Bachelorarbeit - ZNF...Universität Hamburg Carl Friedrich von Weizsäcker-Zentrum für...

Universität Hamburg

Carl Friedrich von Weizsäcker-Zentrum für Naturwissenschaft

und Friedensforschung

Bachelorarbeit

im Studiengang Physik

Frequenzstabilisierung einer Laserdiode mittels Injection Seedingund

Analyse des Frequenzganges eines TA-Controllers

Frequency stabilisation of a laser diode via injection seedingand

analysis of a tapered amplifier controller

eingereicht von: Ergin Simsek

angefertigt im Jahr: 2015

Gutachter: Herr Prof. Dr. Gerald Kirchner

Herr Dr. Markus Kohler

Erklärung:

Hiermit versichere, die vorliegende Bachelorarbeit selbstständig und nur unter

Zuhilfenahme der angegebenen Quellen und Hilfsmittel verfasst zu haben.

Mit der Veröffentlichung dieser Arbeit erkläre ich mich einverstanden.

Ergin Simsek

15. April 2015

Zusammenfassung

Diese Bachelorarbeit gliedert sich in zwei Hauptteile. Der erste Teil beschäftigt sich mit

der Frequenzstabilisierung zweier Typen von Laserdioden und der Untersuchung ihrer Strah-

leigenschaften mithilfe der sich periodisch ändernden transmittierten Intensität des Laser-

strahls durch einen Chopper. Das Ziel des ersten Teils ist es, eine möglicherweise günsti-

gere Alternative zum gegenwärtigen tapered amplifier Aufbau, welcher genutzt wird, um

die Kühllaserstrahlen der magneto-optischen Falle der atom trap trace analysis (ATTA) des

Carl Friedrich von Weizsäcker Zentrums für Naturwissenschaft und Friedensforschung der

Universität Hamburg, zu finden. Der neue Aufbau implementiert die Technik des Injecti-

on Seeding mit herkömmlichen Laserdioden höherer maximaler Leistung als die sich im

ATTA-Aufbau befindlichen.

Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Charakterisierung eines tapered am-

plifier controllers (TAC) mithilfe von Bode-Diagrammen. Außerdem ist es das Ziel, zu über-

prüfen, ob die Funktion des Controllers zur Regelung der Ausgangsleistung des tapered

amplifiers durch eine möglicherweise ungeeignete Charakteristik des PI-Reglers des TAC

beeinflusst wird.

Abstract

This bachelor thesis is devided into two main parts. The fist part deals with the frequen-

cy stabilisation of two kinds of laser diodes and the analysis of their ray characteristics via

periodic reduction of transmitted intensity by a chopper. The goal of this first part is to find

a possible cheaper to achieve replacement for the tapered amplifier setup, which is used to

intensifiy the cooling laser beams of the magneo-optical trap of the atom trap trace analy-

sis (ATTA) of the Carl Friedrich von Weizsäcker centre for science and peace research of the

University of Hamburg. The new experimental setup implements the technique of injec-

tion seeding with conventional laser diodes, which have a higher maximum output power

than the laser diodes used in the current ATTA setup.

The second part of this thesis deals with the characterisation of a tapered amplifier control-

ler (TAC) via the use of Bode diagrams. Furthermore, the objective is to test if the controller’s

function of stabilisation of the output power of the tapered amplifier is affected by possibly

unsuitable characteristics of the proportional plus integral (PI) controller of the TAC.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 4

2 Theorie 7

2.1 Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Das Laserprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Absorption und Emission von Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2.1 Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2.2 Spontane und induzierte Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.2.3 Natürliche Linienbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.3 Halbleiterlaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.3.1 Bandstruktur der Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.3.2 Elektronen und Löcher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.3.3 Verteilung der Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.3.4 Ladungsträgerdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.3.5 Dotierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.3.6 Fermi-Verteilung und Besetzungswahrscheinlichkeit . . . . . . 20

2.1.3.7 Didodenlaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.3.8 Quantengraben-Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3.9 Moden- und Emissionsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.3.10 Gauß-Strahlcharakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Regelkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.1 Schwingbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.2 P-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.3 PI-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.4 Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Experiment und Auswertung 50

3.1 Seeding und Charakterisierung der Laserdiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.1 Vorbereitung der Laserdiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.2 Versuchsaufbau zum Injection Seeding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1.3 Durchführung des Injection Seedings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2

3.1.4 Einfluss des Seedlaserstrahls auf das Emissionsspektrum der Laser-

diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1.5 Versuchsaufbau zum Chopper-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.1.6 Durchführung des Chopper-Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.1.7 Auswertung und Diskussion des Chopper-Experiments . . . . . . . . . . . 76

3.1.8 Charakterisierung des Tiefpassverhaltens des TA-Controllers . . . . . . . 81

3.1.9 Aufbau der Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.1.10 Durchführung der Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.1.11 Auswertung der Messungen und Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4 Zusammenfassung und Ausblick 89

A Injection Seeding 91

A.1 Seedstrahlleistung und Frequenzspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A.2 Frequenzspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

A.2.1 2W -Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

A.2.2 5W -Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

A.3 Tabellenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

A.4 Choppern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

A.4.1 p-Komponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

A.4.2 s-Komponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

A.5 Rechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

B TA-Controller 114

B.1 Schaltpläne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Literaturverzeichnis 117

Danksagungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3

Kapitel 1

Einleitung

Als 1968 der Vertrag zur Nichtverbreitung von Atomwaffen (NVV) von den Kernwaffenstaa-

ten USA, Sowjetunion und Großbritannien unterzeichnet wurde, war das Ziel, die horizon-

tale Proliferation zu verhindern (IAEA, 1970). Der Vertrag spaltet die Mitgliedsstaaten in

zwei Gruppen. Die Kernwaffenstaaten verpflichten sich nach Artikel 1 dazu, keine Atom-

waffen, Technologien oder Unterstützung zur Entwicklung solcher Waffen weiterzugeben

oder bereitzustellen. Die zweite Gruppe, die Nichtkernwaffenstaaten, verpflichtet sich nach

Artikel 2 dazu, keine nuklearen Waffen zu entwickeln bzw. zu bauen oder solche Waffen

bzw. Technologien von anderen anzunehmen. Nach Artikel 3 müssen Nichtkernwaffen-

staaten die Kontrolle der Einhaltung des Vertrages durch die Inspektoren der Internationa-

len Atomenergie Organisation (IAEO) zulassen. Die IAEO nutzt zwar nach dem Zusatzpro-

tokoll zum NVV Technologien wie zum Beispiel Satelliten- und Kommunikationssysteme

zur Kontrolle der Einhaltung des Vertrages, jedoch wurden noch keine Systeme zur Ultra-

spurenanalyse basierend auf der so genannten atom trap trace analysis (ATTA) miteinbe-

zogen.

ATTA Die ATTA ist ein Instrument zur Ultraspurenanalyse, die auf dem Einfang von ein-

zelnen Atomen basiert. Die ATTA nach (Bailey et al., 2000) befasst sich mit dem Nachweis

der langlebigen, radioaktiven und inerten Krypton-Isotope 85Kr (Halbwertszeit: 10,76 Jah-

re, 85Kr/Kr: ≈ 10−11) und 81Kr (Halbwertszeit: 2, 3 ·105 Jahre, 81Kr/Kr: ≈ 10−13), welche sich

beispielsweise als Tracer zur Grundwasserdatierung eignen. 81Kr entsteht durch kosmische

Strahlung, die auf die Erdatmosphäre trifft, wohingegen 85Kr aus der überwiegend anthro-

pogenen Kernspaltung von 235U oder 239Pu hervorgeht. Dadurch eignet sich insbesondere85Kr zur Entdeckung geheimer Wiederaufbereitungsanlagen für Plutonium und bietet so-

mit der IAEO ein Mittel zur Verifikation des NVV.

Im Rahmen der Hamburger ATTA-Gruppe des Carl Friedrich von Weizsäcker-Zentrums

für Naturwissenschaft und Friedensforschung (ZNF) wurde das am Argonne National La-

boratory (ANL) entwickelte Systemdesign aufgegriffen und dahingehend weiterentwickelt,

dass der Probendurchsatz erhöht wird und gleichzeitig wesentlich kleinere Proben zum

4

Nachweis der Krypton-Isotope genutzt werden können. Im derzeitigen Zustand der Anlage

konnten 83-Kr- und 84-Kr-Atome detektiert werden (Kohler et al., 2014). Das Kernstück des

Aufbaus wird durch eine 2D-3D-MOT Kombination gebildet. Die 2D-MOT besteht aus zwei

rückreflektierten Kühllaserstrahlen der Wellenlänge 811, 290 nm und einem Quadrupol-

magnetfeld. Die Kombination aus Laserstrahlen und dem inhomogenen Magnetfeld sorgt

für eine orts- und geschwindigkeitsabhängige Bremskraft während des Kühlens und für

einen örtlich begrenzten Einschluss nahezu ruhender Atome in der jeweiligen Dimensi-

on (Laserstrahlrichtung). Durch die Wahl der Wellenlängen und des Magnetfeldgradienten

wird die Isotopenselektivität der 2D-MOT gewährleistet (Kohler, 2011). Nach dem in Ab-

bildung 1.1 gezeigten Energieschema werden die Krypton-Atome optisch angeregt. Durch

mehrere VUV-Lampen der Wellenlänge 123, 6 nm wird der erste angeregte Zustand besetzt.

Danach sorgt ein Laser der Wellenlänge 819 nm für die Anregung in den zweiten angereg-

ten Zustand. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 % zerfallen diese angeregten Atome in

den metastabilen Zustand 4p 55s [3/2]2. In diesem Zustand sorgen die Kühlstrahlen der 2D-

MOT für die Anregung in den quasi geschlossenen Zwei-Niveau-Übergang 4p 55p [5/2]3,

welcher anschließend wieder unter Fluoreszenz in den metastabilen Zustand zerfallen. Die

durch die 2D-MOT in zwei Raumrichtungen eingeschlossenen Atome werden über eine

differentielle Pumpstrecke in die 3D-MOT geführt und dort wieder durch die Kombination

aus Kühllaserstrahlen und inhomogenem Magnetfeld in drei Dimensionen gefangen.

Über eine Avalanche-Photodiode wird die Fluoreszenz der Atome gemessen.

Grundzustand

4p 6

metastabiler Zustand

4p 55s [3/2]1

4p 55p [3/2]2 4p 55p [5/2]3

τ≈ 40 s

4p 55s [3/2]2

819 nm760 nm

811,29 nm25 %

75 %

Abbildung 1.1: Energieschema zur optischen Anregung des Kryptons in den metastabilen Zu-stand 4p 55s [3/2]2 und Kühlübergang in den Zustand 4p 55p [5/2]3 (Kohler et al., 2014).

Das Lasersystem für die 2D-MOT basiert auf zwei Laserstrahlen unterschiedlicher Wel-

lenlänge (85Kr und 81Kr), welche über zwei Spiegel in sich rückreflektiert werden und da-

durch die vier Teilstrahlen der magneto-optischen Falle ergeben. Die 3D-MOT basiert auf

einem Laserstrahl, welcher durch ein Strahlaufteilungssystem (Cluster) aufgespalten wird

und so die sechs Teilstrahlen der MOT bildet. Da der ATTA-Aufbau imstande sein soll, zwei

Isotope (81Kr und 85Kr) gleichzeitig messen zu können, sorgen akusto-optische Modula-

toren für die Frequenzänderung. Das Problem bei dem gesamten Aufbau besteht in den

5

Laserstrahlintensitäten, welche in den MOT-Teilstrahlen gegeben sind. Diese werden näm-

lich durch die zahlreichen optischen Bauteile auf dem Weg zum MOT-Aufbau verringert,

wodurch die Effizienz zum Einfangen der Isotope abnimmt.

Ziel dieser Qualifikationsarbeit ist es daher, mehrere leistungsfähigere Laserdioden mit-

tels Injection Seeding-Technik in ihrer Frequenz zu stabilisieren und die Laserstrahlpara-

meter hinsichtlich der Nutzbarkeit im Hamburger ATTA-Experiment zu beurteilen. Diese

Arbeit gliedert sich daher in zwei wesentliche Teile, wobei der erste sich mit der Frequenz-

stabilisierung der Laserdioden mittels Injection Seeding und der Bestimmung der Strahl-

parameter mithilfe einer rotierenden Scheibe (Chopper) beschäftigt. Im zweiten Teil wird

eine elektronische Platine zur Stabilisierung des Stromes des tapered amplifier (TA) cha-

rakterisiert. TAs sind im bisherigen ATTA-Aufbau für die Verstärkung der Laserstrahlen vor

der Einkopplung in das Strahlaufteiungssystem zuständig.

6

Kapitel 2

Theorie

In diesem Teil der Bachelorarbeit sind die theoretischen Grundlagen zu Lasern und Regel-

kreisen zusammengefasst, damit die jeweiligen Schritte im experimentellen Teil (siehe Ka-

pitel 3) nachvollzogen werden können. Insbesondere sollen die Rechnungen und Formeln

hier erörtert werden.

2.1 Laser

Laser sind Lichtquellen mit speziellen physikalischen Eigenschaften bezüglich der Kohä-

renz, Polarisation und ihrem Spektrum. Sie finden heutzutage vielfältige Anwendung in

vielen Bereichen der Wirtschaft, den Naturwissenschaften und den Ingenieursdisziplinen.

Sie werden unter anderem dazu genutzt, Entfernungen zu messen, Materialien zu tren-

nen, zu verschweißen und in der Wissenschaft wird diese beispielsweise zur Erforschung

der Quanteneigenschaften von Atomen verwendet, wie sie auch im Rahmen der atom trap

trace analysis (ATTA) am Zentrum für Naturwissenschaft und Friedensforschung (ZNF) mit

Krypton-Isotopen Anwendung finden.

In diesem Abschnitt werden die Eigenschaften der hier verwendeten Halbleiterkantenemitt-

er-Laserdioden erläutert. Außerdem werden die in dieser Arbeit relevanten physikalischen

Größen und Effekte eingeführt.

2.1.1 Das Laserprinzip

Laser (eng. - light amplification by stimulated emission of radiation) sind Lichtquellen, wel-

che im Wesentlichen aus drei Teilen bestehen (siehe Abbildung 2.1).

Im optisch aktiven Medium befinden sich die Atome, Ionen, Moleküle oder Halbleiter-

kristalle, welche durch eine Energiequelle (Pumper), dies kann ein anderer Laser, eine Blitz-

lampe oder ein elektrischer Strom sein, in höhere Energieniveaus angeregt werden. Bei

der Abregung werden Photonen bestimmer Wellenlänge stimuliert emittiert und durch die

Spiegel, wieder in das optische Medium zurückreflektiert, wobei einer der Spiegel durch-

7

lässiger ist als der andere, so dass ein Strahl transmittiert wird, welcher genutzt werden

kann (siehe Abbildung 2.1).

Abbildung 2.1: Schematisch dargestellt ist das Laserprinzip. Das Lasermedium wird durcheinen Pumpprozess angeregt, so dass Besetzungsinversion erreicht wird. Dieser Begriff sagtaus, dass sich zu jedem Zeitpunkt mehr Atome im angeregten Niveau befinden, als im Grund-zustand. Durch spontane Emission emittierte Photonen werden durch die Spiegel hin und herreflektiert, bis diese durch induzierte Emission (siehe nächster Abschnitt) kohärente Strahlungentstehen lässt, die durch den durchlässigeren Spiegel transmittiert werden kann (Siegman,1986).

2.1.2 Absorption und Emission von Licht

Im Lasermedium selbst finden mehrere zu unterscheidende Prozesse statt, die sich in Ab-

sorption, spontane Emission und induzierte Emission unterteilen lassen. In der Abbildung

2.2 werden die drei Wechselwirkungsarten von Licht mit Materie schematisch dargestellt.

Abbildung 2.2: Schematische Darstellung der Absorption und Emission von Licht. E1, E2 und E3

beschreiben Energieniveaus der Elektronen im Atom. a) Ein Photon fliegt mit der Energie hf12

ein und wird absorbiert. Das Elektron wird aus dem Grundzustand E1 in das Energieniveau E2

angeregt. b) Durch spontane Emission zerfällt ein Elektron in den Grundzustand E1, wobei einPhoton mit der Frequenz f12 freigesetzt wird. c) Bei der induzierten Emission wird ein ange-regtes Elektron durch ein einfliegendes Photon der Energie hf12 abgeregt, dabei entsteht einweiteres Photon, das konstruktiv emittiert wird, so dass das ursprüngliche Licht verstärkt wird.h = 6, 626 ·10

−34Js ist das Plancksche Wirkungsquantum (Eichler and Eichler, 2010).

8

Abbildung 2.3: Links: Licht der Intensität I0 wird durch ein Material der Schichtdicke d absor-biert. Rechts: Der funktionelle Verlauf der Leistungsdichte in Abhängigkeit der Strahlausbrei-tungsachse x im Material (Eichler and Eichler, 2010).

2.1.2.1 Absorption

Man betrachte eine ebene Lichtwelle mit der Intensität I0, welche auf eine Materialschicht

der Dicke d einfällt. (siehe Abbildung 2.3)

Nach der Abbildung 2.3 wird eine Differentialgleichung angesetzt:

d I =−αI (x )d x (2.1)

mit der differentiellen Leistungsabnahme d I und der materialspezifischen Größe α. Die

Lösung erhält man durch Trennung der Variablen:

d I

I (x )=−α d x

⇒∫ I (d )=I

I (0)I0

1

I (x )d I =

∫ d

0

−α d x

⇒ l n

I

I0

=−α ·d

⇒ I = I0 · e x p (−α ·d )

(2.2)

Diese Lösung ist auch als das Beersche Gesetz bekannt.

Der Absorptionskoeffizient α kann beschrieben werden durch die Anzahl der absorbier-

ten Photonen oder der Übergänge vom energetisch tiefer liegenden Zustand in den höhe-

ren Zustand. Hier kann man eine Ratengleichung ansetzen:

d N1

d t|Ab s o r p t i o n=−σ12N1φ=−σ12N1

I

h f12(2.3)

Hierbei sindσ12 der Wirkungsquerschnitt für Absorption, N1 die Anzahl der Atome im un-

teren Zustand (Energieniveau E1) undφ die Photonenstromdichte (Photonen pro Zeit und

9

Fläche). Das Minus inkludiert die Reduktion der Anzahl der Atome im unteren Zustand.

Die zeitliche Ableitung der Photonendichte dΦd t (Photonen pro Volumen) ist bei diesem

Prozess gleich der Zahl der Übergänge, so dass gilt:

d N1

d t|Ab s o r p t i o n=

dΦ

d t=

1

c

dφ

d t=

d t

d x

dφ

d t=

dφ

d x(2.4)

mit c =d x

d t. Da die Photonenstromdichteφ proportional zur Leistungsdichte I ist, ergibt

sich der Zusammenhang:d I

d x=−σ12N1I (2.5)

Durch Koeffizientenvergleich der Gleichungen 2.1 und 2.5 ergibt sich für den Absorbti-

onskoeffizienten:

α=σ12N1 (2.6)

2.1.2.2 Spontane und induzierte Emission

Findet wie in Abbildung 2.2 b) gezeigt die Rückkehr eines Atoms aus dem angeregten Zu-

stand in den tiefer liegenden Zustand unter Emission eines Photons statt, so spricht man

von spontaner Emission, falls der Prozess ohne externe Einwirkung stattfindet. Mithilfe der

Lebensdauerτ des oberen Zustandes kann die Abnahme der Anzahl der Atome im zweiten

Zustand wie folgt beschrieben werden (Eichler and Eichler, 2010):

d N2

d t|s p o n t a n=−

N2

τ=−AN2 (2.7)

mit dem Einsteinkoeffizient A der spontanen Emission.

Findet die Emission unter Einwirkung einer Lichtwelle statt, so spricht man von induzier-

ter oder auch stimulierter Emission. Voraussetzung ist hier, dass die Lichtwelle die Bohr-

sche Frequenzbedingung für den Übergang erfüllt:

E2−E1 = h f12

Analog zur Absorption kann man hier eine Ratengleichung formulieren:

d N2

d t|i nd u z i e r t =σ21N2φ (2.8)

Dabei sind N2 die Anzahl der Atome im höheren Zustand (Energieniveau E2) und σ21 der

Wirkungsquerschnitt für induzierte Emission. Bei der induzierten Emission haben die emit-

tierten Photonen dieselbe Ausbreitungsrichtung wie das einfallende Photon, wohingegen

bei der spontanen Emission isotrop emittiert wird. Außerdem ist das stimuliert emittierte

Photon kohärent zum eingestrahlten Photon, es hat also die gleiche Frequenz und Phase.

Im Gegensatz zur spontanen Emission erreicht man durch induzierte Emission eine Ver-

10

stärkung der eingestrahlten Lichtwelle.

Damit die Laserbedingung erfüllt ist, muss Besetzungsinversion vorherrschen. Die indu-

zierte Emission führt zur Verstärkung, aber zeitgleich läuft der Prozess der Absorption im

Medium ab.

Mit

d I = d I |Ab s o r p t i o n + d I |i nd u z i e r t

erhält man einen Ausdruck für die Änderung der Intensität. Aus thermodynamischen und

quantenmechanischen Gründen giltσ12 =σ21 =σ. Das verallgemeinerte Beersche Gesetz

ergibt sich dann durch Integration über die Mediendicke d wie in Gleichung 2.2:

d I

d x=−σ(N1−N2)I ⇒G :=

I

I0= e x p (−σ(N1−N2)d ) = e x p (g d )

Analog zum Absorptionskoeffizienten (auch differentielle Verstärkung genannt) lässt sich

ein Verstärkungskoeffizient definieren:

g =σ · (N2−N1) (2.9)

Im Fall N2 >N1 (Inversion) wächst die Leistung an und es herrscht Verstärkung (G > 1) im

Medium vor. Es müssen sich folglich mehr Atome im oberen Energieniveau befinden, als

im unteren Energieniveau.

Die Realisierung eines Zwei-Niveau-Lasersystems ist nicht möglich, die Idee hinter der

Inversion aber trotzdem gut erklärbar.

Die Inversion soll im Folgenden über die Größe ∆N = N1−N2 und die Gesamtatoman-

zahl N = N1+N2 definiert werden. In einem Zwei-Niveau-System wie oben angenommen,

kann die Inversion dann in Ratengleichungen formuliert werden als:

d∆N

d t=

d (N1−N2)

d t=

−σN1I

h f

a b s o r +

σN2I

h f

i nd u +

N2

τ

s p o n t

N1

−

−σN2I

h f

i nd u +

σN1I

h f

a b s o r −

N2

τ

s p o n t

N2

=−2σN1I

h f+2σN2

I

h f+2

N2

τ

=−2σ∆NI

h f+(N −∆N )

1

τ

(2.10)

Im Gleichgewicht muss irgendwannd∆N

d t= 0 gelten. Des Weiteren wird die stationäre

Inversion∆N s t a t i o na r betrachtet. Nach Umformung der Gleichung 2.10 erhält man:

⇒∆N s t a t i o na r =N

1+2σIτ

h f

=N

1+2I

ISa t t i g ung

(2.11)

11

Abbildung 2.4: Schematische Darstellung eines Drei-Niveau-Systems mit E1 als Grundniveau,E2 als Laserniveau und E3 als höchstem Niveau. Der Pumpvorgang erfolgt vom Grundniveauzum höchsten Niveau, woraufhin ein Zerfall in das Laserniveau stattfindet. Das Laserniveauregt sich unter induzierter Emission eines Photons (rote Wellen) weiter in das Grundniveau ab.Das dritte Energieniveau ist relativ kurzlebig und damit gilt N3 ≈ 0 und damit auch d N3/d t ≈ 0.

Die Gleichung 2.11 ist immer positiv und damit ist keine Inversion für ein Zwei-Niveau-

System möglich. Wenn man jedoch ein drittes Niveau hinzufügt, so kann Besetzungsinver-

sion erreicht werden. (siehe Abbildung 2.4)

Analog zum Zwei-Niveau-System kann man für das Drei-Niveau-System Ratengleichun-

gen aufstellen. Hier gilt jedoch als Voraussetzung, dass das neue, oberste Niveau E3 schnel-

ler entvölkert wird, als das Laserniveau, so dass man N3 = 0 setzen kann und folglich die

gesamte Anzahl der Atome in den Niveaus als N = N1 +N2 +N3 ≈ N1 +N2 annehmen

kann:

d∆N

d t=

d (N1−N2)

d t=

−σN1I

h f

a b s o r +

N2

τ

s p o n t

N1

+

σN2I

h f

i nd u

−

σN1I

h f

a b s o r −

N2

τ

s p o n t

N2

−

σN2I

h f

i nd u +

d N3

d t

p u

≈−2σN1I

h f+2

N2

τ

=−σ(N +∆N )I

h f+(N −∆N )

1

τ!≡ 0

⇒∆N s t a t i o na r = N

(1−στI

h f)

(1+στI

h f)= N

1−I

ISa t t i g ung

1+I

ISa t t i g ung(2.12)

In obiger Gleichung 2.12 wird ersichtlich, dass für Intensitäten I > ISa t t i g ung Besetzungs-

12

inversion erreicht wird. Anders ausgedrückt muss N1 <N2 gelten.

2.1.2.3 Natürliche Linienbreite

Im vorigen Abschnitt 2.1.2.2 wurden die Laser als ideal betrachtet, d. h., dass scharfe Ener-

gieniveaus der Frequenz f12 zwischen den Energieniveaus E1 und E2 vorausgesetzt wurden.

In der Realität muss jedoch die quantenmechanische Natur beachtet werden, so dass die

Heisenbergsche Unschärferelation gilt (Eichler and Eichler, 2010):

∆E =h

2πτ(2.13)

Diese Breite∆E ist die natürliche Linie in jedem Mehr-Niveau-System.

Gehen wir wieder von einem vereinfachten Zwei-Niveau-System aus, so kann man mithilfe

der Bohrschen Bedingung die Bandbreite angeben mit:

∆ fn =1

2π

1

τ1+

1

τ2

(2.14)

Dabei sind τ1 und τ2 die Lebensdauern der beiden betrachteten Niveaus.

Abbildung 2.5: Linienformfunktion F ( f ) in Abhängigkeit der Frequenz f . Die durchgezogeneLinie beschreibt ein Gauß-Profil, wohingegen die gestrichelte Linie ein Lorentz-Profil zeigt. DieAbszisse hat bei f12 ihren Nullpunkt.∆ f ist die Halbwertsbreite (Eichler and Eichler, 2010).

13

Die Abbildung 2.5 zeigt die Abweichung von der theoretischen Linie des atomaren Fre-

quenzüberganges. Das Gauß- und Lorentz-Profil zeigen die Verbreiterung der Linie bei f12.

Durch spontane Emission, Stöße in Gasen und Festkörpern und durch Phononen (Gitter-

schwingungen) entstehen homogene Verbreiterungen. Inhomogene Verbreiterungsprozes-

se können bspw. durch den Doppler- oder den Stark-Effekt entstehen (Eichler and Eichler,

2010).

Setzt man eine Cauchy-Verteilung zur Beschreibung an, so ergibt sich die in Abbildung 2.5

gezeigte Linienformfunktion Fn ( f ):

Fn ( f ) =(∆ f /2)2

( f − f12)2 +(∆ fn /2)2(2.15)

In der Tabelle 3.3 sind einige Linienbreiten von häufig genutzten Lasern aufgeführt. In

Halbleiterlasern ist die Verbreiterung abhängig von der Bandstruktur. (siehe Abschnitt 2.1.3)

Tabelle 2.1: Linienbreiten für einige wichtige Lasertypen. Die hier aufgeführten Breiten der op-tischen Übergänge sind experimentell ermittelt worden (Eichler and Eichler, 2010).

14

2.1.3 Halbleiterlaser

Laser werden anhand ihrer Materialbeschaffenheit und Eigenschaften wie z. B. dem Aggre-

gatzustand klassifiziert. Unterschieden werden unter anderem:

• Festkörperlaser (auch Diodenlaser)

• Flüssigkeitslaser

• Gaslaser

• Freie-Elektronen-Laser.

Die in dieser Arbeit untersuchten Laser gehören zu den Halbleiterinjektionslasern und da-

mit zu den Festkörperlasern. Bei diesen Lasern beruht der Mechanismus zur Erzeugung

der Besetzungsinversion auf direkter elektrischer Anregung, d. h., dass elektrische Energie

direkt in Licht umgewandelt wird. Dies führt zu relativ hohen Wirkungsgraden und einer

einfachen und kompakten Bauweise der Diodenlaser im Vergleich zu Gas- oder anderen

Festkörperlasern. Die Nachteile liegen in der großen Divergenz sowie der spektralen Brei-

te.

2.1.3.1 Bandstruktur der Halbleiter

Halbleiter haben eine spezifische energetische Struktur, welche ihr physikalisches Verhal-

ten beschreibt. Die Energieniveaus liegen relativ nah beieinander, welche grob in Valenz-

band (untere Niveaus) und Leitungsband (obere Niveaus) unterteilt werden können (siehe

Abbildung 2.6).

Das höchste vollständig mit Elektronen besetzte Band ist das Valenzband, das niedrigste

ungefüllte Band ist das Leitungsband.

2.1.3.2 Elektronen und Löcher

Durch Übergänge von Elektronen vom Valenz- ins Leitungsband entstehen Elektronen-

Fehlstellen, die Löcher genannt werden (Eichler and Eichler, 2010). Die Elektronen und

Löcher in den Bändern haben unterschiedliche Energien und Impulse. Eine Beschreibung

des Verlaufs der Energieniveaus in Form einer Dispersionsrelation E (k ) geschieht über

Impulsbetrachtungen. Zur Einfachheit werden freie Elektronen angenommen, d. h., dass

keine Gitterstruktur des Atoms mit Potentialen existiert:

E f r e i =m0v 2

2=

p 2

2m0=ħh 2k 2

2m0=

h 2

2m0λ2d e B r o g l i e

(2.16)

Dabei sind m0 die Ruhemasse und v die Geschwindigkeit des Elektrons. Mit λd e B r o g l i e

wird die Wellennatur in Form der de Broglie-Wellenlänge beschrieben. Um eine Wechsel-

wirkung mit den Gitterpotentialen der Atome zu berücksichtigen, wird im weiteren Verlauf

15

Abbildung 2.6: a) Leitungs- und Valenzband von Indiumphosphid (InP) mit der BandlückeEg = Ec −Ev in e V .b) Der zugehörige funktionelle Verlauf der Bandstruktur Ea und Eb in Abhängigkeit des Wellen-vektors k (in 2π/g mit g als Gitterabstand) in den kristallographischen Raumrichtungen [111]und [100] gemäß der Millerschen Indizes. Der Pfeil vom Leitungs- ins Valenzband beschreibteinen möglichen Übergang mit der Energie E = h f . c) Indirekter Übergang zwischen den Bän-dern in einem indirekten Halbleiter, zu beobachten bei Silizium (Eichler and Eichler, 2010).

die Ruhemasse m0 mit der effektiven Masse mc und mv für die jeweiligen Bänder einge-

führt. Damit ergibt sich für die beiden Bänder:

Ea = Ec +ħh 2k 2

2mc| Energie des Elektrons im Leitungsband (2.17)

Eb = Ev −ħh 2k 2

2mv| Energie des Elektron im Valenzband (2.18)

Solange die Betrachtung sich auf einen engen Bereich um die Bandkanten Ec und Ev mit

kleinen Wellenvektoren k beschränkt, kann der quadratische Verlauf aus den Gleichungen

2.17 und 2.18 benutzt werden.

16

2.1.3.3 Verteilung der Elektronen

Bisher wurde die Energie der Elektronen und Löcher besprochen, jedoch nicht, wie sie sich

innerhalb des Halbleiters verteilen. Um dies beschreiben zu können, müssen die Elektro-

nen als Wellen betrachtet werden (Eichler and Eichler, 2010).

Man betrachtet einen Halbleiterwürfel der Kantenlänge L . Die beschreibende Wellen-

funktion in diesem Würfel ist periodisch, so dassΨ(x , y , z ) = Ψ(x +L , y +L , z +L) gelten

muss. Im k -Raum müssen dann diese Randbedingungen gelten:

k = 0,±2π

L,±

4π

L, ....⇔ k =±n

2π

L(2.19)

Mit ganzer Zahl n und Wellenzahl k . Diese Bedingung entspricht der Vorstellung, dass sich

im Würfel stehende Wellen λ= L/n (n 6= 0) ausbilden. Für einen Elektronenzustand gilt

daher, dass ein Volumen von (2π/L)3 = (2π)3/V eingenommen wird.

Wendet man dieses Prinzip auf ein Volumenelement im k -Raum an, so gilt für die Anzahl

der Elektronenzustände d N für eine Kugelschale mit dem Radius k und der Dicke d k :

d N = 2 ·V

(2π)3d 3k = 2 ·

V

(2π)34πk 2d k | Kugelschale (2.20)

mit dem Volumen V im Ortsraum. Der Faktor 2 resultiert aus der zweifachen Besetzung

jedes Zustandes nach Dirac (Spinorientierung).

Da hier das freie Elektron betrachtet wird, gilt außerdem:

E (k ) =ħh 2k 2

2m⇒ k =

p2m E

ħh(2.21)

mit der effektiven Masse m . Abgeleitet nach der Energie erhält man:

d k

d E=

1

2

p2m

ħhE −

12 (2.22)

Gleichungen 2.22 und 2.21 eingesetzt in Gleichung 2.20 ergibt die Zustandsdichte ρ(E ):

d N

d E

1

V=

1

2π2

(2m)32

ħh 3 E 1/2 ≡ρ(E ) (2.23)

Diese beschreibt, wie viele Elektronen sich in einem Energieintervall befinden (in 1/m 3).

Angewandt auf die Bandstruktur aus Abbildung 2.6 ergibt sich damit für die jeweiligen Bän-

der:

ρ(E )c =(2mc )

32

2π2ħh 3 (E −Ec )12 , E ≥ Ec (2.24)

ρ(E )v =(2mv )

32

2π2ħh 3 (Ev −E )12 , E ≤ Ev (2.25)

17

2.1.3.4 Ladungsträgerdichte

Möchte man die Ladungsträgerdichte der Elektronen ne angeben, um zum Beispiel die Be-

setzung der Niveaus zu beschreiben, gilt Folgendes:

d ne =ρ(E )c f (E , T )d E (2.26)

Um die Elektronenanzahl zu erhalten, integriert man über den betrachteten Energiebe-

reich des entsprechenden Bandes. Die Fermi-Verteilung f (E , T ) soll hierzu genähert wer-

den mit:

(E −EF ) kB T ⇒ f (E , T )≈ e [(EF −E )/(kB T )]

Die Integration verläuft dann mithilfe der Substitutionen x = (E −Ec )12 und y = x

(kB T )12

.

Darüber hinaus wird partiell integriert:

ne =

∫ ∞

Ec

ρ(E )c f (E , T )d E

=(2mc )

32

2π2ħh 3

∫ ∞

Ec

(E −Ec )12 e

EF −EkB T d E

=(2mc )

32

2π2ħh 3 eEF −Ec

kB T 2

∫ ∞

0

x 2e− x 2

kB T d x

=(2mc )

32

π2ħh 3 eEF −Ec

kB T (kB T )32

∫ ∞

0

y 2e −y 2d y

=(2mc )

32

π2ħh 3 eEF −Ec

kB T (kB T )32

∫ ∞

0

(−1)1

2y∂ (e −y 2

)

∂ yd y

=(2mc )

32

π2ħh 3 eEF −Ec

kB T (kB T )32

−

1

2y e −y 2

∞

0+

∫ ∞

0

1

2e −y 2

d y

=

mc kB T

2πħh 2

32

eEF −Ec

kB T

(2.27)

Die Gleichung 2.27 beschreibt die Ladungsträgerdichte im Leitungsband, welche der Theo-

rie zufolge die Elektronendichte ist. Zur Einfachheit wurde von der Leitungsbandkante bis

in das Kontinuum integriert.

18

Für die Ladungsträgerdichte (Löcher als positive Ladungsträger) im Valenzband gilt mit

der Näherung

−(E −EF ) kB T ⇒ f (E , T )≈ 1− e [−(EF −E )/(kB T )]

analog zu Gleichung 2.27, integriert vom unteren Ende des Würfels bis zur Valenzbandkan-

te:

pe =

∫ Ev

−∞ρ(E )v f (E , T )d E = [...]

=

mc kB T

2πħh 2

32

e− EF −Ev

kB T

(2.28)

2.1.3.5 Dotierung

Reine Halbleiter, wie im Abschnitt 2.1.3.4 zuvor behandelt, haben eine bestimmte Band-

lücke, die für die Emission eines eventuellen Laserüberganges charakteristisch ist. Durch

Einbringung von Atomen mit verschiedener Wertigkeit in das reine Material in der relativen

Fremdkonzentration 10−8 bis 10−4 kann die Bandstruktur des Halbleiters beeinflusst wer-

den. In der Abbildung 2.7 ist die Dotierung mit einem höherwertigen Element (Donator)

schematisch dargestellt.

Wird der Halbleiter mit einem Donator dotiert, so spricht man von n-Halbleitern und

im Falle von Dotierung mit einem Akzeptor von p-Halbleitern. Die Bindungsenergie der

Donatoren ist aufgrund der delokalisierten Elektronen geringer, was zu einer Absenkung

der Leitungsbandkante führt. Im anderen Fall führen Akzeptoren zu einer Erhöhung der

Bindungsenergie der Elektronen, was die Valenzbandkante anhebt. Da die Bandlücke die

Differenz aus den beiden Bandkanten bezeichnet, kann durch Einbringung und Variation

der Konzentration von Fremdatomen eben diese und damit einhergehend die Emissions-

wellenlänge eingestellt werden.

Abbildung 2.7: Dotierung eines vierwertigen Halbleiterkristalls mit einem fünfwertigen Frem-datom. Analog gilt bei Akzeptor-Dotierung, dass ein Element mit niedrigerer Wertigkeit einge-bracht wird (Demtröder, 2010).

19

2.1.3.6 Fermi-Verteilung und Besetzungswahrscheinlichkeit

Elektronen sind Spin- 12 -Teilchen (Fermionen) und können daher durch die Fermi-Dirac-

Statistik beschrieben werden. Innerhalb der Bandstruktur eines Festkörpers kann mithilfe

der Fermi-Verteilung eine Aussage über die Besetzung der Energieniveaus bei fester Tem-

peratur getroffen werden.

f (E , T ) =1

e [(E−EF )/(kB T )]+1(2.29)

EF ist die Fermi-Energie, kB ist die Boltzmann-Konstante und T die absolute Tempera-

tur. Es wird thermisches Gleichgewicht vorausgesetzt, da sonst EF durch das chemische

Potential µ ersetzt werden müsste. Die Fermi-Energie definiert dabei die höchste Energie

eines Vielteilchensystems aus gleichen Fermionen, die sich im Grundzustand befinden.

In Abbildung 2.8 sind die drei in Halbleitern vorkommenden Fälle bezüglich der Lage der

Fermi-Energie dargestellt.

Abbildung 2.8: a) Fermi-Energie EF im undotierten (intrinsischen) Halbleiter. b) Fermi-EnergieEc bei starker n-Dotierung. c) Fermi-Energie Ev bei starker p-Dotierung. Es wird eine Tempe-ratur von T = 0 K angenommen (Eichler and Eichler, 2010).

Bei gegebener Temperatur eines Halbleiters kann mit der Gleichung 2.29 somit angege-

ben werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich ein Elektron in einem bestimmten Ener-

giebereich oder -zustand befindet. Aufgrund des Pauli-Prinzips gilt außerdem, dass jeder

Zustand nur von einem Fermion eingenommen werden kann.

20

2.1.3.7 Didodenlaser

Diodenlaser basieren auf dem pn-Übergang der Ladungsträger, Elektronen und Löcher. In

Abbildung 2.9 ist das Prinzip gezeigt.

Abbildung 2.9: Links ist der Aufbau eines Diodenlasers aus einer Homohalbleiterstruktur dar-gestellt. Vertikal ist die Energie bzw. die Ladungsdichte aufgetragen. Die vertikale Achse be-zeichnet den Ort. a) Bandstruktur der beiden verschieden dotierten Bereiche mit BandlückeEg , den Fermi-Energien des n- und p-Bereiches Fc und Fv . b) Berühren sich p- und n-Bereich,so diffundieren die jeweiligen Ladungsträger in den jeweils anderen Bereich. Es entsteht eineRaumladungsdichte ρ. c) Die Fermi-Energien der Bänder gleichen sich an (EF ) und dadurchwird die Elektronenenergie des p-Bereiches angehoben. Es entsteht eine Potentialdifferenz VD ,welche einen Übergang von n- in den p-Bereich (durch Diffusion) begrenzt. Rechts wird dieEntstehung von Strahlung innerhalb der pn-Diode dargestellt. d) Durch Anlegen einer kleinenSpannung in Durchlassrichtung wird die Potentialdifferenz abgesenkt, so dass eine Rekombi-nation unter Aussendung eines Photons mit der Energie h f ermöglicht wird. e) Wenn die Span-nung größer ist, so nimmt die Lichtemission zu. e U = Ec − Ev definiert durch die angelegteSpannung die Fermi-Niveau-Differenz (Eichler and Eichler, 2010).

Geht man von einer Dotierung der Halbleiterstruktur aus, so bewegen sich beim Anlegen

einer Spannung in Durchlassrichtung die Elektronen aus dem Valenz- ins Leitungsband.

Im Valenzband entstehen somit positive Löcher. Insgesamt entstehen dadurch Elektron-

Loch-Paare zwischen den beiden Bändern, die unter Aussendung eines Photons rekom-

binieren können. Wird bei der Rekombination folgende Bedingung erfüllt, so spricht man

von einer direkten Bandlücke (siehe Abbildung 2.6 b) und c)):

Eg ,d i r e k t = |Ea (k0)−Eb (k0)| (2.30)

Der strahlende Übergang findet somit beim gleichen Wellenvektor statt, ohne dass ein

phononischer Impuls ∆k = k0 + kP ho no n entsteht. Strahlende Übergänge mit Lichtab-

21

sorption und -emission erfolgen fast nur ohne eine Änderung des Elektronenimpulses ~p =

ħh ~k im Bereich 0 < ħh |~k | < hg . Folgender Vergleich zeigt, dass direkte Halbleiter effizientere

Photonenemitter sind:

| ~pP ho no n || ~pP ho t o n |

=h/g

ħhkP ho t o n=λ

g≈

10−7

10−10= 103 (2.31)

Hierbei sind kP ho t o n die Photonenwellenzahl und g die Gitterkonstante. Der Phononenim-

puls | ~pP ho no n | ist nach dieser Abschätzung viel größer als der Photonenimpuls | ~pP ho t o n |,ergo ist ein direkter Halbleiter deutlich effizienter. Darum wird diese Eigenschaft nur bei

Leucht- und Laserdioden ausgenutzt.

Aufgrund der Dotierung entstehen im Kristallgitter des Halbleiters Konzentrationsgefäl-

le. Das liegt an der Tatsache, dass der mittlere Abstand zwischen zwei Fremdatomen we-

sentlich größer als der Gitterabstand ist. Die Teilchenstromdichte j wird dann durch das

erste Fick’sche Gesetz beschrieben:

~j =−D ~∇n (2.32)

Hierbei ist D die Diffusionskonstante (in m2

s ) und ~∇n ist der Gradient der Teilchenzahl-

dichte n der Fremdatome oder Löcher. Für die Diffusionskonstante gilt:

D = D0 · e− Q

kB T (2.33)

mit der Boltzmann-Konstante kB , der molaren Energiebarriere Q und der Temperatur T

(Demtröder, 2010).

Aus der Diffusionskonstante D und der Rekombinationszeit τ folgt die Beziehung für die

Diffusionsstrecke im pn-Übergang in Abbildung 2.9:

d =p

Dτ (2.34)

In diesem Bereich des pn-Überganges herrscht beim Überschreiten der Laserschwelle durch

Anlegung einer Spannung die Besetzungsinversion vor. Sie wird durch das Driften der Elek-

tronen in den p-Bereich und der Löcher in den n-Bereich bewirkt, wobei die Elektronen

schneller sind.

22

2.1.3.8 Quantengraben-Laser

Quantengraben-Laser entstehen durch die Schichtung von Doppel-Heterostrukturen aus

Halbleitern. In Abbildung 2.10 ist die Anordnung eines Doppel-Heterostrukturen-Lasers

aus Galliumaluminiumarsenid (AlGaAs) und GaAs dargestellt.

Abbildung 2.10: Links: Aufbau einer Laserdiode aus Doppel-Heterostrukturen aus AlGaAs undGaAs. Die eingeschlossene Schicht aus GaAs bildet die aktive Zone des Lasers. x und y stehen fürdie relativen Anteile der Elemente des Kristallgitters. Rechts: Die Energiebänder der Ladungs-träger. Die vertikale Achse beschreibt die elektrische Energie, den Brechungsindex n und dieLichtintensität. (von oben nach unten) Die horizontale Achse ist der Ort (Eichler and Eichler,2010).

Durch diese Form der Schichtung wird der Wellenleiter in der aktiven Zone in der Rich-

tung des Stromflusses aus der Abbildung beschränkt, da die umgebenden AlGaAs-Schich-

ten einen anderen Brechungsindex besitzen, als das GaAs. Da das AlGaAs zudem eine grö-

ßere Bandlücke als das GaAs besitzt, aber die Gitterkonstante nahezu gleich ist, wird außer-

dem ein Quanteneinschluss erreicht. Die Elektronen und Löcher können also nicht in die

AlGaAs-Bereiche diffundieren. Es bildet sich ein Potentialkasten (siehe Abschnitt 2.1.3.3)

aus.

23

2.1.3.9 Moden- und Emissionsverhalten

Um den Wellenleiter in der aktiven Zone der Laserdiode besser beschreiben zu können,

kann man sie als Fabry-Perot-Interferometer (FP-Interferotmeter), das einem optischen

Resonator entspricht, betrachten. (siehe Abbildung 2.11)

Abbildung 2.11: Ein FP-Interferometer besteht aus zwei Spiegeln mit unterschiedlichen Reflek-tivitäten R1 und R2. Zwischen diesen Spiegeln befindet sich ein Medium mit der Brechungszahln und der Abstand beträgt L (Siegman, 1986).

Im regulären Laserdiodenbetrieb wird zwar keine Welle von außen eingestrahlt, jedoch

wird in späteren Abschnitten auch dieser Fall betrachtet. Die Verstärkung einzelner Moden

soll erstmal nicht betrachtet werden. Es soll darüber hinaus eine ebene Wellenform verein-

fachend angenommen werden.

In Abbildung 2.12 ist schematisch die Verstärkung im Resonator dargestellt.

Abbildung 2.12: Elementares Modell zur Betrachtung der eintreffenden, zirkulierenden (hinund zurück reflektierten) und transmittierten Wellen in optischen Resonatoren. r1 und r2 sinddie Reflektivitäten der Spiegel und g r t beschreibt die komplexe netto Zunahme bzw. Verstär-kung durch konstruktive Interferenz nach einmaliger Hin- und Rück-Reflexion einer Welle(Siegman, 1986).

Es gilt im Allgemeinen für das verstärkte Signal nach mehr als einem Durchlauf durch

24

den Resonator:

Ez i r k = i t1Ee i n t r e f f +g r t (ω)Ez i r k (2.35)

Hier ist Ez i r k das verstärkte Signal, (i t1Ee i n t r e f f ) das eintreffende Signal (mit dem Trans-

missionskoeffizienten t1 und der imaginären Einheit i ) und g r t (ω)Ez i r k das zirkulierende

Signal aus der vorigen eingetroffenen Welle. Die Netto-Verstärkung hängt von den Reflek-

tivitäten der Spiegel und der Frequenz der Welle ab:

g r t (ω) = r1r2e (−α0(2L)−iω(2L)

c ) (2.36)

Hier istα0 der Absorptionskoeffizient im Material, 2L die Länge einer Hin- und Rück-Reflex-

ion, ω die Kreisfrequenz des Lichtes und c die Lichtgeschwindigkeit im Material. Damit

wird aus Gleichung 2.35:

Ez i r k = i t1Ee i n t r e f f + r1r2e (−α0(2L)−iω(2L)

c )Ez i r k

⇒Ez i r k

Ee i n t r e f f=

i t1

1−g r t (ω=

i t1

1− r1r2e (−α0(2L)−iω(2L)

c )

(2.37)

Aus dieser Gleichung wird ersichtlich, dass bei Winkelfrequenzenω2L = q 2π( c2L ), mit gan-

zer Zahl q , die Resonanzbedingung zur Maximierung des Verhältnisses Ez i r kEe i n t r e f f

erfüllt ist.

Setzt man die Reflektivitäten zu r1 = r2 = r und geht außerdem von verlustfreien Spiegeln

aus (α0 = 0), so gilt beiω2L für das Verhältnis der entsprechenden Leistungen:

Ez i r k

Ee i n t r e f f

2

=Iz i r k

Ie i n t r e f f|w2L

=

i t

1− r1r2e −α0(2L)

2

≈

i t

1− r 2

2

=

i

t

2

=1

T(2.38)

Hier beschreibt T = t1t2 ≈ t 2 (dimensionslos) die transmittierte Leistung. Hieraus kann

man ableiten, dass bei einer angenommenen Reflektivität von R = 0, 99 mit der Beziehung

(1− r 2)2 = (1−R )2 = T die Leistung im optischen Resonator Iz i r k nach Gleichung 2.38

etwa das 100-Fach der eingestrahlten Leistung ist. (siehe Abbildung 2.13)

Die hier erwähnte Verstärkung bezeichnet die Leistungszunahme innerhalb des Reso-

nators durch konstruktive Interferenz. Die transmittierte Leistung ist von der Bedingung

ω = ω2L abhängig. Andere Winkelfrequenzen werden kaum bzw. sehr schwach durchge-

lassen, da destruktive Interferenz stattfindet.

Reflexion und Brechung Bisher wurde der Reflektionskoeffizient r bzw. die Reflektivität

R vorausgesetzt und nicht näher beschrieben. Für die Anwendung des optischen Resona-

tors in Form der aktiven Zone in einer Laserdiode soll hier die Beziehung zum Brechungs-

25

Abbildung 2.13: Das Verhältnis aus der zirkulierenden Intensität und der eingestrahlten Inten-sität aufgetragen gegen die Winkelfrequenz (mal einen Faktor) bei verschiedenen Reflektivitä-ten R nach Gleichung 2.38 (Siegman, 1986).

index ergänzt werden.

Für die Lichtgeschwindigkeit gilt in einem Medium:

c =c0

n(2.39)

Hier ist c0 die Vakuumlichtgeschwindigkeit von 299.792.458 m/s und n ist der Brechungs-

index des Mediums. An Grenzflächen kann nach Abbildung 2.14 der Übergang von einem

Medium mit Brechungsindex n1 nach n2 beschrieben werden. Θ ist der Einfalls- bzw. Aus-

fallswinkel realtiv zur Ebenennormalen. Fällt ein Strahl auf eine Grenzfläche in einem Win-

kel Θ, so treten Reflexion und Brechung auf. Es gilt das Snellius’sche Gesetz:

n1 s i n(Θ1) = n2 s i n(Θ2) (2.40)

Nach den Gleichungen von Fresnel kann für dielektrische Grenzflächen der Reflexionsgrad

(reflektierte Leistung) aufgeteilt in zwei Polarisationskomponenten (senkrecht und parallel

zur Einfallsebene) angegeben werden:

Rs =

s i n(Θ1−Θ2)

s i n(Θ1 +Θ2)

2

senkrecht zur Ebene

Rp =

t a n(Θ1−Θ2)

t a n(Θ1 +Θ2)

2

parallel zur Ebene

(2.41)

26

Bei senkrechtem Einfall gilt dann:

R = Rs = Rp =

1− n1n2

1+ n1n2

2

=

1−n

1+n

2

(2.42)

Hier ist n die Brechzahl und bestimmt das Verhältnis der beiden Brechungsindizes.

Abbildung 2.14: Zusammenhang zwischen Brechung und Reflexion an einer Grenzfläche. n1

und n2 sind verschiedene Brechzahlen (Eichler and Eichler, 2010).

Moden im Resonator Im Resonator bilden sich axiale Moden entlang der Strahlachse aus.

Dabei gilt die Phasenbeziehung:

φ(ω)≡ω(2L)

c= q 2π (2.43)

Hierbei sind ω die Winkelfrequenz der Welle, c die Lichtgeschwindigkeit im Medium, 2L

die Länge des Mediums. q ist eine (große) ganze Zahl. Diese Phasenbedingung gilt für ste-

hende Wellen, dich sich im Resonator ausbilden. Der Abstand zweier axialer Moden von-

einander beträgt dann:

∆ωa x ≡ωq+1−ωq =2πc

2L(2.44)

Entsprechend gilt dann für die Frequenz:

∆ fa x =c

2L(2.45)

Bei gegebener Resonatorlänge L , der Brechungszahl n des Mediums, und der Zentrums-

wellenlänge1 λc e n t e r kann so der Abstand zweier Moden mit maximaler Transmission be-

1Dies ist die Wellenlänge maximaler Emission des Lasers nach Herstellerangabe.

27

rechnet werden. Es gilt:

∆λa x =

λc e n t e r+1−λc e n t e r

=

c

1

fc e n t e r +∆ fa x−

1

fc e n t e r

=

c0

n

1c0

nλc e n t e r+ c0

2n L

−nλc e n t e r

c0

=

11

λc e n t e r+ 1

2L

−λc e n t e r

=λ2

c e n t e r

2L +λc e n t e r

(2.46)

Hierbei beschreibtλc e n t e r+1 die Wellenlänge des nächsten Transmissionsmaximums, und

c0 ist die Vakuumlichtgeschwindigkeit. Deswegen begrenzt die Größe des Resonators den

Wellenlängenbereich des Lasers, indem die Moden durch die Geometrie festgelegt werden.

Resonatoren von Gaslasern wie dem HeNe-Laser haben Ausmaße im Zentimeter-Bereich,

wohingegen Laserdioden im Millimeter-Bereich liegen. Deswegen werden Laserdioden bei-

spielsweise frequenzstabilisiert, indem der Resonator extern durch Benutzung von Spie-

geln und optischen Gittern (z.B. Littrow-Konfiguration, siehe (Lehmkuhl, 2014)) vergrößert

wird. Es gibt noch weitere Arten zur Frequenzstabilisierung, welche hier jedoch nicht wei-

ter ausgeführt werden sollen.

Neben dem freien Spektralbereich ist die Halbwertsbreite eines Transmissions-Peaks ei-

ne interessante Größe, um die Schärfe der Mode beurteilen zu können. Für diese gilt:

∆ωF W H M ≈

1−|g r t (ω)|πÆ

|g r t (ω)|

·∆ωa x =∆ωa x

F(2.47)

Mit F bezeichnet man die Finesse, welche eine Kennzahl für die spektrale Auflösung des

Resonators darstellt. Die Finesse wiederum hängt von der Reflektivität des FP-Interferome-

ters ab:

F =πp

R

1−R(2.48)

28

Regeneratives Feedback Bisher wurde ein passiver Resonator ohne Verstärkung behan-

delt. Die komplexe Netto-Verstärkung wird nun um Terme im Exponenten ergänzt:

g r t (ω) = r1r2e

h

αω(2L)−α0(2L)−iω(2L)

c −i∆βω(2L)i

(2.49)

Hierbei ist αω der Verstärkungskoeffizient und i∆βω beschreibt die Phasenänderung in

Abhängigkeit der Winkelfrequenz. Für das Verhältnis aus transmittierter und eingestrahlter

Intensität gilt:

Et r a n s

Ee i n t r e f f

2

=It r a n s

Ie i n t r e f f

=t1t2e

12

h


c −i∆βω(2L)i

1− r1r2e

h


c −i∆βω(2L)i =−

t1t2pr1r2·

Æ

g r t (ω)

1−g r t (ω)

(2.50)

Dies führt dann zu Verläufen wie in Abbildung 2.15. Man kann deutlich erkennen, dass für

größereαω(2L) die transmittierte Leistung zunimmt. Des Weiteren wird die zentrale Mode

maximal verstärkt. Das Verhalten in den beiden betrachteten Resonatoren aus Abbildung

2.15 kann damit erklärt werden, dass Moden im Maximum des Verstärkungsprofils des Me-

diums (siehe Abbildung 2.16) nach jeder Rück-Reflexion (jedem Durchgang) eine Phasen-

änderung von q ·2π, mit ganzer Zahl q , erfahren. Eine anfängliche Welle wird somit immer

wieder bei jedem Durchgang durch den optischen Resonator verstärkt. Während die Netto-

Verstärkung g r t (ω) immer näher der 1 kommt, wird der Quotient der eintreffenden und

transmittierten Leistung unendlich groß. Der Resonator wird instabil und es entstehen Ei-

genschwingungen. Damit formuliert |g r t (ω)|= 1 die Schwellwertbedingung für einen os-

zillierenden Laser. Wenn keine nachhaltige Energieversorgung durch Strominjektion in die

Laserdiode gewährleistet ist, dann schwingt die anfängliche Welle immer hin und her und

wird schwächer, g r t (ω)< 1. Für g r t (ω)> 1 folgt aufgrund der allmählichen Sättigung der

Besetzungsinversion durch die sehr großen Amplituden ein Abfall der spektralen Verstär-

kung (Abbildung 2.16), wodurch g r t (ω)−→ 1.

29

Abbildung 2.15: Das Verhältnis aus der transmittierten Intensität und der eingestrahlten, auf-getragen gegen die Winkelfrequenz bei festen Reflektivitäten R1 = R2 = 40 % nach Gleichung2.50. (p = 2L) a) Resonator ohne Verstärkung mit Arbsorption. b) Resonator mit zunehmenderVerstärkung. Die gestrichelte Linie zeigt die Verluste (Siegman, 1986).

30

Schwingungsfrequenz und Modenwahl Für die Anwendung eines Lasers sind die Fre-

quenz und die mit der Bauart einhergehende Moden-Charakteristik des optischen Reso-

nators maßgeblich. Das Emissionsspektrum einer Halbleiterlaserdiode kann als Kopplung

des spezifischen Bandüberganges der Diode (siehe Abschnitt 2.1.3.7) und der Geometrie

des Diodenchips beschrieben werden. In Abbildung 2.16 ist der Zusammenhang in Form

eines Verstärkungsprofils gezeigt (Demtröder, 2010). Die Einhüllende beschreibt das spek-

trale Verstärkungsprofil des Bandübergangs. Die Resonator-Moden innerhalb sind die axia-

len Moden aufgrund der Geometrie des Diodenchips. Durch Überlagerung der diskreten

axialen Moden mit dem kontinuierlichen Verstärkungsprofil erhält man das Nettoverstär-

kungsprofil G . Diese verbreiterten Resonator-Moden werden vom Laser emittiert, wenn

der Schwellwert erreicht ist.

Abbildung 2.16: Verstärkungsprofil innerhalb des aktiven Mediums eines Diodenlasers. G istdie Nettoverstärkung (rot) und∆νa x ist der freie Spektralbereich. (Demtröder, 2010)

Die differentielle Verstärkung aus Gleichung 2.9 ist frequenzabhängig, weil die induzierte

Emission von besetzten Zuständen im Leitungsband zu beliebigen, freien Zuständen im

Valenzband aus Abbildung 2.6 stattfinden kann. Die differentielle Verstärkung wurde als

Zwei-Niveau-Übergang betrachtet, was prinzipiell für Diodenlaser gilt. Deswegen werden

die beiden Niveaus aus der Gleichung als die Besetzungszahlendichten im Valenzband (N1)

und Leitungsband (N2) definiert (Eichler and Eichler, 2010). Aus Gleichungen 2.26 und 2.23

folgt für die Zustandsdichte mit Vk = (2πL )3 und Vr = L 3:

ρ(k ) =1

Vr

d N

d E=

1

L 3

d N

d k

d k

d E=

1

L 3

d N

d k

d k

d f

d f

d E≈

1

L 3

2 ·4πk 2

Vk

d k

d f

∆ f

∆E=

k 2

π2

d k

d f

∆ f

∆E(2.51)

Hier bezeichnet∆ f den Frequenzunterschied infolge von Intrabandrelaxation, dem Über-

gang innerhalb des Leitungsbandes.

Mit den Beziehungen aus den Gleichungen 2.17 und 2.18 lässt sich der strahlende Über-

gang zwischen den Bändern ausdrücken:

31

Abbildung 2.17: Reale Wellenlängen-Leistungs-Aufnahme des Modenverhaltens einer Laser-diode bei verschiedenen Strömen vor der Schwelle von circa I = 162, 5 mA. Die Skalierung derLeistung des Signals nimmt mit zunehmendem Strom zu (Siegman, 1986).

h f = Eg +(Ea −Ec )− (Eb −Ev ) = Eg +ħh 2k 2

2

1

mc+

1

mv

= Eg +ħh 2k 2

2mc v

⇒d k

d f=π

√

√

√

2mc v

(h f −Eg )

(2.52)

Hier ist mc v die reduzierte effektive Masse. Mit der Beziehung ∆Ni = ρ(k ) f f e r mi ,i∆E

aus Gleichung 2.26 und der Information, dass die Zustandsdichte für beide Niveaus im k -

Raum gleich ist, erhält man:

N2−N1 =ρ(k )∆ f ( fc − fv ) (2.53)

Hier sind fc und fv die Fermi-Verteilungen des Leitungs- bzw. Valenzbandes. Mit den

Gleichungen 2.51, 2.52 und 2.53 folgt dann für die von der Emissionsfrequenz abhängige

differentielle Verstärkung:

g ( f ) =σ(2mc v )

3/2

πħh 2 (h f −Eg )1/2∆ f ( fc − fv ) (2.54)

Bevor der Schwellstrom einer Laserdiode erreicht ist, können sich in der aktiven Zone

dieser mehrere Moden innerhalb des Resonators ausbilden. Umso näher der injizierte Strom

dem Schwellwert kommt, desto stärker werden die benachbarten Moden (relativ zur zen-

tralen) abgeschwächt und die zentrale Mode wird umso stärker. (siehe Abbildung 2.17)

32

Injection Seeding Die in dieser Arbeit benutzten Aufbauten verwenden zur Frequenzsta-

bilisierung das so genannte Injection Seeding (Barnes and Barnes, 1993). Hierbei emittiert

ein Seedlaser (englisch to seed - säen oder auch setzen) mit idealerweise einer einzelnen

Mode in den optischen Resonator und bewirkt die Verstärkung dieser Mode auf Kosten der

anderen. Es findet ein Konkurrenzkampf zwischen dem Laserdiodensignal des optischen

Resonators und dem Seedsignal um die Besetzungsinversion statt.

Die vorigen Abschnitte haben bereits den optischen Resonator mithilfe von elektrischen

Feldern bzw. Wellenfunktionen beschrieben, dies soll im Folgenden auch getan werden.

In einem optischen Resonator der Länge L = 3, 5 mm mit einer Wellenlänge von unge-

fährλ= 811 nm befinden sich etwa q = L∆λa x /2 ≈ 37 ·106 Moden. In der Realität schwingen

oberhalb der Schwelle nur ein paar wenige. Vor allem die zentralen Moden werden auf Kos-

ten der äußeren verstärkt.

Um das Seeden überhaupt möglich zu machen, müssen die beiden als Gaußstrahlen (sie-

he Abschnitt 2.1.3.10) angenommenen Laserstrahlen des Seedlasers und der Halbleiterla-

serdiode gut überlagert werden.

Die Kopplung von Moden kann durch Integration der Felder Ei in einer Ebene (x -y -

Ebene) senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (hier z ) beschrieben werden:

c0 =

∫∞−∞

∫∞−∞ E1E ∗2 d x d y

∫∞−∞

∫∞−∞ E1E ∗1 d x d y ·

∫∞−∞

∫∞−∞ E2E ∗2 d x d y

1/2(2.55)

Die Felder En (n ist ein Index) sind dabei definiert analog zur Gleichung 2.71 mit der spe-

zielleren Form:

En ∝

2

πω2n

1/2

· e− r 2

ω2n− i kn r 2

2R (z )n−i kn z

(2.56)

Zunächst wird angenommen, dass die Taillenposition sowohl longitudinal als auch trans-

versal, sowie die Ausbreitungsrichtung gleich sind. Es wird mithilfe der Substitutionsregel

(siehe Abschnitt 2.1.3.10) und partieller Integration in Zylinderkoordinaten

(~r = | ~ρ|(c o s (φ), s i n(φ), 0)T ) integriert:

k1 = k2

⋂

R1 = R2⇒ cω=2

πω01ω02

∫ 2π

0

∫ ∞

0

e− ρ2

ω201− ρ2

ω202 ρ dρ dφ=

2ω01ω02

ω201 +ω

202

(2.57)

Entsprechend dem Strahlradius und dem Krümmungsradius in den Gleichungen 2.74 und

2.77 gilt:

ω2n = w 2

0n +(z − zn )2 λ2

π2ω20n

Rn = z − zn +π2ω4

0n

λ2(z − zn )

(2.58)

Für ω01 = ω02, also gleiche Strahlradien, wird c01 = 1. Für ungleiche Strahlradien erhält

man einen Wert kleiner 1. In der praktischen Anwendung ist der Strahlradius des optischen

33

Resonators meist fest, daher muss der Seed-Strahlradius mithilfe einer Linsenanordnung

angepasst werden.

Des Weiteren können die oben gemachten Annahmen bezüglich der transversalen und

longitudinalen Komponenten der Taille sowie die Radien der beiden Strahlen und die Aus-

breitungsrichtung abweichen. Es sollen nicht alle Möglichkeiten betrachtet werden, son-

dern ein spezieller Fall. Unter der Annahme, dass der eine Strahl astigmatisch (ωx 2 6=ωy 2)

ist und die beiden Komponenten des Strahls unabhängig voneinander betrachtet werden

können, alsoρ2

ω202

=x 2

ω2x 2

+y 2

ω2y 2

, ergibt sich durch Integration mithilfe des Fubini-Theorems

und der Substitutionsregel:

ca = 2

ω201ωx 2ωy 2

(ω201 +ω

2x 2)(ω

201 +ω

2y 2)

1/2

(2.59)

Hierbei stehen die ωx 2 und ωy 2 für die jeweiligen Taillenpositionen der Komponenten

transversal zur Ausbreitungsrichtung. In der Praxis werden die Strahlradien durch Linsen

angepasst, so dass ein Verhältnis b eingeführt werden kann:

ωy 2 = bωx 2 (2.60)

Dies führt zu:

ca = 2

ω201ω

2x 2b

(ω201 +ω

2x 2)(ω

201 +ω

2x 2b 2)

1/2

(2.61)

Zur optimalen Kopplung der beiden Strahlen muss außerdem gelten:

ωx 2 =ω01b−1/2⇒ωy 2 =ω01b 1/2 (2.62)

Bei Substitution in den ursprünglichen Ausdruck liefert das:

ca = 2b 1/2

1+ b(2.63)

Daraus folgt, dass der Fehler aufgrund von Astigmatismus relativ klein ist. Als Nächstes wird

der Fall betrachtet, dass die beiden Strahlen den gleichen Radius und die gleiche Taillen-

position haben, aber verschiedene Ausbreitungsrichtungen. Zweckmäßig werden die Ko-

ordinaten in der x − z -Ebene des zweiten Strahles ohne Beschränkung der Allgemeinheit

transformiert. θ ist der Winkel zwischen den Ausbreitungsrichtungen in der x − z -Ebene:

x2 −→ x1 c o s (θ )− z1 s i n(θ )

z2 −→ x1 s i n(θ )+ z1 c o s (θ )(2.64)

34

Die entsprechende Wellenfunktion E2 wird dann an der Stelle z1 = 0 zu:

E2∝

2

πω202

· e−i k1s i n(θ )− x 2 c o s 2(θ )+y 2

ω202 (2.65)

Dies führt dann zu folgendem Kopplungskoeffizienten:

cθ = 2ω01ω02

(ω201 +ω

202)

1/2(ω202 +ω

201 c o s 2(θ ))1/2

· e−

π2ω201 s i n2(θ )

λ2(ω202+ω

201 c o s 2(θ )) (2.66)

Nimmt manω01 =ω02 an, vereinfacht dies den Koffizienten zu:

cθ =

2

1+ c o s 2(θ )

1/2

· e−π2ω2

01 s i n 2(θ )

λ2(1+ c o s 2(θ )) (2.67)

Mit der Kleinwinkelnäherung für θ wird daraus:

cθ = e

− θ2

2θ21

, mit θ1 =λ

πω01(2.68)

Hierbei entsprichtθ1 dem Divergenzwinkel des geseedeten Strahles aus dem optischen Re-

sonator. Diese Beziehung fordert, dass die Ausbreitungsrichtungen der Strahlen nur gering

von der Divergenz des Strahls des optischen Resonators abweichen dürfen.

Im Allgemeinen gilt für Laserdioden mit höheren Ausgangsleistungen, dass die tranversale

und winkelabhängige Anpassung wichtig ist. Für schwächere Laserdioden hingegen sind

die Strahlradien und die axiale Anpassung wichtiger.

2.1.3.10 Gauß-Strahlcharakteristik

Laserstrahlen können durch ihre Feldverteilungen in transversaler Richtung (Moden) be-

schrieben werden. Die Grundmode TEM00 (in Ausbreitungsrichtung weist die elektroma-

gnetische Welle keine Feldkomponente auf) ist besonders für praktische Anwendungen

geeignet, da sie relativ einfach und ihre Feldverteilung symmetrisch ist. Ein so genanntes

Gauß-Profil weisen beispielsweise Resonatoren mit Hohlspiegeln auf.

Geht man von einer Kugelwelle in der komplexen Umgebung mit der komplexen Koor-

dinate z 7−→ z + i zR =: q (z ) = q (zR ist reell und i die imaginäre Einheit) aus (Eichler and

Eichler, 2010), so lässt sich das Zentrum der Welle E (r , z ), mit Radius r , und der Gouy-

Phase2 ζ(z ), komplex definieren:

E (r , z , t ) =A

p

q 2 + r 2· e −i (k

pq 2+r 2−ζ(z )) (2.69)

2Phasenveränderung der Gauß-Welle entlang der Strahlachse nach Fokussierung (Siegman, 1986)

35

Hierbei gilt für r =p

x 2 + y 2, A beschreibt eine Amplitude. Es gilt ferner die paraxiale

Näherung r q , dies führt zu:

E (r , z , t )≈A

q· e −i (k

pq 2+r 2−ζ(z )) ≈

A

q· e −i (k q (1+ r 2

2q 2 )−ζ(z ))=

B

q· e (−i k r 2

2q )e i (ζ(z )−k z )

(2.70)

Hierbei ist B = A · e (k ·zR ) wieder eine Amplitude.

Schreibt man 1q = z−i zR

z 2+z 2R= 1

R (z ) − i 2kω2(z ) , mit R (z ) als Krümmungsradius und ω(z ) als

Strahlradius, so ergibt sich:

E (r , z )≈B

q· e −

r 2

ω2(z ) · e −i i k r 2

2R (z ) · e i (ζ(z )−k z ) (2.71)

Dieser Ausdruck definiert den Gauß-Strahl und kann benutzt werden, um TEM00-Laserstrah-

len zu beschreiben.

Strahlradius Für die praktische Anwendung und Auswertung ist die Amplitude aus Glei-

chung 2.71 interessant. Es gilt I ∼ |E |2, wodurch man einen Ausdruck für die örtliche Leis-

tungsverteilung (siehe Abbildung 2.18 a)) erhält:

I

Ima x= e

− 2r 2

ω2(z ) (2.72)

Eine Beziehung für die Leistung bei maximaler Intensität erhält man durch Integration

mithilfe der Substitutionsregel über das Theorem von Fubini, da r =p

x 2 + y 2 gilt:

Pma x =

∫ ∞

−∞I (r (x , y ))d (x , y ) = Ima x ·

∫ ∞

−∞e −

2x 2

ω2 d x

·∫ ∞

−∞e −

2y 2

ω2 d y

=π

2ω2Ima x

(2.73)

Für den Strahlradius gilt mit den zuvor gemachten Definitionen für q :

ω(z ) =

√

√ 2

k · zR

q

z 2 + z 2R =ω0

√

√

√

1+z 2

z 2R

mit der Strahltaille

ω0 =

s

2zR

k=

√

√zRλ

π

(2.74)

Hierbei beschreibt ω0 die so genannte Strahltaille des Laserstrahls, dabei gilt ω0 = ω(0).

Des Weiteren wird zur Charakterisierung des Gauß-Strahls die Rayleighlänge zR zusammen

mit dem konfokalen Parameter b (auch Fokuslänge) definiert:

b = 2zR mit zR =ω2

0π

λ(2.75)

36

Abbildung 2.18: a) Leistungsprofil eines Gauß-Strahls transversal zur Ausbreitungsrichtung. b)Gauß-Strahlausbreitung: Änderung des Strahlradius ω(z ) sowie des Krümmungsradius R (z )(Eichler and Eichler, 2010).

Krümmungsradius Die Phasenflächen des Strahls aus der Abbildung 2.18 sind gegeben

durch:

z = mλ−r 2

2R (z ), mit ganzer Zahl m (2.76)

Diese Phasen werden durch Parabeln mit dem Krümmungsradius:

R (z ) = z +z 2

R

z 2(2.77)

beschrieben.

Divergenzwinkel In praktischen Aufbauten werden üblicherweise große Abstände rela-

tiv zur Rayleighlänge entlang der optischen Achse z , z zR erzielt, so dass im Fernfeld

genähert werden kann:

ω(z ) =ω0z

zR(2.78)

Für den Fernfelddivergenzwinkel (siehe Abbildung 2.18) gilt dann:

Θ= limzzR

ω(z )

z=ω0

zR=

λ

πω0(2.79)

37

Reale Laserstrahlen Der zuvor diskutierte Gauß-Strahl ist ein idealisierter Strahl (Neu-

mann, 2014). In der Realität weicht die so genannte Strahlgüte k = 1M 2 aufgrund von Beu-

gungserscheinungen vom idealen Wert 1 ab (Eichler and Eichler, 2010). M 2 wird als Beu-

gungsmaßzahl bezeichnet (siehe Abbildung 2.19). Diesen zusätzlichen Gütefaktor muss

man bei den eingeführten Gleichungen berücksichtigen, so dass sich folgende Zusammen-

hänge ergeben:

Taillenlänge :

zR =ω2

0π

M 2λ

Strahlradius :

ω(z ) =ω0

√

√

√

1+M 2λ(z − z0)

2

ω20π

, mit ω(z0) =ω0

Divergenzwinkel im Fernfeld :

Θ=M 2λ

ω0π(2.80)

Abbildung 2.19: Unterschied zwischen idealem Gauß-Strahl (M 2 = 1) und realem (M 2 > 1)Laserstrahl (Eichler and Eichler, 2010).

Einen Gauß-Strahl kann man demnach anhand der Taillenlage z0 und dem zugehörigen

Radius ω0 charakterisieren. Will man die Ausbreitung des Gauß-Strahls beschreiben, so

ändert sich der oben eingeführte komplexe Strahlparameter q.

Gauß-Strahltransformation Trifft ein Gauß-Strahl auf ein optisches Element wie bspw.

eine Linse mit der Brennweite f, so kann man mithilfe der geometrischen Optik den Strah-

lengang beschreiben (Eichler and Eichler, 2010). Die Linsengleichung beschreibt den Zu-

sammenhang zwischen Brennweite f, Bildweite b und Gegenstandsbreite g nach Abbildung

2.20:1

f=

1

b−

1

g(2.81)

38

H und H’ sind die Hauptebenen der Linse. Es wird die Dünne-Linsen-Näherung angenom-

Abbildung 2.20: Abbildung eines Gegenstandes durch eine Linse nach der geometrischen Op-tik (Eichler and Eichler, 2010).

men, wodurch diese beiden Ebenen zusammenfallen. Es wird angenommen, dass von je-

dem Objektpunkt eine Kugelwelle ausgeht. Der Krümmungsradius auf der Achse ist vor der

Linse R1 = −g und hinter ihr R2 = b . Minuszeichen folgen hier aus einer Konvention für

konvexe und konkave Wellenfronten. Mit Gleichung 2.81 und dem komplexen Strahlpara-

meter q folgt dann:

−1

R2=

1

R1−

1

f⇒

1

q2=

1

q1−

1

f(2.82)

Hierbei sind die Strahlparameter:

q1 = s + i zR , mi t zR =πω2

0

M 2λ

q2 =−s ′+ i z ′R , mi t z ′R =πω

′20

M 2λ

(2.83)

Aus den Gleichungen 2.82 und 2.83 folgt:

q2 =

1

q1−

1

f

−1

=f q1

f −q1=

(q1− f + f ) f

f −q1=− f +

f 2

f −q1

=− f +f 2

( f − s )− i zR=− f +

f 2( f − s )

( f − s )2 + z 2R

+ if 2zR

( f − s )2 + z 2R

(2.84)

Hieraus erhält man die Beziehung für die Strahltaille und die Taillenposition hinter der

Linse bei Betrachtung des Real- und des Imaginärteils des Strahlparameters q2:

s ′=−R e (q2) = f +f 2(s − f )

( f − s )2 + z 2R

ω′0 =

√

√M 2λ

πI m(q2) =ω0

fq

( f − s )2 + z 2R

(2.85)

Die hier vorgenommene Beschreibung ist aufgrund der paraxialen Näherung für rela-

39

Abbildung 2.21: Transformation eines Gauß-Strahls durch eine dünne Linse (Neumann, 2014).

tiv kleine Abstände zur optischen Achse zulässig. Möchte man komplexere Transformatio-

nen von Gauß’schen Strahlen beschreiben, so benutzt man meist die so genannten ABCD-

Matrizen.

Mit der hiermit einhergehenden Vektorschreibweise können die Abstands- und Phasenin-

formationen bei der Transformation des Gauß-Strahls durch ein optisches Element beque-

mer per Computer simuliert werden. Hier sei auf (Siegman, 1986) verwiesen.

Choppern eines Laserstrahles Um einen Gauß-Strahl charakerisieren zu können, müs-

sen der Strahlradiusω0 an der Taille sowie seine Position in Abhängigkeit eines Ursprunges

entlang einer Achse bestimmt werden. Praktisch wurde dies in dieser Arbeit durch Leis-

tungsverteilung an verschiedenen Stellen entlang der optischen Achse z durchgeführt (Eich-

ler and Eichler, 2010). Dazu wurde eine bewegliche Schneide (Chopper) an einem Rad be-

nutzt (Gravenkamp, 2009), das sich mit einer bestimmten Frequenz dreht (siehe Abbildung

2.22).

Der Gauß-Strahl wird durch die Leistungsverteilung aus Gleichung 2.72 und der daraus ab-

geleiteten Leistung des Choppers (Gleichung 2.73) beschrieben. Für die Transmission TP

gilt dann ausgehend von einer teilweisen Bedeckung des Gauß-Strahls durch die Schneide

in einer der beiden Komponenten (hier x -Achse):

TP = 1−P (x0)

Pma x= 1−

∫ x0

−∞ e −2x 2

ω2 d x ·∫∞−∞ e −

2y 2

ω2 d y∫∞−∞ e −

2x 2

ω2 d x ·∫∞−∞ e −

2y 2

ω2 d y

= 1−

∫ x0p

2/ω−∞ e −a 2

d xÆ

π2ω

= 1−

p2πp2·erf

x0

p2ω

Æ

π2

= 1−p

2 ·erf

x0

p2

ω

(2.86)

40

Es wurde mithilfe von (a :=p

2ω x ) zur Integration substituiert. Für die Gauß’sche Fehler-

funktion gilt:

erf(x0) =1p

2π

∫ x0

−∞e −

2x 2

ω2 d x (2.87)

Die spezielle Funktion erf(x0p

2/ω) wird mithilfe von Mathematica für zwei bestimmte

transmittierte, relative Leistungswerte, die durch die Chopper-Drehung periodisch erreicht

werden, ausgewertet. Bei TP = 0, 8 und TP = 0, 2 wurde die Differenz der Leistungen be-

trachtet:

TP := 0, 8⇒ 0, 595166 ≈p

2

ωx01

TP := 0, 2⇒−0, 595166 ≈p

2

ωx02

∆x = x01− x02 ≈ 0, 842ω

(2.88)

Für die Komponente, die während der jeweiligen Ausrichtung der Klinge gemessen wird,

gilt in Abhängigkeit der Zeit:

x (t ) = t · f ·2πRA (2.89)

Hier ist x (t ) die jeweilige Komponente, t die vergangene Zeit, f die Rotationsfrequenz des

Chopper-Rades und RA der Abstand zwischen Laserstrahl und Rotationsmittelpunkt des

Rades. Eine Winkeländerung der Blende während des Schneidevorganges wird vernach-

lässigt, da RA >>ω gilt.

Abbildung 2.22: Die beiden Anordnungen des Choppers zur Messung der x- (Parallel) bzw. y(Senkrecht)-Komponente des transmittierten Gauß-Strahls (Gravenkamp, 2009).

Aus den Gleichungen 2.88 und 2.89 bestimmt sich dann der experimentell ermittelte Strahl-

radius zu:

ωc ho p p e r =∆x

0, 842=

x (t80)− x (t20)

0, 842=∆t · f ·2π ·RA

0, 842(2.90)

In Abbildung 2.23 ist eine Aufnahme der senkrechten Komponente gezeigt.

41

Abbildung 2.23: Aufnahme der senkrechten Komponente bei f = 10H z des Choppers.

2.2 Regelkreise

Der Regler hat die Aufgabe, eine bestimmte physikalische Größen (Regelgröße X ) auf den

Sollwert (Führungsgröße W ) zu regeln und dort zu halten (Tietze and Schenk, 1999). Die

Regelgröße wird hierbei mithilfe der Stellgröße Y durch den Regler beeinflusst. Das Ziel

ist, dass die Regelabweichung W −X möglichst klein wird. Während des Durchlaufens der

Regelstrecke wirkt eine Störgröße Z auf die Stellgröße Y (siehe Abbildung 2.24).

Es gilt für die Stellgröße und Regelgröße:

Y = AR (W −X ) und X = AS (Y +Z ) (2.91)

Abbildung 2.24: Blockschaltbilddarstellung eines Regelkreises (Tietze and Schenk, 1999)

Hieraus lässt sich folgern:

X =AR AS

1+AR ASW +

AS

1+AR ASZ (2.92)

Für eine sehr große Schleifenverstärkung g = AR AS(2.91)= ∂W

∂ (W −X )nähert sich das Füh-

rungsverhalten ∂ X /∂W = 1 . Das Störverhalten ∂ X /∂ Z geht für große Verstärkungen

AR gegen 0. Einer großen Verstärkung AR und damit einer großen Schleifenverstärkung

42

sind jedoch Grenzen gesetzt. Große Verstärkungen können leichter dazu führen, dass die

Schwingbedingung erfüllt wird (siehe nächsten Abschnitt).

Dies kann wiederum zu Schwingungen führen, welche das Stabilisierungsverhalten des

Reglers negativ beeinflussen können.

2.2.1 Schwingbedingung

Operationsverstärker (OP) können unter bestimmten Bedingungen zu Mitkopplungen, an-

statt der Gegenkopplung für die Funktion als Regler, führen. Um das Prinzip der Gegen-

kopplung zu nutzen, müssen OPs so verbunden werden, dass der Ausgang zum invertie-

renden Eingang führt. Anhand der Abbildung 2.25 wird die Schwingbedingung diskutiert.

AD = 105 beschreibt die Differenzverstärkung des OPs (Regler). g ist die Schleifenverstär-

Abbildung 2.25: Bode-Diagramm eines unkorrigierten Operationsverstärkers mit dreifachemTiefpassverhalten (Tietze and Schenk, 1999)

kung und fg n , mit n = 1, 2, 3, sind drei bestimmte Frequenzen definiert. AD 0 ist die Dif-

ferenzverstärkung im konstanten Bereich bis f = 10 kHz, g0 entsprechend die anfängli-

che Schleifenverstärkung. Die An = 1k beschreiben bestimmte gegengekoppelte Regelver-

stärkungen. Die Graphen sind logarithmisch aufgetragen. Es lässt sich daher (die zur Basis

zehn) logarithmische Schleifenverstärkung mit l g (g ) = l g (AD )− l g (A) ausdrücken. Mit

zunehmender Frequenz nimmt die Differenzverstärkung ab, es zeigt sich ein Tiefpassver-

halten. Außerdem wird g = 1 am Schnittpunkt mit den eingestellten Regelverstärkungen

A1, A2.

Zwischen fg 1 und fg 2 fällt die Verstärkung mit −20 d B /Dekade und die Phasenverschie-

bung beträgt 45. Zwischen fg 2 und fg 3 sinkt das Amplitudenverhältnis um−40 d B /Dekade

und die Phase von−135 auf−225. Oberhalb von fg 3 fällt die Verstärkung mit−60 d B /De-

kade und die Phasenbeziehung geht asymptotisch gegen −270. Zwischen fg 2 und fg 3 ist

eine besondere Frequenz f180 = 300 kHz eingetragen. Hier beträgt die Phasenbeziehung

43

−180. Zusätzlich dazu sieht man im Amplitudenverhältnis eine Schleifenverstärkung von

g = 1. In diesem Fall wird die Schwingbedingung erfüllt:

g = k AD =

¨

|g |= |k ||AD | ≡ 1 Amplitudenbedingung

φ(k AD )≡ 0, 360, . . . Phasenbedingung(2.93)

Die Größen sind unterstrichen, um die komplexen, mathematischen Eigenschaften zu be-

schreiben. Sind beide Bedingungen erfüllt, so kann es statt zur Gegenkopplung zu einer

Mitkopplung kommen und dadurch eine Schwingung mit konstanter Amplitude entste-

hen. Dieser Fall tritt im obigen Beispiel ein, wenn man mit A2 = 103 den Verstärker gegen-

koppelt. Bei Gegenkopplung mit einem größeren Wert von A1 = 104 wird die Amplituden-

bedingung erfüllt, aber die Phasenbeziehung nicht. Es herrscht eine so genannte Phasen-

reserve vor:

α= 180−φ( fk ) (2.94)

Hierbei ist fk die kritische Frequenz, bei der die Amplitudenbedingung erfüllt ist. Die Pha-

senreserve beschreibt, wie groß der Winkelabstand ist, bis die Phasenbeziehung erfüllt ist

und eine ungedämpfte Schwingung einsetzen kann. Umgekehrt gilt bei erfüllter Phasen-

bedingung und zu großer oder zu kleiner Schleifenverstärkung g > 1 bzw. g < 1, dass eine

Amplitude mit steigender Amplitude bzw. eine gedämpfte Schwingung entsteht. Der zwei-

te Fall ist dabei interessant. In Abbildung 2.26 kann man gedämpfte Schwingungen im Zeit-

bereich sehen. Mit abnehmender Phasenreserve nimmt die Stärke der Dämpfung ab. Bei

α= 60 findet die Sprungantwort und damit die Regelung am schnellsten statt. Beiα= 90

liegt der aperiodische Grenzfall vor, was sehr ungünstig ist, da die Anstiegszeit sehr groß

ist. Im Frequenzgang sieht man eine kleinere Bandbreite, als bei α = 60 Phasenreserve.

Dieser Wert ist also in beiden Bereichen sehr günstig.

Abbildung 2.26: Sprungantwort (a) und Frequenzgang (b) für verschiedene Phasenreserven α.Die Überschwingungen im Zeitbereich führen zu Überhöhungen im Frequenzbereich (Tietzeand Schenk, 1999).

44

2.2.2 P-Regler

P-Regler gehören zu den linearen Verstärkern (Tietze and Schenk, 1999). Ihre Phasenver-

schiebung ist im Frequenzbereich, in dem die Schleifenverstärkung g größer als 1 ist, ver-

nachlässigbar klein. Beispiele sind OPs mit ohmscher Gegenkopplung.

In Abbildung 2.27 ist das Bode-Diagramm eines P-Reglers dargestellt. Bei der Grenzfre-

quenz fk = 3, 3 kHz wird die Gegenkopplung zur Mitkopplung, da die Phasenbeziehung

−180 beträgt. Die Phasenbedingung ist also erfüllt. Die Amplitudenbedingung ist abhän-

gig von der Proportionalverstärkung AP , welche in diesem Fall bei der Grenzfrequenz et-

wa −20 dB beträgt. Die Streckenverstärkung |AS | beträgt bei 3, 3 kHz −40 dB. Dementspre-

chend wäre die Schleifenverstärkung g 6= 1. Erst bei AP = 40 dB wäre auch die Amplitu-

denbedingung erfüllt. Die Phasenreserve α beträgt hier 60 und liegt bei etwa 700 Hz. Um

die optimale Phasenreserve von α= 60 mithilfe des Proportionalverstärkers erreichen zu

können, muss man AP anpassen, so dass g = |g |= 1 bei fk = 700 Hz gilt:3

g = 1 = AS AP =−17 d B ·AP ⇒ AP =1

0, 14= 7 (2.95)

Abbildung 2.27: Bode-Diagramm eines P-Reglers mit Amplitudenverhältnis in d B und Pha-senbeziehung in Grad. Dargestellt sind beide Teil-Verstärkungen der Strecke und des Reglerszusätzlich zur Schleifenverstärkung (Strecke + Regler) im Frequenzgang. Im Phasenbild wirddie Phasennacheilung zwischen Strecke und Strecke+Regler gezeigt (Tietze and Schenk, 1999).

3Hier wird angenommen, dass die Messgrößen Effektivwerte von Feldgrößen sind: QE f f = 20 · l g

F1

F2

dB

45

Für die Regelabweichung gilt dann im eingeschwungenen Zustand mit Gleichung 2.91:

limY→0

W −X

W

=1

1+g=

1

1+7= 12, 5%. (2.96)

Eine Erhöhung der Verstärkung des Reglers führt zwar zu einer kleineren Regelabweichung,

jedoch verschlechtert sich das Einschwingverhalten. Eine beliebige Proportionalverstär-

kung nach oben hin kann bei Strecken, deren Verhalten dem eines Tiefpasses 1. Ordnung

entspricht, eingestellt werden. Bei solchen Tiefpässen ist die Phasenreserve nämlich bei je-

der Frequenz größer als 90. Hier muss aber vorausgesetzt werden, dass die Grenzfrequenz

des Reglers viel größer, als die der Strecke ist.

2.2.3 PI-Regler

Um die Nachteile der begrenzten Proportionalverstärkung der Regelabweichung auszu-

gleichen, wird meist ein Integrator (OP) parallel zum P-Verstärker geschaltet (siehe Abbil-

dung 2.28).

Abbildung 2.28: a) Blockschaltbild eines PI-Reglers b) Bode-Diagramm eines PI-Reglers ohneStrecke (Tietze and Schenk, 1999).

Für die komplexe Regelverstärkung aus der Parallelschaltung gilt:

AR = AP +1

iωτI= AP

1+1

iωτI AP

(2.97)

Hierbei sind τI die Integrationskonstante, ω die Winkelfrequenz der Eingangsspannung

und AP die Proportionalverstärkung des P-Glieds im Schaltbild. In Abbildung 2.29 sieht

man das Bode-Diagramm einer Strecke mit PI-Regler.

Der Integrator bewirkt, dass bei kleinen Frequenzen die Schleifenverstärkung größer wird,

da:

limf→0|g |=∞ (2.98)

Damit geht die Regelabweichung gegen 0.

46

Abbildung 2.29: Bode-Diagramm einer Strecke mit PI-Regler (Tietze and Schenk, 1999)

2.2.4 Übertragungsfunktion

Die in den Abschnitten zuvor beschriebenen Abhängigkeiten zwischen den Eingangs- und

Ausgangsgrößen werden im Rahmen der Systemtheorie mithilfe von so genannten Über-

tragungsfunktionen mathematisch behandelt. Die hier verwendeten Operationsverstärker

funktionieren als Tiefpässe (siehe (Tietze and Schenk, 1999)), welche tiefe Frequenzen oh-

ne Veränderung übertragen. Bei hohen Frequenzen treten je nach Typ eine spezifische Ab-

schwächung und eine Phasennacheilung (Phasendifferenz) ein.

Ein einfaches Beispiel für einen Tiefpass kann der Abbildung 2.30 entnommen werden. In

der Abbildung sind die Spannungen Ue (t ) und Ua (t ) zeitabhängig.

Abbildung 2.30: Einfacher Tiefpass (Tietze and Schenk, 1999)

Es wird hier ein lineares und zeitinvariantes System angenommen, da das Ausgabesignal

bei einer bestimmten Eingabe immer dasselbe ist.

Dann lässt sich eine Übertragungsfunktion (Signalverstärkung) der beiden Signale im

Frequenzraum betrachten:

47

A(iω) =U a

U e=

1/(iωC )

R +1/(iωC )=

1

1+ iωR C(2.99)

Für den Betrag und die Phase gilt in dieser Schaltung:

|A|=1

Æ

1+(ωR C )2, φ=−a r c t a n(ωR C ) (2.100)

Die 3 dB-Grenzfrequenz erhält man aus der Bedingung:

|A|=1p

2=

1Æ

1+(ωR C )2(2.101)

Hieraus folgt:

fg =ωg

2π=

1

2πR C(2.102)

Geht man über in den Bildraum mithilfe der Laplacetransformation, so erhält man daraus

die Übertragungsfunktion:

A(s ) =LU a (t )L U e (t )

=1/(s C )

R +1/(s C )=

1

1+ s R C(2.103)

Hierbei ist s = iω und A(s ) gibt das Verhältnis der Laplacetransformierten der Ausgangs-

und Eingangssignale an. Eine Normierung von s führt zu:

sn =s

ωg=

iω

ωg= i

f

fg= iωn (2.104)

Hier istωg die Grenzwinkelfrequenz undωn ist die auf die Grenzwinkelfrequenz normierte

Winkelfrequenz.

Somit lautet die neue Form der Übertragungsfunktion:

A(sn ) =1

1+ sn(2.105)

Die allgemeine Form für die Übertragungsfunktion eines Tiefpasses lautet:

A(sn ) =A0

1+ c1sn + c2s 2n + · · ·+ cn s n

n(2.106)

Hierbei ist A0 die Amplitude und die cn sind reelle Koeffizienten. Mit der höchsten Potenz

von sn erhält man die Ordnung des Filters. Der einfache RC-Tiefpass aus obiger Schaltung

ist passiv, das heißt, dass er nicht Signale verstärken kann, es gilt: |A| ≤ 1. Aktive Tiefpässe

hingegen haben diese Funktion inne. Zu diesen gehören unter anderem der Bessel-Tiefpass,

welcher im Gegensatz zum Butterworth- oder Tschebyscheff-Tiefpass kein stärkeres Über-

48

schwingen in der Sprungantwort besitzt. Die Phasenverschiebung ist bei diesem Filtertyp

proportional zur Frequenz.

Für Tiefpässe kann die allgemeine Form aus Gleichung 2.106 mit sn = iωn benutzt werden.

So gilt für Tiefpässe zweiter Ordnung:

A =A0

1+a1sn + b1s 2n=

A0

1+ i a1ωn −b1ω2n

(2.107)

Die cn wurden durch die Koeffizienten an und bn ersetzt. Entsprechend lässt sich auch hier

der auf A0 normierte Betrag betrachten:

|A(iωn )|=1

Æ

(1−ω2n b1)2)+(a1ωn )2

(2.108)

Charakteristisch nimmt eine solche Verstärkung mit 2 ·20 d B /Dekade oder äquivalent mit

2 ·6 d B /Oktave ab.

49

Kapitel 3

Experiment und Auswertung

3.1 Seeding und Charakterisierung der Laserdiode

In diesem ersten Teil der Auswertung werden die beiden Aufbauten zum Seeden der La-

serdiode und die anschließende Charakterisierung des durch die Laserdiode ermittelten

Strahles behandelt werden. Es wird beschrieben, wie praktisch vorgegangen wurde und

anschließend werden die Ergebnisse präsentiert.

3.1.1 Vorbereitung der Laserdiode

Die im Verlauf der Erstellung dieser Qualifikationsarbeit verwendeten Laserdioden wurden

aufgebaut. Es kamen die beiden Diodentypen D H O M −808nm & 5.0W (5W -Diode) und

H G −808−2000−C (2W -Diode) zum Einsatz. In der Abbildung 3.1 ist schematisch der

experimentelle Aufbau der Laserdiode auf dem C-Mount gezeigt.

50

Abbildung 3.1: Schematische Darstellung des Aufbaus der Laserdiode(n) auf dem C-Mount(Arabi-Hashemi, 2010).

Der Diodenchip ist auf dem C-Mount befestigt und musste nur noch an dem Kupfer-

block mittels einer Schraube befestigt werden. Der Kupferblock selbst dient dabei neben

der Temperaturregelung als Anode. Der Diodenchip ist mit feinen Goldkontaktierungen

versehen, an welchen ein Kathodenkabel verlötet und mittels eines Schrumpfschlauches

vor direktem Kontakt der Kathode mit der Anode geschützt wurde. (Abbildung 3.2 zeigt

eine reale Nahaufnahme)

Unter dem Kupferblock befindet sich ein Peltierelement zur Temperaturregulierung. In

der schematischen Abbildung ist außerdem die Kollimationslinse zu sehen, welche an ei-

nem XYZ-Verschiebetisch zur exakten Einstellung des Diodenstrahls befestigt ist.

Um die Diode vor einem Kurzschlussstrom zu schützen, wurde diese über eine Kurz-

schlussplatine angeschlossen. Im Anhang befindet sich die entsprechende Abbildung.

3.1.2 Versuchsaufbau zum Injection Seeding

Der Versuchsaufbau zum Injection Seeding1 ist in der Abbildung 3.3 zu sehen. Ausgehend

vom Seedlaser (SL) verläuft der als linear polarisiert eingestellte Seedstrahl durch eine Lamb-

da-Halbe-Verzögerungsplatte (λ/2), um die Polarisation des Seedlaserstrahls so anzupas-

sen, damit dieser mit möglichst maximaler Leistung durch den optischen Isolator (OI) in

Richtung der Laserdiode gelangen kann. Der Seedstrahl durchläuft nach demλ/2-Plättchen

eine Galilei-Teleskop-Anordnung, bestehend aus einer Zerstreuungslinse mit der Brenn-

weite f = −75 mm und einer Fokussierlinse mit der Brennweite f = 200 mm , womit ei-

ne Vergrößerung des Strahltaillenradius nach Gleichung 2.85 mit einem Vergrößerungs-

1aus dem Englischen für to inject - injizieren und to seed - säen oder setzen

51

Abbildung 3.2: Nahaufnahme des Diodenchip-Bereiches auf dem C-Mount mit Abmessungen

verhältnis von etwa V = 200|−75| ≈ 2, 7 erreicht wird. Danach wird der aufgeweitete Seed-

strahl mithilfe von drei Spiegeln auf den seitlichen Eingang des optischen Isolators gelenkt

und nach links im Schema in Richtung der Laserdiode reflektiert. Nach dem optischen

Isolator wird der Seedstrahl über zwei Spiegel, zwischen denen sich ein Lambda-Halbe-

Verzögerungsplättchen befindet, abgelenkt. Im Strahlengang zur aktiven Zone der Laser-

diode wird der Seedstrahl über eine 200 mm asphärische Zylinderlinse (AL) geführt, welche

näherungsweise nur die parallele Komponente des Strahls fokussiert. Das letzte Stück bis

zur Laserdiode führt über eine Fokussierlinse der Brennweite f = 100 mm und eine Kol-

limationslinse (KL) mit f = 15, 29 mm . Zur freihändigen Anpassung der Strahlparameter

wird der Strahl durch eine 100 mm-Fokussierlinse geführt, bevor dieser dann in die aktive

Zone der Laserdiode eingespeist wird. Dies wird mittels der Strahlüberlagerung des Seed-

und Laserdiodenstrahls zwischen Laserdiode und optischem Isolator erreicht, wobei die

Spiegel zur Justage verwendet werden. Hinter dem OI trifft der Laserstrahl auf ein Glasplätt-

chen (GP), das aufgrund der Teilreflektivität zu einem Leistungsreduzierten abknickenden

Strahl führt und damit eine Übersättigung der Photodiode des Fabry-Pérot-Interferometers

(FP) verhindert. Vor dem Fabry-Pérot-Interferometer wird der Strahl durch einen Spiegel

abgelenkt und durch eine Linse der Brennweite f = 250 mm auf die im FP-Interferometer

befindliche Photodiode fokussiert.

An die Laserdiode ist die Steuereinheit zur Regulierung des Diodenstromes angeschlos-

sen. Das Fabry-Pérot-Signal wird mithilfe eines Oszilloskops2 aufgenommen.

2Typ: ISO-TECH IDS8064

52

Abbildung 3.3: Schematische Darstellung des Aufbaus zum Injection Seeding. Der Seedlaserwird per Einkoppelfaser mit Linsenfassung im Aufbau genutzt, der Seedlaser selbst ist auf demoptischen Tisch des ATTA-Experimentes. Die blau gestrichelten Kreise beschreiben die Positio-nen, an denen die Leistung des Laserstrahls gemessen wurde.

3.1.3 Durchführung des Injection Seedings

In diesem Teil wird die Durchführung der Justage und Aufnahme der Messgrößen beschrie-

ben. Dazu werden insbesondere die praktischen Probleme und Techniken angesprochen

und die verwendeten Komponenten eingeführt.

Strahlkollimation Unter Berücksichtigung der in Abschnitt 2.1.3.9 erläuterten Theorie

soll hier die Durchführung des Injection Seedings beschrieben werden.

Zunächst wurde der Fokus des Laserdiodenstrahls ins Unendliche (weite Strecke als Nä-

herung) verschoben. Dazu wurde die Kollimationslinse mithilfe des xyz-Verschiebetisches

zunächst grob in lateraler (x-Achse) und transversaler (y-Achse) Richtung verschoben, bis

auf der Nachweiskarte ein möglichst gleichmäßiger Strahl erkennbar war. Danach wurde

die z-Achse (Ausbreitungsrichtung) angepasst, so dass die Strahlgeometrie auf der Nach-

weiskarte sich auf der Strecke zwischen der Zylinderlinse und dem Ende nicht ändert. Für

gewöhnlich würde man diese Linsenposition dann mittels Kleber fixieren, jedoch wurden

mehrere Kollimationslinsen ausgetestet, die Brennweiten von f = 3, 5 mm , f = 4, 01 mm ,

f = 7, 5 mm und f = 15, 29 mm hatten. Hierbei wurde bezüglich der 5W -Diode fest-

gestellt, dass umso größer die Brennweite, desto besser war die per Nachweiskarte wahr-

nehmbare Strahlqualität. Für die 2W -Diode wurde die 7, 5 mm-Linse benutzt, wohinge-

53

gen für die 5W -Diode die 15, 29 mm-Linse zum Einsatz kam. Für die Zylinderlinse wurde

zunächst eine Brennweite von f = 25 mm gewählt, was jedoch auf der Länge des Auf-

baus eine zu starke Divergenz erzeugte. Aus diesem Grund wurde eine Zylinderlinse mit

der Brennweite f = 200 mm gewählt.

Seedstrahl und Fasereinkopplung Als Seedlaserstrahl kam einer der Kühllaserstrahlen

aus dem ATTA-Aufbau zum Einsatz. Die Wellenlänge beträgt 811, 290 nm (Sieveke, 2012)

bei einer Linienbreite von etwa 500 kHz. Der Laserstrahl wurde mithilfe einer polarisations-

erhaltenden Single-Mode-Faser zum Experiment übertragen. Der Strahl wurde zunächst

linear polarisiert und anschließend in die schnelle Achse der Single-Mode-Faser eingekop-

pelt. Zur groben Einstellung der linearen Polarisation wurde ein Polarimeter benutzt (siehe

Abbildung 3.4).

Um einen ausreichend großen Leistungsmessbereich des Seedstrahls auf dem Experimen-

tiertisch nutzen zu können, wurde die Effizienz der Übertragung durch die Faser optimiert.

Dazu wurden zwei Spiegel vor der Einkoppelfaser zur Justage genutzt. Zur Feststellung der

übertragenen Laserleistung des Seedlasers wurde am Ende auf dem Experimentiertisch

ein Powermeter3 eingesetzt. Das Powermeter wurde zu Beginn der Einkopplung mit ei-

nem Multimeter (Typ: Sinometer VC890C+) verbunden, um auch sehr schwache Signale

µW -Bereich durch die Faser erfassen zu können.

Abbildung 3.4: Messung der Polarisation. Oben ist der Marker (in lila verdeutlicht) gezeigt, wel-cher auf zwei Perioden eingestellt ist und somit die lineare Polarisation vorliegt. Unten ist daseigentliche Signal zu sehen.

3Sensoren: Coherent Powermax PM3 und Coherent OP-2 VIS in Kombination mit Powermeter: CoherentFieldmate

54

Polarisation Als Alternative zur Einstellung der Polarisation mittels eines Polarimeters

wurde ein Aufbau benutzt, bei dem ein Polarisationsstrahlteilerwürfel in Verbindung mit

den oben erwähnten Verzögerungsplättchen zum Einsatz kommt, um die Leistung in ei-

nem4 der beiden Polarisationskomponenten des Würfels zu minimieren. Ebenso wurde

das Multimeter in Ergänzung zum Powermeter zur präziseren Messung verwendet. Dies

erlaubte eine präzisere Einstellung der linearen Polarisation des Seedstrahls, als die per

Auge und Polarimeter eingestellte.

Strahlüberlagerung Der aufwändigste Teil wurde dadurch verursacht, dass der Seedstrahl

mit den passenden Strahlparametern in die Diode eingestrahlt werden musste. Hierzu wur-

den neben der freihändigen Anpassung des Strahldurchmessers auch die optimale Über-

lappung des emittierenden Strahls mit dem Seedstrahl. Um dies zu bewerkstelligen wur-

den die Spiegel im Seed-Ast (siehe Abbildung 3.3) verwendet. Die Überlagerung erfolgte zu-

nächst an zwei Punkten im Strahlengang des Dioden-Asts. Die Polarisation des Seedstrahls

wurde so eingestellt, dass dieser unter seitlichem Eingang in den optischen Isolator mit ma-

ximaler Leistung in Richtung Laserdiode propagierte. Zur Feineinstellung wurde die Fähig-

keit der Laserdiode, als Photodiode eingesetzt werden zu können, genutzt. Hierbei wurde

das erzeugte Signal maximiert, bevor die Laserdiode wieder als solche benutzt wurde. Im

Gegensatz dazu wurde der Laserstrahl der Laserdiode so in Polarisation und Ausbreitungs-

richtung eingestellt, dass dieser Strahl maximal durch den optischen Isolator propagieren

konnte. Hierzu wurde unter anderem die Leistung, die in den Seed-Ast abzweigte, mini-

miert. Die Feineinstellung zur Überlagerung wurde durch Einkopplung des Laserdioden-

strahls in die Faser mit dem Ziel der Effizienzoptimierung der übertragenen Laserleistung

erreicht. Nach der Überlagerung der beiden Laserstrahlen wurden mithilfe des Glasplätt-

chens die reflektierten5 Teile des überlagerten Strahls auf das Fabry-Pérot-Interferometer

(FP-Ast) gelenkt. Nach dem Glasplättchen waren zwei Laserstrahlen erkennbar, weshalb

ein Strahl abgedeckt wurde.6

Messung Nach dem die Justage und Optimierung der Strahlenüberlagerung abgeschlos-

sen war, wurden die Messungen zur Seedcharakteristik durchgeführt. Auf dem Oszilloskop

(angeschlossen an das FP-Interferometer) konnte bei guter Überlagerung die durch die La-

serdiode verstärkte Wellenlänge des Seedlasers erkannt werden. Für den Fall, dass das Rau-

schen des natürlichen Modenspektrums der Diode noch zu stark war, konnte dies meist

durch Optimierung mittels der Spiegel im Dioden-Ast korrigiert werden.

Zur Charakterisierung der Fähigkeit zur Verstärkung einer extern vorgegebenen Wellenlän-

ge durch die Laserdioden (Typen: D H O M −808nm & 5.0W (5W -Diode) und H G −808−2000−C (2W -Diode)) wurden folgende Parameter variiert:

4Die Komponente ist beliebig, da der Würfel zwei linear polarisierte Teilstrahlen erzeugt.5BK7-Glas mit etwas 1 c m Dicke bei 45 Eingangswinkel entspricht maximal 5,1 % der eingestrahlten

Leistung (Internet, 2015).6Der Übersichtlichkeit halber weggelassen aus der Abbildung 3.3.

55

• Diodenstrom

• Überlagerte Strahlleistung aus Laserdiode und Seedstrahl

• Seedstrahlleistung

• Temperatur

Die Temperatur stellt die trägste physikalische Größe dar, deshalb wurde diese vorgegeben.

Anschließend wurde bei fester Seedstrahlleistung der Diodenstrom variiert und die Leis-

tung an mehreren Stellen des Aufbaus aus Abbildung 3.3 (blaue Kreise) gemessen. Daraus

ergaben sich die Strom-Leistungs-Kurven bei konstanter Temperatur und Seedstrahlleis-

tung. Außerdem wurden bei konstanter Temperatur und konstantem Strom Seedstrahlleis-

tungs-Leistungs-Kurven aufgenommen. Darüber hinaus wurden bei konstantem Strom und

konstanter Seedstrahlleistung Temperatur-Leistungs-Kurven gemessen. Bei all den Leis-

tungsmessungen wurden zusätzlich die Fabry-Pérot-Messungen aufgenommen, um die

Qualität der Einkopplung des Seedlaserstrahls in die aktive Zone der Laserdiode beurteilen

zu können.

3.1.4 Einfluss des Seedlaserstrahls auf das Emissionsspektrum der La-

serdiode

Für alle betrachteten Seedleistungen wurde zunächst mithilfe des Fabry-Pérot-Interferome-

ters festgestellt, dass sich im Vergleich zum ungeseedeten Laserdiodenstrahl unterscheid-

bare periodisch auftretende, peak-artige Signale im Spektrum ergeben. In den folgenden

Abbildungen sind die Fabry-Pérot-Aufnahmen für die 5W -Diode bei der Temperatur T =

306 K dargestellt. Die Messungen bei der Temperatur T = 308 K sind im Anhang A.2 zu

finden. Es wurden sieben Seedleistungen untersucht im Bereich von 0 mW bis 26, 7 mW .

Bei frei laufender Laserdiode sieht man das natürliche Modenspektrum. Es ist erkennbar,

dass einige bestimmte Frequenzen über dem natürlichen Modenspektrum bis zu 1, 6 mV

nachgewiesen werden. Erst ab einer Seedstrahlleistung von etwa 7, 4 mW entwickeln sich

Laserstrahl-Frequenzen mit höherer Leistung, die größer als das Nullniveau (kein Seed)

sind. Diese haben eine relativ feste Position auf der Zeit-Achse und kehren wegen des freien

Spektralbereichs des Fabry-Pérot-Interferometers wieder. Je höher die Seedstrahlleistung

wird, desto stärker werden die Amplituden der Signale. Das natürliche Frequenzspektrum

der eigenständig emittierenden Laserdiode bleibt jedoch erhalten, d. h., dass das natür-

liche Frequenzspektrum der Laserdiode nicht ausgelöscht oder signifikant abgeschwächt

wird. Es herrscht somit Multi-Moden-Betrieb. Was auch auffällt, sind die zwar regelmäßig

auftretenden, aber nicht zeitlich gleich bleibenden Positionen der Peaks, wie in Abbildung

3.6 erkennbar. Man erkennt dies auch daran, dass sich das natürliche Spektrum unter dem

Nullniveau mit der Zeit ändert. Dies könnte auf mechanische Störungen infolge von Vibra-

tionen auf dem Objekttisch zurückgeführt werden, welche bei der 2W -Diode noch nicht

56

vorhanden waren.7 Die Seedstrahlleistungen wurden nur maximal bis 26, 7 mW variiert,

da bei der 2W -Diode bei höheren Leistungen Beschädigungen auftraten.

Abbildung 3.5: Fabry-Pérot-Spektren der 5W -Diode mit T = 306 K bei Seedstrahlleistungenvon 0 mW , 1, 6 mW , 7, 4 mW und 12, 3 mW . Die schwarze horizontale Linie bei etwa 2, 25 mVzeigt die maximale Höhe des Spektrums der freilaufenden Laserdiode.

7Die Vibrationen sind relativ spät in Messreihen aufgetreten, die Quelle konnte nicht ganz ausgemachtwerden.

57

Abbildung 3.6: Fabry-Pérot-Spektren der 5W -Diode mit T = 306 K bei Seedstrahlleistungenvon 17, 1 mW , 22, 7 mW und 26, 7 mW . Die schwarze horizontale Linie bei etwa 2, 25 mV zeigtdie maximale Höhe des Spektrums der freilaufenden Laserdiode.

Die Messungen der 2W-Diode bezüglich der Seedstrahlleistung und dem Frequenzspek-

trum sind in den Abbildungen A.1, A.2 und A.3 (Anhang A.2) dargestellt. Bei dieser Diode

wurden elf Seedleistungen zwischen 0 mW und 55, 4 mW untersucht. Das Verhalten des

Frequenzspektrum auf die Erhöhung der Seedleistung der 2W -Diode ist dabei ähnlich zur

5W -Diode. Im Unterschied sind jedoch keine regelmäßigen Moden feststellbar, die über

dem freilaufenden Frequenzspektrum von etwa 1, 35 mV liegen. Dies weist auf ein gleich-

mäßigeres Verstärkungsprofil innerhalb der aktiven Zone des Chips im Vergleich zur 5W -

Diode hin. (vgl. Theorie 2.1.3.9)

Ein weiterer Hinweis sind die Signalamplituden des Frequenzspektrums. Die sichtbaren

Peaks haben ähnlich hohe Amplituden, die bei dem 5W -Chip stärker voneinander abwei-

chen. Bei einer Seedleistung von 39, 5 mW ist das deutlichste Signal zu erkennen, sowohl

von der Amplitude als auch von der Periodizität. Die Sättigung durch den Seedstrahl wird

bei etwa 40 mW erreicht. Eine genauere Angabe ist nicht möglich, da Temperaturschwan-

kungen beispielsweise den Anstieg bei 50, 5 mW und den Einbruch bei 55, 4 mW zur Folge

hatten. Dies liegt vermutlich an einer schlechten Einstellung des PI-Treibers im Tempera-

turregler. Diese Ungenauigkeit wurde im Laufe der Messungen sehr oft festgestellt, da die

58

Anzeige nur eine Genauigkeit von 1 K (daher wurden 2 K -Schritte unternommen) hat-

te. Die als konstant angenommene Temperatur schwankte nach einer längeren Zeit, was

sich nicht korrigieren ließ. Dies äußerte sich dadurch, dass ein plötzlich verstärktes Bild

bezüglich der Signalamplitude wahrgenommen wurde. Diese Volatilität infolge von Tem-

peraturschwankungen hat die Wiederholung der Messungen zur Folge gehabt.

Die folgende Eichung der Zeitachse der Fabry-Pérot-Aufnahmen wurde daher mithilfe der

Daten aus (Alwardt, 2007) durchgeführt, da in dieser das hier verwendete Interferometer

entwickelt und charakterisiert wurde. Diese qualitative Abschätzung kann genutzt werden,

um grobe Aussagen über die Seedfähigkeit und das Temperaturverhalten zu treffen. Es wird

von einem freien Spektralbereich von 992 MHz ausgegangen. Mit dieser Angabe wurden

sich wiederholende Signale in denselben Abständen auf den Aufnahmen gesucht. Auf der

Grundlage der Gleichung 2.45 und der Tatsache, dass die Zeit-Achse auf den Aufnahmen

proportional zum Abstand der Spiegel im Interferometer L ist, kann der frequenzseitige

Abstand zweier Moden linear ermittelt werden. Da das Interferometer bedingt durch die

mechanische Funktionsweise eine Nichtlinearität im Vor- und Rücklauf hat, sind diese Ab-

stände nicht konstant. Jedoch ist bekannt, dass das Oszilloskop den Nullpunkt als Umkehr-

punkt setzt. Aus diesem Grund wird ein Mittelwert von mehreren Abständen genommen,

um eine Abschätzung des wahren Wertes zu erhalten. Als lineare Abhängigkeit für die Fre-

quenzbreite zweier Zeitpunkte gilt dann:

∆ fP e a k s (τ) =∆ fE i c h ·τ=∆ fa x

∆t·τ (3.1)

Hierbei ist∆ fa x der mittlere freie Spektralbereich,∆t ist der mittlere Abstand zwischen

zwei Zeitwerten und τ ist der jeweilige Wert des zu betrachtenden Zeitbereiches. Für den

Fehler gilt dann nach der Gauß’schen Fehlerfortpflanzung:

σ∆ fE i c h=

√

√

√

∂ (∆ fP e a k s (τ))

∂ (∆ fa x )·σ∆ fa x

2

+

∂ (∆ fP e a k s (τ))

∂ (∆t )·σ∆t

2

(3.2)

σmit jeweiligem Index bezeichnet die Standardabweichungen (Fehler). Für die 2W -Diode

wurde folgende lineare Regression zur Eichung der Zeit-Achse im Frequenzbereich durch-

geführt (siehe Tabelle 3.1). Diese ergibt für den Frequenzabstand eines Zeitabstandes im

Farby-Pérot-Bild bei T = 306 K und einer Seedleistung von 26, 7 mW :

∆ fP e a k s (τ) = τ · (531, 19±26, 85)M H z

m s(3.3)

Für die 5W -Diode wurde folgende lineare Regression zur Eichung der Zeit-Achse im Fre-

quenzbereich durchgeführt. (siehe Tabelle 3.2) Diese ergibt für den Frequenzabstand eines

59

Zeitabstandes im Farby-Pérot-Bild bei T = 306 K und einer Seedleistung von 26, 7 mW :

∆ fP e a k s (τ) = τ · (543, 19±22, 61)M H z

m s(3.4)

Aus den Lorentz-Fits der Peaks in der Abbildung 3.7 und 3.8 können die Halbwertsbreiten

zur Beurteilung der Linienbreite herangezogen werden. In der Tabelle sind die Halbwerts-

breiten der Peaks beider Aufnahmen aufgeführt. Die durchschnittlichen Linienbreiten mit-

tels Fit-Bestimmung der jeweiligen Dioden bei den betrachteten Parametern ergeben sich

zu:

2W -Diode : ∆ f2W 306K = [14, 55 ±1, 09] M H z (±7, 47%)

5W -Diode : ∆ f5W 306K = [6, 54 ±0, 58] M H z (±8, 84%)(3.5)

Da sich die Geometrie des optischen Resonators aufgrund der instabilen Temperaturre-

gelung ändert, gibt es eine Änderung der Signalbreite. Da das Verstärkungsprofil aus Ab-

bildung 2.16 gemäß der Theorie durch die Temperaturänderung eine Verschiebung hin zu

größeren oder kleineren Moden haben kann, ist die Breite der Peaks nicht konstant.

Außerdem sind die hier ermittelten Linienbreiten im Vergleich zu der Linienbreite des Seed-

laserstrahls relativ groß, da die Kühllaser eine Linienbreite von ≈ 500 kHz besitzen und

damit bei beiden Laserdioden um mehr als eine Größenordnung übertroffen werden. Es

liegt nah, anzunehmen, dass mehrere sehr dicht beieinander liegende Moden zugleich ver-

stärkt werden und die Auflösung des Fabry-Pérot-Interferometers (≈ 5 MHz maximale Li-

nienbreite) nicht ausreicht, um sie getrennt darstellen zu können. Diese Annahme wird da-

durch untermauert, dass das natürliche Frequenzspektrum bei jeder Seedleistung unver-

mindert in seiner Amplitude weiterhin erkennbar ist. Es ist davon auszugehen, dass diese

Linienbreiten selbst bei Fehlerbetrachtung nicht klein genug sind, um die Anforderungen

des ATTA-Experimentes zu erfüllen (Kohler, 2011). Die natürliche Linienbreite des betrach-

teten Überganges des Krypton-Isotops liegt hier bei 5, 56 MHz (van der Straten and Metcalf,

2001), welche von beiden genutzten Laserdioden übertroffen wird. Die 5W -Diode hat hier-

bei eine deutlich geringere Abweichung von dieser Vorgabe und könnte womöglich durch

Stabilisierung der Parameter in den Anforderungsbereich verbessert werden.

60

Tabelle 3.1: Lineare Regression der 2W -Diode zur Ermittlung des Eichfaktors für die Frequenz-abstände der Moden aus der Abbildung 3.7. Mit ∆t ist der Abstand zwischen den absolutenZeitwerten in der ersten Spalte gemeint. FSB ∆ fa x ist der freie Spektralbereich aus (Alwardt,2007).

Zeit t [ms]Abstände∆t

[ms]FSB∆ fa x [MHz]

Eichfaktor∆ fE i c h

[MHz/ms]

1,362,02

3,381,9

5,281,78

7,061,77

8,83

Mittelwert x 1,87 992 531,19Abweichungσx 0,09 10 26,85

Abweichung 4,95 % 1,01 % 5,05 %

Tabelle 3.2: Lineare Regression der 5W -Diode zur Ermittlung des Eichfaktors für die Frequenz-abstände der Moden aus der Fabry-Pérot-Aufnahme 3.8. Mit∆t ist der Abstand zwischen denabsoluten Zeitwerten in der ersten Spalte gemeint. FSB ∆ fa x ist der freie Spektralbereich aus(Alwardt, 2007).




[MHz/ms]

-8,381,71

-6,672,03

-4,641,89

-2,751,84

-0,911,84

0,931,79

2,721,74

4,461,77

6,23

Mittelwert x 1,83 992 543,19Abweichungσx 0,07 10 22,61

Abweichung 4,04 % 1,01 % 4,16 %

61

Abbildung 3.7: Ermittlung der Zeitwerte für die Peaks im Fabry-Pérot-Bild der 2W -Diode beider Seedleistung von 39 mW und der Temperatur T = 306 K . In rot ist den jeweiligen Peakseine Lorentz-Funktion angefittet worden, um die Linienbreite festzustellen.

62

Abbildung 3.8: Ermittlung der Zeitwerte für die Peaks im Fabry-Pérot-Bild der 5W -Diode beider Seedleistung von 26, 7 mW und der Temperatur T = 306 K . In rot ist den jeweiligen Peakseine Lorentz-Funktion angefittet worden, um die Linienbreite festzustellen.

63

Tabelle 3.3: Ermittlung der mittleren Linienbreite aus den Abbildungen 3.7 und 3.8. Die zeitli-chen Breiten T und deren Standardabweichung σT sind den Lorentz-Fits der Peaks entnom-men. Der Fehler der Linienbreite wurde mithilfe der Gaußschen Fehlerfortpflanzung berech-net.

2W-DiodeZeitliche BreiteT [ms]

Standardabwei-chungσT

[ms]

Linienbreite∆ fP e a k s (T )[MHz]

Eichfaktor 0,0209 0,0014 11,10531,19 MHz/ms 0,0371 0,0019 19,71Abw. Eichfaktor 0,0382 0,0018 20,2926,85 MHz/ms 0,0213 0,0015 11,31

0,0195 0,0009 10,36

Mittelwert x 0,0274 0,0015 14,55Abweichungσx 1,09Abweichung 5,51 % 7,47 %

5W-Diode

Eichfaktor 0,0161 0,00084 8,55543,19 MHz/ms 0,014 0,000717 7,44Abw. Eichfaktor 0,00995 0,00117 5,2922,61 MHz/ms 0,0122 0,00108 6,48

0,0111 0,000935 5,900,0122 0,00109 6,480,00955 0,00087 5,070,0103 0,000772 5,470,013 0,000977 6,91

Mittelwert x 0,0120 0,0009 6,54Abweichungσx 0,58Abweichung 7,80 % 8,84 %

64

Seedstrahlleistung und Ausgangsleistung Es wurde der Zusammenhang zwischen der

Seedstrahlleistung und der Ausgangsleitung der Laserdiode untersucht. Durch das See-

ding wurden zwei 2W -Dioden in ihrer maximalen Ausgangsleistung reduziert. Dies wurde

vermutlich von einer Beschädigung der Austrittsfacette durch Oxidation des Aluminium-

Anteils des Laserdiodenmaterials (AlGaAs) verursacht und der damit einhergehenden Re-

duktion des Reflektionskoeffizienten an dieser Endfläche der aktiven Zone (Ku and Chang-

Hasnain, 2003). Infolgedessen wurde der optische Resonator verändert und die Verstär-

kung (siehe Theorie 2.1.3.9) verschlechterte sich mit der Zeit. Dies konnte bei dem zweiten

Exemplar verstärkt nachgewiesen werden.

Zu Beginn der Messungen hatte die freilaufende 2W -Diode eine maximale Ausgangsleis-

tung ohne Seed von 1, 66 W , was bei der ersten 2W -Diode auf etwa 200 mW reduziert

wurde. Diese war etwa 2 Wochen im Betrieb, als dies festgestellt wurde. Die verwendeten

Seedstrahlleistungen lagen bei über 100 mW . Bei der nächsten Diode derselben Art wur-

de die Seedleistung auf maximal 60 mW reduziert, was jedoch nach mehreren Messreihen

ebenfalls zu einer Reduktion der maximalen Ausgangsleistung auf 1, 2 W zur Folge hatte.

Es waren zum Feststellungszeitpunkt wenige Tage vergangen. Aus diesem Grund wurde die

Seedstrahlleistung bei der 5W -Diode auf ein Maß reduziert, welches eine Peak-Struktur auf

dem Fabry-Pérot-Interferometer erkennen ließ, aber deutlich unter den 60 mW lag.

In den Abbildungen 3.9 und 3.10 werden die Verläufe der 2W -Diode bzw. der 5W -Diode

diesbezüglich den Temperaturen T = 306 K und T = 308 K gezeigt. Diese Temperaturen

wurden ausgewählt, weil ein Händler (Internet2, 2010) für diese Dioden einen Wellenlän-

genkoeffizienten von 0, 28 nm/K angibt. Bei zusätzlichen etwa 10 K wäre die angepeilte

Zentrumswellenlänge von 811 nm erreicht. Die Referenztemperatur für beide 808 nm Di-

oden liegt hier bei T ≈ 298 K . Im Folgenden wird auf die Abhängigkeit der Leistung des

überlagerten Strahls von der Seedstrahlleistung eingegangen.

Der Seedlaser hat keinen messbaren Einfluss auf die Laserleistung vor dem FP-Interferome-

ter, dies gilt für beide Diodentypen. Die Schwankungen der 2W -Diode befinden sich im

Bereich der Schwankungsbreite, welche für jeden Datenpunkt nach oben oder unten an-

gesetzt werden kann. Diese Schwankungsbreite wurde ohne Seedstrahl an der Position zu

Vergleichszwecken gemessen.

Nach dem optischen Isolator sind Änderungen der Leistung der Größenordnung±20 mW

bei einer Gesamtleistung von 780 mW zu beobachten. Dies liegt wahrscheinlich an der

Temperaturregelung der Diode. Nach Abbildung 3.11 liegt die Zu- bzw. Abnahme der Leis-

tung nach dem optischen Isolator bei etwa 10 mW /K bis 20 mW /K (≈ 1% bis 2% der

Leistung am Ort der Messung) bei gesteuerter Temperaturregelung. Im Graphen ist jedoch

erkennbar, dass die Leistung nach dem OP bei beiden eingestellten Temperaturen trotz

der beobachteten Temperaturschwankung von 1 K ansteigt, was beim Vergleich mit der

5W -Diode in Abbildung 3.10 nicht erwartet wurde, dort blieb sie nämlich relativ konstant.

Es ist davon auszugehen, dass durch den Seedlaserstrahl eine Erwärmung des 2W -Chips

verursacht wird. Dieser ist nach seinen Abmessungen zudem kleiner, was eine erhöhte Er-

65

wärmung des Chips begründen würde. Nach (Qiao et al., 2010) gilt für GaAs-Dioden ein

Wärmewiderstand von etwa 7 K /W . Wenn man von einer auf den (gesamten) Diodenchip

eintreffenden Leistung von etwa 55 mW ausgeht, so erhält man einen Anstieg der Tempe-

ratur von etwa 0, 385 K . Nimmt man also die Ungenauigkeit des Temperaturreglers als 1 K

zusätzlich zu der durch den Seedlaser bewirkten Erwärmung um rund 0, 4 K , so erreicht

man die hier zu sehende Erhöhung der gemessenen Ausgangsleistung nach dem OP um

etwa 20 mW .

Abbildung 3.9: Seedstrahlleistung-Leistungs-Kurve der 2W -Diode bei T = 308 K (schwarzeDatenpunkte) und 306 K (rote Punkte). Es gibt zwei Skalen, wobei die linke Skala vor demFabry-Pérot-Interferometer gemessen wurde und die rechte Skala nach dem optischen Iso-lator. Die linke Skala gilt für die Messkurven unten (schwarze Linie) und die rechte Skala fürdie Messkurven oben (grüne Linien). Die Messungen wurden alle bei einem Strom von 2, 24 Adurchgeführt. Die Schwankungsbreite an der Position vor dem FP-Interferometer beträgt etwa1, 5 mW und ist zur Veranschaulichung eingezeichnet. Es gibt bei zwei bestimmten Seedleis-tungen (≈ 30 mW und 45 mW in schwarzen Kästen) relativ starke Einbrüche bezüglich dergemessenen Ausgangsleistung vor dem FP-Interferometer der 306 K Messung. Die Einbrüchebetragen etwa 10% der Gesamtleistung von 13 mW , jedoch wird dies nicht nach dem optischenIsolator festgestellt. Da es die erwartete Korrelation nicht gibt, wird bei diesen Einbrüchen vonFehlmessungen aufgrund von Luftschwankungen ausgegangen.

66

Im Vergleich zur 2W -Diode unterscheiden sich die Verläufe bei der 5W -Diode. Die Auf-

nahmen vor dem Fabry-Pérot-Interferometer haben ohne Seedstrahl einen höheren Wert,

als mit. Die Werte bei T = 308 K liegen alle im Bereich der Schwankungsbreite, wohinge-

gen bei T = 306 K der erste Seedlaser aufgenommene FP-Messwerte mit der Seedleistung

1, 5 mW nicht innerhalb der Schwankungsbreite liegt. Ein Grund könnten die Vibrationen

in der Nähe des FP-Interferometers sein, welche erst bei der Vermessung der 5W -Diode

auftraten.8

Abbildung 3.10: Seedstrahlleistung-Leistungs-Kurve der 5W -Diode bei T = 308 K (schwarzeDatenpunkte) und T = 306 K (rote Punkte). Es gibt zwei Skalen, wobei die linke Skala für dieWerte, die vor dem Fabry-Pérot-Interferometer gemessen wurden und die rechte Skala für dieWerte nach dem optischen Isolator, gilt. Die linke Skala gilt für die Messkurven unten (schwarzeLinie) und die rechte Skala für die Messkurven oben (grüne Linien). Die Messungen wurden allebei einem Strom von 2, 8 A durchgeführt.

8Die Vibrationen rührten vom Lüfter der Temperatursteuerung her, was sich erst nach den Messreihenherausstellte.

67

Temperatur und Ausgangsleistungen Die Temperatur und Ausgangsleistungen wurden

ebenfalls in Beziehung zueinander gesetzt. Dabei wurde auf die Daten der 2W -Diode ver-

zichtet, da sich herausstellte, dass durch das Seeden die maximale Leistung der Diode ab-

genommen hat (siehe vorigen Abschnitt). Es ist in Abbildung 3.11 zu beobachten, dass

die Leistung der freilaufenden 5W -Diode mit steigender Temperatur (Anfangstemperatur

298 K ) abnimmt. Dabei sind leichte Schwankungen im Bereich von 315 K bis 324 K fest-

stellbar, die auf die Temperaturregelung zurückzuführen sind. Die Laserdiode hat bei der

Anfangstemperatur von T = 298 K ihr Maximum mit einer Leistung von 1990 mW . Das

Minimum des betrachteten Temperaturbereiches ist bei der Temperatur T = 324 K mit

einer Leistung von 1610 mW erreicht.

Abbildung 3.11: Temperatur-Leistungs-Kurve der 5W-Diode mit drei unterschiedlichen Ska-lierungen und entsprechenden Messpositionen im Aufbau (siehe Abbildung 3.3). Der blaueVerlauf wurde ohne Seed gemessen und stellt die Leistung der freilaufenden Diode dar. AlleMessungen wurden bei einem Strom von 2, 8 A durchgeführt.

Die Ausgangsleistungen mit Seedleistung unterscheiden sich im Wesentlichen nicht von

der freilaufenden Diode. Die Messung an der Position vor dem Fabry-Pérot-Interferometer

bewegt sich im Leistungsbereich von 19 mW bis 23 mW . Der Sprung der Ausgangsleistung

vor dem FP-Interferometer bei der Temperatur T = 324 K resultiert wahrscheinlich wie im

Abschnitt zuvor von Luftdichteschwankungen und der Temperaturregelung. Die kleineren

Schwankungen werden vermutlich durch die Temperaturregelung verursacht. Der Verlauf

an der Position nach dem Passieren des optischen Isolators ist verhältnismäßig genauso

wie an den anderen beiden Positionen. Die Leistung nimmt kontinuierlich mit der Tem-

peratur ab. Die Schwankungen an der FP-Position machen sich hier kaum bemerkbar, da

68

diese wie zuvor erwähnt, durch äußere Störeinflüsse zustande kommen und keinen mess-

baren Einfluss durch den Seedlaser erkennen lassen.

Diodenstrom und Ausgangsleistung Da bei beiden 2W -Dioden bereits Beschädigun-

gen auftgetreten waren, konnte nicht sichergestellt werden, dass die Dioden eine korrekte

Funktionsfähigkeit bezüglich der Stromabhängigkeit aufweisen würden. Daher sind Mes-

sergebnisse bezüglich der 2W -Diode bei der Analyse und Diskussion mit Vorbehalten zu

betrachten.

Es wurde auf die Leistungsmessungen vor dem Fabry-Pérot-Interferometer verzichtet, da

diese zu große Schwankungen aufweisen und daher keine eindeutigen Aussagen zulassen

würden.

In den Abbildungen 3.13 und 3.12 ist der Verlauf der gemessenen Leistung der 2W -Diode

an den Positionen nach dem optischen Isolator bei vier Temperaturen und direkt nach der

Laserdiode (freilaufend) bei fünf Temperaturen gezeigt.

Die Leistung der freilaufenden Laserdiode nimmt zunächst zu (alle Temperaturen), bis der

Schwellstrom (Laserschwelle) bei etwa 0, 3 A erreicht ist. Danach ist ein starker Anstieg mit

linearem Wachstum erkennbar bis zum Bereich 1, 6 A bis 1, 75 A. In der Abbildung 3.12 ist

eine Vergrößerung des Bereiches zu sehen. Es ist erkennbar, dass bis auf die Temperatur

von T = 304 K ein Einbruch der Leistung bei steigendem Strom festzustellen ist. Anschlie-

ßend erhöht sich die Leistung bei steigendem Strom wieder. Es liegt hier nahe anzuneh-

men, dass ein Modensprung vorlag. Durch Änderung des Stromes wird zum einen eine

Temperaturerhöhung erzeugt, welche durch den Temperaturregler kompensiert werden

sollte. Auf der anderen Seite werden die Ladungsträgerdichten erhöht (p-Schicht der Di-

ode) und erniedrigt (n-Schicht), wodurch sich das elektrische Feld ändert und damit auch

der Reflexionsgrad der Grenzflächen des optischen Resonators. Dies führt wiederum zu ei-

nem Sprung innerhalb der Modenstruktur aus Abbildung 2.16 zu einer niedrigeren Mode

ausgehend von der stärksten, zentral gelegenen. Ein Einfluss durch Temperaturschwan-

kungen ist an dieser Stelle bei T = 308 K erkennbar, da nach dem Ergebnis von Abbildung

3.11 die Leistung relativ zu den anderen Temperaturen zu hoch ist. Mit steigender Tempe-

ratur und sonst gleichen Parametern müsste die Leistung geringer sein. Solche Schwan-

kungen sind bei anderen Strömen ebenfalls sichtbar.

Die Abbildung 3.13 zeigt die geseedete Laserdiode nach dem optischen Isolator. Die Tem-

peraturschwankungen sind deutlicher erkennbar, als bei der freilaufenden Laserdiode in

Abbildung 3.12. Der Verlauf bei T = 304 K weicht deutlich ab. Hier kann nicht zweifelsfrei

geklärt werden, ob lediglich die Temperaturregelung für den nicht erwarteten Verlauf ver-

antwortlich ist. Es wäre eine Kurve erwartet worden, welche zwischen den Temperaturen

T = 303 K und T = 306 K liegt.

Die Verläufe sind sonst prinzipiell genauso wie bei der freilaufenden Laserdiode, d. h., dass

ein sehr geringer linearer Anstieg bis zum selben Schwellstrom stattfand und anschließend

ein wesentlich stärkerer linearer Verlauf folgte. Die Leistungswerte sind aufgrund des ab-

69

schwächenden Effektes des optischen Isolators (OI) und der nicht optimalen Einstellung

der Spiegel zur Strahldurchführung durch den OI geringer.

Außerdem sieht man hier den Einbruch wie in Abbildung 3.12 nicht. Dies kann als Indiz

für die Seedfähigkeit gesehen werden. Die Seedmode des Seedlasers stabilisiert das Ver-

stärkungsprofil der Laserdiode, so dass keine Modensprünge mehr stattfinden können.

Die Abbildungen 3.14 und 3.15 zeigen denselben Sachverhalt für die 5W -Diode. Die auffäl-

ligen Schwankungen wie bei der 2W -Diode konnten nicht beobachtet werden. Es gab auch

keine beobachtbaren Modensprünge. Die Verläufe selbst sind bei jeder Temperatur in bei-

den Positionen gleich. Zunächst beginnt der schwache, lineare Anstieg, bis zur Schwelle

und es folgt der wesentlich stärkere auch lineare Verlauf danach. Die Temperaturabhän-

gigkeit ist auch wie erwartet.

Abbildung 3.12: Ausgangsleistung der freilaufenden Laserdiode in Abhängigkeit der Dioden-stromstärke der 2W -Diode bei den Temperaturen T = 298 K, T = 303 K, T = 304 K, T = 306 Kund T = 308 K ohne Seedstrahlleistung

70

Abbildung 3.13: Ausgangsleistung an der Position nach dem optischen Isolator in Abhängigkeitder Diodenstromstärke der 2W -Diode bei den Temperaturen T = 303 K, T = 304 K, T = 306 Kund T = 308 K bei einer Seedstrahlleistung von etwa 60 mW

71

Abbildung 3.14: Ausgangsleistung der freilaufenden Laserdiode in Abhängigkeit der Dioden-stromstärke der 2W -Diode bei den Temperaturen T = 298 K, T = 303 K, T = 304 K, T = 306 Kund T = 308 K ohne Seedstrahlleistung

72

Abbildung 3.15: Ausgangsleistung an der Position nach dem optischen Isolator in Abhängigkeitder Diodenstromstärke der 5W -Diode bei den Temperaturen T = 303 K, T = 304 K, T = 306 Kund T = 308 K bei einer Seedstrahlleistung von etwa 30 mW

Zusammenfassend kann gesagt werden, dass das Laserverhalten der geseedeten Laser-

diode bedingt für einen Einsatz innerhalb des Hamburger ATTA-Experimentes spricht. Es

konnte festgestellt werden, dass eine gezielte Anregung des Frequenzspektrums der Laser-

diode durch den Kühlllaser des ATTA-Aufbaus stattfindet, jedoch gibt es Probleme bezüg-

lich der Linienbreite und der Stabilität der Ausgangsleistung des Laserstrahls. Dafür sind

unter anderem Einflüsse wie Temperaturschwankungen durch den Temperaturregler ver-

antwortlich. Eine Stabilisierung insbesondere dieser Einflussgröße ist wichtig.

Bezüglich der Ausgangsleistung verhält sich am ehesten die 5W -Diode insofern wie ge-

wünscht, dass eine Leistung von mindestens 2 W nutzbar wären. Die 2W -Diode stellte

sich als nicht belastbar genug heraus, allerdings wurden dieselben Seedleistungen nicht

gleichermaßen lange zum Seeden der 5W -Diode genutzt. Es bleibt hier festzustellen, ob

die Dioden auch bei geringerer Seedleistung und besser kontrollierten Einflüssen über län-

gere Zeitdauern (> 2 Tage) dauerhaften Betriebes stabile Leistungswerte bieten. Ein weite-

rer Faktor, der hier bisher nicht behandelt wurde, ist der Grad der Überlagerung zwischen

Seedstrahl und Laserdiodenstrahl. Es wurde mithilfe einer Teleskop-Anordnung versucht,

den Seedstrahldurchmesser zu vergrößern, um nach der Theorie des Injection Seeding

aus Abschnitt 2.1.3.9 eine möglichst gute Strahlanpassung zwisch dem Laserdiodenstrahl

und dem Seedstrahl zu erhalten. Da hierzu nur die Nachweiskarte als Orientierungsgröße

73

diente, liegt eine weitere Ungenauigkeit vor. Dieser Punkt sollte in zukünftigen Experimen-

ten dieser Art berücksichtigt werden.

3.1.5 Versuchsaufbau zum Chopper-Experiment

Der Aufbau zur Vermessung des geseedeten Laserstrahls ist in der Abbildung 3.16 schema-

tisch dargestellt. Der Strahlengang des Seedlasers über den Seiteneingang des optischen

Isolators wurde der Übersichtlichkeit halber in der Abbildung weggelassen (siehe Abschnitt

3.1.2), doch ist er auch hier weiterhin vorhanden.

Der geseedete Laserstrahl (LD) wird durch die Kollimationslinse im Unendlichen fokus-

siert. Anschließend folgt eine Fokussierung des gesamten Strahls durch eine Linse der Brenn-

weite f = 100 mm . Danach wird durch eine asphärische Zylinderlinse (siehe Abschnitt

2.1.3.8) die Parallelkomponente des Strahls fokussiert, da dieser durch die Laserdioden-

bauform bedingt wesentlich breiter ist, wodurch der Astigmatismus korrigiert wird (siehe

zum Vergleich (Lehmkuhl, 2014)).

Dann folgt ein Spiegel, woraufhin das Verzögerungsplättchen (λ/2) und wieder ein Spiegel

folgen. Der Strahl gelangt durch den optischen Isolator und wird über zwei weitere Spie-

gel, welche zur Justierung des Strahls auf die Photodiode dienen, gelenkt. Nach dem letz-

ten Spiegel kommt die eigentliche Chopper-Strecke, die durch zwei Linsen der Brennweite

f = 175 mm und f = 100 mm begrenzt wird. Die Abstände sind alle der Abbildung zu

entnehmen. Sie sind in den folgenden Rückrechnungen der beiden Strahlkomponenten

auf die markierten Bereiche des Aufbaus A, B, C, D und E verwendet worden. Für die senk-

rechte Komponente des Strahls hat die asphärische Zylinderlinse keine Bedeutung, d. h.,

dass die betrachteten Bereiche bis zum Buchstaben D eingeteilt wurden und damit die Be-

reiche C und D zu C zusammengefasst wurden und E zu D wurde.

74

Abbildung 3.16: Schematische Darstellung des Chopper-Aufbaus. LD ist die (geseedete) Laser-diode. P D ist die Photodiode. In grün sind die einzelnen Bereiche A bis E für die Rückrechnungdes Gauß-Strahls bis zur Laserdiode definiert. Das Chopper-Rad wird zwischen den letzten bei-den Linsen (blau) an verschiedenen Stellen positioniert. Die Linse nach der Laserdiode im Be-reich A ist eine Kollimationslinse (dunkelrot).

3.1.6 Durchführung des Chopper-Experiments

Gemäß der Theorie aus Abschnitt 2.1.3.10 (Choppern) wurde der überlagerte Strahl im

Streckenabschnitt E aus der Abbildung 3.16 vermessen.

Dazu wurde der Chopper, angetrieben von einem Steuergerät (Typ: SCT-300CD) in meh-

reren Abständen relativ zur f = 175 mm Linse aufgestellt und das Zeit-Spannungs-Signal

des Oszilloskops mithilfe einer Photodiode (Widerstand Rp ho t o = 4, 7 kΩ) gemessen. Die

Fokussierung des Strahls auf die Photodiode wurde mithilfe der Spiegel optimiert. Das Ex-

periment wurde für zwei verschiedene Schnittebenenrichtungen (parallel und senkrecht,

Abbildung 2.22) des Choppers durchgeführt, um beide Komponenten des Strahls zu ver-

messen. Hieraus kann mittels der Gleichung der 2.90 der Strahlradius bestimmt werden.

Es wurde darauf geachtet, dass der Abstand des Strahls zur Chopper-Radantriebsachse

möglichst konstant blieb. Die Frequenz, mit der sich das Chopper-Rad drehte, wurde auf

fc = (17, 10±0, 02) Hz eingestellt.

75

3.1.7 Auswertung und Diskussion des Chopper-Experiments

Die Auswertung bestand aus mehreren Teilen. Zunächst wurden die Oszilloskop-Messun-

gen gemäß der Theorie mit einer Fehlerfunktion der Form9

y (t ) = 1− (A ·2pπ

∫ ∞

0

e ((t−B )/C )+D ) d t )

gefittet, um anschließend mithilfe von Mathematica 8 die zeitliche Differenz des Inten-

sitätsabfalls von 80 % auf 20 % des Maximalwertes zu erhalten. Die Herleitung hierzu ist

im Abschnitt 2.1.3.10 (Chopper-Teil) erarbeitet worden. Anschließend wurden die zeitli-

chen Differenzen in die Gleichung 2.90 eingesetzt, um den Strahlradius an den jeweiligen

Messpositionen zu bestimmen. Die Tabellen A.3 und A.4 enthalten die aus dem Fit ermit-

telten Zeitdifferenzen und den zugehörigen Strahlradius an der jeweiligen Messposition.

Der Fehler aus dem Fit ist vernachlässigbar klein, da gilt:

l n

d y

d t

= 0

⇒ t =

(1

2l n(π)− l n(A)− l n(2))1/2−D

C +B(3.6)

Mit Gaußscher Fehlerfortpflanzung gilt für die Abweichung von t :

σt =

√

√

√

d t

d AσA

2

+

d t

d BσB

2

+

d t

d CσC

2

+

d t

d DσD

2

=

√

√

√

C

2A(12 l n(π)− l n(A)− l n(2))1/2

σA

2

+σ2B

+

1

2l n(π)− l n(A)− l n(2))1/2−D

σC

2

+(C σD )2

≈ 10−8 s

(3.7)

Die Abweichung σt von etwa 10−8 s folgt aus der Betrachtung der Größenordnungen

aus dem Fit. Die ausgewerteten Zeitdifferenzen liegen laut Tabellen A.3 und A.4 minimal

im 10−5 s Bereich, woraus sich ein relativer Fehler von etwa 0, 1% ergibt. Der Fehler der

Frequenz des Chopper-Rades liegt mit 0,0217,10 ≈ 10−3 ebenfalls im selben Bereich. Daher wird

der Fehler des Strahlradiusσωc ho p p e rfür beide Komponenten vernachlässigt.

Aus den Strahlradius- und Abstandswerten relativ zur f = 175 mm Linse wurden anschlie-

ßend mithilfe der Strahlradius-Gleichung 2.80 die Parameter M ,ω0 und z0 bestimmt. Dazu

wurde wieder gefittet, was in den Abbildungen 3.17 und 3.18 zu sehen ist.

9Die Fehlerfunktion hat die Form: e r f (x0) =2pπ

∫ x0

0 e −x 2d x .

76

Abbildung 3.17: Messwerte der Strahlradien an den jeweiligen Positionen der p-Komponentedes Strahls und zugehöriger Fit (rot) nach Gleichung 2.80. Die Messwerte sind in der Tabelle A.3im Anhang gelistet. Die Position z ist relativ zur 175 mm Linse gemessen worden.

Abbildung 3.18: Messwerte der Strahlradien an den jeweiligen Positionen der s-Komponentedes Strahls und zugehöriger Fit (rot) nach Gleichung 2.80. Die Messwerte sind in der Tabelle A.4im Anhang. Die Position z ist relativ zur 175 mm Linse gemessen worden.

77

In beiden Abbildungen ist die Taillenposition bei etwa 250 mm Abstand zu erkennen.

Nach der Tabelle 3.4 beträgt der Astigmatismus etwa ∆z0 = 5, 27 mm , was nach der Me-

thodik von (Lehmkuhl, 2014) mithilfe der Zylinderlinse korrigiert werden kann, hier aber

nicht weiter behandelt werden soll. In der Abbildung 3.19 ist der rückgerechnete Strahl-

verlauf beider Komponenten dargestellt. Es wurde beginnend mit der letzten Position im

Bereich E mit den Daten aus dem Fit auf die Positionen bis zur Laserdiode zurückgerech-

net. Hierfür wurden die Gleichungen 2.80 und 2.85 benutzt. Die Fehlerrechnung setzte als

ersten Fehler im Bereich E diejenigen des Fits an. Es wurde der Levenberg-Marquardt Ite-

rationsalgorithmus innerhalb der Tabellenkalkulation OriginPro 9.1 benutzt. Die Fehler ab

dem Bereich D bis A resultieren aus der Gaußschen Fehlerfortpflanzung der vorigen Werte

mithilfe der Gleichung 2.85 und sind im Anhang A.5 als Mathematica-Code zu sehen.

Bezüglich der Fernfelddivergenz lässt sich aus der Tabelle 3.4 nach Gleichung 2.80 mit der

Wellenlänge λ= 811 nm folgern:

Θp = (5, 40 ± 0, 30) m r a d für die parallele Komponente

Θs = (0, 73 ± 0, 01) m r a d für die senkrechte Komponente(3.8)

Die hier ermittelte Fernfelddivergenz der parallelen Komponente hat einen relativen Fehler

von etwa 6% und der Fehler der senkrechten Komponente liegt bei etwa 1, 4%. Die Größen-

ordnungen der Fehler sind angesichts der Komplexität des Messaufbaus und der Messme-

thodik annehmbar. Im Aufbau wurde zudem nicht darauf geachtet, inwiefern der optische

Isolator den Strahlengang beeinflusst. Des Weiteren wurde bei der Kollimationslinse und

bei der Zylinderlinse jeweils eine dünne Linse betrachtet.

Abschließend kann für diesen Teil des Laserexperiments gesagt werden, dass die Strahl-

parameter durchaus für eine Verwendung als Kühllaser im Rahmen des Hamburger ATTA-

Experimentes geeignet sind.

Tabelle 3.4: Taillenposition z0 relativ zur f = 175 mm Linse im Bereich E aus Abbildung 3.16und Taillenstrahlradiusω0. M 2 ist die zugehörige Beugungsmaßzahl.

Komponente z0 [m] σz0[m] ω0 [m] σω0

[m] M 2 Ber

parallel 0,24887 0,28017· 10−2 0,25941· 10−3 0,106· 10−4 5,4404 Esenkrecht 0,2436 0,280171· 10−2 0,10039· 10−3 0,62944· 10−6 0,28238 E

78

Tabelle 3.5: Taillenposition z0 relativ zur f = 200 mm Zylinderlinse im Bereich D und relativ zurf = 100 mm Linse im Bereich C für die parallele Komponente und für die senkrechte Kompo-nente relativ zur f = 100 mm Linse im Bereich C+D aus Abbildung 3.16 und Taillenstrahlradiusω0.


[m] Bereich

parallel 0,20818 0,16272· 10−1 0,51561· 10−3 0,172708· 10−4 Dparallel 0,44118· 10−1 0,18118· 10−1 0,54426· 10−3 0,27879· 10−4 C

senkrecht 0,57683 0,35014· 10−2 0,11384· 10−3 0,17421· 10−5 C+D

Tabelle 3.6: Taillenposition z0 realtiv zur Laserdiode im Bereich B aus Abbildung 3.16 und Tail-lenstrahlradiusω0.


[m] Bereich

parallel 0,62615· 10−1 0,34491· 10−2 0,21306· 10−3 0,10959· 10−4 Bsenkrecht 0,10311 0,14098· 10−2 0,2237· 10−4 0,39981· 10−6 B

Tabelle 3.7: Taillenposition z0 realtiv zur f = 15, 29 mm Kollimationslinse im Bereich A ausAbbildung 3.16 und Taillenstrahlradiusω0.


[m] Bereich

parallel 0,51587· 10−2 0,25195· 10−3 0,38624· 10−4 0,20361· 10−5 Asenkrecht 0,31436· 10−1 0,21451· 10−3 0,28839· 10−5 0,66511· 10−7 A

79

Abbildung 3.19: Schematische Darstellung der Taillenpositionen und Taillenstrahlradien nachden Tabellen 3.4, 3.5, 3.6, 3.7 beider Strahlkomponenten. In roter Schrift sind die Bereiche ausder Aufbaukizze (Abbildung 3.16) bezeichnet. Es ist erkennbar, dass die senkrechte Komponen-te durch die Zylinderlinse nicht beeinflusst wird.

80

3.1.8 Charakterisierung des Tiefpassverhaltens des TA-Controllers

In diesem Teil der Auswertung soll der für die Stabilisierung der Ausgangsleistung des ta-

pered amplifiers (TA) zuständige Controller hinsichtlich seines Tiefpassverhaltens unter-

sucht werden. Die Auswertung richtet sich hierbei nach der Theorie in Abschnitt 2.2. Im

ATTA-Aufbau regelt der TA-Controller den Strom des TA (tapered amplifier), um den Kühl-

laserstrahl auf einem stabilen Leistungswert zu halten. Bei der Detektion der Fluoreszenz

von Krypton-Isotopen wurde eine regelmäßige Schwankung detektiert, was zum Verdacht

führte, der TA-Controller könnte Leistungsschwankungen infolge von Oszillationen des

TA-Controllers verursachen.

3.1.9 Aufbau der Regelung

Der Aufbau des zu untersuchenden Regelkreises besteht aus mehreren Komponenten, die

in Abbildung 3.20 zu sehen sind. Die Terminologie aus der Abbildung 2.24 in der Theorie

zu diesem Abschnitt lässt sich wie folgt anwenden: Der TA-Controller erhält die Regelgrö-

ße (Ist-Wert) in Form eines Strom- bzw. Spannungssignals der Photodiode, auf die ein pro-

portionaler Teil der emittierten TA-Leistung ausgekoppelt wird. Zusammen mit der durch

den eingestellten Strom gegebenen Führungsgröße (Soll-Wert) wird die Regelabweichung

gebildet und durch den Regler (TAC) verstärkt. Die daraus erhaltene Stellgröße stellt den

neuen Stromwert des TA dar. Die Störgröße kann auch eine beliebe Störung des Systems

sein, verursacht durch bspw. mechanische Schwingungen oder durch sich ändernde op-

tische Randbedingungen. Die Streckenverstärkung beinhaltet alle Komponenten des Auf-

baus vom TA bis zur Photodiode. Dies inkludiert den vollständigen optischen Weg auf dem

Tisch, die Faser und Teile des Strahlaufteilungssystems (Cluster). Als solches ist das System

abgeschlossen und es erfolgt die Stabilisierung des Stromsignals auf den Sollwert.

81

Abbildung 3.20: Schema des zu regulierenden Laseraufbaus auf dem Objekttisch des ATTA-Experimentes. Zwischen der in ihrer Leistung zu verstärkenden Laserdiode (LD) und dem ta-pered amplifier (TA) befinden sich mehrere optische Bauteile, welche für die Leistungsstabi-lisierung keine Rolle spielen. Der tapered amplifier controller (TAC) stabilisiert die Ausgangs-leistung des TAs, gemessen am Ende der Streckenverstärkung (PD). Die Laserstrahlen sind inrot dargestellt. Nach dem TA wird der Laserstrahl über eine Single-Mode-Faser (F) in den Clus-ter (C) eingekoppelt, der den Strahl in mehrere Strahlen aufteilt und diese über weitere Fasern(nicht dargestellt) in die magneto-optische Falle (MOT) führt. In den Cluster ist eine Photodi-ode eingebaut, mit welcher die Stabilisierung der TA-Ausgangsleistung erreicht wird. In blausind elektrische Ströme dargestellt.

Die Untersuchung des Tiefpassverhaltens des TA-Controllers erfordert, dass der geschlos-

sene Regelkreis aus Abbildung 3.20 unterbrochen wird und mit einem einstellbaren Stör-

signal überlagert wird (siehe Abbildung 3.21). Dies wird durch einen Sinussignalgenerator

mit regelbarer Frequenz erreicht. Die Messung erfolgt durch ein Oszilloskop, welches zwi-

schen die Photodiode (Ausgangssignal) und den Sinussignalgenerator (Eingangssignal) an-

geschlossen wird.

3.1.10 Durchführung der Messung

Um den TA-Controller in seinem Tiefpassverhalten zu charakterisieren, wurden zwei Mess-

reihen durchgeführt. Zum einen wurde das Bode-Diagramm des vollständigen Regelkrei-

ses (von TAC bis PD) erstellt, d. h. es wurden beide markierten Bereiche als ein elektroni-

sches Bauteil betrachtet. Zum anderen wurde nur der Laserdiodenregler rechts in der Ab-

bildung B.2 im Anhang vermessen. Der Laserdiodenregler wird im Folgenden auch Black-

box genannt, da nicht bekannt ist, welche Bauteile seine Bestandteile ausmachen.

Generell wurde bei beiden Messungen der Gleichstromanteil der Stromversorgung auf 1, 6 A

eingestellt. Der Sinussignalgenerator wurde so angeschlossen, dass der Subtrahierer (Ope-

rationsverstärker) die Stromquelle mit diesem überlagert. Bei den Messreihen wurde die

82

Abbildung 3.21: Schema des geöffneten zu regulierenden Laseraufbaus auf dem Objekttischdes ATTA-Experimentes zur Analyse des Tiefpassverhaltens des TA-Controllers. Zwischen derin ihrer Leistung zu verstärkenden Laserdiode (LD) und dem tapered amplifier (TA) befindensich mehrere optische Bauteile, welche für die Leistungsstabilisierung keine Rolle spielen. Dertapered amplifier controller (TAC) stabilisiert die Ausgangsleistung für des TA, gemessen am En-de der Streckenverstärkung (PD). Die Laserstrahlen sind in rot dargestellt. Nach dem TA wirdder Laserstrahl über eine Single-Mode-Faser (F) in den Cluster (C) eingekoppelt, der den Strahlin mehrere Strahlen aufteilt und diese über weitere Fasern (nicht dargestellt) in die magneto-optische Falle (MOT) führt. In den Cluster ist eine Photodiode eingebaut, mit welcher das Aus-gangssignal des Aufbaus auf dem Oszilloskop (OSZ) angezeigt wird. Im geöffneten Regelkreiswird ein Sinussignalgenerator (SG) als Störsignalgeber eingesetzt.

Frequenz des Sinussignalgenerators von 0 Hz bis etwa 300 kHz aufgenommen und bei je-

der Frequenzeinstellung das Signal mithilfe des Oszilloskops aufgenommen.

3.1.11 Auswertung der Messungen und Diskussion

Das Prinzip, nach dem die Auswertung erfolgt, orientiert sich an der Theorie im Abschnitt

2.2. Das Schema kann durch die Abbildung 3.22 nachvollzogen werden. Die Eingangsspan-

nung Ue erfährt auf dem Weg durch die Bauteile die Gesamtschleifenverstärkung Ag und

wird als Ausgangsspannung Ua gemessen. Die Verstärkung durch die Strecke (TA, Faser,

Cluster, Photodiode) und die Verstärkung durch den Regler des TA-Controllers bilden da-

bei die Schleifenverstärkung aus der Theorie. Gemessen wird also immer die Schleifenver-

stärkung. Durchläuft also eine Eingangsspannung ein Bauteil oder ein Netzwerk mit Tief-

passverhalten, so kann die gesamte Schleifenverstärkung wie in Abbildung 3.22 in mehrere

Bauteile mit Tiefpassverhalten aufgeteilt werden, die nacheinander geschaltet sind, so dass

gilt:

Ag = A1 ·A2 ≡ AP I ·AB B =Ua

Ue(3.9)

83

Hierbei sind AP I und AB B die Schleifenverstärkungen des PI-Reglers bzw. der Blackbox

(Laserdiodenregler).

Abbildung 3.22: Schematische Darstellung des Signalganges der durch die Einflüsse der ver-schiedenen Bauteile, welche in Abbildung 3.20 dargestellt sind, beeinflusst wird.

Zunächst wurden die einzeln aufgenommenen Signale mithilfe einer Sinusfunktion der

Form:

y (x ) = A · s i n (π(x − xc )/w )

(x ist die Frequenz) gefittet, um daraus die Amplitude A und durch Koeffizientenvergleich

von 2πx t −φ = π(x − xc )/w die Phasenbeziehung (Phasenabstand) φ zu erhalten. Es

wurden jeweils für das Eingangs- und das Ausgangssignal die Fits vorgenommenen, so dass

anschließend die Amplituden und die Phasenunterschiede in Abhängigkeit der Frequenz

des Eingangssignals zueinander ins Verhältnis gesetzt werden konnten. Das Ergebnis der

Messungen der Blackbox ist das Bode-Diagramm (siehe Abbildung 3.23). Im oberen Gra-

phen ist das Amplitudenverhältnis in d B angegeben. Die Frequenz [H z ] ist logarithmisch

aufgetragen. Im unteren Graphen ist die Phasenbeziehung in zu sehen. Hier wurde das

Verhalten der Blackbox im Frequenzbereich von 100 Hz bis 300 kHz bestimmt. Es ist ein

Tiefpassverhalten erkennbar. Die Tabelle 3.8 beinhaltet die in der Abbildung 3.23 markier-

ten Abstände. Es gibt keine signifikante Verstärkung bis etwa 2 kHz. Danach findet eine

Verstärkung von −3, 22 ·10−2 d B /k H z im Bereich von 2 kHz bis 20 kHz statt. Im Bereich

von 20 kHz bis 50 kHz beträgt die Verstärkung −1, 4 ·10−1 d B /k H z . Im nächsten Bereich

von 50 kHz bis 97 kHz wird das Signal um −5, 73 ·10−2 d B /k H z verstärkt. Im darauffol-

genden Bereich von 97 kHz bis 155 kHz beträgt die Verstärkung −6, 89 ·10−2 d B /k H z und

im Bereich von 155 kHz bis 196 kHz verstärkt die Blackbox um−1, 1 ·10−1 d B /H z . Weitere

Frequenzen in Richtung 300 kHz wurden nicht mehr berücksichtigt, da das Ausgangssignal

zu schwach wurde und das Fitten mithilfe einer Sinusfunktion nicht mehr akzeptabel ge-

lang.

Die Blackbox hat bei der kritischen Frequenz von f180 ≈ 129 kHz, bei welcher die Phase um

180 verschoben ist, eine Schleifenverstärkung von g ≈ 0, 44. Nach der Theorie in 2.2.1 gilt

für die Amplitudenbedingung: g = 1 oder in d B g = 0 dB. Die Phasenreserve bei g = 0

dB beträgt nach Gleichung 2.94 αb l a c k b o x ≈ 176, 86. Nach der Bedingung in der Theo-

rie dürften jedoch keine ungedämpften Schwingungen entstehen. Für die Beurteilung der

84

Stabilität des Gesamtsystems wird im Anschluss an das Gesamtsignal diskutiert.

Abbildung 3.23: Das ist das Bode-Diagramm der Blackbox (Laserdiodenregler). Die Frequen-zen fi (Index i für die Messpunkte) unterteilen den Amplitudenverhältnisverlauf in Abschnitte,in denen die negative Verstärkung (linear approximiert) sich ändert. In rot ist die kritische Fre-quenz f180 = 129 kHz markiert, bei der die Phasenbedingung erfüllt ist. ∆g ist der Abstandzur Schleifenverstärkung g = 0 dB bei der kritischen Frequenz f180. Die Phasenreserve beträgtαb l a c k b o x ≈ 176, 86. Bei fg 0d B ≈ 1 kHz befindet sich die Frequenz, bei der g = 0 dB gilt. Die Ein-heit d B folgt aus der Beziehung Qe f f = 20 · l g (F1/F2), wobei die Fi die gemessenen effektivenFeldgrößen Ui nach dem DIN 5493:2013-10 Standard sind.

85

Tabelle 3.8: Abstände der markierten Frequenzbereiche aus Abbildung 3.23 mit zugehörigerSteigung. ∆ f ist der Frequenzabstand zwischen den fi und ∆A der Amplitudenverhältnisab-stand.

∆ f [Hz] ∆A [dB] Steigung der Verstärkung [dB/kHz]

18011 -0,58 -3,22·10−2

30085 -4,23 -1,40·10−1

47143 -2,70 -5,73·10−2

57426 -3,96 -6,89·10−2

41264 -4,54 -1,10·10−1

Abbildung 3.24: Das ist das Bode-Diagramm des Gesamtsignals des TA-Controllers. In rot istdie kritische Frequenz f180 ≈ 119 kHz markiert, bei der die Phasenbedingung erfüllt ist. ∆gist der Abstand zur Schleifenverstärkung g = 0 dB. Die Phasenreserve beträgt αg e s a m t . Beifg 0d B ≈ 62, 35 k H z befindet sich die Frequenz, bei der g = 0 dB gilt. Die Einheit d B folgt ausder Beziehung Qe f f = 20 · l g (F1/F2), wobei die Fi die gemessenen effektiven Feldgrößen Ui

nach dem DIN 5493:2013-10 Standard sind.

86

Das Bode-Diagramm des vollständigen TA-Controllers ist in der Abbildung 3.24 darge-

stellt. Der charakteristische Frequenzbereich beginnt bei 100 Hz und endet bei 300 kHz.

Man erkennt, dass die Verstärkung zunächst positiv ist und bei der Frequenz fg 0d B ≈ 62 kHz

in den negativen Bereich übergeht. Die Phasenreserve zur kritischen Frequenz f180 ≈ 119

kHz beträgt etwa α= 26, 99. Die Schleifenverstärkung bei der kritischen Frequenz beträgt

g ≈ 0, 19. Das Gesamtsignal weist eine stabile Verstärkung auf, d. h. es kommen keine un-

gedämpften Schwingungen vor. Die Phasenreserve ist jedoch nicht optimal eingestellt, da

ein Wert von α= 60 erfahrungsgemäß das beste Einschwingverhalten bietet.

Vergleicht man die beiden Amplitudenverhältnisse miteinander, so lässt sich in Abbildung

3.25 erkennen, dass die Blackbox eine deutlich schwächere Verstärkung bewirkt, als der

restliche Aufbau aus Strecke und PI-Regler. Während die Schleifenverstärkung zwischen

10 kHz und 300 kHz bei der Blackbox um rund 25 dB abfällt, sind dies bei dem Gesamtsi-

gnal etwa 55 dB. Das ist ein relativer Unterschied von etwa 0, 0562/0, 00178 ≈ 31, 59. Das

Gesamtsignal wird also etwa 32 mal stärker abgeschwächt. Rechnet man in diesem Fre-

quenzbereich auf den PI-Regler zurück, so erhält man in diesem Bereich eine Verstärkung

um etwa −29, 98 dB.

Abbildung 3.25: Amplitudenverhältnisse der Blackbox (schwarz) und des gesamten TA-Controllers (rot). Die gepunkteten Striche unterteilen die Frequenzbereiche wie in Abbildung3.23.

87

Betrachtet man den PI-Regler, so lässt sich das für diese Bauteile typische Tiefpassverhal-

ten erkennen. Die Steigung ist nach 10 kHz deutlich steiler als bei der Blackbox. Theoretisch

müsste der PI-Regler auf demselben Verstärkungsniveau von etwa 15 dB bis 10 kHz ver-

stärkt und anschließend auf unter 0 dB Verstärkung abfallen. Die theoretische Rückrech-

nung durch Bildung des Quotienten wird in der Abbildung 3.26 gezeigt. Auf das Phasenbild

wurde verzichtet, da selbst das Amplitudenverhältnis eine zu ungenaue Beschreibung des

PI-Reglers liefert. Man muss beachten, dass der TA-Controller in Abbildung B.2 mehrere

Operationsverstärker enthält, die bei der Betrachtung der Blackbox und der beiden P- bzw.

I-Operationsverstärker außer Acht gelassen werden und zur Streckenverstärkung gezählt

werden müssen. Es ist davon auszugehen, dass diese Bauteile auch ein Tiefpassverhalten

aufweisen und damit die Amplitudenverhältnisse und die Phasenbeziehung beeinflussen.

Insgesamt lässt sich folgern, dass der TA-Controller stabil läuft und die Blackbox relativ we-

nig zur Gesamtverstärkung beiträgt. Die Leistungsschwankungen der Kühllaser des ATTA-

Experimentes zur Bestimmung der Krypton-Isotop Konzentration rühren daher nicht vom

Schwingungsverhalten innerhalb des TA-Controllers her.

Abbildung 3.26: Auf Basis der Amplitudenverhältnisse der Abbildungen 3.23 und 3.24 zurück-gerechnetes Amplitudenverhältnis des PI-Reglers.

88

Kapitel 4

Zusammenfassung und Ausblick

Ziel dieser Bachelorarbeit war es, eine alternative und kostengünstige Laserverstärkung der

Kühllaserstrahlen der 2D- und 3D-MOT des Hamburger ATTA-Experimentes am Carl Fried-

rich von Weizsäcker-Zentrums für Naturwissenschaft und Friedensforschung zu etablie-

ren. Die neue Laserverstärkung sollte einfach in den bisherigen Aufbau integrierbar sein

und die Verstärkung durch so genannte tapered amplifier (TA) ersetzen.

Im ersten Teil dieser Arbeit wurde zunächst die Frequenzstabilisierung zweier Laserdioden-

typen mithilfe der Technik des Injection Seeding untersucht. Es konnte gezeigt werden,

dass prinzipiell eine Frequenzstabilisierung mithilfe dieser Methode möglich ist. Die er-

mittelten Linienbreiten entsprachen allesamt nicht den Vorgaben des ATTA-Aufbaus, da

sie über der theoretischen Vorgabe von 5 MHz lagen. Da die Genauigkeit des verwende-

ten Fabry-Pérot-Interferometers in genau diesem MHz-Bereich liegt und Störeinflüsse das

Signal breiter erscheinen lassen, führen die ermittelten Werte zu relativ groben Aussagen

über die Verwendbarkeit im Rahmen des Hamburger ATTA-Experimentes. Eine Optimie-

rung wäre möglich, indem die Einkopplung des Seedlaserstrahls in die Laserdiode geome-

trisch hinsichtlich der Strahlausdehnung verbessert würde, um eine gleichmäßigere (Seed)

Ausleuchtung der aktiven Zone der Laserdiode zu erhalten. Darüberhinaus wäre eine Un-

tersuchung mittels Spektumanalysator angebracht, um genauere Informationen über die

Breite der angeregten Frequenz zu erhalten. Eine wesentliche Beeinflussung des Frequenz-

spektrums wurde insbesondere bezüglich der Temperatur- und Stromabhängigkeit festge-

stellt. Um diese Ungenauigkeitsquelle zu beseitigen, könnten präzisere elektronische Schal-

tungen auf Basis von PI-Reglern zur Steuerung der Temperatur eingesetzt werden. Außer-

dem wurden im ersten Teil dieser Arbeit die Strahlparameter der stärkeren Laserdiode mit-

tels eines Aufbaus mit rotierender Scheibe (Chopper) untersucht. Es konnten gemäß der

Theorie zu Gauß-Strahlen zwei unterschiedliche, senkrecht zueinander stehende trans-

versale Komponenten festgestellt werden, anhand welcher ein Astigmatismus beobachtet

werden konnte. Dies lässt sich jedoch mit zylindrischen Linsen korrigieren. Eine Eignung

zur Verwendung im ATTA-Aufbau könnte gegeben sein.

Im zweiten Teil dieser Arbeit wurde ein TA-Controller (TAC) zur Stabilisierung der Laser-

89

leistung eines TAs charakterisiert. Mithilfe von Bode-Diagrammen konnten die Amplitu-

denverhältnisse und Phasenbeziehungen der Komponenten der Platine des TAC veran-

schaulicht und rekonstruiert werden. Der Verdacht auf eine Beeinflussung der Einfangeffi-

zienz der Krypton-Atome in der MOT aufgrund von möglicherweise unzureichenden Ei-

genschaften des TACs konnte nicht festgestellt werden. Es konnten keine ungedämpften

Schwingungen in der Stabilisierung der Leistung festgestellt werden.

Als wesentliche Problematik der Methodik des Injection Seeding ist die Tatsache zu sehen,

dass eine bestimmte Laserleistung eines zu verstärkenden Seedlaserstrahls in die Laserdi-

ode eingekoppelt werden muss. Da sich die Leistungsdichte in der aktiven Zone der gesee-

deten Laserdiode über das durch den Hersteller vorgegebene Maß erhöht wurde, können

Beschädigungen auftreten, wie sie an zwei Exemplaren der schwächeren 2W -Dioden fest-

gestellt wurden. Eine genauere Untersuchung dieser Beobachtung sollte unbedingt erfol-

gen, da handelsübliche Laserdioden nicht für das Injection Seeding konzipiert werden. Es

ist nicht geklärt, ob die aktive Zone der Laserdiode beschädigt wurde, oder ob eine mög-

liche Oxidation des enthaltenen Aluminiums an der transmittierenden Endfläche der La-

serdiode (GaAsAl-Laserdiode) eine Reduktion der Reflektivität zur Folge hatte.

Ein Aufbau mit externer Gitterstabilisierung der Frequenz könnte ins Auge gefasst werden,

um erstens einen Vergleich zwischen den beiden Methoden zu erhalten und zweitens eine

Langzeitbelastung durch reflektierte Laserleistung zu untersuchen.

90

Anhang A

Injection Seeding

A.1 Seedstrahlleistung und Frequenzspektrum

Tabelle A.1: Seedstrahlleistung und Leistungsmesswerte für 2W -Diode bei T = 306 K undILD = 2, 24 A

Seedstrahlleistung [mW] Leistung FP [mW] Leistung OI [mW]

58,4 13,3 77052,5 13,5 77648,3 13,2 76544,0 13,2 76938,6 13,2 75633,0 13,1 75328,0 13,1 75123,0 13,0 74918,1 12,9 74412,8 13,2 742

0 13,2 747

91

A.2 Frequenzspektrum

A.2.1 2W -Diode

Abbildung A.1: Fabry-Pérot-Spektren der 2W -Diode mit T=306 K bei Seedstrahlleistungen von0 mW , 8, 3 mW und 13, 2 mW . Die schwarze horizontale Linie bei etwa 1, 6 mV zeigt die ma-ximale Höhe des Spektrums der freilaufenden Laserdiode.

92

Abbildung A.2: Fabry-Pérot-Spektren der 2W -Diode mit T=306 K bei Seedstrahlleistungen von18, 6 mW , 24, 7 mW , 29, 2 mW 34, 2 mW . Die schwarze horizontale Linie bei etwa 1, 6 mV zeigtdie maximale Höhe des Spektrums der freilaufenden Laserdiode.

93

Abbildung A.3: Fabry-Pérot-Spektren der 2W -Diode mit T=306 K bei Seedstrahlleistungen von39, 5 mW , 44, 8 mW , 50, 5 mW und 55, 4 mW . Die schwarze horizontale Linie bei etwa 1, 6 mVzeigt die maximale Höhe des Spektrums der freilaufenden Laserdiode.

94

Abbildung A.4: Fabry-Pérot-Spektren der 2W -Diode mit T=308 K bei Seedstrahlleistungen von18, 1 mW , 12, 8 mW , 23 mW und 28 mW . Die schwarze horizontale Linie bei etwa 1, 6 mVzeigt die maximale Höhe des Spektrums der freilaufenden Laserdiode.

95

Abbildung A.5: Fabry-Pérot-Spektren der 2W -Diode mit T=308 K bei Seedstrahlleistungen von33 mW , 38, 6 mW , 44 mW und 48, 3 mW . Die schwarze horizontale Linie bei etwa 1, 6 mVzeigt die maximale Höhe des Spektrums der freilaufenden Laserdiode.

96

Abbildung A.6: Fabry-Pérot-Spektren der 2W -Diode mit T=308 K bei Seedstrahlleistungen von52, 5 mW und 58, 4 mW . Die schwarze horizontale Linie bei etwa 1, 6 mV zeigt die maximaleHöhe des Spektrums der freilaufenden Laserdiode.

97

A.2.2 5W -Diode

Abbildung A.7: Fabry-Pérot-Spektren der 5W -Diode mit T=308 K bei Seedstrahlleistungen von0 mW , 1, 5 mW , 8, 6 mW und 12 mW . Die schwarze horizontale Linie bei etwa 2, 4 mV zeigtdie maximale Höhe des Spektrums der freilaufenden Laserdiode.

98

Abbildung A.8: Fabry-Pérot-Spektren der 5W -Diode mit T=308 K bei Seedstrahlleistungen von18 mW , 22, 6 mW und 28, 6 mW . Die schwarze horizontale Linie bei etwa 2, 4 mV zeigt diemaximale Höhe des Spektrums der freilaufenden Laserdiode.

99

A.3 Tabellenwerte

Tabelle A.2: Lineare Regression zur Ermittlung des Eichfaktors für die Frequenzabstände derModen aus der Fabry-Pérot-Aufnahme A.8 bei der Seedstrahlleistung von 28, 6 mW . Mit∆t istder Abstand zwischen den absoluten Zeitwerten in der ersten Spalte gemeint. FSB∆ fa x ist derfreie Spektralbereich aus (Alwardt, 2007).




[MHz/ms]

-8,28 1,71-6,57 7,88-4,69 1,89-2,80 1,85-0,95 1,840,89

Mittelwert x 1,83 992 540,89Abweichungσx 0,05 10 15,61Abweichung [%] 2,70 1,01 2,89

100

A.4 Choppern

A.4.1 p-Komponente

Tabelle A.3: Zeitdifferenzen∆t , Abstand zur f = 175 mm Linse z und Strahlradiusωp ,c ho p p e r

nach Gleichung 2.90 für die p-Komponente des Abfalls der transmittierten Leistung durch denChopper von 80% auf 20%.

p-Komponente RA = 34 mm fc = 17, 1 Hz

z [mm] ∆t [ms]ωp ,c ho p p e r

[mm]

20 0,29954 1,2995440 0,27180 1,1792260 0,24071 1,0443480 0,21143 0,91728100 0,18974 0,82317120 0,16220 0,70372140 0,15011 0,65124160 0,12275 0,53256180 0,11264 0,48868200 0,08002 0,34715220 0,07968 0,34569230 0,07172 0,31118235 0,06812 0,29553240 0,05403 0,23442245 0,06159 0,26720250 0,06060 0,26292255 0,05244 0,22752260 0,07037 0,30531265 0,07226 0,31350270 0,06574 0,28522275 0,05452 0,23655280 0,05873 0,25481290 0,07364 0,31949310 0,09079 0,39388335 0,14058 0,60991

101

A.4.2 s-Komponente

Tabelle A.4: Zeitdifferenzen∆t , Abstand zur f = 175 mm Linse z und Strahlradiusωs ,c ho p p e r

nach Gleichung 2.90 für die s-Komponente des Abfalls der transmittierten Leistung durch denChopper von 80% auf 20%.

p-Komponente RA = 34 mm fc = 17, 1 Hz

z [mm] ∆t [ms]ωs ,c ho p p e r

[mm]

120 0,04354 0,13333140 0,04198 0,12855160 0,03849 0,11787180 0,03723 0,11402200 0,03454 0,10579220 0,03317 0,10158230 0,03289 0,10072235 0,03302 0,10113240 0,03245 0,09939245 0,03249 0,09951250 0,03214 0,09841255 0,03235 0,09907260 0,03266 0,10003265 0,03331 0,10202270 0,03294 0,10089275 0,03389 0,10377280 0,03410 0,10443290 0,03613 0,11066310 0,03572 0,10938330 0,03872 0,11857

102

A.5 Rechnungen

103

In[432]:= ClearAll@"Global`*"D;

In[305]:= w1 s := 0.10039 * 10^H-3Ls1 s := 243.573 * 10^H-3Lw1 p := 0.25941 2 * 10^H-3Ls1 p := 248.8651 * 10^H-3LMs := 0.53139 H*war leider zuvor auch noch falsch berechnet worden,

da Einheitenpräfixe falsch waren*LMp := 2.33248

Λ := 811 * 10^H-9Lf1 s := 175 * 10^H-3Lf1 := 175 * 10^H-3Lf2 := 200 * 10^H-3Lf2 s := 100 * 10^H-3Lf3 := 100 * 10^H-3Lf3 s := 15.29 * 10^H-3Lf4 := 15.29 * 10^H-3L

In[319]:=

H*Formel für die Berechnungen der Waist

und des Waistabstandes zur betrachteten Linse -

aufgrund der Symmetrie des Strahles und des Ganges durch die

optische Linse wird einfach ohne Invertierung gearbeitet*Lz0 = w^2 * Pi HM^2 * ΛLw@w_, s_, f_, M_D = w * f * HHs - fL^2 + z0 ^2L^H-1 2Ls@w_, s_, f_, M_D = f + Hf^2 * Hs - fL HHs - fL^2 + z0 ^2LLwi@w_, s_, f_, M_D = w@w, s, f, MD

H*2. Waist und entsprechender Abstand*L

In[323]:= w2 s := w@w1 s, s1 s, f1 s, MsDIn[324]:=

w2 s

Out[324]= 0.000113838

In[325]:= s2 s := s@w1 s, s1 s, f1 s, MsDIn[326]:= s2 s

Out[326]= 0.263175

In[327]:= H*3. Waist und entsprechender Abstand*LH*1. Korrektur des Abstandes zwischen den Linsen und der Waist*Ldeltalinsen1 := 840 * 10^H-3Ls2 sneu = Abs@deltalinsen1 - s2 sD

Out[328]= 0.576825

In[329]:= w3 s := w@w2 s, s2 sneu, f2 s, MsD

,

Abbildung A.9: Mathematica-Rückrechnung zur Transformation der senkrechten Komponentedes Gauß-Strahles

104

In[183]:= w3 s

Out[183]= 0.0000223699

In[330]:= s3 s := s@w2 s, s2 sneu, f2 s, MsDIn[185]:= s3 s

Out[185]= 0.118413

H*4. Waist und entsprechender Abstand*LH*2. Korrektur des Abstandes zwischen den Linsen und der Waist*L

In[331]:= deltalinsen2 := 15.3 * 10^H-3Ls3 sneu = deltalinsen2 - s3 s

Out[332]= -0.103113

In[333]:= w4 s := w@w3 s, s3 sneu, f3 s, MsDIn[189]:= w4 s

Out[189]= 2.88391 ´ 10-6

In[334]:= s4 s := s@w3 s, -s3 sneu, f3 s, MsD H*negativ übergeben,

aber nicht an [email protected], da der das s quadriert und symmetrisch ist,

was das Koordinatensystem betrifft*LIn[191]:= s4 s

Out[191]= 0.0179358

In[335]:= deltalinsen3 := 13.5 * 10^H-3Ls4 sneu = deltalinsen3 + s4 s

Out[336]= 0.0314358

In[337]:= zR = Pi * w0^2 HM^2 * ΛLzRb = Pi * w0^2 HM2 ^2 * ΛLy@w0_, M_, z0_, x_D = w0 * H1 + Hx - z0L^2 zR ^2L^H1 2Lyb@w0_, M_, z0_, x_D = w0 * H1 + Hx - z0L^2 zRb ^2L^H1 2L

2 rückrechnung der Waist auf die vorigen Bereiche - einfache Rechnung ohne Invertierung.nb

,

Abbildung A.10: Mathematica-Rückrechnung zur Transformation der senkrechten Kompo-nente des Gauß-Strahles

105

In[431]:= Show@Plot@8y@w4 s, Ms, -s4 sneu, x - s4 sneuD, -y@w4 s, Ms, -s4 sneu, x - s4 sneuD<,

8x, 0, 13.5 * 10^H-3L<D,

Plot@8y@w3 s, Ms, s3 sneu, x - 13.5 * 10^H-3LD, -y@w3 s, Ms, s3 sneu, x - 13.5 * 10^H-3LD<,

8x, 13.5 * 10^H-3L, 28.8 * 10^H-3L<D,


8x, 28.8 * 10^H-3L, 868.8 * 10^H-3L<D,

Plot@8y@w1 s, Ms, s1 s, x - 868.8 * 10^H-3LD, -y@w1 s, Ms, s1 s, x - 868.8 * 10^H-3LD<,

8x, 868.8 * 10^H-3L, 1200 * 10^H-3L<D,

H*H*P-Komponente*LPlot@8yb@w5b,M2,0,xD,-yb@w5b,M2,0,xD<,8x,0,12.95<D,

Plot@8yb@w4b,M2,s4b,x+43D,-yb@w4b,M2,s4b,x+43D<,8x,12.95,27.8<D,


Plot@8yb@w2b,M2,s2b,x-190.35D,-yb@w2b,M2,s2b,x-190.35D<,8x,190.35,867.8<D,

Plot@8yb@w1b,M2,s1b,x-830D,-yb@w1b,M2,s1b,x-830D<,8x,867.8,1200<D,*LPlotRange ® AllD

rückrechnung der Waist auf die vorigen Bereiche - einfache Rechnung ohne Invertierung.nb 3

,


106

In[657]:= H*Fehlerrechnung*Lw1 s

w2 s

w3 s

w4 s

uw1s := 6.2944 * 10^H-4L * 10^H-3LH*Standardfehler aus Origin*Luw1s

s1 s

s2 sneu

s3 sneu

s4 sneu

us1s := 2.55752 * 10^H-3LH*Standardfehler aus Origin*Lus1s

uf1s := 0.01 * f1 s * 10^H-3LH*Standardfehler, aus Hersteller-Toleranzen*Luf1s

uf2s := 0.01 * f2 s

uf2s

uf3s := 0.01 * f3 s

uf3s

uM1s := 0.00426

uM1s

Out[657]= 0.00010039

Out[658]= 0.000113838

Out[659]= 0.0000223699

Out[660]= 2.88391 ´ 10-6

Out[662]= 6.2944 ´ 10-7

Out[663]= 0.243573

Out[664]= 0.576825

Out[665]= -0.103113

Out[666]= 0.0314358

Out[668]= 0.00255752

Out[670]= 1.75 ´ 10-6

Out[672]= 0.001

Out[674]= 0.0001529

Out[676]= 0.00426

H*Gaußsche Fehlerfortpflanzung*L


,


107

In[677]:=

uw@w_, s_, f_, M_, uwis_, usis_, ufis_, uMis_D =

HHD@w * f * HHs - fL^2 + z0 ^2L^H-1 2L, wD * uwisL^2 +

HD@w * f * HHs - fL^2 + z0 ^2L^H-1 2L, sD * usisL^2 +

HD@w * f * HHs - fL^2 + z0 ^2L^H-1 2L, fD * ufisL^2 +

HD@w * f * HHs - fL^2 + z0 ^2L^H-1 2L, MD * uMisL^2L^H1 2Lus@w_, s_, f_, M_, uwis_, usis_, ufis_, uMis_D =

HHD@f + Hf^2 * Hs - fL HHs - fL^2 + z0 ^2LL, wD * uwisL^2 +

HD@f + Hf^2 * Hs - fL HHs - fL^2 + z0 ^2LL, sD * usisL^2 +

HD@f + Hf^2 * Hs - fL HHs - fL^2 + z0 ^2LL, fD * ufisL^2 +

HD@f + Hf^2 * Hs - fL HHs - fL^2 + z0 ^2LL, MD * uMisL^2L^H1 2LIn[679]:= uw2s := uw@w1 s, s1 s, f1 s, Ms, uw1s, us1s, uf1s, uM1sD

us2s := us@w1 s, s1 s, f1 s, Ms, uw1s, us1s, uf1s, uM1sDuw2s a

us2s b

Out[681]= 1.74213 ´ 10-6 a

Out[682]= 0.00350137 b

In[691]:= uw3s := uw@w2 s, s2 sneu, f2 s, Ms, uw2s, us2s, uf2s, uM1sDus3s := us@w2 s, s2 sneu, f2 s, Ms, uw2s, us2s, uf2s, uM1sDuw3s a

us3s b

Out[693]= 3.99809 ´ 10-7 a

Out[694]= 0.00140975 b

In[695]:=

uw4s := uw@w3 s, s3 sneu, f3 s, Ms, uw3s, us3s, uf3s, uM1sDus4s := us@w3 s, -s3 sneu, f3 s, Ms, uw3s, us3s, uf3s, uM1sD

uw4s a

us4s b

Out[697]= 6.65114 ´ 10-8 a

Out[698]= 0.000214514 b


,


108

In[432]:= ClearAll@"Global`*"D;

In[305]:= w1 s := 0.10039 * 10^H-3Ls1 s := 243.573 * 10^H-3Lw1 p := 0.25941 2 * 10^H-3Ls1 p := 248.8651 * 10^H-3LMs := 0.53139 H*war leider zuvor auch noch falsch berechnet worden,

da Einheitenpräfixe falsch waren*LMp := 2.33248

Λ := 811 * 10^H-9Lf1 s := 175 * 10^H-3Lf1 := 175 * 10^H-3Lf2 := 200 * 10^H-3Lf2 s := 100 * 10^H-3Lf3 := 100 * 10^H-3Lf3 s := 15.29 * 10^H-3Lf4 := 15.29 * 10^H-3L

In[319]:=

H*Formel für die Berechnungen der Waist

und des Waistabstandes zur betrachteten Linse -

aufgrund der Symmetrie des Strahles und des Ganges durch die

optische Linse wird einfach ohne Invertierung gearbeitet*Lz0 = w^2 * Pi HM^2 * ΛLw@w_, s_, f_, M_D = w * f * HHs - fL^2 + z0 ^2L^H-1 2Ls@w_, s_, f_, M_D = f + Hf^2 * Hs - fL HHs - fL^2 + z0 ^2LLwi@w_, s_, f_, M_D = w@w, s, f, MD

H*2. Waist und entsprechender Abstand*L

In[323]:= w2 s := w@w1 s, s1 s, f1 s, MsDIn[324]:=

w2 s

Out[324]= 0.000113838

In[325]:= s2 s := s@w1 s, s1 s, f1 s, MsDIn[326]:= s2 s

Out[326]= 0.263175

In[327]:= H*3. Waist und entsprechender Abstand*LH*1. Korrektur des Abstandes zwischen den Linsen und der Waist*Ldeltalinsen1 := 840 * 10^H-3Ls2 sneu = Abs@deltalinsen1 - s2 sD

Out[328]= 0.576825

In[329]:= w3 s := w@w2 s, s2 sneu, f2 s, MsD

,

Abbildung A.14: Mathematica-Rückrechnung zur Transformation der parallelen Komponentedes Gauß-Strahles

109

In[183]:= w3 s

Out[183]= 0.0000223699

In[330]:= s3 s := s@w2 s, s2 sneu, f2 s, MsDIn[185]:= s3 s

Out[185]= 0.118413

H*4. Waist und entsprechender Abstand*LH*2. Korrektur des Abstandes zwischen den Linsen und der Waist*L

In[331]:= deltalinsen2 := 15.3 * 10^H-3Ls3 sneu = deltalinsen2 - s3 s

Out[332]= -0.103113

In[333]:= w4 s := w@w3 s, s3 sneu, f3 s, MsDIn[189]:= w4 s

Out[189]= 2.88391 ´ 10-6

In[334]:= s4 s := s@w3 s, -s3 sneu, f3 s, MsD H*negativ übergeben,

aber nicht an [email protected], da der das s quadriert und symmetrisch ist,

was das Koordinatensystem betrifft*LIn[191]:= s4 s

Out[191]= 0.0179358

In[335]:= deltalinsen3 := 13.5 * 10^H-3Ls4 sneu = deltalinsen3 + s4 s

Out[336]= 0.0314358

In[337]:= zR = Pi * w0^2 HM^2 * ΛLzRb = Pi * w0^2 HM2 ^2 * ΛLy@w0_, M_, z0_, x_D = w0 * H1 + Hx - z0L^2 zR ^2L^H1 2Lyb@w0_, M_, z0_, x_D = w0 * H1 + Hx - z0L^2 zRb ^2L^H1 2L


,


110

In[431]:= Show@Plot@8y@w4 s, Ms, -s4 sneu, x - s4 sneuD, -y@w4 s, Ms, -s4 sneu, x - s4 sneuD<,

8x, 0, 13.5 * 10^H-3L<D,


8x, 13.5 * 10^H-3L, 28.8 * 10^H-3L<D,


8x, 28.8 * 10^H-3L, 868.8 * 10^H-3L<D,

Plot@8y@w1 s, Ms, s1 s, x - 868.8 * 10^H-3LD, -y@w1 s, Ms, s1 s, x - 868.8 * 10^H-3LD<,

8x, 868.8 * 10^H-3L, 1200 * 10^H-3L<D,

H*H*P-Komponente*LPlot@8yb@w5b,M2,0,xD,-yb@w5b,M2,0,xD<,8x,0,12.95<D,



Plot@8yb@w2b,M2,s2b,x-190.35D,-yb@w2b,M2,s2b,x-190.35D<,8x,190.35,867.8<D,

Plot@8yb@w1b,M2,s1b,x-830D,-yb@w1b,M2,s1b,x-830D<,8x,867.8,1200<D,*LPlotRange ® AllD


,


111

In[657]:= H*Fehlerrechnung*Lw1 s

w2 s

w3 s

w4 s

uw1s := 6.2944 * 10^H-4L * 10^H-3LH*Standardfehler aus Origin*Luw1s

s1 s

s2 sneu

s3 sneu

s4 sneu

us1s := 2.55752 * 10^H-3LH*Standardfehler aus Origin*Lus1s

uf1s := 0.01 * f1 s * 10^H-3LH*Standardfehler, aus Hersteller-Toleranzen*Luf1s

uf2s := 0.01 * f2 s

uf2s

uf3s := 0.01 * f3 s

uf3s

uM1s := 0.00426

uM1s

Out[657]= 0.00010039

Out[658]= 0.000113838

Out[659]= 0.0000223699

Out[660]= 2.88391 ´ 10-6

Out[662]= 6.2944 ´ 10-7

Out[663]= 0.243573

Out[664]= 0.576825

Out[665]= -0.103113

Out[666]= 0.0314358

Out[668]= 0.00255752

Out[670]= 1.75 ´ 10-6

Out[672]= 0.001

Out[674]= 0.0001529

Out[676]= 0.00426

H*Gaußsche Fehlerfortpflanzung*L


,


112

In[677]:=

uw@w_, s_, f_, M_, uwis_, usis_, ufis_, uMis_D =

HHD@w * f * HHs - fL^2 + z0 ^2L^H-1 2L, wD * uwisL^2 +

HD@w * f * HHs - fL^2 + z0 ^2L^H-1 2L, sD * usisL^2 +

HD@w * f * HHs - fL^2 + z0 ^2L^H-1 2L, fD * ufisL^2 +

HD@w * f * HHs - fL^2 + z0 ^2L^H-1 2L, MD * uMisL^2L^H1 2Lus@w_, s_, f_, M_, uwis_, usis_, ufis_, uMis_D =

HHD@f + Hf^2 * Hs - fL HHs - fL^2 + z0 ^2LL, wD * uwisL^2 +

HD@f + Hf^2 * Hs - fL HHs - fL^2 + z0 ^2LL, sD * usisL^2 +

HD@f + Hf^2 * Hs - fL HHs - fL^2 + z0 ^2LL, fD * ufisL^2 +

HD@f + Hf^2 * Hs - fL HHs - fL^2 + z0 ^2LL, MD * uMisL^2L^H1 2LIn[679]:= uw2s := uw@w1 s, s1 s, f1 s, Ms, uw1s, us1s, uf1s, uM1sD

us2s := us@w1 s, s1 s, f1 s, Ms, uw1s, us1s, uf1s, uM1sDuw2s a

us2s b

Out[681]= 1.74213 ´ 10-6 a

Out[682]= 0.00350137 b

In[691]:= uw3s := uw@w2 s, s2 sneu, f2 s, Ms, uw2s, us2s, uf2s, uM1sDus3s := us@w2 s, s2 sneu, f2 s, Ms, uw2s, us2s, uf2s, uM1sDuw3s a

us3s b

Out[693]= 3.99809 ´ 10-7 a

Out[694]= 0.00140975 b

In[695]:=

uw4s := uw@w3 s, s3 sneu, f3 s, Ms, uw3s, us3s, uf3s, uM1sDus4s := us@w3 s, -s3 sneu, f3 s, Ms, uw3s, us3s, uf3s, uM1sD

uw4s a

us4s b

Out[697]= 6.65114 ´ 10-8 a

Out[698]= 0.000214514 b


,


113

Anhang B

TA-Controller

B.1 Schaltpläne

114

Abbildung B.1: Platinenschema zum Schutz vor Überspannung (z.B. elektrostatische Entla-dung) durch Kurzschließen der Laserdiode, wenn nicht in Betrieb.

115

Abbildung B.2: Schaltplan des TA-Controllers. Die zwei größeren Bereiche mit durchgezogenenLinien beschreiben die zu analysierenden Bereiche auf dem Controller. In den rot gepunktetenMarkierungen sind der PI-Regler und der Lasediodenregler (Blackbox), welche Gegenstand derAnalyse sind. Grün eingerahmt ist der Subtrahierer (Operationsverstärker). Blau eingerahmtist der Anschluss für die Photodiode. Im Fall der Gesamtschleifenverstärkung wurde hier dasAusgangssignal zum Oszilloskop abgegeriffen.

116

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Sieveke, C. (2012). Entwicklung eines Systems zur Dokumentation eines verifizierten

Single-Mode-Betriebs von gitterstabilisierten Diodenlasern für die Atom Trap Trace Ana-

lysis. Diplomarbeit, Universität Hamburg. 3.1.3

Tietze, U. and Schenk, C. (1999). Halbleiter-Schaltungstechnik. Springer. 2.2, 2.24, 2.25,

2.26, 2.2.2, 2.27, 2.28, 2.29, 2.2.4, 2.30

van der Straten, P. and Metcalf, H. (2001). Laser Cooling and Trapping. Springer, 1 edition.

3.1.4

118

Danksagung

Ich möchte mich bei den Mitarbeitern des Zentrums für Naturwissenschaft und Friedens-

forschung dafür bedanken, dass sie mir ermöglicht haben, meine Bachelorarbeit bei ihnen

schreiben und dabei eine Menge lernen zu können. Insbesondere danke ich Herrn Prof. Dr.

Gerald Kirchner, dass er sich der Rolle als Erstgutachter angenommen hat. Es war immer

sehr bereichernd, in seinen Vorträgen Anekdoten über seine persönlichen Erfahrungen zu

hören.

Ein weiterer Dank geht hier an Herrn Dr. Markus Kohler, der sich als Zweitgutachter en-

gagiert hat. Ihm danke ich für die herrlichen Streitgespräche in vielerlei Hinsicht. Dass das

Schwäbische gar nicht so hochdeutsch ist, musste ich am eigenen Leib erfahren. Durch ihn

konnte ich eine neue Betrachtungsweise erfahren.

Die Doktoranden des Hamburger ATTA-Teams haben sich sehr bemüht und mir sehr viel

Hilfsbereitschaft demonstriert. Peter Sahling war immer zur Stelle, wann immer etwas nicht

so funktionierte, wie ich es gern wollte. Seine Kaffeemaschine war unser aller Antrieb und

selbst meine Sabotageversuche konnten diese Maschine nicht weiterbeschädigen.

Carsten Sieveke wusste immer, woran es haperte und seine bloße Anwesenheit vermochte

zur Klärung der mentalen Blockade beizutragen. Beide waren immer eine Stütze bei der

praktischen, wie auch theoretischen Arbeit. Man konnte sich mit ihnen aber auch über die

banalsten Dinge streiten.

Simon Hebel wusste immer die Situation mit einer nüchtern-komischen Anmerkung auf-

zuhellen. Ihm danke ich auch für die Tipps, was den Umgang mit Programmen anging, die

ich zur Erstellung dieser Arbeit nutzte. Seine Vakuumanlage und die Geräusche, die mona-

telang in meinen Ohren ihren festen Platz hatten, werde ich wohl vermissen.

Meine Kommilitonen Friderike Göring und Niko Lehmkuhl waren sehr hilfsbereit und die

Gespräche mit ihnen waren immer eine schöne Abwechslung.

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Bachelorarbeit - ZNF...Universität Hamburg Carl Friedrich von Weizsäcker-Zentrum für...

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