CAS Standards

eine interessante Herausforderung

Dr. Helmut Heugl

und

Standards für Mathematikam Ende der Sekundarstufe I

Version 080504Mai 2004

Bundesministerium fürBildung, Wissenschaft und Kultur

in Zusammenarbeitmit der

Zukunftskommission

Wozu Standards?

– Wir haben

doch Lehrpläne!

Wozu Standards? –

Wir haben doch unsere

Leistungsbeurteilung!

Heugl

Standards

Teil 1:

Heugl

Standards wozu? – Einsatzbereiche

Standards als Beitrag zur internationalenVergleichbarkeit und Durchlässigkeit derBildungssysteme.

Standards als Bildungsauftrag der Gesellschaft an dieSchule

Standards als Grundlage der Systemevaluation.

Standards als Grundlage für die Qualitätsevaluationeinzelner Schulen

Standards zur Selbstevaluation für Schüler und Lehrer

Standards als ein Instrument der Berechtigungsvergabe

Heugl

Begriffsklärung II

Inhaltsbezogene Standardssind Vorgaben über Inhalte und zugeordnete Ziele. Diese Rolle erfüllen überwiegend die Lehrpläne/Rahmenpläne.

Produktorientierte Standards Leistungsstandardsbeschreiben wesentliche Kompetenzen, über die die Schüler zu einem bestimmten Zeitpunkt verfügen sollen.

Standards für den Unterrichtsprozesssind Vorgaben zum Prozess, also Maßnahmen zur Erreichung der geforderten Schülerkompetenz.

Heugl

Begriffsklärung III

Minimalstandards möglichst alle Lernenden sollen sie erreichen

Regelstandards sollen für durchschnittliche Schüler erreichbar sein

Maximalstandards drücken einen Idealzustand aus

Heugl

     

     

Arten von Standards  Vorgaben bezogen auf

Minimales -langfristigVerfügbares

Minimalstandards

Erwartetes

Regelstandards

Ideales

Idealstandards

Inhaltsbezogene Standards

     

Leistungsstandards 

produktorientierteStandards

     

Standards für den Unterrichtsprozess

prozessorientierte

Standards

     

Kerncurriculum

PISA-Studie

NCTM-Standards

Heugl

     

     

Derzeitiger Stand in Österreich  Vorgaben bezogen auf

Minimales -langfristigVerfügbares

Minimalstandards

Erwartetes

Regelstandards

Ideales

Idealstandards

Inhaltsbezogene Standards

     

Leistungsstandards 

produktorientierteStandards

     

Standards für den Unterrichtsprozess

prozessorientierte

Standards

     

Bildungsstandards

Regelstandards

Heugl

Eigenschaften eines Kompetenzmodells IGrundlage ist ein bestimmtes Bild,

eine bestimmte Rolle der Mathematik:

Mathematik Technik des Problemlösens durch Schließen3 Phasen des Problemlöseprozesses: Modellieren – Operieren - Interpretieren

Mathematik als SpracheDie Schüler sollen 3 Arten von Sprachen lernen:die Muttersprache – Fremdsprachen - Mathematik

Mathematik als DenktechnologieExperimentieren, Analogisieren, Generalisieren, Spezialisieren; logisches Schließen; Argumentieren, Begründen; Dokumentieren, Präsentieren, usw.

Heugl

Eigenschaften eines KompetenzmodellsTeildimensionen innerhalb des Fachbereiches

und unterschiedliche Niveaustufen

Inhaltliche mathematische Kompetenzen

Allgemeine mathematische Kompetenzen

Die Komplexität

Heugl

Dimension 1: Allgemeine mathematische Kompetenzen

A1 Modellbilden, Darstellen

A2 Operieren, Rechnen

A3 Interpretieren und Dokumentieren

A4 Argumentieren und Begründen

Heugl

Dimension 2: Inhaltliche mathematische Kompetenzen

Arbeiten mit Zahlen und Maßen

Arbeiten mit Variablen und funktionalen Abhängigkeiten

Arbeiten mit Figuren und Körpern

Arbeiten mit statistische Kenngrößen und Darstellungen

Heugl

Dimension 3: Die Komplexitätsdimension („complexity“)

Niveau I - geringe Komplexität Grundkompetenzen, einfache Grundbausteine

Niveau II – mittlere Komplexität einfache Verknüpfung von Grundkompetenzen

Niveau III – höhere Komplexität komplexe Verknüpfung von Grundkompetenzen

Heugl

Mathematische Grundbildung zeigt sich erst dann, wenn Schülerinnen undSchüler in wechselnden Zusammenhängen und Situationen prozessbezogene(d.h. handlungsbezogene) Kompetenzen aktivieren und dabei auf inhaltliche Kompetenzen zurückgreifen können.[siehe: Kernlehrplan Mathematikunterricht, Sek I, Nordrhein-Westfalen]

Prozessbezogene(handlungsbezogene)

Kompetenzen

InhaltsbezogeneKompetenzen

Heugl

content

performance

complexity

Level I

Level II

Level III

A1:

Mod

ellie

ren

A2:

Ope

rier

enA

3: I

nter

pret

iere

nA

4: A

rgum

entie

ren

Zahlen und Maße: B1

Variablen und funkt. Abh: B2.

Figuren und Körper: B3

Statistische Kenngr. u. Darst.: B4

(A2,B2)

(A3,B2)

(A4,B2)

(A1,B2)

Heugl

Standards – formuliert als „ich kann…“-Statements

A

allgemeine mathematische Kompetenzen

B

inhaltliche mathematische Kompetenzen

A4: Argumentieren und Begründen

A4.1 Ich kann die Entscheidung für eine bestimmte Lösung begründen.

A4.2 Ich kann begründen, warum etwas falsch ist.

A4.3 Ich kann durch Probieren zu einer Vermutung kommen und diese begründen.●●

B1: Arbeiten mit Zahlen und Maßen

B1.1 Ich kann Zahlen den verschiedenen Zahlenbereichen zuordnen.

B1.6 Ich kann Prozentrechnen.

B1.8 Ich kann Maßeinheiten umwandeln.

●●

Heugl

Modellieren Operieren ArgumentierenInterpretieren

Niveau I

Niveau II

Niveau III

Anforderungsstufen so, dass man über schwächer Schülerauch positive Aussage machen kann Heugl

Bandbreite innerhalb der Komplexitätsbereiche

Aufgabe: Bevölkerungsstatistik

Stelle die Einwohnerzahlen folgender österreichischer Bundesländer mit einem Balkendiagramm dar:

Bundesland Einwohnerzahl

Burgenland 200.000

Wien 1 600 000

Oberösterreich 1 400 000

Steiermark 1 200 000

Niederösterreich 1 500 000EW

100000 EW

0Burgenland Oberösterreich Niederösterreich

Wien Steiermark

Aufgabe: Bevölkerungsstatistik

Stelle die Einwohnerzahlen folgender österreichischer Bundesländer grafisch dar:

Bundesland Einwohnerzahl

Burgenland 228 000

Wien 1 609 000

Oberösterreich 1 380 000

Steiermark 1 202 000

Niederösterreich 1 542 000

Heugl

Standards Kompetenzen

Weinert:Unter Kompetenzen versteht man kognitive Fähigkeiten und Fertigkeiten, um bestimmte Probleme zu lösen, sowie die damit verbundenen motivationalen, volitionalen und sozialen Bereitschaften und Fähigkeiten….

Bildungsstandards sind fachbezogen

Sie sollen die Kernideen des Faches herausarbeiten, um Lehren und Lernen zu fokussieren.

Zu den Kernideen gehören:grundlegende Begriffsvorstellungen,die damit verbundenen Denkoperationen und Verfahren,das ihnen zuzuordnende Grundlagenwissen

Bildungsstandards für allgemeinere, fächerübergreifende Kompetenzen:

MethodenkompetenzSozialkompetenzPersonalkompetenz

Fachliches Lernen ist nur Mittel zum Zweck der allgemeinen Schlüsselqualifikationen.

Kompetenz Disposition, die Personen befähigt, bestimmte Arten von Problemen zu erfolgreich lösen

Überfachliche Kompetenzen (C)

Standards C1: Autonomes Lernen C1.1 Ich lerne regelmäßig mit (auch wenn keine Schularbeiten angesetzt sind).C1.3 Ich überlege mir, wie der neue Stoff mit dem zusammenhängt, was ich bereits weiß.C1.5 Wenn ich etwas nicht kann oder nicht verstanden habe, suche ich zusätzlich Informationen, um das Problem zu lösen.

Standards C2: Kooperatives Handeln C2.1 Ich arbeite bei Gruppenarbeiten aktiv mit.C2.3 Ich bin bereit in einer Gruppe Verantwortung zu übernehmen.C2.7 Ich vertrete meine Meinung in der Gruppe.

Standards C3: Kritisches Denken und Reflektieren C3.1 Bevor ich ich mir eine Meinung bilde, hole ich Informationen ein.C3.3 Ich unterscheide zwischen Meinungen und Fakten.

Standards C4: Arbeitstechniken, MethodenkompetenzenC4.2 Ich kann mir gezielt Informationen aus Bibliotheken beschaffen. C4.3 Ich kann mir gezielt Informationen aus dem Internet beschaffen. C4.5 Ich kann die ausgewählten Informationen mit eigenen Worten zusammenfassen.

Heugl

Aufgabe als Beispiel für überfachliche Standards: „Zeit für Schule“Aufgabenstellung: Setzt Euch mit den Äußerungen der Schülerinnen und Schüler auseinander!

Standards für den mittleren BildungsabschlussDeutschland, Dezember 2003 Heugl

Ein Vergleich mit DeutschlandBildungsstandards

für den mittleren Schulabschluss (Jahrgangsstufe 10)in Deutschland

www.kmk.org/aktuell/home1.html

Bildungsauftrag des Faches

Kompetenzmodell mit verschiedenen Anspruchsniveaus

Kompetenzen beziehen sich auf den Kernbereich des jeweiligen Fachesund weisen ein mittleres Anforderungsniveau aus

Konkretisierung durch Aufgabenbeispiele

Heugl

Mathematik:Zwei fachliche Dimensionen – drei AnforderungsniveausFachliche Dimensionen:

Dimension 1: Allgemeine mathematische Kompetenzen•Mathematisch argumentieren (K1)•Probleme mathematisch lösen (K2)•Mathematisch modellieren (K3)•Mathematische Darstellungen verwenden (K4)•Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik

umgehen können (K5)•Kommunizieren (K6)

Dimension 2: Inhaltsbezogene Kompetenzen geordnet nach mathematischen Leitideen

•Zahl (L1)•Messen (L2)•Raum und Form (L3)•Funktionaler Zusammenhang (L4)•Daten und Zufall (L5)

Heugl

NCTM Standardshttp://www.nctm.org/standards/

The Standards for school mathematics describe the mathematical understanding, knowledge, and skills that students should acquire from prekindergarten through grade 12.Realizing the VisionPrinciples and Standards for School Mathematics acknowledges that there are significant challenges in realizing the vision for improving mathematics education. For example ….

2 subject oriented Dimensions

Content standards

Process standards

Heugl

Content standards

Number and Operations

Algebra

Geometry

Measurement

Data Analysis and Probability

Heugl

Process standards

Problem Solving

Reasoning and Proof

Communication

Connections

Representation

Heugl

CAS und Standards

Teil 2:

Veränderungen bei der Rolle der Mathematik

Veränderungen beim Kompetenzmodellund bei den Standards

Veränderungen bei den Aufgaben

Heugl

Der Einfluss von CAS auf das Lehren und Lernen

Der Unterricht wird schülerzentrierter und experimenteller

Wir beobachten eine Schwerpunktsverschiebung vom Operierenhin zum Modellbilden und Interpretieren

Es kommt zu einer Verschiebung der Tätigkeit vom Ausführenzum Planen

Der Unterricht wird anwendungsorientierter

Das Werkzeug CAS unterstützt nicht nur Kognition,es wird zu einem Teil der Kognition

Heugl

Mathematik Technik des Problemlösens durch Schließensiehe Dimension 1: Mathematische Handlungskompetenzen

Mathematik als Sprache-Direktere Übersetzung von der Muttersprache in die Sprache der Mathematik-Neue Sprachelemente

Mathematik als DenktechnologieDas Werkzeug CAS unterstützt nicht nur Kognition, es wird zu einem Teil der Kognition

-Modulares Denken-„Window-Shuttle-Prinzip“

Heugl

Veränderungen bei der Rolle der Mathematik

Dimension 1: Allgemeine mathematische Kompetenzen - mathematische Handlungskompetenzen

A1 Modellbilden, Darstellen

A2 Operieren, Rechnen

A3 Interpretieren und Dokumentieren

A4 Argumentieren und Begründen

Veränderungen beim Kompetenzmodellund bei den Standards

Heugl

A1 Modellbilden, Darstellen

(1) Ein größeres Angebot an Modellen und Darstellungen

(2) Eine direktere Übersetzung von der Alltagssprache in dieSprache der Mathematik

(4) Eine besondere Stärkung der Visualisierungskompetenz

(5) Eine erhöhte modulare Kompetenz

(3) Parallele Verfügbarkeit verschiedener Prototypen eines Modells

Heugl

Übersetzung Phase 1: Wortformel„was passiert jedes Jahr?“

Das Kapital wird verzinstund die Rate wird abgezogen

Kneu = Kalt.(1+p/100) - R

Übersetzung Phase 2: Mathem. Sprache Rekursives Modell

Problem: Schuldentilgung durch Ratenzahlung

Zu (2) Eine direktere Übersetzung von der Alltagssprache in dieSprache der Mathematik

Heugl

Problem: Schuldentilgung durch Ratenzahlung

Heugl

Tabelle

Wortformel

Graph

TermRekursives Modell

Programm

Zu (1) und (3)Ein größeres Angebot an Modellen und DarstellungenParallele Verfügbarkeit verschiedener Prototypen eines Modells

Heugl

Tabelle

Wortformel

Graph

TermRekursives Modell

Programm

Prototypen von Funktionen

Heugl

Operieren

A2.1 Strukturerkennungskompetenz

A2.2 (Hand)kalkülkompetenz

A2.3 Werkzeugkompetenz

A2.4 Testkompetenz

Die Handlungsdimension des Operierens beinhaltet die Fähigkeit eines Individuums, einen gegebenen Kalkül in konkreten Situationen zielgerichtet anwenden zu können [Hischer, 1995].

A2 Operieren, Rechnen

Heugl

A2.1 Strukturerkennungskompetenz

CAS und Standards

Strukurerkennung ist nötig:

bei der Eingabe eines Ausdrucks

bei der Auswahl der passenden Operation

bei der Überprüfung und Interpretation von Ergebnissen

beim Vergleich verschiedener Ergebnisse einer Aufgabe

Heugl

Heugl

A2.2 (Hand)kalkülkompetenz

Instrumental Understanding:Die Nutzung von mathematischen Regeln ohne notwendigerweise zu wissen, warum die Regel gilt.

2 Arten von „Verstehen“ (nach Skemp):

Relational Understanding:Die Fähigkeit, Regeln herzuleiten, zu begründen und anzuwenden. Regeln als Teil eines Netzwerks von Begriffen und Beziehungen zwischen Begriffen zu verstehen.Wissen, WIE es geht und WARUM

CAS Kalkülkompetenz

Schwerpunktsverschiebung:

Instrumental Understanding

Relational Understanding

WerkzeugkompetenzHeugl

-T (ohne Technolgie) ?T +T (mit Technologie)

a – (b+3) (5+p)2 3a2(5a-2b)

(3+a)(b-7) (a2-3b)(-3a+5b2)

(a+b)2 (5+p)2 (3x-5y)2

3ab+6ac 3x3y+6x2y2

x2-4 x2+4x+4 x2-x-6

Handkalkülkompetenz

Herget: „Wieviel Termumformungen braucht der Mensch?“

Herget, Heugl, Kutzler, Lehmann

Heugl

A3 Interpretieren und DokumentierenA3.1 Ich kann mathematische Begriffe und mathematische Darstellungen eines Sachverhalts im jeweiligen inner- oder außermathematischen Kontext interpretieren.

A3.2 Ich kann (Rechen-)Ergebnisse im jeweiligen inner- oder außermathematischen Kontext interpretieren.

A3.3 Ich kann die Angemessenheit und Brauchbarkeit eines mathematischen Modells oder einer mathematischen Darstellung im Hinblick auf die vorgegebene Problemstellung beurteilen.

A3.4 Ich kann die Korrektheit mathematischer Darstellungen und Lösungswege einschätzen bzw. Fehler erkennen.

A3.5 Ich kann den Lösungsweg einer Aufgabe beschreiben.

A3.6 Ich kann eine zur Problemstellung und zum verwendeten Lösungsmodell passende Antwort formulieren.

A3.7 Ich kann Darstellungen des technischen Hilfsmittels interpretieren

Heugl

A4.1 Ich kenne die mathematische Fachsprache und kann sie korrekt verwenden.

A4.2 Ich kenne mathematische Begriffe, Zusammenhänge (Sätze, Formeln) und Verfahren und kann sie erklären.

A4.3 Ich kann meine Entscheidung für die Verwendung eines bestimmten mathematischen Modells bzw. eines bestimmten Lösungsweges, für eine bestimmte Darstellung oder auch für die Auswahl einer bestimmten Lösung begründen.

A4.4 Ich kann einzelne Rechenschritte begründen wie auch begründen, warum ein Rechenschritt bzw. eine bestimmte mathematische Argumentation falsch ist.

A4.5 Ich kann mathematische Zusammenhänge plausibel begründen, herleiten oder auch beweisen.

A4.6 Ich kann Annahmen und Voraussetzungen, die meiner Argumentation zugrunde liegen, benennen, erklären und begründen.

A4.6 Ich kann Darstellungen und Ergebnisse des technischen Hilfsmittels begründen

A4 Argumentieren und Begründen

CAS und Standards Heugl

(1) Derzeitige ACDCA –Aktivitäten

Analysieren der derzeitigen Standardaufgaben-Aufgaben CAS-neutral-Aufgaben mit Vorteilen für „CAS-Schüler“-Aufgaben mit Nacheilen für „CAS-Schüler“

Entwickeln CAS-spezifischer Standardaufgaben

Veränderungen bei den Aufgaben

Heugl

(2) Klassifikation von Aufgaben durch eine internationale Expertengruppe(Belgien, Dänemark, Schottland, Schweiz, Österreich)

C0 Aufgaben, bei denen CAS keine wesentliche Hilfe darstellen

C1 Aufgaben, die mit Hilfe von CAS wesentlich schneller gelöst werden können oder trivialisiert werden

C2 Aufgaben, welche die Werkzeugkompetenz testen

C3 Traditionelle Aufgaben, die durch die Nutzung von CAS ausgeweitet werden (Verallgemeinerung, Einfluss von Parametern usw.

C4 Aufgaben, die nur mit Hilfe von CAS gelöst werden können

Heugl

Aufgabe 1 „traditionell“ (C0):Die folgende Tabelle gibt Aufschluss über das Wachstum der Weltbevölkerungbeginnend bei 1950 (Zeitpunkt 0) bis 1990 (Zeitpunkt 40). (Die freien Spalten sollen im Zuge der Rechnung von Dir ausgefüllt und das Ergebnis interpretiert werden!)

Weltbevölkerung in Millionen

Jahre Erhobener Wert Exponentielle Näherung

Lineare Näherung

1950 (0)

2516

1960 (10)

3019

1970 (20)

3693

1980 (30)

4449

1990 (40)

5321

Heugl

Teil 1: Unter Annahme eines exponentiellen Wachstums ermittelte man die Näherungsformel:

N(t) = 2515,64 . 1,019t ( t in Jahren, 1950 entspricht t = 0)(a) Errechne mit Hilfe der angegebenen Formel die Bevölkerungszahlen für 1950 bis 1990 und trage diese in die vorgegebene Tabelle ein!(b) Wie viele Menschen müssten nach diesem Modell im Jahr 2010 zu erwarten

sein?(c) Wann hätte sich die Weltbevölkerung verdoppelt?(d) Welche jährliche Wachstumsrate lässt sich angeben?

Teil 2: Unter Annahme eines linearen Wachstums ermittelte man die Näherungsformel:

N(t) = 70,4 t + 2391,6(a) Errechne mit Hilfe der angegebenen Formel die Bevölkerungszahlen für 1950 bis1990 und trage diese in die vorgegebene Tabelle ein!(b) Wie viele Menschen müssten nach diesem Modell im Jahr 2010 zu erwarten sein?(c) Wann hätte sich nach diesem Modell die Weltbevölkerung bezogen auf 1990 verdoppelt?(d) Welcher jährliche Zuwachs lässt sich angeben?

Heugl

Lösungen und Bemerkungen allg.Komp. fachl.Komp. Kompl.Level

Teil 1: a) O L1

b) O L1

c) M, O L2

d) M, O L3

Teil 2: a) O L1

b) O L1

c) M, O L2

d) M, O L3

Klassifikation

Heugl

Aufgabe 1 für CAS-SchülerInnen (C4):Die folgende Tabelle gibt Aufschluss über das Wachstum der Weltbevölkerungbeginnend bei 1950 (Zeitpunkt 0) bis 1990 (Zeitpunkt 40). (Die freien Spalten sollen im Zuge der Rechnung von Dir ausgefüllt und das Ergebnis interpretiert werden!)

Weltbevölkerung in Millionen

Jahre Erhobener Wert Exponentielle Näherung

Lineare Näherung

1950 (0)

2516

1960 (10)

3019

1970 (20)

3693

1980 (30)

4449

1990 (40)

5321

Teil 1:(a) Ermittle unter Annahme eines exponentiellen Wachstums eine möglichst gute Näherungsformel.(b) Errechne mit Hilfe der ermittelten Formel die Bevölkerungszahlen für 1950

bis 1990 und trage diese in die vorgegebene Tabelle ein!(c) Wie viele Menschen müssten nach diesem Modell im Jahr 2010 zu erwarten

sein?(d) Wann hätte sich die Weltbevölkerung verdoppelt?(e) Welche jährliche Wachstumsrate lässt sich angeben?

Teil 2: (a) Ermittle unter Annahme eines linearen Wachstums eine möglichst gute Näherungsformel.(b) Errechne mit Hilfe der ermittelten Formel die Bevölkerungszahlen für 1950 bis1990 und trage diese in die vorgegebene Tabelle ein!(c) Wie viele Menschen müssten nach diesem Modell im Jahr 2010 zu erwarten sein?(d) Wann hätte sich nach diesem Modell die Weltbevölkerung bezogen auf 1990 verdoppelt?(e) Welcher jährliche Zuwachs lässt sich angeben?

Heugl

Lösungen und Bemerkungen allg.Komp. fachl.K. Kompl.Level

Teil 1: a) A2_W L2

b) A2_K L1

c) A2_K L1

d) A1, A2_K L2

e) A1, A2_K L3

Teil 2: a) A2_W L2

b) A2_K L1

c) A2_K L1

d) A1, A2_K L2

e) A1, A2_K L3

Klassifikation

Heugl

Aufgabe 2 „traditionell“ (C2):Gegeben ist die Hyperbel 9x2 – 16y2 = 144 .

(a) Stelle die Gleichungen der Asymptoten auf!(b) Zeige: Die Asymptoten haben keinen Schnittpunkt mit der Hyperbel. (Es genügt, dies für eine Asymptote zu zeigen!)(c) Jede zu einer Asymptoten parallele Gerade hat genau einen Schnittpunkt. (Es genügt, dies für eine Asymptote zu zeigen!)(d) Erkläre allgemein, wie viele Punkte eine Gerade mit einer Hyperbel gemeinsam haben kann, und begründe dies!

Aufgabe 2 für CAS-SchülerInnen (C3):Gegeben ist die Hyperbel b²x2 – a²y2 = a²b² .

(a) Stelle die Gleichungen der Asymptoten auf!(b) Zeige: Die Asymptoten haben keinen Schnittpunkt mit der Hyperbel. (Es genügt, dies für eine Asymptote zu zeigen!)(c) Jede zu einer Asymptoten parallele Gerade hat genau einen Schnittpunkt. (Es genügt, dies für eine Asymptote zu zeigen!)(d) Erkläre allgemein, wie viele Punkte eine Gerade mit einer Hyperbel gemeinsam haben kann, und begründe dies!

Heugl

(3) Klassenarbeiten mit Computeralgebrain der Sekundarstufe 1Eberhard Lehmann

Aufgabe 3 (C1):3.1 In der Abbildung sind drei Geraden zu sehen. Rekonstruiere die

Abbildung mit deinem CAS und dokumentiere den Arbeitsweg

3.2 Was hat diese Abbildung mit Thema „Lösen linearerGleichungssysteme“ zu tun?

A1, A2_W, A3

A4

Heugl

Aufgabe 4 (C1):(Lehmann)Erkläre die drei Rechnungen, die der „voyage2000“ automatischdurchgeführt hat , indem du die Zwischenschritte aufschreibst.

A2_W, A2_K, A4

Heugl

Aufgabe 5 (C1):(Lehmann)Der folgende Graph ist mit dem „voyage2000“ aus 6 verschiedenenFunktionen erstellt worden

(a) Gib die Funktionsgleichungen an und ordne jedem Teil des Graphen die entsprechende Funktion zu.

(b) Warum kann dieses Bild nicht nur aus 4 Funktionsgraphen erzeugt werden?

A1, A2_W

A4

Heugl

Aufgabe 6 (C4):(Lehmann)Erkläre den Bildschirmausdruck (Hinweis: Es ist günstig, eine Zeilenach der anderen genau zu erklären)

A1_modK, A4

Heugl

Variante 1: Ohne Technologie (C1)Consider the real function f defined by

• Determine the zeros of f • Determine the intervals where f is increasing / decreasing. • Draw the graph of f , and determine the range.• A region M in the fourth quadrant is bounded by the graph of the function f and the x-axis.• Calculate, using anti-derivatives, the area of M.• Use integration to calculate the volume of the solid of revolution generated by the rotation of M around the x-axis.

( ) 2 , 0 .f x x x x

Aufgabe 8: Dänische Abituraufgaben

Variante 2: Mit CAS (C3)Consider a family of real functions where the parameter a is a positive number.

• Determine the zeros of f2 and the intervals where f2 is decreasing / increasing.• Draw the graph of the function f2 and determine the range of the function. •A region Ma in the fourth quadrant is bounded by the graph of fa and the x- axis.• Given that the area of Ma is Aa , and the volume of the solid of revolution generated by the rotation of Ma around the x-axis is Va .• Calculate Aa and Va .• Calculate a, such that Va = π.Aa

( ) , 0 ,af x x a x x

Aufgabe 9 (C4):J. BöhmKosten und Erlös bestimmen den Gewinn [Böhm, J.; 1998]

Die Analyse der Produktionskosten K für ein bestimmtes Produkt ergab für unterschiedliche Produktionsmengen x die folgenden Gesamtkosten:

Menge 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Kosten 160 188 210 220 235 255 284 330 390

Der Produzent hat fast ein Monopol auf dieses Produkt, so stehen Verkaufspreis und abgesetzte Menge bzw. angebotene Menge in einem Zusammenhang, der durch die Nachfragefunktion p(x) beschrieben wird. Durch Marktforschung versucht man die Verkaufspreise p zu bestimmen, zu denen bestimmte Mengen x abgesetzt werden können.

Menge x 10 20 30 40 50

Preis p 18 14 10 7 4,5

A1, A2_W

CAS Standards

eine interessante Herausforderung

und

Standards für Mathematikam Ende der Sekundarstufe I

Version 080504Mai 2004

Bundesministerium fürBildung, Wissenschaft und Kultur

in Zusammenarbeitmit der

Zukunftskommission

Heuglhheugl@aon.at