Aufgabensammlung zur Übung „Einführung in die ... · Aufgabensammlung zur Übung „Einführung...

Aufgabensammlung zur Übung„Einführung in die Mikroökonomik I:“

Lösungsansätze

(für Studierende der Politik-, der Regional-und der Verwaltungswissenschaften

sowie des Lehramtes Politische Bildung)

Allgemeiner Hinweis:Auf den nachfolgenden Blättern werden Lösungsan-sätze für einen Teil der bezeichneten Sammlung vonÜbungsaufgaben skizziert. Diese Skizzen sollen dieMitarbeit in der Übung (bzw. deren Vor- und Nachbe-reitung) erleichtern – mehr nicht!

Dipl.-Volksw. Albrecht KauffmannKarl-Marx-Str. 67Zimmernr.: 203Tel.: (0331) [email protected]

11–1

Aufgabe 11)

Transformationskurve im 2-Güter-Modell

• Repräsentiert alternative Produktionsmengen beitechnisch effizienter Produktion

• Begrenzt die Fläche der Produktionsmöglichkeiten(Produktionsmöglichkeitenkurve):

− Punkte auf der Transformationskurve – effizi-ente Produktion,

− Punkte innerhalb – ineffiziente Produktion,

− Punkte außerhalb – nicht erreichbar

• Anstieg der Transformationskurve widerspiegeltdie Opportunitätskosten der Produktion einer Ein-heit des Gutes x in Einheiten des Gutes y

• Bei konkaver (=neoklassischer) Produktionsfunkti-on: zunehmende Opportunitätskosten

• Stets abnehmender Verlauf

• Form der Transformationskurve wird von den For-men der Produktionsfunktionen bestimmt

11–2

x

Ax

x = f(Ax)

Produktionsfunktion des Gutes xy

Ay

y = g(Ay)

Produktionsfunktion des Gutes y

x

Ax

x = f(Ax)

y

Ay

y = g(Ay)

A = Ax + Ay

Ax = A−Ay

Ay = A−Ax

y = φ(x)

x = φ−1(y)

I. Quadrant: Transformationskurve.

II. Quadrant:Produktions-funktion des

Gutes x.

III. Quadrant: Faktorrestriktion.

IV. Quadrant: Produktionsfunktiondes Gutes y.

Graphische Herleitung der Transformationskurve:

Graphische Herleitung der Transformationskurveaus zwei konkaven Produktionsfunktionen

11–3

x

Ax

x = f(Ax)


Ay

y = g(Ay)


x

Ax

x = f(Ax)

y

Ay

y = g(Ay)

A = Ax + Ay

Ax = A−Ay

Ay = A−Ax

y = φ(x)

x = φ−1(y)



Gutes x.




Graphische Herleitung der Transformationskurve auseiner konkaven und einer linearen Produktionsfunktion

11–4

x

Ax

x = f(Ax)


Ay

y = g(Ay)


x

Ax

x = f(Ax)

y

Ay

y = g(Ay)

A = Ax + Ay

Ax = A−Ay

Ay = A−Ax

y = φ(x)

x = φ−1(y)



Gutes x.




Graphische Herleitung der Transformationskurveaus zwei linearen Produktionsfunktionen (I)

11–5

x

Ax

x = f(Ax)


Ay

y = g(Ay)


x

Ax

x = f(Ax)

y

Ay

y = g(Ay)

A = Ax + Ay

Ax = A−Ay

Ay = A−Ax

y = φ(x)

x = φ−1(y)



Gutes x.




Graphische Herleitung der Transformationskurveaus zwei linearen Produktionsfunktionen (II)

11–6

x

Ax

x = f(Ax)


Ay

y = g(Ay)


x

Ax

x = f(Ax)

y

Ay

y = g(Ay)

A = Ax + Ay

Ax = A−Ay

Ay = A−Ax

y = φ(x)

x = φ−1(y)



Gutes x.




Graphische Herleitung der Transformationskurve aus einerertragsgesetzlichen und einer linearen Produktionsfunktion

11–7

x

Ax

x = f(Ax)


Ay

y = g(Ay)


x

Ax

x = f(Ax)

y

Ay

y = g(Ay)

A = Ax + Ay

Ax = A−Ay

Ay = A−Ax

y = φ(x)

x = φ−1(y)



Gutes x.




Graphische Herleitung der Transformationskurveaus zwei ertragsgesetzlichen Produktionsfunktionen

11–8

x

Ax

x = f(Ax)


Ay

y = g(Ay)


x

Ax

x = f(Ax)

y

Ay

y = g(Ay)

A = Ax + Ay

Ax = A−Ay

Ay = A−Ax

y = φ(x)

x = φ−1(y)



Gutes x.




Graphische Herleitung der Transformationskurve aus einerertragsgesetzlichen und einer konkaven Produktionsfunktion

13–1

Aufgabe 13)

Wie kann es sein, daß Diamanten zur Verwendung alsSchmuck weitaus teurer sind als Wasser, ein lebens-notwendiges Gut?

KRW

P

P ∗D

P ∗W

q∗D q∗Wq

qsD

qsW

qdW , qd

D

KRD

Konsumentenrente bei Wasser und Diamanten

Der Abbildung liegen folgende Annahmen zugrunde:

• Identische Nachfragefunktionen für beide Güter• Konstante Grenzkosten• Homogene Güter• Wettbewerbsmärkte

13–2

• Angebotsseite („Arbeitswert“):

− Bei Diamanten: hohe Grenzkosten− Bei Wasser: niedrige Grenzkosten

• Nachfrageseite („Gebrauchswert“):

− Bei Diamanten: hoher Grenznutzen (hohe mar-ginale Zahlungsbereitschaft)

− Bei Wasser: geringer Grenznutzen (geringemarginale Zahlungsbereitschaft)

• Das gleichzeitige Wirken angebots- und nachfrage-seitiger Kräfte in Verbindung mit der Markttrans-parenz führt dazu, daß für Wasser ein nur relativgeringer Preis erzielt wird, obwohl es sicher Nach-frager gibt, deren Zahlungsbereitschaft wesentlichhöher sein dürfte. Entscheidend sind jedoch dieZahlungsbereitschaft des letzten Nachfragers, wieauch die Grenzkosten des letzten Anbieters.

• Die Form der Nachfragefunktion, geringer Grenz-nutzen und niedrige Grenzkosten führen zu einerhohen Konsumentenrente auf dem Wassermarkt.

• Eine spezielle Nachfragefunktion für Diamantenmit höherer Preiselastizität i.V. mit steigendenGrenzkosten ließe den Diamantenpreis noch weiteransteigen. (Warum?)

14–1

Aufgabe 14)

a) Wie ist der ökonomische Begriff„Elastizität“ definiert?

Elastizität =Relative Änderung der abhängigen Größe

Relative Änderung der unabhängigen Größe

• Sei x die unabhängige, y die abhängige Größe.Dann bezeichnen wir die Elastizität von y bezüg-lich x z.B. mit εy,x.

• Bogenelastizität (= Reagibilität): endlich kleinerZuwachs ∆x,

εy,x =∆yy

∆xx

=∆y∆xyx

=∆y

∆x

x

y

• Punktelastizität: Grenzwert der Reagibilität, wenn∆x → 0:

εy,x =dyy

dxx

=dydxyx

=dy

dx

x

y,

εy,x = xf ′(x)f(x)

= xw(y) =d ln y

d lnx.

14–2

• Interpretation der Elastizität:εy,x gibt an, um wieviel % sich y in Richtung desVorzeichens ändert, wenn x um 1 % steigt.

b) Bestimmen Sie die Preiselastizität der Nachfragefür ein Gut mit nichtlinearem Verlauf der Nachfrage-funktion geometrisch in einem P -x-Diagramm.

P

α

P0

0 x0

Q

R x

Z

x(P )

Nichtlineare Nachfragefunktion

εx,P = f ′(P )P0

x0= tan α

P0

x0= −0R

0Q

0P0

0x0

14–3

εx,P = −x0R

x0Z

0P0

0x0= −x0R

0P0

0P0

0x0= −x0R

0x0= −ZR

QZ,

bzw.

εx,P = −P0Z

P0Q

0P0

0x0= − 0x0

P0Q

0P0

0x0= − 0P0

P0Q= −ZR

QZ.

Geometrisch wird die Elastizität in einem Punkt Zalso vom Verhältnis der Abschnitte der durch Zverlaufenden Tangente an x(P ) der Länge QRbestimmt, die von Z geteilt wird. Diese Relation kannselbstverständlich auch auf den Koordinatenachsenabgelesen werden.

Insbesondere gelten:

εx,P = −1: die Tangente wird in der Mitte geteilt –Nachfrage fällt proportional bei steigendem Preis;

εx,P < −1, bzw. |εx,P | > 1: der Zählerabschnitt istgrößer als der Nennerabschnitt (preiselastische Nach-frage);

εx,P > −1, bzw. |εx,P | < 1: der Zählerabschnittist kleiner als der Nennerabschnitt (preisunelastischeNachfrage).

14–4

c) Was wird unter einer Kreuzpreiselastizität verstan-den?

Verbal: Relative Änderung der Nachfrage nach demGut y bei Änderung des Preises des Gutes xFormal (Punktelastizität):

εqy,px=

dqy

qy

dpx

px

d) Welchen Einfluß hat die Substitutionsbeziehungzwischen zwei Gütern auf den Wert der Kreuzpreis-elastizität?

• unabhängige Güter: εqy,px= 0

• substitutive Güter: εqy,px> 0

• komplementäre Güter: εqy,px< 0

15–1

Aufgabe 15)

geg.: Nachfragefunktion

x2 =(0, 5E + 5p1)

p2

mit: pi = Preis des Gutes i,xi = Nachfrage nach Gut i,E = Einkommen des Haushalts

a) direkte Preiselastizität der Nachfrage:

εx2,p2 = −0.5E + 5p1

p22

p2

x2= −0.5E + 5p1

p2

1x2

= −x2

x2= −1.

b) Kreuzpreiselastizität:

εx2,p1 =5p2

p1

x2=

5p1

p2

p2

0.5E + 5p1=

5p1

0.5E + 5p1> 0.

c) Einkommenselastizität der Nachfrage:

εx2,E =0.5p2

E

x2=

0.5E

p2

p2

0.5E + 5p1=

0.5E

0.5E + 5p1> 0.

16–1

Aufgabe 16)

Abbildung zur Konvexität von Indifferenzkurven:

x2

S1

0

S2

x1

T

U1(x1, x2)

U2(x1, x2)

λS1 + (1− λ)S2 � (S1, S2)

0 < λ < 1

18–1

Aufgabe 18)

Zeigen Sie bitte, daß ein Überschneiden der Indiffe-renzkurven inkonsistentes Verhalten des Konsumentenimpliziert.

Beispiel des Zwei-Güter-Falls (Abb. nächste Folie):

• Höherer Konsum beider Güter (z.B. in Q auf U1

im Vergleich zu R auf U2) impliziert höheren Nut-zen (Axiom der Nichtsättigung):

Q � R

• Das sowohl R und S als auch Q und S auf einund derselben Indifferenzkurve liegen, muß gelten

R ∼ S, Q ∼ S

• Axiom der Transitivität fordert Q ∼ R wennR ∼ S ∧Q ∼ S

= Widerspruch!

18–2

x2

R

0

Q

x1

S

U1(x1, x2)U2(x1, x2)

Einander schneidende Indifferenzkurven

19–1

Aufgabe 19)

rot

0 blau

a) Streichholzer

rechte

0 linke

b) Schuhe

frisch

0 schimmelig

c) Brot

20–1

Aufgabe 20)

geg.: x1 : Konsum von Zigarettenx2 : Konsum von SchnapsU = x1x2

5

3.75

2.5

1.25

0

5

3.75

2.5

1.25

0

25

20

15

10

5

0

x1

x2

z

x1*x2

Dreidimensionale Darstellung der Nutzenfunktion

20–2

Dreidimensionale Darstellungen derNutzenfunktion mit Höhenlinien

20–3

U = 0, 25U = 0, 50U = 0, 75U = 1, 00

U = 1, 50

U = 2, 00

U = 2, 50

U = 3, 00

x1

0 x2

x2 = Ux1

Einige Indifferenzkurven der Nutzenfunktion

20–4

b) Konsument Uwe ist es gewohnt, jeden Abend 2Schnäpse zu trinken und 2 Zigaretten zu rauchen.Wieviel müßte er trinken, um trotz Verzichts auf eineZigarette dasselbe Nutzenniveau zu erreichen?

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

x1

0 x2

x2 = 4x1

x1 : Zigaretten

x2 : Schnaps

Substitution einer Zigarette durch Schnäpse

20–5

c) Budget: 4 Euro, die wie folgt aufzuteilen sind:

4 = 0, 25x1 + x2

bzw.: x1 = 16− 4x2

Graphische Lösung: Näherungsweises Herantastendurch Einsetzen neuer Nutzenniveaus in die Hyperbelx1 = U

x2, bis Hyperbel die Budgetgerade tangiert.

2

2

4

4

6

6

8

8

10

10

12

12

14

14

16

16

x1

0 x2

x2 = Ux1

x1 : Zigaretten

x2 : Schnaps

20–6

d) Uwe möchte lieber 2 Euro spendiert haben, als 2Schnäpse. Warum?

2

2

4

4

6

6

8

8

10

10

12

12

14

14

16

16

x1

0 x2

x2 = Ux1

x1 : Zigaretten

x2 : Schnaps

“2 Schnapse spendiert”

20–7

4

4

8

8

12

12

16

16

20

20

24

24

x1

0 x2

x2 = Ux1

x1 : Zigaretten

x2 : Schnaps

Neues Budget: “2 Euro spendiert”

20–8

Exkurs: Lagrange-Ansatz

Sei z = f(x, y) eine Funktion zweier Veränderlicher,die durch die

Nebenbedingung φ(x, y) = 0

miteinander verknüpft sind.

z(x, y) kann 3-dimensional als Fläche im Raum darge-stellt werden, während

φ(x, y) als Kurve K ′ in der x, y-Ebene gezeichnetwerden kann.

Ist z(x, y) die – hier: zu maximierende – Zielfunk-tion, und φ(x, y) eine Restriktion, so können nursolche z erreicht werden, die auf der Kurve K liegen,die auf der 3d-Fläche z(x, y) liegt und als φ(x, y) indie x, y-Ebene projiziert werden kann.

20–9

(Man stelle sich vor, aus dem Körper, der von derx, y-Ebene und z(x, y) begrenzt ist, werde ein Stückso herausgeschnitten, daß das Messer immer senk-recht steht und „am Boden“ der Funktion φ(x, y)folgt.)

Besitzt die Kurve K ein Maximum, so ist genau diesder maximal erreichbare Wert der Zielfunktion (in derGraphik: E), dessen Wert sei c.

Sei H die „Höhenlinie“ der Funktion z(x, y), auf derE liegt. Auf allen Punkten von H gilt z(x, y) = c.

20–10

Die Projektionen von H und E auf die x, y-Ebeneseien H ′ und E ′.

Da H ′ und K ′ einander in E ′ berühren, müssen dieDifferentialquotienten (Ableitungen) von z(x, y) undφ(x, y) in diesem Punkt einander gleichen.

Es kann gezeigt werden, daß die partiellen Ableitun-gen von z(x, y) und φ(x, y) einander proportionalsind, d.h.:

∂z

∂x= −λ

∂φ

∂x,

∂z

∂y= −λ

∂φ

∂y

,bzw. ∂z

∂x+ λ

∂φ

∂x= 0,

∂z

∂y+ λ

∂φ

∂y= 0.

Die linken Seiten dieser Gleichungen sind genau dieAbleitungen der Funktion

L(x, y, λ) = z(x, y) + λφ(x, y).

20–11

Hieraus folgt die Multiplikatorregel:

1. Bilde mit Hilfe des unbestimmten Multiplikators λdie Hilfsfunktion (Lagrange-Funktion)

L(x, y, λ) = z(x, y) + λφ(x, y)

2. Leite die Funktion nach den Variablen x und ysowie λ ab (die letzte Ableitung ist die Nebenbe-dingung φ(x, y)), und setze alle Ableitungen Null

3. Es ergibt sich ein Gleichungssystem mit den Unbe-kannten x, y und λ. Löse dieses System!

4. In ökonomischen Fragestellungen kann der Multi-plikator λ häufig als „Schattenpreis“ interpretiertwerden, d.h. als Konsequenz aus einer quantitati-ven Veränderung der Nebenbedingung.

20–12

Nutzenmaximierung bei beschränktem Budget(Bezeichnungen wie in der Abb. auf Folie 20-9)

20–13

Exkurs: Nutzenmaximierung des Haushalts im Fallezweier Güter

Seien x1 und x2 Güter, p1 und p2 deren gegebenePreise, und B das gegebene Budget des Haushalts,dessen Nutzen entsprechend seiner NutzenfunktionU = U(x1, x2) maximiert werden soll.

Aus der Zielfunktion U = U(x1, x2)

und der Nebenbedingung B − p1x1 − p2x2 = 0

kann der Lagrange-Ansatz

L(x1, x2, λ) = U(x1, x2) + λ(B − p1x1 − p2x2) (1)

aufgestellt werden.Die Null gesetzten Ableitungen nach den Variablenx1, x2 und λ ergeben das Gleichungssystem

∂L∂x1

=∂U

∂x1− λp1 = 0 (2)

∂L∂x2

=∂U

∂x2− λp2 = 0 (3)

∂L∂λ

= B − p1x1 − p2x2 = 0. (4)

20–14

Die ersten beiden Gleichungen, nach λ umgestellt,lauten

λ =∂U∂x1

p1, λ =

∂U∂x2

p2; (5)

d.h., die mit den reziproken Güterpreisen gewichtetenGrenznutzen der Güter sind im Optimum gleich.

Außerdem gilt∂U∂x1

∂U∂x2

=p1

p2,

d.h., die Güterpreise verhalten sich zueinander wie dieRelation der Grenznutzen

Da die Relation der Grenznutzen gleich dem Betragder Grenzrate der Substitution ist, gilt somit: Preis-verhältnis = GRS bzw.

p1

p2=

∣∣∣dx2

dx1

∣∣∣.Aus Gl. (4) folgt

x1 =B − p2x2

p1, (6)

x2 =B − p1x1

p2. (7)

20–15

Somit lautet die Nutzenfunktion (bei festem x2)

U = U(x1, (B, x1))

bzw. (bei gegebenem B)

U = U(x1).

Lassen wir nun Variationen des Budgets (d.h., derNebenbedingung) zu, wird

U = U(x1(B)).

Unter Anwendung der Kettenregel ergibt sich für dieAbleitung der Nutzenfunktion

dU

dB=

∂U

∂x1

∂x1

∂B,

mit ∂x1∂B = 1

p1(Ableitung von Gl. (6)):

dU

dB=

∂U∂x1

p1.

Dies ist aber genau der in Gl. (5) bezeichnete Wertdes Lagrange-Multiplikators λ, der somit – hier– als Grenznutzen des Einkommens interpretiertwerden kann.

23–1

Aufgabe 23)

Tim S. ist 9 Monate alt und verspeist gerne Milchreis(M) und Karottenbrei (K). Seine Nutzenfunktionlautet

U(M,K) = 2(MK)0,5.

Tims Vater ist Ökonom, kennt den Geschmack seinesLütten und hält jeden Monat 120 Euro für dessenVerköstigung bereit. Die Preise je Mahlzeit betragenpM = 2 für Milchreis bzw. pK = 1 für Karottenbrei.

a) Wie teilt Tims Vater das Babynahrungsbudget auf,wenn er will, daß es seinem kleinen Racker so gut wiemöglich geht? Wie hoch ist dieser maximale Nutzen?

geg.: 2 Güter (M : Milchreis, K: Karottenbrei)pM = 2, pK = 1 (Güterpreise)U(M,K) = 2(MK)0,5 (Nutzenfkt. des Tim)y = 120 (Tims Position in Vaters Budget)

ges.: A∗M , A∗

K, U ∗

Lösung: Maximierungsproblem unter einer Nebenbe-dingung.

Max.: U(M,K) = 2(MK)0,5

u. d. NB. 120− pMM − pKK = 0

23–2

Lagrange-Ansatz:

L(M,K, λ) = 2(MK)0,5+λ(120−pMM−pKK) (1)

Ableiten nach M , K und λ:

∂L∂M

= M−0,5K0,5 − pMλ = 0 (2)

∂L∂K

= M 0,5K−0,5 − pKλ = 0 (3)

∂L∂λ

= 120− pMM − pKK = 0 (4)

(2) = (3):

λ =M−0,5K0,5

pM=

M 0,5K−0,5

pK

pK

√K

M= pM

√M

K

pK = pMM

K

K =pM

pKM (5)

23–3

(5) in (4):

120− pMM − pkpM

pKM = 0 (6)

120− 2pMM = 0

120 = 2× 2M

M = 30 −→ in (5):

K = 60

A∗M = 60, A∗

K = 60

U ∗ = 2√

30× 60 ≈ 85.

Tims Vater gibt 60 Euro für Milchreis und 60 Eurofür Karottenbrei aus; damit erreicht Tim ein Nutzen-niveau von ca. 85.

23–4

b) Tims Vater entdeckt, dass es bei einem Discounterneuerdings Milchreis gleicher Qualität günstiger gibt;fortan gilt pM = 50 Cent. Wie wirkt sich das auf denSpeiseplan aus?

geg.: pM = 0, 5

ges.: M , K

Lösung:

Der einmal aufgestellte (allgemeine) Lagrange-Ansatz kann wieder verwendet werden, so daß derneue Preis für Milchreis nur noch in die Budgetre-striktion (6) eingesetzt werden muß:

120− 0, 5M − 0, 5M = 0 (7)

120−M = 0

M = 120 −→ in (5) einsetzen:

K = 0, 5× 120

K = 60

Fortan muß Tim im Monat 120 Portionen Milchreisnebst 60 Gläschen Karottenbrei vertilgen.

23–5

c) Nachdem Tims Vater im Skiurlaub zu viel Geldverprasst hat, sieht er sich gezwungen, das Babynah-rungsbudget zu halbieren. Was bekommt Tim nun zuessen?

geg.: y = 60

ges.: M , K

Lösung:

Wir nehmen an, daß sich die Preise auf die Aufgaben-stellung von b) beziehen. Dann hat sich gegenüber b)ausschließlich das Einkommen geändert, so daß wiranstelle von (7) schreiben können:

60− 0, 5M − 0, 5M = 0.

Da das Budget halbiert wurde und die Haushaltsbe-schränkung eine lineare Restriktion ist, können wir,ohne groß zu rechnen, die Ergebnisse von b)halbieren:

M = 60

K = 30

Nunmehr muß sich Tim mit 60 Portionen Milchreisund 30 Gläschen Karottenbrei begnügen.

23–6

d) Was passiert, wenn sich Tims Präferenzen ändernund nun unter sonst gleichen Bedingungen gilt:

U(M,K) = 2K0,5M ?

Wir nehmen an, daß „sonst gleich“ sich auf b) be-zieht, und beschränken uns auf die Ermittlung derMengen. Der Vergleich beider Nutzenfunktionen läßtuns darauf schließen, daß Tim nun – anders als bisher– starken Unmut äußert, wenn er nach 2 PortionenMilchreis bereits zum Karottenbrei übergehen soll, fürden er zunehmend weniger Sympathie erkennen läßt.

Wollen wir es genau wissen, müssen wir jedoch denLagrange-Ansatz neu aufstellen (wir schreiben diePreise gleich in die Budgetbeschränkung hinein):

L(M,K, λ) = 2K0,5M + λ(60− 0, 5M − 1K) (1′)

Ableiten nach M , K und λ:

∂L∂M

= 2K0,5 − 0, 5λ = 0 (2′)

∂L∂K

= K−0,5M − λ = 0 (3′)

∂L∂λ

= 60− 0, 5M −K = 0 (4′)

23–7

(2’) = (3’):

4√

K =

√1K

M

M = 4K (5′)

(5’) in (4’):

60− 0, 5 ∗ 4K −K = 0

60 = 3K

K = 20 −→ in (5’):

M = 80

Um Tims gestiegenen Bedürfnissen gerecht zu wer-den, bekommt er nun 80 Portionen Milchreis und 20Gläschen Karottenbrei.

24–1

Aufgabe 24)

a) Was besagt die Slutsky-Gleichung?

Der von einer Preissteigerung eines Gutes ausgelös-te zu beobachtende Gesamteffekt der Änderung derNachfrage eines Haushalts nach diesem Gut kannals aus einem Substitutionseffekt und einem Einkom-menseffekt zusammengesetzt betrachtet werden, d.h.:

Gesamteffekt = Substitutionseffekt + Einkommenseffekt,

bzw.:

Steigung derunkompensier-ten Nachfrage-funktion

=

Steigung derkompensiertenNachfrage-funktion

−

Steigung derEngelkurve ×Gleichgewichts-menge,

bzw.:

dq∗1dp1

∣∣∣∣dy=0dp2=0

=dq∗1,k

dp1

∣∣∣∣dU=0dp2=0

− q∗1dq∗1dy∗

∣∣∣∣dp1=0dp2=0

24–2

Hintergrund:

Preisänderungen signalisieren dem Haushalt geänder-te Knappheitsverhältnisse und rufen Reaktionen desHaushalts hervor: Der Haushalt reagiert, indem erdie Zusammensetzung des von ihm auf Märkten be-zogenen Güterbündels korrigiert. Dabei kann per sekeine Aussage über die zu erwartende Richtung derReaktion getroffen werden: Im Allgemeinen wird derHaushalt weniger von einem Gut konsumieren, des-sen Preis gestiegen ist. Es lassen sich jedoch auchAusnahmen von diesem „normalen“ Verhalten be-obachten, deren Begründung nachgegangen werdenmuß.

Die Untersuchung des Nachfrageverhaltens erweistsich u.a. deswegen als schwierig, weil eine Preisän-derung (fast) immer auch zu einer Änderung desRealvermögens – also des verfügbaren Haushalsein-kommens – führt: Im Zwei-Güter-Fall führt z.B. ei-ne Preiserhöhung des Gutes 1 zu einer Drehung derBudgetgerade in Richtung Ursprung (man verdeutli-che sich dies augenblicklich an einer handgefertigtenSkizze). Damit werden jedoch die Wahlmöglichkei-ten des Haushalts (d.h., sein Handlungsspielraum)eingeschränkt: Einen Teil der ihm bisher zur Auswahlstehenden Güterkombinationen kann er sich nun nichtmehr leisten, das aus dem Güterkonsum realisierteNutzenniveau sinkt.

24–3

Der Idee des Nutzenkonzepts folgend, könnte manz.B. fragen: Wie verhielte sich der Haushalt gegen-über der Preiserhöhung eines Gutes (bei sonst kon-stanten Preisen), wenn man ihm soviel zusätzlichesEinkommen „von außen“ zuführte, daß sein Nutzen-niveau unverändert bliebe? In diesem Fall würde er –sofern die bis dato erreichte Indifferenzkurve der Nut-zenfunktion eine negative Steigung aufweist – einenTeil des teurer gewordenen Gutes 1 durch Gut 2 erset-zen (wir wollen den ursprünglichen Tangentialpunktvon Budgetgerade und Höhenlinie mit A bezeichnen;der dem neuen Preisverhältnis entsprechende Punktauf der Indifferenzkurve enthält die Bezeichnung B).Dieser Effekt wird als Substitutionseffekt bezeichnetund ist in seiner Richtung immer negativ bezüglichdes von der Preissteigerung betroffenen Gutes (et viceversa im Falle einer Preissenkung).

24–4

Der von der Änderung des Realeinkommens ausgelös-te Mengeneffekt kann nun ermittelt werden, indemman dem Haushalt das zum Nutzenausgleich zusätz-lich zugeführte Einkommen wieder „wegnimmt“: Nunbeschränkt sich der Handlungsspielraum des Haushal-tes auf die Möglichkeiten, die ihm die neue Budgetge-rade übrig läßt: Dabei zeigt sich, daß sowohl (q1, q2)-Kombinationen möglich sind, die einen im Vergleichzum Punkt B geringeren Konsum des teurer gewor-denen Gutes 1 ausdrücken (dies ist stets möglich undauch zu erwarten), als auch solche, die einen gegen-über der reinen Substitution bei konstantem Nutzenwieder stärkeren Konsum ebendieses Gutes ausweisen.Dem Haushalt stehen ja auch diese Möglichkeitendes Konsums ausdrücklich offen! Der Einkommens-effekt ist somit dem Substitutionseffekt gleich- oderentgegengerichtet; er kann ihn somit verstärken oder(teilweise) kompensieren.

24–5

In bestimmten Fällen kann die nach erfolgter Preis-steigerung beobachtete Konsummenge des Gutes 1sogar über dem vor der Preissteigerung beobachtetenVerbrauch liegen – vorausgesetzt, der Preisanstiegist nicht zu hoch. Robert Giffen (1837–1910)hat diesen Fall bei am Rande des Existenzminimumbefindlichen Haushalten möglicherweise beobachtet,daher heißen solche (absolut lebensnotwendigen) Gü-ter auch Giffen-Güter. Ihre tatsächliche Existenz istumstritten – gegenwärtige Untersuchungen in Chinalassen unter den Bedingungen der ärmsten Bevölke-rungsschichten die Giffen-Eigenschaft bei Reis undNudeln vermuten.

Güter, deren Konsum bei gestiegenem Einkommenzunimmt (et vice versa!, werden in der deutschspra-chigen Literatur als superior bezeichnet. Wird einAnstieg des Konsums durch einen Einkommensrück-gang ausgelöst, spricht man von einem inferioremGut. Güter, deren Nachfrage bei steigendem Preissinkt, werden in der deutschsprachigen Literatur alsnormale (im umgekehrten Falle als anomale) Gü-ter bezeichnet. Die Aufspaltung des Gesamteffektsder Nachfrageänderung in Substitutions- und Einkom-menseffekt läßt klar erkennen, daß ein anomales Gutimmer auch ein inferiores Gut sein muß (zeige, daßdies umgekehrt nicht der Fall ist!).

24–6

b) Erläutern Sie in einem 2-Güter-DiagrammEinkommens-, Substitutions- und Gesamteffekt derPreiserhöhung eines Gutes jeweils für superiore Güter,inferiore Güter, den Giffen-Fall, perfekte Komplemen-te und perfekte Substitute.

q2

q10

U2

A

q1

q2

U1

A′

q∗1

q∗2

B

q∗1,k

q∗2,k

SEEE

Einkommens- und Substitutionseffektim Falle zweier superiorer Güter

24–7

q2

q10

U2

A

q1

q2

U1

A′

q∗1

q∗2

B

q∗1,k

q∗2,k

SEEE

Teilweise Kompensation des Substitutionseffektsim Falle eines inferioren und eines superioren Gutes

24–8

q2

q10

U2

A

q1

q2

U1

A′

q∗1

q∗2

B

q∗1,k

q∗2,k

SEEE

„Durchschlagender“ Einkommenseffekt im sog. Giffen-Fall

25–1

Aufgabe 25)

Die gesamte, für Freizeit (F) und Arbeit zur Verfü-gung stehende Zeit sei 16h pro Tag (T = 16). HansE., dessen Präferenzen für Konsum und Freizeit durchdie Nutzenfunktion symbolisiert werden, kann aufdem Arbeitsmarkt einen Bruttolohn von 10 Euro er-zielen. Der Preis des Konsumguts sei auf 1 normiert.Hans hat kein anderes Einkommen neben seinem Ar-beitslohn.

geg.: T = 16h Zeitbudget: T = TF + TA

TF : Freiz., TA: Arbeitsz.U = U(TF , C) = T

1/2F + C1/2 C: Konsum

l = 10 Lohnsatzp = 1 Preisindex des Konsumgüterbündelsy = (T − TF )l (verfügbares) Einkommenτ = 0 Steuersatz

ges.: a) TA, TF , C

Lösung:

Es wird hier lediglich der Lösungsansatz aufgestellt.Versuchen Sie bitte, den Ansatz zu vervollständigen,und die Abbildungen selbständig nachzugestalten!

25–2

Lagrange-Ansatz:

Zielfunktion: Max. U !

Budgetrestriktion: (T − TF )l − pC = 0, mit p = 1 :

L(TF , C, λ) = T1/2F + C1/2 + λ((T − TF )l − C)

...

Ergebnisse:

TF =1611

TA =16011

C =160011

(U ≈ 13, 27)

Die nachfolgende Abbildung enthält eine vollständi-ge Indifferenzkurve. Beachte, daß bei der vorliegen-den Nutzenfunktion die Indifferenzkurven die Achsenschneiden!

25–3

pC

pC∗

0T ∗F 16 T

A

Lösungsskizze: vollständige Indifferenzkurve

25–4

TF TA

pC

pC∗

0 T ∗F 16 T

A

Lösungsskizze: relevanter Ausschnitt der vorigen Abbildung

25–5

b) geg.: τ = 0, 2lv = l(1 − τ) = 8 Euro (nach Steuerabz.

verfügb. Lohn)

ges.: TA, TF , S (S : Steuerlast)

Lösung:

L(TF , C, λ) = T1/2F + C1/2 + λ((T − TF )lv − C)

Im vorigen Ansatz ist lediglich der Lohnsatz zu modi-fizieren.

...

Ergebnisse:

TF =169

TA =1289

S =2569

(U = 12)

Da Hans E. nicht mehr über den vollen Lohnsatz ver-fügt, dreht sich in der Grafik die Budgetgerade. Inder vorliegenden Konstellation verringert sich sein Ar-beitsangebot.

25–6

TF TA

pC

pC∗

0 T ∗F 16 T

A

A′

Lösungsskizze: Arbeits-Freizeit-Entscheidungbei Besteuerung des Lohnes

25–7

c) Einführung einer Kopfsteuer in Höhe von S = 2569 :

Max. U u. d. NB.: (T − TF )l − S − C = 0.

...

Ergebnisse:

TF ≈1311

TA =16311

(U ≈ 12, 03)

Da Hans E. einen fixen Geldbetrag – unabhängig vonder Höhe seines Lohnsatzes! – an das Finanzamtüberweisen muß, verschiebt sich seine Budgetgera-de nach unten. In der Abbildung ist gut zu erkennen,welchen Teil seiner Arbeitszeit er für seinen Konsumverwendet (TC

A ) bzw. für die Erwirtschaftung seinerSteuerlast (T S

A). In der vorliegenden Konstellation ver-größert sich sein Arbeitsangebot.

25–8

TF TCA TS

A

pC

pC∗

0 T ∗F 16 T

A

A′

Lösungsskizze: Arbeits-Freizeit-Entscheidungbei Besteuerung der Person

26–1

Aufgabe 26)

geg.: FA(x1, x2) = x21 x2

2

FB(x1, x2) = 4x121 x

132

ges.: ∂FA

∂x1, ∂FA

∂x2, dx2

dx1

∣∣∣dFA=0

,

∂FB

∂x1, ∂FB

∂x2, dx2

dx1

∣∣∣dFB=0

.

Bestimmung der Grenzprodukte (=partielle Ableitun-gen der Produktionsfunktion nach dem Einsatz desjeweiligen Faktors) für FA:

∂FA

∂x1= 2 x1 x2

2

∂FA

∂x2= 2 x2

1 x2

Bestimmung der Grenzrate der technischenSubstitution für FA:

dx2

dx1

∣∣∣dFA=0

= −∂FA

∂x1

∂FA

∂x2

= −2 x1 x22

2 x21 x2

= −x2

x1.

26–2

Bestimmung der Grenzprodukte (=partielle Ableitun-gen der Produktionsfunktion nach dem Einsatz desjeweiligen Faktors) für FB:

∂FB

∂x1= 2 x

−12

1 x132

∂FB

∂x2=

43

x121 x

−23

2

Bestimmung der Grenzrate der technischenSubstitution für FB:

dx2

dx1

∣∣∣dFB=0

= −∂FB

∂x1

∂FB

∂x2

= −2 x−1

21 x

132

43 x

121 x

−23

2

= −2 x232 x

132

43 x

121 x

121

= −32

x2

x1.

26–3

Exkurs: Grenzrate der technischen Substitution

Die Grenzrate der technischen Substitution (GRTS)zweier Produktionsfaktoren x1, x2 gibt an, in welchemMaße auf den Einsatz eines Faktors verzichtet wer-den kann, wenn der Einsatz des anderen Faktors umeine Einheit erhöht wird, der Output F (x1, x2) aberkonstant bleiben soll.

Analogie zur Grenzrate der Substitution zweier Güter:Sie sagt uns, in welchem Maße in einer Zwei-Güter-Welt auf den Konsum eines Gutes verzichtet werdenkann, wenn der Konsum des anderen Gutes um ei-ne Einheit erhöht wird und das Nutzenniveau hierbeikonstant bleibt.

Das Vorzeichen der GRTS ist immer negativ. Dies im-pliziert, daß es sich bei der betrachteten Faktoralloka-tion um eine sinnvolle Kombination handelt, m.a.W.:die Isoquanten zeigen einen fallenden, konvexen Ver-lauf. Der Wert der GRTS ist gleich dem Anstieg derIsoquante im betrachteten Punkt.

26–4

x2

0 x1

α F (x1, x2)

GRTS = tanα

GRTS als Anstieg der Isoquante

26–5

Die GRTS der Faktoren x1 und x2 entspricht demumgekehrten Verhältnis ihrer Grenzprodukte. Diesläßt sich durch Nullsetzen des totalen Differentials –d.h., des Produkts des Vektors der partiellen Ableitun-gen der Produktionsfunktion mit dem Vektor endlichkleiner Variationen (Differentiale) der Produktionsfak-toren – zeigen:

dF =∂F

∂x1dx1 +

∂F

∂x2dx2 = 0

(Dies beschreibt den Umstand, daß sich der Outputnicht ändern soll.)

Somit gilt:∂F

∂x1dx1 = −∂F

∂x2dx2,

bzw.

dx1

dx2= −

∂F∂x2

∂F∂x1

.

Gelten die Annahmen vollständiger Konkurrenz aufden Faktormärkten, entspricht dies auch dem Verhält-nis der Faktorentlohnungen.

Frage: Welche Analogie zur GRS des Haushalts liegthierbei vor?

27–1

Aufgabe 27)

geg.: x(K, L) = K0,25L0,25 (Produktionsfunktion)w = 1, r = 4 (Faktorpreise)

ges.: a) Faktornachfragefunktionen L(x), K(x)b) kurzfristige Angebotsfunktion

Lösungsvorschlag: Kostenminimierung bei gegebenemOutput.

Das heißt: Finde alle Faktorkombinationen (K, L) fürbeliebige Ausbringungsmengen x(K, L), die bei derenHerstellung die geringsten Kosten verursachen!

Die jeweilige Minimalkostenkombination zeichnet sichvor allen anderen Kombinationen dadurch aus, daßdie den Output x repräsentierende Isoquante an dieserStelle den Anstieg −w

R – das Faktorpreisverhältnis –aufweist.

Der Expansionspfad bildet das Kontinuum aller Mini-malkostenkombinationen im Faktorraum ab. Werdendie Produktionsfaktoren effizient kombiniert, wächstdie Firma entlang dieses Pfades.

27–2

K

K∗(x1)

K∗(x2)K∗(x3)

0 L∗(x1) L∗(x2) L∗(x3) L

x1 x2 x3

Expansionspfad

α

x = K14 L

14

tanα = −wr

Minimalkostenkombinationen und Expansionspfad(x1 = 1, 5, x2 = 2, x3 = 2, 25)

27–3

Formal kann das Kostenminimierungsproblem

Min.! rK + wL u.d.NB. : x−K0,25L0,25 = 0

mit Hilfe des Lagrange-Ansatzes

L(K, L, λ) = rK + wL + λ(x−K0,25L0,25)

gelöst werden.

Es sind nun die Optimalitätsbedingungen festzustellen.

Die Ableitungen nach den Produktionsfaktoren lauten:

∂L∂K

= r − λ 0, 25K−0,75 L0,25 = 0,

∂L∂L

= w − λ 0, 25K0,25L−0,75 = 0;

r = λ 0, 25K−0,75 L0,25,

w = λ 0, 25K0,25 L−0,75;somit

r

w=

41

=L

K;

L = 4K.

Die Ableitung nach dem Lagrange-Multiplikator lautet

∂L∂λ

= x−K0,25L0,25 = 0.

27–4

Wird hierin z.B. L durch den bereits gefundenen Aus-druck substituiert,

x−K0,25(4K)0,25 = 0,führt

x = 4√

4√

K =√

2√

Kzu

K(x) =x2

2, L(x) = 2x2.

Dies sind die gesuchten Faktornachfragefunktionen.

b) kurzfristige Angebotsfunktion:

Sei das in der Firma gebundene Kapital kurzfristig aufden Bestand K fixiert. Die kurzfristige Kostenfunkti-on lautet dann:

C(x) = rK + wL(x),

bzw., unter Verwendung unseres Ergebnisses aus a)und des gegebenen Lohnsatzes w,

C(x) = rK + 1 ∗ 2x2.

Die kurzfristige Grenzkostenfunktion SMC(x) = dCdx

lautet entsprechend

SMC(x) = 4x.

27–5

Ist das Unternehmen Preisnehmer auf dem Markt(p = SMC), folgt daraus für das Angebot der Un-ternehmung

p = 4x bzw.

x(p) =14

p.

Die kurzfristige Durchschnittskostenfunktion SAC =C(x)

x lautet

SAC =rK

x+ 2x.

Kurzfristig lohnt sich ein Angebot für die Firma,wenn die Grenzkosten (= der Preis) über den Durch-schnittskosten liegen, d.h., es muß gelten

SMC ≥ SAC.

Die nachfolgende Abb. zeigt die kurzfristigen Kosten-funktionen für einen fixen Kapitalbestand von K = 8.Es läßt sich leicht nachrechnen, daß sich ein Angebotfür die Firma lohnt, wenn der Preis mindestens 16 be-trägt (Schnittpunkt von kurzfristiger Durchschnitts-und Grenzkostenfunktion).

27–6

0 1 2 3 4 5

020

4060

8010

0

x

C, S

MC

, SA

C

C(x)

SAC(x)

SMC(x)

Kurzfristige Kosten−, Grenzkosten− und Durchschnittskostenfunktionen,K=8, L variabel, Produktionsfunktion und Faktorpreise entspr. Aufg. 27

Kurzfristige Kostenfunktionen bei fixem K = 8

29–1

Aufgabe 29)

geg.: x(A,B) = c A0,5 B0,5 (Produktionsfunktion)pA = 2, pB = 4 (Faktorpreise)S = 200 (Budget)

ges.: a) GRTS und optimale FaktorkombinationA∗, B∗

GRTS:

GRTS = −∂x∂A∂x∂B

= −c ∗ 0, 5A−0,5B0,5

c ∗ 0, 5A0,5B−0,5 = −B

A

Optimale Faktorkombination:

Aus Aufgabe 21 ist bekannt (Analogieschluß vom Al-lokationsproblem des Haushalts auf das Allokations-problem der Unternehmung!), daß bei einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion die Ausgabenanteileder Unternehmung den Exponenten (=Produktions-elastizitäten) entsprechen. In unserem Fall wird dieUnternehmung somit im Optimum je die Hälfte desBudgets für die Faktoren A und B ausgeben. Hier-für bekommt sie – bei gegebenen Faktorpreisen – 50Einheiten des Faktors A und 25 Einheiten des FaktorsB.

Wer der Argumentation nicht folgen konnte, sehe bit-te bei seiner Lösung zu Aufgabe 21 nach, stelle an-schließend den Lagrangeansatz auf, und löse ihn.

29–2

Graphische Lösung:

B

200pB

B∗

0 A∗ 200pA

A

x

Allokationsproblem der Unternehmung

Es ist bekannt, daß die Grenzrate der Transformati-on dem (negativen) umgekehren Faktorpreisverhält-nis entspricht. Mit Hilfe des Strahlensatzes läßt sichleicht zeigen, daß die optimalen Faktoreinsatzmen-gen A∗ und B∗ jeweils in der Mitte zwischen dem Ur-sprung und den bei gegebenem Budget maximalen

29–3

Faktoreinsatzmengen liegen. In diesem Punkt beträgtder Anstieg der Isoquante −1

2.

b) Anstieg des Faktorpreises pB:

Die Budgetgerade der Unternehmung dreht sich imUhrzeigersinn um den Punkt 200

pA. Sie wird (in unserer

Darstellung) flacher; entsprechend weniger wird vomFaktor B eingesetzt und mehr von A (B wird durchA substituiert). Der erreichbare Output wird geringer.Die Faktorintensität des Faktors B, B

A, wird geringer.

c) Veränderung des Parameters c:

Der Parameter c, der z.B. für technischen Fortschrittstehen kann, transformiert die Höhen des „Produkti-onsgebirges“ linear. Die Draufsicht – also die Krüm-mung und Lage der Isoquanten – ändert sich dabeinicht. Folglich ist die GRTS unabhängig vom Para-meter c. ie Faktorintensität B

A ändert sich daher nicht,wenn c sich ändert.

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