Anwendungen von Lagrange-Polynomen

Anwendungen von Lagrange-Polynomen

Wiederholung

Anwendungen von Lagrange-Polynomen

Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b]

Anwendungen von Lagrange-Polynomen

Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] undx0, ..., xn ∈ [a, b] Punkte.

Anwendungen von Lagrange-Polynomen

Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] undx0, ..., xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehorige Lagrange-Polynom istein Polynom P

Anwendungen von Lagrange-Polynomen

Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] undx0, ..., xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehorige Lagrange-Polynom istein Polynom P des Grades n,

Anwendungen von Lagrange-Polynomen

Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] undx0, ..., xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehorige Lagrange-Polynom istein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi ) = f (xi ).

Anwendungen von Lagrange-Polynomen

Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] undx0, ..., xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehorige Lagrange-Polynom istein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi ) = f (xi ). Falls dieFunktion nicht

”wild“ ist,

Anwendungen von Lagrange-Polynomen

Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] undx0, ..., xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehorige Lagrange-Polynom istein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi ) = f (xi ). Falls dieFunktion nicht

”wild“ ist, approxiemiert das Lagrange-Polynom

die Funktion ziemlich gut

Anwendungen von Lagrange-Polynomen

Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] undx0, ..., xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehorige Lagrange-Polynom istein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi ) = f (xi ). Falls dieFunktion nicht

”wild“ ist, approxiemiert das Lagrange-Polynom

die Funktion ziemlich gut

◮ Anwendung in Visualisierung

Anwendungen von Lagrange-Polynomen

Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] undx0, ..., xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehorige Lagrange-Polynom istein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi ) = f (xi ). Falls dieFunktion nicht

”wild“ ist, approxiemiert das Lagrange-Polynom

die Funktion ziemlich gut

◮ Anwendung in VisualisierungBei Visualisierung von komplexen Objekten

Anwendungen von Lagrange-Polynomen

Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] undx0, ..., xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehorige Lagrange-Polynom istein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi ) = f (xi ). Falls dieFunktion nicht

”wild“ ist, approxiemiert das Lagrange-Polynom

die Funktion ziemlich gut

◮ Anwendung in VisualisierungBei Visualisierung von komplexen Objekten (z.B. bei erstelleneines Trickfilms)

Anwendungen von Lagrange-Polynomen

Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] undx0, ..., xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehorige Lagrange-Polynom istein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi ) = f (xi ). Falls dieFunktion nicht

”wild“ ist, approxiemiert das Lagrange-Polynom

die Funktion ziemlich gut

◮ Anwendung in VisualisierungBei Visualisierung von komplexen Objekten (z.B. bei erstelleneines Trickfilms) berechnet man nur die Lage von endlichvielen Punkten

Anwendungen von Lagrange-Polynomen

Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] undx0, ..., xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehorige Lagrange-Polynom istein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi ) = f (xi ). Falls dieFunktion nicht

”wild“ ist, approxiemiert das Lagrange-Polynom

die Funktion ziemlich gut

◮ Anwendung in VisualisierungBei Visualisierung von komplexen Objekten (z.B. bei erstelleneines Trickfilms) berechnet man nur die Lage von endlichvielen Punkten (so gen. Noden).

Anwendungen von Lagrange-Polynomen

Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] undx0, ..., xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehorige Lagrange-Polynom istein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi ) = f (xi ). Falls dieFunktion nicht

”wild“ ist, approxiemiert das Lagrange-Polynom

die Funktion ziemlich gut

◮ Anwendung in VisualisierungBei Visualisierung von komplexen Objekten (z.B. bei erstelleneines Trickfilms) berechnet man nur die Lage von endlichvielen Punkten (so gen. Noden). Das Objekt zeichnet mandann u.a. mit Hilfe des Lagrange-Polynoms,

Anwendungen von Lagrange-Polynomen

Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] undx0, ..., xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehorige Lagrange-Polynom istein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi ) = f (xi ). Falls dieFunktion nicht

”wild“ ist, approxiemiert das Lagrange-Polynom

die Funktion ziemlich gut

◮ Anwendung in VisualisierungBei Visualisierung von komplexen Objekten (z.B. bei erstelleneines Trickfilms) berechnet man nur die Lage von endlichvielen Punkten (so gen. Noden). Das Objekt zeichnet mandann u.a. mit Hilfe des Lagrange-Polynoms, oder dessenModifikationen.

Anwendungen von Lagrange-Polynomen

Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] undx0, ..., xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehorige Lagrange-Polynom istein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi ) = f (xi ). Falls dieFunktion nicht

”wild“ ist, approxiemiert das Lagrange-Polynom

die Funktion ziemlich gut

◮ Anwendung in VisualisierungBei Visualisierung von komplexen Objekten (z.B. bei erstelleneines Trickfilms) berechnet man nur die Lage von endlichvielen Punkten (so gen. Noden). Das Objekt zeichnet mandann u.a. mit Hilfe des Lagrange-Polynoms, oder dessenModifikationen.

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten einesε−Gitters

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten einesε−Gitters (d.h. in Punkten x , x ± ε, x ± 2ε, wobei ε klein ist),

xE

f(x)

x0

x+

x-

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten einesε−Gitters (d.h. in Punkten x , x ± ε, x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfeeines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet.

xE

f(x)

x0

x+

x-

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten einesε−Gitters (d.h. in Punkten x , x ± ε, x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfeeines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann manderen k−Ableitung berechnen?

xE

f(x)

x0

x+

x-

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten einesε−Gitters (d.h. in Punkten x , x ± ε, x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfeeines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann manderen k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > knebeneinander liegenden Punkten des Gitters,

xE

f(x)

x0

x+

x-

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten einesε−Gitters (d.h. in Punkten x , x ± ε, x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfeeines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann manderen k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > knebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.x0, x±1 = x0 ± ε, ..., x±n = x0 ± nε,

xE

f(x)

x0

x+

x-

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten einesε−Gitters (d.h. in Punkten x , x ± ε, x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfeeines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann manderen k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > knebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.x0, x±1 = x0 ± ε, ..., x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynoms.d. P(x±i ) = f (x±i ), und berechne deren k−te Ableitung im x0.

xE

f(x)

x0

x+

x-

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten einesε−Gitters (d.h. in Punkten x , x ± ε, x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfeeines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann manderen k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > knebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.x0, x±1 = x0 ± ε, ..., x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynoms.d. P(x±i ) = f (x±i ), und berechne deren k−te Ableitung im x0.(Mann kann nur k + 1 Punkte aus {x±n, ..., x0} nehmen)

xE

f(x)

x0

x+

x-

f(x)

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten einesε−Gitters (d.h. in Punkten x , x ± ε, x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfeeines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann manderen k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > knebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.x0, x±1 = x0 ± ε, ..., x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynoms.d. P(x±i ) = f (x±i ), und berechne deren k−te Ableitung im x0.(Mann kann nur k + 1 Punkte aus {x±n, ..., x0} nehmen)Z.B. Gegeben sind f (x0 − ε), f (x0 + ε).

xE

f(x)

x0

x+

x-

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten einesε−Gitters (d.h. in Punkten x , x ± ε, x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfeeines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann manderen k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > knebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.x0, x±1 = x0 ± ε, ..., x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynoms.d. P(x±i ) = f (x±i ), und berechne deren k−te Ableitung im x0.(Mann kann nur k + 1 Punkte aus {x±n, ..., x0} nehmen)Z.B. Gegeben sind f (x0 − ε), f (x0 + ε). Zu berechnen (approximativ):f ′(x0).

xE

f(x)

x0

x+

x-

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten einesε−Gitters (d.h. in Punkten x , x ± ε, x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfeeines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann manderen k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > knebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.x0, x±1 = x0 ± ε, ..., x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynoms.d. P(x±i ) = f (x±i ), und berechne deren k−te Ableitung im x0.(Mann kann nur k + 1 Punkte aus {x±n, ..., x0} nehmen)Z.B. Gegeben sind f (x0 − ε), f (x0 + ε). Zu berechnen (approximativ):f ′(x0).Lagrange-Polynom P mit P(x0 ± ε) = f (x0 ± ε) ist

xE

f(x)

x0

x+

x-

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten einesε−Gitters (d.h. in Punkten x , x ± ε, x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfeeines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann manderen k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > knebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.x0, x±1 = x0 ± ε, ..., x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynoms.d. P(x±i ) = f (x±i ), und berechne deren k−te Ableitung im x0.(Mann kann nur k + 1 Punkte aus {x±n, ..., x0} nehmen)Z.B. Gegeben sind f (x0 − ε), f (x0 + ε). Zu berechnen (approximativ):f ′(x0).Lagrange-Polynom P mit P(x0 ± ε) = f (x0 ± ε) ist

x−(x0+ε)(x0−ε)−(x0+ε)

f (x0 − ε) +

xE

f(x)

x0

x+

x-

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten einesε−Gitters (d.h. in Punkten x , x ± ε, x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfeeines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann manderen k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > knebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.x0, x±1 = x0 ± ε, ..., x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynoms.d. P(x±i ) = f (x±i ), und berechne deren k−te Ableitung im x0.(Mann kann nur k + 1 Punkte aus {x±n, ..., x0} nehmen)Z.B. Gegeben sind f (x0 − ε), f (x0 + ε). Zu berechnen (approximativ):f ′(x0).Lagrange-Polynom P mit P(x0 ± ε) = f (x0 ± ε) ist

x−(x0+ε)(x0−ε)−(x0+ε)

f (x0 − ε) +x−(x0−ε)

(x0+ε)−(x0−ε)f (x0 + ε) =

xE

f(x)

x0

x+

x-

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten einesε−Gitters (d.h. in Punkten x , x ± ε, x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfeeines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann manderen k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > knebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.x0, x±1 = x0 ± ε, ..., x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynoms.d. P(x±i ) = f (x±i ), und berechne deren k−te Ableitung im x0.(Mann kann nur k + 1 Punkte aus {x±n, ..., x0} nehmen)Z.B. Gegeben sind f (x0 − ε), f (x0 + ε). Zu berechnen (approximativ):f ′(x0).Lagrange-Polynom P mit P(x0 ± ε) = f (x0 ± ε) ist

x−(x0+ε)(x0−ε)−(x0+ε)

f (x0 − ε) +x−(x0−ε)

(x0+ε)−(x0−ε)f (x0 + ε) =

f (x0+ε)−f (x0−ε)2ε

x +

xE

f(x)

x0

x+

x-

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten einesε−Gitters (d.h. in Punkten x , x ± ε, x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfeeines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann manderen k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > knebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.x0, x±1 = x0 ± ε, ..., x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynoms.d. P(x±i ) = f (x±i ), und berechne deren k−te Ableitung im x0.(Mann kann nur k + 1 Punkte aus {x±n, ..., x0} nehmen)Z.B. Gegeben sind f (x0 − ε), f (x0 + ε). Zu berechnen (approximativ):f ′(x0).Lagrange-Polynom P mit P(x0 ± ε) = f (x0 ± ε) ist

x−(x0+ε)(x0−ε)−(x0+ε)

f (x0 − ε) +x−(x0−ε)

(x0+ε)−(x0−ε)f (x0 + ε) =

f (x0+ε)−f (x0−ε)2ε

x +(x0−ε)f (x0+ε)−(x0+ε)f (x0−ε)

2ε.

xE

f(x)

x0

x+

x-

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten einesε−Gitters (d.h. in Punkten x , x ± ε, x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfeeines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann manderen k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > knebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.x0, x±1 = x0 ± ε, ..., x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynoms.d. P(x±i ) = f (x±i ), und berechne deren k−te Ableitung im x0.(Mann kann nur k + 1 Punkte aus {x±n, ..., x0} nehmen)Z.B. Gegeben sind f (x0 − ε), f (x0 + ε). Zu berechnen (approximativ):f ′(x0).Lagrange-Polynom P mit P(x0 ± ε) = f (x0 ± ε) ist

x−(x0+ε)(x0−ε)−(x0+ε)

f (x0 − ε) +x−(x0−ε)

(x0+ε)−(x0−ε)f (x0 + ε) =

f (x0+ε)−f (x0−ε)2ε

x +(x0−ε)f (x0+ε)−(x0+ε)f (x0−ε)

2ε.

xE

f(x)

x0

x+

x-

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten einesε−Gitters (d.h. in Punkten x , x ± ε, x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfeeines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann manderen k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > knebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.x0, x±1 = x0 ± ε, ..., x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynoms.d. P(x±i ) = f (x±i ), und berechne deren k−te Ableitung im x0.(Mann kann nur k + 1 Punkte aus {x±n, ..., x0} nehmen)Z.B. Gegeben sind f (x0 − ε), f (x0 + ε). Zu berechnen (approximativ):f ′(x0).Lagrange-Polynom P mit P(x0 ± ε) = f (x0 ± ε) ist

x−(x0+ε)(x0−ε)−(x0+ε)

f (x0 − ε) +x−(x0−ε)

(x0+ε)−(x0−ε)f (x0 + ε) =

f (x0+ε)−f (x0−ε)2ε

x +(x0−ε)f (x0+ε)−(x0+ε)f (x0−ε)

2ε.

Dessen Ableitung ist f (x+ε)−f (x−ε)2ε

≈ f ′(x0).

xE

f(x)

x0

x+

x-

Dasselbe mit der zweiten Ableitung

xE

f(x)

x0

x+

x-

Dasselbe mit der zweiten Ableitung

xE

f(x)

x0

x+

x-

Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε.

Dasselbe mit der zweiten Ableitung

xE

f(x)

x0

x+

x-

Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes GradesP

Dasselbe mit der zweiten Ableitung

xE

f(x)

x0

x+

x-

Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes GradesP mit P(x±) = f (x±), P(x0) = f (x0)

Dasselbe mit der zweiten Ableitung

xE

f(x)

x0

x+

x-

Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes GradesP mit P(x±) = f (x±), P(x0) = f (x0) gegeben durch

Dasselbe mit der zweiten Ableitung

xE

f(x)

x0

x+

x-

Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes GradesP mit P(x±) = f (x±), P(x0) = f (x0) gegeben durch

(x−x0)(x−x+)

(x−

−x0)(x−

−x+)f (x

−) +

Dasselbe mit der zweiten Ableitung

xE

f(x)

x0

x+

x-

Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes GradesP mit P(x±) = f (x±), P(x0) = f (x0) gegeben durch

(x−x0)(x−x+)

(x−

−x0)(x−

−x+)f (x

−) +

(x−x−

)(x−x+)

(x0−x−

)(x0−x+)f (x0) +

Dasselbe mit der zweiten Ableitung

xE

f(x)

x0

x+

x-

Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes GradesP mit P(x±) = f (x±), P(x0) = f (x0) gegeben durch

(x−x0)(x−x+)

(x−

−x0)(x−

−x+)f (x

−) +

(x−x−

)(x−x+)

(x0−x−

)(x0−x+)f (x0) +

(x−x−

)(x−x0)

(x+−x−

)(x+−x0)f (x+)

Dasselbe mit der zweiten Ableitung

xE

f(x)

x0

x+

x-

Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes GradesP mit P(x±) = f (x±), P(x0) = f (x0) gegeben durch

(x−x0)(x−x+)

(x−

−x0)(x−

−x+)f (x

−) +

(x−x−

)(x−x+)

(x0−x−

)(x0−x+)f (x0) +

(x−x−

)(x−x0)

(x+−x−

)(x+−x0)f (x+)

= x2�

f (x−

)

2ε2 −

f (x0)

ε2 +

f (x+)

2ε2

�+

Dasselbe mit der zweiten Ableitung

xE

f(x)

x0

x+

x-

Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes GradesP mit P(x±) = f (x±), P(x0) = f (x0) gegeben durch

(x−x0)(x−x+)

(x−

−x0)(x−

−x+)f (x

−) +

(x−x−

)(x−x+)

(x0−x−

)(x0−x+)f (x0) +

(x−x−

)(x−x0)

(x+−x−

)(x+−x0)f (x+)

= x2�

f (x−

)

2ε2 −

f (x0)

ε2 +

f (x+)

2ε2

�+ Terme der kleineren Ordnung in x

Dasselbe mit der zweiten Ableitung

xE

f(x)

x0

x+

x-

Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes GradesP mit P(x±) = f (x±), P(x0) = f (x0) gegeben durch

(x−x0)(x−x+)

(x−

−x0)(x−

−x+)f (x

−) +

(x−x−

)(x−x+)

(x0−x−

)(x0−x+)f (x0) +

(x−x−

)(x−x0)

(x+−x−

)(x+−x0)f (x+)

= x2�

f (x−

)

2ε2 −

f (x0)

ε2 +

f (x+)

2ε2

�+ Terme der kleineren Ordnung in x Dessen 2te

Ableitung ist f (x−

)+f (x+)−2f (x0)ε

2 .

Dasselbe mit der zweiten Ableitung

xE

f(x)

x0

x+

x-

Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes GradesP mit P(x±) = f (x±), P(x0) = f (x0) gegeben durch

(x−x0)(x−x+)

(x−

−x0)(x−

−x+)f (x

−) +

(x−x−

)(x−x+)

(x0−x−

)(x0−x+)f (x0) +

(x−x−

)(x−x0)

(x+−x−

)(x+−x0)f (x+)

= x2�

f (x−

)

2ε2 −

f (x0)

ε2 +

f (x+)

2ε2

�+ Terme der kleineren Ordnung in x Dessen 2te

Ableitung ist f (x−

)+f (x+)−2f (x0)ε

2 .

Also, f ′′(x0) ≈f (x

−)+f (x+)−2f (x0)

ε2 .

Dasselbe mit der zweiten Ableitung

xE

f(x)

x0

x+

x-

Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes GradesP mit P(x±) = f (x±), P(x0) = f (x0) gegeben durch

(x−x0)(x−x+)

(x−

−x0)(x−

−x+)f (x

−) +

(x−x−

)(x−x+)

(x0−x−

)(x0−x+)f (x0) +

(x−x−

)(x−x0)

(x+−x−

)(x+−x0)f (x+)

= x2�

f (x−

)

2ε2 −

f (x0)

ε2 +

f (x+)

2ε2

�+ Terme der kleineren Ordnung in x Dessen 2te

Ableitung ist f (x−

)+f (x+)−2f (x0)ε

2 .

Also, f ′′(x0) ≈f (x

−)+f (x+)−2f (x0)

ε2 . (Falls ε klein ist und die 3te Ableitung

der Funktion nicht zu groß ist)

Zukunft vorhersagen.

Zukunft vorhersagen.

Jahr

2007

06 05 04 03 02

Anzahl von Schuler (Anz(x))

Zukunft vorhersagen.

Jahr

2007

06 05 04 03 02

Anzahl von Schuler (Anz(x))

Was Passiert im Jahr 2007+1?

Zukunft vorhersagen.

Jahr

2007

06 05 04 03 02

Anzahl von Schuler (Anz(x))

Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?

Zukunft vorhersagen.

Jahr

2007

06 05 04 03 02

Anzahl von Schuler (Anz(x))

Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?Ein Vorschlag:

Zukunft vorhersagen.

Jahr

2007

06 05 04 03 02

Anzahl von Schuler (Anz(x))

Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,xn−1 := 2006, xn = 2007

Zukunft vorhersagen.

Jahr

2007

06 05 04 03 02

Anzahl von Schuler (Anz(x))

Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehorigeLagrange-Polynom P (mit P(xi ) = Anz(xi )),

Zukunft vorhersagen.

Jahr

2007

06 05 04 03 02

Anzahl von Schuler (Anz(x))

Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehorigeLagrange-Polynom P (mit P(xi ) = Anz(xi )), und dann vorhersageAnz(2008) = P(2008).

Zukunft vorhersagen.

Jahr

2007

06 05 04 03 02

Anzahl von Schuler (Anz(x))

Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehorigeLagrange-Polynom P (mit P(xi ) = Anz(xi )), und dann vorhersageAnz(2008) = P(2008).n = 1 lineare Interpolation

Zukunft vorhersagen.

Jahr

2007

06 05 04 03 02

Anzahl von Schuler (Anz(x))

Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehorigeLagrange-Polynom P (mit P(xi ) = Anz(xi )), und dann vorhersageAnz(2008) = P(2008).n = 1 lineare Interpolation

Zukunft vorhersagen.

Jahr

2007

06 05 04 03 02

Anzahl von Schuler (Anz(x))

Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehorigeLagrange-Polynom P (mit P(xi ) = Anz(xi )), und dann vorhersageAnz(2008) = P(2008).n = 1 lineare Interpolationn = 2 Quadratische Interpolation

Zukunft vorhersagen.

Jahr

2007

06 05 04 03 02

Anzahl von Schuler (Anz(x))

Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehorigeLagrange-Polynom P (mit P(xi ) = Anz(xi )), und dann vorhersageAnz(2008) = P(2008).n = 1 lineare Interpolationn = 2 Quadratische Interpolationn = 3 Kubische Interpolation.

Zukunft vorhersagen.

Jahr

2007

06 05 04 03 02

Anzahl von Schuler (Anz(x))

Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehorigeLagrange-Polynom P (mit P(xi ) = Anz(xi )), und dann vorhersageAnz(2008) = P(2008).n = 1 lineare Interpolationn = 2 Quadratische Interpolationn = 3 Kubische Interpolation.Welches n soll man nehmen?

Zukunft vorhersagen.

Jahr

2007

06 05 04 03 02

Anzahl von Schuler (Anz(x))

Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehorigeLagrange-Polynom P (mit P(xi ) = Anz(xi )), und dann vorhersageAnz(2008) = P(2008).n = 1 lineare Interpolationn = 2 Quadratische Interpolationn = 3 Kubische Interpolation.Welches n soll man nehmen? Das hangt von Aufgabe ab.

Zukunft vorhersagen.

Jahr

2007

06 05 04 03 02

Anzahl von Schuler (Anz(x))

Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehorigeLagrange-Polynom P (mit P(xi ) = Anz(xi )), und dann vorhersageAnz(2008) = P(2008).n = 1 lineare Interpolationn = 2 Quadratische Interpolationn = 3 Kubische Interpolation.Welches n soll man nehmen? Das hangt von Aufgabe ab. Man kannverschiedene n nehmen,

Zukunft vorhersagen.

Jahr

2007

06 05 04 03 02

Anzahl von Schuler (Anz(x))

Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehorigeLagrange-Polynom P (mit P(xi ) = Anz(xi )), und dann vorhersageAnz(2008) = P(2008).n = 1 lineare Interpolationn = 2 Quadratische Interpolationn = 3 Kubische Interpolation.Welches n soll man nehmen? Das hangt von Aufgabe ab. Man kannverschiedene n nehmen, in der Vergangenheit testen,

Zukunft vorhersagen.

Jahr

2007

06 05 04 03 02

Anzahl von Schuler (Anz(x))

Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehorigeLagrange-Polynom P (mit P(xi ) = Anz(xi )), und dann vorhersageAnz(2008) = P(2008).n = 1 lineare Interpolationn = 2 Quadratische Interpolationn = 3 Kubische Interpolation.Welches n soll man nehmen? Das hangt von Aufgabe ab. Man kannverschiedene n nehmen, in der Vergangenheit testen, und das besseresubernehmen.

Zukunft vorhersagen.

Jahr

2007

06 05 04 03 02

Anzahl von Schuler (Anz(x))

Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehorigeLagrange-Polynom P (mit P(xi ) = Anz(xi )), und dann vorhersageAnz(2008) = P(2008).n = 1 lineare Interpolationn = 2 Quadratische Interpolationn = 3 Kubische Interpolation.Welches n soll man nehmen? Das hangt von Aufgabe ab. Man kannverschiedene n nehmen, in der Vergangenheit testen, und das besseresubernehmen. Auch wenn der Grad des Lagrange-Polynoms groß ist,

Zukunft vorhersagen.

Jahr

2007

06 05 04 03 02

Anzahl von Schuler (Anz(x))

Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehorigeLagrange-Polynom P (mit P(xi ) = Anz(xi )), und dann vorhersageAnz(2008) = P(2008).n = 1 lineare Interpolationn = 2 Quadratische Interpolationn = 3 Kubische Interpolation.Welches n soll man nehmen? Das hangt von Aufgabe ab. Man kannverschiedene n nehmen, in der Vergangenheit testen, und das besseresubernehmen. Auch wenn der Grad des Lagrange-Polynoms groß ist,haben die Werte Anz(xi ) fur die letzte xi hohere Einfluss auf P(2008) alsdie andere.

Haupsatz der Algebra

Haupsatz der Algebra

Hauptsatz der Algebra (Analysis -Vorlesungen)

Haupsatz der Algebra

Hauptsatz der Algebra (Analysis -Vorlesungen) JedesP ∈ C[x ] mit Grad(P) ≥ 1 hat mind. eine Nulstelle

Haupsatz der Algebra

Hauptsatz der Algebra (Analysis -Vorlesungen) JedesP ∈ C[x ] mit Grad(P) ≥ 1 hat mind. eine NulstelleBsp.

Haupsatz der Algebra

Hauptsatz der Algebra (Analysis -Vorlesungen) JedesP ∈ C[x ] mit Grad(P) ≥ 1 hat mind. eine NulstelleBsp. In R[x ] ist die Aussage falsch: z.B.

Haupsatz der Algebra

Hauptsatz der Algebra (Analysis -Vorlesungen) JedesP ∈ C[x ] mit Grad(P) ≥ 1 hat mind. eine NulstelleBsp. In R[x ] ist die Aussage falsch: z.B. x2 + 1 hat keine Nulstellin R.

Haupsatz der Algebra

Hauptsatz der Algebra (Analysis -Vorlesungen) JedesP ∈ C[x ] mit Grad(P) ≥ 1 hat mind. eine NulstelleBsp. In R[x ] ist die Aussage falsch: z.B. x2 + 1 hat keine Nulstellin R. (wenn wir das Polynom als Polynom uber Komplexekoeffizienten auffassen,

Haupsatz der Algebra

Hauptsatz der Algebra (Analysis -Vorlesungen) JedesP ∈ C[x ] mit Grad(P) ≥ 1 hat mind. eine NulstelleBsp. In R[x ] ist die Aussage falsch: z.B. x2 + 1 hat keine Nulstellin R. (wenn wir das Polynom als Polynom uber Komplexekoeffizienten auffassen, hat das Polynom die Nullstellen x1 = i ,x2 = −i . )

Haupsatz der Algebra

Hauptsatz der Algebra (Analysis -Vorlesungen) JedesP ∈ C[x ] mit Grad(P) ≥ 1 hat mind. eine NulstelleBsp. In R[x ] ist die Aussage falsch: z.B. x2 + 1 hat keine Nulstellin R. (wenn wir das Polynom als Polynom uber Komplexekoeffizienten auffassen, hat das Polynom die Nullstellen x1 = i ,x2 = −i . )

Folgerung A

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind).

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz:

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g ,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so istP = a = b,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so istP = a = b, also a = b.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so istP = a = b, also a = b. I.V.:

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so istP = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Gradesn − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)darstellen.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so istP = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Gradesn − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch fur Polynome des Gradesn.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so istP = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Gradesn − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch fur Polynome des Gradesn. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn),

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so istP = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Gradesn − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch fur Polynome des Gradesn. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a 6= 0 6= b.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so istP = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Gradesn − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch fur Polynome des Gradesn. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a 6= 0 6= b.Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn)

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so istP = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Gradesn − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch fur Polynome des Gradesn. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a 6= 0 6= b.Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so istP = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Gradesn − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch fur Polynome des Gradesn. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a 6= 0 6= b.Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist, istb(x1 − y1)(x1 − y2)...(x1 − yn) = 0,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so istP = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Gradesn − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch fur Polynome des Gradesn. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a 6= 0 6= b.Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist, istb(x1 − y1)(x1 − y2)...(x1 − yn) = 0, und deswegen ist ein von yi gleich x1.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so istP = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Gradesn − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch fur Polynome des Gradesn. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a 6= 0 6= b.Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist, istb(x1 − y1)(x1 − y2)...(x1 − yn) = 0, und deswegen ist ein von yi gleich x1. OBdAist y1 = x1.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so istP = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Gradesn − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch fur Polynome des Gradesn. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a 6= 0 6= b.Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist, istb(x1 − y1)(x1 − y2)...(x1 − yn) = 0, und deswegen ist ein von yi gleich x1. OBdAist y1 = x1. Dividieren des Polynoms durch (x − x1)

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so istP = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Gradesn − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch fur Polynome des Gradesn. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a 6= 0 6= b.Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist, istb(x1 − y1)(x1 − y2)...(x1 − yn) = 0, und deswegen ist ein von yi gleich x1. OBdAist y1 = x1. Dividieren des Polynoms durch (x − x1) gibta(x − x2)...(x − xn) =

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so istP = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Gradesn − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch fur Polynome des Gradesn. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a 6= 0 6= b.Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist, istb(x1 − y1)(x1 − y2)...(x1 − yn) = 0, und deswegen ist ein von yi gleich x1. OBdAist y1 = x1. Dividieren des Polynoms durch (x − x1) gibta(x − x2)...(x − xn) = b(x − y2)...(x − yn).

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so istP = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Gradesn − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch fur Polynome des Gradesn. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a 6= 0 6= b.Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist, istb(x1 − y1)(x1 − y2)...(x1 − yn) = 0, und deswegen ist ein von yi gleich x1. OBdAist y1 = x1. Dividieren des Polynoms durch (x − x1) gibta(x − x2)...(x − xn) = b(x − y2)...(x − yn). Nach I.V. ist a = b und dieFaktoren (x − xi ) sind die Faktoren (x − yi ) (i ≥ 2),

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so istP = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Gradesn − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch fur Polynome des Gradesn. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a 6= 0 6= b.Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist, istb(x1 − y1)(x1 − y2)...(x1 − yn) = 0, und deswegen ist ein von yi gleich x1. OBdAist y1 = x1. Dividieren des Polynoms durch (x − x1) gibta(x − x2)...(x − xn) = b(x − y2)...(x − yn). Nach I.V. ist a = b und dieFaktoren (x − xi ) sind die Faktoren (x − yi ) (i ≥ 2), moglicherweise inandere Reihenfolge.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so istP = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Gradesn − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch fur Polynome des Gradesn. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a 6= 0 6= b.Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist, istb(x1 − y1)(x1 − y2)...(x1 − yn) = 0, und deswegen ist ein von yi gleich x1. OBdAist y1 = x1. Dividieren des Polynoms durch (x − x1) gibta(x − x2)...(x − xn) = b(x − y2)...(x − yn). Nach I.V. ist a = b und dieFaktoren (x − xi ) sind die Faktoren (x − yi ) (i ≥ 2), moglicherweise inandere Reihenfolge.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x ], P 6= 0, kann man in lineare Faktorenzehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,wobei a, xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellenvon Faktoren.Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. NachHauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dannP = (x − x1)g , wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so istg = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, unddeswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobeiGrad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so istP = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Gradesn − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch fur Polynome des Gradesn. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a 6= 0 6= b.Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist, istb(x1 − y1)(x1 − y2)...(x1 − yn) = 0, und deswegen ist ein von yi gleich x1. OBdAist y1 = x1. Dividieren des Polynoms durch (x − x1) gibta(x − x2)...(x − xn) = b(x − y2)...(x − yn). Nach I.V. ist a = b und dieFaktoren (x − xi ) sind die Faktoren (x − yi ) (i ≥ 2), moglicherweise inandere Reihenfolge.

Ist P ∈ R[x ],

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ],

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0,

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen:

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ]

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ].

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C:

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung:

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 =

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2,

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 =

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 =

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2)

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) =

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1)

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) =

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).

Deswegen ist zk = zk

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).

Deswegen ist zk = zk fur alle k ∈ N.

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).

Deswegen ist zk = zk fur alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).

Deswegen ist zk = zk fur alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R

Pn(z) = anzn

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).

Deswegen ist zk = zk fur alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R

Pn(z) = anzn + an−1zn−1

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).

Deswegen ist zk = zk fur alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R

Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).

Deswegen ist zk = zk fur alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R

Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =

anzn

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).

Deswegen ist zk = zk fur alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R

Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =

anzn + an−1zn−1

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).

Deswegen ist zk = zk fur alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R

Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =

anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).

Deswegen ist zk = zk fur alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R

Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =

anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).

Deswegen ist zk = zk fur alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R

Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =

anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 = anzn

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).

Deswegen ist zk = zk fur alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R

Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =

anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 = anzn + an−1z

n−1

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).

Deswegen ist zk = zk fur alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R

Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =

anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 = anzn + an−1z

n−1 + · · ·+ a1z + a0.

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).

Deswegen ist zk = zk fur alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R

Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =

anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 = anzn + an−1z

n−1 + · · ·+ a1z + a0.

Hilfsaussage ist bewiesen.

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).

Deswegen ist zk = zk fur alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R

Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =

anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 = anzn + an−1z

n−1 + · · ·+ a1z + a0.

Hilfsaussage ist bewiesen. Daraus folgt insbesondere, daß fur ein

P ∈ R[x ] ⊆ C[x ] zusammen mit Pn(c) = 0 stets auch Pn(c) = 0 gilt.

Damit ist eine Nullstelle von Pn entweder reell

Ist P ∈ R[x ], so ist P ∈ C[x ], weil R ⊆ C.Folgerung B Jedes P ∈ R[x ], Grad(P) > 0, kann man in Produktvon lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,wobei Grad(gi ) ∈ {1, 2}.Hilfsaussage Es sei P =

∑n

k=0 akxk ∈ R[x ] ⊆ C[x ]. Dann gilt fur jedes

z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei z komplexe Konjugation ist)Wiederholung: Fur z = a + ib ist z = a − ib.Wir erinnern zunachst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Korpers C)Tatsachlich,a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).

Deswegen ist zk = zk fur alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R

Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =

anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 = anzn + an−1z

n−1 + · · ·+ a1z + a0.

Hilfsaussage ist bewiesen. Daraus folgt insbesondere, daß fur ein

P ∈ R[x ] ⊆ C[x ] zusammen mit Pn(c) = 0 stets auch Pn(c) = 0 gilt.

Damit ist eine Nullstelle von Pn entweder reell oder die zu ihr komplex

konjugierte Zahl ist ebenfalls eine Nullstelle.

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn.

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dannist(x − c)(x − c) =

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dannist(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) =

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dannist(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α)2 + β2 = x2 + Ax + B (∗)mit A = −2α ∈ R, B = α2 + β2 ∈ R. Wir dividieren P durchx − c und durch x − c ,

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dannist(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α)2 + β2 = x2 + Ax + B (∗)mit A = −2α ∈ R, B = α2 + β2 ∈ R. Wir dividieren P durchx − c und durch x − c , und erhalten wegen (∗) die DarstellungPn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x2 + Az + B)Qn−2.

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dannist(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α)2 + β2 = x2 + Ax + B (∗)mit A = −2α ∈ R, B = α2 + β2 ∈ R. Wir dividieren P durchx − c und durch x − c , und erhalten wegen (∗) die DarstellungPn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x2 + Az + B)Qn−2.

Da sowohl Pn(z) als auch z2 + Az + B

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dannist(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α)2 + β2 = x2 + Ax + B (∗)mit A = −2α ∈ R, B = α2 + β2 ∈ R. Wir dividieren P durchx − c und durch x − c , und erhalten wegen (∗) die DarstellungPn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x2 + Az + B)Qn−2.

Da sowohl Pn(z) als auch z2 + Az + B ausschließlich reelleKoeffizienten besitzen,

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dannist(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α)2 + β2 = x2 + Ax + B (∗)mit A = −2α ∈ R, B = α2 + β2 ∈ R. Wir dividieren P durchx − c und durch x − c , und erhalten wegen (∗) die DarstellungPn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x2 + Az + B)Qn−2.

Da sowohl Pn(z) als auch z2 + Az + B ausschließlich reelleKoeffizienten besitzen, hat auch Qn−2(z) nur reelle Koeffizienten.

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dannist(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α)2 + β2 = x2 + Ax + B (∗)mit A = −2α ∈ R, B = α2 + β2 ∈ R. Wir dividieren P durchx − c und durch x − c , und erhalten wegen (∗) die DarstellungPn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x2 + Az + B)Qn−2.

Da sowohl Pn(z) als auch z2 + Az + B ausschließlich reelleKoeffizienten besitzen, hat auch Qn−2(z) nur reelle Koeffizienten.Also laßt sich die Prozedur wiederholen.

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dannist(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α)2 + β2 = x2 + Ax + B (∗)mit A = −2α ∈ R, B = α2 + β2 ∈ R. Wir dividieren P durchx − c und durch x − c , und erhalten wegen (∗) die DarstellungPn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x2 + Az + B)Qn−2.

Da sowohl Pn(z) als auch z2 + Az + B ausschließlich reelleKoeffizienten besitzen, hat auch Qn−2(z) nur reelle Koeffizienten.Also laßt sich die Prozedur wiederholen. Nach endlich vielSchritten bekommen wir

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dannist(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α)2 + β2 = x2 + Ax + B (∗)mit A = −2α ∈ R, B = α2 + β2 ∈ R. Wir dividieren P durchx − c und durch x − c , und erhalten wegen (∗) die DarstellungPn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x2 + Az + B)Qn−2.

Da sowohl Pn(z) als auch z2 + Az + B ausschließlich reelleKoeffizienten besitzen, hat auch Qn−2(z) nur reelle Koeffizienten.Also laßt sich die Prozedur wiederholen. Nach endlich vielSchritten bekommen wir P := g1g2...gm1Qn−2m1 , wobei g1, ..., gm1

quadratische Polynome sind,

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dannist(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α)2 + β2 = x2 + Ax + B (∗)mit A = −2α ∈ R, B = α2 + β2 ∈ R. Wir dividieren P durchx − c und durch x − c , und erhalten wegen (∗) die DarstellungPn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x2 + Az + B)Qn−2.

Da sowohl Pn(z) als auch z2 + Az + B ausschließlich reelleKoeffizienten besitzen, hat auch Qn−2(z) nur reelle Koeffizienten.Also laßt sich die Prozedur wiederholen. Nach endlich vielSchritten bekommen wir P := g1g2...gm1Qn−2m1 , wobei g1, ..., gm1

quadratische Polynome sind, und Q hat nur reelle Nullstelle.

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dannist(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α)2 + β2 = x2 + Ax + B (∗)mit A = −2α ∈ R, B = α2 + β2 ∈ R. Wir dividieren P durchx − c und durch x − c , und erhalten wegen (∗) die DarstellungPn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x2 + Az + B)Qn−2.

Da sowohl Pn(z) als auch z2 + Az + B ausschließlich reelleKoeffizienten besitzen, hat auch Qn−2(z) nur reelle Koeffizienten.Also laßt sich die Prozedur wiederholen. Nach endlich vielSchritten bekommen wir P := g1g2...gm1Qn−2m1 , wobei g1, ..., gm1

quadratische Polynome sind, und Q hat nur reelle Nullstelle.Nach Folgerung A kann man Qn−2m1 in Forma(x − x1)...(x − xn−2m1) schreiben,

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dannist(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α)2 + β2 = x2 + Ax + B (∗)mit A = −2α ∈ R, B = α2 + β2 ∈ R. Wir dividieren P durchx − c und durch x − c , und erhalten wegen (∗) die DarstellungPn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x2 + Az + B)Qn−2.

Da sowohl Pn(z) als auch z2 + Az + B ausschließlich reelleKoeffizienten besitzen, hat auch Qn−2(z) nur reelle Koeffizienten.Also laßt sich die Prozedur wiederholen. Nach endlich vielSchritten bekommen wir P := g1g2...gm1Qn−2m1 , wobei g1, ..., gm1

quadratische Polynome sind, und Q hat nur reelle Nullstelle.Nach Folgerung A kann man Qn−2m1 in Forma(x − x1)...(x − xn−2m1) schreiben, wobei a, xi ∈ R.

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dannist(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α)2 + β2 = x2 + Ax + B (∗)mit A = −2α ∈ R, B = α2 + β2 ∈ R. Wir dividieren P durchx − c und durch x − c , und erhalten wegen (∗) die DarstellungPn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x2 + Az + B)Qn−2.

Da sowohl Pn(z) als auch z2 + Az + B ausschließlich reelleKoeffizienten besitzen, hat auch Qn−2(z) nur reelle Koeffizienten.Also laßt sich die Prozedur wiederholen. Nach endlich vielSchritten bekommen wir P := g1g2...gm1Qn−2m1 , wobei g1, ..., gm1

quadratische Polynome sind, und Q hat nur reelle Nullstelle.Nach Folgerung A kann man Qn−2m1 in Forma(x − x1)...(x − xn−2m1) schreiben, wobei a, xi ∈ R.

Wiederholung:

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:)

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Es existiert ein −v ∈ V , s.d. −v + v = ~0

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Es existiert ein −v ∈ V , s.d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Es existiert ein −v ∈ V , s.d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Es existiert ein −v ∈ V , s.d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

VII λ(u + v) = λu + λv

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Es existiert ein −v ∈ V , s.d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

VII λ(u + v) = λu + λv

VIII 1v = v

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Es existiert ein −v ∈ V , s.d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

VII λ(u + v) = λu + λv

VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K ,+, ·) ein Korper. EineMenge V mit Abbildungen+ : V × V → V

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Es existiert ein −v ∈ V , s.d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

VII λ(u + v) = λu + λv

VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K ,+, ·) ein Korper. EineMenge V mit Abbildungen+ : V × V → V◦ : K × V → V

heißt ein Vektorraum uber K ,

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Es existiert ein −v ∈ V , s.d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

VII λ(u + v) = λu + λv

VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K ,+, ·) ein Korper. EineMenge V mit Abbildungen+ : V × V → V◦ : K × V → V

heißt ein Vektorraum uber K , falls diefolgende Eigenschaften erfullt sind

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Es existiert ein −v ∈ V , s.d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

VII λ(u + v) = λu + λv

VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K ,+, ·) ein Korper. EineMenge V mit Abbildungen+ : V × V → V◦ : K × V → V

heißt ein Vektorraum uber K , falls diefolgende Eigenschaften erfullt sind (furalle u, v ,w ∈ V , λ, µ ∈ K ).

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Es existiert ein −v ∈ V , s.d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

VII λ(u + v) = λu + λv

VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K ,+, ·) ein Korper. EineMenge V mit Abbildungen+ : V × V → V◦ : K × V → V

heißt ein Vektorraum uber K , falls diefolgende Eigenschaften erfullt sind (furalle u, v ,w ∈ V , λ, µ ∈ K ).

I (u + v) + w = u + (v + w)

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Es existiert ein −v ∈ V , s.d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

VII λ(u + v) = λu + λv

VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K ,+, ·) ein Korper. EineMenge V mit Abbildungen+ : V × V → V◦ : K × V → V

heißt ein Vektorraum uber K , falls diefolgende Eigenschaften erfullt sind (furalle u, v ,w ∈ V , λ, µ ∈ K ).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Es existiert ein −v ∈ V , s.d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

VII λ(u + v) = λu + λv

VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K ,+, ·) ein Korper. EineMenge V mit Abbildungen+ : V × V → V◦ : K × V → V

heißt ein Vektorraum uber K , falls diefolgende Eigenschaften erfullt sind (furalle u, v ,w ∈ V , λ, µ ∈ K ).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Es existiert ein −v ∈ V , s.d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

VII λ(u + v) = λu + λv

VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K ,+, ·) ein Korper. EineMenge V mit Abbildungen+ : V × V → V◦ : K × V → V

heißt ein Vektorraum uber K , falls diefolgende Eigenschaften erfullt sind (furalle u, v ,w ∈ V , λ, µ ∈ K ).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Fur jedes v ∈ V es existiert ein−v ∈ V , s. d. −v + v = ~0

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Es existiert ein −v ∈ V , s.d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

VII λ(u + v) = λu + λv

VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K ,+, ·) ein Korper. EineMenge V mit Abbildungen+ : V × V → V◦ : K × V → V

heißt ein Vektorraum uber K , falls diefolgende Eigenschaften erfullt sind (furalle u, v ,w ∈ V , λ, µ ∈ K ).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Fur jedes v ∈ V es existiert ein−v ∈ V , s. d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Es existiert ein −v ∈ V , s.d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

VII λ(u + v) = λu + λv

VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K ,+, ·) ein Korper. EineMenge V mit Abbildungen+ : V × V → V◦ : K × V → V

heißt ein Vektorraum uber K , falls diefolgende Eigenschaften erfullt sind (furalle u, v ,w ∈ V , λ, µ ∈ K ).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Fur jedes v ∈ V es existiert ein−v ∈ V , s. d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

VII λ(u + v) = λu + λv

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Es existiert ein −v ∈ V , s.d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

VII λ(u + v) = λu + λv

VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K ,+, ·) ein Korper. EineMenge V mit Abbildungen+ : V × V → V◦ : K × V → V

heißt ein Vektorraum uber K , falls diefolgende Eigenschaften erfullt sind (furalle u, v ,w ∈ V , λ, µ ∈ K ).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Fur jedes v ∈ V es existiert ein−v ∈ V , s. d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

VII λ(u + v) = λu + λv

VIII 1v = v

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Es existiert ein −v ∈ V , s.d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

VII λ(u + v) = λu + λv

VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K ,+, ·) ein Korper. EineMenge V mit Abbildungen+ : V × V → V◦ : K × V → V

heißt ein Vektorraum uber K , falls diefolgende Eigenschaften erfullt sind (furalle u, v ,w ∈ V , λ, µ ∈ K ).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Fur jedes v ∈ V es existiert ein−v ∈ V , s. d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

VII λ(u + v) = λu + λv

VIII 1v = v (Wobei 1 das neutraleElement in (K , ·) ist.)

Wiederholung: (Hauptdefiniti-on der LAAG1:) Vektorraum isteine Menge V mit zwei Abbildun-gen + : V×V → V , ◦ : R×V →V s.d. die folgende Eigenschaftenerfullt sind (fur alle u, v ,w ∈ V ,λ, µ ∈ R).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Es existiert ein −v ∈ V , s.d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

VII λ(u + v) = λu + λv

VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K ,+, ·) ein Korper. EineMenge V mit Abbildungen+ : V × V → V◦ : K × V → V

heißt ein Vektorraum uber K , falls diefolgende Eigenschaften erfullt sind (furalle u, v ,w ∈ V , λ, µ ∈ K ).

I (u + v) + w = u + (v + w)

II u + v = v + u

III Es existiert ein ~0 ∈ V , s. d.~0 + v = v

IV Fur jedes v ∈ V es existiert ein−v ∈ V , s. d. −v + v = ~0

V (λµ)v = λ(µv)

VI (λ + µ)v = (λv + µv)

VII λ(u + v) = λu + λv

VIII 1v = v (Wobei 1 das neutraleElement in (K , ·) ist.)

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten)

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt.

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.:

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis, Dimension,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,Matrizen,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,Matrizen, Determinante,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,affine Geometrie.Die einzige Ausanahme ist

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,affine Geometrie.Die einzige Ausanahme ist Satz 28

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,affine Geometrie.Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlosseneTeilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,affine Geometrie.Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlosseneTeilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,weil wir im Beweis benutzt haben,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,affine Geometrie.Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlosseneTeilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,affine Geometrie.Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlosseneTeilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1 in Kinvertierbar ist,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,affine Geometrie.Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlosseneTeilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1 in Kinvertierbar ist, was z.B. in Z2 nicht der Fall ist.

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,affine Geometrie.Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlosseneTeilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1 in Kinvertierbar ist, was z.B. in Z2 nicht der Fall ist.Auch aus der Theorie von Euklidischen Raumen

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,affine Geometrie.Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlosseneTeilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1 in Kinvertierbar ist, was z.B. in Z2 nicht der Fall ist.Auch aus der Theorie von Euklidischen Raumen kann man vielverallgemeinern,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,affine Geometrie.Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlosseneTeilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1 in Kinvertierbar ist, was z.B. in Z2 nicht der Fall ist.Auch aus der Theorie von Euklidischen Raumen kann man vielverallgemeinern, z.B. Bilinearform und Satze daruber.

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,affine Geometrie.Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlosseneTeilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1 in Kinvertierbar ist, was z.B. in Z2 nicht der Fall ist.Auch aus der Theorie von Euklidischen Raumen kann man vielverallgemeinern, z.B. Bilinearform und Satze daruber.Begriff

”Skalarprodukt“ kann man jedoch nicht verallgemeinern,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,affine Geometrie.Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlosseneTeilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1 in Kinvertierbar ist, was z.B. in Z2 nicht der Fall ist.Auch aus der Theorie von Euklidischen Raumen kann man vielverallgemeinern, z.B. Bilinearform und Satze daruber.Begriff

”Skalarprodukt“ kann man jedoch nicht verallgemeinern,

weil die Eigenschaft (Positivdefinitheit):

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,affine Geometrie.Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlosseneTeilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1 in Kinvertierbar ist, was z.B. in Z2 nicht der Fall ist.Auch aus der Theorie von Euklidischen Raumen kann man vielverallgemeinern, z.B. Bilinearform und Satze daruber.Begriff

”Skalarprodukt“ kann man jedoch nicht verallgemeinern,

weil die Eigenschaft (Positivdefinitheit): σ(u, u) > 0 fur u 6= ~0, s.Vorlesung 20

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,affine Geometrie.Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlosseneTeilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1 in Kinvertierbar ist, was z.B. in Z2 nicht der Fall ist.Auch aus der Theorie von Euklidischen Raumen kann man vielverallgemeinern, z.B. Bilinearform und Satze daruber.Begriff

”Skalarprodukt“ kann man jedoch nicht verallgemeinern,

weil die Eigenschaft (Positivdefinitheit): σ(u, u) > 0 fur u 6= ~0, s.Vorlesung 20nicht fur alle K sinnvoll ist:

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisennur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wirin diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch fur Vektorraumeuber beliebigen Korper gultig.Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorraumen,Untervektorraumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,affine Geometrie.Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlosseneTeilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1 in Kinvertierbar ist, was z.B. in Z2 nicht der Fall ist.Auch aus der Theorie von Euklidischen Raumen kann man vielverallgemeinern, z.B. Bilinearform und Satze daruber.Begriff

”Skalarprodukt“ kann man jedoch nicht verallgemeinern,

weil die Eigenschaft (Positivdefinitheit): σ(u, u) > 0 fur u 6= ~0, s.Vorlesung 20nicht fur alle K sinnvoll ist: z.B. fur K = Z2 hat

”≥ 0“ kein Sinn.

Beispiele

Beispiele

Bsp.

Beispiele

Bsp. Sei (K , ·,+) ein Korper.

Beispiele

Bsp. Sei (K , ·,+) ein Korper. K n = K × ... × K︸ ︷︷ ︸

n Stuck

ist die Menge von

n−Tupel

Beispiele

Bsp. Sei (K , ·,+) ein Korper. K n = K × ... × K︸ ︷︷ ︸

n Stuck

ist die Menge von

n−Tupel

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA mit den Operationen

Beispiele

Bsp. Sei (K , ·,+) ein Korper. K n = K × ... × K︸ ︷︷ ︸

n Stuck

ist die Menge von

n−Tupel

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA mit den Operationen

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA

Beispiele

Bsp. Sei (K , ·,+) ein Korper. K n = K × ... × K︸ ︷︷ ︸

n Stuck

ist die Menge von

n−Tupel

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA mit den Operationen

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA +

0BB�y1

.

.

.yn

1CCA =

0BB�x1 + y1

.

.

.xn + yn

1CCA

Beispiele

Bsp. Sei (K , ·,+) ein Korper. K n = K × ... × K︸ ︷︷ ︸

n Stuck

ist die Menge von

n−Tupel

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA mit den Operationen

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA +

0BB�y1

.

.

.yn

1CCA =

0BB�x1 + y1

.

.

.xn + yn

1CCA ,

Beispiele

Bsp. Sei (K , ·,+) ein Korper. K n = K × ... × K︸ ︷︷ ︸

n Stuck

ist die Menge von

n−Tupel

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA mit den Operationen

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA +

0BB�y1

.

.

.yn

1CCA =

0BB�x1 + y1

.

.

.xn + yn

1CCA ,

λ

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA

Beispiele

Bsp. Sei (K , ·,+) ein Korper. K n = K × ... × K︸ ︷︷ ︸

n Stuck

ist die Menge von

n−Tupel

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA mit den Operationen

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA +

0BB�y1

.

.

.yn

1CCA =

0BB�x1 + y1

.

.

.xn + yn

1CCA ,

λ

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA =

0BB�λx1

.

.

.λxn

1CCA

Beispiele

Bsp. Sei (K , ·,+) ein Korper. K n = K × ... × K︸ ︷︷ ︸

n Stuck

ist die Menge von

n−Tupel

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA mit den Operationen

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA +

0BB�y1

.

.

.yn

1CCA =

0BB�x1 + y1

.

.

.xn + yn

1CCA ,

λ

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA =

0BB�λx1

.

.

.λxn

1CCASatz 7(Hauptssatz der linearen Algebra, Vorlesung 8 LAAG1) Zweiendlichdimensionalen Vektorraume

Beispiele

Bsp. Sei (K , ·,+) ein Korper. K n = K × ... × K︸ ︷︷ ︸

n Stuck

ist die Menge von

n−Tupel

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA mit den Operationen

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA +

0BB�y1

.

.

.yn

1CCA =

0BB�x1 + y1

.

.

.xn + yn

1CCA ,

λ

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA =

0BB�λx1

.

.

.λxn

1CCASatz 7(Hauptssatz der linearen Algebra, Vorlesung 8 LAAG1) Zweiendlichdimensionalen Vektorraume uber einem Korper sind genau dannisomorph,

Beispiele

Bsp. Sei (K , ·,+) ein Korper. K n = K × ... × K︸ ︷︷ ︸

n Stuck

ist die Menge von

n−Tupel

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA mit den Operationen

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA +

0BB�y1

.

.

.yn

1CCA =

0BB�x1 + y1

.

.

.xn + yn

1CCA ,

λ

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA =

0BB�λx1

.

.

.λxn

1CCASatz 7(Hauptssatz der linearen Algebra, Vorlesung 8 LAAG1) Zweiendlichdimensionalen Vektorraume uber einem Korper sind genau dannisomorph, wenn sie gleiche Dimension haben.

Beispiele

Bsp. Sei (K , ·,+) ein Korper. K n = K × ... × K︸ ︷︷ ︸

n Stuck

ist die Menge von

n−Tupel

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA mit den Operationen

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA +

0BB�y1

.

.

.yn

1CCA =

0BB�x1 + y1

.

.

.xn + yn

1CCA ,

λ

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA =

0BB�λx1

.

.

.λxn

1CCASatz 7(Hauptssatz der linearen Algebra, Vorlesung 8 LAAG1) Zweiendlichdimensionalen Vektorraume uber einem Korper sind genau dannisomorph, wenn sie gleiche Dimension haben.Frage.

Beispiele

Bsp. Sei (K , ·,+) ein Korper. K n = K × ... × K︸ ︷︷ ︸

n Stuck

ist die Menge von

n−Tupel

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA mit den Operationen

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA +

0BB�y1

.

.

.yn

1CCA =

0BB�x1 + y1

.

.

.xn + yn

1CCA ,

λ

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA =

0BB�λx1

.

.

.λxn

1CCASatz 7(Hauptssatz der linearen Algebra, Vorlesung 8 LAAG1) Zweiendlichdimensionalen Vektorraume uber einem Korper sind genau dannisomorph, wenn sie gleiche Dimension haben.Frage. Gibt es ein Vektorraum,

Beispiele

Bsp. Sei (K , ·,+) ein Korper. K n = K × ... × K︸ ︷︷ ︸

n Stuck

ist die Menge von

n−Tupel

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA mit den Operationen

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA +

0BB�y1

.

.

.yn

1CCA =

0BB�x1 + y1

.

.

.xn + yn

1CCA ,

λ

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA =

0BB�λx1

.

.

.λxn

1CCASatz 7(Hauptssatz der linearen Algebra, Vorlesung 8 LAAG1) Zweiendlichdimensionalen Vektorraume uber einem Korper sind genau dannisomorph, wenn sie gleiche Dimension haben.Frage. Gibt es ein Vektorraum, der aus 2 Punkten besteht?

Beispiele

Bsp. Sei (K , ·,+) ein Korper. K n = K × ... × K︸ ︷︷ ︸

n Stuck

ist die Menge von

n−Tupel

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA mit den Operationen

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA +

0BB�y1

.

.

.yn

1CCA =

0BB�x1 + y1

.

.

.xn + yn

1CCA ,

λ

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA =

0BB�λx1

.

.

.λxn

1CCASatz 7(Hauptssatz der linearen Algebra, Vorlesung 8 LAAG1) Zweiendlichdimensionalen Vektorraume uber einem Korper sind genau dannisomorph, wenn sie gleiche Dimension haben.Frage. Gibt es ein Vektorraum, der aus 2 Punkten besteht? JA!

Beispiele

Bsp. Sei (K , ·,+) ein Korper. K n = K × ... × K︸ ︷︷ ︸

n Stuck

ist die Menge von

n−Tupel

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA mit den Operationen

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA +

0BB�y1

.

.

.yn

1CCA =

0BB�x1 + y1

.

.

.xn + yn

1CCA ,

λ

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA =

0BB�λx1

.

.

.λxn

1CCASatz 7(Hauptssatz der linearen Algebra, Vorlesung 8 LAAG1) Zweiendlichdimensionalen Vektorraume uber einem Korper sind genau dannisomorph, wenn sie gleiche Dimension haben.Frage. Gibt es ein Vektorraum, der aus 2 Punkten besteht? JA! Fur

K = Z2 ist K 1 ein Vektorraum.

Beispiele

Bsp. Sei (K , ·,+) ein Korper. K n = K × ... × K︸ ︷︷ ︸

n Stuck

ist die Menge von

n−Tupel

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA mit den Operationen

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA +

0BB�y1

.

.

.yn

1CCA =

0BB�x1 + y1

.

.

.xn + yn

1CCA ,

λ

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA =

0BB�λx1

.

.

.λxn

1CCASatz 7(Hauptssatz der linearen Algebra, Vorlesung 8 LAAG1) Zweiendlichdimensionalen Vektorraume uber einem Korper sind genau dannisomorph, wenn sie gleiche Dimension haben.Frage. Gibt es ein Vektorraum, der aus 2 Punkten besteht? JA! Fur

K = Z2 ist K 1 ein Vektorraum.Bsp Sei K ein Unterkorper des Korpers (H, ·,+). p Dann ist (H,+, ·)ein Vektorraum uber K .

Beispiele

Bsp. Sei (K , ·,+) ein Korper. K n = K × ... × K︸ ︷︷ ︸

n Stuck

ist die Menge von

n−Tupel

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA mit den Operationen

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA +

0BB�y1

.

.

.yn

1CCA =

0BB�x1 + y1

.

.

.xn + yn

1CCA ,

λ

0BB�x1

.

.

.xn

1CCA =

0BB�λx1

.

.

.λxn

1CCASatz 7(Hauptssatz der linearen Algebra, Vorlesung 8 LAAG1) Zweiendlichdimensionalen Vektorraume uber einem Korper sind genau dannisomorph, wenn sie gleiche Dimension haben.Frage. Gibt es ein Vektorraum, der aus 2 Punkten besteht? JA! Fur

K = Z2 ist K 1 ein Vektorraum.Bsp Sei K ein Unterkorper des Korpers (H, ·,+). p Dann ist (H,+, ·)ein Vektorraum uber K . (In Worter: Jeder Korper ist einUntervektorraum uber seinem Unterkorper)