Anwendungslinien für einen

langfristigen Kompetenzaufbau im

mathematischen Modellieren

Prof. Dr. Regina Bruder

Technische Universität Darmstadt

bruder@mathematik.tu-darmstadt.de

www.math-learning.com

01.12.2012 ISTRON Münster

Gliederung

1. Drei Konzepte für anwendungsorientierten

Mathematikunterricht und zum Erwerb von

Modellierungskompetenz

2. Wie kann man mathematische

Modellierungskompetenz langfristig aufbauen ?

Was soll durch den Mathematikunterricht von der Mathematik

verstanden,

behalten und

angewendet

werden können?

Mathematische Gegenstände ... als eine

deduktiv geordnete Welt eigener Art ...

begreifen.

Problemlösefähigkeiten (heuristische

Fähigkeiten, die über die Mathematik

hinausgehen)

Erscheinungen der Welt um uns ... in einer

spezifischen Art wahrzunehmen und zu

verstehen.

Vision für modernen MU:

Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

Was ist wesentlich?

Orientierung an der Curriculumspirale

Figuren

erkennen untersuchen

erzeugen

variieren

Abstände

berechnen

Datensätze

beschreiben

darstellen

strukturieren

Objekte (und Prozesse)

optimieren

Algebraische

Aspekte: Zahl

Geometrische Aspekte:

Raum

- z.B. bei

Verpackungen

Dimensionen von Modellierungskompetenz

1. Auf den Modellierungsprozess bezogenes Wissen und Können

(degree of coverage)

1. Mathematische Inhalte (technical level)

2. Situationen und Kontexte, aus denen das reale Problem stammen kann (radius of action).

… als Mathematisierungsmuster

Blomhøj und Jensen (2007, S. 51)

Themenvielfalt und vertikale Linien

Warum Modellieren als „Ganzes“ im MU Platz finden soll…

- Es wird das von den SuS angewendet, was sie gerade aktuell im MU gelernt

haben: Der Blick von der Mathematik in die Welt muss ergänzt werden durch den

Blick auf die Realität mit der Mathebrille!

-Wo wird Mathematik benötigt –

-Welchen Mehrwert bringt die

Anwendung von Mathematik?

- Es gibt bisher zu wenig Gelegenheit zu zeigen, was an mathematischen

Begriffen, Zusammenhängen und Verfahren tatsächlich verfügbar ist

(Kompetenz!)

-Modellierungssituationen bieten diese Chance!

Interpretationsrahmen und verschiedene Ansätze:

A) Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen

Mitteln projektartig erschlossen (lokal)

B) Ein Anwendungsbereich/Themenfeld wird als vertikale

Linie entwickelt und in verschiedenen Klassenstufen

immer wieder aufgegriffen

C) In einen stärker an der mathematischen Sachlogik

orientierten Unterricht werden abschnittsweise

Anwendungen „eingestreut“

Ziel: Handlungs-

kompetenz im

Modellieren

Anwendungsorientierter MU für das Ausbilden von Modellierungskompetenz

- reale Fragestellungen und Probleme dominieren und strukturieren den Unterricht

entweder als Rekonstruktion mathematischer Hintergründe oder als „Mehrwerterleben“ von Mathematiknutzung in einer (Problem-)Situation

- es wird die Mathematik geübt und entwickelt, die tatsächlich „gebraucht“ wird

A)Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen Mitteln projektartig erschlossen (lokal)

- als Einstieg in ein neues mathematisches Thema geeignet bzw. für fächerverbindenden Unterricht oder als

- Modellierungswoche, Projekttag…

Themenbeispiele: Brückenbau, Autobahnabfahrt,

Sportwetten, Kirchenfenster …

vgl. auch www.amustud.de

Durchschnittbilanz

Tonnen CO2 pro Jahr

Heizen und Warmwasser 1,97

Elektrogeräte 0,75

Energieverbrauch gesamt 2,72

Privatfahrzeuge 1,56

Offentliche Verkehrsmittel 0,11

Flugreisen 0,85

Mobilität gesamt 2,52

Ernährung 1,65

Persönlicher Konsum 2,75

Verbrauch der Allgemeinheit 1,24

Konsum gesamt 5,64

Gesamt 10,88

Durchschnittliche CO2 - Emission pro Kopf in Privathaushalten

Elektrogeräte

7%

Heizen und

Warmwasser

18%

Ernährung

15%

Persönlicher Konsum

26%

Verbrauch der

Allgemeinheit

11%

Offentliche

Verkehrsmittel

1%

Flugreisen

8%

Privatfahrzeuge

14%

Verpackungen machen in Deutschland ca. 1% in der CO2-Gesamtemission aus.

Quelle: Umweltbundesamt

A)Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen Mitteln projektartig erschlossen (lokal): CO2-Fußabdruck

A)Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen Mitteln projektartig erschlossen (lokal): Thema „virtuelles Wasser“ Historischer Fakt:

Der Begriff „virtuelles Wasser“ wurde 1993 von dem britischen Geographen Tony Allan eingeführt.

Allan berechnete den Wasserverbrauch, der durch die Produktion, Lagerung und den Transport verschiedener Konsumgüter entsteht,

und machte so erstmals transparent,

wie viel Wasser in den Produkten steckt,

die der Endverbraucher konsumiert.

http://www.waterfootprint.org/?page=cal/WaterFootprintCalculator

13 Liter Wasser in einer Tomate

Die Tomaten wachsen nicht im Supermarkt, sondern an Tomatenpflanzen. Bis aus einem Tomatensamen ein Tomatenstrauch wird und an diesem Strauch die Tomaten reif werden, dauert es ca. 3 Monate.

In dieser Zeit braucht die Pflanze Wasser um zu wachsen und zu reifen. Für das Wachstum von einem Kilogramm Tomaten werden durchschnittlich 184 Liter Wasser benötigt.

Entsprechend stecken ca. 13 Liter virtuelles Wasser in einer 70 Gramm schweren Tomate.

Die Niederschläge reichen für die Tomatenbewässerung nicht aus. Deswegen wird kostbares Grundwasser benutzt. Die Folge des Gemüseanbaus in trockenen Regionen Spaniens sind Versalzung und Versteppung des Bodens.

Die meisten in D. verzehrten Tomaten kommen aus Spanien.

Autorin: Diana Milev 2012

Virtuelles Wasser eines Brotes In einem Kilogramm des

deutschen Weizens stecken 690 Liter virtuelles Wasser.

80% von diesem Wassergehalt konzentrieren sich im Mehl, welches aus dem Weizen gewonnen wird;

Aus einem Kilogramm Getreide wird 790 Gramm Weizenmehl gewonnen. Wie viel Liter des virtuellen Wassers stecken in einem Kilogramm Weizenmehl?

Aus einem Kilo Mehl bekommt man 1,15 Kg Brot. Wie viel Liter des virtuellen Wassers stecken in einem 750 Gramm schweren Brot?

Autorin: Diana Milev 2012

Wasserpreis- und Verbrauchsänderungen (BRD)

2003 durchschnittlicher Wasserpreis in der BRD bei 1,72€ pro 1 m³

Quelle: Statistisches Bundesamt

Interpretationsrahmen und verschiedene Ansätze:

A) Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen

Mitteln projektartig erschlossen (lokal)

B) Ein Anwendungsbereich/Themenfeld wird als vertikale

Linie entwickelt und in verschiedenen Klassenstufen

immer wieder aufgegriffen

C) In einen stärker an der mathematischen Sachlogik

orientierten Unterricht werden abschnittsweise

Anwendungen „eingestreut“

- Wichtig für Schulcurriculum,

- LB-Gestaltung

- Mehrwerterleben von Mathematik

- Kumulatives Lernen…

Anwendungsorientierter MU für das Ausbilden von Modellierungskompetenz

B) ein Anwendungsbereich/Themenfeld wird als vertikale Linie entwickelt und in verschiedenen Klassenstufen immer wieder aufgegriffen Möglichkeiten einer vertikalen Strukturierung:

Interpretations- und

Entscheidungsprobleme

Umgehen mit Geld

Umgang mit Energie und

Ressourcen (Wasser…)

Lebensweise – Gesundheit,

Freizeitverhalten (CO2-

Fußabdruck…)…

B) ein Anwendungsbereich/Themenfeld wird als vertikale Linie entwickelt und in verschiedenen Klassenstufen immer wieder aufgegriffen Möglichkeiten einer vertikalen Strukturierung:

Mehrwert von Mathematik

erleben:

Schrittweise Erweiterung der

mathematischen Werkzeuge

zur Bearbeitung eines

praxisrelevanten

Problemfeldes, das immer

wieder aufgegriffen wird:

Mittelwerte…

Unzugängliche

Entfernungen bestimmen,

Wachstumsprobleme

Interpretations- und

Entscheidungsprobleme

Umgehen mit Geld

Umgang mit Energie und

Ressourcen (Wasser…)

Lebensweise – Gesundheit,

Freizeitverhalten…

Mittelwerte – ein Gedankenexperiment

Wer ist schneller?

Ein Ruderboot auf einem See rudert eine bestimmte Strecke gleichmäßig hin

und wieder zurück.

Zur gleichen Zeit startet ein gleich starkes Ruderboot auf einem Fluss und fährt

die gleiche Streckenlänge – jedoch einmal flussaufwärts und einmal

flussabwärts.

Ein analoges Beispiel:

Für einen Besuch bei Freunden wurde für die Autofahrt eine

Durchschnittsgeschwindigkeit von 100km/h eingeplant.

Leider gab es einen Stau, so dass die erste Hälfte der Strecke nur mit einem

„Schnitt“ von 50km/h absolviert wurde.

Wie schnell hätte auf der zweiten Hälfte gefahren werden müssen, um

trotzdem wie vorgesehen am Ziel einzutreffen?

Für die Zeit gilt bei konstanter Geschwindigkeit :

Fahrzeit 1. Hälfte + Fahrzeit 2.Hälfte = Gesamtzeit

ts

v

s s

v

s2 2

50 100

s s

v

s

100 2 100

Interpretation: Die für den Gesamtweg geplante Zeit ist bereits

nach der 1.Weghälfte abgelaufen!

t t t gesamt1 2

Lernanlass: Vergleich mehrerer Mittelwerte im MU Fragen: Wo liegt das harmonische Mittel im Vergleich zum

geometrischen und arithmetischen Mittel?

a b

a b

2 a b2

1 1a b> >

Quadratisches Mittel und Kubisches Mittel

mit Anwendungen:

- Standardabweichung - Wann ist ein Weinbecher

halb voll?

a b2 2

2

a b3 3

3

2

Weitere Mittelwerte:

Lernziele

Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik

verstanden,

behalten und

angewendet

werden können?

Funktion von Mathematik zur Aufklärung

struktureller Unterschiede in realitätsbezogenen Situationen erkennen

Der Begriff Mittelwert besitzt verschiedene

Ausprägungen

Beispielkontexte und Visualisierungen als

Merkhilfen

Mittelwerte als mathematische Modelle

begreifen und in verschiedenen Kontexten

wiedererkennen und nutzen

Unzugängliche Entfernungen bestimmen

23

Wie kann man die Breite

eines Flusses

(Höhe eines Baumes o.ä.

nicht zugängliche Entfer-

nungen) bestimmen?

Maßband und Winkel-

messgerät stehen zur

Verfügung.

Erarbeitung des Themenfeldes: Wo kommen

Wachstumsprozesse vor?

a) Natur / Umwelt: Pflanzen, Tiere, Erdbevölkerung,

Pilze, Bakterien und Viren

b) Wachstum von Kosten und Gewinnen: Guthaben und

Schulden bei Banken, Einkaufen, Dienstleistungen

(Taxi, Handy- bzw. Telefonkosten)

c) Physikalisch: Radioaktiver Zerfall (Atomenergie und

C14-Methode), Entstehung und Verlust von Wärme

Wachstumsprozesse

a) Lineares Wachstum: In jeder Zeiteinheit kommt

der gleiche Betrag hinzu. Beispiele: Taxifahrt…

Nachteil: Es existiert nur bedingt.

b) Rolle der Fibonaccizahlen bei Wachstum:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,.....

Beispiele: Spiralen bei Kiefernzapfen und andere

Wuchsformen von Pflanzen

Grund: Optimale Verteilung – geringste

Überlappung

Mathematisierungsmuster für die

Beschreibung von Wachstumsprozessen

c) Exponentielles Wachstum:

Der Zuwachs ist hierbei proportional zum

vorhandenen Bestand. In jeder Zeiteinheit nimmt

der Bestand mit dem gleichen Faktor zu. Beispiele

Zinsen, Bakterienwachstum.

Nachteil: Gilt nur in gewissen Grenzen, da

normalerweise nichts unbegrenzt wachsen kann.

Mathematisierungsmuster für die

Beschreibung von Wachstumsprozessen

d) Logistisches Wachstum: Es gibt eine Grenze, die nicht

überschritten werden kann. Der Bestand entwickelt sich

zunächst fast exponentiell. Je näher er aber an die

Grenze heran kommt, desto mehr wird das Wachstum

gehemmt.

Beispiel: Populationsmodelle

Was sind „prototypische

Anwendungen“ im MU ?

Anwendungslinien als Stützen der Curriculumspirale

• Umgehen mit Geld...

• Anteile beschreiben und vergleichen (Brüche, Dreisatz,

Prozentrechnung, Streckenteilung/Goldener Schnitt...)

• Optimieren

• Entfernung unzugänglicher Punkte bestimmen

• Funktionale Zusammenhänge beschreiben (Wachstum/Zerfall;

lokale und globale Veränderungen)

• Beziehungen zwischen Zahlen und Figuren beschreiben

• Visualisierungen (Mittelwerte, bin. Formeln...)

• Symmetrie, Kongruenz – Ähnlichkeit...

• Figuren erzeugen und vergleichen in Ebene und Raum

• Zufall beschreiben...

Was sind die

„Mathematisierungsmuster“?

Berechnungs-

möglichkeiten für

unzugängliche

Strecken Beschreibungs-

möglichkeiten für

Datensätze und

(lokale)

Änderungen

-Pythagoras

-Strahlensätze

-Trigonometrie

-Skalarprodukt…

-Funktionstypen

-Regression

-Linearisierung

-Ableitung…

Erzeugen von

Figuren, Mustern

-Kongruenzabb.

-Ähnlichkeitsabb.

-Grundkonstruktionen

-Symmetrie…

Optimieren von

Prozessen und

Objekten

-Extremalprinzip

-Differenzial-

rechnung

-Ungleichungen

-Symmetrieprinzip

…

Interpretationsrahmen und verschiedene Ansätze:

A) Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen

Mitteln projektartig erschlossen (lokal)

B) Ein Anwendungsbereich/Themenfeld wird als vertikale

Linie entwickelt und in verschiedenen Klassenstufen

immer wieder aufgegriffen

C) In einen stärker an der mathematischen Sachlogik

orientierten Unterricht werden abschnittsweise

Anwendungen „eingestreut“

- Typisch für den aktuellen Unterricht

- die Mathematik wird angewendet, die gerade behandelt wurde

- Ziel: Schrittweise offenere Aufgaben einsetzen

Anwendungsorientierter MU für das Ausbilden von Modellierungskompetenz

Kreativ sein dürfen:

Ein Spieler zahlt 1 Euro Einsatz und wirft 3 (ideale) Würfel.

Erscheint dabei die 6 ein-, zwei- oder dreimal, erhält er den

Einsatz zurück und außerdem einen Gewinn von 1 bzw. 2

bzw. 3 Euro.

Erscheint keine 6, ist der Einsatz verloren.

a) Weise nach, dass das Spiel nicht fair ist!

b) Was könnte man an dem Spiel verändern, damit es fair

wird?

Lösungsvorschläge zu b):

- Änderung des Gewinnplanes – z.B. soll man auch mit einer 5

noch einen kleinen Gewinn erzielen können (wie groß

müsste dann dieser Gewinn sein?)

- Änderung der Gewinnquote – man könnte für drei Sechsen

z.B. etwas mehr als nur die 3 Euro plus Einsatz erhalten (wie

viel dann?)

- der Einsatz wird verringert bei Konstanthalten des Gewinn-

planes (tatsächlich genügen 0,86 Euro für ein faires Spiel).

Interpretationsrahmen und verschiedene Ansätze:

A) Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen

Mitteln projektartig erschlossen (lokal)

B) Ein Anwendungsbereich/Themenfeld wird als vertikale

Linie entwickelt und in verschiedenen Klassenstufen

immer wieder aufgegriffen

C) In einen stärker an der mathematischen Sachlogik

orientierten Unterricht werden abschnittsweise

Anwendungen „eingestreut“

– flankiert durch ein Modellierungstrainingslager zum

Erwerb von Metakompetenz zum Modellieren

(z.B. halbjährlich 2 - 4h)

Anwendungsorientierter MU für das Ausbilden von Modellierungskompetenz

Mathematische Fragen stellen…

Stellt Euch vor, Ihr werdet als

Mathematikexperte bei einer Firma, die

Schokowaffeln produziert, um Hilfe

gebeten.

Eure Aufgabe ist es, möglichst viele

Ideen zu entwickeln, was alles an den

Schokowaffeln verändert werden kann!

Welche Vorschläge würdet ihr

unterbreiten?

Wie findet man möglichst viele

Veränderungsvorschläge?

Schülerreaktionen aus dem Unterricht:

Die Waffeln krümeln immer so, kann man das ändern?

Wenn man Werbeblättchen bekommt, würden bestimmt mehr

Leute die Waffeln kaufen.

Ich möchte gerne wissen, wie lange ich joggen muss für so

eine Waffel! Das sollte man dann drauf schreiben!

Ich habe mal gelesen, dass Kakao teurer ist als Nüsse. Ob

sich die Zusammensetzung der Schokowaffel in den letzten

Jahren schon geändert hat?

Wieso sind die Waffeln eigentlich quadratisch – hat das

einen besonderen Grund?

Kann man die Waffeln noch anders einpacken und Papier

sparen ohne gleich schmutzige Finger zu bekommen?

-

• Rundgang mit der „Mathematikbrille“...

Frage: Wo ist Mathematik (in Verpackungen) versteckt ?

Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in

Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren.

-

• Rundgang mit der „Mathematikbrille“...

Frage: Wo ist Mathematik in Verpackungen versteckt ?

• Vergleichen verschiedener Verpackungen miteinander

• Verpackungen analysieren

• Kreation einer neuen Leckerei mit Verpackung

Frage: Wie kann man solche Situationen/Zusammenhänge

mathematisch beschreiben?

Welche Vorteile, welchen Mehrwert kann eine

mathematische Beschreibung bieten?

Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in

Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren.

Gliederung

1. Drei Konzepte für anwendungsorientierten

Mathematikunterricht und zum Erwerb von

Modellierungskompetenz

2. Wie kann man mathematische

Modellierungskompetenz langfristig aufbauen ?

Hypothese: Stufen beim mathematischen Modellieren

Unmittelbares Modellieren (Stufe I): „Textaufgaben“ mit (sinnvollem) Anwendungsbezug

Idealisierendes Modellieren (Stufe II) Normatives Modellieren (Stufe IIa):

Schaffen von Realität; Typ: „was ist gerecht?“

Deskriptives Modellieren (Stufe IIb):

„Abbildung“ der Realität, Anwendung

Anzupassendes Modellieren (Stufe III) Arbeiten mit Daten und geeigneten Funktionsklassen…

Stufenkonzept von Ulrich Böhm, 2012

Hypothese:

Wenn die im Curriculum angelegte Modellierungskompetenz einer Stufenform unterliegt, bedeutet dies, dass in Jahrgangsstufe 5 Stufe I überwiegt, die dann im Laufe der Schulzeit durch Stufe II und III ergänzt und auch ersetzt wird.

Untersucht wurde:

Neue Wege 5/7/9 (Schroedel-Verlag)

von Rene Sauer, Darmstadt 2012.

Ergebnisse der LB-Analysen

Klasse 5

235 Anwendungs-/Modellierungsaufgaben insgesamt

Neue Wege 5 Modellierungsaufgaben

Aufgaben, die keiner

Stufe eindeutig

zugeordnet werden

können

10

4%

Normative

Modelleriungsaufgaben

8

3%

Unmittelbare

Modelleriungsaufgaben

217

93%

1

2

3

Klasse 7 333 Anwendungs-/Modellierungsaufgaben

Neue Wege 7 ModellierungsaufgabenNormative

Modellierungsaufgaben

30

9%

Aufgaben die keiner Stufe

zuzuordnen sind

4

1%

Deskriptive

Modellierungsaufgaben

172

52%

Unmittelbare

Modellierungsaufgaben

127

38%1

2

3

4

Klasse 9

202 Modellierungsaufgaben

Graphische Darstellung der Ergebnisse Neue Wege 9

Normative

Modellierungsaufgaben;

13;

6%

Unmittelbare

Modellierungsaufgaben;

13;

6%

Deskriptive

Modellierungsaufgaben;

116;

58%

Anzupassende

Modellierungsaufgaben;

60;

30% 1

2

3

4

Beispiele für Aufgabeneinstu-fungen aus den einzelnen Klassen

Unmittelbares Modellieren:

Klasse 5:

Ein Kellerraum soll gefliest

werden. Das Fliesen des

Fußbodens kostet 46 € pro

Quadratmeter, der Meter

Fußleiste kostet 8 €. Wie teuer

wird das Vorhaben?

(Neue Wege 5 2006, S. 221)

Klasse 7:

Natascha hat in einem

Mathe-Test 43 von 55

Punkten erzielt. Der

Lehrer teilt den

Schülerinnen und

Schülern mit, dass er

von 90 % bis 100 %

eine Eins gibt, von 75 %

bis 90 % eine Zwei, von

60 % bis 70 % eine Drei

und von 45 % bis 60 %

eine Vier. Natascha

kann ihre Note

ausrechnen.

(Neue Wege 7 2007, S. 74)

Klasse 9

Licht legt im Vakuum in 1

Sekunde 3*10^8 m zurück.

Ein Lichtjahr ist die Strecke,

die das Licht in einem Jahr

zurücklegt. Wie viele km sind

ein Lichtjahr?

(Neue Wege 9, 2009, S.94)

Normative Modellierungsaufgaben

Klasse 5:

Inventur im Supermarkt. Herr

Wagner zählt: „4, 8,, …“. Hilf

Herrn Wagner und zähle

weiter.

Natürlich könnte Herr Wagner

auch noch schneller zählen.

Du auch?

(Neue Wege 5 2006, S. 132)

Klasse 7:

a) Erfinde zu dem Bild eine

einfache und eine komplizierte

Dreisatzaufgabe

b) Erstelle Musterlösungen zu

deiner Aufgabe

c) Lass die Aufgabe von jemand

anderen lösen. Vergleicht die

Lösungen.

d) Entscheidet gemeinsam, ob die

Aufgabenstellung verbessert

werden kann.

(Neue Wege 7 2007, S. 50)

Klasse 9

Zwei Spieler A und B setzen je

32 Pistolen (Geldstücke) ein

und vereinbaren, einen

Münzwurf mehrmals

durchzuführen:

A gewinnt jeweils einen Punkt

bei Zahl, B bei Wappen. Wer

zuerst drei Punkte erreicht,

erhält den Gesamteinsatz von

64 Pistolen.

Aus irgendwelchen Gründen

muss das Spiel beim Stand

von 2:1 für den Spieler A

abgebrochen werden. Wie ist

der Einsatz gerecht

aufzuteilen?

(Neue Wege 9, 2009, S.182)

Beispiele für Aufgabeneinstu-fungen aus den einzelnen Klassen

Deskriptive Modellierungsaufgaben

Klasse 7: Der 60. südliche Breitenkreis verläuft

vollständig durch die Ozeane, er

kreuzt kein Festland. Sein Radius

beträgt ungefähr 3190 km. Auf diesem

Breitenkreis liegt auch die berüchtigte

Drake Passage (Meerenge zwischen

Südamerika und der Antarktis), die für

ihre schwierigen Wasserströmungen

starke Stürme bekannt ist. Wie lange

bräuchte ein Schiff mit einer

Durchschnittsgeschwindigkeit von

ungefähr 40 km/h für eine

(störungsfreie) vollständige

Umrundung dieses Breitenkreises?

(Neue Wege 7 2007, S. 213)

Klasse 9

Wie groß sind das Volumen und der

Oberflächeninhalt der Globe Arena

in Stockholm ungefähr? Vergleiche

mit den Maßen eurer Sporthalle.

Wie groß ist die zur Verfügung

stehende Grundfläche der

Innenarena, wenn man sie etwa in

der Höhe von einem Viertel

Durchmesser anlegt?

(Neue Wege 9, 2009, S.138)

Beispiele für Aufgabeneinstu-fungen aus den einzelnen Klassen

Beispiele für Aufgaben aus den einzelnen Klassenstufen

Anzupassende Modellierungsaufgaben (ab Klasse 9)

Interpretation des Resultats

Die Hypothese lässt sich am untersuchten LB bestätigen!

Stufenkonzept für das Modellierenlernen – auch als Hintergrund für Reflexionen mit den S. nutzen: Unmittelbares Modellieren (Stufe I):

Idealisierendes Modellieren (Stufe II) Normatives Modellieren (Stufe IIa): Deskriptives Modellieren (Stufe IIb):

Anzupassendes Modellieren (Stufe III)

Vielen Dank für Ihr Interesse!