Bemerkungen iiber die abnehmende Ubersferblichkeif in der Lebensversicherung erhShter Risiken

Von Wol/gang Sachs (Dfisseldorf)

I. Die Impairment Study 1951 der amerikanischen Society of Actuaries [1]*) ge- stattet, die in frfiheren Arbeiten des Verfassers und seiner Mitarbeiter [2 u. 3] theore- tisch abgeleiteten Folgerungen fiber den Sterblichkeitsverlauf bei erhShten Risiken anhand praktischer Erfahrungcn zu kontrollieren.

Fiir den grSilten Tefl der in der Study untersuchten einzelnen Sachverhalte sind in ihr n/imlich Sterblichkeitsfibersichten in folgender Form enthalten:

(A 19) Apex murmur, systolic, inconstant, without hypertrophy, found on examination

Standard Total Entrants, 4951 Males, 89% Females, 11%

E X P E R I E N C E BY AGE AT ISSUE AND DURATION

Ages Exposed Actual Deaths Expected Mortality at Issue to Risk Policies Lives Deaths Ratio %

15--29 15005 17 17 17.25 99 30--39 13886 27 22 31.15 87 40--49 5213 35 29 26.71 131 50--64 1720 23 18 20.22 114

15--64 35824 102 85 95.33 107

PoUcy Year Exposed Actual Deaths Expected Mortality Durations to Risk Policies Lives Deaths Ratio %

1-- 2 9230 23 19 12.95 178 3-- 5 10463 31 25 23.44 132 6--10 11881 35 31 37.72 93

11--15 4250 13 11 21.22 61

1--15 35824 102 85 95.33 107

Die in der letzten Spalte genannten Prozentsiitze lassen erkennen, ob die Sterblichkeit in der gerade betrachteten Gruppe einen geringeren oder einen hSheren Gradienten hatte als die der normal Versicherten, wie sic sich aus einer adhoc aufgestellteu Selek- tionasterbetafel ergibt. Es wurde nun ein zweidimensionales Schema entworfen, das nach Intervallen yon 10% eingeteilt ist und in das die verschiedenen Gruppen mit der

*) Die eingeklammerten arabischen Zahlen beziehen sich auf das Literaturverzeichnis am SchluB der Arbeit.

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Zahl der beobachteten Policen (Entrants) eingetragen wurden; um die Berechnung nicht komplizierter als nStig zu gestalten, wurde als Anfangs- und als SehluBsterblieh- keit jewefls das arithmetisehe Mittel der beiden ersten und der beiden letzten Pro- zents/~tze der letzten Spalte der Sterblichkeitsiibersichten verwendet. Dementspre- chend ist die der oben wiedergegebenen Sterblichkeitsfibersicht entsprechende Zahl yon 4951 beobachteten Policen unter einer Anfangssterblichkeit yon bis 160°/0 und einer Schluflsterblichkeit yon bis 80°/0 eingetragen worden. So wurde mit s/imtlichen gleiehartigen Tabellen verfahren, die in der Study abgedruekt sind; ausgesehlossen wurden nur die wenigen Tabellen, die offenbar nichts als eine Zusammenfassung yon bereits aufgegliedert eingetragenen Zahlen darstellen. Nachtr~glich wurde das Schema auf den Bereich yon hSchstens 400o/0 der Anfangs- und der SchluBsterblichkeit begrenzt. Dadurch fiel nur ein ganz geringfiigiger Teil des Gesamtmaterials (2438 Polieen) aus dem Schema heraus, w/ihrend insgesamt 638556 Policen in ihm verblieben. (Die gesamte Study beruht auf 725000 Policen; ihr Material ist also nahezu vollst/~ndig effaBt.) Im iibrigen wird auf das beigeheftete ausgefiillte Schema verwiesen.

Bei der gew/~hlten Anordnung stehen alle beobachteten Gruppen mit konstanter Unter- und ~bersterblichkeit auf der yon links oben nach rechts unten verlaufenden Diagonale. Der oberhalb dieser Diagonale liegende Bereich umfaBt alle Gruppen, in denen die Sterbliehkeit w/~hrend der Versicherungsdauer gfinstiger wurde, der unter- halb liegende Bereich diejenigen, bei denen sich die Sterbliehkeit w/ihrend der Ver- sicherungsdauer noch versehleehterte. Durch einfaches Ausz/~hlen kann man sich nun ein Bild dariiber versehaffen, wie h/~ufig die versehiedenen Sachverhalte auftreten.

Zun~chst muBten die vSllig normalen Risiken ausgeschaltet werden. Betrachtet man als solche diejenigen, bei denen weder die Anfangssterbliehkeit noch die SchluBsterb- lichkeit 110% der Normalsterbliehkeit fiberstiegen, so handelt es sich um insgesamt 239925 Policen. Die iibrigen 398631 betreffen also erhShte Risiken. Dann wurde die ea'w~hnte Diagonale in einen Streifen verbreitet, indem an die yon ihr geschnittenen Quadrate noeh links und reehts -- man kann ebensogut sagen oben und unten -- je ein Quadrat angesetzt wurde. Diese Begrenzungen sind in dem abgedruekten Schema eingetragen. Betrachtet man die in den erw~hnten Diagonalstreifen fallenden Beob- achtungen als solche mit praktisch gleichbleibender Ubersterblichkeit, die fiber ihm verzeichneten als solche mit abnehmender, die unter ihm liegenden als solehe mit steigender Ubersterblichkeit, so ergibt sich folgendes Bild:

Abnehmende Ubersterblichkeit 214007 Policen, gleichbleibende Ubersterblichkeit 92 786 Policen, zunehmende Ubersterblichkeit 91838 Policen.

Bei dieser Art der Abgrenzung fallen unter die abnehmende ~bersterblichkeit 53,7 %, unter die gleichbleibende Ubersterblichkeit 23,3 %, unter die zunehmende Ubersterblichkeit 23,0% des gesamten Materials.

Verbreitert man den Diagonalstreifen, so w/~chst natfirlich der Anteil der gleiehblei- benden ]~bersterblichkeit; iibrig bleibt aber immer, dab die abnehmende Ubersterb- liehkeit etwa doppelt so stark wie die steigende vertreten ist. Man kann ferner den Bereich der erhShten Risiken unterteilen. Es wurden alle Risiken mit Ubersterblichkeitss/itzen yon hSchstens 150% als leichtere, die iibrigen als

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Anfongssferbtichkeif %

sehwerere erhShte Risiken eingestuft. Bei den leichteren erh6hten Risiken fallen dann in den Bereich der abnehmenden Ubersterbliehkeit 82 843 Policen = 39,0 %, unter die gleiehbleibende 70035 =- 33,0%, unter die zunehmende 59325 = 28,0Yo; bei den schwerer erhShten Risiken fallen unter die abnehmende Ubersterbliehkeit 131164 Po- licen = 70,4%, unter die gleichbleibende nur 22 751 = 12,2 °/o , unter die zunehmende nur 32513 = 17,4%. Dies Gesamtbfld steht nirgends in Widersprueh zu den in den oben genannten Arbei- ten theoretisch gewonnenen Ergebnissen. Es best/itigt vielmehr, dal~ die abnehmende Ubersterblichkeit fiberall eine st/~rkere Bedeutung hat als die zunehmende und dab sie im Bereich der erhShten Risiken umso st/~rker dominiert, je hSher die Ubersterb- lichkeit als solche wird.

II. An zwei Stellen gibt die Study dies auch noch detailliert an, n£mlich auf den Seiten 30 und 34:

Mortality Ratios of Actual*) to Expected Deaths from Diseases of the Heart and Circulatory System

(A 7) Substandard

POLICY YEARS

Issue Ages 1--2 3--5 6-- 10

15--29 3800%(19) 3246°/0 (37) 1270% (31) 30--39 744%(16) 568% (28) 294% (31) 40--49 403%(24) 353% (42) 245% (54) 50--64 196% (10) 166% (18) 1 7 1 % (24)

15--64 504%(69)

11--15 1--15

963% (18) 1765% (105) 338% (25) 400% (100) 216% (27) 281% (147) 218% (13) 181% (65)

433% (125) 286% (140) 299% (83) 350% (417)

(A 13) and (A 16) Combined, Substandard

POLICY YEARS

Issue Ages 1--2 3--5 6--10 11--15 1--15

15--29 3600% (9) 3585% (19) 1584%(16) 1039% (8) 2031% (52) 30--39 97I% (10) 804% (18) 529% (23) 145% (4) 530% (55) 40--49 390% (8) 433% (17) 457% (29) 164% (5) 384% (59) 50--64 89% (1) 237% (6) 307% (9) 167% (2) 232% (18)

15--64 629% (28) 651% (60) 526% (77) 245% (19) 510o (184)

*) Number of policies terminated by death shown in parentheses.

Diese Angaben sind umso lehrreicher, als sie gerade Herz- und Kreislaufsch/~den be- treffen, bei denen man eine steigende l~bersterbliehkeit erwarten sollte. Uberhaupt lohnt es sieh, das gesamte Material genau durehzusehen; aueh in anderen Bereichen, in denen man naeh herkSmmlicher Auffassung eine steigende Ubersterbliehkeit er- wafter, stellt sieh n~mlieh das Gegenteil als richtig heraus. Im groBen Ganzen ist mit steigender l~bersterblichkeit offenbar nur bei Nierenseh/idigungen, naeh operierten Magen- und ZwSlffingerdarmgeschwiiren und nach einer fiberwundenen Tuberkulose zu rechnen.

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III. In der Praxis wird bisher die Ubersterbliehkeit erhShter Risiken, wenn man yon den verh/~ltnism/iBig seltenen F/~llen mit Leistungseinschr~nkungen absieht, nahezu ausnahmslos dureh gleichbleibende Pr/~mienzusehl/~ge abgegolten, und die Policen- werte werden ffir solche Versieherungen allgemein ebenso wie ffir Versicherungen nor- maler Risiken mit dem wirklichen oder mit einem fiktiven erhShten Eintrittsalter erreehnet. DaB diese Teehnik sich vertreten 1/~Bt, ist ffir den Fall der konstanten Uber- sterblichkeit schon yon versehiedenen Autoren dargetan worden, zuletzt yon Berger [4]. Von dieser Grundlage aus 1/~Bt sich aueh der Fall der zunehmenden Ubersterblieh- keit leicht befriedigend 15sen, da die Zahlung einer gleiehbleibenden Zuschlagspri~mie hier darauf herauskommt, dab ein Teil der erforderlichen Risikopr/imie sehon zu frfih erhoben wird; es bleibt also nur zu untersuchen, ob es der Umfang dieser Vorauser- hebung nStig macht, eine besondere zus/~tzliche Reserve zu bilden, die im Verlauf der Versicherungsdauer wieder abgebaut wird, oder ob es sieh nur um Betr/~ge handelt, die man angesiehts der starken Unsicherheitsmomente, mit denen ohnehin zu reehnen ist, vernaehl/issigen kann. Als einigermaBen problematisch wird dagegen allgemein die Anwendung des gesehil- derten Verfahrens aueh auf die Reservebereehnung bei abnehmender ~bersterblieh- keit betraehtet [2 S. 95; 3 S. 139; 4 S. 167; 5 S. 272]. Wenn alle Versieherungen so wie urspriinglich abgesehlossen bis zu Ende durchgehalten werden, beschr~nken sich die nachteiligen Auswirkungen allerdings darauf, dab zu Lasten des Versieherers (oder, wenn man den Ausdruck vorzieht, zu Lasten der Versiehertengesamtheit) eine UberhShung der Pr~mienreserven eintritt, die erst mit der F/illigkeit der Versiehe- rungssumme wieder vollst/indig rfiekg~ngig wird. Zu Verlusten fiihrt diese ErhShung aber dann, wenn Versicherungen vorzeitig erlSschen. Aueh das ist noeh tragbar, so lange es sich nur um Einzeff/flle handelt, zumal unsere statistisehen Unterlagen fiber den Verlauf erh6hter Risiken ausnahmslos aus ruhigen Zeiten stammen, in denen sieh die der Beobachtung unterworfenen Lebensversicherungsbest/inde ausgedehnt haben, so dab bei der Umrechnung einer abnehmenden (Ybersterbliehkeit in eine gleich- bleibende in aUer Regel die besonders hohe l~bersterbliehkeit der ersten Versiche- rungsjahre mit einem etwas zu hohen Gewieht in die Reehnung eingeht. Aber gerade die Annahme, daft es nur selten zum S~orno soleher Versieherungen k/ime, seheint neuerdings fragwfirdig zu werden. Immer st/~rker setzt sich ja die Tendenz durch, den urspriinglich ffir den Ausgleich eines erh6hten Risikos vereinbarten Zu- schlag nieht als endgfiltig zu betrachten, sondern zuzusagen, dab seine tt6he naeh einigen Jahren geprfift werden kann. (In der Praxis komm~ eine solehe Zusage sehr nahe an das Verspreehen heran, den Zusehlag nach einigen Jahren zu erm/iBigen !) Das w/~re unbedenklieh, wenn man Jahr ffir Jahr einen dem Mehrrisiko gleiehen, also einen abnehmenden Zusehlag erhSbe. Ebenso unbedenklich ware es, wenn man, bei Erhebung eines gleiehbleibenden Zusehlags, die Pr/~mienreserve riehtig berechnete und ein durch den Ubergang in eine andere Risikoklasse eintretendes Defizit in der Reserve vom Versieherten zahlen lieBe. Da indessen beides nieht gesehieht, so tritt bei einer Erm/iBigung des Zusehlags w~hrend der Versieherungsdauer oft ein Verlust ein, und fraglich ist nur, ob er erst in diesem Augenblick evident wird oder sehon frfiher durch Zurfiekstellung einer fiberhShten Pr/imienreserve vorweggenommen wurde. Man soUte einmal darfiber naehdenken, ob nicht mindestens soweit, wie eine abneh- mende Ubersterblichkeit zu erwarten ist, die Zuschl/~ge nur w/~hrend der ersten ffinf oder zehn Versieherungsjahre erhoben werden sollten. Die Sehwierigkeiten des Uber- gangs zu einem solehen Verfahren sind natfirlich, namentlich seit dem Vorliegen der Berger'sehen Arbeit [4], weniger teehnischer als kaufm/inniseher Natur. Man kSnnte so die erw/ihnte Verlustquelle verstopfen, k/~me zu einem teehnisch vertretbaren, ein-

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hei t l ichen Verfahren der Berechnung der Pol icenwer te und hi~tte i iberdies den Ge- winn, keine K u n d e n entti~uschen zu mfissen, denen m a n eine Nachprf i fung der I t 6he ihres Zuschlags zugesag t ha t , deren Gesundhe i t szus tand sich aber in der Zwischenzei t n ich t verbesser t ha t .

Eingegangen am 10. August 1959.

L I T E R A T U R V E I : t Z E I C H N I S

[1] Impairment Study 1951, Society of Actuaries, 1954. [2] Sachs, Staniszewski, R6per, Vom Wesen der Auslese, Mitteihmgen der Vgg. schweizeriseher

Vers. mathematiker Bd. 54 Heft 1. [3] Sachs, Umrisse einer Theorie der Risikenauslese und der Vers. erhShter Risiken, diese Bl~tter

Bd. IV, Heft 2. [4] Berger, Eine besondere Deutung der _~quivalenzgleichung und ihre Anwendung auf die Leb.

vers. erhShter Risiken, diese Bli~tter Bd. IV Heft 2. [5] Jecklin in Saxer, Vers. mathematik, Bd. 2, Berlin-GSttingen-Heidelberg 1958.

Summary

Observations on the decreasing extra-mortality of abnormal risks: An investigation into the data contained in the American Impairment Study 1951, in order to ascertain the importance of the decreasing, the level and the increasing types of extra-mortality respectively. I t turns out that -- in accordance with the theoretical deductions published by the author and his collaborators in former papers -- the decreasing type of extra-mortality outweighs both the other types together, and that it occurs the more frequently the higher the extra-mortality. Some practical sugge- stions based on these facts are added.

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