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333
Anhang
Bilanzstatistik deutscher Banken 1993-2000 .............................................................................. 334
Obersicht Eigenkapitalanforderungen gem. §§ 10, II KWG i.V.m. Grundsatz I BAK ............................................................................................................... 336
Ubersicht der Vorschliige zur Anpassung der Risikogewichte fur Kredite im erweiterten Standardansatz des Basler Ausschusses fur Bankenaufsicht vom Juni 1999 und Januar 2001 (Basel II) ........................................................................................................ 337
Vergleich kreditrisikobehafteter Renditestrukturen von Verbriefungsformen in Abhiingigkeit von rechtlicher Verselbstiindigung und Haftung des Originators ............... 338
Bestimmung von Grenzportfolios ohne risikofreiem Finanztitel ................................................ 339
Bestimmung von Grenzportfolios mit risikofreiem Finanztitel .................................................. 342
Bestimmung von Grenzportfolios ohne risikofreiem Finanztitel und fester Volumensrestriktion eines risikobehafteten Finanztitels .................................. 345
Bestimmung von Grenzportfolios mit risikofreiem Finanztitel und fester Volumensrestriktion des risikofreien Finanztitels ............................................ 351
Bestimmung der Risikopriiferenzfunktion bei unbeschriinkter und beschriinkter Haftung ......... 357
Bestimmung des Investitionsvolumens im Modell von Froot et al. (1993) ................................ 360
Bestimmung der optimalen Portfoliostruktur im Modell von Froot/Stein (1998) ...................... 362
Eigenschaften der Konkurskostenfunktion bei normalverteilten Portfoliorenditen und konstanten Konkurskosten im Konkursfall ................................................................. 368
Voraussetzungen fur ein konstantes systematisches und marginales Investitionsrisiko ............. 371
33-1
Bilanzstatistik deutscher Banken 1993-2000:
Aktiva in Mrd. Euro
Bestand 1993 2000 CAGR
Kasse 14.257 16.060 2% Zentralbankguthaben 38.590 51.003 4% Postqiro 453 0 -100% Liquiditat 53.299 67.063 3%
Schatzwechsel 5.339 4.850 -1% Wechsel 4.728 7.779 7% Schuldverschreibungen 445.253 960.625 12% Aktien u.a. n.verz. Wertpapiere 40.627 210.267 26% Wertpapiere 495.947 1.183.521 13%
Beteiligungen 23.949 37.198 6% Anteile an verb. Unternehmen 21.965 92.887 23% Beteiligungen 45.914 130.085 16%
Interbankverbindlichkeiten 806.004 1.497.307 9%
Kredite an Nichtbanken 1.779.497 2.942.901 7%
T reuhandvermiigen 62.031 84.750 5% Ausgleichsforderungen 38.570 33.070 -2% Sachanlagen 27.188 38.247 5% ubrige Aktivposten 41.879 171.374 22% Sonstige Aktiva 169.669 327.441 10%
Gesamt 3.350.330 6.148.318 9%
Eventualverbindlichkeiten Wechsel 26.810 281 -48% Burgschaften 125.914 218.031 8% unechte Pensionsgeschii.fte 286 789 16% Gesamt 153.011 219.101 5%
Risikoaktiva* 1.940.698 3.242.362 8%
• Kredite an Nichtbanken + 20% Interbankenverb.
QueUe: Bundesbank (200le), S. 6f.
335
Bilanzstatistik deutscher Banken 1993-2000 (Forts.):
Pass iva in Mrd. Euro
Bestand 1993 2000 CAGR
Verbindlichkeiten ggO Banken 826.982 1.769.439 11%
Siehl- und Termineinlagen 896.543 1.541.063 8% Spareinlagen 449.361 585.212 4% 8E.arbriefe 115.178 100.636 -2% Depositen 1.461.081 2.226.911 6%
Verbriefte Verbindl. (Anleihen) 667.022 1.432.138 12% Treuhandverbindlichkeiten 62.031 84.750 5%
Wertberichtigungen 26.590 19.764 -4% ROeksteliungen 32.755 49.358 6%
Naehrangige Verb. (2. Klasse) 24.672 77.406 18% GenuBrechtskapital (1. Klasse) 11.669 30.679 15% Ausgew. Erganzungskapital 36.341 108.085 17%
Fonds fur allgemeine Bankrisiken 52 5.861 97% gezeichneles Kapital 33.221 55.728 8% Rueklaaen 91.507 166.198 9% Kernkapital 124.780 227.787 9%
Sonstige Passiva 112.748 230.086 11%
Gesamt 3.350.330 6.148.318 9%
"Tier-1 Ratio"· 6,43% 7,03% 1% "Tier-2 Ratio"·· 1,87% 3,33% 9% "Total Leverage Ratio" 4,81% 5,46% 2%
• KernkaprtaliRisikoaktiva
•• ausgewiesenes Erganzungskapital/Risikoaktiva
.... (Kernkapital+ausgew. Erganzungskapital)/Risikoaktiva
Quelle: Bundesbank (2001c), S. 8f.
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Ubersicht Eigenkapitalanforderungen gema8 §§ 10, 11 KWG i.V.m. Grundsatz I BAK:
BuchwerV Nominalwert
GewichtungslakIer
• Bilanzaktiva. insbes. Kre<f~e 1000/.
• Kreditleihe 100,),. • N;cht IWndbare Kred~zusagen SO')'.
• Handelsbezogen e Eventual"arb. < 1 Jahr 20'l'.
• Kimdbare Kredltzu· sagen 0'10
Kernkap~al
EingezaMes Kap~a1 • DHene Aucl<tagen • Einbehaltane Gewinne • Einlagen stiller Gesellschattar • Sonderposten fur allgemeIne
Bankrislken Eigene AklieniGeschMtsant. Entnahmen/Kred~e haltende GesellsChahar Schuldenuberhang hahende GesellsChaher Verlusle inkl. nicht ausgewiesene Immalerielle VenmOgenswer1e M arktunUblich a Kred~e an Ges. mit mehr aIs 250/. Kapitalantail
Kred~
aquivalent
Adressengewicht
• OHentliche Haushalte von DECD·Landern 0,),.
• DECO·Banken 20% • Realkr9dita 50'10 • Kredita von Bausp. 70')'. • PrivaJWirtsChaltl.
Unternehmen und PrivaJpersonen 100%
Erganzungs· kapitall . Klasse
1m ••. I OO'l'. d . Komkltj)rtals)
Vorsorgereserven • Nau bewertungsreserven -+ Kumulative Vorzugsaktien + §6b EStG·Aucklagen • GanuBrechtskapitai
Quelle: Hartmann-WendeIs et aI. (2000), S. 366ff.
Risikogewichtete Akliva
Mindeslquele 8% (Cooke· Ratio)
Erganzungskapitat 2. Klass8
1m ... 50'l'. d . KomkopoUIs)
Langerfristige. nacho rangige Verblndlic:hkeitan
• Hattsummenzuschlag bei Kreditgenossenschalten
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Ubersicht der Vorschliige zur Anpassung der Risikogewichte des Basler Ausschusses mr Bankenaufsicht gemiill Standardverfahren vom Juni 1999 und Januar 2001 (Basel II):
Risikogewichte in Abhangigkeit des Ratings In % des Kred~volumens
Abzug v. hEK"
150%
100%
50%
20%
0%
""'F=-
. -, _. _. -'
--- -, . uu~ • • ~ ••••••
= . -_' -_ _ _ _ _ _ . _ UngaraJete
~,u'."""""""""' " Banken unci Opt.on A; Unternel'1 men Underrating IisrBank
~ ____ -"Option B: •••••••••••••• IndiividveiJes
B~kraMg
AAA 1 + AA ·1 + A - 1+ BBB ·1 + BS -I + B - eee
Oirekter Abzug vom haftenden Eigenkapital •• S&P·Nomenklatur
Bisherige Risikogewichte in Klammern
Quelle: Bundesbank (2001b), S. 20.
Legende:
- • - ASS (1 00%',
-- Unterehmenl Nicht·OECO· Lander (1 00%)
- - - OECD· Banken (20%)
···· · ···· OECD· Lander (0%)
Rating"
338
Vergleich kreditrisikobehafteter Renditestrukturen von Verbriefungsformen in Abhiingigkeit von rechtlicher Verselbstiindigung und Haftung des Originators:
U) ... 0 -C\l ,5 Cl ''::: 0 iii CII
" Cl C :s iI:: C\l :I:
Rechtliche Verselbstandigung der Aktiva (Bankruptcy Remoteness)
Bilanzielle Aur.,erbilanzielle Verbriefung Verbriefung
Asset-backed Bonds Recourse Asset-backed Securities
PO AB8 PORABS Zahlungs-{'+FABB • ';;0=1 _f+FRABS ' i'p""'+i'R«.o?FRABS garantie = 1+Min[rp5t'l:'+fRt'C,o-rKK;rABsJ,iiJo=o - 1 + FpSt>c + rRf'(.'.a. YpSd' + rRrc.O < FlUBS /\ dio :: 0
Synthetic Asset-backed Securities True-sale Asset-backed Securities
POTSABS POSABS Haftungs-{ POWBS. ausschlur., -f +rTSABS '
FpS« + rCE ,"2: rTSABS wa =1 - 1 +PpSft: +rc£> Fp5.!c + rCE < rTSABS = Min [rLQ +rRe"o -rKK ; POTSABS J. ';;0 =0
Legende: PO efTektiver Pay-otT ;r KreditpoJ1foliorendite lOo Solvenzzustanddes Sponsors
'Rh:,O Recovery-Value des Sponsors
'KK Konkurskosten des Sponsors
Nominalverzinsung 'eE Credit Enhancement
'LQ Liquiditat im SPY
Quelle: Abschnitte 2.3.3.1-2.3.3.4. in Teil II,
339
Bestimmung von Grenzportfolios obne risikofreiem Finanztitel: 778
Gegeben sei ein Anfangsbudget b, welches auf N risikobehaftete Finanztitel derart aufgeteilt
werden solI, daB sich am Periodenende flir einen gegebenen Erwartungswert des Portfolioge
winns eine minimale Varianz und somit ein Grenzportfolio ergibt. Es existieren keine Restrik
tionen hinsichtlich einzelner Position und das Shorten von Positionen ist in beliebigem Umfang
moglich. Der gesuchte Positionsvektor x p ist somit die Uisung des folgenden Gleichungs
systems:
Min
s.t.
I T -x LX 2
mit L als positiv-definiter N x N Rendite-Kovarianz-Matrix riskanter Finanztitel,
E als N xl Vektor ihrer erwarteten Renditen,
(A.l)
f.l pals erwartetem, absolutem Portfoliogewinn, flir den die Varianz zu minimieren ist,
1 als N x I Vektor mit ausschlieBlich I als Elementen.
Die Lagrange-Form dieses Optimierungsproblems lautet:
(A.2)
Da die Kovarianz-Matrix L positiv-definit ist, ergeben sich als hinreichende und notwendige
Bedingungen flir ein Maximum aus den ersten partiellen Ableitungen:
dL --=Lxp-AE-yl=O, dX
dL r -=f./p -xpE=O, dA
dL r--=b - xp I =0. dY
Aus (A.3a) folgt flir x p :
(A.3a)
(A.3b)
(A.3c)
xp = AL-1E + YL-1l (AA)
-T und daraus wiederum durch Premultiplikation mit ET bzw. lund Beachtung von (A.3b) so-
wie (A.3c):
778 Vgl. Merton (1972). S. 1851ff .. HuangILitzenberger (1988). S. 63ff.
3.;0
-T -T -T-I Xp = Al [E + yl [-II = b.
Aus (A.5a) und (A.5b) berechnen sich;' und y zu:
_B_b_-_A.!...f.1.!...p y= D
(A.5a)
(A.5b)
(A.6a)
(A.6b)
mit A = t [-I E, B = ET[-l E, C = t [-11. D = BC - A2 , wobei B, C > 0, da [ positiv definit
und D > 0, da (AE - Bi/ E -1 (AE - Bi) = B(BC - A 2) = BD > O. Einsetzen in (AA) liefert als
Losung fur x p :
Xp = Cf.1p - Ab [-IE +_B_b_-_A.!,..f.1.!...p [-11 D D
= ~[ B([-11)- A (E-IE)] + ~ [ C(E-IE)- A ([-11)] (A.7)
= gb+hf.1p, g,h= const.
Demnach ist die Menge aller Grenzportfolien eine lineare Funktion tiber den erwarteten Portfo
liogewinn f.1p und das Anfangsbudget b.
Ftir b = I gilt:
(A.S)
Dies beschreibt die auf die GroBe I nonnierten Grenzportfolios, so daB der Vektor x prozentua
Ie Portfolioanteile ausdruckt und der erwanete Portfoliogewinn f.1 p der Portfoliorendite
f.1 p I b = f.1 p entspricht. gist in diesem Fall das Grenzportfolio bei einer erwarteten Portfolio
rendite von f.1p = O. Die Menge aller Grenzportfolien in der J.l-cr-Ebene berechnen sich fUr die
sen Fall aus der Definition der Varianz der Portfoliorendite:
(A.9a)
f.1p =1±~~( a~ - ~ l (A.9b)
Dies entspricht einer Hyperbel mit (.J1iC, AIC) als Mittelpunkt bzw. Minimum-Varianz
Portfolio und A I C ± .J D I Cap als Asymptoten:
3-11
Linie der Grenzportfolien ohne risikofreien Finanztitel*
o4---------~----~~~------------------~
et 0.. 1 als nonnaJislIB'rtem Fat.
Ais besonderer Fall ergibt sich schlieBlich noch fUr b = 0:
xp = h}1p. (A.ID)
Dies beschreibt den Fall eines Portfolios ohne Anfangswert, bei dem sich die Portfolioanteile zu
Null addieren. In diesem Fall sind die Positionswerte risikobehafteter Finanztitel der Grenz
portfolien ein Vielfaches des erwarteten Portfoliogewinns.
3-12
Bestimmung von Grenzportfolios mit risikofreiem Finanztitel: 779
Gegeben sei ein Anfangsbudget b, welches auf N risikobehaftete Finanztitel und einen risiko
freien Finanztitel derart aufgeteilt werden solI, daB sich tiber eine Periode flir einen gegebenen
Erwartungswert des Portfoliogewinns eine minimrue Varianz und somit ein Grenzportfolio er
gibt. Es existieren keine Restriktionen hinsichtlich einzelner Positionen un das Shorten von Po
sitionen ist in beliebigem Umfang moglich. Der gesuchte Positionsvektor xp ist somit die LO
sung des folgenden Gleichungssystems:
sJ.
mit r. rus positiv-definiter N x N Rendite-Kovarianz-Matrix riskanter Finanztitel,
E als N x I Vektor ihrer erwarteten Renditen,
(All)
/1 p rus erwartetem, absolutem Portfoliogewinn, flir den die Varianz zu minimieren ist,
I rus N x 1 Vektor mit ausschlieBlich I rus Elementen.
Die Lagrange-Form dieses Optimierungsproblems lautet:
(AI2)
Da die Kovarianz-Matrix positiv-definit ist, ergeben sich die hinreichenden und notwendigen
Bedingungen flir ein Minimum aus den ersten partiellen Ableitungen:
(A. 13a)
(A13b)
mit P = (E -irf) rus Vektor der erwarteten Risikoprlimien gegeniiber dem risikofreiem Fi
nanztiteI. Aus (Al3a) folgt fur x p:
Xp = ii.r.-1p.
Auflosen von (Al3b) nach x~P und Einsetzen von xp in (AI4) ergibt:
ii. = /1p -brf = /1p -brf pTr.-lp H
779 Vgl. Menon (1972). S. 1863ff .• Huang/LilZenberger (1988). S. 76ff.
(AI4)
(AIS)
3-13
mit H = prr.- I p > 0, da [ positiv-definit. Einsetzen in (A.14) liefert als U:isung flir xp:
(A. 16)
Demnach ist die Menge aller Grenzportfolien wie im Fall ohne risikofreien Finanztitel eine li
neare Funktion liber den erwarteten Portfoliogewinn Jip und das Anfangsbudget b.
Flir b = I gilt:
(A. 17)
In dies em Fall entspricht wiederum aufgrund der Normierung des Portfoliovolumens der Port
foliogewinn der Portfoliorendite Ji p I b = Ji p. Die Positionswerte aller risikobehafteter Finanz
titel der Grenzportfolien sind dann ein Vielfaches der Risikopramie gegenliber dem risikofreien
Finanztitel.
Die Orte aller Grenzportfolien in der Il-cr-Ebene bestimmen sich aus der Definition der Varianz
der Portfoliorendite:
(A.18a)
(A.18b)
Dies entspricht zwei Halbgeraden mit (O,rf) als Schnittpunkt mit der Il-Achse und einer Stei
gung von ±.fii, von denen flir rf < A I C der obere bzw. flir r f > A I C der untere Hyperbe
last aus (A. 9b) in x p = xr tangiert. Flir die obere Halbgerade mit .fii als Steigung gilt
JH=~prr.-lp=~+rc(~-rf ) (A.19)
aufgrund von R = (£ - rf 1) mit A, C, D aus (A.6a) und (A.6b). Die Steigung ist somit propor
tional zum Abstand zwischen dem Erwartungswert des Minimum-V arianz-Portfolio
Ji,IfV = A I C der Hyperbel aus (A.9b) und dem risikofreien Zins rf' Die Portfolioanteile des
Tangentialportfolios lassen sich aus def Budgetfestriktion b = 1 sowie (A.14) herleiten:
Xr = A(Xr )[-1 p
1 A(Xr )=---
A-Crt
[-IR xr =---=
A-Crt
/\ r-
xr I = I
(A.20a)
unter Beriieksiehtigung der Tatsaehe, daB 11 .'.II' = A / C als Erwartungswert und 0 .'.If' = I / C als
Standardabweichung des Minimum-Varianz-Portfolios der Hyperbel aus (A.9b). Erwartungs
wert I1r und Standardabweichung 0 r des Tangentialportfolio sind somit:
(A20b)
(A20e)
Linie der Grenzportfolien mit risikofreien Finanztitel*
lip
o~----~~--~----~~~--------------------~ (]MV .1/..JC (]p(x,.~xJ"
~
Fi.ir den besonderen Fall b = 0 gilt sehliel3lich noeh:
(A21)
In diesem Fall sind wiederum alle Positionswerte risikobehafteter Finanztitel der Grenzportfo
lien ein Vielfaehes des erwarteten Portfoliogewinns,
345
Bestimmung der Grenzportfolios ohne risikofreiem Finanztitel und fester Volumensrestriktion eines risikobehafteten Finanztitels:
Gegeben sei ein Anfangsbudget von b = 1, welches auf N risikobehaftete Finanztitel derart auf
geteilt werden solI, daB sich iiber eine Peri ode fUr einen gegebenen Erwartungswert der Portfo
liorendite eine minimale Varianz und somit ein Grenzportfolio ergibt. Dabei existiert fUr den
ersten Finanztitel eine feste Positionsrestriktion von Xl = x~. Die iibrigen Positionen X 2 ••. X N
kiinnen weiterhin frei gewiihlt werden, insbesondere ist fUr diese auch das "Shorten" in beliebi
gem Umfang miiglich. Der gesuchte Positionsvektor X 2N ist somit die Liisung des folgenden
Gleichungssystems:
s.t.
mit a} als Varianz der Rendite des restriktierten, risikobehafteten Finanztitels,
el als dessen erwarteter Rendite,
(A.22)
L I•2N als (N -I) xl Vektor der Rendite-Kovarianzen zwischen restriktierten und
unrestriktierten, risikobehafteten Finanztiteln,
L als positiv-definiter (N -I) x (N - I) Rendite-Kovarianz-Matrix derselben,
E als (N - I) xl Vektor ihrer erwarteten Renditen,
JJP als erwarteter Portfoliorendite, fUr den die Varianz zu minimieren ist,
I als (N -I) xl Vektor mit ausschliel3lich 1 als Elementen.
Die Lagrange-Form dieses Optimierungsproblems lautet:
Da aile Renditen nicht kolinear sind, ist die Kovarianz-Matrix aus (A.22) bzw. (A.23) positiv
definit. Es folgt aus den ersten partiellen Ableitungen als notwendige und hinreichende Bedin
gungen fur ein Maximum:
(A.24a)
(A.24b)
3-16
ill 'r -ilr = 1- XI - X2N I = O. (A.24c)
Aus (A.24a) berechnet sich xu,:
'",-I '" 1 ,<,-I E ",-I-I X2N = -XI "-1.2.11'"-2.11' + 11.""'1.2.11' 2N + r "-I.2N (A.25)
·r und daraus wiederum durch Premultiplikation mit Eiv bzw. 1 und Beachtung von (A.24b)
sowie (A.24c):
(A.26a)
(A.26b)
Aus (A.26a) und (A.26b) folgt:
A = ,upC'-A'-x; (A'(F'-I) - C'(G'-e l » D' '
(A.27a)
B'-A',up - x; (A'(G'-e l ) - B'(F'-I» r= D' (A.27b)
-T T -T -mit A'= I L2.~E2N' B'= E2Nr,2~E2N' C.'r= I L2,~1, D'= B'C'- A.2 wobei eben so wie flir
(A.6a) und (A.6b) B', C', D'> 0 und F'= I L;lvLI.2N' G'= EJNL;~r,1.2N'
Fund G' sind genau dann ungleich null, wenn wie flir die Ubrigen Finanztitel bereits ange
nommen, auch der fixierte Finanztitel nicht kolinear zu den Finanztiteln ist, so daB die erweiter
te Kovarianz-Matrix in (A.22) positiv definit ist. In diesem Fall sind die Bedingungen (A.24a)
bis (A.24c) gleichzeitig hinreichend und notwendige Bedingungen fUr ein Minimum.
Einsetzen in (A.25) liefert als LOsungsvektor fUr X2N :
_ ,upC'-A'-x;(A'(F'-I)-C'(G'-el » r,-I E X ZN - D' 2.11' 2.11'
B'-A',up-x;(A'(G'-e,)-B'(F'-I»L-Il_ 'L-I L + D' 2.11' XI 2.11' 1.2.11' (A.28)
= g+h,up +kx;, g,h,k=const.
Der Uisungsvektor X 2N ist dernzufolge wiederum eine line are Funktion tiber die erwartete
Portfoliorendite und zusatzlich tiber das vorgegebene Volumen x; rus Restriktion. FUr x; = 0
ist (A.28) dabei identisch zu (A.7) bzw. (A.8), da dies genau dem Optimierungsproblem mit N
I Finanztiteln ohne Portfoliorestriktionen entspricht.
Zur Bestimmung der Orte der Grenzportfolios in der Jl-cr-Ebene, laBt sich die Eigenschaft der
ersten Restriktion tiber den Erwartungswert ,u p verwenden. Demzufolge gilt:
3~7
2 • ..l.=.!.dO"p =,upC-A-x1(A(F-I)-C(G-e1»
2 dJ1p D
2 _ 2JJ1pC-A'-X; (A'(F'-l) - C(G'-e1» d O"p- D J1p (A.29)
C' 2 A'+x; (A'(F'-l) - C(G'-e1» = D' J1 p - 2 D' J1 p + Cinl.·
Zur ntiheren Bestimmung von (A.2S) ist zunachst beriicksichtigen, daB fur den Erwartungswert
,uMV Grenzportfolio mit der rninimalen Varianz gilt:
..l. = ,u.I//,C-A'-x; (A'(F'-l) - C(G'-e1 » 0 D
Einsetzen von (A.30) in (A.29) ergibt zunachst fur die Integrationskonstante:
2 C 2 _?C' 2 0".1/1' = D',uw, - D,J1,1/1' +Cint.
und somit fur O"~ bzw. ,up:
(A.30)
(A.3l)
(A.32a)
(A.32b)
Durch Einsetzen von (A.30) in (A.28) erhaIt man fur die Positionswerte x 2N,,'dV des Minimum
Varianz-Portfolios:
da ..l.(J1.'dV) = 0 und somit ftir dessen Varianz:
= X?0"12 + 2x; (y F '- x; K ')+ (YC'- 2x; yF'+ X;2 K ')
= X?(0"12_K)+YCV.
= X?(0"12_K)+{I+x;(F'-l)t
(A.33)
(A.34)
3"8
Das globaie Maximum folgt aus Nullsetzen der Ableitung von a~ in (A.32a) nach x::
dO' p da~{T' C' ( ) dJ-L}{T' -.- = --'.- - 2---; J-Lp - /1.w --.- = ° ax, ax, D ax,
x: (0',2 - H) + (F'-1)2)+ (F '-I) = ~:(J-LP - ~: +x; L)L'
• C'jD'(/1p-A'/C)L'-(F'-I) x, = a~ -H'+(F'-1)2 _L,z
(A.35)
mit L'=(A'jC'(F'-l)+(e, -G'». Entsprechend der Losung des allgemeinen Optimierungs
problems mit N riskanten Finanztiteln ohne Restriktionen gemiiB (A8) ist x; ebenfails eine li
neare Funktion iiber /1 p. Fiir den Fall, daB x, = x; Losung des globalen Optimierungspro-
blems ist, sind die optimaien Portfolien identisch.
Die Menge der Grenzportfolien in der J.!-cr-Ebene ist somit wiederum eine Hyperbel mit Mittel
punkt (O,/1MV) und Asymptoten J-LMJ' ±.J D'I CO' p, die die Linie aller Grenzportfolien als um
schlieBende Funktion aufgrund der Linearitat der Funktionen (A8) und (A.28) bei ungleicher
Steigung aufgrund der Nicht-Kolinearitat der Renditen in genau in einem Punkt
(ap(x, = x;), /1p(x, = x;» tangiert:
Linie der Grenzportfolien ohne risikofreiem Finanztitel bei Volumensrestriktion eines risikobehafteten Finanztitels
Grenzportfolien ohne Restriktion rur x,
Grenzportlolien ___ =:::::::::::~_:-::_:-::_:-::_:-:_:_-:_-:_-:_:_ m~ ReSlriktion X,= x, '
- - -----Grenzportfolien m~ Restriktion x,~ x, "
a 4-------~~~~--~--------------------------~
3-19
Die Steigung der Hyperbelasymptoten (± .J D' I C') des eingeschrtinkten Optimierungsproblems
als maximale Hyperbelsteigung ist unabhangig von der konkreten Restriktion, da sowohl C' als
auch D· unabhangig von x; sind. Weiterhin muB die Steigung der Hyperbelasymptoten des
beschrtinkten Optimierungsproblems geringer sein als die des globalen Problems (±.J DIe)
aus (A.9b), da ansonsten die Linie globaler Grenzportfolien flir den Fall, daB die Tangente mit
dem Minimum-Varianz-Portfolio der globalen Hyperbel zusammenfallen wiirde, keine um
schlieBende Funktion mehr sein konnte.
Betrachtet man die Tangentialportfolios an die globale Hyperbel, so muB mit steigendem Er
wartungswert der Tangentialportfoliorendite der Erwartungswert f.l..w des Minimum-Varianz
Portfolios der zugehorigen eingeschrankten Hyperbel zunehmen:
f.l.p(x1 = x;) > j.ip(x1 = x; ')
f.l.ur·(x;) > f.l.,I,W(X; '). (A.36a)
Beriicksichtigt man zusatzlich, ob das Tangentialportfolio auf dem oberen bzw. unteren Hyper
belast liegt, muB entsprechend die Varianz ol,(v des Minimum-Varianz-Portfolios mit steigen
der erwarteter Rendite des Tangentialportfolios steigen bzw. fallen:
/\
(A.36b)
Definiert man als Funktion t.j.ip(ap ) die Differenz zwischen den Erwartungswerten zweier
Grenzportfoliolinien mit unterschiedlichen Restriktionen x; > x;' in Abhangigkeit des Risikos:
so folgt aus der Ableitung eine steigende Differenz mit steigendem Risiko:
a p ]>0 ~(a~ - a~(x;))
(A.38)
350
Unterstellt man dariiber hinaus, daB fUr die L6sung des unbeschriinkten Problems gilt
dx l / df../ p > 0, wobei dx l / df../ p = canst. gemiiB (A.8), und somit fUr einen zunehmenden Er
wartungswert der Portfoliorendite der Portfolioanteil XI erh6ht wird, so lassen sich Riickschliis
se auf das folgende Optimierungsproblem mit nicht-strenger Nebenbedingung ziehen:
sl. xlel + XrN E2N = f../p T -
XI +x2N l=1
XI ::;x~.
(A.39)
Fiir f../p ::; f../p(xi = x;) stimmt die Linie der Grenzportfolios ohne Restriktion bis zum Tangenti
alpunkt mit dem Problem mit strikter Nebenbedingung (ap(x] = x;), f../p(x] = x;)) iiberein, da
die Restriktion nicht bindend ist. Fiir f../p > f../p(x] = x~) hingegen ist sie bindend und die
Grenzportfolios liegen auf der Hyperbel als L6sung des Problems mit strikter Nebenbedingung,
da in diesem Fall der Tangentialpunkt f../P(XI = x;) > f../p(xi = x;) und aufgrund der positiven
Steigung gemiiB (A.38) auch aile anderen Punkte dieser Hyperbel eine h6here erwartete Rendite
gegeniiber allen anderen eingeschriinkten Hyperbeln mit x; > x;' haben.
351
Bestimmung von Grenzportfolios mit risikofreiem Finanztitel und fester Volumensrestriktion des risikofreien Finanztitels:
Gegeben sei ein Anfangsbudget von b = I, welches auf N risikobehaftete Finanztitel und einen
risikofreien Finanztitel derart aufgeteilt werden soli, daB sich fiir einen gegebenen Erwartungs
wert der Portfoliorendite eine minimale Varianz und somit ein Grenzportfolio ergibt. Dabei
existiert fiir den risikofreien Finanztitel eine feste Positionsrestriktion von x j = x;. Die Posi
tionen risikobehafteter Finanztitel konnen frei gewtihlt werden, insbesondere ist fUr diese das
"Shorten" in beliebigem Umfang moglich. Der gesuchte Positionsvektor x p ist somit die Lo
sung des folgenden Gleichungssystems:
s1.
Min x
1 T -x LX 2
• r xjrj+x E=J.1p
mit L als positiv-definiter N x N Rendite-Kovarianz-Matrix riskanter Finanztitel,
E als N xl Vektor ihrer erwarteten Renditen,
(A.40)
J.1p als erwartetem, absolutem Portfoliogewinn, fUr den die Varianz zu minimieren ist,
1 als N xl Vektor mit ausschlieBlich 1 als Elementen.
Die Lagrange-Form dieses Optimierungsproblems lautet:
(A.41)
Da die Kovarianz-Matrix positiv-definit ist, ergeben sich die hinreichenden und notwendigen
Bedingungen fUr ein Minimum aus den ersten partiellen Ableitungen:
aL -ax =Lx-,.tE-yl=O,
aL . r d..1. =J.1p-xjrj-x £=0,
aL • r--=I-xj -x 1=0. ay
(A.42a)
(A.42b)
(A.42c)
352
Aus (A.42a) folgt flir x P :
Xp = ,U:-1 E + r1:- li (A.43) ·T
und daraus wiederum durch Premultiplikation mit ET bzw. 1 und Beachtung von (A.42b)
sowie (A.42c):
-T -T -T -1- • 1 xp=A.l 1:E+rl 1: l=l-xf.
Aus (A.44a) und (A.44b) berechnen sich A. und}' zu:
..1.= C J.1.p -A D
• Crr-A xf - D--,
B-AJ.1.p • B-Arf r= D xf--D-
(A.44a)
(A.44b)
(A.45a)
(A.45b)
-T -T -mit A = 1 1:-1 E, B = ET1:-1 E, C = 1 1:-11, D = BC - A2 , wobei analog zu (A.6a) und (A.6b)
B, C, D > o. Einsetzen in (A.43) ergibt als LOsung flir x p :
_(CJ.1.p-A • Crf-A) -I (B-Af.1.p • B-Arr \y-I-xp - D x f --D- 1: E + D x f D - r 1
(C II A B-A" -) (Crf-A B-Arr -) = ,...p;; 1:-IE+ D""P1:-11 -x; D 1:-IE+--D--1:-11 (A.46)
= g +hJ.1.p + kx;, g,h,k = canst.
Der Losungsvektor x P ist demzufolge wiederum eine lineare Funktion Uber die erwartete Port
foliorendite und zudem Uber das vorgegebene Volumen x; als Restriktion. FUr x; = 0 ist
(A.46) dabei wiederum identisch zu (A.7) bzw. (A.S), da dies genau dem Optimierungsproblem
mit N risikobehafteten Finanztiteln ohne risikofreiem Finanztitel und Restriktionen entspricht.
Zur Bestimmung der Linie der Grenzportfolios in dec !l-a-Ebene liiBt sich wiederum die Eigen
schaft der ersten Restriktion Uber den Erwartungswert f.1. p verwenden. Demzufolge gilt:
(A.47)
353
Zur Lbsung von (A.47) ist wiederum zu beriicksichtigen, daB ftir den Erwartungswert flMV des
Grenzportfolios mit der minimalen Varianz gilt:
A=fl\fvC-A-x~(Crf -A) 0
D
Durch Einsetzen von (A.48) in (A.47) errechnet sich die Integrationskonstante:
und somit wiederum (j~ bzw. flp:
(A.48)
(A.49)
(A.50a)
(A.50b)
Einsetzen von (A.48) in (A.43) unter Beriicksichtigung von A = 0 ergibt fUr die Positionswerte
Xw des Minimum-V arianz-Portfolios
(A.51)
und somit fUr dessen Varianz:
(j~. = X~vL.x.Mr (1- Xf' )2 -T T -
= ---I L-1 n:-11 C2
(A.52)
1 • , = C(l--'j)"·
35-1
Die Orte moglicher Minimum-Varianz-Portfolios in der Il-cr-Ebene in Abhangigkeit der Portfo
liorestriktion ertnitteln sich durch Auflosen von (A.48) nach x j und Einsetzen in (A.52):
(A. 53)
Daraus folgt, daB die Menge aller Minimum-Varianz-Portfolien eine lineare Funktion in der 11-
cr-Ebene bildet, die die Il-Achse flir x j = I in r I schneidet und flir x j = 0 identisch mit dem
Zentrum (.JliC, A I C) der Hyperbel aus (A. 9b) ist, die die Losungsmenge aller Grenzportfo
lien des globalen Optimierungsproblems mit N risikobehafteten Finanztiteln ohne risikofreien
Finanztitel darstellt. Fiir den allgemein anzunehmenden Fall, daB r I < A I C ist, so daB sich ei
ne Tangente an den oberen Hyperbelast aus (A.9b) ergibt, ist die Steigung der Funktion aus
(A.53) aufgrund von rl - A I C < 0 dabei positiv.
Das globale Maximum errechnet sich aus der Ableitung von a~ in (A.50a) nach x j:
aa2 aa 2 C aJ.1. --p =~-2-(J.1. -J.1. )~=O a • a • D P .wv a' XI XI XI
(I-;j) = ~[(J.1.P -~ Irl -~ )-xj(rj -~ J] (A. 54)
x' _Z-%(J.1.p-~rrl-~) I - ~ _ C (r I _.:! Y .
CDC /
Entsprechend der Losung des allgemeinen Optimierungsproblems mit N riskanten und einem
risikofreien Finanztitel ohne Restriktionen in (A.21) ist x j eine lineare Funktion iiber J.1. P , wo
bei x j mit steigendem Portfolioerwartungswert rallt, soweit r I < A I C. Die Linie der Grenz
portfolien ist in diesem Fall die Gerade aus (A.18b).
Die Linie der Grenzportfolien in der Il-cr-Ebene ist somit wiederum eine Hyperbel mit
J.1.l>fV ±.JDICa.wv als Asymptoten, die die Linie aller Grenzportfolien als umschlieBende
Funktion aufgrund der Linearitat der Funktionen in (A.17) und (A.46) bei ungleicher Steigung
in genau dem Punkt tangiert, in dem x I = 1-LJ X j = x j Losung des globalen Optimie
rungsproblems ist:
355
linie der Grenzportfolien mit risikofreiem Finanztitel mit Volumensrestriktion
NC ..
"
O'p(x,= "1') O'p(x,= "1')
...........
1/.JC
... -"'--
Grenzportiolien ohne ReSlriklion fur X,
Grenzportiolien m ~ ReSlriktio n x," <0
Grenzportiolien mit Restriktion X, "=0
..... -_ ... ---- linie der Minimum· Varianz·Portiolien
(O'w(x,). Ilw("1»
Gemiil3 (A.54) entfemt sich die Tangente an die Effizienzlinie des globalen Optimierungspro
blems in der Il-cr-Ebene vom Schnittpunkt mit der Il-Achse mit abnehmendem x; fUr
rr < A Ie. Gleichzeitig steigen gemiil3 (A.48) und (A.53) der Erwartungswert und die Stan
dardabweichung des zugehorigen Minimum-Varianz-Portfolios an, d.h.,
x; < x; , => f-Jp(xr = x;) > f-Jp(xr = x; ) /\
=> /\
ap(xr = x;) > ap(xr = x;)
aMV(x~) > aMV(x;).
(A.55)
Definiert man als Funktion /':,.f-Jp(ap) die Differenz zwischen den Erwartungswerten zweier
Grenzportfolien mit unterschiedlichen Restriktionen x; < x ~ , bei gleichem Risiko
so ergibt sich aus der Ableitung eine steigende Differenz mit steigendem Risiko:
d/':,.f-Jp(ap) (D[ a p
dap =VC ~(a~-a~v(x;)) (A.57)
da aMV(x;»aMV(x;') gemiil3(A.55).
356
Hieraus lassen sich Riickschliisse auf das folgende Optimierungsproblem mit nicht-strenger
Nebenbedingung ziehen:
51.
Min x.x,
Xlrl +xT E = J.1p
TxI+xl=1
x~'?' XI ? x~.
Es lassen sich drei Abschnitte fUr die Linie der Grenzportfolios unterscheiden:
(A. 58)
I. Fiir J.1p < J.1p(x I = x~) stimmt die Linie der Grenzportfolios ohne Restriktion bis zum Tan
gentialpunkt (a p(x I = x~), J.1p(x I = x~) mit dem Problem bei strikter Nebenbedingung
X j = x ~' iiberein, da erstens der Tangentialpunkt Losung des globalen Optimierungspro
blems somit einen hoheren Erwartungswert aufweist, als die Losung des Optimierungspro
blems mit jeder strengeren Restriktion x ~ "< x ~ " und da zweitens aufgrund von (A.57) mit
fallendem Risiko der positive Abstand der erwarteten Renditen weiter ansteigt.
2. Fiir J.1p(x I = x~) 'S, J.1P 'S, J.1p(x I = x~) hingegen ist die Restriktion nicht bindend und die
Grenzportfolios liegen auf der Halbgeraden des globalen Optimierungsproblems ohne Ne
benbedingung als umschlieBende Funktion.
3. Fiir J.1P > J.1p(x I = x~) schlieBlich gilt in umgekehrter Argumentation zu 1., daB ab dem
Tangentialpunkt (ap(xj =x~), J.1p(xl =x~» die Linie der Grenzportfolios wiederum der
mit Lasung des Optimierungsproblems mit strenger Nebenbedingung x j = x ~ iiberein
stimmt, da erstens der Tangentialpunkt Losung des globalen Optimierungsproblems somit
einen hoheren Erwartungswert aufweist, als die Losung des Optimierungsproblems mit jeder
strengeren Restriktion x ~"> x ~, und da zweitens aufgrund von (A.57) mit zunehmenden Ri
siko der positive Abstand der erwarteten Renditen weiter ansteigt.
357
Bestimmung der Risikopraferenzfunktion bei unbeschrankter und beschrankter Haftung:
Ein Wirtschaftssubjekt maximiere den Erwartungsnutzen iiber ein normalverteiltes Endverm6-
gen WI - N(Jiw; (J w) mit kumulierter Verteilungsfunktion F(W1 ). Als Nutzenfunktion
U (WI) sei eine Exponentialfunktion mit konstanter absoluter Risikoaversion r A > 0 ange
nommen:
(A.59)
Der Erwartungsnutzen ist dann
(A.60)
Es gilt nun flir die charakteristische Funktion einer normalverteilten Zufallsvariablen x mit
Erwartungswert Jix und Standardabweichung (J x:
"'f il dF( -) oof il I -~ i-:;x r d-e x = e r::;-e x (Jx" 21!
. I (i-!1xJ2 I 00 xl----= --- f e 2 rJx di
(JxJi; _00
1(_ 2)2122 1 ct) - X-(j.J +tcr -/I t+-[ a-f 2 x x ,-x 2 x = ___ e2rJx eli
(JxJi; _00
(A.61 )
da der Ausdruck in Klammem das Integral iiber die Dichtefunktion einer normalverteilten Zu
fallsvariablen mit Erwartungswert Ji x + t(J; und Standardabweichung (Jx darstellt und daher 1
istJ80 Es gilt somit ftir den Erwartungsnutzen:
(A.62)
780 Vgl. Freund (1992), S. 237f.
358
Da WI prinzipiell beliebige groBe und kleine Werte annehmen kann, laBt sich (A.62) als Risi
kopraferenzfunktion bei unbeschrankter Haftung interpretieren,781 Aufgrund der Monotonie
von U(.) gilt oE(U(WI » / Of.1w > 0 und oE(U(W,» / oO'~ < O. Die Isonutzenlinien in der Il-O'
Ebene sind somit streng konvex tiber O'w'
Unterstellt man altemativ, daB WI zwar weiterhin normalverteilt ist, jedoch aufgrund einer Haf
tungsbeschrankung keine negativen Werte annehmen kann, und nimmt gleichzeitig C = 1 an, so
daB
(A.63)
dann entpricht der Erwartungsnutzen dem folgenden Integral tiber die positiven Werte von WI bzw. U(WI ):
E(U(WI »)= fU(W, )dF(WI ). (A.64) o
Substituiert man WI =J.lw +O'w5 mit 5 - N(O;!}, dann laBt sich der Erwartungsnutzen auch
als Integral tiber 5 ausdriicken:
"" E(U(Wj})= f U(f.1w +O'wi)dFN(i)
_f.lw
I'w
ow f U(J.lw -O'wi)dFN(i)
(A.65)
mit FN (5) als kumulierter Standardnormalverteilungsfunktion. Da U(f.1w - O'w5} > 0
'v' i < f.1w /0' w und gleichzeitig dF N (5) > 0 aufgrund der Monotonie der Verteilungsfunktion,
folgt:
(A.66)
Auch bei beschriinkter Haftung ist aufgrund der Normalverteilungsannahme der Erwartungs
nutzen ausschlieBlich von den ersten zwei Momenten der Verteilungsfunktion von WI ab
hangig. Ftir die Abhangigkeit von f.1w gilt wie im Fall der unbeschrankten Haftung:
(A.67)
781 Vgl. Rochet (1992), S. 1157. Das Interpretationsproblem flir negative Vermogenswerte W, soli hier nicht n.her disku
tiert werden. Die Annahme normalverteilter Renditen mit der Moglichkeit beliebig negativer Rendite" entspricht einem der wesentlichen Probleme im CAPM. Vgl. Ingersoll (1987), S, I03f.
359
da U(O) = 0, aU(f.1w - awlf) / af.1w > 0 und dFN (i) / dlf > O. Fiir die Ableitung nach a w gilt
entsprechend:
f.1w U( f.1w Jf (f.1W J <7fW au dF (-) - <7fW au dF (-) --2 f.1w - a w - N - + -- N [; - -- N [; a w a w a w _00 aaw _00 aaw
(A.68)
mit au - -r (" -<7 if) --=-YA[;e' rw w
aaw
Urn die Abhiingigkeit von a w niiher zu untersuchen, seien die Grenzwerte der Ableitung nach
a w betrachtet. Fiir a w -+ 0 ergibt sich:
lim O'w-rO
PW
lim O'w~O
<7J ~FN(e) -00 aaw
s: 0 + aU(E(e» aaw
lim o'W~o
Pw
<7J au dFN(e) _pw aaw
<7w
(A.69)
da au / aa w quasi-konkav iiber das zweite Integrationsintervall [- f.1w / a w; f.1w / a w] ist, so
daB fUr das zweite Integral fUr konkave f(.) Jensens Ungleichung gilt und somit
E(f(i» s: f(E(i» ,782 Demnach niihert sich der Grenzwert von der negativen Seite an Null.
Des weiteren folgt fUr a w -+ 00 :
lim oW-)oC(l
o
PW
<7w f -YAe e-rA (PW-<7wi)dFN (e)
- f - I' (-rA(PW-<7Wi») dF (-) 0 YA [; 1m e N [; > , ow --+00
-00
(A. 70)
da 0 < e -r,(pw-<7wc) s: 1 'it If s: f.1w / a w. GemiiB (A.69) und (A.70) wechselt aE(UUf\»)/ aa w
mindestens einmal das Vorzeichen, so daB die Isonutzenlinien in der !!-cr-Ebene anders als im
Fall der unbeschriinkten Haftung nicht ausschlieBlich konvex iiber a w sein konnen. Wiihrend
sich bei hinreichend kleinen Risiken gemiiB (A.69) C.p. ein abnehmender marginaler Nutzen mit
steigendem Risiko ergibt, muB dieser bei ausreichend groBen Risiken gemiiB (A.70) c.p. zu
nehmen.
782 Zu Jensens Ungleichung vgl. z.B. Mas-Colell et al. (1995). S. 185f., 930f.
360
Bestimmung des Investitionsvolumens im Modell von Froot et al. (1993):
Froot, Scharfstein und Stein folgend783 sei angenommen, daB ein Unternehmen die Moglichkeit
besitze, in ein teilbares Investitionsprojekt mit variablern Volumen J zu investieren, welches ei
nen barwertigen Bruttoertrag F (I) erzielt, der tiber das Investitionsvolumen steigt, jedoch mit
sinkendem Grenzertrag, d.h. dF / dJ = F/ > 0 und d 2 F / dJ 2 = FI/ < O. Zur Finanzierung der
Investition stehen sowohl internes Kapital w, als auch externes Kapital e zur Verfugung, wobei
die Aufnahme von emit konvex steigenden, barwertigen Kosten C(e) tiber das Kapitalvolu
men verbunden ist, d.h., dC / de = Ce > 0 und d 2C / de 2 = Cee < 0 J8-l In Abhangigkeit des in
ternen Kapitalvolumens w optimiert das Unternehmen seinen Wert pew) durch Losung des
folgenden Optimierungsproblerns:
sl.
Pew) = max FU) - J -C(e) /
J =w+e. (A.71)
Ftir ein gegebenes w ergibt sich als Bedingung fUr ein optimales Investitionsvolumen J' aus
der ersten Ableitung:
dP = dFU') -1- dC(l' - w) =0 dJ dJ dJ (A. 72)
~ F/U")=I+CeU" -w),
da dC / dJ = C e (de / dJ) = C e aufgrund von de / dJ = I. Bei ausreichend vorhandenern internen
Kapital w wird das Unternehrnen demzufolge bis zu einem barwertigen Grenzertrag von
F/ (I") = 1 investieren. Falls eine externe Finanzierung erforderlich ist, wird hingegen nur mit
einern geringeren Kapitalvolurnen jedoch bei hoherern Grenzertrag investiert und es kommt
vergleichsweise zu einer Unterinvestition.
Aus der zweiten Ableitung folgt direkt aufgrund der Annahmen FI/ < 0 und C ee > 0, daB es
sich urn ein Maximum handelt:
(A.73)
783 Zum folgenden vg1. Froot et a1. (1993). S. 163-lf.
78-l Letzteres begrtinden Froot et a1. (1993). S. 1636ff. tiber konvex ansteigende. erwartete (Monitoring-)Kosten fur Fremdkapita! in einem Costly·State-Verification-Modell in Anlehnung an Townsend (1979) und Gale/Hellwig (1985). Dann ist e konkret als Fremdkapital zu interpretieren. auf dessen spezifische Konkursfahigkeit zuruckgegriffen wird.
361
Der EinfluB von w auf das optimale Investitionsvolumen I' ergibt sich aus der impliziten Ab
leitung von (A.72) nach w:
dFr (1') dl' = dCe (1' - w) (dl' -IJ dI' dw dI' dw
r, ,ldl' , tFrr (1 ) - Cee (l - w) r.-- = -Cee (l - w)
dw
dl' I
dw 1- FrrU')
CeeU' - w)
(A.74)
Da aber Frr < 0 < Cee ' gilt - Frr / Cee > 0 und somit folgt aus (A.74), daB 0 < dI' / dw < I.
Hiermit laBt sich die Form von pew) naher bestimmen. Fur die erste Ableitung gilt
dP dF dl' dl' dC dl' dC -=--------+-dw dl' dw dw dl' dw dw
=[d~ _l]dl' _ dC[dI' -1]>0. dI dw de dw
(A.7S)
Der erste Ausdruck gibt die marginale Vertinderung des Nettoertrags an. Dieser ist positiv, da
einerseits mit steigendem w das optimale Investitionsvolumen aufgrund dI' / dw > 0 zunimmt
und da andererseits gemliB (A.72) der marginale Nettoertrag (dF / dl' -I) immer positiv ist.
Der zweite Ausdruck berticksichtigt die marginale Vertinderung der extemen Finanzierungskos
ten und ist positiv, da annahmegemliB - dC / de < 0 und gemaB (A.74) (dl' I dw -1) < o. Der
Wert der Investition steigt mit zunehmendem intemem Kapital und der Umfang der Unterin
vestition nimmt abo FUr die zweite Ableitung gilt schlieBlich:
d2~ =d2~(dl'J2 +[d~ _1]d2~ _d 2C[dl' _1]2 _dC[d 21: -1] dw" dI - dw dl dw' de 2 dw de dw"
= d 2 F (dl' J2 _ d 2C [dl' _1]2 dl'2 dw del dw
(A.76)
= d 2 F (d/')2 < 0 dI'2 dw
unter Berticksichtigung von (A.72), (A.74) und Frr <0. Aufgrund des abnehmenden Grenzer
trags der Investition fallt SOlnit der marginate Wert der Investition bei zunehmendem intemem
Kapital.
362
Bestimmung der optimalen Portfoliostruktur im Modell von FrootlStein (1998):
Gegeben sei ein Bankportfolio bestehend aus N nicht kolinearen Geschtiftspositionen, die sich
jeweils aus R?N unabhlingigen Risikofaktoren zusammensetzen, die am Kapitalmarkt gehedgt
werden kennen.785 1st X der 1 x N Positionsvektor der Geschaftspositionen und H der 1 x R
Vektor der Hedgepositionen, so ist der stochastische Pay-off des Portfolios z :
z(X,H)= LXJ[I1J + LYijt';]- Lh,(I1; +&,) J ' ,
mit 11 J als erwarteter Rendite der Finanztitel,
Y if als Gewichtungen der Risikofaktoren,
l; - N (0; 0 (l;» als stochastischer Pay-off der Risikofaktoren und
11; als erwarteter Rendite der Hedge-Positionen.
(A.77)
Bestimmt sich der Gegenwartswert V der Endvermegensposition w = z (X, H) + k bei
k = canst. tiber die lineare Bewertungsformel des CAPM aus (IIl.43):
( _) E(P(w»)-ACav(P(w);rl/) V P(w) = ,
1+ rJ (A.78)
so liiBt sich tiber die partiellen Ableitungen av I ah; und av I ax J die optimale Portfoliostruktur
determinieren. Zunachst sei av I ah; fur die optimal en Hedgepositionen bestimmt:
785 Vgl. generell zurn folgenden FrootiStein (1998a). S. 62ff .• 78ff.
363
= _I [E( d~ )[E[ dZ J- ACOV( dZ ;i\/ J~ 1 + rJ dw dh, dh, J
( d 2P)[C (dZ_) 1 E(dZJC ( __ )] +E dv,,2 ov dh,;Z - /1. dh, ov z;r,\f (A.79)
-El ~~ )ACOV(Z;F\/ )COV[ z; ::, J] unter Beriicksichtigung von dW / dZ = I, iterativer Anwendung der Fonnel der Kovarianz
Cov(X', y) = E(X' y) - E(X')EcY) sowie Cov(g(x); y)= E(g'(x) !:'ov(x; y) fUr nonnaIverteilte
x, y als Satz von Stein,786 Aus (A. 77) folgt zudem
(A.80)
(A.81)
so daB
EU: )=-(fL' +E,), (A.82)
C ( dE - 1 C (- - ) ov iih;r\/ [=- ov £,;r\/ ' , )
(A.83)
(A. 84)
unter Beriicksichtigung der stochastischen Unabhangigkeit der RisikofaktorenJ87 Einsetzen in
(A. 79) ergibt:
dV = _I_[E( d~)[ A.COV(E;;~\f )- fL, ] dh; l+rJ dw
+E( :~ J[fL, ACOV(z;~\f )+( h; - ~XJYij )a2 (E;)]
-E( ::~ )A.COV(Z;~\/ >( h, - ~XjYij )a2 (E;) ]
786 V gl. Stein (1973). 787 Aus Ubersichtlichkeitsgrtinden sei auf die Einfuhrung eines neuen Summenindex fur i im Gegensatz zu i als spezifischem
Index der zu optimierenden Hedge-Position hi verzichtet.
36';
= 1 L/ [ E( ~)[ ACov(i,;Fv)- P, ] + E( :: JPi ACov(Z;F\1)
+( hi - ~XJYij Ja l «() [E( ~ J-E( ~:~ JACOV(Z;~\1 )]]
bzw. in Matrixnotation fUr den Gradienten VV(H):
mit M H als R x 1 Vektor der erwarteten Renditen PI der Hedgepositionen,
Yals R x N Matrix der Gewichtungsfaktoren Yij der Risikofaktoren,
eM als Rxl Vektor der Kovarianzen Cov(li;rM ),
(A.8Sa)
(A8Sb)
L als R x R Diagonalmatrix der Varianzen der (unabhangigen) Risikofaktoren a 2 (Ei ).
Aus V V(H) = 0 folgt als notwendige Bedingung fUr ein Optimum:
L(rr -H)= [MH -ACM ]-GACov(z(X,H);F~f )MH E(d3P1dW3 ) _ _
G- E(dPldW) ACov(=(X,H);r\1)
(A86)
E(d 2 PldW 2 ) G= >0
E(dPldW) mit (A.87)
als lokalem, absoluten RisikoaversionsmaB der Bank. Aufiosen nach H ergibt:
(A88)
Aus (A.86) und (A.88) folgt aufgrund der Abhangigkeiten z = Z(X, H) und G = G(w(X, H)
keine eindeutige Losung fUr H. Diese Hillt sich nur unter zwei zusatzlichen, alternativen Vor
aussetzungen bestimmen:
1. Unter der Annahme, daB sich die Renditen der Hedge-Instrumente in einem effizienten Ka
pitalmarkt nach der in (A.78) zugrundegelegten Bewertungsformel des CAPM aus (IIIA3)
365
bestimmen, gilt M H = ACW 788, und (A.86) reduziert sich ZU
(A.89)
Als eindeutige L6sung ergibt sich in diesem Fall ein vollstandiges Hedging H=YX, so daB
z(x,h) = canst. und somit Cov (l(X, H);~", )= 0 und sich (A.89) zu 0=0 unabhangig von
G(w(X, H» reduziert. Aus (A.78) ist aufgrund von d Z P / dw z < 0 aueh sofort ersiehtlieh,
daB es sich urn ein Maximum handeln muG. Die Kosten des Hedgings aller Risikofaktoren
E, betragen dabei H T M H = AX T Y T C w ,789 Sind nicht aIle Risikofaktoren hedge bar, d.h ..
wird nur tiber einen Vntervektor H Sub zu Heine L6sung gesucht, ist es weiterhin optimal,
aIle transferierbaren Risikofaktoren vollsttindig tiber die verftigbaren Hedging-Instrumente
abzusichem, soweit der Hedging Markt weiterhin effizient und der Marktrisikofaktor abge
siehert werden kann und somit Cov (z (X, H S"b); rw )= 0 m6glich bleibt,790
2. Vnter der direkten Annahme, daB die Risikoaversion der Bank G(w(X, H»= canst. und
gleichzeitig die Hedge-Positionen keinen EinfluG auf die Kovarianz mit dem Marktrisiko
faktor haben, d.h., Cov(z(X,H);rw)=const. unabhangig von H. In diesem Fall stellt
(A.88) eine eindeutige L6sung dar, da wiederum aufgrund von d 2 P / dw 2 < 0 in (A.78) ein
Maximum foIgt. Beides liillt sich als Niiherung rechtfertigen, wenn der EinfluG der hedge
baren Risikofaktoren auf das Portfoliorisiko gering ist, womit wiederum besehrtinkte
Hedgem6glichkeiten unterstellt werden.
av / ax) flir die optimaIen Geschdfispositionen bereehnet sich anaIog zu aV / ah, in (A.79):
av _ 1 [E(dP)[A az J AC (az._ JJ ax, - I+rJ dW l ax) - 0\ ax, ,rolf
E( d2P Ic (az -J 1E( az Jc (- - )] + dW2 oVlax);Z -/I, lax) ov z;r.<t
-E( ~ )ACOV(z;Fv )cov( z; :: JJ Wiederum aus (A.77) folgt:
788 Dies ergibt sich aus (A.78) bzw. (I1IA3). indem ein Gegenwartswert von Null eingesetzt wird.
789 Vgl. Froot/Stein (1998.). S. 65. Gleichung (7).
790 Vgl. Froot/Stein (1998.). S. 63f.. S. 78f.. Propositionen lund 2.
(A.90)
366
(A.9l)
so daB
E( :~ ]=Pi' (A.92)
COV( :: ;~\{ )= ~YijCov(Ei;r\{). (A.93)
COY [:~;z J=COV[ ~[ ~XiYij -hi !i;~YA l= ~Yij [ ~XjYij -hi lcr2(E/) (A.94)
wiederum unter Beriicksichtigung der stochastischen Unabhlingigkeit der einzelnen Risiko
faktoren.791 Einsetzen in (A.90) unter zusatzlicher Beachtung von (A.8l) ergibt analog zu
(A.85a) und (A.85b):
aav = _l_[E(d~ Ip } - I>ijAcov(Ei;~\{)] 'Xj I+r/ dW /
+E( ~ l[~Yij( ~XjYii -hi )cr2(E/) l-PjACOV(Z;~\f)] (A.95a)
-E( ~ }cov{Z;rM { ~Yij ( ~XjYij - ~ )cr\E/) lJ bzw. in Matrixschreibweise fi.ir den Gradienten VV(X):
VV(X) = _l_[E(d~ )[MF _AyT CM ] l+r/ dW
+ E( ~~ } yTE(JX - H)- ACov(Z;rM )M FJ (A. 95b)
-E( ~ }cov(z;rM )yTE(JX -H)l mit M F rus N x 1 Vektor der erwarteten Renditen P j der Geschaftspositionen. Aus
V V (X) = 0 folgt wiederum als notwendige Bedingung f1ir ein Optimum:
791 Es sei auch bier auf die Einfiihrung eines neuen Summenindex rur j im Gegensatz zu j als spezifischem Index der zu optimierenden Position Xl verzichtet.
367
(A.96)
und somit durch Auflbsen nach X analog zu (A.88):
(A.97)
mit Q = yTry aIs Nx N Kovarianz-Matrix der Geschiiftspositionen. (A.96) und (A.97) sind
grundsiitzlich identisch zu (A.86) und (A.88). Es besteht ledigJich die Unterschiede, daB fUr die
Geschaftspositionen anstelle von r und C v die mit Y gewichteten stochastischen Eigenschaf
ten der Positionen Q und yT C lf relevant sind und daB aufgrund von (A.77) Y und H unter
schiedliche Vorzeichen besitzen. Auch (A.96) und (A.97) stell en aufgrund der Abhangigkeiten
von z = z(X, H) und G = G(w(X, H») keine allgemeine U:isung dar, sondem es bedarf der
selben zusiitzlichen Annahmen wie fUr (A.86) und (A.88), d.h., entweder M F = AyT C v auf
grund eines effizienten Marktes fUr Geschaftspositionen oder G(w(X,H»)=const. und
Cov(z(X,H);rv )= canst. , aufgrund anzunehmender Unkorreliertheit der Risikofaktoren mit
dem Marktrisikofaktor. Letzteres liiBt sich auch tiber die Existenz eines vollkommenen
Hedging-Marktes begriinden, auf dem das Marktrisiko grundsiitzlich abgesichert wird und so
mit COy (z (X, H); rv )= 0,792 In diesem Fall li:iJ3t sich aus (A.97) wiederum eine vollstandige
Lbsung unabhangig von G ableiten.
792 V gl. FroorJStem (1998.). S. 64f .• 79f.
368
Eigenschaften der Konkurskostenfunktion bei normalverteilten Portfoliorenditen und konstanten Konkurskosten im Konkursfall:
Gegeben ist eine Bank, deren Investitions- bzw. Kreditportfolio mit normiertem Volumen von I
eine normalverteilter Rendite rp - N(J.1.p;ap) besitzt. Der Konkurs der Bank tritt ein, wenn
die erwirtschaftete Rendite des Kreditportfolios und das verfugbare Eigenkapital I nicht fur die
Zinslast des Fremdkapitals rD ausreichen, d.h. rp +1 < rD(l-I) ¢::} rp < rD -/(l + rD)' Sind im AKK
Konkursfall bezogen auf den Unternehmenswert die Kosten ku konstant, so berechnen sich
die erwarteten Konkurskosten t:k,;K aus (ill.90) zu: 'D-/0+,o )-,tlp
- 'D-/ (1+'D) .i:KK_E(K1)_ f kAKKdF(-)_ OI\.u ---- u rp-
UO (A.98)
=k/Y FN (rD-/(t;:D)-J.1.P )
mit F(.) als kumulierter Normalverteilungsfunktion der Portfoliorendite, £ = (rp - J.1.p) / a p als
standardnormalverteilter Zufallsvariablen mit kumulierter Verteilungsfunktion F.v (.). Flir die
partiellen Ableitungen der erwarteten Konkurskosten nach der Eigenkapitalquote gilt:
(A99)
(A. tOO)
mit fv(e) > 0 als Dichtefunktion der Standardnormalverteilung und f~(£) ~ 0, £ 5 0 als Ab
leitung der Dichtefunktion. GemliB (AIOO) fallen die erwarteten Konkurskosten demnach un
terproportional mit steigender Eigenkapitalquote, wenn die Fremdkapitalzinsen niedriger als die
erwartete Portfoliorendite sind.
Flir die partiellen Ableitungen nach dem Portfoliorisiko a p gilt:
(AlOI)
369
a210;K =2(Po-/(I+PO)-j.1P)VKI (po -/(l+rD )-j.1p) , 3 U N
aO'p O'p O'p
(PO -/(l+PD )-j.1p)2 'KK . (PO -/(l+PD )-j.1p)< ..o...::._--47'--'-'-ku Iv = 0
O'p O'p >
2/v + Iv = 0 (PD -/(I+PD )-j.1p) (PO -/(I+Po )-j.1p) . (PD -/(l+Po )-j.1p)<
O'p O'p O'p >
rO -/(l+rD )-j.1p ~-J2 O'p >
1 ~ ..fi O' p + rO - j.1p . < l+rO
(A.102)
(A.IOI) liegt wiederum die Annahme eines Uberschusses der erwarteten Portfoliorendite tiber
den Fremdkapitalzins PD - j.1p zugrunde. Unterstellt man fUr (A.102), daB dieser UberschuB
Po - j.1p im Verhiiltnis zum Portfoliorisiko O' p ebenso wie der Faktor 1 + ro vemachHissigbar
ist, steigen die erwarteten Konkurskosten unterproportional bis zu Konkurswahrscheinlichkeit
von ca. 7,865%793, bei einer hiiheren Konkurswahrscheinlichkeit tiberproportional zum Portfo
liorisiko.
Ftir a1 tJeJK / al dO' p schlieBIich gilt:
a2f,JK =~ktKlv(ro-I(l+po)-j.1p) al aO' p O'p O' p
+ Po -1(l+;o)-j.1p kif I~(PO -/(l+ro)-j.1p)~ 0 O'p O'p >
Iv (Po -/(l+ro)-j.1p)+ Po -/(1+ro )- j.1p I~ ('''0 -/(l+ro)-j.1p)~ 0 O'p O'p O'p >
PD -I(l+rD )-j.1p ~-1 O'p >
1 ~ O'p +ro -j.1p. < l+rD
(A. 103)
793 V gl. bspw. die Tabelle zu den Werten der kumulierten Standardnormalverteilung bei Freund (1992). S. 624.
370
Wiederum unter Vernachlassigung von PD - /J-p gegenUber a p sowie 1+ PD sinken demnach
die (negativen) marginalen Konkursten aMUKK / at mit steigendem Risiko bis zu einer Kon
kurswahrscheinlichkeit von ca. 15,866%794, ab der sie wiederum ansteigen.
(A.102) und (A.103) sind Anforderungen an die Konvexittit der Dichtefunktion Iv (.), deren
genannte Eigenschaften sich unhand der zugehorigen Funktionsgraphen von a" k!JK / aa~ und
a2 k!JK / at da p zeigen lassen:
2f(E) .. ~f' (,:oj
0'1 !
/ C.O .
0.41 0.2
-5 -4 -1
794 V gl. nochmals Freund (1992). S. 624.
-5
Ott /J
/0.2 / 0.1
-4~1 [I -0.1
371
Voraussetzungen fUr konstante systematische und marginale Investitionsrisiken:
Gesucht sind die Voraussetzungen, damit sich im Rahmen der Steuerung von Investitions- bzw.
Kreditportfolien annehmen laJ3t, daB zusatzliche Investitionen weder das systematische noch
das Gesamtinvestitionsrisiko verandem und sich somit bei gleichbleibender Eigenkapitalquote
ein konstantes, systematisches Eigenkapitalrisiko und konstante Eigenkapitalkosten rechtferti
gen lassen. Bezeichnet a den Anteil des vorhandenen Portfolios mit systematischem Risiko fJp
und Rendite rp und (I-a) den Anteil der zusatzlichen Investition bzw. des zusatzlichen Kredites
am neuen Portfolio mit systematischem Risiko fJi und Rendite F;, so miissen folgende zwei
Bedingungen fUr das systematische und das Gesamtportfoliorisiko erftillt sein:
a fJp + (1- a)fJi = fJp
1\ 0' (a rp + (1- a)F; ) = 0' (rp ). (A. 104)
Diese Bedingungen lassen sich ntiherungsweise als erftillt ansehen, wenn a sehr klein gegen
iiber dem Portfolio ist, so daB sich im Grenzfall keine Auswirkungen auf das systematische und
Gesamtportfoliorisiko ergeben795, z.B. wenn das Investitionsportfolio sowohl yom Volumen als
auch yom systematischen Risiko das Marktportfolio reprasentiert,796
Fiir beliebige a folgt hingegen unter Beriicksichtigung der Definition des systematischen Risi
kos aus (1lI.35):
Cov(F;;~\f ) = Cov (rp; r", )
1\ (l-a)20'2(F;)+2a(l-a)Cov(F;;rp )+a2O'2(rp) = 0'2 (i'p)
(A. 105)
~ O'(F;) P (F;; i'", ) = O'(rp) p (rp; ~\f )
1\ (1- a)2 0'2 (F;) + 2a(1- a)O'(F; )O'(rp)p (F;; rp ) = (1- a 2 )0'2 (i'p).
Die erste Bedingung ist insbesondere dann erftiIlt, wenn p (F;; r\f ) = p (rp; r\f ) = 0, d.h. weder
das Portfolio- noch das Investitionsrisiko mit dem Marktrisiko korreliert sind. In diesem Fall
ergibt sich die gesuchte Konstanz der Eigenkapitalkosten aber bereits aus der Tatsache, daB
kein systematisches Risiko iibemommen wird und daher unabhangig von der Eigenkapitalquote
keine Risikoprtimie seitens der Eigenkapitalgeber verlangt wird. 797 Ansonsten laJ3t sich die er
ste Bedingung in die zweite einfUgen:
795 V gl. FrootiStein (I 998a), S. 65f. 796 Vgl. James et aI. (1996). S. 87. Amsfeld (1998). S. 183f. 797 V gl. FrootiStein (l998a). S. 75f.
372
(A. 106)
Die verbleibende Bedingung ist ftir beliebige a nun noch genau dann erftillt, wenn
(A.lO?)
d.h., wenn das Portfolio- und Investitionsrisiko pecfekt korreliert und somit additiv sind, so da/3
sie eine einheitliche Korrelation mit dem Marktportfolio aufweisen.
373
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