Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Ausgleichungsrechnung Einleitung Stochastisches Modell a...
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Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Ausgleichungsrechnung
• Einleitung
• Stochastisches Modell a priori
• Ausgleichungsverfahren
• Stochastisches Modell a posteriori
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Ziele
• Kontrolle: Aufdecken von (groben) Fehlern
• Plausibilität: Wahrscheinlichste Schätzwerte für die wahren Werte der Unbekannten bzw. Messwerte
• Qualität: Angabe von Standardabweichungen für die Unbekannten und Messwerte
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Verteilung zufälliger Messabweichungen (1)
• Lambert: Theorie der Zuverlässigkeit der Beobachtungen und Versuche– zufällige Abweichungen gleicher Größe nach beiden
Seiten möglich– geringe Abweichungen häufiger als große– Kurve mit Wahrscheinlichkeit der Abweichungen ist
• symmetrisch• Abweichung Null hat höchste Wahrscheinlichkeit• Wendepunkt auf beiden Seiten• beidseitig asymptotische Annäherung an Null
• Weitere Untersuchung durch Gauß Normalverteilung
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Verteilung zufälliger Messabweichungen (2)
• Bedingung:
• oder in Matrizenschreibweise
• Gewichte pi umgekehrt proportional zu den Varianzen
2
1
2
1
min
ii
n
iii
pmit
vp
minPvvT
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Stochastisches Modell a prioriDie Gewichtsmatrix
• Beschreibung der stochastischen Zusammenhänge in einem Zufallsvektor: Kovarianzmatrix
• Für einen Beobachtungsvektor:– Hauptdiagonale: Varianz der Beobachtung– Außerhalb der Hauptdiagonale: Kovarianz
oder Null wenn stochastisch unabhängig
• Bezeichnet mit LL
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Festlegung von Gewichten (1)
• Gewichtung der Verbesserungen umgekehrt proportional zu den Varianzen
• Oft nur relative Genauigkeiten vorhanden
• Wir wählen Bezugsvarianz: Varianz der Gewichtseinheit a priorioder Varianzfaktor
• Kofaktormatrix
20
LLLL ΣQ20
1
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Festlegung von Gewichten (2)
• Elemente der Kofaktormatrix: Kofaktoren oder Gewichtsreziproke
• Gewichtung ist umgekehrt proportional zu den Varianzen bzw. Kofaktoren, also Inversion der Matrix
• Festlegung geschieht vor der Messung a priori VarianzenVarianz der Gewichtseinheit a prioristochastisches Modell a priori
1 LLQP
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Funktionales Modell (1)
• n Beobachtungen L um u Unbekannte X (Parametervektor) zu bestimmen
• Realisierungen L1, … Ln sind Näherungen des wahren Wertes
• Wir geben Schätzwert für den wahren Wert an:Ausgeglichene Beobachtungen
• Auch Parametervektor hat wahren Wert
L~
vLL ˆ
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Funktionales Modell (2)
• Oft Parameter näherungsweise bekannt: Genäherter Parametervektor X0
• Differenz ausgeglichener – genäherter Parametervektor: gekürzter Parameter-vektor x
• Funktionaler Zusammenhang: r Funktionen 1, … r mit den Parametern L und X
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Beziehungen
00
00
0
0
.
,
,
ˆ,ˆ
~,~ˆ
LLllLL
oXL
wXL
oXL
oXL
xXX
bzw
(ursprüngliches) funktionales Modell
Widerspruchsvektor
genäherter Beobachtungsvektorgekürzter Beobachtungsvektor‚gemessen minus gerechnet‘
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Linearisiertes funktionales Modell
• Funktionen 1, … r von beliebigem Typ
• Annahme: x und v klein gegenüber X0 und L
• Linearisierung über Taylor-Entwicklung nn
n
uu
LLL
LLL
XXX
XXX u
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
,ˆ,ˆ
111
0011
0
1
XLXL
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Jacobi-Matrix
• Modellmatrix (Designmatrix) A
• Matrix B
u
rrr
u
u
XXX
XXX
XXX
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
A
n
rrr
n
n
LLL
LLL
LLL
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
B
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Funktionales Modell
0 wBvAx
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Allgemeine Auflösung (1)
• Extremwertaufgabe mit NebenbedingungenLösung mit Lagrange‘schen Vektoren
• Partielle Ableitungen bilden und gleich Null setzen
wBvAxkPvvxv TTF 2),(
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Allgemeine Auflösung (2)
dF vBkvPvPvv ddd TTT 2
vBkvPvPvv ddd TTTT 2vBkvPvvPv ddd TTT 2
vBkvPv dd TT 22
Ableitung nach v:
Gleich Null setzen: TTTFoBkPv
v
22okBPv T
kBPv TkBPv T1
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Allgemeine Auflösung (3)
Ableitung nach x analog und es ergibt sich:
TTFoAk
x
2
okA T
0 wBvAx kBPv T1
wkBBPAx T1
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Allgemeine Auflösung (4)
• Gemeinsames Gleichungssystem:
• Auflösung durch Inversion:
o
w
x
k
0A
ABBPT
T1
o
w
0A
ABBPx
k11
T
T
Allgemeinfall der AusgleichungsrechnungAusgleichung bedingter Beobachtungen mit Unbekannten
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Hauptprobe
• Annahme war, dass x und v klein gegen-über X0 und L sind
• Annahme muss überprüft werden!• Einsetzen in ursprüngliches (nicht
linearisiertes) Gleichungssystem• Wenn nicht genügend genau erfüllt?
– Näherungswerte nicht gut genug– Funktionales Modell fehlerhaft– Rechenfehler
Iteration
Neu aufstellen
Geprüfte Programme verwenden
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Fehler im funktionalen Modell
• Hauptprobe zeigt Fehler im funktionalen Modell an
• Kandidat für Fehler ist die Funktion, bei der die Hauptprobe nicht aufgeht
• z.B. 3. Gleichung geht nicht auf – möglicherweise 3. Zeile der A-Matrix oder 3. Element des w-Vektors fehlerhaft
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Iterative Ausgleichung
• Ergebnis der Ausgleichung als Näherung für eine neuerliche Ausgleichung verwendet
• L, LL und B bleiben erhalten• A und w werden neu berechnet (hier
kommen die Näherungswerte der Unbekannten vor)
• Iteration so lange, bis Hauptprobe aufgeht• Iteration muss nicht konvergieren!
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Sonderfälle
1. In jeder Gleichung i kommt jeweils nur eine Beobachtung vor: Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen
2. Es treten keine unbekannten Parameter auf, die Gleichungen i beschreiben nur den funktionalen Zusammenhang der Beobachtungen: Ausgleichung bedingter Beobachtungen
3. In n Gleichungen tritt jeweils nur eine Beobachtung auf und in den übrigen r-n Gleichungen treten nur Unbekannte auf: Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen
• Pro Gleichung nur eine Beobachtung
• Gleichungen explizit nach Li auflösbar
• n Messgrößen, r=n Gleichungen, u Unbekannte
• Überschüssige Beobachtungen: nfv=n-u Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz)
XLoLX ˆˆ.ˆˆ bzw
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Art des Problems
Unterscheidung über die Redundanz:
• Redundanz < 0: unterbestimmt, nicht eindeutig lösbar
• Redundanz = 0: Problem eindeutig lösbar
• Redundanz > 0: Ausgleichungsaufgabe
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Funktionales Modell
)ˆ(
)ˆ(
)ˆ(
2
1
X
X
X
vL
n
Taylorentwicklung: B= –IModellmatrix A wie bisher
weiters: wLX )( 000)( LX
wLL 0lw
olIvAx bzw. lAxv
Verbesserungsgleichung
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Gewichtsmatrix
• Anwendung des Varianzfortpflanzungs-gesetzes auf gibt für die Kovarianzmatrix des gekürzten Beobachtungsvektors:
• Die Kofaktormatrix ergibt sich somit zu
• Somit erhalten wir dieselbe Gewichts-matrix P wie bisher.
lLL 0
LLll
LLll QQ
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Lösung
• Das Gleichungssystem vereinfacht sich zu
• Die Auflösung ergibt
• Normalgleichungsmatrix
• Verbesserungen:
• Ausgeglichene Beobachtungen:
o
l
0A
APx
k11
T
PlAPAAx TT 1
PAAN TPlANx T1 Normalgleichung
lIPAANv T1
vLL 0ˆ
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Hauptprobe
• Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen und ausgeglichenen Parameter das ursprüngliche funktionale Modell?
• Einsetzen in XL ˆˆ
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Sonderfall: Lineare Verbesserungsgleichungen
• z.B. Koordinatendifferenzen (Nivellement)• Verbesserungsgleichungen sind linear• Keine Linearisierung notwendig• Keine Näherungswerte für die Parameter
notwendig (oft trotzdem aus numerischen Gründen verwendet – kleine Werte in x und l)
• Hauptprobe: Nur aufgestelltes Modell und Rechnung können falsch sein
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Sonderfall: Ausgleichung direkter Beobachtungen
• z.B. Ausgleichung direkt und mehrfach gemes-sener Größen (Strecke)
• A-Matrix ist ein 1-Vektor• Auflösung:
• Gewichtsmatrix Einheitsmatrix: einfaches arithmetisches Mittel
• Gewichtsmatrix Diagonalmatrix: gewogenes arithmetisches Mittel
• Sonst: allgemeines arithmetisches Mittel
Paa
Plax
T
T
1
1
1
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Ausgleichung bedingter Beobachtungen
• Keine unbekannten Parameter• n Beobachtungen sollen so verbessert
werden, dass sie r Bedingungen (sind aufzustellen) erfüllen
• r = n – n0 mit n0 = Anzahl der notwendigen Beobachtungen für eine eindeutige Lösung
• nfb=r Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz)
• Das Problem vereinfacht sich zu oL ˆ
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Funktionales Modell
• Widerspruchsvektor:
• Ableitungen nach X alle Null, somit A-Matrix eine Nullmatrix, also
• Korrelaten:
• Verbesserungen:
• Normalgleichungsmatrix der bedingten Ausgleichung:
wL
owBv wBBPk
11 T
wBBPBPv111 TT
TB BBPN 1
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Hauptprobe
• Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen das ursprüngliche funktionale Modell?
• Einsetzen in oL ˆ
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Ausgleichung vermittelnder Beobacht-ungen mit Bedingungsgleichungen
• Pro Gleichung nur eine Beobachtung
• Zusätzlich Bedingungen zwischen den Unbekannten
• n Beobachtungen, u Unbekannte, r Bedingungen
• nfvb = n – u + nb Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz)
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Lösungsansätze
• Elimination von Unbekannten: r Unbe-kannte werden mit Hilfe der Bedingungen eliminiert
• Strenge Lösung: Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen
• Fiktive Beobachtungen: Bedingungen werden als (fiktive) Beobachtungen mit großem Gewicht eingeführt
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Wann Ausgleichungsproblem?
• nfvb = n – u + nb
• Ausgleichungsproblem, wenn nfvb > 0
• Somit: n + nb > u
Die Summe aus Beobachtungen und Bedingungen muss größer als die Anzahl der Unbekannten sein
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Funktionales Modell
• Funktionales Modell der vermittelnden Ausgleichung
• und die Bedingungen
• Getrennte Betrachtung der beiden Teile:
• Beobachtungen
• Bedingungen
• Keine Bedingungen zwischen den Beobachtungen B ist eine Nullmatrix
XL ˆˆ oX ˆb
lxAv 1
owxA 2
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Lösung (1)
• Methode von Langrange:
• Differenziert und gleich Null gesetzt:
• Einsetzen von gibt
wxAkPvv 22 TT
0222 22 wxAkxAkvPv TTT ddd
xAv dd 1oAkPAv 21
TT
owxA 2
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Lösung (2)
• 1. Gleichung:
• Kombiniert mit 2. Gleichung:
oAkPAv 21TT
okAPvA TT21
lxAv 1 oPlAkAxPAA TTT1211
w
PlA
k
x
0A
APAA TTT1
2
21
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Hauptprobe
• Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen und ausgeglichenen Parameter das ursprüngliche funktionale Modell?
• Erfüllen die ausgeglichenen Parameter die Bedingungen?
• Einsetzen in XL ˆˆ
oX ˆb
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Ausgleichung bedingter Beobacht-ungen mit Unbekannten
• Entspricht dem Allgemeinfall der Aus-gleichungsrechnung
• n Beobachtungen, n0 Beobachtungen zur eindeutigen Lösung notwendig, u Unbekannte
• Anzahl der aufzustellenden Bedingungen: r = (n – n0) + u = nfa + u
• Lösung: siehe Allgemeinfall
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Stochastisches Modell a posteriori
• a posteriori: nach der Ausgleichung
• Beim stochastischen Modell a priori Ausgangspunkt Kovarianzmatrix, aber schließlich verwendet die Kofaktormatrix
• Kovarianzfortpflanzungsgesetz ange-wendet auf Gleichungssystem f=Fx gibt
Txxff FFΣΣ 2
0
1
20
1
T
xxff FFQQ Kofaktorfortpflanzungsgesetz
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (1)
• gekürzter Beobachtungsvektor:
• Ausgeglichene Beobachtungen aus
• Somit gilt:
• Nun können wir l, x, l und v als Funktion von l ausdrücken.
lLL ˆˆ0
PlAANLlIPAANILL TT 10
10
ˆ
PlAANl T1ˆ
l̂
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (2)
l
IPAAN
PAAN
PAN
I
lF
v
l
x
l
f
T
T
T
1
1
1
ˆ
Das Kofaktorfortpflanzungsgesetz liefert:
TT
TT
TT
TT
ff
AANP00PAAN
0AANANAAN
0ANNAN
PAANAANANP
Q
1111
111
111
11111
Gesuchte Kofaktoren in der Hauptdiagonale
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (3)
llllT
vv
Tll
xx
ll
ˆˆ11
1ˆˆ
1
1
QQAANPQ
AANQ
NQ
PQ
Und weiters:
llLL
xxXX
llLL
ˆˆˆˆ
ˆˆ
Grund: Unterscheiden
sich nur durch konstanteFaktoren
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Probe
• Gewichtsreziprokenprobe nach Ansermet
• Die Summe der Hauptdiagonalglieder der Produktmatrix muss gleich der Anzahl der Unbekannten sein
ull
ˆˆtr QP
ll ˆˆQP
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Kofaktoren a posteriori bei der bedingten Ausgleichung
L
BNBQI
BNBQ
BN
B
I
LF
L
v
k
w
L
f
1
1
1
ˆB
TLL
BT
LL
B
Das Kovarianzfortpflanzungsgesetz liefert:
vvLLvvLL
LLBT
LLBT
LLT
LLvv
LLBBLLB
LLB
vvLLvvBT
LLT
LLLL
ff
QQ000QQ
0BQNBQNBQBQQ
0BQNNIBQN
0BQINBQ
QQQNBQBQQ
Q11
111
1
Gesuchte Kofaktoren in der Hauptdiagonale
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnde Ausgleichung mit Bed.• Interessante Kofaktormatrizen direkt aus
der invertierten Normalgleichungsmatrix:
• Und weiters:
kkkx
xkxxTT
0A
APAA1
2
211
TxxLL
xxXX
11ˆˆ
ˆˆ
AQAQ
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Kofaktoren a posteriori bei der bed. Ausgleichung mit Unbekannten
• Interessante Kofaktormatrizen direkt aus der invertierten Normalgleichungsmatrix:
• Und weiters:
xxxk
kxkkT
0A
ABBP11
vvLLLL
kkT
vv
Tww
xxXX
QQQ
BPQBPQ
BBPQ
ˆˆ
11
1
ˆˆ
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Varianz der Gewichtseinheit a posteriori (1)
• Im stochastischen Modell 02 herausge-
hoben und die Kofaktormatrix Q erhalten• Somit Übergang auf relative Genauigkeits-
angaben (ausreichend für Gewichtung)• Ausgleichung liefert Kofaktormatrizen
für ausgeglichene Parameter etc.• Gesucht: Kovarianzmatrizen• Multiplikation mit Varianz der Gewichts-
einheit a posteriori
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Varianz der Gewichtseinheit a posteriori (2)
• Parameter aus den empirischen Beobachtungen bestimmt auch Varianz der Gewichtseinheit a posteriori empirisch bestimmt
• Definition der Varianz: Quadratsumme der Verbesserungen durch Anzahl der Freiheitsgrade
f
T
ns
Pvv20
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Varianzen, Kovarianzen und Standardabweichungen
• Aus Kofaktormatrizen durch Multiplikation mit der Varianz der Gewichtseinheit a posteriori
• z.B.
• Varianz einer Funktion
vvvv
LLLL
XXXX
s
s
s
QC
QC
QC
20
ˆˆ20ˆˆ
ˆˆ20ˆˆ
TXX
TXXff s FFQFFCC ˆˆ
20ˆˆ
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Zusammenfassung
• Lösung überbestimmter Probleme durch Einführen einer Bedingung: vTvmin
• Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung• Sonderfälle bedingte/vermittelnde
Ausgleichung– vermittelnd: einfach zu automatisieren, oft
aufwändige Rechnung– bedingt: schwer aufzustellen, einfach zu
rechnen