Astronomie und Astrophysik 1 - Universität...

Astronomieund

Astrophysik 1

Skript zur Vorlesung von Prof. Günter WunnerBearbeitung von Sebastian Boblest

Version WS 2010/11

Aufbauend auf früheren Ausarbeitungen vonDominique Dudkowski, Swantje Bebenburg und Alexander Herzog

1. Institut für Theoretische PhysikUniversität StuttgartPfaffenwaldring 57,70550 Stuttgart

Korrekturen bitte an:[email protected]@theo1.physik.uni-stuttgart.de

Version vom 9. Februar 2011

Wichtige Zahlenwerte

Name Symbol Wert

Lichtgeschwindigkeit c 2,99792458× 108 ms

Gravitationkonstante G 6,6726× 10−11 m3

kg·s2

Solarkonstante S 1,367× 103 Wm2

Astronomische Einheit AE 1,496 · 108 km

Masse der Sonne M 1,9891 · 1030 kg

Masse der Erde M 5,973 · 1024 kg

Radius der Sonne R 6,96× 105 km

Radius der Erde R 6,370× 103 km

Schwarzschild-Radius der Sonne rs 3 km

Schwarzschild-Radius der Erde rs 9 mm

ii

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen 11.1 Die Sonne als Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Sonnenleuchtkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Helligkeit von Sternen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1) Scheinbare Helligkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22) Absolute Helligkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3 Masse der Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4 Radius der Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Der Schwarzschild-Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Die Poisson-Gleichung der Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Gravitative Bindungsenergie eines Sterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Der Virialsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6.1 Das Horizontsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6.2 Das Äquatorsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6.3 Ekliptikalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6.4 Galaktisches System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6.5 Störungen der Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Entstehung und Entwicklung von Sternen 222.1 Sternentstehung und Gleichgewichtsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.1 Jeans-Kiterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.2 Ablauf des Kollapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.3 Hydrostatisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1) Herleitung der Gleichgewichtsbedingung . . . . . . . . . 262) Abschätzung des Druckes . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.4 Charakteristische Zeitskalen der Sternentwicklung . . . . . . . . . 281) Kelvin-Helmholtz-Zeitskala . . . . . . . . . . . . . . . . 282) Hydrostatische Zeitskala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293) Nukleare Zeitskala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.1 „Normale” Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.2 „Entartete” Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1) Fermieenergie der Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . 322) Zustandsdichte im Impulsraum . . . . . . . . . . . . . . 32

Zustandsgleichung im nichtrelativistischen Fall . . . . . . . 33Zustandsgleichung im relativistischen Fall . . . . . . . . . . 36

3) Anschauliche Interpretation des Fermi-Drucks . . . . . . 38

iii

Inhaltsverzeichnis

2.2.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Die Theorie Weißer Zwerge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4 Masse-Radius-Beziehung von Monden und Planeten . . . . . . . . . . . . 432.5 Neutronensterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.6 Erhaltungsgrößen beim Kollaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.6.1 Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.6.2 Erhaltung des magnetischen Flusses . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.7 Pulsare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531) Messungen an HZ Her . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542) Interpretation der Messung . . . . . . . . . . . . . . . . 553) Absorptionslinien im Spektrum . . . . . . . . . . . . . . 57

3 Allgemeine Relativitätstheorie 593.1 Spezielle Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1.1 Konstanz der Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.1.2 Beschreibung der kräftefreien Bewegung . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2 Grundidee der allgemeinen Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . 643.3 Äquivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3.1 Äquivalenz von träger und schwerer Masse . . . . . . . . . . . . . 651) Träge Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652) Schwere Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3.2 Fahrstuhlexperimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671) Weight-Watchers-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . 672) Frei-Fall-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683) Lichtablenkung im Schwerefeld . . . . . . . . . . . . . . 704) Mathematische Bedeutung des Äquivalenzprinzips . . . . 73

3.4 Mathematischer Formalismus der Allgemeinen Relativitätstheorie . . . . 733.4.1 Kontravariante und kovariante Größen . . . . . . . . . . . . . . . 733.4.2 Tensorverjüngung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.4.3 Bedeutung der Christoffel-Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Verschiebung entlang r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Verschiebung entlang ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Schlussfolgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.4.4 Der Riemann-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4.5 Der Ricci-Tensor und der Krümmungsskalar . . . . . . . . . . . . 79

3.5 Bewegungsgleichung der ART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.6 Die Einsteinschen Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.6.1 Formulierung der Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.6.2 Exakte Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen im kugelsym-

metrischen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821) Die Schwarzschild-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . 822) Messung der Radialkoordinate . . . . . . . . . . . . . . . 83

iv

Inhaltsverzeichnis

3) Abstand von Punkten mit unterschiedlicher Radialkoor-dinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4) Bedeutung der Koordinatenzeit . . . . . . . . . . . . . . 843.7 Tests der Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.7.1 Gravitationsrotverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.7.2 Periheldrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.7.3 Lichtablenkung im Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Lichtablenkung außerhalb des Sonnensystems . . . . . . . . 93Visualisierung von Einstein-Ringen . . . . . . . . . . . . . 94

3.7.4 Laufzeitverzögerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.7.5 Global Positioning System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.7.6 Der Doppelpulsar 1913 + 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Beschreibung des Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Relativistische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Gravitationswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Literaturverzeichnis 105

v

1 GrundlagenIn diesem Kapitel führen wir einige grundlegende Begriffe und Größen ein, die in denspäteren Kapiteln benötigt werden.

1.1 Die Sonne als Maß

Die Sonne ist der uns nächstgelegene Stern und deshalb für uns von größter Bedeu-tung. In diesem Abschnitt diskutieren wir einige ihrer grundlegendsten Eigenschaften.Es liegt nahe, Eigenschaften von anderen stellaren Objekten dann mit denen der Sonnezu vergleichen, weil wir mit ihr am besten vertraut sind.

1.1.1 Sonnenleuchtkraft

Der über alle Wellenlängen integrierte Strahlungsfluss der Sonne (Energie pro Zeit- undFlächeneinheit), der am Ort der Erde gemessen wird, ist gegeben durch den Wert derSolarkonstante

S = 1,367kW

m2. (1.1)

Dieser Wert bildet die Grundgröße für alle Berechnungen zur Nutzung von Sonnenenergieauf der Erde. Auf einen Fußballplatz der Fläche A = (100 m)2 geht z. B. (bei senkrechtemSonnenstand) eine Strahlungsleistung von A · S = 1,37 · 107 W = 13,7 MW nieder,die bei optimaler Konversion in entsprechende elektrische Leistung umgewandelt werdenkönnte.

Die mittlere Entfernung zwischen Erde und Sonne beträgt

a = 1,496 · 108 km = 1 AE (1.2)

und wird Astronomische Einheit (AE) genannt. Damit können wir die Sonnen-leuchtkraft L, d. h. die gesamte Energie, die pro Zeiteinheit von der Sonne abge-strahlt wird, berechnen:

L = 4πa2 · S = 3,86 · 1026 W. (1.3)

Man merkt sich als Zahlenwert für die Sonnenleuchtkraft ∼ 4 · 1026 W.

1

1 Grundlagen

Objekt GrößenklasseWega 0m

Polarstern 2,12m

Sirius −1,6m

Vollmond −12,5m

Sonne −26,87m

Tabelle 1.1: Scheinbare Helligkeiten einiger Objekte. Sirius ist der hellsteStern am Nachthimmel.

1.1.2 Helligkeit von Sternen

1) Scheinbare Helligkeit

Neben der (physikalischen) Strahlungsleistung kennzeichnet man Sterne in der Astrono-mie auch durch ihre physiologisch empfundene scheinbare Helligkeit (Größenklasse odermagnitudo m).Vom Stern 1 mit Größenklasse m1 erreiche uns auf der Erde der Strahlungsstrom I1

(Energie pro Zeit und Fläche), vom Stern 2 mit Größenklasse m2 der StrahlungsstromI2. Der Unterschied in der scheinbaren Helligkeit ist dann wie folgt definiert:

m2 = m1 − 2,5 lgI2

I1

. (1.4)

Ist der Strahlungsstrom von Stern 2 beispielsweise 100 mal größer als der von Stern 1,d. h. I2/I1 = 100, so ist lg (I2/I1) = lg 100 = 2 und m2 = m1 − 5, also “negativer”als m1. Ein Unterschied von 5 Größenklassen bedeutet damit einen Faktor 100 in derempfangenen Intensität.

Die Definition (1.4) trägt einem psychophysischen Grundgesetz Rechnung: Die phy-siologisch empfundene Stärke (hier: die empfundene Helligkeit) eines Reizes (hier: diephysikalische Intensität) ist dem Logarithmus des Reizes proportional. Der in (1.4) vordem Logarithmus auftretende Faktor 2,5 sorgt dafür, dass die von arabischen und baby-lonischen Astronomen auf der Grundlage der physiologischen Empfindung festgelegtenscheinbaren Helligkeitsstufen, die auch heute noch in Sternkarten verwendet werden,richtig wiedergegeben werden.Beispiele für scheinbare Helligkeiten bekannter Himmelsobjekte finden sich in Tabelle 1.1

Die Grenze für die Sichtbarkeit mit bloßem Auge liegt bei Sternen sechster Größen-klasse (6m), mit den größten Teleskopen können Objekte bis zur scheinbaren Helligkeit24m nachgewiesen werden.Die Spannweite der scheinbaren Helligkeit sichtbarer astronomischer Objekte erstreckt

2

1.1 Die Sonne als Maß

sich beim bloßen Auge somit über 32 Größenklassen, entsprechend 12 Zehnerpotenzenim Strahlungsstrom ((102)

32/5 ≈ (102)6

= 1012), bei Teleskopen über 50 Größenklassen,entsprechend 20 Zehnerpotenzen im Strahlungsstrom.

Umformen von Gleichung (1.4) führt auf

I2 = I1 × 100,4(m1−m2) = I1 × (100,4)m1−m2 = I1 × (2,512)m1−m2 . (1.5)

Die Abnahme (Zunahme) der Größenklasse um 1 bedeutet somit eine um einen Faktor2,512 geringere (größere) Strahlungsintensität (beachte: (2,512)5 = 100).Tatsächlich ist die scheinbare Helligkeit vom betrachteten Wellenlängenbereich abhängig,man betrachtet daher in der Astronomie neben der bis jetzt besprochenen scheinbarenvisuellen Helligkeit mvisuell eines Sterns auch seine Helligkeiten mλ in definiertenWellenlängenfenstern.

2) Absolute Helligkeit

Die Helligkeit, mit der uns ein Stern erscheint, hängt von seinem Abstand ab. Um einevom Abstand unabhängige Kenngröße für die Helligkeit eines Sterns zu finden, berechnetman seine scheinbare Helligkeit in einem festgelegten Standardabstand von 10 parsec,und definiert diese als absolute Helligkeit M des Objekts.

Dabei ist 1 parsec (1 pc) die Entfernung, unter der der mittlere Abstand von derErde zur Sonne unter dem Winkel 1′′ erscheint. Eine Bogensekunde ist im Bogenmaß

1′′ = π/(180 · 60 · 60) = 1/206265. (1.6)

Der Winkel α (im Bogenmaß), unter dem eine Länge a in großer Entfernung d erscheint,ist gegeben durch α = a/d. Eine Bogensekunde entspricht daher z. B. dem Winkel,unter dem 1 m in der Entfernung 206265 m = 206,265 km erscheint (1 m in München,betrachtet aus Stuttgart). Für a =1 AE und α = 1′′ ergibt sich

d = 1 pc = 206265AE = 3,086 · 1016 m = 3,26 ly, (1.7)

wobei 1 ly (ein Lichtjahr) die Länge des Weges angibt, die Licht während eines Erden-jahres im Vakuum zurücklegt,

1 ly = c · 365,25 Erdentage = c · 24 · 3600 s = c · 3,15 · 107 s = 9,46 · 1015 m. (1.8)

Der für die Angabe der absoluten Helligkeit verwendete Normabstand von 10 pc =32,6 ly ist so gewählt, dass er typisch für sichtbare Sterne in der näheren Umgebung derSonne ist (Abstand des nächsten Fixsterns am Nordhimmel, Sirius, ca. 10 ly, Abstand

3

1 Grundlagen

des nächsten Fixsterns am Südhimmel, Proxima Centauri, ca. 4 ly).

Als absolute Helligkeit der Sonne erhalten wir mit diesen Definitionen aus (1.4)

M = m − 2,5lgI10 pc

I1 AE

= m − 2,5lg(1AE)2

(10 pc)2

= −26,87m + 31,57m = +4,7m.

(1.9)

Die Sonne wäre also ein schwacher, mit bloßem Auge gerade noch wahrzunehmenderStern.

1.1.3 Masse der Sonne

Die Masse der Sonne beträgt

M = 1,9891 · 1030 kg, (1.10)

als Zahlenwert merkt man sich ∼ 2 · 1030 kg.Ein Weg, die Masse der Sonne zu „berechnen”, führt über das dritte Keplersche Gesetz

G ·M = ω2a3 =

(2π

T

)2

a3. (1.11)

Setzen wir in (1.11) den Zahlenwert der Gravitationskonstanten

G = 6,6726 · 10−11 m3

kg · s2, (1.12)

die Umlaufzeit der Erde um die Sonne

T = 3,15 · 107s, (1.13)

und den mittleren Sonnenabstand der Erde a = 1,496 · 1011m ein, so erhalten wir nachkurzer Rechnung tatsächlich M = 1,99 · 1030 kg.

Anmerkung: Eine leicht zu merkende Herleitung des dritten Keplerschen Gesetzeserhält man durch die Betrachtung von Kreisbahnen mit Radien r von Trabanten derMasse m um das Zentralobjekt mit Masse M :Die auf m wirkende Zentripetalkraft muss gleich der auf m wirkenden Anziehungskraftsein, mω2r = GmM/r2, woraus sich nach Kürzen von m auf beiden Seiten und Durch-multiplizieren mit r2 sofort G ·M = ω2r3 ergibt.Man beachte, dass beim Kräftegleichgewicht streng genommen in der Zentripetalkraft

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1.2 Der Schwarzschild-Radius

die träge Masse mträge, in der Anziehungskraft aber die schwere Masse mschwer

(„Gravitationsladung”) anzusetzen ist. Wir haben bei der Herleitung also die Gleichheitvon träger und schwerer Masse vorausgesetzt. Siehe dazu auch den Abschnitt 3.3.

1.1.4 Radius der Sonne

Der Sonnenradius beträgt

R = 6,9599 · 108 m ≈ 696000 km ≈ 700000 km. (1.14)

Zum Vergleich: der (mittlere) Erdradius beträgt 6378 km. Wir berechnen, unter welchemWinkeldurchmesser die Sonne von der Erde aus betrachtet erscheint. Mit a = 2R undd = 1 AE wird

α = a/d = 1,4 · 106 km/150 · 106 km ≈ 0,009

= (180/π) · 0,009 = 0,5 = 30′,(1.15)

also ein halbes Grad. Auf dem in einer mittleren Entfernung von 1,52 AE umlaufendenMars beträgt der scheinbare Winkeldurchmesser der Sonne demnach ca. 20′, auf demJupiter in 5,2 AE Entfernung noch 6′, auf Saturn (9,576 AE) ca. 3′, auf dem fernenPluto (30,14 AE) dagegen nur noch 1′.


Die potentielle Energie einer Probemasse m, die sich im Abstand r im Gravitationsfeldeiner kugelsymmetrischen Massenverteilung mit Gesamtmasse M befindet, ist in derNewtonschen Gravitationstheorie gegeben durch

Vgr = −GMm

r. (1.16)

Seit Einstein1 wissen wir, dass mit der Masse m eine äquivalente Ruheenergie mc2

verknüpft ist. Man kann daher auf den Gedanken kommen, die potentielle Energie (1.16)in der Einheit der Ruheenergie zu messen:

Vgr = −mc2GMm

mc2r= −mc2

GMc2

r. (1.17)

1Einstein, Albert, 1879 - 1955, deutsch-amerikanischer Physiker. Nobepreis 1921 für den Photoelektri-schen Effekt

5

1 Grundlagen

Da mc2 die Einheit Energie hat, muss der Bruch dimensionslos sein. Dann muss dieim Zähler stehende Größe GM/c2 die Dimension einer Länge haben. Konventionsgemäßführt man noch einen Faktor 2 ein und definiert den Schwarzschild-Radius rS (nach K.Schwarzschild2) durch

rS =2GM

c2. (1.18)

Die potentielle Energie lässt sich also durch den Schwarzschild-Radius ausdrücken in derForm

Vgr = −1

2mc2 rS

r. (1.19)

Das (probemassenunabhängige) Gravitationspotential φgr ist dann

φgr = −GMr

= −1

2c2 rS

r. (1.20)

Der Schwarzschild-Radius ist somit das charakteristische Längenmaß für die Gravitati-onswirkung der MasseM . Mit den Werten für Gravitationskonstante und Lichtgeschwin-digkeit

G = 6,672 · 10−11 m3

kg · s2, c = 2,99792458 · 108 m

s(1.21)

lässt sich der Schwarzschild-Radius bei gegebener Masse M ausrechnen. Tabelle 1.2 gibtBeispiele für den Schwarzschild-Radius verschiedener kosmischer Objekte.

Man merke sich, dass der Schwarzschild-Radius der Sonne etwa drei Kilometer, derder Erde knapp einen Zentimeter beträgt. Die Kleinheit des Schwarzschild-Radius derErde veranschaulicht, warum man die Gravitation eine sehr schwache Wechselwirkungnennt (der Schwarzschild-Radius ist ja zu vergleichen mit unserem Abstand vom Erd-mittelpunkt von 6375 Kilometern).

Man beachte, dass das Verhältnis zwischen zwei Schwarzschild-Radien vom Verhält-nis der tatsächlichen Radien zweier Körper verschieden ist. Zum Beispiel gilt für dasVerhältnis der Schwarzschild-Radien von Erde und Sonne

rSrS

=8,9 mm

2950 m≈ 3 · 10−6 (1.22)

und für die tatsächlichen Radien

R

R =6370 km

696000 km≈ 9 · 10−3. (1.23)

2Karl Schwarzschild, 1873 – 1916, deutscher Physiker.

6


Objekt Radius R Masse M vF rS

kl. Planetoid 3 km 3,4 · 1014 kg 3,9ms

0,5 pm

mittl. Planetoid 20 km 1017 kg 26 ms

0,15 nm

gr. Planetoid 350 km 5,4 · 1020 kg 450 ms

0,8 µm

Mond 1740 km 7,53 · 1022 kg 2,4 kms

0,11 mm

Erde 6370 km 5,973 · 1024 kg 11,2kms

8,9 mm

Jupiter 70000 km 1,9 · 1027 kg 60 kms

2,8 m

Sonne 696000 km 1,99 · 1030 kg 620 kms

2950 m

Beteigeuze 522 Mio. km 4 · 1031 kg 100 kms

60 km

Tabelle 1.2: Zahlenwerte für den Schwarzschild-Radius und die Fluchtge-schwindigkeit für verschiedene kosmische Objekte.

Abbildung 1.1: Veranschaulichung zum Schwarzschild-Radius: Zwei Kör-per im Abstand r, die der wechselseitigen Gravitationskraft unterliegen. Umdas Gravitationsfeld der Masse M zu verlassen, benötigt die Masse m dieAnfangsgeschwindigkeit v0 = c rSr .

Das rührt daher, dass die Schwarzschild-Radien linear, die tatsächlichen Radien jedochüber das Volumen mit der dritten Wurzel von der Masse abhängen.

Es gibt einen alternativen Weg, um zum Schwarzschild-Radius zu gelangen. Wir be-trachten einen Körper K mit kugelsymmetrischer Massenverteilung der GesamtmasseM , und eine Probemasse m im Außenraum von K im Abstand r vom Mittelpunkt (Abb.1.1). Damit die Probemasse von ihrer Position bis ins Unendliche fliegen kann, mussman ihr beim Start mindestens eine kinetische Energie mitgeben, die ihrer potentiellenEnergie am Ort r betragsmässig gleich ist:

1

2mv2

0 =mMG

r. (1.24)

Daraus folgt für die Startgeschwindigkeit

v20 =

2MG

r, (1.25)

7

1 Grundlagen

oder, ausgedrückt durch die Lichtgeschwindigkeit,

v20 = c2 2MG

rc2= c2 rs

r. (1.26)

Wieder erweist sich der Schwarzschild-Radius als die entscheidende Längenskala. Startetdie Probemasse direkt von der Oberfläche des Körpers K mit Radius R, so ist v0 dieFluchtgeschwindigkeit der Masse M

vF = c

√rSR. (1.27)

Man nennt die Fluchtgeschwindigkeit auch die 2. kosmische Geschwindigkeit des Objekts.Die 1. kosmische Geschwindigkeit ist die Geschwindigkeit vC, die notwendig ist, um daskugelförmige Objekt knapp über seiner Oberfläche umkreisen zu können. Aus dem dannherrschenden Gleichgewicht zwischen Zentripetalkraft und Gravitationskraft,

mv2C

R=mMG

R2(1.28)

folgt unmittelbar

v2C = c2MG

Rc2= c2 rs

2Ralso vC = c

√rS2R

=1√2vF. (1.29)

Die Kreisbahngeschwindkeit ist damit um einen Faktor 1/√

2 ≈ 0,707 kleiner als dieFluchtgeschwindigkeit.

Zahlenwerte für Fluchtgeschwindigkeiten unterschiedlicher kosmischer Objekte sind inTabelle 1.2 angegeben. Wir sehen, dass im Falle der Erde eine Raumsonde, die zu ei-nem anderen Planeten startet, die Anfangsgeschwindigkeit 11,2 km/s haben muss. DieFluchtgeschwindigkeit gibt zugleich die Geschwindigkeit an, mit der ein ursprünglich imUnendlichen ruhender Körper im freien Fall auf die Oberfläche aufprallen würde (Frei-fallgeschwindigkeit).Als die Apollo-Astronauten zur Erde zurückkehrten, rasten sie deshalb auch mit dieserGeschwindigkeit wieder in die Erdatmosphäre hinein.

Für die in Tabelle 1.2 betrachteten kosmischen Objekte sind die Fluchtgeschwindig-keiten wegen der Kleinheit des Verhältnisses von Schwarzschild-Radius zu tatsächlichemRadius allesamt nichtrelativistisch. Anders verhält es sich bei Neutronensternen. Beidiesen Endstadien der Sternentwicklung sind die Schwarzschild-Radien in der Größen-ordnung dessen der Sonne, rS ≈ 3 km, die Radien dieser kompakten Objekte betragen

8


aber nur r ∼ 10 km. Als Entweichgeschwindigkeit erhält man

vF = c

√rSR

= c

√3 km

10 km≈ 1

2c. (1.30)

Befindet sich ein Neutronenstern z.B. in einem Doppelsternsystem, so kann er unterUmständen Material von seinem Begleiter “ansaugen”. Dieses fällt dann mit etwa derhalben Lichtgeschwindigkeit auf seine Oberfläche. Die dabei freigesetzten enormen Ener-giemengen werden in Form von Röntgenstrahlung bei akkretierenden (aufschüttenden)Röntgenpulsaren tatsächlich beobachtet. Siehe dazu auch Abschnitt 2.5.

Streng genommen müsste man bei solchen Geschwindigkeiten die relativistische Formder kinetischen Energie in Gleichung (1.24) verwenden. Die relativistische Rechnung be-stätigt aber die Größenordnung des nichtrelativistischen Ergebnisses.

Wir haben bisher immer vorausgesetzt, dass der Radius des Objekts größer als seinSchwarzschild-Radius ist. Der Schwarzschild-Radius hatte dann die Bedeutung einer cha-rakteristischen Rechengröße. Wird der Radius eines kosmischen Objekts jedoch kleinerals dieser, so bekommt der Schwarzschild-Radius eine wichtige physikalische Bedeutung:Nach (1.26) würde für r = rS die für eine Masse notwendige Startgeschwindigkeit, um insUnendliche zu gelangen, gleich der Lichtgeschwindigkeit werden! Weder Teilchen nochLicht könnten von unterhalb des Schwarzschild-Radius zu einem fernen Beobachter flie-gen, das Gebiet unterhalb des Schwarzschild-Radius bliebe unsichtbar, verborgen hintereinem Horizont.

Diese Argumentation hat aber zwei kleine Haken. Erstens hätten wir für Fluchtgeschwin-digkeiten in der Nähe von c relativistisch rechnen müssen. Zweitens besitzen Lichtquan-ten keine Ruhmasse und daher auch keine kinetische Energie, und unsere Herleitung istauch relativistisch nicht anwendbar.

Trotzdem wird sich bei der exakten Behandlung der Teilchen- und Lichtausbreitungin der allgemeinen Relativitätstheorie herausstellen, dass der Schwarzschild-Radius füreinen fernen Beobachter tatsächlich einen Ereignishorizont darstellt: Licht, das am oderinnerhalb des Schwarzschild-Radius abgestrahlt wird, kann sich nicht mehr nach außenausbreiten. Man spricht dann von einem Schwarzen Loch.

9

1 Grundlagen

1.3 Die Poisson-Gleichung der Gravitation

Die Gravitation ist die im Weltall dominierende Wechselwirkung. Quellen der Gravitati-onsfeldstärke sind Massen, genauso wie die Quellen der elektrischen Feldstärke Ladungensind. Man nennt daher die gravitationserzeugende Eigenschaft eines Körpers auch seineGravitationsladung (oder seine schwere Masse). Wie in der Elektrostatik Gleichungengelten, die den Zusammenhang zwischen Ursache und Wirkung, also felderzeugenden La-dungen und erzeugten elektrischen Feldern herstellen, so lassen sich solche Gleichungenfür die Newtonsche Gravitationstheorie herleiten.

Ausgangspunkt ist dabei die formale Analogie zwischen der Kraft, die in der Elektrosta-tik eine Ladung Q auf eine ruhende Probeladung q und in der Gravitationstheorie eineMasse M auf eine Probemasse m ausübt:

Fel(r) =1

4πε0· qQr2

er ⇐⇒ Fgr(r) = −G · mMr2

er (1.31)

Dabei bedeutet er den Einheitsvektor in der Richtung von der Ladung Q (der MasseM)zur Ladung q (der Massem), r ist der Abstand der Ladungen bzw. Massen. Man erkennt,dass das auf der linken Seite stehende Coulomb-Gesetz in das Gravitatonsgesetz über-geht, wenn man die elektrischen Ladungen durch die Massen (die Gravitationsladungen)austauscht und die Ersetzung

1

4πε0⇐⇒ −G (1.32)

vornimmt.Das Coulomb-Gesetz ist eine Konsequenz der Maxwell-Erregungsgleichung für die alsKraft pro ruhender Probeladung definierte elektrische Feldstärke Eel = Fel/q. Sie lautet

divEel =1

ε0%el . (1.33)

wobei %el die elektrische Ladungsdichte ist. Führen wir in derselben Weise eine Gravitati-onsfeldstärke als Kraft pro Probeladung ein, Egr = Fgr/m, dann folgt mit der Ersetzung(1.32), dass für Egr die analoge Erregungsgleichung

divEgr = −4π G%gr (1.34)

gelten muss. Dabei bedeutet %gr gemäß der Ersetzungsregeln die Massendichte. Dadie elektrische Feldstärke in der Elektrostatik ein konservatives Kraftfeld ist, lässt siesich als negativer Gradient des elektrostatischen Potentials φel schreiben:

Eel = −∇φel . (1.35)

10

1.3 Die Poisson-Gleichung der Gravitation

Analog existiert für die konservative Gravitationsfeldstärke ein Gravitationspotential φgrmit

Egr = −∇φgr . (1.36)

Das Einsetzen von (1.35) in die Erregungsgleichung (1.33) führt in der Elektrostatik aufdie Poisson-Gleichung

4φel = − 1

ε0%el . (1.37)

Setzen wir genauso (1.36) in (1.34) ein, gelangen wir zur Poisson-Gleichung derNewtonschen Gravitationstheorie

4φgr = 4πG%m. (1.38)

Diese gestattet es, bei beliebiger vorgegebener Massendichteverteilung %m(r) das Gravi-tationspotential und daraus mit (1.36) die Gravitationsfeldstärke im Raum zum berech-nen.

Die Erregungsgleichung (1.34) kann wie in der Elektrostatik (1.33) in eine integrale Formgebracht werden. Dazu integrieren wir (1.34) über ein beliebig vorgegebenes Volumen

ˆV

divEgr · dV = −4πG

ˆV

%mdV

und wenden den Gaußschen Satz an, um das Volumenintegral über die Divergenz derGravitationsfeldstärke in ein Oberflächenintegral für den Fluss der Feldstärke zu über-führen: ˛

∂V

Egr · df = −4πG

ˆV

%mdV = −4πGM(V ) . (1.39)

Das Integral auf der rechten Seite bedeutet nichts anderes als die vom Volumen V um-schlossene Masse M . Wir wollen hier speziell den Fall betrachten, dass die Massendichtekugelsymmmetrisch ist,

%m(r) = %m(r) , (1.40)

und ab einem Radius R verschwindet. Bei kugelsymmetrischer Massenverteilung ist keineRichtung ausgezeichnet. Das Gravitationsfeld kann daher nur vom Abstand von Zentrumder Massenverteilung abhängen und radial gerichtet sein,

Egr = Egr(r)er . (1.41)

Wir betrachten als erstes den Fall r ≤ R, d. h. wir befinden uns innerhalb der Dichte-verteilung (vgl. Abb. 1.2). Wir integrieren (1.39) über eine Kugel vom Radius r

˛S(V )

Egr · df = 4πr2Egr(r) = −4πGM(r) (1.42)

11

1 Grundlagen

Abbildung 1.2: Veranschaulichung zur Berechnung von Er, an der Stelle rfür r < R. Nur die Masse, die sich in der hellen Kugel mit Radius r befindet,trägt zur Gravitationswirkung bei.

wobei M(r) die bis zum Radius r umschlossene Masse bedeutet,

M(r) =

ˆ r

0

4πr′2%m(r′)dr′. (1.43)

Mit (1.41) und (1.42) erhalten wir für die Gravitationsfeldstärke

Egr = −GM(r)

r2er . (1.44)

Man beachte, dass die Gravitationswirkung nur von der unterhalb des Radius r liegen-den Masse herrührt, und nicht von den darüber liegenden Schichten. Im zweiten Fallsei r > R, wir befinden uns damit außerhalb der Dichteverteilung. Dann wird die um-schlossene Masse gleich der Gesamtmasse und wir haben das bekannte Ergebnis, dasseine kugelsymmetrische Massenverteilung im Außenraum so wirkt, als wäre die Gesamt-masse in ihrem Zentrum vereinigt,

Egr = −GMr2

er. (1.45)

1.4 Gravitative Bindungsenergie eines Sterns

Die gravitative Bindungsenergie ist ein Maß für den Energiegehalt, den eine Massenan-sammlung im Kosmos, zum Beispiel eine Galaxie, eine Gaswolke, ein Stern oder ein Pla-netoid, auf Grund der gegenseitigen Anziehung ihrer einzelnen Massenelemente besitzt.Sie entspricht zugleich der Energie, die nötig wäre, um die einzelnen Massenelemente zutrennen und ins Unendliche zu transportieren.

12

1.4 Gravitative Bindungsenergie eines Sterns

Die Bindungsenergie sollte als potentielle Energie von der Form

Gravitationskonstante×Masse2

Länge

sein.Die einzige Masse, die für eine Massenverteilung in Frage kommt, ist ihre GesamtmasseM , die einzige Länge ihre geometrische Ausdehnung R3.Die Bindungsenergie sollte also von der Form

Ugr = −const ·GM2/R (1.46)

sein. Allein die Konstante hängt noch von der Massenverteilung ab.

Als Beispiel wollen wir einen Stern als homogene Vollkugel mit Masse M und demRadius R0 modellieren und die Konstante in (1.46) berechnen. Für die konstante Dichtedieser Kugel haben wir dann

%m(r) =M0

4π3R3

0

. (1.47)

Die bis zum Radius r umschlossene Masse ist

M(r) = M0 ·r3

R30

. (1.48)

Für r < R0 ist dann die Gravitationsfeldstärke

Egr(r) = −GM(r)

r2er = −GM0

r3

r2R30

er = −GM0

R30

· r · er, (1.49)

d h. sie wächst linear mit dem Abstand an. Für das Gravitationspotential folgt durchIntegration über r:

φgr(r) = −ˆ r

0

Egr(r) · dr =

ˆ r

0

GM0

R30

· rdr = GM0

R30

r2

2+ const. (1.50)

Für r > R0 erhält man das übliche Gravitationspotential

φgr = −GM0

r. (1.51)

3Wir betrachten hier Massenverteilungen mit hoher Symmetrie, also etwa Kugeln oder Ellipsoide. Füreine beliebige geformte Gaswolke wäre der Zusammenhang natürlich etwas komplizierter.

13

1 Grundlagen

Das Potential muss als differenzierbare Funktion bei r = R0 stetig sein

−GM0

R0

= +GM0

2R0

+ const. (1.52)

Daraus ergibt sich als Wert der Konstanten

const = −3

2

GM0

R0

. (1.53)

Die Gesamtenergie einer Massenverteilung ist allgemein gegeben durch

Ugr =1

2

ˆφgrρMdV, (1.54)

wobei über den gesamten Raum zu integrieren ist. Im Beispiel der homogenen Vollkugelist die Dichte konstant und kann vor das Integral gezogen werden. Außerdem verschwin-det sie im Außenraum, so dass die Integration nur bis zum Radius R0 erfolgen muss:

Ugr =1

2%m

ˆφgrdV =

1

2%m

ˆ R0

0

(+GM0

R30

r2

2− 3

2

GM0

R0

)· 4πr2dr

= %mπGM0

R30

ˆ R0

0

(r4 − 3R2

0r2)dr = −4π

5%mGM0R

20.

(1.55)

Mit %m aus Gleichung (1.47) folgt nach Einsetzen und Umformen schließlich:

Ugr = −3

5

GM20

R0

. (1.56)

Dieses Ergebnis ist nach unserer Vorüberlegung nicht überraschend, für die homogeneVollkugel ist die gesuchte Konstante also gleich 3/5.

Wir können die gravitative Bindungsenergie der homogenen Vollkugel mit ihrer rela-tivistischen Ruhenergie vergleichen. Dazu berechnen wir das Verhältnis

Ugr

M0c2= −3

5

GM20

R0M0c2= − 3

10

2GM0

c2

R0

= − 3

10

rSR0

. (1.57)

Hier haben wir wieder den Schwarzschild-Radius rS als charakteristische Längenein-heit verwendet. Wir sehen, dass die gravitative Bindungsenergie um das Verhältnis vonSchwarzschild-Radius zu tatsächlichem Radius kleiner als die Ruheenergie ist.

14

1.5 Der Virialsatz

Für das Beispiel einer Sonnenmasse ergibt sich das Verhältnis

− 3

10· rS

R0= − 3

10· 2950 m

696 · 106 m≈ −1,3 · 10−6. (1.58)

Die gravitative Bindungsenergie beträgt also nur etwa ein Millionstel der Ruheenergie.Man kann die Bindungsenergie auch als einen „Massendefekt” zur Ruhemasse auffassen.Genauso wie bei der Fusion von zwei Protonen und zwei Neutronen zu einem Heliumkerndie Ruheenergie des Heliumkerns um die durch die starke Wechselwirkung der Nukleo-nen erzeugte Bindungsenergie kleiner ist als die Summe der Ruheenergien der Nukleonenvor der Fusion, ist die Ruheenergie der Massenverteilung durch die gravitative Bindungs-energie um den Faktor (1.58) vermindert. Diese Bindungsenergie muss ähnlich wie beider Fusion bei der Bildung der Massenansammlung freigesetzt werden, wie wir sehenwerden in Form von Wärme und Strahlung.

Bei der Kernfusion ist das Verhältnis von Massendefekt und Ruhemasse von der Grö-ßenordnung

∆mFusion

M≈ 10−2. (1.59)

Das heißt, wir haben bei der Fusion eine um den Faktor 104 höhere Effizienz als beider gravitativen Bindung. Daraus wird bereits ersichtlich, dass die hohe Leuchtkraft derSterne nicht von der Bindungsenergie der Gravitation verursacht werden kann, sonderndurch die in den Sternen stattfindende Fusion.

1.5 Der Virialsatz

Im Folgenden leiten wir den Virialsatz her. Der Virialsatz macht eine Aussage überden Zusammenhang von mittlerer kinetischer und mittlerer potentieller Energie einesEnsembles von Teilchen. Dieser Zusammenhang wird später bei der Betrachtung derEntstehung von Sternen nützlich sein. Wir betrachten zunächst ein Teilchen, auf daseine Kraft K wirke:

mr = K. (1.60)

Im Folgenden bilden wir den Mittelwert der Größe K ·r über einem Zeitintervall t2− t1.Mit dem Zwischenschritt

t2ˆ

t1

K · rdt =

t2ˆ

t1

mr · rdt = mr · r∣∣∣∣∣t2

t1

−t2ˆ

t1

mr · rdt (1.61)

15

1 Grundlagen

erhalten wir

1

t2 − t1[mr(t2)r(t2)−mr(t1)r(t1)]− 1

t2 − t1

t2ˆ

t1

mr2dt =1

t2 − t1

t2ˆ

t1

K · rdt. (1.62)

Damit gilt weiter

K · r +mr2 =1

t2 − t1[mr(t2)r(t2)−mr(t1)r(t1)] , (1.63)

wobei X den zeitlichen Mittelwert der Größe X bedeutet.Wenn wir nun das betrachtete Zeitintervall sehr groß werden lassen, geht die rechte Seitevon (1.63) gegen Null, vorausgesetzt, dass der Ort und die Geschwindigkeit des Teilchensbeschränkt sind, d.h. das Teilchen hält sich für alle Zeit in einem bestimmten Volumenauf und seine Geschwindigkeit übersteigt eine bestimmte Maximalgeschwindigkeit nicht.Wenn wir noch berücksichtigen, dass mr2 = 2T mit der kinetischen Energie T ist (nichtdie Temperatur), erhalten wir den Virialsatz

K · r + 2T = 0. (1.64)

Wir drücken nun noch zusätzlich die Kraft durch den negativen Gradienten eines Po-tentials V = αrn aus:

K = −∇V = −∇αrn (1.65)

Dann folgt

K · r = −∇V (rj)rj = −αrn−1 · n · rer · er = −nαrn = −V n. (1.66)

Für den Zeitmittelwert in (1.64) folgt damit:

2T = n · V . (1.67)

Wir betrachten nun zwei Spezialfälle für n:

• Mit n = 2 ergibt sich

T = V =1

2E. (1.68)

Dies ist der Fall für einen harmonischen Oszillator.

• Für n = −1 haben wir

2T = −V ⇔ T = −1

2V . (1.69)

Dieser Fall entspricht der Gravitation.

16

1.5 Der Virialsatz

Um nun zu ermitteln, was beim Zusammenziehen einer galaktischen Gaswolke unterEinwirkung der Gravitation passiert, müssen wir außerdem die kinetische und potentielleEnergie über die Teilchen des gesamten Esembles zu einem festen Zeitpunkt mitteln.Für die Ensemblemittelwerte führen wir folgende Schreibweise ein

〈T 〉 =1

N

∑i

Ti, 〈V 〉 =1

N

∑i

Vi (1.70)

wobei Vi die potentielle Energie und Ti die kinetische Energie des Teilchens i darstellt.Wir nehmen weiter an, dass für große Zeiten τ und sehr viele Teilchen die mittlerekinetische und potentielle Energie pro Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt (En-semblemittelwert) gleich der zeitlich gemittelten kinetischen und potentiellen Energieeines einzelnen Teilchens ist (Zeitmittelwert):

〈T 〉 = T , 〈V 〉 = V . (1.71)

Dann erhalten wir mit Hilfe des Virialsatzes den Zusammenhang

〈T 〉 = −1

2〈V 〉 (1.72)

zwischen mittlerer kinetischer und mittlerer potentieller Energie des Ensembles.

Im Anfangsstadium der Verdichtung einer Wolke ist die Dichte des Gases sehr gering,so dass zwischen den einzelnen Teilchen kaum Wechselwirkungen stattfinden und dieGesetze für ideale Gase Anwendung finden. Für ein ideales Gas mit der thermischenEnergie U gilt

N · 〈T 〉 = U. (1.73)

Aus der Thermodynamik ist bekannt, dass für ein einatomiges Gas außerdem gilt:

U =3

2kBTN. (1.74)

Mit Hilfe des Virialsatzes können wir die thermische Energie nun auch über die poten-tielle Energie ausdrücken:

U = −1

2Epot ⇔ 3kBTN = −G

M(R)ˆ

0

M(r)

rdM(r). (1.75)

Erhöht sich also die potentielle Energie Epot, dann erhöht sich auch die thermischeEnergie U . Bei Verkleinerung des Sterns gilt demnach

17

1 Grundlagen

50% der Erhöhung von Epot führen zu einer Erhöhung der thermischenEnergie und 50% werden als Strahlung freigesetzt.

1.6 Koordinatensysteme

Um die Position der Sterne zu kennzeichnen, können verschiedene Koordinatensyste-me verwendet werden. Diese werden im Folgenden erklärt. Vorab sollten jedoch einigegrundlegenden Begriffe erläutert werden:

Himmelskugel/ Hemissphäre Das ist eine scheinbare, den Beobachter allseitig umge-bende Kugel mit beliebig großem Radius. Die Gestirne kann man sich als Punkteauf dieser Kugel vorstellen.

Zenit Dies ist der Punkt, der genau senkrecht über dem Beobachter liegt.

Nadir Der dem Zenit an der Himmelskugel gegenüberliegende Punkt.

Horizontebene Beschreibt die Ebene durch den Beobachtungspunkt senkrecht auf derLotgeraden (Zenit-Nadir).

Himmelspole Das sind diejenigen Punkte am Himmel, an denen die verlängerte Erdach-se die Himmelskugel schneidet. Für einen Beobachter auf der Erde hat es denAnschein, die am Himmel sichtbaren Objekte würden sich um die Himmelspoledrehen.

Himmelsäquator Die Projektion des Äquators der Erde auf den Himmel. Er teilt dieHemissphäre in eine nördliche und eine südliche Hälfte.

Ekliptik Sie ist der Kreis auf der Himmelssphäre, auf dem sich die Sonne im Laufe desJahres zu bewegen scheint. Die Richtung der Sonne verändert sich natürlich durchdie Bewegung der Erde um die Sonne. Die Ekliptik ist gegenüber dem Himmels-äquator zur Zeit um 23 27′ geneigt.

Meridian Der Himmelsmeridian ist der Großkreis durch Zenit, Nadir, die beiden Him-melspole und durch den Nord- und Südpunkt am Horizont. Er teilt den Himmelin eine östliche und eine westliche Himmelsspäre.

Frühlings-Herbstpunkt Der Himmelsäquator schneidet die Ekliptik in zwei Punkten.An einem dieser Punkte befindet sich die Sonne am Frülingsanfang. Am anderenPunkt befindet sie sich zu Herbstbeginn.

18


1.6.1 Das Horizontsystem

Im Horizontsystem ruht der Beobachter auf der Erdoberfläche. Die Position eines Sternswird hier durch die sogenannten Höhe h und den Azimut A beschrieben. Das Horizont-system ist in Abbildung 1.3 veranschaulicht.

Horizont

b

b

W

Nh

z

S

Nadir

Zenit

A

*

Meridian

Abbildung 1.3: Himmelskugel im Horizontsystem, aus [1].

. Der Azimut A ist der Winkel zwischen Meridian und dem Vertikalkreis durch denStern.

Das Horizontsystem hat jedoch zwei Nachteile. Zum Einen verändern sich die Koordina-ten durch die Rotation der Erde. Zum Anderen sind die Koordinaten für verschiedene Be-obachter unterschiedlich. Zur einheitlichen Beschreibung sind diese Koordinaten deshalbnicht geeignet. Um Himmelsobjekte zu katalogisieren werden also andere Koordinatenbenötigt.

1.6.2 Das Äquatorsystem

Das Äquatorsystem (Abb.1.4) ist durch die Erdachse (Polachse) und durch den Him-melsäquator gekennzeichnet. Den geographischen Längenkreisen entsprechen im Äqua-torsystem die Stundenkreise und den Breitenkreisen entsprechen die Parallelkreise. Manunterscheidet das „feste“ und das „bewegliche“ Äquatorialsystem.Beim festen Äquatorialsystem wird die Position eines Objekts durch die Deklina-tion δ und den Stundenwinkel t beschrieben.

. Die Deklination δ ist der Winkelabstand zwischen Parallelkreis des Sterns undHimmelsäquator.

. Der Stundenwinkel t wird längs des Himmelsäquators gemessen. Als Nullpunktwird der Schnittpunkt von Himmelsäquator und Meridian gewählt. Da sich dieErde in 24 Stunden einmal um ihre eigene Achse (also um 360) dreht, ändert sichder Stundenwinkel in einer Stunde um 15.

19

1 Grundlagen

1.4. KOORDINATENSYSTEME 13

1.4.2 Das Aquatorsystem

Das Aquatorsystem (Abb.1.4) ist durch die Erdachse (Polachse) und durch denHimmelsaquator gekennzeichnet. Den geographischen Langenkreisen entspre-chen im Aquatorsystem die Stundenkreise und den Breitenkreisen entsprechendie Parallelkreise. Man unterscheidet das

”feste“ und das

”bewegliche“ Aquato-

rialsystem.

ϕ

bN bSHorizont

Äquator

b

bτ

δ

Pol

θ

*

OK

UKb

b

α t

Abbildung 1.4: Himmelskugel im Aquatorialsystem

Beim festen Aquatorialsystem wird die Position von einem Objekt durch diesog. Deklination δ und den sog. Stundenwinkel t beschrieben.

⊲ Die Deklination δ ist der Winkelabstand zwischen Parallelkreis des Sternsund Aquator.⊲ Der Stundenwinkel t wird langs des Himmelsaquators gemessen. Als Null-punkt wird der Schnittpunkt von Himmelsaquator und Meridian gewahlt. Dasich die Erde in 24 Stunden einmal um ihre eigene Achse (also um 360) dreht,andert sich der Stundenwinkel in einer Stunde um 15.

Beim festen Aquatosystem andert sich der Stundenwinkel mit der Zeit. Außer-dem ist er von der geographischen Lange des Beobachters und von der Jahreszeitabhangig.Somit ist dieses Koordinatensystem auch nicht zu einer einheitlichen Beschrei-bung geeignet.

Beim beweglichen Aquatorsystem wird der Nullpunkt fur den Stundenwin-kel anders gewahlt. Der Winkel zwischen dem Fruhlingspunkt und dem Schnitt-punkt Himmelsaquator/Stundenkreis des Sterns heißt Rektaszension α. Erwird vom Fruhlingspunkt aus entgegen der taglichen Bewegung der Himmels-sphare im Zeitmaß von 0h bis 24h gemessen. Die Deklination ist in beidenSystemen gleich.

Im beweglichen Aquatorsystem, das sich mit der Erde bewegt, sind die Koor-dinaten eines Objektes zeitunabhangig. Zur Katalogisierung von Sternen wirddeshalb dieses Koordinatensystem verwendet.

Beispiel fur Sternkatalog:

Abbildung 1.4: Himmelskugel im Äquatorialsystem, aus [1].

Katalognummer Sternbild α δ Art Helligkeit · · ·NGC2252 Einhorn 6h34m42s +522

′

NGC2610 Wasserschlange 8h33m23s −1609′

A30 Krebs 8h46.8m +1753′

...Tabelle 1.3: Beispiel für den Aufbau eines Sternenkatalogs.

Beim festen Äquatorsystem ändert sich der Stundenwinkel mit der Zeit. Außerdem ister von der geographischen Länge des Beobachters und von der Jahreszeit abhängig.Somit ist dieses Koordinatensystem auch nicht zu einer einheitlichen Beschreibung ge-eignet.

Beim beweglichen Äquatorsystem wird der Nullpunkt für den Stundenwinkel an-ders gewählt. Der Winkel zwischen dem Frühlingspunkt und dem Schnittpunkt Himmels-äquator/Stundenkreis des Sterns heißt Rektaszension α. Er wird vom Frühlingspunktaus entgegen der täglichen Bewegung der Himmelssphäre im Zeitmaß von 0h bis 24h ge-messen. Die Deklination ist in beiden Systemen gleich.Im beweglichen Äquatorsystem, das sich mit der Erde bewegt, sind die Koordinateneines Objektes zeitunabhängig. Zur Katalogisierung von Sternen wird deshalb diesesKoordinatensystem verwendet. Ein Beispiel für einen Sternkatalog findet sich in Tabelle1.3.

1.6.3 Ekliptikalsystem

Im Ekliptikalsystem dient als Bezugsebene die Ekliptik, also die Bahnebene der Erde.

. Die ekliptische Breite β ist der Winkel zwischen Ekliptik und dem Objekt.

. Die ekliptische Länge λ wird längs der Ekliptik gemessen. Wie beim Äquatorial-

20


system ist der Frühlingspunkt der Nullpunkt für die ekliptische Länge.

Dieses System ist für Körper des Sonnensystems (Planeten, Asteroiden, Kometen) vonBedeutung.

1.6.4 Galaktisches System

Das galaktische System benutzt die Ebene der Milchstraße (galaktische Äquatorebene)als Grundkreis. Der Nullpunkt ist das Zentrum der Milchstraße.

. Die galaktische Breite b bezeichnet den Winkel zwischen dem Objekt und derEbene durch die Milchstraße.

. Die galaktische Länge l ist der Winkel zwischen der Verbindungslinie Sonne/Zentrumund dem Schnittpunkt des Längenkreises des Objektes mit der galaktischen Äqua-torebene.

Galaktische Koordinaten werden hauptsächlich bei Untersuchungen verwendet, bei de-nen die Raumverteilung von Objekten in unserer Galaxie von Bedeutung ist.

1.6.5 Störungen der Koordinaten

Die Bewegung der Erde unterliegt Einflüssen, welche langzeitliche Schwankungen her-vorrufen. Deshalb reicht es nicht aus nur die Koordinaten anzugeben. Zusätzlich wird inSternkatalogen auch noch das Äquinoktium (der Zeitpunkt oder Epoche) der Messungangegeben, auf welches sie sich beziehen.

Durch die Gravitationskräfte des Mondes führt die Erde eine Präzessionsbewegungaus. Dabei beschreibt die Erdachse eine gleichmäßige Drehung längs eines Kegels miteiner Öffnung von 23.5 um den Pol der Ekliptik. Ein vollständiger Umlauf dauert ca.26.000 Jahre.Die Nutation führt zu einer Änderung der Rotationsachse und somit zu einer Ände-rung der Winkelgeschwindigkeit.

Durch diese Effekte (es gibt noch weitere Störungen, die allerdings nicht so drastischsind) verändern sich Deklination und Rektaszension eines Sterns mit der Zeit. Auchdie Position des Frühlingspunktes, der Himmelspole und des Polarsterns verändern sichdeshalb.

21

2 Entstehung und Entwicklung von Sternen

2 Entstehung und Entwicklung vonSternen

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Phasen eines Sternle-bens. Wir diskutieren wie Sterne entstehen, welche Prozesse sie stabilisieren, und wiedie Endprodukte von Sternen beschaffen sind.

2.1 Sternentstehung und Gleichgewichtsbe-dingung

Gaswolken kosmischer Größe tendieren dazu, sich unter der Einwirkung ihrer Eigengra-vitation zu kontrahieren. Beobachtet man dagegen eine Gaswolke im Labor, so nimmtdiese jedes ihr zur Verfügung gestellte Volumen ein um sich auszudehnen. Dies liegtdaran, dass für solch kleine Objekte die Gravitation keine Rolle spielt (Abb. 2.1). Mannimmt heute an, dass die Kontraktion der für die Sternbildung entscheidende Effekt ist.

2.1.1 Jeans-Kiterium

Die Vorraussetzung für die Kontraktion ist, dass die Gravitationsenergie die thermischeEnergie übersteigt. Das ist das Jeans-Kriterium für das Einsetzen der „Gravitations-stabilität” (= Kontraktion). Für die thermische Energie gilt zunächst:

Uth =3

2kBT ·N =

3

2kBT ·

M

µ. (2.1)

Abbildung 2.1: Kontraktion einer Gaswolke unter Einwirkung der Eigen-gravitation. Im Labor wird der umgekehrte Prozess beobachtet, da hier dieGravitation keine Rolle spielt.

22

2.1 Sternentstehung und Gleichgewichtsbedingung

Dabei ist µ die mittlere Molekül- bzw. Atommasse. Bei homogener Dichte gilt für dieGravitationsenergie nach Gleichung (1.56):

Ugr =3

5G · M

2

R(2.2)

Nach Vorraussetzung muß die Gravitationsenergie die thermische Energie übersteigen.Es ergibt sich eine Ungleichung:

3

5G · M

2

R>

3

2kBT ·

M

µ(2.3)

Zunächst wollen wir R durch M und %m ausdrücken:

%m =M

4π3R3

⇔ R3 =M

4π3%m

⇔ R =M

13

(4π3%m)

13

.

In (2.3) eingesetzt ergibt sich nach kurzer Rechnung:

M >

√375

32π·(kBTµG

) 32

· 1√%m

. (2.4)

Diese Größe wird manchmal auch als kritische Jeansmasse bezeichnet. Sie gibt eineuntere Schranke der Masse an, ab der die Gaswolke bei gegebener Dichte kollabiert.Als Beispiel betrachten wir kosmische Gaswolken, die aus neutralem Wasserstoffgas be-stehen und eine Temperatur von T = 100 K besitzen. Wasserstoff besitzt die atomareMasse

µ = mH = 1,67 · 10−27 kg. (2.5)

Wir nehmen an, dass sich in einem Volumen von 1 cm3 100 Wasserstoffatome befinden.Dann gilt für die Dichte

%m = 1,67 · 10−25 kg

cm3= 1,67 · 10−19 kg

m3. (2.6)

Für die Gravitationskonstante nehmen wir den Wert aus (1.12) und für die Boltzmann-Konstante

kB = 1,38 · 10−23 J

K. (2.7)

23


Alles eingesetzt ergibt:

M >

√375

32π·(

1,38 · 10−23 JK· 100 K

1,67 · 10−27 kg · 6,672 · 10−11 m3

kg·s2

) 32

· 1√1,67 · 10−19 kg

m3

≈ 6,5 · 1033 kg.

(2.8)

Sehr häufig werden Sternmassen in Einheiten von Sonnenmassen gerechnet, wobei wirannehmen, dass M = 2 · 1030 kg. Es folgt dann für die Mindestmasse:

M > 3250 ·M. (2.9)

Gaswolken mit einer Masse von M ≈ 104M kontrahieren somit sicher. Da aber diemassereichsten bisher beobachteten Sterne nur Massen M < 50M haben (mit Aus-nahme von η Carinae in der südlichen Milchstraße, der mit M ≈ 100M wahrscheinlichder massereichste Stern unseres Milchstraßensystems ist), entstehen bei der Kontraktionnicht einzelne Sterne, sondern Sternhaufen. Darüberhinaus kondensiert nicht alles Gaszu Sternen. Die Entstehung dieser Sternhaufen findet statt, während die Gaswolke kol-labiert. Durch den Kollaps entstehen lokale Dichtevariationen. Dabei bilden sich durchReibung und Magnetfelder Turbulenzen aus, die eine rein radiale Kompression störenund zu lokalen Dichteschwankungen führen.Die lokalen Teilgebiete höherer Dichte %m können dann für sich jeweils gravitativ instabilwerden und kollabieren, da nach (2.4) die für einen Kollaps nötige Masse mit der Dichteüber M ∼ %

−1/2m zusammenhängt.

2.1.2 Ablauf des Kollapes

Während des Kollapses steigt mit der Dichte %m auch der Gasdruck an, während diepotentielle Energie sinkt. Solange dabei die Dichte %m klein genug bleibt, kann diefreiwerdende Energie ∆Epot als Strahlungsenergie nach außen abgegeben werden. DieTemperatur der Gaswolke steigt also nicht wesentlich an. Da nun bei dieser isothermenKontraktion mit der Dichte die kritische Jeans-Masse mit M ∼ %

1/2m abnimmt, können

Teilmassen bei räumlicher Dichtefluktuation in Richtung ihrer eigenen Massezentren kol-labieren. Aus der ursprünglichen Wolke bilden sich also einzelne Fragmente, aus denendann letztendlich die Sterne entstehen. Deshalb entstehen Sterne in Haufen, in denenim allgemeinen alle Sterne etwa dasselbe Alter haben.

Nimmt die Dichte so weit zu, dass die Wolke optisch dicht wird, kann die Strahlungnicht mehr aus der Wolke entweichen. Die Wolke wird aufgeheizt. Damit steigt dannaber der Druck p ∼ %mkBT stärker an als die Dichte. Ferner kann die Strahlung aus denRandgebieten viel eher entweichen als aus dem Inneren der Fragmente. Die Temperaturder kollabierenden Wolke steigt also im Inneren stärker an als in den Randgebieten. So

24


entsteht dann ein Zentralgebiet mit hohem Druck und hoher Temperatur. Bei genügendhohem Gasdruck kompensieren die Druckkräfte die Gravitation schließlich. Der Kollapswird dadurch abgebremst und das Zentralgebiet stabilisiert.

Allerdings stürzen die Randschichten weiterhin auf das Zentrum und heizen dieses weiterauf. Die Temperatur, und mit ihr der Gasdruck, steigt also weiter an und die kritischeJeansmasse erreicht Größenordnungen der Sonnenmasse.Das so entstehende Gebilde heißt Protostern. Für Protosterne charakteristisch ist,dass sie die bei der Kontraktion erzeugte Strahlung absorbieren. Es erfolgt also kei-ne Energieabgabe. Der Vorgang geschieht adiabatisch. Der rasche Druckanstieg mitpV γ = const bremst den Kollaps bei einer Temperatur von etwa 100K ab. Dadurchverlangsamt sich die Kontraktion, während die Temperatur auf einige tausend Kelvinsteigt.Diese Temperatur liefert hinreichend Energie für die Dissoziation des Wasserstoffs. Diehierzu aufgewendete Dissoziationsenergie geht auf Kosten der kinetischen Energie derTeilchen, so dass sich Temperatur- und Druckanstieg verlangsamen, während der Gravi-tationsdruck aufgrund zunehmender Dichte unvermindert ansteigt. Dadurch erhöht sichdie Kontraktionsgeschwindigkeit nun wieder.

Der Kollaps setzt sich solange fort, bis alle H2-Moleküle dissoziiert sind. Nun wird keineEnergie mehr zur Dissoziation aufgewandt, so dass die Zentraltemperatur wieder anstei-gen kann. Dabei ist die Hülle weiter optisch dicht, so dass die Strahlung absorbiert wirdund die Hülle eine Aufheizung auf TH ≈ 700K erfährt.Durch die unverminderte Gravitation stürzt mehr und mehr Materie der Hülle in denKern. Da damit aber auch die absorbierende Funktion der Hülle verlorengeht, wird derKern während seiner Massenzunahme sichtbar. Durch die weitere Kontraktion erhöhtsich die Temperatur derart, dass Wasserstoff ionisiert wird. Mit der gleichen Argumen-tation für die Energiebilanz wie bei der Dissoziation wird dadurch die Kontraktions-geschwindigkeit abgebremst. Hat die Zentraltemperatur eine Größenordnung von etwa105K erreicht, so ist alles Gas ionisiert. Schließlich gelangt der Stern ins so genannte Hy-drostatische Gleichgewicht, bei dem der Gasdruck die Gravitation kompensiert.

2.1.3 Hydrostatisches Gleichgewicht

Ein Grundproblem bei der Sternentstehung ist die Beantwortung der Frage, warum derStern nicht unter seiner Eigengravitation immer weiter kollabiert, bzw. durch was erstabilisiert wird.Es zeigt sich, dass dafür ein Druckgradient nötig ist, so dass jede einzelne Kugelschaledes Sternes davon getragen wird.

25


r

r + dr

M(r)

M(r) + dm

dS

dS

δm

F g

p(r + dr)

p(r)

Abbildung 2.2: Zur Herleitung des hydrostatischen Gleichgewichtes. Be-trachtet wird ein Zylinder im Stern zwischen den Kugelschalen bei r undr + dr, die die Massen M(r) bzw. M(r) + dm umschliessen. Die Masse desZylinders ist δm = %(r) dr dS. Auf den Zylinder wirken aufgrund der Radi-alsymmetrie lediglich Drücke in radialer Richtung, sowie die Gravitation.

1) Herleitung der Gleichgewichtsbedingung

Zur Herleitung der Gleichgewichtsbedingung betrachten wir einen kleinen Zylinder imStern zwischen den Kugelschalen bei r und r + dr, siehe Abb. 2.2. Aufgrund der Ra-dialsymmetrie wirken auf den Zylinder nur Drücke in radialer Richtung, zum einen derDruck p(r) von unten, zum anderen der Druck p(r+dr) von oben. Zusätzlich wirkt nochdie Gewichtskraft des Zylinders, diese ergibt sich zu

F g = GM(r)δm

r2, (2.10)

mit der von der Kugel mit Radius r umschlossenen Masse M(r) und der Masse des Zy-linders δm = % dr dS, wobei dS die Grundfläche des Zylinders bezeichnen soll. Aufgrundder Druckdifferenz ergibt sich eine resultierende Kraft

F∆p = p(r)dS − p(r + dr)dS. (2.11)

Im Gleichgewicht müssen sich diese beiden Kräfte aufheben. Für die weitere Betrachunglinearisieren wir den Ausdruck für p(r) und erhalten

p(r + dr) = p(r) +dpdr

∣∣∣rdr +O(dr2). (2.12)

26


Die Masse des Zylinders ist gegeben durch

δm = %(r) · dr · dS. (2.13)

Damit ergibt sich

F∆p = −dpdr

∣∣∣rdr · dS = −dp

dr

∣∣∣r· δm%(r)

, (2.14)

wobei bei der zweiten Umformung Gleichung (2.13) verwendet wurde.Gleichsetzen von (2.14) und (2.10) führt schließlich auf

dpdr

= −%(r)GM(r)

r2. (2.15)

Alternativ können wir dr durch dM ausdrücken über

dr =dM

4πr2%(r)(2.16)

und erhaltendpdM

= −G M

4πr(M)4. (2.17)

Durch diesen Druckgradienten wird der Stern stabilisiert.

2) Abschätzung des Druckes

Aus Gleichung (2.17) können wir formal einen Zusammenhang zwischen Druck undumschlossener Masse innerhalb eines Sternes herleiten:

p(M)− p(0) = p(M)− pc = −GM

0

M ′dM ′

4πr(M ′)4. (2.18)

Mit dem Druck pc im Zentrum. Auf der Oberfläche des Sternes (M = M(R)) ist derDruck Null und wir erhalten

pc = G

M

0

M ′dM ′

4πr(M ′)4. (2.19)

Da der Zusammenhang r(M) zwischen Radius und eingeschlossener Masse aber i.A.nicht bekannt ist, muss eine Abschätzung vorgenommen werden. Wir verwenden dafürstatt r(M) den Sternradius R. Dies ist natürlich der maximale Wert den r(M) annehmenkann, der tatsächliche Druck ist also größer als unser Ergebnis. Mit dieser Abschätzung

27


lässt sich (2.19) leicht integrieren und wir erhalten

pc & G

M

0

M ′dM ′

4πR4= G

M2

8πR4. (2.20)

Mit der mittleren Dichte % = M/(4π3R3) des Sternes und durch Einsetzen des Schwarz-

schildradius rS = 2GM/c2 erhalten wir schließlich

pc &3

4%c2 rS

R. (2.21)

Größenordnungsmässig ergibt sich damit folgender wichtige Zusammenhang

p

%c2≈ rSR. (2.22)

Dabei ist p/(%c2) die Ruheenergiedichte.

2.1.4 Charakteristische Zeitskalen der Sternentwicklung

Nach diesem eher phänomenologischen Zugang zur Sternentstehung wollen wir nun aus-führlichere Betrachtungen anstellen um aus dem Prozeß der Sternentstehung und derGrundgleichungen der Newtonschen Gravitationstheorie eine wichtige Zustandsgleichungzur Abschätzung des Druckes im Sterninneren herleiten zu können. Zuerst sollen dafürdrei für die Sternentwicklung wichtige Zeitskalen vorgestellt werden.

1) Kelvin-Helmholtz-Zeitskala

In diesem Abschnitt analysieren wir, wie lange ein Stern aufgrund seiner gravitativenBindungsenergie leuchten könnte.Wir betrachten als Beispiel die Sonne mit den Werten M = 2 · 1030 kg und R =7 · 108 m. Nach Gleichung (1.56) berechnet sich die potentielle Energie der Sonne zu

Epot =3

5GM2

R= 2,29 · 1041 kg ·m2

s2. (2.23)

Für die Leuchtkraft der Sonne hatten wir in Abschnitt 1.1.1 L = 3,86× 1026 Js.

Das Verhältnis von Epot und L bezeichnet die Kelvin-Helmholtz-Zeitskala:

τKH =Epot

L≈ 5,9 · 1014 s ≈ 18,8Mio. Jahre. (2.24)

28


Als reiner Gravitationseffekt ergäbe sich also eine Lebensdauer für den Stern im Bereichvon einigen zehn Millionen Jahren. Dies stellte im 19. Jahrhundert, als Kernfusion nochunbekannt war, ein großes Problem dar, da die Lebensdauer der Sonne damit unverträg-lich mit geologischen Erkenntnissen zum Alter der Erde und Darwins Untersuchungenzur Evolution war.

2) Hydrostatische Zeitskala

Wird das Gleichgewicht eines Sternes gestört, so reagiert der Stern auf einer Zeitskalaτh. Um diese zu ermitteln betrachten wir, wie lange eine Druckstörung mit Schallge-schwindigkeit braucht, um den Stern zu durchqueren.Für die Schallgeschwindigkeit vS in einem Stern ergibt sich bei Vernachlässigung vonZahlenfaktoren der Ordnung 1

vS =

√p

%≈√GM

R=

√rSRc2. (2.25)

Wobei Gleichung (2.22) verwendet wurde.Damit ergibt sich die Zeit um den Stern zu durchqueren zu

τh =R

vS=

√R3

GM=R

c

√R

rS. (2.26)

Für die Sonne ergibt sich als Beispiel τh ≈ 1000 s.

3) Nukleare Zeitskala

Nimmt man an, dass Sterne ihre Strahlungsenergie durch nukleare Prozesse erhalten, sokann man damit analog zu Gleichung (2.24) eine Größenordnung für die Lebensdauereines Sternes berechnen:

τN =EN

L≈ 1012 a. (2.27)

Dabei bezeichnet EN die Energie, die ein Stern durch nukleare Prozesse erzeugen kann.Die Annahme, dass Sterne aufgrund von Fusionsprozessen leuchten wurde zuerst von A.Eddington1 geäußert und löste das Altersproblem der Sonne.

1Arthur Eddington, 1882-1944. Britischer Astrophysiker, bekannt u.a. für die Eddington-Grenze fürdie maximale Leuchtkraft eines Sterns.

29


2.2 Zustandsgleichungen

Unter Zustandsgleichungen verstehen wir generell Gleichungen, die die Materie beschrei-ben, aus der der Stern besteht. Allgemein sind solche Gleichungen von der Form

p = p(%, T ), (2.28)

d.h. sie liefern einen Zusammenhang zwischen Druck, Dichte und Temperatur. Es istKonvention, Zustandsgleichungen in der Form

f(%, T ) :=p(%, T )

%c2(2.29)

anzugeben. Die Größe f ist dabei dimensionslos.

2.2.1 „Normale” Sterne

Wir betrachten zunächst „normale” Sterne mit stationärem H-Brennen, in denen alsodurch Fusion von Wasserstoff Helium entsteht. Für diese Sterne kann die Materie imSterninneren näherungsweise als ideales Gas angesehen werden, da die Wechselwirkungder Teilchen untereinander vernachlässigbar ist gegen die hohe thermische Energie. DieZustandsgleichung lautet also

pVH = nHkBT ⇔ pVHnH

= kBT. (2.30)

Hierin sind V das Volumen und n die Teilchenzahl. Der Index H soll deutlich ma-chen, dass es sich bei dem Gas im Wesentlichen um Wasserstoff handelt. Die Masse desWasserstoff-Atoms ist mH = 1,6 · 10−27 kg. Nun berechnen wir die Ruheenergie. Dazubenutzen wir zunächst die Zustandsgleichung (2.29) des vorhergehenden Abschnittes:

f(%,T ) =p

%Hc2=

pVHnHmHc2

=kBTmHc2

. (2.31)

Diese Zustandsgleichung ist nur von der Temperatur T abhängig. Wir betrachten dieTemperatur im Sterninnern. Es war

f ≈ rSR. (2.32)

Mit der Zustandsgleichung aus (2.31) ergibt sich

kBTmHc2

≈ rSR. (2.33)

30


Abbildung 2.3: Delokalisierung der Elektronen zu einem Fermigas beimKollaps des Sternes.

Radius und Temperatur sind also im Gleichgewicht miteinander verknüpft.

Für eine Fusion gelten etwa folgende Energiewerte:

T ≈ 107 K kBT ≈ 0,8 keV mc2 = 1 GeV. (2.34)

Dann ergibt sich für das Verhältnis (2.33):

0,8 keV

1 GeV≈ 103

109= 10−6. (2.35)

Für die Sonne hatten wir den Schwarzschild-Radius rS ≈ 3 km und den Radius R ≈7 · 105 km angenommen. Damit haben wir nach (2.32) einen Wert von 3

7· 10−5. Ein

Vergleich mit dem typischen Verhältnis (2.35) bei einer Fusion zeigt, dass unsere Sonnein etwa in dieser Region und zur Fusion fähig ist.

2.2.2 „Entartete” Sterne

Nach Ende des thermonuklearen Brennens von Wasserstoff H kann die hohe TemperaturT im Sterninnern nicht mehr aufrecht erhalten werden. Als Folge davon kühlt der Sternab. Aus Gleichung (2.33) wird klar, dass dadurch der Gleichgewichtsradius des Sterneswächst und er expandiert gegen die Eigengravitation. Als eine weitere Folge beginnt derkomplizierte sogenannte Prozeß des Schalenbrennens, das heißt, Helium wird jetzt beider Fusion in Lithium überführt usw. Die Details dieser Entwicklung können in diesemRahmen allerdings nicht behandelt werden.Durch die fortlaufende Fusion entstehen so schwerere Elemente. Der Energieumsatz da-bei ist allerdings geringer als beim Wasserstoff. Dieser Prozess kann, abhängig von derGrösse des Sterns, maximal bis Eisen fortgeführt werden. Dies ist das letzte Element,bei dem die Fusion noch Energie liefert. Spätestens jetzt reicht die Energie nicht mehraus, um den Stern in neue Gleichgewichtszustände zu überführen; die Gaskugel kolla-biert, der Druck und die Dichte steigen sehr stark an. Es setzt nun ein neuer Effekt ein:Die Elektronen sind nicht länger bei den Kernen lokalisiert. Dieser Zustand entsprichteiner globalen Wellenfunktion und es liegt quasimetallisches Verhalten vor. Die frei be-weglichen Elektronen lassen eine Behandlung des Gases als freies Elektronengas

31


(Fermi-Gas) (Abb. 2.3) zu. Wir wollen hier allerdings nicht streng formal vorgehen undverweisen für die detaillierte Behandlung auf die Lehrbücher der Quantenmechanik.

1) Fermieenergie der Elektronen

In einem freien Elektronengas lassen sich die verschiedenen Quantenzustände der Elek-tronen durch den Impuls, bzw. den Ort der Elektronen klassifizieren. Eine Klassifizie-rung über den Ort erfordert eine Konzentration der Einelektronwellenfunktionen auf einVolumen der Größe d3, d.h. außerhalb dieses Volumens hat das Elektron eine vernach-lässigbare Aufenthaltswahrscheinlichkeit.Durch diese Einschränkung auf ein bestimmtes Volumen ergibt sich aber für die Elek-tronen aus der Unschärferelation über

pi · d = . (2.36)

ein Impuls pi ≈ /d pro Raumrichtung.

Verallgemeinert man diesen Ausdruck auf drei Dimensionen, so ergibt sich:

p2F =

3∑i=1

p2i ≥ 32/d2. (2.37)

Diesem Fermi-Impuls entspricht eine Fermi-Energie,

EF =√m2ec

4 + c2p2F , (2.38)

die mit zunehmender Elektronendichte ansteigt. Wir haben hier den relativistischenAusdruck für die Energie benutzt. Im Folgenden werden wir zum einen näherungsweisenichtrelativistische oder hochrelativistische Elektronen betrachten und den Energieaus-druck entsprechend nähern.Allgemein ist aber für entartete Materie die Elektronendichte so hoch, dass giltEF kB T ,d.h. die thermische Energie ist vernachlässigbar gegen die Fermienergie. Wir können da-her in den folgenden Betrachtungen die Temperatur T = 0 setzen.

2) Zustandsdichte im Impulsraum

Im Folgenden wollen wir nun die Zustandsdichten im Impulsraum betrachten. Dabeiwerden wir über die Fermi-Energie zu einem Ausdruck gelangen, der es uns erlauben wirdden Begriff „entartete Materie“ anhand unserer Zustandsgleichung (2.29) zu spezifizieren.

32


Zustandsgleichung des freien Elektronengases im nichtrelativistischen Fall

Die differentielle Zustandsdichte im Impulsraum für den Fermi-Impuls ist gegeben durch:

dN = 2 · 4πp2dph3

dV, (2.39)

wobei die 2 in der Gleichung wegen der beiden Spineinstellungsmöglichkeiten resultiert,eine strenge Rechtfertigung dafür wird in der Quantenmechanik erbracht.Integration dieser Gleichung liefert

N =

ˆdN = 2 · V · 4π

h3

ˆ pF

0

p2dp =8π

3· Vh3· p3

F. (2.40)

Mit dem mittleren Teilchenabstand d gilt für die Teilchendichte n:

n =N0

V=

1

d3. (2.41)

Dann folgt:

n · 3

2· h

3

4π. =

3

8π·(h

d

)3

= p3F. (2.42)

Löst man nun nach dem Fermi-Impuls auf, so erhält man allgemein:

pF =

(3

8π

) 13

· hd≈ 1

2· hd⇒ pF · d ≈

h

2. (2.43)

Unter der Annahme, dass die kinetische Energie der Elektronen klein gegen die Ruhe-energie ist, können wir Gleichung (2.38) nach pF entwickeln und erhalten

EF ≈ mec2 +

p2F

2me

+O(p3F

). (2.44)

Die Ruheenergie mec2 ist eine für die Zustandsgleichung unerhebliche Konstante und

wird daher weggelassen.

Für die Fermi-Energie folgt dann im nichtrelativistischen Fall:

EF =p2

F

2me

=

(3

8π

)2/3

· h2

2me

1

d2. (2.45)

Um nun zu einer Zustandsgleichung für entartete Materie zu gelangen, machen wir einekleine Anleihe bei der Thermodynamik.Dort ist die innere Energie U eine Summe aus Wärme Q und verichteter Arbeit A.

33


Infinitesimal gilt also:dU = dA+ dQ. (2.46)

Dies ist der erste Hauptsatz der Thermodynamik. Als am System verrichtete Arbeit istVolumenarbeit denkbar, sowie Änderung der Teilchenzahl:

dA = −pdV + µdN. (2.47)

Ferner gilt der zweite Hauptsatz der Thermodynamik:

Qrev

T= S, (2.48)

wenn T die Temperatur und S die Entropie bedeutet. Eingesetzt in den ersten Hauptsatzergibt sich:

dU = TdS − pdV + µdN. (2.49)

Die innere Energie ist also eine Funktion, die gegeben ist durch Entropie, Volumen undTeilchenzahl:

U = U(S,V,N). (2.50)

Dieser Zusammenhang ist ungünstig, da die Änderung der Entropie experimentell nichterfassbar ist. Um dem Dilemma zu entgehen, definiert man die freie Energie zu:

F = U − TS. (2.51)

Infinitesimal gilt dann:dF = dU − TdS − SdT. (2.52)

Setzt man die innere Energie aus Gleichung (2.49) ein, so erhält man:

dF = −SdT − pdV + µdN. (2.53)

Die freie Energie ist dann eine Funktion der Temperatur T , des Volumens V und derTeilchenzahl N :

F = F (T,V,N). (2.54)

Dann kann man dF auch schreiben als:

dF =

(∂F

∂T

)V,N

dT +

(∂F

∂V

)T,N

dV +

(∂F

∂N

)T,V

dN. (2.55)

Hieraus ersieht man, das gilt:

−(∂F

∂T

)V,N

= S,

(∂F

∂V

)T,N

= −p. (2.56)

34


Nimmt man wie bereits erwähnt an, dass die thermische Energie der Elektronen ver-nachlässigbar ist gegenüber der Fermi-Energie: kBT EF , bzw. T ≈ 0, so ist die freieEnergie gerade gleich der inneren Energie. Also ist auch die innere Energie nun eineFunktion von V und N .

Betrachten wir nun die mittlere innere Energie unseres Fermi-Gases, so müssen wirüber die Energie E(N) integrieren:

U =

EFˆ

0

E(N)dN =

EFˆ

0

E

(dNdE

)dE. (2.57)

Dann setzt man für dN die differentielle Zustandsdichte der Gleichung (2.39) ein underhält:

U =

EFˆ

0

4πV

h32me

√2m0EEdE =

4πV

h3

√(2me)3 · 2

5E

5/2F

= N03

2· 2

5EF =

3

5N0EF .

(2.58)

Ziehen wir unsere Beziehung für den Druck aus Gleichung (2.56) heran, so ergibt sich:

p = −(∂U

∂V

)T

=2

5nEF . (2.59)

Teilt man diese Gleichung durch %c2 und drückt die Dichte % durch mittlere Teilchen-masse µ mal Teilchendichte n aus, so erhält man:

p

%c2=

2

5nEFµnc2

=2

5

EFµc2

. (2.60)

Setzt man den oben ermittelten Wert für die Fermi-Energie (2.45) ein und bedenkt dassn eine Teilchendichte darstellt, die wiederrum ausgedrückt werden kann als Massendichtepro mittlere Teilchenmasse, dann folgt:

p

%c2=

2

5µc2· hr

8me

(%

µ· 3

π

)2/3

. (2.61)

Bei Vernachlässigung der konstanten Zahlenfaktoren und Erweiterung der rechten Seitemit m0 ergibt sich

p

%c2∼ 2

m2ec

2· me

µ·(%

µ

)2/3

. (2.62)

35


Wir identifizieren noch die Compton-Wellenlänge mit:

λe =mec

(2.63)

und erhaltenp

%c2∼ λe2 · me

µ·(%

µ

)2/3

=me

µ

(λe

3 %

µ

)2/3

. (2.64)

Definiert man dann noch die kritische Dichte zu

%C =µ

λe3 , (2.65)

so folgt:p

%c2∼ m0

µ·(%

%C

)2/3

. (2.66)

Dies ist die Zustandsgleichung für entartete Materie. Sie gilt für den nichtrelativistischenGrenzfall:

%

%C 1. (2.67)

Berücksichtigt man den Zusammenhang f(%,T ) = p/(%c2), so kommt man zu folgendemSchluss: Für die kritische Dichte %C wird das Verhältnis von Druck p (der durch denFermi-Druck der Elektronen erzeugt wird) und Massenenergiedichte %c2 (die durch dieKerne bewirkt wird) proportional zum Massenverhältnis von Elektron und Kern. Um dieGrenzen dieser Zustandsgleichung zu diskutieren, setzt man die Compton-Wellenlängeals x-Wert in die Unschärferelation ein:

pF · me · c

≥ ⇒ pF ≥ mec. (2.68)

Man kann sich diese Beziehung folgendermaßen veranschaulichen: Sperrt man Elektro-nen auf ein Raumgebiet λe3

C der Compton-Wellenlänge ein, dann strebt ihre Geschwin-digkeit v gegen die Lichtgeschwindigkeit. Ihre Gesamtenergie wird dann aufgrund desFermi-Impulses groß gegen ihre Ruheenergie mec

2. Die Elektronen verhalten sich dannrelativistisch. Aus diesem Grund soll im Folgenden eine Diskussion der Zustandsglei-chung für den relativistischen Fall erfolgen.

Zustandsgleichung des freien Elektronengases im relativistischen Fall

Wird der Fermi-Impuls so groß, dass die Gesamtenergie viel größer wird, als die Ru-heenergie des Elektrons, bzw. pF mec, so können wir Gleichung (2.38) annäherungdurch

E ≈ c · p. (2.69)

36


Diese Näherung charakterisiert den hochrelativistischen Grenzfall.

Analog zu unserem Vorgehen beim nichtrelativistischen Fall nehmen wir eine Phasen-raumabzählung vor, so dass folgt:

dN =V

h3· 2 · 4πp2 · dp (2.70)

Hier müssen wir nun allerdings die hochrelativistische Energie-Impulses Beziehung ausGleichung (2.69) verwenden und erhalten dann

dN =V

h3c3· 8π · E2 · dE. (2.71)

Als nächsten Schritt werden wir diese Gleichung integrieren. Hierbei nehmen wir an,dass sich nahezu alle Fermionen relativistisch verhalten. Wir vernachlässigen also denBeitrag der wenigen nichtrelativistischen Fermionen. Deshalb wählen wir als untere In-tegrationsgrenze den Wert Null:

N =

EFˆ

0

V

h3c3· 8π · E2 · dE =

8π

3· V

h3c3E3F . (2.72)

Analog zu oben können wir dann die Fermi-Energie berechnen:

EF = hc

(3

8π

N0

V

)1/3

. (2.73)

Dann folgt für die innere Energie:

F (T = 0) = U =

EFˆ

0

E

(dNdE

)dE =

3

4NeEF (2.74)

Setzt man die oben berechnete Fermi-Energie für den relativistischen Grenzfall ein, soergibt sich:

U =3

4Nehc ·

(3

8πNe

)1/3

· V −1/3. (2.75)

Der Druck ist dann wieder

p = −(∂U

∂V

)=

3

4Nehc ·

(3

8πNe

)1/3

· (−1/3) · V −4/3 =1

4nEF . (2.76)

37


Mit der gleichen Argumentation wie beim nichtrelativistischen Fall erhalten wir

p

%c2=

1

4

EFµc2

=h

4µc

(3

8π

Ne

V

)1/3

=h

4µc

(3

8π

%

µ

)1/3

∼ λem0c· m0

µ·( %m

)1/3

. (2.77)

Ebenfalls völlig analog zum nichtrelativistischen Grenzfall können wir die Compton-Wellenlänge und mit ihr die kritische Dichte einsetzen und erhalten so für den hochre-lativistischen Grenzfall:

p

%c2∼ m0

µ

(%

%C

)1/3

, für %/%C 1. (2.78)

Wir können nun unsere Ergebnisse aus der nichtrelativistischen und der relativistischenBetrachtung zusammenfassen. Bis auf Zahlenfaktoren der Ordnung 1 gilt, wenn wir dieFormeln (2.66) und (2.78) verwenden:

p

%c2∼ EF

mpc2∼(me

mp

)·(%

%c

) l3

mitl = 2 : % %c

l = 1 : % %c(2.79)

3) Anschauliche Interpretation des Fermi-Drucks

Die Eigenschaft der delokalisierten Elektronen, einen Gegendruck gegen die Gravitationaufzubauen, lässt sich verstehen, wenn man sich den Stern stark vereinfacht als Poten-tialtopf vorstellt (Abb.2.4). Den Elektronen steht als möglicher Aufenthaltsort nur dasSternvolumen zur Verfügung. Wie im einfachen Modell des Potentialtopfes, sind dadurchdie möglichen Energieniveaus der Elektronen diskret.Da für Elektronen als Fermionen das Pauliprinzip gilt, können nur jeweils zwei Elek-tronen ein Niveau besetzen, alle weiteren müssen in höhere Niveaus. Die Energie deshöchsten besetzten Niveaus entspricht der Fermi-Energie.Wenn der Radius des Sternes sinkt, so steigt die Energiedifferenz zwischen den verschie-denen Energieniveaus und damit auch die Fermi-Energie. Es kostet also Energie, dassSystem zu komprimieren.

2.2.3 Zusammenfassung

Die bisherigen Resultate können kompakt in folgender Aussage zusammengefasst werden:

Normale Sterne können als ideales Gas behandelt werden, die Zustandsgleichung istnur von der Temperatur abhängig: f(%, T ) = f(T ). In entarteten Sterne ist die Fermi-

38

2.3 Die Theorie Weißer Zwerge

E

EF

EF

R R′

Kontraktion

Abbildung 2.4: Entstehung des Fermi-Drucks: Der Stern lässt sich starkvereinfacht als Potentialtopf auffassen, dessen Durchmesser Rmit dem Stern-radius verknüpft ist. Sinkt der Radius, so steigt die Energiedifferenz zwischenden Niveaus im Topf. Es muss also Energie aufgebracht werden, um denStern zu kontrahieren.

Energie entscheidend, die thermische Energie ist vernachlässigbar. Es gilt also

f(%, T ) =p

%c2

f(T ), Normale Sternef(p), Entartete Sterne

(2.80)


Zu lösen sind die Grundgleichungen des Sternaufbaus aus Kapitel 2.1. Wir hatten dieGleichung (2.15)

dpdr

= −GM(r)

r2%(r). (2.81)

Für die eingeschlossene Masse M(r) gilt

M(r) = 4π

rˆ

0

%(r′)r′2dr′. (2.82)

Des Weiteren bekommen wir aus (2.79) einen nichtrelativistischen bzw. relativistischenAusdruck der Form

p

%c2= f(%). (2.83)

39


Mit Hilfe dieser Gleichungen ergäbe sich eine komplizierte Integro-Differentialgleichungfür %(r).

Das Wesentliche läßt sich aber bereits aus Abschätzungen von Größenordnungen herlei-ten. Sei p0 der mittlere Druck im Sterninnern, R0 und M0 der Sternradius sowie seineMasse und % die mittlere Massendichte. Wir nehmen einen linearen Druckverlauf imStern von p0 im Inneren bis p = 0 an der Oberfläche an, d.h.

dpdr

= − p0

R0

. (2.84)

Zusammen mit Gleichung (2.81) erhalten wir dann

p0

R0

≈ GM0

R20

· %. (2.85)

Somit giltp0

%c2=GM

R0c2=

1

2

rSR0

= f(%), (2.86)

was wir mit (2.79) vergleichen können.

Wir wollen zunächst R0 aus (2.86) eliminieren. Wir haben, bei Vernachlässigung vonZahlenfaktoren

% =M0

R30

⇔ R30 =

M0

%⇔ R0 =

(M

%

) 13

. (2.87)

Das setzen wir in (2.86) ein:

f(%) =p0

%c2=

GM0

c2 ·(M0

%

) 13

=GM

23

0 %13

c2. (2.88)

Umformen nach M0 ergibt

M23

0 = c2f(ρ)

G%13

⇔ M0 =c3

G32

· (f(ρ))32

√%

. (2.89)

und mit f(ρ) = me

mp· ( %

%C)n/3:

M(%) =c3

G32

· 1√%·(me

m

) 32 ·(%

%C

)n3

. (2.90)

40


Abhängig von n unterscheiden wir wieder zwischen zwei Fällen. Für den nicht-relativistischenFall, wenn n = 2 und % %C ist, gilt:

M(%) =c3

G32

· 1√%·(me

m

) 32 · %%C

=

(mec

2

Gm

) 32

·√%

%C. (2.91)

Im relativistischen Fall, wenn n = 1 und % %C ist, gilt:

M(%) =c3

G32

· 1√%·(me

m

) 32 ·√%√%C

=

(mec

2

Gm

) 32

· 1√%C. (2.92)

Dieses Ergebnis ist sehr bemerkenswert. Die Masse M(%) steigt mit der Wurzel aus derDichte % an, bis % die kritische Dichte %C erreicht. Dort hat die Masse eines stabilenweißen Zwerges eine obere Grenze MC = M%C für % = %C aus Gleichung (2.65). Sie heißtnach ihrem Entdecker S. Chandrasekhar2 Chandrasekhar-Grenzmasse:

MC =

(mec

2

Gm

) 32

·(λe

3

mp

) 12

=

(mec

2

Gmp

m13pmec

) 32

=

(c

Gm43p

) 32

= mp ·(

cGm2

p

) 32

.

(2.93)

Im Kapitel über Gravitation und Elektrostatik wurden einige Parallelen zwischen die-sen beiden Gebieten aufgezeigt. Jetzt begegnet uns eine weitere Parallele. Eine wichtigeKenngröße in der Elektrostatik (und der Atomphysik) ist die Sommerfeldsche3 Fe-instrukturkonstante. Sie lautet:

αel =1

4πε0

e2

c≈ 1

137. (2.94)

Wir erinnern uns an die Vorschrift 1ε0↔ −4πG, in Gleichung (1.32), die wir in den

Poissongleichungen benutzt haben. Benutzen wir diese Analogie für die Sommerfeld-Konstante, so bekommen wir eine entsprechende Konstante für die Gravitationstheorie:

αgr = G · µ2

c≈ 6 · 10−39. (2.95)

Das ist die Feinstrukturkonstante verbunden mit der „Gravitationsladung” eines Protons.Also:

MC = (αgr)− 3

2 ·m ≈ 2 · 1057m ≈ 3 · 1030 kg = 1,5 ·M. (2.96)

2Subrahmanyan Chandrasekhar, 1910 - 1995. Amerikanischer Astrophysiker. Physik-Nobelpreis 1983für seine Arbeiten zur Sternentwicklung.

3Arnold J. W. Sommerfeld, 1868 - 1951, Deutscher Physiker.

41


Damit haben wir folgende wichtige Aussage:

Das Plancksche Wirkungsquantum bestimmt nicht nur die Strukturdes Mikrokosmos, sondern auch die Massenskala und den Aufbau ent-arteter Sterne.

Es ist klar, dass dies so sein muss, denn der Fermidruck ist wegen des Pauli-Prinzips einquantenmechanischer Effekt. Sterne aus entarteter Materie sind somit quantenmecha-nisch bestimmt.

Anmerkung: Folgende Punkte sind zu beachten:

• Die angegebene Grenzmasse gilt für den weißen Zwerg, also für die Restmasseeines Sterns, der in sein Endstadium übergeht. Da der Stern vor diesem Vorgangseine Hülle abstößt und dabei einen erheblichen Teil seiner Masse verliert, kanndie Masse des ursprünglichen Sterns durchaus größer sein als 1,5 ·M.

• Wir haben bei unseren Betrachtungen vorausgesetzt, dass der Stern nicht rotiert.Bei schneller Rotation des weißen Zwerges erlaubt die Zentrifugalkraft, die einenTeil der Schwerkraft kompensiert, eine größere Grenzmasse.

Um nun typische Radien weißer Zwerge berechnen zu können, müssen wir die Eliminationdurch die mittlere Dichte wieder rückgängig machen. Wir knüpfen dazu an Gleichung(2.87) an:

R0 =

(M0

%

) 13

=

(M0

MC· 1

%%C

· MC

%C

) 13

=

(MC

%C

) 13

·(M

MC

) 13

·(%

%C

)− 13

=

(MC

%C

) 13

·(%

%C

)− 13

+ 16

=

(MC

%C

) 13

·(%

%C

)− 16

.

(2.97)

Dabei wurde ausgenutzt, dass die Masse des weißen Zwerges mit der kritischen Masseidentisch ist, sofern % = %C gilt, also

M(%) = MC ·√

%

%C(2.98)

gelten muss, wie man auch durch Vergleich von Gl. (2.92) und Gl. (2.93) sieht.Damit folgt:

R(%) = RC ·(%

%C

)− 16

, (2.99)

42

2.4 Masse-Radius-Beziehung von Monden und Planeten

weil ja (MC/ρC)1/3 der kritische Radius ist. Drückt man diese Größen noch durch dieCompton-Wellenlänge und die Gravitations-Feinstrukturkonstante aus, so folgt für denkritischen Radius oder Chandrasekhar-Radius:

RC =

(MC

%C

) 13

=

((αgr)

− 32 ·m · λe

3

m

) 13

= (αgr)− 1

2 · λe. (2.100)

Einsetzen der entsprechenden Werte ergibt

R(%) ≈ 1√6· 1019 ·

√10 · 4 · 10−13 m ≈ 5 · 103 km. (2.101)

Der charakteristische Radius weißer Zwerge bewegt sich also in einem Bereich von einigenTausend Kilometern, was der Größe der kleinen Planeten im Sonnensystem entspricht.

Aus (2.98) und (2.99) folgt außerdem

M(%) ·R(%)3 = MC ·(%

%C

) 12

·R3C ·(%

%C

)− 12

= MC ·R3C = const. (2.102)

Das bedeutet, die Radien weißer Zwerge fallen mit steigender Masse.

2.4 Masse-Radius-Beziehung von Monden undPlaneten

Wir haben im vorangegangenen Abschnitt einen Zustandsgleichung für entartete Mate-rie hergeleitet. Wir haben auch gesehen, dass es für weiße Zwerge eine MaximalmasseMC gibt. In diesem Abschnitt betrachten wir, die Zusammenhänge für deutlich kleinereMassen, also den Massenbereich von Monden und Planeten.Wie wir in Abschnitt 2.2 dargelegt haben, lautet die Zustandsgleichung für weiße Zwergeim nichtrelativistischen Fall

f(ρ, T ) ∼ m0

mp

(ρ/ρC)2/3. (2.103)

Dann folgt also für den Druck

p ∼ %c2 · me

mp

·(%

%C

) 23

= MC ·√

%

%C. (2.104)

43


Daraus folgtp→ 0 ⇔ %→ 0. (2.105)

Tatsächlich stellt man aber fest, dass die Dichte kalter Materie auch bei verschwindendemDruck nicht Null wird.

% = %(p = 0) = %0. (2.106)

Der Grund dafür ist darin zu suchen, dass der Druck von der chemischen Zusammenset-zung abhängig ist. Beispielsweise gilt für Wasserstoff-Atome im Abstand aBohr = λe/αel

%0 =mp

a3Bohr

≈ 8000kg

m3= 8

g

cm3. (2.107)

Dieser Wert ist typisch für Planeten und Monde.

Die Stabilität ist durch den atomaren Aufbau, d. h. durch die elektromagnetische Wech-selwirkung und nicht durch den Fermi-Druck bestimmt. Innerhalb gewisser Grenzen istalso der atomare Aufbau unabhängig vom Druck. Wenn allerdings die Masse zu großwird, bricht die atomare Struktur zusammen und auch solche Objekte werden kollabie-ren, bis der Fermidruck der Elektronen sie wieder stabilisiert.

Für p < p0 gilt also% = %0, (2.108)

sowie diie Masse-Radius-Beziehung für Monde und Planeten

M ∼= %0 ·R3 ⇒ M ∼ R3. (2.109)

Ist allerdings p > p0, dann ergibt sich

p = %c2 · m0

mp

·(%

%C

) 23

, (2.110)

sowie die Masse-Radius-Beziehung für weiße Zwerge mit entarteter Materie

MR3 = MCR3C ⇒ M ∼ 1

R3(2.111)

44

2.5 Neutronensterne

Für die maximale Masse Mp von Planeten gilt

Mp = MC ·√%0

%C= MC ·

(mp

aBohr

· λemp

) 32

= MC

(λeaBohr

) 32

= MC · α32 ≈ 2 · 1027 kg.

(2.112)

Zum Vergleich: Die Erde besitzt eine Masse von M = 6 · 1024 kg.

Weiße Zwerge können also nur in dem engen Massenbereich

Mp < MWZ < MC ⇔ 2 · 1027 kg < MWZ < 3 · 1030 kg

⇔ 10−3 ·M < MWZ < 1,5 ·M(2.113)

existieren. Das sind 3 Größenordnungen. Der Massenbereich für Planeten ist dagegenenorm und bewegt sich im Bereich von 54 Größenordnungen, wobei die Masse des Was-serstoffatoms die Untergrenze darstellt:

2 · 10−27 kg < MPlanet < 2 · 1027 kg. (2.114)

Will man den maximalen Radius Rp bestimmen, so setzt man

%0 =Mp

R3p

⇔ Rp =

(Mp

%0

) 13

=

(2 · 1027

8 · 103

) 13

m ≈ 108 m. (2.115)

Der Chandrasekhar-Radius betrug 107 m. Zum Vergleich: Der Radius von Jupiter ist7 · 107 m.

Eine übersichtliche Darstellung dieser Zusammenhänge erhält man durch logarithmi-sche Auftragung der Masse-Radius-Beziehungen für Planeten und für Weiße Zwerge ineinem Diagramm (Abb. 2.5).

2.5 Neutronensterne

Ist die Dichte ρ im Inneren eines Sternes großer Masse in seinem Endstadium nachErlöschen der Kernreaktion größer als die oben berechnete kritische Dichte eines weißenZwerges, so muss zur Kompensation des Gravitationsdruckes die Fermi-Energie sehr

45


logM

MC

MP

RC RP logR

Planeten

WZ

Abbildung 2.5: Masse-Radius-Beziehungen von Planeten und WeißenZwergen schematisch. Weiße Zwerge können nur im Massebereich MP <MWZ < MC existieren. Für Planeten gilt M ∼ R3, für Weiße Zwerge dage-gen M ∼ R−3.

stark ansteigen. Übersteigt EF den kritischen Wert

ECF ≥ (mn −mp −me)c

2

so sind die energetischen Voraussetzungen für den inversen β-Zerfall gegeben:

e + p → n + νe. (2.116)

Dazu muss mindestens die Energie, die der Massendifferenz von Neutron und Proton plusElektron entspricht. Mit mn = 939,565MeV, mp = 938,272MeV und me = 0,511MeVergibt sich eine Mindestenergie von etwa 0,782MeV.

Durch den inversen β-Zerfall entstehen bei steigender Dichte immer mehr Neutronenund bauen neutronenreiche Atomkerne auf. Die Elektronen werden sozusagen in dieProtonen „hineingequetscht”. Die Elektronendichte ist dann niedriger als oben angenom-men, insbesondere fällt für % > %C die Gleichgewichtsmasse M(%) mit der Dichte.

Ab einer Dichte von etwa 1016 kgm3 überlappen sich die Wellenfunktionen individueller

Kerne. Es entsteht entartete Kernmaterie, welche vornehmlich aus Neutronen besteht.Diese Neutronen bilden einen Fermidruck aus, wie beim Weißen Zwerg die Elektronen.Das den Neutronen zur Verfügung stehende Volumen wird dabei so klein, dass der Entar-tungsdruck der Neutronen stark ansteigt. Der zentrale Teil des Sterns kollabiert. DieserKollaps schreitet fort, bis ein Volumen erreicht ist, bei dem der Entartungsdruck derNeutronen den Gravitationsdruck gerade kompensiert (Abb. 2.6).Es gilt also:

46

2.5 Neutronensterne

E

EF

EF

EF

R′ R′′ R′′′

Kontraktion Kontraktion

Abbildung 2.6: Kollaps zum Neutronenstern: Wir knüpfen hier an Abb.2.4 an. Übersteigt die Dichte der entarteten Materie den kritischen Wert%C, so findet inverser β-Zerfall statt und es bilden sich Neutronen (grün)aus Elektronen (rot) und Protonen. Dadurch fehlen Elektronen zum Aufbaudes Fermidrucks, der Stern kollabiert. Die entstehenden Neutronen sind wiedie Elektronen Fermionen und besetzen Energieniveaus in ihrem eigenenPotentialtopf. Schließlich wird der Fermidruck der Neutronen so groß, dasser den Stern stabilisiert.

Während bei weißen Zwergen die Stabilisierung durch den Fermi-Druck der Elektronen zustande kommt, sind bei Neutronensternendie Neutronen für den stabilisierenden Fermi-Druck verantwortlich.

Analog zu der Behandlung der weißen Zwerge können wir unsere Zustandsgleichung(2.29) heranziehen, wenn wir die Elektronenmasse durch die Neutronenmasse ersetzen.

f(%) =p

%c2∼= mn

mp

(%

%1

) l3

≈(%

%1

)n3

mitl = 2 : % < %1

l = 1 : % > %1,(2.117)

wobei %1 die kritische Dichte für einen Neutronenstern bedeutet:

%1 =mp

λn3 =

mp(

mnc

)3∼= 1020 kg

m3. (2.118)

Bei % ≥ %1 ist die Fermienergie von der Größenordnung der Ruheenergie der Neutronen.Dann bewegen wir uns im Bereich relativistischer Geschwindigkeiten.Wie für Weiße Zwerge erhalten wir

M(%) =

MC ·

√%%1

: % < %1

MC : % > %1,(2.119)

47


Mit

MC =

(cGm2

p

) 32

·mp. (2.120)

Hierbei ist zu beachten, dass die Masse mn nicht in dieser Formel auftritt, also ist MC

unabhängig von der Ruhemasse der Teilchen, die die entartete Materie bilden.

Anmerkung: Die Zustandsgleichung ist für Neutronensterne nicht streng gültig. Siewird durch die starke Wechselwirkung der Hadronen untereinander stark modifiziert.Leider ist eine theoretische Behandlung dieses Zustandes sehr schwierig.

Wir wollen nun die kritischen Radien von Neutronensternen abschätzen. Dazu betrach-ten wir noch einmal die Radien der weißen Zwerge:

RC∼= λe · (αgr)

− 12 ≈ 107 m (2.121)

Dabei ist αgr = Gµ2

c = 6 · 10−39 die Feinstrukturkonstante der Gravitation aus Gleichung(2.95).Wir ersetzen λe durch λn = 1

1836λe und erhalten

RC∼= λn · (αgr)

− 12 ∼= 107 m

1836≈ 5,4 km ≈ 10 km, (2.122)

Wir runden hier auf 10 km auf, da wir einige Zahlenfaktoren sowieso weggelassen haben.Für Neutronensterne gilt also

R ≈ 10 km und M ≈ 1,5M sowie % ≈ 2 · 1020 kg

1012 m= 2 · 1018 kg

m3. (2.123)

Für den Schwarzschild-Radius eines Körpers dieser Masse gilt etwa rS ≈ 3 km undman erhält für Neutronensterne rS/R ≈ 1/3. Bei diesem Verhältnis werden allgemeinrelativistische Effekte bedeutsam. Im Bereich, in dem die Gleichgewichtsmasse mit %fällt, d.h. für Dichten 1011kg/m3 < % < 1016kg/m3, gibt es keine stabilen Sterne. Dies istleicht einzusehen, wenn man sich klar macht, dass Sterne keine statischen Objekte sind,sondern etwa Schwingungen ausführen können. Wenn bei einer Schwingung eines Sternsin diesem Dichtebereich sich die Dichte etwas erhöht, so ist bei der höheren Dichte nureine kleinere Masse stabil und der Stern kollabiert weiter. Wenn sich die Dichte dagegenverringert, so ist eine größere Masse stabil, der Stern kann seine Schwingung weiterführenund kehrt zur alten Dichte zurück (Abb. 2.7).

48

2.6 Erhaltungsgrößen beim Kollaps

logM

log

bM()

δ

b

+ δ

M(+ δ) < M()

Abbildung 2.7: In dem Dichtebereich zwischen Weißen Zwergen und Neu-tronensternen fällt die Gleichgewichtsmasse M(%) mit zunehmender Dichte.Es gibt daher in diesem Bereich keine stabilen Sterne. Vergrößert sich dieDichte eines Sternes in diesem Bereich etwas, etwa bei einer Schwingung desSternes, so ist bei der neuen Dichte nur noch eine kleinere Masse stabil, derStern kollabiert. Verrringert sich die Dichte aber, so ist eine größere Massestabil, der Stern kann zurückschwingen zur alten Dichte.

Ausblick

Es bleibt die Frage, was passiert, wenn die Sternmasse so groß ist, dass auch der Fermi-druck der Neutronen ihn nicht mehr stabilisieren kann. Nach heutigem Kenntnisstandder Physik gibt es dann keinen Prozess mehr, der den Kollaps aufhalten könnte. DerStern kollabiert dann immer weiter und es entsteht ein Schwarzes Loch.

Schwarze Löcher sind die Endprodukte von Sternen mit Anfangsmassen, die größer alsdie zehnfache Sonnenmasse sind. Ihre Eigenschaften lassen sich allerdings ohne allge-meine Relativitätstheorie nicht verstehen. Im Rahmen der Einführung der allgemeinenRelativitätstheorie werden wir Schwarze Löcher dann diskutieren.


Wir wollen uns nun den Erhaltungsgrößen eines stellaren Objektes beim Kollaps zuwen-den.

2.6.1 Drehimpulserhaltung

Beim Kollaps eines stellaren Objektes liegt Erhaltung des Drehimpulses vor. Dies istklar, da an dem Stern kein Drehmoment angreift. Für den Drehimpuls gilt

L = θ · ω = a ·MR2 · ω ≈ const. (2.124)

49


Dabei ist θ das Trägheitsmoment, das bis auf konstante Vorfaktoren der Masse desSternes mal seinem Radius im Quadrat entspricht.Da kein äußeres Drehmoment vorliegt, d.h. L = 0 und weiter M ∼ const gilt, haben wirdie Relation

ω ·R2 ∼ const. ⇔ ω ∼ 1

R2⇔ T ∼ R2. (2.125)

Beim Kollaps zum weißen Zwerg erfolgt eine Reduktion des Radius um einen Faktor10−2; beim Kollaps zum Neutronenstern beträgt die Reduktion des Radius etwa 1 : 10−5.

Betrachten wir als typische Rotationsdauer eines Sternes die Periodendauer der Son-ne von etwa 28 Tagen:

T = 28 d ≈ 2,5 · 106 s. (2.126)

Wir haben also eine Größenordnung von T ≈ 106 s bis 107 s.

Für einen Weißen Zwerg erhalten wir dann entsprechend eine um einen Faktor 10−4

verkürzte Periodendauer:TWZ ≈ 102 s bis 103 s. (2.127)

D.h. im Bereich von Minuten bis wenige Stunden.

Für Neutronensterne schließlich ergibt sich eine um einen Faktor 10−10 verkürzte Pe-riodendauer:

Tn∗ ≈ 10−4 s bis 10−3 s, (2.128)

d.h. im Größenordnungsbereich von Millisekunden!

2.6.2 Erhaltung des magnetischen Flusses

Neben der Erhaltung des Drehimpulses ist auch der magnetische Fluss eines kollabie-renden Sternes eine zeitliche Konstante. Für den magnetischen Fluss gilt

φ =

‹F

BdF, (2.129)

wenn B das Vektorfeld der magnetischen Induktion ist, das von der Fläche F umschlos-senen ist. Bei einem Stern gilt dann also:

φ ∼ R2. (2.130)

Um zu verstehen, warum der Fluss erhalten ist, brauchen wir einige Überlegungen ausder Magnetohydrodynamik, d.h. über leitende Flüssigkeiten.

Da das Plasma des Sternes viele Ionen und Elektronen, d.h. freie Ladungsträger ent-

50


hält, besitzt es eine hohe Leitfähigkeit. Das Plasma hat die Eigenschaft, dass in ihmdie Leitungsströme j sehr viel größer sind als die Verschiebungsströme D. Das OhmscheGesetzt liefert die Beziehung zwischen elektrischem und magnetischem Feld und derelektrischen Stromdichte:

j = σ(E + v ×B). (2.131)

Durch die vielen freien Ladungsträger ist die Leitfähigkeit des Plasmas extrem hoch,σ →∞. Damit dennoch j endlich bleibt, muss gelten

E = −v ×B. (2.132)

Mit dem Induktionsgesetz

rotE = −∂B

∂t(2.133)

folgt daher∂B

∂t= ∇× (v ×B)⇔ 0 =

∂B

∂t−∇× (v ×B). (2.134)

Wir integrieren über ein Flächenelement, das sich in der Flüssigkeit mitbewegt4:

0 =

ˆ∂B

∂t· dF−

ˆrot(v ×B) · dF =

ˆ∂B

∂t· dF−

ˆ(v ×B) · ds. (2.135)

Dabei wurde im zweiten Schritt der Satz von Stokes verwendet. Unter Ausnutzung derRegel für das Spatprodukt

(v ×B) · ds = −B · (v × ds) (2.136)

können wir weiter umformen zu

0 =

ˆ∂B

∂t· dF +

ˆB · (v × ds) (2.137)

Zur Interpretation des zweiten Termes betrachten wir als Flächenelement ein kleinesParallelogramm mit Seiten a und ds (Abb. 2.8).

Zum Zeitpunkt t = 0 ist die gerichtete Fläche des Parallelogrammes gegeben durchF1 = a× ds. Ein Zeitintervall dt später ist die eine Seite des Parallelogramms gegebendurch a + vdt. Die Änderung der Seite ds ist von höherer Ordnung und wird dahervernachlässigt.

Damit ergibt sich die neue Fläche des Parallelogramms zu F2 = (a + vdt) × ds. Die

4Genauer: Die Teilchen, die seinen Rand definieren, bewegen sich mit der Flüssigkeit mit.

51


a

ds

a+ vdt

ds

F1

F2

Abbildung 2.8: Die Änderung der Seite a und damit der gerichteten FlächeF während der Bewegung ist durch den Term v × ds gegeben.

Änderung der Fläche ergibt sich also zu

F2 − F1 = (v × ds) · dt, (2.138)

d.h.dF

dt= v × ds. (2.139)

Das zweite Integral charakterisiert also die Änderung der Fläche in der Fortbewegung.Insgesamt haben wir damit

0 =

ˆ∂B

∂t· dF +

ˆB · (v × ds) =

ddt

ˆB · dF. (2.140)

Der magnetische Fluss durch die bewegte Fläche ist also erhalten. Die Magnetfeldliniensind im Plasma als ideal leitendes Medium “eingefroren“ (frozen magnetic flux), das heißtsie nehmen an seiner Bewegung unmittelbar teil.

Wir wenden nun dieses Resultat auf die Situation während des Kollapses an. SeienBinitial und Rinitial das Magnetfeld und der Radius des Sterns vor dem Kollaps und Bfinal

und Rfinal Magnetfeld und Radius nach dem Kollaps. Dann gilt:

Binitial · F ∝ Binitial ·R2initial = φ0 = Bfinal ·R2

final (2.141)

und damit

Bfinal = Binitial ·(Rinitial

Rfinal

)2

. (2.142)

Als typischen Wert für Binitial nehmen wir Werte im Bereich des Magnetfeldes der Sonne,d.h.

Binitial ∼ (103 − 104) G = (10−1 − 100) T. (2.143)

52

2.7 Pulsare

Für einen Weißen Zwerg erhalten wir dann aus (2.141)

BWZ ∼ (107 − 108) G = (103 − 104) T, (2.144)

und für einen Neutronenstern

Bn∗ ∼ (1013− 1014) G = (109 − 1010) T, (2.145)

Vor allem in Neutronensternen treten also extrem starke Magnetfelder auf.

Für Weiße Zwerge konnten diese theoretischen Vorhersagen auch durch spektroskopi-sche Messungen der Spektren von Atomen in den Atmosphären dieser Sterne bestätigtwerden.Durch den Zeeman Effekt und die gravitative Rotverschiebung der Spektren lassen sichnämlich sowohl Rückschlüsse auf die Masse, als auch auf die vorhandenen Magnetfelderbei diesen Sternen schließen.

Anmerkung: Die angegebenen Periodendauern sind untere Grenzen, d.h. eher etwaszu niedrig. Dies liegt daran, dass ja der kollabierende Stern seine Hülle abwirft und nurder Kern kollabiert. Der Kern selbst wird eher um einen kleineren Faktor schrumpfen,als die hier angenommenen Werte.

2.7 Pulsare

Der Krebsnebel im Sternbild Stier ist der Überrest einer Supernova, die sich am 04.Juli 1054 ereignete. Chinesische Astronomen beschrieben, dass die Supernova für einigeWochen selbst bei hellem Tageslicht sichtbar war.

Als 1967 die Doktorandin Jocelyn Bell unter der Leitung von Antony Hewish peri-odisch wiederkehrende Radiosignale aus der Gegend dieses Nebels beobachtete, hattenzunächst weder Bell noch ihr Doktorvater Hewish eine vernünftige Erklärung für dieseEntdeckung. Die kurze Pulsdauer wies jedoch darauf hin, dass der abstrahlende Kör-per nicht größer als ein kleiner Planet sein konnte. Kurzzeitig vermuteten sie deshalbund wegen der enormen Regelmäßigkeit der Signale sogar eine Botschaft außerirdischerWesen aufgespürt zu haben. Daher bekam der erste Pulsar die Bezeichnung LGM1 für„Little Green Men 1“[2].

53


1968 dann vermutete Thomas Gold, dass die Signale von einem rotierenden Neutro-nenstern stammen. Nach einer Supernova bleibt in einem heißen, ionisierten Gasnebelein Neutronenstern zurück. Ein Neutronenstern hat etwa 1,5 bis 2,4 Sonnenmassen,welche auf einen Durchmesser von weniger als 20 Kilometer komprimiert ist. Der Dreh-impuls und der magnetische Fluß des ursprünglichen Sterns wird dabei jedoch, wie wirim letzten Abschnitt diskutierten, beibehalten. Da der Drehimpuls erhalten bleibt, sichaber das Volumen sehr stark verkleinert, muss sich also die Rotationsgeschwindigkeitvergrößern. Für das starke Magnetfeld nimmt man eine reine Dipolstruktur an. Die Ma-gnetosphäre des Pulsars lässt sich in den Bereich der geschlossenen und den Bereichder offenen Feldlinien einteilen. Plasma kann nur von den Polkappen entlang der offe-nen Feldlinien fließen und die Magnetosphäre verlassen. Die Rotationsachse schließt mitder Magnetachse einen bestimmten Winkel ein. Durch die Rotation bewegen sich dieMagnetfeldlinien und mit ihnen die abgestrahlten elektromagnetischen Wellen wie derLichtstrahl eines Leuchtturms über den Raum. Wird die Erde von diesem Doppelke-gel überstrichen kann also eine periodische, gepulste Strahlung beobachtet werden. DaPulsare durch das Abstrahlen elektromagnetischer Wellen Energie verlieren verlangsamtsich die Rotationsgeschwindigkeit mit der Zeit.

Der Röntgenpulsar Hercules X-1

Die bisherigen Betrachtungen galten isolierten Neutronensternen. Zum Abschluss diesesKapitels möchten wir einen Pulsar ausführlicher diskutieren, der einen normalen Be-gleitstern umkreist.Das Wechselspiel dieser beiden Himmelskörper führt zu einer Vielzahl interessanter Ei-genschaften.

1) Messungen an HZ Her

In den 1970er Jahren wurden nahe dem bereits bekannten normalen Stern HZ Her imSternbild Herkules eine neue Röntgenquelle gefunden.Es wurde ein Röntgensignal gemessen, dessen Intensität mit einer Periode von 1,24 sschwankte (Abb.2.9(a)). Langzeitbeobachtungen zeigten weiter, dass die Intensität derRöntgenstrahlung alle 1,7 Tage für 5,7 Stunden auf Null zurückging. Bereits vorher warbekannt, dass die Intensität des Sterns im optischen Bereich mit der gleichen Periodeschwankte. Mit dem Rückgang der Röntgenintensität ging ein Rückgang der Intensitätim optischen Bereich einher (Abb. 2.9(b)).

54

2.7 Pulsare

(a) (b)

Abbildung 2.9: Messungen am HZ Her-System. Abbildung a): Kurzzeit-messungen des Röntgensignals zeigen eine Periodizität der Intensität vont = 1,24 s. Abbildung b): Langzeitmessungen zeigen zusätzlich eine Unter-brechung des Röntgensignals für 5,7 Stunden alle 1,7 Tage (oben), die ein-hergeht mit einer Abnahme der Intensität im optischen Bereich (unten).

2) Interpretation der Messung

Die Messergebnisse wurden so interpretiert, dass HZ Her von einem Neutronenstern be-gleitet wird, der mit einer Periodendauer von 1,24 s rotiert (Abb 2.10(b)) und den Sternin 1,7 Tagen umkreist (Abb. 2.10(a)). Der Neutronenstern zieht Materie vom Stern abund um ihn herum bildet sich eine Akkretionsscheibe.

Durch das starke Magnetfeld des Neutronensterns wird Materie aus der Scheibe zu sei-nen Polen transportiert. Auf diese Weise stürzen pro Sekunde etwa 1011 Tonnen Ma-terie auf den Neutronenstern, wobei sie eine Freifallgeschwindigkeit von etwa 40% derLichtgeschwindigkeit erreichen (Abb. 2.11). Beim Aufprall der ionisierten Materie aufdie Oberfläche des Neutronensterns entsteht Röntgenbremsstrahlung (”hot spot“), dieabgestrahlte Leistung beträgt etwa 1030 W, entspricht also etwa dem 2000-fachen derSonnenleuchtkraft.

Die Röntgenstrahlung erhitzt den normalen Stern von einer Seite, dadurch schwankenseine Temperatur und Leuchtintensität. Wenn der Pulsar sich hinter dem Stern befindetfällt zum einen das Röntgensignal aus, zum anderen ist dann die kalte, leuchtschwacheSeite des normalen Sterns der Erde zugewandt.

55


X-ray sourcen∗ Her X-1

HZ Her(normal star)

11700K

7700K

(a) (b)

Abbildung 2.10: Abbildung a): Das Hercules System besteht aus einemnormalen Stern, der von einem Neutronenstern umkreist wird, der wiederummit einer Periode von 1,24 s rotiert. Die starke Röntgenstrahlung des Neu-tronensterns erhitzt jeweils die ihm zugewandte Seite des normalen Sterns.Dessen Temperatur und Leuchtkraft schwanken daher. Abbildung b): DerNeutronenstern zieht Materie vom normalen Stern ab, um ihn bildet sicheine Akkretionsscheibe.

Abbildung 2.11: Materie aus der Akkretionsscheibe stürzt entlang der Ma-gnetfeldlinien auf die Pole des Neutronensterns. Dabei erreicht sie eine Fall-geschwindigkeit im Bereich von 0,4c. Beim Aufprall der geladenen Teilchenauf die Oberfläche des Sterns wird Röntgenbremsstrahlung frei.

56

2.7 Pulsare

∼ 54 keV

kT ∼ 10 keV

Abbildung 2.12: Röntgenspektrum von Her X-1: Es zeigen sich Absorpti-onsdips bei 54 keV und 108 keV [3]. Die Interpretation als Zyklotronübergän-ge gibt einen Hinweis auf die entsprechenden Magnetfeldstärken. Aus derZyklotronfrequenz ω = eB

meund E = ω folgt B ∼ 5× 108 T.

3) Absorptionslinien im Spektrum

Im Röntgenspektrum des Neutronensternes konnten außerdem Absorptionslinien bei54 keV und 108 keV nachgewiesen werden (Abb. 2.12). Zur Erklärung dieser Absorp-tionslinien existieren drei Möglichkeiten:

1. Atomare Übergänge als Ursprung: Als mögliches Element käme dafür allerdings nur77-fach ionisiertes Platin mit nur noch einem Elektron in Frage. Diese Möglichkeitwurde daher ausgeschlossen.

2. Kernübergänge als Ursprung: Hier wäre Americium 241 ein möglicher Kandidat,dies erschien allerdings auch abwegig.

3. Die sinnvollste Erklärung war die als Zyklotronübergänge, d.h. Übergänge vonElektronen zwischen verschiedenen Landau-Niveaus. Diese Interpretation ist des-halb sehr interessant, weil dann aus der Energiedifferenz des Übergangs direkt aufdie herrschenden Magnetfeldstärken geschlossen werden kann über die Zyklotron-frequenz

ω =eB

me(2.146)

57


und den Zusammenhang E = ω.

Aus einer Energiedifferenz von 54 keV folgt eine Magnetfeldstärke von B = 5 ×105 T. Dies war die erste direkte Messung eines solch starken Magnetfeldes. Die108 keV-Absorptionslinie lässt sich dann als zweite harmonische des Übergangserklären.

58

3 Steilkurs in allgemeiner Relativitäts--theorie

Wir haben uns in den vorangegangenen Kapiteln mit den Grundlagen der Astronomieund der Astrophysik befaßt. Dabei haben wir uns im Abschnitt 1.2 mit dem Schwarzschild-Radius befaßt. Im darauffolgenden Abschnitt haben wir dann die Parallelen zwischenElektrostatik und Gravitationstheorie aufgezeigt und im Abschnitt 2.2 die Zustansglei-chungen für Sterne hergeleitet. Wir mussten dabei die beiden Fälle relativistisch undnicht-relativistisch unterscheiden und in den folgenden Abschnitten musste diese Unter-scheidung immer wieder vorgenommen werden. Unsere Überlegungen zum Schwarzschild-Radius, sowie zur Gravitationstheorie haben wir in der Newtonschen Theorie durchge-führt.

Tatsächlich ergibt sich aber eine sehr elegante Herleitung des Schwarzschild-Radius ausder Lösung der Bewegungsgleichung der allgemeinen Relativitätstheorie für den kugel-symmetrischen Fall. Ferner sind wir bei der Betrachtung über den Kollaps stellarerObjekte an die Grenzen der klassischen Mechanik gestoßen. Die Behandlung schwarzerLöcher beispielsweise ist nicht-relativistisch überhaupt nicht verständlich.

Wir werden also nicht umhin kommen uns mit der speziellen und der allgemeinen Re-lativitätstheorie auseinander zu setzen. Dabei geht es hier, wie auch schon bei der Be-handlung des Fermi-Gases, nicht so sehr um eine strenge Herleitung dieser Theorie, dadieses Unterfangen zweifellos den hier gesetzten Rahmen sprengen würde, sondern umdie Grundideen und -konzepte dieser Theorie, die zum Verständnis der Astronomie undder Astrophysik beitragen.

3.1 Spezielle Relativitätstheorie

Um die allgemeine Relativitätstheorie besser verstehen zu können, wollen wir uns zu-nächst kurz mit den Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie (SRT) befassen. Siegründet sich auf zwei Postulate:

1. Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen, d.h. die Lichtge-schwindigkeit ist unabhängig vom Bewegungszustand des Beobachters.

2. Die Äquivalenz aller Inertialsysteme zur Beschreibung der Natur, d.h. die physi-kalischen Gleichungen, durch die die Naturgesetze ausgedrückt werden, haben inallen Inertialsystemen die gleiche Form (dies war schon bei Newton so).

59

3 Allgemeine Relativitätstheorie

Ein Inertialsystem ist dabei ein System, in dem die Newtonsche Bewegungsgleichung

F = p (3.1)

gilt, wobei hier jedoch der relativistische Impuls gemeint ist. Das heißt, jede kräftefreieBewegung ist geradlinig oder exakter: Die Bewegungsänderung eines Körpers die durcheine Kraft erfolgt, entspricht der zeitlichen Änderung des Impulses (Galilei’s Träg-heits-prinzip).Diese Annahmen ziehen geradezu revolutionäre Konsequenzen nach sich. Die für unshier wichtigste Folge ist, dass ein Ereignis im dreidimensionalen euklidischen Raum nichtmehr hinreichend beschrieben werden kann. Man führt als vierte Koordinate die Zeit einund skaliert sie mit der Lichtgeschwindigkeit um so einen vierdimensionalen Raum zuerhalten.Im Folgenden gehen wir auf die Konstanz der Lichgeschwindigkeit etwas genauer ein.

3.1.1 Konstanz der Lichtgeschwindigkeit

Wir betrachten eine Lichtwelle, die sich zum Zeitpunkt t0 am Ort (x0, y0, z0) befindensoll. Allgemein kann diese Lichtwelle durch die Gleichung

c2(t− t0)2 − (x− x0)2 − (y − y0)2 − (z − z0)2 = 0 (3.2)

beschrieben werden. Dies nutzt man zur Definition eines Abstandes ∆s, der invariantunter Wechsel des Inertialsystems ist:

∆s2 = c2(tA − tB)2 − (xA − xB)2 − (yA − yB)2 − (zA − zB)2. (3.3)

Dieser Abstand ist die vom Inertialsystem unabhängige Entfernung zweier EreignisseA(tA, xA, yA, zA) und B(tB, xB, yB, zB).Unter einem Raum-Zeit-Ereignis (t,x,y,z) mit den Minkowski-Koordinaten x0 = c·tund x1 = x, x2 = y, x3 = z (kartesische Koordinaten) verstehen wir dabei einen Punktim 4-dimensionalen Minkowski-Raum.

Allgemeiner formuliert für infinitesimal benachbarte Raum-Zeit Ereignisse ergibt sichdas Linienelement der SRT:

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2. (3.4)

Diese Formulierungen mögen auf den ersten Blick etwas unzugänglich erscheinen. Tat-sächlich sind sie anschaulich nicht zu verstehen. Schließlich vermittelt uns die täglicheErfahrung den dreidimensionalen Raum. Man muss dabei aber bedenken, dass wir unsim alltäglichen Leben mit Geschwindigkeiten bewegen, die sehr klein gegen die Lichtge-schwindigkeit sind.

60


ct

x

x′

ct′

A

B

ds=ds

′

b

b

v

Abbildung 3.1: Lorentz-Transformationen sind Transformationen zwi-schen zwei Inertialsystemen S und S′, die das Linienelement ds invariantlassen.

Ohne genauer darauf einzugehen, führen wir die Lorentz-Transformationen ein, die einenÜbergang von einem Inertialsystem in ein anderes erlauben (Abb. 3.1):Für Lorentz-Transformationen (LT) muss daher der folgende wichtige Satz gelten:

Lorentz-Transformationen zwischen Inertialsystemen sind alle Trans-formationen, die (ds)2 invariant lassen.

D.h. für den Übergang von den Koordinaten (ct,x,y,z) zu (ct′,x′,y′,z′) gilt:ct′

x′

y′

z′

= Λ ·

ctxyz

, mit ds′ = ds. (3.5)

Dabei ist Λ eine 4× 4-Lorentzmatrix. Für die explizite Form siehe z.B. [4].

Um den Übergang zur allgemeinen Relativitätstheorie einfacher zu machen führen wiran dieser Stelle noch den metrischen Tensor oder die Minkowski-Metrik ηµν ein:

ηµν =

+1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

. (3.6)

61


A

B

r(t)

r(t)+ δr(t

)

b

b

Abbildung 3.2: Variation des Weges: Betrachtet werden kleine Variationenδr(t) des Weges r(t) von Ereignis A zu Ereignis B, mit der Bedingung, dasδr(tA) = δr(tB) = 0.

Mit Hilfe des metrischen Tensors lässt sich das Linienelement schreiben als

ds2 =3∑

ν=0

3∑µ=0

ηµνdxµdxν ≡ ηµνdxµdxν . (3.7)

Dabei wurde im zweiten Schritt die Einsteinsche Summenkonvention eingeführt, die be-sagt, dass über doppelt vorkommende Indizes zu summieren ist.

Wir sehen, dass es aufgrund des ersten Postulates notwendig wurde, Raum und Zeitzusammen zu betrachten und dass der 3D-Euklidische Raum zur Beschreibung nichtmehr ausreicht. Punkte in dieser Raum-Zeit heißen Ereignisse, wie wir bereits einge-führt haben.

3.1.2 Beschreibung der kräftefreien Bewegung

Eine kräftefreie Bewegung ist nun beschreibbar als die kürzeste Verbindung zwischenzwei Raum-Zeit-Ereignissen A und B. Die Berechnung erfolgt über Variation des Weges(Abb. 3.2), d.h.

δ

A

B

ds != 0. (3.8)

62


Wobei wir den Weg über die Zeit t parametrisieren. Nach Einsetzen der Definition desLinienelementes folgt

δ

B

A

√−(dx)2 − (dy)2 − (dz)2 + c2(dt)2

= δ

B

A

dt√−r2 + c2 = −

B

A

dtrδr√c2 − r2

.

(3.9)

Zur Auswertung des Integrals wenden wir die Produktintegration an. Wir setzen

u =r√

c2 − r2und dv = δr · dt (3.10)

und erhalten nach Differentiation bzw. Integration

du =ddt

r√c2 − r2

· dt und v = δr. (3.11)

Dabei haben wir ausgenutzt, das gilt

δr = δdr

dt=

ddtδr, (3.12)

d.h. die Differentiationen sind vertauschbar.

Wir setzen diese Ergebnisse ein und erhalten

− r√c2 − r2

· δr∣∣∣∣∣B

A

+

B

A

δr(t)ddt

r√c2 − r2

· dt = 0. (3.13)

Da δr(A) = δr(B) = 0 verschwindet der erste Term. Wir wollen auch noch r2 durch v2

ersetzen. Jetzt haben wir

B

A

δr(t)ddt

r√c2 − v2

· dt = 0 ∀ δr(t). (3.14)

Diese Gleichung läßt sich für beliebige δr(t) nur erfüllen, wenn

ddt

r√c2 − v2

= 0 (3.15)

63


gilt.

Wir führen die Ableitung aus und erhalten:

0 =r√

c2 − v2+

rv2

(c2 − v2)32

=r

(c2 − v2)32

·[c2 − v2 + v2

]= r · c2

(c2 − v2)32

.

(3.16)

Das bedeutetr = 0 ⇒ r = const = v. (3.17)

Durch Multiplikation der rechten Seite der Gleichung (3.15) mit der Masse m0 erhaltenwir eine Aussage über den relativistischen Impuls p:

0 =ddt

m0 · r√c2 − v2

=ddt

m0 · rc√

1− β2mit β =

v

c. (3.18)

Dabei ist die Lichtgeschwindigkeit c eine Konstante und wird von der Ableitung nichtbeeinflußt. Dann folgt also:

0 =ddt· m0 · r√

1− β2. (3.19)

Dies ist die Gleichung für den relativistischen Impuls für den Fall, dass eine kräftefreieBewegung vorliegt. Er ist dann eine Erhaltungsgröße. Für den relativistischen Impulsallgemein gilt:

prel =m0 · r√1− β2

= γpklass, mit γ =1√

1− β2. (3.20)

Wie in der klassischen Mechanik gilt also auch in der relativistischen Mechanik:

dp

dt= F . (3.21)

3.2 Grundidee der allgemeinen Relativitäts-theorie

Historisch war Einsteins ursprüngliches Ziel eine Verallgemeinerung der SRT von Iner-tialsystemen auf beliebige Koordinatensysteme zu erreichen. Durch Überlegungen zum

64

3.3 Äquivalenzprinzip

Äquivalenzprinzip (siehe Abschn. 3.3) erkannte Einstein, dass er damit letztlich einegeometrische Theorie der Gravitation entwickelte, in der die Gravitation eine von derKoordinatenwahl abhängige ”Scheinkraft“ ist.

Die Grundidee der ART ist die, dass die Raum-Zeit genau so gekrümmt wird, dassein Teilchen, das sich nur unter dem Einfluss der Gravitation bewegt (also im freien Fallist) sich auf einer “geraden Linie” in dieser Raumzeit bewegt.

Das heißt, wir fordern wie in der SRT, dass die Bahn dieses Teilchens zwischen zweiEreignissen A und B extremale Länge hat, entsprechend Glg. (3.8). Man spricht dannvon Geodäten. Der Effekt der Gravitation wird also in die Krümmung der Raum-Zeitgepackt. Mathematisch wird die gekrümmte Raumzeit durch das Linienelement

ds2 = gµν(x0, x1, x2, x3)dxµdxν = gµν(x)dxµdxν (3.22)

beschrieben. Entscheidend ist, dass der Metrik-Tensor gµν im Gegensatz zum Minkowski-Tensor ηµν von den Koordinaten abhängt.

Die Aufgabe besteht nun darin, bei gegebener Massenverteilung die gµν zu berechnen.Die Gleichungen, die das leisten, sind die Einsteinschen Feldgleichungen, die wirspäter einführen werden.


Grundlage für die Entwicklung der ART war das Äquivalenzprinzip, welches in diesemAbschnitt diskutiert wird. Den Kern bilden Einsteins berühmte Fahrstuhlgedankenexpe-rimente. Die Aussage dieses Prinzips ist die Äquivalenz von träger und schwerer Masse.

3.3.1 Äquivalenz von träger und schwerer Masse

Um eine Aussage über schwere und träge Masse machen zu können, müssen wir zunächstdiese Begriffe definieren.

1) Träge Masse

Wirke eine Kraft auf einen Massenpunkt. Durch diese Krafteinwirkung wird der Masse-punkt seinen Bewegungszustand ändern. Allerdings versucht die Masse sich gegen dieseäußere Krafteinwirkung zu wehren und in ihrem Bewegungszustand zu verharren. Die

65


mt2

mt1

r1

r2

Abbildung 3.3: Zwei gleiche Federn werden um die gleiche Strecke ausihrer Ruhelage ausgelenkt. An den beiden Federn hängen die Massen mt1

undmt2 . Lässt man nun die Federn los, so werden beide Massen beschleunigt.Das Verhältnis der Beschleunigungen ist dabei r2 = (mt1/mt2)r1.

Masse hemmt also gewissermaßen die Krafteinwirkung. Aus diesem Grund nennt mandiese Masse, die das Trägheitsprinzip erfüllt, die träge Masse.

Wir halten also fest: Die träge Masse ist die Masse die einer Kraft einen Widerstandentgegen setzt. Je größer diese träge Masse ist, desto mehr Kraft muss aufgewendet wer-den, um den Bewegungszustand zu ändern.

Betrachten wir als Beispiel zwei Massen mt1 und mt2 (Abb.: 3.3). Wir bringen beideMassen an gleiche Federn an und dehnen die Federn um eine Strecke ∆x aus der Ruhe-lage.Wenn wir nun loslassen, so wirkt auf beide Massen die gleiche Kraft. Für die jeweiligenBeschleunigungen gilt also F = mt1 r1 = mt2 r2, d.h.

r2 =mt1

mt2

r1. (3.23)

2) Schwere Masse

Die schwere Masse ist die Eigenschaft eines Körpers im Gravitationsfeld einer anderenMasse eine Kraft zu erfahren. Wir bezeichnen diese Masse daher in Anlehnung an Kapitel1.3 als Gravitationsladung q im Gravitationsfeld der Gravitationsladung Q:

F grav = −qQr2· α · er.

66


Die Massen mt1 und mt2 erfahren im Feld von Q eine Kraft. Sie haben also auch eineschwere Masse q1, q2.Durch Fallexperimente kommt man zu folgendem experimentellem Befund: Die beidenMassen „fallen gleich schnell”, unabhängig von ihrer trägen Masse.Genauer:Es ist immer r1 = r2, unabhängig von der Größe ihrer (trägen) Massen mt1 und mt2 .

Dies kann man folgendermaßen formulieren:

mt1|r1| = |FQq1 |mt2|r1| = |FQq2 |.

(3.24)

Damit erhält manmt1

mt2

=FQq1FQq2

=q1

q2

bzw.mt1

q1

=mt2

q2

. (3.25)

Dieses Verhältnis von träger zu „schwerer” Masse ist für jedes Objekt dasselbe. Wirwählen nun noch die Einheit der schweren Masse so, dass das Verhältnis 1 ist. Wirhalten als fundamentale Aussage fest:

Objekte mit unterschiedlicher träger Masse erfahren im Schwerefeldbei gleichen Anfangsbedingungen dieselbe Beschleunigung. Das Ver-hältnis von schwerer und träger Masse mt/ms ist also für alle Körpergleich und bei geeigneter Wahl der Einheiten gilt mt/ms = 1.

3.3.2 Fahrstuhlexperimente

Die folgenden Gedankenexperimente gehen direkt auf Einstein zurück, der diese Über-legungen selbst als “glücklichsten Einfall seines Lebens” bezeichnete.

Wir betrachten einen Experimentator (Hans) in einem geschlossenen Fahrstuhl, der sichin einem homogenen Schwerefeld befinde (Einstein-Labor).

1) Weight-Watchers-Experiment

Im ersten Fall steht (ruht) der Fahrstuhl im Schwerefeld. Eine Waage zeigt für Hans eineKraft G von 80 kp an (1 kp = 9,81 N). G berechnet sich zu

G = ms · g. (3.26)

Im zweiten Fall wird der Fahrstuhl im leeren Raum konstant mit g beschleunigt. Auchhier zeigt die Waage für Hans eine Kraft von 80 kp an.

67


Waage: 80 kp

g g g

g g g

g g g

g g g

(a)

Waage: 80 kp

g

(b)

Abbildung 3.4: In Abbildung a) ruht der Fahrstuhl im homogenen Schwe-refeld g. In Abbildung b) befindet sich der Fahrstuhl im schwerelosen Raumund wird konstant mit Beschleunigung r = g nach oben beschleunigt.

Für G gilt diesmalG = mt · g. (3.27)

Frage: Kann Hans durch irgendein Experiment (mechanisch, elektrodynamisch...) fest-stellen, ob er im Schwerefeld ruht oder mit g im schwerelosen Raum beschleunigt wird?Die Antwort lautet NEIN! Damit erhalten wir folgende Aussage:

„Die Vorstellung eines ruhenden Koordinatensystems, in dem einSchwerefeld herrscht, ist äquivalent mit der Vorstellung eines ent-sprechend beschleunigten Koordinatensystems ohne Schwerefeld”.

2) Frei-Fall-Experiment

Im ersten Fall ruhe der Fahrstuhl im schwerelosen Raum (Abb. 3.5(a)). Die Waage zeigtfür Hans eine Kraft von 0 kp an.

Im zweiten Fall falle der Fahrstuhl frei im konstanten Schwerefeld (Abb. 3.5(b)). Al-les im Fahrstuhl fällt mit der gleichen Geschwindigkeit, es gibt keine Relativbewegung.Im Fahrstuhlsystem gilt

x(t) = x0(t) + x′ und mtx = mt(x0 + x′) = msg. (3.28)

Wegen mt = ms und x0 = g folgtx′ = 0. (3.29)

Die Waage zeigt also auch hier 0 kp an.

68


Waage: 0 kp

(a)

Waage: 0 kp

g g g

g g g

g g g

g g g

g

x0(t)

x′(t)

x(t)

(b)

Abbildung 3.5: In Abbildung a) ruht der der Fahrstuhl im schwerelosenRaum, in Abbildung b) fällt der Fahrstuhl frei im homogenen Schwerefeldg.

69


Frage: Gibt es ein Experiment, dass die beiden Situationen unterscheidbar macht?Die Antwort lautet wieder NEIN! Dies führt auf folgende Aussage:

„In einem kleinen Labor, das in einem Schwerefeld fällt, sind die me-chanischen Phänomene dieselben wie jene, die in Abwesenheit einesSchwerefeldes in einem Newtonschen Inertialsystem beobachtet wer-den“. (schwaches Äquivalensprinzip)Einstein 1907: ersetze ”mechanische Phänomene” durch: ”Gesetze derPhysik“ (starkes Äquivalenzprinzip).

Wäre das anders, also das Äquivalenzprinzip verletzt, so würde die Idee, die Gravitationin eine (für alle Körper gleiche) gekrümmte Raum-Zeit zu packen, nicht funktionieren.Deshalb funktioniert diese Idee bei der Elektrodynamik auch nicht, da dort die Ladungund die träge Masse eines Teilchens unabhängig voneinander sind.

Da Gravitationsfelder inhomogen sind, muss darauf geachtet werden, dass ein der Gravi-tation ausgesetztes Labor relativ klein ist, so dass die Abweichung von der Homogenitätkeine Rolle spielt (Abb. 3.6).Streng genommen ist nur für jeden Punkt ein infinitesimal kleines frei fallendes Systemdefiniert (lokales Inertialsystem, freifallendes Bezugssystem).

Insofern stellen diese Überlegungen eine Einschränkung gegenüber der SRT dar, beider das Inertialsystem beliebig groß sein kann.Andererseits ist dieses Prinzip aber viel allgemeiner, weil nun auch beschleunigte Syste-me behandelt werden können.

3) Lichtablenkung im Schwerefeld

Das Äquivalenzprinzip führt bereits direkt auf die Lichtablenkung im Schwerefeld. Be-trachten wir in Abb. 3.7(a) ein frei fallendes Labor. Wird in diesem Labor auf einerSeite zum Zeitpunkt t0 ein Laserstrahl ausgesendet, so kommt er auf der anderen Seiteauf dem Detektor zur Zeit t1 auf gleicher Höhe an, da dieses Labor äquivalent zu einemruhenden Labor im schwerelosen Raum ist.Von außen gesehen hat sich das Labor aber in der Zeit t1 − t0 nach unten bewegt. DerLaserstrahl erscheint also gekrümmt.

Andererseits können wir auch ein konstant beschleunigtes Labor betrachten (Abb. 3.7(b)).Wird hier ein Laserstrahl losgeschickt, so bleibt er hinter dem Labor zurück, er kommtauf der anderen Seite etwas tiefer an. Dies ist leicht einzusehen, wenn man bedenkt, dassdieser Laserstrahl von außen betrachtet geradlinig verlaufen muss.Diese beschleunigte Labor ist äquivalent zu einem im Schwerefeld ruhenden Labor. Dahermuss auch dort der Lichtstrahl gekrümmt verlaufen.

70


b b b b b

b b b b b

b b b b b

b b b b b

t0

t1

M

Abbildung 3.6: Aufgrund der Inhomogenität von Graviationsfeldern mussdas betrachtete Labor so klein sein, dass die Inhomogenität vernachlässig-bar ist. Das schwarze Labor ist zu groß, die schwarzen Kugeln nähern sicheinander. Das grüne Labor ist klein genug, dass die Inhomogenität vernach-lässigbar wird.

71


Detektor

Detektor

g

Laser

Laser

t0

t1

(a) In einem frei fallenden Labor wird ein Laserstrahl zum Zeitpunkt t0 von einerSeite zur anderen geschickt (rot). Da das frei fallende Labor einem Labor im schwere-losen Raum entspricht, kommt der Laserstrahl auf der andern Seite zum Zeitpunkt t1auf gleicher Höhe am Detektor an. Von außen gesehen wird er also abgelenkt (grün).

Laser

Detektor

g

Laser

Detektor

g

(b) Links: In einem konstant beschleunigten Labor wird ein Laserstrahl ausgesendet. Da er von außengesehen eine geradlinige Bewegung ausführt und sich das Labor währenddessen nach oben bewegt, kommter auf der anderen Seite etwas weiter unten an.Rechts: Dem konstant beschleunigten Labor entspricht ein im homogenen Schwerefeld ruhendes Labor.Aufgrund des Äquivalenzprinzips muss der Laserstrahl auch dort abgelenkt werden.

Abbildung 3.7: Aus dem Äquivalenzprinzip folgt bereits die Lichtablen-kung im Schwerefeld.

72

3.4 Mathematischer Formalismus der Allgemeinen Relativitätstheorie

4) Mathematische Bedeutung des Äquivalenzprinzips

Mathematisch bedeutet das Äquivalenzprinzips, dass die Raum-Zeit mit Gravitationlokal minkowskisch ist. Wird die Raum-Zeit durch die Koordinaten xα beschrieben, soexistiert jeden Punkt P der Raum-Zeit eine Koordinatentransformation

xα → ξα (3.30)

die von xµ abhängt, so dass sich die Metrik mittransformiert über

gµν(xα)→ gµν(ξ

α) (3.31)

mitgµν(ξ

αP ) = ηµν (3.32)

in einer Umgebung des Punktes P = ξαP , d.h.

∂gµν(ξα)

∂ξβ

∣∣∣∣∣ξαP

= 0. (3.33)

3.4 Mathematischer Formalismus der Allge-meinen Relativitätstheorie

3.4.1 Kontravariante und kovariante Größen

Wir betrachten in diesem Abschnitt das Transformationsverhalten verschiedener Größenunter einer Koordinatentransformation

xµ → xν(xµ). (3.34)

Entsprechend der Kettenregel der Differentiation gilt für die Koordinaten, bzw. die Ko-ordinatendifferentiale

dxν =∂xν

∂xµdxµ. (3.35)

Generell heißt jede Größe Aµ, die sich unter Koordinatentransformation gemäß

Aν =∂xν

∂xµAµ (3.36)

73


transformiert, kontravarianter Tensor 1. Stufe.Die Ableitungen nach den Koordinaten dagegen transformieren sich gemäß

∂

∂xµ=∂xµ

∂xν· ∂

∂xµ. (3.37)

Jede Größe Bν , die sich wie die Ableitungen nach der Regel

Bν =∂xµ

∂xνBµ (3.38)

transformiert, heißt kovarianter Tensor 1. Stufe.Aus diesen Transformationseigenschaften folgt, dass

AνBν =∂xν

∂xµAµ · ∂x

µ

∂xνBµ =

∂xν

∂xµ· ∂x

µ

∂xν· AµBµ = AµBµ. (3.39)

Das Skalarprodukt ist also invariant unter Koordinatentransformationen. Mit Hilfe derMetrik kann man von kovarianten zu kontravarianten Größen kommen und umgekehrt:

gµνAν = Aµ und gµνBν = Bµ. (3.40)

Dabei ist gµν die Inverse von gµν , d.h. es ist

gµαgαν = δνµ, (3.41)

mit dem Kroneckersymbol δνµ, das der Einheitsmatrix entspricht.

3.4.2 Tensorverjüngung

Hat man eine Größe mit mehreren Indizes, so kann man mit Hilfe der Metrik darausdurch Tensorverjüngung eine Größe mit zwei Indices weniger machen. Sei Aµν kon-travarianter Tensor zweiter Stufe, dann ist

A = A µµ = gµνA

νµ (3.42)

ein Skalar.

3.4.3 Bedeutung der Christoffel-Symbole

In diesem und den folgenden Abschnitten folgen wir vereinfacht der Argumentation in[5], Kapitel 5 und 7. Gegeben sei ein Vektorfeld F µ(x). In einer Mannigfaltigkeit ist daseinfache Bild eines Vektors als Pfeil der 2 Punkte verbindet nicht aufrechtzuerhalten (Esist z.B. nicht möglich zwei Punkte auf der Erde mit einem geraden Pfeil auf der Ober-fläche der Erde zu verbinden. Möchte man F µ an zwei verschiedenen Punkten x und

74


x+ ∆x miteinander vergleichen, so kann dies in einem gekrümmten Raum dementspre-chend nicht über einen einfachen Vergleich der Komponenten geschehen. Vielmehr mussman F µ(x) ohne Änderung an den Ort x + ∆x verschieben und dann mit F µ(x + ∆x)vergleichen. Man spricht dann von Paralleltransport des Vektors. Allerdings istnicht automatisch klar, wie der Paralleltransport definiert sein soll, vielmehr muss diesfestgelegt werden.Im Folgenden bezeiche F µ den paralleltransportieren Vektor.

Beispiel

Wir betrachten den zweidimensionalen Euklidischen Raum. In kartesischen Koordinaten(x,y) mit Linienelement ds2 = dx2 + dy2 gilt einfach F µ = F µ. Wir möchten nun aberin Polarkoordinaten (r,ϕ) rechnen.Für das Linienelement ergibt sich dann

ds2 = dr2 + r2dϕ2, (3.43)

und für die Komponenten des Vektors

F r = F cosϑ, Fϕ = Fsinϑ

r. (3.44)

Dabei ist F =√gµνF µF ν . Die Komponenten ergeben sich leicht aus der Invarianz von

F , siehe Abbildung 3.8.

Verschiebung entlang r

Bei Verschiebung entlang r ergibt sich nun

F r = F r, Fϕ =r

r + ∆rFϕ ≈ Fϕ − ∆r

rFϕ. (3.45)

Verschiebung entlang ϕ

Bei Verschiebung entlang ϕ erhalten wir

F r = F cos(ϑ−∆ϕ) ' F cosϑ+ F sinϑ∆ϕ = F r + Fϕr∆ϕ,

Fϕ = Fsin(ϑ−∆ϕ)

r' F

sinϑ

r− F cosϑ

r= Fϕ − F r∆ϕ

r.

(3.46)

75


y

x

y

x

(r + ∆r, ϕ)

(r, ϕ)

ϑ

ϑ

F

Fϑ

F

(r, ϕ)

(r, ϕ + ∆ϕ)

F

Abbildung 3.8: Paralleltransport eines Vektors im Euklidischen Raum ent-lang der r und ϕ-Koordinate.

Schlussfolgerung

Die Ergebnisse der letzten beiden Abschnitte lassen sich kompakt darstellen in der Form

F µ(x+ ∆x) = V µ(x)− F λΓµνλ(x)∆xν , (3.47)

mitΓrrr = 0, Γrrϕ = 0,

Γϕrr = 0, Γϕrϕ =1

r,

Γrϕr = 0, Γrϕϕ = −r,

Γϕϕr =1

r, Γϕϕϕ = 0.

(3.48)

Es kann gezeigt werden, dass allgemein für die in der ART betrachteten Mannigfaltig-keiten gilt

Γκµν =1

2gκλ(

∂

∂xµgνλ +

∂

∂xνgµλ −

∂

∂xλgµν

). (3.49)

Die Größen Γκµν heißen Christoffel-Symbole 2.Art. Sie charakterisieren also dieÄnderung der Komponenten eines Vektors bei Parallelverschiebung. Es sei angemerkt,dass Γκµν kein Tensor ist.

3.4.4 Der Riemann-Tensor

Die Christoffel-Symbole sagen nichts über die Krümmung des betrachteten Raumes aus.Dies ist leicht an Hand des Beispiels im letzten Abschnitt zu sehen. In kartesischenKoordinaten verschwinden dort die Christoffel-Symbole, aber nicht in Polarkoordinaten.

76


b

bb

b

b

b

b

b

b

C

C′

p

q

F

Abbildung 3.9: Paralleltransport eines Vektors im Euklidischen Raum ent-lang der r und ϕ-Koordinate.

Die Größe, die dies leistet ist der Riemann-Tensor

Rκλµν =

∂

∂xµΓκνλ −

∂

∂xνΓκµλ + ΓηνλΓ

κµη − ΓηµλΓ

κνη. (3.50)

Die Christoffelsymbole setzten sich aus ersten Ableitungen der Metrik zusammen. DerRiemann-Tensor setzt sich daher aus zweiten Ableitungen und Produkten von erstenAbleitungen der Metrik zusammen.

Geometrische Bedeutung des Riemann-Tensors

Wir beginnen diesen Abschnitt mit einer Grundüberlegung. Gegeben sei ein Vektor F aufder Oberfläche einer Kugel (Abb. 3.9). Die natürliche Definition des Paralleltransportesentlang eines Großkreises in diesem Fall ist so, dass der Winkel zwischen dem Vektor unddem Großkreis fest bleibt. Wird F entlang C und C ′ von p nach q paralleltransportiert,so zeigen die resultierenden Vektoren in entgegengesetzte Richtungen.Im Euklidischen Raum dagegen ist die Richtung am Ende unabhängig vom Weg, der fürden Paralleltransport gegangen wurde. Diese Wegabhängigkeit der Richtung sollte daherdie Krümmung eines Raumes charakterisieren. Für eine strenge Behandlung betrachten

77


F

FC′

FC

FC′

FC

C′

C

xµ

xµ + δµ

xµ + εµ

xµ + εµ + δµ

p

r

s

q

Abbildung 3.10: Paralleltransport eines Vektors F von p nach r.

wir ein infinitesimales Parallelogramm pqrs mit Koordinaten xµ, xµ + εµ, xµ + εµ + δµ

und xµ + δµ (Abb. 3.10). Bei Paralleltransport von F entlang C = pqr erhalten wir denVektor FC(r). Bei q ergibt sich

F µC(q) = F µ − F κΓµνκε

ν . (3.51)

Dann folgt

F µC(r) = F µ

C(q)− F κC(q)Γµνκ(q)δ

ν

= F µ0 − F κ

0 Γµνκεν −

(F κ

0 − F ρ0 Γκξρ(p)ε

ξ)×(

Γµνκ(p) +∂

∂xλΓµνκ(p)ε

λ

)δν

' F µ0 − F κ

0 Γµνκ(p)εν − F κ

0 Γµνκ(p)δν − F κ

0

(∂

∂xλΓµνκ(p)− Γρλκ(p)Γ

µνρ(p)

)ελδν

(3.52)bei Berücksichtigung von Termen bis zweite Ordnung in δ und ε. Analog ergibt sich

F µC′(r) ' F µ

0 − F κ0 Γµνκ(p)δ

ν − F κ0 Γµνκ(p)ε

ν − F κ0

(∂

∂xνΓµλκ(p)− Γρνκ(p)Γ

µλρ(p)

)ελδν .

(3.53)

78

3.5 Bewegungsgleichung der ART

Für die Differenz der beiden Vektoren ergibt sich dann schließlich

FC′(r)− FC(r) ' F κ0

(∂

∂xλΓµνκ(p)−

∂

∂xνΓµλκ(p)− Γρλκ(p)Γ

µνρ(p) + Γρνκ(p)Γ

µλρ(p)

)ελδν

= F κ0 R

µκλνε

λδν .(3.54)

3.4.5 Der Ricci-Tensor und der Krümmungsskalar

Durch Verjüngung des Riemann-Tensors erhält man zwei weitere wichtige Größen. Zumeinen den Ricci-Tensor

Rµν = Rλµλν =

∂

∂xνΓαµα −

∂

∂xαΓαµν − ΓασαΓσµν + ΓασνΓ

σµα (3.55)

und zum anderen durch weitere Verjüngung den Krümmungsskalar

R = Rµµ = gµνRµν . (3.56)

3.5 Bewegungsgleichung der allgemeinen Re-lativitätstheorie

Wir wollen nun die Bewegungsgleichung der allgemeinen Relativitätstheorie (Differenti-algleichung der Geodäten) betrachten. Wir hatten oben gesehen, dass gilt

ds =√gµνdxµdxν (3.57)

und hatten als Grundannahme die Gültigkeit der Eikonal-Gleichung postuliert:

δ

ˆds = 0 (3.58)

Wir können nun für ds Gleichung (3.57) einsetzen und noch mit ds erweitern. Für dasIntegral folgt dann: ˆ

ds =

ˆ √gµνdxµdxν ·

dsds

(3.59)

Zieht man jetzt das ds im Nenner des Bruches unter die Wurzel, so kann man demAusdruck unter dem Integral ein Funktional der Form F (xα,dx

α

ds ) zuordnen. Man erhält

79


nämlich: ˆds =

ˆ √gµν

dxµ

dsdxν

dsds =

ˆF

(xα,

dxα

ds

)ds (3.60)

mit α = 0,1,2,3. Die Euler-Lagrange-Gleichungen zum Variationsprinzip

δ

ˆF

(xα,

dxα

ds

)ds = 0 (3.61)

lauten dann:dds

(∂F

∂(dxα

ds

))− ∂F

∂xα= 0 (3.62)

Es folgt:dds

(1

2F

(gαν

dxν

ds+ gµα

dxµ

ds

))− 1

2F

∂gµν∂xα

dxµ

dsdxν

ds= 0 (3.63)

Dabei gilt die Beziehungddsgαν =

∂gαν∂xµ

dxµ

ds. (3.64)

Setzt man dies in Gleichung (3.63) ein, so ergibt sich.

∂gαν∂xµ

dxµ

dsdxν

ds+ gαν

d2xν

ds2+∂gµα∂xν

dxµ

dsdxν

ds+ gµα

d2xµ

ds2− ∂gµν∂xα

dxµ

dsdxν

ds= 0. (3.65)

Der zweite und vierte Term sind gleich und man kann weiter zusammenfassen:

2gανd2xν

ds2+

(∂gαν∂xµ

+∂gµα∂xν

− ∂gµν∂xα

)dxµ

dsdxν

ds= 0. (3.66)

Die Inverse zu gαν ist gσα und es gilt

gσαgαν = δσν . (3.67)

Wobei δσν das Kronecker-Delta darstellt. Wir wollen uns nun diese Beziehung zunutzemachen und von links mit 1

2gσα multiplizieren. Dadurch erhalten wir

d2xσ

ds2+

1

2gσα

(∂gαν∂xµ

+∂gµα∂xν

− ∂gµν∂xα

)dxµ

dsdxν

ds= 0. (3.68)

Wir erkennen in dieser Gleichung die Christoffel-Symbole 2. Art aus (3.49) wieder. Damitergibt sich die Geodätengleichung schließlich zu

d2xσ

ds2+ Γσµν

dxµ

dsdxν

ds= 0. (3.69)

80

3.6 Die Einsteinschen Feldgleichungen


Die Hauptaufgabe der Allgemeinen Relativitätstheorie ist es, aus einer vorhandenenMassen- und Energieverteilung die entsprechende Metrik der Raumzeit berechnen zukönnen und umgekehrt.

Eine berühmte Zusammenfassung dieser Zusammenhänge stammt von J. A. Wheeler1

”Matter tells space how to curve and spacetime tells matter how tomove!“

Dazu ist eine Gleichung nötig, die die entsprechenden Größen miteinander verknüpft.

3.6.1 Formulierung der Feldgleichungen

Eine wichtige Grundvoraussetzung für eine solche Gleichung ist, dass sie im Grenzfallschwacher Felder und kleiner Geschwindigkeiten in die Newtonschen Bewegungsgleichun-gen

d2xi

dt2= −φ,i (3.70)

mit dem Gravitationspotential φ übergeht, bzw. äquivalent zu diesen ist.Diese Überlegungen und die Anforderung, dass Energieerhaltung und Impulserhaltungerfüllt sind, führen schließlich zu den Einsteinschen Feldgleichungen

Gµν = κTµν , (3.71)

mit dem EinsteintensorGµν = Rµν −

1

2gµνR, (3.72)

und dem Energie-Impulstensor Tµν .Dabei bezeichnet κ Einsteins Gravitationskonstante

κ =8πG

c4, (3.73)

mit der Gravitationskonstante G der Newtonschen Theorie.Eine weitere Verallgemeinerung von Gleichung (3.71) wird durch die Hinzunahme derkosmologischen Konstante Λ erreicht, dazu wird der Einsteintensor um einen wei-teren Term ergänzt:

Gµν = Gµν + Λgµν . (3.74)

1John Archibald Wheeler, 1911-2008, Amerikanischer theoretischer Physiker

81


Dann gilt:Gµν = −κTµν . (3.75)

Die kosmologische Konstante spielt bei der Untersuchung der Entwicklung des Univer-sums eine wichtige Rolle.Man kann die Feldgleichungen auch noch etwas umformen. Dazu multiplizieren wir Glei-chung (3.75) mit gµν und benutzen die Zusammenhänge

gµνRµν = R, gµνTµν = T, und gµνgµν = δ µµ = 4. (3.76)

Damit erhalten wir−R + 4Λ = κT, also R = 4λ− κT. (3.77)

Einsetzen dieses Zusammenhangs in Gleichung (3.75) führt dann auf

Rµν − Λgµν = κT ∗µν , (3.78)

mitT ∗µν = Tµν −

1

2gµνT. (3.79)

3.6.2 Exakte Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen imkugelsymmetrischen Fall

Wir betrachten die exakte Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen zuerst nur für denstatischen kugelsymmetrischen Fall, da sich hier sehr einfache Folgerungen ergeben.

1) Die Schwarzschild-Metrik

Löst man die Feldgleichungen für diesen Fall, so ergibt sich die Schwarzschild-Me-trik:

(ds)2 =(

1− rSr

)c2dt2 − (dr)2

1− rSr

− r2(dϑ)2 − r2 sin2 ϑ(dϕ)2

=(

1− rSr

)c2dt2 − 1

1− rSr

(dr)2 − r2[(dϑ)2 + sin2 ϑ(dϕ)2

], (3.80)

mit dem Schwarzschild-Radius rS = 2GMc2

aus Abschn. 1.2.Hierbei haben wir die Raum-Zeit in Kugelkoordinaten beschrieben. Formal läßt sichdann auch schreiben

(dΩ)2 := (dϑ)2 + sin2 ϑ(dϕ)2. (3.81)

Für r → ∞ geht die Schwarzschild-Metrik in die Minkowski-Metrik über, denn derKrümmungsradius ist dann unendlich, was mit der flachen Raum-Zeit identisch ist.

82


2) Messung der Radialkoordinate

Zur Messung von r zu einem bestimmten Zeitpunkt t wollen wir annehmen, dass gilt

dr = 0, dt = 0, dϑ 6= 0, dϕ 6= 0. (3.82)

D.h. wir betrachten alle Punkte mit einer festen Radialkoordinate, deren Wert wir aller-dings nicht kennen. Über die Kraft, die die Massenverteilung ausübt, können wir abererreichen, dass alle betrachteten Punkte die gleiche Radialkoordinate haben.

Wir schreiben danndsϕ = r sinϑdϕ, dsϑ = rdϑ. (3.83)

Für ein Flächenelement gilt wie in gewöhnlichen Kugelkoordinaten

dF = dsϕdsϑ = r2 sinϑdϑdϕ. (3.84)

Integration liefert ‹dF =

‹dsϕdsϑ = 4πr2. (3.85)

Alternativ können wir auch eine Umfangsmessung durchführen, indem wir uns auf Punk-te mit ϑ = π

2beschränken:

dsϕ = rdϕ ⇔˛

dsϕ = 2πr. (3.86)

Über die Messung der Fläche oder des Umfanges kann man also die Radialkoordinatebestimmen.

3) Abstand von Punkten mit unterschiedlicher Radialkoordinate

Nun wollen wir den Abstand von Punkten mit unterschiedlicher Radialkoordinate be-trachten, d.h. es soll gelten

dr 6= 0, dt = 0, dϑ = 0, dϕ = 0. (3.87)

Es folgt dann

dsr =1√

1− rSr

dr ≥ dr. (3.88)

83


0 1 20

1

2

3

Horizont

Photonen

orbit

rS/r

∆s

Abbildung 3.11: Eigenradiallänge ds zum Ereignishorizont in Abhängig-keit von der Radialkoordinate r, normiert bezüglich des Schwarzschilradiu-ses rS. Zur Orientierung ist der Photonenorbit r = 1,5rS eingezeichnet. Dortwird Licht bereits so stark abgelenkt, dass es auf einer Kreisbahn um dasSchwarze Loch läuft.

Der Abstand solcher Punkte ist entsprechend gegeben über

∆s =

r2ˆ

r1

dsr > r2 − r1 (3.89)

und nicht über die Differenz der Radialkoordinaten.Speziell ergibt sich für den Abstand zum Ereignishorizont bei r = rS

∆s = rS

√r

rS+rS2

ln

[2r

rS− 1 + 2

√r

rS

(r

rS− 1

)]. (3.90)

Damit erhalten wir die wichtige Aussage

Die Radialkoordinate r ist nicht der Abstand vom Zentrum der ku-gelsymmetrischen Massenverteilung.

Abbildung 3.11 zeigt die Eigenradiallänge ∆s zum Ereignishorizont in Abhängigkeit vonder Radialkoordinate r entsprechend Gleichung (3.90), normiert bezüglich des Schwarz-schilradiuses rS.

4) Bedeutung der Koordinatenzeit t

Man kann noch eine weitere Folgerung aus der Schwarzschild-Lösung ziehen. Wir wol-len uns dazu mit der Bedeutung von t befassen. Es ist klar, dass dies die Laborzeit

84

3.7 Tests der Relativitätstheorie

im Unendlichen sein muss, da dort die Schwarzschild-Metrik in die Minkowski-Metrikübergeht.Wir betrachten einen an einem festen Koordinatenpunkt ruhenden Beobachter, d.h. mit

dr = dΩ = 0. (3.91)

Für ihn folgt:(ds)2 = c2

(1− rS

r

)(dt)2 =: c2(dτ)2 (3.92)

mit der Zeit τ im Ruhesystem des Experimentators.Man sieht direkt, dass gilt

dτ =

√1− rS

rdt < dt. (3.93)

Diese Beziehung läßt einen revolutionären Schluss zu:

Eine ruhende Uhr in einem Schwerefeld geht langsamer als eine ru-hende Uhr ohne Anwesenheit eines Schwerefeldes.

3.7 Klassische Tests der allgemeinen Relati-vitäts-theorie

Wir haben in den letzten Abschnitten versucht die grundlegenden Ideen zur allgemeinenRelativitätstheorie nachzuzeichnen. Nun ist aber der Prüfstein einer jeden Theorie dasExperiment. Deshalb wollen wir uns in diesem Kapitel auch damit befassen, inwieferndie allgemeine Relativitätstheorie experimentell bestätigt ist.

3.7.1 Gravitationsrotverschiebung

Wir haben bei unseren Betrachtungen zur Schwarzschildmetrik gesehen, dass im Gravi-tationsfeld die Zeit langsamer geht als im Unendlichen, wo kein Gravitationsfeld wirkt.Wir hatten der Zeit eines Teilchens im Schwerefeld dabei die Variable τ zugeordnet,während wir für die Zeit ohne Gravitationsfeld t deklarieren. Wir hatten dabei gesehen,dass gilt (Gleichung (3.93)):

∆τ =

√1− rS

r∆t. (3.94)

Zur Zeitmessung benötigt man nun aber einen gravitationsunabhängigen periodischenVorgang mit der Periode T0. Ein solcher Vorgang ist beispielsweise ein atomarer Über-gang zwischen zwei Niveaus mit hν0 = h · 1/T0. Bei einem solchen Übergang wird vom

85


Atom Licht emittiert, welches im Schwerefeld durch die Zeitdehnung rotverschoben wer-den sollte. Wir betrachten ein Atom in Ruhe bei der Radialkoordinate r.Setzen wir nun für das Eigenzeitintervall die Periode T0 eines solchen Übergangs inGleichung (3.94) ein, so erhält man:

∆t =T0√

1− rSr

= T (r) > T0. (3.95)

Dann folgt für die Frequenz des empfangen Lichtes:

ν(r) =1

T (r)=

√1− rS

r

1

T0

=

√1− rS

rν0 < ν0. (3.96)

Setzt man nun noch für die Wellenlänge des emittierten Lichtes

λ :=c

ν(3.97)

ein, so ergibt sich:

λ(r) =1√

1− rSr

λ0 > λ0 (3.98)

Diese Ungleichung drückt die Gravitationsrotverschiebung aus.

Zur Messung der Gravitationsrotverschiebung benötigt man zwei unterschiedliche Hö-hen, bei denen die Frequenz eines Lichtsignals gemessen wird. Wir definieren:

r2 := r1 + h. (3.99)

Wählen wir nun h klein gegen r1, so können wir ohne großen Fehler eine Taylor-Entwicklungum r1 vornehmen, die wir nach der zweiten Potenz abbrechen:

ν(r2) = ν(r1 + h) = ν(r1) +dνdr

(r1) · h+O(h2)

=

√1− rS

r1

· ν0 −1

2

ν0rS

r21

√1− rS

r1

· h.(3.100)

Dann ergibt sich für die Frequenzverschiebung:

∆ν =1

2· ν0 · rShr2

1 ·√

1− rSr1

. (3.101)

86


Nimmt man für r1 den Erdradius an, so kann man den Term√

1− rSr1

für den Schwarzschild-Radius rS gegenüber r1 im Wurzelausdruck vernachlässigen. Es ergibt sich dann dieAbschätzung:

∆ν ≈ 1

2

ν0 · rSr2

1

· h. (3.102)

Für die Erde gilt: rS = 9 mm, r1 = R = 6350 km , r2 = R + h, h = 30 m:

∆ν =rS2r1

h

r1

∼= 3 · 10−15. (3.103)

Die Frequenzverschiebung wurde mit Hilfe der Mößbauer2-Spektroskopie an 57Fenachgewiesen. Der Mößbauer-Effekt erlaubt Messungen an Kernübergängen mit einerGenauigkeit im Bereich der natürlichen Linienbreite des Übergangs in der Größenord-nung von z ∼ 10−15. Dabei ist die Rotverschiebung z definiert über

z =∆λ

λ. (3.104)

Abbildung 3.12 zeigt skizzenhaft den Aufbau eines Experimentes zur Messung der Gra-vitationsrotverschiebung. Eine angeregte Probe 57Fe emittiert γ-Strahlung mit E =14,4 keV. Eine um die Strecke h höher gelegene Probe 57Fe kann die γ-Strahlung zuerstnur schlecht aufgrund der Rotverschiebung zuerst kaum absorbieren. Durch Bewegen derProbe und den dadurch auftretenden Dopplereffekt kann die Rotverschiebung kompen-siert und bestimmt werden. Pound und Rebka[6] erhielten 1960 mit h = 22.6m in ihrenMessungen einen Wert von z = (2,57± 0,26) · 10−15, bzw. ein Verhältnis

∆νexp∆νtheo

= 1,05± 0,10. (3.105)

Der Wert liegt also durchaus innerhalb der Fehlergrenzen. Eine genauere Messung vonPond und Snider 1965[7] lieferte sogar

∆νexp∆νtheo

= 0,9990± 0,0076. (3.106)

3.7.2 Periheldrehung

Die Geodätengleichung führt für die Schwarzschildmetrik auf Energie- und Drehimpul-serhaltung (gµν ist also unabhängig von t,ϑ, ϕ und im Sinne der Lagrangeschen Mechanikzyklisch, es folgen also als Erhaltungsgrößen p0,pϑ,pϕ) und schließlich auf die exakte ra-

2Mößbauer, Rudolf, 1929- . Deutscher Physiker. Nobelpreis 1961 für den nach ihm benannten Effekt.

87


Cou

nts

vvR

57Fe∗

γ

v57Fe

h

Detektor

Abbildung 3.12: Nachweis der gravitativen Rotverschiebung: Eine angereg-te Probe 57Fe emittiert γ-Strahlung mit E = 14,4 keV. Eine um die Streckeh höher gelegene Probe 57Fe kann die γ-Strahlung zuerst nur schlecht auf-grund der Rotverschiebung zuerst kaum absorbieren. Durch Bewegen derProbe und den dadurch auftretenden Dopplereffekt kann die Rotverschie-bung bei einer bestimmten Geschwindigkeit vR kompensiert und über denWert von vR bestimmt werden.

88


diale Bewegungsgleichung:

1

2·m0

(drdτ

)2

+

−GMm0

r+

L2

2r2m0

− GM

c2

L2

r3m0

=

1

2m0c

2

[(εc

)2

− 1

]. (3.107)

Der erste Term ist die radiale kinetische Energie, die Terme in der geschweiften Klammersind

• das klassische Gravitationspotential φNewton = −GMmo

r

• das Zentrifugalpotential φZ =L2

2m0r2

• und der allgemein-relativistische ZusatztermL2

2m0r2· rSr, der proportional zum

Verhältnis Schwarzschild-Radius zu tatsächlichem Radius ist.

Weiter ist ε = Em

mit der relativistischen Gesamtenergie E.

Wir fassen den relativistischen Zusatzterm als Störung des Zentrifugalpotentials auf

φ′Z =L2

2m0r2

(1− rS

r

). (3.108)

Nur das reine Coulomb-Potential −1/r führt auf geschlossene, periodische Bahnen; jedeStörung führt zu einer Präzession der Ellipse.

Die Störung durch die Wechselwirkung mit den anderen Planeten war im 19. Jahrhun-dert bereits quantitativ bekannt. Für Merkur beträgt sie 531′′,5± 0“.3 pro Jahrhundert.Langjährige Beobachtungen lieferten aber 574′′.3± 0“.4. Die Differenz von 42′′.7± 0“.5war trotz verschiedener Erklärungsversuche nicht befriedigend zu erklären.3

Für nichtrelativistische Geschwindigkeiten erhält man für die Winkelwanderung des Pe-rihels pro Umlauf δφ den Wert

δφ =3πrS

a(1− e2). (3.109)

wobei a die große Halbachse und e = cadie Exzentrizität der Ellipsenbahn ist (Abb.

3.13). Es gilt also

δφ ∼ Schwarzschild-RadiusBahn-Radius

. (3.110)

In Abb. 3.14 ist der Effekt der Periheldrehung skizziert. Pi bezeichnen die sonnennächs-ten (Perihel) und Ai die sonnenfernsten (Aphel) Punkte der Bahn.

3Z.B. postulierte der Astronom Urbain Le Verrier 1859 den Planeten Vulkan innerhalb der Merkur-Bahn, der für die Abweichung verantwortlich sein sollte.

89


a

b

b

c

b

f1f2

Abbildung 3.13: Kenngrößen einer Ellipse: Große und kleine Halbachse aund b, sowie der Abstand c der Brennpunkte vom Mittelpunkt.

Abbildung 3.14: Effekt der Periheldrehung: Durch die Abweichung vom1/r-Potential ist die Bahnkurve des Planeten nicht geschlossen. Die Punk-te Pi sind die aufeinanderfolgenden sonnennächsten Punkte (Perihel), diePunkte Ai die sonnenfernsten (Aphel).

90


Wegen der reziproken Abhängigkeit vom Bahnradius kann bei Merkur die stärkste Pe-riheldrehung erwartet werden. Für ihn gilt

aMerkur = 57,91× 106km = 0,387AE und aMerkur = 0,206, (3.111)

zum Vergleich lauten die Werte für die Erde aErde = 149,6× 106km und eErde = 0,0167.Die allgemein-relativistische Perihelbewegung des Merkur pro Jahrhundert beträgt

δφMerkur

∣∣∣100 Jahre

= 43′′.03, (3.112)

für Venus dagegen 8′′.6 und für die Erde nur 3′′.8.

Die Erklärung der Differenz von beobachteter und mit der Newtonschen Theorie vorher-gesagten Periheldrehung durch Einstein war der erste große Triumph der AllgemeinenRelativitätstheorie. Einstein schrieb in einem Brief an Paul Ehrenfest4:

“Ich war einige Tage fassungslos vor freudiger Erregung.”

3.7.3 Lichtablenkung im Gravitationsfeld

Für die quantitative Untersuchung der Lichtablenkung im Graviationsfeld führen wirdie isotrope Schwarzschild-Metrik ein. Dazu definieren wir die neue Radialkoor-dinate r über

r =(

1 +rS4r

)2

r. (3.113)

Dann folgt für das Quadrat des infinitesimalen Raum-Zeit-Elementes:

(ds)2 =

(1− rS

4r

1 + rS4r

)2

(d(ct))2 −(

1 +rS4r

)4

dx2 mit x =

r sinϑ cosϕr sinϑ sinϕr cosϑ

. (3.114)

In der SRT ist die Lichtausbreitung charakterisiert durch (ds)2 = 0. Dies ist die Glei-chung der „Nullgeodäten”. Wegen des Äuivalenzprinzips gilt dies dann auch in der ARTmit der jeweils zutreffenden Metrik. Es folgt dann(

1− rS4r

1 + rS4r

)2

c2(dt)2 =(

1 +rS4r

)4

(dx)2. (3.115)

4Paul Ehrenfest, 1880-1933. Österreichischer Physiker, vor allem bekannt durch das Ehrenfest-Theo-rem.

91


r

α

s0

s 0

Abbildung 3.15: Die Wirkung von Massen kann beschrieben werden alsscheinbarer ortsabhängiger Brechungsindex der Raumzeit. Die Änderung desTangentialvektors s0 ist durch die Eikonal-Gleichung gegeben.

Weiter ergibt sich ∣∣∣∣dx

dt

∣∣∣∣ =

√1− rS

r

1 + rSr

· c ≈(

1− rSr

)c = vLicht < c. (3.116)

Das Licht in der Schwarzschild-Metrik hat also eine geringere Geschwindigkeit, als dieLichtgeschwindigkeit in der Minkowski-Metrik5. Formal können wir diesem Sachverhaltdurch die Einführung eines ortsabhängigen Brechungsindex Rechnung tragen:

c

vLicht

= n ≈ 1 +rSr. (3.117)

Licht wird im Gravitationsfeld also „gebeugt”. Aus der geometrischen Optik ist uns dieEikonal-Gleichung bekannt:

d

ds0

(ns0) = ∇n. (3.118)

5Bei dieser Aussage bezieht man sich auf eine globale Eigenschaft, etwa die Messung der Laufzeitdes Lichts bis zu einem anderen Planeten. Es ist wichtig, dass jeder Beobachter stets lokal dieLichtgeschwindigkeit c misst!

92


Wobei s0 der Tangentialvektor an die Bahnkurve des Lichtes ist (Abb. 3.15). Bezeichnetman α als den Krümmungswinkel und ∆ als den „Stoßparameter“ des Lichtes relativ zueinem Streuer (eben ein Gravitationsfeld), so folgt nach kurzer Rechnung:

α =2rS∆. (3.119)

Für die Sonne ist ∆ = R = 7 · 105 km, rS = 3 km und daher

α ≈ 1′′.75. (3.120)

Es muss angemerkt werden, dass man auch in der Newtonschen Theorie eine Lichtablen-kung berechnen kann. Dazu nimmt man Licht als massebehaftete Teilchen an, die sichmit Lichtgeschwindigkeit bewegen.Diese Rechnung ergibt genau den halben Wert der allgemein-relativistischen Vorhersage.

Sterne, die am Himmel der Sonne sehr nahe stehen, erscheinen aufgrund der Lichta-blenkung etwas weiter von der Sonne entfernt, als ihre tatsächliche Position (Abb. 3.16).Da diese Sterne aber normalerweise von der Sonne überstrahlt werden, ist dieser Effektnicht sichtbar. Wird während einer Sonnenfinsternis die Sonne verdeckt, so kann diescheinbare Positionsveränderung dieser Sterne bestimmt werden.

Durch Messungen während der Sonnenfinsternis am 29 Mai 1919 konnte von A. Edding-ton die Lichtablenkung erstmals nachgewiesen werden und die Newtonsche Vorhersageausgeschlossen werden[8].6 Die Bekanntgabe dieser Resultate erfolgte am 6.11.1919 ineiner eigens dafür einberufenen Sitzung der Royal Astronomical Society in London undmachte Einstein auch außerhalb der Physik weltberühmt. So schrieb etwa die New YorkTimes am 9.11.1919:

“Lights all askew in the Heavens - Men of science more or less agog over results ofeclipse observations - Einstein Theory triumphs.”

Der Effekt der Lichtablenkung wird auch als Gravitationslinseneffekt bezeichnet,da das massive Objekt, in diesem Fall die Sonne ähnlich wie eine Linse wirkt.

Lichtablenkung außerhalb des Sonnensystems

Mit den leistungsfähigsten Teleskopen ist es heutzutage möglich, diesen Effekt auchaußerhalb des Sonnensystems zu beobachten. Läuft etwa Licht einer weit entfernten Ga-laxie an einem sehr massiven Objekt, etwa einem Galaxiehaufen vorbei, bevor es dieErde erreicht, so tritt hier wiederum eine Lichtablenkung auf.

6Heutzutage gibt es Zweifel daran, ob mit Eddington’s Versuchsanordnung dieser Nachweis möglichwar.

93


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Abbildung 3.16: Während einer Sonnenfinsternis erscheinen Sterne, die amHimmel der Sonne nah sind, aufgrund der Lichtablenkung scheinbar weiterentfernt von der Sonne (rot) als ihre tatsächliche Position ist (gelb).

Durch die viel größeren Massen kann die Lichtablenkung hier noch deutlich größer sein.Licht, das vom selben Gebiet der beobachteten Galaxie in verschiedene Richtungen aus-gesandt wurde, kann so abgelenkt werden, dass es bei uns aus verschiedenen Richtungenankommt. Das betrachtete Objekt erscheint uns dann ringförmig verzerrt. Man sprichtdann von einem Einstein-Ring.

Durch quantitative Messungen dieses Effektes kann dann wiederum Rückschluss aufdie Masse des ablenkenden Objektes gezogen werden. Durch Vergleich mit Berechnun-gen anhand der sichtbaren Masse in diesem Objekt zeigt sich, dass viel mehr Masse fürdie beobachtete Lichtablenkung nötig ist, als sichtbar ist. Dies ist einer der aktuellenHinweise auf Dunkle Materie.

Visualisierung von Einstein-Ringen

Einstein-Ringe sind, wie viele andere Phänomene, die die ART voraussagt, nur schwervorstellbar. Man kann sich anhand von Skizzen zwar einigermaßen klarmachen, wie dieRingstrukturen zustande kommen (Abb. 3.17), aber eine Vorstellung vom exakten Aus-sehen dieses Effektes kann dadurch nicht geliefert werden.

Mit Hilfe moderner Computer ist es möglich, Einstein-Ringe physikalisch korrekt zu si-mulieren. Am stärksten ausgeprägt ist dieser Effekt natürlich in der Nähe von SchwarzenLöchern, denn dort sind relativistische Effekte am stärksten.Durch die hohe Symmetrie der Schwarzschild-Metrik erscheint dort der Ring perfektkreisförmig. Abbildung 3.18 zeigt ein Bild der Milchstrasse im flachen Raum im Ver-gleich mit der selben Situation, wenn sich ein Schwarzes Loch zwischen der Milchstrasseund dem Beobachter befindet.[10]

94


Beobachter

Lichtstrahl

Schwarzes LochEinstein-Ring

Objekt

Abbildung 3.17: Ein Schwarzes Loch lenkt Lichtstrahlen von dahinter be-findlichen Objekten extrem ab. Aus Symmetriegründen erscheint das Objektdem Beobachter als Ring um das Schwarze Loch.[9]

(a) (b)

Abbildung 3.18: Visualisierung von Einstein-Ringen. Abbildung a): Bildder Milchstrasse im flachen Raum. Abbildung b): Bild der Milchstrasse mitSchwarzem Loch im Vordergrund. Durch die starke Lichtablenkung erschei-nen Teile der Milchstrasse als Einstein-Ring um den dunklen Bereich, ausdem kein Licht den Beobachter erreicht.[9]

95


Abbildung 3.19: Laufzeitverzögerung des Lichts: Durch die Lichtablen-kung durch die Sonne ist in Konstellation ¬ die Lichtlaufzeit größer alsdurch die Newtonsche Theorie vorhergesagt. In Konstellation ist die Ab-weichung der Lichtlaufzeit gering.

3.7.4 Laufzeitverzögerung

Aus der Krümmung der Bahn des Lichtes folgt, dass eine Zeitverzögerung für von denPlaneten Merkur und Venus reflektierten Radiowellen bei Konjunktion von Erde, Sonneund jeweiligem Planet vorliegen muss, denn wegen des Gravitationseffektes läuft dasSignal nicht auf direktem Wege hin und her, sondern auf einer gekrümmten Bahn (Abb.3.19). Wiederum kann auch im Rahmen der Newtonschen Theorie für ein sich mit Lichge-schwindigkeit bewegendes, massebehaftetes Teilchen eine Laufzeitverzögerung berechnetwerden.

Die Ergebnisse der Rechnungen lassen sich zusammenfassen zu

∆t = (1 + γ)rSc

ln

(4r1r2

b2

), (3.121)

mit den Distanzen r1 und r2 von Erde und jeweiligem Objekt und dem Stoßparameterb. Die allgemein-relativistische Rechnung führt auf γ = 1, die Newtonsche auf γ = 0,also wieder der halbe Effekt wie bei der Lichtablenkung.

Zusätzlich zur Laufzeitverzögerung tritt auch noch eine Dopplerverschiebung des Signalsauf:

ygr =∆ν

ν=

d∆t

dt= −2(1 + γ)

rSc

1

b

dbdt. (3.122)

Im Fall ¬ in Abbildung 3.19 ist die Laufzeit des Radarsignals wegen des Brechungs-indexeffektes größer als nach der Newtonschen Theorie für die Venus. Es ergibt sichetwa

∆t = 240µs bzw. ∆t · c = 36 km. (3.123)

In einem Experiment 1968 konnte I.I. Shapiro[11] diese Laufzeitverzögerung bis auf 3%bestätigen (d.h. Bestimmung des Abstandes Erde-Venus auf 1 km).

96


Neue Messung mit Hilfe der Cassini-Raumsonde

Mit Hilfe der Cassini-Raumsonde konnte 2002, als sich die Sonde in Sonnenkonjunktionbefand eine deutlich genauere Messung vorgenommen werden[12]. Die Messungen führtenauf

γ = 1 + (2,1± 2,3)× 10−5. (3.124)

Auf ihrem Weg zum Saturn befand sich die Sonde um den 6. und 7. Juli 2002 herumin Konjunktion zur Sonne, d.h. von der Erde aus hinter dieser. Da im Gegensatz zurMessung mit Hilfe der Venus in diesem Fall das Signal nicht einfach reflektiert, sondernvon der Sonde empfangen und analysiert und aktiv ein Signal zurückgeschickt werdenkonnte, war es möglich in diesem Fall die Größe ygr sehr genau zu messen und eine vielhöhere Präzision zu erreichen.

3.7.5 Global Positioning System

Das Global Positioning System (GPS) ist kein Test der ART im eigentlichen Sinn. Daaber für den Betrieb von GPS sowohl speziell- als allgemeinrelativistische Effekte sehrwichtig sind, gehen wir hier kurz darauf ein. GPS besteht aus 24 Satelliten, die auf6 Bahnen mit jeweils 4 Satelliten kreisen7 (Abb. 3.20). Die Satelliten befinden sich ineiner Höhe von etwa 20200 km über der Erdoberfläche und umkreisen die Erde zweimalpro Tag. Aufgrund der wegen der großen Entfernung zur Erde schwächeren Gravitationgehen die Uhren der Satelliten pro Tag etwa um 45µs vor.Wegen der Bahngeschwindigkeit von etwa 3− 4 km/s allerdings gehen sie um etwa 7µsnach. In der Summe ergibt sich eine Zeitdifferenz von 38µs. Da GPS die Positionen desNutzers über Lichtsignale bestimmt, würde dies auf einen Fehler von etwa

38µs× 299792458m/s = 11,4 km (3.125)

pro Tag führen!

Daher ist es notwendig, dass bei GPS relativistische Effekte mitberücksichtigt werden.

3.7.6 Der Doppelpulsar 1913 + 16

Die Messungen am Doppelpulsarsystem 1913+16 können als das Prunkstück der ARTangesehen werden, da hier alle bedeutenden speziell- und allgemein-relativistischen Ef-fekte gleichzeitig auftreten und sehr genau gemessen bzw. analysiert werden konnten[13,14, 15].

7Im realen Betrieb sind es u.a. aus Reservegründen etwas mehr Satelliten.

97


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

ϑ

ϕ

Abbildung 3.20: Global Positioning System: Auf 6 Bahnen laufen jeweils4 Satelliten, insgesamt also 24 Stück. Alle Bahnen sind um ϑ = 55° gegenden Äquator gekippt und gegeneinander um ϕ = 60° verdreht. Im Bild sindwegen Positionsüberschneidungen nur 18 Satelliten gezeigt.

Beschreibung des Systems

Der Doppelpulsar 1913+16 wurde von R. A. Hulse und J. H. Taylor Jr. mit Hilfe des Are-cibo Radioteleskops in Puerto Rico entdeckt. Für ihre Forschungen an 1923+16 erhieltendie beiden 1993 den Physik-Nobelpreis. Das System besteht aus zwei Neutronensternendie sich auf nahezu elliptischen Bahnen umkreisen, wobei der Bahndurchmesser etwa700000 km und die Umlaufzeit etwa 7,75 h beträgt. Einer der beiden Neutronensterne istein Radiopulsar und so ausgerichtet, dass von der Erde aus Signale mit einer Periode vonetwa 60ms empfangen werden können (Abb. 3.21). Eine umfassende Zusammenstellungder wichtigsten Systemeigenschaften findet sich in Tabelle 3.1.Durch sehr genaue und lange Analyse der Pulsfrequenz der Radiosignale war es mög-lich, die Einflüsse verschiedener relativistischer Effekte bei diesem System sehr genau zubestimmen und mit theoretischen Vorhersagen zu vergleichen.

Relativistische Effekte

Es ist klar, dass bei diesem System starke relativistische Effekte auftreten. Neutronens-terne sind generell Objekte, bei denen relativistische Effekte bedeutsam sind, und indiesem Fall umkreisen sich zwei Neutronensterne in sehr geringem Abstand.Alle diese Effekte können aus der Analyse der Frequenz der Radiosignale bzw. der zeitli-chen Änderung der Frequenz abgeleitet werden. Im Einzelnen konnten folgende Effektebeobachtet werden:

98


TR

TU+

¯

¯

® ®¬ ¬

Sb bb b

b

b

b

b

Richtung Erde

Abbildung 3.21: Das Doppelpulsarsystem 1913+16. Die beiden Neutro-nensterne umkreisen sich mit einer Periodendauer von TU = 7,75 h. Einerder beiden Neutronensterne ist ein Radiopulsar, der so ausgerichtet ist, dassSignale bei der Erde ankommen. Seine Rotationsperiode beträgt TR ≈ 60ms.

Symbol Wert

Projizierte große Halbachse a⊥ 702069 kmRotationsperiode ω 0,05903 sÄnderung der Periode ω 8,63× 10−18s · s−1

Bahnexzentrizität e 0,617

Bahnperiode Pb 27906,98 sÄnderung der Bahnperiode Pb −2,40× 10−12s · s−1

Relativistische Periastrondre-hung

ϕ 4.2263 a−1

Amplitude von Gravitationsrot-verschiebung und quadratischemDopplereffekt

γ 4,38ms

Massenfunktion f(m1,m2) 0,1322

Masse des Pulars m1 1,445MMasse des Begleiters m2 1,384MBahnneigung i sin i = 0,72

Tabelle 3.1: Eigenschaften des Doppelpulsars 1913+16.

99


1. Speziell-relativistische Effekte

• Aufgrund des Dopplereffektes erhöht sich die Frequenz der Signale, wenn sichdie beiden Sterne im Periastron8 befinden (Situation ¬) und wird niedriger imApastron (Situation ®). Außerdem tritt auch der quadratische Dopplereffektauf, d.h. auch in Situation kommt es aufgrund der Relativgeschindigkeitdes Pulsars zu einer Frequenzveränderung.

• Aufgrund der endlichen Lichgeschwindigkeit trift das Signal verfrüht bei derErde ein, wenn sich der Radiopulsar auf seiner Bahn am erdnächsten Punktbefindet (Situation ). Im Gegensatz dazu trifft das Signal verspätet ein,wenn er sich am erdfernsten Punkt befindet. Entsprechend dem Bahndurch-messer von etwa 700000 km summiert sich dieser Effekt auf etwa 2 s.

2. Allgemein-relativistische Effekte

• In Konfiguration ¯ kommen die Signale aufgrund der Laufzeitverzögerungspäter bei der Erde an, da sie das Gravitationsfeld des Begleiters durchlaufenmüssen.

• Es kommt zur relativistischen Periastrondrehung, wie wir sie für Merkur be-reits besprochen haben. Allerdings sind hier die Effekte weitaus größer, dadieser Effekt proportional zum Verhältnis Schwarzschild-Radius zu Bahnra-dius ist. Beim Merkur war der Bahnradius etwa 57,91 Millionen Kilometer,d.h. etwa 80 mal größer als in diesem System. Deshalb wird hier eine Peria-strondrehung von 4.23 pro Jahr beobachtet, was einer Winkeländerung proTag entspricht, wie sie bei Merkur in 100 Jahren beobachtet wird.

• In Konfiguration ¯ sind die Signale zusätzlich gravitationsrotverschoben. Die-ser Effekt ist wiederum überlagert vom quadratischen Dopplereffekt. Insge-samt ergibt sich für die Amplitude der Frequenzveränderung

γ =Gm2

2πac2

(1 +

m2

M

)Pb · e, (3.126)

mit der Gesamtmasse M des Systems.

• Der Lense-Thirring-Effekt[16]: Bei der Herleitung der Schwarzschild-Metrik wurde eine nichtrotierende Masse angenommen. Im Allgemeinen rotie-ren aber v.a. Neutronensterne sehr schnell und mit der Schwarzschild-Metrikkann dieser Fall nur näherungsweise behandelt werden.9 Vereinfacht gesagtführt die Rotation des einen Neutronensterns dazu, dass um ihn herum dieRaumzeit mitgerissen und verdreht wird, ähnlich wie eine zähe Flüssigkeit.Dadurch ändert sich die Lage des anderen Neutronensternes geringfügig.

8Der Punkt ihrer Bahn, an dem sich die beiden Sterne am nächsten sind. Da es sich nicht um Planetenhandelt spricht man hier nicht vom Perihel.

9Die exakte Metrik für rotierende Massen ist die Kerr-Metrik

100


• Es konnte nachgewiesen werden, dass die beiden Sterne sich mit der Zeit nä-hern, d.h. das System verliert Energie. Bereits Einstein konnte zeigen, dass fürdie Abnahme der Bahnperiode infolge von Energieverlust durch Abstrahlungvon Gravitationswellen näherungsweise gilt

Pb =−96

5

G3m1m2M

a4c5Pb

(1 +

73

24e2 +

37

96e4

)(1− e2

)− 72 . (3.127)

Ein Vergleich der Veränderung der Periodendauer mit theoretischen Berech-nungen mit Hilfe dieser Gleichung zeigte eine hervorragende Übereinstimmung[17].Dies war der erste indirekte Nachweis der Existenz von Gravitationswellen!Aufgrund des Energieverlustes nähern sich die beiden Sterne pro Umlauf et-wa 3,1mm, bzw. 3,5m pro Jahr und werden in etwa 300 Millionen Jahrenverschmelzen.

Anmerkung zur Massefunktion In diesem Abschnitt soll kurz die Bedeutungder Massefunktion f(m1,m2) erläutert werden. Das 3. Keplersche Gesetzt lieferteinen Zusammenhang zwischen großer Halbachse a und Umlauffrequenz für Körperim Schwerefeld der Masse M :

GM = ω2a3, für M m. (3.128)

Falls die Massen der sich umkreisenden Körper aber vergleichbar große werden, somuss mit der reduzierten Masse

µ =m1m2

m1 +m2

(3.129)

gerechnet werden. Ein weiteres Problem ergibt sich daraus, dass von der Erde ausdie große Halbachse nicht direkt bestimmt werden kann. Information liegt zunächstnur über die auf die Himmelsebene projizierte Halbachse

a⊥ = a sin i (3.130)

vor (Abb. 3.22). Einsetzen dieser Zusammenhänge führt auf

ω2(a sin i)3

G=

(m2 sin i)3

(m1 +m2)2 := f(m1,m2). (3.131)

Man erhält also aus den messbaren Größen a sin i und ω Information über dasVerhältnis der beiden Masse.

101


zur Erde

Bahnebene

i

a⊥=

asini

a

Abbildung 3.22: Bei der Beobachtung des Doppelpulsars von der Erde ausergibt sich nur Information über die projizierte Halbachse a⊥.

Gravitationswellen

Die ART sagt voraus, dass beschleunigte Massen Gravitationswellen abstrahlen,die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Mathematisch bedeutet dies kleine,sich räumlich und zeitlich periodisch ausbreitende Metrikschwankungen:

gµν = ηµν + hµν . (3.132)

Einsetzen dieser Form der Metrik in die Einsteinschen Feldgleichungen und Be-rücksichtigung nur von Termen linear in h, führt nach geeigneter Eichung auf eineWellengleichung der Form

∆hµν −1

c2

∂2

c2∂t2hµν = 0. (3.133)

Allerdings sind diese Wellen keine Dipolwellen wie elektromagnetische Wellen, son-dern haben Quadrupolcharakter. Dies liegt daran, dass es im Gegensatz zu elek-trischen Ladungen keine negativen Massen gibt.

Gravitationswellen sollten durch scheinbare Längenänderungen von Objekten, wenneine Gravitationswelle darüberläuft, messbar sein. Allerdings sind die erwartetenAbweichungen vom flachen Raum minimal, etwa im Bereich einer relativen Größevon

h ∼ 10−20 . . . 10−24. (3.134)

Bisher ist deshalb der direkte Nachweis von Gravitationswellen nicht gelungen. Eslaufen aber weltweit mehrere Projekte zum Nachweis von Gravitationswellen. Ei-nes davon ist GEO 600 in der Nähe von Hannover.[18]Das Experiment besteht aus einem Interferometer mit zwei 600m langen Armen.

102


600m

Arm

lange

Spiegel

Laser

Messapparatur

(a)

Erde

b

b b

5× 106km

Armlange

(b)

Abbildung 3.23: Nachweis von Gravitationswellen. Abbildung a): GEO600 besteht aus 2 nahezu senkrecht aufeinanderstehenden Interferometer-armen mit 600m Länge. Abbildung b): Das Experiment LISA wird aus 3Satelliten im gegenseitigen Abstand von 5 Millionen Kilometern bestehen,die auf der Bahn der Erde um die Sonne kreisen.

Durchläuft eine Gravitationswelle den Aufbau, so sollte sie die beiden Arme un-terschiedlich beeinflussen und durch Interferenzen nachweisbar sein. Ähnliche Ex-perimente sind LIGO[19] (USA) mit 3 km langen Armen und weitere Anlagen inJapan und Italien (Abb. 3.23).In Planung ist außerdem das weltraumgestützte Experiment LISA[20]. Dieses wirdaus 3 Satelliten im gegenseitigen Abstand von 5 Millionen Kilometern bestehen dieauf der Umlaufbahn der Erde um die Sonne kreisen.

103

Literaturverzeichnis

[1] A. Weigert und H. J. Wendker. Astronomie und Astrophysik - Ein Grundkurs. VCHVerlagsgesellschaft, vierte Auflage (2005).

[2] A. Hewish. Nobel Lecture: Pulsars and High Density Physics (1974).

[3] J. Trümper, W. Pietsch, C. Reppin und B. Sacco. Evidence for strong cyclotronemission in the hard X-ray spectrum of Her X-1. Ann. N.Y. Ac. Sci. 302 (1977).

[4] W. Rindler. Relativity - Special, General and Cosmology. Oxford University Press,zweite Auflage (2006).

[5] M. Nakahara. Geometry, Topology and Physics. Taylor & Francis, zweite Auflage(2003).

[6] R.V. Pound und G.A. Rebka Jr. Apparent weight of photons. Phys. Rev. Lett. 4(1960).

[7] R. V. Pound und J. L. Snider. Effect of Gravity on Gamma Radiation. Phys. Rev.140 (1965).

[8] F. W. Dyson, A. S. Eddington und C. A. Davidson. A determination of the deflectionof light by the Sun’s gravitational field, from observations made at the total eclipseof May 29, 1929. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 220, 291–333 (1920).

[9] F. Grave. The Gödel Universe − Physical Aspects and Egocentric Visualizations.Doktorarbeit, Universität Stuttgart (2010).

[10] Weitere gute Beispiele für Visualisierungen in der ART finden sich unterhttp://www.vis.uni-stuttgart.de/relativity/.

[11] I.I. Shapiro, G. H. Pettengrill, M.E. Ash, M.L. Stone, W. B. Smith, R. P. Ingallsund R. A. Brockelman. Fourth test of general relativity: preliminary results. Phys.Rev. Lett. 20, 1265–1269 (1968).

[12] B. Bertotti, L. Iess und P. Tortora. A test of general relativity using radio linkswith the Cassini spacecraft. Nature 425 (2003).

[13] R. A. Hulse und J. H. Taylor Jr. Discovery of a pulsar in a binary system. TheAstrophysical Journal 195 (1975).

105

Literaturverzeichnis

[14] J. H. Taylor Jr. Binary Pulsars and relativistic gravity. Nobel Lecture (1993).

[15] R. A. Hulse. The discovery of the binary pulsar. Nobel Lecture (1993).

[16] J. Lense und H. Thirring. Über den Einfluss der Eigenrotation der Zentralkörper aufdie Bewegung der Planeten und Monde nach der Einsteinschen Gravitationstheorie.Physikalische Zeitschrift 19 (1918).

[17] J. H. Taylor Jr. und J. M. Weisberg. Gravitational radiation from an orbitingpulsar. General Relativity and Gravitation 13, 1–6 (1981).

[18] GEO600 Homepage. http://www.geo600.org/.

[19] LIGO Homepage http://www.ligo-la.caltech.edu/.

[20] LISA Homepage http://lisa.nasa.gov/index.html.

[21] H. Ruder und M. Ruder. Die Spezielle Relativitätstheorie. Vieweg-Studium (1993).

106

IndexÄquatorialsystem

bewegliches, 20festes, 19

Astronomische Einheit, 1

Chandrasekhar-Grenzmasse, 41-Radius, 43

Chandrasekhar, S., 41Christoffel-Symbole 2.Art, 76Compton

-Wellenlänge, 36

Eddington, A., 29Ehrenfest, P., 91Eikonal-Gleichung, 92Einstein, A., 5Einstein-Ring, 94Einsteinsche Feldgleichungen, 65Euler-Lagrange-Gleichungen, 80

Fermi-Energie, 32freies Elektronengas, 31

Geodäte, 65Geodätengleichung, 80Gravitationslinseneffekt, 93

Helligkeitabsolute, 3der Sonne, 4

visuelle, 3Hydrostatische Gleichgewicht, 25

Jeans-Kriterium, 22Jeansmasse, kritische, 23

Kelvin-Helmholtz-Zeitskala, 28kosmologische Konstante, 81

Lense-Thirring-Effekt, 100

Mößbauer, R., 87Mößbauer-Spektroskopie, 87Magnitudo, 2Masse

schwere, 5träge, 5

Massendichte, 10Minkowski

-Koordinaten, 60-Raum, 60

Minkowski-Metrik, 61

Nutation, 21

Paralleltransport, 75parsec, 3Poisson-Gleichung, 11Präzession, 21Protostern, 25

Rektaszension, 20Riemann-Tensor, 77Ruheenergiedichte, 28

Schwarzes Loch, 49Schwarzschild, K., 6Schwarzschild-Metrik, 82Schwarzschildmetrik

isotrope, 91Solarkonstante, 1Sommerfeld

Feinstrukturkonstante, 41Sommerfeld, A., 41Sonnenleuchtkraft, 1

Tensorkontravariant, 74kovariant, 74

Tensorverjüngung, 74Trägheitsprinzip, 60

107

Index

Wheeler, J. A., 81

Zyklotronfrequenz, 57

108

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