Grundlagen der...

Technische Universität Ausgleichungsrechnung I

Prof. Dr.-Ing. L. Gründig

Grundlagen der Ausgleichungsrechnung

April 2003

Inhaltsverzeichnis

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Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis..................................................................................................................................... i 1. Einführung und wiederholende Übersicht....................................................................................... 1

1.1 Einführung............................................................................................................................... 1 1.2 Literaturhinweise..................................................................................................................... 3

2 Grundlagen für die funktionale Modellierung................................................................................. 4 2.1 Matrizenrechnung.................................................................................................................... 4

2.1.1 Allgemeine Regeln .......................................................................................................... 4 2.1.2 Berechnung der inversen Matrix ..................................................................................... 6 2.1.3 Untermatrizen.................................................................................................................. 7 2.1.4 Skalares und dyadisches Produkt von Vektoren.............................................................. 8 2.1.5 Summenproben.............................................................................................................. 11 2.1.6 Bilineare und quadratische Formen............................................................................... 13

2.2 Vektordifferentiation ............................................................................................................. 16 2.2.1 Differential bei einer Funktion einer Variablen ............................................................ 16 2.2.2 Vektordifferential .......................................................................................................... 17

2.3 Kettenregel ............................................................................................................................ 19 2.4 Produktregel .......................................................................................................................... 20 2.5 Ableitung eines Vektordiagonal-Matrix-Produktes............................................................... 22

3 Grundbegriffe aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik .............................................. 23 3.1 Messprozess und mathematisches Modell............................................................................. 23 3.2 Häufigkeit, relative Häufigkeit, relative Summenhäufigkeit................................................. 23 3.3 Wahrscheinlichkeit ................................................................................................................ 25

3.3.1 Zusammengesetzte Ereignisse....................................................................................... 25 3.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit, stochastische Unabhängigkeit ............................................... 28 3.5 Stochastische Veränderliche, Verteilung, Wahrscheinlichkeitsdichte .................................. 30

3.5.1 Merkmale von zufälligen Ereignissen ........................................................................... 30 3.5.2 Stetige Veränderliche .................................................................................................... 31

3.6 Verteilungsfunktion............................................................................................................... 32 3.6.1.1 Diskrete Verteilungen:............................................................................................... 32 3.6.1.2 Stetige Verteilungen: ................................................................................................. 32

3.7 Maßzahlen zur Charakterisierung von Grundgesamtheiten beliebiger Wahrscheinlichkeitsdichte................................................................................................................. 33

3.7.1 Erwartungswert ............................................................................................................. 33 3.7.2 Streuung, Varianz, Dispersion, Standardabweichung ................................................... 35

3.8 Zusammenwirken mehrerer Zufallsvariabler ........................................................................ 35

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3.8.1 Verteilungsfunktion und Dichte .................................................................................... 35 3.8.2 Erwartungswert bei einer Funktion von mehreren Zufalls-veränderlichen................... 37 3.8.3 Varianz für Funktionen von Zufallsveränderlichen....................................................... 39

3.8.3.1 Linearisierung von nichtlinearen Funktionen............................................................ 39 3.8.3.2 Varianz einer linearen Funktion von korrelierten Zufallsveränderlichen Xi ............. 40 3.8.3.3 Varianz einer linearen Funktion von unabhängigen Zufallsveränderlichen Xi ......... 42

3.8.4 Kovarianz und Korrelationskoeffizient zweier Zufallsveränderlicher .......................... 45 3.8.4.1 Definitionen und mathematische Beziehungen ......................................................... 45 3.8.4.2 Berechnung von Kovarianzen und Kovarianzmatrizen............................................. 46

3.9 Effiziente Schätzung = wirksame Schätzung ........................................................................ 48 3.9.1 Maximum - Likelihood - Methode = Methode der größten Mutmaßlichkeit ................ 48

4 Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen ....................................................................... 49 4.1 Lineare beste Schätzung der Unbekannten............................................................................ 49

4.1.1 Vorbemerkung............................................................................................................... 49 4.1.2 Lineare Schätzung, unverzerrt....................................................................................... 49 4.1.3 Beste Schätzung ............................................................................................................ 49

4.2 Vermittelnde Ausgleichung................................................................................................... 52 4.2.1 Zusammenstellung der linearen Beziehungen bei vermittelnden Beobachtungen ........ 55

4.3 Ermittlung der Kofaktoren (=Gewichtsreziproken) von Größen, welche aus der Ausgleichung hervorgehen................................................................................................................ 56

4.3.1 Vorbemerkungen: .......................................................................................................... 56 4.3.2 Aufgabenstellung........................................................................................................... 57

4.4 Beweis der Formel m vvP n h0 = −[ ] /( ) für die vermittelnde Ausgleichung in der üblichen Darstellung.......................................................................................................................... 57 4.5 Herleitung von Gebrauchsformeln ........................................................................................ 60 4.6 In der Ausgleichung übliches Vorgehen ............................................................................... 62 4.7 Arithmetisches Mittel mit Einführung eines Näherungswertes............................................. 65

4.7.1 Mittlerer Fehler des arithmetischen Mittels................................................................... 66 4.7.2 Mittlerer Fehler einer Verbesserung.............................................................................. 66 4.7.3 Mittlerer Fehler aus gleichgewichtigen Beobachtungsdifferenzen, konstanter Fehleranteil.................................................................................................................................... 68

4.8 Beispiel zum allgemeinen arithmetischen Mittel mit Einführung eines Näherungswertes ... 72 4.9 Einige Beispiele für das Aufstellen der Fehlergleichungen .................................................. 74

4.9.1 Beispiel: Winkelmessung .............................................................................................. 74 4.9.2 Beispiel: Richtungen und Strecken ............................................................................... 75

4.10 m0 = Berechnung für eine Beobachtung der Ausgleichung .................................................. 76 5 Rechentechnische Probleme bei der Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen ............. 78

5.1 Beispiel: Nivellementsnetz.................................................................................................... 78 5.2 Aufstellen der Normalgleichungen........................................................................................ 80

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5.3 Berechnung der Unbekannten; Gaußscher Algorithmus ....................................................... 80 5.4 Proben, [pvv] aus den Fehlergleichungen, mittlere Fehler, Schlußergebnis ......................... 81 5.5 Mittlerer Fehler einer Funktion der ausgeglichenen Werte................................................... 82 5.6 Normalgleichungen aus Anteilen der Fehlergleichungen ..................................................... 83 5.7 Zusammenfassung von Beobachtungen ................................................................................ 84

5.7.1 Mehrfache Messung der gleichen Größe....................................................................... 84 5.7.2 Zusammenfassung von Messungen verschiedener Größen zur Elimination einer nicht überbestimmten Unbekannten ....................................................................................................... 84

5.8 Verfahren zur partiellen Elimination von Unbekannten........................................................ 85 5.8.1 Vorbemerkungen ........................................................................................................... 85 5.8.2 Das Eliminationsverfahren nach Schreiber ................................................................... 86 5.8.3 Das Verfahren der reduzierten Fehlergleichungen........................................................ 88

6 Sonderformen der Ausgleichung................................................................................................... 90 6.1 Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen...................................................................... 90 6.2 Herleitung der Gebrauchsformeln für die bedingte Ausgleichung........................................ 91

6.2.1 Allgemeiner, nichtlinearer Ansatz zur Aufstellung von Bedingungs-, Korrelaten- und Normalgleichungen ....................................................................................................................... 91 6.2.2 Linearisierung und üblicher linearer Ansatz ................................................................. 93 6.2.3 Ermittlung der Verbesserungen und der [vvp] .............................................................. 94 6.2.4 Zusammenstellung der linearen Beziehungen bei der Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen .............................................................................................................................. 95 6.2.5 Kofaktoren von Größen, welche aus der Ausgleichung hervorgehen ........................... 97

6.3 Beispiel.................................................................................................................................. 98 6.4 Vermittelnde Ausgleichung mit Bedingungen zwischen den Unbekannten ....................... 101 6.5 Bedingungsgleichungen mit Unbekannten.......................................................................... 104 6.6 Allgemeinfall....................................................................................................................... 109 6.7 Anwendungsbeispiele.......................................................................................................... 109

6.7.1 Ausgleichende Gerade................................................................................................. 109 6.7.2 Ausgleichung von linearen Funktionen....................................................................... 110

6.8 Helmerttransformation ........................................................................................................ 114 6.8.1 Lösungsansätze............................................................................................................ 114 6.8.2 2.Ansatz: vermittelnde Ausgleichung ......................................................................... 115 6.8.3 1. Ansatz: bedingte Ausgleichung mit Unbekannten .................................................. 118

7 Fehlerellipse und Fehlerellipsoid ................................................................................................ 119 7.1 Einführung und Problemstellung......................................................................................... 119 7.2 Lösung................................................................................................................................. 120 7.3 Weitere Fragestellungen bzw. Verallgemeinerungen.......................................................... 123 7.4 Herleitung mit Hilfe von Eigenwerten und Eigenvektoren ................................................. 123

7.4.1 Allgemeiner Ansatz ..................................................................................................... 124

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7.4.2 Praktische Bestimmung der Eigenwerte...................................................................... 125 7.4.3 Praktische Bestimmung der Eigenvektoren................................................................. 126

7.5 Geometrische Deutung der bisherigen Ergebnisse (ebener Fall) ........................................ 127 7.5.1 Hauptachsentransformation......................................................................................... 127 7.5.2 Geometrische Deutung ................................................................................................ 129 7.5.3 Die Fußpunktkurve und ihr Zusammenhang mit der Fehlerellipse ............................. 131

8 Zur strengen Ausgleichung von Polygonzügen und Polygonnetzen ........................................... 136 8.1 Voraussetzungen und Bezeichnungen................................................................................. 136 8.2 Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen ............................................................. 137 8.3 Die Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen ............................................................. 138

8.3.1 Die Wahl eines Hauptsystems und Bestimmung der überschüssigen Beobachtungen 138 Anhang A: Schematische Zusammenstellung der Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen............................................................................................................................................................. 143 9 Anhang B: Schematische Zusammenstellung der Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen 145

Kapitel 1: Einführung und wiederholende Übersicht

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1. Einführung und wiederholende Übersicht

1.1 Einführung Die Methode der kleinsten Quadrate wurde zu Beginn des 19. Jahrhunderts ungefähr gleichzeitig von Carl Friedrich Gauß und A.M. Legendre gefunden.

Gauß

1794 gefunden (Gauß 17 Jahre alt)

1802 praktische Anwendung bei Berechnung Umlaufbahn Planet Ceres, welcher von ital. Astronom Piazzi entdeckt und an 41 Tagen nur auf 9° seiner Umlaufbahn beobachtet werden konnte; Wiederentdeckung gelang v. Zach in Gotha aufgrund der Gaußschen Berechnungen

1809-1826 verschiedene Veröffentlichungen von Gauß über die Methode der kleinsten Quadrate, meistens in lateinischer Sprache

Legendre

1806 erstmalig am Schluss eines Wiener Werkes über die Berechnung von Kometenbahnen veröffentlicht

1810 zweite Abhandlung über die Methode der kleinsten Quadrate von Legendre veröffentlicht

Obwohl Legendre Priorität der Veröffentlichung dennoch Priorität der Entdeckung mit großer Wahrscheinlichkeit bei Gauß. Gauß bereits Ausbau zu einem praktisch anwendbaren Verfahren mit entsprechenden Bezeichnungen und entsprechender Nomenklatur, die sich bis heute erhalten haben.

Zu den Begründern ist auch Bessel zu zählen: Untersuchungen über die Bahn des Olberschen Kometen, Berliner Akademie der Wissenschaften 1812/13

Bessel

1837 „Gradmessung in Ostpreußen“, Lösung der Aufgabe: vermittelnde Beobachtungen mit Bedingungsgleichung

Für allgemeinen Gebrauch beim Praktiker Veröffentlichungen von Gauß und Bessel zu schwierig.

Durchbruch der Methode durch Lehrbuch „Ausgleichungsrechnungen in der praktischen Geometrie oder die Methode der kleinsten Quadrate“ von GERLING, Marburg 1843. In seiner Vorrede sagte Gerling:

„Ich erinnere mich noch gar wohl der Zeit, wo der Landmesser, welcher mit den log. Tafeln umzugehen wusste, für den Gelehrten unter seinen Kollegen galt. Jetzt würde sich einer lächerlich zu machen glauben, wenn er sich ohne diese Kenntnisse nur zum Examen melden wollte. In ähnlicher Weise wird es demnächst wohl auch mit der Ausgleichungsrechnung gehen.“

Diese Prophezeiung wird heute wahr.

Nach anfänglichen vorwiegend astronomischen Anwendungen aufsehenerregende Bewährung in der Geodäsie bei der badischen Landesvermessung 1850 durch Obergeometer Rheiner.

Einführung in die Triangulation II. bis IV. Ordnung erst 30 bis 40 Jahre später.

Friedrich Gustav Gauß (Organisator des preuß. Katasters): 1881 Katasteranweisung IX Einführung der Methode der kleinsten Quadrate

Lehren von Gauß und ihre Weiterentwicklung zusammengefasst von F.R. HELMERT, 1907: „Die Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate mit Anwendungen auf die Geodäsie, die Physik und die Theorie der Messinstrumente“. Heute noch grundlegendes und empfehlenswertes Werk.


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Wichtige Erweiterung der Technik der Methode der kleinsten Quadrate 1923 durch H. BOLTZ: „Das Entwicklungsverfahren zum Ausgleichen geodätischer Netze“.

Bis vor einigen Jahrzehnten Fortschreiten und Ausbau der Methode der kleinsten Quadrate im eigenen Bereich. Neuerdings jedoch Entwicklungen mit dem Bestreben, andere Gebiete der angewandten Mathematik der Ausgleichungsrechnung nutzbar zu machen.

Dabei besonders hervorzuheben:

• Anwendungen der mathematischen Statistik auf Probleme der Ausgleichungsrechnung (Hugershoff, Tienstra, welche sich mit der Bedeutung der Statistik für die Grundlagen der Ausgleichungsrechnung beschäftigt). Dieser Zweig noch besonders entwicklungsfähig, besonders im Hinblick auf die Interpretation und Glaubwürdigkeit der Ergebnisse der Ausgleichungsrechnung.

• Herausarbeitung von Parallelen zwischen Statistik und Ausgleichungsrechnung, mit der sich eine gesamte Schule von österreichischen Geodäten um die Jahrhundertwende beschäftigte und die neuerdings mit der Ausgleichung von Trilaterationsnetzen als auch in der Analogaerotriangulation Bedeutung gewonnen haben. Dieser Zweig ist interessant im Hinblick auf Stabilitätsuntersuchungen, d.h. Genauigkeit von Punktbestimmungen in trigonometrischen Netzen.

• Einführung der Matrizenrechnung in die Ausgleichungsrechnung, welche den Formelapparat selbst zwar nicht änderte, aber die Ableitungen und Zusammenhänge klarer als irgend eine andere Methode darzustellen gestattet.

• Erweiterung der Ausgleichungsrechnung auf gegenseitig abhängige, d.h. korrelierte Größen, vor allem durch Tienstra.

Zweck und Ziel der Ausgleichungsrechnung sind mit folgenden Stichworten zu umschreiben:

• Methode der kleinsten Quadrate berücksichtigt alle (überschüssigen) Beobachtungen zur Ermittlung der Unbekannten gleichmäßig und frei von Willkür.

• Sie liefert Einblick in die Größenordnung, die Verteilung und Auswirkung der unvermeidlichen Messungsungenauigkeiten. Mit deren Kenntnis sind daher auch Möglichkeiten zur Bekämpfung gegeben, d.h. sie trägt bei zur Auswahl geeigneter Messmethoden und -konfigurationen, und sie erlaubt ein Urteil über die erzielte Genauigkeit (nachträglich) und Kontrolliertheit (Zuverlässigkeit).

• Sie erlaubt schließlich eine Genauigkeits- und Zuverlässigkeitsabschätzung vor der eigentlichen Messung und Beobachtung und trägt damit dazu bei, den Gesamtmessaufwand zu ökonomisieren (günstigste Gewichtsverteilung). Gültigkeits- und Aufwendungsbereich von Näherungsverfahren deshalb immer an der strengen Methode der kleinsten Quadrate zu überprüfen und Näherungsverfahren nur dann anwenden, wenn mit wesentlich geringerem Rechenaufwand ein ähnlich plausibles und widerspruchsfreies Ergebnis wie mit der Methode der kleinsten Quadrate erreicht werden kann.

Messkunst:

• geometrische Modellierung

• Fehlermodellierung

• funktionales Modell

• stochastisches Modell

• Analyse, Überprüfung, Integration


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1.2 Literaturhinweise GROßMANN, W. Grundzüge der Ausgleichungsrechnung, Springer-Verlag, Berlin/Göttingen,

3. Auflage 1969

WOLF, H. Ausgleichungsrechnung, Dümmler-Verlag, 1975

HELMERT, F.R. Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate, B.G. Teubner, Leipzig u. Berlin 1907, 1924

GOTTHARDT, E. Ableitung der Grundformeln der Ausgleichungsrechnung mit Hilfe der Matrizenrechnung, Veröffentl. der DGK, München 1952

TIENSTRA, J.M. Theory of the adjustment of normally distributed observations, Amsterdam 1956

MARCHANT, R. La compensation des mesures surabondantes, Bruxelles 1956

BJERHAMMAR, A.

Alle Veröffentlichungen über Ausgleichungsrechnung an der Techn. Hochschule Stockholm

GOTTHARDT, E. Ausgleichungsrechnung, Herbert Wichmann Verlag, 1969, 1978

HÖPCKE, W. Ausgleichungsrechnung, W. de Gruyter, ca. 1980

Statistik

HEIN Statistische Verfahren der Ingenieurpraxis, Bibliographisches Institut Mannheim/Wien/Zürich, 1978

KREYSZIG Statistische Methoden und ihre Anwendungen, Vandenhoeck v. Ruprecht, Göttingen 1977, 6. Auflage

KOCH Parameterschätzung und Hypothesentests in linearen Modellen, Dümmler-Verlag, 1980

Kapitel 2: Grundlagen für die funktionale Modellierung

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2 Grundlagen für die funktionale Modellierung

2.1 Matrizenrechnung

2.1.1 Allgemeine Regeln Definition:

Ein rechteckiges Zahlenschema

=

mn1m

n111

aa

aa

LL

M

M

LL

A (2.1)

heißt (m,n)-Matrix mit den Elementen aik ∈ R. Speziell heißt eine

• (1,n)-Matrix einzeilig

• (m,1)-Matrix einspaltig

• (n,n)-Matrix quadratisch

Definition:

Unter dem Transponieren (Spiegeln, Stürzen) einer Matrix versteht man das Spiegeln an der Hauptdiagonalen. Bezeichnung: AT. Dimension: (n,m)-Matrix

Definition:

Die Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen geschieht elementweise. Man kann immer nur Matrizen desselben Typs addieren.

Definition:

Unter einer Transformation von Unbestimmten x1, … ,xn in Unbestimmte y1, … ,ym, d.h.

n

1

x

xM →

m

1

y

yM

mit gegebener (m,n)-Matrix A versteht man das lineare Gleichungssystem

nmn11mm

nn11111

xaxay

xaxay

++=

++=

K

M

K

(2.2)

(geschrieben: y = Ax).


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Definition:

Unter der Produktmatrix C einer (m,n)-Matrix A und einer (n,p)-Matrix B versteht man die Matrix derjenigen Transformation, die man durch Zusammensetzen der zu A und B gehörenden Transformation erhält. Schreibweise in Elementen: (vgl.Beispiel 2.1)

p,,1k und n,,1ifür babac nkinlkilik KKK ==++= (2.3)

D.h.:

Spalte te-k Zeilete-i

b

b aaac

nk

k1

in2i1iik

=

MMM

L

L

L

M

LL

M

Die Produktmatrix ist dann eine (m,p)-Matrix.

Beispiel 2.1:

⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

=

1007664492822

=694827593817664524563514634221533211

654321

987654321

Achtung: Das Kommutativgesetz der Multiplikation von reellen Zahlen gilt nicht für die Multiplikation von Matrizen. D. h. die Faktoren einer Matrizenmultiplikation können nicht beliebig vertauscht werden.

AB BA A B , z.B. = , 1 -1

-1≠

=

i A. . 1 11 1 1

→ Nachrechnen!

Definition:

Unter der Einheitsmatrix versteht man die Matrix der identischen Transformation, also derjenigen Transformation, die die xi in die xi überführt.

E =

1 0

0 1O (2.4)


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Definition:

Unter der zu einer Matrix A inversen Matrix A-1 versteht man im Fall m = n und Det(A) ≠ 0 die Matrix derjenigen Transformation, die die yi in die xi transformiert (i = 1,…,n), also die Matrix der inversen Transformation, d.h.:

yAxAxy 1und −== (2.5)

2.1.2 Berechnung der inversen Matrix Zur Berechnung der inversen Matrix gibt es zwei Möglichkeiten.

1. Möglichkeit:

Auflösen des linearen Gleichungssystems y = Ax nach den xi mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens

2. Möglichkeit (Anwendung der Cramerschen Regel):

Man betrachte das lineares Gleichungssystem: y = Ax Auflösung nach xi:

n1n1+n

221

111

1

2nn2n

n332

n112

1nn2n

n222

lnentwicke

nn2nn

n1121

1

y A

(-1)+ +y A

y A

x

+y aa

aaaa

y aa

aa

aay

aay

=x

AAA

AAA

K

KL

M

L

L

L

M

L

L

M

L

−=

−=

analog x2, … ,xn.

Damit ergibt sich:

+−

−+

=

AA

AA

AA

A

nnn1n+1

2212

2111

1-

AA (-1)

AA

AA

L

M

L

L

Satz:

Tik

k+i1 ) A (-1) ( 1 A

A =− (2.6)


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Beispiel 2.2:

gegeben:

=

032432021

A gesucht: A-1

0 4 = 2)2-3(14- = 0 3221

4 - 0 ≠⋅⋅⋅+⋅=A

A11 = -12 A21 = 0 A31 = 8

A12 = - 8 A22 = 0 A32 = 4

A13 = 0 A23 = - 1 A33 = - 1

−+−++−

=−

41

41

1

0102203

A

Probe:

1 2 0

2 3 4

2 3 0

3 0 2

2 0 1

0

1 0 0

0 1 0

0 0 114

14

− +

+ −

+ −

=

Bemerkung: Es gilt

EAAEAA =⋅=⋅ −− 11 und (2.7)

d.h., eine rechtsinverse Matrix ist auch linksinvers.

Beweis: A mit |A| ≠ 0 Transformationen: y = Ax, x = A-1y

2.1.3 Untermatrizen Matrizen können in Untermatrizen aufgespaltet werden; dann sind die Elemente einer solchen aufgespalteten „Hypermatrix“ ihrerseits Untermatrizen.

Nach Unterteilung der Matrizen in

=

2

1 AA

A und ( )21 BBB =

ergibt sich:

=

2212

2111 BABABABA

C (2.8)

In dieser Auffassung ergibt sich die Produktmatrix C als das dyadische Produkt der beiden Hypervektoren A und B, deren Elemente die Matrizen A1 und A2 bzw. B1 und B2 sind.


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Die Erweiterung dieses Konzepts führt auf Hypermatrizen, deren Elemente beliebig viele Untermatrizen sind.

C

CCCC

GGGG

BBBBB

G

2221

1211

2221

1211

2221

1211

2222122122

2212121112

2122112121

2112111111

BGBGC

BGBGC

BGBGC

BGBGC

⋅+⋅=

⋅+⋅=

⋅+⋅=

⋅+⋅=

(2.9)

Bemerkung:

Die Unterteilung in Untermatrizen muss derart geschehen, dass die einzelnen Unterprodukte jedoch aus verketteten Untermatrizen bestehen.

Anwendung:

• Erweiterung der Algorithmen zur Auflösung linearer Gleichungssysteme derart, dass im Algorithmus anstelle der Elemente von Matrizen (= reelle Zahlen) Matrizen auftreten.

• Summenproben bei der praktischen Berechnung von Matrizenprodukten. Die Matrizen A und B werden mit Summenzeile bzw. Summenspalte ergänzt (Rändeln einer Matrix), und diese zusätzlichen Zeilen und Spalten werden bei der Multiplikation mitgeführt.

2.1.4 Skalares und dyadisches Produkt von Vektoren Skalares Produkt von zwei Vektoren:

Das skalare Produkt zweier Vektoren a und b wird zurückgeführt auf die Matrizenmultiplikation, indem man aT als einzeilige und b als einspaltige Matrix auffasst:

paaa

b

bb

n21

Tn

2

1

L

M

a

b

[ ] = ba =ba babap Tn

1=iiinn2211

T ababba =∑+++== L (2.10)


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Dyadisches Produkt von zwei Vektoren:

Unter dem dyadischen Produkt einer einspaltigen Matrix a mit den Elementen ai, i = 1, … ,m (Spaltenvektors m Elementen) mit einer einzeiligen Matrix bT mit den Elementen bj, j = 1, … ,n (Zeilenvektor mit n Elementen) versteht man die m,n-Matrix C mit den Elementen jiij bac = .

( )

nm2m1m

n22212

n12111

m

2

1

n21

T

bababa)(

babababababa

a

aa

b b b

L

MMM

L

L

M

L

Ca

b (2.11)

Bei der Anwendung des skalaren und des dyadischen Vektorprodukts auf die Multiplikation von Matrizen (A⋅B = C) werden A und B als Hypermatrizen aufgefasst, deren Elemente Vektoren sind. Es ergeben sich zwei Möglichkeiten:

1. Möglichkeit:

A bestehe aus Zeilenvektoren und B aus Spaltenvektoren

CAa

aa

bbb

B

mr2m1m

r22221

r11211

mnT

m2m1m

n2T

22221

n1T

11211

nr2n1n

r21

r22221

r11211

ccc....

cccccc

a)(aa......

a)(aaa)(aa

b. bb.

)(. )()(.

b. bbb. bb

L

L

L

LL

LL

LL

MMM

MMM

Und somit

( )r21

Tm

T2

T1

= ; = bbbB

a

aa

A LM


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C ergibt sich als dyadisches Produkt der Hypervektoren A und B:

( )

rT

m2T

m1T

m

rT

22T

21T

2

rT

12T

11T

1

Tm

T2

T1

r21

)(

bababaC

babababababa

a

aa

bbb

L

MMM

L

L

M

L

(2.12)

Die Elemente von C ergeben sich als Skalarprodukte der „Untervektoren“ von A und B, Ähnlichkeit der Gaußschen Schreibweise cik = [ai bk].

2. Möglichkeit:

A bestehe aus Spaltenvektoren und B aus Zeilenvektoren

A

Caaa

b

bb

B

mn2m1m

n21

n22221

n11211

nrT

n2n1n

r2T

22221

r1T

11211

aaa

)()()(aaaaaa

b)(bb

b)(bbb)(bb

L

MLMM

L

L

L

LL

MLMLMM

LL

LL

D.h.: Hypervektor A besteht aus einer Zeile (Elemente sind Spaltenvektoren)

( )n21 = aaaA L

und Hypervektor B besteht aus einer Spalte (Elemente sind Zeilenvektoren)

Tn

T2

T1

=

b

bb

BM


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somit:

( )

CCCCC

C

ba

C

ba

C

baaaaBA

b

bb

=

= =

n21

n

Tnn

2

T22

1

T11n21

Tn

T2

T1

Produkt dyadisches

==+++

⋅++⋅+⋅⋅

L

444444 8444444 76

43421L

4342143421L

M

(2.13)

Die Produktmatrix C ergibt sich als ∑n

1=ii C , wobei sich die iC als dyadische Produkte T

ii ba ⋅

ergeben. (Beweis durch Nachrechnen)

Anwendung:

Elementeweiser Aufbau der Cik bei der Multiplikation AB = C im Computer (Die beiden Matrizen A und B brauchen nicht vollständig abgespeichert zu werden!), insbesondere aber elementeweiser Aufbau von N = ATA bei der Ermittlung von Normalgleichungen aus Fehler- bzw. Bedingungsgleichungen!

2.1.5 Summenproben Bei umfangreichen Matrizenmultiplikationen sind zur Rechenkontrolle Summenproben unerlässlich. Diese sind entweder als Zeilensummenproben oder Spaltensummenproben möglich.

Prinzip:

Die zur Summenprobe notwendige zusätzliche Summenspalte bzw. Summenzeile erhält man durch Multiplikation mit dem Einsvektor bzw. mit dem transponierten Einsvektor

1

1 1

=M

e bzw. ( )111 =T Le

Zeilensummen:

Aes

e

=

m

2

1

mn2m1m

n22221

n11211

s

ss

aaa

aaaaaa

1

11

M

L

MMMM

L

L

M

(2.14)


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Spaltensummen:

( ) ( ) Aes TTn21

mn2m1m

n22221

n11211

s s s 111

aaa

aaaaaa

=

LL

L

MMMM

L

L

(2.15)

BACA

B

⋅=

⋅=⋅⋅=

⋅⋅=

−−

⋅=

−−

⇒

⇒

⇒

⇒

321321L

MMMM

L

L

L

MMMM

L

L

L

MLMM

L

L

1

2

mr2m1m

r22221

r11211

mn2m1m

n22221

n11211

1

nr2n1n

r22221

r11211

s)eB(Ae

C)BA(

eBAs

ccc

cccccc

aaa

aaaaaa

|

m

|n

eBs

bbb

bbbbbb

|

n

|r

Die Summenprobe besteht also in der Anwendung des Assoziativgesetzes.

Mehrfaches Matrizenprodukt ABCD = F:

?)(=)(:Probe )( |

m|

n

? )(=)(:Probe)(|n|

-r-

? )(=)e(:Probe )( |r|

p

| p |

q

4

3

4

4

3

2

3

3

2

1

2

2

1

44 344 21

4484476

44 344 21

43421

48476

43421

43421

876

43421

s

s

eDCBAs

eDCBAsDCBAA

s

s

eDCBs

eDCBsDCBB

s

s

eDCsDCsDCC

sD

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

−−

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅

−−

−−

Die Produktmatrix F wird aus ABCD von rechts beginnend aufgebaut.


Seite 13

2.1.6 Bilineare und quadratische Formen In der Fehlerlehre und Ausgleichungsrechnung treten häufig bilineare und quadratische Formen auf.

Definition:

Ein Ausdruck in der Darstellung

yQxQxy TTT:g == (2.16)

heißt bilineare Form und in der Darstellung

QxxT:f = (2.17)

heißt quadratische Form.

Dabei sind g, f reelle Zahlen

x, y Vektoren

Q quadratische, im allgemeinen symmetrische Matrix, welche auch Formmatrix der bilinearen bzw. quadratischen Form genannt wird.

Die Ausrechnung der bilinearen Form im Falkschen Schema ergibt:

( ) (g) QyQyQy yyy

x

xx

Q Q Q

Q Q Q Q Q Q

n

1=iini

n

1=i2ii

n

1=i1iin21

T

n

2

1

nnn2n1

2n2221

1n1211

∑∑∑

LL

M

L

MMMM

L

L

y

xQ

Aus dem Falkschen Schema liest man:

g x Q x Q x Q

g x Q

i i n in

k ik

= ∑ + ∑ + + ∑

= ∑ ∑

1 1 2 2y y y

y

ii=1

n

ii=1

n

ii=1

n

i=1

n

ik=1

n

L

(2.18)

Ausführlich:

n,1n1nnn1-n

n22nn2232332

n11nn1131331121221

nnnn22221111

Q)yxyx(

Q)yxyx( Q)yxyx( Q)yxyx( Q)yxyx(Q)yxyx(

Qyx QyxQyxg

−−+++

++++++++++++

+++=

LLLLLLLLLLLLLLLLLL

L

L

L


Seite 14

Die quadratische Form ergibt sich für

y: = x

sofort zu:

f x Qk ik= ∑ ∑i=1

n

ik=1

nx (2.19)

Ausführlich:

f x Q x Q x Q

x x Q x x Q x x Q

x x Q x x Q

x x Q

nn

n n

n n

n n n

= + + ++ + + +

+ + ++

+ −

1 2 n

1 1 1

2 2

n-1

211

222

2

2 12 3 13 1

3 23 2

1

2 2 2

2 2

2

L

L

L

LLLLLLLLLLL

,

Gelegentlich sind die folgenden Umformungen von Nutzen:

QxyQxy TT Spurg == (2.20)

QxxQxx TT Spurf == (2.21)

Definition:

Unter der Spur einer (symmetrischen) Matrix versteht man die Summe der Elemente der Hauptdiagonalen.

( )

QT

inin2iin1iin

ini22ii21ii2

n

1=iini1

n

1=i2ii1

n

1=i1ii1

nn2n1n

Tn22212

n12111

n

2

1

n21

nnn2n1

2n2221

1n1211

QyxQyxQyx

QyxQyxQyx

QyxQyxQyx

yxyxyxxy

yxyxyxyxyxyx

x

xx

y y y

Q Q Q Q Q Q Q Q Q

xy

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

L

MMMM

L

L

L

MMM

L

L

M

L

L

MMMM

L

L

Man liest aus dem Schema ab:

∑++∑+∑=n

1=iinin

n

1=i2ii2

n

1=i1ii1

T Qyx QyxQyx Spur LQxy

gQxy Spurn

1=kikki

n

1=i

T =∑∑=Qxy (2.22)

Da die quadratische Form eine Spezialisierung der bilinearen Form darstellt, ist damit zugleich auch die entsprechende Umformung für die quadratische Form nachgewiesen!


Seite 15

Für die praktische (numerische) Berechnung bilinearer und quadratischer Formen wurde von dem niederländischen Geodäten Tienstra eine Methode angegeben, die symbolische Multiplikation bzw. symbolisches Quadrieren nach Tienstra heißt; dazu führt man ein und definiert:

Definition:

Einfach indizierte Elemente Qi, i = 1, … , n von Q heißen symbolische Elemente von Q.

Für die symbolische Multiplikation und das symbolische Quadrieren der Qi gilt:

( ): ,( ): ) :

)( ): )( ):

)( ):

)( ): ( ):

,

Q Q Q Q Q

Q Q Q Q Q

Q Q Q

Q Q Q Q Q

nn

n n

n n n

k ik ii

1 2 n

1 1

n-1

i i

, , (Q

( , ,(Q

(

(

211

222

2

2 12 1

1

2

= = == =

=

= =

−

L

L

LLLLLLLLLLLL

Nach dieser Vereinbarung kann man dann ansetzen

n,1n1nnn1-n

n11nn1121221

nnnn22221111

nn2211nn2211T

Q)yxyx(

Q)yxyx( Q)yxyx(

Qyx QyxQyx

)Qx QxQx)(Qy QyQy(g

−−++

+++++

+++=

++++++==

LLLLLLLLLLLLLLLLLL

L

L

LLQxy

(2.23)

und entsprechend für die quadratische Form

n,1nn1-n

n1n11221

nn2

n222

2112

1

2nn2211

T

Qxx2

Qxx2 Qxx2

Qx QxQx

)Qx QxQx(f

−+

+++

+++=

+++==

LLLLLLLLLLL

L

L

LQxx

(2.24)

Bemerkung:

Immer wenn in der Ausgleichungsrechnung bilineare und quadratische Formen auftreten, können sie nach Tienstra ausgewertet werden!

Definition (Spur eines dreifachen Matrizenproduktes):

Sei X eine (m,n)-, A eine (n,n)- und Y eine (n,m)-Matrix, dann gilt:

Spur XAY = Spur YXA = Spur AYX (2.25)


Seite 16

Beweis:

=

mmm2m1

2m2221

1m1211

Tm

T2

T1

mnT

m2m1m

n2T

22221

n1T

11211

nmn2n1

2m2221

1m1211

nn2n1n

n22221

n11211

hhh)(

hhhhhh

X )(

X X

xXxx)(

xXxxxXxx

yyy )(

yyyyyy

aaa)(

aaaaaa

L

MMM

L

L

LL

MMMMM

LL

LL

L

MMM

L

L

L

MMM

L

L

XAYHA

XAAA

X

YA

AYX

AAA

AAAH

)=

XY XYXY( Spur

XY Spur XY SpurXY Spur

YX YXYXh Spur

Tmm

T22

T11

Tmm

T22

T11

mT

m2T

21T

1

m

1=iii

44444 344444 21L

L

L

+++=

+++=

+++=∑=

Spur H = Spur XAY = Spur YXA = Spur AYX nach zyklischer Vertauschung

2.2 Vektordifferentiation

2.2.1 Differential bei einer Funktion einer Variablen • f(x) Funktion einer Variablen x, differenzierbar

• f’(x) Ableitung von f(x)

• dx beliebig (große oder kleine) reelle Zahl

Definition:

Differential von f(x) ist die von x und dx abhängige Funktion df zweier Variablen gegeben durch

( )dxxfdf ′= (2.26)

Geometrische Veranschaulichung:

Abbildung 2.1: Unterschied zwischen df und ∆f


Seite 17

Definition:

Die Differenzenfunktion ∆f ist die Funktion von den zwei Variablen x und dx gemäß

( ) ( )xfdxxff −+=∆ (2.27)

Das Differential df wird zur Approximation von ∆f verwendet (Abschätzung).

Fehlerabschätzung:

Die Differenz ∆f - df ergibt sich bei zweimal differenzierbarer Funktion über Taylor-Entwicklung mit Restglied zweiter Ordnung aus

[ ]dx xx, dx2

)(fdff 2 +∈ξξ′′

=−∆ (2.28)

df ist die auf der Tangente berechnete Änderung von f beim Übergang von x nach x+dx (Linearisierung).

2.2.2 Vektordifferential Es seien

( )xy fmit RR:f mn =→

mehrere Funktionen von mehreren Variablen, d.h.

( )( )

( )n1mm

n122

n111

x,,xfy

x,,xfy

x,,xfy

K

M

K

K

=

=

=

Für eine Funktion von n Variablen

( )n1 x,,xf K=y

ergibt sich das Differential zu

nn

22

11

dxxf dx

xfdx

xfd

∂∂

++∂∂

+∂∂

= Ly (2.29)

y = f(x) sei ein m-Vektor, dessen m Komponenten Funktionen von n Variablen sind:

=

n

1

x

xMx

Wir verwenden das Differential einer Funktion y1 = f1 (x1, … , xn)

dyf

xdx

f

xdx

f

xdx

nn1

1

11

1

22

1= + + +∂

∂

∂

∂

∂

∂ L


Seite 18

Abbildung 2.2: Veranschaulichung bei zwei Variablen

Analog Differentiale für alle Komponenten:

dyf

xdx

f

xdx

f

xdx

dyf

xdx

f

xdx

f

xdx

dyf

xdx

f

xdx

f

xdx

nn

nn

mm m m

nn

11

11

1

22

1

22

11

2

22

2

11

22

= + + +

= + + +

= + + +

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

L

L

M M M M

L

(2.30)

Abkürzung für Differential von y bzw. Differential von x:

=

m

2

1

dy

dydy

dM

y und

=

n

2

1

dx

dxdx

dM

x (2.31)

Jakobi-Matrix des Vektors als Funktion y = f(x) bezüglich x:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

n

m

2

m

1

m

n

2

2

2

1

2

n

1

2

1

1

1

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

f

L

MMMM

L

L

x (2.32)

damit Vektordifferential

xx

y dfd∂∂

= (2.33)


Seite 19

Definition:

Die Jakobi-Matrix eines m-Vektors y = f(x), der vom n-Vektor abhängt, ist die (m,n)-Matrix

n) , 2, 1, Spalten(k k

m) , , 2, 1, Zeilen(i i

xff

k

i

…==

…==

∂∂

=∂∂x

(2.34)

Bemerkung:

Es gilt bei

f(x) = x: ∆x = dx

entsprechend Definition

∆x = x + dx - x = dx

Anwendung der Taylorformel:

( ) yxfy 0 ∆+=

( ) dyxfy 0 += + Restglieder, /Restglieder → 0

Beschränkung auf linearen Anteil:

y ≈ f(x0) + dy

y f xf

xdx≈ +

( )00

∂

∂ /Iteration (2.35)

2.3 Kettenregel Wir betrachten den m-Vektor a abhängig vom p-Vektor y. Dieser hängt ab vom n-Vektor x. Gesucht ist die Jakobi-Matrix von a bezüglich x, d.h.

∂∂

)x x(y

) x x(y=)(=

)y y(a

)y y(a=

bezüglich von Ableitung ; :gesucht

n1p

n11

p1m

p11

K

M

K

K

M

K

xyya

xaxa

(2.36)

z.B.: Die 4 Richtungsmessungen r1, r1’, r2, r2’ werden durch 2 Winkelmessungen α, β ersetzt.

Behauptung:

))((=)(

l"Kettenrege" )n,p()p,m()n,m(

xyaxa

xy

ya

xa

∂∂

⋅∂∂

=∂∂

(2.37)


Seite 20

Beweis durch Vergleich der linken Seiten mit den rechten Seiten:

Formel ausführlich:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

y

a

y

a

y

a

y

a

y

a

y

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

n

m m m

n

p

m m m

p

n

p p p

n

1

1

1

2

1

1 2

1

1

1

2

1

1 2

1

1

1

2

1

1 2

L

M M M M

L

L

M M M M

L

L

M M M M

L

=

⋅

(m,n) (m,p) (p,n) (m,n)

1 244444444444 344444444444

( i,k ) links: ∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

a

x

a

y

y

x

a

y

y

x

a

y

y

xi

k

i

k

i

k

i

p

p

k

= ⋅ + ⋅ + + ⋅1

1

2

2 L

Kettenregel bei einer Funktion

( i,k ) rechts: entsteht durch Multiplikation der i-ten Zeile mit

der k-ten Spalte also ∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

a

y

a

y

y

x

y

x

i i

p

k

p

k

1

1

L M

2.4 Produktregel Ableitung eines Skalarproduktes:

Seien a(x) und b(x) zwei von x abhängige m-Vektoren (x ∈ Rn), dann hängt auch die skalare Größe

)(baj

jjT xba Φ=∑=⋅=Φ

von x ab.

Gesucht:

n)(1, Typ

x)(

x)(

x)()(

n

T

2

T

1

TT

∂

∂∂

∂∂

∂=

∂∂

=∂Φ∂ bababa

xba

xL

Darstellung mittels : , xb

xa

∂∂

∂∂

xab

xba

xba

∂∂⋅+

∂∂⋅=

∂∂ TT

T )( (2.38)


Seite 21

( ) ( )TTT

)(

elProduktreg

bax

ba

xa

xb

+=

∂∂

∂∂

∂∂

Beweis durch Vergleich: links = rechts.

Ableitung einer Bilinearform:

Es sei

Φ = xTAy, (A quadratische Matrix)

mit

x = x(z) und y = y(z)

Gesucht ist die einzeilige Jakobimatrix

z

)( T

∂∂ Ayx

Mit t = A y folgt

zzz

zzz)( TT

T

∂∂⋅=

∂∂⋅

∂∂

=∂∂

∂∂⋅+

∂∂⋅=

∂∂

yAyytt

xttxtx

zzz

)( TTTT

∂∂⋅⋅+

∂∂⋅⋅=

∂∂ xAyyAxAyx (2.39)

Ableitung einer quadratischen Form

Es sei

Φ = xTAx, (A symmetrische Matrix)

z

2z

)( TT

∂∂⋅⋅⋅=

∂∂ xAxAxx (2.40)


Seite 22

2.5 Ableitung eines Vektordiagonal-Matrix-Produktes Vorbemerkung:

)yx(z = iii ⋅=⋅ yXz (2.41)

n

2

1

n

2

1

n

2

1

y

yy

x

xx

=

z

zz

MOM

Schreibweise:

ttrixprodukDiagonalma =

x

x=

x

x

n

1

n

1

xYyXz

Xx

⋅=⋅

= OM

Es gilt auch: xX =

1

11

⋅M

Es seien x = x(t)

y = y(t)

=

u

1

t

tMt

Bilde: z = z(t) = X ⋅ y

gesucht: L =∂∂

tz

Es gilt )u,n()n,n()u,n()n,n()u,n( +=

∂∂

⋅+∂∂

⋅=∂∂

txY

tyX

tz

(2.42)

Kapitel 3: Grundbegriffe aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Seite 23

3 Grundbegriffe aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

3.1 Messprozess und mathematisches Modell „Die Statistik als Zweig der angewandten Mathematik ist die Wissenschaft von Ereignissen, die vom Zufall abhängen.“ (ZURMÜHL)

Beobachtungen können als Zufallsereignisse betrachtet werden.

Messprozess: Maßzahl und Beschreibung des Messungsvorganges

Annahme: Beliebig viele Beobachtungen unter gleichen Messbedingungen sind möglich.

Die Maßzahl ist eine stochastische Größe (Zufallsgröße, zufällige Fehler).

Durch ein mathematisches Modell werden die Beziehungen der Zufallsgrößen zueinander mathematisch beschrieben. Je nach Wahl des mathematischen Modells kann die Übereinstimmung mit der Wirklichkeit besser oder schlechter sein.

Modellfehler (systematischer Fehler): Modellfehler können bei ausreichender Beschreibung des Messvorganges durch Änderung des mathematischen Modells verringert werden.

Ziel: Wahl eines mathematischen Modells, für das die Modellfehler im Rahmen der Aufgabenstellung ohne Bedeutung sind.

Irrtümer (grobe Fehler): Für die weiteren Betrachtungen wird vorausgesetzt, dass keine groben Fehler vorhanden sind.

Problem: Entscheidung, ob es sich ggf. tatsächlich um einen Irrtum handelt.

3.2 Häufigkeit, relative Häufigkeit, relative Summenhäufigkeit Häufigkeit ni: Anzahl der Messungen, die den Messwert xi ergeben (unter den n = ∑ ni

durchgeführten Messungen)

Relative Häufigkeit:

rn

nri

ii= ∑ = mit 1 (3.1)

Relative Summenhäufigkeit:

Rn

nRi

i

i= ∑ ≤ ≤= 0 1λ

λ 1 (3.2)

Erfahrungstatsache:

Die relative Häufigkeit konvergiert stochastisch gegen einen Grenzwert, wenn die Annahme gleicher Messbedingungen zutrifft.


Seite 24

Abbildung 3.1: relative Häufigkeit und relative Summenhäufigkeit

Beispiel 3.1:

Relative Häufigkeit für das Ereignis „Würfeln einer 2“ bei wachsendem Stichprobenumfang n:

n

beobachtete Anzahl

Theoretische Anzahl (bei

idealem Würfel)

∆

ri (beob.)

ri (theoret.)

(bei idealem Würfel)

60

120

180

240

300

360

420

480

540

600

660

720

780

840

900

960

1020

1080

1140

1200

9

22

35

43

52

68

74

82

88

96

103

109

118

130

143

150

170

186

197

207

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

- 1

+ 2

+ 5

+ 3

+ 2

+ 8

+ 4

+ 2

- 2

- 4

- 7

- 11

- 12

- 10

- 7

- 5

0

+ 6

+ 7

+ 7

0,150

0,183

0,194

0,179

0,173

0,189

0,176

0,171

0,163

0,160

0,156

0,151

0,151

0,155

0,159

0,161

0,167

0,172

0,173

0,172

0,167


Seite 25

3.3 Wahrscheinlichkeit Jedem Ereignis A ist eine Wahrscheinlichkeit P(A) zugeordnet (P = probability).

0 ≤ P(A) ≤ 1 (3.3)

Definition der Wahrscheinlichkeit nach Bernoulli/Laplace (Bernoulli 1713!, Laplace 1812-1820):

PZahl der günstigen Fälle

Zahl der möglichen Fälle= (3.4)

Voraussetzung:

Die einzelnen Fälle sind gleich möglich (Problem der Idealisierung - Mathematisches Modell).

Definition der Wahrscheinlichkeit von v. Mises (1931) (statistische Wahrscheinlichkeit):

r lim= Nf limP i

N

i

Ni

∞→∞→= (3.5)

(stochastische Konvergenz)

fi = Häufigkeit des Ereignisses

N = Gesamtanzahl

ri = relative Häufigkeit

Idealisierung:

Die Experimente wurden unter gleichen Bedingungen ausgeführt, d.h. alle Ereignisse müssen der gleichen Grundgesamtheit angehören.

V. Mises’ Definition führt zu mathematischen Schwierigkeiten bzgl. lim-Begriff.

3.3.1 Zusammengesetzte Ereignisse 1. Mit A wird das Ereignis Nicht A bezeichnet.

A ∪ A = E (A oder A ) (3.6)

2. Mit E wird das sichere Ereignis bezeichnet, entsprechend für beliebige Ereignisse A, B:

A ∪ B = C (A oder B ) (Vereinigungsmenge, Summe) (3.7)

(andere Schreibweise: A + B = C)

Das Ereignis C ist das Eintreten des Ereignisses A oder B oder auch A und B gleichzeitig.

3. Fremde Ereignisse: Ereignisse, die sich gegenseitig ausschließen. Z. B. Würfel: A = Wurf einer geraden Zahl

B = Wurf einer 3

4. Teilweise überdeckte Ereignisse: Z. B. Würfel: A = Wurf einer Zahl < 3 = 1, 2

B = Wurf einer geraden Zahl = 2, 4, 6


Seite 26

5. Der beiden gemeinsame Ereignisteil wird bezeichnet:

D = A ∩ B (sowohl A als auch B, und) (3.8)

(Durchschnittsmenge, Produkt) (andere Schreibweise: A ⋅ B = D) Z. B. Würfel: D = Wurf einer 2

Axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitsrechnung durch KOLMOGOROFF (1933) (kein Widerspruch zu den älteren Definitionen):

1. Sind A und B Ereignisse, so sind auch A , A ∪ B, A ∩ B, B Ereignisse.

2. Jedem Ereignis ist eine reelle Zahl P(A) ≥ 0 zugeordnet.

3. Ein sicheres Ereignis E hat die Wahrscheinlichkeit P(E) = 1.

4. Wenn sich A und B ausschließen, so ist P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

5. Sind A1, A2, …, An Ereignisse, die niemals alle gleichzeitig eintreffen können, so ist:

n

1 2 nlim P(A A A ) = 0→∞

∩ ∩ K (3.9)

Aus den Axiomen abgeleitete Beziehungen:

Das unmögliche Ereignis 0 hat die Wahrscheinlichkeit 0.

P(0) = 0 (3.10)

0 ≤ P(A) ≤ 1 (3.11)

Für paarweise fremde Ereignisse A1, A2 … gilt:

P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … An) = P(A1) + P(A2) + … P(An) (3.12)

Zusammenhang zwischen den Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A ∪ B und A ∩ B bei Ereignissen, die sich nicht ausschließen:

Abbildung 3.2: zusammengesetzte Ereignisse


Seite 27

Ereignisse:

A ∪ B = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) (3.13)

A = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ B) (3.14)

B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) (3.15)

Wahrscheinlichkeiten:

P(A ∪ B) = P(A ∩ B ) + P(A ∩ B) + P(A ∩ B) +

P(A) = P(A ∩ B ) + P(A ∩ B) -

P(B) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) -

P(A ∪ B) - P(A) - P(B) = - P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Beispiel 3.2:

Abbildung 3.3

A: Wurf einer Zahl < 3:

1, 2; P(A) =2

6

B: Wurf einer geraden Zahl:

2, 4, 6; P(B) =3

6

A ∪ B: Wurf einer geraden Zahl oder einer Zahl < 3:

1, 2, 4, 6; P(A B) =4

6∪

A ∩ B: Wurf einer geraden Zahl < 3:

2; P(A B) =1

6∩

P(A B) =2

6

3

6

1

6

4

6∪ + − =


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Durch die Axiomatik ist festgelegt, wie man mit Wahrscheinlichkeiten rechnet, nicht aber, was der Begriff Wahrscheinlichkeit bedeutet. Auf eine solche Definition wird nach der objektivistischen Auffassung verzichtet; man begnügt sich mit der Häufigkeitsinterpretation: Bei einer langen Versuchsreihe nähert sich die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses, wenn die Versuchsbedingungen gleich bleiben (stochastische Konvergenz). Ist P(A) = pi, so ist bei N Versuchen das Ereignis A in etwa Npi Fällen zu erwarten (theoretische Anzahl).

3.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit, stochastische Unabhängigkeit Voraussetzung: P(A) ≠ 0; P(B) ≠ 0

P(A/B) = Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass Ereignis B eingetreten ist.

P(B/A) = Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses B unter der Voraussetzung, dass Ereignis A eingetreten ist.

Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

P(A / B) =P(A B)

P(B) P(B / A) =

P(A B)

P(A)

∩ ∩ (3.16)

Beispiel 3.3:

Würfel A = 2 B = gerade Zahl = 2, 4, 6

1

16

61 =P(B/A) ;

31

12

61 =P(A/B)

21=P(B) ;

61=P(A) ;

61=B)P(A

=⋅=⋅

∩

Definition der stochastischen Unabhängigkeit:

P(A/B) = P(A) und P(B/A) = P(B) (3.17)

Die Kenntnis über das Eintreten des Ereignisses B gibt keinerlei Hinweise darauf, ob das Ereignis A eintritt oder ob es nicht eintritt.

Folgerung aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

P(A ∩ B) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A) (3.18)

Für stochastisch unabhängige Ereignisse gilt dann:

P(A ∩ B) = P(A) P(B) (3.19)

Beispiel 3.4:

Nivellementsnetz mit drei Schleifen:

Als Zufallsereignisse werden die Vorzeichen der Widersprüche betrachtet.

Voraussetzung:

Positive und negative Vorzeichen treten gleich häufig auf; die Vorzeichen in den Schleifen sind stochastisch unabhängig.


Seite 29

Abbildung 3.4: Nivellementschleifen

Elementarereignisse:

A (w1 positiv) P(A) = 0,5

A (w1 negativ) P(A) = 0,5

B (w2 positiv) P(B) = 0,5

B (w2 negativ) P(B) = 0,5

C (w3 positiv) P(C) = 0,5

C (w3 negativ) P(C) = 0,5

Einige zusammengesetzte Ereignisse:

B ∩ C (w2 und w3 positiv)

P(B ∩ C) = P(B) ⋅ P(C) = 0,25

(wegen Annahme der Unabhängigkeit)

B ∪ C (w2 oder w3 oder beide positiv)

P(B ∪ C) = P(B) + P(C) - P(B ∩ C) = 0,75

B/C (w2 positiv unter Voraussetzung, dass w3 positiv)

P(B / C) =P(B )

P(C)=

0,25

0,5= 0,5 = P(B)

∩ C

Die Ereignisse B und C sind stochastisch unabhängig.

B ∩ C/C (w2 und w3 positiv unter Voraussetzung, dass w3 positiv)

P(B C / C) =P(B )

P(C)=

P(B )

P(C)=

0,25

0,5= 0,5 P(B C)∩

∩ ∩ ∩≠ ∩

C C C

Das zusammengesetzte Ereignis B ∩ C ist abhängig von C.

B ∩ C/C (w2 und w3 positiv unter Voraussetzung, dass w3 negativ)

P(B C / C) =P(B )

P(C)=

0

0,5= 0∩

∩ ∩C C

Das Ereignis ist unmöglich.

A ∩ B ∩ C (alle w sind positiv)

P(A ∩ B ∩ C) = P(A ∩ B) ⋅ P(C) = P(A) ⋅ P(B) ⋅ P(C) = 0,125

(A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C ) (Die drei Widersprüche haben gleiches Vorzeichen)

P{(A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C )} = P(A ∩ B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C ) = 0,125 + 0,125 = 0,25

Grundgesamtheit (wenn die Voraussetzung zutrifft):

w1 w2 w3

1

2

3

4

5

6

7

8

+

+

+

+

-

-

-

-

+

+

-

-

+

+

-

-

+

-

+

-

+

-

+

-

pi = const


Seite 30

A ∩ B ∩ C/B ∩ C (Alle Widersprüche positiv unter Voraussetzung., dass w2 und w3 positiv)

P(A B C / B C) =P(A B )

P(B C)=

0,125

0,25= 0,5∩ ∩ ∩

∩ ∩

∩

C

(A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C )/C (Die drei Widersprüche haben gleiches Vorzeichen unter der Voraussetzung, dass w3 positiv)

P{[(A B C) (A B C)]/ C} =P{[(A B ) (A B C)] C}

P(C)=

P(A B )

P(C)= 0,25

= P{(A B C) (A B C)}

∩ ∩ ∪ ∩ ∩∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩

∩ ∩

∩ ∩ ∪ ∩ ∩

C

C

Die Ereignisse „gleiches Vorzeichen aller Widersprüche“ und „w3 positiv“ sind voneinander stochastisch unabhängig.

3.5 Stochastische Veränderliche, Verteilung, Wahrscheinlichkeitsdichte Ein Ereignis A kann als Ausfall eines stochastischen Experimentes (z.B. Wurf mit einem Würfel) durch eine Zahlenangabe charakterisiert werden. Dazu gehört eine Beschreibung des Experimentes.

Beispiel 3.5:

Würfel: li = Augenzahl

Beschreibung: idealer Würfel, ggf. Angaben über die Augenzahlanordnung

Beispiel 3.6:

Beobachtungen: li = Meßwert, Ablesung

Beschreibung: Messvorgang, Genauigkeitsangaben, u.U. Zusatzmessungen für Korrekturen

3.5.1 Merkmale von zufälligen Ereignissen determinierte Ereignisse - zufällige Ereignisse

qualitative Merkmale quantitative Merkmale

(artmäßig) (zahlenmäßig) z.B. Geschlecht, z.B. Alter, Einkommen,

Autotyp, Beruf, Messungszahlen aller Art

Beobachter

diskrete Merkmale stetige Merkmale

(alle Werte innerhalb eines

Bereiches sind möglich)

Die Unterteilung kann bei Anwendung auf praktische Probleme nicht durchgeführt werden. Die Übergänge sind fließend.


Seite 31

Z.B. ist das Gewicht eines Menschen zweifellos ein stetiges Merkmal. Durch die begrenzte Messgenauigkeit einer Waage kann das Gewicht nur klassenweise erfasst werden; die Maßzahl ist diskret.

Andererseits ist das Einkommen eines Menschen sicher diskret (es kann sich nicht weniger als um einen Cent ändern). In der Praxis lassen sich derartig feinabgestufte diskrete Merkmale genauso behandeln wie stetige Merkmale.

Die dem „Experiment“ zugeordnete Variable heißt stochastische Veränderliche (Zufallsveränderliche).

Es wird unterschieden zwischen der Zufallsvariablen X und dem Zahlenwert xi, der sich in dem Experiment i für die Variable ergibt.

Beispiel 3.7:

Würfelexperiment: X = Augenzahl

P(X = 5) =1

6 ; P(X > 2) =

2

3

Bei diskreten Veränderlichen:

jj p=)x=X(P

∑ = 1p j (3.20)

Beispiel 3.8:

Würfel

Abbildung 3.5: punktweise Massenbelegung

pj kann auch als punktweise Massenbelegung gedeutet werden.

3.5.2 Stetige Veränderliche Hier ist es nur sinnvoll, nach der Wahrscheinlichkeit dafür zu fragen, dass das Ereignis in einem bestimmten Intervall liegt.

P X b(a < ) = f(t)dta

b

< ∫ (3.21)

f(t) heißt Wahrscheinlichkeitsdichte.

P X(- ) = f(t)dt-

+

∞ < < +∞ =∞

∞

∫ 1 (3.22)


Seite 32

Differential an der Stelle t = x (entspricht pj bei diskreter Verteilung):

dP(x) = P(t < x < t+dt) = f(t)dt (3.23)

Abbildung 3.6:stetige Massenbelegung, Wahrscheinlichkeitsdichte

f(t) kann auch als stetige Massenbelegung gedeutet werden (Wahrscheinlichkeitsdichte).

3.6 Verteilungsfunktion

3.6.1.1 Diskrete Verteilungen:

Definition nach KREYSZIG:

F(x) = P(X ≤ x) (3.24)

(Summenkurve der pj von -∞ bis X = x einschließlich)

Andere, jedoch nicht benutzte Definition nach GNEDENKO:

FG(x) = P(X<x) (3.25)

3.6.1.2 Stetige Verteilungen:

F x P X x( ) = = ∞ ≤ ≤∞

∫ f(t)dt (- )-

x

(3.26)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )bXaPaFbF

bXaPaXPbXP

xfxF,1F,0F

<<+=

<<+<=<

=′=∞+=∞−

Wahrscheinlichkeit dafür ,dass X im Intervall a…b liegt:

dt)t(f)a(F)b(F=)b<X<a(Pb

a∫=− (3.27)


Seite 33

Abbildung 3.7: Wahrscheinlichkeitsdichte (f(t) und F(t) in unterschiedlichem Maßstab)

Abbildung 3.8: Wahrscheinlichkeitsfunktion

3.7 Maßzahlen zur Charakterisierung von Grundgesamtheiten beliebiger Wahrscheinlichkeitsdichte

3.7.1 Erwartungswert Erwartungswert:

• Mittelwert,

• wahrer Wert bei stetigen Verteilungen,

• Durchschnitt

• Maßstab für die Lage der Verteilung, andere Maße sind möglich

•

Definition des Erwartungswertes:

für diskrete Verteilungen

ξ = = ∑E X x pi i( ) (3.28)

für stetige Verteilungen

ξ = = ⋅ = ⋅∞

∞

∞

∞

∫ ∫E X( ) x f(x)dx x dF(x)-

+

-

+

(3.29)


Seite 34

Benutzt man v. Mises Wahrscheinlichkeitsdefinition:

pn

ni

i=→∞ →∞n

in

lim r = lim (3.5)

so wird:

ξ = ∑ =→∞ →∞n nlim lim

n x

n

l

ni i [ ]

(3.30)

Ist eine Zufallsvariable oft beobachtet, so erwartet man, dass das arithmetische Mittel dem Erwartungswert sehr nahe kommt.

Verallgemeinerung:

{ }E g X g x pi i( ) ( )= ∑ (3.31)

{ }E g X( ) = ⋅ = ⋅∞

∞

∞

∞

∫ ∫g(x) f(x)dx g(x) dF(x)-

+

-

+

(3.32)

Beispiel 3.9:

g(X) = aX + b (lineare Funktion)

43421434211

(x)dxfb

)X(E

(x)dxfxaf(x)dx)bax()baX(E+

-

+

-

+

-∫∫∫∞

∞

∞

∞

∞

∞

⋅+⋅⋅=⋅+=+

E(aX+b) = a(EX) + b

Eine häufig gebrauchte lineare Funktion ist:

E = ξ -X = E(X) - X (3.33)

→ Abweichung vom Erwartungswert = wahrer Fehler

E(E) = ξ - E(X) = 0 (3.34)

Bei nichtlinearen Funktionen g(X) ist in der Regel die Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsdichte notwendig, um den Erwartungswert E{g(X)} berechnen zu können.

Spezielle nichtlineare Funktionen:

Die Erwartungswerte der Funktionen g(X) = Xν mit ν = 0, 1, 2, … heißen Momente.

Die Erwartungswerte der Funktionen (-E)ν = (X- ξ )ν mit ν = 0, 1, 2, … heißen zentrale Momente.

E(E0) = 1 (3.35)

E(E1) = 0 (3.36)

E(E2) = E{( ξ -X)2} (3.37)

M


Seite 35

3.7.2 Streuung, Varianz, Dispersion, Standardabweichung Maß für die Breitenausdehnung der Verteilung; andere Maße sind möglich.

Definition der Varianz (siehe z.B. KREYSZIG, S.87ff.):

σ2 = E{(X-E(X))2} (3.38)

Aus der Definition abgeleitet:

( ){ } ( ) ( )

( ) ( ) ( )43421

ξ

+∞

∞−

ξ+⋅ξ−=ξ+ξ−=σ

==ξ−=σ ∫22222

22

XE2XEX2XE

dfEXE EEEE 22

σ2 = E(X2) - ξ 2 (3.39)

Varianz = (Erwartungswert von X2) minus (Quadrat des Erwartungswertes von X)

Benutzt man v. Mises Wahrscheinlichkeitsdefinition:

pn

ni

i=→∞ →∞n

in

lim r = lim (3.5)

so wird nach Abschnitt3.7.1:

σ2 = E(E2) = nlim →∞

n

ni Ei

2 = nlim →∞

1

n[E2] (3.40)

Beachte die verschiedenen gebräuchlichen Bezeichnungsweisen:

σ2 = Varianz, Streuung, Streuungsquadrat, mittleres Fehlerquadrat, Dispersion D2(X)

σ = Standardabweichung, Streuung, mittlerer Fehler

σ bezieht sich jeweils auf ein Element der Grundgesamtheit.

Verallgemeinerung:

σg2 = E{(g(X) - E(g(X)))2} (3.41)

Für g(X) = aX + b gilt:

σ2aX+b = E{(aX+b - a ξ - b)2} = a2 E{(X - ξ )2} = a2σ2 (3.42)

(Fehlerfortpflanzungsgesetz)

3.8 Zusammenwirken mehrerer Zufallsvariabler

3.8.1 Verteilungsfunktion und Dichte Bei einem Experiment interessiert das gleichzeitige Eintreten mehrerer Ereignisse A, B, …, deren Merkmale durch die stochastischen Veränderlichen X, Y, … beschrieben werden.


Seite 36

Bei zwei Veränderlichen:

Zweidimensionale stetige Dichteverteilung f(x,y):

-

+

-

+

∞

∞

∞

∞

∫ ∫ =f x y dxdy( , ) 1 (3.43)

Definition der Verteilungsfunktion:

F(x,y) = P(X<x ∩ Y<y)

F(x,y) = - -∞ ∞

∫ ∫x y

ft zdtdz( , ) (3.44)

Will man allein ein Merkmal der Verteilung untersuchen, so betrachtet man

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )yYPyYXPy,FxF

xXPYxXP,xFxF

2

1

<=<∩∞<=∞=

<=∞<∩<=∞=

F1(x) und F2(y) heißen Randverteilungen.

Sind A und B stochastisch unabhängig, so heißen auch X und Y voneinander unabhängig.

Für unabhängige Veränderliche gilt:

F(x,y) = P(X<x ∩ Y<y) = P(X<x) ⋅ P(Y<y)

F(x,y) = F1(x) ⋅ F2(y) (3.45)

f(x,y) = f1(x) ⋅ f2(y) (3.46)

Beispiel 3.10:

Instrumentensammlung, in der u.a. 30 Lote sind

Merkmal Ι : Länge der Lotschnur 1m, 2m, 3m (x)

Merkmal ΙΙ : Gewicht der Lote 200g, 400g, 600g (y)

Ι

ΙΙ

1m 2m 3m f2(y)

200g

400g

600g

4

3

1

2

6

4

0

4

6

6/30

13/30

11/30

f1 (x) 8/30 12/30 10/30

⇒ f(x,y) ≠ f1(x) ⋅ f2(y), da x und y nicht voneinander unabhängig sind.


Seite 37

Abbildung 3.9: Wahrscheinlichkeitsdichte f(x,y)

Bei einer stetigen zweidimensionalen Verteilung lässt sich die Dichte als Raumfläche darstellen. Die Raumfläche kann auch durch Höhenlinien = Linien gleicher Wahrscheinlichkeitsdichte dargestellt werden.

Abbildung 3.10: stetige zweidimensionale Verteilung

3.8.2 Erwartungswert bei einer Funktion von mehreren Zufalls-veränderlichen Definition:

E g X Y g x y dF f{( , )} ( , )= = ⋅∞

∞

∞

∞

∫ ∫(x,y) g(x,y) (x,y)dxdy-

+

-

+

(3.47)

Erwartungswert für die Summe bzw. Differenz zweier Veränderlicher:

g(X,Y) = X ± Y

)Y(E )X(E

)y,x(ydF)y,x(xdF)y,x(dF)yx()YX(E+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

±=

±=±=± ∫∫∫∫∫∫∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞


Seite 38

In jedem Fall, auch wenn X und Y nicht stochastisch unabhängig sind, gilt also

E(X ± Y) = E(X) ± E(Y) (3.48)

(siehe Beispiel 3.11)

Erwartungswert für das Produkt der Funktionen zweier Veränderlicher:

g(X,Y) = g(X) ⋅ h(Y)

∫∫∞

∞

∞

∞

⋅=⋅+

-

+

-

dxdy)y,x(f)y(h)x(g)}Y(h)X(g{E

Für stochastisch unabhängige Veränderliche zerfällt die Dichte f(x,y) in f1(x)f2(y). Nur dann lässt sich das Doppelintegral durch das Produkt zweier Integrale darstellen:

E g X h Y g xf f

E h Y

{ ( ) ( )} ( )

{( )}

⋅ = ⋅∞

∞

∞

∞

∫ ∫1 2(x)dx

E{g(X)}

h(y) (y)dy-

+

-

+

1 244 344 1 2444 3444

Bei stochastischer Unabhängigkeit von X und Y gilt also:

E{g(X) ⋅ h(Y)} = E{g(X)} ⋅ E{h(Y)} (3.49)

Die Umkehrung dieser Aussage gilt nicht allgemein:

Wenn E{g(X)}⋅E{h(Y)} = E{g(X)⋅h(Y)} ist, so müssen nicht unbedingt X und Y voneinander unabhängig sein (siehe Beispiel 3.12).

Beispiel 3.11:

X Y = aX X+Y X⋅Y

x1

x2

⋅

⋅

⋅

xn

ax1

ax2

⋅

⋅

⋅

axn

(1+a)x1

(1+a)x2

⋅

⋅

⋅

(1+a)xn

ax12

ax22

⋅

⋅

⋅

axn2

E(X) E(Y)=aE(X) E(X+Y) = (1+a)E(X) E(X⋅Y) = aE(X2)

E(X) E(Y)=aE(X) E(X)+E(Y) = (1+a)E(X) E(X)⋅E(Y) = E(X)⋅aE(X) = a{E(X)}2 ≠ aE(X2)


Seite 39

Beispiel 3.12:

(Urne mit gleichviel Kugeln -1 und +1)

X Y = X2 X ⋅ Y = X3

i p

-1 0,5

+1 0,5

i p

+1 0,5

+1 0,5

i p

-1 0,5

+1 0,5

E(X) = 0 E(Y) = +1 E(XY) = 0 = E(X)⋅E(Y)

obgleich X und Y nicht stochastisch unabhängig sind

3.8.3 Varianz für Funktionen von Zufallsveränderlichen

3.8.3.1 Linearisierung von nichtlinearen Funktionen

Beispiel 3.13:

Messung von zwei Bandlagen

gemessen: zwei Bandlagen

gesucht : Gesamtstrecke

F = X1 + X2

(lineare Funktion der Zufallsveränderlichen X1 und X2)

Beispiel 3.14: (Dritter Winkel im Dreieck)

gemessen: zwei Winkel im Dreieck

gesucht : der dritte Winkel

Abbildung 3.11: dritter Winkel im Dreieck

F = 200 g - X1 - X2

(lineare Funktion der Zufallsveränderlichen X1, X2 und der Konstanten 200 g)

Beispiel 3.15: (indirekte Entfernungsmessung)

gemessen: zwei Winkel (X1, X2) und die Strecke (X3)

gesucht: die Strecke F


Seite 40

Abbildung 3.12: indirekte Entfernungsmessung

)XXsin(XsinXF

21

23 +

=

(nichtlineare Funktion der Zufallsveränderlichen X1, X2 und X3)

Nichtlineare Funktionen F lassen sich unter Vernachlässigung von Gliedern höherer Ordnung linearisieren, wenn F im betrachteten Bereich stetig differenzierbar ist.

Diese Bedingung wird im folgenden immer vorausgesetzt, soweit nicht ausdrücklich etwas anderes vermerkt ist.

( ) KK ,,,,X,XfF 2121 σσ=

F sei in dem betrachteten Bereich stetig differenzierbar.

Gl.h.O. +)x-(X)xf(+)x-(X)

xf(+),x,f(x=F 0

0

0

0

00

222

111

21 KK∂∂

∂∂ (3.50)

0)xf(

i∂∂ = partielle Ableitung von f nach xi an der Stelle K ,x,x 00

21 = Konstante = fi

K ,x,x 00

21 sind Näherungswerte, die so gewählt sind, dass man die Reihenentwicklung nach den linearen Gliedern abbrechen kann.

K

K

+ X f + Xf + f=F

+ )x-(X f + )x-(Xf + f=F

22110

2221110

00

Die Differentialquotienten (f

x)

i

∂

∂ können auch durch die Differenzenquotienten (

f

x)

i

∆

∆ ersetzt und

direkt berechnet werden.

Allgemeine Form der linearen Funktion F von n Zufallsveränderlichen Xi:

nn22110 X f + + X f + Xf + f=F K (3.51)

3.8.3.2 Varianz einer linearen Funktion von korrelierten Zufallsveränderlichen Xi

Zunächst Beschränkung auf zwei Zufallsveränderliche X1 und X2:

F = f + f X + f X0 1 1 2 2

Die Werte f0, f1 und f2 sind durch das gewählte mathematische Modell bekannt.


Seite 41

( ) ( )

( ){ } ( ){ }( ) 22110

22

222

21

211

2211

fffFE

XE,XE

XE,XE

ξ+ξ+=Φ=

σ=ξ−σ=ξ−

ξ=ξ=

( ){ }22F FE Φ−=σ ,

(siehe Definition Erwartungswert in Abschnitt 3.7.2)

( )[ ]{ }( ) ( )[ ]{ }( ){ } ( ){ } ( )( ){ }

( ) }{ ( ) }{ ( )( )}{( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )}{ ( )21221121

212122

22

21

21

2F

212122

22

21

21

2F

2211212

2222

211

21

2F

2211212

2222

211

21

2F

2222111

2F

22211022110

2F

X;XCovXXEE

Eff2ff

Eff2EfEf

XXEff2XEfXEf

XXEff2XfEXfE

XfXfE

XfXffEXfXffE

=ξ−ξ−=

+σ+σ=σ

++=σ

ξ−ξ−⋅+ξ−⋅+ξ−⋅=σ

ξ−ξ−+ξ−+ξ−=σ

ξ−+ξ−=σ

++−++=σ

EE

EE

EEEE

Allgemeine Definition der Kovarianz zweier Zufallsveränderlicher Xi und Xk (siehe Abschnitt 3.8.4)

Fehlerfortpflanzungsgesetz für korrelierte Beobachtungen:

( ) 22

222121

21

21

2F fX;XCovff2f σ++σ=σ (3.52)

Erweiterung für mehr als zwei Zufallsveränderliche:

22110 X f + Xf + f=F + f3 X3 + …

( ) ( )( )

K

K

K

+σ+

++σ+

+++σ=σ

23

23

323222

22

3131212121

21

2F

f

X,XCovff2f

X,XCovff2X,XCovff2f

(3.53)

Um die Varianz σF2 berechnen zu können, müssen neben den Varianzen σi

2 auch alle Kovarianzen Cov(Xi, Xk) bekannt sein (Kovarianzmatrix).

Darstellung der Varianz σF2 als quadratische Form in Matrizenschreibweise:

F - f = f X + f X0 1 1 2 2 + … = fT X (3.54)

mit: fT = ( f1, f2, … , fn ) (Vektor der bekannten Koeffizienten der Zufallsveränderlichen Xi) und

XT = ( X1, X2, … , Xn ) (Vektor der Zufallsveränderlichen)


Seite 42

Kovarianzmatrix der Zufallsveränderlichen Xi:

C

Cov X X Cov X X

Cov X X Cov X X

Cov X X Cov X Xxx =

σ

σ

σ

12

1 2 1 3

2 1 22

2 3

3 1 3 2 32

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

L

L

L

M M M

(3.55)

Falksches Schema:

( ) ( ) ( )2F321

3

2

1

232313

322

212

31212

1

fff

fff

)X,X(Cov)X,X(Cov

)X,X(Cov)X,X(Cov)X,X(Cov)X,X(Cov

σ

σσ

σ

LLL

σF2 = fT Cxx f (3.56)

3.8.3.3 Varianz einer linearen Funktion von unabhängigen Zufallsveränderlichen Xi

Für den Spezialfall unabhängiger Beobachtungen gilt (siehe Abschnitt 3.8.2):

( ) ( )( ){ } ( ) ( )

( ) ( ) 0EEXEXEXXEX,XCov

ki

kkiikkiiki

=⋅=ξ−⋅ξ−=ξ−ξ−=

EE (3.57)

Das entspricht bei der v. Mises’schen Definition dem Ausdruck:

nlim →∞

1

n[Ei Ek] = 0 (3.58)

Kovarianzmatrix für unabhängige Zufallsveränderliche:

Cxx

n

=

σ

σ

σ

σ

12

22

32

2

0

0

O

(3.59)

Zufallsveränderliche, für die die Kovarianz Null ist, heißen unkorreliert. Stochastisch unabhängige Größen sind immer unkorreliert. Die Umkehrung gilt aber nicht (siehe Beispiel 3.12).

Spezielles Fehlerfortpflanzungsgesetz für lineare Funktionen unabhängiger Beobachtungen:

F - f = f X + f X0 1 1 2 2 + … = fT X

mit fT = ( f1, f2, … , fn )

XT = ( X1, X2, … , Xn )

und Cxx als Diagonalmatrix

σF2 = fT Cxx f


Seite 43

σF2 = f1

2 σ12 + f2

2 σ22 + … + fn

2 σn2 = ( )f

n

λ λλ

σ 2

1=∑ (3.60)

Hinweis:

Da hier von der Eigenschaft Cov (Xi, Xk) = 0 Gebrauch gemacht wird, gilt die Gleichung nicht nur für unabhängige, sondern im allgemeinen Sinn für nicht korrelierte Zufallsveränderliche.

Grundsätzliche Beispiele, die häufig verwechselt werden:

1. n voneinander unabhängige Zufallsgrößen werden addiert (n-maliges Aneinanderfügen)

(siehe Beispiel 3.13)

22F

n21

2n

22

21

2F

n21

n

111

xxxF

σ⋅=σ

σ=σ==σ=σ

σ⋅++σ⋅+σ⋅=σ

+++=

K

K

K

nF σ=σ (3.61)

2. Aber: Eine Zufallsgröße wird mit n multipliziert (siehe Beispiel 3.15)

222F

1

1

n

xnF

σ⋅=σ

σ=σ

⋅=

σ⋅=σ nF (3.62)

3. Arithmetisches Mittel aus n Zufallsgrößen (n-malige Wiederholung)

nn1n) (

n1

mit )n1( )

n1()

n1(

)x xx(n1F

22

2222

22

F

i2

n22

222

122

F

n21

σ=σ⋅=σ++σ+σ=σ

⇒σ=σσ++σ+σ=σ

+++=

K

K

K

nFσ

=σ (3.63)

Bemerkungungen:

• Ist die Funktion F nicht linear in Xi, so muss sie linearisiert werden. An die Stelle der Xi treten die dXi bzw. ∆Xi.

• Vor Anwendung der Formel für σF2 sind alle Anteile, die zu einem Differential dxi gehören,

zusammenzufassen.


Seite 44

Aber:

Haben mehrere Messungen xi, xk gleiche Standardabweichungen σi = σk, so darf erst in der Gleichung σF

2 = … die Standardabweichung σi = σk gesetzt werden. Beispiel 3.16:

Berechnung einer Dreiecksfläche

Abbildung 3.13: Dreiecksfläche

F a b= ⋅ ⋅1

2sin γ

dF b da a db a b d= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅1

2

1

2

1

2sin sin cosγ γ γ γ

Dimensionskontrolle: dγ im Bogenmaß:

dFF

ada

F

bdb

Fd= + +

tan γγ

σ σ σγ

σ σσ

ργ γγ

F a b

cc

cc

F

a

F

b

F2

22

22

2

2=

+

+

=

tan mit

Für den Spezialfall σa2 = σb

2 = σs2 darf erst jetzt zusammengefasst werden.

σ σγ

σ

ρ

γF s

cc

cc

F

a

F

b

F2

2 22

2 2

=

+

+

tan

σ σγ

σ

ρ

γF s

cc

cc

F

a

F

b

F=

+

+

2 22

2 2

tan

gegeben: a ± σa

b ± σb

γ ± σγ

gesucht: F ± σF

C

a

b=

σ

σ

σγ

2

2

2

0

0


Seite 45

3.8.4 Kovarianz und Korrelationskoeffizient zweier Zufallsveränderlicher

3.8.4.1 Definitionen und mathematische Beziehungen

( ) ( )( ){ }kkiiki XXEX,XCov ξ−ξ−= (3.64)

( ) ki

ki

ik

ki

kikiki +

)(X E -

)(X E -)X(X E=X,XCov ξξ

ξξ

ξ

ξξ

ξ4342143421

Cov (Xi, Xk) = E (Xi⋅Xk) - ξ i ⋅ ξ k (3.65)

Für i = k erhält man die Definitionsgleichung der Varianz:

Cov (Xi, Xi) = E { (Xi - ξ i)2 } = σi2 (3.66)

Cov (aXi, bXk) = E { (aXi - a ξ i) (bXk - b ξ k) } = ab Cov (Xi, Xk) (3.67)

Die Kovarianz ist also als Maß der Korrelation ungeeignet.

Korrelationskoeffizient:

ρσ σi k

i k

i k

Cov X X,

( , )= (3.68)

Cov (Xi, Xk) = ρik ⋅ σi ⋅ σk (3.69)

ρσ σ

ρaX bXi k

i ki ki k

a b Cov X X

a b, ,

( , )=

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅= (3.70)

Der Korrelationskoeffizient ist unabhängig von der Wahl der Zufallsveränderlichen.

Für Xk = bXi wird:

( )

1b

b

bX,XCov

b

ii

2i

k,i

2iki

2i

22k

+=σ⋅σ⋅

σ⋅=ρ

σ=

σ=σ

Für Xk = -bXi wird entsprechend:

ρi,k = -1

Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für die lineare Abhängigkeit zweier Zufallsveränderlicher.


Seite 46

Für die Funktion F X Xi

ik

k= ±1 1

σ σ gilt:

022

0**

)X ,(X Cov1211

k,i2F

kik,i

kiki

2k2

k

2i2

i

2F

≥ρ±=σ

≥

σσρσσ

±σσ

+σσ

=σ4434421

Die Ungleichung ist nur erfüllt für -1 ≤ ρik ≤ +1.

3.8.4.2 Berechnung von Kovarianzen und Kovarianzmatrizen

Zunächst wieder Beschränkung auf zwei Zufallsveränderliche X1 und X2. Zur weiteren Bezeichnung und zu den Einzelschritten der Ableitung siehe Abschnitt 3.8.3.2.

22110

22110

XgXggG

XfXffF

++=

++=

Cov (F,G) = E{(F-E(F)) (G-E(G))} (gemäß Definition der Kovarianz (3.64) )

Die Konstanten f0 und g0 haben für die weiteren Berechnungen keine Bedeutung.

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )( ){ } ( )2222222111221

21111

22222221112221121

21111

222111222111

XEgfXXEgfgfXEgfG,FCov

XgfXXgfXXgfXgfEG,FCov

XgXgXfXfEG,FCov

ξ−⋅+ξ−ξ−⋅++ξ−⋅=

ξ−+ξ−ξ−+ξ−ξ−+ξ−=

ξ−+ξ−⋅ξ−+ξ−=

( ) ( ) ( ) 2222211221

2111 gfX,XCovgfgfgfG,FCov σ⋅+⋅++σ⋅= (3.71)

Erweiterung auf n Zufallsveränderliche Xi :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )K

K

K

K

+

+σ⋅+⋅+⋅+

+⋅+σ⋅+⋅+

+⋅+⋅+σ⋅=

233332233113

323222222112

313121212111

gfX,XCovgfX,XCovgf

X,XCovgfgfX,XCovgf

X,XCovgfX,XCovgfgfG,FCov

(3.72)

Die Kovarianz Cov(F,G) kann als bilineare Form mit der Kovarianzmatrix Cxx der Zufallsveränderlichen Xi als Formmatrix aufgefasst werden.

Cov (F,G) = fT Cxx g = gT Cxx f (3.73)

Für den Spezialfall unabhängiger Zufallsveränderlicher Xi gilt Abschnitt 3.8.3.3:

Cxx ist dann die Diagonalmatrix:

Cxx

n

=

σ

σ

σ

12

22

2

0

0

O


Seite 47

und damit die Kovarianz zweier Funktionen unabhängiger Zufallsveränderlicher:

Cov (F,G) = f1g1 σ12 + f2g2 σ2

2 + … + fngn σn2 = f gi i i

i

n σ 2

1=∑ (3.74)

Bemerkung:

Gilt für alle fi und gi

fi = gi , dann geht die Kovarianz in die Varianz σF2 über.

Kovarianzmatrix CFF mehrerer Funktionen der beliebigen Zufallsvariablen Xi:

XfXfXfXfXfF

XfXfXfXfXfF

XfXfXfXfXfF

Tunn,u33,u22,u11,uu

TIInn,II33,II22,II11,IIII

TInn,I33,I22,I11,II

=⋅++⋅+⋅+⋅=

=⋅++⋅+⋅+⋅=

=⋅++⋅+⋅+⋅=

K

MMMMMM

K

K

Die römische Zahl im Index kennzeichnet die Nummer der Funktion (hier also F I ≡ F und F II ≡ G der Rechenformeln).

Die Elemente der Kovarianzmatrix CFF lassen sich einzeln nach den angegebenen Rechenformeln berechnen. Mit:

fT i = (f i,1 , f i,2 , … , f i,n)

wird

σFi2 = fT

i CXX f i (3.75)

und

Cov (Fi, Fk) = fT i CXX f k = fT

k CXX f I (3.76)

Werden die Vektoren f i zur Matrix

F

f f f

f f f

f

f

u n

n

n

T

T,

, , ,

, , ,

=

=

I I I

u u u

I

u

1 2

1 2

L

M M M

L

M

zusammengefasst, so gilt in geschlossener Matrizenschreibweise für die Kovarianzmatrix CFF der Funktionen F I … F u mit:

f = Fx fT = (F I , F II , … , F u)

C F C F

f C f f C f f C f

f C f f C f f C f

f C f f C f f C f

FFu u

XXT

TI xx

TI xx

TI xx

TII xx

TII xx

TII xx

Tu xx

Tu xx

Tu xx

( , )

= ⋅ ⋅ =

(u,n) (n,n) (n,u)

I II u

I II u

I II u

L

LM M M

L

(3.77)


Seite 48

Verallgemeinerung für die Kovarianzmatrix CGG , wenn die Funktionen GI … Gr Funktionen der FI … Fu und diese Funktionen der X1 … Xn m sind:

TxxFF FCFC

xFf

fGg

⋅=

⋅=

⋅=

CGG = G CFF (3.78)

GT = G F CXX FT GT (3.79)

Zum Rechengang:

1. Die Kovarianzmatrix CXX ist aufgrund theoretischer Überlegungen oder aus Vorberechnungen bekannt. CFF wird berechnet und damit CGG.

2. Die X sind aufgrund des mathematischen Modells unabhängige Zufallsveränderliche. Die CXX-Matrix ist dann eine Diagonalmatrix. Wenn nur die Matrix CGG benötigt wird, kommt man in dem Fall ohne Berechnung der CFF-Matrix aus; dafür muss aber das Matrizenprodukt GF berechnet werden (Rückführung auf unabhängige Beobachtungen).

3.9 Effiziente Schätzung = wirksame Schätzung Die Schätzung x für den Erwartungswert soll so bestimmt werden, dass für eine beliebige Funktion

F = f0 + f1 X1 + f2 X2 + … = f0 + fT X

gilt

σF2 = fT CXX f → Minimum

Die Forderung ist gleichbedeutend mit:

σX2 = Minimum

und

[(x - li)2] = Minimum.

Die Abweichungen vi der Beobachtungen li von der Schätzung x werden als Verbesserungen vi bezeichnet:

li + vi= x (3.80)

vi= x - li

Damit gilt auch die Forderung:

[vv] = Minimum

(Methode der kleinsten Quadrate)

3.9.1 Maximum - Likelihood - Methode = Methode der größten Mutmaßlichkeit Diese Methode zur Schätzung von Parametern setzt eine Annahme über die Verteilung der Messwerte voraus (siehe Abschnitt über die Normalverteilung).

Kapitel 4: Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen

Seite 49

4 Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen

4.1 Lineare beste Schätzung der Unbekannten

4.1.1 Vorbemerkung Die Genauigkeit berechneter (unbekannter) Größen wird durch die Hauptdiagonalglieder der betreffenden Kovarianzmatrix beurteilt.

x

x

xm

=

1

M → Cx

m m

=

σ σ

σ σ

σ σ

12

12

21 22

12

L L

M

M M O M

L L

Als Maß für alle Unbekannten führt man die Spur der Kovarianzmatrix ein:

Spur (CX) = Summe über die Diagonalelemente

4.1.2 Lineare Schätzung, unverzerrt Sei l Beobachtungsvektor für Unbekannte x in dem Zusammenhang l + v = A x (l ist Zufallsvektor, dann sind auch x und v Zufallsvektoren!) mit der Kovarianzmatrix Cl.

1. Die Unbekannten x sollen über eine lineare Rechnung aus l gewonnen werden, d.h.

x = G ⋅ l (4.1)

G ist gesucht!

2. x soll unverzerrt sein, d.h.

x = G ⋅ l = G ⋅ (Ax - v) (4.2)

Erwartungswerte:

E(x) = G (A ⋅ E(x) - E(v))

Forderung:

E(v) = 0 : unverzerrt,

d.h.

E(x) = G ⋅ A ⋅ E(x)

G ⋅ A = E (= Einheitsmatrix) (4.3)

4.1.3 Beste Schätzung

x = G ⋅ l (4.4)

dann ist die Kovarianzmatrix CX:

CX = G Cl GT (4.5)


Seite 50

G soll so bestimmt werden, dass:

Sp (CX) → min.

Spur von CX:

jlTj

xjlTjl

Tj

Tj

Tjl

l

gcg

ementDiagonalel tes-j

Cgcgcgg

G

||||| g ||||||

||| c ||

||||||

G

C

=

↑

−−−−

−−−−

↓

↓↓↓

O

O

offensichtlich ist

Sp (CX) = g CjT

l jj

g∑ (4.6)

Nebenbedingungen für gjT aus (4.3):

E1

1

Gg

|A||

Tj

−−−−

↓

O

→ gjT ⋅ A = ej

T = {0,0,…,0,1,0,…,0} (4.7)

Die j-te Komponente von x wird am genauesten dann, wenn:

gjT Cl gj → min.

unter der Nebenbedingung

gjT ⋅ A = ej

T

Lagrange Funktion:

φ(gj , λj) = gjT Cl gj - 2 (gj

T A - ejT ) ⋅ λj (4.8)


Seite 51

mit

λ

λ

λi

j

mj

=

1

M (m Anzahl der Unbekannten)

φgj = 2 gjT Cl - 2 λj

T AT = 0 (4.9)

φλj = gjT A - ej

T = 0 (4.10)

( )

( )IIegA

I0AgC

jjT

jjl

=

=λ−

Die Gleichungen (I) und (II) gelten für j = 1, 2, … , m

Sie können in Matrizenschreibweise zusammengefasst werden:

Λ = ↓ ↓ ↓ ↓

λ λ λ1 2 L

M M M M

m| | | |

| || || || || |

||

||

g G

c c g

jT

l l j

Ersetze:

Ee

Gg

j

j

Tj

→

Λ→λ

→

damit (I) und (II):

( )

( )IIEGA

I0AGC

TT

Tl

=

=Λ−

aus (I):

GT = [Cl]-1 A Λ


Seite 52

in (II):

[ ]

[ ]( ) 11l

T

1l

T

ACA

EACA

−−

−

=Λ

=Λ

eingesetzt:

[ ] [ ]( )[ ]( ) [ ]

l

1l

T11l

T

11l

T1l

T

P

CAACAG

ACAACG

↑

=

=

−−−

−−−

(4.11)

Bemerkungen:

• bzgl. Statistik keine Voraussetzung über Verteilung getroffen!

• nur Forderung E(v) = 0

• nur lineare Rechnung!

4.2 Vermittelnde Ausgleichung Zwischen den ausgeglichenen Beobachtungen l 1 … l n und den h Unbekannten x1, …, xh mit n > h gelten die Beziehungen:

l = l + v = Ax (4.12)

Die ausgeglichenen Beobachtungen l ergeben sich durch Addition der Verbesserungen v zu den Beobachtungen. Die Beobachtungen sind ferner durch die Kofaktorenmatrix Qll = (1/m0

2) Cll beschrieben.

Nach der Methode der kleinsten Quadrate wird ein Lösungsvektor x der Gestalt gesucht, für welchen vT [Qll]-1 v minimal wird.

Mit P = [Qll]-1, der Gewichtsmatrix, ergibt sich die folgende Minimumaufgabe:

φ = vT P v ==> min (4.13)

Mit

v = Ax – l (4.14)

erhält man:

( ) ( )

l

l

ll

PAPAxA

0PAPAxA

0x

AxPAx

TT

TT

TTT

=

=−

=∂Φ∂

−−=Φ

Minimum, weil ATPA positiv definit (2. Ableitung)

x = (ATPA)-1 ATPl (4.15)


Seite 53

Da

P = m02 [Cll]-1

gilt auch:

x = (AT[Cll]-1A)-1 AT[Cll]-1l

Die Minimierung der Quadratsumme der Verbesserungen und die Minimierung der Varianzen der Unbekannten sind äquivalent!

Für die übrigen Parameter gilt:

v= Ax - l = (A (ATPA)-1 ATP - E) l (4.16)

l= Ax = A (ATPA)-1 ATPl (4.17)

aus

φ= vT P v ==> min

folgt auch

0PAvxvPv2

0x

TT ==∂∂

=∂Φ∂

ATPv = 0 (4.18)

Wichtige Matrix bei vermittelnden Beobachtungen ist:

A0 = A(ATPA)-1 ATP (4.19)

Eigenschaften:

1. spezielle Einheitsmatrix, da: A0 ⋅ A0 = A0

2. A0 ⋅ A = E ⋅ A = A (nachrechnen!)

3. A0 v = 0

4. Eigenwerte von A0 sind 0 oder (und) 1:

Für einen Eigenwert λ mit dem zugehörigen Eigenvektor x muss gelten:

( )

( )**xxA

xAxAA

*xxA

20

000

0

λ=

λ=

λ=

Gleichsetzen von * und **

λ x = λ2 x

Dies ist nur erfüllt für λ = 1 oder λ = 0.


Seite 54

Berechnung der [vvP] = vTPv als Vorbereitung für die Fehlerrechnung:

a) direkte Verwendung der v aus den Fehlergleichungen

b) Ermittlung aus verschiedenen Kontrollformeln

b1)

[ ] [ ]vPvvP

PvPvv TT

l

l

−=

−=

Beweis: v Pv v P Ax lv

v PAx v PlT T T T= −=

==

−( )!

124 34 1230

b2)

( )

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]PhxPbxPaxPvvP

PAxPPvv

h21

TTTT

lllll

lll

−−−−=

−=

K

Beweis: vTPv = - lTPv = - lTP(Ax - l) = lTPl - lTPAx

b3)

( )( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ][ ] [ ][ ][ ][ ] }QhlPlPh2

QhlPalP2QblPalP2

QhlPQblPQalP{llPvvP

PlAPAAPAlPllPvv

h,1hl

lh12

hh2211

T1TTTT

−

−

++

+++

+++−=

−=

K

K

K

Beweis:vTPv = lTPl - xT(ATPl) = lTPl - lTPA(ATPA)-1(ATPl)

xT = lTPA(ATPA)-1

b4) [vvP] = [llP ⋅ h] (Mitreduktion im Normalgleichungssystem)

Beweis: siehe „Lösung von Gleichungssystemen nach dem modernisierten Gaußschen Algorithmus“


Seite 55

4.2.1 Zusammenstellung der linearen Beziehungen bei vermittelnden Beobachtungen

l x v l = l+v

1

l =

El

2

x =

[(ATPA)-1ATP]l

Ex

3

v =

[A(ATPA)-1ATP-E]l =

= (A0-E)l

Ev

[E-A(ATPA)-1ATP]v =

= (E-A0)v

4

l = l+v =

[A(ATPA)-1ATP]l =

= A0l

Ax

El

A(ATPA)-1ATPl =

= A0l

Tabelle 4-1: lineare Beziehungen bei vermittelnden Beobachtungen

Bei unabhängigen Beobachtungen gleicher Genauigkeit: P → E!

Weitere wichtige lineare Beziehungen und Definitionen:

Nach (4.3) folgt für die spezielle Einheitsmatrix (extraordinary unit matrix) bei vermittelnden Beobachtungen:

A0 = A(ATPA)-1 ATP

welche singulär und idempotent ist:

A0A = EA = A !

Es ist

(E-A0) v = v

d.h.:

A0 v = 0

Null ergibt sich für:

A0 l = l

Also

(E-A0) l= 0

A0 v = 0


Seite 56

Die v sind Eigenvektoren von (E-A0):

(E-A0)l = 0

Die l sind Eigenvektoren von A0:

ATPv = 0

4.3 Ermittlung der Kofaktoren (=Gewichtsreziproken) von Größen, welche aus der Ausgleichung hervorgehen

4.3.1 Vorbemerkungen: Das Kapitel stellt die Anwendung des allgemeinen Fehlerfortpflanzungsgesetz dar: gesucht sind die Kofaktorenmatrizen.

• Qx,x der Unbekannten x

• Qll

der ausgeglichenen Beobachtungen l = l+v

• Qv,v der ausgeglichenen Verbesserungen

Dann ergeben sich die entsprechenden Kovarianzmatrizen Cx,x, Cll, Cv,v durch Multiplikation mit m0

(woher m0 ??, noch nicht hergeleitet!)

Weg:

Die x, l , v werden als (lineare) Funktionen der ursprünglichen Beobachtung ausgedrückt, dann wird das Fehlerfortpflanzungsgesetz angewendet. Diese linearen Funktionen sind jedoch alle bereits in Tabelle 4-1 angeschrieben. Damit ergibt sich unmittelbar Tabelle 4-2.

l x v l = l+v

l

P-1 = Ql,l

A(ATPA)-1 = Ql,x

A(ATPA)-1AT-E = Ql,v

A(ATPA)-1AT = Ql l,

x

(ATPA)-1AT =

Qx,l = Qx,xAT

(ATPA)-1 = Qx,x

0

korrelations-frei!

(ATPA)-1AT = Qx l,

v

A(ATPA)-1AT-E = Qv,l

0

korrelations-frei!

P-1-A(ATPA)-1AT = Qv,v =

Ql,l - Ql l,=

(E-A0)P-1

0

korrelations-frei!

l = l+v

A(ATPA)-1AT = Ql l,

= Q

l l,

A(ATPA)-1 = Ql x,

0

korrelations-frei!

A(ATPA)-1AT=

Ql l,

= Ql,l - Qv,v

= A0P-1

Tabelle 4-2: Kofaktoren bei vermittelnden Beobachtungen

Bei vermittelnden Beobachtungen:

A0 = A(ATPA)-1 ATP


Seite 57

Bei Beobachtungen gleicher Genauigkeit:

P bzw. P-1 → E !

So ergeben sich z.B. die Kofaktoren der ausgeglichenen Beobachtungen

l = l+v = [A(ATPA)-1ATP]l = A0l (4.20)

und nun entsprechend Fehlerfortpflanzung:

Ql l,

= A0P-1A0T = [A(ATPA)-1ATP] P-1 [PA(ATP-1A)-1AT] = A(ATPA)-1AT

Man kann Ql l,

aber auch bilden, indem man die ausgeglichenen Beobachtungen als Funktionen der Unbekannten x auffasst:

l = l+v = Ax

Ql l,

= AQx,xAT = A(ATPA)-1AT (4.21)

4.3.2 Aufgabenstellung Um das Ausgleichungsergebnis beurteilen zu können und um weiter das Ausgleichungsergebnis für Folgeberechnungen heranziehen zu können, benötigt man die mittleren Fehler von Unbekannten und ausgeglichenen Beobachtungen bzw. deren Kofaktoren. Beide sind durch die folgenden Gleichungen verknüpft:

mxi2 = Qxi,xi m0

2 (4.22)

mli

2 = Qli li,

m02 (4.23)

Die Aufgabe ist somit:

• Bestimmung der Qxi,xi ≡ Qx,x für die Unbekannten und der Qli li,

≡ Ql l,

für die ausgeglichenen Beobachtungen

• Bestimmung von m0

4.4 Beweis der Formel m vvP n h0 = −[ ] /( ) für die vermittelnde Ausgleichung in der üblichen Darstellung Beobachtungsgleichungen:

l + v = Ax (4.24)

Normalgleichungen:

(A TPA) x = A TPl (4.25)

Lösung für die Unbekannten:

x = (A TPA)-1 A TPl (4.26)

und

v = (A (A TPA)-1 A TP - E) ⋅ l = (A0 -E) ⋅ l (4.27)


Seite 58

mit

A0 = A(A TPA)-1 A TP (4.28)

Für später ermitteln wir noch die Spur von A und erhalten wegen:

Spur (XAY) = Spur (YXA)

unter Anwendung des Assoziativgesetzes der Matrizenmultiplikation sofort:

Spur A(A TPA)-1 A TP = Spur (A TPA) (A TPA)-1 = Spur E = h (4.29)

bei regulärer Matrix (A TPA).

Dabei sei A eine (n,h)-Matrix, d.h. der Vektor x enthält h Unbekannte x1, … , xh und die Vektoren l und v enthalten n Beobachtungen l1, … , ln bzw. n Verbesserungen v1, … , vn.

l = (l1, l2, … , ln) ist ein Zufallsvektor mit den Elementen der Zufallsvariablen

• l1 und den Realisierungen l11, l1

2, … , lm1

• l2 und den Realisierungen l21, l2

2, … , lm2

• ……

• ln und den Realisierungen ln1, ln

2, … , lnm

Jedoch wird bei der praktischen Berechnung der vermittelnden Ausgleichung nur eine Realisierung der li verwendet. (Diese eine Realisierung ist möglicherweise Mittelwert aus Wiederholungsbeobachtungen).

Ebenfalls als bekannt angenommen wird die symmetrische (vollbesetzte) Gewichtsmatrix P = Pll der (korrelierten) Beobachtungen l, die sich wie folgt schreiben lässt:

Pll = Qll-1 = σ0

2 Cll-1 (4.30)

Stellen wir uns das „Ausgleichungsexperiment“ n-mal wiederholt und das Mittel gebildet vor, d.h. gehen wir zu den Erwartungswerten über, so gilt für die Beobachtungsgleichungen:

{ )x(EA)l(E )x(EA0

)v(E)l(E ⋅=→⋅==

+ (4.31)

d.h. zu den Erwartungswerten der Beobachtungen gehören Erwartungswerte der Unbekannten, die mit dem überbestimmten Gleichungssystem verträglich sind.

Mit

E(l) = A E(x)

gilt auch

ATPE(l) = (ATPA) E(x)

und damit

E(x) = (ATPA)-1 ATPE(l)

A E xEl

A A PA A PElA El

T T⋅ = ⋅⋅

−( )( )

( ) ( )( )

124 34 1 2444 3444 1

0

(4.32)


Seite 59

Definieren wir nun analog zu oben wahre Fehler

Eqi : = lq

i - E(lq) ↔ lqi = Eq

i + E(lq)

für die i-te Realisierung der zufälligen Beobachtung lq.

So können wir für die aus einmaliger Realisierung ermittelten Verbesserungen vi wegen (4.32) schreiben

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) i00

i0

i0

i EA0

lEEAlEEAlEAv EE ⋅−+

=

⋅−=+−=−=44 34421

(4.33)

Für die Summe vTPv in der i-ten Realisierung gilt somit:

(vi)TPllvi = (Ei)T (A0T - E) Pll (A0 - E) (Ei)

und nach elementar und leicht durchzuführender Ausmultiplikation der rechten Seite:

(vi)TPllvi = ((Ei)T Pll (Ei)) - ((Ei)T Pll A0 (Ei)) = (*) – (**) (4.34)

Wir können beide quadratischen Formen (*) und (**) sofort in die Spuren dyadischer Vektorprodukte mit Matrizen umschreiben und bekommen für die i-te Realisierung des Experimentes:

(vi)TPllvi = Spur (Ei (Ei)T Pll) - Spur (Ei (Ei)T Pll A0)

Nun haben wir alles vorbereitet, um in einem Schritt von der einmaligen Realisierung zur n-maligen Realisierung und Mittelwertbildung, d.h. zu den Erwartungswerten überzugehen.

Dabei werden insbesondere aus den Zufallsmatrizen (Ei (Ei)T) ihre Erwartungswerte

E(vTPv) = Spur (E(E ET) Pll) - Spur (E(E ET) Pll A0) = Spur(Cll) – Spur(CllA0)

Und da

Cll = Qll σ02 = σ0

2 Pll-1

folgt:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )hnASpurESpur

APPSpurPPSpurPvvE

200

20

20

0ll1

ll20ll

1ll

20

T

−⋅σ=⋅σ−⋅σ=

−σ−σ= −−

und damit für den Varianzfaktor:

σ02

T

=E(v Pv)

n - h (4.35)

Dies ist aber genau das, was zu beweisen ist! Denn (4.35) besagt, dass sich der Varianzfaktor σ02

gerade als Erwartungswert der Funktion der Zufallsvariablen des bekannten Ausdruckes [vvP]/(n-h) ergibt. Dieser Aussage ist äquivalent, dass die Anwendung von (4.35) in der einmaligen Realisierung eines Ausgleichungsexperimentes eine unverzerrte Schätzung des Varianzfaktors (d.h. eine unverzerrte Schätzung des mittleren Fehlers der Gewichtseinheit!) ergibt:

σ02

T

=E(v Pv)

n -h


Seite 60

m 02 =

vPv

n -h (4.36)

4.5 Herleitung von Gebrauchsformeln Gegeben seien die gegenseitig unabhängigen Beobachtungen verschiedener Genauigkeit

• Beobachtungen l1, l2, … , ln

• mit den mittleren Fehlern m1, m2, … , mn

• bzw. den Gewichtseinheiten pm

m102

12

= , pm

m202

22

= , … , pm

mn02

n2

=

wobei m0 = mittlerer Fehler der Gewichtseinheit ist.

Oder, gegeben seien die gegenseitig abhängigen Beobachtungen l1, … , ln mit ihren Varianzen und Kovarianzen, d.h. mit ihrer Kovarianzmatrix Cll und daraus ihrer Kofaktorenmatrix Qll = 1/m0

2 Cll , dann erhält man als Gewichtsmatrix

bei gegenseitig unabhängigen Beobachtungen

P

PP

Pn

=

1

2

0 00

0

L

M O

und bei gegenseitig abhängigen Beobachtungen

P Q

P P PP P

P Pll

n

n nn

= =

−1

11 12 1

21 22

1

L

M OL

Nach obiger Spezialisierung setzt man die Verbesserungsgleichungen (Fehlergleichungen, Beobachtungsgleichungen) nach dem Prinzip an:

Beobachtung + Verbesserung = f(Unbekannte, Konstante)

in Matrizen

l + v = f(x) (4.37)

wobei

ll

ln

=

1M , v

v

vn

=

1M , f x

f x

f xn

( )( )

( )=

1M , x

x

xh

=

1M , n > h !

Die Gleichungen (4.37) seien nichtlinear, d.h. eine Darstellung der Art l + v = Ax (lineares Gleichungssystem) sei noch nicht möglich!

Allgemeiner Lösungsansatz:

Zu minimieren ist die quadratische Form

Φ(x) = vTPv mit v = f(x) - l


Seite 61

Dann muss gelten:

∂Φ

∂

∂

∂

( ) ( )x

x

v Pv

x

T

= = 0

d.h., die partiellen Ableitungen der quadratischen Form nach den Variablen x1, … , xh müssen alle zu Null werden:

∂

∂

( )v Pv

x

T

1

0= , … ∂

∂

( )v Pv

x

T

h

= 0

==> h partielle Ableitungen =̂ h nichtlineare Gleichungen!

Anwendung der Produkt- und Kettenregel ergibt:

)xv(Pv2

x)Pvv( T

T

∂∂

=∂

∂ (4.38)

Wegen

v = f(x) – l

gilt:

∂

∂

∂

∂

v

x

fx

x=

( )

Also wird aus (4.38)

2 2 0v Pv

xv P

fx

xT T( ) (

( ))

∂

∂

∂

∂= =

Dies ist gerade der Zeilenvektor der partiellen Ableitungen

(( )

,( ) ( )

) ( , , ,) ∂

∂

∂

∂

∂

∂

v Pv

x

v Pv

x

v Pv

x

T T T

h1 2

0 0 0L K=

Damit aus dem Zeilen- ein Spaltenvektor wird, wird transponiert:

(( )

)∂

∂

f x

xPv T = 0

Wegen v = f(x) - l

(( )

) (( ) )∂

∂

f x

xP f x l T − = 0 (4.39)

Dies sind die allgemeinen und nichtlinearen Bestimmungsgleichungen zur Ermittlung der

xT = (x1, x2, … , xh).

Die Gleichungen (4.39) heißen auch Normalgleichungen.

Ausführliche Darstellung der Gleichungen (4.39):

Jakobimatrix: ∂

∂

(( ))f x

x


Seite 62

Es war

f x

f xf x

f x

f x x xf x x x

f x x x

f x

x

f

x

f

x

f

xf

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

n

h

h

n h

h

h

n n n

h

( )

( )( )

( )

( , , , )( , , , )

( , , , )

( )=

=

⇒ =

1

2

1 1 2

2 1 2

1 2

1

1

1

2

1

2

1

2

2

2

1 2

M

KK

MK

L

L

M

L

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

h1 244444 344444

n

Wie können die nichtlinearen Gleichungen (4.39) gelöst werden?

Man braucht immer Näherungswerte x0 derart, dass x = x0 + ∆x, und bestimmt dann (die) das ∆x in einem Iterationsprozess aus linearen Einzelschritten.

Problem der numerischen Mathematik → häufig angewendete Prozedur: Newton-Verfahren

Ausgangsform:

g(x,l) = 0

Man wähle x0 und entwickle obige Gleichungen an der Stelle x0 in die Taylor-Reihe 1. Ordnung

x g x lg x l

xx0 0

0 0==> + =( , )(( , ))∂

∂∆

bzw.

g xg x

xx

xg x

xg x

x x x

( )( )

(( )

) ( )

00

0 10

1 0

0+ =

= −

= +

−

∂

∂∂

∂

∆

∆

∆

Setze x0 := x1 und starte oben erneut!

Anwendung auf (4.39):

g xf x

xIn diesem

P f x l

In diesem

( ) $ (( )

) (( ) )= − =∂

∂ T

Ausdrucknichtlineare x

enthalten

Ausdrucknichtlineare x

enthalten

1 24 341 24 34 0

Bei der Anwendung des Newtonverfahrens benötigt man ∂

∂

g x

xx

( )0 , aber unter Anwendung der

Produktregel. Die nichtlineare vermittelnde Ausgleichung ist schwierig!

(Literatur: SCHENK, MEYER, LINKWITZ / ZfV)

4.6 In der Ausgleichung übliches Vorgehen

Man betrachtet die x in ∂

∂

(( ))f x

x, also die in der Jakobimatrix stehenden x als Konstante.

Damit ist dann eine einfache Linearisierung von (4.39) möglich (bzw. Anwendung des Newton-Verfahrens).


Seite 63

x1 : x0 + ∆x

(( )

) (( ) ) (( )

) (( )

)∂

∂

∂

∂

∂

∂

f x

xP f x l

f x

xP

f x

xx0

00 0 0 T T− + =∆

bzw. nach Umstellung

(( )

) (( )

) (( )

) (( ) )∂

∂

∂

∂

∂

∂

f x

xP

f x

xx

f x

xP f x l0 0 0

0 0 T T∆ + − = (4.40)

Nun setzt man

(( )

)∂

∂

f x

xA0 = (

( ))

∂

∂

f x

xAT0 T = (4.41)

und

f(x0) - l = -~l (4.42)

und bekommt die Normalgleichungen (= 1. Schritt des Newton-Verfahrens!)

( )

10

01

TT

xx

xxx

0PAxPAA

=

∆+=

=−∆ l

und starte erneut bis die x gegen eine feste Schranke konvergieren und die nichtlinearen Normalgleichungen (4.39) erfüllt sind.

Der oben geübten Vernachlässigung, dass man nämlich bei der Bildung von ∂

∂

g x

x

( ) die Jakobimatrix

∂

∂

f x

x

( ) als konstant in den Unbekannten auffasst, ist äquivalent die übliche Linearisierung in der

Ausgleichungsrechnung.

In dieser werden nämlich bereits die Verbesserungsgleichungen linearisiert, d.h. die Bedingung vTPv ==> min. wird bereits für lineare Ausgangsgleichungen angesetzt:

Nach (4.37) war l + v = f(x); nun Ansatz

x := x0 + ∆x

Dann wird aus (4.37)

l + v = f(x0) + x)x

)x(f( 0 ∆⋅

∂∂

43421

Nach (4.42) ist l - f(x0) = ~l und man bekommt die linearen Fehlergleichungen

v = A ⋅∆x - ~l

und man findet das Minimum der quadratischen Form

Φ(x) = vTPv

A nach (4.41)


Seite 64

durch die partielle Ableitung

∂Φ

∂∆

∂

∂∆

∂

∂x

v Pv

xv P

v

xv PA

TT T= = = =

( )2 2 0 .

Nach Transponieren:

l~xAv

0PvAT

−∆=

=

bekommt man

(ATPA) ⋅∆x - ATP~l = 0 ( =̂ (4.42)!)

Sind schließlich die Fehlergleichungen von vornherein linear, dann ist eine lineare Darstellung der Form

f(x) = Ax

möglich, d.h

∂

∂

f x

x

( ) = A (für jedes x!)

Aus (4.39)folgt dann

ATP(Ax - l) = 0 ==> (ATPA) x - ATPl = 0 (4.43)

Führt man (zur numerischen Vereinfachung) auch im Fall der linearen Ausgangsgleichungen- Näherungswerte für die x ein:

x = x0 + ∆x

so erhält man aus (4.43) mit (4.41) gerade wieder (4.42). In diesem Sinne werden wir (4.42) und (4.43) in der Form als äquivalent betrachten.

Berechnung der Verbesserungen:

• Einsetzen der Unbekannten in die linearen bzw. linearisierten Fehlergleichungen

v = A ⋅ x – l bzw. v = A ⋅ ∆x - ~l

• Prüfung auf Übereinstimmung mit den v, errechnet aus den nichtlinearen Fehlergleichungen

v = f(x) - l

• Kontrolle nach

A Pv = 0

bzw. A P(f(x) - l) = 0

T

T

durchgreifende Kontrolle


Seite 65

wobei

∂

∂

f x

xJakobimatrix an

Pf x lT( )

(( ) )

− =

der Stelle x!!

124 34

0

4.7 Arithmetisches Mittel mit Einführung eines Näherungswertes

Beispiel 4.1: Messung mit 5m - Latten und Zollstock

li

[m]

∆l

[mm]

+ v

[mm]

- ∆l2

[mm2]

v2

[mm2]

20,316

09

16

13

18

18

17

18

10

21

+ 6

- 1

+ 6

+ 3

+ 8

+ 8

+ 7

+ 8

0

+11

6,6

2,6

5,6

0,4

0,4

2,4

2,4

1,4

2,4

5,4

36

1

36

9

64

64

49

64

0

121

0,16

43,56

0,16

6,76

5,76

5,76

1,96

5,76

31,36

29,16

+56 14,8 14,8 444 130,40

Näherungswert x0 = 20,310m

li + vi = x0 + ∆x = x ; ∆li = li - x0 ; x = li + vi

vi = + ∆x - (li - x0)

vi = ∆x - ∆li

v = Ax - l

l $= ∆l , A =

111111

, x $= ∆x

[vv] = Min

lTl∆x = lT∆l

n∆x - [∆l] = 0 (Normalgleichung)

xl

n= =

+= +

[ ],

∆ 56

1056 mm

vTPv = (xTAT - lT) P (Ax - l)

= xTATPAx + lTPl - lTPAx - xTATPl

= lTPl - xTATPl


Seite 66

] [ ]

[ ]

] [ ] [ ]

Prvv l

l

n

vv l x l

oben für [= −

= − ⋅

∆∆

∆ ∆ ∆

22

2

vv]

[vv] = 444 - 313,6 = 130,4

[vv] = 444 - 5,6 ⋅ 56 = 130,4

m = ± = ±1304

938

,, mm (mittlerer Fehler der einmal gemessenen Strecke)

Ql l

xx T= =1 1

10

mm

x = = ±10

12, mm (mittlerer Fehler des arithmetischen Mittels aus zehnmaliger Messung)

x = (20,3156 ± 0,0012) m

4.7.1 Mittlerer Fehler des arithmetischen Mittels

nmm

n1m

n1m

n1m

mmm

n][

n1

n1

n1x

22n

222

221

22x

n21

n21

=

++

+

=

===

=+++=

L

K

Ll

lll

Mittlerer Fehler des arithmetischen Mittels von n unabhängigen Beobachtungen gleicher Genauigkeit:

mm

nx = (4.44)

Der mittlere Fehler nimmt bei der Mittelbildung nur mit der Wurzel aus der Anzahl n ab.

Für n = 100 ist

mm

mx = =100

1

10

4.7.2 Mittlerer Fehler einer Verbesserung Anwendung der angegebenen Möglichkeiten für v1:

( ) ( ){ }2i

2i

n21

11

E und Emit

n1

n1

n1x

xvF

ξ−=σξ=

+++=

+−==

ll

lll

l

L

Allgemein:

( )x,COV2mmmm 12x

21

21v

2F ll −+==


Seite 67

1.Möglichkeit:

21

n21

n211

n1)x,(Cov

n1

n1

n1x

00L

σ=

+++=

⋅++⋅+=

l

lll

lll

L

L

Da σ2 unbekannt ist, muss die Schätzung m2 benutzt werden. Schätzung der Kovarianz:

( )1,1fxF

mn1)x,L(Cov

T1

21

+−=+−=

=

l

Mm

m

nm

n

m

n

=

22

2 2

( )

m

22

2 2

2 2

1

1

1 1 11

0 11

m

nm

n

m

n

nm

nm

−

+

− + − +

−

( ) ( )

2v

2T2F mm)

n11(Mffm =−== (4.45)

2. Möglichkeit:

n21n2111 n1

n1

nn1

n1

n1

n1vF lllllll +++

−=++++−== LL

44444 344444 21

L

Werte1n

mn1 m

n1m

n)n1(m 2

n

22

2

22

12

22

F

−

++

+

−=

mmm 21 === K

222

22

2

22

22

22

F mn11m

nnnm

n1nnn21m

n1n

n)n1(m

−=

−=

−++−=

−+

−=

2v

22F mm)

n11(m =−= (4.46)


Seite 68

4.7.3 Mittlerer Fehler aus gleichgewichtigen Beobachtungsdifferenzen, konstanter Fehleranteil Es liegen paarweise Beobachtungen vor, die alle die gleiche Varianz σ2 und paarweise gleiche Erwartungswerte haben.

l11 l12 d1 = l12 - l11 Ml l

111 12

2=

+ ξ1 σ

: : : : : :

: : : : : :

ln1 ln2 dn = ln2 - ln1 Ml l

nn n=

+1 2

2 ξn σ

1. Möglichkeit:

Erwartungswert: E(d) = δ = 0

md

n

d

nd

i22 2

=−

=[( )] [ ]δ

(mittleres Fehlerquadrat einer Differenz di)

m mm d

nd

d2 2 22 2

22 2

= → = = m[ ]

Mittlerer Fehler irgendeiner Beobachtung li1 oder li2:

md

n=

[ ]2

2 (4.47)

Mittlerer Fehler des arithmetischen Mittels eines Beobachtungspaares:

Ml l

ii i=

+1 2

2

mm d

nMi

= =2 4

2[ ] (4.48)

2. Möglichkeit:

Erwartungswert: E(d) = δ ≠ 0

Eine Schätzung für den Erwartungswert δ ist das arithmetische Mittel:

dd

nm =

[ ]

In der Regel ist dm ≠ 0.

Ursache: zufällige Messungenauigkeiten oder Modellfehler

Annahme: Die di enthalten alle einen konstanten Fehleranteil.

imi

mii

ddv

dvd

−=

=+

] [ ][ ]

vv dd

n= −2

2

(∆li → di ; ∆x → dm)


Seite 69

′ =−

=−

−m

vv

n

dd

nn

d

[ ] [ ][ ]

1 1

22

(entspricht ± md)

′ =−

=−

−m

vv

n

dd

nn

[ ]

( )

[ ][ ]

( )2 1 2 1

22

(entspricht ± m)

′ =′

=−

−m

m dd

nn

Mi 2 4 1

22

[ ][ ]

( ) (entspricht ± mMi)

Neu hinzu kommt der mittlere Fehler m’dm des arithmetischen Mittels dm des konstanten Fehleranteils:

′ =′

mm

nd

dm

Kriterium für die Möglichkeit des Vorhandenseins eines konstanten Anteils:

[ ]( ) [ ] [ ]

( )[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]22

222

22

2

2

2dm

2m

dmm

dd

ddnd1n

ndd

1nn1

nd

'md

'md

≥

−≥−

−

−≥

≥

≥

Erst für [d]2 > [d2] lohnen sich Überlegungen, ob ein konstanter systematischer Fehleranteil in den Beobachtungspaaren vorhanden sein könnte.

Die Forderung m’ ≤ m führt zur gleichen Bedingung. Die Bedingung gilt auch für wahre Fehler E, versagte aber wegen [v] = 0 bei Verbesserungen.


Seite 70

Beispiel 4.2:

Berechnung mittlerer Fehler aus gleichgewichtigen Beobachtungsdifferenzen ohne systematischen Anteil

Messung von Polygonwinkeln

Nr.

i

Satz 1

li1

Satz 2

li2

d

li2 - li1

g g cc

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

198,2436

201,1638

187,7878

199,3586

221,6391

206,4356

191,2445

175,3008

230,5384

187,4638

198,2461

201,1642

187,7866

199,3578

221,6407

206,4338

191,2445

175,2978

230,5372

187,4664

+ 25

+ 4

- 12

- 8

+ 16

- 18

± 0

- 30

- 12

+ 26

∑ 1999,1760 1999,1751 [d] = - 9

[d]2 = 81 < [d2] Schätzung für einen eventuellen konstanten systematischen Anteil:

[ ]

,d

ncc= −09

Mittlerer Fehler eines einmal gemessenen Polygonwinkels:

mdd

ncc= ± = ±

⋅= ±

[ ]

2

3149

2 1013

Mittlerer Fehler für das Mittel aus 2 gemessenen Polygonwinkeln:

mm dd

nM

cc

i= ± = ± = ±

⋅= ±

2 4

3149

4 109

[ ]


Seite 71

Beispiel 4.3:

Berechnung mittlerer Fehler aus gleichgewichtigen Beobachtungsdifferenzen mit konstantem systematischen Anteil:

Längenmessung mit Stahlbändern

1. Messung bei heißem, sonnigem Wetter (t ≈ 30°)

2. Messung bei kühlem, regnerischem Wetter (t ≈ 15°)

Nr. 1. Messung

li1

2. Messung

li2

dj

li2 - li1

vi

dm - di

m m mm mm

1

2

3

4

5

6

7

8

9

141,367

168,439

163,672

144,458

168,123

154,345

142,463

164,768

168,946

141,399

168,449

163,692

144,493

168,160

154,368

142,491

164,776

168,967

+ 32

+ 10

+ 20

+ 35

+ 37

+ 23

+ 28

+ 8

+ 21

- 8

+ 14

+ 4

- 11

- 13

+ 1

- 4

+ 16

+ 3

∑ 1416,581 1416,795 [d] = + 214 [v] = + 2

[d]2 = 45796 ; [dd] = 5936 also [d]2 > [dd]

Schätzung für den systematischen Anteil:

dd

nmmm = =

+= +

[ ] 214

924

[vv] = 848 Probe: [vv] = [dd] - [ ]d

n

2

= 5936 - 5088 = 848

Mittlerer Fehler einer Differenz:

′ = ±−

= ±mvv

nmmd

[ ]

110

mittlerer Fehler des konstanten systematischen Anteils dm:

′ = ±′

= ±−

= ±mm

n

vv

nnmmd

dm

[ ]

( )13

Mittlerer zufälliger Fehler einer einmal gemessenen Srecke:

′ =′

= ±−

= ±mm vv

nmmd

2 2 17

[ ]

( )

Mittlerer zufälliger Fehler eines Mittels aus beiden Messungen:

′ =′

= ±−

= ±mm vv

nmmM

2

1

2 15

[ ]

( )


Seite 72

4.8 Beispiel zum allgemeinen arithmetischen Mittel mit Einführung eines Näherungswertes Die Höhe eines Punktes P wurde durch Nivellement von 6 verschiedenen Höhenfestpunkten aus bestimmt. Es sind die Höhe des Punktes P und ihr mittlerer Fehler sowie der mittlere km-Fehler des Nivellements zu berechnen.

Abbildung 4.1: Nivellement

HP = Hj + ∆hjP

Die Höhen der Festpunkte Hj sind fehlerfrei.

Annahmen:

• Nur zufällige unabhängige Fehler, ± m für einen Stand (keine Abhängigkeit von ∆h)

• Zielweiten ≈ gleich lang

Mittlerer Fehler des Höhenunterschiedes für einen Nivellementsweg s:

ms2= n m2

mit

ns

Z=

2 (Z = mittlere Zielweite)

ms

Zms

2 2

2=

Mit dem mittleren Fehler des Höhenunterschiedes für einen konstanten Nivellementsweg s0

ms

Zm0

2 0 2

2=

wird

m ms

ss2

02

0

=

2. Fall ist hier

Fs

si

i=0


Seite 73

Gewichtsansatz für ∆hjP:

pm

m

s

ss

s

= =02

2

0

Wird s0 gleich der Längeneinheit von s (z.B. km) gewählt, so ist m0 der mittlere Fehler des Höhenunterschiedes bei einem Nivellementsweg, der gleich der Längeneinheit ist, z.B. mittlerer km-Fehler, wenn der Gewichtsansatz

pskm

s =1

[ ]

benutzt wird.

Zug Hj ∆hjP Höhe von P s ∆l p

s=

1 p∆l v pv pvv

m m km mm mm mm mm2

1

2

3

4

5

6

49,048

51,171

47,398

50,421

50,876

50,002

+1,266

-0,864

+2,904

-0,104

-0,560

+0,307

50,314

307

302

317

316

309

2,5

4,0

5,0

0,9

1,0

1,8

+

14

7

2

17

16

9

0,4

0,2

0,2

1,1

1,0

0,6

+

5,6

1,4

0,4

18,7

16,0

5,4

-0,4

+6,6

+11,6

- 3,4

- 2,4

+ 4,6

-0,16

+1,32

+2,32

-3,74

-2,40

+2,76

0,064

8,712

26,912

12,716

5,760

12,696

[ ] 3,5 +47,5 +0,10 56,860

Näherungswert x0 = 50,300 m

xp l

pmm= =

+= +

[ ]

[ ]

,

,,

∆ 475

3 513 57

HP = x0 + ∆x = 50,300 + 0,014 = 50,314 m

Probe:

[pv] = „0“ = +0,10

[pvv] = 66,860 (direkt berechnet)


Seite 74

Proben:

[pvv] = [p∆l∆l] - [ ]

[ ],

,

,,

∆lp

p

2 2

711500475

3 566 857= − =

[pvv] = [p∆l∆l] - [p∆l] ∆x = 711,500 - 47,5 ⋅ 13,57 = 66,925

Fehlerrechnung:

mpvv

nmm0

1

66 86

6 13 7= ±

−= ±

−= ±

[ ] ,, (für s = 1 km)

mpvv

p nmmx = ±

⋅ −= ±

⋅ −= ±

[ ]

[ ] ( )

,

, ( ),

1

66 86

3 5 6 120

Schlussergebnis:

HP = (50,314 ± 0,002) m

Der mittlere km-Fehler des Nivellements beträgt ± 3,7 mm.

4.9 Einige Beispiele für das Aufstellen der Fehlergleichungen

4.9.1 Beispiel: Winkelmessung

Abbildung 4.2: Winkelmessung

• Jede Beobachtung ergibt eine Fehlergleichung.

• Die Unbekannten müssen linear unabhängig sein. Diese Forderung bedeutet, dass nur die notwendige Anzahl von Unbekannten angesetzt werden darf.

• Die Wahl der Unbekannten ist an sich beliebig, aber nicht jede Wahl ist zweckmäßig.

Fall 1:

l1 + v1 =x1 ; p1

l2 + v2 = x2 ; p2

l3 + v3 = x3 ; p3

l4 + v4 = x1 + x2 ; p4

l5 + v5 = x2 + x3 ; p5

Fall 2:

l1 + v1 = y1 ; p1

l2 + v2 = -y1 + y2 ; p2

l3 + v3 = - y2+y3 ; p3

l4 + v4 = +y2 ; p4

l5 + v5 = -y1 +y3 ; p5


Seite 75

Normalgleichungen Fall 1:

A1

1 0 00 1 00 0 11 1 00 1 1

=

A AT1 1

2 1 03 1

2=

Normalgleichungen Fall 2:

A2

1 0 01 1 00 1 10 1 01 0 1

=−

−

−

A AT2 2

3 1 13 1

2=

− −−

da y1 = x1 ist, muss ( ) ( ), ,A A A AT T1 1 1 1

12 2 1 1

1− −= sein.

Probe durch Nachrechnen!

4.9.2 Beispiel: Richtungen und Strecken

Abbildung 4.3: Richtungen und Strecken

Beobachtungen: Unbekannte:

Richtungen r1, r2, r3, r4, r5, r6 z.B: s 1 = x1

Srecken s1, s2, s3 s 2 = x2

r 1 = x3

r 2 = x4

r 3 = x5

r 5 = x6

Vorteile: Unbekannte sind direkte Beobachtungen, gute Näherungswerte bei Linearisierung

Nachteil: komplizierte Funktionen der Unbekannten treten auf

Andere Wahl:

• Koordinaten von P1, P2, P3

• Willkürliche Festlegung: x1, y1, w1 = konst.

• Unbekannte dann: x2, y2, w2, x3, y3, w3 = 6 Parameter


Seite 76

4.10 m0 = Berechnung für eine Beobachtung der Ausgleichung vTPv-Kontrolle:

( ) ( )

l-llv

llllllv

ll

TT

TTTT

PAxPPv

PPAxPAxPAxAxAxPAxPv

PAPAxA;Axv

TT

TTTTTT

TT

=

+−−=−−=

=−=

mit

( ) ( ) ( ) llll-lll TTT

−=→=

−−−PAPAAPAPPAPAAPAPPAPAAx T1TT1TT1T

folgt

vTPv = lTP(E-A0)l

und mit

A0 = A(ATPA)-1 ATP

Folgt

( ) ( )

( )

i

i2i2

0

i2i0

20

ii

i2i2

i2i

ii0iii2ii

2i

iii0iii0i

rpv

m

pmpm

rppv

mE

))AE(Diagr(mit rppv

EAEAv

=

=

==

−==

−=−=

E

E

El

m02 = Varianz der Gewichtseinheit, abgeleitet für eine Beobachtung i aus vi

( )

il

l

∇−=

∇−=

−=

ii

iii

iii0i

rv

)Fehler groben für auch gilt (rv

EAv

E

E

Annahme

∇ = ∇

l li i

000

000

(eine Beobachtung grob falsch)


Seite 77

m02 als Funktion von ∇li :

ml r p

rr li i i

ii i i0

22 2

2=∇

= ∇ p

Bei bekanntem m0 :

∇ = → ∇ =lm

r pl

m

r pi

i ii

i i

2 02

0

Übergang zu m02 der Gesamtausgleichung:

mv Pv

r

T

02 = (r Gesamtredundanz)

v Pv v pTi i

i

n= ∑

=

2

1 (bei P Diagonalmatrix)

Damit:

∑=⋅=

n

1i

2i0i

20 m r mr

r

m r m

n

1i

2i0i

20

∑= = (4.49)

m02 ist gewichtetes arithmetisches Mittel der m0i

2 , mit den Gewichten ri , da

rii

nr

=∑ =1

Kapitel 5: Rechentechnische Probleme bei der Ausgleichung bei vermittelnden Beobachtungen

Seite 78

5 Rechentechnische Probleme bei der Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen

5.1 Beispiel: Nivellementsnetz

Abbildung 5.1: Nivellementsnetz

Aufgabe:

Die Höhen der Punkte B, C und D über A, die zugehörigen mittleren Fehler sowie der ausgeglichene Höhenunterschied HC-HD mit mittlerem Fehler sind zu bestimmen.

Beobachtungsergebnisse:

km50,5sm139,5hkm25,4sm414,6hkm95,3sm563,11hkm15,7sm161,6hkm70,4sm570,12hkm25,6sm015,1h

66

55

44

33

22

11

============

Aufstellen der ursprünglichen Fehlergleichungen

a) Unbekannte seien die ausgeglichenen Höhenunterschiede

Aüber D von Höhehx

Aüber C von Höhehx

Aüber B von Höhehx

33

22

11

==

==

==

b) Ausdrücken der Beobachtungen durch die Unbekannten

pAxv8,1pxxvh4,2pxxvh5,2pxxvh4,1pxvh1,2pxvh6,1pxvh

63166

53255

42144

3333

2222

1111

=+=+−=+=−+=+=++=+=+=+=+=+=+=+

l


Seite 79

Die Gewichte errechnen sich nach

pkm

s kmi

i

=10[ ]

[ ]

m0 = mittlerer Fehler für 10 km Nivellementsweg

Einführung von Näherungswerten:

a) Als Näherungswerte für x1, x2 und x3 werden x01 = h1, x0

2 = h2 und x03 = h3 benutzt.

xxx

xxxhxxxxhxxxxhx

0

303333

202222

101111

+=

+=+=+=+=+=+=

b) Aufstellen der Fehlergleichungen mit Näherungswerten

i

603

01316

503

02325

402

01214

30333

20222

10111

)hxx(xxv)hxx(xxv)hxx(xxv

)hx(xv)hx(xv)hx(xv

l−

−+−++−=−−++−+=−+−++−=

−++=−++=−++=

44 344 21

( )l

l

l

434210

0

Ax~Axv

AxAxv

−−=

−+=

l−= Axv (5.1)

Umgeformte Fehlergleichungen in Matrizen:

+1

-1

-1

+1

+1

+1

+1

-1

+1

0

0

0

-8

-5

+7

-1

-1

-1

+8

+5

-7

1,6

2,1

1,4

2,5

2,4

1,8

A1 2444444 3444444

−l mm[ ]1 24 34

s1 24 34

Diagonalgliedervon P

−1 244 344


Seite 80

5.2 Aufstellen der Normalgleichungen

(ATPA)x - ATPl = 0 (5.2)

A PAT =− −

− −− −

59 25 1825 70 2418 24 56

, , ,, , ,, , ,

A PlT =−+−

74320246

,,,

lTPl = 308,2

5.3 Berechnung der Unbekannten; Gaußscher Algorithmus Normalgleichungen:

Nx - ATPl = 0 (5.3)

(ein Gleichungssystem, u - Unbekannte)

Gleichungssysteme zur Bestimmung der Gewichtskoeffizienten (Invertierung der Normalgleichungsmatrix):

NQ - E = 0 (u Gleichungssysteme, u2 Unbekannte)

Überführung durch Multiplikation mit einer Reduktionsmatrix in:

0RRNQ

0PRARNx T

=−

=− l

Wenn RN eine obere Dreiecksmatrix ist, so ergeben sich die Unbekannten x und Q durch rückwärtiges Einsetzen.

Inversion: (Gaußscher Algorithmus)

Nx = ATPl

Multiplikation mit Reduktionsmatrix R

R Nx = R ATPl

Damit Überführen in eine obere Dreiecksmatrix.

Dann rückwärtiges Einsetzen zur Bestimmung von xh … x1

Oder: Kramersche Regel

( ), , ,

, ,,

A PA QTxx

− = =

10 283 0155 0158

0 252 01580 297

x =−+−

103 03 4

,,,

[mm]


Seite 81

5.4 Proben, [pvv] aus den Fehlergleichungen, mittlere Fehler, Schlußergebnis

v = Ax – l (5.1)

v ai x1 bi x2 ci x3 -li [mm] vi [mm] pi pvv

1

2

3

4

5

6

-1,01

+1,01

+1,01

+3,04

+3,04

+3,04

-3,41

+3,41

-3,41

0

0

0

-8

-5

+7

-1,0

+3,0

-3,4

-3,9

+1,4

+4,6

1,6

2,1

1,4

2,5

2,4

1,8

1,63

19,41

16,28

39,00

5,05

38,09

[pvv] = 119,46

aus Algorithmus = 119,46

ATPv – Proben:

[ ][ ][ ] 03,028,848,377,4pcv

02,048,388,938,6pbv02,028,888,962,1pav

+=+−−=−=+−+=−=−+−=

Rechentechnisch günstiger ist es, diese Tabelle mit der Tabelle der umgeformten Fehlergleichungen zusammenzufassen.

Berechnung der endgültigen Unbekannten:

i xi0 [m] xi [mm] x i [m]

1

2

3

1,015

12,570

6,161

-1,0

3,0

-3,4

1,0140

12,5730

6,1576

Mittlerer Gewichtseinheitsfehler m0:

m0 bezieht sich auf ein Nivellement von 10 km Länge.

(Gewichtsansatz ps km

s km

km

s kmi

i i

= =0 10[ ]

[ ]

[ ]

[ ])

mpvv

n umm0

119 46

6 36 3= ±

−= ±

−= ±

[ ] ,,

Mittlerer Kilometerfehler:

mm

p= ± 0 (5.4)

mit

ps kmi

=10

[ ]


Seite 82

und si = 1 km ergibt sich der mittlere Fehler für ein Nivellement von 1 km Länge

mm

mm= ± = ±0

1020,

Mittlerer Fehler der Unbekannten:

mm4,32970,03,6Qmmmm2,32525,03,6Qmmmm4,32833,03,6Qmm

Qmm

3303x

2202x

1101x

ii0xi

±=⋅±=⋅=±=⋅±=⋅=±=⋅±=⋅=

⋅=

Schlussergebnis:

HB = ( 1,0140 ± 0,0034) m über HA

HC = (12,5730 ± 0,0032) m über HA

HD = ( 6,1576 ± 0,0034) m über HA

5.5 Mittlerer Fehler einer Funktion der ausgeglichenen Werte

321

32DC

x1x1x0F

?4154,61576,65730,12xxHH

⋅−⋅+⋅=

±=−=−=−

3323

23322222

13311221112

1FF

QfQff2QfQff2Qff2QfQ

+++++=

Hier:

m)003,04154,6(HH

mm0,32333,03,6Qmm

2333,02970,0)1581,0(22525,0QQ1Q2Q1Q

DC

FF0F

FF

332322FF

±=−

±=⋅±=⋅±=

+=++⋅−=⋅+⋅−⋅=

Berechnung der mittleren Fehler der ausgeglichenen Beobachtung:

AAQQ

Ax~v

xxll =

==+ ll (5.5)


Seite 83

Q

xx

−−

−

−−

−

1 0 0 1 0 10 1 0 1 1 00 0 1 0 1 0

1 0 00 1 00 0 11 1 00 1 11 0 0

?)A(Diag

PQA

0

ll0

=

=

5.6 Normalgleichungen aus Anteilen der Fehlergleichungen

2222

1111

PxAvPxAv

l

l

−=−=

=

=

=

=

2

1

2

1

2

1

2

1

PP

Pll

lAA

Avv

v

Bildung der Normalgleichungen:

(ATPA)x = ATPl

In Untermatrizen:

( ) ( )( )

PP

AA

ll

A A A P A A P A

A P l A P l

T T T T

T T

1

2

1

2

1

2

1 2 1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

+

+

Damit Normalgleichungen:

(A1TP1A1 + A2

TP2A2) x = A1TP1l1 + A2

TP2l2

Allgemein aus:

iiii

1111

PxAv

PxAv

l

l

−=

−=

M

M

Normalgleichung:

A AkTk k

k

i

kTk k

k

iP A x P l

= =∑ = ∑1 1

(5.6)


Seite 84

5.7 Zusammenfassung von Beobachtungen

5.7.1 Mehrfache Messung der gleichen Größe

Abbildung 5.2: Mehrfache Messung der gleichen Größe

1i1i3i2i1i1i

ii3i2i1ii

p;xcxbxav

p;xcxbxav

+++ −++=

−++=

l

l

Das allgemeine arithmetische Mittel der Beobachtungen wird als abgeleitete Beobachtung in die Fehlergleichungen eingeführt.

1ii

1ii

1i1iii3i2i1i

ppp

)pp()pp(

xcxbxaV

+

+

++

+=

++

−++=ll

(5.7)

Anteile in den Normalgleichungskoeffizienten:

aus den Fehlergleichungen vi und vi+1 aus der Fehlergleichung V

)pp(a)pp(a

)pp(ba)pp(ba

)pp(a)pp(a

1i1iiii1i1iiii

1iiii1iiii

1ii2i1ii

2i

++++

++

++

+⋅=+⋅

+⋅=+⋅

+⋅=+⋅

llll

Aber!

)pp(

)pp(pp

1ii

21i1iii2

1i1i2ii

+

++++ +

+≠+

llll

Freiheitsgrade: n - u (n - 1) - u

Das System der V ist dem System der v äquivalent für die Berechnung der Unbekannten.

Für die Summe [pvv] ist es jedoch nicht äquivalent. Es ergibt sich eine andere Schätzung für σ02.

Wenn die Modellfehler gegenüber den zufälligen Fehlern klein sind, ist die Schätzung für σ02 mit der

größeren Anzahl von Freiheitsgraden repräsentativer.

5.7.2 Zusammenfassung von Messungen verschiedener Größen zur Elimination einer nicht überbestimmten Unbekannten


Seite 85

Abbildung 5.3: Überbestimmte Unbekannte

2232222

1121111

p;xcxbvp;xbxav

l

l

−+−=−+−=

Zusammenfassung durch Addition der beiden Fehlergleichungen:

21

2121321121

p1

p1

1p;)(xcxav+

=+−+−= ++ ll

Das Gewicht der Fehlergleichung v1+2 ergibt sich durch Anwendung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes.

F = l1 + l2 1

pq

ii= ; mi

2 = m02qi

F

20

2F

21

2021

20

2i

20

22

21

2F

p1mm

p1

p1m)qq(mmmmmm

⋅=

+⋅=+⋅=⋅=+=

Gewichtsreziproke:

21F21F

qqqp1

p1

p1

p1

+=

=+=

Gewicht von F = l1 + l2:

21

F

21

F qq1q

p11

p1

p1

1p+

=

=

+= (5.8)

(Beweis durch Nachrechnen und Koeffizientenvergleiche der Normalgleichungsanteile.)

5.8 Verfahren zur partiellen Elimination von Unbekannten

5.8.1 Vorbemerkungen Bei manchen Aufgaben der Ausgleichungsrechnung ist es zweckmäßig, aus den Fehlergleichungen (oder aus einer Untergruppe der Fehlergleichungen) eine Unbekannte vorweg zu eliminieren. In der Vorlesung werden dazu zwei Rechenverfahren angegeben, nämlich:

a) das Eliminationsverfahren nach Schreiber,

b) das Verfahren der reduzierten Fehlergleichungen.


Seite 86

5.8.2 Das Eliminationsverfahren nach Schreiber Wir gehen aus von einer Gruppe bzw. Untergruppe von Fehlergleichungen bezüglich ungleichgewichtiger Beobachtungen bei beliebigen Koeffizienten der Fehlergleichungsmatrix.

vg = Agxg - lg (5.9)

Dabei ist

Aa

x

x

x

xx

x

l

ll

l

hba

hbahba

A

v

vv

v

1

n

2

1

g

n

2

1

g

nnn

222

111

g

n

2

1

g

−−

=

=

=

=

=MM

L

MMM

L

L

M

a ist der Koeffizientenvektor der zu eliminierenden Unbekannten x1 , A ist die Koeffizientenmatrix der übrigen Unbekannten x.

Es liege die Gewichtsmatrix Pg vor mit:

P

pp

pg

n

=

1

2O

Durch die Aufspaltung der Matrix Ag und des Vektors xg ergeben sich die Fehlergleichungen zu:

vg = ax1 + Ax - lg (5.10)

Einführen der Schreiberschen Verbesserungen vs :

vg - ax1 =: vs = Ax - lg (5.11)

Die Schreibersche Gleichung erhält man durch linksseitige Multiplikation von (5.11) mit aTPg :

aTPg vg - aTPg ax1 =: vs* = aTPg Ax - aTPg lg (5.12)

Unter Beachtung der ersten Normalgleichung aTPg vg = 0 ergibt sich:

- aTPg ax1 = vs* = aTPg Ax - aTPg lg (5.13)

Der Schreiberschen Gleichung wird das Gewicht

p* = -(aTPga)-1

zugeordnet.

Nach Einführen der Schreiberschen Verbesserungen (5.11) und der Schreiberschen Gleichung (5.13) geht das ursprüngliche Fehlergleichungssystem (5.10) in das System der Schreiberschen Rechengleichungen über:

v

v

A

a P A

l

a P l

P

P

s

sT

g

g

Tg g

s

g

− −

= − − −

− − − −

= − − − − − −

* *

|||

x P 0

0 (5.14)


Seite 87

Aus diesen Rechengleichungen bildet man nun formal die Normalgleichungen, aus denen die Unbekannten x bestimmt werden können (einmal reduzierte Normalgleichungen). Die vorwegeliminierte Unbekannte x1 kann aus der Schreiberschen Gleichung (5.13) bestimmt werden:

x1 = -vs* (aTPga)-1

mit

vs* = aTPgAx - aTPglg

Beweis dieses Rechenverfahrens:

Ausgehend von den Fehlergleichungen (5.10) werden die Normalgleichungen aufgestellt und daraus die Unbekannte x1 eliminiert. Das verbleibende System für die Unbekannten x muß dann mit dem aus den Rechengleichungen (5.14) gebildeten Normalgleichungssystem für x übereinstimmen.

Zu den Fehlergleichungen (5.10) gehört folgendes Normalgleichungssystem:

a P a a P A

A P a A P A

x

x

a P l

A P l

Tg

Tg

Tg

Tg

Tg g

Tg g

|||

− − − − − −

− − −

= − − −

1

bzw.

( )

( ) ggT

gT1

gT

ggT

gT

gT1

gT

gT

ggT

gT

1gT

gT1

gT

ggT

gT

1gT

PaaPA)aPa(PAxAPaaPA)aPa(APA

PAAxPAx)aPA(

aPA)aPa(PaAxPax)aPa(

ll

l

l

⋅−=⋅−+

=+

⋅−⋅=+

−−

−

Zu den Rechengleichungen (5.14) gehört folgendes Normalgleichungssystem:

Die Normalgleichungsmatrix N ergibt sich als folgendes Matrizenprodukt

( )( ) ( )

0

p

N

A

P A

a P A

A A P a A P A P ap

P A p A P a a P A

g

Tg

T Tg

Tg

Tg

Tg

Tg

Tg

|||

| |

*

*

*

− − − − − −

− − −

↑

+

0

Für den Vektor der rechten Seiten ergibt sich analog:

ATPglg + p*ATPga aTPglg

Unter Beachtung von p* = (aTPga)-1 wird die Übereinstimmung beider Normalgleichungssysteme klar.


Seite 88

Berechnung von vgTPgvg:

Es gibt dazu 2 Möglichkeiten:

• aus den ursprünglichen Fehlergleichungen (5.10). Dabei müssen alle Unbekannten zuvor berechnet werden;

• aus den Schreiberschen Rechengleichungen (5.14)(Anzahl n+1) nach der Formel:

[ ] [ ] **s

*sgssggg

*s

1g

T*ssg

Tsgg

Tg

pvvPvvPvv

oder

v)aPa(vvPvvPv

+=

−+= −

(5.15)

Beweis von (5.15) durch Einsetzen von (5.11) und (5.13):

0

.d.e.qvPax2vPvaPax)axv(P)axv(vPv ggT

1ggTgg

T211gg

T1

Tggg

Tg

=

−=−−−=43421

5.8.3 Das Verfahren der reduzierten Fehlergleichungen Wir gehen aus von den Fehlergleichungen (5.10) unter Beachtung der in den Vorbemerkungen getroffenen Voraussetzungen:

• Pg = P

• a = einspaltige Matrix

Die übrigen benötigten Bezeichnungen werden übernommen.

Damit ergeben sich folgende Fehlergleichungen:

vg = ax1 + Ax - lg (5.16)

Unter Verwendung der ersten Normalgleichung:

aTPvg = 0

ergibt sich in Analogie zur Schreiberschen Gleichung (5.13) durch Linksmultiplikation von (5.16) mit aTP folgende Summengleichung:

aTPax1 + aTPAx - aTPlg = 0 | : aTPa

x1 + 1

a PaT aTPAx - 1

a PaT aTPlg = 0 (5.17)

Um aus (5.16) und (5.17) die Unbekannte x1 vorwegeliminieren zu können, wird (5.17) von links mit a durchmultipliziert:

ax1 + 1

a PaT aaTPAx - 1

a PaT aaTPlg = 0 (5.17)

Durch Subtraktion dieser Gleichungen von den Fehlergleichungen (5.16) ergeben sich die reduzierten Fehlergleichungen:

vg = (A - 1

a PaT aaTPA) x - (lg - 1

a PaT aaTPlg) (5.18)


Seite 89

Bildet man aus den reduzierten Fehlergleichungen (5.18) die Normalgleichungen zur Bestimmung von x, so ergibt sich unmittelbar dasselbe einmal reduzierte Normalgleichungssystem.

Die vorwegeliminierte Unbekannte x1 ergibt sich aus der Summengleichung (5.17):

x1 = - 1

a PaT (aTPAx - aTPlg)

Fehlerrechnung:

Die reduzierten Fehlergleichungen (5.18) und die ursprünglichen Fehlergleichungen (5.16) führen auf ein- und dieselbe Quadratsumme der Verbesserungen. Durch die Subtraktion der Summengleichung (5.17) (die ja den Wert 0 hat) von jeder Fehlergleichung ändern sich nämlich die Verbesserungen der ursprünglichen Fehlergleichungen nicht.

Kapitel 6: Sonderformen der Ausgleichung

Seite 90

6 Sonderformen der Ausgleichung

6.1 Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen Nach HELMERT „Ausgleichungsrechnung“: „Man spricht von bedingten Beobachtungen, wenn zwischen „wahren Werten“ der Beobachtungsgrößen Bedingungsgleichungen bestehen, die auch von ihren ausgeglichenen Werten streng zu erfüllen sind“.

Solche Bedingungen kommen zustande aufgrund eines mathematischen Modells, in dem ein geometrischer, geophysikalischer oder geodynamischer Zusammenhang beschrieben wird und in dem mehr Größen gemessen wurden, als zur eindeutigen Festlegung des mathematischen Modells notwendig sind.

Typische Beispiele für solche -nichtlinearen oder linearen- Bedingungsgleichungen sind

Beispiel 6.1: Winkelsumme im ebenen oder sphärischen Dreieck

(lα + vα) + (lβ + vβ) + (lγ + vγ) = 180° + sphärischer Exzess

Abbildung 6.1Winkelsumme im Dreieck

Beispiel 6.2: Beobachtung überschüssiger Winkel auf einer Station

(l1 + v1) + (l2 + v2) - (l3 + v3) = 0

Abbildung 6.2: Winkelmessung

Jede über die zur eindeutigen Festlegung des mathematischen Modells notwendige Anzahl von Beobachtungen hinausgehende Beobachtung (jede überschüssige Beobachtung) liefert eine Bedingungsgleichung.

Analog zur vermittelnden Ausgleichung erfolge die Ausgleichung derart, dass:

• die ausgeglichenen Beobachtungen die Bedingungen exakt erfüllen,

• die Summe der quadratischen, gewogenen Verbesserungen minimal werde: [vvp] -> min.


Seite 91

6.2 Herleitung der Gebrauchsformeln für die bedingte Ausgleichung

6.2.1 Allgemeiner, nichtlinearer Ansatz zur Aufstellung von Bedingungs-, Korrelaten- und Normalgleichungen

In einem r-fach überbestimmten System seien die

• n Größen l1 , l2 , … , ln mit den

• Gewichten p1 , p2 , … , pn

unmittelbar beobachtet worden. Im Falle gegenseitig abhängiger Beobachtungen sei die Kovarianzmatrix Kl,l bzw. die Kofaktorenmatrix Ql,l bekannt.

Durch Entfernen der r überschüssigen Beobachtungen wird das System in ein eindeutig bestimmtes Hauptsystem mit m Beobachtungen überführt. Dann besteht zwischen n, m und r der Zusammenhang:

Anzahl aller Beob. - Anzahl notw. Beob. = Anzahl der Bedingungsgleichungen

n - m = r

Zwischen den ausgeglichenen Beobachtungen bestehen die Bedingungsgleichungen:

f(l ) = f(l+v) = s (6.1)

Ausführlich:

rnn2211r

2nn22112

1nn22111

s)v,,v,v(f

s)v,,v,v(f

s)v,,v,v(f

=+++

=+++

=+++

lll

lll

lll

K

M

K

K

Bemerkungen:

• Zu ein- und demselben Ausgleichungsproblem gibt es immer mehrere Hauptsysteme. Entsprechend gibt es zu einem Ausgleichungsproblem immer mehrere äquivalente Systeme von Bedingungsgleichungen, die zur gleichen Lösung des Ausgleichungsproblems führen. Die Auswahl eines „geeigneten“ Hauptsystems und damit eines Systems von Bedingungsgleichungen unter den verschiedenen möglichen kann unter Gesichtspunkten der numerischen Rechnung erfolgen.

• Bei richtiger Auswahl der Bedingungsgleichungen sind diese gegenseitig unabhängig ↔ Determinante der

Jakobimatrix ∂

∂

f l

l

( )

• ist ungleich 0, oder der Rang der Jakobimatrix ist gleich der Anzahl ihrer Zeilen.

• Umgekehrt bedeutet dies: Wenn die Bedingungsgleichungen nicht richtig aufgestellt werden, so können sie gegenseitig abhängig sein und der Rang der Jakobimatrix wird kleiner als die Anzahl ihrer Zeilen. Dann wird das zugehörige Normalgleichungsystem singulär und damit seine Lösung mehrdeutig.

• Nach der Aufstellung richtiger Bedingungsgleichungen und nach ihrer Linearisierung ist das weitere Vorgehen mehr oder weniger Routinearbeit.


Seite 92

Die Bedingungsgleichungen sollen mit der Nebenbedingung:

vTPv = (l -l)T P (l -l) => min.

erfüllt werden.

Ansatz nach Lagrange mit den Lagrangeschen Multiplikatoren:

Funktion, welche zu minimieren ist:

Φ = vTPv - 2kT (f(l+v) - s) (6.2)

bzw.

0s))(f(

0k)(f2)(P2

s))(f(k2)(P)()k,( TT

==∂Φ∂

=

∂

∂−−=

∂Φ∂

−−−=Φ=Φ

-lk

ll

lll

-llllll

Damit bekommt man die nichtlinearen Gleichungen

r! Anzahls)(f

n! Anzahlk))(f(P 1

=

=∂

∂− −

l

lll

l (6.3)

D.h. man bekommt ein nichtlineares Gleichungssystem mit n Unbekannten l und weiteren r Unbekannten k!

Mit der in der Ausgleichung üblichen Abkürzung für die Jakobimatrix:

∂

∂

f l

lB

a a a

b b b

r r r

n

n

n

( ): := =

1 2

1 2

1 2

L

L

M

L

(6.4)

also

Bf l

l

a b r

a b r

a b r

T

n n n

= =

∂

∂

( )

1 1 1

2 2 2

L

L

M

L

(6.5)


Seite 93

Die Gleichungen zur Ermittlung der ausgeglichenen Beobachtungen und der Korrelaten sind dann

nrn

n2

n

n1

n

nn

2r2

22

2

21

2

22

1r1

12

1

11

1

11

kpr

kpb

kpa

kpr

kpb

kpa

kpr

kpb

kpa

ll

ll

ll

=⋅−−⋅−⋅−

=⋅−−⋅−⋅−

=⋅−−⋅−⋅−

K

K

K

rn21r

2n212

1n211

s),,,(f

s),,,(f

s),,,(f

=

=

=

lll

lll

lll

K

M

K

K

(6.6)

6.2.2 Linearisierung und üblicher linearer Ansatz

l i = li + vi <==> l = l + v (6.7)

∂

∂

∂

∂

f l

l

fl

lB

( ) ( ):≈ = (4.41)

Damit kann man insbesondere setzen

r l flfl

lv( ) ( ) (

( ))= + ⋅

∂

∂ (Linearisierung nach Taylor)

Damit wird aus den obigen Gleichungen

w)(fsk)BPB(

svB)f(

kBPvkBPv

1T

T

11

=−=

=+

⋅=⇒=⋅−+

−

−−

l

l

ll

(6.8)

Man bekommt damit die Gebrauchsgleichungen.

Nichtlineare Bedingungsgleichungen:

f(l ) = f(l + v) = s (6.1)

Linearisierung mit Hilfe der Jakobimatrix

∂

∂

fl

lB

( )= (4.41)

(Hier liegt die Abweichung zur „exakten nichtlinearen Lösung!!)

Definition der Widersprüche:

s - f(l) := w (6.9)


Seite 94

Normalgleichungen:

(BTP-1B)⋅k = w (6.10)

Korrelatengleichungen:

v = P-1B⋅k (6.11)

Berechnungsprobe:

Einsetzen der aus v = P-1B⋅k ermittelten Verbesserungen in die linearisierten Verbesserungsgleichungen

BTv = w (6.12)

Einsetzen der ausgeglichenen Beobachtungen in die ursprünglichen nichtlinearen Bedingungsgleichungen

f(l + v) = f(l ) = s (6.1)

Kontrolle nach den Regeln der nichtlinearen Bedingungsausgleichung: Einsetzen in die linearen Korrelatengleichungen, jedoch mit an der Stelle l ermittelten Jakobimatrix

l Pf l

lk l

l P B k l

− ⋅ =

− ⋅ =

−

−

1

1

(( )

)∂

∂ (6.13)

Diese letzte Probe bleibt auch bei beliebig großen v = (l -l) gültig, d.h. v = P-1B ⋅k zusammen mit f(l) = s ist die umfassende Kontrolle!

6.2.3 Ermittlung der Verbesserungen und der [vvp] • durch Bildung von vTPv mit den aus v = P-1B⋅k ermittelten Verbesserungen

• durch Bilden von vTPv aus Korrelaten und Widerspruch mit

v P B k

v k B PPv k B P PP B k

T T T

T T T= ⋅

=

= ⋅

−

−

− −1

1

1 1

v

v Pv k B P B kw

k w w kT T T T T= ⋅=

= =−( )11 244 344 (6.14)


Seite 95

6.2.4 Zusammenstellung der linearen Beziehungen bei der Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen

Die nachfolgend in Tabelle 6-1 zusammengestellten linearen Beziehungen gelten gegebenenfalls nach Linearisierung der nichtlinearen Bedingungsgleichungen.

1 l

2

w

3

k

4

v

5

l

1

l =

E⋅l

2

w =

s - BTl

(s - f(l))

E⋅w

(BTP-1B)k

BTv

3

k =

(BTP-1B)-1 (s-BTl)

= -(BTP-1B)-1 BTl

+ (BTP-1B)-1 s

(BTP-1B)-1 ⋅w

E⋅k

(BTP-1B)-1⋅BTv

4

v =

-P-1B(BTP-1B)-1 BTl

+ P-1B(BTP-1B)-1⋅s

= -B0l + s

P-1B(BTP-1B)-1

⋅w

P-1B⋅k

E⋅v

B0⋅v

5

l =

(E-P-1B(BTP-1B)-1B)l

+ s

= (E - B0)l + s

E⋅l

(E - B0)⋅l

+ s

Tabelle 6-1: Lineare Beziehungen bei bedingtenBeobachtungen

Für die „spezielle Einheitsmatrix“ B0 := P-1B(BTP-1B)-1BT gilt:

a) BTB0 = BT (Name „spezielle Einheitsmatrix“!)

b) (B0)n= B0 Idempotenz. Beweis durch Nachrechnen bzw. vollständige Induktion

c) B0⋅v = v ⇒

B0⋅v = λ⋅v für λ = 1

d.h. die v sind Eigenvektoren von B0 für λ = 1

d) l = (E-B0)⋅l+s ⇒

(E-B0)⋅l = λ⋅l+s

d.h. die l sind -bis auf konstanten Vektor s - Eigenvektoren von (E-B0) für λ = 1

e) B0 besitzt nur die Eigenwerte 0 und 1:


Seite 96

Für einen Eigenwert mit dem zugehörigen Eigenvektor muss nämlich gelten:

(**)xxBxBxBB

(*)xxB

20000

0

λ=⇒λ=

λ=

Gleichsetzen von (*) und (**) liefert:

λ⋅x = λ2⋅x

Diese Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn λ = 1 oder λ = 0.

Die Tabelle ergibt sich durch elementare lineare Umformungen aus den oben hergeleiteten Grundformeln und kann leicht nachgerechnet werden.

Sie erlaubt dann insbesondere durch Anwendung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes alle bei bedingten Beobachtungen auftretenden Kofaktoren zu ermitteln. Dazu siehe Tabelle 6-2.


Seite 97

6.2.5 Kofaktoren von Größen, welche aus der Ausgleichung hervorgehen In völliger Analogie zu dem Kapitel der vermittelnden Ausgleichung stellt dieses Kapitel eine Anwendung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes dar.

Unter Verwendung der linearen Beziehungen aus Tabelle 6-1 erhält man dann sofort die nachfolgende Tabelle 6-2.

Zusammenstellung aller Kofaktoren:

1 l

2

w

3

k

4

v

5

l

1 l

Ql,l = P-1

Ql,w = -P-1B

Ql,k = -P-1B⋅ (BTP-1B)-1

Ql,v

= -P-1B(BTP-1B)-

1⋅BTP-1

P-1-P-1B

⋅(BTP-1B)-1⋅BTP-1

2

w

Qw,l = -BTP-1

(BTP-1B)

E

BTP-1

0

3

k

-(BTP-1B)-1

⋅BTP-1

E

(BTP-1B)-1

(BTP-1B)BTP-1

0

4

v

-P-1B(BTP-1B)-1

⋅BTP-1

P-1B

P-1B(BTP-1B)-1

P-1B(BTP-1B)-1

⋅BTP-1 = B0P-1

0

5

l

P-1-P-1B

⋅(BTP-1B)-1BP-1

= (E - B0)P-1

0

0

0

P-1 - Qv,v

Tabelle 6-2: Kofaktoren bei bedingten Beobachtungen


Seite 98

6.3 Beispiel

Abbildung 6.3: Höhenbestimmung

Beobachtete Höhenunterschiede:

h1 = 1.015 m ; s1 = 6.25 km

h2 = 12.570 m ; s2 = 4.7 km

h3 = 6.161 m ; s3 = 7.15 km

h4 = 11.563 m ; s4 = 3.95 km

h5 = 6.414 m ; s5 = 4.25 km

h6 = 5.139 m ; s6 = 5.50 km

Hauptsystem: h1, h2, h3

n = 6 Anzahl der Beobachtungen

u = 3 Anzahl der Unbekannten

r = n-u = 3 Anzahl der Bedingungsgleichungen

Bedingungsgleichungen:

allgemein:

f(l ) = f(l+v) = s (6.1)

wvB0vhvhvh0vhvhvh0vhvhvh

T665544

114422

225533

==−−−−+=−−−−+=−−+++

wB

hhhhhhhhh

vvvvvv

111000

001011010110

T

465

241

352

6

5

4

3

2

1

−+−+−−

=

−−−−

−


Seite 99

Gewichtsansatz:

P-1 ∼ S

P-1 = [6.25; 4.7; 7.15; 3.95; 4.25; 5.50]

Rechenformeln:

B P B kv

wT − ⋅ =1124 34 (6.10)

(Normalgleichungen)

kwPvv

v

BkPv

w)BPB(k

TT

1

11T

=

+=

=

=

−

−−

ll

Zahlenrechnung:

B P BT − =

− −

− −

− −

1

161 47 425

47 149 395

425 395 137

. . .

. . .

. . .

Det(BTP-1B) = 2306

Nebenrechnung:

4

4

161 149 13 7 395 395

1885

30353

7 47 137 395 425

812

3816

25 47 395 149 425

819

3481

23056

, ( , , , , )

,

,

, ( , , , , )

,

,

, (, , , , )

,

,

,

⋅ − ⋅ =

+ − ⋅ − ⋅−

= −

− ⋅ + ⋅−

= −

=∑

6 744444 844444

6 744444 844444

6 744444 844444

( )

, ,

,BTP B− − =1 1 12306

188 812 819

202 836

218

w =−+−

5

8

10

[mm]

(Widerspruchsvektor)

k =−

−

0481

0462

0833

,

,

,

[mm]


Seite 100

vT = [ -1,0 +3,0 -3,4 -3,9 +1,5 +4,6] [mm]

Ausgeglichene Höhenunterschiede:

m143,5hm415,6hm599,11hm157,6hm573,12hm014,1h

66

55

14

63

2

1

======

.k.o12,011,9

)(KontrollekwPvv?

TT

=

=

Fehlerrechnung:

km/mm2m

43

0,12rPvvm

0

T2

0

±=

===

0

T11T1vv

1T11T1vv

BB)BPB(BPPQ

PB)BPB(BPQ

==

=

−−−

−−−−

Diagonale von Qv,vP --> Redundanzanteile:

)0,3Soll(9,2)PQ(SpurBP

0,430,45

0,430,58

0,460,55

50,50025,4025,4

95,395,300015,707,47,4025,60

1110 0 0 00 1011 0 10 110

)BPB(

B

vv1

11T

T

=

=

−−

−

−−

−−−−

−

−

−−

[ ]14,334,225,200,354,281,2)Q(Diag

P)PQE(QPQ

ll

1vvvv

1ll

=

−=−= −−


Seite 101

mm5,3m

mm1,3m

mm0,3m

mm5,3m

mm2,3m

mm4,381,20,2Qmm

6h

5h

4h

3h

2h

ll01h

±=

±=

±=

±=

±=

±=⋅±==

6.4 Vermittelnde Ausgleichung mit Bedingungen zwischen den Unbekannten Beispiel 6.3:

Abbildung 6.4: Dreieck

Beispiel 6.4: Koordinatentransformation

Abbildung 6.5: Koordinatentransformation

Bedingungen:

)Parameter4( 0db

0ea−

=−

=+

a2 + b2 = 1 (3-Parameter)

Gemessen: α, β, γ

α + vα = x

β + vβ = y

γ + vγ = z

x + y + z = 200


Seite 102

6-Parameter-Transformation:

xi + vxi = aξi + bηi + c

yi + vyi = dξi + eηi + f


xi + vxi = aξi + bηi + c

yi + vyi = bξi - aηi + d


xi + vxi = ξi cosϕ + ηi sinϕ + c

yi + vyi = ξi sinϕ - ηi cosϕ + d

Ansatz:

v f x l

g x c= −=

( ) ~

( ) ~ nicht linear (6.15)

Linearisierung:

cxC

xAv

T =∆

−∆= l (6.16)

Lösung:

Φ ≡ vTPv + 2kT (CT∆x - c) => min (6.17)

bzw.

Φ ≡ (∆xTAT - lT) P (A∆x - l) + 2kT (CT∆x - c) => min

0cxC0k

PA2Ck2PAAx20x

T

TTTTT

=−∆→=∂Φ∂

=+∆→=∆∂Φ∂

l

(**)cxC

PAkCxPAA

T

TTT

=∆

=+∆ (*)l

Normalgleichungsmatrix:

A PA CC

T

T 0

(6.18)

Fälle:

• ATPA singulär: Gauß-Algorithmus mit Pivotisierung

oder Zeilen-Spalten-Tausch und Gesamtsystem lösen (invertieren)

• ATPA regulär: (ATPA)-1 existiert


Seite 103

Elimination von ∆x: (*) mit CT(ATPA)-1 von links multiplizieren und (**) subtrahieren

( ) ( )cPA)PAA(CC)PAA(Ck

cPA)PAA(CCk)PAA(C

T1TT11TT

T1TT1TT

−=

−=

−−−

−−

l

l

k eingesetzt:

∆x = (ATPA)-1 (ATPl-C k) (6.19)

Berechnung der Kofaktorenmatrizen von k und x:

Qkk und Qxx sind Teilmatrizen aus

A PA CC

T

T 0

1

−

11T11T1T11Tkk

T1T11T

11T

)CNC(CPANPPANC)CNC(Q

constPANC)CNC(k

N)PAA(

−−−−−−−

−−−

−−

=

+=

=

l

11Tkk )CNC(Q −−= (6.20)

1T11T11xx NC)CNC(CNNQ −−−−− −= (6.21)

kcxPAPPvv

CkxxPAPPvv

PAxCkxPAxxPAPPvv

CkPA

PAxxPAAxxPAPPvv

)xA(PAxxPAPPvv

PxPA)xA(PPvPv

PvxPAv)xA(PvPvv

TTTT

TTTT

TTTTTTTT

T

TTTTTTT

TTTTT

TTTTT

TTTT

−∆−=

∆−∆−=

∆−∆−∆+∆−=

−

∆−∆∆+∆−=

−∆∆+∆−=

−∆=−∆==

−∆=−∆=

lll

lll

lllll

l

llll

llll

lllllll

ll

43421

xPAPPvv TTT ∆−= lll (6.22)

(gilt bei vermittelnden Beobachtungen)

Beispiel 6.5:

Beobachtungen:

α = 45,02 gon

β = 55,03 gon

γ = 100,01 gon


Seite 104

Abbildung 6.6: Winkelsumme im Dreieck

vα = x - α

vβ = y - β

vγ = z - γ

x + y + z = 200 gon

Linearisierung: x0 = 45 g , y0 = 55 g , z0 = 100 g

vα = ∆x - 2 c

vβ = ∆y - 3 c

vγ = ∆z - 1 c

∆x + ∆y + ∆z = 0

A =

11

1 , CT = [ 1 1 1 ] , P = E

ATPA = E , (ATPA)-1 = N-1 = E

3k = 6

k = 2

∆∆∆∆

x l Ckxyz

= − =

−

=

−

=

231

222

011

x = 45 g

y = 55,01 g

z = 99,99 g

vTPv = 14 - 2 = 12

Kontrolle:

v

v

v

PvTα

β

γ

= −= −

= −

=2

2

2

12

v

6.5 Bedingungsgleichungen mit Unbekannten Ansatz:

flx u( ,) = (6.23)

(implizit)

l g x= ( ) (6.24)

(explizit)


Seite 105

Abbildung 6.7: Ausgleichende Gerade

∑ ⇒+

+=

+=

.minvv

vvv

baxy

2yi

2xi

2y

2x

2s

Annahme:

• x fehlerfrei

y v xa by+ = + (vermittelnd)

• y beobachtet

• x,y beobachtet

y v ax v by x+ = + +( ) (bedingte Ausgleichung mit Unbekannten)

Linearisieren der Bedingungsgleichungen mit l, x0 :

∂

∂

∂

∂

f

lv

f

xx u fl x

B v A x wT

+ = −

+ =

∆

∆

( , )0 (6.25)

Bei schlechten Näherungswerten kann es notwendig sein, an der Stelle der verbesserten Beobachtungen

l l v1 1= +

zu linearisieren.

v1 = Verbesserung aus der 1. Iteration


Seite 106

∂

∂

∂

∂

f

ll

f

x11 1 1

1

1

∆ ∆+ = −

=

=

x u fl x

l l

x x

( , )

mit

v v l v v= + → = −1 1∆ ∆ l

{ {

∂

∂

∂

∂

∂

∂

f

l

f

x

f

lB AT

v x u fl x v

w

+ = − +∆ ( , )1 1 11 24444 34444

Minimierung von v pvT :

(III) 0A2k- 0x

(II) 0wxAvB 0k

(I) BkPv 0Bk2P2v 0v

.min)wxAvB(k2pvv

T

T

1TTT

TTT

=→=∆∂Φ∂

=−∆+→=∂Φ∂

=→=−→=∂Φ∂

⇒−∆+−=Φ

−

(I) in (II) eingesetzt:

B P Bk A x w

A k

T

T

− + =

=

1

0

∆ (6.26)

=

∆

=

∆

−−

−

0w

0AABPB

xk

0w

xk

0AABPB

1

T

1T

T

1T

Elimination von k:

A B P B A x A B P B w

B P B w A x

v P Bk

T T T T

T

( ) ( )

( ) ( )

− − − −

− −

−

= →

= −

=

1 1 1 1

1 1

1

∆ ∆

∆

x

k

Vorsicht bei Linearisierung:

l l v x x1 1 0 1= + = + , x1 ∆

∆x v1 1, aus der 1. Iteration

∂

∂

∂

∂

f

ll

f

xx w

11

11∆ ∆+ =


Seite 107

mit v v l PvT2 1 1 2 2= + ⇒∆ , v min.

∂∂

∂∂

∂∂

f

ll vv

fx

x wf

lv

11 1

1 11

2

( )∆ ∆+ + = +1 24 34

damit korrekte Ausgangsgleichung.

Ableitung der Kofaktoren der ausgeglichenen Beobachtungen und der Unbekannten:

Rechengang: Fehlerfortpflanzung

Q x x∆ ∆ ?

111TTxx

llT

wwT

0

111TT11Tww

11TT111TTxx

11TT111TT

)A)BPB(A(Q

BQBQlBw

)x,l(fuw

)A)BPB(A(A)BPB(Q

)BPB(A)A)BPB(A(Q

w)BPB(A)A)BPB(A(xmit

−−−∆∆

−−−−−

−−−−−∆∆

−−−−−

=

=→∆=

−=

⋅=

=∆

Schätzung des mittleren Fehlers der Gewichtseinheit:

mv Pv

r

T

0 = (6.27)

r = Anzahl der Bedingungsgleichungen - Anzahl der Unbekannten

PvvT mit BkPv 1−= :

BkPBkBkPPPBkPvv 1TT11TTT −−− ==

Mit

xAwBkPB 1T ∆−=−

gilt:

xkAwkPvv TT ∆−=

Und mit

0kAT =

wird

wkPvv TT = (6.28)


Seite 108

Übergang zur vermittelnden Ausgleichung:

Bemerkung: Die Normalgleichungen für ∆x entsprechen den Normalgleichungen der vermittelnden Ausgleichung für P B P BT= − −( )1 1

Ansatz:

{B v A x wT

sv

+ =∆ (6.29)

Zusammenfassung:

B v vTs= (6.30)

Minimum:

v Pv v P v

s fl x u

s B l

TsT

ss s

T

=

= −

=

( , )

∆ ∆

Q B Q B B P B P B P BssT

llT

ssT= = → =− − −1 1 1( ) (6.31)

Damit Minimum:

s11TT

ssssTs

T v)BPB(vvPvPvv −−==

Mit

11Tss

Ts )BPB(P ; vBv −−==

gilt:

Bv)BPB(BvPvv 11TTTT −−= (6.32)

Nachträgliche Berechnung der Verbesserungen v aus vs:

Ansatz:

B v vTs= (6.30)

vs = Sollwerte entsprechen w bed. Ausgleichung


Seite 109

6.6 Allgemeinfall Bedingte Ausgleichung mit Unbekannten, Bedingungen zwischen Unbekannten

Ansatz:

fl x u

g x c

( , )

( )

==

(6.33)

nach Linearisierung:

B v A x w

C x c

T

T

+ =

=

∆

∆ (6.34)

Normalgleichungssystem:

=

∆

−

c0w

kk

x

00CCA00BPBA

2

1T

T

1T

6.7 Anwendungsbeispiele

6.7.1 Ausgleichende Gerade x, y fehlerbehaftet

min v vx yi i

2 2+∑

Ansatz:

y v ax v by x+ − + − =( ) 0 (6.35)

Linearisieren mit a b x yi i0 0, , ,

v a v x a b a x b y

v a v x a b a x b yy x i i i

y x i i i

i i

i i

− − − = + −

− − − = + −+ + + + +

0 0 0

0 1 0 1 0 11 1

∆ ∆

∆ ∆

B

a

a

a

A

x

x

x

x

a x b y

a x b y

a x b y

a x b y

T o

o

n n n

=

−−

−

=

− −− −− −

− −

=

+ −+ −+ −

+ −

1

1

1

1

1

1

1

0

1

2

3

0 1 0 1

0 2 0 2

0 3 0 3

0 0

O

M M

w

B P B a E

B P Ba

E

To

T

o

−

− −

= − ⋅

=−

⋅

1 2

1 12

1

1

1

( )

( )( )


Seite 110

Normalgleichungen:

A A x A wT T∆ = (6.36)

Bemerkung: Das gleiche Normalgleichungssystem erhält man auch aus Ansatz:

v x a a b y xa b

v

y

y

= + − − −∆ ∆ ( )

min

0 0

vyT

A

x

x

x

y x a b

y x a b

y x a bn n n

=

=

− −− −

− −

1

2

1 1 0 0

2 2 0 0

0 0

1

1

1

M M M l

A A x A lT T∆ = (6.36)

Anderer Ansatz:

ax v by v c

a b

x y( ) ( )+ + + + =

+ =

0

12 2 (6.37)

(Allgemeinfall)

6.7.2 Ausgleichung von linearen Funktionen geg.: Koordinaten x,y von auszugleichenden Punkten

ges.: Koeffizienten der ausgleichenden Geraden

Abbildung 6.8: Ausgleichende Gerade

Ansätze: z.B.

1

2

)

) ( )

y

y

+ = +

+ = + +

v ax b

v ax v by

y x (6.38)

3 0

12 2

) ( ) ( ) ax v b y v c

a b

x y+ + + + =

+ = (6.39)

aus 3) Lösungsweg ohne Näherungswerte für Parameter: Hessesche Normalform

p x y= +1 1cos sinε ε (6.40)

ϕε ϕ ε ϕ

ε ϕ

== + ° = −

= −

Winkel zwischen Gerade und x - Achse

90 :cos sin

sin cos


Seite 111

Abbildung 6.9: Winkel zwischen Gerade und x-Achse

in (6.40) eingesetzt:

p x yi i= − +sin cosϕ ϕ (6.41)

Übergang zu Beobachtungen:

p l v l vx x y yi i i i= − + + +( )sin ( )cosϕ ϕ (6.42)

Umformung von (6.42):

p l l v vx y x yi i i i

= − + − +sin cos sin cosϕ ϕ ϕ ϕ

vsi

1 244444 344444

Damit:

v p l ls x yi i i= + −sin cosϕ ϕ (6.43)

Lösung: v vsT

s → min.

] [ ]sin [ ]cos

[ ]sin cos [ ]sin [ ]cos

v np p l p l

l l l l

s x y

x y x y

i i i

i i i i

2 2

2 2 2 2

2 2

2

= + −

− + +

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ (6.44)

Minimierung:

∂

∂ϕ ϕ

[ ][ ]sin [ ]cos

v

pnp l l

s

x yi

2

0 2 2 2 0= ⇒ + − =

pl l

n

y x=

−[ ]cos [ ]sinϕ ϕ (6.45)

0sincos][2sincos][2

)sin](cos[2sin][p2cos][p20]v[

2y

2x

22yxyx

2si

=ϕϕ−ϕϕ+

ϕ−ϕ−ϕ+ϕ⇒=∂ϕ

∂

ll

llll


Seite 112

02

2

2

01

2 2

2 2 2

0 21

2 2

2 2

2 2

2 22 2

= − + −

+ −

= + −

− + −

−− −

nl l l l l l

l l

nl l l l

l l l l

l ll l

nl l

nl l

y x x y x y

x y

x y x y

x y x y

x yx y

x y x y

([ ]cos [ ]sin )([ ]cos [ ]sin ) [ ]cos

([ ] [ ]sin )

([ ][ ]cos ([ ] [ ] sin ))

[ ]cos ([ ] [ ])sin cos

tan ([ ] [ ][ ])

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

/ :

= ([ ]-[ ]-[ ] [ ]

)

tan[ ] [ ][ ]

[ ] [ ] ([ ] [ ])2

1

12 2 2 2ϕ =

−

− − −

l ln

l l

l ln

l l

x y x y

x y x y

(6.46)

Vereinfachung von (6.46):

Aus (6.45) ist ablesbar: Die ausgleichende Gerade geht durch Schwerpunkt, weil bei Schwerpunktskoordinaten gilt:

] [ ]l lx y= = =0 0 0 , , p

Übergang zu den Schwerpunktskoordinaten:

l l

l

n

l ll

n

x xx

y yy

i i

i i

= −

= −

[ ]

[ ] (6.47)

Aus (6.47) folgt:

p

l l

l l

x y

x y

=

=−

−

0

2 2 2tan[ ]

[ ] [ ]ϕ

Bemerkung:

Schwerpunktsreduktion entspricht reduzierten Fehlergleichungen

Fehlerrechnung:

v l ls x yi i i

= −sin cosϕ ϕ (6.43)

] [ ]sin [ ]cos sin cos [ ]v v l l l ls s x y x y= + −2 2 2 2 2ϕ ϕ ϕ ϕ


Seite 113

Nach Umformung:

2yx

2y

2x

2y

2x

ss ][4])[]([21

2][][]vv[ llll

ll−−±

+=

bei + Maximum

bei - Minimum

Bemerkung:

Geraden stehen senkrecht aufeinander!

Bestimmung von Qϕϕ und mϕ:

Aus (6.43) mit Linearisierung:

])sincos([1

]a[1Q

)1Av(

)sincos()sincos(v

tSchwerpunk vomPunktes des Abstand

20y0x

2i

0x0y0y0xs

ii

iiiii

4444 34444 21ϕ+ϕ

==

−ϕ∆=

ϕ−ϕ−ϕ∆ϕ+ϕ=

ϕϕll

llll

Abbildung 6.10:

Q Q AQ Avv ll xxT= −

Diagonalelement Qvvii:

Ql l

l l

mit s l l

Qs

s

vv

x y

x y

x y

vvi

i

ii

i i

i i

i i

ii

= −+

+

= +

= −

1

1

0 02

0 02

0 0

2

2

( cos sin )

[( cos sin ) ]

cos sin :

[ ]

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕi Abstand vom Schwerpunkt

Hieraus ist ablesbar, dass weit entfernte Punkte eine geringe Redundanz haben.


Seite 114

6.8 Helmerttransformation Bestimmung der Konstanten einer linearen Transformation

Abbildung 6.11: Helmertransformation

geg.: Landeskoordinaten x,y

örtliches Koordinatensystem

identische Punkte in beiden

Koordinatensystemen

ges.: Transformationsparameter

6.8.1 Lösungsansätze

x x m m

y y m m

i i i

i i i

= + − =

= + + =

∆

∆

( cos sin ) cos

( cos sin ) sin

ξ ε η ε ε

η ε ξ ε ε

a

b (6.48)

1) x yi i, fehlerfrei

x x m v m v x a v b v

y y m v m v y a v b v

i i i i i

i i i i i

i i i i

i i i i

= + + − + = + + − +

= + + + + = + + + +

∆ ∆

∆ ∆

( )cos ( )sin ( ) ( )

( )cos ( )sin ( ) ( )

ξ ε η ε ξ η

η ε ξ ε η ξ

ξ η ξ η

η ξ η ξ

Typ: bedingte Ausgleichung mit Unbekannten

2) ξ ηi i, fehlerfrei

x v x a b

y v y a b

i x i i

i y i i

i

i

+ = + −

+ = + +

∆

∆

ξ η

η ξ

Typ: vermittelnde Ausgleichung

3) x yi i i i, , ,ξ η fehlerbehaftet

x v v a v b x

y v v a v b y

i x i i

i y i i

i i i

i i i

+ − + + + − =

+ − + − + − =

( ) ( )

( ) ( )

ξ η

η ξ

ξ η

η ξ

∆

∆

0

0

Typ: bedingte Ausgleichung mit Unbekannten


Seite 115

6.8.2 2.Ansatz: vermittelnde Ausgleichung

v Ax l= − (6.49)

Lineare Fehlergleichungen:

v

v

v

v

v

v

v

x

x

y

x

y

x

y

n

n

i

i

n

n

=

− +

+

− +

+

− +

+

2

2

1

1

2

2

1 0

0 1

1 0

0 1

1 0

0 1

M M M M M M

A = x =

a

b

y

l =

x

y

x

y

x

y

1

1

2

2

n

n

1

1

2

2

n

n

ξ η

η ξ

ξ η

η ξ

ξ η

η ξ

∆

∆

Normalgleichungen: P = E

A PAx A Pl

A PA

N

N

n

N

n

A Pl

h

x

h

y

T T

T

T

x y

y x

=

=

+

+ −

=

+

−

[ ] [ ] [ ]

( )

( ) [ ] [ ] [ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

[ ]

( )

[ ]

ξ η ξ η

ξ η η ξ

ξ η

ξ η

2 2

12

112 2

22

1

2

0

0

Unterteilung von x in

x

x

1

2

mit x

a

b

x

y1 2=

=

, x

∆

∆

Damit NGL-System:

N x N x h

N x N x hT

11 1 12 2 1

12 1 22 2 2

+ =

+ = (6.50)


Seite 116

Elimination von x2 :

( )

[ ] [ ]

[ ] [ ]

N N N N x h N N h

NnE ; N N

n

T

T

11 12 221

12 1 1 12 221

2

221

12 221

12

2 2

2 2

1 1 0

− = −

= =+

+

− −

− − Nξ η

ξ η

Reduziertes NGL-System:

{[ ] ([ ] [ ] )}[ ] ([ ][ ] [ ][ ])

[ ] ([ ][ ] [ ][ ])ξ η ξ η

ξ η ξ η

ξ η ξ η

2 2 2 211

1+ − +

=

+ − +

− − −

n

Ea

bn

x y

ny x

x y

y x

Hieraus a,b:

x N h N x

xn

x a b

yn

y a b

T2 22

12 12 1

1

1

= −

= − +

= − −

− ( )

([ ] [ ] [ ] )

([ ] [ ] [ ] )

∆

∆

ξ η

η ξ

(6.51)

Übergang zu Schwerpunkt-System:

Ausnutzung von

A Pvvx

vyT =

=

=0

0

0

[ ]

[ ]

Damit Ansatz:

x v s a s b

y v s a s b

s x i i

s y i i

i i

i i

+ = −

+ = +

ξ η

η ξ

x x

x

n n

y yy

n n

s i i

s i i

i

i

= − = −

= − = −

[ ] [ ]

[ ] [ ]

s

s

i

i

ξ ξξ

η ηη

] [ ] [ ]x ys s s s= = =0 0 0 0 , [ ] = , , ξ η

Damit:

a

b

x y

y x

x x a b

y y a b

s s

s s s s

s s s s

s s s

s s s

=

+⋅

+

−

= − −

= − −

12 2[ ]

[ ]

[ ]ξ η

ξ η

ξ η

ξ η

η ξ

∆

∆

Redundanz: 2n - 4


Seite 117

Kontrollen:

]vx y

x s y s

x s y s

= 0 , [v ] = 0

v ]+[v ] = 0

v ] +[v ] = 0

ξ η

η ξ

m ; v02 =

−= −

= + − + − −

v Pv

nPv l Pl x A Pl

v Pv x y a x y b y x

TT T T T

Ts s s s s s s s

2 42 2[ ] [ ] ([ ] [ ]) ([ ] [ ])ξ η ξ η

Genauigkeit:

m m m

m ms

m

as s

b

ai

b

202

2 22

202

22

1

1

=+

=

= =

[ ]

[ ]:

ξ η

s Schwerpunktsabstandi

(6.52)

Abbildung 6.12: Schwerpunktabstand

d x da db

d y da db

Q Q m Q

Q x h Q m Q

Q

Q Q AQ A

Qs

s

s s

s s

x x s s aa x x

y y s s aa x x

x y

vv ll xxT

vvi

iii

( )

( )

( )

( )

[ ]

∆

∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆

= − +

= − −

= + =

= + =

=

= −

= −

ξ η

η ξ

ξ η2 202

2 202

2

2

0

1

; m

; m

x2

x2


Seite 118

6.8.3 1. Ansatz: bedingte Ausgleichung mit Unbekannten

a v b v x x

a v b v y y

i i i

i i i

i i

i i

( ) ( )

( ) ( )

ξ η

η ξ

ξ η

η ξ

+ − + + − =

+ + + + − =

∆

∆

0

0 (6.53)

Linearisierung, Ordnung:

B v Ax w

A B B Ax A B B w

T

T T T T

+ =

=− −( ) ( )1 1 (6.54)

B

a b

b aa b

b a

a b

b a

v v v

T

n n

=

−

−

−

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1 1 2 2

L

L

M M M M

L

M M M M M v v vξ η ξ η ξ η

B B

a b

a b

a b

a b

Maßstab

ET =

+

−

+

= +

02

02

02

02

02

02

02

02

2O 1 24 34

( )

: m

(6.55)

Der 2. Ansatz führt zur gleichen Lösung für die Parameter wie der 1. Ansatz.

{B vBk

w Ax

k B B w Ax

v BB B w Ax

vm

B w Ax

T

T

T

= −

= −

= −

= −

−

−

( ) ( )

( ) ( )

( )

1

1

2

1

(6.56)

Kapitel 7: Fehlerellipse und Fehlerellipsoid

Seite 119

7 Fehlerellipse und Fehlerellipsoid

7.1 Einführung und Problemstellung Bei Ausgleichungsproblemen, bei denen die Koordinaten von Neupunkten bestimmt werden, erhebt sich die Frage nach der Genauigkeit derselben. Präziser ausgedrückt heißt das: Welche mittleren Fehler haben die Koordinaten der Neupunkte? Diese können ermittelt werden, wenn die entsprechenden Kofaktoren bekannt sind.

yyy

xxx

qmm

qmmhn

vvPm

0

0

0][

=

=

−=

(7.1)

mx bzw. my sind die mittleren Fehler der Neupunktskoordinaten in Richtung der Koordinatenachsen.

Abbildung 7.1: Vermutung der Richtung von mmax und mmin aufgrund der Netzkonfiguration

Diese Veranschaulichung wirft die folgende Fragestellung auf: Für welche Richtung wird der mittlere Fehler eines Punktes maximal bzw. minimal?


Seite 120

Damit gleichbedeutend ist die Betrachtung von mx und my bzw. von tu mm und in einem um den Winkel ϕ gedrehten (u,t)-System.

Abbildung 7.2: Rotation um ϕ

Präzise werden folgende 2 Probleme formuliert und anschließend gelöst.

Problem 1: Wie würden sich mu t und m ergeben, wenn man die Ausgleichung im um ϕ gedrehten (u,t)-System durchgeführt hätte?

Problem 2: Gibt es ein spezielles (u,t)-System mit Drehwinkel ϕ θ= derart, daß in diesem System mu t bzw. m extremal werden?

7.2 Lösung zum Problem 1: Mit Hilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetzes ermittle man für einen beliebigen

Drehwinkel die Gewichtsreziproken.

),,(

),,(

),,(

3

2

1

yyxyxxut

yyxyxxtt

yyxyxxuu

qqqfq

qqqfq

qqqfq

=

=

=

(7.2)

zum Problem 2: Man ermittle ein ϕ θ: = derart, dass quu bzw. qtt maximal bzw. minimal werden.

Zur Aufstellung der Kofaktoren bezüglich eines um ϕ gedrehten Koordinatensystems setzen wir eine Koordinatentransformation an:

ϕϕϕϕ

sincossincos

xyuyxt

−=+=

(7.3)


Seite 121

nach Differentiation:

ϕϕϕϕ

sincossincos

xyuyxt∆−∆=∆∆+∆=∆

(7.4)

und dem sysmbolischen Ansatz nach Tienstra:

ϕϕ

ϕϕ

sincos

sincos

xyu

yxt

qqq

qqq

−=

+= (7.5)

für die Kofaktoren:

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ22

22

sinsincos2cos

sinsincos2cos

xxxyyyuu

yyxyxxtt

qqqq

qqqq

+−=

++= (7.6)

Durch Addition beider Gleichungen folgt:

yyxxuutt qqqq +=+ (7.7)

Nach Multiplikation mit m0 ergibt sich unabhängig vom Winkel ϕ bzw. für beliebiges ϕ :

22222 : pyxut mmmmm =+=+ (7.8)

Die Größe 2222yxutp mmmmm +=+= , die von ϕ unabhängig ist, definiert man als mittleren

Punktfehler.

Für den noch ausstehenden gemischten Kofaktor qtu ergibt sich:

ϕϕϕϕ cossin)()sin(cos 22xxyyxytu qqqq −+−= (7.9)

nach trigonometrischer Umformung:

ϕϕ 2cos2sin)(21

xyxxyytu qqqq +−= (7.10)

Mit den Gleichungen (7.6) und (7.10) kann Problem 1 als gelöst angesehen werden. Die Bestimmung des Winkels θϕ = wird nach den üblichen Methoden der Differentialrechnung gelöst(vgl. Höhere Mathematik, Minimum-Maximum-Aufgaben).

Die Differentiation von (7.6) nach der (einzigen) Variablen ϕ ergibt:

ϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

2cos22sin)(

sincos2)sin(cos2sincos2 22

xyyyxx

yyxyxxtt

qqq

qqqddq

+−−=

+−+−= (7.11)


Seite 122

Nullsetzen dieser Ableitung liefert für θϕ = :

yyxx

xy

qqq−

=2

2tan θ (7.12)

Bemerkungen:

a) Die Gleichung (7.12) liefert 2 um 90° verschiedene Winkel θ . Dies wird klar, wenn man θ2tan durch den identischen Ausdruck

θθ2tan1

tan2−

(7.13)

ersetzt. Die dadurch entstehende quadratische Gleichung für tan θ liefert zwei Lösungen 21 tan und tan θθ , für die gilt:

1tantan 21 −=θθ (7.14)

b) Nach Multiplikation von (7.10) mit dem Faktor 2 ist die rechte Seite mit der rechten Seite von (7.11) identisch. Damit folgt mit (7.14):

0)( ==θϕtuq (7.15)

Die daraus zu ziehende Konsequenz lautet: Hätte man nur einen Neupunkt auszugleichen und würde man diesen Neupunkt in das um θ gedrehte (u,t)-System ausgleichen, dann wäre die Matrix des zugehörigen Normalgleichungssystem eine Diagonalmatrix.

Für die weitere Betrachtung wird dieses spezielle, nämlich um den Winkel θ gedrehte System als ( ηξ , )-System bezeichnet.

Den Richtungswinkel im ( ηξ , )-System zwischen θϕ und bezeichnen wir mit ψ .

Abbildung 7.3: Richtungswinkel ψ


Seite 123

Für die praktische Bestimmung von 2θ bzw. θ ist die Festlegung des richtigen Quadranten eine wichtige Frage (vgl. Regeln der Vermessungskunde).

xyq2 yyxx qq − 2θ θ

> 0

> 0

< 0

< 0

> 0

< 0

< 0

> 0

0 gon < 2θ < 100 gon

100 gon < 2θ < 200 gon

200 gon < 2θ < 300 gon

300 gon < 2θ < 400 gon

0 gon < θ < 50 gon

50 gon < θ 100 gon

100 gon < θ 150 gon

150 gon < θ 200 gon

7.3 Weitere Fragestellungen bzw. Verallgemeinerungen Eine weiter Frage wäre z.B.: Was für eine spezielle Kurve ergibt sich, wenn man bei kontinuierlicher Winkeländerung ϕ die dazugehörigen Größen qtt bzw. quu in Form einer Graphik aufträgt.

Wenn wir die bisher stillschweigend vorausgesetzte Tatsache, dass nämlich die Neupunkte aus einer ebenen Netzausgleichung hervorgegangen sind, dahingehend verallgemeinern, dass wir räumlich bestimmte Neupunkte zulassen (z.B. bei dreidimensionalen Netzen und beobachteten Zenitdistanzen oder bei Satellitennetzen), erhält man für jeden Neupunkt 6 verschiedene Kofaktoren:

xyyzxzzzyyxx qqqqqq ,,,,,

und 3 verschiedene mittlere Fehler zm und , yx mm . Man könnte wiederum die Frage stellen, wie

groß die Kofaktoren vvuutt qqq ,, bzw. die mittleren Fehler vut mmm ,, in einem gedrehten (t,u,v)-System sind.

Dazu folgende Bemerkungen:

In der Ebene ist eine Drehung des (u,t)-Systems gegenüber einem (x,y)-System durch einen Winkel ϕ beschreibbar. Dagegen kann die Drehung bzw. Lagerung zweier räumlicher Systeme nur durch mindestens drei Winkel (Eulersche Winkel) beschrieben werden, z.B. in der Photogrammetrie durch die Winkel κωϕ ,, . Eine andere Möglichkeit wäre, daß man die Winkel zwischen jeweils ursprünglicher und gedrehter Achse bzw. zwischen jeder gedrehten und allen ursprünglichen Koordinatenachsen angibt. Die sind dann jeweils 9 Winkel, welche allerdings gegenseitig nicht unabhängig sind, da bereits 3 Eulersche Winkel ausreichen.

Wenn man analog zu oben das Fehlerfortpflanzungsgesetz anwendet und dann entsprechend (7.11) zur Bestimmung der Extremwerte differenziert, muss man mindestens nach 3 Variablen partiell differenzieren und erhält 3 der Gleichung (7.12) entsprechende Gleichungen, die 3 ausgezeichnete Eulersche Winkel für ein ausgezeichnetes räumliches Koordinatensystem ergeben. Dies führt zu praktisch unüberwindlichen „formalalgebraischen Schwierigkeiten. Man erhält keine brauchbaren Formeln. Dies motiviert einen prinzipiell anderen Ansatz für unser Problem, welches dann beliebig verallgemeinert werden kann.

Ein solcher Ansatz führt auf ein Eigenwertproblem und erfordert die Theorie der linearen Algebra bzw. der Matrizenrechnung.

7.4 Herleitung mit Hilfe von Eigenwerten und Eigenvektoren Die folgende Herleitung, die sich des Matrizenkalküls bedient, wird zwar hier speziell für den zweidimensionalen Fall (ebene Netze) explizit vorgeführt, lässt sich aber sofort auf mehr Dimensionen (dreidimensional bei räumlichen Netzen) anwenden.


Seite 124

7.4.1 Allgemeiner Ansatz Für jeden einzelnen Neupunkt führen wir ohne Beachtung einer Indizierung die Kofaktorenmatrix Q und einen Vektor f ein.

Es seien:

=

=

ϕϕ

sincos

und fQyyyx

xyxx

qqqq

(7.16)

Mit (7.16) kann (7.6) als quadratische Form geschrieben werden:

Qff T=ttq (7.17)

In dieser Schreibweise werden nun die Extremwerte dieser quadratischen Form in Abhängigkeit des Vektors f und nicht mehr „direkt“ in Abhängigkeit der skalaren Winkelgröße ϕ , d.h. in Abhängigkeit eines Vektors, dessen Elemente ( ϕϕ cos,sin ) nicht gegenseitig unabhängig sind, sondern durch die Nebenbedingung 1sincos 22 =+ ϕϕ verknüpft sind. Diese Nebenbedingung lautet in Vektorschreibweise:

1T =ff (7.18)

Die Gleichung (7.17) und (7.18) stellen also ein Extremwertproblem mit quadratischer Nebenbedingung dar. Solche Probleme führen im allgemeinen immer auf ein Eigenwertproblem.

Ein solches Extremwertproblem löst man nach Lagrange (Multiplikatorenmethode) durch Bildung der Lagrangefunktion F und Einführung des Lagrange’schen Multiplikators k wie folgt:

( )1F TT −−= ffQff k (7.19)

Die Differentiation nach dem Vektor f liefert:

fQff

k22ddF

−= (7.20)

Aus:

0ddF

=f

folgt fQf k= (7.21)

bzw. die übliche Eigenwertgleichung:

(Q - kE)f = 0 (7.22)

Dies ist ein homogenes Gleichungssystem, das genau dann nichttriviale Lösungen f besitzt, wenn Det(Q - kE) = 0 ist. Die Werte k, für die diese Bedingung gilt, nennt man Eigenwerte von Q. Die dazugehörigen Lösungsvektoren f von (7.22) heißen Eigenvektoren.

Da hier symmetrische Kofaktorenmatrizen vorliegen, die wir im folgenden als positiv definit voraussetzen, sind alle Eigenwerte reell und positiv. Außerdem gilt für den Rang der Koeffizientenmatrix Rg(Q - kE) = n - e, wobei n die Dimension von Q ist und e die Vielfachheit des Eigenwertes k.


Seite 125

Weiteres sei bemerkt, dass die zu verschiedenen Eigenwerten gehörigen Eigenvektoren orthogonal sind. Die Bedingung:

Det(Q - kE) = 0 (7.23)

für k liefert zur Bestimmung von k ein Polynom, dessen Grad durch die Anzahl der Zeilen bzw. Spalten der quadratischen Matrix bestimmt ist.

Für den speziellen Fall, dass Q eine (2 x 2)-Matrix ist, haben wir im allgemeinen 2 Eigenwerte k1 und k2 bzw. 2 Eigenvektoren f1 und f2, wobei wir jetzt vereinbaren wollen, dass für k1 und f1 die quadratische Form (7.17) ihr Maximum und für k2 und f2 ihr Minimum annimmt.

Wir bezeichnen:

2

T2

1T

1

:

:

min

max

Qff

Qff

==

==

ηη

ξξ

qq

qq

tt

tt (7.24)

Aus (7.22) folgt somit:

222T

111T bzw. ffQffQ kk == (7.25)

Nach Multiplikation mit f1T bzw. f2

T von links ergibt sich unter Beachtung von (7.18):

min

max

222

111

ttT

ttT

qqk

qqk

===

===

ηη

ξξ

Qff

Qff (7.26)

Bemerkung: Die Größe 11

1111 ff

QffQff T

TT = nennt man Raleigh-Quotient.

7.4.2 Praktische Bestimmung der Eigenwerte Für den hier speziell betrachteten zweidimensionalen Fall muss gelten:

0Det =

−

−kqq

qkq

yyyx

xyxx (7.27)

Man erhält damit das sogenannte charakteristische Polynom für k:

0)( 22 =−++− xyyyxxyyxx qqqkqqk (7.28)

Dieses besitzt im allgemeinen die beiden verschiedenen Lösungen:

22

2

221

4)(21

2

4)(21

2

xyyyxxyyxx

xyyyxxyyxx

qqqqq

qk

qqqqq

qk

+−−+

==

+−++

==

ηη

ξξ

(7.29)


Seite 126

7.4.3 Praktische Bestimmung der Eigenvektoren Es sei θϕ = der zum Maximum von qtt, d.h. der zu k1 bzw. f1 gehörige Winkel. Dann gilt für die beiden zueinander orthogonalen Eigenvektoren f1 und f2:

[ ] [ ][ ] [ ]2221

T2

1211T

1

)90sin()90cos(

sincos

ff

ff

=°+°+=

==

θθ

θθ

f

f (7.30)

Zur Bestimmung der Eigenvektoren bzw. zur Bestimmung von θθ sin und cos setzen wir den maximalen Eigenwert k1 in (7.22) ein und lösen das homogene Gleichungssystem 0111 =− fQf k explizit:

0sincos)( 1 =+− θθ xyxx qkq (7.31)

0sin)(cos 1 =−+ θθ kqq yyxy (7.32)

Da dieses homogene Gleichungssystem nach Voraussetzung eine verschwindende Koeffizientendeterminante besitzt (k1 wurde ja gerade so bestimmt), sind beide Gleichungen voneinander linear abhängig und es genügt, im folgenden nur eine Gleichung zu betrachten.

Aus (7.31) folgt:

xy

xx

qqk −

= 1tanθ (7.33)

Mit den trigonometrischen Beziehungen

α

αα

αα22 tan1

1cos tan1

tansin+

=+

=

erhält man nach kurzer Umformung:

22

1

1

)(sin

xyxx

xx

qqk

qk

+−

−=θ (7.34)

22

1 )(cos

xyxx

xy

qqk

q

+−=θ (7.35)

In gleicher Weise erhält man die zur Bestimmung von f2 gehörigen Größen )90(cos und )90sin( °+°+ θθ , man muss nur in (7.34) und (7.35) wegen der Orthogonalität der

Eigenvektoren den kleineren Eigenwert k2 einsetzen.

Bemerkungen:

a) Die gleichen Ergebnisse erhält man auch, wenn man die Gleichung (7.32) verwendet, allerdings wegen:

yy

xy

qkq−

=1

tanθ (7.36)

in Abhängigkeit von qyy.


Seite 127

b) Durch Übergang von θ auf den doppelten Winkel 2θ kann aus (7.36) nach einigen Umformungen die früher hergeleitete Formel (7.12) abgeleitet werden.

7.5 Geometrische Deutung der bisherigen Ergebnisse (ebener Fall) Der hierzu notwendige zentrale Begriff ist die Hauptachsentransformation einer quadratischen Form auf das System der Eigenvektoren.

7.5.1 Hauptachsentransformation Bisher wurden folgende Koordinatensysteme verwendet:

Abbildung 7.4:Koordinatensysteme

Für qtt haben wir nach (7.6) eine quadratische Form folgender Bauart:

)cos,sin,,,(f ϕϕxyyyxxtt qqqq = (7.37)

Gewünscht ist nun die Quadratische Form derart, dass in dem um θ gedrehten ),( ηξ -System der Kofaktor ξηq verschwindet. Die gewünschte Bauart der quadratischen Form lautet dann:

)cos,sin,,(g ψψηηξξ qqqtt = (7.38)

Diese so vorgeschriebene Transformation entspricht der sogenannten Hauptachsentransformation in das System der Eigenvektoren f1 und f2, welche dann gerade in die ξ - bzw. η - Achse fallen. Dies soll hier mit Hilfe einer Koordinatentransformation explizit abgeleitet werden.


Seite 128

Aus obiger Figur entnehmen wir:

ψθψθψθϕψθψθψθϕ

sincoscossin)sin(sinsinsincoscos)cos(cos

+=+=−=+=

(7.39)

Mit den zunächst eingeführten Vektoren und Matrizen schreiben wir (7.39) als Matrizengleichung. Es seien

−=

°+°+

=

=

ϕϕ

θθ

θθ

θθ

sincos

= cossin

)90sin()90cos(

sincos

21 fff

[ ]

−==

=

θθθθ

ψψ

cossinsincos

und sincos

21 ffXt (7.40)

wobei die Matrix X als Modalmatrix bezeichnet wird. Mit den Bezeichnungen (7.40) kann (7.39) wie folgt geschrieben werden:

TTT XtftXf =⋅= .bzw (7.41)

Einsetzen von (7.41) in die ursprüngliche quadratische Form (7.17) liefert:

QXtXt TT=ttq (7.42)

Nun ist aber nach der Eigenwerttheorie die Matrix QXXT eine Diagonalmatrix, in der die Eigenwerte von Q stehen.

=

==

ηη

ξξ

qq

kk

00

00

2

1TQXXK (7.43)

Damit nimmt qtt die gewünschte Form an, nämlich:

Ktt T=ttq (7.44)

Ausführlich geschrieben lautet (7.44):

ψψ

ψψ

ηηξξ

ηηξξ

22

22

sincos

sincos

qqq

qqq

tt

tt

+=

+= (7.45)

Wegen des Zusammenhanges zwischen Kofaktor und mittlerem Fehler ( ηηηξξξ qmmqmmqmm ttt 000 ; ; === ) kann man von den Gewichsreziproken auf die

mittleren Fehler übergehen und erhält:

ψψ

ψψ

ηξ

ηξ

2222

22222

sincos

sincos

mmm

mmm

t

t

+=

+= (7.46)

Bemerkungen:

Die hier für den 2-dimensionalen Fall explizit hergeleiteten Formeln gelten, soweit sie als Matrizengleichungen angegeben wurden, allgemein für jede beliebige Dimension.


Seite 129

Die Modalmatrix ist orthogonal, d.h. X-1 = XT besitzt als Spaltenvektoren die orthonormierten Eigenvektoren.

7.5.2 Geometrische Deutung Die durch die Gleichungen (7.45) und (7.46) angegebenen Formeln für qtt bzw. mt lassen sich geometrisch deuten.

Die Größen ttt mbzwq . lassen als Längen von Radiusvektoren einer Ellipse mit den beiden

Halbachsen ηηξξ qq , entsprechend (7.45) bzw. ηξ mm , entsprechend (7.46) deuten.

Diese Ellipse heißt dann Fehlerellipse. Das entsprechende Ellipsoid im 3-dimensionalen Fall heißt Fehlerellipsoid.

a) Konstruktion von ttq über affine Eigenschaften der Ellipse:

Abbildung 7.5: Konstruktion von ttq


Seite 130

b) Konstruktion von mt über affine Eigenschaften der Ellipse (in Analogie zu a):

Abbildung 7.6: Konstruktion von mt

Beweis, dass für die Ellipsen mit ηηξξ qbqa == , bzw. ηξ mbma = ,= die Länge des

Radiusvektors 1OP gleich ttt mq .bzw ist.

Fall b)

P1 hat die Koordinaten

ψψ

ηξ

ψψη

ψξ

ηξ

ηξ

ηξ

ξ

2222

221

sincos

sinsin

cos

11

1

1

mm

OP

mmm

m

m

PP

P

P

+=

+=

==

=

Fall a)

P1 hat die Koordinaten

ψψ

ηξ

ψη

ψξ

ηηξξ

ξξ

ηηξξ

ξξ

22

221

sincos

sin

cos

11

1

1

qq

OP

q

qq

q

PP

P

P

+=

+=

=

=

in Übereinstimmung mit den Formeln (7.45) und (7.46).

Praktisches Vorgehen bei der zeichnerischen Bestimmung von ttt mq .bzw bei zuvor berechneten

Werten für ηηξξθ q und ,q .

Man zeichne eine Ellipse mit den Halbachsen ηηξξ qbqa == und und dem Richtungswinkel θ

der großen Halbachse a (im Neupunkt).


Seite 131

Die Gewichtsreziproke ttq für eine beliebige Richtung ψθϕ += wird dann gefunden als die Länge des Radiusvektors der Ellipse, welcher zur gegebenen Richtung ϕ affin ist. (Konstruktion entsprechend obiger Figur)

Für den Richtungswinkel Γ der affinen Richtung gilt:

ψψψ

ξη tan

cossintan

ab

ab

===Γ (7.47)

7.5.3 Die Fußpunktkurve und ihr Zusammenhang mit der Fehlerellipse

Wenn man bisher ttt mq bzw. als Länge eines Ellipsenradiusvektors deutete, dessen Richtung Γ

affin zur Richtung ψ ist, so ist eine weitere geometrische Deutung von ttt mq und möglich.

Konstruktionsprinzip für ttt mq bzw. :

Man bestimme diejenige Ellipsentangente, welche auf der Richtung ϕ bzw. θϕψ −= senkrecht steht. Diese Tangente schneidet den Richtungsstrahl t im Fußpunkt F.

Die Menge aller so konstruierten Fußpunkte von jeweils auf t senkrecht stehenden Ellipsentangenten heißt Fußpunktkurve.

Behauptung:

a) Der auf dem Richtungsstrahl t abgetragene Abstand OF ist gleich ttt mq bzw. .

b) Der Radiusvektor in der Ellipse zum Berührungspunkt der Tangente ist erneut affin zur Richtung Γ , d.h. wenn man zur Richtung ψ die 2 mal affine Richtung := E konstruiert, so liefert der dazugehörige Ellipsenvektor gerade den Berührpunkt P2 der auf der Richtung ψ senkrecht stehenden Tangente.

Konstruktion eines Punktes F der Fußpunktkurve:

Abbildung 7.7:Konstruktion eines Punktes F der Fußpunktkurve


Seite 132

Allgemeine Skizze einer Fußpunktkurve:

Abbildung 7.8: Allgemeine Skizze einer Fußpunktkurve

Für die 2 mal affine Richtung E gilt:

ψψ tantantan 2

2

ab

ab

ab

=⋅=Ε (7.48)

Beweis der beiden Behauptungen a) und b):

Um den Beweis führen zu können, werden zunächst einige mathematische Hilfsmittel bereitgestellt.

Zunächst folgende z.T. schon früher benutzte Bezeichnungen:

1kqa == ξξ große Halbachse der Fehlerellipse

2kqb == ηη kleine Halbachse der Fehlerellipse

=

ψψ

sincos

t t ist Einheitsvektor, d.h. 1T =tt

=

ηξ

y

=

=

= −

2

11

2

12/1

2

1

10

01

0

0

00

k

kk

kk

kKKK (7.49)

Radiusvektor eines Ellipsenpunktes P mit den Koordinaten ξ η, .


Seite 133

Damit gilt:

Ktt T=ttq bzw. Ktt T=ttq (7.50)

Einige Formeln zur Fehlerellipse:

Parameterdarstellung

⋅

=

ψψ

ηξ

sincos

00

2

1

kk

(7.51)

bzw.

tKy ⋅= 2/1 (7.52)

Achsengleichung:

11 =− yKyT (7.53)

Der Vektor der Ellipsennormalen im Punkt ),( ηξP sei u, dann gilt durch Gradientenbildung von (7.53):

yKu 1−= (7.54)

Projektion p des Ortsvektors eines Ellipsenpunktes P in Richtung der Normalen:

Abbildung 7.9Projektion P des Ortsvektors eines Ellipsenpunktes P in Richtung der Normalen

Ist ue der Einheitsvektor der Ellipsennormalen im Punkt y, so gilt für den senkrechten Abstand p der Tangente bzw. Tangentialebene vom Ursprung:

peeT =⋅⋅= αcosuyuy (7.55)


Seite 134

Will man in Gleichung (7.54) yKu 1−= an Stelle des Vektors u, dessen Länge noch unbestimmt ist, den Einheitsvektors ue stehen haben, so kann man setzen:

)0( 1≠= λ

λ euu (7.56)

wobei λ zunächst noch unbekannt ist. Gleichung (7.56) in (7.54) eingesetzt ergibt:

yKu 1−= λe (7.57)

Skalare Multiplikation mit yT von links ergibt:

yKyuy 1TT −= λe (7.58)

Unter Beachtung von (7.55) und (7.53) erhält man:

λ=p

yKu 1−= pe (7.59)

Seien t, t1, t2 die zu der Richtung t und den Punkten y1, y2 gehörenden Einheitsvektoren, die im ( ηξ , )-System die Richtungswinkel ΕΓΨ ,, haben.

Mit diesen obigen Hilfsmitteln beweisen wir nun die Behauptungen a) und b):

1.Schritt: Man konstruiere den zur Richtung t gehörenden (affinen) Ellipsenpunkt P1 mit dem dazugehörigen Radiusvektor y1. Dann gilt nach (7.52):

2/1TT1

2/11 bzw. KtytKy ==

ttTT q== Kttyy 11 (7.60)

2.Schritt: Man konstruiere den zu P1 affinen Ellipsenpunkt P2 mit Radiusvektor y2. Wiederum gilt nach (7.52)

12/1

2 tKy = (7.61)

wobei t1 der zu P1 gehörige Einheitsvektor ist. Für t1 gilt:

Ktt

tK

yy

yyy

tT

2/1

11

1

1

11 ===

T (7.62)

Dies in (7.61) eingesetzt liefert:

Ktt

KtyT

=2 (7.63)

Für die Normalen in P2 gilt nach (7.54) 21

2 yKu −= . Einsetzen von (7.63) liefert:

Ktt

t

Ktt

KtKuTT

==−1

2 (7.64)


Seite 135

tu || 2

Da die Ellipsentangente in P2 senkrecht auf der Normalen u2 in P2 steht und tu || 2 ist, folgt: die Tangente in P2 steht auch auf der Richtung t selbst senkrecht oder P2 ist gerade derjenige Berührpunkt der Tangente, die senkrecht auf der Richtung t steht. Damit finden wir: Für die Projektion OF von yt auf t gilt dann:

ttqpOF ===== KttKtt

Kttyt T

T

T

2T

also:

ttqp = (7.65)

was zu beweisen war.

Bemerkung:

Für den speziellen Fall gleicher Eigenwerte k1 = k2, wenn also qxx = qyy und qxy = 0 ist, entarten die Fehlerellipsen und die Fußpunktkurve in einen identischen Kreis mit dem Radius xxy mq bzw. , d.h.

in diesem Fall sind die mittleren Fehler in jeder beliebigen Richtung gleich groß.

Kapitel 8: Zur strengen Ausgleichung von Polygonzügen und Polygonnetzen

Seite 136

8 Zur strengen Ausgleichung von Polygonzügen und Polygonnetzen

8.1 Voraussetzungen und Bezeichnungen Behandelt wird der beidseitig angeschlossene Polygonzug. Gegeben seien dabei:

• Die Koordinaten des Anfangs- und Endpunktes:

P x y x yn n n1 1 1( , ) ( , ) P

• Die Koordinaten der beiden Anschlußpunkte am Anfang und am Ende:

P x y x yn n n0 0 0 1 1 1( , ) ( , ) P + + +

Gemessen wurden:

• Alle Brechungswinkel

βi i n ( ,..., )= 1

• Alle Strecken

s i ni ( ,..., )= 1

Abbildung 8.1: Beidseitig angeschlossener Polygonzug


Seite 137

8.2 Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen Bei der Ausgleichung eines Polygonzuges treten gegenüber der Ausgleichung von Strecken-, Richtungs- und Winkelbeobachtungen keine neuen Typen von Fehlergleichungen auf. Aus diesem Grunde werden nur noch die nichtlinearen Fehlergleichungen angegeben. Unbekannte sind dabei die Koordinaten der (n-2) unbekannten Polygonpunkte P P Pn2 3 1, ,..., − , d.h. also 2(n-2) Unbekannte.

Die Fehlergleichungen lauten dann:

a) für die beobachteten Brechungswinkel:

β

β

β

β

β

β

12 1

2 1

0 1

0 1

1

1

1

1

1

1

1

1

+ =−−

−−−

+ =−−

−−−

+ =−−

−−−

+

+

−

−

+

+

−

−

vy yx x

y yx x

vy yx x

y yx x

vy yx x

y yx x

i

i

n

ii i

i i

n n

n n

nn n

n n

n n

n n

arctan arctan

arctan arctan

arctan arctan

M

M

(8.1)

Die ausgeglichenen Brechungswinkel werden als Differenzen von 2 Richtungswinkeln dargestellt. In der ersten Gleichung treten nur die Unbekannten x2 2 und y auf. In der i-ten Gleichung sind alle Koordinaten und in der n-ten Gleichung sind beide Koordinaten xn n− −1 1 und y unbekannt.

b) Für die beobachteten Strecken:

s v x x y yi s i i i ii+ = − + −+ +( ) ( )1

21

2 (i = 1,2,...,n,n - 1) (8.2)

mit jeweils den entsprechenden Unbekannten.

Hinweise zur Fehlerrechnung:

Für den mittleren Fehler der Gewichtseinheit (mittleren Fehler einer Beobachtung vom Gewicht 1) gilt:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

mv v p v v p

n n n

mv v p v v p

i i i i i i

i i i i i i

i

n

s s si

n

i

n

s s si

n

01 1

1

01 1

1

1 2 2

3

=+

+ − − −

=+

= =

−

= =

−

β β β

β β β

( ) (8.3)

Bei der Festsetzung der Gewichte pi isβ und p muss darauf geachtet werden, dass es sich bei den

beobachteten Winkeln und Strecken um sogenannte heterogene Größen handelt. Zur Ermittlung der Gewichte p

i isβ und p müssen vor der Ausgleichung die mittleren Fehler mi isβ und m geschätzt

werden. Wir machen die vereinfachende Annahme, dass die mittleren Fehler der Winkel und der Strecken für sich genommen jeweils gleich sind, dass also gilt:

m m m m

m m m m

s s s sn

n

1 2 1

1 2

2 2 2 2

2 2 2 2

= = = =

= = = =−

... :

... :β β β β


Seite 138

Nach der Definition der Gewichte gilt dann:

p

p

m

m

s s

β β

=2

2 (8.4)

wobei ein Gewicht zu 1 gesetzt werden kann.

8.3 Die Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen

8.3.1 Die Wahl eines Hauptsystems und Bestimmung der überschüssigen Beobachtungen Gesamtanzahl der Beobachtungen: n + n - 1 = 2n - 1.

Anzahl der zur eindeutigen Festlegung der Konfiguration notwendigen Beobachtungen (ausgehend von P1):

β β β1 1 2 2 2 2, , , , , ,s s sn n ... − − )

d.h. 2(n - 2) = 2n - 4 Beobachtungen.

Überschüssig sind dann r = 2n - 1 - (2n - 4) = 3 Beobachtungen, nämlich:

β βn n ns− −1 1, , .

Insgesamt sind also 3 Bedingungsgleichungen aufzustellen.

Bei diesem Beispiel empfiehlt es sich, die Bedingungsgleichungen nicht sukzessiv, d.h. durch Hinzufügung jeweils einer überschüssigen Beobachtung zum HS, aufzustellen. Dies wäre umständlich, da man die unbekannten Koordinaten der unbekannten Polygonpunkte mitführen müsste. Man geht deshalb wie in der Vermessungskunde vor und stellt die folgenden 3 Bedingungsgleichungen auf:

a) Winkelabschlussbedingung

b) Koordinatenabschlussbedingung in x-Richtung

c) Koordinatenabschlussbedingung in y-Richtung

zu a)

ϕ β β ϕβ β0 1 1 11200 200, ,( ) ... ( )+ + − + + + − = +v vgon

ngon

n nn

⇒ + + + = − + ⋅ − + + + =+v v v n

Soll Ist

wn n n

gonnβ β β ϕ ϕ β β β

1 2 1 0 1 1 2 1200...

" "

( ... )

" "

:, ,1 244444 344444 1 2444 3444 (8.5)

zu b) und c)

Für die ausgeglichenen Strecken und Winkel muss gelten:

x s v s v s v xs s n s n n nn1 1 1 2 2 2 3 1 11 2 1+ + + + + + + =− −−( )cos ( )cos ... ( )cos, , ,ϕ ϕ ϕ (8.6)

bzw.

y s v s v s v ys s n s n n nn1 1 1 2 2 2 3 1 11 2 1+ + + + + + + =− −−( )sin ( )sin ... ( )sin, , ,ϕ ϕ ϕ (8.7)

Man muss beachten, dass die ausgeglichenen Richtungswinkel ϕk k, +1 von den ausgeglichenen Brechungswinkeln abhängen.


Seite 139

So gilt z.B.:

ϕ ϕ β

ϕ ϕ β β

ϕ ϕ β β

β

β β

β β

1 2 0 1 1

2 3 0 1 1 2

1 0 1 1 1

1

1 2

1 1

200

2 200

1 200

, ,

, ,

, ,

( )

... ( ) ( )

= + + −

= + + + + − ⋅

= + + + + + − − ⋅− − −

v

v v

v v n

gon

gon

n n ngon

n

M (8.8)

Da dadurch die beiden Koordinatenabschlussbedingungen, ausgedrückt durch die ursprünglichen Beobachtungen, ziemlich unübersichtlich werden, geht man den folgenden Weg:

Man fasst die unausgeglichenen Richtungswinkel: ϕk k k, +1 ( = 1,2,...,n - 1)

als Beobachtungen auf und substituiert die ausgeglichenen Brechungswinkel erst am Schluss wieder.

Zunächst sollen aber die Widersprüche w und w2 3 der Gleichungen (8.6) und (8.7) ausführlich angeschrieben werden.

w x x s s s

Soll Ist

w y y s s s

n n n n

n n n n

2 1 1 1 2 2 2 3 1 1

3 1 1 1 2 2 2 3 1 1

= − − + + +

= −

= − − + + +

− −

− −

( cos cos .. cos )

" " " "

( sin sin .. sin )

, , ,

, , ,

φ φ φ

φ φ φ

mit den unausgeglichenen Richtungswinkeln:

ϕ ϕ β

ϕ ϕ β β

ϕ ϕ β β β

1 2 0 1 1

2 3 0 1 1 2

1 0 1 1 2 1

200

2 200

1 200

, ,

, ,

, ,

( )

... ( ) ( )

= + −

= + + − ⋅

= + + + + − − ⋅− −

gon

gon

n n ngonn

M (8.9)

Entsprechend der vorübergehend gemachten Annahme, nämlich dass die unausgeglichenen Richtungswinkel beobachtet worden seien, gilt folgender Ansatz:

x s v v s v v x

y s v v s v v y

s n s n n n

s n s n n n

n n

n n

1 1 1 2 1 1

1 1 1 2 1 1

1 1 2 1 1

1 1 2 1 1

+ + + + + + + =

+ + + + + + + =

− −

− −

− −

− −

( )cos( ) ... ( )cos( )

( )sin( ) ... ( )sin( )

, ,

, ,

, ,n

, ,n

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

Nach der Linearisierung

cos( ) cos sin

sin( ) sin cos

, , ,

, , ,

, ,

, ,

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

i k i k i k

i k i k i k

v v

v v

i k i k

i k i k

+ = − ⋅

+ = + ⋅

erhält man nach Umordnen und Zusammenfassen bei Vernachlässigung von Gliedern höherer Ordnung:

cos cos ... cos

sin sin ... sin

, , ,

, , ,, , ,n

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

1 2 2 3 1

1 1 2

2 1

2 2 3

3 2

1 1

1

2

1 2 1

1 2 2 3 1

⋅ + ⋅ + + ⋅

−−

⋅ −−

⋅ − −−

⋅ =

−

− −

−

−

−

v v v

s

y y

v s

y y

v s

y y

v w

s s n n s

n n n

n n

n

n1 244 344 1 244 344 1 2444 3444 (8.10)


Seite 140

sin sin ... sin cos

cos ... cos

, , , ,

, ,

,

, ,n

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

1 2 2 3 1 1 1 2

2 1

2 2 3

3 2

1 1

1

3

1 2 1 1 2

2 3 1

⋅ + ⋅ + + ⋅ +−

⋅

+−

⋅ + +−

⋅ =

−

− −

−

−

−

v v v sx x

v

sx x

v sx x

v w

s s n n s

n n n

n n

n

n

1 244 344

1 244 344 1 2444 3444 (8.11)

Mit den Vektoren und Matrizen:

[ ][ ][ ]

v v v v v

v v v v v

w w w

B

und

By y y y y y y y

x x x x x x x

sT

s s s s

T

T

T i i n n

i i n n

T i i n n

i i n

i n

i n

=

=

=

=

=− − − − − − − −

− − −

−

−

+ −

+ −

+ −

+

1 2 1

1 2 1

2 3

11 2 2 3 1 1

1 2 2 3 1 1

22 1 3 2 1 1

2 1 3 2 1

L L

L L

L L

L L

L L

L L

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

cos cos cos cos

sin sin sin sin

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

, , , ,

, , , ,

−

−xn 1)

gehen die Gleichungen (8.10) und (8.11) über in:

B v B v wTs

T1 2+ =ϕ (8.12)

Jetzt erfolgt der Übergang von Richtungswinkeln zu Brechungswinkeln (Rücksubstitution).

Durch Vergleich von (8.8) und (8.9) findet man mit:

ϕ ϕ ϕ

ϕ β

k k k k

i

k

v

v v k n

k k

k k i

, , ,

,, ,...,

+ +

=

= +

= = −

+

+∑

1 1

1

1

11 2 1 ( )

(8.13)

Mit

[ ]v v v vT

nβ β β β=−1 2 1

L

und der (n - 1, n - 1)-Matrix L:

L =

1 0 0 0 0

1 1 0 0 0

1 1 1 0 0

1 1 1 1 0

1 1 1 1 1

L

L

L

M M M M M M

L

L

*) Beachte: In der Matrix BT2 dürfen für xn und yn nicht die gegebenen Koordinaten des Punktes Pn

eingesetzt werden. Dies folgt aus (8.10) und (8.11).

*)


Seite 141

sowie mit dem obigen Vektor vϕ gilt für (8.13) in Matrizen:

v L vϕ β= ⋅ (8.14)

(8.14) in (8.12) eingesetzt liefert:

B v B Lv wTs

T1 2+ =β (8.15)

Wir setzen:

B B LT T2 2: =

und erhalten:

By y y y y y

x x x x x xT n n n n

n n n n2

1 2 1

1 2 1

=− − − − − −

− − −

−

−

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Durch Hinzunahme der Winkelsummenbedingung (8.5) erhält man die Bedingungsgleichungen in der endgültigen Form:

v v v v v v v1 2 n-1 ns s s

n n

n n

n n n n

n n n n

n

y y y y y y

x x x x x x

w

w

w

1 1 1

0 0 0 1 1 1 1

0

01 2 2 3 1

1 2 2 3 1

1 2 1

1 2 1

1

2

3

−

−

−

−

−

− − − − − −− − −

=

β β β β

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

cos cos cos

sin sin sin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ), , ,

, , ,


Seite 142

Man erhält folgendes Normalgleichungssystem:

Nk = w (8.16)

mit

[ ] [ ] [ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

N

p y y p x x p

p

y y p

p

y y x x p

p

x x p

k k

k k k

k

k

k

k

k

k

k

n

n kk

n

n kk

n

k k sk

n

n kk

n

k k k k sk

n

n k n kk

n

k k sk

n

n kk

n

T

=

− − −

+ − + − − −

+ −

=

−

=

−

=

− −

=

−

+−

=

−

−

=

−

+ +−

=

−

−

=

−

+−

=

−

−

=

−

β β β

β β

β

ϕ ϕ ϕ

ϕ

1

1

1

1

11

1

1

21

1

1

1

1

1

1

1 11

1

1

1

1

1

21

1

1

1

2 1

1

1

1

( ) ( )

cos

( )

cos sin

( )( )

sin

( )

, , ,

,

[ ] [ ]k k w w wT2 3 1 2 3 und w =

Für die Verbesserungen gilt dann nach der allgemeinen Formel:

v p Bk= −1 (8.17)

vp

k k

vp

k k

vp

k k

vp

k y y k x x k

vp

k y y k x x k

vp

k

ss

ss

i i i i

ss

n n n n

n n

n i n i

ii

nn

ii

nn

11

11

11

11

1

1

1

1

1

1

1 2 2 1 2 3

1 2 1 3

1 2 1 3

1 1 2 1 3

1 2 3

1

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

= − − ⋅ + − ⋅

= − − ⋅ + − ⋅

= −

+ +

− −−−

−−

(cos sin )

(cos sin )

(cos sin )

( ( ) ( ) )

( ( ) ( ) )

( (

, ,

, ,

, ,

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ββ

ββ

ββ

M

M

M

M

M

y y k x x k

vp

k

n n n n

nn

− ⋅ + − ⋅

= ⋅

− −1 2 1 3

11

) ( ) )

ββ

Anhang A: Schematische Zusammenstellung der Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen

Seite 143

Anhang A: Schematische Zusammenstellung der Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen Ausgleichungsprinzip: Es werden u Unbekannte x aus n Beobachtungen l bestimmt. Jede Beobachtung wird in einer Fehlergleichung als Funktion der Unbekannten ausgedrückt.

Vorgehensweise:

1) geg.: n Beobachtungen l mit Kovarianzmatrix Cll.

Festlegen von m0 a priori (mittlerer Gewichtseinheitsfehler vor der Ausgleichung)

→ Kofaktorenmatrix der Beobachtungen: Q Cll m ll= ⋅102

→ Gewichtsmatrix: P Q m Cll ll= = ⋅− −102 1

ges.: u Unbekannte (u < n)

→ Redundanz: r = n - u.

2) Aufstellen von n Fehlergleichungen: Jede Beobachtung li (i = 1,...,n) als Funktion einer oder mehrerer Unbekannten xj (j = 1,...,u).

linear nicht linear

l + v = A⋅x ⇒ v = A⋅x - l l + v = f(x) ⇒ v = f(x) - l

mit Näherungswerten x0: x = x0 + ∆x mit Näherungswerten x0: x = x0 + ∆x

v = A⋅x0 + A⋅∆x - l l−∆⋅

∂∂

+= xx

)x(f)x(fv 0

0 (Linearisieren!)

⇒ v = A⋅∆x - ∆l ⇒ v = A⋅∆x - ∆l

mit ∆l = l - A⋅x0 mit Af x

x=∂∂( )0 und ∆l = l - f(x0)

→ Bereitstellen von Matrix A und Vektor ∆l

3) Aufstellen und Lösen der Normalgleichungen: (ATPA)⋅∆x = ATP∆l

Berechnen von Normalgleichungsmatrix N = ATPA = Qxx−1

Berechnen von Vektor ATP∆l

⇒ ∆x = (ATPA)-1⋅ATP∆l ( ⇒ x = x0 + ∆x )

4) Verbesserungen der Beobachtungen v = A⋅∆x - ∆l

→ Kontrolle ATPv = 0

→ Schätzung des mittleren Gewichtseinheitsfehlers nach der Ausgleichung m0 a posteriori:

mv Pv

r

T

02 = (r = n - u)

→ Verbesserte Beobachtungen vll += (Berechnung nur, wenn ausdrücklich verlangt.)

Anhang A: Schematische Zusammenstellung der Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen

Seite 144

5) Kofaktorenmatrizen und Kovarianzmatrizen:

- der Beobachtungen: Q P C m Qll ll ll= = ⋅−102 (siehe 1))

- der Unbekannten: Q A PA C m QxxT

xx xx= = ⋅−( ) 102 (siehe 3))

- der ausgeglichenen Beobachtungen: Q AQ All xxT=

- der Verbesserungen: Q Q Qvv ll ll= −

6) Weitere Berechnungen, z.B. Modelltest, Redundanzanteile, Suche von groben Fehlern mittels ‘data snooping’ etc. → Ausgleichungsrechnung II.

Anhang B: Schematische Zusammenstellung der Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen

Seite 145

9 Anhang B: Schematische Zusammenstellung der Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen

Ausgleichungsprinzip: Es werden die n ausgeglichenen Beobachtungen l bestimmt. Zwischen den Beobachtung lassen sich r unabhängige Bedingungsgleichungen aufstellen.

Vorgehensweise: 1) geg.: n Beobachtungen l mit Kovarianzmatrix Cll.

Festlegen von m0 a priori (mittlerer Gewichtseinheitsfehler vor der Ausgleichung)

→ Kofaktorenmatrix der Beobachtungen: Q Cll m ll= ⋅102

→ Gewichtsmatrix: P Q m Cll ll= = ⋅− −102 1

ges.: n ausgeglichene Beobachtungen vll += .

Redundanz: r = Anzahl aller Beobachtungen − Anzahl der zur Berechnung

notwendigen Beobachtungen.

= Anzahl der voneinander unabhängigen Bedingungsgleichungen.

2) Aufstellen von r Bedingungsgleichungen (Bedingungen zwischen Beobachtungen).

linear nicht linear

BT⋅(l + v) = s f(l + v) = s

Linearisieren: ,dl

l)l(f)l(f)dll(f ⋅

∂∂

+=+

mit v = dl und l

)l(fBT

∂∂

=

⇒ BTv = s - BTl = w ⇒ BTv = s - f(l) = w

Widersprüche w = s - BTl Widersprüche w = s - f(l)

→ Bereitstellen von Matrix BT und Vektor w.

3) Aufstellen und Lösen der Normalgleichungen: (BTP−1B)⋅k = w

Berechnen der Normalgleichungsmatrix N = BTP−1B = Q Qww kk= −1

⇒ Korrelaten: k = (BTP−1B)−1⋅w

4) Verbesserungen der Beobachtungen: Korrelatengleichungen v = P−1⋅B⋅k

→ Kontrolle BTv = w.

→ Schätzung des mittleren Gewichtseinheitsfehlers nach der Ausgleichung m0 a posteriori:

mv Pv

r

T

02 = Kontrolle: vTPv = kTw.

→ Verbesserte Beobachtungen l l v= + . Kontrolle: f l s( ) =

5) Modelltest (m0 a posteriori gegen m0 a priori prüfen → Ausgleichungsrechnung II.)

6) Kofaktorenmatrizen und Kovarianzmatrizen:

Anhang B: Schematische Zusammenstellung der Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen

Seite 146

- der Beobachtungen: Q P C m Qll ll ll= = ⋅−102 (siehe 1))

- der Widersprüche: Q B P BwwT= −1 (siehe 3))

- der Korrelaten: Q Q B P Bkk wwT= =− − −1 1 1( ) (siehe 3))

- der Verbesserungen: Q P BQ B Pvv kkT= − −1 1

⇒ Redundanzanteile: Diagonalelemente der Matrix QvvP. Kontrolle: Spur (QvvP) = r.

- der ausgeglichenen Beobachtungen: Q P Qll vv= −−1

Grundlagen der...

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