Aufgaben zur Ingenieurmathematik -...
86
Hochschule Karlsruhe Technik und Wirtschaft Prof. Dr. T. Westermann Mathematik [email protected] iMath Eine interaktive, elektronische Aufgabensammlung zur Ingenieurmathematik: Mit Tipps, ausführlichen Lösungen und elektronischen Arbeitsblättern mit Maple, zum Lösen der Aufgaben am Rechner. Prof. Dr. T. Westermann Hochschule Karlsruhe – Technik und Wirtschaft Literatur/Theorie: Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch Springer-Verlag, 7. Auflage 2015 Stand 29.9.2018
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Prof. Dr. T. Westermann Mathematik
iMath
Eine interaktive, elektronische Aufgabensammlung zur Ingenieurmathematik: Mit Tipps, ausführlichen Lösungen und elektronischen Arbeitsblättern
mit Maple, zum Lösen der Aufgaben am Rechner.
Prof. Dr. T. Westermann Hochschule Karlsruhe – Technik und Wirtschaft
Literatur/Theorie: Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch Springer-Verlag, 7. Auflage 2015
Stand 29.9.2018
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M1 1/40
Aufgaben zu Mathematik 1
Studiengang Elektrotechnik
Prof. Dr. T. Westermann Hochschule Karlsruhe – Technik und Wirtschaft
Literatur/Theorie: Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch Springer-Verlag, 7. Auflage 2015
Stand 28.9.2018
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M1 2/40
Aufgaben zur vollständigen Induktion
Aufgabe 1 Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass
a) 2 2 2 2 2
1
11 2 3 ... ( 1)(2 1)
6
n
k
n k n n n
für alle n
b) 0 1 1
0
2 2 ... 2 2 2 1n
n k n
k
für alle 0n
c)
1 1 1...
1 2 2 3 1 1
n
n n n
für alle n
Lösung Tipp
Aufgabe 2
Man zeige, dass für festes 1x und jede natürliche Zahl 0n gilt 1
0
1
1
nnk
k
xx
x
Lösung Tipp
*Aufgabe 3 Beweisen Sie durch vollständige Induktion für n , dass
a) 2 !n n für jedes 4n
b) 2 1 2nn für 3n
c) 2 2nn für jedes 3n
Lösung Tipp
Aufgabe 4 Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
a) 1
1 1 1 1(1 ) (1 1) (1 ) (1 ) ... (1 ) 1
2 3
n
kn
k n für alle 1n .
b) 1(2 1) 1 3 5 ... (2 1) ²
n
ii n n
für alle 1n .
c) 3 2 2
2
1( 1) ( 1)
4
n
ii n n
für alle 2n .
d) 5
6
1( 11)
2
n
ii n n
für alle 1n .
e) 1(4 1) 3 7 ... (4 1) 2 ²
n
ii n n n
für alle 1n .
Lösung
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M1 3/40
Aufgabe 5 a) Berechnen Sie die folgenden Binomialkoeffizienten
0
n
, n
n
; 3
1
, 3
2
; 4
0
, 4
1
, 4
2
, 4
3
, 4
4
; 5
0
, …,5
5
.
b) Entwickeln Sie die folgenden Binome 5( 4)x 4(1 5 )y 2 3( 2 )a b
Lösung Tipp
Aufgabe 6 Zeigen Sie durch Nachrechnen
1
11 0
n n
k kk k
a a
; 1
10 1
n n
k kk k
a a
Lösung
Aufgabe 7
Man zeige durch Nachrechnen, dass 1 1
!k
n
k n k
für jedes n
Lösung
10-Minuten-Aufgaben Aufgabe Lösung
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Aufgaben zu Gleichungen und Ungleichungen
Lösungen in Maple
Aufgabe 1 Bestimmen Sie die reellen Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen:
a) 24 8 60 0x x b) 2 4 13 0x x c) 21 9( 2)x
d) 25 20 20 0x x e) ( 1)( 3) 0x x Lösung Tipp
Aufgabe 2
Bestimmen Sie den Parameter c so, dass die Gleichung 22 4x x c genau eine reelle Lösung besitzt.
Lösung Tipp
Aufgabe 3 Welche reellen Lösungen besitzen die folgenden Gleichungen?
a) 3 22 8 8x x x b) 4 213 36 0t t c) 2 21(3 6)( 25)( 3) 0
2x x x
Lösung
Aufgabe 4 Lösen Sie die folgenden Wurzelgleichungen
a) 3 2 2x b) 2 4 2x x c) 1 1x x d) 22 1 0x x
Lösung Tipp
Aufgabe 5 Welche reellen Lösungen besitzen die folgenden Betragsgleichungen
a) | 2 3 |x x b) 2| 4 |x x c) 2| 2 4 | ( 6)x x x *d) 2| | 24x x
Hinweis: Skizzieren Sie vor dem Lösen die linke und die rechte Seite der Gleichung. Verwenden Sie hierzu Maple!
Lösung Tipp
*Aufgabe 6 Bestimmen Sie die reellen Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen
a) | | 2 8x x b) 20 1x x c) | | 2x x d) 2 | 4 |x x
Hinweis: Skizzieren Sie vor dem Lösen die linke und die rechte Seite der Ungleichung. Verwenden Sie hierzu Maple!
Lösung Tipp
Aufgabe 7 (Maple) Bestimmen Sie die reellen Lösungsmengen aus Aufgabe 1 - 6 graphisch und rechnerisch mit Maple durch den solve-Befehl.
Lösungen in Maple
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Aufgaben zur Vektorrechnung
Aufgabe 1
Gegeben sind die Vektoren
3
2
4
a
,
2
0
4
b
,
5
1
4
c
. Man berechne die Vektoren und ihre
Beträge von: a) 1 3 5 3 s a b c
b) 2 2( 5 ) 5( 3 )s b c a b
c) 3 4( 2 ) 10s a b c
Lösung
Aufgabe 2
Welche Gegenkraft F hebt die vier Einzelkräfte 1 2 3 4, , ,F F F F
in ihrer Gesamtkraft auf?
1 2 3 4
200 10 40 30
110 , 30 , 85 , 50
50 40 120 40
F N F N F N F N
.
Lösung
Aufgabe 3 Normieren Sie folgende Vektoren, d.h. bilden Sie die Richtungseinheitsvektoren:
2
1
4
a
3 4 8x y zb e e e
1
1
1
c
Lösung Tipp
Aufgabe 4
Wie lautet der Einheitsvektor e
, der zum Vektor
1
4
3
a
die entgegen gesetzte Richtung hat?
Lösung
Aufgabe 5 Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Q, der vom Punkt P(3/ 1/ -5) in Richtung des Vektors
3
5
4
a
20 Längeneinheiten entfernt ist.
Lösung Tipp
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Aufgabe 6
Bestimmen Sie die Koordinaten der Mitte Q von 1 2PP mit 1 (10 / 5 / 1)P und 2 (1/ 2 / 5)P .
Lösung
Aufgabe 7
Bilden Sie mit den Vektoren
1 3 4
1 , 0 , 10
1 4 2
a b c
die Skalarprodukte:
a) a b b) ( 3 ) 4a b c
c) ( ) ( )a b a c
Lösung
Aufgabe 8
Welche Winkel schließen die Vektoren a
und b
miteinander ein?
a)
3 1
1 , 4
2 2
a b
b)
10 3
5 , 1
10 5
a b
c) 2 5x y za e e e
, 10x zb e e
Lösung Tipp
Aufgabe 9
Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren 1e
, 2e
, 3e
ein orthonormales System bilden; d.h. die
Vektoren stehen paarweise aufeinander senkrecht und besitzen die Länge 1:
1
1
20
1
2
e
, 2
1
2e
1
0
1
, 3
0
1
0
e
Lösung
Aufgabe 10
Zeigen Sie: Die drei Vektoren
1
4
2
,
2
2
3
,
1
6
1
bilden ein rechtwinkliges Dreieck.
Lösung
Aufgabe 11
Bestimmen Sie den Betrag und die Winkel mit den Koordinatenachsen für a
:
a)
1
1
1
a
b)
1
4
0
a
c)
4
3
2
a
Lösung
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Aufgabe 12 Durch die drei Punkte (1/ 4 / 2)A , (3 /1/ 0)B und ( 1/1/ 2)C wird ein Dreieck festgelegt.
Berechnen Sie die Längen der drei Seiten, die Winkel im Dreieck sowie den Flächeninhalt. Lösung
Aufgabe 13
Berechnen Sie die Projektion des Vektors b
in Richtung des Vektors
2
2
1
a
für: a)
5
1
3
b
b)
2
5
0
b
c)
10
4
2
b
Lösung Tipp
*Aufgabe 14
Ein Vektor a
ist durch den Betrag | | 10a
und 30 , 60 , 90 180 festgelegt. Wie
lautet die Vektorkoordinaten von a
? Lösung
*Aufgabe 15 Man bestimme die Richtungswinkel , , der Vektoren
a)
5
1
4
a
b)
3
5
8
a
c)
11
2
10
a
Lösung
Aufgabe 16
Man berechne für
1
4
6
a
,
2
1
2
b
,
0
2
3
c
die Vektorprodukte:
a) a b
b) ( ) (3 )a b c
c) ( 2 ) ( )a c b
d) (2 ) ( 5 )a b c
Lösung
10-Minuten-Aufgaben Aufgabe Lösung
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*Aufgaben zur Anwendung der Vektorrechnung
Aufgabe 1 (Resultierende Kraft). An einem Verteilermast greifen 4 Kräfte an, die in einer Ebene liegen. Ermitteln Sie rechnerisch den Betrag und die Richtung der Resultierenden
1 2 3 4RF F F F F
,
wenn 1| | 380F N
, 2| | 400F N
, 3| | 300F N
, 4| | 440F N
,
80 , 120 und 70 .
Lösung
Aufgabe 2 (Resultierende Kraft).
Ein Wagen wird an drei Seilen gezogen. Wie groß müssen 3| |F
und 3 sein, damit am
Wagen eine resultierende Kraft von 1000N nur in x-Richtung wirkt?
Gegeben: 1| | 700F N
, 2| | 600F N
, 1 60 , 2 45 .
Lösung
Aufgabe 3
Gegeben sei ein Körper, der sich nur entlang der Richtung a
bewegen kann. Auf
diesen Körper wirkt eine Kraft
20
20
10
F N
. a
ist gegeben durch
2
1
2
a
.
a) Wie groß ist der Betrag der Kraft | |F
? b) Welchen Winkel schließen der Kraftvektor und der Richtungsvektor ein? c) Welche Kraft wirkt auf den Körper in Richtung a
?
d) Man zeige, dass der Kraftvektor
5
12
1
F
senkrecht zu a
steht.
Lösung
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Aufgabe 4 (Drehmoment). Ein starrer Körper in Form einer Kreisscheibe ist um eine Symmetrieachse drehbar gelagert. Eine im Punkt P angreifende Kraft erzeugt ein Drehmoment
M r F
.
Seien
1
1
2
F N
und
2
( ) 1
1
r P m
.
a) Welchen Winkel schließen ( )r P
und F
ein? b) Man berechne das Drehmoment M und seinen Betrag.
c) Welche Kraft rF
wirkt in Richtung ( )r P
?
Lösung
Aufgabe 5 (Arbeit in konstantem Kraftfeld).
Gegeben sind die Punkte (1/ 1/ 2)A , (2 /1/ 3)b und (4 / 0 /1)C . Unter der Einwirkung der konstanten Kraft (1/1/1)F bewegt sich ein Massepunkt von A nach B . Wie groß ist die verrichtete Arbeit (Kräfteeinheit 1N, Längeneinheit 1m), falls a) die Masse sich auf dem kürzesten Weg von A nach B bewegt? b) die Messe sich von A nach B längs der Strecken AC und CB bewegt?
Lösung Aufgabe 6 (Drehmoment).
An einem Quader wirken 3 zu den Koordinatenachsen parallele Kräfte F1
100 N,
F2
150 N und F3
120 N.
a) Man bestimme die resultierende Kraft RF
und das Drehmoment 0M
bezogen auf den Ursprung.
b) Wie groß ist der Betrag von RF
und 0M
?
Lösung
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10-Minuten-Aufgaben Aufgabe Lösung
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Aufgaben zur linearen Gleichungssystemen
Aufgabe 1 Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme a) 1 2 34 2 4 10x x x b) 1 2 32 7x x x c) 1 2 32 7x x x
1 2 3 3x x x 1 2 32 2 10x x x 1 2 32 8x x x
1 2 32 3 3 8x x x 1 33 5x x 1 33 5x x
Lösung Tipp
Aufgabe 2 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Systeme: a) 1 2 33 3x x x b) 1 2 3 6x x x c) 1 2 3 7x x x
1 2 33 5x x x 1 2 32 7x x x 1 2 32 7x x x
1 2 32 2 11x x x 1 2 32 2 11x x x
Lösung
Aufgabe 3 Man bestimme die Lösungsmenge der folgenden Systeme a) 1 2 32 3 4 4x x x b) 1 2 3 1x x x c) 1 2 3 1x x x
1 2 33 3 3 3x x x 1 2 33 3 3 1x x x
1 2 35 5 5 5x x x 1 2 35 5 5 5x x x
Lösung
Aufgabe 4 Welche Aussagen gelten für die entsprechenden homogenen Systeme?
Lösung
Aufgabe 5 (Maple) Lösen Sie Aufgabe 1-4 in Maple mit dem solve-Befehl.
Maple
10-Minuten-Aufgaben Aufgabe Lösung
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Aufgaben zu Matrizen und Determinanten
Lösungen in Maple
Aufgabe 1 Transponieren Sie die Matrizen
1 5 3
5 1 0
4 0 1
A
; 3 1 2
4 5 0B
; 3 2
2 5
8 10
C
.
Lösung Tipp
Aufgabe 2 Welche der folgenden Matrizen sind symmetrisch?
0 1 4 0
1 0 3 5
4 3 0 8
0 5 8 0
A
; 5 0 3
0 5 7
3 7 1
B
; 0
0 1
1 0
a b
C a
b
.
Lösung
Aufgabe 3 Man berechne für die Matrizen
3 4 0
1 5 3A
,
3 3
1 1
0 2
B
und 1 4 0
2 1 3C
.
- falls möglich - die folgenden Ausdrücke (man beachte, dass ()t die transponierte Matrix bezeichnet)
a) 2 tA C B b) 3t tA B C c) 2A C B .
Lösung
Aufgabe 4
Berechnen Sie 2A A A , 2B B B , A B und B A für die Matrizen
3 4 2
1 5 3
0 1 0
A
,
1 5 3
2 1 0
4 0 3
B
.
Lösung
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Aufgabe 5 Invertieren Sie die Matrizen
1 2
2 3A
,
1 2 3
2 3 1
1 0 1
B
,
1 1 1
0 1 1
1 1 2
C
,
und prüfen Sie nach, dass Matrix multipliziert mit der inversen Matrix die Einheitsmatrix ergibt.
Lösung
Aufgabe 6 Für welche Werte von a ist die Matrix D invertierbar?
1 3
2 1
1 0
a
D a
a
Lösung
Aufgabe 7 Bestimmen Sie die Determinanten von
a) 2 3
4 5A
b) a a
Bb b
c) 3 11
2C
x x
.
Lösung
Aufgabe 8 Für welche reellen Parameter verschwinden die Determinanten
a) 1 2
1 2
; b) 1 2 0
0 3 1
0 0 2
Lösung
Aufgabe 9 Begründen Sie ohne Rechnung, warum die Determinanten folgender Matrizen Null sind
1 2 3
4 8 0
0.5 1 3
A
,
1 0 2
5 0 3
0 0 4
B
,
1 4 3 6
0 2 3 8
1 4 3 6
0 1 1 1
C
.
Lösung
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Aufgabe 10 Berechnen Sie
1 0 3 4
2 1 0 3det( )
1 4 1 5
0 2 2 0
A
;
1 0 5 3
1 2 2 1det( )
0 1 3 1
4 1 2 3
B
.
Lösung
*Aufgabe 11 (Vierpolschaltung). Gegeben ist ein elektrischer Vierpol, wie im untenstehenden Bild gezeichnet.
a) Stellen Sie über die Knoten- und Maschenregel einen Zusammenhang her, welcher die Eingangsgrößen 0u und 0i nur in Abhängigkeit der Ausgangsgrößen 1u und 1i darstellt.
(2 Gleichungen für die 2 Größen 0u und 0i !) b) Gehen Sie zur Verknüpfungsmatrix über und zeigen Sie, dass der Zusammenhang aus a) gegeben ist durch
0 1
0 1
u uM
i i
und
2 33
2
1 2 3 1 2
1 2 1
R RR
RM
R R R R R
R R R
.
c) Für die folgende Rechnung seien die Widerstände gegeben durch 1 2 1R R , 3 2R .
Wie groß sind die Eingangsströme, wenn 1 2u V , 1 1i ?
d) Bekannt sind jetzt die Eingangsdaten 0 2i und 0 4u V . Wie groß sind die zugehörigen
Ausgangswerte? e) Es werden 3 gleiche Vierpole hintereinander geschaltet.
Wie lautet nun der Zusammenhang zwischen ( 0 0,i u ) und ( 3 3,i u )?
Lösung
10-Minuten-Aufgaben Aufgabe Lösung
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Aufgaben zu Matrizen und LGS
Aufgabe 1 Zeigen Sie, dass die folgenden linearen Gleichungssysteme genau eine Lösung besitzen und bestimmen Sie deren Lösung mit der Cramer'schen Regel.
a) 1 2
1 2 3
1 2 3
2 3
7 4 18
3 13 4 30
x x
x x x
x x x
b) 1
2
10 3 4
4 5 3
x
x
.
Lösung
Aufgabe 2 Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme
a)
1
0
0
Ax
b)
0
1
0
Ax
c)
0
0
1
Ax
wenn
3 1 4
1 2 0
0 1 2
A
und 1
2
3
x
x x
x
.
Lösung
Aufgabe 3 Berechnen Sie die inverse Matrizen zu
a)
4 5 1
2 0 1
3 1 0
B
b)
3 1 4
1 2 0
0 1 2
C
.
Lösung
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Aufgabe 4 Lösen Sie die linearen Gleichungssysteme
a)
5
2
3
Bx
b)
0
1
1
Bx
c)
1
1
0
Bx
d)
0
1
0
Bx
wenn
4 5 1
2 0 1
3 1 0
B
.
Lösung
Aufgabe 5 Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:
2 1 1 2 1
4 3 2 5 1
4 2 5 5 0
2 4 1 5 a b
(*)
a) Für welche Werte von a ist (*) eindeutig lösbar? b) Für welche Werte von a und b hat das LGS keine Lösung? c) Für welche Werte von a und b hat das LGS unendlich viele Lösungen? d) Berechnen Sie det( )A .
e) Invertieren Sie die Matrix A für 1a .
Lösung
Aufgabe 6 Bestimmen Sie t so, dass det( ) 0A :
a)
2 3 4
2 1 2
0 0 4
t
A t
t
b)
1 2 2
5 6 2
5 5 3
t
A t
t
.
Lösung
*Aufgabe 7 (Chemische Reaktion).
Aus Quarz ( 2SiO ) und Natronlauge ( NaOH ) entsteht Natriumsilikat ( 2 3Na SiO ) und Wasser
( 2H O ). Für diese Reaktion gilt die Reaktionsgleichung
1 2 2 3 2 3 4 2x SiO x NaOH x Na SiO x H O .
Stellen Sie für die Anteile der Stoffe 1 2 3 4, , ,x x x x für welche die Reaktion abläuft ein LGS auf und
zeigen Sie, dass das LGS nicht eindeutig lösbar ist. Wie lauten mögliche Lösungen?
Lösung
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*Aufgabe 8 (Feder-Masse-System).
Zwei Schwinger mit Massen 1m und 2m und gleicher Federkonstanten 1c sind über eine dritte Feder
2c gekoppelt.
a) Stellen Sie für die Auslenkungen 1s t und 2s t die Bewegungsgleichung auf.
b) Wählen Sie als Ansatz für die Lösungen 1s t und 2s t zwei Schwingungen mit gleicher
Frequenz
1 1 coss t x t
2 2 coss t x t
und bestimmen Sie zwei Gleichungen, in denen nur noch ,x1
x2 und auftreten.
c) Wie lauten die Frequenzen für 1 2c c c und 1 2m m m ?
d) Bestimmen Sie die zugehörigen Auslenkungen 1x und 2x .
*e) Wie lauten die Frequenzen für 1 2c c c und 1 22m m ?
*f) Bestimmen Sie die zugehörigen Auslenkungen 1x und 2x .
Lösung
10-Minuten-Aufgaben Aufgabe Lösung
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Aufgaben zur Linearen Unabhängigkeit
Lösungen in Maple
Aufgabe 1
Spannen die Vektoren 1
2
1
3
a
, 2
1
0
2
a
, 3
3
1
1
a
den 3 auf?
Lösung Tipp
Aufgabe 2
Sind die folgenden Vektoren des 4 linear unabhängig?
1
2
1
3
0
a
, 2
0
1
0
2
a
, 3
3
0
1
4
a
, 4
5
2
2
3
a
.
Lösung
Aufgabe 3
Im 4 sind die Vektoren
1
2
0
1
3
a
, 2
0
1
2
3
a
, 3
1
1
0
0
a
, 4
0
2
1
0
a
,
0
5
2
6
b
gegeben. Stellen Sie b
als Linearkombination von 1 2 3 4, , ,a a a a
dar.
Lösung
Aufgabe 4
Untersuchen Sie folgende Vektoren des 5 auf lineare Abhängigkeit:
1
1
0
0
0
1
a
, 2
0
0
1
1
1
a
, 3
1
0
0
1
1
a
, 4
0
0
0
1
0
a
, 5
0
1
1
1
1
a
.
Lösung
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Aufgabe 5
Ist b
b im Erzeugnis von 1 2 3, ,a a a
?
a)
2
2
1
b
, 1
1
1
0
a
, 2
0
1
1
a
, 3
1
0
0
a
b)
1
0
0
b
, 1
1
1
0
a
, 2
0
1
1
a
, 3
1
0
1
a
.
Lösung Tipp
Aufgabe 6
Zeigen Sie, dass die Vektoren , ,a b c
eine Basis des 3 bilden und stellen Sie d
als
Linearkombination von , ,a b c
dar:
3
4
3
a
,
5
1
0
b
,
2
2
3
c
,
1
11
3
d
.
Lösung
10-Minuten-Aufgaben Aufgabe Lösung
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Aufgaben zu allgemeinen Funktionseigenschaften
Aufgabe 1 Berechnen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der folgenden Funktionen
a) 2f( ) 1x x b) ln(| |)y x c) 2
2f ( )
4 16
xx
x
d)1
f( )1
xx
x
e) | |f( ) xx e f)
2f( )
1
xx
x
Lösung Tipp
Aufgabe 2 Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten von
a) 2f( ) 4 16x x b)
³f( )
² 1
xx
x
c) f( ) sin( ) cos( )x x x
d) 2f( ) | 16 |x x e) 2
2
1f( )
1
xx
x
f)
1f( )
1x
x
Lösung Tipp
Aufgabe 3 Untersuchen Sie die Funktionen auf Monotonie, indem Sie den Graphen der Funktion (mit Maple) skizzieren
a) 4y x b) 1y x für 1x c) 3 2y x x d) 2xy e
Lösung
Aufgabe 4 Geben Sie zu dem in Aufgabe 1 bestimmten maximalen Definitionsbereich den Wertebereich der folgenden Funktionen an, indem Sie die Funktionen grob skizzieren
a) 2f( ) 1x x b) ln(| |)y x c) | |f( ) xx e
Lösung
Aufgabe 5 Geben Sie zu dem in Aufgabe 1 bestimmten maximalen Definitionsbereich den Wertebereich der folgenden Funktionen an, indem Sie den Funktionsgraphen diskutieren. Verwenden Sie Maple, um die Graphen der Funktionen zu skizzieren.
a) ²
f( )4 ² 16
xx
x
b)
1f( )
1
xx
x
*c) f( )
² 1
xx
x
Lösung
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Aufgabe 6 Schränken Sie den Zielbereich auf den Wertebereich ein und bestimmen Sie die Umkehrfunktion von
a) 0f : ? mit 1
2x y
x
b) 0f : ? mit 3x y x
c) f : ? mit 1
22x
x y e d) 1f : ? mit
1
1
xx y
x
*e) 1f : ? mit 2 1
xx y
x
Lösung Tipp
10-Minuten-Aufgaben Aufgabe Lösung
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Aufgaben zu Polynomen
Aufgabe 1 Bestimmen Sie die Polynomfunktion kleinsten Grades, welche durch die folgenden Punkte geht:
(-3 / 11); (-1 / 7); (0 / 5); (4 / -3)
Lösung
Aufgabe 2 Bestimmen Sie die Nullstellen folgender Funktionen:
a) 3 2f( ) 2 13 10x x x x
b) 3 2f( ) 2x x x
c) 4 3 2f( ) 2 25 50x x x x x
Lösung
Aufgabe 3
Berechnen Sie mit dem Horner-Schema den Funktionswert der Funktion f(x) an der Stelle 0x für:
a) 3 2f( ) 2 3 1x x x x ; 0 2x
b) 4 3 2f( ) 0.1 2 4x x x x ; 0 3x
Lösung
Aufgabe 4 Geben Sie Polynomfunktionen an, die keine Nullstellen besitzen.
Lösung
Aufgabe 5 Berechnen Sie mit dem Newton-Schema das Polynom vom Grade 3 , welches durch die Wertepaare (0 / 1); (1 / 0); (2 / 5); (-1 / 2) geht.
Lösung
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Aufgabe 6 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion und geben Sie die Linearfaktorzerlegung an.
a) 3 2f( ) 3 3 3 3x x x x
b) 4 2f( ) 13 36x x x
Lösung
Aufgabe 7 a) Welches Polynom möglichst niedrigen Grades geht durch die Wertepaare:
(-1, 0); (0, 1); (1, 2); (2, 6)? b) Welches Polynom möglichst niedrigen Grades geht durch die Wertepaare:
(-1, 0); (0, 1); (1, 2); (2, 6); (-2, -4)?
Lösung
Aufgabe 8 (Transferaufgabe)
a) Zeichnen Sie die Funktion 2( 2) 1x durch Verschiebung von 2x .
b) Zeichnen Sie die Funktion 24( 2)x bzw. 2(4 2)x durch Skalierung von 2x . c) Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mit Maple
Lösung
Aufgabe 9 (Transferaufgabe)
Begründen Sie, dass 1nx den Linearfaktor 1x enthält. Für welche n enthält 1nx den Linearfaktor 1x ? Für welche n ist 1x ein Linearfaktor von
1 2 ...( 1)n n n nx x x ?
10-Minuten-Aufgaben Aufgabe Lösung
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Aufgaben zu Gebrochenrationale Funktionen
Aufgabe 1 Bestimmen Sie Definitionslücken, Polstellen, Nullstellen und hebbare Lücken der folgenden Funktionen.
a) 2 2
2
x xy
x
b)
3 2
3 2
5 2 24
3 2
x x xy
x x x
c) 2
2
2 1
1
x xy
x
d)
2
1
1 1
xy
x x
Lösung Maple
Aufgabe 2 Bestimmen Sie die Asymptoten für x der folgenden gebrochenrationalen Funktionen
a) 3 24 2 4
2
x x xy
x
b)
3 2
2
4 2 4
1
x x xy
x
c)
3 2
2 1 3 2
5 6 12 8
x xy
x x x
d)
2 2
4
x xy
x
Lösung
Aufgabe 3 Bestimmen Sie für die folgenden gebrochenrationalen Funktionen: Nullstellen, Pole, Asymptoten im Unendlichen und skizzieren Sie grob den Funktionsverlauf
a) 2
2
4
1
xy
x
b)
3
2
2
4
xy
x
*c) 2
3 2
1 2
6 12 8
x xy
x x x
*d)
2
2
1
1
xy
x
Überprüfen Sie das Ergebnis graphisch mit Maple.
Lösung Maple
Aufgabe 4 Welche Funktion hat ein zur y-Achse (zum Ursprung) symmetrisches Schaubild?
a) 1
x b)
2
1
x c)
1
1x d)
2
1
1x e)
2 1
x
x
f) 2 1x g) 2 1x x h) 1
(2 2 )2
x x
Lösung
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Aufgabe 5 (Transferaufgabe) Geben Sie eine Funktion an, die in 4x und 2x eine senkrechte Asymptote hat und für x die Funktion 2 1x als Asymptote besitzt.
Lösung
**Aufgabe 6 (Filterschaltungen) Für eine Filterschaltung 1. Ordnung (d.h. einer Schaltung mit einem Energiespeicher) kann das Amplitudenverhältnis von Ausgangs- zu Eingangsspannung bei Wechselströmen beschrieben werden durch die Funktion
0 1
0 1
a a i
b b i
Dabei ist die Frequenz der Eingangsspannung und i die imaginäre Einheit. a) Zeigen Sie, dass man durch geeignete Wahl von 0a und 1a einen Tiefpass bzw. einen
Hochpass erhält. Ein Tiefpass hat die Eigenschaften lim 0
, 0 1 und ein
Hochpass hat die Eigenschaften lim 1
, 0 0 .
b) Ist es möglich, durch diese Funktion auch einen Bandpass oder eine Bandsperre zu beschreiben?
Lösung
10-Minuten-Aufgaben Aufgabe Lösung
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Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusfunktionen
Aufgabe 1 Skizzieren Sie (mit Maple) die Funktionen
xe 4xe 3xe ; xe 2 xe 1 xe
Lösung Tipp
Aufgabe 2 (Entladen eines Kondensators). Wird ein Kondensator mit der Kapazität C über einen Ohmschen Widerstand R entladen, so nimmt seine Ladung Q exponentiell mit der Zeit ab:
0( )t
RCQ t Q e .
Zu welchem Zeitpunkt sinkt die Ladung unter 10% des Anfangswertes 0Q ?
Lösung
Aufgabe 3 (Stromkreis mit Induktivität L und Widerstand R). Beim Einschalten einer Gleichspannungsquelle erreicht der Strom infolge der Selbstinduktion erst nach einiger Zeit den nach dem Ohmschen Gesetz erwarteten Endwert 0i . Es gilt:
0( ) 1R
tLi t i e
.
Berechnen Sie für 0 4i , 5R , 2,5L den Zeitpunkt, bei dem die Stromstärke 95% des
Endzustandes erreicht hat. Geben Sie eine Skizze der Strom-Zeit-Funktion an.
Lösung
Aufgabe 4 Bestimmen Sie die Parameter a und b der Funktion
2b xy a e so, dass die Punkte A=(0 / 10) und B=(5 / 3) auf der Kurve liegen.
Lösung
Aufgabe 5 Lösen Sie die folgenden Exponentialgleichungen
a) 2 2
2x x
e
b) 2 3xxe e (Hinweis: Man setze xt e )
Lösung
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Aufgabe 6 Welche Lösung besitzt die logarithmische Gleichung
ln 1.5 ln ln(2 )x x x
Lösung
*Aufgabe 7 (Logarithmisches Dekrement). Eine gedämpfte Schwingung wird beschrieben durch die Formel
sintx t Ae t
Skizzieren Sie qualitativ den Funktionsverlauf. Wie hängt der Funktionsverlauf von ab?
Die Dämpfung kann durch Messung der Amplitude zweier aufeinanderfolgender Schwingungen
bestimmt werden. 1
100T s sei die Periodendauer der gedämpften Schwingung, 0( ) 200x t und
0( ) 100x t T seien die Amplituden zweier aufeinanderfolgender Schwingungen. Bestimmen Sie
die Dämpfung , indem Sie das Verhältnis der beiden Amplituden berechnen.
Lösung
10-Minuten-Aufgaben Aufgabe Lösung
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Aufgaben zu Sinus- und Kosinusfunktionen
Aufgabe 1 Rechnen Sie vom Grad- ins Bogenmaß bzw. vom Bogen- ins Gradmaß um: Grad: 40.36° 278.19° Bogen: 1.4171 -5.6213
Lösung Tipp
Aufgabe 2 Leiten Sie aus dem Additionstheorem für den Kosinus die folgende Formel ab
2 2sin ( ) cos ( ) 1x x
Lösung
Aufgabe 3 Skizzieren Sie den Funktionsverlauf von
f( ) 2cos(2 )x x
indem Sie von cos( )x ausgehen.
Lösung
Aufgabe 4 Berechnen Sie die Funktionswerte
arcsin(0.5) 1
arcsin 22
arccos(0.5) 1
arccos 32
arctan( 3.128) arctan3
arccot arccot2
Lösung
*Aufgabe 5
Beweisen Sie die Formel 2sin arccos 1x x .
Hinweis: Setzen Sie arccosy x
Lösung
Aufgabe 6 Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen Amplitude A, Periode p, Nullphase und Phasenverschiebung 0x :
a) 2 sin(3 )6
y x
b) 5 cos(2 4.2)y x
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c) 10 sin( 3 )y x d) 2.4 cos(4 )2
y x
Lösung
Aufgabe 7 (Schwingkreis). Skizzieren Sie den Spannungsverlauf eines Schwingkreises:
2f( ) 3sin 0.2
50t t
Wie lautet die Kreisfrequenz bzw. die Frequenz f der Schwingung?
Lösung
10-Minuten-Aufgaben Aufgabe Lösung
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*Aufgaben zu Arcusfunktion
Aufgabe 1 Berechnen Sie:
a) arcsin(1) b) 1
arcsin( 2)2
c)1
arcsin( 3)2
d) arcsin(0.481)
e) 1
arccos( )2
f) 1
arccos( 3)2
g) arccos( 1) h) arccos(0.8531)
i) arctan(1) j) arctan( 3) k) 1
arccot( )3
m) 1
arccot( 3)3
Lösung Tipp
Aufgabe 2 Bestimmen Sie aus dem folgenden Ausdruck x:
a) arcsin( )4
x
b) arctan( ) 0.7749x c) arccos( ) 1.210x
d) arccot( ) 2.9208x e) 2arccos( ) 0.25x
Lösung
Aufgabe 3 Zeigen Sie, dass für positive a innerhalb des Definitionsbereiches gilt:
a) arcsin arccos( 1 ² )a a b) 2arccos arcsin( 1 )a a
c) 1arccot arctana
a
d) 2
arcsin arctan1
aa
a
Lösung Tipp
Aufgabe 4 Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke symbolisch (d.h. für erlaubte x-Werte): a) sin(arcsin( ))x b) cos(arccos( ))x c) sin(arccos( ))x
d) cos(arcsin( ))x e) sin(arctan( ))x f) tan(arccos( ))x
Lösung Tipp
Aufgabe 5 Bestimmen Sie den Definitionsbereich und zeichnen Sie mit Maple die Funktion in diesem Definitionsbereich. Geben Sie anschließend den Wertebereich an.
a) arccos( )y x x b) arcsin( )y x x c) arcsin( 1)2
y x
Lösung
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Aufgaben zu Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen
Aufgabe 1 Für welche ganzzahligen n gelten die Ungleichungen:
a) 62
110
n b) 8
2
11 1 10
n c) 101
101n
Lösung
Aufgabe 2
Bestimmen Sie den Grenzwert der Zahlenfolgen ( )n na für n :
a) 2 1
;4n
na n
n
b)
2 4;n
na n
n
c)
2
2
4 1;
3n
n na n
n n
Lösung
Aufgabe 3
Zeigen Sie, dass die Folge 2 1
4n
na
n
konvergiert. Prüfen Sie dies durch die Definition des
Grenzwertbegriffs explizit nach!
Lösung
Aufgabe 4 Bestimmen Sie die Grenzwerte der Funktionsausdrücke:
a) 3 2
1lim 5 3 4x
x x x
b) 2
20
2lim
3x
x x
x x
c) 2
lim1x
x
x
Lösung
Aufgabe 5 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
a) 2
21
1lim
1x
x
x
b) 2
3
12lim
3x
x x
x
c) 0
sin 2lim
sinx
x
x
d)
2
2 3 1lim
4 8x
x x
x
e ) 0
1 1limx
x
x
f)
2
2lim
4 1x
x
x x
Lösung
Aufgabe 6
Welchen Grenzwert besitzt die Funktion 1
f( )1
xx
x
für 1x ?
Lösung
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Aufgabe 7
Zeigen Sie, dass die Funktion für 0
f ( )2 für 0
x xx
x x
an der Stelle 0 0x unstetig ist.
Lösung
Aufgabe 8
Zeigen Sie, dass die Funktion
2 1für 1
f ( ) 12 für 1
xx
x xx
an der Stelle 0 1x stetig ist.
Lösung
Aufgabe 9
Lassen sich die Definitionslücken der Funktion 2
3 2f( )
1
x xx
x x x
stetig heben?
Lösung
Aufgabe 10 Berechnen Sie den Grenzwert der Folgen
a) 2
3 6 4
3 4;
1n
n na n
n n
b)
3 2
3sin ;
2 4
n nn
n
Lösung
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Aufgaben zu Differenzialrechnung
Aufgabe 1 Bilden Sie die erste Ableitung von:
a) 7 33 7
10 88 10y x x x
x x b) 3 7 44
3
812 7 11y x x x x
x
c) 15 20 10125 3 642 3 3y l l l l l
d) 5 3
9y a
a a e) 3 2y x x x x
f) ( )y x x x *g) ( ) 3ru r Lösung Tipp
Aufgabe 2 Bilden Sie die erste Ableitung von:
a) ( ) 3sin 5y x x b) ( ) cos 3 2y x x c) 3( ) 3 2y x x
d) ( )2 5
a xy x
x
e) 4( ) ln 5y x x f) ( ) coty x x
g) 32( )y x a bx c ex h) 24 3 2
( )x x
y x e
i) 2( ) 10 ln 1y x x
j) sinx t A t k) ( ) ln sin 2 3y x x l) 2( ) ln 1y x x
Lösung
Aufgabe 3 Bilden Sie mit Hilfe der Methode logarithmisches Differenzieren die erste Ableitung von:
a) 1fxx x b) sin
2f xx x c) 3fxxx x
d) 4f
axx x *e)
5fxx
x x *f) 6f
xax x
Lösung
Aufgabe 4 Bilden Sie die erste Ableitung von:
a) 2 2( ) ln( )y t a t b) 2
2
1ln
1
xy
x
c)
3
2
5ln
1
xy
x
Lösung
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Aufgabe 5 Gegeben seien die Funktionen:
sinh : mit 1sinh
2x xx e e (Sinushyperbolikus)
cosh : mit 1cosh
2x xx e e (Cosinushyperbolikus)
tanh : mit
sinhtanh
cosh
xx
x (Tangenshyperbolikus).
a) Zeichnen Sie den Graphen der drei Hyperbolikusfunktionen.
b) Berechnen Sie die Ableitung der Funktionen.
c) Beweisen Sie die Formel: 2 2cosh ( ) sinh ( ) 1x x .
Lösung
Aufgabe 6 Berechnen Sie die Ableitungen der Arkusfunktionen
arcsin( )x , arccos( )x , arctan( )x , arccot( )x als Ableitung der Umkehrfunktion der trigonometrischen Funktionen.
Lösung
Aufgabe 7 Berechnen Sie die Ableitung der Area-Funktionen:
Arsinh( )x und Arcosh( )x
als Ableitung der Umkehrfunktion von sinh und cosh . Lösung
*Aufgabe 8 Beweisen Sie die Potenzregel
( ) ny x x 1'( ) ny x n x mit Hilfe der logarithmischen Differenziation.
Lösung
*Aufgabe 9 Bestimmen Sie die Ableitung der Funktionen
a) 2sin 1y t a t b) ln( ) xy x x
c)
2 2
3 2
sin 2( )
1 ln 3
xx ey x
x x
d) sin
( ) sinx
y x x
e) ln 3( ) xy x a f) 1
1x x
y ex
Lösung
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Aufgabe 10 Bilden Sie die ersten Ableitungen der implizit gegebenen Funktionen:
a) 2sin ( ) ( )y x y x x b) ln( ( )) ( ) 0y x y x x c) 3ln cos 2x y xe y x x x
Lösung
Weitere Aufgaben zum Differenzieren
Aufgabe 11 Bilden Sie jeweils die erste Ableitung. Was gibt die erste Ableitung an?
1. 2 4f( ) 3 xx x e 7. f( )1
x x
x
e ex
e
2. 2f( ) (4 )xx x e 8. 2
6f( )
36
xx
x
3. 2f( ) ( cos( ))x x x 9. f( ) cos(2 1)xx e
4. 2f( ) ( sin( ))x ax ax 10. 1
2f( )x
x x e
5. 2f( ) (sin( ) cos( ))x x x 11. 2f( ) sin(ln(2 ) )x x x
6. 2 2f( ) ln( 1)x x x Lösung
Aufgabe 12
a) Wie lautet die 10. Ableitung von f( ) sin( )x x ? b) Wie lautet die 9. Ableitung von f( ) cos( )x x ?
Lösung
Aufgabe 13
Bilden Sie die ersten 4 Ableitungen von f( ) cos( )xx e x . Lösung
Aufgabe 14 Bilden Sie die Ableitung der Funktionen a) 4f( ) cosh( )xx x e x b) 5f( ) ln( )x x x c) 3 2f( ) (5 4 )( 5 )x x x x x
Lösung
10-Minuten-Aufgaben Aufgabe Lösung
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Aufgaben zur Anwendung der Differenzialrechnung
Aufgabe 1 Bestimmen Sie durch implizite Differenziation den Anstieg der Kreistangente im Punkt
0 0(4, 0)P y des Kreises ( 2)² ( 1)² 25x y
Lösung
Aufgabe 2 Gegeben sind die Funktionen:
(1) 41f ( ) 1x x ; 0 1x (2) 5
2f ( ) 3 ln(1 3 )x x ; 0 3x
(3) ( ) 2 cos( )y x x ; 0 4x
.
Berechnen Sie für eine der Funktionen
a) das totale Differential, b) das totale Differential am Punkte 0x ,
c) die Tangente im Punkte 0x ,
d) die Linearisierung am Punkte 0x .
e) Geben Sie einen Näherungswert für ( 0x +0.01) an und vergleichen Sie mit dem exakten Wert der
Funktion.
Lösung
Aufgabe 3 Ein gedämpftes Feder-Masse-System hat ein Weg-Zeit-Gesetz der Form
( ) cos( )tx t Ae t . a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt. b) Geben Sie eine Bedingung für die Nebenmaxima an.
Lösung
Aufgabe 4 Die potentielle Energie für ein Ion in einem Kristallgitter lautet näherungsweise
2 ²( )
²
a aV r D
r r
( 0)D
Zeigen Sie, dass ( )V r an der Stelle 0r a ein relatives Minimum besitzt.
Lösung
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*Aufgabe 5 (Brechungsgesetz)
Das Fermatsche Extremalprinzip besagt, dass das Licht den Weg zwischen zwei Punkten A und B in möglichst kurzer Zeit zurücklegt.
Die Laufzeit t beträgt:
1 2 1 2
( )² ²² ² d x bAO OB a xt
u u u u
wenn 11
cu
n und 2
2
cu
n die
Lichtgeschwindigkeiten im Medium (1) bzw. (2) sind. Leiten Sie das Brechungsgesetz ab.
Lösung
Aufgabe 6
Bei der Spiegelabmessung mit Skala und Fernrohr wird bei festem Skalenabstand s der Ausschlag x gemessen.
a) Wie beeinflusst ein nur kleiner Messfehler von x den Wert des Ausschlags ? Es gilt die Beziehung
arctanx
s
.
( 2s m, 250x mm, 1dx mm)
Welches ist der relative Fehler?
*b) Wenn sowohl der Ausschlag x mit einem Messfehler 1dx mm , als auch der Abstand s mit einem Messfehler 3ds mm behaftet sind, wie groß ist dann der absolut maximale Fehler bzw. der relative Fehler?
Lösung
Aufgabe 7 Wo besitzen die folgenden Funktionen relative Extremwerte?
a) 3 28 12 18y x x x b) 4 28 16z t t t
*c) ( ) 1 1u z z z d) ( ) xy x xe
e) ( ) sin( )cos( )y x x x *f) 2
2
2 2( )
6
x xy x
x x
Lösung
Aufgabe 8 Diskutieren Sie den Verlauf der folgenden Funktionen:
a) 2 1
3
xy
x
*b)
21
1
xy
x
*c)
ln( )xy
x
d) 2sin ( )y x
Lösung
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Aufgabe 9 Bestimmen Sie mit den Regeln von l'Hospital die folgenden Funktionswerte:
a) 2 2
limx a
x a
x a
b) 0
sin(2 )lim
sin( )x
x
x c)
2
0
sinlim
1 cos( )x
x
x
d) 2 2
2
2lim
3x
x a x
x ax
e) tan
limx
x
x f)
0limln( )x
x x
g) 2
40
2 2cos( )limx
x x
x
h)
0
1 1lim
sin( )x x x
i)
21
ln( ) 1lim
1x
x x
x
j) 0
lim x
xx
k) lim 1
x
x
a
x
Lösung
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*Aufgaben zu Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Aufgabe 1 Wie lauten die allgemeinen Lösungen der folgenden homogenen linearen Differenzialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:
a) ( ) 4 ( ) 0y x y x b) 3 ( ) 8 ( )y x y x c) ( ) ( ) 0; ( 0)ay x by x a
Lösung Tipp
Aufgabe 2 Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Anfangswertprobleme
a) 3 ( ) 18 ( ) 0y x y x mit (0) 5y
b) ( )
( ) 0d I t
L R I tdt
mit 0(0)I I
c) ( ) ( ) 0RCU t U t mit 0(0)U U
Lösung Tipp
Aufgabe 3 Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung der inhomogenen linearen Differenzialgleichungen 1. Ordnung
a) ( ) 2 ( ) 4y x y x x b) 22 ( ) 4 ( ) xy x y x e c) 1
( ) ( ) sin( )2
y x y x x
Lösung Tipp
Aufgabe 4 Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Anfangswertprobleme
a) 2 ( ) ( ) cos( )y x y x x mit (0) 0y
b) ( ) ( ) bLI t R I t U mit (0) 0I
c) ( ) ( ) bRCU t U t U mit (0) 0U
Lösung Tipp
10-Minuten-Aufgabe Aufgabe Lösung
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M21/23
Aufgaben zu Mathematik 2
Studiengang Sensorik
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Literatur/Theorie: Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch Springer-Verlag, 6. Auflage 2011
Stand 24.11.2011
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M22/23
Aufgaben zu Komplexen Zahlen
Lösungen in Maple
Aufgabe 1 Berechnen Sie: a) 2 ( )3 4 I ( ) 2 2 I b) ( )3 4 I ( ) 2 2 I c) ( )3 4 I ( )3 4 I
d) I2
1 2 I e) 2 3 I I3 4 f)
21 I
Lösung Tipps
Aufgabe 2 Berechnen Sie für die komplexen Zahlen
c1
2 ( )( )cos 45 I ( )sin 45 c2
6 ( )( )cos 100 I ( )sin 100 c3
3 e
I 6
.
a) b) c c) c d) c / e) c /
c
1c
2 1c
3 2c
3 2c
1 1c
3
Lösung Tipps
Aufgabe 3 Schreiben Sie in Exponentialform: a) c
13 3 3 I b) c
2 2 2 I c) c
3 1 3 I
Lösung
Aufgabe 4 Berechnen Sie
a) b) c c) c
c1
3
2
4
3
7
Lösung
Aufgabe 5
a) Bestimmen Sie alle 4.ten Wurzeln von c 3 I .
b) Berechnen Sie I . c) Wie lauten die 6 Einheitswurzeln in algebraischer und exponentieller Normalform?
Lösung
Aufgabe 6
a) Bestimmen Sie alle Nullstellen von z2 6 z 25 .
b) Bestimmen Sie alle Nullstellen von z 4 z 52.
*c) Bestimmen Sie alle Nullstellen von z z 2 z2 6 z 44 3
Lösung
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Aufgabe 7 (Maple) Bestimmen Sie den Maple-Befehl fsolve mit der Option complex alle komplexen Lösungen von
z6 2 z5 8 z4 24 z3 z2 30 z 0
Maple
Aufgabe 8 (Maple) Benutzen Sie die Maple-Befehle evalc, conjugate, Re, Im um für a 2 I , b I 1 , c 6 2 I
die folgenden komplexen Ausdrücke zu berechnen:
a) b) b 2 b 52 a bc c) a b a b* *
d) ca
b
e) f) ( )( )a b ( )a c * a b*
ca* b
c*
2
g) ( ) a b* c ( )( )a b 2 h)
(z* bezeichnet die konjugiert-komplexe Zahl von z)
Maple
Aufgabe 9 a) Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wie sein Zusatz? b) Geben Sie ein Beispiel zum FS an. c) Geben Sie ein Beispiel zum Zusatz an. d) Geben Sie ein Beispiel an bei dem der Zusatz nicht anwendbar ist.
Lösung
**Aufgabe 10 (Maple) Geben Sie mit Maple die ersten 20 Glieder und den Betrag der komplexen Zahlenfolge
, z
00 z n 1
zn
2c
für den Parameter c .35 .31 I an. Wählen Sie für den Parameter c .4 .4 I , c .25 .21 I , c .1 .1 I .
Was beobachten Sie?
Maple
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M24/23
Aufgaben zur Anwendung komplexer Zahlen
Lösungen in Maple
Aufgabe 1 a) Man berechne den komplexen und reellen Scheinwiderstand der in Figur 1a skizzierten
Reihenschaltung ( 1/s). 106
b) Man berechne den komplexen und reellen Scheinwiderstand der in Figur 1b skizzierten Parallelschaltung ( 1/s). 500
Lösung
Aufgabe 2 a) Berechnen Sie den komplexen Scheinwiderstand der in Figur 2a dargestellten Schaltung als Funktion von . b) Berechnen Sie den komplexen Scheinwiderstand der in Figur 2b dargestellten Schaltung bei einer Kreisfrequenz 1/s mit Maple. 300
Lösung
Aufgabe 3 Gegeben sind die beiden Wechselspannungen und . Man bestimme die durch
Superposition entstehende resultierende Wechselspannung
( )u1
t ( )u2
t
( )u2
t( )u1
t bei 1/s. 314
V und ( )u
1t 100 (sin t ) ( )u
2t 150 V
cos t
4
Lösung
Aufgabe 4 Die mechanische Schwingungen
( )y1
t 20 cm
sin t
10 und ( )y
2t 15 cm
cos t
6
werden ungestört zur Überlagerung gebracht. Wie lautet die resultierende Schwingung? (Man rechne in der Kosinusdarstellung!)
Lösung
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Aufgaben zu Integralrechnung
Lösungen in Maple
Aufgabe 1 Bestimmen Sie sämtliche Stammfunktionen von
a) b) ( )f x 4 x5 6 x3 8 x2 3 x 5 ( )f t 3 ( )sin t 4 (cos t )
c) ( )f t 2 e t 5t
1 d) ( )f x 1 2 x2 4 x3
2 x3
e) ( )f u 3 ( )sin u6u
7 u2 f) ( )f x 3 e x ( )cos x
Lösung Tipps
Aufgabe 2 Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Gleichungen:
a) de
( )x( )1 x x x e
( )xC
b) d ( )cos x e
( )sin xx e
( )sin xC
c) d
( )cos 3 x ( )sin 3 x x 1 sin2 3 x
6C
Lösung Tipps
Aufgabe 3 Lösen Sie die folgenden Integrale unter Verwendung einer geeigneten Substitution:
a) d
x2
1 x3x b) d
( )5 x 12
12
x c) d 3 1 t t
/ 2 3
0cos ( )sin( )x x dx
e) d
( )arctan z
1 z2z f) d
2 x 6
x2 6 x 12x d)
g) d
1x ( )ln x
x h) i) dx ( )sin x2 x d
3 x2 2
2 x3 4 x 2x
*l) d
-1
1
5 x5 x
x j) 1
20 1
t dtt k) d
0
2
sin 3 t
4
t
m) n) d
x2 e( )x3 2
x d
( )tan z 5
cos2 ( )z 5z
Lösung
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Aufgabe 4 Lösen Sie die Integrale mit der vorgegebenen Substitution:
a) d
x
16 x2x ( 4 ( )cos y ) b) d
0
r
1
r2 x2x (x x r ( )sin y )
c) d
x
1 x2x ( ( )sinh y ) *d) d
x2 1 x (x x ( )cosh y )
Lösung Tipps
*Aufgabe 5
a) Man bestimme das Integral d
2 x
1 xx mit der Substitution y 1 x
b) Man bestimme das Integral dx 1 x2 x mit der Substitution x ( )sin u
Lösung
Aufgabe 6 Berechnen Sie folgende Integrale durch partielle Integration:
a) b) c) d
x ( )cos x x dx2 e
( )xx d
( )ln t t
d) e) f) d
x ( )ln x x de x ( )cos x x d
sin2 ( t ) t
g)
h)
d
x ( )sin 3 x x d
( )arctan x x
Lösung Tipps
Aufgabe 7 Lösen Sie folgende Integrale durch Partialbruchzerlegung
a) d
1
x2 a2x b) d
4 x3
x3 2 x2 x 2x c) d
3 z
z3 3 z2 4z
d) d
2 x 1
x ( )x 3 2x e) d
x4 x3 3 x
x2 ( )x 2 ( )x 3x f) d
x4 x3 3 x2 2 x 1
( )x 1 ( )x 1 2x
Lösung Tipps
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Aufgabe 8 (Maple) Lösen Sie die folgenden Integrale mit Maple (int-, Int-Befehl):
a) d
( )ln xx
x b) c) d
( )cot x x d
x ( )cosh x x
d) e) d ( )sin x e x ( )cos x
d
x3
( )x2 1 ( )x 1x f) d
0
2
x 4x 1
x
g) d
[ ]( )ln x 3
xx h) d
12 x2
2 x3 1x i) d
x ( )arctan x x
Maple
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Aufgaben zur Anwendung der Integralrechnung (mit Maple)
Lösungen in Maple
Aufgabe 1 (plot-, solve-, int-Befehl)
Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen der Parabel 2( ) 2 1f x x x und der Geraden . ( ) 3 1g x x
Aufgabe 2 (int-Befehl)
Berechnen Sie die durchschnittliche Leistung P1T d
0
T
( )p t t
eines sinusförmigen
Wechselstromes für ( )p t u0
i0
( )sin t ( )sin t .
Aufgabe 3 (int-Befehl)
Für einen Wechselstrom ( )I t mit Periode T sind drei Mittelwerte definiert:
Ieff
1T d
0
T
( )I t 2 t (Effektivwert)
I1T d
0
T
( )I t t (linearer Mittelwert)
I1T d
0
T
( )I t t (Gleichrichtwert).
Berechnen Sie diese drei Mittelwerte
a) für ( )I t I0
sin (2 T ). t
b) für einen Sägezahnstrom.
Aufgabe 4 (proc-, diff-, print-Befehl) Erstellen Sie eine Maple-Prozedur zur Berechnung der Krümmung einer Funktion y=f(x) und bestimmen Sie die Bogenlänge und die Krümmung der Kurve: a) für zwischen y x3 x 0 und x 5 .
b) für y a
cosh
xa zwischen x 0 und x b .
Aufgabe 5 (proc-, diff-, int-, print-Befehl) Berechnen Sie die Schwerpunktskoordinaten der Fläche zwischen dem Graphen ( )f x h und
( )g xh x2
a2 für x aus . [ ],0 a
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Aufgaben zu Zahlen- und Potenzreihen
Aufgabe 1 Untersuchen Sie die folgenden Zahlenreihen auf Konvergenz
a) b) n 1
n e( )n2
n 1
2n
!n c)
n 1
n
12
( )n 1
d) n 1
3( )2 n
!( )2 n
e) n 1
( )-1n 1
52 n 1
( )n
( )
f) n 1
( )-1( )n 1
2 n 1 g)
n 1
1
2n n h)
n 1
2n
n
Lösung Tipps
Aufgabe 2 Untersuchen Sie die folgenden Zahlenreihen auf Konvergenz
a) n 1
1
n
b) n 1
( )sin n
n2 c)
n 1
( )-1 n n2 n 1
Lösung Tipps
Aufgabe 3 Berechnen Sie den Konvergenzradius von
a) n 1
n xn
2n b)
n 1
xn
n2 1 c)
n 1
n xn d) n 1
( )-1 n xn
n
e) n 0
xn
2n f)
n 1
n x( )n 1
n 1 g)
n 1
( )n 1 xn
!n h)
n 1
2n 1/n xn
und diskutieren Sie den Konvergenzbereich K.
Lösung Tipps
Aufgabe 4 a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius und den Konvergenzbereich der Potenzreihe
n 1
n e( )n
xn .
b) Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe n 1
n e( )n
( )x x0
n.
Lösung Tipps
Aufgabe 5
Für welche x konvergiert die Reihe i 0
i3
2i 1 ? xi
Lösung
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M210/23
Aufgaben zu Taylor-Reihen
Lösungen in Maple
Aufgabe 1 Berechnen Sie die Taylor-Reihe und diskutieren Sie den Konvergenzbereich K von
a) ( )f x1x am Entwicklungspunkt x
01
b) ( )f x1
( )1 x 2 am Entwicklungspunkt x
00
Lösung
Aufgabe 2 Berechnen Sie die Taylor-Reihe von f(x) durch Zurückspielen auf die geometrische Reihe:
a) 1
f ( )xx
am Entwicklungspunkt 0 1x .
b) 2
1f ( )
1x
x
am Entwicklungspunkt 0 0x .
c) f ( am Entwicklungspunkt ) ln( 1)x x 0 0x .
Lösung Tipps
Aufgabe 3 Bestimmen Sie die Taylor-Reihe von ( )artanh x am Entwicklungspunkt x
00 .
(Hinweis: Beachten Sie, dass x
( )artanh x1
1 x2 und artanh(0)=0).
Lösung Tipps
Aufgabe 4
Entwickeln Sie für die Funktion ( )f x ( )cos x am Entwicklungspunkt x0
3 in eine Taylor-Reihe.
Lösung Tipps
Aufgabe 5
Berechnen Sie die Taylor-Reihe von ( )f x x am Entwicklungspunkt x0
1 und diskutieren Sie
den Konvergenzbereich. (Bemerkung: Für x 0 liegt Konvergenz vor!)
Lösung
Aufgabe 6 Man entwickle die Funktion
( )f x 1
x2
2x
, 0 x ,
am Entwicklungspunkt x0
1 in eine Taylor-Reihe und gebe den zugehörigen Konvergenzbereich an.
Lösung
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M211/23
Aufgabe 7
Bestimmen Sie die Taylor-Reihe der Funktion ( )f x1
1 x an der Stelle x
00 und geben Sie
den Konvergenzbereich der Reihe an.
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M212/23
Aufgaben zur Anwendung von Taylor-Reihen
Lösungen in Maple
Aufgabe 1
Die Funktion ( )f x x e( )x
soll in der Umgebung des Nullpunktes durch ein Polynom bis maximal 3. Grades angenähert werden. Man bestimme mit der Taylorschen Reihenentwicklung diese Funktion.
Lösung
Aufgabe 2
Man berechne den Funktionswert von ( ) 1f x x an der Stelle 0.05x auf sechs Dezimalstellen
genau, wenn als Auswertepolynom ein Taylor-Reihenansatz mit dem Entwicklungspunkt
gewählt wird. 0 0x
Lösung Tipps
Aufgabe 3
Lösen Sie das unbestimmte Integral 20
1( )
1
xF x dt
t
, indem Sie den Integranden zunächst in
eine Taylor-Reihe am Entwicklungspunk 0 0x entwickeln und Sie anschließend den Term
gliedweise integrieren.
Lösung
Aufgabe 4 (Maple) Fällt ein Körper der Masse in eine Flüssigkeit, so ist der zur Zeit zurückgelegte Weg: m t
( )s tmk
ln
cosh
k gm
t 0 t .
Dabei ist g die Erdbeschleunigung und der Reibungsfaktor. ka) Man bestimme die Geschwindigkeit und die Beschleunigung . ( )v t ( )a tb) Man entwickle mit Maple den Ausdruck für kleine . k
Lösung
Aufgabe 5 (Maple)
Wie groß ist der maximale Fehler im Intervall
,0
13 , wenn man die Funktion
sin( )( )
xf x
x
um den Punkt x0
0 bis zur Ordnung 2 entwickelt? Zur Beantwortung der Aufgabe zeichne man
beide Funktionen.
Lösung
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M213/23
Aufgaben zu Funktionen in mehreren Variablen
Lösungen in Maple
Aufgabe 1 Berechnen Sie für die folgenden Funktionen alle partiellen Ableitungen erster Ordnung:
a) b) ( )f ,x y x3 x y y( )2
( )f ,a t 3 a x y ( )ln t 2 c) ( )f ,u v
u wu v
d) ( )f , ,x y z ( )arsinh x z22 e) ( )f , ,x
1x
2x
3x
2
f) ( )f ,a b ( )a x b x2( )-1
y e( )a b
Lösung
Aufgabe 2 Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung für die folgenden Funktionen:
a) ( )f ,x y 3 x2 4 x y 2 y2 b) ( )f ,x y 2 (cos 3 )x y c) ( )f ,x y ( )3 x 5 y 4
d) ( )f ,x yx2 y2
x y e) ( )f ,x y 3 x e( )x y
f) ( )f ,x y x2 2 x y
Lösung
Aufgabe 3 Gegeben ist die Funktion
( )f ,x y ( )sin x2 2 y . Man bestätige den Satz von Schwarz, dass f
xyfyx , indem man diese gemischten Ableitungen
explizit berechnet.
Lösung
Aufgabe 4 Berechnen Sie die partielle Ableitungen 2. Ordnung für die Funktion
( )f , ,x1
x2
x3
x1
( )ln x2
2x
3
2
Lösung
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M214/23
*Aufgabe 5
Wir betrachten differenzierbare Funktionen f1 , f
2 : und g : und bilden die
Verkettung
2 ( )h ,x
1x
2(g ,( ) )f
1x
1( )f
2x
2 . Berechnen Sie h und die ersten partiellen Ableitungen
von h in folgenden Fällen:
a) ( )f1
x1
a0
a1
x1 ; ( )f
2x
2b
0b
1x
2 und ( )g ,u1
u2
c0
c1
u1
c2
u2 .
b) ( )f1
x1
( )sin x1 ; ( )f
2x
2( )cos x
2 und . ( )g ,u1
u2
u1
u1
u2
2
Lösung
Aufgabe 6 Linearisieren Sie die Funktion
( )f , ,x y z y ( )cos z( )ln 1 x2
y
im Punkte a
, ,1 2
2 .
Lösung Tipps
Aufgabe 7 f ,x
0y
0Bestimmen Sie die Taylor-Reihe der Funktion an der Stelle ( ) bis zur Ordnung 2 in den
folgenden Fällen:
( )f ,x yx yx ya) ; ( ,x
0y
0 )=( ). ,1 1
b) ; (( )f ,x y e( )x2 y2
,x0
y0 )=( ). ,1 0
Lösung
Aufgabe 8 Berechnen Sie das totale Differenzial von
a) b) ( )f ,x y (sin x2 2 y ( )f ,x y 3 x2 4 x y 2 y2) ( )f , ,x y z x z y z x2 3 4( )f ,x y y (cos )x 2 yc) d)
Lösung
Aufgabe 9 Für den Durchmesser eines geraden Kreiszylinders hat man 6,0+/-0,003 gemessen, für die Höhe 4,0+/-0,02 . Wie groß ist der größte absolute und relative Fehler im Volumen des Zylinders? Wie groß ist der mittlere Fehler?
mm
Lösung Tipps
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M215/23
Aufgabe 10 Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen zunächst die kritischen Stellen und entscheiden Sie danach, ob (und wenn ja welche) es sich um lokale Extrema handelt:
( )f ,x y 3 y2 3 x y 18 y2
3 a)
b) ( )f ,x y ( )x y 12 x y2
c) ( )f ,x y x cos y
Lösung Tipps
Aufgabe 11 21 ( 2 )z x yWelcher Punkt der Fläche hat den kleinsten Abstand vom Punkt (1,-2,0)?
2 2( 1) ( 2) 1 ( 2 )d x y x y 2Hinweis: Der Abstand ist gegeben durch
Lösung
Aufgabe 12 Zeigen Sie, dass die Funktion
( )f , ,x y za
x2 y2 z2
Lösung der Laplace-Gleichung fxx
fyy
fzz
0 ist.
Lösung
Aufgabe 13 Zeigen Sie, dass die Funktion
( )f ,x y12
( )ln x y2 2
die partielle Differenzialgleichung fxx
fyy
0 erfüllt.
Lösung
Aufgabe 14
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche im Punkt . 2(3 )z x xy (1/ 0)P
Lösung Tipps
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M216/23
Aufgabe 15 Berechnen Sie den Gradienten und die Richtungsableitung in Richtung für die Funktion: a
a
24
)2a) ; mit ( )f ,x y ( 3 x x y .
a
3-12
( )f , ,x y z y ( )cos z( )ln 1 x
y
2
; mit . b)
Lösung
Aufgabe 16 In einer elektrischen Anordnung lässt sich die Potentialverteilung in der Form
( ) ,x y 0
x2 y2
d
43
( )x2 y2
23
0
d
43
angeben. a) Man bestimme alle partiellen Ableitungen der Funktion bis zur Ordnung 2.
( )E ,x y grad ( ) ,x y . b) Man berechne das elektrische Feld
11
n1
2 . c) Man berechne die Ableitung des Potentials in Richtung
( ) ,x y ( ) ,x y 0
div Ed) Man berechne die Ladungsverteilung durch ,
div E x
( )E1
,x y y
( )E2
,x y . wenn
Lösung
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M217/23
Aufgaben zur Anwendung von Funktionen in mehreren Variablen mit Maple
Lösungen in Maple
Aufgabe 1 (diff-Befehl) Bestimmen Sie mit Maple das totale Differenzial der Funktionen
( )z ,x yx2 y2
x y( )f , ,x y z ln x2 y2 z2
a) b) ( )z ,x y 4 x y 3 x e3 y
) .
Aufgabe 2 (D-, mtaylor-Befehl) Lösen Sie Aufgabe 6 und 7 aus den Aufgaben zu Funktionen mit mehreren Variablen mit Maple.
Aufgabe 3 (extrema-Befehl) Bestimmen Sie mit Maple die relativen Extrema der Funktionen
a) b) ( )f ,x y 3 x y x3 y3 ( )f ,x y x2 y2 x y2 2
c) d) . ( )f ,x y e( )x y
2 x4 2 y2( )f ,x y 1 x y 2 x y x2 y2
Aufgabe 4 (Prozedur Regressionsgrade) Bestimmen Sie mit Maple zu den folgenden Messreihen jeweils die Ausgleichsgerade: a) x 0 1 2 3 4 5 6 y 2.1 .81 -.5 -2.1 -3.4 -4.3 -5.8
b) x 1.5 1.8 2.4 3.0 3.5 4.0 4.5 6.0 y 1.9 2.1 2.8 3.4 4.0 4.1 5.1 6.1
Aufgabe 5 (Prozedur Regressionsgrade)
y a e( )b x
a) Bestimmen Sie die Exponentialfunktion vom Typ , die sich an die 4 Messwerte geeignet anpasst. x
i 0 1 2 3 y
i 5.1 1.75 1.08 .71
y c xn
, die sich an den folgenden Messpunkten anpasst? b) Wie lautet die Potenzfunktion vom Typ x
i 1 2 3 4 5 y
i 1 3.1 5.6 9.1 12.9
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M218/23
Aufgaben zum Einlesen und zur Interpretation von Messdaten mit Maple
Lösungen in Maple
Aufgabe 1 (readdata-, plot-Befehl) Kopieren Sie die Dateien daten1.txt, daten2.txt, daten3.txt in das Verzeichnis e:/temp/. a) Lesen Sie die Daten aus der Datei daten1.txt und mit dem readdata-Befehl ein und speichern Sie gleichzeitig die Daten in der Maple-Variablen daten1 ab: > daten1:=readdata(`e:\\temp\\daten1.txt`,2): Bestimmen Sie die Anzahl der Messdaten mit: > nops(daten1); Stellen Sie die Messdaten graphisch dar mit: > plot(daten1); b) Verfahren Sie unter (a) mit den Messdaten aus den Dateien daten2.txt und daten3.txt. Verwenden Sie die Maple-Befehle und (logarithmische Skalierung der y-Achse bzw. doppellogarithmische Skalierung), um den funktionalen Zusammenhang zu erkennen. Um welche Funktionstypen handelt es sich bei diesen Datensätzen?
logplot loglogplot
Aufgabe 2 (Prozedur Regressionsgerade) Suchen Sie auf der CD-ROM die Prozedur Regressionsgerade, lassen Sie diese Prozedur einmal ablaufen und speichern Sie das somit übersetzte Programm in die Datei e:/temp/regr.m > save Regressionsgerade, `e:\\temp\\regr.m`: ab. Mit > read `e:\\temp\\regr.m` kann das übersetzte Programm nun von einem beliebigen Worksheet aus eingelesen werden.
Aufgabe 3 (Prozedur Regressionsgerade) Bestimmen Sie mit der Prozedur Regressionsgerade() die Ausgleichsgerade für die Messdaten aus der Datei daten1.txt. > restart: > daten1:=readdata(`e:\\temp\\daten1.txt`,2): > read `e:\\temp\\regr.m` > Regressionsgerade(daten1);
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M219/23
Aufgabe 4 (Prozedur Regressionsgerade) Bestimmen Sie mit der Prozedur Regressionsgerade() die Ausgleichsgerade für die angepassten Messdaten aus den Dateien daten2.txt und daten3.txt. Beachten Sie, dass daten2[i] aus den Paaren [x[i], y[i]] besteht, das heißt
xi
daten2[i][1] und daten2[i][2] ! yi
Sie erhalten also die angepassten Messdaten z.B. über > for i from 1 to nops(daten2) > do > daten_neu := [daten2[i][1], ln(daten2[i][2])]: > od: Vor dem Aufruf der Prozedur konvertieren Sie den manipulierten Datensatz mit convert > daten_neu:=convert(daten_neu,'list'): wieder in eine Liste. Wie heißen die Funktionen zu den Datensätzen?
Aufgabe 5 (writedata-Befehl) Erzeugen Sie selbst einen Messdatensatz, den Sie mit > writedata(`e:\\tem\\file.txt`,...): in eine Textdatei schreiben. Ihr Nachbar soll diese Daten auf den funktionalen Zusammenhang analysieren.
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M220/23
Aufgaben zur Laplace-Transformation
Lösungen in Maple
Aufgabe 1 Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von
3 e( )4 t
b) c) 2 t2
4 (cos 5 t )a)
e( )( )t t
0( )cosh td) e) ( )S t t
0t f)
Lösung
Aufgabe 2 Bestimmen Sie unter Verwendung einer Tabelle / Maple die Laplace-Transformierten von
5 t4 e( )4 t
a) b) (sin t 5 ( )sin 2 t 3 (cos 2 t) ) c)
Lösung Tipps
Aufgabe 3 Geben Sie die Zeitfunktionen an, die zu den folgenden Laplace-Transformierten gehören:
5s 2
4 s 3
s2 4
2 s 5
s2 b) c) a)
Lösung
Aufgabe 4 Berechnen Sie die inverse Laplace-Transformation, indem Sie die Bildfunktionen in Partialbrüche zerlegen
2 s2 4( )s 2 ( )s 1 ( )s 3
3 s 1
( )s 1 ( )s2 1 b) a)
Lösung
Aufgabe 5 Zeigen Sie die Formel für die Laplace-Transformierte der zweiten Ableitung
L( f ") L( s2 f s f f) (0) '(0).
Lösung Tipps
Aufgabe 6 a) Zeigen Sie, dass die Laplace-Transformation linear ist, d.h.
c1
( )f1
t c2
( )f2
t c1
( )f1
t c2
( )f2
tL( L( L() ) ).
b) Zeigen Sie, dass die inverse Laplace-Transformation linear ist, d.h.
L ( ( )-1
c1
( )F1
s c2
( )F2
s c1
( )f1
t c2
( )f2
t) .
Lösung
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M221/23
Aufgaben zur Anwendung der Laplace-Transformation
Aufgabe 1 Lösen Sie die folgenden Differenzialgleichungen erster Ordnung
a) ' , y ( ) t ( )y t ( )y 0 y0 .
( ) t 2 ( )y t e( )5 t
b) 'y ( )y 0 0, .
Lösung
Aufgabe 2 Gegeben ist ein Kondensator mit Kapazität , der mit einem Ohmschen Widerstand in Reihe liegt. Zum Zeitpunkt wird eine Wechselspannungsquelle mit
Ct 0
( )UB
t sin( t ) angeschlossen.
Wie verhält sich die Ladung am Kondensator als Funktion der Zeit? ( )q t
Lösung
Aufgabe 3 Lösen Sie die Differenzialgleichung
y " ' mit ( )t y ( ) t 4 ( )y 0 0 und 'y ( )0 0 .
Lösung
Aufgabe 4 Lösen Sie die Differenzialgleichung
( ) t 2 ( )y t 2 e( )t
y " '( ) t 3 y mit ( )y 0 2 und ' . y ( ) 0 -1
Lösung
Aufgabe 5 Lösen Sie die Differenzialgleichung
y " mit ( ) t 2 ( )y t 0 ( )y 0 y0 und 'y ( )0 v
0 .
Lösung
Aufgabe 6 Gegeben ist ein Feder-Masse-System, welches reibungsfrei schwingen kann. (Federkonstante , Masse ). Zeigen Sie, dass dieses System durch die DG aus Aufgabe 5 beschrieben werden kann.
Dm
Lösung
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M222/23
Aufgaben zu Integration von Funktionen mit mehreren Variablen
Aufgabe 1 Berechnen Sie folgende Doppelintegrale
d
x=0
1
d
y=1
l
x2
yy x d
x=0
d
y=0
x
25 x2 y2 y x
a) b)
3 1
Lösung Tipps
Aufgabe 2 Zeigen Sie, dass der Wert der beiden Gebietsintegrale gleich ist
I1
d
x=0
2
d
y=0
x2
2 x y y x I2
d
0
4
d
y
2
2 x y x y
Um welches Gebiet handelt es sich?
Lösung
Aufgabe 3
Das Gebiet sei definiert durch untenstehende Skizze G Bestimmen Sie
Aa) den Flächeninhalt , ,x
sy
s ), b) den Flächenschwerpunkt (
Ix
Iy und . c) die Flächenträgheitsmomente
Lösung Tipps
Aufgabe 4 Bestimmen Sie folgende Dreifachintegrale
a) d
z=0
1
d
y=z-1
z
d
x=y
y 1
x2 x y z b)
d
z=-l
l
d
x=z
z2
d
y=x-z
x z
x y z y x z
Lösung Tipps
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Aufgabe 5
Gegeben ist der unten gezeichnete Rotationskörper, der durch Rotation
von an der y-Achse entsteht. Bestimmen Sie x2
a) das Volumen V , ,x
sy
sz
sb) den Schwerpunkt ( )
Izc) das Trägheitsmoment .
Hinweis: Verwenden Sie Zylinderkoordinaten!
Lösung
Aufgabe 6
Das Gebiet G sei definiert durch die nebenstehende Skizze.
a) Beschreiben Sie das Gebiet (Streifen parallel zur x-Achse).
b) Bestimmen Sie die Gesamtfläche.
c) Berechnen Sie das Flächenträgheitsmoment Jx . 31
2
0 0
x
x
x y
J y dy dx
.
Um welches Gebiet handelt es sich?
Lösung
Aufgabe 7
Das Gebiet G sei definiert durch die nebenstehende Skizze.
a) Beschreiben Sie das Gebiet durch eine Gebietszerlegung in Streifen parallel zur y-Achse.
b) Bestimmen Sie die Gesamtfläche A.
c) Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes 1/ 31
102
1 x
s
x y x
x x dy dxA
1/ 31
102
1 x
s
x y x
y y dy dxA
und
Lösung
*Aufgabe 8
Gegeben ist das nebenstehende T-Profil einer Alu-Schiene. Bestimmen Sie a) die Fläche A des Profils,
,xs
ysb) die Koordinaten des Schwerpunktes ( ),
Ix
Iy und , c) die Flächenträgheitsmomente
Ix
Iyd) die Flächenträgheitsmomente und ,bgl. des Schwerpunktes,
Ix
Iye) die Flächenträgheitsmomente und ,bgl. des Schwerpunktes
unter Verwendung des Steinerschen Satzes.
Lösung
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Aufgaben zu Mathematik 3
Studiengang Sensorik
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Literatur/Theorie: Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch Springer-Verlag, 6. Auflage 2011
Version 2.0 Stand 18.5.2011
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Aufgaben zu komplexen Zahlen Maple-Lösungen
Aufgabe 1
Berechnen Sie
a) 4 (1-5 ) - 3(-2 - 4 ) 2(4 -5)i i i b)
31
( 3 1)2
i
c) 5 13
3 4 5(2 )
i
i i
d)
302
1 2
i
i
e) i f)
274 50
1 3
i
i
Lösung
Aufgabe 2
Schreiben Sie in der exponentiellen Normalform
a) -2+ 12i b) 3- c) i 2 6i
d) 10 e) -10 f) i 1 ( 2 1)i
Lösung
Aufgabe 3
a) Wie lauten die 12. Einheitswurzeln in algebraischer und exponentieller Normalform?
b) Geben Sie alle Lösungen von 5 4 4z i in exponentieller Normalform an.
Lösung
Aufgabe 4
Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen von 6 5 4 3 22 8 24 30 0z z z z z z Lösung
Aufgabe 5 (Maple)
Verwenden Sie die Maple-Befehle evalc, conjugate, Re, Im, um für
2a i , 1b i , 6 2c i die folgenden komplexen Ausdrücke zu berechnen
a) b) 2 2 5b b ab
c c) ab d) * *a b
cb
a
e) f) *(( )( ))a b a c 2* *
*
ab a b
c c g) Re *( )ab c h) 2Im(( ) )a b
( bezeichnet die komplex-konjugierte Zahl.) *
Lösung
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Aufgabe 6
Beweisen Sie die Additionstheoreme, indem Sie die Formeln im Komplexen betrachten: a) sin( ) sin( )cos( ) cos( )sin( )x y x y x y
b) cos( ) cos( ) cos( ) sin( )sin( )x y x y x y
Lösung
Aufgabe 7
Zerlegen Sie die folgenden Funktionen in Real- und Imaginärteil, indem Sie durch z x iy ersetzen
a) 3( )f z z b) 1
( )1
f zz
c) 3( ) zf z e
Lösung
Aufgabe 8
Berechnen Sie ( ) izf z e für / 36 iz e .
Lösung
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Aufgaben zur Anwendung komplexer Zahlen Maple-Lösungen
Aufgabe 1
a) Wie groß ist die Summe der beiden Spannungen?
1 10 sin( 36.87 )u V t
2 13 sin( 112.62 )u V t
b) Wie groß ist die Summe der drei Ströme?
1 23 sin( 145 )i A t 2 23 sin( 25 )i A t, , 3 23 sin( 95 )i A t
Lösung
Aufgabe 2 (TA, Maple)
a) Gegeben sind die beiden Schwingungen 1( ) 5sin(3 /12)x t t und 2 ( ) 7sin(3 / 3)x t t .
Bestimmen Sie die Überlagerung graphisch. Lesen Sie anhand der Graphik die resultierende Amplitude und die Nullphase (wie?) ab. Berechnen Sie Amplitude und Nullphase dieser Überlage-rung.
b) Gegeben sind die beiden Schwingungen 1( ) 5sin(3.1 /12)x t t und 2 ( ) 7sin(3 / 3)x t t .
Bestimmen Sie die Überlagerung graphisch. Kommentieren Sie das Ergebnis. c) Gegeben ist die folgende Superposition von Schwingungen.
1 1 1
( ) sin( ) sin(3 ) sin(5 ) sin(7 )3 5 7
x t t t t t
Bestimmen Sie graphisch die resultierende Schwingung. Kann man das Ergebnis verstehen? Lösung
Aufgabe 3
Bestimmen Sie den komplexen Scheinwiderstand der angegebenen Schaltung als Funktion in .
Für welche Frequenzen verschwindet der Blindwiderstand? Wie groß ist dann die Phasenverschie-bung?
Lösung
Aufgabe 4
In einem RCL-Reihenschaltkreis (L=25mH, C=50 F , U=120V) eilt der Strom der Spannung bei
einer Kreisfrequenz von 400 1/s um 63,435° voraus. Wie groß ist der Ohmsche Widerstand R?
Lösung
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Aufgabe 5
Bestimmen Sie für die nebenstehende Schaltung den komplexen Gesamtwiderstand. Wie verhält sich dieser Widerstand für 0 und ?
Lösung
Aufgabe 6
Gegeben ist die nebenstehende Schaltung. Wie ist das Übertra-gungsverhalten dieser Schaltung, wenn Sie eine Sinuswechsel-spannung als Eingangsspannung wählen?
Wie ist das Übertragungsverhalten für 0 und ? Um welchen Schaltungstyp handelt es sich?
Lösung
Aufgabe 7
Gegeben ist die nebenstehende Schaltung. Wie ist das Über-tragungsverhalten dieser Schaltung, wenn Sie eine Sinus-wechselspannung als Eingangsspannung wählen? Wie ist das Übertragungsverhalten für 0 und ? Um welchen Schaltungstyp handelt es sich?
Lösung
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Aufgaben zu Differenzialgleichungen erster Ordnung Maple-Lösungen
Aufgabe 1
Lösen Sie folgende Anfangswertprobleme:
a) , 2 ( ) ( ) 0v t v t (0) 10 .v m s Wann ist scmtv 10)( ?
b) ( ) ( ) 0y x y x , Was ergibt sich für , wenn(0) 1.y 21)1( y .
c) ( ) 1
( )dN t
N tdt
, Wie groß ist , wenn 0(0) .N N 011 21)10819,1( NN ist?
Lösung
Aufgabe 2
Lösen Sie folgende inhomogenen Differenzialgleichungen:
a) ( ) ( ) 4y x xy x x c) )sin()(1
)( 0 tUtyRC
ty
b) 2( )( )
1xy x
y xx
e d) 20( ) ( ) tR
y t y t U eL
Lösung
Aufgabe 3
Lösen Sie folgende Differenzialgleichungen durch Trennung der Variablen:
a) 25 ))((
1)(
1
xyxy
x d) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 1 0y x y x y x
b) )(2)()1()1( xyxyxx e) 2( ) cos ( ( ))y x y x
c) 1
( ) ( ) ( )xy x y x y xx
f) 42 ( ) ( )y x y x x
Lösung
Aufgabe 4
Welche Lösungen haben folgende Anfangswertprobleme:
a) , c) )()sin()( 2 xyxxy 1)0( y yxyx )cos()sin( , 22 )( y
b) ( ) ( ) xy x y x e , d) 1)0( y 2( ) (1 ) 2 ( )y x x xy x , 4)1( yLösung
Aufgabe 5 (Maple)
Verifizieren Sie Ihre Ergebnisse aus 1 – 4, indem Sie die Differenzialgleichungen mit dem dsolve-Befehl von Maple lösen.
Maple-Lösungen
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Aufgaben zu Differenzialgleichungen erster Ordnung (2)
Aufgabe 6
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden linearen DG 1. Ordnung:
a) ( ) ( ) sin( )xy x y x x x c) ( ) 2 cos( ) ( ) cos( )y x x y x x
b) d) ( ) cos( ) ( ) sin( ) 1y x x y x x 2( ) ( ) 4xy x y x x
Lösung
Aufgabe 7
Wie lauten die allgemeinen Lösungen der folgenden linearen DG 1. Ordnung mit konstanten Koeffi-zienten:
a) c) ( ) 4 ( ) 0y x y x 3 ( ) 8 ( )y x y x e) 3 ( ) 18 ( ) 0y x y x
b) d) 2 ( ) 4 ( ) 0y x y x ( ) ( ) 0ay x by x f) ( )
( ) 0dI t
L RI tdt
Lösung
Aufgabe 8
Lösen Sie die folgenden DG 1. Ordnung durch Trennung der Variablen:
a) 2 ( ) ( )2x y x y x c) 2( ) (1 ( ))y x y x e) ( )( ) cos( )y xy x e x
b) 2( ) (1 ) ( )y x x xy x d) ( ) sin( ( ))y x y x x
Lösung
Aufgabe 9
Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme:
a) , ( ) cos( ) ( ) 0y x x y x 2)( 2 y c) 2 2( ) ( ) 1y x y x x , 1)2( y
b) ( 1) ( ) ( )x x y x y x , 21)1( y d) 2( ) ( ) 2 xy x y x e , 2)0( y
Lösung
*Aufgabe 10
Man löse durch Substitution mit ( )
( )y x
u xx
a) ( ) ( ) 4xy x y x x b) 2 214( ) ( )2x y x x y x c) 2 2( ) ( ) ( )x y x y x xy x
Lösung
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*Aufgaben zu Anwendungen DG erster Ordnung Maple-Lösungen
Aufgabe 1
Die radiale Geschwindigkeitsverteilung stationärer laminarer Strömung eines viskosen inkompres-
siblen Flüssigkeit (Viskosität ) längs eines Rohrstücks, in dem ein Druckabfall zp wirkt, kann
durch
1( ) 0z
p d dr v r
z r dr dr
beschrieben werden. Wie groß ist , wenn am Rand ( )zv r ( ) 0zv R gilt ?
Hinweis: Man beachte, dass p
constz
ist. Integrieren Sie daher, nach geeigneten Umformungen,
zunächst über r und bestimmen die Integrationskonstante für 0r0
. Integrieren Sie dann nochmals
über r und setzen anschließend die Randbedingung ( )zv R ein.
Lösung
Aufgabe 2
Eine chemische Reaktion lässt sich durch die Differenzialgleichung XBA
( ) ( ) ( )d x t k a x t b x tdt
beschreiben, wenn die Anzahl der Moleküle vom Typ A bzw. B zu Beginn der Reaktion a bzw. b (mit a < b) und x(t) die Anzahl der Reaktionsmoleküle zum Zeitpunkt t sind. (k ist eine Reaktionskonstante). a) Man löse die Differenzialgleichung für 0)0( x .
b) Wann kommt die Reaktion zum Stillstand?
Lösung
Aufgabe 3
Ein Körper rollt eine schiefe Ebene (Winkel ) hinunter und erfährt dabei Reibungskräfte (proportional zu seiner Geschwindigkeit) und einen Druckwiderstand (proportional zum Quadrat seiner Geschwin-digkeit). Es gilt:
)sin(2 gmvDvRvm
Die Anfangsgeschwindigkeit sei : 0)0( v
a) Was ergibt sich für mit )(tv 0D ?
b) Was ergibt sich für mit ? )(tv 0Rc) Bestimmen Sie für , )(tv 1m 10g , / 6 , 4 / 5D , 3R .
Lösung
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Aufgabe 4
Ein Körper besitzt zur Zeit die Temperatur und wird in der Folgezeit durch vorbeiströmende
Luft der konstanten Temperatur gekühlt gemäß der Gleichung
0t 0T
LT
)( LTTadt
dT , 0a
a) Wie ist der zeitliche Verlauf der Körpertemperatur T ? b) Gegen welchen Endwert strebt diese?
Lösung
Aufgabe 5
Die Sinkgeschwindigkeit eines Teilchens der Masse in einer Flüssigkeit wird beschrieben
durch die Differenzialgleichung
( )v t m
( )( )
dv tm kv t
dt mg
(k: Reibungsfaktor, g: Erdbeschleunigung). a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit und Position zu Zeiten für die Anfangswerte 0t und . 0(0)v v (0) 0s b) Welche Geschwindigkeit kann das Teilchen maximal erreichen?
Lösung
Aufgabe 6
Nimmt man eine Reibungskraft quadratisch zur Geschwindigkeit an, dann wird die Sinkgeschwindig-keit eines Teilchens der Masse in einer Flüssigkeit beschrieben durch ( )v t m
2'( ) ( )mv t kv t mg
(k: Reibungsfaktor, g: Erdbeschleunigung).
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit zu Zeiten für den Anfangswert . Welche
Geschwindigkeit kann das Teilchen nun maximal erreichen?
( )v t 0t 0(0)v v
Lösung
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Aufgaben zu lineare Differenzialgleichungssysteme
Lösungen in Maple
Aufgabe 1
Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A:
a) b) *c)
51
A 22
14219
7105
592
A
2272
011
210
A
Lösung
Aufgabe 2
Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem von
'( ) ( )y t Ay t
für die Matrizen A aus Aufgabe 1a) und 1b).
Lösung
Aufgabe 3
Geben Sie für das lineare Differenzialgleichung ng ssystem 2. Ordnu
''( ) ( )y t Ay t
mit den Matrizen A aus Aufgabe 1a) und 1b) ein Fundamentalsystem an.
Lösung
Aufgabe 4
Lösen Sie das Anfangswertproblem:
)()(2)(3)(' 3211 xyxyxyxy 2)0(1 y
)()(3)(2)(' 3212 xyxyxyxy 4)0(2 y
)(4)()()(' 3213 xyxyxyxy 0)0(3 y
Lösung
*Aufgabe 5
„Knacken“ Sie die Differenzialgleichung 2. Ordnung (*) 06'5'' yyy ,
indem Sie die Hilfsfunktionen ', 21 yyyy einführen und (*) als System schreiben und lösen! Wie
lautet die Lösung für die Anfangsbedingungen 0)0(',1)0( yy ?
(Hinweis: Verwenden Sie für die Rechnung Maple)
Lösung Maple
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*Aufgabe 6
a) Schreiben Sie das LDGS 2. Ordnung
1 2''( ) ( )
3 2y t y
t
als System 1. Ordnung und lösen Sie es. b) Welchen Lösungsweg gibt es mit Hilfe eines Satzes aus der Vorlesung?
(Hinweis: Verwenden Sie für die Rechnung Maple)
Lösung Maple
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Aufgaben zu Differenzialgleichungssystemen (2)
Aufgabe 7
Man bestimme ein Lösungsfundamentalsystem des LDGS erster Ordnung:
mit
502
040
202
A)()(' tyAty
(Prüfen Sie, ob die Eigenvektoren eine Basis des bilden!) 3
Lösung
Aufgabe 8
Man bestimme ein Fundamentalsystem des LDGS zweiter Ordnung:
)()('' tyAty
mit
42
21A
Lösung
*Aufgabe 9
a) Die Bewegungsgleichungen eines geladenen Teilchens im Magnetfeld lauten:
xzy
yzx
vBm
ev
vBm
ev
wenn .0
0
zB
B
Bestimmen Sie ein reelles Fundamentalsystem.
*b) Man bestimme eine partikuläre Lösung, wenn neben dem Magnetfeld B noch ein elektrisches
Feld
0
0
0 tEE wirkt, d.h.
tEvBm
ev
vBm
ev
xzy
yzx
0
Lösung
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Aufgaben zu Differenzialgleichungen n-ter Ordnung (1)
Aufgabe 1
Lösen Sie die folgenden homogenen linearen DG 2.Ordnung: a) b) 0)(3)('2)('' xyxyxy 0)(50)(20)(2 txtxtx
c) d) 0)(10)()2()( txtxtx 0)(4)( tt Lösung
Aufgabe 2
Bestimmen Sie ein reelles Fundamentalsystem für die folgenden DG n-ter Ordnung: a) b) ''( ) 4 '( ) 4 ( ) 0y x y x y x '''( ) 2 ''( ) 2 '( ) ( ) 0y x y x y x y x
c) d) '''( ) ( ) 0y x y x (4) ( ) ( ) 0y x y x Lösung
Aufgabe 3
Gegeben ist die inhomogene lineare DG 2.Ordnung )()()('2)('' xgxyxyxy
mit dem Störglied . Man ermittle eine partikuläre Lösung für )(xg )(xyp
a) b) 12)( 2 xxxg )cos(2)( xexg x c) d) )cos()( xexg x xexg )(
Lösung
Aufgabe 4
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden inhomogenen DG:
a) b) ''(''( ) 3 '( ) 2 ( ) 2y x y x y x ) 5 '( ) 6 ( ) 4 sin( )xy x y x y x xe x
c) '''( ) 2 ''( ) '( ) 1 cos(2 )xy x y x y x e x d) (4) 2( ) 2 ''( ) ( ) 25 xy x y x y x e Lösung
Aufgabe 5
Lösen Sie die folgenden Schwingungsprobleme: a) ;0)(4)( txtx 1)0(,2)0( xx (freie ungedämpfte Schwingung)
b) ;0)(2)()( txtxtx 3)0(,0)0( xx (freie gedämpfte Schwingung)
c) ;0)(12)(7)( txtxtx 0)0(,5)0( xx (aperiodischer Grenzfall) Lösung
Aufgabe 6
Wie lautet die Lösung der folgenden Anfangswertprobleme: a) )cos()(10)(6)( ttxtxtx ; 4)0(,0)0( xx
b) ;)(3)('2)('' 2xexyxyxy 1)0(',0)0( yy Lösung
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*Aufgaben zur Anwendung DG höherer Ordnung
Lösungen in Maple
Aufgabe 1
Das Wachstum einer Population genügt nach dem Mathematiker und Biologen Verhulst der einfachen nichtlinearen Differenzialgleichung
2( ) ( ) ( )p t ap t bp t .
Die Koeffizienten a und b wurden von Ökologen für die Menschheit auf
029,0a , 1210695,2 bgeschätzt. Auf welchen Grenzwert strebt danach die Erdbevölkerung zu?
Lösung
Aufgabe 2
Für die Ströme I1 und I2 in zwei miteinander gekoppelten ungedämpften Schwingkreisen ergibt sich das Differenzialgleichungssystem
11 1 12 2 11
1( ) ( ) ( ) 0L I t L I t I t
C 22 2 12 1 2
2
1( ) ( ) ( ) 0L I t L I t I t
C
mit den Selbstinduktionen und der Wechselinduktion 2211, LL 012 L .
Welche Form hat die Lösung I1(t)?
Hinweis: Stellen Sie eine Differenzialgleichung 4. Ordnung für I1 auf; verwenden Sie abkürzende Symbole für die auftretenden Koeffizienten und sonstige Ausdrücke.
Lösung
Aufgabe 3
Wiederkäuer lagern das ungekaute Futter zunächst im Pansen (Index 1), nach dem Kauen gelangt es in den Labmagen (Index 2) und von dort in die Eingeweide (Index 3). Setzt man die jeweils weiterge-gebene Menge proportional zur vorhandenen Menge an, ergibt sich das Differenzialgleichungssystem:
223 mkm 111 mkm 22112 mkmkm , , ,
0)0(3 mMm )0(1 0)0(2 mdas unter den Anfangsbedingungen , , zu lösen ist!
Lösung
Aufgabe 4
Viele Vorgänge in der Physik (harmonischer Oszillator, Trägheitsschwingung der Atmosphäre,...) kön-nen idealisiert durch das lineare Differenzialgleichungssystem
( ) ( )x t y t ( ) ( )y t x t,
beschrieben werden. (0) 1x (0) 0y , ? a) Welche Lösung hat dieses System für
b) Zeigen Sie, dass sich bei der numerischen Lösung des Systems mit dem Eulerverfahren
1i ii
x xy
t
1i ii
y yx
t
,
von Zeitschritt zu Zeitschritt der Abstand vom Ursprung (0,0) um einen konstanten Faktor wächst. c) Wie ist das Verfahren in diesem Fall zu beurteilen?
Lösung
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Aufgaben zu Differenzialgleichungen n-ter Ordnung (2)
Lösungen in Maple
Aufgabe 1
)2cos(11 x und sind Lösungen von )(cos1 22 x
04'))cot()(tan('' yyxxy
Überprüfen Sie diese Aussage. Bilden sie ein Fundamentalsystem?
Lösung
Aufgabe 2
Lösen Sie folgende homogene lineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung: 0)(40)(13)( tututu a)
0)(36)(12)( tvtvtv b)
c) 0)(34)('6)('' xyxyxyd) 0)(16)('' xzxz
Lösung
Aufgabe 3
Bestimmen Sie ein reelles Fundamentalsystem für
a) 0)(9)(''10)()4( xyxyxy0)()(2)( tututu b)
*c) 0)()()6( xyxy
Lösung
Aufgabe 4
Gegeben ist die inhomogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung
)()(2)('3)('' xsxyxyxy
mit der Inhomogenität s(x). Ermitteln Sie partikuläre Lösungen für
a) b) 6)( xs xxs )( c) d) xexs 2)( )cos()( xxs e) f) *g) xxexs 2)( ( ) cos( ) xs x x e)cos(104)( xxxs
Lösung
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Aufgabe 5
Lösen Sie die Schwingungsprobleme 0)(16)( txtx (0) 3, (0) 4x x a)
0)(2)(2)( txtxtx (0) 2, (0) 0x x b)
0)(40)(13)( txtxtx (0) 3, (0) 0x x c)
Lösung
Aufgabe 6 (Maple)
Lösen Sie die folgenden Differenzialgleichungen mit Maple, indem Sie den dsolve-Befehl verwenden:
a) )sin()(9)(''10)()4( xxyxyxy b) xexyxyxy 12)(6)('7)('''
)cos()(2)(')(''2)(''' xxyxyxyxy c)
d) xexyxyxyxy 26)(8)('12)(''6)('''
Lösung
Aufgabe 7 (TA) 2 3,x xe e lautet. a) Geben Sie eine DG 2.Ordnung an, deren Fundamentalsystem
b) Geben Sie eine DG 2.Ordnung an, deren Fundamentalsystem lautet. 2 2sin(3 ), cos(3 )x xe x e x2 3( ) xA Bx x ec) Wie muss eine DG 2. Ordnung aussehen, damit man mit dem Ansatz eine
partikuläre Lösung erhält?
Lösung
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Aufgaben zu Fourier-Reihen
Lösungen in Maple
Aufgabe 1
Bestimmen Sie für die unten skizzierten 2-periodischen Funktionen im Periodenintervall einen for-melmäßigen Ausdruck, suchen Sie nach eventuell vorhandenen Symmetrien und entwickeln Sie die Funktionen dann in eine reelle Fourier-Reihe: a) b)
Lösung
1
Aufgabe 2
Skizzieren Sie die folgenden T-periodischen Funktionen, bestimmen Sie das zugehörige Amplituden-spektrum und die Fourier-Reihe.
a) für
t
t
e
etf )(
2
2
0
0T
T
t
t
b) 2
( )h
T tf t
h
für 2
2
0 T
T
t
t T
Lösung
Aufgabe 3
Geben Sie die komplexen Fourier-Koeffizienten der Funktionen aus Aufgabe 1 und Aufgabe 2a) an. Lösung
Aufgabe 4 (TA)
Geben Sie den Unterschied an zwischen der Fourier-Reihe und den Fourier-Koeffizienten. Welches ist der Unterschied zwischen ( )f t und der Fourier-Reihe von ( )f t .
Wie kann man das Amplitudenspektrum berechnen? Was sagt das Amplitudenspektrum aus? Inter-pretieren Sie die Zerlegung eines periodischen Signals in die Fourier-Reihe physikalisch.
Lösung
1
23 2
1 21 2
3
2 1 0
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Aufgaben zu Fourier-Reihen (Fortsetzung)
Aufgabe 5
Entwickeln Sie die Funktion , 2)( xxf 20 x , in eine Fourier-Reihe, wobei 2-periodisch
auf ganz fortgesetzt wird. Welchen Wert hat die Fourier-Reihe in
f0x x 2 und ?
Lösung
Aufgabe 6 (TA, Maple)
Gegeben ist die Funktion
0( ) ( )f t u t T t
im Zeitbereich . Setzen Sie die Funktion ungerade auf das Intervall [ ,0T ]0 t T fort. Setzen Sie
die Funktion anschließend -periodisch auf ganz fort. 2Ta) Zeichnen Sie für u die Funktion im Intervall [0 . 0 1, 2T , 2 ]Tb) Bestimmen Sie von der punktsymmetrischen Funktion die Fourier-Koeffizienten. Geben Sie für
die ersten drei von Null verschiedenen Koeffizienten explizit an. Was für
Konsequenzen hat das Verhalten der Koeffizienten? 0 1, 2u T
sin( / 2 )tc) Zeichnen Sie die Funktion und in ein Diagramm. Kann man das Verhalten verstehen?
Lösung
Aufgabe 7 (Anwendung)
In der unteren Abbildung ist der zeitliche Verlauf einer Kippspannung (Sägezahnimpuls) mit der Schwingungsdauer T angegeben. Geben Sie für 0 t T die Funktionsgleichung von u(t) an.
a) Bestimmen Sie das Spektrum des Zeitsignals. b) Wie verhalten sich die Fourier-Koeffizienten qualitativ für ? n
Lösung
Aufgabe 8
Zeichnen Sie die unten angegebenen Funktionen. Bestimmen Sie zu den Funktionen die Fourier-Koeffizienten unter Berücksichtigung möglicher Symmetrieeigenschaften. Stellen Sie die Fourier-Reihen der Funktionen auf.
a) für 2 x
it ode 4
8
8)(xf
4
20 xm Peri
b) für
x
xxf )(
40
04
x
x mit Periode 8
Lösung
u(t)
T 3T2T t
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Aufgaben zur Fourier-Transformation
Lösungen in Maple
Aufgabe 1
a) Berechnen Sie die Fourier-Transformation von
0
)(1
Atf
sonst
t TT22
für .
b) Setzen Sie TA 1 ))(( 1 fF und diskutieren Sie die Funktion bezüglich ihren Nullstellen und
das Verhalten für 0 .
c) Was ergibt sich für für
0
)(2
Atf
sonst
Tttt )( 00 ?
Lösung
Aufgabe 2
Bestimmen Sie das Spektrum des Dreiecksignals
0
)1()( T
tAtf für
Tt
Tt
1 Kommt die Frequenz im Signal vor? Wenn ja mit welcher Amplitude? Kommt die Frequenz
2
T
im Signal vor? Wenn ja mit welcher Amplitude? Besitzt das Signal einen Gleichanteil?
Lösung
Aufgabe 3
Beweisen Sie
atfFa
atfF 1 a) die Skalierungseigenschaft
tfFettfF ti 00
b) den Verschiebungssatz
Lösung
Aufgabe 4 2A Geben Sie die Fourier-Transformierte der skizzierten Funktion an:
Lösung
Aufgabe 5
Bestimmen Sie unter Benutzung der Eigenschaften der Fourier-Transformation die Transformierte von
)(t , )( 0tt , )()( 002 tttti und )sin( 0t .
Lösung
-T 0
A
T
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Aufgabe 6
Wie lautet die Faltung des Rechteckimpulses rect mit sich selbst?
1
1
t
t
1
0
rect t für
Lösung
Aufgabe 7 (Maple)
Bestimmen Sie mit Hilfe der Maple-Befehle fourier und invfourier die Fourier-Transformierte der Funk-tion
1
1
t
t
0
1)(
2ttf für
3
cos( ) sin( )( ) 4F
und die Zeitfunktion des Spektrums .
Lösung
Aufgabe 8
)()( tfLtg wird für durch die Differenzialgleichung 0tEin lineares Übertragungssystem
)(2)(3)()( tgtgtgtf 0)0( g, ,
beschrieben. Geben Sie die Übertragungsfunktion (Systemfunktion) an. Wie lautet die Impuls- und die Sprungantwort des Systems?
Lösung
Aufgabe 9
Lösen Sie die Differenzialgleichung
( ) 3 ( ) 2 ( ) ( )y t y t y t r t , 0t
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für a) ( ) ( )r t t S t ( ) ( )r t t b) c) ( ) 6 ( )r t S tmit Hilfe der Impulsantwort, die in Aufgabe 8 mit Hilfe der Fourier-Transformation bestimmt wurde:
)()()( 2 tSeeth tt .
Welchen Anfangsbedingungen erfüllen die so gewonnen Lösungen?
Lösung
*Aufgabe 10
)()( trecttf )()( 2ttg mit der Antwort Ein lineares System reagiert auf das Eingangssignal .
Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion und die Impulsantwort.
Lösung
*Aufgabe 11
Für die in den Figuren a) – c) skizzierten Netzwerke sollen die Übertragungsfunktionen berechnet werden. Normieren Sie die Übertragungsfunktion so, dass geschrieben werden kann in der Form
20 1 2
20 1
( )( )
( )
a a i a i
Hb b i i
.
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a) b) c)
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Lösung
Aufgabe 12 (TA)
a) Was besagt die Fourier-Transformation aus der Sicht der Signalanalyse? Wie kommt der Unter-schied zwischen der Fourier-Transformation und den Fourier-Reihen zustande? Wie ist das Spektrum von periodischen Funktionen, wie das der nicht-periodischen? Kann man den Unterschied verstehen?
b) Gibt es ein reales Zeitsignal, welches als Spektrum ein Rechteck liefert? Welche Konsequenzen hat dies für die Realisierung eines idealen Tiefpasses?
c) Geben Sie ein mechanisches, schwingungsfähiges System an. Wie können Sie von diesem System die Resonanzfrequenzen bestimmen? Gibt es mehrere Möglichkeiten?
Lösung
Aufgabe 13
a) Die Impulsantwort eines linearen Systems ist gegeben durch )()()( 00 ttttth .
Wie lauten Sprungantwort und Übertragungsfunktion?
b) Die Sprungantwort eines Systems ist gegeben durch den Graph:
Wie lauten Impulsantwort und Systemfunktion?
c) Die Übertragungsfunktion )(H ist durch )cos()( 0 tH gegeben. Wie lauten Impuls-
und Sprungantwort?
Lösung
*Aufgabe 14 (Anwendungen, TA)
a) Konstruieren Sie einen Tiefpass, der sich aus einem Energiespeicher zusammensetzt, indem
Sie von einem Übertragungsverhalten der Form 1
( )1
Hi
ausgehen.
Welche unterschiedlichen Möglichkeiten haben Sie?
b) Konstruieren Sie einen Hochpass, der sich aus einem Energiespeicher zusammensetzt, in-
dem Sie von einem Übertragungsverhalten der Form ( )1
i
Hi
ausgehen.
Welche unterschiedlichen Möglichkeiten haben Sie?
Lösung
E L
U R C
E
L y(t)=I
RC
R E U
L C
3
2
1
3 1 2
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Aufgaben zu partiellen Differenzialgleichungen Lösungen in Maple
Aufgabe 1
)sin()cos(),( kxttxu Lösung der Wellengleichung Zeigen Sie, dass
02 xxtt ucu
0),(),0( tLxutxu
für kc /k n L ist. Für sind die Randbedingungen erfüllt. Lösung
Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass die Funktion für eine Lösung der Wärmelei-
tungsgleichung ist:
)sin(),( kxetxu t0
2kD xxt Duu
Lösung
Aufgabe 3
Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen die jeweiligen DGen erfüllen:
2 21
2( , ) ln f x y x y 0 yyxx ff ist Lösung der Laplace-Gleichung a)
21
222),,(
zyxzyxg 0 zzyyxx ggg ist Lösung der Laplace-Gleichung b) .
Lösung
*Aufgabe 4
a) Zeigen Sie, dass die durch
Dtx
eDt
txT 42
4
1),(
beschriebene Temperaturverteilung eines (unendlich ausgedehnten, nach Außen wärmeisolierten) Stabes der Wärmeleitungsgleichung genügt. T(x,t) stellt einen Wärmepol dar, bei welchem die Wärme von der ursprünglich sehr heißen Stelle bei x=0 nach beiden Seiten wegströmt. b) Wie sieht die Temperaturverteilung zur Zeit t=0, t=1/D, t=2/D aus? c) Wann erreicht die Temperatur an einer festen Stelle x=x0 ihren maximalen Wert?
(Rechnen sie mit x0=5cm, D=1,12cm2/sec (Cu)!) Lösung
*Aufgabe 5
a) Beweisen Sie, dass mit zwei beliebigen, zweimal stetig differenzierbaren Funktionen
die Funktion 1 2, :f f )()(),( 21 ctxfctxftxu Lösung der Wellengleichung ist.
b) Lösen Sie das Anfangswertproblem
02 xxtt ucu 0),( utxu 0)0,( vtxut , ,
für vorgegebene Funktionen u0,v0 mit dem Ansatz
)()(),( 21 ctxfctxftxu .
Lnkc) Was ergibt sich daraus für , )sin()(0 kxxu 00 v, ?
Lösung
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*Aufgabe 6
Der Halbraum x>0 sei von einer isotropen Substanz mit der Temperaturleitzahl D ausgefüllt. An der Grenzfläche x=0 herrsche eine Temperatur, die periodisch nach dem Gesetz
tTAtxT cos),0( 0
),( txT
schwankt. Diese Temperatur setzt sich in dem Halbraum als gedämpfte
Welle fort. (Ansatz: ))Re( )(0
tkxieTA a) Berechnen Sie die Temperatur als Funktion von Ort und Zeit. b) In welcher Tiefe ist die Amplitude der Temperaturschwankung auf den e-ten Teil abgesunken? Berechnen Sie (1.) das Eindringen der jährlichen Temperaturschwankung in die Erde
. 8 20( 2 10 / , 30 , ?)D m s T C
(2.) das Eindringen in Eisen (Wand eines Explosionsmotors)
. 5 20( 1,2 10 / , 400 , 2 3/ )D m s T C s
Lösung
Aufgabe 7
a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der partiellen Differenzialgleichung
0),(),( yxuyxu yyxx
mit dem Separationsansatz. b) Welche allgemeine Lösung genügt davon auch noch den Randbedingungen:
0),0( yxu für alle y,
0)0,( yxu für alle x,
0),( Lyxu für alle x? Lösung
*Aufgabe 8
Die Laplace-Gleichung lautet in Polarkoordinaten
011
2 u
ru
ruu rrr
a) Führen Sie einen Produktansatz )()(),( rRru)(r )(
durch und bestimmen Sie die gewöhnli-
chen Differenzialgleichungen für und R .
)cos()sin()( BA b) Zeigen Sie, dass für ein geeignetes die Gleichung Lösung der
Differenzialgleichung für )( ist.
c) Zeigen Sie, dass für ein geeignetes n die Gleichung eine Lösung der Differenzialglei-
chung für ist.
ncrrR )()(rR
Lösung
Aufgabe 9
Verwenden Sie einen Separationsansatz zur Lösung des folgenden Randwertproblems:
),(),( tyutyu yt
Lösung
