Anfangerpraktikum 4

Bericht:

AdiabatenexponentFreiheitsgrade

Michael SeidlingTimo Raab

Sommersemester10. Juni 2013

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Grundlagen 32.1 1.Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Ideale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Zustandsanderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 Warmekapazitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.6 S. D. Poisson-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.7 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.7.1 Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.8 Schallausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.8.1 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.9 Messmethoden des Adiabatenexponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.9.1 Nach Ruchardt und Flammersfeld . . . . . . . . . . . . . . . 112.9.2 Nach Clement und Desormes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Versuch: Freiheitsgrade 143.1 Aufbau & Durchfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Versuch: Adiabatenexponent 204.1 Aufbau & Durchfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2.1 Versuch nach Ruchardt und Flammersfeld . . . . . . . . . . 214.2.2 Versuch nach Clement und Desormes . . . . . . . . . . . . . . 224.2.3 Vergleich mit Literaturwerten und Fehlerdiskussion . . . . . . . . 23

5 Fragen & Aufgaben 24

6 Anhang 25Abbildungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Tabellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2

2 GRUNDLAGEN

1 Einleitung

Die Versuche”Freiheitsgrade“ und

”Adiabatenexponent“ sind aus dem Teilgebiet der

Thermodynamik. Sie beschaftigen sich mit den Eigenschaften von Gasen bei verschiede-nen Temperaturen bzw. von verschiedenen Gasen bei der adiabatischen Expansion.

2 Grundlagen

2.1 1.Hauptsatz der Thermodynamik

Die Energie E eines Korpers, lasst sich nur durch Zufuhren bzw. Abfuhren von WarmeδQ oder Verrichten von Arbeit δW andern:

dE = δQ+ δW (1)

Dies beschreibt die Energieerhaltung.

2.2 Ideale Gase

In der Thermodynamik wird ein Gas durch verschiedene Zustandsgroßen beschrieben.Diese Zustandsgroßen sind beispielsweise:

• Druck p

• Volumen V

• Temperatur T

• Stoffmenge n

Fur ideale Gase gilt die Zustandsgleichung, die meist als Ideales Gasgesetz bezeichnetwird:

pV = nRT (2)

wobei R ≈ 8,314 Jmol K

, aus [Anf13], die universelle Gaskonstante ist. Naherungsweisekann man sagen, das dieses Gesetz fur alle Gase gilt, wenn man sich in Temperaturge-bieten weit uber dem 2-Phasen-Mischgebiet, also uber der Sidetemperatur bewegt.

2.3 Zustandsanderungen

Naturlich kann sich jede Zustandsgroße andern, besonders einfach zu beschreiben sindaber Zustandsanderungen, bei denen die Stoffmenge n und des weiteren eine andereZustandsgroße konstant bleibt:

3

2.3 Zustandsanderungen 2 GRUNDLAGEN

Isotherme Prozesse sind Prozesse bei denen die Temperatur T konstant bleibt. Aus demIdealen Gasgesetz (2) folgt dann:

pV = const. (3)

Isochore Prozesse sind Prozesse bei denen das Volumen V konstant bleibt. Man kanndas ideale Gasgesetz wieder umformulieren zu:

p

T= const. (4)

Isobare Prozesse sind Prozesse bei denen der Druck p konstant bleibt. Dementsprechendgilt:

V

T= const. (5)

Adiabatische Prozesse sind Prozesse bei denen kein Warmeaustausch ermoglicht ist,also δQ = TdS = 0. Das heißt die reversibel ausgetauschte Warmemenge δQ istdas Produkt von Temperatur T und der Entropieanderung dS. Somit folgt ausδQ = 0 dass auch dS = 0 sein muss, weshalb man den Prozess auch isentropnennen kann. S. D. Poisson erkannte, dass in diesem Fall

pV κ = const. (6)

gilt, wobei κ der Adiabatenexponent ist.

In Abbildung 1 ist der Verlauf der einzelnen Prozesse dargestellt. Zur besseren Anschau-ung des Verlaufs einer Adiabaten wurden zwei in Abbildung 1(d) eingezeichnet. Zumeinen ein Wert von κ = 1 (rot), was einer Isothermen entspricht, zum andern ein Wertvon κ = 5

3(schwarz).

(a) Isotherme (b) Isochore (c) Isobare (d) Adiabaten

Abbildung 1: pV -Diagramme der Zustandsanderungen

In der Natur treten adiabatische Vorgange meist dann auf, wenn diese sehr schnell, imVergleich zur Warmeleitung, ablaufen. Dies ist beispielsweise bei dem atmospharischemTemperaturgradient der Fall. Hier ist entscheidend, dass der Temperaturgradient vonder Luftfeuchtigkeit abhangt:

4

2.4 Freiheitsgrade 2 GRUNDLAGEN

Trockenadiabatisch ist der Fall, wenn keine Aggregatzustandsanderung beim Sinkenbzw. Aufsteigen der Luft eintritt. Naherungsweise rechnet man mit einer Tempe-raturanderung von ± 1

100Km

.

Feuchtadiabatisch liegt dann vor, wenn es zu einer Kondensation von Wasserdampfkommt. Dadurch wird Kondensationswarme frei, welchen den trockenadiabatischenTemperaturgradient senkt. somit ist der feuchtadiabatische Temperaturgradientimmer kleiner als der trockenadiabatische.

2.4 Freiheitsgrade

In der Thermodynamik sind Freiheitsgrade die moglichen Bewegungsrichtungen einesTeilchens, auf die die Energie gleichmaßig verteilt ist. Dies sind im Normalfall drei Frei-heitsgrade der Translation, zudem konnen bis zu drei Rotationsfreiheitsgrade und et-liche Schwingungsfreiheitsgrade hinzukommen. Dies hangt von der Beschaffenheit desTeilchens ab. Zudem kann es sein, dass einige Freiheitsgerade erst ab einer Gewissenaußeren Anregung (Temperatur) eine Rolle spielen. Bei Schwingungen ist zudem zu be-achten, dass diese Kinetische Energie und

”Spannungsenergie“ benotigt, daher kann eine

Schwingung bis zu zwei Freiheitsgrade beitragen. Beispiele sind in Tabelle 2.4 zu finden.

Stoff FreiheitsgradeTranslation Rotation Schwingung Summe

Argon Ar 3 3Stickstoff N2 3 2 5Kohlenstoffdioxid CO2 3 2 ≈ 1,8571 ≈ 6,857

Tabelle 1: Freiheitsgrade verschiedener Gase

Die Gesamtenergie E des idealen Gases lasst sich so beschreiben mit:

E =f

2nRT (7)

wobei f die Summe der Freiheitsgrade ist

2.5 Warmekapazitat

Will man ein Gas von der kalten Temperatur T1 auf eine warmere Temperatur T2

erwarmen, so kann man dies beispielsweise isobar, aber auch isotherm bewerkstelligen.Mogliche Versuchsaufbauten sind in Abbildung 2 skizziert. Man erkennt daraus schondeutlich, dass bei isobarem Erhitzen mehr Energie aufgebracht werden muss als beiisochorem Erhitzen, da zusatzlich noch Volumenarbeit verrichtet wird.

1Erklarung folgt im Abschnitt 2.7.1

5

2.6 S. D. Poisson-Gleichungen 2 GRUNDLAGEN

Abbildung 2: Versuchskizzen fur das Erhitzen von Gas

Man definiert also die spezifische molare Warmekapazitat als pro Stoffmenge aufge-nommene Energie bei der Erwarmung:

cx =1

n

(∂E(T, x, n)

∂T

)x

(8)

Dabei ist x die Große die konstant gehalten wird. In unserem Beispiel, mit einem idealenGas, erhalten wir mit Gleichung (7):

cv =1

n

(∂E(T, V, n)

∂T

)V

(2)=fR

2(9)

cp =1

n

(∂H(T, p, n)

∂T

)p

=1

n

(∂(E(T, V, n) + pV )

∂T

)p

(2)=fR

2+R (10)

dabei ist H(T, p, n) die freie Enthalpie. Man sieht das gilt:

cp − cv = R (11)

2.6 S. D. Poisson-Gleichungen

Wie bereits erwahnt gilt bei Adiabatischen Zustandsanderungen:

pV κ = const. (12)

S. D. Poisson hat weitere Formulierungen gefunden:

TV κ−1 = const. (13)

p1−κT κ = const (14)

Diese kann man aber mittels des Idealen Gasgesetzes (2) ineinander Umformen. Nachdem 1. Hauptsatz der Thermodynamik gilt:

dE = TdS − pdV (15)

6

2.6 S. D. Poisson-Gleichungen 2 GRUNDLAGEN

Da wir Adiabaten betrachten gilt TdS = δQ = 0. Wir konnen aber auch die InnereEnergie schreiben als:

dE =fnR

2dT = cvndT (16)

Setzen wir diese beiden Gleichungen gleich, erhalten wir:

cvndT = −pdV (17)

cvndT = −nRTV

dV (18)

cvT

dT = −RV

dV (19)

Integrieren liefert:

cv lnT + const. = −R lnV + const. (20)

ln(T cv · V R) = const. (21)

T cv · V cp−cv = const. (22)

T · Vcpcv−1 = const. (23)

Damit muss gelten:

κ =cpcv

=fR2

+RfR2

=f + 2

f(24)

Somit haben wir einen Zusammenhang wischen den Warmekapazitaten den Freiheits-geraden und dem Adiabatenkoeffizient bei einem Idealen Gas gefunden und eine der S.D. Poisson-Gleichungen hergeleitet. Mit der Idealen Gasgleichung (2) erhalten wir denZusammenhang:

T =pV

nR(25)

Dies setzten wir in Gleichung (23) ein und bedenken, dass n und R konstant sind:

pV

nRV

cpcv−1 = const. (26)

pV κ = const. (27)

Wir konnen die Ideale Gasgleichung (2) auch benutzen um V zu ersetzen:

(23)V=nRT

p= T

nRT

p

kappa−1

= const. (28)

T κ1

p

κ−1

= T κp1−κ = const. (29)

7

2.7 Harmonischer Oszillator 2 GRUNDLAGEN

2.7 Harmonischer Oszillator

In vielen Fallen in der Physik hat man mit Schwingungen zu tun. Ein einfacher Fall istder Harmonische Oszillator. Auf den Oszillator der Masse m wirkt ausschließlich eineRuckstellkraft Fr die porportional zur Auslenkung x ist, also der Form Fr = kx, manerhalt die Differentialgleichung:

mx(t) = −kx(t) (30)

x(t) +k

mx(t) = 0 (31)

Diese lasst sich losen mit:

x(t) = A sin(ω0t) +B cos(ω0t) (32)

wobei A,B von den Anfangsbedingungen abhangen und ω0 =√

km

die Eigenfrequenz des

Oszillators ist.Da ungedampfte Schwingungen im Labor schwer realisierbar sind, nutzt man oft eineTreibende Kraft um den Verlust der Energie auszugleichen. Dazu wirkt eine periodischeKraft auf den Oszillator ein, sodass die Energie, die er durch Reibung verliert wiederzugefuhrt bekommt.

2.7.1 Zustandssumme

Wenn wir sagen, dass die Energie En, die der Harmonische Oszillator, mit der Frequenzω0, annehmen kann

”gequantelt“ ist, also die Zustande abzahlbar sind, gilt fur die Ener-

gie:

En = ~ω0(n+1

2) (33)

Fur die Zustandssumme erhalten wir:

Z =∑n

e− EnkBT (34)

= e− ~ω0

2kBT

∑n

e− ~ω0nkBT (35)

=e− ~ω0

2kBT

1− e−~ω0kBT

(36)

=1

2 sinh( ~ω0

2kBT)

(37)

Dabei ist kB = 1, 38·10−23 JK

die Boltzmann-Konstante und dem reduzierten Planck’schem-Wirkungsquantum ~ = h

2πmit h = 6, 624·10−34J s als Planck’sches-Wirkungsquantum.

8

2.8 Schallausbreitung 2 GRUNDLAGEN

Man erhalt die Freie Energie:

F = −kBT lnZ (38)

= kBT ln 2 sinh

(kBT

~ω0

)(39)

Fur T → 0 erhalt man f → ~ω0

2, was die Grundzustandsenergie des harmonischen

Oszillators ist.Man hat hier nun einen Zusammenhang der Energie des Schwingers mit der Temperaturgefunden, wodurch man bestimmen kann, wie stark eine Schwingung angeregt ist. Diesist zum Bestimmen der Freiheitsgraden in Molekulen bei bestimmten Temperaturennotwendig.

2.8 Schallausbreitung

Die Ausbreitung von Schall in Gas ist eine schnelle Abfolge von Kompressionen undExpansionen, die so schnell ablaufen, dass ein Warmeaustausch naherungsweise nichteintritt. Somit handelt es sich um Adiabatische Zustandsanderungen. Im Wesentlichenwird die Schallgeschwindigkeit c0 vom Adiabatenexponenten bestimmt. Es gilt:

c0 =

√κp

ρ=

√κRT

M(40)

wobei p der Druck und ρ die Dichte, bzw. R die universelle Gaskonstante, M die molareMasse und T die Temperatur. Die Schallgeschwindigkeit c0 bei p = 1 bar und 0 ◦C betragt331,5 m

s.

Wird der Schall durch ein enges Rohr gesendet, wird eine geringere Schallgeschwindigkeitgemessen. Die reale Schallgeschwindigkeit cr berechnet man mittels einer Korrektur:

cr = c0 ·(

1− a

2r√πν

)(41)

Dabei ist r der Radius des Rohres und a die Kirchhoff-Konstante und ν die Frequenzder Schallwelle.

2.8.1 Stehende Wellen

Eine stehende Welle ist ein Phanomen, das durch Uberlagerung (Interferenz) zweiergegenlaufiger Wellen gleicher Frequenz und Amplitude. Die entstehende Welle ist eineStehende Welle, das heißt, das die Amplitude ortsabhangig ist. Es existieren Knoten-punkte, an denen die Amplitude immer 0 ist.Stehende Wellen werden zum Beispiel durch Reflexionen am Ende eines Wellentragershervorgerufen. Beschreiben lasst sich dies durch zwei Wellen:

ψe(x, t) = ψ(x, t) = A sin(kx− ωt) (42)

ψr(x, t) = ψ(x,−t) = A sin(kx+ ωt) (43)

9

2.8 Schallausbreitung 2 GRUNDLAGEN

Uberlagert ergibt sich:

ψu = ψ(x, t) = A sin(kx− ωt) + A sin(kx+ ωt) = 2A sin(kx) cos(ωt) (44)

Die Amplitude hangt wie gesagt vom Ort ab: 2A sin(kx) und oszilliert in der Zeit undder Frequenz ω: cos(ωt). An den Orten x = n · λ

2ist die Amplitude 0, wenn λ = c

ω. Diese

Punkte nennt man Knotenpunkte. Es gibt aber auch Orte an denen die Amplitudemaximal ist, dies ist bei x = (n+ 1

2)λ

2der Fall. Dort sind Wellenbauche.

Auf einem beidseitig begrenzten Wellentrager gibt es nur bei bestimmten Frequenzen,den Resonanzfrequenzen, stehende Wellen. Es gibt zwei verschiedene Arten von Enden,an denen reflektiert wird:

Offenes Ende: Hier muss, dass sich eine stehende Welle ausbreiten kann, ein Wellen-bauch, also maximale Amplitude, sein. Es findet kein Phasensprung statt.

Geschlossenes/festes Ende: Hier ist der Ort fest vorgegeben, es muss also ein Knoten-punkt darauf liegen. Bei der Reflexion findet ein Phasensprung um π statt.

Je nach Kombination der Enden gibt es verschiedene Resonanzfrequenzen fur einenWellentrager der Lange l:

Offen-Offen An beiden Enden muss ein Wellenberg liegen, also muss fur die Wellenlangegelten:

λ =2l

k(45)

d.h.fk =kc

2l(46)

Die Grundschwingung ist in Abbildung 3(a) skizziert.

Geschlossen-Geschlossen An beiden Enden muss ein Knotenpunkt liegen, also mussfur die Wellenlange gelten:

λ =2l

k(47)

d.h.fk =kc

2l(48)

Die Grundschwingung ist in Abbildung 3(b) skizziert.

Offen-Geschlossen Hier muss an einem Ende ein Wellenberg und am anderen ein Kno-ten liegen, deshalb gilt hier fur die Wellenlange.

λ =4l

2k + 1(49)

d.h.fk =(2k + 1)c

4l(50)

Die Grundschwingung ist in Abbildung 3(c) skizziert.

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2.9 Messmethoden des Adiabatenexponenten 2 GRUNDLAGEN

(a) Offen-Offen (b) Geschlossen-Geschlossen (c) Offen-Geschlossen

Abbildung 3: Grundschwingungen der Stehenden Wellen

2.9 Messmethoden des Adiabatenexponenten

2.9.1 Nach Ruchardt und Flammersfeld

Den Adiabatenkoeffizient kann man nach einer Idee von Ruchardt mittels einer Schwin-gung, die durch ausstromendes Gas verursacht wird, messen. Ruchardt fand aber kei-nen Aufbau, bei dem man genau messen konnte. Erst Flammersfeld hatte eine Losungparat.Gas wird wie in Abbildung 4 in einen Sammelbehalter geleitet. Auf diesem Sammel-behalter befindet sich senkrecht ein Rohr mit Innenradius r und ein zylindrischer Schwingkorperder Masse mS. Zum Druckausgleich befindet sich innerhalb des Schwingbereichs eine Off-nung, durch die Gas ausstromen kann. Dadurch werden die Reibungsverluste minimiert.

Abbildung 4: Aufbau der Messmethode nach Ruchardtund Flammersfeld

Der Schwingkorper befindet sich genau dann im Gleichgewicht wenn der Druck p imSammelbehalter gleich dem außeren Druck p0 und dem Druck, der durch die Gewichts-

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2.9 Messmethoden des Adiabatenexponenten 2 GRUNDLAGEN

kraft des Schwingkorpers hervorgerufen wird, ist. Im Gleichgewicht gilt also:

p = p0 +mSg

πr2(51)

Dabei versteht man unter g die Fallbeschleunigung.Im Folgenden wird die Gleichgewichtslage als Nullpunkt der Auslenkung x definiert.Die Auslenkung x wird nach oben positiv und nach unten negativ gemessen. Bei einerAuslenkung um ∆x andert sich das Volumen V unterhalb des Schwingkorpers also um:

∆V = πr2∆x (52)

Zudem andert sich auch der Druck um ∆p. Da dieser Vorgang verhaltnismaßig2 schnellverlauft, kann man sagen, dass dieser Vorgang adiabatisch ist, es gilt also:

pV κ = const. = K (53)

⇒ p = V −κ ·K (54)

⇒ dp

dV= −κV −κ−1 ·K (55)

= −κ pV

(56)

⇒ ∆p

∆V≈ −κ p

V(57)

⇒ ∆p ≈ −κ pV

∆V (58)

= −κ pVπr2∆x (59)

Somit gilt fur die durch die Druckanderung hervorgerufene rucktreibende Kraft Fr:

Fr = πr2 ·∆p (60)

Man erhalt fur den Oszillator, unter Berucksichtigung, dass nicht nur der Schwinger,sondern auch Gas, der Masse mG beschleunigt wird, die Differentialgleichung:

mx ≈ −κ pVπr2∆x (61)

mit

m = mS +mG (62)

wobei man mG, uber das Ideale Gasgesetz, Gleichung (2), berechnen kann:

pV = nRT (63)

pV = RTmG

M(64)

⇒ mg =pMπr2l

RT(65)

2zur Warmeleitung an die Umgebung

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2.9 Messmethoden des Adiabatenexponenten 2 GRUNDLAGEN

Dabei ist M die Molmasse des Gases und l die Lange des Steigkolbens bis zur Offnung.Betrachten wir nur kleine Auslenkungen konnen wir schreiben:

x+κpπ2r4

mVx = 0 (66)

Somit haben wir eine Differentialgleichung des Harmonischen Oszillators und nach Ka-pitel 2.7 gilt, dass dieser die Eigenfrequenz ω2

0 = κpπ2r4

mVhat. Daraus lasst sich dann die

Schwingungsdauer TS berechnen:

T 2S =

4π2

w20

(67)

=4mV

κpr4(68)

⇒ κ =4mV

T 2pr4(69)

Dabei ist V das effektive Volumen des Aufbaus bis zur Offnung und p der Druck in derGleichgewichtslage.

2.9.2 Nach Clement und Desormes

Ein anderer Ansatz zur Bestimmung des Adiabatenexponenten hat Clement und Desor-mes gewahlt. Sie betrachten die adiabatische Expansion eines Gases.Dazu wird in ein Gasbehalter, mit dem Volumen V , Gas gefullt. Das Gas hat die Um-gebungstemperatur T0, jedoch einen hoheren Druck p1 als die Umgebung p0. Die Druck-differenz ∆p1 = p1 − p0 lasst sich uber das Ablesen der Hohe h1 im U-Rohr bestimmen.

δp1 = ρgh1 (70)

wobei g die Fallbeschleunigung und ρ die Dichte der Flussigkeit im U-Rohr ist.Das Auslassventil wird dann kurz geoffnet, sodass ein Druckausgleich durch eine adia-batische Expansion stattfindet. Das bedeutet:

V → V2 > V (71)

p1 → p2 = p0 (72)

T1 = T0 → T2 = T1 ·(p1

p2

) 1−κκ

(73)

das nach S. D. Poisson Gleichung (29) gilt.Danach wird gewartet, bis die Temperatur T2 wieder der Umgebungstemperatur T0

angeglichen hat, also eine isochore Erwarmung vollzogen ist. Man hat den neuen Druckp3 = p0+∆p3, den man wieder mittels ablesen am U-Rohr und Gleichung (70) berechnenkann. Bei einer isochoren Zustandsanderung gilt:

p

T= const. (74)

13

3 VERSUCH: FREIHEITSGRADE

Wodurch man mit den Drucken ∆p1 und ∆p3 den Adiabatenexponent bestimmen kann:

p3

T3

=p2

T2

(75)

p3 = p2T3

T1 ·(p1p2

) 1−κκ

(76)

T1=T3=T0= p2 ·(p1

p2

)κ−1κ

(77)

p2=p0,p1=p0+∆p1= p0 ·

(1 +

∆p1

p0

)κ−1κ

(78)

Mittels Taylor fur (1 + x)n ≈ 1 + nx fur x � 1, was erfullt ist, da p0 � ∆p1. Alsoerhalten wir:

p3 ≈ p0

(1 +

∆p1

p0

κ− 1

κ

)(79)

= p0 + ∆p1κ− 1

κ(80)

⇒ ∆p3 ≈ ∆p1κ− 1

κ(81)

(82)

Das konnen wir nach κ umstelle und erhalten:

κ ≈ ∆p1

∆p1 −∆p3

(83)

∆pi=ρghi=h1

h1 − h3

(84)

3 Versuch: Freiheitsgrade

3.1 Aufbau & Durchfuhrung

An einem dunnen Kupferrohr ist ein Mikrophon, das an einen Computer angeschlos-sen ist, angebracht. In das Rohr wird mit Kohlenstoffdioxid geblasen und mittels einesDruckminderers so eingestellt, dass gerade noch ein leises Zischen zu horen ist. DerTon wird mit dem Computer aufgenommen. Mit Hilfe der Resonanzpeaks, die moglichstohne Storgerausche aufgenommen wurden, bestimmt man die Resonanzfrequenzen. DieResonanzpeaks werden bei vielen Temperaturen zwischen 100◦C und 0◦C

3.2 Auswertung

Da sich wie wir im Versuch gesehen haben stehende Wellen im Rohr bei gewissen Fre-quenzen bilden, und wir wissen, das es sich bei dem Messingrohr um zwei identische

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3.2 Auswertung 3 VERSUCH: FREIHEITSGRADE

Enden handelt, gilt, wie im Grundlagenteil erlautert fur die Frequenz fk:

fk =kc

2l(85)

Wodurch wir also aus unserer Messung der Resonanzfrequenzen fk, der Ordnung k, undder Lange des Messingrohrs l die Ausbreitungsgeschwindigkeit c bestimmen konnen. Wiewir die Resonanzfrequenzen bestimmen konnten wird anhand Abbildung 5 erklart.

Abbildung 5: Beispielhaftes Bild einer Messung bei 40 ◦C

Man erkennt in Abbildung 5 das es zwei verschiedenen regelmaßige Maxima gibt, dieeingezeichneten des Kohlenstoffdioxids circa alle 130 Hz. Zudem sind alle 50 Hz Maximazu erkennen, die auf den nahen Wechselstrom zuruckzufuhren ist. Das extreme Maximabei nahezu 0 Hz ist auf ein nummerisches Problem im Computer zuruckzufuhren. Dieseranalysiert ebenso den Offset des Signals und erkennt darin eine sehr langwellige Schwan-kung, also eine sehr niedrige Frequenz.Durch umstellen der Gleichung (85) errechnet man nun die Ausbreitungsgeschwindigkeitck und den Fehler:

ck =2lfkk

(86)

δck =2l

kδfk (87)

Dabei ist l = 1m und wird als fehlerfrei angenommen, da keine Angabe zur Unsicherheitgegeben ist. Man erhalt die Ausbreitungsgeschwindigkeiten die in Tabelle 2 zusammen-gefasst.

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3.2 Auswertung 3 VERSUCH: FREIHEITSGRADE

Temperatur in [◦C] c1 in [ms] c2 in [m

s] c3 in [m

s]

70± 2 287± 2 289± 1 285± 165± 2 284± 2 288± 1 384± 160± 1 283± 2 285± 1 281± 155± 1 280± 2 282± 1 279± 150± 1 277± 2 279± 1 278± 145± 1 277± 2 278± 1 275± 140± 1 277± 2 275± 1 274± 135± 1 274± 2 273± 1 272± 130± 1 271± 2 270± 1 270± 125± 1 271± 2 270± 1 268± 120± 1 268± 2 270± 1 266± 115± 1 268± 2 265± 1 263± 110± 1 265± 2 262± 1 262± 15± 1 262± 2 259± 1 260± 1

0± 0, 5 259± 2 256± 1 259± 1

Tabelle 2: Berechneten Ausbreitungsgeschwindigkeiten im Rohr

Aus diesen realen Ausbreitungsgeschwindigkeiten kann man die Ausbreitungsgeschwin-digkeit, nach Gleichung (41) berechnen:

c0 =ck

(1− a2·r√πfk

)(88)

δc0 =c0

ck· δck + c0 ·

a

2fk· δfk (89)

Die Kirchhoff-Konstante a wurde genauso wie r als fehlerfrei betrachtet. Der Rohr-radius r wurde aus den Angaben in der Versuchsbeschreibung gegebenen Großen, Au-ßendurchmesser D des Rohres und der Wandstarke d berechnet, welche aber ohne Mes-sungenauigkeit gegeben sind, womit auch der Radius r als fehlerfrei ist.

r =D

2− d (90)

Die Ergebnisse wurden gemittelt und zusatzlich in Tabelle 3 dargestellt. Fur die Mitte-lung wurde der gewichtete Mittelwert benutzt:

∑c0,best =

3∑i=1

c0,i(δc0,i)−2

3∑i=1

(δc0,i)−2

(91)

δc0,best =

√√√√ 3∑

i=1

(δc0,i)−2

−1

(92)

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3.2 Auswertung 3 VERSUCH: FREIHEITSGRADE

Temperatur c0 in [ms] c0 in [m

s] c0 in [m

s] c0 in [m

s]

in [◦C] bei k = 1 bei k = 2 bei k = 3 gemittelt70± 2 291± 2 292± 1 287± 1 288± 165± 2 288± 2 290± 1 286± 1 287± 160± 1 286± 2 287± 1 283± 1 285± 155± 1 283± 2 284± 1 281± 1 282± 150± 1 280± 2 281± 1 280± 1 281± 145± 1 280± 2 280± 1 277± 1 278± 140± 1 280± 2 278± 1 276± 1 277± 135± 1 277± 2 275± 1 274± 1 274± 130± 1 274± 2 272± 1 272± 1 272± 125± 1 274± 2 272± 1 270± 1 271± 120± 1 271± 2 272± 1 268± 1 269± 115± 1 271± 2 267± 1 265± 1 266± 110± 1 268± 2 265± 1 264± 1 265± 15± 1 266± 2 262± 1 262± 1 262± 1

0± 0, 5 263± 2 258± 1 261± 1 260± 1

Tabelle 3: Berechneten Ausbreitungsgeschwindigkeiten im freien Raum

Aus dieser Ausbreitungsgeschwindigkeit kann man den Adiabatenexponenten κ, ausGleichung (40) bestimmen. Fur den Fehler gilt:

κ =c2

0M

RT(93)

δκ =2κ

c0

· δc0 +κ

T· δT (94)

Zu beachten ist dabei, das die Temperatur T in K gemessen wird. M ist die MolareMasse des Kohlenstoffdioxids, diese betragt nach [Sei] 44,01 g

mol.

Außerdem kann man aus dem Adiabatenexponenten κ direkt die Freiheitsgrade mittelsGleichung (24) mit dem Fehler nach Gleichung (96) bestimmen:

f =2

κ− 1(95)

δf =2

(κ− 1)2· δκ (96)

Damit erhalt man die Adiabatenexponenten und die Freiheitsgrade bei der jeweiligenTemperatur, die in Tabelle 4 zusammengefasst sind.

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3.2 Auswertung 3 VERSUCH: FREIHEITSGRADE

Temperatur in [◦C] κ f70± 2 1, 28± 0, 01 7, 1± 0, 365± 2 1, 29± 0, 01 6, 8± 0, 360± 1 1, 29± 0, 01 7, 0± 0, 255± 1 1, 29± 0, 01 7, 0± 0, 250± 1 1, 29± 0, 01 6, 9± 0, 245± 1 1, 29± 0, 01 6, 9± 0, 240± 1 1, 30± 0, 01 6, 7± 0, 235± 1 1, 29± 0, 01 6, 8± 0, 230± 1 1, 29± 0, 01 6, 8± 0, 225± 1 1, 30± 0, 01 6, 6± 0, 220± 1 1, 31± 0, 01 6, 4± 0, 215± 1 1, 30± 0, 01 6, 6± 0, 210± 1 1, 31± 0, 01 6, 5± 0, 25± 1 1, 31± 0, 01 6, 5± 0, 2

0± 0, 5 1, 31± 0, 01 6, 4± 0, 2

Tabelle 4: Berechneten Ausbreitungsgeschwindigkeiten im freien Raum

Graphische Darstellung und Diskussion der ErgebnisseDie Abhangigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Temperatur wurde in Abbil-dung 6 dargestellt.

Abbildung 6: Ausbreitungsgeschwindigkeit in Abhangigkeit der Temperatur

Mann sieht eine eindeutige Abhangigkeit, je warmer die Umgebung, desto schneller istdie Ausbreitungsgeschwindigkeit. Dies Abhangigkeit ist in unserem Messbereich linear.

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3.2 Auswertung 3 VERSUCH: FREIHEITSGRADE

Abbildung 7: Adiabatenexponent in Abhangigkeit der Temperatur

Der Adiabatenexponent hangt, wie man in Abblidung 7 sieht, nicht so stark vonder Temperatur ab. jedoch erkennt man die Tendenz, das der Adabatenexponent mitsteigender Temperatur abnimmt.

Abbildung 8: Freiheitsgrade in Abhangigkeit der Temperatur

Die Freiheitsgrade nehmen mit einer hoheren Temperatur zu, da die Knick-Schwingungimmer starker angeregt wird. Leider fluktuieren unsere Messwerte stark, aber die Grund-tendenz ist eindeutig sichtbar.

FehlerbetrachtungMan muss leider sagen, dass der Verlauf der Freiheitsgrade in der Temperatur nicht schon

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4 VERSUCH: ADIABATENEXPONENT

ist. Teilweise sind die Freiheitsgerade bei hoheren Temperaturen niedriger. Jedoch ist diesnoch im Bereich unserer Messgenauigkeit. Der Adiabatenexponent liegt im erwartetenWertebereich, dieser wird aber im nachsten Versuch explizit betrachtet und bestimmt.Probleme bei der Messung waren, dass die Temperatur nicht homogen im Becken, indem das Messingrohr lag, war. Wir haben uns an die Temperatur in der Mitte derRohre gehalten. Ein weiteres Problem, war, dass man die Maxima der Frequenzen nichtaus einer Messung lesen kommt, man musste uber mehrere Messungen mitteln, dadurchsind Storungen

”rausgemittelt“ worden, aber die Temperatur hat sich innerhalb der

Messungen weiter geandert.

4 Versuch: Adiabatenexponent

4.1 Aufbau & Durchfuhrung

Im Grunde bestimmt man wie in Kapitel 2.9 erklart auf beide weisen die Adiabaten-exponenten von Argon, Stickstoff und Kohlenstoffdioxid. Zu Beachten ist bei beidenMethoden, dass man die Gasbehalter grundlich mit dem Gas spult. Bei dem Aufbauvon Ruchardt und Flammersfeld muss man eine große Anzahl von Schwingungenmessen, sodass der Fehler moglichst gering wird.

Abbildung 9: Aufbau nach Clementund Desormes

Der Versuchsaufbau nach Clement und Desormes ist in Abbildung 9 gezeigt. Hierist nur zu beachten, dass man die Ventile zur richtigen Zeit offnet und wieder schließt.

20

4.2 Auswertung 4 VERSUCH: ADIABATENEXPONENT

4.2 Auswertung

4.2.1 Versuch nach Ruchardt und Flammersfeld

Um den Adiabatenexponenten zu bestimmen benotigen wir neben unseren Messwertennoch die Daten des Versuchsaufbaus:

V = (2257± 1) cm3

r = (4,96± 0,01) mm

l = (0,60± 0,01) m

Dabei ist r der Radius des Schwingkorpers, l die Hohe des Steigrohrs bis zur Offnungund V das effektive Volumen des Glaskolbens bis zur Offnung.Zuerst wird mittels Formel (51) der Druck in der Gleichgewichtslage bestimmt. Der Um-gebungsdruck wurde einmal zu Beginn des Praktikums und einmal am Ende gemessen.Der Durchschnittswert ist unser Umgebungsdruck, p0 = (960,4± 0,2) hPa, wobei derFehler die halbe Differenz der Werte ist. Der Fehler des Gleichgewichtsdrucks wird mitfolgender Formel bestimmt:

δp = δp0 +g

πr2δmS +

mSg

πr3δr (97)

p = (972,7± 0,7) hPa

wobei g ohne Unsicherheit betrachtet wird.Zur Bestimmung der Gasmassen, die beteiligt sind, wird die molare Masse der Gasebenotigt. Diese wurde aus [Sei] entnommen und als exakt betrachtet.

MN2 = 28,014g

mol

MCO2 = 44,01g

mol

MAr = 39,948g

mol

Man erhalt die Gasmasse uber Gleichung (65) mit dem Fehler:

δmg =Mπr2l

RTδp+

pMπrl

RTδr +

pMπr2

RTδl +

Mπr2l

RT 2δT (98)

mG(N2) = (0,051± 0,001) g

mG(CO2) = (0,080± 0,002) g

mG(Ar) = (0,073± 0,001) g

wobei bei der Bestimmung der Temperatur und deren Fehler gleich vorgegangen wurdewie beim Umgebungsdruck. Die allgemeine Gaskonstante wurde ebenso als exakter Wertangesehen.Nun wird noch die gemessene Zeit der 300 Perioden, durch deren Anzahl geteilt, sodass

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4.2 Auswertung 4 VERSUCH: ADIABATENEXPONENT

man die Zeit T einer Periode erhalt und den Adiabatenexponenten mit Gleichung (69)bestimmen kann. Fur den Fehler gilt:

δκ =4V

T 2pr4δm+

4m

T 2pr4δV +

4mV

T 3pr4δT +

4mV

T 2p2r4δp+

4mV

T 2pr5δr (99)

mit : δm = δmS + δmG (100)

Man erhalt die Werte fur den Adiabatenexponenten:

κN2 = 1, 27± 0, 03

κCO2 = 1, 28± 0, 03

κAr = 1, 42± 0, 03

4.2.2 Versuch nach Clement und Desormes

Aus unseren Messwerten konnen wir direkt den Adiabatenexponenten, mit Gleichung(84), bestimmen. Zunachst wird dies bei jeder Messung durchgefuhrt, wobei der Fehlermit Gleichung (101) bestimmt wird. Danach wird der gewichtete Mittelwert, Gleichung(102) dieser Werte genommen.

δκ =h1

(h3 − h1)2δh1 +

h1

(h3 − h1)2δh2 (101)

Die Ergebnisse wurden in Tabelle 5 zusammengetragen.

Gas κ δκ

1,246 0,007N2 1,256 0,007

1,244 0,006

1,190 0,005CO2 1,208 0,004

1,198 0,004

1,364 0,011Ar 1,297 0,008

1,306 0,008

Tabelle 5: Berechneten Adiabatenkoeffiziente mit deren Fehler

22

4.2 Auswertung 4 VERSUCH: ADIABATENEXPONENT

Daraus errechnet man den gewichteten Mittelwert und dessen Fehler:

κbest =

3∑i=1

κi · (δκi)−2

3∑i=1

(δκi)−2

(102)

δκbest =

√√√√ 3∑

i=1

(δκi)−2

−1

(103)

Man erhalt:

κN2 = 1, 249± 0, 004

κCO2 = 1, 199± 0, 003

κAr = 1, 314± 0, 005

4.2.3 Vergleich mit Literaturwerten und Fehlerdiskussion

Aus [Anf13] haben wir die Literaturwerte der Adiabatenexponenten bei 20 ◦C, bei unsererMessung war es ca. 3 ◦C warmer, also mussen die Adiabatenexponenten etwas kleinersein. In Tabelle 6 sind sie gegenuber gestellt.

Gas κFlammersfeld κClement κlitN2 1, 27± 0, 03 1, 249± 0, 004 1,401CO2 1, 28± 0, 03 1, 199± 0, 003 1,293Ar 1, 42± 0, 03 1, 314± 0, 005 1,648

Tabelle 6: Berechneten Adiabatenkoeffiziente im Vergleich mit den Literaturwerten

Man sieht, dass wir vor allem bei dem Versuchsaufbau von Clement und Desormesvon zu kleinen Fehlern ausgegangen sind. Von der Tendenz, das unsere Werte kleinerals die Literaturwerte sind, war die Messung erfolgreich, jedoch sind unsere Messwerteweit unterhalb von den zu erwarteten Werten. Erstaunlich ist, dass bei Stickstoff derWert unterhalb bzw. nahe bei dem Literaturwert von Kohlenstoffdioxid liegt. Da wirStickstoff immer als 1. Gas verwendet haben, liegt die Vermutung nahe, das uns beidiesem Gas kleinere Fehler unterlaufen sind. Die Werte von Kohlenstoffdioxid sind unsam Besten gelungen, bei Argon sind die Werte geringer, jedoch erkennt man, das Argonden großten Adiabatenexponenten der drei Gase hat.Bei dem Aufbau von Ruchardt und Flammersfeld sind unsere Ergebnisse besser wiebei dem Aufbau von Clement und Desormes, dies konnte zum einen daran liegen,das wir systematisch die adiabatische Ausdehnung zu lange stattfinden lassen haben,oder nicht lange genug gewartet haben, sodass die Temperatur des Gases noch nicht aufRaumtemperatur war.

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5 FRAGEN & AUFGABEN

5 Fragen & Aufgaben

Adiabatenexponent 1 Erklaren Sie den Zusammenhang zwischen dem Adiabatenex-ponenten κ und der Zahl f der Freiheitsgrade eines Gases.In Abschnitt 2.6 geschehen, Vergleiche Gleichung (24).

Adiabatenexponent 2 Zeigen Sie, dass die drei S. D. Poisson-Gleichungen fur adia-batische Zustandsanderungen unter Verwendung der idealen Gasgleichung ineinanderumgeformt werden konnen.In Abschnitt 2.6 geschehen.

Adiabatenexponent 3 Was hat der am Bodensee oft fur sonniges Wetter sorgende

”Fohn“ mit adiabatischen Zustandsanderungen zu tun?

Verantwortlich fur die Fohnwetterlage ist ein Sudwind und Regen auf der Sudseite derAlpen. Lauwarme Luft aus dem Suden trifft unter feuchtadiabatischen Bedingungen aufdie Sudseite der Alpen. Dort steigt sie auf und verliert dabei Temperatur. Auf der Nord-seite der Alpen ist trockenes Wetter, dort sinkt die Luft wieder auf Nachalpenniveau,da es nicht regnet herrschen trockenadiabatische Bedingungen. Somit erwarmt sich dieLuft etwas mehr pro Hohenmeter wie sie sich vor den Alpen abgekuhlt hat. Somit hatman einen warmen Sudwind, der

”Fohn“ genannt wird.

Freiheitsgrade 1 Tragen Sie die theoretischen Werte in das Diagramm aus Punkt 4der Auswertung ein und vergleichen Sie.In der Auswertung Abschnitt 4.2.3 geschehen.

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Literatur

6 Anhang

Abbildungsverzeichnis

1 pV -Diagramme der Zustandsanderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Versuchskizzen fur das Erhitzen von Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Grundschwingungen der Stehenden Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Aufbau der Messmethode nach Ruchardtund Flammersfeld . . . . . 115 Beispielhaftes Bild einer Messung bei 40 ◦C . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Ausbreitungsgeschwindigkeit in Abhangigkeit der Temperatur . . . . . . 187 Adiabatenexponent in Abhangigkeit der Temperatur . . . . . . . . . . . 198 Freiheitsgrade in Abhangigkeit der Temperatur . . . . . . . . . . . . . . 199 Aufbau nach Clementund Desormes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Tabellenverzeichnis

1 Freiheitsgrade verschiedener Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Berechneten Ausbreitungsgeschwindigkeiten im Rohr . . . . . . . . . . . 163 Berechneten Ausbreitungsgeschwindigkeiten im freien Raum . . . . . . . 174 Berechneten Ausbreitungsgeschwindigkeiten im freien Raum . . . . . . . 185 Berechneten Adiabatenkoeffiziente mit deren Fehler . . . . . . . . . . . . 226 Berechneten Adiabatenkoeffiziente im Vergleich mit den Literaturwerten 23

Literatur

[Anf13] Anfangerpraktikum: Versuchsanleitung. Universitat Konstanz, 2013

[Bro08] Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Harrri Deutsch Verlag, 2008

[Dem08] Demtroder, Wolfgang: Experimentalphysik. Springer, 2008

[Phy12] Physikalisch-Technische Bundesanstalt: Zahlenwerte wichtigerNaturkonstanten. https://www.ptb.de/de/naturkonstanten/

_zahlenwerte.html, 12.7.2012. – zuletzt aufgerufen am 9.6.2013

[Sch] Schotte, Prof. Dr. Klaus-Dieter: Entropie und Information. http://users.

physik.fu-berlin.de/~ag-schotte/THERMO/entr4.pdf, . – zuletzt aufgeru-fen am 9.6.2013

[Sei] Seilnacht, Thomas: http://www.seilnacht.com/Lexikon/psframe.htm. –zuletzt aufgerufen am 9.6.2013

[Wik] Wikipedia: www.wikipedia.de

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Literatur Literatur

[Zab05] Zabel, H.: Stehende Wellen. http://www.ep4.ruhr-uni-bochum.de/

imperia/md/content/skripte/ws04-05/physik1fuerphysiker/vorlesung/

44lektion.pdf, Wintersemester 04/05. – zuletzt aufgerufen am 9.6.2013

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