Rückblick §3.2

€

rr =

r ′ r

€

y€

A

€

ˆ e x€

ˆ e z

€

ˆ e y

€

z

€

x

€

x − y − Ebene

€

rr t( ) = x t( ) ⋅ ˆ e x + y t( ) ⋅ ˆ e y + z t( ) ⋅ ˆ e z

€

rv t( ) =

dx

dt⋅ ˆ e x +

dy

dt⋅ ˆ e y +

dz

dt⋅ ˆ e z

€

r′ r t( ) = r t( ) = ′ x t( ) ⋅ ˆ ′ e x + ′ y t( ) ⋅ ˆ ′ e y + ′ z t( ) ⋅ ˆ ′ e z

€

r′ v t( ) =d ′

r r

dt=

d ′ x

dt⋅ ˆ ′ e x +

d ′ y

dt⋅ ˆ ′ e y +

d ′ z

dt⋅ ˆ ′ e z

Bsp.: Rotierende Bezugssysteme

O=O‘

€

rv ′ x , ′ y , ′ z ( ) =

d ′ x

dt⋅ ˆ ′ e x +

d ′ y

dt⋅ ˆ ′ e y +

d ′ z

dt⋅ ˆ ′ e z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟+ ′ x

d ˆ ′ e xdt

+ ′ y d ˆ ′ e ydt

+ ′ z dˆ ′ e zdt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

r ′ v +

r u

Der Beobachter im rotierenden System O‘ beschreibt A:

Für den Beobachter im ruhenden System O ändern sich auch die Einheitsvektoren des Rotienrenden Systems.

€

ˆ ′ e x€

ˆ ′ e z

€

ˆ ′ e y

€

′ z

€

′ y

€

′ x €

ω

€

′ x − ′ y − Ebene

Gaub 1WS 2014/15

Rückblick §3.2

€

d ˆ ′ e xdt

=r ω × ˆ ′ e x

€

d ˆ ′ e ydt

=r ω × ˆ ′ e y

€

d ˆ ′ e zdt

=r ω × ˆ ′ e z

Die Endpunkte der Einheitsvektoren im rotierenden System beschreiben Kreisbahnen:

€

=> r

u =r ω × ˆ ′ e x( ) ′ x +

r ω × ˆ ′ e y( ) ′ y +

r ω × ˆ ′ e z( ) ′ z

€

= rω × ˆ ′ e x ′ x + ˆ ′ e y ′ y + ˆ ′ e z ′ z ( )

€

= rω × r′ r

€

= rω × r

r

€

weilr r ≡

r ′ r

€

rv =

r ′ v +

r ω ×

r r ( )

Geschwindigkeit im rotierenden SystemGeschwindigkeit im ruhenden System

€

=>d

r r

dt=

dr ′ r

dt+

r ω ×

r r ( )

€

=>d

r L

dt=

dr ′ L

dt+

r ω ×

r L ( )

Gaub 2WS 2014/15

Die Euler‘schen Gleichungen

€

dr L

dt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟R

=r D

R: Raumfestes System

€

=d

r L

dt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟K

+r ω ×

r L R=K( )K: Körperfestes Hauptachsen-

System (rotiert mit )w

siehe Kapitel 3ausgeschriebenfür Achse a:

€

D =d

r L

dt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟a

+r ω ×

r L ( )

a

€

=d

dtIa ωa( ) + ωb Lc −ωc Lb( )

€

=Ia

dωa

dt+ ωb Ic ωc −ωc Ib ωb

Euler‘sche Gleichungen:

€

Da = Ia

dωa

dt+ Ic − Ib( ) ωc ωb

Db = Ib

dωb

dt+ Ia − Ic( ) ωa ωc

Dc = Ic

dωc

dt+ Ib − Ia( ) ωb ωa

Im Allgemeinen sind w und L nicht colinear => Bewegung komplex!

3

Der kräftefreie symmetrische Kreisel

Kreisel ohne äußeres Drehmoment => L= const.Bsp.: Fahrradkreisel

€

rω ||r L

Ist der Körper rotationssymmetrisch bzgl. einer Achse c, so heißt sie Figurenachse. Dann ist .

Bei Rotation um die Figurenachse ist

€

Ia = Ib

Gaub 4WS 2014/15

Der kräftefreie symmetrische Kreisel

zu unterscheidende Achsen:

Drehimpulsachse (raumfest)

momentane Drehachse (nicht raumfest)

Figurenachse (nur raumfest wenn identisch mit Drehimpulsachse)

€

rc

€

rω

€

rL

Der kräftefreie symmetrische Kreisel

Drehimpulserhalt. =>

€

Lx2 + Ly

2 + Lz2 = const.

Die Gleichungen stellen eine Kugel und einen (um rotierenden) Ellipsoiden dar.

€

rL

€

La2

Ia

+Lb

2

Ib

+Lc

2

Ic

= const.Energieerhaltung =>

Beide Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt sein!

=> Die Spitze von L wandert auf der Schnittlinie beider Figuren

Da Trägheitsellipsoid körperfest und L raumfest wandert Figurenachse cim raumfesten System => Nutation

Sichtbarkeit der momentanen Drehachse =>

6

Der kräftefreie symmetrische Kreisel

Da gilt (Euler):

€

rD = 0

€

˙ ω a + Ω ωb = 0

˙ ω b − Ω ωa = 0

˙ ω c = 0

Nutationsfrequenz:

€

Ω=ωc

Ic − Ia

Ia

€

ωa = A cos Ωt( )

ωb = A sin Ωt( )

ωc = C

Sei Ia=Ib

Ansatz:

€

ωa2 +ωb

2 +ωc2 = A2 +C2

Winkel zwischen Figuren- und Drehimpulsachse:

Zerlegt man und w

€

rL

€

rL = Ia ω⊥

r e ⊥+ Ic ωc

r e c

€

tanα =Ia ω⊥

Ic ωc

=Ia A

Ic ωc

€

mitr e ⊥= cos Ωt( )

r e a +sin Ωt( )

r e b

Þ Die Figurenachse wandert auf dem Nutationskegel mit Öffnungswinkel 2α, die momentane Drehachse ω auf dem Rastpolkegel mit Öffnungswinkel 2( -b a) um die raumfeste Drehimpulsachse L.

€

ω⊥ = ωa2 +ωb

2 = A

€

Ωt

a

b

w

€

sinβ =ω⊥

ω=

A

ω

Winkel zwischen Figuren- und moment. Drehsachse:

7

Der kräftefreie symmetrische Kreisel

Die Bewegung von Figuren- momentaner Drehachse lässt sich mit dem Gangpolkegel veranschaulichen:

Gaub 8WS 2014/15

Präzession des symmetrischen Kreisels

€

rD =

r r × m

r g

Auf einen symmetrischen Kreisel, der sich um seine Figurenachse dreht ( ω||L||r ) und der außerhalb seines Schwerpunkts unterstützt wird, wirkt das Drehmoment:

€

D =dL

dt= L

dϕ

dt

€

=>ωP =dϕ

dt=

D

L=

D

I ωPräzessionsfrequenz:

Daraus resultiert:

€

r L =r D ⊥

r L

=> nur die Richtung von L ändert sich:

Ist die Kreiselachse um den Winkel α gegen die Vertikale geneigt, so ist:

€

D = r m g sinα

€

dr L = L sinα dϕ=> wp unabhängig von der

räumlichen Orientierung der Kreiselachse, nur bestimmt durch L und D

€

ωP =r m g sinα

I ω sinα=

r m g

I ω

Ist ωp nicht mehr klein gegen ω, geht auch die Winkelgeschwindigkeit der Figurenachse mit in die Präzession ein:

Präzession des symmetrischen Kreisels

€

rω = rω F +r ω P

€

re F =

sinϑ cosϕ

sinϑ sinϕ

cosϑ

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

€

rω F =ωr e F

€

rω P = ˙ ϕ

0

0

1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

€

=> rω =

ω sinϑ cosϕ

ω sinϑ sinϕ

ω cosϑ + ˙ ϕ

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

€

rω || =r e F

r e F

r ω ( ) =

r e F ω + ˙ ϕ cosϑ( )

€

=> rω ⊥ =

re F ×(

r ω ×

r e F ) = ˙ ϕ sinϑ

−cosϑ cosϕ

−cosϑ sinϕ

sinϑ

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

€

rω = rω || +r ω ⊥

Zerlegung von w bezgl. Figurenachse

Mit der Annahme, dass der Kreisel nicht „umkippt“( θ = const. ) und dass ω = const. gilt:

€

rD =

dr L

dt= I||

r e F ω + ˙ ϕ cosϑ( ) − mrs2 + I⊥( ) ˙ ϕ 2 sinϑ cosϑ

sinϕ

−cosϕ

0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

€

r e F = sinϑ ˙ ϕ

−sinϕ

cosϕ

0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

mit:

€

rD = I|| sinϑ ˙ ϕ

−sinϕ

cosϕ

0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ω + ˙ ϕ cosϑ( ) − mrs

2 + I⊥( ) ˙ ϕ 2 sinϑ cosϑ

−sinϕ

cosϕ

0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Präzession des symmetrischen Kreisels

€

=> r

L = I||

r ω || + mrs

2 + I⊥( )r ω ⊥

€

=I||

r e F ω + ˙ ϕ cosϑ( ) + mrs

2 + I⊥( ) ˙ ϕ sinϑ

−cosϑ cosϕ

−cosϑ sinϕ

sinϑ

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Gaub 11WS 2014/15

Präzession des symmetrischen Kreisels

€

rD = I|| sinϑ ˙ ϕ ω + ˙ ϕ cosϑ( ) − mrs

2 + I⊥( ) ˙ ϕ 2 sinϑ cosϑ( ) ˆ n

Einheitsvektor in Richtung des

Drehmoments

€

ˆ n =

−sinϕ

cosϕ

0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

mit

€

rD = m g r sinϑ ˆ n

€

=>I|| ωP ω +ωP cosϑ( ) − mrs2 + I⊥( ) ωP

2 cosϑ = m g rs€

ωP = ˙ ϕ

€

I|| ωP ω + I|| − I⊥ − mrs2

( ) ωP2 cosϑ = m g rs

€

=>ωp =−I IIω ± I II

2ω2 + 4(I II − I⊥− mrS2 )mgrS cosϑ

2(I II − I⊥− mrS2 )cosϑ

Mathematica:

Gaub 12WS 2014/15

Überlagerung von Präzession und Nutation

Rotiert der Kreisel nicht um eine Symmetrieachse, tritt auch noch Nutation auf:

Die genaue Form der Bahn hängt von der Nutations- und der Präzessionsfrequenz ab.

Gaub 13WS 2014/15

Überlagerung von Präzession und Nutation

Demonstration der Überlagerung: der Kardankreisel

Gaub 14WS 2014/15

Die Erde als Kreisel

Präzession der Erdrotationsachse mit 1/w = 26.000 Jahre (Platonisches Jahr) Drehmoment durch Sonne und Mond

http://user.uni-frankfurt.de/~klaudius/Dateien/Pr%E4zession%20und%20Nutation.htm

Mehr zum Kreisel Erde: