:Pl Ţ. P2

498 Anhang A

Die TestgroBe

ist unter der Nullhypothese naherungsweise N(OI1)-verteilt, mit dem Ab

lehnungsbereich von H o :

Weitere Ansatze zum Vergleich mehrerer Wahrscheinlichkeiten konnen

in Bosch(93) (S. 456 ff.) nachgeschlagen werden.

A.3.2 AssoziationmaBe fOr J x K -Tafeln

Pearsonscher Kontingenzkoeffizient

Eine weitere Moglichkeit, AssoziationmaBe zu konstruieren, liegt in der

Verwendung der Pearsonschen ,r-Statistik, wie im Test auf Unabhan

gigkeit bereits beschrieben (siehe A3.2). Im Gegensatz zum Korrelati

onskoeffizienten kann dieses MaB in kanonischer Weise auf beliebige

zweidimensionale Kontingenztabellen verallgemeinert werden. Durch

Aufsummieren der relativen quadratischen Abweichungen ist der ,r

Wert genau dann Null, wenn die Merkmale unabhangig sind. Durch

Umformung dieses Ausdruckes kann gezeigt werden, daB die ,r

Statistik bei gleichbleibenden Proportionen mit der GroBe der Stichprobe


wachst (vgl. Bol(93». Der darauf aufbauende Kontingenzkoeffizient nach

Pearson liegt im Wertebereich [0,1) und hat folgende Form:

mit C=O bei Unabhăngigkeit.

C liegt immer zwischen Null und Eins, nimmt aber als maximalen Wert

nicht Eins an, sondern:

min(J,K)-l

min(J,K)

Aus diesem Grund kann folgende Korrektur vorgenommen werden:

Korrigierter Kontingenzkoeffizient

Durch EinfUgen eines Korrekturfaktors ergibt sich folgende Form:

C min(J,K) g;; eorr == ---:::z mit O$; Ceorr $; 1

min(J,K) -1 N + /.,

Ist C eorr = O, dann bedeutet dies, dal1 die beiden Zufallsvariablen von

einander unabhangig sind. Je grol1er der Wert von C eorr ist, desto gro

l1er ist die Abhangigkeitsbeziehung zwischen den beiden Zufallsvaria

blen. Weitere Assoziationsmal1e und Konfidenzbereiche sind bei Har

tung(93) und Goodmann/Kruskal(54) dargestellt. Eine andere Quantifi

zierung der Abhangigkeiten zwischen zwei Merkmalen kann Gber die

varianzanalytische Betrachtung wie folgt hergeleitet werden.

500 Anhang A

A.4 Varianzanalytische Betrachtung

Ăhnlich der Quadratsummenzerlegung bei der Varianzanalyse kann auch

bei kategorialen Daten untersucht werden, ob ein "Gruppeneffekt" (Ein

fluB des Merkmals X auf das Merkmal Y) vorliegt. Das Merkmals Y mit

den Ausprăgungen Yl und Y2 wird in J=2 Gruppen betrachtet, die durch

das Merkmal X und dessen Ausprăgungen charakterisiert werden. Damit

kann ăhnlich der Varianzanalyse ei ne Quadratsummenzerlegung folgen

der Form durchgefGhrt werden (vgl. Hartung(93), S. 460ff).

- Gesamtvarianz

h. 1 2 ~jnner. _ ~ ___ " h2 (J j - 2 2h L.J jk

j+ k=l - Varianz innerhalb der Gruppe j

â.inner. = L[h j + -_l-Lh~kl = N _! L_l_Lh~k - Innergruppen ] 2 2h j+ k 2 2 ] h j+ k

varianz

Beim Vergleich dieser beiden Quadratsummen kann schlieBlich geprGft

werden, ob ein Gruppeneffekt, d.h. ein EinfluB des Merkmals X auf das

Y vorliegt. Die PrGfgroBe hat folgende Gestalt:


Unter der Hypothese der Unabhăngigkeit der beiden Zufallsvariablen ist

(k -1)(N -1)-. risiko approximativ X2 -verteilt mit (K -1)(J -1) Freiheits

graden. Bei Abhangigkeit ist Trisiko asymptotisch normalverteilt, unter

VelWendung der Schatzung fOr die Varianz (s. Hartung (93» kann ein

Konfidenzintervall zum Niveau 1-a, wie oben bereits beschrieben, angegeben werden.

A.5 Loglineare Modelle bei multinomialem Erhebungsschema

In den bisherigen Betrachtungen sind ausschlieBlich Interaktionen zwi

schen zwei Merkmale untersucht worden. Dadurch konnte lediglich die

Frage erortert werden, ob Abhăngigkeit vorliegt oder nicht. Bei Betrach

tung mehrerer Merkmale gleichzeitig stellt sich die Frage, welche Arten

von Abhăngigkeiten vorliegen. Dies fOhrt zu ei ner groBen Anzahl mogli

cher Abhăngigkeitshypothesen. Dazu bedarf es eines Modellansatzes,

mit dessen Hilfe mehrdimensionale Abhăngigkeitsstrukturen geschătzt

werden konnen. Aus diesem Grund soli nun Uber das Unabhăngigkeits

modell der einfachen 2x2-Kontingenztabelle der Ansatz der loglinearen

Modelle vorgestellt werden. Zielvariable des loglinearen Modells ist die

logarithmierte zu elWartende Zellhaufigkeit. Analog zur Varianzanalyse

wird der ElWartungswert der Zielvariable als Summe der Effekte von

Faktoren dargestellt.

In diesem Abschnitt werden zunachst loglineare Modelle an hand der

bisher betrachteten 2x2-Kontingenztabelle erlautert. Um mehrdimensio

nale Anhangigkeitsstrukturen zwischen den Zufallsvariablen zu identifi

zieren, wird anschlieBend dieser Ansatz auf hoherdimensionale Kontin

genztabellen Ubertragen.

502 Anhang A

A.5.1 Zweidimensionale Modelle

Im folgenden werden loglineare Modellle an hand von zweidimensionalen

Kontingenztabellen beschrieben. Dabei werden die logarithmierten Zell

haufigkeiten anhand des folgenden Modellansatzes ermittelt:

m jk - mit dem Modell zu erwartende Haufigkeiten

Der Parameter ţi steht fUr den von beiden Zufallsvariablen unabhangi

gen Anteil der Zellbesetzung. Die beiden Parameter ţix. und J

ţi charakterisieren jeweils den Einflul? der Zufallsvariablen X und Y Yk

auf die zu erwartenden Zellbesetzungen. Der Einflul? Ober die bereits

dargestellten Parameter hinaus, der durch eine gemeinsame Betrach

tung der beiden Zufallsvariablen ertolgt, wird durch II dargestellt. Ist rXjYk

dieser Parameter gleich null, sosind die beiden Zufallsvariablen vonein

ander unabhangig.

Im folgenden wird gezeigt, wie das loglineare Modell Ober das Unabhăn

gigkeitsmodell der 2x2-Kontingenztabelle abgeleitet werden kann.

Unabhangigkeitsmodell der 2x2 Kontingenztafel

Ausgehend von der im vorangegangenen Kapitel vorgestellten Unab

hangigkeitshypothese


erhălt man durch Logarithmieren einen additiven Ausdruck:

Damit lassen sich die EinfluBgroBen der Zellbesetzungen einer Kontin

genztabelle in allgemeiner Form wie folgt darstellen:

Der Parameter ţi steht fUr den EinfiuB der j -ten Ausprăgung des XJ

Merkmals X, der Parameter ţi fUr den EinfluB der k-ten Ausprăgung Yk

des Merkmals Y und ţi ist von der Gesamtbesetzung abhăngig. FUr die

Parameter gelten folgende Restriktionen:

J K "ţi - "ţi - O mit J ,K: Anzahl der Merkmalsausprăgungen ~ XJ - ~ Yk-j=1 k=1

Damit erhălt man eine Parametrisierung, die einerseits gute Schătzei

genschaften besitzt und andererseits einfach auf mehrdimensionale Pro

bleme verallgemeinert werden kann. Dieses dargestellte Modell unter

BerUcksichtigung der angefUhrten Nebenbedingungen wird in der Litera

tur auch als Unabhăngigkeitsmodeli bezeichnet (vgl. Fahrmeir et al.(96)

S. 479 ff.).

504 Anhang A

Durch Hinzunahme zusatzlicher Parameter konnen auch Abhăngigkeiten

zwischen den Merkmalen erfaBt werden. Damit erhalt man im zweidi

mensionalen Fali den erweiterten Modellansatz:

Mit den Nebenbedingungen:

In der Literatur werden die Parameter ţi ,ţi als Haupteffekte und die Xj Yk

Parameter ţi als Interaktionseffekte bezeichnet. Die Haupteffekte XJYk

beinhalten die jeweilige Abweichung der logarithmierten erwarteten Zell

besetzung vom Gesamtmittel, die ausschlieBlich auf ein einziges Merk

male X und dessen Auspragungen x j zurGckzufGhren ist. Die Interaktio-

neffekte beinhalten den Beitrag, den die gemeinsame Betrachtung der

jeweiligen Merkmale Gber die bereits dargestellten Effekte hinaus auf die

Zellbesetzungen haben.

In spater folgenden Darstellungen werden zur Vereinfachung die Indi

zes j,k weggelassen, wenn samtliche Haupt- oder Interaktionseffekte fUr

ei ne Merkmalskombination betrachtet werden. Somit existieren J* K-1

frei variierende Parameter, was der Anzahl der frei variierende Zellhau

figkeiten entspricht. Damit kann jede Tabelle mit den Zellhaufigkeiten

{h jk J und damit jede komplexe Abhăngigkeitsstruktur beschrieben wer-

den. Ansătze, welche diese Eigenschaften besitzen, werden als satu

rierte Modelle bezeichnet.


Aligemeines lineares Modell

Zur Schătzung der Parameter des 2x2-dimensionalen loglinearen Mo

dells kann auf die allgemeine Form linearer Modelle zuruckgegriffen

werden. Da sich die Haupt- und Nebeneffekte jeweils zu O aufsummie

ren, IăBt sich immer ein Effekt als negative Summe der anderen Effekte

darstellen. In der Regel wird immer der Effekt der letzten Kategorie, der

sog. Referenzkategorie, als negative Summe der anderen ausgedruckt. Fur das Unabhăngigkeitsmodell gilt somit:

Unter Berucksichtigung dieser Nebenbedingungen erhălt man folgende

Vektordarstellung:

1 1

1 -1

-1 + ţlYl 1

-1 -1

FaBt man nun die Vektoren (1,1,1,1)', (1,1,-1,-1,)' und (1,-1,1,-1) zur

(4x3)-Matrix X zusammen und definiert die beiden Vektoren

so resultiert die Darstellung in ubersichtlicher Matrixschreibweise:

lnrn =Xţl

506 Anhang A

FUr das Merkmal X mit J Haupteffekten gilt die Verallgemeinerung. daB lediglich J -1 Parameter in das Modell aufgenommen werden. Die letzte Ausprăgung. zu welcher der fehlende Parameter gehort. wird durch

J-l c'en Effekt ţl = - Lţl erfa~t. Dies tindet BerUcksichtigung in der De-

XJ j=l Xj

signmatrix X. mit der fUr J Ausprăgungen J -1 Dummy-Variablen fol

genderma~en kodiert werden:

MerkrnalX hatKategoriej "" J MerkrnalX hatKategorieJ fUr j = 1 •.... J-1

sonst

Diese Moglichkeit der Kodierung erfolgt in Anlehnung an die Varianza

nalyse und wird auch als Effektkodierung bezeichnet. Damit Iă~t sich

jede Zelle durch den entsprechenden Dummy-Merkmalsvektor

(Xl ,"',XJ-l'Yl ""'YK-/ charakterisieren.

FUr saturierte loglineare Modelle ergibt sich dann folgende allgemeine

Darstellung:

lnm = 1/ + ţl Xl + ... + ţl XJ-l + ţl Yl + ... r' xl XJ-l Yl

Die zu den Interaktionstermen gehOrenden Spalten der Designmatrix X

ergeben sich durch Multiplikation der Elemente korrespondierender

Haupteffekte.


Parameterschatzung

Die Parameterschatzungen des saturierten loglinearen Modells erhalt

man liber die Exponentialfamilie (siehe Fahrmeir/Hamerle(84), Bis

hop/Fienberg/Holland(75) S. 77 ff). Entsprechend der ML-Schatzungen

in Exponentialfamilien ergeben sich daraus folgende Schatzungen:

A 1 ţi =-Llnhjk

JKj,k

unter der Bedingung:

h++ = e"Leţi'j + ţlYk +ţi'jYk i.k

Unter Berlicksichtigung der zusatzlichen Bedingung des Unabhangig

keitsmodells

508 Anhang A

entfallt der Term "Lh)'k ţi und damit ergeben sich bei dem hier zu jk XjYt

betrachtenden multinomialen Erhebungsschema die Randsummen h j +,

h+k mit j = 1, ... , J; k = 1, ... , K als suffiziente Statistiken (Mit h++ gleich dem Stichprobenumfang N):

Somit lassen sich die ML-Schatzungen allein aus der Kenntnis der

Randsummen ableiten. Dieses Prinzip gilt fUr samtliche loglinearen Mo

delle.

A 1 J

ţ1x. = lnh j + +- "L1nh j + J J j=1

Bild A 1: ML-Schatzungen des loglinearen Modells


Analogie zur 'odds-ratio'

Die in Anhang A.3.1) bereits vorgestellte Unabh8ngigkeitshypothese

kann (fUr j = k =1)'wie folgt formuliert werden (vgl. o.a. AusfUhrungen):

Die Nullhypothese ist dann erfullt, wenn die odds-ratio

den Wert 1 annimmt. Die Nullhypothese kann somit folgendermaBen

dargestellt werden:

Ho:p=l, bzw.: H o:lnp=O

Fahrmeir/Hamerle(96) (S. 549 ff.) zeigen den Zusammehang der odds-

ratio mit dem Interaktionsterm ţl des loglinearen Modells: x\y\

Wird nun der Anwendungsbereich auf J x K -Tabellen erweitert, so

lassen sich mehrere odds-ratio's aus jeweils vier Zellen bestimmen.

510 Anhang A

Mit der Darstellung der Beziehung zu den Parametern des loglinearen

Modells

- ţi. -ţi. -(ţi -ţi ) p. . k k - e Jikl Jlk 2 hkl h k2' lIh I 2

kann bei Unabhăngigkeit das Verhăltnis der beiden Zellwahrscheinlichkeiten mit

Pjkl ţi-ţi --=e 11 k2

Pjk2

dargestellt werden. p . . k k ist ei ne direkte Funktion der Interaktionspa-lIh I 2

rameter. ţi. - ţi. ist der Interaktionsparameter der il -ten Ausprăgung Jlkl JI12

des Merkmals X und ţi. - ţi. ist der Interaktionsparameter der i 2 -J211 J212

ten Ausprăgung des Merkmals X. Die Differenz entspricht dem log

arithmierten Verhăltnis der Wahr-scheinlichkeiten des Auftretens von

A.5.2 Mehrdimensionale Kontingenztabellen

Die Methodik zur Analyse 2-dimensionaler Kontingenztabellen kann auf

n-dimensionale Problemstellungen verallgemeinert werden. Auf der Ba

sis kanonisch erweiterter Kontingenztabellen soli untersucht werden, ob

mehrere Zufallsvariablen voneinander unabhăngig sind oder nicht. Falls


Abhangigkeiten varliegen, ist schlieBlich die Art des Zusammenhangs

genauer zu untersuchen. Aufgrund der hOheren Variablenzahl wachst

auch die Anzahl moglicher Zusammenhange und somit steigt letztendlich auch die Zahl der notwendigen Hypothesen. Im falgenden wird zu

nachst das saturierte Modell vorgestellt, mit dessen Hilfe ein Eindruck

gewonnen werden kann, welche Effekte hauptsachlich wirken. Um dar

Uber statistisch gesicherte Aussagen treffen zu konnen, sollen anschlie

Bend die Verfahren zur Parameterschatzung dargestellt und geeignete

Hypothesen formuliert und getestet werden.

Saturierte Modelle

Wie im vorangegangen Abschnitt gezeigt wurde, werden bei loglinearen

Modellen die logarithmierten zu erwartenden Haufigkeiten als Summe

sukzessive aufeinander bezogener Effekte (Parameter) dargestellt. Bei

Betrachtung sogenannter saturierter Modellen, bei denen alle moglichen

Effekte enthalten sind, konnen damit problemlos zu testende Hypothesen

formuliert werden konnen. Mit Hilfe des saturierten Modells lassen sich

zu erwartende Zellhaufigkeiten und damit jede komplexe Ab

hăngigkeitsstruktur beschreiben. Das saturierte Modell ei ner J-

dimensionalen Tafel enthalt jeweils (~) k-Faktor-Effekte. Zur einfache

ren Darstellung soli die in der Literatur gangige Notierung verwendet

werden. Betrachtet man beispielsweise eine vierdimensionale Tabelle

mit den Merkmalen Xl =A, Xz =8, X 3 =C, Y =0 und deren Auspragun-

gen (at, ... , a,), (bt, ... , bJ), (Ct, ... , cK), (dt, ... , dU, dann hat hat das

saturierte loglineare Modell folgende Gestalt:

512 Anhang A

FOr i = 1, ... ,1; j = 1, ... ,J; k = 1, ... ,K; 1 = l, ... ,L gilt:

lnmi;k/ = ţt+ P + Ilb + P +Ild , aj 'j Ct }

Dabei ist mijkl die zu erwartende Zellhăufigkeit bei Verwendung dieses

Modells mit folgenden Nebenbedingungen:

Llla.b. =Llla.b. =0, LPajCL =LllaICL =0 , ... , Lk IlCLdt =L1 PCtd} =0 i 1) j 1) i • k' •

~P a;bjck ='7 Il ajbJck =ţPajbjCk = O , ... , '7llbJCkdt =ţllbJCtd} =~ IlbjCkdt = O

L P ab ,cLdt = L P a.b ,cLdt = L Il a.b 'Ctdt = L Il a.b ,cLdt =0 il)' j 1). k 1) I 1).

Obwohl fOr jedes hierarchische Modell die Randsummen angegeben

werden konnen, ist eine Darstellung der ML-Schătzer als Produkt bzw.

Quotient aus den Randsummen nicht immer moglich. FOr das Modell

einer 3-dimensionalen Tafel ohne Interaktion 2. Stufe ist eine direkte

Schătzung nicht moglich (vgl. Fahrmeir/Hamerle(84) S. 522). Loglineare

Modelle mOssen unterschieden werden in solche, fOr die ei ne direkte

Schătzung moglich und solche fOr die eine Schătzung nur iterativ erfol

gen kann. Hinreichende Bedingung dafOr, daB ML-Schătzungen existie-


ren, ist ei ne Besetzung von mindestens einer Beobachtung in jeder Zelle

(vgl. Habermann(74a), Wedderburn(76)). Die Losung erfolgt mit dem

sog. Fisher-Scoring oder dessen Vereinfachung, dem modifizierten

Newton-Verfahren (siehe Bishop/Fienberg/Holland(75), S.76, Fahr

meir/Hamerle(84), S.522).

Hypothesentests

Motivation zum Kapitel uber die loglinearen Modelle ist die Oberlegung,

mehrdimensionale Abhăngigkeitsstrukturen in Daten zu analysieren.

Gegenstand der Untersuchung bilden somit einzelne Interaktionseffekte

und deren Relevanz. In Abhangigkeit der zu betrachtenden Fragestel

lung resultieren deshalb unterschiedliche Testprobleme, auf die im fol

genden eingegangen werden solI.

Zur Interpretation der Effekte des mehrdimensionalen Modells und der

folgenden Auswahl von Hypothesen 5011 zunachst festgehalten werden,

daB in den hier durchzufUhrenden Betrachtungen das Auftreten von Ef

fekten hoherer Ordnung die Existenz aller zugehorigen Effekte niedrige

rer Ordnung impliziert. In Fahrmeir/Hamerle(84) werden Modelle, fUr die

diese Pramissen gelten, auch als hierarchische Modelle bezeichnet.

Unter dieser Bedingung reicht es schlieBlich aus, die Wechsel

wirkungsterme hOchster Ordnung anzugeben, um ein Modell zu definie-

ren. Das oben angefUhrte Modell enthalt den Term Il ABCD' somit sind

auch, entsprechend dem Hierarchieprinzip, alle Marginaleffekte enthal

ten. Damit kann das saturierte vierdim. hierarchische Modell mit [ABCD]

abgekGrzt werden.

• Anpassungs-Tests

Die hier verwendeten Methoden, die Anpassung eines loglinearen Mo

dells zu GberprGfen, beruhen auf den im Anhang A.1 Gber Assoziativma

Be behandelten Tests auf Unabhangigkeit. Im folgenden soli die allge-

514 Anhang A

meine Form der Pearsonschen :C -Statistik und der Likelihood-Quotient

lq betrachtet werden.

:C -Teststatistik:

Unter Verwendung der erwarteten Zellhaufigkeiten mi eines loglinearen

Modells M, kann ein Anpassungstest mit Hilfe der :C -Teststatistik

le)

1'2 (M) = 2: (hi~mir (Mit i als Mehrfachindex fOr jede einzelne Zelmi

durchgefOhrt werden.

Likelihood-Quotient

Fur ein gewăhltes Modell M k6nnen die erwarteten Zellhăufigkeiten mi

geschătzt werden. Darauf aufbauend kann ein Anpassungstest mit fol

gender Teststatistik durchgefOhrt werden:

Iq(M) = 22:h1n ~i (Mit i als Mehrfachindex fOr jede einzelne Zelle) mi

Die beiden vorgestellten Teststatistiken sind asymptotisch :C -verteilt.

Die Anzahl der Freiheitsgrade ergibt sich aus der Differenz von der An

zahl der Zellen und der Anzahl der geschătzten Parameter. Leere Zellen,

durch deren Anordnung suffiziente Randsummen gleich Null sind, wer

den nicht berucksichtigt.


"Nested Models"

FUr eine spezielle Teilklasse loglinearer Modelle den sog. "nested mo

dels" kann eine einfache Beziehung zwischen den Werten der Likeli

hood-Quotienten-Teststatistik zwei verschiedener Modelle hergestellt

werden.

Ist ein loglineares Modell MI vollstandig in einem Modell M2 enthal

ten, d.h. die Parametermenge von MI ist ei ne echte Teilmenge der Pa

rametermenge von M2' 50 gilt fUr die beiden Statistiken folgende Be

ziehung:

Iq(MI ) = 2Lh1n ~i i mi

und Iq(M2) = 2Lh1n ~i i mi

(m: Mit Modell MI geschatzte Haufigkeiten)

(fn: Mit Modell M2 geschatzte Haufigkeiten)

Mit MI::::l M 2 kann gebprUft werden, ob die fehlenden Parameter des

Modells M 2 signifikant sind. DafUr wird der Log-Likelihood Quotient

gebildet. Ais Ma~ fUr die resultierende Verschlechterung der Anpassung

wird die Differenz der beiden Teststatistiken gebildet:

Iq(MI\M2 ) = /q(MI )-lq(M2) = 2L~iln "!i i mi

Die Teststatistik Iq(MI \M2) ist unter der Nullhypothese, da~ M2 gilt,

asymptotisch .i -verteilt. Die Anzahl der Freiheitsgrade ergibt sich da

bei aus der Differenz der Anzahl der Parameter beider Modelle M1 und

M2 (siehe Bishop/Fienberg/Holiand (75».

Sind die Differenzen der Modellanpassung klein, d.h. die bedingte

Teststatistik ist klein, dann tragen die zusatzlichen Parameter in M2

wenig zur Anpassung bei. Ist die Teststatistik dagegen gro~, 50 ist durch

516 Anhang A

ale zusatzlichen Parameter des Modells M2 eine wesentliche Verbesse

rung zu erreichen. Die Likelihood-Quotienten-Teststatistik kann insbe

sondere dazu verwendet werden, aus einer vorgegebenen Hierarchie

loglinearer Modelle ein passendes Modell auszuwahlen. Dies ist bei

spielsweise der Fali, wenn aus einer Menge von Merkmalen diejenigen

ausgewahlt werden sollen, deren EinfluB auf die Verteilung der Stichpro

beneinheiten am groBten ist. FOr die weiteren Betrachtungen stehen die

Interaktionen verschiedener Merkmale auf die Auspragungen einer ganz

bestimmten Variablen, dem Kundenrisiko, im Vordergrund. FOr diese

Betrachtungen sollen spater die sog. Logitmodellen genauer erlautert

werden.

Die ML-Schatzungen fOr die Parameter Pk konnen von den ML-

Schatzungen der zu erwartenden Zellhaufigkeiten abgeleitet werden. Auf

die Schătzungen s2(uk) fOr die Varianzen der Parameterschatzungen

soli an dieser Stelle nicht naher eingegangen werden. FOr weitere Infor

mation wird auf Fahrmeir et al.(96) und Lee(77) verwiesen. Die ML

Schatzungen sind jedoch nur fOr saturierte Modelle und spezielle einfa

che nicht saturierte Modelle direkt angehbar.

Die Hypothese H O)Jk = O kann mit Hilfe der standardisierten Para-

meterschatzungen ~k OberprOft werden. Wenn HO gilt, dann ist dies(Jlk)

ser Ausdruck asymptotisch N(OI1)-verteilt.

Anhang B: Diskriminanzanalyse zur Risikoklassifikation

B.1 Diskriminanzanalyse mit diskreten Merkmalen

B.1.1 Das voile multinomiale Modell

In dem hier vorgestellten Verfahren werden keinerlei Annahmen getrof

fen, die Uber das Vorliegen einer Multinomialverteilung hinausgehen.

Deshalb wird es in der Literatur auch als volles multinomiales Modell

bezeichnet (vgl. Fahrmeir/Hamerle(96». Wie in den vorangegangenen

Abschnitten, haben die Merkmale X1"",X1 jeweils die Auspragungen

1 {l, ... ,JJ. Der Merkmalsraum enthalt somit S = ITJi mogliche Merk-

i=1

malskombinationen, deren Auftreten einer Multinomialverteilung unter

liegt. Bei Betrachtung diskreter Variablen ist f(x,k) nicht als Dichte son

dern als Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x,k) = p(x,k) aufzufassen. Die

Daten einer Stichprobe mit {xn,knl. n = 1, ... ,N konnen in ei ner 1+1 di

mensionalen Kontingenztabelle dargestellt werden.

Seien 1l(x,k) = p(x,k) die unbekannten Zellwahrscheinlichkeiten und

h(x,k) die beobachteten Zellbesetzungen, dann konnen die Diskrimi

nanzfunktionen (Bayes-Zuordnung) auf Basis der beobachteten ZeII hau

figkeiten geschatzt werden:

't An( k) h(x,k) mi x =--, N

Damit la~t sich eine einfache Zuordnungsregel formulieren: "Ordne eine

Beobachtung x derjenigen Klasse k zu, welche unter den Objekten der

Lernstichprobe mit eben dieser Merkmalskombination am haufigsten

vorkommt". Der Merkmalsraum S wird durch diese Klassifikationsregel

518 Anhang B

in K Klassengebiete DI, ... ,DK zerlegt. Daraus ergeben sich folgende

geschatzten Klassengebiete:

Dk = {xlh(x, k) > h(x, r) fur alle r Ţ. k}

Falls die betrachtete Merkmalskombination eines zu klassifizierenden Objektes in mehreren Klassen gleich hăufig auftritt, erfolgt die Zuord

nung zu einer dieser Klassen per Zufallsauswahl.

Unabhăngige dichotome Merkmale

Im folgenden gelte fUr die unabhăngigen Variablen X; E {O,l} :

1r;k = P(X; = llk)

und 1-1r;k =P(X; = 0lk)

Aufgrund der Unabhăngigkeit der einzelnen Merkmale gilt somit:

]

P«XI , ... ,X]) = (XI , .. .x] )Ik) = n1r;~ (l-1r;k)I-Xi

;=1

Die logarithmierten Funktionen der Bayes-Regel dk(x) = p(k)f(xlk)

haben folgende Gestalt:

d' k(X) = lndk(x) = lnp(k) + lnf(xlk)

Die logarithmierte Form der fehleroptimalen Zuordnungsregel ist dann: ] ]

d'k(x) = LX;ln 7lik + L(l- x;)ln(l- 7lik)+ lnp(k) ;=1 ;=1

]

= LV;X;+Vo ;=1

Die Schătzung der Koeffizienten ergibt sich aus der Stichprobe wie folgt:

Diskriminanzanalyse zur Risikoklassifikation 519

A 1 1rjk 1 h(xj =l,k) v· = n--= n ----'--'-----'--

1 l-1rjk N k -h(xj =1,k)

I I h(xj =1,k) 1 N k Vo =L:ln(I-1r jk)+lnp(k) = L:ln(1 )+ n-j=l j=l N k N

mit: N k = h++ .. .k -Anzahl der Objekte in Klasse k

Damit ist jede Diskrfminanzfunktion durch 1 + 1 Koeffizienten bestimmt.

Dichteschatzer Mit den sog. nichtparametrischen Verfahren zur Dichteschatzung kann

die Schatzung der Auftrittswahrscheinlichkeit der Merkmalskombinatio

nen x in der Klasse k p(xlk) erfolgen. Fur diskrete Daten werden dafGr

speziell zugeschnittene Kernfunktionen verwendet (Aitchison/Aitken

(76)). Fur dichotome Merkmale und deren Stichprobenraum

S = {O,l Y = {(XI , ... XI ~Xj E {O,l}}

kann aus der Matrix der beobachteten Merkmalsvektoren der k-ten Klas

se Xk = (Xkl, ... ,XkN )' folgende Schatzung der Auftrittswahrscheinlichkeit k

vorgenommen werden:

und der Distanz: d(X,Xkn) = (x - Xkn)'(x- Xkn) ,

und .!. $ Âk $1 (Anzahl der nicht ubereinstim-2

menden Merkmalsauspragungen)

520 Anhang B

Die Kernfunktion ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion fUr diskrete Werte

auf S und hat folgende Eigenschaften:

• Ist x = Xkn ' dann ist die Kernfunktion maximal mit: K(xIXkn' Ak)= Ar • Unterscheiden sich x und Xkn in allen Komponenten, dann wird die

Kernfunktion minimal: K(xIXkn' Ak) = (1- Ak)1

Jeder Wert von K(xIXkn' Ak) stellt einen 'Kern' zur Beobachtung Xkn dar.

Mit wachsender Entfernung der Beobachtung wird dieser immer kleiner

in Abhăngigkeit von der GroBe Ak' FOr den speziellen Fali mit Â = 1 gilt:

I {1 x = Xkn K(xxkn ,1) =

O x"# Xkn

Im Falle von Â =.! ergibt sich eine geschătzte Gleichverteilung Ober den 2

Stichprobenraum. Somit entspricht die Schatzung p(xlk, X k' Ak) der des

vollen multinomialen Modells, wobei die Wahl des Glattungsparameters

Ak fUr die Eigenschaften des Schatzers entscheidend ist. Schatzmetho-

den zur Bestimmung des Glattungsparameters, basieren auf der soge

nannten 'Ieaving one out' oder 'Jackknife' Methode. Dabei werden die

Schatzungen mit den um jeweils einen Beobachtungswert reduzierten

Datenmatrizen durchgefUhrt. AnschlieBend wird das Produkt Ober alle

Schătzungen, eine sog. Pseudo-Likelihoodfunktion, maximiert (5. Aitchi

son/Aitken(76); Habbema et al.(74»:

N t

W(ÂIXk ) = max II p(xkn Ik,Xk \xkn,Âk ) .bO n=l

mit der reduzierten Matrix: X k \ xkn


Erweiterungen dieses Verfahrens hinsichtlich verschiedener Glattungs

parameter fUr einzelne Klassen und die Verallgemeinerung auf nicht

binare diskrete Daten kann bei Aitchison/Aitgen(76), Hall(81), Tittering

ton(80) und Murray/Titterington(78) nachgelesen werden.

B.1.2 Logit-Modell

Mit den bereits vorgestellten loglinearen Modellen konnen alle Wechsel

wirkungen zwischen den betrachteten Merkmalen erfa~t werden. In den

meisten Anwendungen ist dies jedoch nicht erforderlich. In der Anwen

dung zur Klassifikation von Kreditrisiken steht lediglich das abhangige

Merkmal (Kundenrisiko) und dessen erklarende Variablen im Blickfeld.

Eine solche asymmetrische Betrachtung als Sonderfall loglinearer Mo

delle wird als Logit-Modell (vgl. Fahrmeir et al. (96) S. 618ff.) bezeich

net. Das Risiko Y wird als dichotomes Merkmal aufgefa~t, d. h. Y nimmt

nur zwei Merkmalsauspragungen (guter/ schlechter Kunde) an.

Die Response-Variable kann somit in der Form (Yl=O, Y2=1) kodiert

werden. Betrachtet man beispielsweise das saturierte Modell einer 3-

dimensionalen Kontingenztafel, um den Einflu~ der Merkmale A und B

auf das Kundenrisiko Y als dichotomes Merkmal zu untersuchen, kann

ein loglineares Modell aufgestellt werden. Die logarithmierte erwartete

Anzahl "guter" bzw. "schlechter" Engagements (lnm(]1 bzw. lnmij2) hat

folgende Darstellung:

bzw.

1nmif2 = /1+ Pai + ţlbj + ţlY2 + Pa;bj + ţlaiY2 + ţlbjYz + ţlaibjY2

Bild B1: Loglineare Modelle fUr die beiden Klasse k =1,2 zur

Schatzung der logarithmierten erwarteten Zellhaufig

keiten einer 3- dimensionalen Kontingenztabelle.

522 Anhang 8

Ais RisikomaB wird der Quotient aus den beiden erwarteten Haufigkeiten

betrachtet:

Damit erhălt man nur noch Terme, welche mit dem Risikomerkmal in

Verbindung stehen. Zur Vereinfachung konnen dieses folgendermaBen

ersetzt werden:

Daraus ergibt sich das Logit-Modell:

m'l ln-IJ = v+ V-a + lA + V,ab

mij2 j ro} j j

Auf die Verallgemeinerung soli hier nicht eingegangen werden. Grund

satzlich ist jedoch, durch Subtraktion der loglinearen Modelle hOherer

Ordnung, analog zu verfahren.

Parameterauswahl

Wie bei den loglinearen Modellen kann zur Auswahl signifikanter Merk

male (bzw. zur Festlegung des Modells) auf den Log-Likelihood

Quotienten zurUckgegriffen werden. FUr ei ne Hierarchie von Modellen

(nested models) der Form MI C M2 c ... c M m gilt fUr die Modellanpas

sungs-Statistiken folgende Reihenfolge:


Die Idee besteht darin, zunăchst die Anpassung des vollstăndigen Mo

dells M m zu testen und anschlieBend sukzessive die Signifikanz der

Anpassungsstatistiken lq(Mm_ l ) und der Abweichungsstatistiken

lq(M m-IIM m) reduzierter Modelle zu vergleichen (vgl. Toutenburg (92),

S. 63ff.). Ist eine dieser beiden Statistiken signifikant, d.h. die Anpassung

des reduzierten Modells ist signifikant schlechter, wird das Modell M m

als adăquates Modell auswăhlen. Sind beide Statistiken nicht signifikant,

d.h. mit einem reduzierten Modell wird keine signifikante Anpassungs

verschlechterung bewirkt, dann wird das Verfahren analog mit dem

năchst kleineren Modell fortgesetzten. Bei Betrachtung einfacher Inter

aktionen enthălt das einfachste Logit-Modell die Effekte der Parameter

von den Variablen XI"" XI' SchlieBlich wird jeweils ein Parameter aus

dem Modell entfernt und die Anpassung UberprUft. Somit kann der Ein

fluB jedes einzelnen Parameters getestet werden.

Die PrUfung der Hypothese H o : fJi = O erfolgt mittels der x 2 -

verteilten quadrierten t-Statistik:

~2

Z = [2 = fJi (vgl. Fahrmeitr (96), S. 88ff.) b~

fii

Weitere Modellansătze mit BerUcksichtigung der Interaktionen innerhalb

der abhăngigen Variablen, werden bei Fahrmeir/Hamerle(84), Haber

mann(74), Benedetti/Brown(78), Goodman(71 a) und Bishop/Fienberg

(74» vorgestellt. Es ist jedoch zu bemerken, daB sich die Menge der

măg lichen Tests sehr stark vergrăBert und somit die Aussagekraft des

Signifikanzniveaus abnimmt. Da es sich dabei um explorative, d.h. da

tengetriebene Vorgehensweisen handelt, ist fUr dieses heuristische Vor

gehen eine inferrenzstatistische Absicherung mittels einer neuen Stich

probe notwendig.

524 Anhang B

B.1.3 Vergleich mit der Regressionsanalyse diskreter Merkmale

Mit der Regressionsanalyse werden die Beziehungen zwischen Variablen

untersucht. Die Darstellung dieser Beziehungen erfolgt in Form ei ner

Gleichung, bei der die abhangige Variable Y mit einer oder mehreren

Variablen Xl,,,,,X1 in Verbindung gebracht wird:

Dabei werden die Regressionskoeffizienten Pi aus den Daten ge

schătzt. s ist eine Storvariable mit dem Erwartungswert E(s) = O. Fur die

folgenden Betrachtungen werden sowohl die abhangige Variablen als

auch die unabhăngigen Variablen als kategorial angenommen. Die in

diesem Abschnitt vorgestellt Modelle zur Analyse von kategorialen Daten

sind Spezialfalle der generalisierten linearen Modelle (GLM). Diese sind

durch eine lineare funktionale Beziehung zwischen den unabhangigen

Variablen und der Zufallsvariable Y, deren Wahrscheinlichkeitsvertei

lung der natGrlichen Exponentialfamilie angehort, charakterisiert.

Ais abhangige Variable wird entweder ein dichotomes Merkmal mit

den Auspragungen Y E {O,I}} oder die bedingte Wahrscheinlichkeit

p(Y = llX) betrachtet. Der EinfiuB einer Variablen Xi auf die ab

hangige Variable ist in dem Term PiXi enthalten.

Die unabhangigen Variablen Xi sind jedoch nominal skaliert, d.h. es

werden den verschiedenen Kategorien Zahlen zugeordnet. Der EinfluB

einzelner Merkmale auf die abhangige Variable ist deshalb nicht mehr

sinnvoll interpretierbar. Dies kann umgangen werden, in dem die Merk

malsauspragungen separat als Variable definiert werden. Dazu werden

die einzelnen Kategorien separat kodiert. Von einer Reihe unterschiedli-


cher Moglichkeiten sollen lediglich die zwei wichtigsten vorgestellt wer

den.

• Dummy-Kodierung:

Ein Merkmal A mit den Merkmalsauspragungen (Kategorien) j =1 ... J

wird mit J -1 Dummy-Variablen folgender Form ausgedrOcki:

A _{l Xj - O

Variable A hat Kategorie j mit j=1, ... ,J-1

sonst

Damit lassen sich samtliche Kategorien des Merkmals A mit dem

Merkmalsvektor XA == (X~ ,.··,xL)' kodieren. Die Dummy-Variable

nimmt den Wert 1 an, falls die j -te Kategorie vorliegt und die J -te Ka

tegorie wird durch die Kodierung x j = O fOr j =1, ... , J -1 implizit erfaBt.

Die dazugehorenden {J j drOcken analog zur Varianzanalyse die sog.

Haupteffekte aus.

• Effekt-Kodierung:

Diese Moglichkeit der Kodierung erfolgt in Anlehnung an die Varianza

nalyse und hat folgende Gestalt:

x;={-~ Variable A hatKategorie j

VariableA hatKategorieJ mit j = 1, ... , J-1

sonst

J-I J

Damit wird {J J == - L {J j bzw L {J j == O (siehe loglineare Modelle). j=1 j=1

526 Anhang B

Die KOdierung von Dummy-Variablen wird fUr jedes Merkmal und dessen

Auspragungen vorgenommen. FUr das entsprechende Haupteffektmodell

sind die Dummy-Variablen der Merkmale A,B,e ... und deren I,J,K ... Aus

pragungen im Merkmalsvektor

mit dem Parametervektor

P = (J3a ,.··,Pa ,P,. ,,··,Pb 'Pc ,.··,Pc ... )' 1 1-1 "1 J-l 1 K-l

enthalten.

Um den EinfluB einer bestimmten Kombination von zwei oder mehre

ren Merkmalen zu messen, konnen zusatzlich Interaktionseffekte mit

berUcksichtigt werden. Dies geschieht, in dem Produkte der Dummy

Variablen in den Regressionansatz mit aufgenommen werden. Der Da-

tenvektor wird mit den Termen XalXq, ... ,XalXq, ... ,XqXcl, ... ,x<ltXqXcl ...

erweitert und der Koeffizientenvektor P wird entsprechend dimensio

niert.

Logit-Modelle

Bei Logit-Modellen wird die abhangige Variable (Kundenrisiko) als di

chotom mit den Auspragungen y = O, Y = 1 aufgefaBt. Y ist binomial-

verteilt (aus der Familie der Exponentialverteilungen) mit P(Y = 1) = 7r

und p(Y = O) = 1-7r . Wird Y bei N Objekten realisiert, 50 erhălt man N

verschiedene Zufallsvariablen Yn mit p(Yn = 1) = 7r n und p(Yn = O) = 1-7r n

mit n=1, ... ,N:


mit: Yn E {O,l}

Der Ausdruck In ~ wird als Logit von 7r n bezeichtet. Mit Verwen-1-7rn

dung der Logit-Linkfunktion erhalt man das Logit-Modell (vgl. Toutenburg

(91) S. 52ff.):

Die Datenbasis wird nach Merkmalskombinationen gruppiert, 50 daB fOr

jede Merkmalskombination s mitNs Beobachtungen vorliegen. Davon

sind jeweils N sa Beobachtungen mit dem Wert der Zufallsvariabeln

y = O und N sl mit y = 1. Die Wahrscheinlichkeiten konnen aus den je

weiligen Hăufigkeiten geschatzt werden:

Logitregression

Wie bei den Logit-Modellen wird auch hier vorausgesetzt, daB die ab

hangige Variable Y binar ist. Dabei wird mit dem Ansatz der logistischen

Regression die Wahrscheinlichkeit p(Y = Ilx) = 7r(x) in Abhangigkeit von

den EinfluBvariablen Xl, ... ,X1 modelliert. In Fahrmeir et a. (96) wird

dieser Ansatz fOr den Fali mit 1 = 1 beschrieben:

7r(X) = Pa + fix

Toutenburg (92) erwahnt dabei den Nachteil dieses Ansatzes, daB die

Wahrscheinlichkeiten 7r(x) zwischen O und 1 liegen die Zielvariable der

logistischen Regression dagegen jedoch Werte zwischen -00 und +00

528 Anhang B

annehmen kann. Aus diesem Grund wird ein Ansatz mit dem Wertebe

reich [0,1] gewahlt:

n-(x) = exp(Po + fJx) 1 + exp(Po + fJx)

Mit VelWendung der Logit-Linkfunktion erhalt man das im vorangegangenen Abschnitt bereits vorgestellte generalisierte lineare Modell:

In n-(x) Po + fJx l-n-(x)

Nach Cox(66) und Day/Kerridge(67) ist im Zwei-Klassen-Fall das log

arithmierte Verhăltnis der beiden Klassendichten linear:

f(xll) In--= Po + fJx

f(xI2)

Die erklarenden Variablen kănnen sowohl kategorial als auch stetig sein.

Ist X kategorial und wird der Logit-Link velWendet, dann sind die Logit

Modelle aquivalent zu den loglinearen Modellen (kategoriale Regression:

vgl. Toutenburg (92), S. 52 ff.).

B.1.4 Mehrkategoriales Logit-Modell als multivariates generalisiertes

lineares Modell

Betrachtet man Falle, bei denen die abhangige Variable mehr als zwei

Auspragungen K > 2 hat, dann ist die Zielvariablen multinomialverteilt.

Wie oben bereits beschrieben sind mit den unabhangigen Variablen wie

der S verschiedene Merkmalskombinationen măglich. Zu jeder dieser

Merkmalskombinationen X s werden N s unabhangige Beobachtungen


der abhăngigen Variablen Y realisiert, wie in folgender Anordnung dar

gestellt ist:

Merkmals- AuftriUswahrscheinlich- Teilstichproben-

kombination keiten fUr die Klassen

1, ... ,K

1 A A

7Z"1I ,···,7Z"IK

A A

S 7Z"sl ,···,7Z"sK

S A A

7Z"SI,···,7Z"sK

umfănge

NI

N s

Ns

Bild B2: Beschreibung eines K-kategorialen Problems

In diesem Fali erhălt man fUr jede Merkmalskombination s mit N s Beob

achtungen die AuftriUswahrscheinlichkeiten 7r sk .

Es sei Ys eine Zufallsvariable mit:

{l' Klasse k

Y = s 0, sonst

k=l, ... ,K-l

und dem Erwartungswert: E(Ys ) = P(Ys = Ils) = 7r sk

Fur den Erwartungswert von Ys = YsI , .•. 'ysK-I (d.h. fUr jede Merkmals

kombination 5) erhălt man den Vektor der AuftriUswahrscheinlichkeiten

der Klassen k = 1, ... , K -1 :

530 Anhang B

Die Verallgemeinerung des im vorangegangenen Abschnitt dargestellten

Modells fiir K = 2 ergibt das mehrkategoriale Logistische Regres

sionsmodell:

1C sk = K-l

1+ Lexp(POk +xs'Pk) k=l

Damit ergibt sich die Darstellung als generalisiertes lineares Modell

(GLM):

. ~ 1 N, n mit 7rsk=-LYsk

N s n=l

s = 1, ... , S; k = 1, ... , K

Da in dieser Arbeit lediglich der Zwei-Klassen-Fall betrachtet wird, soli

auf die Schatzung der Parameter des mehrkategorialen Logit-Modells

und auf die Beschreibung der verschiedenen Testverfahren nicht einge

gangen werden. FUr den interessierten Leser sei auf Fahrmeir et al. (96),

S. 262 ff. verwiesen.

Diskriminanzanalyse zur Risikobewertung 531

8.2 Multivariate Analyse stetiger Risikomerkmale

Die ersten multivariaten Ansatze zur Trennung und Identifikation ver

schiedener Klassen von Objekten entstanden bereits in den' dreiBiger

Jahren von Fisher. Der sog. Fisher-Ansatz basiert auf der Optimierung

eines varianzanalytischen Kriteriums. Dieser Ansatz und die beschriebe

ne Maximum-Likelihood Methode konnen als Spezialfalle der Bayes

Regel verstanden werden.

m Fisher-Ansatz werden keine Annahmen zur Verteilung des Merk

malsvektors in den Klassen vorgenommen. Diese Oberlegungen werden

bei den sogenannten parametrischen Verfahren mit berlicksichtigt. In

deren weiteren Verlauf nimmt die Normalverteilungsannahme aufgrund

ihrer ZweckmaBigkeit einen groBen Raum ein. Ausgehend vom allge

meinen Fali der Quadratischen Diskriminanzanalyse bis hin zu immer

restriktiveren Annahmen der linearen Diskriminanzanalyse werden diese

Ansatze beschrieben. Dabei soli die Verbindung zu den Minimale

Distanz-Konzepten aufgezeigt werden.

In der realen Anwendung konnen Verteilungsannahmen liber die

Merkmalsvektoren jedoch nur sehr ungenligend oder gar nicht getroffen

werden. Die dazu entwickelten verteilungsfreien Ansatze konnen in der

Literatur im Grunde als zweigleisig angesehen werden. Einerseits wird

versucht, eine Dichteschatzung in den Klassen vorzunehmen. Erste Ar

beiten entstanden dazu in den fUnfziger Jahren von Rosenblatt(56) und

darauf aufbauend von Parzen(62).

Andere Oberlegungen beruhen auf den bereits viei frliher entwickelten

ĂhnlichkeitsmaBen (Hotelling (30)), mit denen die Zuordnung eines

Merkmalsvektors gemaB eines Kleinste-Distanz-Kriteriums vorgenom

men wird. Ausgehend von der Oberlegung, ein zu klassifizierendes Ele

ment gemaB der Klassenzugehorigkeit ihm ahnlicher Elemente zuzuord

nen, hat in den fUnfziger Jahren zu den sog. Nachste-Nachbarn

Verfahren gefUhrt (FixlHodges(51)). Dabei haben Definition und Auswahl

532 Anhang B

geeigneter ĂhnlichkeitsmaBe und Distanzen eine weitere Diskussion

erfahren (Hills(67), Cover/Hard(67), Peterson70». Dabei werden die k

Beobachtungen , die am nachsten am zu klassifizierenden Merkmals

vektor (Objekt) liegen, betrachtet. Dort findet prinzipiell die Bayes -Regel

Anwendung, wonach die Beobachtung jener Klasse zugeordnet wird,

welche die groBte a -posteriori-Wahrscheinlichkeit dieser Beobachtung

aufweist. In Anlehnung an die o.a. nichtparametrischen Verfahren wird

dazu ei ne Dichteschatzung vorgenommen.

B.2.1 Fisher Ansatz

In der Literatur erfolgt eine Zuordnung des Fisher Ansatzes sowohl zu

den parametrischen als auch zu den nichtparametrischen Verfahren.

Beim ursprunglichen Ansatz wird jedoch keine Verteilungsannahme ge

troffen, sondern nur verlangt, daB ein Trennkriterium maximiert wird. Aus

diesem Grund soli der Fisher Ansatz als nichtparametrisches Verfahren

eingeordnet werden, obwohl dieser als Grundlage spaterer parametri

scher Verfahren dient und Spezialfalle des Maximum-Likelihood-Ver

fahrens zu gleichem Diskriminanzkriterium fGhren.

Zwei-Klassen Fali

Der im folgenden dargestellte klassische Ansatz von Fisher (1936) be

steht darin, einen I-dimensionalen Merkmalsraum miUels einer linearen

Funktion

y==px

so zu transformieren, daB die Trennung der beiden Gruppen optimal

wird, wobei den beiden Ausgangsverteilungen der Klassen 0k>k == 1,2,

kein bestimmter Verteilungstyp unterstellt wird.


Es wird eine Trennfunktion geschătzt, die ei ne optimale Trennung zwi

schen den Gruppen und ei ne OberprUfung der diskriminatorischen Be

deutung der Merkmale ermoglicht. Geometrisch erfolgt eine Projektion

der Beobachtungen auf ei ne sog. Diskriminanzachse. Diese verlăuft

durch den Nullpunkt des Koordinatensystems und ihre Lage wird von den

Diskriminanzkoeffizienten Pi bestimmt.

Die Verteilungen der Werte der Trennfunktion (Diskriminanzwerte)

unterschiedlicher Klassen sollen moglichst weit voneinander entfernt sein

und die Werte innerhalb der Klassen sollen năher zusammenrGcken. In

anderen Worten fGhrt dies zu einer Darstellung mit gro~tmoglicher Ho

mogenităt innerhalb der Gruppen und gro~tmoglicher Heterogenităt der

Gruppen untereinander. Dies wird dann erreicht, wenn der folgende Aus

druck maximal ist:

mit: Yk = P X k - Mittelwerte der beiden Klassen und

2 Nt - 2 Sk = L (Ykn - Y k ) - Summe der quadrierten Abweichungen

n=1

Ein Merkmalsvektor X mit den Ausprăgungen x wird der Ausgangsver

teilung nI zugeordnet, wenn die Ungleichung

d(x) = (xI - x2 l W-I[x - "Î(XI + X2 )] > o

gilt (vgl. Fahrmeir et al. (96».

534 Anhang B

Mehr-Klassen Fali

Bei mehr als zwei Klassen wird die oben beschriebene Vorgehensweise

fortgesetzt, in dem lineare Funktionen ermiUelt werden, die folgenden Ausdruck maximieren:

K: Anzahl der Klassen

Mit der Zwischen-Klassen Streumatrix

und der Inner-Klassen Streumatrix

Nk I

Wk= L (Xkn-:XkXXkn-Xk) n=l

kann das Trennkriterium vereinfacht dargestellt werden:

Q(jJ) = PBfJ ~ max PWfJ /#0

Dabei ist der Ausdruck PBfJ ein Mal1 fUr die Streuung der Diskrimi

nanzwerte zwischen den Klassen und P W fJ steht fUr die Streuung inner

halb der Klassen. Die optimalen Gewichte erhălt man, indem das Trenn

kriterium nach allen fJi partiell differenziert und gleich Null gesetzt wird.


Durch Umformung erhălt man folgendes Eigenwertproblem:

Unter der Voraussetzung, daB W invertierbar ist, gilt es nun, die Eigen

werte Âj der Matrix W-JB zu bestimmen. Die dazugehorenden Eigen

vektoren entsprechen somit den Diskriminanzkoeffizientenvektoren,

womit die Diskriminanzfunktionen gebildet werden konnen. FUr die Folge

der Eigenwerte gilt: Â J ~ Â2 ~ ~ ~ .••• Die Anzahl der positiven Eigenwerte

und damit der moglichen Diskriminanz-funktionen bei K Klassen und I

Merkmalen betrăgt hochstens (K-1,1)

Die erste Diskriminanzfunktion wird so ermittelt, daB ihr Eigenwert und

damit ihr Erkărungsanteil EA maximal ist. Die zweite Diskriminanzfunk

tion kann maximal den restlichen Anteil derjenigen Streuung erklăren,

die nach Ermittlung der ersten Diskriminanzfunktion Ubrig bleibt. Ais MaB

fUr die relative Wichtigkeit einer Diskriminanzfunktion wird der Eigenwertanteil (erklărter Varianzanteil) verwendet (vgl. Backhaus et al.(94»:

Nach Cooley/Lohnes(71) nimmt die Wichtigkeit der sukzessiv ermittelten

Diskriminanzfunktionen rasch ab. Unter Verwendung der ersten Diskri

minanzfunktion wird das zu klassifizierende Objekt mit den Merkmals

ausprăgungen X jener Klasse 0.k .k = 1 •...• K zugeordnet, fUr die gilt:

fUr alle i "* k

Dabei ist f3 der Eigenvektor, der dem groBten Eigenwert entspricht und

xk ist der Mittelwert der beobachteten Merkmalswerte in der Klasse 0k.

536 Anhang B

B.2.2 Parametrische Verfahren

Sind die Ausgangsverteilungen der Klassen bekannt, 50 konnen die

Dichtefunktionen des Merkmalsvektors X aus den Teilgesamtheiten 0k

zur Diskriminanzanalyse verwendet werden. In Abhăngigkeit der voraus

gesetzten Annahmen Uber die Klassenverteilungsfunktionen sollen im

folgenden die entsprechenden Ansătze vorgestellt werden.

Die Bestimmung der Parameter, mit denen solche Verteilungen cha

rakterisiert werden, ist teilweise sehr aufwendig. Dies hat dazu gefUhrt,

daI?, Ansătze, bei denen eine Normalverteilung zugrunde gelegt wird, am

hăufigsten Verwendung finden, da diese Verteilungsform einerseits mit

dem Erwartungswert und der Varianz eindeutig bestimmt ist und anderer

seits die Verfahren sehr robust gegen Verletzung dieser Annahmen rea

gieren.

Im folgenden werden parametrische Modellansătze anhand der Maxi

mum-Likekihood-I und anhand der Bayes-Entscheidungsregel vorge

stellt. Dabei 5011 vorausgesetzt werden, daI?, die Klassenverteilungen

normalverteilt sind:

f (xiO ) = f (xlk) = 1 e -~(x- I'i)' Iii (x- I'i )

k !fi; ~(detLd

mit: ţi k: E(x) in der Klasse k

Lk: Kovarianz in der Klasse k

Maximum-Likelihood-Entscheidungsregel

Grundidee ist es, ein Objekt derjenigen Klasse zuzuordnen, fUr welche

f (xIOk ) am grol?,ten ist. Sind die Ausgangsverteilungen in den Klassen

0k,k = 1, ... ,K multinormalverteilt und die Kovarianzmatrizen stimmen


uberein, 50 fUhrt dieses Verfahren zur selben Zuordnungsregel wie der

Fisher-Ansatz.

• ML-Entscheidungsregel fUr den Zwei-Klassen Fali

Wie bei den Logit-Modellen konnen im Zwei-Klassen Fali Quotienten

gebildet werden. Durch Einsetzen der beiden Dichtefunktionen ergibt

sich folgende Form:

f (xlk = 1)

f (xlk = 2)

Ist der Quotient gror..er als eins, dann wird der zu klassifizierende Merk

malsvektor x der Klasse k = 1 zugeordnet. Mit der Voraussetzung, dar..

die Kovarianzmatrizen in den beiden Klassen identisch sind 0:1 = ~2)

gilt:

f (xlk = 1) X'L-1(PI-P2)--.!.(Pl+P2)' L-1(PI-P2) ---;---=e 2 f (xlk = 2)

Mit den unverzerrten Schătzungen Xj,x2 fUr die unbekannten Parameter

P1,P2 und Sw = W fUr ~ erhălt man durch Logarithmieren des (N-K)

obigen Ausdrucks folgende Diskriminanzfunktion:

In diesem Fali erhălt man also dieselbe Diskriminanzfunktion wie beim

o.a. Fisher-Ansatz.

538 Anhang B

• Maximum-Likelihood Diskriminanzanalyse fUr den Mehr-Klassen

Fali

Ganz allgemein gilt, daB die Klassenverteilung

1 ( '1 1 -- X-Pk) L- (X-Pk) f (xlk) = e 2

!..j2; ~(det L )

dann maximal ist, wenn der Exponent minimal ist. Unter Verwendung der

bereits fUr den Zwei-Klassen Fali angegebenen Parameterschătzer kann die Zuordnungsregel hergeleitet werden.

Das Objekt mit den Ausprăgungen x wird jener Verteilung 0k (mit

k = 1, ... ,K) zugeordnet, fUr die folgende Diskriminanzfunktion minimal ist:

mit Sw =-1-f2(xn -Xk)(Xn -xk)' N -K k=ln=l

als unverzerrten Schătzer fUr L mit den Beobachtungen xn ' n = 1, ... ,Nk

aus Klasse Qk und dem arithmetischen Mittel x k der Klasse 0k' Der

ML-Ansatz ist nur dann bezUglich der bedingten Fehlerrate

&(e(x» = P(k "* e(x)lk)

mit &: Fehlerrate

e(x) : Entscheidungsfunktion

e(x) = k: das Objekt x wird der Klasse k zugeordnet

optimal, wenn die a-priori Wahrscheinlichkeiten gleich sind.


Bayes Entscheidungsregel Im Unterschied zu den obengenannten Verfahren, bei denen lediglich

Stichprobeninformationen zur Verfligung stehen, werden bei der Bayes

Regel Vorinformationen liber die Ausgangsverteilungen mit berlicksich

tigt. Dazu werden Stichprobeninformationen und a-priori Informationen

zu einer Posterioriverteilung verknli pft. Nun wird ein Objekt derjenigen

Ausgangsverteilung zugeordnet, deren Posterioriwahrscheinlichkeit am

groBten ist. Diese Posterioriwahrscheinlichkeit berechnet sich nach

Bayes als bedingte Wahrscheinlichkeit f(klx) fi.ir Klasse k bei vorge-

gebenen Merkmalsvektor x als

f(klx) = :(k)f(~k) L p(k)f(xlk) k=1

• Quadratische Diskriminanzfunktion QDA

Durch Einsetzen der Klassenverteilungsfunktionen

in die logarithmierte Form des allgemeinen Bayes Ansatzes

dk = lnp(k)+lnf(xlk)

erhălt man unter Vernachlăssigung des gemeinsamen additiven Terms

- p ln27r folgende Diskriminanzfunktionen: 2

d k (x) = -±(x- ţlkh:k1 (X- ţlk)-±ln(detLk)+lnp(k)

540 Anhang B

OberprOfung der Gleichheit der Kovarianzmatrizen

Vor dem Einsatz der Quadratischen Diskriminanzanalyse ist somit zu

prOfen, ob sich die theoretischen Kovarianzmatrizen ~k der k Klassen

unterscheiden. Damit ist folgende Hypothese zu OberprOfen:

Basis fOr diesen Hypothesentest bildet die Likelihood Quotienten-Statistik

von Neyman und Pearson (vgl. BOning (91), S.180 ff.):

2 1 N k - 2 mit Sk ==-:L(Xkn -xk)

N k n=l

K K S2 == :LNkS1 / N mit N == :LNk

k=l k=l

Unter HO ist folgende Teststatistik approximativ ,i-verteilt mit K-1

Freiheitsgraden: Lz == -Nln~

Eine Modifikation dieser Statistik (fOr den univariaten Fali 1 =1) mit

dem Ziei die ,i-Verteilung besser zu approximieren, wird beim Bartlett

Test vorgenommen (vgl. Bosch (93) S. 438ff.). Die dazugehOrige Test

statistik lautet:

2 1 K X ==-(N -K)lnS2 - :L((Nk -1)lnS1)

C k=l

1 K 1 1 mit C == 1+ :L-----

3(K -l)k=lNk -1 N-K


Diese Teststatistik ist asymptotisch X2 -verteilt mit K -1 Freiheitsgraden,

Die Nullhypothese, daB die K Varianzen gleich sind wird abgelehnt,

'It 2 2 wenn gl : X > XK-l,l-a

Box (1949) entwickelte folgenden Scaling-Faktor emit guten Appro

ximationen fUr die Anzahl von nicht mehr als funf Variablen und bis zu

fi.inf Klassen:

c = 212 +31 -1 f_1 ___ 1_ 6(1 +l)(K -lh=lNk N-K

Dieser modifizierte Bartlett-Test wird auch als Box's-M-Test bezeichnet

(vgl. Eisenblatter (88), S.26 ff). Die Statistik folgt unter HO bei 1 Merk

malen einer r-Verteilung mit 0,5 (K -1) 1 (I +1) Freiheitsgraden. Fur

K >6 und 1 >6 hat Box eine prazisere Statistik entwickelt (vgl. Altman et

al. (81), S. 94 ff,). Nach Buning (91) reagiert dieser Test empfindlich auf

die Verletzung der Annahme der Normalverteilung der Merkmale. Ais

alternativer Test wird von Buning der modifizierte Levene-Test vorge

schlagen, der in Duffner et al. (92) beschrieben ist.

• Lineare Diskriminanzfunktion LDA

Trifft man nun die Annahme, daB fi.ir die Kovarianzmatrizen der Merk

malsvariablen in allen Klassen identisch sind, 50 kann der von k unab-

hăngige Term - ..!:.ln(ctet ~k) der ODA vernachlassigt werden. Daraus 2

ergibt sich die einfachere Darstellung der sog. Iinearen Diskriminanz

funktionen (LDA):

542 Anhang B

Unter der zusatzlichen Restriktion, daB alle Merkmale die gleiche Vari

anz 5 2 besitzen und voneinander unabhangig sind L:r = 5 21 , ergibt sich

folgende einfache lineare Diskriminanzfunktion:

• Minimum - Distanz Konzepte

Ausgehend vom Fali klassenweise identischer Kovarianzmatrizen mit

den Diskriminanzfunktionen

erfolgt bei gleichen a-priori Wahrscheinlichkeiten die Zuordnung auf

grund der quadrierten Mahalanobis-Distanzen:

Unter der zusatzlichen Voraussetzung, daB alle Merkmale gleiche Vari

anzen besitzen und voneinander unabhangig sind, ergibt sich folgende

auf euklidischer Distanz basierende Regel:

(Vergleiche aDA und LDA)


B.2.3 Nichtparametrische Verfahren

In der Praxis sind die fUr parametrische Verfahren notwendigen Voraussetzungen selten erfGIlt. Eine explizite Annahme Gber die Verteilung der

Merkmale, z.B. Normalverteilung, kann nicht getroffen werden. Ein Weg

aus dieser Problematik besteht darin, die Verteilung der Merkmale in

jeder Klasse J(xlk) mit nichtparametrischen Methoden zu schătzen.

Eine andere Moglichkeit besteht darin, mit einer Năchste-Nachbarn Re

gel ei ne randomisierte Zuordnung mit angenăhert diesen a-posteriori

Wahrscheinlichkeiten f(xlk) ins Blickfeld zu nehmen.

Kern-Dichteschătzung bei stetigen Merkmalen

Die Grundidee dieses auf Rosenblatt(56) basierenden Verfahrens be

steht darin, um jedes beobachtete Objekt einen sogenannten Kern

(Dichtefunktion) zu legen, dessen maximaler Wert eben bei diesem ent

sprechenden Merkmalsvektor liegt. Die Dichte der Klasse Qk wird ge

schătzt, indem die Werte der dort befindlichen Kernfunktionen aufsum

miert werden. Ais Kernfunktion kann jede unimodale Dichtefunktion ge

wăhlt werden.

Meist werden symmetrische Kernfunktionen gewăhlt, mit der Gleich

verteilung Gber einem Intervall der Lănge 2h erhălt man:

](xlk)=_l ~K(X-Xkn) N k n=l 2h

mit: - GIăttungsparameter: h

544 Anhang B

{I'

- Kernfunktion K (u) =

0,

falls lui <h

falls lui ~h - beobachtete Merkmalsvektoren in der Klasse k: x/en mit n = I, ... ,Nk

f (x \n k)

K ( X k 1)

K ( X k2)

K (X k3)

• •

•

Bild B3: Kernschătzung nach Rosenblatt

Die geschătzte Dichte Î(xlk) ergibt sich somit aus der gemittelten

Summe vieler einzelner Verteilungsdichten. FUr den multivariaten Fali gilt folgende Gleichung der Dichteschătzung:

Um asymptotische Konsistenz und Unverzerrtheit des Dichteschătzers

zu erreichen, mUssen an die Kernfunktionen und GIăttungsparameter

eine Reihe von Bedingungen geknUpft sein (vgl. Hand(81), S. 24 ff.;

Bretzger (91), S. 205 ff.). Der GIăttungsparameter 5011 fUr wachsenden

Stichprobenumfang gegen Null konvergieren (S.Fukunaga(72); Devi

jver/Kittler(81». Durch diese Eigenschaften sind diese Ansătze den pa

rametrischen Verfahren theoretisch Uberlegen, da sich die geschătzte

Dichtefunktion der wahren, jedoch unbekannten Dichte asymptotisch


nahert. Dazu sind verschiedene Kerntypen moglich, mit Verwendung der

Normalverteilung ergibt sich folgende Darstellung:

Ais Glattungsparameter schlagt Fukunaga folgende vom Stichpro

benumfang abhangige GroBe vor:

h - N-slI k - k mit 0< S < 0,5

Der Vorteil dieses Parameters liegt im geringen Rechenaufwand, da die

einzelnen Merkmalswerte der Beobachungen nicht berucksichtigt werden

mussen. Weitere Ansatze, die Beobachtungswerte berucksichtigen, wer

den bei Habbema(74), Van Ness/Simpson(76) oder Van Ness(80) vor

gestellt.

Nachste-Nachbarn Verfahren

Im Rahmen der Darstellung von verteilungsfreien Verfahren sind neben

der Dichteschatzung mit Kernfunktionen ebenso die Nachste-Nachbarn

Verfahren zu erwahnen. Erstmals wurden diese Verfahren von Fix und

Hodges 1951 vorgestellt. Zur Analyse von Kreditrisiken wurden diese

Verfahren u.a. von Luneborg(81), Bretzger(91), Shagaghi(95) und Fahr

meir et al. (95) getestet. Dabei konnten zum Teil gute Klassifikationer

gebnisse erzielt werden, wenn die Anzahl der zu berucksichtigenden

Nachste-Nachbarn optimiert wird. Da bei jeder Klassifikation der ge

samte Datenbestand abgesucht werden muB, werden im allgemeinen die

daflir erforderlichen hohen Rechenzeiten als Nachteil dieser Verfahren

genannt.

546 Anhang B

Beim Minimale-Distanz Konzept wird eine Beobachtung x derjenigen

Klasse zugeordnet, der der nachste Nachbar von x angehort. Der nach

ste Nachbar XL wird durch folgendes Kriterium ermittelt:

d(x,xL ) = min d(x,xn ) n=l •...• N

Die Erweiterung dieses Ansatzes besteht darin, die Anzahl der zu be

trachtenden nachsten Nachbarn zu vergroBern. Seien unter den 1 nach

sten Nachbarn von X jeweils nk aus der Klasse k, dann wird die Beob-

achtung derjenigen Klasse k * zugeordnet, fUr die gilt:

Im Falle ungleicher Klassenaufteilungen und StichprobengroBen werden

die Stichprobenumfange N k und die a-priori Wahrscheinlichkeiten p(k)

mit einbezogen, sodaB gilt:

• n, n p(k )_k_ = max p(k)_k

N k , k=l •...• K N k

Zur Festlegung der Anzahl der Nachbarn in Abhăngigkeit von der GroBe

der Klassen sowie zur Gewichtung anhand der Distanz zum zu klassifi

zierenden Objekt X wird an dieser Stelle auf Duda/Hart(73), HiIIs(67)

und Peterson(70» verwiesen.

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