Arbeitsblätter MatheMagie€¦ · Trinken in der Ausstellung nicht erlaubt. Dafür stehen euch...

Technorama Technoramastrasse 1 CH-8404 Winterthur

T +41 (0)52 244 08 44 F +41 (0)52 244 08 45 [email protected] www.technorama.ch

Arbeitsblätter

MATHEMAGIE 1. Allgemeine Hinweise für Lehrkräfte

2. Tipps für einen Schulbesuch

3. Übersichtsplan Sektor Kopfwelten

4. Aktivitäten

4.1. Denkspiele

Efronsche Würfel

Turm von Hanoi

Wolf – Ziege und Kohlkopf

4.2. Geometrie

Alle Dreiecke sind gleich

Brücken mit losen Steinen

Möbius-Band

Penrose Parkett

Pythagoras – wiegt schwer

Was alles in einen Würfel passt

4.3. Zahlenraum

Ausladungen wer kommt am weitesten raus

Maschine in Granit

Weisst du wie viele Smarties stehn

5. Antworten

Stand: Oktober 2013, Änderungen vorbehalten © Technorama



Allgemeine Hinweise für Lehrkräfte

Das Wichtigste

1. Lassen Sie Ihre Schüler nicht allein!

Geniessen Sie den Besuch gemeinsam mit Ihren Schülern.

2. Ein Technorama-Besuch sollte mindestens 3 Stunden, je nach Klassenstufe

und Ziel des Besuches bis zu 5 Stunden dauern.

3. Es ist unmöglich, sich bei einem Besuch allen Phänobjekten intensiv zu

widmen. Kommen Sie wieder!

Zum Arbeiten in der Ausstellung

Unsere Experimente sind zum Anfassen, Ausprobieren, zum Spielen, zum

(wörtlich gemeint!) Be-Greifen da. Bei allen methodischen Optionen sollte das

freie und selbstbestimmte Vorgehen der Schüler/-innen im Mittelpunkt

stehen. Be-Greifen ist bei uns im Sinne von „hands-on“ und „brains-on“ zu

verstehen.

Ihre Präsenz während des Besuches ist unerlässlich und trägt entscheidend

dazu bei, dass Unfug oder gar Vandalismus nicht stattfinden und andere

Besucher/-innen nicht gestört werden.

Wie steige ich ein? – Ein Vorschlag

1. Führen Sie Ihre Klasse zu Beginn in einem Sektor kurz in die Arbeit an

Exponaten ein.

2. Lassen Sie in kleinen Gruppen von 2-3 Schülern einen Schwerpunktsektor

anhand von Aufträgen erkunden. Planen Sie genügend Zeit ein, damit die

Schüler auch individuelle Schwerpunkte setzen können.

3. Demonstrationen, Vorführungen oder Workshops können als Highlights

und zur Abwechslung des Besuchs dienen.

4. Geben Sie am Ende die Möglichkeit, das Haus auf eigene Faust zu erkunden.

Arbeitsblätter und Erklärungen

• Stellen Sie aus unserem Angebot an Aktivitäten und Arbeitsblättern eine für

Ihren Unterricht sinnvolle Auswahl zusammen oder kreieren Sie ganz neue

Aufgabenstellungen. Bedenken Sie, dass die Arbeitsblätter nur einen Teil

des Besuchs beanspruchen sollten. Weniger ist oft mehr.

• Lassen Sie die Schüler/-innen – über die Texte bei den Exponaten hinaus –

auch nach eigenen Erklärungen suchen oder ihre Beobachtungen an den

Experimenten mit eigenen Worten schildern, selbst auf die Gefahr hin, dass

sich Ihnen als „Fachsprachler” die Haare sträuben, wenn Ihre Schüler auf

abenteuerliche Weise mit Begriffen jonglieren. – Zeigen Sie ihnen, dass ihre

Erklärungen und Meinungen ernst genommen werden.

Es gibt im Zusammenhang mit den interaktiven Exponaten keine Führungen. Beachten Sie aber die Demonstrationen im Tagesprogramm.

Laserkiosk

Feuer-Tornado




Allgemeine Hinweise für Lehrkräfte (Fortsetzung)

Technorama – so wird’s zu einem Erlebnis

Kurzeinführung für Klassen und Gruppen

Ihre Klasse wird in Ihrem Beisein kurz in die Ausstellung und das Verhalten

darin eingeführt. Bitte teilen Sie dem Betreuer/der Betreuerin mit, ob Ihre

Klasse in der Ausstellung konkrete Aufgaben zu lösen hat.

• Regel 1: Habt Spass in unserem Haus.

• Regel 2: Ihr könnt pröbeln, ausprobieren, versuchen, spielen..., damit ihr

selber herausfindet „Aha, so läuft das!“.

• Regel 3: Nur für Klassen, ohne klare Aufträge durch die Lehrkraft! Sucht

euch von den rund 500 Exponaten die aus, welche für euch spannend sind.

Stellt an euch nicht den Anspruch, alles wirklich sehen zu wollen.

• Regel 4: Nehmt euch Zeit, etwas zu entdecken. Kann sein, dass ihr das Beste

verpasst, wenn ihr nach einem kurzen Blick oder Knopfdruck einfach

weitergeht.

• Regel 5: Sicher bringt ihr viele Experimente gleich so hin – ansonsten hilft

euch der Text weiter.

• Regel 6: Die Betreuer/-innen, welche ein türkises T-Shirt/ Hemd oder ein

schwarzes Gilet mit dem Aufdruck „Crew“ tragen (Foto rechts), helfen euch

bei Fragen gern weiter, auch wenn es um den richtigen Umgang mit den

Versuchsgeräten geht.

• Regel 7: Wir zeigen verschiedene Vorführungen, die euch interessieren

könnten. Euer Lehrer/eure Lehrerin oder das Tagesprogramm geben

darüber Auskunft.

• Regel 8: Damit die Versuchsstationen sauber bleiben, ist das Essen und

Trinken in der Ausstellung nicht erlaubt. Dafür stehen euch für das Picknick

der Park oder die Tische im Eingangsbereich zur Verfügung.

• Regel 9: Da Rucksäcke in der Ausstellung unhandlich und hinderlich sind,

werden diese im Eingangsbereich in Gitterboxen eingeschlossen. Besprecht

mit dem Lehrer/der Lehrerin Öffnungs- und Schliesszeiten.

• 10. und wichtigste Regel: Benehmt euch doch bitte so, dass wir euch nicht

die „Gelbe“ – schlimmstenfalls gar die „Rote Karte“ zeigen müssen!

Wir wünschen Ihnen und Ihrer Klasse einen schönen, erlebnis- und auch lehrreichen Tag im Technorama. Das persönliche Engagement ist dabei eine unerlässliche Hilfe und trägt dazu bei, dass auch allen anderen Gästen der Besuch in angenehmer Erinnerung bleibt.

Lichtinsel

Betreuerinnen und Betreuer

Coriolis-Karussell




Tipps für einen Schulbesuch

Für Lehrer(innen):

Allgemeine Hinweise für einen Technorama-Besuch • Für die Phänomene, die die Schüler und

Schülerinnen am meisten interessieren, sollen sie sich Zeit nehmen. (Man kann sich bei einem Besuch nicht allen Versuchen intensiv widmen.)

• Es gilt vor allem, nach eigenen

Erklärungen zu suchen und sie am Experiment zu überprüfen.

• Workshops in den Laboren:

Informationen zu den Workshops finden Sie auf unserer Webseite. Reservationen sollten möglichst frühzeitig erfolgen.

Bemerkungen zu den Fragen in diesen Arbeitsblättern sowie Tipps zur Einführung der Schüler • Das Hauptziel der Arbeitsblätter

besteht darin, Schülerinnen und Schüler zu genauem Beobachten anzuspornen. Deshalb muss ihnen auch das Gefühl vermittelt werden, dass sie in ihren Erklärungen und Meinungen ernst genommen werden. Ob ihre Antworten richtig oder falsch sind, finden wir eher zweitrangig.

• Der Schwierigkeitsgrad der Fragen ist

unterschiedlich. Es empfiehlt sich, eine gezielte Auswahl aus den Versuchen zu treffen.

• Die Übersichtskarte des Sektors hilft

bei der Orientierung. Markieren Sie die Stationen für Ihre Schüler, die sie bei diesem Besuch bearbeiten sollen.

• Die Lösungen zu den Aufgaben geben die Hintergründe zu den Versuchen nur sehr knapp wieder. Fachbücher geben tiefergehende Informationen.

Für Schüler(innen):

So geht's... • Teilt euch bitte in kleine Gruppen zu

zweit oder zu dritt auf. • Geht durch den ganzen

Ausstellungssektor und schaut euch erst einmal alles kurz an.

• Hier dürft und sollt ihr die Experimente

anfassen, be-greifen, ausprobieren und mit ihnen spielen.

• Für die Phänomene, die euch am

meisten interessieren, solltet ihr euch Zeit nehmen. (Man kann sich bei einem Besuch nicht allen Versuchen intensiv widmen.)

• Es gilt vor allem, nach eigenen

Erklärungen zu suchen und sie am Experiment zu überprüfen.

• Falls ihr Fragen oder Probleme habt,

wendet euch bitte an eine(n) Betreuer(in) mit Technorama-Shirt oder an eure/n Lehrer(in).

W T g

Wir danken der VTW (Vereinigung Technorama und Wirtschaft), für die grosszügige Unterstützung unseres Schuldienstes.


MA

THE M

AG

IE (

1.O

G)

OP

FW

ELT

EN

W

ASSER

NA

TUR

CH

AO

S

17

24

56

3

A B C DA

43

Mathemagie Denkspiele

Efronsche Würfel – Wahrscheinlichkeit

Was ist zu tun?

� Schau dir die vier Würfel genau an.

� Wähle einen Würfel aus und spiele gegen eine Partnerin / einen Partner.

� Beide würfeln. Wer die höhere Augenzahl hat, bekommt einen Punkt.

� Wer hat nach zehn Runden mehr Punkte gesammelt?

� Wechselt die Würfel aus. Findet ihr heraus welcher Würfel meistens gegen welchen Würfel gewinnt?

Zeichne ein welcher Würfel gewinnt. Zeichne dazu vom Gewinner- zum Verliererwürfel einen Pfeil.

3er

6/2er 4/0er

5/1er Was fällt auf? Ist dieses Spiel fair? Wie kannst du immer gewinnen?

Juni 2014 | Efronsche Würfel © Technorama


Turm von Hanoi – Knobeln

Was ist zu tun?

� Schichte die Scheiben auf einen anderen Holzstab zu einem neuen Scheibenturm um.

� Folgende Regeln sind zu beachten:

� Es darf jeweils nur eine Scheibe bewegt werden.

� Eine Grössere darf nie auf eine kleinere Scheibe gelegt werden.

� Alle drei Stäbe dürfen benutzt werden.

Wie viele Züge benötigst du dazu?

Kannst du einen Trick finden, mit dem es besonders einfach ist?

� Versuche es nur mit drei Scheiben. Kannst du ausrechnen wie viele Züge du brauchen wirst?

� Wie viele Züge würdest du mit zehn Scheiben brauchen?

November 2013 | Turm von Hanoi © Technorama


Wolf – Ziege und Kohlkopf – Strategie

Was ist zu tun?

Die drei "Objekte" Wolf (W), Ziege (Z) und Kohlkopf (K) sollte der Fährmann(F) über den Fluss bringen. Sobald sie der Fährmann jedoch alleine lässt, würde der Wolf die Ziege und die Ziege den Kohlkopf fressen. Auch kann der Fährmann jeweils nur ein Objekt pro Überfahrt mitnehmen.

� Wie lässt sich die Aufgabe mit möglichst wenigen Überfahrten (Hin- und Rückfahrten) lösen?

� Trage in die Tabelle die Buchstaben und Fahrtrichtung ein.

Ufer A Überfahrt Ufer B Ufer A Überfahrt Ufer B

START W, Z, K, F Stand

1. Zug __ __ 5. Zug

Stand Stand

2. Zug 6. Zug

Stand Stand

3. Zug 7. Zug

Stand Stand

4. Zug Die Aufgabe ist in 7 Zügen zu schaffen.

November 2013 | Wolf-Ziege und Kohl © Technorama

Mathemagie Geometrie

Alle Dreiecke sind gleich – Flächen

Was ist zu tun?

� Halte die Drahtdreiecke so ins Licht, dass ihr Schatten den Dreiecken auf der Wand entspricht.

Wie kannst du das erreichen?

Mit welchem Dreieck gelingt es dir am leichtesten? Erstelle eine Rangliste und Zeichne die Dreiecke in dieser Reihenfolge ab.

1. 2. 3. 4.

� Für Fortgeschrittene: Warum ist es möglich die Dreiecksschatten anzupassen?

November 2013 | Alle Dreiecke sind gleich © Technorama


Brücke mit losen Steinen – Brücken

Was ist zu tun?

� Baue aus den einzelnen Holzklötzen eine Brücke.

� Halte zum Aufbauen die gelbe Schablone unter die Brücke. Und beachte als Hilfe die farbigen Punkte.

Welchen Stein konntest du erst als Letzten einsetzen?

� Entferne die gelbe Schablone.

� Lege das schwarze Brett über die Brücke. Kannst du jetzt auf die Brücke stehen?

� Gehe zum Exponat "Kettenlinie"

� Lege die Steine den Nummern nach auf das Brett.

� Stelle das Brett mitsamt der Brücke auf. Kann die Brücke ohne das Brett stehen?

Welche Form hat die Brücke? Zeichne ab:

(Mehr Platz auf der Rückseite.)

November 2013 | Brücke mit losen Steinen © Technorama

� Für Könner des Brückenbaus: Gehe zum Exponat "Leonardo Brücke"

Kannst du zusammen mit Partnern aus den Holzstücken eine freistehende Brücke (ohne Zwischenstützen) bauen?

Dieses Bild kann dir dabei helfen:

November 2013 | Brücke mit losen Steinen Seite 2/2 © Technorama


Möbius-Band – Flächen

Was ist zu tun?

� Fahre mit der Lokomotive der Kante (Rand) entlang.

Was fällt dir auf?

Wie viele Kanten hat das Möbius-Band?

� Fahre mit deiner Hand der Fläche entlang.

Wie viele Flächen hat das Band?

� Weiterarbeit: (Frage eine Mitarbeiterin des Technoramas um Hilfe)

Mache dir selbst ein Möbius-Band. Nehme einen relativ schmalen und langen Streifen Papier und klebe die Enden "verdreht" zusammen. Schneide mit einer Schere in der Mitte des Bandes entlang. Was entsteht?

Beginne nicht in der Mitte des Streifens, sondern etwa bei einem Drittel zu schneiden. Was entsteht nun?

November 2013 | Möbius-Band © Technorama


Penrose Parkett – Flächen

Was ist zu tun?

� Lege mit den gelben und roten Flächen ein Muster.

Zeichne ein Stück aus deinem Muster ins erste Feld.

� Kannst du mit gelben und roten Flächen einen Stern legen?

Zeichne ihn ins zweite Feld.

November 2013 | Penrose Parkett © Technorama


Satz des Pythagoras - wiegt schwer – Flächen

Was ist zu tun?

Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke.

Im rechtwinkligen Dreieck heisst die Seite, die dem rechten Winkel (90°)

gegenüber liegt Hypotenuse, die beiden anderen Seiten heissen Katheten. Mit

diesen Worten lautet der Satz des Pythagoras:

"In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der

Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats." 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐2

� Wiege die beiden Kathetenquadrate (gelb + rot) gegen das Hypotenusenquadrat (blau).

Was fällt dir auf?

Welche Formel hast du damit bewiesen?

� Wiege die Häschen und Sterne. Was fällt dir auf?

Wieso ist das so. Hast du eine Erklärung?

� Probiere auch das Exponat "Pythagoras – ganz flüssig" aus.

𝑎𝑎2 𝑏𝑏2

𝑐𝑐2

November 2013 | Pythagoras wiegt schwer © Technorama


Was alles in einen Würfel passt – Knobeln

Was ist zu tun?

� Versuche die verschiedenen Körper in den Glaswürfel zu packen. Ist das möglich?

Würfel � einfach

� geht so

� schwierig

� unmöglich

Tetraeder � einfach

� geht so

� schwierig

� unmöglich

Kuboktaeder � einfach

� geht so

� schwierig

� unmöglich

Doppeltetraeder � einfach

� geht so

� schwierig

� unmöglich

� Probiere am gleichen Tisch die Möbius-Würfel-Schlinge zu lösen.

� Kannst du sogar den Conway-Würfel zusammensetzen?

� Weiter knobeln:

� T-Puzzle

� Tetraeder Puzzle I-III

� Knobel-Tisch

Oktober 2013 | Was alles in einen Würfel passt © Technorama

MatheMagie Zahlenraum

Ausladungen wer kommt am weitesten raus – Schwerpunkt

Was ist zu tun?

� Schichte die Holzklötze wie eine Treppe aufeinander. Erreichst du es, dass ein ganzer Klotz über dem Abgrund hinausragt? Wie viele Holzklötze brauchst du? Zeichen:

� Wie kannst du eine Brücke über den Abgrund bauen? Zeichne:

TISCH ABGRUND TISCH

(Meh

r P

latz

au

f d

er R

ück

seit

e.)

November 2013 | Ausladungen © Technorama

Mathemagie Zahlenraum

Maschine in Granit – Exponentialfunktion

Was ist zu tun?

� Beobachte die Maschine.

Was fällt dir auf? Welche Zahnräder drehen sich und wie schnell?

� Der Motor bewegt das erste Zahnrad der Maschine mit einer Geschwindigkeit von 200 Umdrehun-gen pro Minute. Das heisst, nach einer Minute hat sich das Zahnrad 200 Mal rundherum gedreht. Jede Getriebestufe untersetzt jeweils mit 1:50. Das heisst, in der gleichen Zeit in der sich das vorhe-rige Zahnrad 50 Mal gedreht hat dreht sich das folgende Zahnrad 1 Mal.

November 2013 | Maschine in Granit © Technorama

Wie oft dreht sich also das zweite Zahnrad pro Minute?

� Insgesamt stehen zwölf Getriebestufen zwischen dem ständig laufenden Motor und dem mit dem Granitblock fest verschraubten Zahnrad.

Wie kann das gehen?

� Irgendwo gibt es eine Unterbrechung, die Zahnräder sind gar nicht alle verbunden.

� Nachts dreht der Motor rückwärts, um wieder mehr Spiel zur Verfügung zu haben.

� Es hat genug Spiel in den Getrieben, um einige Monate laufen zu können. Dann wird ein Zahn-rad wieder um einen Zahn zurückgedreht.

� Der Motor würde einige hundert Jahre drehen können, bis sich das letzte Zahnrad auch nur um einen Atomdurchmesser bewegt.

� Lies auf der Zusatzkarte nach wie lange es für eine Umdrehung des letzten Zahnrads dauert.

Antwort:

November 2013 | Maschine in Granit Seite 2/2 © Technorama

Mathemagie Zahlenraum

Weisst du wie viele Smarties stehn – Schätzen

Was ist zu tun?

� Schätze die Anzahl Smarties auf dem Bild.

Gibt es eine Hilfe, wie du diese riesige Anzahl besser abschätzen kannst?

� Nimm eine Form in die Hand und halte sie vor das Bild.

Wie oft kannst du die Form nebeneinander auf dem Bild platzieren?

� Zähle nun die Smarties innerhalb der Form.

� Wenn du nun die Anzahl (Smarties in der Form) mit der Anzahl (wie oft die Form auf dem Bild Platz) multiplizierst, erhältst du eine gute Schätzung.

Wie könntest du die Schätzung noch verbessern?

Smarties

Smarties

Smarties

November 2013 | Weisst du wie viele Smarties stehn © Technorama

Antworten

Arbeitsaufträge MatheMagie

Alle Dreiecke sind gleich

Bei diesem Experiment handelt es sich um eine Zentralprojektion. Andere Experimente zur Zentralprojektion sind Sektor Kopfwelten zu finden (besonders: Schiefer Raum, Drei vertrackte Stühle, Alberti’s Perspektiven-Fenster). Hier einmal die mathematische "Übersetzung": Der Dreieckshalter (mathematisch gesprochen: die Ebene E) wird mit Hilfe einer Punktlichtquelle (Zentrum Z) auf die Tafel mit den Dreiecken (Ebene E') abgebildet. Jeder Punkt des Dreiecks (Punkt P der Ebene E) wird so abgebildet, dass das Licht der Lichtquelle (die Gerade durch das Zentrum Z) durch den Punkt des Dreiecks auf die Tafel mit den Dreiecken (den Punkt P' der Ebene E') fällt (schneidet). Das Metalldreieck mit Halter (die Eckpunkte ABC) wird so auf eines der gleichseitigen Dreiecke an der Wand (A'B'C') abgebildet. Die Geraden, die jeweils durch die Ecken der beiden Dreiecke gehen (AA', BB', CC'), schneiden sich dann in einem Punkt – der Lichtquelle (dem Zentrum Z). Wichtig: Die Ebenen müssen nicht parallel zueinander liegen. Der Satz von Desargues (Girard Desargues, 1591 – 1661), einer der grundlegenden Sätze der Geometrie, behandelt dieses Problem.

Ausladungen wer kommt am weitesten raus

Die übersichtlichste Weise herauszufinden, wie man über den Rand hinausbauen kann, ist die folgende: Man stapelt zunächst fünf Steine übereinander auf, so dass sie mit ihrer Vorderkante genau an der Kante des Podests anliegen. Dann schiebt man den obersten Klotz so weit nach vorne, dass er gerade noch hält, also bis zur Hälfte. Dann schiebt man den zweitobersten Klotz so weit, wie es geht, nach vorne, wobei der oberste Klotz mitgeschoben wird. Es geht um ein Viertel. Weiter mit dem nächsten Klotz. Der vierte Klotz befindet sich jetzt schon ganz über dem Abgrund (theoretisch – in der Praxis ist es oft erst der Fünfte). Diese Methode des Aufbaus (nach der harmonischen Reihe) ist die mathematisch übersichtlichste – leider aber nicht die beste! Eine Brücke bekommt man so nicht zustande! Der mathematische Schlüssel ist die sogenannte harmonische Reihe 1 + 1/2+ 1/3 + 1/4 +... Diese divergiert, das heisst: sie wird grösser als jede vorgegebene Zahl. Praktisch bedeutet dies: Man kann die Klötze beliebig weit nach aussen bauen – allerdings wird der Turm dabei ausserordentlich hoch. Wesentlich effektiver als der Bau gemäss der harmonischen Reihe ist es, konsequent auf ein Gleichgewicht zu setzen. Dafür braucht man zwar immer mindestens zwei Hände, bekommt aber letztlich die Brücke gebaut. Der Aufbau kann auf beiden Seiten des Abgrundes gleichzeitig erfolgen – zum Abschluss wird der neunte Stein in der Mitte aufgesetzt.

Brücke mit losen Steinen Beim Aufbau der Brücke auf die farbigen Punkte an den einzelnen Steinen achten. Der letzte Stein ist der Stein in der Mitte.

Oktober 2013 | Antworten_MatheMagie © Technorama

Efronsche Würfel

Vorab: Es ist hier besonders wichtig, dass man wirklich mindestens 10 Runden gegeneinander spielt – ansonsten können statistische Ausreisser das Bild verfälschen.

Es gibt keinen "besten" Würfel. Für jeden Würfel kann man einen anderen Würfel finden, der "besser" ist (=mit dem man bei 10 Würfen recht sicher gewinnt). Dies ist eine ungewöhnliche Situation. Aus unseren Erfahrungen erwarten wir: Wenn der 6er Würfel den 5er schlägt und der 5er den 4er schlägt und der 4er den 3er schlägt, dann muss doch auch der 6er den 3er schlagen. Aber der 3er Würfel schlägt den 6er Würfel!

Dies ergibt sich aus dem Umstand, dass es sich hier um Gewinn-wahrscheinlichkeiten handelt. Um die Gewinnwahrscheinlichkeiten dieser sog. Efronschen Würfel zu bestimmen, ist es nützlich, die entsprechenden Baumdiagramme zu betrachten. Die Würfel seien A, B, C und D. Wenn der erste Spieler den Würfel A wählt, so sollte der zweite Spieler den Würfel B wählen. Das Baumdiagramm der möglichen Spielverläufe sieht wie folgt aus:

Im Baumdiagramm ist am Ende jedes Asts das Ereignis aufgetragen, seitlich auf dem Ast ist die zugehörige Wahrscheinlichkeit zu finden. Beispiel: Mit Würfel A erhält Spieler 1 mit Wahrscheinlichkeit 1/3 den Wert 0 und mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 den Wert 4. Spieler 2 hingegen erhält beim Würfeln mit Würfel B die 1 und die 5 jeweils mit der

Wahrscheinlichkeit 1/2. Wenn das Würfelergebnis von Spieler 2 höher als das von Spieler 1 ist, so hat er das Spiel gewonnen, andernfalls verloren. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist jeweils das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang der Äste. Wenn man nun die Gewinnwahrscheinlichkeiten für Spieler 2 addiert, ergibt sich stets die Gesamtwahrscheinlichkeit 2/3. Spieler 2 besitzt also eine doppelt so grosse Chance, das Spiel zu gewinnen, wie Spieler 1. Wenn der erste Spieler den Würfel B wählt, so nimmt der zweite Spieler Würfel C. Wenn der erste Spieler Würfel C wählt, so nimmt der zweite Spieler Würfel D. Wenn der erste Spieler sich für Würfel D entscheidet, so wählt Spieler 2 Würfel A aus, um zu gewinnen. Die entsprechenden Bäume sehen wie folgt aus:

Der zweite Spieler gewinnt bei richtiger Wahl des Würfels stets mit einer

Wahrscheinlichkeit von 2/3. Es gibt auch eine Variante mit drei Würfeln. Hierbei ist die Gewinnchance des Zweiten nur 5/9, also empirisch nicht so leicht nachzuweisen.


Maschine in Granit

Es handelt sich hierbei um 12 Getriebestufen, die die Drehzahl in jeder Stufe jeweils im Verhältnis 1:50 heruntersetzen. Der Motor dreht mit 200 Umdrehungen pro Minute, nach der ersten Stufe sind es daher 200 geteilt durch 50 gleich 4 Umdrehungen pro Minute. Diese 4 Umdrehungen pro Minute werden in der nächsten Stufe wieder 1:50 heruntergesetzt – 4/50=0.08 Umdrehungen pro Minute – und so weiter und so weiter. Das letzte Zahnrad dreht sich daher extrem langsam, wobei "extrem" eine gewaltige Untertreibung darstellt.

Es braucht schon einige hundert Jahre, bis sich ein Zahn auch nur um die Dicke (den Durchmesser) eines Atoms bewegt hat. Aus diesem Grund ist es unerheblich, ob es in dem Getriebe Spiel hat oder nicht. Das normale Spiel eines realen Getriebes reicht also schon für einige Millionen Jahre aus.

Die Umdrehungszahlen werden so klein (bzw. die Umdrehungsdauer so gross), weil die gleiche mathematische Operation immer wieder auf das Ergebnis der vorherigen Operation angewendet wird – es handelt sich hier um eine Exponentialfunktion der Form Un=U0/50n wobei Un die Drehzahl des n-ten Zahnrades, U0 die Eingangsdrehzahl und n die Getriebestufe bezeichnet.

Möbius-Band

Das Möbius-Band, das nach August Ferdinand Möbius benannt wurde, ist mathematisch betrachte eine zweidimensionale Fläche mit nur einer Seite. Übrigens wurde das Möbius-Band 1858 wenige Monate vor Möbius schon von Johann Benedict Listing entdeckt (beide haben diese Struktur allerdings unabhängig voneinander erkannt und beschrieben).

Startet man bei der Lokomotive, so kommt man auch wieder dort an – was nicht unbedingt verwundert, erinnert die Figur doch auch an ein Kreisband. Was jedoch jetzt schon verwundern kann, ist die Länge des Weges. Spätestens wenn man jedoch vom gegenüberliegenden Rand startet und trotzdem an der Lokomotive ankommt, wird klar, dass dieses Objekt nur einen Rand besitzt! Das Gleiche gilt übrigens auch für die Fläche.

Das Möbiusband wird hergestellt, wenn man ein Ende des Bandes um 180° verdreht an das andere Ende klebt. Damit wird die Rückseite mit der Vorderseite verbunden

Penrose Parkett Individuelle Lösungen Stern aus fünf roten Flächen innen und fünf gelben Flächen als "Zacken"

Pythagoras – wiegt schwer

Es ist völlig egal, welche Form die Flächen über den Seiten des Dreiecks haben – solange sie einander "mathematisch ähnlich" sind. Ähnlich bedeutet hier, dass sich die Längen- und Breiten-verhältnisse bei den unterschiedlichen Grössen nicht ändern. Bestimmend für die Fläche jedes Objektes ist die Länge der entsprechenden Dreiecksseite.

Da alle Objekte gleich dick sind, macht sie auch der Schritt in die dritte Dimension, den Körper, nicht weniger ähnlich.

Übrigens, man kennt heute über 400 Beweise für den Satz des Pythagoras. Diese bauen auf zahlreichen Zusammenhängen des Satzes mit den verschiedensten Bereichen der Elementargeometrie auf.

Über den folgenden besonders schönen Beweis sagte der Mathematiker W. Lietzmann: "... ein Blick auf die Figur genügt,


um den Beweis zu erfassen; er kann sich auf das eine Wort ‚SIEHE!’ beschränken."

Durch simples Umklappen erhält man aus den beiden Kathetenquadraten das Hypotenusenquadrat:

Da die Kathetenquadrate in dieser Darstellung nebeneinander liegen, wurde dieser Beweis schon im 9.Jahrhundert von den Indern als "Stuhl der Braut" bezeichnet.

Turm von Hanoi

Peter Buneman (Universität Pennsylvania) und Leon Levy (von AT&T Laboratories) haben 1984 eine einfache Zugfolge gefunden, mit der man ohne nachzudenken ans Ziel kommt. Man muss nur folgende Schritte abwechselnd ausführen:

• Lege die kleinste Scheibe auf den im Uhrzeigersinn nächsten Stab.

• Versetze die nächste Scheibe auf den freien Stab.

Anzahl der Scheiben

Anzahl der Züge

Anzahl der Züge nur anders geschrieben

1 1 2-1 = 21-1

2 3 2x2-1 = 22-1

3 7 2x2x2-1 = 23-1

4 15 2x2x2x2-1 = 24-1

5 31 2x2x2x2x2-1 = 25-1

6 63 2x2x2x2x2x2-1 = 26-1

n (beliebig viele Scheiben) 2x2x2x…x2x2-1 = 2n-1

Was alles in einen Würfel passt Alle Körper passen in den Glaswürfel.

Weisst du wie viele Smarties stehn

Es sind 4662 Smarties auf dem gesamten Bild! Wenn Sie bisher nicht wussten, wie die Teilnehmerzahlen bei Demonstrationen zustande kommen – hier benutzt man das gleiche Verfahren. Man entnimmt der gesamten Menge mit Hilfe der Rahmen eine Stichprobe, in der man die Anzahl leicht bestimmen kann. Multipliziert man die Anzahl der Smarties der Stichprobe mit der Anzahl wie oft der Rahmen auf dem Bild Platz hat, erhält


man eine Näherung für die gesamte Anzahl der Smarties. Jeder Rahmen hat genau die Fläche eines Hundertstels des gesamten Bildes. Er hat also hundert Mal auf dem Bild Platz. Je nachdem wie genau man zählt, etwa indem man auch halbe Smarties mitzählt, ermittelt man einen genaueren Gesamtwert. Wenn man den Rahmen an verschiedenen Stellen anlegt oder verschiedene Rahmen zur Hilfe nimmt, erhält man eine Messreihe. Wenn man den Mittelwert dieser Reihe bildet, erhält man eine Zahl als Schätzwert. Je häufiger man an verschiedenen Stellen mit verschiedenen Rahmen zählt, desto länger wird die Messreihe und der errechnete Wert nähert sich nach dem Gesetz der grossen Zahlen immer näher seinem tatsächlichen Wert an. Hier eine Beipieltabelle: 1. Messung 40 2. Messung 49 3. Messung 46 .. Messung .. (je mehr desto genauer!) ------------------------------------ Summe 3 Messungeng = 135 Mittelwert: 135 / 3 = 45

Wolf – Ziege und Kohlkopf

Ufer A Überfahrt Ufer B

Start W, Z, K, F

1.Zug Z, F

Stand W, K Z, F

2.Zug F

Stand W, K, F Z

3.Zug K, F

Stand W Z, K, F

4.Zug Z, F

Stand W, Z, F K

5.Zug W, F

Stand Z W, K, F

6.Zug F

Stand Z, F W, K

7.Zug Z, F

Stand W, Z, K, F


Arbeitsblätter MatheMagie€¦ · Trinken in der Ausstellung nicht erlaubt. Dafür stehen euch...

Documents

Transcript of Arbeitsblätter MatheMagie€¦ · Trinken in der Ausstellung nicht erlaubt. Dafür stehen euch...