Bericht zu den Priifungen in 1997 und 1998 fiber Mathematik der Schadensversicherung (Spezialwissen)

Christian Hipp (Karlsruhe) und Thomas Mack (Mtinchen)

In den Klausuren zum Spezialwissen Schadenversicherungsmathematik waren zu jedem der Gebiete Stochastische Grundlagen, Pr~imienkalkulation, Risikoteilung, Reservierung und Solvabilit~it Aufga- ben gestellt worden. Die Zusatzaufgabe wurde jeweils nur gewertet, wenn eine der anderen Aufgaben nicht bearbeitet wurde. Die Zahlen in der Aufgabenstellung geben jeweils die maximal erreichbare Punktzahl an. Die Klausur wurde als bestanden gewertet, wenn 72 der 180 m6glichen Punkte erreicht wurden. Zun~ichst die

A u f g a b e n d e s J a h r e s 1 9 9 7 :

Aufgabe 1 (Grundlagen)

Gegeben sei das individuelle Modell eines Versicherungsbestandes mit n Risiken, deren Verteilungen die Gestalt

Pi = ( 1 - Pi) ~0 + PiQi, i = 1 . . . . . n

besitzen. Sei P = Pi * --- * P,-

a) Geben Sie die Approximation mit einer Poissonschen Summenverteilung fiir P an. (5 Punkte)

b) Geben Sie die Kornya-Approximation der Ordnung 3 ftir P an. (5 Punkte)

c) Wie berechnet man die Kornya-Approximation (beliebige Ordnung) im Falle arithmetischer Ver- teilungen Qi ? (10 Punkte)

d) Welcher Unterschied besteht zwischen der de PriI-Rekursion und der Kornya-Approximation hoher Ordnung? (10 Punkte)

LOsung:

a) Die PSV-Approximation hat die Parameter

~ = ~ P i i - 1

und

l n

Q = )~ i__~l piQi.

b) Die Kornya-Approximation hat die Form

exp()~(H - 6o)), (0.1)

mit

und

~ = ~ (Pi + P ~ / 2 + P~/3) i = l

1 n 1 + 1 (Q,3 _ 3Q,2 + 3Qi) ) H = ~ i ~ l ( P i Q i - 2 - p 2 ( Q * e - 2 Q i ) 3

459

c) Der angesprochene Fall ist der, bei dem alle Verteilungen Qi auf einem Gitter der Form { h, 2 h, 3 h . . . . } leben. Die Kornya-Approximation P einer beliebigen Ordnung lebt dann auf dem Gitter {0, h, 2h, 3h . . . . }, sie bat die Form (0.1), und die Berechnung geschieht mit der Panjer-Re- kursion:

P{0] = exp(- ~.),

^ ~ + 1 k+ii H }P{ P{h(k+ 1)}= ~ {hi h(k + l - i ) } , k =0,1 ,2 . . . i =

d) Eine Kornya-Approximation ist nahezu exakt, sie beruht auf derselben Schreibweise einer Vertei- lung als Exponential des Logarithmus wie die de Pril-Rekursion. Bis auf die Terme hoher Ordnung ist die Rekursion fiir die Berechnung der Kornya-Approximation genau dasselbe wie die de Pill Rekursion. Allerdings sind die Startwerte unterschiedlich: bei Kornya ist dieser exp(-;~), bei de Pill die exakte Wahrscheinlichkeit fur die Null:

P{S=0}-- f i ( 1 - p i ) . i = l

Aufgabe 2 (Pr~imienkalkulation)

a) Erl~iutern Sie die Begriffe Linksfunktion und Varianzfunktion. (5 Punkte)

b) Welche Rolle spielen diese Begriffe bei verallgemeinerten linearen Modellen? (5 Punkte)

c) Der Tarif fiir ein Risiko soil nach drei Merkmalen A, B und C differenziert werden, wobei A 5, B 6 und C 7 Auspr~gungen aufweist. Wieviele Parameter hat ein multiplikatives verallgemeinertes lineares Modell, welches die Haupteffekte und die gemischten Effekte AB beriicksichtigt? (10 Punkte)

d) Wie berechnet man Residuen im Falle Poissonverteilter Beobachtungen? (10 Punkte)

L6sung:

a) Die Varianzfunktion stellt die Abh~ingigkeit der Varianz yore Mittelwert dar; sie legt den Vertei- lungstyp des statistischen Modells lest. Fiir Normal-, Poisson-, Gamma- und inverse Gaul3vertei- lungen ergeben sich folgende Varianzfunktionen: V(#)= 1;/.t; #2 und/.z 3. Die Linkfunktion stellt die Abh~ingigkeit zwischen dem Mittelwert und dem linearen Prediktor, also der Linearkombina- tion der Regressionsparameter, dar. Sie ist eine monotone Funktion g(/.t) des Mittelwertes #. Ergibt g(/-0 den nattirlichen Parameter der exponentiellen Familie, dann spricht man von der natiirlichen Linksfunktion.

b) Bei verallgemeinerten linearen Modellen h~ingt der Maximum-Likelihood-Sch~itzer nur yon den Daten, den Kovariaten (den Tarifmerkmalen), den VolumenmaBen und diesen beiden Funktionen ab. Mit der Varianzfunktion kann man das Modell an einen - m6glicherweise in den Residuen sichtbaren - Trend zwischen Mittelwert und Streuung anpassen.

c) Sei #der Kontrast, seien a i, bj, c k die Parameter ffir die Haupteffekte u n d dij die Parameter ftir die gemischten Effekte der Merkmale A und B. Es werden zur Normierung alle Parameter Null gesetzt, bei denen einer der Indices 1 ist; dann verbleiben die Parameter/1, a2 ..... as, b2 ..... b6, c 2 ..... c 7, und dij , i = 2 ..... 5, j = 2 ..... 6. Das sind insgesamt 1 + 4 + 5 + 6 + 4 x 5 = 36 Parameter.

d) Die klassischen Residuen, die in linearen Modellen ihre Bedeutung haben, werden als Differenz zwischen den Beobachtungen X i und den gesch~itzten Mittelwerten gebildet, wobei mit dem Volu- menma8 v i auf gleiche Varianz standardisiert wird:

e i = (X i -/~i)/~fv i .

Bei Poissonverteilten Beobachtungen werden Residuen mit Hilfe der Devianz definiert: die Devi- anz der Beobachtung X i ist

d i= 2 (OiXi - c(Oi) - (OiXi - c(Oi))) v i ,

460

wobei 0 i der Maximum-Likelihood-Sch~itzer ffir 0i im Modell und 0 i der Maximum-Likelihood- Sch~itzer im vollen Modell ist. Im Poisson-Fall ist v i = 1, 0i = log(/ii), c(0) = exp(0), 0 i = log(Xi), also

di = 2(Xi log(/~i/Xi) - (/~i - Xi)),

ei = \:di s ign(Xi - / ] i ) -

Far x = 0 wird x log(x) = 0 gesetzt.

Aufgabe 3 (Solvabilit~it)

Phasentyp-Verteilungen werden beschrieben durch ihre Parameter Jr (Startvektor) und B (Intensit~its- matrix).

a) Welche Verteilung ist gegeben dutch

( ; l 1 39 (5Punkte) :v=(1 /2 ,1 /2) und B= -1 "

b) Wie lauten die Parameter Jr und B fi]r die Gamma(3,1)-Verteilung? (5 Punkte)

c) Welche Bedeutung haben Phasentypverteilungen ftir die Ruintheorie? (10 Punkte)

d) Ist die Gamma(3/2,1)-Verteilung eine Phasentypverteilung? (10 Punkte)

L6sung: a) Die Verteilung mit Parametern Jgl = ( 1 , 0 ) und obigem B ist die Erlang(2, l)-Verteilung oder eine

Gamma(2,1)-Verteilung (also die Faltung zweier Exp(1)-Verteilungen). Mit 1r 2 = (0, 1) und obigem B erh~ilt man die Exp(1)-Verteilung. Das vorgegebene x = (1/2, 1/2) ist die Konvexkombination von 31" 1 und Jr 2. Somit wird dutch die gegebenen Parameter die Verteilung

12 Erlang(2, I) + 12 Exp(l)

dargestellt.

b) Die Gamma(3, l)-Verteilung ist die dreifache Faltung der Exp(1)-Verteilung. Diese wird dargestellt als Phasentypverteilung mit /:, 0/

Jr=(1 ,0 ,0) und B= -1 1 .

0 -1

c) FiJr Phasentypverteilungen als Schadenh6henverteilungen Q kann man die Ruinwahrscheinlichkeit im klassischen Lundberg-Modell explizit angeben: Sei /z der Erwartungswert von Q, c die Pr~i- mienrate und .~ die Intensit~it der Schadenanzahl. Ist p = )~,u/c und sind ~ und B die Parameter yon Q, dann ist die Ruinwahrscheinlichkeit mit unendlichen Planungshorizont gegeben durch

~p(s) = p~r*' exp(sB*) 1.

Diesen Ausdruck kann man beispielsweise in MAPLE analytisch berechnen. Dabei ist mit der In- tensit~.t bio yon Zustand i nach 0,

l r * = - 1 (B') izr und #

B* = (b~) mit b~j = bij + bi0P~ ~.

d) Jede Phasentypverteilung hat eine rationale momenterzeugende Funktion. Die Gamma(3/2, l)-Ver- teilung hat momenterzeugende Funktion

i - ~ j ' l,

und diese ist nicht rational. Die Gamma(3/2,1)-Verteilung ist somit keine Phasentypverteilung.

461

Aufgabe 4 (Tarifkalkulation)

a) Was ist der Zweck des Bailey-Simon-Verfahrens, und warum strebt man diesen Zweck an? (5 Punkte)

b) Welche 4 Schwachpunkte hat das Bailey-Simon-Verfahren? (5 Punkte)

c) Welche dieser Schwachpunkte werden vom Marginalsummenverfahren tiberwunden? (5 Punkte)

d) Skizzieren Sie ein Verfahren (ffir den Fall zweier Tarifmerkmale), mit dem auch die von Mar- ginalsummenverfahren nicht iiberwundenen Schwachpunkte (iberwunden werden k6nnen, und legen Sie dar, wieso dies der Fall ist. (15 Punkte)

LOsung:

a) Der Zweck des Bailey-Simon-Verfahrens ist der Ausgleich der Schadenerfahrung der Tarifzellen bei kreuzklassifizierter Tarifstruktur. Damit m6chte man folgende Ziele erreichen:

• eine Stabilisierung der Schwankungen der zellweisen Schadenerfahrung durch Berticksichti- gung benachbarter Tarifzellen (genauer aller Zellen, die bis auf ein Merkmal iibereinstimmen),

• eine Tariforganik dergestalt, dab zwischen zwei Auspragungen eines Tarifmerkmals ceteris pa- ribus stets die gleiche Gr6Ber-Kleiner-Relation besteht,

• eine Reduktion der Anzahl der Parameter, die neben den genannten Effekten auch eine einfa- chere Darstellung des Tarifes durch Zu- bzw. Abschl~ige ffir jede Merkmalsauspr~igung erm6g- licht.

b) Das Bailey-Simon-Verfahren

• ist ausreiBerempfindlich,

• iibersch~itzt die Marginalsummen,

• erm6glicht keinen Anpassungstest und

• liefert keine Angabe zur Genauigkeit der Parameter bzw. der ausgeglichenen Schadenbedarfe.

c) Das Marginalsummenverfahren tiberwindet die beiden erstgenannten Schw~ichen, nicht jedoch die beiden letztgenannten.

d) Man lege dem Schadenbedarf Zik von Zelle (i, k) ein stochastisches Modell aus einer Exponential- familie (z. B. eine Gammaverteilung) zugrunde und sch~itze die Parameter x~, Yk der multiplikati- ven oder additiven Tarifstruktur EZik = x i ~ Yk mittels Maximum-Likelihood. Auf diese Weise er- halt man einen Anpassungstest mittels des Likelihood-Quotienten-Tests gegen die Parametrisie- rung EZik = #ik und kann die Genauigkeit (den Standardfehler) der Parameter und tier ausgegli- chenen Schadenbedarfe aus der (asymptotischen) Kovarianz des ML-Schatzers ermitteln.

Aufgabe 5 (Schadenreservierung)

a) Nennen Sie die Modellvoraussetzungen des Verfahrens der anfalljahrunabh~ingigen Schadenquo- tenzuw~ichse. (5 Punkte)

b) Geben Sie den Sch~itzer Ri ffir die Schadenreserve R i des i-ten Anfalljahres an. (5 Punkte)

c) Geben Sie einen Sch~itzer ftir den mittleren quadratischen Fehler E(R i - Ri) 2 an. (15 Punkte)

d) Wozu kann man den in c) angegebenen Sch~itzer verwenden? (5 Punkte)

LOsung:

a) Die Modellvoraussetzungen des Verfahrens der anfalljahrunabh~ingigen Schadenquotenzuw~ichse lauten:

• Die Zuw~ichse Sik von Anfalljahr i in Abwicklungsjahr k sind unabh~ingig ffir alle 1 < i, k < n.

• FUr jedes Anfalljahr ist ein Volumenmal3 v i bekannt mit

E(Sik/Vi) = m k und Var(Sik/vi) = s~/v i fiir alle i, k.

462

b) Wegen R i = Si.n+2_ i + ... + Si, n sch~itzt man R i durch

1Ri=Si,n+2-i +- . . +skn =Vi(l~n+2 i +- . . +l~n)

mit n+l-k n+l k

l~qk---- ~ Sj, k/ ~ Vj. j : l j : l

c) Der mittlere quadratische F e h l e r E ( l ~ i - R i ) 2 ergibt sich aus folgenden Formeln:

E (1:3, i - Ri) 2 = Var (1~ i - Ri) = Vat (l~i) + Var(Ri),

Var(Ri)= ~ Var(Sik)= ~ vis 2, k=n+2-i k=n+2 i

.+ t k ( . + l - k )2 Var(rnk)= ~' Var(Sjk)/ j~l vj

j=l =

= Z VjS 2/ Vj =S2 ] Z Vj. i = z j = 1 j = 1

Um zu einem ScMtzer f a r E ( R i - Ri) 2 zu kommen, mtissen nut noch die unbekannten Parameter s 2 durch die Schatzer g2 ersetzt werden:

)2

' - n - i i=t ~ v j

• ^ ~ ^ 2 Sn =~2 mln(Sn_2, s n l)-

d) Mit Hilfe des Sch~itzers aus c) kann man n~iherungsweise ein Konfidenzintervall ftir R i angeben, z.B. durch Annahme einer Normal- oder Lognormalverteilung; bei der Normalverteilung verwen- det man als Parameter fiir den Erwartungswert ft i und ftir die Varianz den Schatzer f a r E ( P x i - Ri) 2. Auf diese Weise kann man prtifen, ob andere SchS.tzer far R i signifikant yon dem in b) angegebe- nen ft i abweichen.

Aufgabe 6 (Risikoteilung)

Im kollektiven Modell sei F die Verteilungsfunktion der SchadenhOhe X, G die Verteilungsfunktion des Gesamtschadens S und r der Entlastungseffekt.

a) Geben Sie die Verteilungsfunktion 1 ~ der Schadenh6he des Riickversicherers unter einer Scha- denexzedenten-Riickversicherung mit Priorit~it a und Haftung c an. (Zur Kontrolle empfehlens- wert, aber nicht Teil der Aufgabe, ist es, den Erwartungswert

SxOF(x) 0

mit dem erhaltenen F zu berechnen.) (10 Punkte)

b) Geben Sie die Verteilungsfunktion (3 des Oesamtschadens des Riickversicherers unter einer Stop- Loss-R~ickversicherung mit Priorit~it b und Haftung h an. (5 Punkte)

c) Zeigen Sie, dab ein linearer Verlauf yon r in einem Intervall [aj, a2] nur mOglich ist, wenn keine SchadenhOhen zwischen a I und a 2 vorkommen k6nnen. (5 Punkte)

d) F sei eine Lognormalverteilung mit Erwartungswert EX = 6.000 und o= 1,8. Berechnen Sie den Erwartungswerl der bei a = I00.000 kupierten Schadenh6he J~= rain (X, a). (10 Punkte)

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Lgsung:

a) Vom Originalschaden X tr~igt der Riickversicherer

! falls X < a ,

)~= - a falls a < X < a + c ,

falls a+c<_X.

Daher ist

F(x) = P(X_< x l X > 0) = P(;~_< x IX > a)

=P(X_<x und X > a ) / P ( X > a )

[_F(a+x)-F(a) falls 0 < x < c ) 1 F ( a )

~1 falls x >c.

b)

c)

d)

Fiir den Gesamtschaden S des Rtickversicherers gilt:

f ! falls S < b, S= - b falls b < S < b + h ,

falls b+h_<S,

also

Wegen

ist

G(b) falls y =0,

G ( y ) = ~ G ( b + y ) falls 0 < y < h ,

tl falls h _< y.

-) r(x) = E(min(X, x ) ) /E(X) - (1 - F(t)) dx/EX, x > 0, 0

r'(x) = (1 - F(x))/E(X).

Wenn r linear in [al, a2] ist, so ist r' und damit auch F konstant in (a l, a2). Letzteres besagt aber ge- rade, dab zwischen a Iund a 2 keine Schadenh6hen vorkommen k6nnen.

-i E(min(X, a)) - xdF(x) + a(l - F(a)) 0

= EX - SxdF(x) + a(l - F(a)). a

Ftir die Lognormalverteilung F(x) = A(x; /~ a) = q~((ln(x) -/2)/o) (mit der Verteilungsfunktion q~ der Standard-Normalverteilung) gilt lauf Formelsammlung

S xdF(x) = E(X) (1 - A (a; # + 0 2, o)). a

Wegen E (X) = exp (# + 02/2) ist/2 = In (E (X)) - 02/2 = 7,08. Dies ergibt

F(a) = q)((ln(a)-/-0/c0 = ~(2,463)= 0,9931,

A(a; # + 02, o) = q)((ln(a) - # - 02)/o) = q)(0,663) = 0,746,

E(min(X, a)) = E(X) A(a; # + 02, o) + a(1 - F(a))

= 4476 + 690 = 5166.

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Zusatzaufgabe

Erl~iutern Sie die Grundidee der Credibility Theorie und beschreiben Sie die Modelle 1) Btihlmann- Straub, 2) Credibility-Regression von Hachemeister und 3) hierarchisches Credibility Modell. In wel- cher Sparte wird eines dieser Modelle angewandt? (15 Punkte)

LOsung:

Credibility-Methoden werden angewandt, urn den Schadenbedarf einzelner Versicherungsvertrage aus der individuellen Scbadenerfahrung (des einzelnen Vertrages) zu bestimmen. Hierbei wird die Daten- basis erweitert in Situationen, in denen - pro Vertrag - wenige Beobachtungen, aber viele gleichartige Vertr~ige vorliegen. Dies geschieht dutch Einbeziehung der Schadendaten aller Vertr~ige in den Sch~it- zer des individuellen Schadenbedarfes. Die Gleichartigkeit der Vertr~ige wird in den Modellen 1) bis 3) unterschiedlich modelliert. In 1) bis 3) werden die Beobachtungen aus den Vertr~igen, gegeben ge- wisse nicht beobachtbare Risikoparameter 0 = (0j), als bedingt stochastisch unabh~ingig angenommen. In 1) und 3) erfiillen die Beobachtungen Xij aus Vertrag j die Beziehung

E(X~j[ O) = # (Oj), Var(X~j I 0) = 02 (0j)/v~j,

und in 2) r

E(Xij l0) = ~ Yijk/3k (0j), k = l

Var(Xij I 0) = o 2 ( 0 j ) / v i j .

Hierbei sind vii Volumenmage zur Beobachtung Xij. In 1) und 2) sind 0~, 02 .... stochastiscb unabh~in- gig und identisch verteitt, was die Unabh~ngigkeit der Vertr~ige impliziert. In 3) besitzen die O's selbst eine Credibility-Struktur: die Vertr~ige sind gmppiert nach homogenen Kohorten, die jede einen eigenen Risikoparameter ~Pk besitzen, und die zu den Vertr~igen in der Kohorte k geh6renden Vertr~ige sind, ge- geben ~p = OPk), stochastisch unabh~ingig und identisch verteilt. Die Kohortenparameter sind ihrerseits stochastisch unabh~ingig und identisch verteilt, was die Unabhangigkeit der Kohorten impliziert. Nun zu den

Aufgaben des Jahres 1998:

Aufgabe 1 (Grundlagen)

1. Zeigen Sie, daB die Funktion f(x) = (3/2) exp(- x) - exp(- 2x)

die Dichte einer Phasentypverteilung ist, und geben Sie ihre Parameter an. (10 Punkte)

2. FiJr welche Schadenzahlverteilung kann man die Gesamtschadenverteilung im kollektiven Modell bei einer Phasentyp-Schadenh/Shenverteilung explizit angeben? (15 Punkte)

3. Ist Gamma( 1 ; 0,5) mit der Dichte

1 f (x)= ~ exp(- x), x > 0, {~x

eine Phasentypverteilung? (5 Punkte)

Lgsung:

1. Die Form der Dichte deutet darauf hin, dab die Verteilung aus den Exponentialverteilungen mit den Parametern l und 2 gebildet wurde. Die Faltung der beiden zugehOrigen Dichten

exp(-x) und 2 e x p ( - 2 x ) , x > 0 ,

ist g(x) = 2(exp(- x) - exp(- 2x)), x > 0,

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und das ergibt, gemischt mit h(x) = exp(- x), die gegebene Dichte:

f(x) = 1 g(x) + 1 h(x).

Somit ist f(x) die Dichte einer Phasentypverteitung mit Startvektor 1r = (1/2, 1/2) und

(mit Wahrscheinlichkeit 1/2 startet man in Zustand 1 und geht dann fiber Zustand 2 zum absorbie- renden Zustand 0.)

2. Ist die Schadenanzahl geometrisch verteilt, so ist bei einer Phasentyp-Schadenh6henverteilung auch die Gesamtschadenverteilung phasentyp und ihre Verteilung explizit angebbar. Dasselbe gilt auch far Faltungen geometrischer Verteilungen, also insbesondere ffir negative Binominalvertei- lungen mit ganzzahligen Parameter r. Dies beruht darauf, dab fiir Summenverteilungen SV (Q, R) mit Schadenh6henverteilung Q und Schadenanzahlverteilung R

SV(Q, R 1 *...Rn) = SV(Q, RI) * ...* SV(Q, Rn)

gilt und darauf, dab Faltungen von Phasentypverteilungen wieder phasentyp sind.

3. Phasentypverteilungen haben eine rationale momenterzeugende Funktion. Die momenterzeugende Funktion der angegebenen Verteilung ist

( l 11/2 M E F ( t ) = k , I ~ - ) , t < l

und diese Funktion ist nicht rational.

Aufgabe 2 (Solvabilit~it)

1. Welche Verteilungsklasse benutzt man zur Grol3schadenmodellierung, und welche Auswirkung haben Grol3sch~iden auf die Ruinwahrscheinlichkeit? (8 Punkte)

2. Sei Q eine Schadenh6henverteilung derart, dab ffir t > 1000

1 Q(t,,~) = ~ - .

Bestimmen Sie die asymptotische Ruinwahrscheinlichkeit im klassischen Lundberg Modell mit den Parametern i = 1 (Intensit~it), c = 2 (Pr~imie), und/.t= 1 (mittlere Schadenh6he). (15 Punkte)

3. Welche Grof3schadenverteilung ist die gef'~ihrlichere, die Lognormalverteilung oder die Paretover- teilung? Begrfinden Sie Ihre Antwort. (7 Punkte)

L6sung:

1. Man benutzt als Schadenh6henverteilungen subexponentielle Verteilungen wie die Loggamma- Verteilungen, die Lognormalverteilungen oder die Weibullverteilungen mit Formparameter/3 < 1. Eine subexponentielle Schadenh6he hat Einflul3 auf das asymptotische Verhalten der Ruinwahr- scheinlichkeit im klassischen Lundberg-Modell: statt der Cramer-Lundberg-Asymptotik

~p(s) - C exp(- Rs), s --, oo,

die fur Kleinsch~iden gilt, ist

~p(s)- P H(s,o~), s-->oo. (0.2) 1 - p

Hierbei ist ~p(s) die Ruinwahrscheinlichkeit bei Startkapital s, Schadenh6henverteilung Q, Priimie c und Schadenintensit~it 2. Die Zahl R > 0 ist der Anpassungskoeffizient des Problems (Q, c, 2),

466

und 0 _< C < 1 eine Konstante, die von R und Q abh~.ngt. Ferner ist

p = ,a4.t(Q)/c und

1 = Q ( x , , , > 0.

Die Beziehung (0.2) gilt immer dann, wenn H subexponentiell ist, und dies ist wahr fiir die oben angegebenen SchadenhOhenverteilungen Q. Fttr subexponentielle Verteilungen existiert kein An- passungskoeffizient, und die Beziehung (0.2) zeigt, dab die Ruinwahrscheinlichkeit nicht mehr ex- ponentiell gegen Null konvergiert.

2. In dieser Situation ist mit den Bezeichnungen aus Tell 1 1 p = - , 2

und for s > 1000

Damit wird

d t _ t H(s, oo)=. t2 s"

1 ~p(s) - - . S

3. Die Paretoverteilung ist die gefiihrliche Verteilung. W/ihrend bei der Lognormalverteilung LN (/,I, o) alle Momente endlich sind, ist alas bei der Pareto(a)-Verteilung nur fiir Momente der Ord- hung < a der Fall. Ferner gilt fiir eine Lognormalverteilung Pj und eine Paretoverteilung P2

lim Pl(t"~) - lim - 0 . t ~ P 2 ( t , ¢°) t ~ t -a

Die Teilwahrscheinlichkeiten der Paretoverteilung sind demnach fiir groBe Argumente deutlich gr6Ber als die Tailwahrscheinlichkeiten der Lognormalverteilung. Dies gilt unabh/ingig yon den vorliegenden Parametern p, a und a.

Aufgabe 3 (Tarifkalkulation 1 )

Nach der statistischen Analyse fiir den mittleren Schadenbedarf inhomogener Risiken mit Hilfe linearer Modelle haben Sie folgende Residuenplots erhalten. Interpretieren Sie diese, und geben Sie m6gliche Konsequenzen Ihrer Analyse an. (Pro Fall 10 Punkte)

467

. . . . . ,

LOsung:

1. Plot: Gleichgtiltig, welche Variable z auf der horizontalen Achse dargestellt ist: das Modell erfal3t nicht die gesamte in den Daten enthaltene Struktur. Wenn man eine weitere erkl~ende Variable der Form f(z) mit einer Parabel oder einem Polynom h6heren Grades fiar f berticksichtigt, dann werden Residuen entstehen, welche die jetzt sichtbare Struktur nicht mehr aufweisen.

2. Plot: Auf der vertikalen Achse sind die Residuen, auf der horizontalen Achse der gesch~itzte Scha- denbedarf dargestellt. Es fallt auf, dab die Residuen ftir groBe Werte des gesch~tzten Schadenbe- darfs weiter streuen als bei kleinen Werten. Dies deutet darauf hin, daB in dem Modell nicht mit der richtigen Varianzfunktion gearbeitet wurde. Zumindest ist sichtbar, dab die konstante Varianzfunk- tion, welche man im linearen Modell annimmt, mit den Daten nicht im Einklang steht. Ein GLM- Ansatz mit einer linearen Varianzfunktion scheint angebracht.

3. Plot: Die Residuen, welche auf der vertikalen Achse abgetragen sind, erscheinen nach unten be- schrankt. Dies ist bei symmetrisch verteilten Residuen nicht der Fall. Es kann vorkommen, wenn die Residuen selbst nach unten beschrankt sind, wie z. B. bei gammaverteilten Zufallskomponenten. Man

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sollte hier ein Histogramm der Residuen plotten, um zu erkennen, welche Verteilung die Residuen be- sitzen, und danach ein ftir diese Verteilung geeignetes Verallgemeinertes Lineares Modell aufstellen.

Au(gabe 4 (Tarifkalkulation 2)

Zur Modellierung des Schadenbedarfs mehrerer kreuzklassifizierter Tarifgruppen wird h~iufig ein Ver- allgemeinertes Modell (GLM) mit gammaverteilter Zufallskomponente und logarithmischer Link- funktion verwendet.

1. Wieso ist die Gammaverteilung ein a priori in Betracht kommendes Modell fiir die Verteilung des Schadenbedarfs einer homogenen Tarifgruppe? (7 Punkte)

2. Die zur Gammaverteilung geh6rende kanonische (natiirliche) Linkfunktion ist g (#)= 1/#. Wieso wird in der Praxis dennoch meistens die log-Linkfunktion vorgezogen? (5 Punkte)

3. Als Ergebnis ffir obiges Modell liefert eine GLM-Software ftir den Schadenbedarf Z i jeder Tarif- gruppe i fiblicherweise folgende Angaben:

• d a s Volumen v i (Eingabewert)

• den beobachteten Schadenbedarf z i (Eingabewert)

• den ML-Sch~itzer/~ ftir den ausgeglichenen Schadenbedarf/4 = E ( Z i )

• den ML-Sch~itzer Yi f~ir den linearen Pr~idiktor Yi = ln(/4)

• dessen Standardfehler s.e. (?~i) = Oi

• den in allen Tarifgruppen gleichen Skalierungsparameter O.

Geben Sie anhand dieser lnformationen einen Sch~itzer ftir den Variationskoeffizienten Vko(Zi) des Zufallsfehlers und einen Sch~itzer ftir den Variationskoeffizienten Vko(/~) des Schatzfehlers an. (Hinweis: Benutzen Sie ftir Vko(/~) die asymptotische Verteilung yon Yi.) (18 Punkte)

L6sung:

1. Die Gamma-Verteilung ist bereits fiir den Jahresgesamtschaden eines Einzelrisikos ein zwar noch grobes, aber doch akzeptables Modell, da sie dessen wichtigsten Merkmale

• Definitionsbereich (0,,,~),

• viel Wahrscheinlichkeitsmasse nahe bei (1,

• stark rechtsschiefe Verteilung

ann~hern kann (ftir kleines cx). Der Gesamtschaden einer homogenen Gruppe unabhangiger sol- cher Risiken ist dann wieder gammaverteilt, wobei sich die Grobheiten reduzieren. Auch beim Ubergang auf den volumenbezogenen Schadenbedarf bleibt die Gammaverteilung erhalten und stellt daher insgesamt ein a priori geeignetes Modell dar.

2. Der log-Link fiihrt zu einer multiplikativen Tarifstruktur, denn beispielsweise bei zwei Tarifmerk- malen ist der lineare GLM-Ansatz

ln(E(Zi~k) ) = # + ct i +

~iquivalent zu E(Zi.k) = exp(p) x exp (ai) x exp (/~),

wobei die Nettopr~imie gerade multiplikativ von je einem Faktor pro Merkmal abh~ingt. Eine sol- che multiplikative Tarifstruktur ist erstrebenswert zum Erreichen einer Tariforganik, d.h. die Aus- wirkung einer Merkmalsauspr~igung ist in allen Tarifgruppen durch einen einheitlichen prozentua- len Zu- oder Abschlag vonder Grundpr~imie gegeben. Bei inverser Linkfunktion

(E(Zi.k)) i = t,t+ ai + / ~

ergO.be sich keine multiplikative Tarifstruktur.

3. Der Gesamtschaden eines Einzelrisikos von Tarifgruppe i hat laut Tell 1 eine Gammaverteilung mit Erwartungswert /4, d.h. gemaB Formelsammlung betr~igt die Varianz /42/a. Der Gesamt- schaden S ivon v i unabh~ingigen solchen Risiken hat also Erwartungswert vi/4 und Varianz vi/~/a.

469

Der Schadenbedarf Z i = Si/v i der Tarifgruppe i hat dann Erwartungswert /4 und Varianz /~/(via) , d.h. Variationskoeffizient Vko(Zi )= (vict)- t/2, was mit Hilfe des Sch~,tzers ftir a ge- schatzt werden kann. J l ist als ML-Sch~itzer asymptotisch normalverteilt mit Erwartungswert ln(/4) und Varianz 0~. Daher ist /2i=exp(2~i) lognormalverteilt mit (laut Formelsammlung)

Vko(/~i) = ~exp(oi2) - 1 = ai falls 0 i ,~ 1. Auch hier braucht man nur noch den Schatzer far 0 i

einzusetzen.

Aufgabe 5 (Schadenreservierung)

| . Welches stochastische Modell fiir den kumulierten Schadenstand Ci, k von Anfalljahr i nach k Ent- wicklungsjahren liegt dem Chain-Ladder-Verfahren zugrunde? Zeigen Sie, dab in diesem Modell zwei aufeinanderfolgende Einzel-Abwicklungsfaktoren C i , k / f i , k _ 1 und C i , k + l ] C i , k unkorreliert sind. (12 Punkte)

2. Wendet man alas Credibilitymodell von Biihlmann-Straub auf die Anfalljahre eines Abwicklungs- dreiecks der Schadenzahlungszuw~ichse an, so erh~,lt man den Credibility-Reservesch~itzer

Ri(ci) = (l --Wi) (ciCi,n+ 1 i/wi .4- (1 - c i ) viqi), wobei

v i = Volumen des Anfalljahres i C i , n + l _ i -- aktueller kumulierter Schadenstand des Anfalljahres i qi = a priori erwartete Endschadenquote E(Ci, n/Vi) w i = a priori erwarteter Anteil Ci,n+l_i/Ci, n des nach n + 1 - i Entwicklungsjahren bereits

bezahlten Schadenbetrags c~ = Credibility Faktor.

Geben Sie drei verschiedene Werte ftir c i an, far die 13,i(c~) jeweils mit der Reserve einer bekann- ten Schadenreservierungsmethode iJbereinstimmt. Nennen Sie die sich jeweils ergebende Me- thode, und erl~iutern Sie far jeden der drei Werte von c i, in welcher Situation die betreffende Wahl sinnvoll ist. (18 Punkte)

LOsung:

1. Das Chain-Ladder Modell lautet

E(Ci,k+ I[ Cil . . . . . C i k ) --- f k C i k , 1 _< k _< n - 1,

mit unbekannten Parametem fl . . . . . f , - l . Far Ci, k ~> 0 folgt daraus

E(Ci,k+l/Ci,kl C i l . . . . . Cik) = fk und somit

E(Ci.k+l/Ci,k) -- fk"

Ebenso ist g(Ci,k/Ci,k I) =fk-l"

Schlieglich gilt noch

~ Ci, k-I ~,i , ; Ci, k-I Ci, k [Ci,1 ..... Ci, k l ]

C ,k+l ~ ~ /1 = E l C i ' k ~ E / ~ l t 2 i 1 .... {Zi k LCi, k-1 k x~i,k )J

= E ( Ci'k f k / = E / Ci'k / E / C i ' k + ' / t c ,k, ) t )'

was gerade die Bedingung der Unkorreliertheit ist.

470

2. Die drei Werte ffir c i sind 0, 1 und w i. Die resultierenden Reservierungsmethoden sind:

Ri(0) = (1 - w i ) v i q i = Bornhutter-Ferguson-Reserve,

R i ( 0 ) ~- ( l - wi) Ci ,n+ I i /wi -- Ci ,n+ 1 i / w i - C n + l _ i = Chain-Ladder-Reserve

mit

1 = ? n + l - i X ' - - X F n 1 W i

(Produkt der Sch~itzer der Abwicklungsfaktoren),

l:?~i(Wi) = (1 - -Wi) (Ci ,n+ I i + (1 - W i ) v iq i ) = Benktander/Hovinen/Neuhaus-Reserve.

In Pxi(Ci) kommen mit Ci,,1 + i_i/Wi und viq i zwei verschiedene Sch~itzer fiir den Schadenendstand von Anfalljahr i vor: Der erste ist eine Hochrechnung aus dem aktuellen Schadenstand und basiert entscheidend darauf, dab der aktuelle Stand tats~chlich den An td l % am Endstand ausmacht. Der zweite Endstandsch~itzer beruht ausschlieNich aus der a-priori Einsch~itzung des Anfalljahres und ignoriert den aktuellen Schadenstand vrllig. Diese beiden sehr unterschiedlichen Endschaden- sch~itzer werden durch den Credibility-Faktor c i zu einem gewichteten Mittel zusammengefal3t. Der Faktor 1 - w i ergibt lediglich den Obergang vom Endstandsch~itzer zur Reserve.

c i = 0 gibt dem hochgerechneten Endsch~itzer keinerlei Gewicht bzw. GlaubwiJrdigkeit. Dies ist nur sinnvoll, wenn der bisherige Schadenstand Ci,n+l i falsche Hinweise auf die weitere Scha- denentwicklung gibt, d.h. insbesondere bei Ci, n + l _ i = 0. Enthalt Ci.n+ I i dagegen einen unerwar- teten Grogschaden, so ist es besser, diesen zu stutzen und das derart modifizierte C i , n + l _ i hochzu- rechnen als c i = 0 zu setzen. Auch eine deutlich schnellere (bzw. langsamere) Abwicklung als er- wartet gibt keinen AnlaB zu c i = 0, sondern zu einer .Anderung der %.

ci = 1 vertraut nut dem hochgerechneten Endstandsch~itzer und gibt dem a-priori Sch~itzer viq i keinerlei Gewicht. Dies ist sinnvoll, wenn die Sch~iden des Anfalljahrs schon als weitgehend ge- meldet angesehen werden und klar ist, dab die Annahmen, die in viq i stecken, sich als falsch er- wiesen haben. Enth~ilt C i , n + l _ i einen unerwarteten GroBschaden, so sollte dieser gestutzt werden.

c i = w i is t ein fast immer sinnvoller Weft fiJr die Gewichtung der beiden o.a. Endstandsch~itzer, da die w~ genau in dem MaBe von 0 auf 1 wachsen, wie sich der akkumulierte Schadenstand Ci,n+l_ i seinem Endstand n~ihert (zumindest solange die w i fiir zutreffend gehalten werden), d.h. der aktu- elle Schadenstand erhalt umso mehr Gewicht, je nS.her er seinem Endstand kommt. EnthS.lt Ci.,+~ i einen unerwarteten GroBschaden, so sollte dieser gestutzt werden.

Aufgabe 6 (Risikoteilung)

1. Das Portefeuille eines Erstversicherers bestehe aus m Risiken i = 1 , . . . ,m mit Versicherungssumme u i und werde im Laufe eines Jahres von den Schadenh6hen X I, X 2 . . . . . X N betroffen, wobei Scha- den Xo Risiko i(n) betrifft.

a) Geben Sie den Selbstbehalts-Gesamtschaden S l(a) des Erstversicherers unter einer unlimitier- ten Schadenexzedenten-Rtickversicherung mit Priorit~it a an.

b) Geben Sie den Selbstbehalts-Gesamtschaden S2(b) des Erstversicherers unter einer unlimitier- ten Summenexzedenten-Rtickversicherung mit Maximum b an.

c) Sei nun 0 < b < max {X 1, X 2 . . . . . XN} sowie X n = uiln) fiir alle n, d.h. jeder Schaden ist ein To- talschaden (z.B. Unfalltodversicherung). Ftir welche Werte von a gilt S l ( a ) < S2(b)? (10 Punkte)

2. Der Gesamtschaden S sei diskret auf den nattMichen Zahlen {0, 1 ,2 . . . . } verteilt mit P(S < 10) = 0,77. Augerdem sei Qs(10) = 0,85, wobei Qs(t) die Schadenerwartung des Riickversi- cherers unter einer unlimitierten Stop-Loss-Riickversicherung mit Priorit~it t bezeichnet. Berech- nen Sie Qs( l l ) . (Hinweis: Berechnen Sie zuerst Q s ( 1 0 ) - Q s ( l l ) . ) (10 Punkte)

471

3. Erstversicherer EV und Rtickversicherer RV vereinbaren folgende Teilung des Gesamtscha- dens S von EV (,,inverser Stop Loss"): Der vom RV zu bezahlende Betrag R sei (mit 0 < a < b < o o )

S - b falls S > b 0 falls a < S < b,

- (a - S) falls S < a (d.h. RV erhalt den Betrag a - S vom EV).

Sie haben far die Ihnen bekannte Verteilungsfunktion G(s) = P(S <_ s) ein PC-Computerprogramm zur Berechnung der Stop-Loss-Schadenerwartung

Qs(t) = E [max(S - t, 0)]

ftir beliebige Priorit~iten t > 0. Drticken Sie E(R) ausschliel31ich mit Hilfe von Q, a und b aus. (10 Punkte)

L6sung:

1. a)

b)

c)

N

S 1 (a) = ~ min(a, Xn). n=l

$2 (b) = ~=1 m i n ( ~ b ' 1 xn ' ~ Ui(n)

N Xn=ui(n) ~ S 2 ( b ) = ~ min(b, X n ) = S l ( b ) .

n=l

S l(a ) ist streng monoton wachsend in [0; max { X 1 . . . . . XN }), daher gilt S l(a ) < S2(b ) genau ffir alle a < b .

Qs (10) - Qs (11) =

2. Mit gn = P(S = n) ist

3.

Qs(10)= ~. ( n - 1 0 ) g n = ~ ( n - 1 0 ) g n , n=10 n = l l

( n - 1 0 ) g n - ~ ( n - l l ) gn n=l l n= l l

=(II-IO) Z g. n=l l

10

= 1 - ~, gn=0 ,23 , n=0

Qs(11) = Qs (1 0 ) - 0, 23 = 0, 62.

E(R) = i (s - a) dG(s) + ~ (s - b) dG(s) 0 b

= S ( s - a) d G ( s ) - I ( s - a) dG(s) + Os(b) 0 a

= Q s ( 0 ) - a - Q s ( a ) + Q s ( b )

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Zusatzaufgabe

1. Beschreiben Sie die gebr/~uchlichen Berechnungsverfahren ftir die Gesamtschadenverteilung im kollektiven Modell, bei dem die Schadenanzahl negativ binominalverteilt ist und die Schadenh6he a) eine Dichte besitzt oder b) auf den Zahlen 1, 2, 3... konzentriert ist. (8 Punkte)

2. Betrachten Sie im obigen Fall a) die Beriicksichtigung einer Selbstbeteiligung (also einer Entsch~i- digung fiir einen Schaden der H6he X in H6he von max (X - M, 0). Wie ~indert sich die Schaden- anzahl- und die Schadenh/Shenverteilung? (7 Punkte)

3. Wie kann man im Fall a) die Vereinbarung eines Limits (also eine Entsch/idigung ftir einen Scha- den X in H6he von rain(X, L)) beriicksichtigen? Wie kann man insbesondere mit dem Problem umgehen, dal3 die Gesamtschadenverteilung weder diskret noch stetig ist? (15 Punkte)

LiJsung:

1. Im Falle yon a) wird die Rekursionsformel fiJr Dichten angewendet: x

f(x) -- Pl g(x) + 5(a + b -Y) g(y) f(x - y) dy, 0 x

wobei f(x) die Dichte der Gesamtschadenverteilung rechts vonder Null ist, g(x) die Dichte der Schadenh6he, Pl = rp(l - p)r, a = p, b = (r - l)p. Startwert ist f(0) = pig(0). Im Fall b) lautet die Rekursionsformel k l( /

PIk+l)=j~l= a + b k + l j Q { j } P { k + I - j } ,

mit denselben Werten ffir a und b, der Startwert ist P {0} = (1 - p)".

2. Sei q = P(X _< M). Die neue Schadenh6henverteilung hat die Dichte g(x + M)/(I - q), x > 0. Die neue Schadenzahlverteilung ist wieder eine negative Binominalverteitung mit Parametern r und

p' = ___Pq l - p + p q "

Dies sieht man folgendermagen: Die neue Schadenzahl N' ergibt sich aus der alten Schadenzahl N und den Schadenh6hen X 1, X 2, ..., X N dutch

N

N'= ~ I(XI>M), i - I

und diese hat wegen der Unabhangigkeit der Schadenh6hen und der Schadenanzahl die erzeu- gende Funktion / , p ,p /:C,p/r

l - p ( i ~ q + q z ) = l - p + p q - p q z ~ l - p ' z ) "

Dies ist die erzeugende Funktion der negativen Binomialverteilung mit Parametern r und p'.

3. Die Entsch~idigung min(X, L) hat im Intervall (0, L) die Dichte g(x) von X und in L die Punkt- masse w := P(X _> L). Die Gesamtschadenverteilung hat dann positive Masse qk auf den Punkten kL, k = 0, 1, 2 ..... und zwischen diesen Punkten hat sie eine Dichte f(x).

1. FUr die Poissonverteilung: Ist die Schadenanzahl Poisson-verteilt mit Parameter ,~, dann kann man die Gesamtschadenverteilung P a l s Faltung zweier Poissonscher Summenverteilungen schreiben:

P = PSV(;t(I - w), Q0 * PSV (,t.w, 6L).

Hierbei ist Ql die Verteilung auf (0, L) mit Dichte g(x)/w, und 6 List die Verteilung mit Masse I im Punkte L. Beide Verteilungen sind mit den tiblichen Verfahren zu berechnen, und die Fal- tung ist wenig rechenintensiv.

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2. Ffir die geometrische Verteilung: Die Gesamtschadenverteilung P kann man schreiben als Kon- vexkombination

P = ctP l + (1 - c0 P2,

wobei P l die Dichte f(x)/ct und P2 die Punktwahrscheinlichkeiten P2 { kL} = qk/( 1 - ct) besitzt. Die Verteilung Q von min(X, L) kann man ebenso schreiben:

Q -- (1 - w) Ql + WOL. Mit

ergibt sich

P = Y~ p n ( 1 - p ) Q * n = ( 1 - p ) 6 o + p ( P , Q ) n = 0

3.

a P 1 + (1 - c0 P2

= (1 - p ) 60 + p { a ( 1 - w ) Pj * Ql + awP1 * 6L

+ (I - Ct) (1 - W) P2 * Q1 + (1 - a) wP 2 * 6L}.

Well sich Punktmassen auf der rechten und linken Seite dieser Gleichung entsprechen mtissen, gilt

(1 - a) P2 = (1 - p ) 60+ p (1 - a) wP 2 * 6 L

sowie

a P 1 = p {a( l - w) Pl * Q1 + awP1 * 6L + (1 - a) (1 - w) P2 * QI },

Aus der ersten Gleichung erhNt man

Pk = (PW) k (1 -- p),

und ftir die Dichte f(x) im Intervall (mL, (m + 1)L) erhalt man die Beziehung

min(x,L)

f ( x ) = p Jg (y ) f (x - y) dy + pw f (x - L) + pqm g(x - mL). 0

Damit kann man die Dichte von P rekursiv berechnen. Die beiden Spezialf~ille a) und b) wurden als vollst~indige LOsungen der Aufgabe gewertet. Der allgemeine Fall ist ftir eine Klausur zu aufwendig, er wird aber der Vollst~indigkeit halber eben- falls dargestellt.

Der allgemeine Fall: Wir zerlegen die Gesamtschadenverteilung P wie in b) in den Teil mit Dichte f(x) und den diskreten Teil mit Punktwahrscheinlichkeiten qk in den Punkten kL, k = 0, 1, 2 . . . . . Die Punktwahrscheinlichkeiten sind

qk = wkpk, k = 0, 1,2 . . . .

wobei Pk, k = 0, 1, 2 . . . . die Punktwahrscheinlichkeiten der Schadenzahlverteilung sind. Ftir die Berechnung der Dichte f(x) zwischen den Massepunkten mL und (m + 1) L, m = 0, l, 2 ... ben/3tigt man eine Rekursionsformel, die ftir beliebige Schadenh6henverteilungen gilt. Eine solche erh~ilt man far die Verteilungsfunktion F(x) des Gesamtschadens:

t l -V

F(u) - - P0 + ~ a + b Y dG(y) dF(v) , (0.3) o y + v

wobei G(y) die Verteilungsfunktion der Schadenh6henverteilung Q ist. Dies folgt mit Integra- tion der Rekursionsformel ftir Dichten:

x / y / f (x ) = pl g(x) + ~ g0(y) a + b f ( x - y) dy.

o

Die Funktion f(x) ist in dieser Gleichung die Dichte zu F(x) rechts yon der Null, go(x) ist die Dichte der Schadenh6henverteilung Qo, und Po, Pl . . . . sind die Punktwahrscheinlichkeiten der

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Schadenanzahl, for welche die Rekursion

pn+l= a+ pn, n = 0 , 1 , 2 ....

gilt. Ftir u > 0 erh~ilt man

ui ( y ) F ( u ) = p o + p I G o ( u ) + ~ go(Y) a + b f(x y)dydx, oo

oder, nach der Substitution v = x - y

F ( u ) = P o + p I G o ( u ) + go(Y) a + b Y f(v)dydv. (0.4) o y + v

Wegen Pl = (a + b)Po und P{0} = Po ist dies dasselbe wie (0.3). Aus Stetigkeitsgrtinden gilt diese Integralgleichung nicht nur far Schadenh6henverteilungen Qo mit Dichte go(x), sondern ft~r beliebige Verteilungen Q. Beim inneren Integral in (0.3) setzen wir nun die Verteilung Q von min(X, L) ein:

. . . . / ,v/y Y ) i a + b dG(y) = a + b g(y) dy o o k Y + v

+ ( a + b L + v L ) w l ( u - v > L '

Somit erhalten wir far u < L

.... ( / F(u)=P°+fo ! a + b y + v Y g ( y ) d y f ( v ) d v

u

+ qo(a + b) Sg(y)dy o

" ii/ y/ = p 0 + q t l g ( y ) d y + a + b g ( y ) f ( x - y ) d y d x o o

und damit ftir x < L x f~x)=q,g~x)+!/a+bY/g~y)f~x-y~dy,

die klassische Rekursionsformel fur Dichten. Ffir m > 0 und mL < x, u < (m + 1) L enth~.lt die Rekursionsformel zus~itzliche Terme:

F ( u ) = p o + a + b Y g (y )dy f (v )dv o y + v

/w.v)dv + a + b L + v

. . . . L( Y ) +qm I a + b g(y) dy

o y + m L

+ ~ q k ( i ( a + b Y / g ( y ) d y + ( a + bL / w / . kL<u-L y + kL L + kL

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Wegen

ist daher

a + b Y 0 y + v g(y) dyf(v) dv

--i min(x, L)/ \ -o ! /a*bY)~y)f~x-y)dy~x

min~x' L)(a f (x)= 0 , + b Y ) g ( y ) f ( x - y ) d y

+ q m ( a + b X - - x m L l g ( x - m L ).

Dies ist die Rekursionsformel, mit der man die ,,Dichte" f(x) yon P zwischen den Punkten mit positiver Masse berechnen kann.

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